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DISTRIBUIÇÃO NOR MAL Exercí cios
Nos exercícios 1-20, su ponha que as leituras dos ter mômetros tenham distri buição normal com média de 0° e desvio padr ão de 1°. Escolhe-se aleator iamente e testa-se um ter mômetro. Em cada caso, faça um es boço e determine a proba bilidade de cada leitur a em graus.
1. Entre 0 e 3,00 2. Entr e 0 e 1,96 3. Entr e 0 e -2,33 4. Entr e 0 e -1,28 5. Superior a 2,58 6. Inf erior a -1,47 7. Inf erior a -2,09 8. Su perior a 0,25 9. Entre 1,34 e 2,67 10. Entre -1,72 e -0,31 11. Entre -2,22 e -1,11 12. Entr e 0,89 e 1,78 13. Inferior a 0,08 14. Inferior a 3,01 15. Su perior a -2,29 16. Super ior a -1,05 17. Entre -1,99 e 2,01 18. Entr e - 0,07 e 2,19 19. Entr e -1,00 e 4,00 20. Entr e -5,00 e 2,00 Nos exer cícios 21-24, su ponha que as leitur as dos ter mômetr os tenham distr i buição nor mal com média de O° e desvio padr ão de 1°. Determine a pro babilidade indicada sendo z a leitura em gr aus. 21. P(z > 2,33) 22. P(2,OO < z < 2,50) 23. P(-3,00 < z < 2,00) 24. P(z < -1,44) Nos exercícios 25-30, su ponha que as leituras dos termômetros tenham distr i buição normal com média de 0° e desvio padr ão de 1°. Escolhe-se aleator iamente e testa-se um ter mômetr o. Em cada caso faça um esboço e determine a leitur a de tem per atur a corr es pondente a inf ormação dada.
2
25. Se 4% dos termômetr os São r ejeitados porque acusam leituras demasiadamente altas, enquanto todos os outros são aceitos, deter mine a leitur a que separa os ter mômetros r ejeitados dos ter mômetros r estantes. 26. Se 8% dos termômetros são rejeitados porque acusam leituras demasiadamente baixas, enquanto todos os outros são aceitos, determine a leitura que separa os termômetros rejeitados dos termômetros restantes. 27. Um analista de controle de qualidade deseja examinar termômetros com leituras nos 2% inferiores. Que valor separa os 2% inferiores dos restantes? 28. Se 2,5% dos termômetros são rejeitados por acusaram leituras demasiadamente altas e outros 2,5% são rejeitados por acusarem leituras demasiadamente baixas, determine os dois valores que separam os termômetros rejeitados dos outros. 29. Suponha os escores z distribuídos normalmente com media 0 e desvio padrão 1. a) Se P(0 < z < a) = 0,3212, determine a. b) Se P(-b < z < b) = 0,3182, determine b. c) Se P(z > c) = 0,2358, determine c. d) Se P(z > d) = 0,7517, determine d. e) Se P(z < e) = 0,4090, determine e. 30. Para uma distribuição normal padronizada determine a percentagem dos dados que estão a) A menos de 1 desvio padrão da média. b) A menos de 1,96 desvios padrão da média. c) Entre µ - 3σ e µ + 3σ d) Entre 1 desvio padrão abaixo da média e 1 desvio padrão acima da média. e) A mais de 2 desvios padrão de distância da média.
Parte 2
Nos exercícios 1-6, admita que as alturas das mulheres tenham distribuição normal com média µ = 63,6 in. e desvio padrão σ = 2,5 in.. Admita também que uma mulher seja escolhida aleatoriamente. Trace um gráfico e ache a probabilidade pedida. 1. 2. 3. 4. 5.
P(63,6 in. < x < 65,0 in.) P(x < 70,0 in.) P(x > 58,1 in.) P(59,1 in. < x < 66,6 in.) As alturas das dançarinas em um espetáculo no New York City's Radio City Music Hall devem estar entre 65,5 in. e 68,0 in. Escolhida aleatoriamente uma mulher, determine a probabilidade de ela poder ser uma dançarina nesse espetáculo.
