Minicurso HP 50g
Capítulo 1: Noções Básicas ............................................................... ............................................................................................................ ............................................. 2 Capítulo 2: Menu MODE ............................................................................................................... 7 Capítulo 3: Diretório HOME e memória da HP...................................................................... HP ............................................................................ ...... 12 Capítulo 4: Função Dia, Hora e Alarme ....................................................................................... ....................................................................................... 14 Capítulo 5: Equation Writer (EQW) .............................................................. ............................................................................................. ............................... 14 Capítulo 6: Operações com unidades .......................................................... ......................................................................................... ............................... 15 Capítulo 7: Conversão entre números decimais e fracionários e entre bases numéricas .......... 16 Capítulo 8: 8 : Cálculos Estatísticos .................................................................................................. .................................................................................................. 17 Capítulo 9: 9 : Matrizes .................................................................................................................... .................................................................................................................... 20 Capítulo 10: Vetores .............................................................. .................................................................................................................... ...................................................... 22 Capítulo 11: Autovalores e Autovetores ............................................................................... ..................................................................................... ...... 23 Capítulo 12: Equações polinomiais ............................................................................................. 24 Capítulo 13: Sistemas Lineares L ineares.......................................................... .................................................................................................... .......................................... 25 Capítulo 14: Limites ............................................................... ..................................................................................................................... ...................................................... 30 Capítulo 15: Derivadas ................................................................................................................ ................................................................................................................ 31 Capítulo 16: Integrais .................................................................................................................. .................................................................................................................. 31 Capítulo 16: Solução de Equações ............................................................... .............................................................................................. ............................... 33 Capítulo 17: 1 7: Gráficos ............................................................................................... ................................................................................................................... .................... 37 Capítulo 18: Menu APPS A PPS........................................................ .............................................................................................................. ...................................................... 42 Capítulo 19: 1 9: Miscelânea de Funções ............................................................ ........................................................................................... ............................... 43 Capítulo 20: Instalando Programas ............................................................................................. ............................................................................................. 44
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Apresentando o teclado e o visor
A primeira etapa a ser feita para dominar do minar o uso da calculadora é aprender a localização das funções mais simples, familiarizar-se com as teclas e formas de escrever os cálculos e realizar as operações.
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Na parte superior do visor você encontrará duas linhas com informações que descrevem as configurações da calculadora.
Na parte inferior do visor visor você encontrará certo número número de símbolos, por exemplo:
Os símbolos exibidos na parte inferior serão alterados dependendo de qual menu está sendo acessado. Mas independente disso, as teclas F1, F2, F3, F4, F5 e F6 estarão sempre associadas às funções exibidas, seguindo a lógica de: F1 estará associada à primeira função partindo-se da esquerda, F2 à segunda, assim por diante. No exemplo acima, a tecla F1 acessa a função EDIT, a tecla F2 a função VIEW. A tecla TOOL retornará ao menu inferior exibido na imagem acima, a tecla NXT mostrará as próximas funções que não foram exibidas em um determinado menu por falta de espaço. As teclas SHIFT DIREITO ou LARANJA e SHIFT ESQUERDO ou BRANCO serão utilizadas para acessar as funções de determinada cor indicadas acima de cada tecla. Exemplo:
A tecla SHIFT BRANCO + acessará a função LARANJA + acessará a função LN.
e a tecla SHIFT
A tecla ALPHA é responsável por acessar o menu alfabético da calculadora, ou seja, utilizada para digitar letras. A tecla ALPHA é desativada após seu uso, para travá-la e poder digitar uma palavra mais extensa por exemplo, deve-se apertar a tecla APLHA duas vezes e você perceberá que seu símbolo aparecerá ap arecerá fixo no visor superior da calculadora (flag 60 deve estar desativada). Para digitar letras minúsculas, deve-se digitar a tecla ALPHA + SHIFT BRANCO + tecla referente a letra desejada. Já a
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tecla ALPHA seguida de SHIFT LARANJA nos fornecerá alguns símbolos, que podem ser também selecionados através da tecla CHARS (SHIFT LARANJA + EVAL). A figura abaixo representa alguns símbolos que podem ser acessados através desse modo.
