FORMULA DE DISEÑO DE FORMULA WESTERGAARD
MODELO DE WESTERGAARD Partiendo del principio de la hipótesis de un masivo de Boussinesq para el soporte de la calzada, se obtiene una hipótesis simplificatoria. Westergaard aporta otra variable que facilita los cálculos; el suelo soporte ese asimila a una serie de resortes, para los cuales el desplazamiento vertical ω es proporcional a la presión vertical ν en ν=k*ω ese punto. Sea: Donde: ν: Esfuerzo vertical sobre el masivo. K: Modulo de reacción del suelo soporte. ω: Desplazamiento vertical de la placa. Teniendo en cuenta los valores de q (x) •
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Los momentos de flexión y los esfuerzos se deducen mediante operaciones de derivación (los momentos están ligados a las curvaturas ω´´ y ω´). En este ejemplo se muestra el interés de utilizar las transformadas de Henkei para todos los problemas en que interviene un laplaciano. Al tomar el doble laplaciano, se multiplica por m4: Así se obtendrían las funciones transformadas de desplazamientos y de esfuerzos. Aunque esta transformación no es sencilla, permite:
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Resolver problemas de cargas de borde en placas de concreto. El cambio de variable r=lx hace que aparezca una variable fundamental del comportamiento de materiales tratados con ligantes hidráulicos.
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3
12 1
El esfuerzo de tracción
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( )
C: Función creciente de “l” para una carga circular.
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1
2
(
3 3
)
La ecuación de Lagrange para placas delgadas es:
P es la suma de los esfuerzos de flexión a una distribución r del centro de la placa.
FORMULA DE WESTERGAARD: (DEFLEXIÓN) La carga P se aplica sobre un área elíptica de semieje a y b, donde “a” está siempre paralela al lado de la placa si la carga es próxima a ella. La calzada es una placa homogénea, isotrópica, y elástica con módulo de Young E y coeficiente de Poisson v; su espesor h es constante. El suelo está en contacto con la placa constantemente y se caracteriza por el módulo de reacción k. •
Carga en el interior de la placa.
La deflexión en un punto M de coordenadas (x, y) bajo la carga o en su proximidad esta dada por:
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La deflexión en un punto M de coordenadas (x, y) bajo la carga o en su proximidad esta dada por:
Donde ω0 es la deflexión, k es el módulo de reacción y P el peso total de la carga.
CASOS PARTICULARES: a) En el caso particular donde la huella es circular (a =b) y el punto M coincide con el centro del circulo (x=y=0), se tiene:
b) Si la carga está situada en el borde de una junta:
La deflexión en un punto M de coordenadas (0 ,y) situado sobre el eje simetría perpendicular al borde está dada por la fórmula:
c) Si la carga está repartida sobre dos placas: El borde no transmite cargas, pero la carga está repartida en dos semielipses.
La deflexión en un punto m de coordenadas (0, y) situado sobre el eje de simetría perpendicular al borde se calcula mediante la fórmula:
ESFUERZOS HORIZONTALES EN UNA BICAPA Fórmulas de Westergaard: a) Carga en el interior de la placa
Los valores de los esfuerzos y en la base de la placa en las direcciones “y” y “y”, y en el eje de la carga son:
b)Carga situada a lo largo de un borde sin transferencia de carga.
El esfuerzo máximo en la base de la placa y a lo largo de la junta se escribe:
c) Carga situada sobre dos cargas sin transferencia de carga.
El esfuerzo máximo en la base de la placa y a lo largo de la junta se escribe:
d) Carga en la esquina de la placa.
El esfuerzo máximo en la parte alta de la placa y en la esquina se escribe:
ANEXOS Tabla 3.1
Módulos de rigidez y de resistencia a la tracción para materiales no degradados Material
E(MPa)
Rt(MPa)
Grava cemento
28.000 a 40.000
1,10 a 1,50
Grava escoria granulada
13.000 a 20.000
0,65 a 1,10
Grava escoria molida
17.000 a 25.000
0,80 a 1,30
Grava cenizas volantes
34.000 a 45.000
1,10 a 1,50
EJERCICIO DE APLICACIÓN:
Ejemplo: Determinar los esfuerzos críticos por carga para los siguientes datos. p=9000 libras ( carga por rueda) k=200psi h=9 pulgadas (espesor de la losa) e= 5.000.000psi a= 5.9 pulgadas ( radio del área cargada) l=35.5 pulgadas ( radio de rigidez relativa) b= 1.6 ℎ 0.675ℎ ( radio de la sección resistente)
Desarrollo:
=
.
4 log
=. 4 log
=
−
+.
+.3
.
Esfuerzo interior Esfuerzo borde Esfuerzo esquina
La presencia del termino ℎ en el denominador de las 3 formulas , sugiere que el espesor de la losa es critico en la reducción de esfuerzos por carga a niveles aceptables.
Entonces: b=
=
1.6 5.9 .
=
.
=
9 4 log
4 log
. − .
0.675 9 = 5.6 pulgadas
. .
. . .
+. +.3
= 150 psi
interior
= 226 psi
borde
= 193 psi
esquina
Los resultados muestran que el sitio critico es el borde longitudinal (junto a la berma), lejos de las esquinas de la losa.