6. O Beanstalk Club, uma organização social para pessoas de porte elevado, tem uma exigência de que as mulheres tenham ao menos 70 in. (ou 5 ft 10 in) de altura. Cogita-se de abrir uma filial
3
do Beanstalk Club em uma área metropolitana com 500.000 mulheres adultas. a) Determine a percentagem de mulheres adultas elegíveis para membro, par terem a altura mínima de 70 in. b) Entre 500.000 mulheres adultas que vivem na área metropolitana, quantas podem ser candidatas ao Beanstalk Club? c) O leitor abriria uma filial do Beanstalk Club? 7. Os prazos de substituição de aparelhos de TV tem distribuição normal com média de 8,2 anos e desvio padrão de 1,1 ano. Determine a probabilidade de um aparelho de TV selecionado aleatoriamente acusar um tempo de substituição inferior a 7,0 anos. 8. Supondo que os pesos do papel descartado semanalmente pelas residências tenham distribuição normal com média de 9,4 lb e desvio padrão de 4,2 lb, determine a probabilidade de escolher aleatoriamente uma residência que descarte entre 5,0 lb e 8,0 lb de papel em uma semana. 9. Uma aplicação clássica da distribuição normal é inspirada em um carta a Dear Abby, em que uma esposa alegava ter dado a luz 308 dias após uma rápida visita de seu marido que estava servindo na Marinha. Os prazos da gravidez tem distribuição normal com média 268 dias e desvio padrão de 15 dias. Com base nessa informação, determine a probabilidade de uma gravidez durar 308 dias ou mais. O que esse resultado sugere? 10. De acordo com a IMRA, os homens gastam em média 11 ,4 minutes no chuveiro. Suponha que esses tempos tenham distribuição normal com desvio padrão de 1,8 min. Escolhido um homem aleatoriamente, determine a probabilidade de ele gastar ao menos 10,0 min no chuveiro. 11. Os escores de QI tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 15. A Mensa é uma organização para pessoas com QI elevado, e a admissão exige um QI superior a 131,5. a) Escolhida aleatoriamente uma pessoa, determine a probabilidade de ela satisfazer aquela exigência da Mensa. b) Em uma região típica de 75.000 habitantes, quantos serão candidatos a Mensa? 12. Os níveis de colesterol sérico em homens entre 18 e 24 anos de idade tem distribuição normal com média 178,1 e desvio padrão de 40,7. Todas as unidades são em mg/100 ml, e os dados se baseiam no National Health Survey. Escolhido aleatoriamente um homem entre 18 e 24 anos de idade, determine a probabilidade de seu nível de colesterol sérico estar entre 200 e 250. 13.0 corpo de fuzileiros Navais da Marinha dos EUA exige homens com altura entre 64 in. e 78
in. Determine a percentagem dos homens que satisfazem essa exigência. ( O National Health Survey mostra que as alturas dos homens tem distribuição normal com média de 69,0 in. e desvio padrão de 2,8 in.).
4
RESPOSTA
Parte 1
1. 0,4987 2. 0,4901 3. 0,0049 4. 0,0183 5. 0,0863 6. 0,1203 7. 0,5319 8. 0,9890 9. 0,9545 10. 0,8412 11. 0,0099 12. 0,9759 13. 1,75° 14. -1, 4° 15. -2,05° 16. ±1,96° 17. a) 0,92
b) ±0,41
c) 0,72
d) -0,68
e) -0,23
Parte 2
1. 0,2123 2. 0,9948 3. 0,9861 4. 0,8490 5. 0,1844 6. a) 0,0052 b) 2600,0 7. 0,1379 8. ---------9. 0,2238 10. ---------11. 0,0038; ou ocorreu um evento muito raro, ou 0 marido não é o pai. 12. ---------13. 0,7823 14. ---------15. a) 0,0179 16. ---------17. 0,2562 18. ---------19. 96,32% ===///===
b) 1343
Exercícios Intervalo de Confiança
1) Em 144 crianças do Grupo Escolar Rui Barbosa, o índice CPOS apresentou os seguintes dados: ̅ =
9.09 e s = 2.46
Determine o intervalo de confiança no nível de 1% de probabilidade. RESP: 9.09 ± 0.53
2) Verificado o peso de caracaças de suínos, observou-se: ̅ = 46 kg, CV = 7.5% Obter o intervalo de confiança no nível de 1 % de proba bilidade.
e
n = 40.