A calculadora HP permite pe rmite escrever 255 caracteres especiais. A maioria deles se encontra acessível no teclado da calculadora, mas para aqueles cuja sequência de acesso não é tão fácil de ser memorizada, pode-se utilizar o aplicativo CHARS, que permite selecionar caracteres diretamente do visor e inseri-los na posição do cursor, que permitirá visualizar a seguinte tela:
Mova o cursor até o caractere desejado e para inseri-lo tecle ECHO 1 (insere o caractere e volta para a pilha) ou ECHO (insere o caractere e continua no ambiente de caracteres especiais). 4
Modo RPN e comandos referentes à pilha pilha
O RPN (Reverse Polish Notation) é uma maneira diferente de notação para input de objetos algébricos. Os argumentos são escritos inicialmente seguidos da operação a ser realizada entre eles. Não é atraente a traente para escrever contas no papel, mas numa calculadora torna-se útil e rápido. Para facilitar as coisas, é introduzido o conceito de stack de stack : uma “pilha de números”, com um objeto por andar. Quando se escreve alguma coisa, aparece a linha de entrada abaixo do nível 1. Argumentos escritos verticalmente ao invés de horizontalmente. Quando a função é executada, os argumentos somem e são substituídos pela resposta da operação executada. Para ajustar a calculadora para o modo RPN:
MODE → Operating Mode → +/ - ou F2 (CHOOS) → RPN Regras para o stack: Objetos são escritos na linha de entrada e inseridos na pilha apertando-se Enter. Os objetos são inseridos na pilha de números pelo fundo da pilha. Cada um dos objetos acima dele, portanto, sobe um nível.
Funções devem também ter seu nome escrito na linha de entrada. Quando for apertado Enter, a operação será realizada. As exceções são as funções já presentes no teclado da calculadora, que são executadas imediatamente quando seu botão é pressionado.
As operações tomam como argumentos os objetos mais ao fundo da pilha. São tomados como argumento, naturalmente, um número de objetos igual ao número de argumentos que a função pede. A ordem em que os argumentos são tomados é de cima para baixo. b aixo.
Se for desejável repetir um valor, ele deve ser inserido no nível 1 da pilha. Apertando-se Enter repetidamente, o valor é inserido várias vezes.
Para apagar o stack 1, aperta-se «. É preciso com a linha de entrada fechada. Ela abre quando se começa a digitar algo, e pode ser fechada apertando-se Cancel.
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√ −
Exemplo: Inserir no stack 1 a expressão:
2500 [ ]
O RPN torna-se completamente útil com as funções ROLL e ROLLD: Rolam o conteúdo do stack.
Aperta-se ↑ para acessar o stack (para sair é necessário apertar Cancel) .
Leva-se o cursor até o nível desejado – de de modo que todos os objetos no ciclo desejado estejam compreendidos entre o nível 1 e o cursor (incluindo ele), e então usa-se as funções (F5 e F6).
ROLL sobe o nível dos d os objetos e ROLLD desce.
O ROLL entre os níveis 1 e 2 pode ser feito simplesmente com →.
Algumas teclas também importantes são: UNDO: desfaz a última operação realizada. BEGIN e END: aperte a tecla BEGIN e leve o cursor até o local que você deseja selecionar, ao clicar em END você perceberá que todo o local que você selecionou irá ser marcado. COPY, CUT e PASTE: são os conhecidos comandos copiar, recortar e colar que também são encontrados na HP, eles poderão ser utilizados após serem realizadas as etapas utilizando as teclas BEGIN e END.
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Para acessar o menu MODE deve-se pressionar a tecla MODE. Vamos estudar cada uma das funções apresentadas nesse menu. 1) Operating Mode: Mode: altera o modo de atuação da calculadora (RPN ou Algébrico). 2) Number Format: identifica Format: identifica o formato dos números a serem utilizados. Vamos caracterizar cada um desses diferentes tipos.
