Seminar Nasional Statistika IX Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 7 November 2009
PROSEDUR PEMBENTUKAN MODEL VARIASI KALENDER BERDASARKAN BERDASARKAN MODEL ARIMAX UNTUK PERAMALAN DATA DENGAN EFEK VARIASI KALENDER 1
2
Suhartono dan Alfonsus J. Endharta 1 Dosen Jurusan Statistika, ITS, Surabaya 2 Mahasiswa S2 Jurusan Statistika, ITS, Surabaya
[email protected];
[email protected]
AB STR ST R AC T The objective of this research research is to develop Calendar Variation Model based on ARIMAX model for forecasting time series data with Islamic calendar effect. In some Islamic countries, the trade activities frequently contain calendar variation pattern. It happens because the pattern of people consumption to certain products usually follows Lunar calendar, instead of following common solar calendar. Analyzing these data by using classical time series methods, i.e. Decomposition method and ARIMA model, will yield spurious results, results, especially about the seasonal seasonal pattern and outlier data. data. Firstly, this research research focuses on the development development of model building procedure to find the best Calendar Variation Model based on ARIMAX model. Two kinds of trend, i.e. deterministic and stochastic trends, are examined in this ARIMAX modeling. The procedure contains three main steps, i.e. modeling of calendar variation effect only, modeling of the residual model of calendar variation effect only, and the ARIMAX modeling adaptively by combining of the calendar variation effect and ARIMA model. Then, the procedures are applied for modeling and forecasting real time series data, i.e. the monthly sales of boy Moslem cloth in Indonesia. The results show that Calendar Variation Model based on ARIMAX model could explore precisely the effect of calendar variation on time series. Additionally, this model also yields better forecast forecast compared to Decomposition Decomposition method and Seasonal Seasonal ARIMA model. model.
K eywords ywords: ARIMAX, calendar variation, lunar calendar, model building procedure
1. Pendahuluan
Data ekonomi dan bisnis seringkali dikumpulkan tiap bulan, sehingga termasuk data deret waktu bulanan. Secara umum, ada dua tipe efek kalender pada d ata deret waktu bulanan. Yang pertama, banyaknya kegiatan ekonomi dapat berubah tergantung pada hari dalam satu minggu. Karena banyaknya hari berbeda tiap bulan atau tahun, pengamatan ini dapat dipengaruhi variasi kalender. ka lender. Efek variasi seperti ini, terutama yang disebabkan oleh banyaknya hari transaksi atau hari kerja tiap bulan, dinamakan efek hari kerja (Hillmer, Bell, dan Tiao, 1981; Hillmer, 1982; Bell dan Hillmer, 1983). Selain variasi akibat perbedaan banyaknya hari
1
kerja, beberapa festival atau hari libur, seperti Paskah dan Tahun Baru Imlek dibuat berdasarkan kalender bulan dan tanggal hari libur tersebut berubah sekitar 2 bulan dalam kalender masehi tiap tahunnya. Karena hari libur dapat sangat mempengaruhi aktivitas perdagangan dan pola konsumen, pengamatan deret waktunya dapat beragam tergantung di bulan apa terdapat hari libur yang mengikuti system kalender bulan. Efek kalender demikian disebut sebagai efek hari libur (Liu, 1986). Kalender Hijriyah, yang termasuk kalender bulan berdasarkan 12 bulan dalam 1 tahun dengan 354 atau 355 hari, digunakan di banyak negara Islam dan digunakan untuk menentukan hari besar Islam. Indonesia sebagai negara yang mayoritas penduduknya beragama Islam, juga menggunakan kalender Hijriyah untuk menentukan hari besar Islam, misalnya hari besar Idul Fitri. Variasi kalender muncul dengan adanya hari besar Islam ini. Efek-efek variasi kalender dapat diketahui dari banyaknya perdagangan sekitar hari besar Idul Fitri, antara lain sebelum, selama, dan/atau sesudah Idul Fitri. Sebagai contoh, dalam makalah ini penjualan baju