RESP: 46 ± 1.41
3) Em tra balho de la boratór io com finalidade de constatar a quantidade de N cxcr etado na urina de indivíduos adultos, pesquisou-se 100 elementos, e a média obtida foi igual a 60 g/dia com var iância de 8 g/dia. O bter o inter valo de conf iança para a média da po pulação com nível de 5% de probabilidade. RESP: 60 ±
0.27
4) Uma amostra de 100 crianças de 6 a 12 anos, da Escola Estadual Nilo Peçanha, apr esentou quanto ao índice CPOD valor médio igual a 9 e var iância igual a 6.25. Determinar o intervalo de confiança com 99% de pro babilidade. RESP: 9 ± 0.65
5) Uma amostra de 400 quilos de carne ir r adiada apresenta um índice de desidratação de 172 com desvio-padrão igual a 7.3. Obter o intervalo de confiança para a média com 95% de proba bilidade. RESP: 172 ± 0.71 6) Uma amostra de 900 equinos PSBP apr esenta a média de hemáceas igual a 7 x 10 6 e desvio padrão igual a 3 x 105. Obter o inter valo de contíança no nivcl de 5% de probabilidade. RESP: 7 x 106 ± 1.96 x
4
10
7) Um conjunto de 100 animais em experiência f oi alimentado com certa ração por um período de 2 semanas. Os valores encontrados foram: ̅ = 42 kg; s = 5 kg e = 0.5 kg Encontrar os limites de confiança de 99%. RESP: 42 ± 1.32
1
8) Foi testada uma amostra de 1600 cigarros de certa marca, com r elação ao conteúdo de nicotina, dando ̅ = 22 e = 16. Usar o teste t para encontrar os limites de confiança com'99% de probabilidade. RESP: 22 ± 0.26
9) Uma amostra aleatória de 25 notas em Matemática, num total de 200 alunos, apresenta a média 5 e coeficiente de variação igual a 20% . Qual a estimativa para o intervalo de confiança com 95% de probabilidade. RESP: 5 ± 0.41
10) Considerando que os dados do problema anterior estão distribuídos normalmente. há probabilidade de que um aluno desta turma de 200 tenha tirado nota 8.4? RESP: Não
11) Se n = 50, p = 40%, α = 0.05, determinar o intervalo de confiança para p. RESP: 40% ± 13.6%
12) Em uma cidade, entre 1000 residências 280 possuem televisão a cores. Determinar o intervalo de confiança para a proporção de possuidores de televisão a cores, sendo α=O.01. RESP: 28% ±
3.7%
13) Querendo determinar a proporção de indivíduos que fumam cigarros com filtro. Um fabricante de cigarros entrevistou 64 indivíduos, encontrando o seguinte resultado: cigarros com filtro: 24 cigarros sem filtro: 30 não fumam: 10 Determinar o intervalo de confiança para o 1º grupo, sendo α = 0.05. RESP: 37.5% ± 12.2%
14) Uma amostra de 400 cidadãos numa comunidade revelou que 240 desejavam água fluorada. Encontrar os limites de confiança para a proporção da população favorável à fluoretação da água, sendo α = 0.01 RESP: 60% ± 6.3%
15) Uma casa de comércio deseja conhecer a porcentagem p de devedores atrasados e para tal fim realiza uma amostra, ao acaso, de 300 fichas de devedores, achando 35 em mora. Determinar o intervalo de confiança de p com 95% de probabilidade.
2
RESP: 11.7% ± 3.6%
16) O índice de soro-proteção de uma amostra de 100 vacinas com hidr óxido de alumínio apresenta um valor médio igual a 3.50 e var iância 0.36. Determinar os limites de confiança no nível de 5% de probabilidade. RESP: 3.50 ± 0.12
17) Numa pesquisa de opnião entre 600 pessoas, 340 responderam SIM a determinada pergunta. Estimar a percentagem na população dentro de um intervalo de 99% de probabil idade. RESP: 57% ± 3.9%
18) Uma amostra ao acaso de 300 alunos da Faculdade de Veterinária apresentou 180 alunos com preconceito racial. Obtcr o intervalo de confiança para p no nível de 5% de probabilidade. RESP: 60% ± 5.6%
19) Dada uma amostra com n = 120 e uma propor ção amostral de 35%. Calcular o padrão da proporção, assim como o intervalo de confiança no nível de 5%. erroRESP: 35% ± 8.6%
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Exercícios Tcste de Hipóteses Parte I
- Testes para Média
1) Uma amostra de 25 elementos resultou média 13.5 com desvio- padrão 4.4. Efetuar o teste ao nível de 0.05 para a hipótese que µ = 16 contr a (a) µ ≠ 16 e (b) µ < 16.