Formato Padrão (Std) – apresentam
números que usam precisão completa. Todos os números significativos à direita do ponto decimal são mostrados até 12 dígitos. Os números inteiros são mostrados sem nenhum zero decimal, qualquer que seja ele. Os números com caracteres decimais diferentes de zero são ajustados no visor para que apenas os números decimais necessários sejam mostrados. Formato Fixo (Fix) – apresenta números arredondados para um número específico de casas decimais. É interessante quando se trabalha com uma precisão limitada. É possível selecionar o número específico de casas decimais colocando o cursor no campo adjacente ao campo do formato e indicar o número de casas decimais desejadas de duas maneiras: digitando o número diretamente no campo ou utilizando o menu CHOOS e em seguida as teclas de movimentação do cursor. Formato Científico (Sci) – apresenta um número em notação científica, com uma mantissa com 1 dígito à esquerda do ponto decimal e um número específico de casas decimais, definido pelo usuário e um expoente para potência de 10. A forma de definição do número de casas decimais é feita seguindo o mesmo procedimento do formato fixo.
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Formato Engenharia (Eng) –
é semelhante ao modo científico, sendo que os expoentes da potência de 10 serão necessariamente múltiplos de três.
A seguir está uma tabela apresentando a forma com que a calculadora exibe os números nos diferentes formatos.
3) Separador Decimal (FM = Fraction Mark): na Mark): na calculadora HP é possível optar entre dois tipos de separadores de casas decimais: o ponto ou a vírgula. O usuário poderá trabalhar com o separador que melhor lhe convier, sem que isso cause qualquer alteração na forma como a calculadora opera. Para escolher o tipo de separador decimal, pressione MODE, mova o cursor até o campo FM e pressione +/- ou /CHK para alterar a opção. O símbolo à frente do campo _FM indica que o separador decimal será a vírgula. Caso essa opção esteja ativa vale ressaltar que o marcador simbólico (,) será substituído por (;). 4) Unidade de Medidas de Ângulos (Angle Measure): Measure): a HP fornece três opções diferentes de unidades de medida de ângulos planos:
Graus (Degrees): existem 360° em cada circunferência completa ou 90° em um ângulo reto. Essa opção é mais usada em cálculos envolvendo geometria básica e cálculos mecânicos e estruturais. Radianos (Radians): existem 2π radianos (2π rad) em uma circunferência completa ou π/2 rad em um ângulo reto. Essa opção é principalmente usada para resolver resolver problemas problemas matemáticos e físicos físicos e é a opção padrão da HP.
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Grados (Grades): existem 400 grados (400 gon) em uma circunferência completa ou 100 gon em um u m ângulo reto.
A unidade de medida de ângulo plano afeta as funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente associadas. Para alterar o modo de medida do ângulo, use o seguinte procedimento: pressione o botão botã o MODE, movimente o cursor teclando duas vezes. Selecione o modo Angle Measure usando a tecla +/- ou pressionando CHOOS e as teclas , para selecionar o modo e pressione OK para completar a operação. A opção de unidades de ângulo plano é indicada na parte superior esquerda do visor da HP, apresentando DEG, RAD ou GRAD. 5) Sistema de Coordenadas (Coord. System): a System): a seleção de um sistema de coordenadas afeta a forma com que os vetores e números complexos são exibidos e inseridos na HP. Existem três opções opçõ es de sistemas de coordenadas: co ordenadas:
Cartesiano ou Retangular: um ponto terá três coordenadas lineares (x,y,z) medidas da origem ao longo de cada um dos três eixos mutualmente perpendiculares (no modo 2D a coordenada z é considerada como 0); Polar ou Cilíndrico: as coordenadas de um ponto são (r,ϴ,z) sendo r a distância medida da origem no plano xy e ϴ é o ângulo que a distância radial r forma com o eixo x medido como positivo no sentido antihorário e z é a mesma coordenada do sistema cartesiano (também no modo 2D, z é considerado c onsiderado como 0); Esférico: as coordenadas de um ponto são (ρ,ϴ, ϕ) sendo ρ uma distância radial medida de um ponto de origem de um sistema cartesiano, ϴ é o ângulo que representa o ângulo formado pela projeção da distância linear ρ no eixo eixo xy (similar a ϴ no sistema polar) e ϕ é o ângulo do eixo z positivo para a distância ρ radial.