muslim pria di sebuah kota di Indonesia. Analisis deret waktu untuk data yang memiliki pola variasi kalender memerlukan penanganan khusus. Liu (1980) mempelajari efek variasi hari libur dengan identifikasi dan estimasi model ARIMA dan menyarankan suatu modifikasi model ARIMA dengan menyertakan informasi hari libur sebagai variabel input deterministik. Analisis deret waktu umum, seperti metode dekomposisi dan model ARIMA dapat memberikan hasil yang tidak benar, terutama mengenai pola musiman dan munculnya pencilan. Beberapa penelitian tentang analysis deret waktu untuk data yang mengandung pola variasi kalender telah dilakukan. Liu (1986) melakukan identifikasi model deret waktu untuk data yang memiliki pola variasi kalender. Dalam penelitiannya, Liu menggunakan model ARIMAdan tambahan variabel efek variasi kalender. Holden, Thompson, dan Ruangrit (2005) melakukan penelitian tentang variasi kalender pada harga saham harian di Thai Stock Market . Holden dkk. menggunakan beberapa model, antara lain regresi linier, General Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH), dan Threshold Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (TARCH). Ketiga model ini dibandingkan dengan ketiga model yang sama, namun diberi tambahan variabel efek variasi kalender. Holden dkk. menunjukkan bahwa model-model dengan tambahan variabel efek variasi kalender memberikan hasil yang lebih baik daripada model-model tanpa tambahan variabel. Dalam makalah ini, dikemukakan suatu prosedur untuk membentuk model khusus untuk data yang mengandung pola variasi kalender. Model yang dikembangkan adalah model ARIMAX. 2. Landasan Teori
Pada bagian ini akan diterangkan beberapa teori dan metode yang digunakan dalam penelitian ini, yaitu metode analisis deret waktu yang umum, antara lain
2
metode dekomposisi dan model ARIMA musiman, dan yang berkaitan dengan pengembangan prosedur baru untuk pembentukan model variasi kalender, yaitu model ARIMAX. 2.1. Metode Dekomposisi
Pada bagian ini dijelaskan metode dekomposisi aditif. Dasar metode dekom posisi adalah memisahkan komponen musiman dari komponen lainnya dari suatu deret data. Model dekomposisi aditif ditulis sebagai berikut (lihat Bowerman dan O’Connel, 1993).
yt T t S t C t I t
(1)
dengan
yt T t S t C t I t
= = = = =
pengamatan ke-t komponen trend ke-t komponen musiman ke-t komponen siklik ke-t komponen irregular ke-t
2.2. Model ARIMA Musiman
Model ARIMA musiman merupakan model deret waktu linier yang cukup fleksibel dan dapat digunakan dalam pemodelan beragam tipe musiman sebaik model deret waktu non-musiman. Model ARIMA musiman dapat ditulis secara matematis dengan (lihat Wei, 1990; Box, Jenkins, dan Reisel, 1994; Cryer dan Chan, 2008): S p ( B) P ( B )(1
B)d (1 BS ) D yt
q ( B)
S Q (B ) t ,
(2)
dengan p ( B)
= S P (B ) = = q ( B) S Q (B ) =
1 1 1 1
1 B S 1 B
1 B S 1 B
2 2 B
2S 2 B 2
2 B
2S 2 B
p p B
PS P B
q q B
QS Q B ,
dan S adalah periode musiman, B adalah operator backshift, dan t adalah deret noise dengan mean nol dan varians yang konstan. Box dan Jenkins (1976) mengenalkan suatu prosedur pembentukan model ARIMA musiman yang efektif berdasarkan struktur autokorelasi suatu deret waktu. 2.3. Model ARIMAX untuk Variasi Kalender
Model ARIMA adalah model yang umum digunakan dalam peramalan data. Model ARIMAX ialah model ARIMA yang diberi tambahan variabel prediktor (lihat Cryer dan Chan, 2008). Dalam penelitian ini, tambahan variabel prediktornya berupa variabel dummy yang bertujuan untuk mewakili efek variasi kalender.
3
Model ARIMA musiman yang pada umumnya ditulis seperti pada Persamaan (2), juga dapat ditulis sebagai berikut
yt
q ( B) S
p ( B) P ( B
S Q ( B ) d
)(1 B) (1 BS ) D
t .
(3)
Oleh karena itu, model ARIMA musiman dengan tambahan variabel dummy adalah
yt V 1,t V 2,t ... V s,t
p ( B)
q ( B) S
S Q ( B ) d
S D P ( B )(1 B) (1 B )
t .