() ()
RESP: = -2,8409 Bil
Uni
– > Rej
= 2,064
-> (a) tc < tTab – > Rej
= 1,711
-> (b) tc < tTab
2) Retirada uma amostra de 15 parafusos, obteve-se as seguintes medidas para seus diâmetros: 10 10 10 11 11
12 12 12 12 13
13 14 14 14 15
Efetuar o teste ao nível de 0.05 para a hipótese que µ = 12. Contra (a) µ ≠ 12 e (b) µ < 12.
̅
RESP: = 12,20; s = 1,61245;
= 0,41633
t = 0,480 – > Não rej.
tB(5%, 14gl) = 2,145
tc =
tU(5%, 14gl) = 1,761
c
0,480 – > Não rej.
(a) (b)
3) As estaturas de 20 recém-nascidos foram tornadas. Os r esultados são: 41 50 52 49 49
54 50 47 52 49
50 52 50 47 49
51 46 50 49 50
1
A. Suponha inicialmente que a população das estaturas é normal com variância 2 cm2; teste a hipótese de que a média desta normal é 50 cm (α = 0.05). (Teste unicaudal). B. Faça o mesmo teste para a média, mas agora desconhecendo a variância (Teste unicaudal). RESP: (a) σ = 2, conhecido
= -1,645
̅ = 49,35; s = 2,720; = 0,608 (a) z = -0,1453; = -1,645’
– > Não rej. (b) tUni (5%, 19gl) = 1,729 tc = -1,0687 – > Não rej. c
4) animais foram alimentados com uma certa dieta durante 3 semanas e verificouse os seguintes aumentos de pesos: 25 34 30 30 37 32 32 33 38 24 34 29 40 28 31 Testar a hipótese de que a média é 30, sendo α = 10% (Teste bicaudal ou bilateral).
̅
= 1,234 t (α%; v=13gl) = t(10%;13gl) = 1,771 t < t : -14,650 < 1,771 -> Rej. RESP: = 31,93; s = 4,615;
- Bilateral
B c
Tab
- Testes para Proporção: 5) Uma amostra de 500 eleitores selecionados ao acaso dá 52% ao Partido Democrático. Poderia esta amostra ter sido retirada de uma população que tivesse 50% de eleitores democratas? Admita α =5%. RESP:
= 1,645; = 0,8944 -> Rej.
6) Lança-se uma moeda 500 vezes e obtém-se 60 caras. Testar ao nível de 5% a hipótese de que a moeda é honesta. RESP: ;
̂ 0,6; = 1,645; = 2,00 -> Rej.
7) Uma pesquisa revelou que das 500 donas de casas consultadas, 300 prefer iram o detergente A. Testar a hipótese ao nivel de 0.04 para contra . RESP: ;
̂ 0,6; α=0.04; = 1,75;
= 4,4721 -> Rej.
2
Parte II
1) Verificaram-se os índices de CPOS em 30 cianças com idade entre 6 a '15 anos, antes e depois da fluoretação:
Antes = 5.4
Depois = 3.9
̅
n = 30 = 0.7
̅
= s da diferença. Concluir a 1%.
RESP: 11.73** NOTA: ** -
significa que o teste é significativo ao nível de 1% de probabilidade. significa que o teste é significativo ao nível de 5% de probabilidade. ns – significa que o teste é não significativo. *
-
2) Realizada a adubação de certo terreno, com níveis de N c P para aumento de produção de cebola, encontramos os dados:
Nitrogênio = 25 kg = 2.4 kg = 21 Concluir a 1%.
̅
Potássio = 20 kg = 1.9 kg = 21
̅
RESP: 7.50** 3) Os índices de desidratação em alimentos irradiados com diferentes níveis apresentaram as seguintes taxas:
20 rad = 164 = 8.80 = 30 Concluir a 1%.
