ARITMETICA
ARITMÉTICA
TEORÍA DE CONJUNTOS NOCIÓN: Es la reunión, unión, colección o agrupación de diversa clase de objetos que tienen en común una propiedad cualquiera. Estos objetos pueden ser números, días, meses, niños, personas, países, astros etc. A estos objetos, en general se les conoce como “elementos de conjuntos”. Ejemplos: 1) El conjunto formado por los niños y niñas del colegio “Claret”. 2) El conjunto de los meses del año. 3) El conjunto formado por los departamentos de nuestro Perú.
VEAMOS TODO SOBRE LOS CONJUNTOS
. . .i a . e o . u
A ( , ) aA 1 A
REUNIÓN FAMILIA
COLECCIÓN CONJUNTO
“idea”
. B . b .c A . d.. A B a.i.eo u
( , )
AGRUPACIÓN
Además: Cada uno de los componentes de un conjunto recibe el nombre de elemento.
REPRESENTACIÓN DE UN CONJUNTO: Para representar un conjunto dibujamos una línea cerrada y en su interior los elementos. Así: F a. i.
e.
Así:
o.
F = {a; e; i; o; u}
u. QUINTO GRADO
1
1
ARITMETICA
Recuerda: Para determinar los elementos de un conjunto se escriben entre dos llaves y separados por comas. Así: A = {a, e, i, o, u} Ahora:
Se llama cardinal de un conjunto al número de elementos que posee. El conjunto de las vocales V = {a, e, i, o, u} tiene cinco elementos y nada más que cinco elementos. Luego el cardinal de V es cinco.
Desafiando nuestras habilidades
1. Representa en forma simbólica los conjuntos que a continuación se te presentan. a) El conjunto M formado por los números pares mayores que 11 y menores que 19.
El conjunto L de los números pares mayores o iguales que 298 y menores que 350 solo pares.
____________________________________ ____________________________________ b) El conjunto X formado por los números múltiplos de 2 mayores que 31 y menores 41.
f) El conjunto E de los meses del año que tengan 28 o 29 días.
____________________________________
____________________________________
c) El conjunto W formado por las letras de las palabras Claret.
g) El conjunto P de los útiles escolares que utilizamos en el colegio.
____________________________________
____________________________________
d) El conjunto Q formado por las vocales de la palabra “murciélago”.
h) El Conjunto K de los miembros de mi familia.
____________________________________
____________________________________
e) El conjunto U formado con las consonantes de la palabra “murciélago”.
i) El conjunto H de las figuras geométricas que tengan 4 lados.
____________________________________ ____________________________________ 2 2
QUINTO GRADO
ARITMETICA
2. Observa los diagramas y denota los conjuntos y sus elementos simbólicamente. 15
U
3
A = {………………}
A 4
B
5
1 2
6
B = {………………}
C
7
C = {………………} U= {………………} 11
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS 1. Determina por comprensión o extensión según corresponda. Determinación por Extensión
Determinación por comprensión
A ={……………………………………}
A {x N /14 x 20 x es par }
B = { 10 ; 12 ; 14 ; 16 ; 18 ; 20 ;}
B = {……………………………………}
C = {……………………………………}
C {x N / x 32 x es multiplode5 }
D = {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13}
D = {……………………………………}
T = {10; 20; 30; 40; 50}
T = {……………………………………}
3. Determina por extensión. a) C {x +1/ 5 x 18 ; x N }
d) R {x 2 + x / 3 x 5 ; x N }
__________________________________ b) L {x 10 / 10 x 20 ; x N }
__________________________________
e) E {x 2 + 2 x 1 / 5 x 7 ; x N }
__________________________________
c) A {x 2 1 / 1 x 7 ; x N }
__________________________________ QUINTO GRADO
__________________________________
f)
I {x 3 + x /
x 5 ; x N }
__________________________________ 3
3
ARITMETICA
Desafiando nuestras habilidades I. Determina los siguientes conjuntos por extensión. a)
C {3x +1 / 5 x 12 ; x N }
d)
________________________________
b)
W {x3 2 x 1 / 1 x 49 ; x es par }
__________________________________
Y {4x 1 / 7 x 21 ; x N }
e) W {x
2
2 x / 9 x 15 ; x es impar }
________________________________ __________________________________ c)
T {x 2 + 3x +11 / 5 x 11 ; x es par } _________________________________
f)
W {x 3 + 5 / 3 x 10 } __________________________________
RELACIÓN DE PERTENENCIA E INCLUSIÓN RECUERDA: Solo los elementos de un conjunto pueden o no pertenecer a otro conjunto. La pertenencia sólo se da de un elemento a un conjunto.
pertenece
no pertenece
Un conjunto es subconjunto de otro, si todos sus elementos también pertenecen a él. La inclusión sólo se da entre conjuntos.
incluido
no incluido
AHORA TE TOCA A TÍ 1. Observa los conjuntos representados en el diagrama y completa usando los símbolos
U
C 3 1 2
4
4
, , y
B
4
A
6 8
5 7
1…….A
4…….A
9…….U
B.......... A
6…….C
5…….A
5…….U
B.......... C
2…….B
8…….C
7…….B
A.......... C
3…….B
6…….U
2…….C
A.......... B
7…….C
4…….U
3…….U
C.......... A
B…….A
A…….B
B…….C
C…….B
C…….U
A…….C
C…….A
U…….A
B…….U
QUINTO GRADO
ARITMETICA
RECONOCIENDO ALGUNAS CLASES DE CONJUNTOS
CLASES DE CONJUNTOS
C. Vacío
C. Unitario
Carece de elementos, se denota: = { }
Tiene un solo elemento
C. Universal
C. Infinito
Se considera todos los subconjuntos de un conjunto Se representa con U.
El proceso de contar sus elementos no concluye. Ejm: A {x N / x 4 }
C. Finito
C. Potencia
Tiene un número limitado de elementos Ejm:
Son todos los subconjuntos del conjunto A, incluyendo al conjunto vacío. Se denota P(A)
A {x N / 4 x 12 x es impar }
AHORA TE TOCA A TÍ Escribe tus propios ejemplos de cada clase de conjunto.
________________
________________
________________
________________
________________
________________
________________
________________
________________
________________
________________
________________
________________
________________
________________
________________
________________
________________
________________
________________
________________
________________
________________
________________
QUINTO GRADO
5
5
ARITMETICA
CONOCIENDO EL PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS
de
A x B donde A y B son conjuntos
cuyos
Elementos son
Pares ordenados la
la
Segunda Componente
Primera Componente pertenecen
pertenecen
Al conjunto A
Al conjunto B
Observa los conjuntos A y B.
A
B .1 m.
.2
n.
.3
☻ El conjunto A tiene dos elementos y el conjunto B tiene 3 elementos. ☻ Las flechas muestran las combinaciones que se pueden hacer para formar pares de elementos del conjunto A y otro del conjunto B. ☻ Hay tantos pares como flechas.
A x B = {(m; 1); (m; 2); (m; 3); (n; 1); (n; 2); (n; 3)}
6 6
QUINTO GRADO
ARITMETICA
Desafiando nuestras habilidades
D
1. Dados los conjuntos.
A {x / 4 x 6 ; x es un número natural } B {3x 1 / 3 x 10; x es un número natural } Señala cuál o cuáles son unitarios ___________________________________________________________________________ 2. Dados los conjuntos C = {5; 6; 7; 1} y
3. Dados los conjuntos M = {m; n; p} y
A = {a; b; c}. Halla C x A
R = {1; 2; 3; 5}. Halla M x R
4. Observa los siguientes productos, y luego escribe V si es verdadero y F si es falso. a)
4 ( ; 6) ( 5 3; 4 + 2 ) 2
(
)
4 b) ( 2 ; ) (6 4; 0,8 ) 5
c)
12 (3;2 + 5) ;10 3 3
(
)
d) ( 4 x 5 ; 15 )
40 ; 3x 5 2
(
)
(
)
5. En un campeonato cuadrangular de fútbol se enfrentan Chile, Argentina; Perú y Bolivia en partidos de ida y vuelta. ¿Cuántos y cuáles son los partidos a realizarse? ____________________ ¿Cuántos partidos jugarán cada equipo? __________________________
OPERACIONES CON CONJUNTOS
B
A
B
B A
U
A
A B
A
A B
A B
A
B
A' A
B A AB
A B "A unión B"
A B
A B " A menos B"
B A
" lo que estan en A
OPERACIONES CON
pero no en B"
A
B
A´, es la diferencia el conjunto y el conjunto A
A Δ B (A - B) (B - A) A Δ B (A B) (A B)
CONJUNTOS AΔB
AB
A B " A intersección B" " Elementos comunes"
A Diferencia simetrica de B
B
A B
A
B
A B AB
B
A
A A QUINTO GRADO
B 7
7
ARITMETICA
OPERACIONES CON CONJUNTOS 1. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS: La intersección de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez.
INTERSECCI ÓN
A
B a
1 e
u
i o
2 4
A ∩ B = {i; o}
Recuerda: Se llama conjunto disjunto a los conjuntos que no tienen elementos en común. La intersección de dos conjuntos disjuntos es el vacío.
Desafiando nuestras habilidades 1. Dados los conjuntos : M = {2 ; 3 ; 4 ; 5 }, N = { 5 ; 6 ; 8 ; 9 , 10 }, O = { 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 9 }. Halla simbólicamente y gráficamente: a) M N
c) M O U
U
b) N O
d) (M N ) O U
8 8
U
QUINTO GRADO
ARITMETICA
2. UNIÓN DE CONJUNTOS: La unión de dos conjuntos es otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a esos dos conjuntos.
UNIÓN
A
B a
1 e
i
u
o
2 4
A U B = {a; e; i; o; u; 1; 2; 4}
Desafiando nuestras habilidades
1. Dados los conjuntos: A = {2; 3; 4; 5; 6}, B = { 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11} y C = {4; 5; 6; 7; 9 } Halla simbólicamente y gráficamente: a) A B
c) A C U
b) C B
d) (A B ) C U
QUINTO GRADO
U
U
9
9
ARITMETICA
3. DIFERENCIA DE CONJUNTOS La diferencia de dos conjuntos (A – B) es la operación que nos permite crear un nuevo conjunto formado por todos los elementos del primer conjunto A que no pertenezcan al conjunto B.
A
B a
1 e
u
i o
2 4
A - B = {a; e; i}
Desafiando nuestras habilidades
1. Dados los conjuntos : A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}, B = { 2 ; 5 ; 7 ; 8 } y C = { 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }. Halla simbólicamente y gráficamente: a) A - B
c) B - C U
d) (A B ) - C
b) C – B U
1010
U
U
QUINTO GRADO
ARITMETICA
RESOLVEMOS OPERACIONES CON CONJUNTOS 1. Dados los conjuntos:
2. Dados los conjuntos:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ; y B = {0, 2, 4}
“C conjunto de letras de la palabra María” y
Construye el diagrama respectivo dentro del recuadro.
“D conjunto de letras de la palabra rima”. Determina por extensión y construye el diagrama respectivo:
3. Dado el diagrama adjunto, determina por extensión cada conjunto y establece las relaciones de inclusión y no inclusión. A = ........................................................................... B = .......................................................................... C = ..........................................................................
4. Dado el diagrama adjunto, escribe los conjuntos
A = ........................................................................... B = ........................................................................... C = ...........................................................................
5. Dados los conjuntos: A = {5, 6, 7, 8, 9}; B = {6, 8}; C = {8, 9, 10}; D = {2, 4} Efectúa la operación de intersección y construye el diagrama respectivo: A B = ..................................................
QUINTO GRADO
A C = ........................................................
1111
ARITMETICA
C D = .....................................................
A B C D = …………………………….
6. Dado el diagrama adjunto, escribe dentro de cada paréntesis, V si la operación es correcta y F si es falsa: R S = {6, 7}
(
)
T S = {5, 4}
(
)
R T = {2, 3}
(
)
S T = { }
(
)
R S = {8, 9}
(
)
S R = {7}
(
)
7. Dado el diagrama adjunto, escribe los conjuntos: A = {..........................................................................................} B = {..........................................................................................} C = {..........................................................................................} 8. Dado los conjuntos: A = { x N / 2 < x < 8} B= {xN/0
x < 6 y x es par}; C = { x N / x + 2 = 7} y D = { x N / 7 < x < 10}
Desafiando nuestras habilidades 1. Efectúa la operación y construye los diagramas respectivos. a) A C
1212
b) A B
QUINTO GRADO
ARITMETICA
c) C D
d) A B C D
2. Dado el diagrama adjunto, escribe dentro de cada paréntesis V si la operación es correcta y F si es falsa:
P Q = {0, 2, 3, 4, 6}
(
)
Q R = {3, 4, 6, 1, 5}
(
)
P R = {0, 2, 1, 5}
(
)
P Q R = {0, 2, 3, 4, 6, 1, 5}
(
)
3. Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {1, 3, 5}; C = {5, 6, 7}; D = {8} Construye los diagramas de las operaciones siguientes: a) A - B = {2, 4}
b) B - C = {1, 3}
c) C - D = {5, 6, 7} A RESOLVER SE HA DICHO
QUINTO GRADO
1313
ARITMETICA
4. Dados los conjuntos: A = {x Є N / x < 6}; B = {x Є N / 3 < x
; C = {x Є N / 4 < x
y D = {10, 12}
Efectúa y construye los diagramas respectivos: a) A - B = ......................................................
c) B – A =................................................
b) B - D = ........................................................
d) D – B = …………………………………..
5. Dados los conjuntos: A = {3, 4, 5, 6}; B = {6, 7, 8}; C = {6} Construye los diagramas de las operaciones siguientes: a) A
B = (A - B) (B - A)
A
B = {3, 4, 5} {7, 8}
b) A - B = {………………………….}
1414
c) B
C = {………………………….}
d) B - C = {………………………….}
QUINTO GRADO
ARITMETICA
EJERCICIOS Resuelve los problemas que a continuación se te presentan:
1. De 40 alumnos del 5to. Grado: 25 aprueban Lenguaje y 12 aprueban Matemática y Lenguaje. ¿Cuántos alumnos aprueban sólo Matemática?
3. De un grupo de 350 personas: 185 consumen la bebida A, 130 la bebida B y 62 las dos bebidas. ¿Cuántos no consumen ninguna de las dos bebidas?
Rpta: ......................
Rpta: ......................
2. De un grupo de 60 personas: 35 personas gustan de teatro y 30 del cine. Si 17 gustan de los dos espectáculos. ¿Cuántas personas no gustan de ninguno?
4. De 45 alumnos, 30 practican fútbol y 20 practican básquet. ¿Cuántos practican los dos deportes? Rpta: .............,....
Rpta: ......................
Desafiando nuestras habilidades 1. Dado los conjuntos: A = {2, 4, 6}; B = {dígitos pares de 72 948}; C = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12}; y D = {0, 10} Escribe los símbolos: , ó = entre:
A ............ B
D ............ B
B ............ D
D ............ A
A ............ C
D ............ C
2. Dados los conjuntos: E = {vocales de la palabra José}; F = {vocales de palabra Pedro}; H = {a, m} y Z = {j, o, s, e, l, i, t}. Escribe V si la notación es correcta y F si es falsa: a) E = F
(
)
d) F G
(
)
g) E G
(
)
b) E = F
(
)
e) m H (
)
h) e Є H
(
)
c) E G
(
)
f) G H (
)
i)
mЄH (
)
QUINTO GRADO
1515
ARITMETICA
3. Dados los conjuntos: A = {x N / 2 x < 7}; B = {x N / x + 2 < 6}; y C = {1, 2} Efectúa y construye el diagrama respectivo de: a) A B
b) B C
c) A C
d) A B C
4. Dados los conjuntos: P = {4, 6, 8}; Q = {8, 12, 15}; y R = {6, 8} Efectúa y construye los diagramas respectivos de: a) A B
b) B C
c) A C
d) A B C
1616
QUINTO GRADO
ARITMETICA
5. Dado el diagrama adjunto, escribe en cada paréntesis V, si la operación es correcta y F si es falsa: DE={
}
(
)
E F = {4, 5}
(
)
D F = {1, 2, 3, 4}
(
)
D E F = {1, 2, 3, 5}
(
)
6. Dados los conjuntos: A = {5, 6, 7}; B = {7, 8}; C = {5, 6}; y D = {4} Efectúa y construye los diagramas respectivos en tu cuaderno: *
B-A
*
D-A
*
C-B
*
C-D
*
B-C
*
A-C
7. Dado el diagrama adjunto, escribe dentro de cada paréntesis V si la operación es correcta y F si es falsa:
P - Q = {1, 3, 8}
(
Q - R = {4, 5, 6, 9}
) (
R - P = {7, 9}
(
)
Q - P = {4, 5, 9}
(
)
)
ACERTIJO ¿Cuáles 3 debes mover para lograr?
Para lograr la siguiente figura e indicar cuales son:
QUINTO GRADO
1717
ARITMETICA
Sistemas de numeración Se denomina así, al conjunto de símbolos y reglas que permiten expresar o representar los números.
Ejemplo:
Sistema de numeración egipcio, babilónico, romano, etc.
Sistema de numeración decimal, binario, ternario, etc.
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL Se denomina así al que tiene por base 10 y que cuyas características son: 1. Conjunto de numerales: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 (formado por 10 numerales llamadas cifras arábicas) 2. Base: 10 3. Principio de posición: decimal
TABLERO DE VALOR POSICIONAL
UNIDADES D4E MILLÓN
CENTENAS DE MILLAR
DECENAS DE MILLAR
UNIDADES DE MILLAR
UMLL
CM
DM
UM
UNIDADES
DECENAS DE MILLÓN DMLL
U
CENTENAS DE MILLÓN CMLL
DECENAS
UNIDADES DE MILLAR DE MILLÓN UMIMLL
D
DECENAS DE MILLAR DE MILLÓN DMIMLL
CENTENAS
CENTENAS DE MILLAR DE MILLÓN CMIMLL
C
UNIDAD DE BILLÓN UBLL
UNIDADES
DECENA DE BILLÓN
MILES
DBLL
MILLONES
CENTENA DE BILLÓN
MILES DE MILLONES
CBLL
BILLONES
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA: Para descomponer polinomicamente una cantidad cualquiera, se comienza por la izquierda y se termina por la derecha; observando el mayor orden que ocupa la última cifra de la izquierda. Ejemplo: a)
6 728 = 6 UM + 7 C + 2 D + 8 U = 6 x 1 000 + 7 x 100 + 2 x 10 + 8 x 1 = 6 000 + 700 + 20 + 8 = 6 728
1818
QUINTO GRADO
ARITMETICA
Desafiando nuestras habilidades Descomponer polinomicamente los siguientes números: a) 724
j)
152 643
s)
7 541
b) 2 162
k)
4 709
t)
162 123
c) 6 293
l)
81 126
u) 2 426
d) 1 897
m) 10 803
v)
e) 17 562
n) 73 004
w) 937
f)
o) 12 126
x)
2 516 743
g) 918
p) 91 126
y)
563
h) 23 128
q) 8 362
z)
3 002 003
i)
r)
4 006
3 216
91 742
32 425
VALOR ABSOLUTO Y RELATIVO DE UN NÚMERO VALOR ABSOLUTO: El valor absoluto de un número, es el mismo número. Ejemplo: a) 27 642 V.A. de 7 es: 7 V.A. de 4 es: 4 V.A. de 6 es: 6 VALOR RELATIVO: El valor absoluto de un número, es el valor que tiene por el lugar de orden que ocupa en el tablero de valor posicional. Ejemplo: a) 72 365 V.R. de 3 es: 300 V.R. de 6 es: 60 V.R. de 2 es: 2 000 V.R. de 7 es: 70 000
a) 6 836
Aplico lo aprendido
V.A. de 3: __________________
c) 15 937
V.R. de 7: __________________
V.A. de 8: __________________
V.R. de 5: __________________
V.A. de 6: __________________
V.R. de 1: __________________ V.R. de 9:__________________
b) 15682
V.A. de 5: __________________
V.A. de 7: __________________
V.R. de 6: __________________
V.A. de 9: __________________
V.R. de 8: __________________
V.R. de 3: __________________
V.R. de 2: __________________
QUINTO GRADO
1919
ARITMETICA
d) 8537
V.A. de 5: __________________
e) 517 826
V.R. de 7: __________________
f)
VA 7: __________________
9 123 874 VR 9:
__________________
V.A. de 8: __________________
VR 8: __________________
V.R. de 8: __________________
VA 2: __________________
V.R. de 5: __________________
VR 5: __________________ VR 1: __________________
NÚMEROS NATURALES (IN) 1. Ubica los dígitos en el tablero de valor principal: 5 047 398 DMLL
UMLL
CM
DM
UM
C
D
U
DMLL
UM
D
DM
UMLL
U
CM
DMLL
UM
D
DM
UMLL
U
CM
19 432 168 C
19 432 168 C
2. Escribe y lee los números correspondientes: CM
DM
UMLL
DMLL
UM
U
D
U
9
5
3
2
8
7
6
2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
D
C
DM
U
DMLL
UM
UMLL
CM
0
4
8
6
5
7
2
9
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2020
QUINTO GRADO
ARITMETICA
3. Lee: 20 000 020 8 800 800 95 950 095 14 145 104 755 149 095
4. Escribe: Ochocientos ochenta mil ochocientos Cuarenta y cinco millones cuatrocientos cuarenta y cinco Veinte millones doscientos veinte mil veinte
5. Escribe la notación desarrollada de: a) 28 407 = ................................................................................................................................................. b) 643 008 = .......................................................................................... .................................................... c) 4 360 060 = ........................................................................................ .................................................. d) 18 046 046 = ...................................................................................... ..................................................