(4)
Prosedur yang digunakan untuk membentuk model ARIMAX yang efektif dan sesuai untuk peramalan data yang mengandung pola variasi kalender dijelaskan sebagai berikut: a. Pemodelan respon dan variabel dummy efek variasi kalender, untuk mendapatkan residual wt , yaitu
yt
0
1V 1,t
2V 2,t
...
pV p,t
wt
(5)
dengan V p,t adalah variabel dummy untuk efek variasi kalender ke-p. Banyaknya efek variasi kalender dapat diidentifikasi berdasarkan plot deret waktu. b. Residual wt dimodelkan dengan model ARIMA dengan menggunakan prosedur Box-Jenkins. c. Orde model ARIMA yang diperoleh dari langkah sebelumnya digunakan untuk memodelkan data sebenarnya dengan tambahan variabel dummy efek variasi kalender sebagai input. d. Pengujian signifikansi parameter dan cek diagnose, hingga semua parameter bernilai signifikan dan residual memenuhi asumsi white noise. 3. Metodologi Penelitian
Data bulanan penjualan baju muslim pria dari perusahaan garmen di suatu kota di Indonesia digunakan sebagai studi kasus. Diambil data pada Januari 2000 hingga Desember 2008. Data delapan tahun pertama digunakan sebagai data in sample dan data tahun terakhir sebagai data out-sample. Analisis diawali dengan mengaplikasikan prosedur baru pada data kasus. Selanjutnya, dilakukan perbandingan RMSE data out-sample antara model yang diperoleh dengan prosedur baru dan model deret waktu umum, antara lain metode dekomposisi dan model ARIMA musiman. Perbandingan ini dilakukan untuk memperoleh model terbaik untuk peramalan data bulanan penjualan baju muslim pria berdasarkan kebaikan ramalan pada data out-sample.
4
4. Hasil Analisis Empiris
Data penjualan bulanan baju muslim pria ditunjukkan dengan Gambar 1. Plot deret waktu pada Gambar 1 menunjukkan bahwa terdapat pola variasi kalender pada data. Variasi kalender ini merupakan efek perayaan Idul Fitri tiap tahun. Oleh karena itu, tambahan tertentu diperlukan dalam model umum, misalnya model ARIMAX. Dalam bagian ini, hasil pemodelan dengan model ARIMAX akan ditunjukkan dan dibandingkan dengan model deret waktu umum, yaitu metode dekomposisi aditif dan model ARIMA.
Time Series Plot of Boy MoslemCloth Sales 35000 9 10
30000
9 11
25000
10
10
11 9
11 9 8 12
9
11 11
20000 t Z
9
15000 10
10000
12 10 9 9 6 12 12 3 10 3 8 8 12 9 2 4 8 12 7 6 4 1 7 5 8 1 7 2 6 2 5 1 34 6 5 57 67 34 35 24
1
5000
0 Month Jan Year 2000
Jan 2001
Jan 2002
Jan 2003
Jan 2004
8 10 4 11 6 10 2 567 10 8 12 6 11 3 3 68 111 3 7 7 1 12 5 12 3 5 12 4 2 1 7 1 45 2 2
Jan 2005
11
8
4
Jan 2006
Jan 2007
Jan 2008
Gambar 1. Plot deret waktu data bulanan penjualan baju muslim pria
4.1. Model ARIMAX
Pada langkah awal, model regresi linier dibentuk antara respon yt dan variabel efek variasi kalender sebagai prediktor untuk mendapatkan residual. Model regresi linier yang terbentuk adalah
yt 6887 3884V t 18996V t 1 4810V t 2 wt .
(6)
Residual model pada Persamaan (6) digambarkan pada Gambar 2. Residual ini digunakan sebagai patokan penentuan orde model ARIMA yang mungkin. Plot ACF dan PACF residual ditunjukkan pada Gambar 3. Karena residual memiliki pola musiman dan ACF cenderung membentuk pola turun lambat pada lag-lag musiman, differencing orde musiman diterapkan pada residual. Residual yang sudah di-differencing dengan orde musiman 12 menghasilkan ACF dan PACF seperti pada Gambar 4. Berdasarkan Gambar 4, ada 4 pasang orde model ARIMA yang diprediksi sebagai model ARIMA yang sesuai untuk data residual, yaitu (1,0,0)(1,1,0)12, (1,0,0)(0,1,1) 12, (0,0,1)(1,1,0) 12, dan (0,0,1)(0,1,1) 12. Hasil pengujian signifikansi parameter dan cek diagnose menyatakan hanya 2 dari 4 12 pasang orde model ARIMA saja memenuhi asumsi, yaitu ARIMA(1,0,0)(1,1,0) 12 and (1,0,0)(0,1,1) .