Números complexos são vetores bidimensionais e podem ser dispostos em coordenadas retangulares ( (X,Y) ou [X [X Y]) ou polares ((R, ) ou
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[ R ]. Vetores tridimensionais podem ser dispostos em coordenadas retangulares ([ X Y Z]), cilíndricas ([ R Z]) ou esféricas ([ R ]). Para mudar o sistema de coordenadas o usuário pode seguir os mesmos passos já descritos anteriormente anteriormente para as demais opções de configuração da HP. A alternância entre sistemas de coordenadas pode ser muito útil na realização de operações matemáticas envolvendo números complexos, principalmente nas disciplinas disciplinas que envolvam conceitos de eletricidade. Exemplo: Entre com o número complexo z = 2 + 3i na pilha com a calculadora no modo de coordenadas retangulares, depois faça a alteração para o modo de coordenadas polares e observe. Em seguida, com a calculadora no modo de coordenadas polares insira na pilha o número complexo z = 3,6 1, faça a alteração para o modo modo de coordenadas retangulares e observe. OBS: fique fique sempre atento à unidade de medida de ângulos que está ativada na calculadora. c alculadora. 6) Sinal Sonoro, Clique de Tecla e Última pilha (Beep, Key Click, Last Stack): Stack): na última linha do ambiente CALCULATOR MODES encontram-se as as opções: _ Beep _ Key Click _ Last Stack. Ao colocar o cursor em cada uma delas e teclar +/- ou /CHK a marca de verificação irá indicar que a opção foi ativada. A seguir são apresentadas as descrições de cada uma dessas opções:
Beep: quando selecionado, o sinal sonoro da calculadora é ativado. Esta operação se aplica principalmente para mensagens de erro. Aconselha-se a deixar essa opção desativada, principalmente em ambientes de estudo para não incomodar. Key Click: quando selecionado, cada tecla produz um som de “click” ao ser acionada (opção beep deve estar ativada). Pode ser útil para se certificar que todas as teclas foram realmente acionadas, porém também é inconveniente em ambientes de estudo. Last Stack: mantém conteúdos da última entrada da pilha para uso com as funções UNDO e ANS.
Menu CAS (Sistema Algébrico do Computador): O CAS é o centro matemático da calculadora no qual as operações e funções matemáticas simbólicas e funções são programadas.
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Vamos abordar apenas as principais funções.
A opção Approx está relacionada a como os números serão apresentados na calculadora. Com esta opção selecionada, execute a divisão 1÷2 e observe. Agora com esta opção desmarcada execute a mesma divisão e note que a calculadora nos fornece o número em sua forma fracionária. Para obter esse número em sua forma decimal, digite LARANJA + ENTER (→ NUM). A opção Complex será utilizada quando o usuário necessitar trabalhar com números complexos. A opção Step/Step pode ser utilizada quando o usuário deseja visualizar um passo a passo de como a calculadora executou determinado cálculo.
Menu DISP: responsável por personalizar o visor da calculadora conforme preferência do usuário. Font - permite escolher o tamanho da fonte do visor dentre Ft8, Ft7 ou Ft6. O uso de Ft6 permite visualizar até 9 níveis na pilha da calculadora (veja as telas a seguir).
Edit - nessa linha existem as opções _Small, _Full Page e _Indent que qu e quando ativadas, têm o seguinte efeito, respectivamente: altera o tamanho da fonte para pequeno; permite colocar o cursor depois do final da linha e permite avanço automático do cursor ao introduzir mudança de linha.
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Stack - as opções nesse caso são _Small que altera o tamanho da fonte para pequeno e maximiza o volume de informações exibidas no visor (se ativada substitui equivale também a selecionar a opção Small do Edit). EQW - as opções são: _Small altera o tamanho da fonte para pequeno pe queno enquanto usa o Editor de Equação; _Small Stack Disp mostra a fonte pequena na pilha para a exibição do estilo texto. Header - corresponde ao tamanho do cabeçalho. A HP utiliza o valor 2 como padrão, isso significa que a parte superior do visor conterá duas linhas, uma que mostra a configuração atual e a outra que mostra o subdiretório atual. Essa opção pode ser alterada para 1 ou 0. Clock e Analog - quando selecionadas exibirão no canto superior direito do visor um relógio com as horas em formato digital ou analógico. A opção Analog só funciona com Clock também ativado. O relógio só é mostrado se o cabeçalho apresentar espaço suficiente.
Para acessar essa opção pressione BRANCO + G (FILES). Nesse menu, você encontrará todas as pastas e terá acesso a todos os arquivos salvos na memória de sua calculadora.
Neste menu vale ressaltar ressaltar a opção de criar subdiretórios a partir de um diretório já existente. Analogamente à memória de um computador, seria como se você estivesse criando uma pasta dentro de uma outra pasta já existente. Isso se torna muito útil quando você deseja organizar suas fórmulas, equações ou outros arquivos dependendo da disciplina. Para criar um novo diretório acesse um diretório já existente selecionando esse diretório e pressionando enter (F6). Nesse momento serão listados todos
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arquivos e pastas já existentes nesse diretório. Para criar um novo diretório, procure a opção NEW no soft menu, para isso pressione a tecla NXT. Então uma nova tela se abrirá, marque a opção _ Directory Directory e escolha um nome para esse novo diretório diretório e pressione pressione OK (F6). Pronto, você já criou um novo diretório e já pode salvar seus arquivos dentro dessa nova pasta. Nesse ponto, vale ressaltar que você pode alterar o diretório corrente com que a calculadora irá trabalhar. Basta no menu FILES mostrado acima você selecionar o diretório de interesse e pressionar CHDIR (F1). Você notará que na tela principal, a segunda linha do canto ca nto superior do visor mostrará o diretório atual de trabalho. Isso significa que qualquer variável ou arquivo que você salve durante a utilização da calculadora será armazenado diretamente nesse diretório escolhido. Nesse momento vale também introduzir o conceito de variáveis utilizado pela HP. Variáveis são como arquivos em um disco rígido de computador. Uma variável pode armazenar um objeto (valores numéricos, expressões algébricas, listas, vetores, matrizes, programas, etc.). As variáveis são reconhecidas pelos seus nomes, que podem ser qualquer combinação de caracteres alfabéticos ou numéricos, iniciando com uma letra. Uma variável não pode ter o mesmo nome de uma função da calculadora. Você não pode ter uma variável SIN, por exemplo, já que existe um comando SIN na calculadora. Uma forma simples e mais prática de criar/salvar variáveis é utilizar o comando STO (tecla STO ). Por exemplo, para salvar o valor 3,5 na variável A, você deve digitar o valor 3,5 no stack 1 da pilha. Após, você deve digitar A e acrescentá-lo também à pilha (ALPHA + A). Logo após pressione apenas a tecla STO, os dois argumentos desaparecerão da pilha e o valor 3,5 estará salvo na variável “A”. Para conferir, digite A (ALPHA + A) e aperte ENTER, você notará que ao invés de A ir para a pilha, aparecerá o valor 3,5 na pilha. Você também pode visualizar suas variáveis salvas pressionando a tecla VAR ou acessando o menu FILES como mostrado anteriormente. Para apagar uma determinada variável você pode excluí-la através no menu FILES, basta procurar pela variável desejada e procurar a opção PURGE no soft menu. Outro modo é na tela principal você digitar entre aspas (‘ ‘) a variável e pressionar a opção PURGE do soft menu (F5). Por exemplo, pressione ‘ (O) e em seguida A. Note que na pilha aparecerá ‘A’, então aperte PURGE (F5). Outra opção interessante, é substituir um valor já salvo numa variável, para isso basta realizar o mesmo procedimento para salvar um valor numa variável ainda vazia.
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Capítulo 4: Função Dia, Hora e Alarme
Esse menu está disponível ao clicar em LARANJA + 9 (TIME).
Para alterar a data e hora da HP acesse a opção 3 do menu (Set time, date...). Para que o relógio seja mostrado na tela principal do visor da calculadora não se esqueça de marcar a opção clock que pode ser acessada em MODE → DISP→ _Clock. Para adicionar um novo alarme à sua calculadora acesse a opção do menu (Set alarm...). Essa opção também pode ser acessada pela opção 1 (Browse alarms) clicando-se em NEW (F2). Nessa opção você poderá gerenciar seus alarmes, podendo editá-los ou apagá-los. Lembrando que o alarme da HP só irá funcionar se a opção _Beep no menu MODE estiver selecionada. Outro fator relevante é que esse alarme da HP não é nenhum Big Bang, ele é mais útil para te lembrar de alguma coisa enquanto você está utilizando a calculadora, não recomenda-se tentar utilizá-lo para acordar.
Capítulo 5: Equation Writer (EQW) O editor de equações é uma u ma ferramenta poderosa que não apenas permite inserir ou visualizar uma equação, mas também permite alterar e trabalhar/aplicar funções em toda ou em parte da equação. O Editor de Equações (EQW), portanto, permite que você faça operações matemáticas complexas, diretamente, ou em modo passo a passo, conforme faria por escrito ao resolver, por exemplo, os problemas de cálculos. O Editor de Equações é aberto pressionando LARANJA + ‘ (EQW). As opções do soft menu nessa opção são:
EDIT: permite que o usuário edite uma entrada na linha de edição CURS: ressalta a expressão e ressalta um cursor gráfico BIG: se for selecionada (quando selecionada será exibido um u m caractere no símbolo, vai ficar BIG) a fonte usada no editor é a fonte do sistema 8 ( a maior fonte disponível) EVAL: permite avaliar, simbólica ou numericamente, uma expressão ressaltada no visor do editor de equação
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FACTO: permite fatorar uma expressão ressaltada no visor SIMP: permite simplificar uma expressão ressaltada no visor
Vamos entrar com as seguintes expressões no Editor de Equações para melhor compreensão:
1 √ 2
√ 3
O aplicativo UNITS da HP 48 possui um catálogo de 147 unidades que o usuário pode combinar com números reais para criar objetos. Com este aplicativo, o usuário poderá:
• converter unidades; • fatorar unidades; • realizar cálculo com unidades. Um objeto de unidade possui duas partes: um número real e a unidade (ou combinação de unidades). Para criar um objeto de unidade você deve então entrar com essas duas partes. Insira na pilha um valor numérico qualquer. Agora vamos atribuir uma unidade a esse valor. Temos duas formas de fazê-lo. Podemos digitar o valor numérico e apertar LARANJA + tecla – (irá (irá aparecer _) e em seguida digitar (símbolo, p.e.: m para metros) uma unidade reconhecida pela HP. Outra forma é utilizar as unidades presentes no catálogo da calculadora, para isso, após digitar o valor numérico, pressione LARANJA + 6 (UNITS). Então escolha entre os tipos de unidades mostradas a desejada, então logo após selecione a unidade de preferência. Por exemplo, para metros: LARANJA + 6 → LENG (F2) → m (F1). Pronto, já aprendemos como atribuir uma unidade a um valor numérico. Agora vamos aprender como fazer uma conversão co nversão de unidades. