Crittografia e aritmetica modulare - 1
classe 4E
Nome: Aritmetica modulo 7
Considera gli interi dell’insieme Z7 e l’operazione l’operazione ⊗ cos co s`ı defini defi nita ta:: `e il resto della divisione di ab per 7
a⊗b
in altre parole, per calcolare a ⊗ b dobbiamo dobbiamo eseguire eseguire la normale normale moltiplicazio moltiplicazione, ne, dividere dividere per 7 e prendere il resto. Per esempio 3 ⊗ 4 = 5 perch´ pe rch´e 3 · 4 = 12 che, diviso per 7, ha come resto 5 (niente di strano, `e la normale moltiplicazione in modulo 7, solo che la indichiamo col simbolo ⊗) 1. Completa Completa la tabella della moltiplicazione moltiplicazione ⊗ in ⊗
1
2
3
Z7 :
4
5
6
1 2 3 4 5 6 Tabella 1: moltiplicazione in Z7 2. La tabella 1 rivela rivela molte propriet` propriet` a della moltiplicazione in seguenti domande osservala attentamente:
Z7 .
Per Per rispond rispondere ere alle alle
(a) Se a, b ∈ Z7 `e possib po ssibile ile che a × b sia un multiplo di 7? (Attenzione ai simboli: qui si parla della normale moltiplicazione!) Spiega:
(b) L’operazione L’operazione ⊗ `e chiu chiusa sa 1 in
Z7 ?
(c) Se a, b ∈ Z7 `e sempre semp re vero che a ⊗ b = b ⊗ a? 1
Un’operazione Un’operazione si dice chiusa in un insieme A se il suo risultato `e sempre contenuto in A. Per esempio, esempio, la normale addizione non `e chiusa nell’insieme A = {1, 2, 3} perch´e 2+2=4 che non ` e nell’insieme nell’in sieme A
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classe 4E
(d) Se a,b,c ∈ Z7 e se a = b `e possibile possi bile che risulti risult i a ⊗ c = b ⊗ c?
(e) Se c ∈ Z7 , `e sempre possibile trovare trovare un altro elemento z ∈ 2 . Spiega il perch´e: e: z ⊗ c = 1?
. Spiega:
Z7
tale che c ⊗ z =
- Non tutti gli insiemi Z hanno le stesse propriet`a di Z7 . Consideriamo ad esempio Z6 , con l’usuale moltiplicazione ⊗ in modulo 6.
Aritmetica in
Z6
n
3. Completa Completa la tabella della moltiplicazione moltiplicazione in Z6 ⊗
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 Tabella 2: moltiplicazione in Z6 4. Rispondi Rispondi alle seguenti seguenti domande, osservando osservando attentamen attentamente te la tabella 3 (a) Se a, b ∈ Z6 `e possib po ssibile ile che a × b sia un multiplo di 6?
(b) L’operazione L’operazione ⊗ `e chiusa chius a nell’i n ell’insieme nsieme degli interi non nulli di (c) Se a,b,c ∈ Z6 e se a = b `e possib po ssibile ile che c ⊗ a = c ⊗ b? un esempio:
2
In pratica, ti sto chiedendo se ogni elemento c ∈
Z7
ha un suo inverso c−1
. Spiega:
Z6 ?
.
. Spiega o mostra
Crittografia e aritmetica modulare - 1
classe 4E
(d) Se c ∈ Z6 , `e sempre possibile trovare trovare un altro elemento z ∈ 3 . Spiega il perch´e: e: z ⊗ c = 1?
Z6
tale che c ⊗ z =
5. Identifica quali differenze tra i numeri 6 e 7 spiegano spiegano le diverse propriet` propriet` a dell’operazione ⊗ negli inziemi inziemi Z6 e Z7
Crittografare in
Z31
L’aritmetica modulare pu` o essere essere usata usata per la codifica codifica e decodifi decodifica ca dei messaggi. messaggi. Nelle Nelle pagine seguenti imparerai a codificare un messaggio utilizzando l’aritmetica modulare in e un numero primo, ogni elemento elemento non nullo nullo in Z31 ha un suo inverso, Z31 . Dato che 31 ` esattamente come accade in Z7 ; per esempi ese mpio, o, l’inverso l’i nverso di 2 `e 16, 1 6, poich´ po ich´e 2 × 16 = 32 = 31+1 e quindi 2 ⊗ 16 = 1 6. Usando Usando la tabella moltiplicativ moltiplicativa a in Z31, completa la tabella degli inversi in x
Z31 :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
x−1 x x−1
Tabella 3: inversi in
Z31
Una semplice tecnica crittografica si basa sulla sostituzione di lettere con numeri; poich´ e le lettere dell’alfabeto sono 26, ci servono almeno 26 numeri, pi` u altri per rappresentare i segni di punteggiatura; per questo ci mettiamo nell’insieme Z31 (come vedrai, `e anche necessario che il modulo sia un numero primo). La tabella seguente propone un possibile schema di sostituzione: 3
In pratica, ti sto chiedendo se ogni elemento c ∈
Z6
ha un suo inverso c−1
Crittografia e aritmetica modulare - 1 A 1 P 16
B 2 Q 17
C 3 R 18
D 4 S 19
E 5 T 20
F 6 U 21
classe 4E G 7 V 22
H 8 W 23
I 9 X 24
J 10 Y 25
K 11 Z 26
L 12 27
M 13 . 28
N 14 , 29
O 15 ’ 30
Tabella 4: Tabella di sostituzione Il simbolo simbolo (al numer numero o 27) rappres rappresen enta ta lo spazio spazio che si usa usa per separar separaree le parole. parole. Ora SEGRETO TO, aiutandoci con la tabella seguente. codifichiamo il nostro primo messaggio: HO UN SEGRE Per farlo segui le istruzioni:
i) Completa Completa la prima riga inserendo inserendo le lettere lettere del messaggio messaggio (spazi compresi!) compresi!) ii) Completa Completa la seconda seconda riga immettendo i numeri di posizione delle lettere lettere e di eventuali eventuali spazi o segni di punteggiatura iii) Inserisci Inserisci nella terza riga i valori corrisponden corrispondenti ti a ciascuna ciascuna lettera o segno di punteggiatura, riferendoti alla tabella 4 iv) Nella quarta quarta riga calcola calcola il prodotto prodotto ⊗, in i n Z31 tra i corrispondenti numeri della seconda e terza riga (per esempio nella terza colonna calcolerai 3 ⊗ 27 = 19) v) Usando Usando nuov nuovamente amente la tabella 4, scrivi scrivi nella quinta quinta riga la lettera corrispondente corrispondente al numero della quarta riga 7. Scrivi Scrivi il messaggio codificato: codificato: 8. Codifica il messagg messaggio io LA
9. Codifica Codifica il tuo nome nome
MATEM MATEMAT ATICA ICA E’ UTILE UTILE
usando la tabella di codifica