5
TimeSeries Plot of Residual 5000
2500
) t ( w
0
-2500
-5000 1
10
20
30
40
50 Index
60
70
80
90
Gambar 2. Plot deret waktu residual Persamaan (6)
Autocorrelation Function for w(t)
Partial Autocorrelation Function for w(t)
(with 5%significance limits for the autocorrelations)
(with 5%significance limits for the partial autocorrelations)
1.0 0.8
1.0 0.8
0.6
-0.6
n 0.6 o i t a 0.4 l e r 0.2 r o c o 0.0 t u A -0.2 l a i t -0.4 r a P -0.6
-0.8
-0.8
n 0.4 o i t a 0.2 l e r 0.0 r o c o t -0.2 u A -0.4
-1.0
-1.0 2
4
6
8
10
12 14 Lag
16
18
20
22
24
2
4
6
8
10
12 14 Lag
16
18
20
22
24
Gambar 3. Plot ACF dan PACF residual Persamaan (6)
Autocorrelation Function for Differencing
Partial Autocorrelation Function for Differencing
(with 5%significance limits for the autocorrelations)
(with 5%significance limits for the partial autocorrelations)
1.0 0.8
1.0 0.8
0.6
n 0.6 o i t a 0.4 l e r r 0.2 o c o 0.0 t u A -0.2 l a i t -0.4 r a P -0.6
n 0.4 o i t a 0.2 l e r 0.0 r o c o t -0.2 u A -0.4
-0.6 -0.8
-0.8
-1.0
-1.0 1
5
10
15
20 Lag
25
30
35
1
5
10
15
20 Lag
25
30
35
Gambar 4. Plot ACF dan PACF residual yang sudah di-differencing
Berdasarkan dua pasang orde model yang memenuhi asumsi white noise, model ARIMAX dikembangkan. Dengan menambahkan variabel dummy efek variasi kalender ke dalam model ARIMA, model ARIMAX dibentuk. Selain model ARIMAX tersebut, model dengan t sebagai input menggantikan order differencing juga dibentuk. Parameter model yang dihasilkan tidak selalu signifikan, sehingga perlu dilakukan updating model. Model ARIMAX dengan parameter signifikan memenuhi asumsi white noise adalah ARIMA(1,0,0)(1,1, 12 12 0) -V t -1 tanpa konstanta, ARIMA(1,0,0)(0,1,1) -V t -1 tanpa konstanta, ARIMA(1, 0,0)(1,0,0)12-t , V t, V t- 1, V t -2 dengan konstanta, dan ARIMA(1,0,0)-t , V t, V t- 1, V t- 2 dengan konstanta.
6
4.2. Perbandingan Metode Dekomposisi, Model ARIMA Musiman, dan Model yang Dikembangkan
Model peramalan umum seperti metode dekomposisi dan model ARIMA juga digunakan pada data kasus. Model-model ini kemudian akan dibandingkan dengan model ARIMAX yang diperoleh dengan prosedur yang dikembangkan. Perbandingan berdasarkan RMSE dirangkum dalam Tabel 1. Tabel rangkuman perbandingan RMSE ini menunjukkan bahwa model peramalan umum tidak mampu memberikan hasil sebaik model ARIMAX. Hal ini ditunjukkan dengan RMSE-nya yang lebih kecil daripada RMSE model ARIMAX. Tabel 1. Perbandingan akurasi ramalan antar model RMSE
Model
I n-sample
Out-sample
Dekomposisi Aditif
4254.517
5392.800
Dekomposisi Multiplikatif
4216.071
5605.252
12
3333.678
2683.225
12
3486.436
3171.309
12
3409.108
3092.269
12
3420.088
2705.159
ARIMA(1,0,0)(1,1,0) -V t-1, tanpa konstanta
12
1784.969
3197.915
ARIMA(1,0,0)(0,1,1)12-V t-1, tanpa konstanta
1887.854
3748.398
ARIMA(1,0,0)(1,0,0)12-t , V t , V t-1, V t-2, dengan konstanta
1747.444
2452.081
ARIMA(1,0,0)-t, V ,t V t-1 , V t-2 , dengan konstanta
1790.778
2116.684
Dekomposisi
ARIMA Musiman
ARIMA([35],0,0)(1,1,0) ARIMA(0,0,[35])(0,1,1) ARIMA(0,0,[35])(1,1,0) ARIMA([35],0,0)(0,1,1) ARIMAX