6. Escribe el número correspondiente a: a) 2 000 + 500 + 80 + 1 = ........................................................................ b) 70 000 + 3 000 + 200 + 20 + 4 = ......................................................... c) 800 000 + 40 000 + 3 000 + 600 + 20 + 5 = ......................................... d) 90 000 000 + 7 000 000 + 400 000 + 0 + 2 000 + 0 + 40 + 2 = ...............
7. Completa: a) 37 680 < 38 754, porque ..................................................................... b) 752 187 > 560 190, porque ................................................................. c) 864 900 < 867 165, porque ….............................................................. d) 2 728 415 > 1 937 960, porque ............................................................ e) 5 348 695
...............
4 978 762, porque .....................................
f)
92 685 000
...............
92 796 124, porque ....................................
g) 87 936 149
...............
87 928 364, porque …................................
QUINTO GRADO
2121
ARITMETICA
8. Ordena en forma creciente: a) 5 327; 184 025; 97 368; 605 090; 20 000 147 ; 32 000 543
9. Ordena en forma decreciente: a) 543 081; 497 039; 975 018; 1 247 329; 36 012 954; 36 005 987
10. Escribe los tres términos siguientes de las sucesiones: a) 9, 16, 23, 30, 37,....................................................................................... b) 80, 71, 62, 53, 44, …................................................................................ c) 3, 9, 27, 81, 243, ...................................................................................... d) 10, 15, 12, 17, 14, ................................................................................... e) 2, 10, 5, 25, 20, ....................................................................................... f)
6, 12, 8, 16, ........................................................................................
11. Dado el 1er. término y la ley de formación, escribe 5 términos de cada sucesión. 1er. Término
Ley de Formación
7
sumar 9
4
multiplicar por 3
60
restar 11
3
sumar 8 y restar 4
8
restar 3 y multiplicar por 2
5
multiplicar por 3 y restar 4
Sucesión
12. Escribe el número anterior y posterior inmediatos a: a)
……........ 937 508 …….......
b) ................1 004 360 ........... c) …….......... 25 302 030 ............. d) ................50 708 100............
Resolvamos los ejercicios
Aplico lo aprendido 1. Escribe: a) Setecientos ochenta y cuatro mil noventa:........................................................ b) Doce millones cinco mil tres: …......................................................................... 2222
QUINTO GRADO
ARITMETICA
c)
Veintitrés millones seis mil noventa: ….............................................................
d) Treinta y siete millones siete: …....................................................................... e) Sesenta y cinco millones setenta y cinco: .......................................................
2. Lee: a) 870 070
: ..............................................................................................................................
b) 976 209
: .............................................................................................................................
c)
1 004 004
: ........................................................................................ ......................................
d) 2 310 010
: .............................................................................................................................
e) 5 043 264
:................................................................................................................................
f)
: ..............................................................................................................................
8 300 300
g) 11 011 011
: ...............................................................................................................................
h) 15 204 098
:. ……......................................................................................................................
i)
32 064 000
: ..............................................................................................................................
j)
68 206 206
:......................................................................................... .......................................
3. Escribe una notación desarrollada de: a) 5 328 : …………….………………………………………………………………. b) 24 080 : ………….………………………………………………………………. c) 305 409 : ….….…………………………………………………………………. d) 7 021 368 : ……………………………………………………………………… e) 6 345 080 : ……………………………………………………………………… f)
9 406 197 : ………………………………………………………………………
g) 12 047 184 : ……………..……………………………………………………… h) 32 605 270 : ………………………………………………………………..…… i)
49 087 108 : …….………………………………………………………………
4. Escribe el número correspondiente a: a) 50 000 + 3 000 + 200 + 70 + 5 = ............................................................................................................. b) 9 000 000 + 800 000 + 70 000 + 1 000 + 300 + 20 + 3 = ........................................................................ c) 20 000 000 + 9 000 000 + 0 + 40 000 + 7 000 + 0 + 10 + 6 = .................................................................
5. Escribe el signo >, < ó = entre: a) 3 297
____
1 876
e) 9 368 545
____
9 368 545
b) 53 268
____
54 098
f)
17 204 193
____
15 647 368
c) 725 098
____
6 324 180
g) 53 428 624
____
53 604 125
d) 4 049 175
____
4 100 000 ¡ESFUÉRZATE!
6. Ordena de mayor a menor: A) 3 024; 62 190; 37 120; 438; 124; 270 920; 1 003 020 .................................................................................................................. QUINTO GRADO
2323
ARITMETICA
B) 276 045; 12 003 960; 9 997 985; 7 308 005; 40 000 040 ..................................................................................................................
PIENSA Y COMPLETA Colocar el símbolo < ó > correspondiente: <ó> a
11
111
b
145
45
c
2 328
3 282
d
461
46
e
10 001
100 011
OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES
1. ADICIÓN CON IN Es la primera operación aritmética que hace corresponder a cada par ordenando de números naturales llamados SUMANDOS, otro número natural llamado SUMA.
TÉRMINOS DE LA ADICIÓN Toda adición tiene los siguientes términos:
sum a n d o s
7 + 9 = 16 sum a
signo
Del esquema se deduce que adición y suma no es lo mismo; adición es toda la operación y suma es el resultado.
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN a) Propiedad de Clausura.- “La suma de dos números naturales cualesquiera, es siempre otro número natural”.
a+b c
;
c N
Ejemplo: 1) 7 + 3 = 10
10 є N
2) 13 + 8 = 21
21 є N
2424
QUINTO GRADO
ARITMETICA
b) Propiedad Conmutativa. “El orden de los sumandos no altera la suma total”. a + b = b + a Ejemplo: 1) 8 + 12 = 12 + 8 20
=
20
c) Propiedad del Elemento Neutro. “Toda cantidad sumada con el elemento neutro (cero), es igual a la misma cantidad”.
a + 0 = a Ejemplo: a) 5 + 0 = 5
b) 0 + 13 = 13
d) Propiedad de Monotonía “Si a ambos miembros de una igualdad o desigualdad se le suma un mismo número, se obtiene una igualdad o desigualdad según sea el caso”.
a = b
=>
a + n = b + n
a <> b
=>
a + n <> b + n
Ejemplo: 1) 8 = 5 + 3
=> 8 + 7 = 5 + 3+ 7 15 =
2) 7 < 12
15
=> 7 + 6 < 12 + 6 13
<
18
e) Propiedad de Cancelación: a + n = b + n
=>
a = b
a + n <> b + n
=>
a <> b
Ejemplo: 1) 8 + 6 = 3 + 6+ 8 8=8 2) 5 + 12 < 7 + 12 5<7
TÉCNICA OPERATIVA DE LA ADICIÓN . Para efectuar la adición de números naturales, se coloca las cantidades en forma vertical cuidado que las unidades se encuentran debajo de las unidades, las decenas debajo de las decenas, las centenas debajo de las centenas y así sucesivamente.
QUINTO GRADO
2525
ARITMETICA
Luego se comienza a sumar por las unidades. Ejemplo: 1. Sumar: 8279 + 937 + 42 + 128 = 9386 8279 + 937 42 128 9386
DESAFÍO MI HABILIDAD 1. Halla las sumas y las diferencias 4 3 2 6
6 5 0 0
7 9 9 9
6 3 6 9
3 8 8 0
2 0 0 0
+1 2 7 5
+3 2 7 5
+ 1 5 8 6
- 5 9 3 8
- 1 5 3 3
- 1 9 5 3
2. Completa: 2 4 3 5 3 +
2 1 0
.... 1 2 4 5 ..... .... 9
+
5 7 2 6
3 2 1 8 6
9 7 8 +
3 1 9 7
7 +
.... 9 .... 1
5
4 5 1 4 8
9 4
1 3 7 6 8
1 0 7 9 +
1 8 8
....3.... 4 ....
4 .... .... 1 ....
5 3 6 5
3 7 2 8
1 7 0 4 5
9 6 4
...... 2 4
.... 6 3 4
5 .... 3 8
4 2 8 7 5
1 8 .... 3 .... 4 3 ....
+
4 5 1 .... 9 .... .... 0
+
3
4 6 ....
2 .... 2 .... 5
+
7 6 .... .... 2 ....1 .... 8 7 ....
3. Resuelve los problemas: a) Una madre y su hijo pesan juntos 90 kg y la madre sola pesa 65 kg. ¿Cuánto pesa el hijo?
2626
b) Debía 10 000 soles y aboné 5 308 soles. ¿Cuánto debo todavía?
QUINTO GRADO
ARITMETICA
c) Compré un par de zapatos a 52 soles y unas botas a 96 soles. ¿Cuánto pagué?
d) La suma de dos números es 45 628 y uno de ellos es 7 329. ¿Cuál es el otro número?
g) Un comerciante compra S/. 5 760 de arroz, S/.3 500 de azúcar y S/.2 450 de leche. ¿Cuánto pagó en total?
h) Roberto quiere comprar un automóvil que cuesta S/.31 800 y solamente tiene S/.18 720. ¿Cuánto le falta?
i)
En una granja hay 4 500 aves entre pollos, gallinas y pavos. Si hay 2 750 pollos y 1 230 gallinas. ¿Cuántos pavos hay?
j)
Violeta tiene S/.12 500 y Carmen tiene S/. 3 480 menos que Violeta. ¿Cuánto tienen entre las dos?
e) Raúl vende un terreno en S/. 31 800 perdiendo S/.5 400. ¿Cuánto le costó dicho terreno?
f)
Pablo compra dos terrenos uno por S/.27 500 y el otro por S/.32 400. Si vende los dos terrenos por S/.72 000. ¿Cuánto ganó?
QUINTO GRADO
2727
ARITMETICA
Desafiando nuestras habilidades
1. Coloca los siguientes números en forma vertical y luego efectúa las siguientes adiciones en tu cuaderno: a)
5 126 + 894 +17 + 91 518 =
b)
93 842 + 1 542+ 9 876 + 729 + 93 =
c)
162 343 + 89 125 + 72 614 + 952 + 85 =
d)
93 125 + 8 124 + 765 + 94 + 13 + 6 082 =
e)
516 934 + 123 006 + 832 + 15 + 3 013 =
f)
9 123 643 + 342 128 + 92 006 + 5 303 + 89 =
g)
15 326 + 22 789 + 1 598 + 734 + 92 + 126 =
h)
92 769 + 15 836 + 28 126 + 917 + 4 519 + 3 128 009 =
i)
15 636 + 93 008 + 17 428 + 9 006 + 1 534 125 + 9 326 =
j)
935 + 8 312 + 7 015 + 15 632 + 92 128 + 532 129 =
k)
122 + 6 783 + 9 517 007 + 825 + 93 + 89 188 =
l)
623 + 7 124 + 95 106 + 81 234 + 125 =
m) 5 312 + 23 716 + 280 006 + 15 234 + 937 + 125 = n)
65 + 9 548 + 13 789 + 9 428 + 15 123 + 956 =
o)
517 + 8 094 + 731 242 + 6 432 + 70 243 =
p)
716 + 73 784 + 3 120 + 42 123 + 932 + 516 =
q)
5 124 632 + 93 863 + 50 516 + 935 + 816 =
r)
14 + 932 126 + 928 + 15 642 + 7 343 =
s)
4 123 625 + 5 634 + 8 124 006 + 4 123 =
t)
6 934 315 + 128 129 + 839 + 6 745 + 19 + 8 + 3806 =
2. SUSTRACCIÓN EN N Es la operación inversa de la adición que consiste en hacer corresponder a cada par de números naturales, un tercer número natural llamado DIFERENCIA sustraendo minuendo
5–3=2
diferencia
PROPIEDADES DE LA SUSTRACCIÓN 1. Propiedad de la Monotonía a = b
=> a – b = b – n
a <> b
=> a – n <> b – n
4=4 2) 15>5
=> 12 – 3 > 5 – 3 9>2
Ejemplos: 1) 7 = 7 2828
=> 7 – 3 = 7 – 3 QUINTO GRADO
ARITMETICA
a – n = b – n
=> a = b
a – n <> b – n
=> a = b
12– 7 = 5 5=5
3. Propiedad de la alterabilidad en la diferencia
4. Propiedad de la inalterabilidad de la Diferencia Ejemplos: 1) 12 – 5 = 5
Ejemplos: 1) 18 – 9 = 9
=> (15 – 3) = 8 – 3
2) 15 - 7 = 8
2. Propiedad de la cancelación
=> (12–4) – (7–4) 8–3
=> (18+2)–9=9+2
2) 9 – 5 = 4 => (9 – 3) – (5 – 3)
20–9 = 11
6–3
11=11
4
TÉCNICA OPERATIVA DE LA SUSTRACCIÓN Se ubica los números en forma vertical. Teniendo en cuenta que el minuendo es mayor que el sustraendo. 1)
7216 – 2416 7216 – 2416 4800 7216
Desafiando nuestras habilidades
1. Completa Los espacios en blanco: 7 5 1 7 9
3 6 8 0 3 1
5 0 7 2 3 8
3 1 0 6 8
- 1 9 3 7 1 8
- 2 7 3 5 6 2
.... .... 1 .... 1
.... .... 4 .... 1 ....
.... .... 3 .... 7 ....
2 3 1 0 0
8 0 7 1 4 3
-
-
7 9 8 4
- 5 9 4 3 9 ....
.... 5 .... 1 .....
.... 1 .... .... 4 5
9 1 5 1 4 8 -
1 6 .... 8 2 4 9 .... 7 .... ....
ACERTIJO: ¿Cuál es el número mínimo de cerillas que hay que mover para que la aceituna quede fuera de la copa sin mover la aceituna? (No importa la orientación final de la copa).
QUINTO GRADO
2929
ARITMETICA
2. Efectúa las siguientes sustracciones en tu cuaderno (colocando en forma vertical): a) 5 312 – 3 126 =
k) 74 625 – 39 726 =
b) 8 506 – 7 289 =
l)
c) 156 232– 8 671 =
m) 64 625 – 39 726 =
d) 28 127 – 13 985=
n) 516 328 – 324 009 =
e) 9 812 – 6 913=
o) 93 129 – 74 008 =
f)
23 642 – 19 765
19 124 – 8 932 =
p) 73 649 – 69 575 =
g) 531 265 – 342 962
q) 48 004 – 35 949 =
h) 93 648 – 68 129
r)
235 642 – 197 632 =
i)
182 604 – 134 624
s) 69 596 – 53 764 =
j)
35 642 – 6 571 =
t)
2 517 008 – 938 942 =
3. Plantea y resuelve los problemas que a continuación te presento: a) La suma de dos números es 8 523 y uno de ellos es 6 380. ¿Cuál es el otro?
b) La diferencia de dos números es 17 607 y el menor es 8 979. ¿Cuál es el número mayor?
c) Jessica compró un polo en S/.32 y una blusa en S/.13 más que el polo. Si pagó con un billete de S/.100. ¿Cuánto recibió de vuelto?
d) José compró un pantalón por S/.85; una camisa por S/.20 menos que el pantalón y un par de zapatos por S/.125. ¿Cuánto gastó en total?
MULTIPLICACIÓN EN IN Es la operación por la que a cada par de números naturales le hace corresponder otro número natural llamado PRODUCTO
1) Términos de una Multiplicación:
9 x 8 = 72 Fa ctore s
3030
Pr oducto
Multiplica nd o 9 x Multiplica dor 8 Prod ucto 72
QUINTO GRADO
ARITMETICA
2) Propiedades de la Multiplicación a) Propiedad de Clausura: “El producto de dos números naturales cualesquiera, es otro número natural”.
a ×b cN
e) Propiedad del elemento Neutro. “Todo número multiplicado por el elemento absorbente (cero) es igual al mismo elemento absorbente 0”
a.0=0
Ejemplo.
Ejemplo:
1) 7 x 9 = 63
1) 7 x 0 = 0
2) 4 x 5 = 20
2) 0 x 16 = 0
b) Propiedad Conmutativa.- “El orden de los factores no altera el producto”.
a × b b×a Ejemplo: 1) 6 x 5 = 5 x 6 30 = 30 2) 12 x 8 = 8 x 12 96 = 96
f)
Propiedad de la Monotonía. “Si a ambos miembros de una igualdad o desigualdad se multiplica un mismo factor, entonces se obtiene otra igualdad o desigualdad”
a=b
=> a . n = b . n
a<>b
=> a . n <>b . n
Ejemplo: 1) 6=4+2
=> 6 x 3 = (4+2) 3 18 = 18
c) Propiedad Asociativa.- “Asociando los factores de modos distintos se obtiene el mismo producto”.
(a . b) . c = c . (b . a) Ejemplo: 1) (5 x 4) x 2 = 5 x (4 x 2) 20 x 2 = 5 x 8 40 = 40
g) Propiedad de Cancelación: “Si en ambos miembros de una igualdad o desigualdad aparece un mismo factor, entonces se puede suprimir, obteniendo una igualdad o desigualdad según sea el caso”
a . n = b . n => a = b a . n <>b . n => a = b
2) (3 x 6) x 4 = 6 x (4 x 3) 18 x 4 = 6 x 12 72 = 72 d) Propiedad del Elemento Neutro.- “El producto de un número natural con el elemento neutro (1) es igual al mismo número natural”
h) Propiedad Distributiva:
n(a+b) = an + bn n(a–b) = an – bn Ejemplo: 1) 9(8+6)
= 72 + 54
a.1=a Ejemplos: 1) 18 x 1 = 18 2) 1 x 36 = 36
QUINTO GRADO
= (9)(8) + (9)(6)
= 126 2) 3(5 – 2)
= (3)(5) – (3)(2) = 15 – 6 =9
3131
ARITMETICA
TÉCNICA OPERATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN C. Otros casos
A. Multiplicación abreviada por la unidad seguida de ceros
a)
3726x
Ejemplo:
932
1) 10 x 54 = 540
7452
2) 832 x 100 = 83200
11178 33534
B. Multiplicación abreviada con ceros al final de los factores
3472632
Ejemplo: 1) 70 x 800 = 56000 2) 600 x 300 = 180000
Desafiando nuestras habilidades 1. Completa: 5 7 6 x
1 3 6 8
9
x
2 7 6 5
4 2
5 .... 8 .....
____ x
.... 7 .... 6 .... 4 ....
2 7
1 9 .... 5 ....
2___
5 .... 3 ....____
..... .... ..... ..... 6
7 .... .... .... ....
2. Multiplica: 28 x
56
475 x
58
x
609
348
88
x 206
6085 x
473
86054 x
607
3. Halla el producto en forma abreviada a) 56 x 10 = _______________
g) 88 x 1000 = _____________
b) 56 x 100 = ______________
h) 35 x 100 = ______________
c) 56 x 1000 = _____________
i) 70 x 10 = _______________
d) 12 x 300
j) 15 x 50
12 x 3 x 100 = 3 600
15 x 5 x 10 = 750
e) 124 x 40 = ______________
k) 329 x 60 = ______________
f) 724 x 30 = ______________
l) 352 x 20 = ______________
3232
QUINTO GRADO
ARITMETICA
4. Completa aplicando la propiedad que se sugiere: a) 12+ 10 = 10 + ______ b) 8 x 5 = 5 x _______ c) 5 + 0 = 0 + ____ = ____-
6 x 1 = 1 x ____ = ____
d) 3 + 5 + 6 = (3 + 5) + ______ e) 4 + 2 + 7 + 9 = (4 + 2) + _____ f)
3(5 + 2) ) = 3 x 5 + ______
g) 5(6 + 4) = 5 x 6 + ______
5. Aplica las propiedades que se piden en el cuadro: Propiedad
De la adición
De la Multiplicación
Clausura
8+7=
5x6=
Conmutativa
6+4=
10 x 2 =
13 + 0 =
15 x 1 =
Asociativa
Del elemento neutro Absorbente del cero
8x0=
Distributiva
6. Resuelve los problemas: A. María comió 8 panes y su hermano Pepe el triple. ¿Cuántos panes comió Pepe?
QUINTO GRADO
B. El sastre de mi papá cobró 405 soles por coser un saco. ¿Cuánto tengo que pagarle a otro sastre que cobra el doble?
3333
ARITMETICA
C. La mamá de Perico compró 10 kg de turrón y la mamá de Rosita compró el triple. ¿Cuánto compró la mamá de Rosita?
D. Una caja tiene 200 tizas. ¿Cuántas tizas hay en 59 cajas?
G. En cada vuelta que dan las ruedas de un tren éste avanza 4m. Si da 3200 vueltas. ¿Qué distancia recorre?
H. La llave de un depósito de agua vierte 85 litros por minuto y tarda en llenarlo una hora y media. ¿Cuál es la capacidad en litros del depósito?
E. En 100 años. ¿Cuántos días hay?
F. Un tren recorre diariamente 550km. ¿Cuántos km recorre en 1 año?
3434
I.
Ricardo compra 8 bolsas de cemento a S/.18.00 cada bolsa y 24 varillas de fierro a S/.15.00 cada varilla. ¿Cuánto gastó?
J.
Una persona normal respira (inhalación y expiración del aire) 25 290 veces al día aproximadamente. ¿Cuántas veces respira en un minuto?
QUINTO GRADO
ARITMETICA
7. Completa el cuadro Número
1
2
Cuadrado
1
4
Cubo
1
8
6 9
8
25
49
10 81
64
8. Efectúa las potencias siguientes: 2
a) 11 = 11 x 11 = 121 2
b) 10 = ............................................................................. 3
c) 4 = ............................................................................... 3
d) 10 = ............................................................................. 4
e) 3 = ............................................................................. f)
5
2 = ............................................................................. 2
g) 18 = ............................................................................. 3
h) 15 = .............................................................................
9. Efectúa las siguientes multiplicaciones: a) 123 x 60 =
k) 197 300 x 200 =
b) 9 383 x 94 =
l)
c) 234 128 x 639 =
m) 9 129 516 x 724 =
d) 516 006 x 724 =
n) 517 834 x 356 =
e) 8 314 629 x 623 =
o) 152 900 x 5432 =
f)
p) 936 589 x 7 696 =
1 506 x 700 =
3 945 618 x 345 =
g) 83 420 x 820 =
q) 63 129 x 810 =
h) 73 516 x 924 =
r)
i)
642 167 x 639 =
s) 912 100 x 123 =
j)
526 248 x 728 =
t)
517 834 x 765 = 3 162 728 x 236 =
Desafiando nuestras habilidades 1. Multiplica: a) 48 x 100 =
k) 41 x 500 =
b) 750 x 1000 =
l)
c) 650 x 200 =
m) 526 X 100 =
d) 400 x 500 =
n) 402 x 108 =
e) 48 x 36 =
o) 350 x 205 =
f)
p) 4320 x 55 =
75 x 80 =
426 x 60 =
g) 566 x 100 =
q) 4608 x 106 =
h) 729 x 100 =
r)
i)
427 x 100 =
s) 8005 x 109 =
j)
64 x 70 =
QUINTO GRADO
7002 x 405 =
3535
ARITMETICA
2. Efectúa: 3
a) 12 4
b) 8
2
c) 20
3
= ____________________
d) 30
= ____________________
= ____________________
5
= ____________________
6
= ____________________
e) 3
= ____________________
f)
7
3. Resuelve: a) Un comerciante compra 5 docenas de camisas a S/.45.00 cada una. ¿Cuánto pagó?
b) El corazón de una persona normal late aproximado 70 veces por minuto. ¿Cuántas veces late en un día?
ACERTIJO ..... el valor de m, n, p y q en las siguiente adiciones: - 3 + 8 + m + 5 = 24 - 14 + n + 7 + 11 = 49 - 26 + 3 + 9 + q = 50 - 65 + p + 17 + 46 = 145
DIVISIÓN EN N Es la operación que hace corresponder a un par ordenado de números naturales, un tercer número natural llamado COCIENTE.
1. Términos: Dividen do
24
6 4
Diviso r C ociente
2. Tenemos dos tipos de divisiones: a. División exacta.- Cuando el residuo es igual a cero: 12x 216 12 Ejemplo: 18 96 18 96 12 216 3636
QUINTO GRADO
ARITMETICA
b. División Inexacta.- Cuando el residuo es diferente de cero: Ejemplo:
700 120 4
58x 12 116 58 696 4 70 0
58 12
OBSERVACIONES 1° El cero como dividendo
2° El cero como Divisor
0 0 i) 5 => porque 0 x 5 = 0
i)
8 ¿? 0
No es posible, porque ningún número multiplicado por cero da 8
0 0 ii) 12 => porque 0 x 12 = 0
24 0 ii)
TÉCNICA OPERATIVA DE LA DIVISIÓN Ejemplo.
62 38 2 38 58
16 3 x 60 6180 58 6 2 38
60 1 03
Desafiando nuestras habilidades 1. Divide: a) 6 096 : 8
=
d) 319 884 : 57 =
b) 3 570 : 6
=
e) 608 165 : 208 =
c) 480 930 : 82
=
f) 726 076 : 527 =
2. Completa los cuadros: División 125 ÷ 10
Cociente
Residuo
12
5
1388 ÷ 1000 2567 ÷ 10 381 ÷ 10 493 ÷ 100
QUINTO GRADO
3737
ARITMETICA
3. Resuelve a) Los 38 alumnos del 5to. grado A de mi colegio sembraron tomates en el biohuerto escolar y han obtenido una cosecha de 542 kg. ¿Cuántos kg corresponden a cada alumno y cuántos sobran?
c) Las tres secciones del quinto grado se van de paseo y se han anotado 38 alumnos de la sección A; 27 alumnos de la sección B y 40 de la sección C, Si los profesores decidieron que vayan en 3 grupos ¿Cuántos alumnos irán en cada grupo?
b) Tengo 500 cm de cinta bicolor. ¿Cuántas escarapelas de 5 cm puedo hacer?
d) Un automóvil recorrió 760 Km en 8 horas. ¿Cuántos Km recorrió en 1 hora?
4. Halla los cocientes y los residuos 838
23
69
36
723
35
638
48
148 138 10 561 : 17
983 : 27
1650 : 85
“La educación es la preparación a la vida completa”
3838
QUINTO GRADO
ARITMETICA
5. Halla el dividendo o divisor según corresponda ......... ÷ 7 = 11; residuo 3 190 ÷ 23 = 8; residuo 6
......... 23 x 8 + 6 = 190 ......... ÷ 8 = 25; residuo 5
........ ÷ 9 = 45; residuo 5
.........
.........
......... ÷ 8 = 41; residuo 2
......... ÷ 5 = 67; residuo 4
......... .........
6. Lee, piensa, y resuelve los siguientes problemas: a) Luis compra un departamento por S/.110 000. Si da una cuota inicial de S/.50 000 y el resto debe pagar en 5 años. ¿Cuánto pagará mensualmente?
b) Ocho buses llenan sus tanques con 320 galones de petróleo. Si los tanques son de igual capacidad. ¿Cuánto se pagó por combustible para cada bus, si el galón cuesta S/.5?
Aplico lo aprendido 1. Efectúa las siguientes divisiones: a) 2968 : 73 =
i)
62126 : 83 =
b) 62126 : 124 =
j)
5126783 : 397 =
c) 827006 : 89 =
k) 82700 : 726 =
d) 516314 : 218 =
l)
e) 729124 : 316 =
m) 6124673 : 517 =
f)
) 82142 : 94 =
n) 4009003 : 88 =
g) 76006 : 219 =
o) 512692 : 516 =
h) 281785 : 324 =
p) 42673 : 612 =
QUINTO GRADO
516123 : 423 =
3939
ARITMETICA
q) 3128918 : 43 =
s) 934129 : 517 =
r)
t)
25006124 : 264 =
609008 : 482 =
: 2. Completa: División
Cociente
Residuo
13
48
1348 ÷ 100 9936 ÷ 10 7285 ÷ 1000 8500 ÷ 1000 1200 ÷ 100
3. Resuelve: a) Un agricultor cosechó 1200 kg de papa y los llena en sacos de 50 Kg cada uno. Si vende a S/.75 cada saco. ¿Cuánto obtuvo?
b) Una profesora sale de paseo con sus 40 niños a un parque de atracciones y dispone de S/.200. Si separa S/.82 para refrigerio. ¿Cuánto costó cada entrada?
PIENSA Efectúa: 1. Si tenemos: m = 3221; n = 697; p = 101
c + d + e = 212
Calcular:
Calcular c cuando:
m+n+p=?
4040
2. Si:
(d + e) = 21
QUINTO GRADO
ARITMETICA
POTENCIACIÓN EN IN La potenciación viene a ser la máxima expresión de una cantidad exponencial, que resulta de repartir la base como factor, tantas veces indique el exponente.
1. Términos Donde:
an = P
a
= base
n
= exponente
P
= potencia
2. Casos Especiales 1) 93 : 92 = 93 – 2 = 91
a. Exponente Uno: a1 = a
2) 174 : 172 = 174–2 = 72
Ejemplo:
e. Potencia de Potencia
1) 51 = 5
((a)n )m an.m
2) 9371 = 937 b. Exponente Cero: a0 = 1
Ejemplos:
((7) ) 7 2) ((6) ) 6
Ejemplo:
34
1) 70 = 1
3.4
1)
23
2) 8130 = 1
2.3
712
66
c. Productos de potencia de igual base: f. Potencia de un producto
am . an = am+n Ejemplos:
(a . b)m = am . bm
1) 74 . 22 = 74+2 = 76
Ejemplos:
2) 53 . 55 = 53+5 = 58 d. Cociente iguales
am a
n
de
a mn
1) (2.7)3 = 23 . 73
potencias
de
bases
2) (2a)5 = 25 . a5 g. Potencia de un cociente (a : b)m = am : bm 2
2
2
1) (15 : 5) = 15 : 5
Ejemplos:
“Sin metas y sin planes para alcanzarlas, se es como un barco que se hace a la mar sin un punto de destino”
QUINTO GRADO
4141
ARITMETICA
Aplico lo aprendido 1. Resuelve aplicando la teoría de exponentes en los casos siguientes: 2
l) 73 . 72 =
5 a) 6 =
m) (6 . 5)3 =
( )
7
5 b) (5) =
n) 273 = 4
o) 1 =
5
c) 2 =
3
3 p) 7 =
2
d) 32 = e) 86 : 82 =
(
)
3 4 (76) f)
q) 5161 =
0
g) (3 . 7)5
2
r) 8 =
=
137
=
5 s) 13 =
h) 27 . 24 =
t) (15 . 4)2 =
i) (64)3 =
(
j)
)
0 (216)2 3
(
6
)
3 0 (17 ) = u)
4
=
85
3 k) 8 =
Desafiando nuestras habilidades 1. Completa el cuadro Como producto
Como potencia 2
7x7
7
Base
Exponente
Se lee
Potencia
7
2
Siete al cuadrado
49
2
8
8
4
3
9
6
10
1x1x1x1x1
2. Observa los ejemplos y resuelve las operaciones con potencias 3
2
a) 2 x 2
=2
3+2 5
2x2x2x2x2=2
= 32
4242
b) 2 5 : 2 2
25 2
2
2 5 2 2 3 =8
QUINTO GRADO
ARITMETICA
7
Aplico lo aprendido 1. Resuelve: 1.
7 x 7 = 72+1 = 7 = 314
2
3
5.
6 ÷6 =6
2.
10 x 10 = ____________________
6.
8 ÷ 8 = _______________________
3.
4 x 4 = _______________________
4.
3 x 3 = ______________________
2
3
4
2
5
3
7
4
4-2
2
= 6 = ______________
2
2
7.
4 ÷ 4 = ______________________
2
3
8.
3 ÷ 3 = ______________________
5
2
2. Completa el cuadro Base
8
2
Exponente
2
5
Valor
64
32
Número
2
Cuadrado
4
Cubo
8
3
10
40
6
3
4
100
4
70
73
90
98
2
3
3
4 900
5
6
7
8
9
10
80
60
6 400
3 600
11
12
3. Observa cómo, aplicando la propiedad distributiva, puedes hacer cálculo rápido. Completa: a) 23 x 9 = 23 x (10 - 1) = (23 x 10) - (23 x 1) = 230 - 23 = 207
b) 23 x 19 = 23 x (20 - 1) = (23 x 20) - _______________________________________
c) 72 x 99 = 72 x (100 - 1) = (72 x __________________________________________
d) 87 x 999 = 87 x ( ___ - ___ ) = ___________________________________________
e) 94 x 11 = 94 x (10 + 1) = (94 x 10) + (94 x 1) = 940 + 94 = 1 034
ACERTIJO: EL PASTEL: Se pretende dividir un pastel como el de la figura en el pensamiento del enanito, en 8 trozos iguales. ¿Cuál es el mínimo número de cortes necesarios para conseguirlo?
QUINTO GRADO
4343
ARITMETICA
4. Completa el cuadro, reemplazando a, b y c por su valor numérico a
b
c
a+b+c
1 630
21
15
1 666
857
7
185
2 625
100
24
122
58
105
3 485
34
258
(a + b) - c
a + (c - b)
axb
a÷b
5. Resuelve las operaciones combinadas 2
a) 3 [ 4 + (6 - 2) ] + [ 3 - (6 - 2)] - (7 - 5)
3
2
3
2
b) 2 [ 3 - 3 ] - (4 + 0) - 2(7 + 3)
c) 26 - [13 - [2 x 3 - 5 x 10]} + (6 x 3 - 1) + (36 : 12)
“Estudiar para triunfar”
4444
QUINTO GRADO
ARITMETICA
6. Resuelve los problemas a) Un señor gana S/. 90 diarios y su esposa S/. 50 menos. Si gastan diariamente S/. 120, ¿cuánto les sobra cada día y cuánto ahorran al año?
Rpta. : _____________ c) Tres hermanos tienen una deuda común de S/. 432 510. ¿Cuánto le toca pagar a cada uno?
Rpta. : _____________
b) He comprado 35 docenas de ponchos a S/. 24 la docena. Después he vendido a S/. 3 cada uno. ¿Cuánto he ganado?
Rpta. : _____________ d) Tres niños se reparten 150 figuras. El primero recibe 25 y el segundo el triple que el primero. ¿Cuántas recibió el tercero?
Rpta. : _____________
COMPRUEBO LO QUE APRENDÍ
1. Resuelve operaciones con potencias 3
2
g) 3 x 3
4
2
h) 3 ÷ 3
2
2
i)
3 ÷ 3 = ______
2
j)
48 x 48 = ______
a) 6 ÷ 6 = ________
b) 3 x 3 = ________
c) 7 x 7 = ________ 3
d) 16 ÷ 16 = ______
3
= ______
5
3
= ______
3
3
2
2
6
5
5
6
= ______
k) 19 ÷ 19 = ______
4
2
= ______
l)
e) 2 x 2
f)
3
4 x4
QUINTO GRADO
9
7
5 ÷ 5 = ______
4545
ARITMETICA
2. Resuelve las operaciones combinadas 4
2
2 x 2 + 2 + 8 - (7 - 4)
(20 x 3) + 4 - 8 x 2
3
88 - 2 x (7 - 4) + (5 - 2)
2
[ (9 - 6) x 3 ] - 12 + (5 - 2)
2
4 x 5 + (2 + 3) x 2
2
(5 - 1 + 4) - 2 + 12 ÷ (3 - 1 + 2)
3. Aplica la propiedad distributiva y resuelve a) 72 x 111 = 72 x (____ + ____ + ____) = __x__ + __x__ + __x__= ______ + ______ + _____ = _____
b) 15 x 106 = 15 x (100 + 6) = 15 x ____ + 15 x ____ = ____ + ____ = ____
c) 42 x 108 = ____ x ( ____ + ____ ) = ____ + ____ = ___ + ____ = ____
4. Resuelve estos problemas a) La suma de dos números es 1 245. Si la mitad del mayor es 424. ¿Cuáles son estos números?
b) Entre Ica y Piura hay una distancia de 1 331 km y entre Lima y Piura hay 1 023 km. ¿Cuántos kilómetros hay entre Ica y Lima?
c) Un negociante compra un saco de frijol de 48 kg en S/. 96. Si quiere ganar S/. 1 por kg, ¿a cómo debe vender cada kilogramo de frijol?
PIENSA UN POCO Comienza con siete mil súmale cuatrocientos tres, réstale ahora once y me obtendrás a mí. ¿Quién soy? ……………….
4646
QUINTO GRADO
ARITMETICA
RADICACIÓN EN IN
Sí:
n
a b
bn a
porque
Ahora te toca a ti:
01. 4 .......
02. 9 .........
03. 25 .......
04. 36 .........
05. 49 .......
06. 16 .........
07. 100 .......
08 144 .........
09 125 .......
10 121 .........
11. 169 .......
12. 225 .........
13 169 .......
14. 289 .........
15. 400
OPERACIONES COMBINADAS SOLUCION DE LA OPERACION
3.Las adiciones y sustracciones de izquierda a derecha. 2.- Las multiplicaciones o las divisiones
1 Las radicaciones o potenciaciones.
OPERACIONES COMBINADAS ( si tienen signos de agrupación , se resuelve primero las operaciones que estén en estos signos de la parte interior hacia la parte exterior ).
“La ingratitud es la amnesia del corazón”
QUINTO GRADO
4747
ARITMETICA
RESOLVEMOS OPERACIONES COMBINADAS I.
Resuelve las siguientes operaciones combinadas 1. 12 + 3 - 5 + 4 - 6 + 8 x 2 - 10 : 5 x 2 = A) 28
B) 20
C) 4
D) 8
E) 16
¿Resolvemos juntos?.
2. (4 + 8) 6 - 8 : (16 - 14) + 5 x 8 : 4 : 2 - 36 : 12 x 24 = A) 72
B) 4
C) 73
D) 5
E) 1
D) 4
E) 3
D) 56
E) 4
D) 3
E) 1
3. [(18 - 6) : 4 + (12 - 4) : 4] + (8 x 7) : 14 – 5 = A) 5
B) 18
C) 9
4. 400 - {(7 - 2) 9 : 3 x 4 + 16 : (15 - 7)} – 46 = A) 318
B) 134
C) 292
5. 86 - 9 x 6 + (14 + 3 - 8) : 3 - 15 x 4 + 6 x 5 = A) 5
B) 14
C) 86
II. Efectúa las operaciones combinadas siguientes: 1. 23 x 4 -
25 =
2
3
4. 100 : 10 + 10 : 10 - 10 =
Rpta: ...............
Rpta: ............... 2. 2 x 14 : 7 + 23 - 13 +
81 =
2
5. 10 + 48 : 3 - 16 =
Rpta: ............... 3
3
Rpta: ...............
4
3. 4 x 2 : 2 =
2
6. (3 + 1) - 8 x 2 + 70 : 7 =
Rpta: ...............
Rpta: ............... 2
3
2
4
2
7. [(8 x 2 x 3) ÷ 16] + [(5 + 7) ÷ 6] - [(5 + 13) ÷ 6] - [(8 - 6) ÷ (11 - 7) ] = ? Rpta: ............... 3
2
3
2
2
2
3
8. {9 ÷ 81 - 36 ÷ 2 + 3 - 7 ÷ 7 - 2 x 4 - 12 + (3 + 5) } ÷ 2 = ? Rpta: ............... 2
3
2
4
2
4
3
2
2
3
9. 11 + 4 (2 - 2 ) - 3 (2 + 3 ) ÷ 11 + 2 x 4 ÷ 2 - 3 - 2 x 5 - (4 - 13 x 3) = ? Rpta: ............... 2
0
3
2
2
4
10. [8 (14 - 7) - 7 ÷ 49 + 15 ÷ 5 (20 - 8 + 3) + 5 x 2 ] ÷ 2 = Rpta: ...............
4848
QUINTO GRADO
ARITMETICA
III. Simplifica: 3
3
1. A = 2 x 3 + (18 - 8) ;
3.
64 6 2 x 3 : 9 + 8 3 : 4 + 5 2 x 3 + 11 x 2
2
B = 20 + [10 - (5 -3) ], el valor de 2A - B es:
2.
4. (18 : 3 + 4 x 5 - 2) : (2 x 4 - 10 : 5) =
3
Si: P = 4 x 3 - (8 - 6) - 1; y 2
2
Q = 2 x 3 + [410 : 10 + (3 - 2) ] 2
El valor de: P + PQ - Q es:
PROBLEMAS CON IN 1. Si 28 sacos de café cuestan S/. 3360 ¿Cuántos sacos de café podré comprar con S/. 1440?.
2. En 1978, Naomi James navegó alrededor del mundo en 272 días. ¿En cuántas semanas y días habrá navegado alrededor del mundo?.
QUINTO GRADO
3. Si después de repartir S/. 43 979 entre cierto número de obreros, a cada uno le corresponde S/. 584 de sueldo mensual y todavía sobran S/. 179. ¿Cuál es el número de personas?.
4. Por un artefacto a plazos se da 204 soles de inicial y por el saldo se firman 9 letras. ¿Cuál es el valor de cada letra, sabiendo que el artefacto vale 960 soles?.
4949
ARITMETICA
5. En un estanque hay 36000 litros de agua, se abre un desagüe que deja pasar 6 litros en un minuto. ¿En cuántas horas se vaciará el estanque?.
6. Un comerciante compró cerdos por 1200 soles y los vendió por 1600 soles ganando 50 soles por cada cerdo. ¿Cuántos cerdos compró?.
7. Un sastre tiene 30 metros de tela que desea vender por S/. 2500. Si ha vendido 25 metros por S/.80 el metro. ¿A cómo debe vender el metro de los que les queda?.
8. El residuo de una división es 3, l dividendo 435 y el cociente 27. ¿Cuál es el divisor?.
5050
9. El propietario de una librería compró 60 textos de Matemática de una distribuidora. Si dicha compra asciende a 1830 soles. ¿A cómo tiene que vender cada texto para ganar 270 soles?.
10. Cuántos libros de 40 soles cada uno comprará un comerciante con 1640 soles y cuánto obtendrá de ganancia, si lo vende a 48 soles cada uno?.
11. Roberto recibió de regalo por su cumpleaños 119 estampillas; luego 45 estampillas más. Regaló a su hermano menor, 56 estampillas. El resto lo distribuyó por igual entre sus 9 amigos. ¿Cuántas estampillas recibió cada amigo?.