̅
30 rad = 160 = 12.25 = 30
̅
RESP: 1.45** 3
4) Verificar se a diferença entre as médias de peso de aves submetidas a 2 tipos de ração foi significativa.
Ração A (com sorgo) B (sem sorgo) = 22 kg = 17.5 kg = 2.40 kg = 3.24 kg = 21 = 21
̅
̅
Concluir a 1%.
RESP: 6.92** 5) Utilizando duas raças de suínos, constatamos ao final de 90 dias de ex perimento os seguintes dados relativos ao ganho de peso:
Duroc = 40 kg = 1.9 kg = 15
̅
Raça Pietrain = 32 kg = 5.29 kg = 16
̅
Concluir a 1%.
RESP: 10.59** 6) Observando os dados referentes a pressão sistólica, ern temos:
2
grupos de 15 pessoas
Grupo A B = 11.3 mm = 13.9 mm = 1.69 mm = 6.76 mm = 0.34 mm = 0.48 mm
̅ ̅ – erro-padrão = √ Concluir a 1%.
RESP: -6.60**
4
0 7) Procedeu-se ao estudo de 2 grupos de indivíduos. No 1 grupo, foi tomada uma amostra de 8 indivíduos adultos cuja taxa de uréia na urina foi dosada com a mesma técnica, e os dados foram:
̅ = 25 g/24 h = 1.9 g No 20 grupo, a amostra foi constituída de 7 individuos portadores de nefrite cr ônica, c os dados foram os seguintes:
̅ = 16 g/24 h = 3.24 g Aplicar o teste t e concluir a 1%.
RESP: 9.89** 8) Apresentamos diferentes vias de administração de vacinas e taxas médias de anticorpos no sangue: Via Intramuscular Subcutânea = 18 = 15.5 = 1.9 = 1.6 = 25 = 37
̅
̅
Concluir a 1%.
RESP: 5.43** 9) Verificar a eficiência de 2 drogas soporíferas A e B. As drogas foram dadas a 2 grupos de 10 pacientes e o resultado foi medido pelas horas adicionais de sono conforme abaixo: Drogas A 1.9 0.8 1.1 0.1 0.1
B 4.4 5.5 1.6 4.6 3.4
0.7 1.6 0.2 1.2 0.1
3.4 0.8 0.6 2.0 3.7
Aplicar o teste t e concluir a 1%.
RESP: 1.33ns ns – significa que o teste é não significativo.
5
10) Um estudo comparativo de higiene oral e cárie dentária , para determinar o índice CPOD, na cidade de Araçatuba, apresentou os seguintes valores em jovens com idade entre 13 e 17 anos:
Masculino = 8.86 = 1.96 = 36
Sexo Feminino = 10.93 = 0.07 = 25
̅ ̅ = erro-padrão da média. Concluir a 1%.
RESP: -8.62** 11) O Q.I. (quociente de inteligência) de 16 estudantes de uma zona da cidade apresentou média 107, com desvio-padrão 10 enquanto que outros 10 estudantes de outra zona apresentaram média 84 c coeficiente de variação de 20%. Há diferença significativa entre os Q.I. dos dois grupos? Determinar o valor de t.
RESP: 3.92 **
6
-SOLUÇÕES PARTE I 1) = 13,5; s = 4,4;
̅ = 0,88; α = 5% ̅⁄√ = ⁄√ = -2,8409 () = 2,064 () = 1,711 (a) t < t – Rej (b) t < t – Rej Bil
Uni
c
Tab
c
Tab
2) = 12,20; s = 1,61245; = 0,41633 tB(5%, 14gl) = 2,145 tc = 0,480 – > Não rej. tU(5%, 14gl) = 1,761 tc = 0,480 – > Não rej.
̅
tc = 0,480; 14gl p-value (Bilateral) = 0,638
() ( √ ) ; ( t(5%, 14gl) = 2,145 () () ou ()() 3)
̅
a) σ conhecido = -1,645 = 49,35; s = 2,720; = 0,608
̅ ⁄√ = √ = 0,65/4,4721 = -0,1453 zc = -0,1453
̅⁄√ = = -1,0687 -zTab < |zc| ou -1,645 < -0,1453
= -1,645 – > Não rej. b) tU(5%, 19gl) = 1,729
tc =
|-1,0687| > |-1,729| – > Não rej.
-1,0687
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