Berdasarkan nilai RMSE, model ARIMAX memberikan hasil yang lebih baik daripada model-model peramalan lainnya. Berdasarkan RMSE data in sample, model terbaik adalah model ARIMA(1,0,0)(1,0,0)12-t , V t, V t- 1, V t -2, dengan konstanta. Sedangkan berdasarkan RMSE data out-sample, model terbaik adalah model ARIMAX(1,0,0)-t , V t , V t -1, V t- 2 dengan konstanta. Plot deret waktu pada Gambar 5(a1-c1) menunjukkan ketepatan peramalan tiap model (diambil model terbaik dari tiap metode). Secara jelas terlihat adanya perbedaan pada tiap model. Pada Gambar 5(a1), ketepatan akurasi metode dekom posisi aditif ditunjukkan. Prediksi model ini sangat buruk, terutama pada bulan saat diadakan Idul Fitri setiap tahun. Gambar 5(b1) menunjukkan perbandingan prediksi model ARIMA([35],0,0)(1,1,0) 12. Model ini memberikan prediksi yang
7
hampir bagus, kecuali karena adanya kesalahan prediksi yang cukup besar pada bulan Idul Fitri tahun 2003. Model ARIMAX, yaitu model yang dikembangkan pada penelitian ini, memberikan hasil yang jauh lebih baik dan prediksinya mendekati nilai aktualnya (lihat Gambar 5(c1)). Time Series Plot of Residual of Add. Decomposition
Time Series Plot of Actual, Add. Decomposition
a1 30000
Variable Actual Add. Decomposition
l a u d i s e R
15000
0
-10000
Jan 2002
Jan 2003
Jan 2004
Jan 2005
Jan 2006
9 8 23 7 6 6 12 3 6 7 12 4 57 12 56 12 810 8 89 911 12 5 7 911 45 78 7 10 34 12 1 5 9 1 5 78 11 3 6 4 2 24 1 1 6 12 6 10 10 12 3 3 11 2 12 11
57 468 9 10
-15000 Month Jan Year 2000
Jan 2007
8
12 4 3 12 5
3
5000
Jan 2001
4 1 2
-5000
Jan 2001
Jan 2002
Jan 2003
Jan 2004
Jan 2005
Jan 2006
Jan 2007
Time Series Plot of Residual of ARIMA
Time Series Plot of Actual, ARIMA
30000
9
10
5000
10000
b1
10
a2
10000
20000
0 Month Jan Year 2000
11 11
9
11
25000
a t a D
10
15000
Variable Actual ARIMA
25000
10000
20000
5000
l a u d i s e R
a t a 15000 D
4 3 6 10 1 12 8 10 11 23 2 9 1 5 10 79 7 11 4 6 9 12 89 45 5 8 10 8 6 9 9 12 78 3 1 79 2 6 6 8 11 3 56 2 5 7 67 5 1 4 7 12 2 12 12 4 1 5 12 3 11 11 11 12 4 810 1 2 3 10 3 4
0
10000
-5000
5000
-10000
b2
10
15000
11
0 Month Jan Year 2000
Jan 2001
Jan 2002
Jan 2003
Jan 2004
Jan 2005
Jan 2006
-15000 Month Jan Year 2000
Jan 2007
30000
Variable Actual ARIMAX
Jan 2003
Jan 2004
Jan 2005
Jan 2006
Jan 2007
c2
15000
25000
10000
20000
l a u d i s e R
a t a 15000 D
5000
0
-5000
5000
-10000
Jan 2001
Jan 2002
Jan 2003
Jan 2004
Jan 2005
Jan 2006
4 9 8 9 3 12 6 6 3 6 89 10 9 12 8 11 3 6 8 11 3 8 8 11 12 9 8 3 10 2 11 1 4 10 6 9 6 7 11 5 79 5 1 2 10 11 1 1 12 10 2 5 9 10 2 5 1 2 7 10 12 6 7 5 12 11 4 5 34 7 7 67 12 3 10 4 7 11 12 5 1 4 8 12 5 4 4 3 2 2
1
10000
0 Month Jan Year 2000
Jan 2002
Time Series Plot of Residual of ARIMAX
Time Series Plot of Actual, ARIMAX
c1
Jan 2001
-15000 Month Jan Year 2000
Jan 2007
Jan 2001
Jan 2002
Jan 2003
Jan 2004
Jan 2005
Jan 2006
Jan 2007
Gambar 5. Plot deret waktu (a) dekomposisi aditif, (b) ARIMA, dan (c) ARIMAX (gambar kiri) dan residualnya (gambar kanan)
Plot residual di sisi kanan (lihat Gambar 5(a2-c2)) juga menunjukkan ketepatan peramalan tiap model. Berdasarkan Gambar 5(a2), efek variasi kalender masih jelas terlihat. Dengan kata lain, residual metode dekomposisi aditif tidak acak, melainkan memiliki pola tertentu. Keacakan residual merupakan asumsi yang wajib dipenuhi, sehingga disimpulkan bahwa metode dekomposisi tidak dapat diaplikasikan untuk data yang mengandung pola variasi kalender. Pada Gambar 5(b2) terlihat adanya residual bernilai ekstrem, atau residual pencilan, yang disebabkan kesalahan prediksi. Hal ini merupakan akibat tidak mengikutsertakan efek variasi kalender dalam model. Gambar 5(c2) menunjukkan residual yang sudah acak. Oleh karena itu, model yang dikembangkan dengan prosedur baru sangat efektif dalam peramalan data yang mengandung pola variasi kalender.