12. Karina compra 5 metros de tela por S/ 280. ¿Cuánto pagará si compra 25 metros de dicha tela?.
QUINTO GRADO
ARITMETICA
13. Después de pagar una deuda de 8 000 soles, un padre que tiene 346 000 soles desea repartir el saldo entre sus 35 obreros. ¿Cuánto le tocará a cada obrero?.
14. Si a un número se le añade 12, de la suma obtenida se le resta 19 y la diferencia obtenida se multiplica por 7; se obtiene 56. ¿Cuál es el número inicial?.
15. En 30 días 64 obreros han hecho 230 400 cajas. ¿Cuántas cajas fábrica cada obrero al día?.
16. La capacidad de un deposito de agua es de 10 800 litro. ¿En cuántas horas se llenará si la cañería vierte 60 litros por minuto?.
QUINTO GRADO
17. ¿En cuántas horas se unirán dos ciudades distantes a 1 800 km en un auto que corre a 120 km por hora?.
18. Un negociante compró 8 docenas de piñas por S/.480. ¿Cuánto costó cada piña?.
19. Un comerciante compró algunas corbatas por S/. 182 y las vendió en S/224, ganando S/ 5 por cada corbata. ¿Cuántas compró?.
20. El socio de una cooperativa tiene una deuda de S/ 4 800. Si cada mes paga S/ 80 ¿En cuántos años debe pagar toda la deuda?.
5151
ARITMETICA
21. ¿Qué día y que hora es cuando ya han transcurrido 116 horas de la semana? (recordamos que el primer día de la semana es el lunes.
22. Un fábrica de chocolates, produce 5 500 000 chocolates al día; se envasan en cajas de 100 chocolates, luego éstos en cajones de 55 cajas. ¿Cuántas cajas y cajones se emplean diariamente?.
23. Un año tiene 52 semanas. ¿Cuántos años tendrás cuando hayas vivido 3432?.
24. Las Islas Bermudas se encuentran situadas en el Océano Atlántico. Tiene una población aproximadamente de 64200 habitantes. El área es de aproximadamente 52 kilómetros cuadrados. Calcula el promedio de habitantes por kilómetro cuadrado. (redondea los decimales).
SISTEMAS DE NUMERACIÓN UN POCO DE HISTORIA Los hindúes inventaron el sistema de numeración decimal que utilizamos en la actualidad, y los árabes, lo extendieron por todo el mundo. A lo largo de la Historia se han utilizado distintas formas de contar y agrupar objetos. A estas distintas formas, las llamamos sistemas de numeración.
REPASAMOS LOS SISTEMA DE NUMERACIÓN El abuelo de los sistemas de numeración: es el sistema en base 12. Fue utilizado por antiguas culturas como Mesopotamia y consiste en tomar la unidad como agrupaciones de doce elementos. Se cree que utilizaban las falanges de la mano para agrupar los elementos, ya que, utilizando todos los dedos de la mano, menos el pulgar, tenemos: 3+3+3+3 = 12
De esta forma, agrupaban los elementos de doce en doce: 1 docena = 12 elementos 12 docenas = 144 elementos Así, la docena se utiliza todavía en algunas medidas, como: para comprar huevos, pinzas de ropa, lapiceros, etc. 5252
QUINTO GRADO
ARITMETICA
El sistema de numeración Maya: base 20. Este sistema tiene su explicación en culturas donde el clima era cálido, y las personas podían andar descalzas ¿por qué?; pues porque necesitaban para contar, las manos y los pies. Agrupaban los elementos en grupos de veinte de forma que: 1 grupo = 20 20 grupos = 20 x 20 = 400 y así sucesivamente Aún quedan restos de este sistema en la numeración francesa, ya que el número 80, se dice quatre-vingt, es decir, cuatro veintes, 4 x 20 = 80.
En el sistema de numeración de los antiguos Babilonios: la base 60, utilizaban como base el número 60, es decir agrupaban todo en conjuntos de sesenta elementos. Aún hoy nos quedan restos de este sistema en nuestra cultura. Por ejemplo, la forma de medir el tiempo: 1 hora = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos
SISTEMA BINARIO Con este sistema matemático, funcionan todas las computadoras del mundo. Consiste en utilizar sólo dos cifras, el 0 y el 1. Para pasar un número de sistema decimal a sistema binario se hace de la siguiente forma: Por ejemplo, para pasar el número "5"del sistema decimal al binario, se hacen divisiones sucesivas entre 2, de esta manera: El número "5" en base 2, se escribiría 101. Pero no se lee ciento uno, sino: uno, cero, uno.
BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN Es el número que indica la cantidad de unidades necesarias de un orden cualquiera para formar una unidad del orden inmediato superior. El número A en base n se escribe A n
En el sistema de base n, n es un número natural mayor que 1.
En el sistema de base 5, usamos las cifras: 0; 1; 2; 3; 4.
En el sistema de base 7, usamos las cifras: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.
Descomposición Polinómica
534(6) = 5 x 62 + 3 x 6 + 4
30412(5) = 3 x 54+6 x 53+4 x 52+1 x 5+2
CAMBIO DE BASE a)
Cambio de Base 10 a Base n: Para cambiar un número de base 10 a base n utilizaremos las divisiones sucesivas. Así: Ejemplo: - Convertir 14 a base 4 14 = 32(4) QUINTO GRADO
- Convertir 78 en base 4 78 = 1032(4) 5353
ARITMETICA
14
4
12
3
2
14 = 32 (4)
Aplico lo aprendido
1. Convertir los siguientes números a las diferentes bases (en tu cuaderno) a) 64 en base 3
k) 1513 en base 4
b) 83 en base 4
l) 913 en base 3
c) 918 en base 6
m) 792 en base 5
d) 513 en base 8
n) 809 en base 3
e) 87 en base 4
o) 894 en base 3
f) 956 en base 8
p) 215 en base 5
g) 117 en base 5
q) 2516 en base 6
h) 3216 en base 8
r) 457 en base 8
i) 813 en base 7
s) 613 en base 8
j) 512 en base 2
t) 182 en base 2
b. Cambio de base n a base 10 Resolveremos mediante la descomposición polinómica. Así: 1. 23(4) = 2 (4) + 3
2. 456 (7)
23(4) = 8 + 3 23(4) = 11
Aplico lo aprendido
1. Convierte al sistema decimal los siguientes números: a) 3213(4) =
j)
b) 2172(4) =
k) 12716(8) =
c) 7517(8) =
l)
d) 73516(8) =
m) 83517(9) =
e) 4132(5) =
n) 510123(6) =
f)
o) 73516(5) =
82143(4) =
2817(8) = 13240(5) =
g) 4003(6) =
p) 523006(7) =
h) 3002(5) =
q) 40302(6) =
i)
r) 424612(7)
5454
8514(9) =
= QUINTO GRADO
ARITMETICA
MÚLTIPLOS Y DIVISORES EN IN A. MÚLTIPLO Un número es múltiplo de otro, si contiene un número exacto y entero de veces. Ejemplo: M5 = {0; 5; 10; 15; 20; 25; ...} 1º
Cero es múltiplo que cualquier número
2º
Todo número es múltiplo de sí mismo
3º
Todo número tienen infinitos múltiplos
¡Trabajar juntos!
OJO: el múltiplo de un número es infinito.
B. DIVISOR Se dice que un número es divisor de otro cuando lo divide exactamente. Ejemplo: D18 = {1,2,3,6,9,18} 1º
La unidad es divisor de cualquier número
2º
Todo número es divido que sí mismo
3º
Todo número tienen una cantidad infinita de divisores.
Desafiando nuestras habilidades 1.
Escribe los 7 primeros múltiplos de: M25= {………………………..}
a)
M6 = {……………………………}
l)
b)
M30 = {……………………………}
m) M7= {……………………………..}
c)
M8 = {……………………………}
n)
M4= {……………………………..}
d)
M10= {……………………………}
o)
M5= {……………………………..}
e)
M12 = {……………………………}
p)
M92= {……………………………..}
f)
M5= {……………………………}
q)
M16= {……………………………..}
g)
M30= {……………………………..}
r)
M6= {……………………………..}
h)
M11= {……………………………..}
s)
M21= {……………………………..}
i)
M3= {……………………………..}
t)
M78= {……………………………..}
j)
M11= {……………………………..}
u)
M23 = {……………………………..}
k)
M15 = {……………………………..}
v)
M100= {……………………………..}
2. Halla los divisores de: a) D8 = {……………………………..}
c) D6 = {……………………………..}
b) D28 = {……………………………..}
d) D30 = {……………………………..}
QUINTO GRADO
5555
ARITMETICA
e) D10 = {……………………………..}
m) D20 = {……………………………..}
f)
D32 = {……………………………..}
n) D42 = {……………………………..}
g) D12 = {……………………………..}
o) D20 = {……………………………..}
h) D36 = {……………………………..}
p) D40 = {……………………………..}
i)
D15 = {……………………………..}
q) D21 = {……………………………..}
j)
D32 = {……………………………..}
r)
D24 = {……………………………..}
k) D16 = {……………………………..}
s) D22 = {……………………………..}
l)
t) D25 == {…………………………..}
D35 = {……………………………..}
Aplico lo aprendido 1. Escribe 6 primeros múltiplos de:
2. Halla los divisores de:
a) M42 =
a) D50 =
b) M80 =
b) D17 =
c) M90 =
c) D24 =
d) M73 =
d) D60 =
e) M120 =
e) D55 =
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD A.
DIVISIBILIDAD POR 2
C.
Un número es divisible por dos, si la última cifra es cero o múltiplo de 2 (cifra par).
Es divisible por 4, si sus dos últimas cifras terminan en cero ó múltiplo de 4. Ejemplo
Ejemplo: a) 7200
B.
DIVISIBILIDAD POR 4
a) 1360
b) 12 364
b) 628
DIVISIBILIDAD POR 3 Un número es divisible por 3, si la suma de sus cifras da un número múltiplo de 3. Ejemplo:
D.
DIVISIBILIDAD POR 5 Un número es divisible por 5 si su última cifra es cero o cinco. Ejemplo: a) 18 000
b) 755
a) 630 = 6+3+0= 9 es múltiplo de 3 b) 17407 múltiplo de 3
5656
= 1+7+8+4+0+7 = 27 es
QUINTO GRADO
ARITMETICA
E.
DIVISIBILIDAD POR 6
Un número es divisible por 10 cuando termina siempre en cero.
Ejemplo:
Ejemplo:
a) 510:
a) 8120
Es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Así: 5+1+0=6
DIVISIBILIDAD POR 8 Un número es divisible por 8, cuando sus tres últimas cifras terminan en ceros o múltiplos de ocho. a) 5000
G.
DIVISIBILIDAD POR 10
Es divisible por 6, si es divisible a la vez por 2 y 3.
Es divisible por 2 cuando su última cifra es cero.
F.
H.
I.
b) 716 400
DIVISIBILIDAD POR 11 Un número es divisible por 11, si la suma de sus cifras de orden impar (empezando por la derecha) menos la suma de las cifras de orden par, resulta ser cero o múltiplo de 11. Ejemplo: a) 9 873 226
b) 8064
DIVISIBILIDAD POR 9
6+2+7+9 = 24
(1)
2+3+8 = 13
(2)
24 - 13 = 11
Es divisible por 9, cuando sumadas sus cifras dan nueve o múltiplos de nueve. Ejemplo: a) 612 = 6+1+2+ = 9 es múltiplo de 9 b) 7803 = 7+8+0+3+ = 18 es múltiplo de 9.
ACERTIJO: ¿Cuál es el número mínimo de cerillas que se han de quitar para que en el dibujo queden 4 triángulos equiláteros exactamente iguales a los 8 que hay? (no puede quedar ninguna cerilla suelta)
QUINTO GRADO
5757
ARITMETICA
Aplico lo aprendido I.
Marca con un aspa si consideras que el número A de la columna izquierda es divisible por alguno de los números de la dila horizontal superior. N úme ro A
2
3
3 366
x
x
4
5
6 x
7
8
9
10
11
ES PAR
x
x
71 110 4 496 392 2 585 6 180 2 528 5 080 2 235 48 265 43767 8 046 775 69 575 5 712 3 588 18 046 49 347 104 265 3 401 734 626 813 455 792
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS A.
NÚMERO PRIMO Es aquel número que tienen como únicos divisores a la unidad y así mismo. a) D2 = {1; 2} b) D13 = {1; 13}
5858
QUINTO GRADO
ARITMETICA
B.
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ Se dice que dos o más números naturales son primos entre sí, cuando tienen como único divisor común a la unidad. Ejemplos:
C.
a) D5 = {1; 5}
D6 = {1; 2; 3; 6}
b) D7 = {1; 7}
D14 = {1; 2; 7; 14}
NÚMEROS COMPUESTOS Son aquellos números que además de tener como divisores a la unidad y a sí mismo, tienen otros divisores. Ejemplos: a) D8 = {1; 2; 4; 8} b) D10 = {1; 2; 5; 10}
Aplico lo aprendido
1. Marca con un aspa según el número dado sea PRIMO ABSOLUTO o COMPUESTO. NÚMERO
P RIMO
7
X
C O MPUES TO
24
NÚMERO
P RIMO
C O MPUES TO
341 X
311
111
321
173
409
187
413
119
477
213
419
217
509
2. Escribe todos los divisores de los números dados y forma las parejas de dichos números cuyos elementos sean números primos entre sí. NÚMERO
D IVIS O RES
NÚMERO
12
45
15
48
28
50
33
54
42
55
QUINTO GRADO
D IVIS O RES
5959
ARITMETICA
DESCOMPOSICION DE NÚMEROS EN SUS FACTORES PRIMOS Teorema fundamental Todo número natural positivo mayor que la unidad se puede descomponer como el producto de factores primos diferentes entre si elevados a cierto exponente, está descomposición es única y se le denomina: “DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA”. Ejm : 540
2
270
2
135
3
45
3
15
3
5
5
540 22.33.5
1
Número de divisores de un número compuesto Sea número compuesto N expresado en función de sus factores primos.
a .b .c
N
.......
Son números primos absolutos
La cantidad de divisores de N estará dado por:
Cd ( N ) ( + 1 ). ( + 1 )( . + 1 )......... Ejemplos: Hallar el número de divisores de 540. 1. Se escribe el número en función de sus factores primos. 540 2 .3 .5 2
3
2. Se toman los exponentes; y se les suman uno y se multiplican; el producto es el número total de divisores. Cd (540) (2 + 1). (3 + 1)( . 1 + 1) Cd (540) 24
Entonces 540 tiene 24 divisores.
ACERTIJO: ¿Cuál es el número mínimo de cerillas que hay que mover para que el cerdito quede mirando hacia el lado contrario (hacia la dicha)?
6060
QUINTO GRADO
ARITMETICA
Desafiando nuestras habilidades
I. Descompón canónicamente los siguientes números y establecer la cantidad de divisores de dichos números. a) 120 =
n) 2 380 =
b) 900 =
o) 520 =
c) 240 =
p) 2 600 =
d) 1 200 =
q) 400 =
e) 90 =
r) 3 600 =
f) 1 580 =
s) 480 =
g) 180 =
t) 3 800 =
h) 1 620 =
u) 560 =
i) 240 =
v) 4 500 =
j) 1 840 =
w) 724 =
k) 300 =
x) 5 200 =
l) 2 000 =
y) 846 =
m) 360 =
z) 6 800 =
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)
El M.C.D. de dos o más números naturales es el mayor divisor común de los números dados.
PROCEDIMIENTO A. Por Primos
Descomposición
en
Factores
2 x 5 = 10 MCD = 10
Hallar el M.C.D. de 24 y 30
B. Por el Método Abreviado
1° Descomponemos 24 Y 30:
24 = 23 x 3
Hallar el MCD de 30, 84 y 66 MCD = 3 x 2 = 6
30 = 2 x 3 x 5
Los factores comunes son: 2 y 3
30
84
66
2
15
42
33
3
5
14
11
2x3=6 MCD = 6
Hallar el MCD de 120; 350 y 240 120 = 23 x 3 x 5 350 = 2 x 52 x 7 240 = 24 x 5 x 3
El M.C.D.(30,84,66) = 2 x 3 M.C.D.(30,84,66) = 6
Los factores comunes son: 2 y 5 QUINTO GRADO
6161
ARITMETICA
Aplico lo aprendido
1. Considerando que un DIVISOR divide exactamente a un número dado, completar el siguiente cuadro hasta hallar el M.C.D. de los números señalados aplicando sólo el concepto de M.C.D. D IVIS O RES CO MUN ES A: NÚMERO
D IVIS O RES 3 6 Y 27
4 0 Y 18
3 8 y 30
7 2 y 40
4 5 y 30
4 2 y 32
72 38 45 36 40 32 27 18 30 42 MCD = >
2. Calcular el M.C.D. de los siguientes números por «golpe de vista» N ÚMERO S
5 y3
6 y3
12 y 4
7 y8
20 y 12
9 y 11
12 y 25
13 y 14
3 y4
18 y 3
18 y 6
24 y 5
1 6 y 12
13 y 2
16 y 14
MCD
NÚMERO S
32 y 12
30 y 18
45 y 20
MCD
3. Hallar el M.C.D. de los siguientes números aplicando DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA y comprueba tu respuesta hallando el mismo M.C.D. por el Método Abreviado. 01) 60 y 90
05) 35; 70 y 80
09) 25; 40; 15 y 80
02) 32; 40 y 50
06) 45; 85 y 100
10) 16; 30; 64 y 72
03) 54; 80 y 64
07) 12; 60 y 72
11) 180; 300; 240 y 360
04) 18; 64 y 72
08) 18; 60 y 54
12) 720; 400; 520; 800
6262
QUINTO GRADO
ARITMETICA
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.)
El MCM de dos o más números naturales es el menor múltiplo común de los números dados.
PROCEDIMIENTO A. Por Primos
Descomposición
en
Factores
B. Por el Método Abreviado a) Hallar el MCM de 120, 36 y 30
a) Hallar el MCM de 120, 36 y 30 120 = 23 x 3 x 5
120
36
30
2
36 = 22 x 32
60
18
15
2
30 = 2 x 5 x 5
30
9
15
2
15
9
15
3
5
3
5
3
5
1
5
5
1
1
1
Extraemos los factores comunes y no comunes cada uno con su mayor exponente. El producto de éstos es el MCM buscado. MCM = 23 x 32 x 6 MCM = 360
M .C.M (120,36,30) 2 3 3 2 5 M .C.M (120,36,30) 360
ACERTIJO:
Una bomba está a punto de estallar, y su mecanismo de desactivación consiste en colocar 4 litros EXACTOS sobre una báscula conectada al sistema de detonación. Para ello solo disponemos de un grifo que nos abastece de todo el agua que requiramos y 2 bidones adicionales vacíos, de capacidades 3 y 5 litros respectivamente (no se dispone de ningún otro bidón, y por se desprecia el peso del plástico de los 2 que tenemos). ¿Cómo conseguimos los 4 litros exactos para que la bomba no estalle?
QUINTO GRADO
63 63
ARITMETICA
Aplico lo aprendido 1. Considerando que un MÚLTIPLO contienen exactamente a un número dado, completa el siguiente cuadro hasta hallar el M.C.M. de los números señalados, aplicando sólo el concepto de M.C.M. (Escribir sólo los 10 primeros múltiplos de cada número) D IVIS O RES C O MUN ES A: NÚMERO
MÚLTIP LO S 3 6 Y 27
6
6;12;18;24;30;36;42;48;54;…
24
8
8;16;24;32;40;48;56;64;72;…
48
4 0 Y 18
3 8 y 30
7 2 y 40
4 5 y 30
4 2 y 32
12 15 18 16 20 24 2 36 MCM = >
2. Calcula el MCM de los siguientes números por «golpe de vista» N ÚMERO S
5 y3
6 y3
12 y 4
7 y8
3 y4
18 y 3
18 y 6
3 y9
6 y7
MC M
NÚMERO S
10 y 5
17 y 3
6 y8
2 y 11
4 y 10
6 y3
9 y 10
2 y3
8 y 12
MCM
3. Halla el MCM de los siguientes números aplicando descomposición en FACTORES PRIMOS y comprueba tu respuesta hallando el MCM por el MÉTODO ABREVIADO a) 60 y 90
e) 35; 70 y 80
i) 25; 40; 15 y 80
b) 32; 40 y 50
f) 45; 85 y 100
j) 16; 30; 64 y 62
c) 54; 80 y 64
g) 12; 60 y 72
k) 180; 300; 240 y 360
d) 18; 64
h) 18; 60 y 54
l) 720; 400; 520; 800 y 640
PROBLEMAS DE MCD Y MCM Plantea y resuelve los problemas en tu cuaderno. 1. Dos tiras de cartulina de 12 y 20 metros de longitud se quieren dividir en pedazos iguales y de la mayor longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada pedazo?
6464
2. Narciso pregunta a su padre ¿Cuántos años tienes? y él le contesta: “él número de mis años es múltiplo de 7 y también de 5; por otra parte no llego a 45”. ¿Cuántos años tiene el padre de Narciso?
QUINTO GRADO
ARITMETICA
3. Tres aviones salen de Trujillo el primero cada 6 días, se segundo cada 5 días y el tercero cada 10 días, Si hoy sales los tres juntos. ¿Dentro de cuántos días volverán a salir juntos?
4. Un hijo pregunta a su padre por su edad lo que él contesta: “Si mi edad se divide entre 6; 12; 16 siempre que de residuo 3” Si la edad del padre no llega a 55 años ¿Cuántos años tiene el padre?
