UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
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Aproximación Aproximación de π a partir de solución del problema de la aguja de Buffon Buffon Jose Luis Garay Urbina - 2120550
Palabras clave —
aguja de buffon, aproximación numérica,
=
probabilidad
2 (/)
[2]
I. I NTRODUCCIÓN NTRODUCCIÓN La aguja de Buffon es un problema de probabilidad geométrica que aproxima el número π a partir de sucesivos
lanzamientos de una aguja sobre papel, el problema fue planteado por el naturalista naturalista francés Buffon Buffon en 1733. En el presente trabajo se tiene como propósito no solamente aproximar el valor de π, sino t ambién analizar la convergencia
de los resultados de acuerdo al número de lanzamientos. Imagen 1. Modelo del problema
II. MÉTODOS
Se espera que a mayor número de lanzamientos el valor
A. Aguja de Buffon Buffon
La aguja de Buffon Buffon es un problema de probabilidad probabilidad geométrica, que puede realizarse en la práctica y cuyo interés radica en que es un método difícil para ir aproximando el valor
aproximado aprox imado de π sea más exacto, por otra parte se van a tomar 4 casos distintos para aproximar π de acuerdo a la relación b/a
que será igual a 0.1, 0.5 ,1 y 2.
del número π a partir de sucesivos intentos. Fue planteado por
el naturalista francés Buffon en 1733 y reproducido por él mismo ya resuelto en 1757. Consiste en lanzar una aguja sobre un papel en el que se han trazado rectas paralelas distanciadas entre sí de manera uniforme. Se puede demostrar que si la distancia entre las rectas es igual a la longitud de la aguja, la probabilidad de que la aguja cruce alguna de las líneas es 2/ El planteamiento matemático del problema parte de tener una aguja de longitud b lanzada sobre un plano segmentado por líneas paralelas (un papel) separadas a unidades, teniendo esto se lanza una aguja sobre el papel N veces y se tiene que mientras ≤ , y la aguja al caer atraviese una de las líneas M veces, la probabilidad P(a/b) se define de acuerdo a la ecuación 1. (/) =
B. Aplicación en Matlab
Para formular computacionalmente el problema se define x como la distancia del punto medio de la aguja a la línea más cercana, y θ como el ángulo que la aguja forma con el arreglo de líneas en paralelo por lo tanto la aguja cruzará la línea siempre y cuando ≤ (θ) o de otra forma: ≡−
1 2
(θ) ≤ 0
[3] Donde x varía entre 0 y y θ varía entre 0 y π.En consecuencia se genera una secuencia de N pares de valores
aleatorios (x,θ) con distribución uniforme de probabilidad, po r
lo que se escribe en matlab la ecuación 3 y se define que si c es negativo M veces, la probabilidad P(a/b) es igual a lim / →∞ , teniendo esto se habilita la opción de elegir el número de lanzamientos y se asigna una variable para almacenar el valor aproximado de π de acuerdo a la ecuación 2.
[1]
Por lo tanto el valor aproximado de π es igual a 2 veces la
relación entre la long longitud itud de la aguja y la separación separac ión de las líneas dividido por la probabilidad de que la aguja atraviese la línea tal y como indica la ecuación 2.
Posteriormente se ejecuta el programa variando los parámetros a y b de manera que la división a/b sea igual a 0.1, 0.5, 1 y 2, y para cada caso se mira la convergencia de los resultados de acuerdo al valor de N, se espera que a mayor número de lanzamientos se tenga una mejor aproximación del número π .
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III. R ESULTADOS Y ANÁLISIS A. Solución Numérica del problema
Al resolver el problema en Matlab se encuentra que la aproximación de π es mejor cuando a y b son iguales, es decir
cuando la longitud de la aguja y el espacio entre las líneas paralelas del papel es igual, también se observa que conforme la relación a/b cambia hacia valores como 0.5 y 0.1 y 2 la
Se hace notar que aunque el experimento puede realizarse en la práctica, se requiere un número de intentos considerablemente grande para obtener un valor lo suficientemente cercano a π, por lo tanto en el presente informe se soluciona el problema mediante ordenador utilizando una semilla generadora de números aleatorios y un entorno de desarrollo como lo es Matlab, lo cual permite resolver la situación y analizar el comportamiento de ésta conforme aumenta el número de intentos. IV. CONCLUSIONES
aproximación no converge en π.
Lo anterior puede verse reflejado en los datos registrados de la tabla 1, presentada a continuación.
-
Relación entre a y b (a/b) e d s r n
100 1000 10000 20000 ot
o e et m in u N
0.1 21.5054 20.7469 20.6313 20.6452
0.5 4.9383 4.7450 4.7910 4.8005
1 3.1250 3.1447 3.1451 3.1390
2 3.3333 3.3113 3.1596 3.1032
Tabla 1. Aproximación de π a partir de relación entre a y b y número de lanzamientos Buffon observó que la ecuación 2 era válida siempre y cuando b≤a, es decir y esto se comprueba de acuerdo a los datos registrados en la tabla 1, donde se observan valores que no tienden a π cuando la relación entre la longitud de la
separación de las líneas y la longitud de la aguja es menor que 1 es decir cuando b>a. Por lo que se procede a analizar el procentaje de error del método con respecto al valor de π convencional, únicamente con los resultados obtenidos cuando la relación a/b es mayor o igual a 1. La tabla 2 muestra el porcentaje de error del método tomando cinco cifras significativas , siendo π=3.1416, y puede observarse a continuación Relación entre a y b (a/b)
1 2 100 0,53% 6,10% ot o r n e 1000 0,10% 5,40% et m ni 10000 0,11% 0,57% ú N 20000 0,08% 1,22% Tabla 2. Porcentaje de error del problema para a=b y a=2b e d
-
s
Se observa que la convergencia del problema hacia π, es más
rápida cuando a=b, donde el porcentaje de error alcanza un 0.08% realizando 20000 lanzamientos de aguja, por otra parte cuando a=2b la convergencia es más lenta alcanzando un porcentaje de 1.22% con 20000 lanzamientos.
-
El problema de la aguja de Buffon solo se cumple cuando la longitud de la aguja es menor o igual a la separación de las líneas paralelas del papel. El porcentaje de error del problema cuando a es igual a b disminuye al aumentar el número de intentos y va desde un 0.53% en 100 intentos hasta un 0.08% para 20000 intentos. El porcentaje de error del problema cuando a es igual a 2 veces b, es inicialmente más alto que cuando a es igual a b con un 6.10% en 100 intentos y alcanza un valor de 1.22% cuando se tienen 20000 lanzamientos.
REFERENCIAS [1] http://www.estadisticaparatodos.es/taller/buffon/buffon.html [2] http://www.xatakaciencia.com/matematicas/el-problema-de-la-aguja-de buffon
V. A NEXOS function Buffon(n,N) b=1; a=n*b; M=0; for i=1:N x(i)=(0.5*a)*rand; phi(i)=(pi)*rand; c(i)=x(i)-0.5*b*sin(phi(i)); if c(i)<=0 M=M+1; end end P=M/N; aproxpi=(2*b)/(P*a) end