8
Model terbaik yang dipilih untuk peramalan data penjualan bulanan baju muslim pria adalah ARIMAX(1,0,0)-t, V t, V t -1, V t -2 dengan konstanta, karena memiliki RMSE out-sample yang terkecil. Model ARIMAX ini ditulis secara matematis dengan
yt 4584.5 3159.3V t 18346.5V t 1 3847V t 2 51.65t 0.314yt 1 . ˆ
(7)
5. Kesimpulan
Penanganan khusus diperlukan dalam peramalan data yang mengandung pola variasi kalender. Hal ini dibuktikan dengan penggunaan model peramalan umum, antara lain metode dekomposisi dan model ARIMA musiman, yang menghasilkan ramalan yang buruk. Model yang dikembangkan, yaitu model ARIMAX, menghasilkan ramalan yang lebih akurat, baik berdasarkan RMSE in sample maupun out-sample. Model ARIMAX(1,0,0)-t , V t, V t- 1, V t -2 dengan konstanta merupakan model terbaik untuk peramalan data bulanan penjualan baju muslim pria dalam penelitian ini. Dalam model ini, variabel tren t dan 3 variabel dummy yang mewakili efek hari raya Idul Fitri digunakan sebagai input. Model ini menghasilkan RMSE out-sample sebesar 2116,68.
DAFTAR PUSTAKA
Bell, W.R., and Hillmer, S.C. 1983. Modeling Time Series with Calendar Variation. Journal of the American Statistical Association, 78, 526-534. Bowerman, B.L., and O’Connel, D. 1993. Forecasting and Time Series: An Applied Approach, 3rd Edition. California: Duxbury Press. Box, G.E.P., and Jenkins, G.M. 1976. Time Series Analysis: Forecasting and Control . San Fransisco: Holden-Day, Revised edn. Box, G.E.P., Jenkins, G.M., and Reinsel, G.C. 1994. Time Series Analysis, Forecasting and Control, 3rd Edition. Prentice Hall, Englewood Cliffs. Cryer, J.D., and Chan, K.S. 2008. Time Series Analysis. With Application in R, 2 Edition. Springer.
nd
Hanke, J.E., and Wichern, D.W. 2005. Business Forecasting . NJ: Prentice Hall, Englewood Cliffs. Hillmer, S.C., Bell, W.R., and Tiao, G.C. 1981. Modeling Considerations in the Adjustment of Economic Time Series. Proceedings of the Conference of Applied Time Series Analysis of Economic Data. Ed. Arnold Zelner. U.S. Department of Commerce, Bureau of the Census, 74-100. Hillmer, S.C. 1982. Forecasting Time Series with Trading Day Variation. Journal of Forecasting , 1, 385-395.
9
Holden, K., Thompson, J., and Ruangrit, Y. 2005. The Asian crisis and calendar effects on stock returns in Thailand. European Journal of Operational Research, 163, 242 – 252. Liu, L.M. 1980. Analysis of Time Series with Calendar Effects. Management Science, 2, 106-112. Liu, L.M. 1986. Identification of Time Series Models in the Presence of Calendar Variation. International Journal of Forecasting , 2, 357-372. Shumway, R.H., and Stoffer, D.S. 2006. Time Series Analysis and Its Applications nd with R Examples, 2 Edition. Springer Wei, W.W.S. 1990. Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods. Addison-Wesley Publishing Co., USA.
10