8. Tres amigos turistas parten regularmente de la misma ciudad cada 7, 14 y 18 días respectivamente. La última vez que salieron juntos fue el 17 de mayo de 1997; con la promesa de reunirse las tres en la primera oportunidad para intercambiar ideas de sus inquietudes. ¿En qué fecha se produce el reencuentro?
5. De las 256 clases de matemática al año. Gabriel asistió a un número de ellas que es múltiplo de 8, 16 y 15. ¿A cuántas clases asistió y a cuantas no asistió?
9. Un padre da a uno de sus hijos 30 caramelos a otro 45 caramelos y a otro 25 caramelos para obsequiar a sus compañeros, de modo que todos den a sus compañeros la misma cantidad. ¿Cuál es el mayor número de caramelos que podrá dar a cada compañero cuántos son los compañeros favorecidos?
6. Un comerciante elabora antenas para televisores, utiliza varillas de aluminio de 40cm y de 80cm. Se desea saber:
10. ¿Cuál es la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla de 18cm, de 30cm y de 25 cm de largo?
a. La menor longitud de una varilla que necesita si que falte ni sobre nada b. El número de piezas de 40 cm, de 60 cm o de 80 cm.
7. ¿Cuál es el mayor número que al ser dividido por 12, por 18 o por 20, deja de residuo siempre 3?
11. Tres llaves de un estanque vierten respectivamente 15, 24 y 60 litros por minuto. Si cualquiera de las llaves puede llenarlo en un número exacto de minutos. ¿Cuál es la menor cantidad del estanque?
12. ¿Cuál es el mayor número que divide exactamente a 30, 75 y 120?
¿SABIAS QUÉ? Las matemáticas nos hacen la vida más fácil Las fracciones son muy útiles para muchos aspectos de nuestra vida diaria, y también para los trabajos de la escuela. Cuando hagas un trabajo o en tus apuntes de clase, numera siempre las hojas con fracciones, así sabrás cuántas tienes en total y podrás ordenarlas siempre correctamente. Imagina que tu trabajo tiene 50 hojas, entonces las numerarías así: 1/50, 2/50, 3/50... De esta forma, siempre podrás conocer las páginas del trabajo y te será más fácil ordenar y buscar.
QUINTO GRADO
65 65
ARITMETICA
FRACCIONES “Una fracción, nos indica que la unidad se ha dividido en partes iguales, y de esas partes, cogemos una o varias. Las fracciones 4/16 y 1/8, también se pueden representar con un dibujo”
TÉRMINOS DE UNA FRACCIÓN: Una fracción se compone de dos números: el numerador, que es el número de arriba, y el denominador, que es el de abajo.
a numerador b denominador LECTURA DE FRACCIONES Para leer una fracción, nombramos primero el número del numerador, y después leemos el denominador de esta forma: Número de Denominador
Leemos
2
medio
3
tercio
4
cuarto
5
quinto
6
sexto
7
séptimo
8
octavo
9
noveno
10
décimo
Por ejemplo si queremos leer las fracciones: 3/4, 7/5, 5/9, lo haremos así: tres cuartos, siete quintos y cinco novenos.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Al proceso de reducir una fracción a su mínima expresión se denomina simplificación; para lo cual se divide por un mismo número al numerador y al denominador a la vez, tantas veces sea posible. Ejemplo:
20 20 : 2 10 : 2 5:5 1 100 100 : 2 50 : 2 25 : 5 5
6666
QUINTO GRADO
ARITMETICA
Ahora te toca a tí II.
Simplifica las siguientes fracciones en tu cuaderno:
1)
15 20
2)
18 24
3)
10 30
4)
18 48
5)
24 72
6)
32 48
7)
50 75
8)
84 96
9)
96 144
10)
III.
87 192
11)
350 700
12)
540 810
Relaciona mediante flechas las fracciones equivalentes:
9 18
3 4
6 8
1 2
12 30
25 75
10 25
5 6
32 48
20 24
2 5
300 960
1 3
2 5
5 16
2 3
¿SABIAS QUE? Los egipcios y las fracciones El pueblo egipcio realizó muchos avances en matemáticas. Aparte de grandes números y amplios conocimientos de geometría, también utilizaban las fracciones, pero no con los números que utilizamos en la actualidad, para ellas, utilizaban unos símbolos especiales.
QUINTO GRADO
67 67
ARITMETICA
NOS DIVERTIMOS CON LAS FRACCIONES IV. Completa los siguientes cuadros: LA FRACCIÓN 6 5 2 10 1 3 8 4 20 12 8 20 7 36
SE LEE ….…………………………………………....................... ……………………………………….................................. …..…………………………………................................... ..…………………………………….................................. …………..………………………….................................. ………..……………………………................................. ……..……………………………….................................
14 100
…..…………………………………................................
16 1000
………….………………………………………................. …………………………………………………................. Nueve veintitresavos Dieciocho quinceavos Un centésimos Quince ochentiunavos Ciento tres milésimos Quince catorceavos Mil ocho milésimos Nueve cien milésimos Cuatrocientos seis centésimos cuarenta y tres centésimos
6868
QUINTO GRADO
ARITMETICA
V. Calcula la fracción del número que se indica en cada caso:
a)
2 de 30 5
b)
3 de 48 8
c)
5 de 60 12
d)
4 de 75 15
e)
7 de 39 13
f)
g)
11 de 840 14
h)
9 de 115 23
i)
5 de 126 21
13 de 162 27
VI. Une mediante una línea cada fracción con el que corresponda: 15 28
25 25
45 72
25 12
FRACCIÓN PROPIA
18 18
16 85
17 71
12 5
26 78
58 69
12 6
FRACCIÓN IGUAL A LA UNIDAD
5 5
58 58
320 440
36 21
FRACCIÓN IMPROPIA
OPERACIONES CON FRACCIONES ADICIONES Y SUSTRACCIONES CON FRACCIONES 1. ADICIONES Y SUSTRACCIONES CON FRACCIONES HOMOGÉNEAS: Cuando sumamos o restamos fracciones homogéneas, sólo adicionamos o sustraemos los numeradores, y colocamos el mismo denominador. Así:
a)
5 2 7 + 4 4 4
c)
8 5 3 7 7 7
b)
7 4 11 + 6 6 6
d)
15 11 4 1 4 4 4
Ahora te toca a ti:
QUINTO GRADO
69 69
ARITMETICA
I. Resuelve:
a)
4 5 + 5 5
b)
4 5 3 + + 7 7 5
c)
7 6 1 + + 6 6 6
d)
8 5 2 + + 4 4 4
e)
14 1 3 + + 12 12 12
1 1 1 f) + + 3 3 3
g)
15 14 3 3
h)
8 6 7 7
i)
35 24 11 11
j)
25 20 48 48
k)
45 28 17 17
l)
24 18 6 6
2. ADICIONES Y SUSTRACCIONES CON FRACCIONES HETEROGÉNEAS: Para sumar o restar fracciones heterogéneas (diferente denominador) se reducen las fracciones a un mínimo común denominador (m.c.d.), luego se suman o restan las fracciones homogéneas obtenidas. Ejemplo:
a) Halla:
3 12 3 + + 8 15 12
1° Hallamos el M.C.M. de los denominadores. 8
15
12
2
4
15
6
2
3
M.C.M. (8, 15, 12) = 2 x 3 x 5 =120 2
15
3
2
1
15
3
3
1
5
1
5
1
1
1
2° Dividimos el M.C.M. hallado con el primer denominador y luego multiplicamos con su numerador. De esta forma con todas las fracciones.
3 12 3 45 + 96 + 30 171 + + 8 15 12 120 120
3° La respuesta puede ser simplificada. Así:
171 3 57 120 3 40
Ahora te toca a ti: 7070
QUINTO GRADO
ARITMETICA
I. Resuelve las adiciones que a continuación se te presentan:
a)
5 12 + 6 15
b)
10 16 + 18 24
c)
14 10 + 21 12
d)
15 17 + 25 20
e)
8 9 + 24 18
f)
24 15 + 30 32
g)
24 15 + 36 30
h)
4 7 + 30 6
12 3 120 36
j)
6 15 15 40
k)
10 15 11 36
l)
11 6 10 10
16 4 18 18
n)
50 25 75 75
p)
40 10 72 15
i)
m)
o)
12 5 18 20
II. Halla el resultado de las siguientes adiciones:
a)
2 3 8 + + 6 9 12
b)
16 15 12 + + 24 20 18
d)
5 4 1 + + 8 5 4
e)
8 4 2 + + 10 5 10
g)
25 16 18 + + 9 3 12
h)
44 24 20 + + 36 72 144
c) f)
9 28 24 + + 12 36 32
72 25 36 + + 42 40 80
i)
1 20 7 + + 30 84 24
III. Halla el resultado de las operaciones combinadas; efectúa primero las operaciones dentro de los símbolos de agrupación:
12 1 +54 36 2 3 5 c)9 8 + 4 20 5 27 e)15 13 + 6 54
5 24 +3 6 56 48 2 d) + 10 9 72 3 1 28 f )5 + 4 2 35
3 4 7 + 4 16 9 5 i )12 7 + 8 24
7 12 h)15 + 10 9 36 1 60 j )16 +8 72 6
a)
b)8
g )9
IV. Lee, plantea y resuelve los problemas con adiciones y sustracciones de fracciones: 1. ¿Cuánto le falta a 7/8 para ser igual a 2?
a)1
1 4
b)1
5 4
c)1
1 8
d )1
1 2
2. Después de trabajar el lunes ½ del trabajo y el martes 1/3. ¿Qué parte del trabajo falta para terminarlo?
a)
1 8
b)
QUINTO GRADO
1 6
c)
1 4
d ) N . A.
71 71
ARITMETICA
3. Nadia tiene S/. 75, de los que da a Diana S/. 35 y a Otilia S/. 25 ¼ . ¿Cuánto le queda? a ) S / 17
1 2
b) S / 16
1 4
c) S / .15
1 2
d ) S / .14
1 4
4. Paulo ha pintado 1/8 de una pared y Adrian 1/4más que Paulo. ¿Qué parte de la pared les falta pintar para acabarlo?
1 2
a)
b)
1 4
c)
1 6
d)
1 8
5. Ángela retira 2/5, ¼ y 3/10 de lo que tiene ahorrado en el Banco de la Nación. ¿Qué parte de su dinero le queda en el banco?
a)
1 17
b)
1 18
c)
1 19
d)
1 20
6. Rosangela pinta una varilla de la siguiente manera. Las ¾ partes lo pinta de azul, la 1/6 parte lo pinta de amarillo y lo restante lo pinta de rojo. ¿Qué parte de la varilla pintó de rojo?
a)
1 12
b)
5 12
c)
47 12
d ) N . A.
7. Saraí tenía 34 2/5 metros de tocuyo, vende 29 ½ metros; luego compra 100 metros. ¿Cuántos metros tiene ahora?
9 a)101 10
b)102
9 10
c)104
9 10
d )106
1 10
8. De las naranjas que produce una mata, Carlos recibe 1/5, Rosa 1/3 y Augusto 3/10. ¿Cuánto reciben entre los tres?
a)
5 6
b)
5 14
c)
6 5
d)
7 2
9. Del dinero que tengo, gasto los 5/9 en comer; los 7/10 en comprar ropa. ¿Qué parte del dinero me queda aún?
a)
1 6
b)
1 18
c)
6 18
d)
7 24
10. Miguel, Juan y César compraron una cometa, Miguel pagó 1/6 del precio; Juan pagó los 2/3 y César 1/12, el resto lo quedaron debiendo. ¿Cuánto pagaron entre los tres y cuánto quedaron debiendo?
a)
11 1 y 12 12
b)
5 11 y 14 14
6 1 c) y 5 2
d)
7 1 y 2 15
11. Una persona ha invertido 2/8 del día en trabajar, 1/6 del día en las comidas y en trasladarse a su casa, y 8 horas en dormir. ¿Qué tiempo libre le ha quedado? a) 6 horas
7272
b) 8 horas
c) 2 horas
d) 5 horas
QUINTO GRADO
ARITMETICA
MULTIPLICACIÓN CON FRACCIONES El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores. De las fracciones dadas.
I.
Resuelve en tu cuaderno y expresa cada resultado en su mínima expresión
2 5 a ) de 3 6 3 b) de 4 8 1 3 c) de 3 4 2 1 d ) de 5 2 II.
3 4 × 16 15 2 4 f) × 3 7 5 3 g) × 8 7 3 4 h) × 9 10 e)
Halla los productos por el método práctico:
5 18 5 910 15 6 14 7 6 3) 49 12 15
3 8 5 × × 4 9 12 12 18 25 4) 36 50 24
1)
2)
9 17 16 5) 48 27 34 21 15 24 7) 45 60 14
6)
25 27 12 81 75 30
8)
6 17 22 * * 34 66 12
III. PROBLEMAS CON MULTIPLICACIONES CON FRACCIONES: 1. Preguntando Luis por la hora respondió: ”Son las 2/3 de las ¾ de las 5/8 del día”. ¿qué hora señalaba su reloj?
a)6
1 2
b)7
1 2
c)5
1 5
d )4
1 2
2. De los 200 litros de aceite que tiene un depósito se vende 4/5. ¿Cuántos litros quedan por venderse? a) 20 litros
b) 30 litros
c) 40 litros
d) 50 litros
3. De un total de 900 libros, Esther vende loa 5/6. ¿Cuántos libros le queda por vender? a) 150
b) 175
c) 200
d) 250
4. Ignacio tenía en el Banco Interbank S/. 5 600; retira los 7/8 de sus ahorros para comprar un carro. ¿Cuánto dinero tiene aún en el banco? a) S/. 500 QUINTO GRADO
b) S/. 600
c) S/. 700
d) S/. 800 73 73
ARITMETICA
5. Se han vendido los 2/3 de una pieza de tocuyo de 240 metros; luego ¼ del resto. ¿Cuántos metros quedan? a) 50 m
b) 60 m
c) 65 m
d) 70 m
6. ¿Cuánto es los 2/3 de los 3/5 de 40? a) 20
b) 18
c) 17
d) 16
7. En el salón del 6º grado de primaria del colegio “Claret”, la mitad de los alumnos son varones y la tercera parte de ellos juegan básquet. ¿Qué parte del total juegan básquet?
a)
1 4
b)
1 5
c)
1 6
d)
1 8
8. Paulo César corre 2/5 de kilómetro en 10 minutos. ¿Cuántos metros corre en 30 minutos? (1 km 0 1 000m) a) 1 200 m
b) 1 100 m
c) 1 000 m
d) 900 m
9. Un reloj se retrasa 7/12 de minutos por hora. ¿Cuántos minutos se atrasará en un día y medio? a) 20 min
b) 21 min
c) 22 min
d) 24 min
10. Una costurera emplea ¾ de metro de tela para confeccionar una blusa. ¿Cuántos metros necesitará para confeccionar dos docenas de blusas iguales? a) 24 m
b) 22 m c) 20 m d) 18 m
DIVISIONES CON FRACCIONES Para dividir una fracción entre otra, se invierte el divisor y luego se procede a multiplicar directamente el numerador con el numerador y el denominador con el denominador.
Ejemplo:
a)
2 7 2 4 2 4 8 5 4 5 7 5 7 35
invertimos el divisor
ACERTIJO:
7474
Se pretende conseguir que de la hilera de 8 vasos de la figura, queden al final llenos y vacíos de forma alternada (o sea el primero lleno, el segundo vacío, el tercero lleno, etc. o al contrario). ¿Cuál es el número mínimo de vasos que hay que mover para conseguirlo?
QUINTO GRADO
ARITMETICA
Aplico lo aprendido I.
Halla el cociente de las siguientes divisiones:
a)
3 4 4 6
e)
6 2 10 8
i)
6 3 9 4
b)
2 1 5 5
f) j)
c)
5 4 6 5
3 2 7 9
d)
4 1 5 2
2 3 3 4
h)
4 1 12 4
18 9 27 4
l)
64 16 25 4
g)
18 9 27 4
k)
II. Halla el cociente de un número natural entre una fracción o viceversa:
a)8
4 5
d )24 g)
6 8
3 6 7
j )4 2
3 10
b)27
6 8
c)15
e) 6
3 4
f)
h)
5 4 10
k )4
3 2 8
i )7
3 5 9
1 2
1 2 8
l )3 2
2 3
CASOS ESPECIALES DE LA DIVISIÓN CON FRACCIONES: 1º Caso
2º Caso
a b ad c bc d Ejemplo:
5 4 5 7 35 1 4 1 4 7
QUINTO GRADO
3º Caso
a ad c c d Ejemplo:
8 8 2 16 7 7 7 2
a b a d bd Ejemplo:
8 7 8 8 5 7 5 35
75 75
ARITMETICA
OTRA FORMA DE HALLAR COCIENTES: Halla el resultado de cada expresión:
6 c) 9 3 5
4 a ) 12 1 4
8 b) 12 4 5
12 e) 25 8 10
36 f) 8 12 9
24 g) 7 12
60 k) 5 9
140 l ) 20 13
70 j) 5 17
3 d) 4 4 5 27 h) 5 9
21 10 m) 33 5
III. Problemas con divisiones de fracciones: 1. Ricardo tiene un listón de madera de 10 m de longitud, que debe cortar en pedazos de ½ m. ¿Cuántos pedazos obtiene? a) 18
b) 20
c) 22
d) 24
2. ¿Por qué número hay que dividir 12 para obtener 3/4? a) 16
b) 14
c) 12
d) 18
3. Si el kilogramo de carne cuesta S/. 4 ½. ¿Cuántos kilogramos podré comprar con S/. 27? a) 4 kg
b) 6 kg
c) 8 kg
d) 10 kg
4. ¿Cuál es la velocidad por hora de un automóvil que recorre 735 km en 5 5/6 horas? a) 130 km/h
b) 128 km/h
c) 126 km/h
d) 135 km/h
5. Para confeccionar un saco de terno se necesita 1 5/7 de tela. ¿Cuántos metros se necesitará para confeccionar 14 sacos? a) 24 m
b) 22 m
c) 18 m
d) 28 m
6. Cristina debe envasar 150 litros de leche en recipientes de 1 ½ litros. ¿Cuántos envases necesita? a) 200
b) 150
c) 100
d) 170
7. Un caño echa 5 7/8 litros de agua por minuto. ¿En cuántos minutos llenará un depósito de 940 litro? a) 2h 30 min
b) 2 h 40 min
c) 2 h 45 min
d) N.A.
8. Un reloj se adelanta 5/12 de minuto cada hora. ¿Cuántos minutos se adelantará en 3 días? a) 30 min 7676
b) 25 min
c) 20 min
d) 35 min QUINTO GRADO
ARITMETICA
9. Sandra decide premiar a los alumnos de su salón dándoles S/. 5 ½ a cada uno. Si reparte S/. 110 en total. ¿Cuánto son los niños beneficiados? a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
10. Marcia hace un trabajo en 10 horas. ¿Qué parte del trabajo ejecuta en 2 horas? a) ¼
b) 1/5
c) 1/8
d) ½
POTENCIACIÓN CON FRACCIONES
Para hallar la POTENCIA de una fracción basta elevar el numerador y denominador a dicho exponente.
O sea:
( a )n a b (b )n n
Aplico lo aprendido 1. Halla las potencias de: 2
2
1 a ) 2 3 5 c) 6 4 1 e) 81 g ) Sea : A
3 b) 4 2 49 d ) 9 3 27 f ) 125
1 2 4 3 1 + 2 3 6 4 2
El valor de A es:
a)
15 16
b)
20 25
c)
25 16
d)
c)
7 12
d)
20 36
2
h) Si : M
3 1 7 1 + 4 2 12
El valor de 2 A 1 a)
11 12
1 es: 2
b)
QUINTO GRADO
10 12
5 12
77 77
ARITMETICA
RADICACIÓN CON FRACCIONES
n Sí:
a b
n n
n
a
n
a
a a b b
entonces
b
PRACTIQUEMOS UN POCO 1. Halla las raíces de:
a)
4 9
e) 3
27 8
2. Halla el valor de
b)
f)
2A +
36 144
c)
169 100
g)
25 64 16 36
d)
h)
49 81 121 144
B 4
Sí: A
7878
2 3 25 1 5 + 4 36 2 6
B
2 5 4 1 1 +1 6 9 3 3
QUINTO GRADO
ARITMETICA
OPERACIONES COMBINADAS
SOLUCION DE LA OPERACION
3.- Las adiciones y sustracciones de izquierda a derecha.
2.- Las multiplicaciones o las divisiones
1 Las radicaciones o potenciaciones.
OPERACIONES COMBINADAS ( si tienen signos de agrupación , se resuelve primero las operaciones que estén en estos signos de la parte interior hacia la parte exterior ).
Desafiando nuestras habilidades
1. Resuelve las operaciones combinadas que se te presentan: 2 1 7 a) 4 3 6 6
1 2 1 b) 5 + 2 2 3 4 3
1 6 43 c) + 3 . 1 2 5 98
1 3 1 4 d ) + 1 2 4 10 3
e) 4
g)
1 3 1 1 1 + + 5 5 10 25 10
12 3 3 50 3 6 + 5 5 7 7 14
i )(62 32 )
9 (42 32 ) 11
QUINTO GRADO
23 1 6 3 f ) + 1+ 34 2 5 2
h)
2 5
5 7 1 4 + + 12 18 6 9
1 2 9 2 5 j ) + 3 2 + 5 4 3 5 5 8
79 79
ARITMETICA
2. Resuelve las operaciones combinadas en tu cuaderno, teniendo presente las jerarquías operativas:
2 5 3 12 a) : 2 + 3 6 10 18
b)
15 9 8 10 :3 + 45 12 24 18
3 4 5 6 c) + 9 5 8 9
5 2 7 d ) (42 + 32 ) 3 1 6 23 15 1 1 2 + 4 + 1 4 2 f) 3 1 5 2
1 4 + 3 1 1 4 2 1 7 e) 3 4 6 5 8 3
1 6 1 +1 2 2 5 g) 1 1 4 + 3 2 1 2 1 2+ 1 10 3 1 + 5 20 i) 1 1 2 10 10 24 3 3 k) 1 + 7 21 2 14
h)
j)
16 25 15 3 12 48 75 100 10 18
4 1 3 5 10 + 15 5 5 6 25
3 3 5 5 l ) + 2 5 + 15 5 6 9 12 12
FRACCIONES COMPLEJAS Son aquellas cuyo numerador y/o denominador son fracciones. Así:
5 2 3 9
1
;
2 15 2 1 6
;
2 9 17
;
9 1 45
Ojo: Para reducir una fracción compleja a simple, se efectúa la multiplicación del numerador entre las fracciones del denominador. Así:
3 3 1 3 8 24 a) 4 6 1 4 8 4 1 4 8
Ahora te toca a tí
8080
QUINTO GRADO
ARITMETICA
Resuelve los ejercicios planteados en tu cuaderno: 3 4
1)
1+
1 2
2)
5 6 1
2 3
3 2 3) 5 1 + 8 6 2
3 21 4 6) 7 3 7 8 4 12
3 2 8 4) 1 3 + 4 2
6 2 9 3 5) 5 16 8 15
7 4 3 + 7) 8 5 10 6 1 2 15 2 5
3 7 4 + 1 4 8 8) 1 5 2 + 2 6
10)
2 +
3 7 13 1 14 4 5 3 6 10 2 3
1
1 2
11) 2
2 3 2
1 2 2 3
3 15 7 + 2 2 16 8 9) 2 1 1 3 2
1 1 3 2 + 5 2 4 + 6 3 12) 12 2 18 5 1 9
PROBLEMITAS 1. Jessica debe S/. 75, si paga S/. 25. ¿Qué parte del total debe aún? a) 1/3
b) ½
c) 2/3
d) 4/3
2. Aldo realiza el lunes 1/8 de una obra, el martes ¼, si debe terminar la obra el día miércoles. ¿Qué parte de la obra ejecuta el miércoles? a) 5/8
b) ½
c) 2/8
d) 4/8
3. Al terminar una trabajo reciben Juan 4/5 de S/. 150, Rubén ¾ de S/. 200 y Maura 7/8 de S/. 400. ¿Cuánto reciben los tres juntos? a) S/. 600
b) S/. 620
c) S/. 564
d) S/. 782
4. Nadia tiene 24 metros de tela, si necesita ¾ de metro para hacer un vestido de muñeca. ¿Cuántos vestidos hará con los 24 metros? a) 26
QUINTO GRADO
b) 28
c) 30
d) 32
81 81
ARITMETICA
5. Sí por un cuarto de kilogramo de oro se paga S/. 1 500. ¿Cuánto se pagará por dos kilogramos? a) 10 000
b) 11 000
c) 12 000
d) 14 000
6. Kelly resolvió la ½ de su tarea, Maicol la 3/5 partes y David 5/6. ¿Quién de los tres resolvió la mayor parte de su tarea? a) Nelly
b) Maicol
c) David
d) Ninguno
7. Nancy tiene una parcela de terreno, siembra 1/10 de lechuga, 2/5 de espinaca y el resto de col. ¿Qué parte del total esta sembrado de col? a) 1/10
b) 5/10
c) 7/10
d) 4/10
8. Un ciclista empieza a correr a las 10 ¾ horas, sí corre 2 ½ horas. ¿A qué hora termina la carrera? a) 13 1/3
b) 13 ½
c) 13 1/4
d) 13 4/3
9. Un recipiente de vino tiene una capacidad de 8 ¼ litros, si se vende primero 2 ½ litros y luego 3 ¼ litros. ¿Qué cantidad de vino queda en el recipiente? a) 2 litros
b) 2 ½ litros
c) 2 2/3 litros
d) 4 1/3 litros
10. Raquel tiene 120 kg de miel que debe guardar en recipientes de ¾ kg. ¿Cuántos recipientes necesita? a) 100
b) 150
c) 160
d) 180
NÚMEROS DECIMALES
En nuestras notas de clase, en los tiempos que realizan los deportistas, o para medir nuestra estatura, utilizamos los números decimales. Estos números, nos permiten obtener medidas más exactas que los números enteros.
LAS UNIDADES DECIMALES a) María no se encuentra bien. Hoy no irá a la escuela, su madre le ha puesto el termómetro, y tiene unas décimas de fiebre. El termómetro está graduado desde 35 grados de temperatura, hasta 41. Cada una de las temperaturas está dividida en diez partes, cada parte es una décima y se puede representar con una fracción 1/10 o con un número decimal 0,1. Se lee cero coma uno.
Las unidades decimales se representan siempre después de una coma y resultan de dividir una unidad en diez, cien o mil partes. Si la unidad se divide en diez partes, se llama décima; si se divide en cien, centésima y si se divide en mil partes, milésima.
8282
QUINTO GRADO
ARITMETICA
EL VALOR DE POSICIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES. Hoy han dado las notas del examen de matemáticas. Luis ha sacado un 5,75, casi por los pelos y Ana un 7,253, una buena nota. Las dos calificaciones son números decimales, números que tienen dos partes separadas por una coma. A la parte de la izquierda, se le llama parte entera y a la de la derecha, detrás de la coma, parte decimal.
a) El número 5,75 tiene 5 unidades de parte entera, 7 décimas y 5 centésimas. También podemos descomponer el número de la siguiente manera: 5 unidades. 7 décimas = 0,7 unidades. 5 centésimas = 0,05 unidades.
b) El número 7,253 tiene 7 unidades, 2 décimas, 5 centésimas y 3 milésimas, o lo que es lo mismo: 7 unidades. 2 décimas = 0,2 unidades. 5 centésimas = 0,05 unidades. 3 milésimas = 0,003 unidades.
DECENAS
UNIDADES
COMA DE CIMAL
décimos
centésimos
milésimos
diez milésimos
cien milésimos
millonésima
MILLAR
UM
CENTENAS
DM
UNIDADES DE
MILLAR
DECENAS DE
TABLERO DE VALOR POSICIONAL DE NÚMEROS DECIMALES
C
D
U
,
d
c
m
dm
cm
mll
Coma decimal
LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS DECIMALES Para leer un número decimal, escribimos primero la parte entera, seguida de la palabra "unidades" y a continuación la parte decimal, seguida de la palabra décimas, centésimas o milésimas, según tenga una, dos o tres cifras decimales. Por ejemplo:
a) 3,4: Se lee, tres unidades y cuatro décimas. b) 12,58: Doce unidades y cincuenta y ocho centésimas. c) 45,786: Cuarenta y cinco unidades y setecientas ochenta y seis décimas.
QUINTO GRADO
83 83
ARITMETICA
Para escribir un número decimal, ponemos primero la parte entera y al llegar a la palabra "unidades", ponemos la coma. Después escribimos la parte decimal, teniendo en cuenta que debe tener el número de cifras decimales que corresponde a la palabra final. Es decir, si queremos escribir los números: Catorce unidades y cuarenta centésimas: 14,40.
Desafiando nuestras habilidades
1. Completa en los espacios que faltan del cuadro: FRACCIÓN DECIMAL
NÚMERO DECIMAL
SE LEE
3 10
0,3
Tres décimos
14 100
0,14
125 10000
0,001
Veinticuatro milésimos
0,0078
27 1000 5 enteros 312 diez milésimos
7 10000 2,006
1,3472
2. Lee los siguientes números decimales: a) 0,273 = …………………..……………………………………………….………
Ahora te toca a tí
.. b) 87, 306 = ………………..……………………………………………..………… c) 0, 01 = …………………..………………………………………………….…… d) 2, 1 = ………………..………………………………………………………..… e) 92,945= …..…………………………………………………………………… 8484
QUINTO GRADO
ARITMETICA
f) 568,2487 = .…………………………………………………………………..… g) 0,0014 = ….…………………………………………………………….…… h) 103,25 = …………………………………………………………………… i) 0,38 = ……..……………………………………………………………… 2. Escribe los siguientes números decimales: a) Cinco enteros y cinco décimos = …………………………. b) Veintidós centésimos = …………………………………..... c) Dos enteros y veintinueve cien milésimos = ……………. d) Cinco milésimos = …………………………………………. e) Un diez milésimos = …………………………….…………. f) Treinta y cuatro enteros, trece milésimos = ……………………. g) Cuatro enteros, cinco millonésimos = ………………………….. h) Tres diez milésimos = ……………………..
COMPARACIÓN DE DECIMALES: I.
Marca la alternativa que consideres adecuada: 1. ¿Cuál es el menor de los números decimales presentados: a) 0,76
b) 0,7
c) 0,734
d) 0,00076
c) 4,982
c) 4,9
2. ¿Cuál es el mayor de los números? a) 4,38
b) 4,098
3. Coloca el número que falta: a) __________ > 87,469
b) 65,328 < __________
c) 278,85 = _________
d) ________ < 846,75 – 376,9
4. Coloca <, > ó = en los siguientes casos: 23,986 __________ 72,687
81,56
__________ 98,74
0, 657 __________0,675
76,89
__________76,89
99,876 __________99,646
299,768__________387,85
76,85
__________67,58
5. Ordena en forma ascendente (de menor a mayor) 23,867; 76,476; 98, 736; 10,756; 8,37; 25,8; 80,67; 87,56 ______________________________________________________________________________ QUINTO GRADO
85 85
ARITMETICA
6. Ordena en forma descendente (de mayor a menor) 54,86; 53,67; 60,35; 54,80; 64,67; 50,756; 68,746; 56,89 ______________________________________________________________________________
OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES ADICIONES Y SUSTRACCIONES CON NÚMEROS DECIMALES: Para sumar o restar números decimales se sigue los siguientes pasos: 1. Se escriben los números decimales verticalmente. De modo que las comas queden en la misma columna (es decir ordenando las comas). 2. Si los números no tienen la misma cantidad de cifras decimales, se añaden a la derecha los ceros necesarios que tengan igual cantidad. 3. Se suma o se resta normalmente y se agrega la coma al resultado bajo la columna de las comas. Ejemplos: ADICIÓN
SUSTRACCIÓN
12,45 + 3,567 + 0,65=
56,847 – 24,98 =
12,450 +
56,847 -
3, 567
24,980
_ 0,650__
31,867
16, 667
Aplico lo aprendido 1. ADICIONES CON NÚMEROS DECIMALES: Halla el resultado de las siguientes adiciones: a) 25,214 + 0,182 + 6,2 =
f) 0, 236 + 34, 523 + 34,45 =
b) 0,6 + 12,3 + 3 + 0,005 =
g) 64,82 + 6,36 + 6 525 =
c) 872 + 34,567 =
h) 98,47 + 4,87 + 237,674 =
d) 32,342 + 23, 34 + 3,120 =
i) 364,983 + 0,736 + 826 =
e) 834 + 0, 4746 + 2,4 =
j) 284, 736 + 5,9027 + 0,64 =
8686
QUINTO GRADO
ARITMETICA
2. SUSTRACCIÓN CON NÚMEROS DECIMALES: Resuelve y halla la diferencia de los siguientes ejercicios: a) 258,54 – 35, 88 =
f) (13 + 43,74) – (43,65 – 41,7) =
b) 1 500 – 627, 726 =
g) 1 000 – [348,7 + (500 – 72,456)] =
c) 400 – 263, 079 =
h) 1 235,8 – [759,5 + (624 – 329,682) ] =
d) 317,6 – 198 =
i) 284, 746 – (87,3556 +129 ) + 1,23 =
e) 38,4 - ( 40 – 17,378) =
j) (827,34 – 736,2) + (23, 453 – 12,34) =
EJERCICIOS Plantea y resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas: 1. Daniela paga por 2 kg de turrón con un billete de S/. 20 y recibe de vuelto S/. 4,50; luego compra 2 kg de carne a S/. 9,75 el kilogramo. ¿Cuánto gastó en total?.
3. La medida de una pizarra de forma rectangular es 3,75 metros de largo y 2,45 metros de ancho. ¿Cuánto mide el perímetro de la pizarra?.
2. Para comprar un juguete que cuesta S/. 30 me falta S/.5,60, si me prestara S/.10 y comprar el juguete. ¿Cuánto me sobraría?.
4. Arnaldo compra 50 metros de tela, utiliza primero 10,75 metros, luego 15,5 metros. ¿Cuántos metros aún le queda por utilizar?.
QUINTO GRADO
87 87
ARITMETICA
5. Un recipiente tiene 125 litros de capacidad, si se echa primero 36,725 litros y luego 42,5 litros. ¿Cuántos litros le faltaría echar para que se llene el recipiente?.
6. Raúl recibe un adelanto de S/.100, paga por un pantalón S/. 34,50 y por unos zapatos S/. 12,75 más que el pantalón. ¿Cuánto le queda?.
7. Gisela gana S/. 25 al día, Idalí S/. 3,50 menos que Gisela y Jessica S/. 8,75 más que Idalí. ¿Cuánto cobrará Jessica después de 3 días de labor?.
8. Andrés compra un pantalón por S/. 125,50 una camisa por S/. 28,75 menos que el pantalón y una chompa que cuesta S/. 17,50 más que la camisa. ¿Cuánto pagó por las tres prendas?.
9. José tiene S/. 62,80; quiere comprar una pelota que cuesta S/. 105, pide a Sebastián S/. 30 quien le da S/. 4,50 metros de lo que le pide. Pide a Carlos S/. 20,50 y le da S/. 6,75 más de lo que pide. ¿Cuánto le falta o le sobra para comprar la pelota?.
10. Ángela tiene 350 kg de quinua, vende primero 53,80 kg, luego el doble de lo que vendió primero menos 17,50 kg y la tercera venta tantos kilogramos como las dos ventas anteriores juntas. ¿Cuántos kg aún les falta vender? .
MULTILPLICACIONES CON NÚMEROS DECIMALES 1. MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL POR UN NÚMERO ENTERO: Seguiremos los siguientes pasos: a) Primero, se realiza la multiplicación si tener en cuenta la coma. b) Después se cuentan las cifras que hay a la derecha de la coma en el factor decimal. c) Finalmente, se escribe la coma en el residuo, de tal manera que queden con la misma cantidad de cifras a la derecha de la coma que el factor decimal.
8888
QUINTO GRADO
ARITMETICA
Ejemplo: 2 cifras dec. 32,76 x
32,76 x
32,76 x
7
7
7
22932
22932
229,32 2 cifras dec
Aplico lo aprendido 1. Halla los productos de: a) 8,756 x 4 =
f) 65,48 x 72 =
b) 264,7 x 5 =
g) 64,57 x 26 =
c) 53,806 x 8 =
h) 42,80 x 74 =
d) 84,09 x 9 =
i) 680,76 x 58 =
e) 635, 46 x 45 =
j) 75,83 x 68 =
2. Resuelve: a)
(3,94 – 2,65) x 3 =
e)
31,4 x 9 – 75,74 =
b)
(9,2 – 5,647) x 7 =
f)
5,34 x 7 – 23,2 =
c)
(1,2 + 3,4) x 5 =
g)
7 x ( 12,94 + 23,6) =
d)
5,3 x 8 + 1,2 =
h)
3 x( 23,45 – 22,903) =
2. MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL POR OTRO DECIMAL Debemos seguir los siguientes pasos: a) realizaremos la multiplicación sin tener en cuenta las comas. b) Después contamos la cantidad de cifras decimales que hay en total en los dos factores (multiplicando y multiplicador). c) Finalmente, se escribe la coma en el resultado, de tal manera que queden con la misma cantidad de cifras decimales como las que hay entre los dos factores.
24,53 X 3,4 9812 7359 83402
2 cifras decimales 24,53 X 3,4 9812 7359 83,402
QUINTO GRADO
1 cifra decimal
3 cifras decimales
89 89
ARITMETICA
Aplico lo aprendido Halla los productos de: a) 12,5 x 5,4 =
e) 86,74 x 4,3 =
b) 858,7 x 1,5 =
f)
c) 9,6 x 0,06 =
g) 860,64 x 4,9 =
d) 52,4 x 3,7 =
h) 85,746 x 39,7
0,175 x 0,03 =
3. MULTIPLICACIÓN POR 10, 100, 1 000, etc. Para multiplicar un número decimal por 10, 100, 100, etc. corremos la coma tantos lugares como ceros tenga el segundo factor. Halla los productos que se te presentan: a) 74,36 x 10 = 743,6
f)
0,64 x _______ = 640
b) 0,53 x 1 000 =…………..
g) 36,894 x _________ = 3698,4
c) 2,64 x 10 =…………..
h) 0,300096 x ________ = 30,96
d) 4,4 x 1 000 =……………
i)
7,02 x ____________ = 702
e) 7,309 x 10 000 =…………..
j)
1,6435
Desafiando nuestras habilidades
x
___________
=
164
A resolver se ha dicho
Resuelve en tu cuaderno los ejercicios planteados:
1) 2 543,98 X 3,6 =
2) 35,8754 X 6,9 =
Halla: 2a + B – 10,078 10) E = 17 – 2 ( 4,5 + 3,75) + 2,9 F = 15 (7 – 4,8 + 3,64) – 5 (6 – 3,4)
3) 946,56 x 72,8 =
Halla: 4E – F
4) 4 564 por 6,97 =
11) 10 (36 – 24,5) + 100 ( 49,8 + 37,24)
5) 4 (7 – 6,45) + 2 (3,5 + 5,78) =
12) 100 ( 19 – 4,62) – 10 (23,8 – 6,5)
6) 100 – 4 (15,6 + 4,98) = 7) 214 – 12 (20 – 4,64) + 156,8 = 13) 10 ( 4,96 + 16,24) + 186 – 100 ( 17 – 4,63) 8) 275,6 + 4 (23 + 6,75) – 298,862 = 14) 100 + 100 (4 – 2,5) – 10 ( 28,6 + 7,9) 9) Si: A = 4 ( 15 – 12,5) + (12,5 + 7,5) B = 100 – 6 (20 – 14,8)
9090
QUINTO GRADO
ARITMETICA
EJERCICIOS a) Daniel y sus cuatro hijas van al circo, la entrada al circo cuesta S/. 10,60 por persona; en el espectáculo compra golosinas por S/.24,75, si tenía S/. 100. ¿Cuánto le queda?.
b) Mariluz compra 15,25 metros de percala a S/.8 el metro. Si paga con dos billetes de S7. 50. ¿Cuánto recibe de vuelto?.
c) César compra un par de medias por S/. 7,25, una gorra por el doble de lo que costo las medias y un polo por el triple de la gorra. Si paga con un billete de S/. 50 y otro de S/. 20. ¿Cuánto recibirá de vuelto?.
d) Miriam compra 75,6 metros de cable a S/. 0,75 el metro; 428,50 metros de alambrón a S/. 2,40 el metro y 64 bolsas de cemento a S/. 18,25 la bolsa. Si tiene para pagar S/. 2 500. ¿Cuánto le queda?.
e) Laura compra medio millar de lápices a S/. 0,75 cada uno, un cuarto de ciento de tajadores a S/: 2,20 res cuartos de millar de lapiceros a S/. 0,80 cada uno. ¿Cuánto le queda si tiene S/. 1 052,50?.
f) Luis compra un cuarto de millar de trompos a S/. 1,20 cada uno, si vende un ciento a
S/. 1,75 y el resto a S/. 1,90. ¿Cuánto gana en total?.
g) Denys paga S/ 4,25 por un cuarto de kg de pasas importadas. ¿Cuánto pagará por 24,74 kilogramos.
h) Mery compra un ciento y medio de melones a S/. 0,55 cada uno, si vende dos quintos a S/. 1,20 y el resto a S/. 1,25. ¿Cuánto gana en total?.
i) Camilo compra el metro de polipyma a S/. 7,00 , y vendo ganando la mitad de su costo . ¿A cómo vende primero un decímetro, segundo 35 centímetros, tercero un metro y medio?.
j) María 24 metros de cable eléctrico a S/.4,50 el metro, el comerciante ha medido el cable con un metro ya gastado que media 98 cm. ¿Qué perdida sufre María?.
k) Una persona de 2000 pasos de 75 cm cada paso ¿Cuántos km ha recorrido?.
l) El piso de un dormitorio tiene 3,6 m de ancho. Si se que quiere cubrir dicho piso con alfombra, ¿Cuánto de ancho tendrá la alfombra?.
4. DIVISIÓN CON DECIMALES a) División por la unidad seguida de ceros Para dividir un número decimal por la unidad seguida de ceros, primero escribimos el número sin coma, y después corremos la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros acompañen a la unidad. Si se nos acaban los lugares, añadiremos ceros a la izquierda. Es decir, si queremos dividir el número 8,972 entre 10, 100 ó 1.000, lo haremos así:
8,792 : 10 = 0,8792; como no teníamos más lugares a la izquierda, hemos añadido un cero para poder correr la coma.
8,792 : 100 = 0,08792; añadimos dos ceros a la izquierda para poder correr la coma.
8,792 : 1.000 = 0,008792; añadimos tres ceros a la izquierda para poder correr la coma.
QUINTO GRADO
9191
ARITMETICA
b) División no exacta con cociente decimal Se resuelve la división en la forma conocida.
55
8
49
6
6 Como el resto que se obtiene es diferente de cero, se escribe una coma en el cociente y se agrega un cero a la derecha del resto.
54
8
48
6, 7 5
60 56
Se continúa dividiendo y agregando un cero a al derecha de los restos que se van resultando hasta obtener un cociente con una, dos, tres, … cifras decimales.
40 40 -0
Aplico lo aprendido Resuelve: a) 37 : 5 =
g) 90 : 8 =
b) 489 : 6 =
h) 27 : 4 =
c) 13 : 5 =
i)
694 : 16 =
d) 258 : 5 =
j)
428 : 32 =
e) 44 : 8 =
k) 486 : 48 =
f)
l)
747 : 12 =
782 : 25
c) División de números decimales Para dividir dos números decimales, se suprime la coma del divisor y se corre la coma del dividendo tanto lugares a la derecha como cifras decimales tenga el divisor. Si es necesario se agregan ceros. 71,54
7,3
1 cifra
se corre 1 cifra 715,4
73
Ahora:
657
9,8
Dividendo = divisor x cociente + residuo
584 584 --0
Aplico lo aprendido Efectúa las siguientes divisiones en tú cuaderno:
9292
a) 1,404 : 2,4 =
f)
36,8 : 9,2 =
b) 35,2 : 6,8 =
g) 71,54 : 7,3 =
c) 8,51 : 7,4 =
h) 20,88 : 2,4 =
d) 65,66 : 6,7 =
i)
73,8 : 12,3 =
e) 21,443 : 4,1 =
j)
958,5: 21,3 = QUINTO GRADO
ARITMETICA
OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS DECIMALES
Para resolver ejercicios con operaciones combinadas hay que tener presente los siguientes principios: Si hay paréntesis se resuelve primero la operación que está dentro de éstos. Si no hay paréntesis se resuelven primero las multiplicaciones y las divisiones, luego las sumas y restas. Ejemplo: a) (0,8 – 0,1) x 6,3 = ? 0,7
x 6,3 4,41
Desafiando nuestras habilidades
I.
Resuelve las operaciones combinadas que se te presentan a continuación
1)
10(2,4) 2 + 3,6 0,02 (1 0,8)
3)
15 + 2(4,8 1,3) 10 2 (36 35,2)
2)
10 2 (2 0,75) + 4 : 0,4 2 0,05
4)16 +
3
5)
10 (0,2 : 0,25) + 10(9 8,96) 4(10 9,75)
6)
7)
4(10 7,5) 3 : 10(9 8,96) 100(1,25 + 5)
8)
QUINTO GRADO
5 2 (12 11,96) 10 3 (7 6,96)
1 (0,5) 2 2 0,125 (0,6 0,5) 2
+ 2(4 : 0,08)
10(4,5 + 7,25) (1,5 + 2,5) 2 100(98 96,05) 0,002
9393
ARITMETICA
EJERCICIOS a) Patricio necesita embotellar 75 litros de aceite en recipientes de ¾ de litro. ¿Cuántas botellas utilizará?.
d) Carmelita compra 10 kg de carne a S/. 8,60 el kilogramo, siendo los huesos 2/5 del peso total. ¿cuál es el precio del kilogramo de carne sola?.
b) Ada compra 6 docenas de cuadernos a S/. 2,25 la unidad, además recibe de regalo media docena de cuadernos, si vende ganando un quinto de sol por cada cuaderno. ¿Cuánto ganará en total?.
e) Jhoana compra medio ciento de papayas por S/. 112,50, vende 3/5 del total a S/. 2,80 cada una y el resto a S7. 3. ¿Cuánto gana en total?.
c) ¿Cuál es la longitud de un rollo de plástico que ha costado S/. 562,50. Sabiendo que la vender 30 metros en S/. 180 se ha ganado S/. 1,50 por metro?.
f)
Por un tubo de 37,35 se paga S/. 388,35, se vende la tercera parte a S/. 12 el metro y el resto a S/. 14,50 el metro. ¿Cuánto es la ganancia total?
.
¿SABIAS QUE? El mayor salto de patines con decimales Aunque normalmente utilizamos los números decimales para multitud de situaciones, una de sus mayores utilidades, es medir distancias. En estos últimos tiempos, se han puesto de moda en todo el mundo los patines en línea, a pesar de que son más viejos de lo que creemos. Ya los esquimales los hacían con huesos de animales a principio de siglo, hoy se hacen competiciones de salto con estos patines en todos los lugares del planeta. El salto más espectacular lo hizo un suizo en el año 1996. Llegó a saltar 2,7 metros de altura sobre el suelo, casi podríamos decir que voló.
9494
QUINTO GRADO
ARITMETICA
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES DECIMAL EXACTO O TERMINANTE: Son aquellas fracciones que al dividirse da un número exacto. Así:
1 0,5 2 4 c) 5 3 e) 5 a)
b)
1 0,2 5
2 4 7 f) 10
d)
DECIMAL PERIÓDICO PURO Son aquellas fracciones que al dividirse, el número de la parte decimal se repite infinitamente.
a)
4 0,3636.... 0,36 11
c)
11 9
b)
d)
2 0,666666666.... 3
7 11
DECIMAL PERIÓDICO MIXTO Son aquellas fracciones que al dividirse, hay un una parte periódica y otra no periódica. Así:
a)
7 1,1666666666.... 6
b)
8 15
c)
8 15
d)
31 14
e)
17 12
RAZONES Y PROPORCIONES 1. RAZONES O RELACIONES Es el resultado de comparar dos cantidades. La comparación entre dos cantidades puede efectuarse de dos modos distintos. a) Razones Aritméticas Cuando se calcula la diferencia entre ambas cantidades, es decir, restándolas. La razón aritmética de 9 a 5 se escribe: 9 - 5 y se leerá «nueve es a cinco» b) Razones Geométricas Cuando se calcula el cociente entre ambas cantidades es decir, dividiéndolas. La razón geométrica de 7 a 3 se escribe:
QUINTO GRADO
7 o 7/3 y se lee «siete es a tres» 3
9595
ARITMETICA
TÉRMINOS DE UNA RAZÓN GEOMÉTRICA
Los términos de una razón geométrica son:
- Antecedente: Es el numerador o Dividendo al cociente indicado - Consecuente Es el denominador o Divisor del cociente indicado.
2. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA Es la igualdad de dos razones geométricas por Cociente, las proporciones geométricas se pueden representar de dos maneras distintas. Simbólicamente Se lee: m es a n como x es a y» m : n :: x : y Se lee «m es a n como x es a y» a) Términos de una Proporción Geométrica 1. Términos Extremos Se les considera al antecedente de la primera razón y al consecuente d ela segunda razón, es decir el primero y el cuarto. 2. Términos Medios Se les considera al antecedente de la segunda razón y al consecuente de la primera razón, es decir, el segundo y el tercero. Donde: Los extremos son
: 1 y 10.
Los medios son : 5 y 2
Aplico lo aprendido I. Marca la respuesta correcta; además completa los números que faltan para formar razones equivalentes:
1)
3 4 24
a) 14
3)
b) 16
2) c) 18
a) 3
6 12 48
a) 24
b) 12
25 5 15
4) c) 26
b) 5
c) 7
¿Resolvemos juntos?
8 20 10
a) 4
b) 5
c) 6
II. Escribe tres razones equivalentes:
9696
1)
2 4 3 12
3)
11 12 24 36 48
2)
7 14 21 24 8
4 8 32 5 20
4)
QUINTO GRADO
ARITMETICA
III. Completo las tablas de proporcionalidad Cucharitas de azúcar
1
Tazas de té
3
Precio en soles
5
Número de juguetes
2
3 6
7 15
15 4
40 8
PROPORCIÓN PROPIEDAD FUNDAMENTAL:
Proporción es la igualdad de dos razones.
a c b d Donde:
a c b d
a y d son extremos b y c son medios
ad bc Desafiando nuestras habilidades I. Forma proporciones a partir de las razones dadas:
3 7 9 27
4 8
10 18
6 7
12 15
15 24
36 48
II. Escribe V ó F según corresponda:
2 6 5 15
(
)
9 3 15 5
(
)
15 3 20 4
(
)
7 14 8 15
(
)
18 3 36 6
(
)
6 14 24 15
QUINTO GRADO
(
)
9797
ARITMETICA
III. Aplico la propiedad fundamental y hallo el valor de x.
1 5 a) 1 5 a ) x 30 x 30 x 4 c) x 4 c ) 10 5 10 5 2 6 e) 2 6 e) x 24 x 24 9 81 g ) 9 81 g) x 9 x 9 3 x x i) 3 i ) 4 (10 + 6) 4 (10 + 6) (10 1) x k ) (10 1) x k ) ( 20 + 1) 7 ( 20 + 1) 7 ( 20 + 7) 9 m) ( 20 + 7) 9 m) x 9 +1 x 9 +1 1 35 o) 1 35 o) 2 10 2 10 x x
10 5 b) 10 5 b) 60 x 60 x x 20 d ) x 20 d ) 5 25 5 25 x 12 f ) x 12 f ) 8 48 8 48 10 (99 + 1) h) 10 (99 + 1) h) x (99 + 101) x (99 + 101) ( 4 + 1) 15 j ) ( 4 + 1) 15 j ) (5 + 1) x (5 + 1) x 6 (10 + 20) l ) 6 (10 + 20) l) 7 x 7 x 16 x x n) 16 n) ( 4 + 1) (16 + 4) ( 4 + 1) (16 + 4)
Aplico lo aprendido I. Halla la media proporcional de:
i)
Hallar la media proporcional de: 6 y 5
a) Hallar la media proporcional de: 7 y 6
j)
Hallar la media proporcional de: 4 y 3
b) Hallar la media proporcional de: 4 y 12
k) Hallar la media proporcional de: 6 y 7
c) Hallar la media proporcional de: 26 y 8
l)
d) Hallar la media proporcional de: 9 y 7
m) Hallar la media proporcional de: 9 y 6
e) Hallar la media proporcional de: 5 y 6
n) Hallar la media proporcional de: 8 y 18
f)
Hallar la media proporcional de: 4 y 13
o) Hallar la media proporcional de: 20 y 2
g) Hallar la media proporcional de: 7 y 12
p) Hallar la media proporcional de: 5 y 15
h) Hallar la media proporcional de: 8 y 9
q) Hallar la media proporcional de: 6 y 30
II.
9898
Hallar la media proporcional de: 1 y 2
Hallar la cuarta proporcional de: 1)
2; 4 y 6
2) 8; 10 y 12
3)
15; 17 y 19
4) 21; 23 y 24
5)
32; 35 y 38
6) 42; 47 y 50
7)
60; 62 y 70
8) 72; 80 y 90
9)
75; 80 y 85
10) 67; 69 y 71
QUINTO GRADO
ARITMETICA
APLICACIONES DE LA PROPORCIONALIDAD PROBLEMAS DE REGLA DE TRES SIMPLE Los problemas que plantean relaciones de proporcionalidad directa o inversa, se resuelven mediante procedimientos al que se denomina “regla de tres” y que consiste en hallar el término cualquiera de una proporción cuando e conocen los otros tres.
1. Si 2 metros de tela cuesta S/. 30. ¿Cuánto se pagará por 100 metros de tela de igual calidad?.
4. Dos albañiles levantan un muro en 10 días. ¿Cuántos albañiles más serán necesarios para que terminen en 5 días?.
Regla de tres directa:
2. Si 10 obreros hacen una obra en 15 días. ¿En cuánto tiempo tardará 30 0breros?. Regla de tres inversa:
3. Por 3 juguetes se paga S/. 40. ¿Cuánto se necesita para comprar tres docenas de juguetes de igual calidad?.
QUINTO GRADO
5. Con 2 kg de azúcar se pueden preparar 6 pasteles. ¿Cuántos pasteles se prepararán con 18 kg?.
6. Para hacer 3 vestidos se necesita 7,50 m de tela. ¿Cuánto se necesitan para hacer 72 vestidos?.
9999
ARITMETICA
7. Un carro recorre 90 km en 2 horas. ¿Cuántos km recorrerá en 5 horas?.
8. 6 obreros cobran S/. 150 por un día de trabajo. ¿Cuánto cobrarán 9 obreros por el mismo tiempo de labor?.
9. Con S/. 36 se pueden comprar 4 juguetes. ¿Cuánto se necesitará para comprar 3 docenas de juguetes?.
10. Analí compra 5 kg de carne a S/. 35. ¿Cuánto pagará por 31 kg de carne de igual precio?.
TANTO POR CIENTO O PERCENTAJE (%)
Se llama tanto por ciento de un número, a una o varias de las cien partes iguales en que se puede dividir dicho número
1. Aplicación del Tanto por Ciento Tenemos los siguientes casos:
I. Hallar el tanto por ciento de un número.- Primero se traduce el enunciado del problema en forma esquemática; luego se forma una proporción con los cuatro números directamente Proporcionales y finalmente se halla la cuarta proporcional. Ejm: a) Hallar el 50 % de 400 400 --------- 100% x
--------- 50%
(directamente proporcional)
x = 200
El 50 % de 400 es 200
Desafiando nuestras habilidades I.
Hallar: a) 30% de 1200
d) 69% de 130
g) 12% de 820
b) 28% de 500
e) 84% de 700
h) 10% de 624
c) 42% de 720
f)
i)
100 100
93% de 2100
32% de 246 QUINTO GRADO
ARITMETICA
j)
60% de 582
m) 94% de 730
q) 28% de 810
k) 28% de 634
n) 15% de 300
r)
l)
o) 24% de 242
s) 82% de 930
p) 16% 364
t)
38% de 1000
38% de 810
86% de 2300
II. Dados dos números calcular que tanto por ciento es uno del otro.Ejemplo: ¿Qué tanto por ciento es 15 de 600? 600 ------ 100% 15 ------ x
x = 2,5 El 15 de 600 es 2,5%
Aplico lo aprendido I.
Qué porcentaje es: 1) 30 de 900
8) 12 de 516
15) 64 de 930
2) 26 de 300
9) 23 de 814
16) 72 de 1220
3) 28 de 240
10) 82 de 915
17) 90 de 760
4) 32 de 1200
11) 40 de 1200
18) 82 de 572
5) 20 de 310
12) 36 de 824
19) 14 de 232
6) 18 de 724
13) 22 de 720
20) 28 de 318
7) 19 de 122
14) 60 de 1500
III. Hallar el número cuando se conoce un tanto por ciento de él ¿De qué número es 46 el 23%? 46 ---------- 23% x ---------- 100% x = 200
ENTONCES: 46 es el 23% de 200
Aplico lo aprendido I.
¿De qué número es: 1) 20 el 18%
8) 216 el 36%
15) 2200 el 66%
2) 39 el 24%
9) 312 el 48%
16) 614 el 19%
3) 60 el 32%
10) 610 el 56%
17) 518 el 24%
4) 82 el 19%
11) 1200 el 20%
18) 916 el 24%
5) 76 el 43%
12) 368 el 34%
19) 1500 el 98%
6) 96 el 56%
13) 612 el 92%
20) 732 el 75%
7) 120 el 30%
14) 516 el 82%
QUINTO GRADO
101 101
ARITMETICA
EJERCICIOS 1) De los 50 alumnos que hay en el segundo grado del Colegio «Claret» 42 alumnos llevan loncheras. ¿Qué porcentajes no llevan loncheras?.
11) Por la compra al contado de un televisor cuyo valor es de 680 soles, me hicieron un descuento del 5%. ¿Cuánto pagué por el televisor?.
2) De las 100 estudiantes del quinto grado del Colegio «Claret” 47 se movilizan en microbús, 23 en auto particular y el resto a pie. ¿Qué porcentaje se movilizan a pie?.
12) Diana compró una cocina a kerosene cuyo costo es de S/. 350. Si le hicieron un descuento del 15%. ¿Cuánto pagó Diana por la cocina?.
3) En nuestro colegio estudian en total 700 alumnos. el 5% de dichos alumnos usan lentes. ¿Cuántos alumnos usan lentes y cuántos no lo usan?.
13) Un granjero compra 900 kilos de alimento para pollos a 10 soles cada Kg. Si le hacen un descuento del 20% ¿Cuánto paga en total?.
4) Quiero comprar un carro. Su precio es de 9 850 soles. Al contado me hacen una rebaja del 20%. ¿Cuánto debo pagar por cinco carro, si lo compro al contado?.
14) En las secciones del 6° grado de primaria del colegio Claret hay 45 alumnos de los cuales el 80% son promovidos al final del año. ¿Cuántos alumnos fueron desaprobados?.
5) Una fábrica japonesa de artefactos produce 2 600 computadoras, al año. Exporta el 65% de su producción. ¿Cuál es el número de computadoras que exporta?.
15) Karina recibe un sueldo de S/. 800, si gastó el 30% y regaló a su mamá el 40% ¿Cuánto le queda?.
6) En el desfile escolar de fiestas patrias participaron 396 alumnos, que representan el 22% de la totalidad de los alumnos de nuestro centro educativo. ¿Cuántos alumnos tiene nuestro colegio?.
7) Arnaldo gastó 27 625 soles en comprar un terreno. Esta suma de dinero representa el 32,5% de lo que tenía. ¿Cuánto tenía Arnaldo?.
8) De los 1800 habitantes de una ciudad sólo 252 tienen casa propia. ¿Qué porcentaje de los habitantes de esa ciudad tiene casa propia?.
9) Dimas tenía 54200 soles. Entregó a su hermano, en calidad de préstamo la suma de 10027 soles. ¿Qué porcentaje de lo que tenía prestó a su hermano?.
10) De los 7200 alumnos existentes en el Colegio «Santa Isabel», 6408 aprobaron la asignatura de Matemática. ¿Qué porcentaje de los 7200 aprobaron matemática?. 102 102
16) María Luisa compra una lustradora al contado. Siendo su precio de S/.900, le hacen un descuento del 12%. ¿Cuánto le costó la lustradora y cuánto ahorró?.
17) Un auto usado se ha comprado en 7520 soles y debe vender ganando el 15%. ¿En cuánto debe venderse?.
18) He comprado 3 760 cuadernos con a condición de recibir 5 más por cada ciento. ¿Cuántos cuadernos debe darme el vendedor?.
19) Si en una sección de sexto grado hay 50 alumnos y se promocionan (pasan de año) el 90% al finalizar el año. ¿Cuántos alumnos se promocionan?.
20) En un colegio de 5 800 alumnos, en un determinado día asistieron el 95% de ellos ¿Cuántos estuvieron ausentes?.
QUINTO GRADO
ARITMETICA
21) Una tienda de artefactos compra 40 licuadoras en 3 600 soles. Si le hacen un descuento del 20% ¿Cuánto es el precio de cada licuadora?
24) ¿El 40% de que número es 20?
25) El número de habitantes de un pueblo se incrementa de 5 280 a 7 300 habitantes. ¿Cuál es e porcentaje del incremento?
22) El 20% de un número es12. ¿El número es? 26) Gabriela compró una máquina de escribir en 150 dólares. Si al momento de pagar le cobrarón 10% más de impuestos. ¿Cuánto pagó Alberto?
23) ¿Qué tanto por ciento de 1 es 0,2?
REGLA DE INTERÉS
Es una operación que tiene por objeto determinar la ganancia o interés que produce cierto capital, a un tanto por ciento señalado y en un tiempo dado.
ELEMENTOS QUE INTERVIENEN
I
C x r x t 1200
a) Capital
:C
b) Interés
:I
(Si el tiempo está dado en meses)
c) tanto por ciento
:%or
d) Tiempo
:t
IC x r x t 36000 (Si el tiempo está dado en días)
A. Aplicación de Interés (I)
I
C x r x t 100
( si el tiempo está dado en años)
Desafiando nuestras habilidades
01.
¿Qué interés habrá producido un capital de 4 000 soles al 28% durante 3 años?.
02.
¿Qué interés habrá producido un capital de 900 soles prestado al 10% de interés durante 8 meses?.
03.
04.
Hallar el capital impuesto al 30% anual y que ha producido un interés de 900 soles en un año.
05.
Hallar el capital que al 30% anual durante 9 días ha producido un interés de 120 soles.
¿Qué interés producirá un capital de 1 800 soles al 30% anual en 20 días?. QUINTO GRADO
103 103
ARITMETICA
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
Hallar el tanto por ciento que estuvo impuesto 850 soles que en 10 meses ha ganado un interés de 60 soles.
¿A qué tanto por ciento estuvo impuesto un capital de 5 800 soles que en 6 años han producido 1 560 de interés?
¿A qué tanto por ciento anual estuvo impuesto un capital de 7 200 soles que en 30 días ha generado un interés de 840 soles?
Halla el tiempo durante el que estuvo impuesto un capital de 800 soles que al 10% anual ha producido un interés de 320 soles.
¿En cuántos meses han estado impuestos 1 000 soles que al 40% anual han producido un interés de 800 soles?.
Hallar el tiempo (en días) que estuvo impuesto 2400 de capital que al 30% anual ha producido 120 soles de interés?
¿Qué capital prestado al 12% interés anual en 4 años y 2 meses, ha producido un interés de 225 años?
13.
¿Qué capital, prestado al 12% de interés anual, en 4 años y 2 meses, ha producido un interés de 225 soles?
14.
El señor Fernández paga 12 soles cada 6 meses por un préstamo de 420 soles que recibió. ¿A qué interés le prestaron el dinero?
15.
Hallar el interés de 750 soles al 5% anual desde el 8 de mayo de 1997 al 25 de julio de 1 998.
16.
Víctor Calle pagaba 9 soles al mes como interés de una hipoteca de 1 800 soles; pero el acreedor le redujo los intereses mensuales a 6 soles. ¿En cuánto le han rebajado los intereses?
18. El señor Cárdenas pone al banco 6 600 soles al 6%, al cabo de 3 años le entrega el capital más los intereses acumulados. ¿Cuánto dinero recibirá?.
19. Por un préstamo de 30 000 soles al 6% se han pagado 100 soles de interés. Si se hubieran pagado 125 soles de intereses. ¿Cuánto tiempo más se había tenido el dinero?
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES El Sistema Internacional de Unidades nació por acuerdo de la undécima Conferencia General de Pesas y Medidas que se desarrollo en París, Francia en 1960. Este sistema tiene su origen en el sistema métrico decimal y está formado por unidades básicas, unidades suplementarias y unidades derivadas.
CLASIFICACIÓN: Unidades básicas. Unidades suplementarias. Unidades derivadas.
104 104
QUINTO GRADO
ARITMETICA
MAGNITUDES FISICAS
Longitud metro
Tiempo m
segundo
Intensidad de corriente eléctrica
Masa
kilogramo
kg
amperio
Temperatura termodinámica Kelvin
s
A
Intensidad Luminosa
k
candela
cd
Cantidad de sustancia
mol
mol
Conociendo los símbolos más usados PREFIJO
SIMBOLO
Peta
P
1 000 000 000 000 000
= 10
tera
T
1 000 000 000 000
= 10
giga
G
1 000 000 000
= 10
mega
M
1 000 000
= 10
kilo
k
1 000
= 10
hecto
h
1 00
= 10
deca
da
10
= 10
deci
d
0,1
centi
c
0,01
mili
m
0, 001
micro
u
0,000 001
nano
n
0,000 000 001
QUINTO GRADO
VALOR 15
128
9
6
3
2
1
105 105
ARITMETICA
UNIDAD DE LONGITUD
kilómetro
100
megámetro
hectómetro
10
MULTIPLOS TANTAS VECES EL METRO
SUB MULTIPLOS PARTES DEL METRO
*
decámetro
1 UNIDAD
10000
1000000
Mm 10000
EQUIVALENCIA EN METROS
*
metro
km 1000
decímetro
hm
cm
0,1
dam
centímetro
m
mm
0,01
dm
milimetro
SIMBOLO
0,001
NOMBRES
Investigando el sistema de Longitud del SI
RECUERDA: La unidad fundamental de la longitud es el metro. ¡Qué fácil es convertir unidades! x 10
um
: 10
x 10
mm
x 10
cm
: 10
x 10
dm
: 10
x10
m
: 10
dam
:10
x 10
x 10
hm
: 10
km
: 10
x 10
Mm
: 10
REALIZAMOS CONVERSIONES SENCILLAS 1. Convertir a la unidad que se indica. a) 6m a mm =
e) 54 dm a km =
i) 8675 dam a hm =
b) 87km a hm =
f) 23 dam a Mm =
j) 1547 m a cm =
c) 23 hm a dm =
g) 309 m a hm =
k) 188
d) 23 Mm a mm =
h) 4657 cm a m =
106 106
m
a
cm
QUINTO GRADO
=
ARITMETICA
UNIDADES MASA CONJUNIDADES DE MASAUNTOS Es la cantidad de materia que contiene un cuerpo. La masa es constante (no varia) en ningún lugar del universo.
Es la fuerza con que la gravedad de la tierra atrae a los cuerpos, el
peso
varia
(cambia)
acuerdo a la masa
de
del astro,
siendo menor en la tierra que en Júpiter. Es de común que se usen como sinónimos los términos más y peso aunque no lo son
La unidad de masa en el SI es el kilogramo (kg), con sus múltiplos y submúltiplos.
¡Qué fácil es convertir unidades!
x 10
ug
: 10
x 10
mg
x 10
cg
: 10
QUINTO GRADO
x 10
dg
: 10
x10
g
: 10
dag
:10
x 10
x 10
hg
kg
: 10
: 10
x 10
Mg
: 10
107 107
ARITMETICA
REALIZAMOS CONVERSIONES SENCILLAS 1) ¿Cuál es la unidad fundamental de masa? a) gramo
b) kilogramo
c) megagramo
3) ¿Cuántos dg hay en 78 hg? a) 7 800
b) 78 000
c) 78
d) N.A.
d) decagramo 4) ¿Cuántos kg hay en 350 dag? 2) ¿Cuántos mg hay en 25 g? a) 2,5
b) 25
a) 35
c) 250
b) 350
c) 3,5
d) 3 500
d) 2 500
5) Completa: a)
12 dag
= ………..….hg
h)
4,5 g
= …………. cg
b)
15 dag
= ………..…. g
i)
15,6 dag
= …………. dg
c)
27 dag
= ………..…. g
j)
7 600 mg
= …………. dg
d)
8 Mg
= ………..…. hg
k)
57 000 cg
= …………. g
e)
15 t
= ………..…. g
l)
4 600 g
= …………. Dag
f)
24 hg
= ………..…. cg
m) 800 kg
= …………. g
g)
36 dg
= ………..…. mg
n)
= …………. t
12 000 kg
¡PIENSA CABECITA, PIENSA! 6) ¿Cuánto debo pagar por 280 g de carne, si el kg cuesta S7. 30? a) S/. 5
b) S/. 8
c) S/. 8,4
d) S/. 9
7) Veinte barras de metal, cada una de igual peso, pesan en total 2,8 toneladas. ¿Cuál es el peso de cada barra en kg? a) 140
b) 150
c) 130
b) 250
c) 300
b) 2 590
d) 400
10) Un bodeguero tiene 2,5 toneladas de azúcar. Para vender el azúcar prepara bolsas de 5 kg cada una. ¿Cuántas de estas bolsas tendrá que llevar? a) 450
b) 540
c) 500
d) 550
11) Un agricultor vendió en los primeros días de la semana la siguiente cantidad de trigo: lunes: 0,4 t y 350 kg, miércoles: 0,6 t y 120 kg, martes: 1,3 t y 200 kg ¿Cuántos kg de trigo vendió en los tres días? a) 2 970 kg
9) Un comerciante compra 2 t de mangos, 14 mag de piñas y 576 kg de papayas. ¿Cuántos kg de frutas compró el comerciante?
108 108
c) 2 716 d) 2 617
d) 200
8) Un comerciante compró 2 toneladas de naranja y vendió 7/8. ¿Cuántos kg le quedan? a) 200
a) 2 000
b) 2 790 kg
c) 300 kg
d) 3 000 kg
QUINTO GRADO
ARITMETICA
PROBLEMITAS 1) Paúl tiene camotes, que vende a S/. 0,75 el kilogramo. ¿Cuánto recibirá por un quintal?
…………………………
¿Cuánto por 1,8 toneladas?
…………………………
¿Cuánto por 2 650 kg?
…………………………
Recuerda:
El quintal es una unidad comercialmente utilizada (q) que equivale a 100 kilogramos. 1 q = 100 kg
La tonelada (t)es el megagramo (Mg) con nombre comercial 1 Mg = 1 t 1 t = 10 q
2) Eloysa compra 2 kilogramos de manzanas por S/. 5 y vende 3 kilogramos por S/. 9. ¿Cuánto gana si comercializa 1,5 toneladas? a) 700
b) 720
c) 750
d) 800
4) Carmen compra 45 kg de carne a S/. 10, si el 30% corresponde a la grasa y los huesos. ¿Cuánto vale dos y medio kilogramos de carne sola? a) 35,70
3) Ángela compra 800 kg de quinua a S/. 5, vende pelado y embolsado 250 gramos por S/. 2,25. ¿Cuánto gana si vende los 800 kilogramos? a) 3 000
b) 3 200
c) 3 750
d) 3 800
b) 72,56
c) 35,67
d) 80,86
5) Un cable eléctrico cuesta S/. 0,75 el metro. ¿Cuánto se pagará por 2 hm; 5,6 dam y 4,6 m? a) S/. 193,45
b) S/. 195,45
c) S/. 198
d) S/. 198,50
QUINTO GRADO
109 109
ARITMETICA
6) El metro cuadrado de un terreno vale S/. 5. 2 2 ¿Cuánto se pagará por 1,6 hm y 4 dam ? a) 79 500
b) 79 000
8) 1 ¼ kilogramo de carne de cerdo vale S/. 15. ¿Cuánto se paga por 10,2 kg?
c) 78 500
a) S/. 102,40
b) S/. 112,40
c) S/. 122,40
d) S/. 132,40
d) 77 000
7) Una plancha de forma rectangular mide 2,40 metros de largo y 1,50 metros de ancho, si el decímetro cuadrado vale S/. 0,25. ¿Cuánto vale 15 planchas? a) 1 350
b) 1 450
c) 1 500
d) 1 550
9)
Ricardo vende quinua a razón de S/. 650 el quintal métrico. ¿Cuánto recibirá por 1,025 toneladas? a) S/. 6 562,50
b) S/. 6 662,50
c) S/. 6 672,50
d) S/. 6 762,50
UNIDADES DE TIEMPO EL TIEMPO: Es un intervalo entre dos acontecimientos, la unidad convencional de medida del tiempo es el segundo (s) con sus múltiplos minutos y horas. El submúltiplo que no es de uso frecuente es la décima de segundo.
MEDIDA DE TIEMPO: La medida de tiempo está relacionada al movimiento de rotación de la Tierra en torno a su eje en 24 horas y al de traslación alrededor del sol en 365 días 5 horas 48 minutos 46 segundo. El año civil tiene 365 días repartidos en 12 meses, el día se divide en 24 horas, la hora en 60 segundos. El año comercial es de 360 días, el año bisiesto es de 366 días que se da cada 4 años.
110 110
QUINTO GRADO
ARITMETICA
EQUIVALENCIAS: 1 año (a)
=
365 días
1 día (d)
=
24 horas (h)
1 hora (h)
=
60 minutos (min)
1 minuto (min) =
60 segundos (s)
Segundo
Minuto
Hora
(s)
(min)
(h)
Recuerda: Los años también tienen su propia denominación. 1 lustro
=
5 años
1 década
=
10 años
1 siglo
=
100 años
1 milenio
=
1 000 años
OPERACIONES CON LAS UNIDADES DE TIEMPO ADICIÓN:
MULTIPLICACIÓN
1. Daniel estudia el lunes 4 horas, 12 minutos y el martes 13 horas 50 minutos. ¿Cuánto tiempo estudió en total?
1. Para hacer una obra Raúl emplea 4 horas, 15 minutos, 24 segundos.¿Cuánto tiempo empleará para hacer 6 obras iguales?
SUSTRACCIÓN: 1. Un automóvil recorre240 kilómetros en 3 horas, si viene recorriendo desde hace 2 horas 40 minutos. ¿Cuánto tiempo le falta para llegar a su destino?
QUINTO GRADO
DIVISIÓN: Una persona sola realiza un trabajo en 12 horas 43 minutos. ¿En cuánto tiempo terminarán la obra si trabajan 5 personas a la vez?
111 111
ARITMETICA
Desafiando nuestras habilidades
1. ¿Cuántos minutos hay en ¾ de hora?
2. ¿Cuántos segundos hay en 3/10 de minutos?
3. Convierte a horas y minutos:
4. Convierte a minutos y segundos:
70 min = _________h _________min
88 s = _________min _________s
195 min = ________h _________min
103 s = ________min _________ s
278 min = ________h _________ min
502 s = ________ min_________ s
Forma las equivalencias: 1,5 h = ___________ min ½ min = __________ s 1 800 s = __________h
6. Pinta del mismo color los tiempos equivalentes:
1 1 h 2
5 h 6
135 min
3 h 4
112 112
12h
1 d 2
2 min 30s
75 min
150s
45 min
2h15 min
1,5h
90 min
1h15 min
10 min
QUINTO GRADO
ARITMETICA
ESTADÍSTICA La palabra ESTADÍSTICA es derivada del latín “status” que significa posición, situación, estado y del griego “statera” que es igual a balanza.
DEFINICIONES PREVIAS: POBLACIÓN: Es un conjunto de elementos que tienen una o más características en común. MUESTRA: Es un parte o subconjunto de la población, generalmente se eligen al azar.
CLASES DE ESTADÍSTICA
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN EN GRÁFICAS Existen varios tipos de gráficas que se emplean para representar los datos obtenidos, siendo los más empleados: la gráfica de barras, el polígono de frecuencias y los pictogramas.
1. Gráfico de barras Este gráfico nos permite observar y analizar de manera más fácil los datos dados hallados; pudiendo expresarse mediante barras verticales u horizontales.
¿Cómo hacer lineales?
120 100
gráfica
de
barras
1º Determina una escala.
80
Halla los valores mayor y menor de los datos.
60 40
Selecciona una escala que se ajusta a los datos.
20 0 Niñas
Niños
Profesores
2º Traza y marca los datos horizontal y vertical de la gráfica. 3º Dibuja los puntos para la gráfica lineal o las barras. 4º Dale un nombre a la grafica.
QUINTO GRADO
113 113
ARITMETICA
Desafiando nuestras habilidades 1) Observa los gráficos de barras y luego contesta a las preguntas formuladas: En una encuesta deportiva a los alumnos del colegio “San Antonio Maria Claret” los datos fueron presentados en una grafica de barras.
Responde:
Cantidad
1000 800
¿Cual es el deporte más practicado?
600
…………………………………………
400
¿Cuántos practican natación?
200
………………………………….
Disciplina
C1
basquet
voley
futbol
gimnasio
natación
atletismo
0
¿Cuántos más prefieren fútbol que gimnasia? ...............................................................
2) Observa en este grafico de barras la cantidad de niñas, niños y profesores que hay en un colegio.
Responde:
120 100
¿Cuántos colegio?
80
profesores
hay
en
el
……………………………………………
60
¿Cuántos niños menos que niñas hay? 40
……………………………………………
20
¿Cuántas personas hay en total?
0
…………………………………….……. Niñas
Niños
Profesores
3) Observa en este grafico de barras la cantidad de gallinas, pavos, patos y cerdos que hay en una granja.
Responde:
800 700 600 500 400 300 200 100 0
¿Cuántos cerdos hay en la granja? ………………………………………. ¿Cuántos pavos hay en la granja? ……………………………………… ¿Cuántos patos más que pavos hay? Gallinas
Pavos
Patos
Cerdos
……………………………………… ¿Cuántos animales hay en total? …………………..…………...…….
114 114
QUINTO GRADO
ARITMETICA
4) La venta de televisores de CARSA es : Realiza su gráfico de barras. DIA
CANTIDAD
Lunes
30
Martes
10
Miércoles
20
Jueves
10
Viernes
30
5) En el colegio hay mesas en cada grado, Realiza su gráfico de barras. GRADO
CANTIDAD DE MESAS
Primero
15
Segundo
13
Tercero
12
Cuarto
16
Quinto
20
Sexto
18
2. GRÁFICA LINEAL Los gráficos lineales permiten representar informaciones numéricas.
PASOS: 1º Dibujar una tabla y/o cuadro con escalas, al igual que en el grafico de barras. 2º Colocar un punto por cada par ordenado de datos. 3º Unir los puntos mediante segmentos en las coordenadas. Ejemplo: DIAS 1º día 2º día 3º día 4º día 5º día 6º día
CANT. DE CHOMPAS VENDIDAS 5 20 12 40 10 53
60 50 40 30 20 10 0 1º día
QUINTO GRADO
2º día 3º día
4º día
5º día 6º día
115 115
ARITMETICA
Desafiando nuestras habilidades Desafiando nuestras habilidades 1) Construye una gráfica lineal con los siguientes datos: a) Alumnos aprobados en lógico matemática del colegio “Claret”: primer bimestre 750, segundo bimestre 500, tercer bimestre 800 y cuarto bimestre 650.
b)
Observa el cuadro y luego realiza el gráfico lineal: NIÑOS
EDADES
Rosa María
11
Maritza
15
Luis Enrique
20
Manolo
18
DATOS ESTADÍSTICOS Y DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA Los números del recuadro representan las notas de matemática de una sección de 52 alumnos: 14
13
09
08
16
10
11
16
15
10
15
12
08
12
17
12
13
08
14
11
11
15
12
11
12
08
13
10
15
14
16
10
11
13
11
09
16
09
12
12
En esta tabla de datos, donde no existe un orden ni una estructura definida, es llamada muestra bruta.
Para facilitar el estudio es conveniente ordenar los datos. Una forma de ordenarlos consiste en colocarlos en forma creciente (de menor a mayor) y mostrar la frecuencia absoluta o frecuencia de cada nota. El arreglo de una muestra, donde se señalen los datos en un cierto orden y su frecuencia, se llama Tabla de frecuencias o Distribución de Frecuencias. 116 116
QUINTO GRADO
ARITMETICA
La siguiente tabla de frecuencias es de la anterior muestra bruta: DATOS
CONTEO
FRECUENCIA
08
IIII
5
09
IIII
4
10
IIII
5
11
IIII II
7
12
IIII III
8
13
IIII II
7
14
IIII I
6
15
IIII
5
16
IIII
4
17
I
1
Número total de alumnos :
52
Como se puede observar en este cuadro, al lado de cada dato se ha colocado el número de veces que se repite cada nota. Este número que se repite se llama frecuencia y se representan con la letra f. En este cuadro podemos observar la tabla donde aparecen los diferentes datos y la frecuencia de cada uno de ellos. Esta tabla se llama distribuciones de frecuencias.
Desafiando nuestras habilidades I. Observa y resuelve: Notas de 40 alumnos en el curso de Lógico Matemática del 6º grado de C.E.P. “Claret” 14
09
08
13
09
16
17
11
13
12
16
13
09
14
12
17
10
15
13
15
12
14
13
10
12
12
17
15
16
17
10
15
11
08
05
15
13
14
10
11
1) Ordena los datos anteriores y determina la frecuencia de cada uno de ellos. 2) Construye una tabla de distribuciones de frecuencias.
QUINTO GRADO
117 117
ARITMETICA
II. Observa y resuelve: Edades que tienen 40 alumnos en el aula del 1º grado del C.E.P. “Claret” 11
10
13
12
11
11
10
12
13
11
12
11
13
12
10
13
12
13
11
10
10
12
12
10
12
12
11
10
10
12
11
11
13
13
11
13
12
11
10
11
1) Ordena los datos anteriores y determina la frecuencia de cada uno de ellos. 2) Construye una tabla de distribuciones de frecuencias.
III. Observa y resuelve:
Estatura en cm de un grupo de alumnos del 6º grado del colegio “Claret” 150
148
147
152
149
150
156
152
152
146
153
149
149
150
147
146
150
153
148
152
149
152
150
152
146
158
149
150
146
149
1) Ordena los datos anteriores y determina la frecuencia de cada uno de ellos. 2) Construye una tabla de distribuciones de frecuencias.
PROMEDIO O MEDIA ARITMÉTICA
Para calcular la media aritmética, llamada también promedio se suman todos los datos y se divide entre la cantidad de datos. Así:
118 118
QUINTO GRADO
ARITMETICA
Dada la siguiente tabla: ASIGNATURA
NOTA
Lógico matemática
14
Comunicación Integral
15
Ciencia y Ambiente
12
Personal Social
17
Ingles
13
Psicomotriz
18
Para calcular la media aritmética o promedio de notas se sumará todas las notas obtenidas entre la cantidad de notas.
x
14 + 15 + 12 + 17 + 13 + 18 89 14,8333.... 14,8 15 6 6
Así: la MEDIA ARITMÉTICA es el valor promedio de una serie de datos estadísticos.
Aplico lo aprendido
1. Calcular la media aritmética de las notas de lógico matemática de cada alumno: a) Juan
b) Raúl
Mis notas son:
Mis notas son:
12,16,11,10
18,19,15,20
c) Rosa
d) Roxana
Mis notas son:
Mis notas son:
11,19,14,10
12,11,10,11
QUINTO GRADO
119 119
ARITMETICA
e) Maritza
f) César
Mis notas son:
Mis notas son:
20,15,16,11
11,15,17,10
2. Observa esta tabla de datos y halla la media aritmética de los datos de la tabla: Peso en kg de 7 alumnos del 6º grado del colegio “Claret”- El Tambo. NOMBRES
PESO EN KG
Miguel
50
Rogelio
40
Mayra
45
Rosalia
48
Marina
50
Ricardo
60
Miguel
58
3. Observa esta tabla de datos y halla la media aritmética de los datos: Talla en cm de 7 alumnos del 6º grado del Colegio “Claret”- El Tambo.
120 120
NOMBRES
PESO EN KG
Miguel
152
Rogelio
155
Mayra
135
Rosalia
140
Marina
152
Ricardo
160
Miguel
158
QUINTO GRADO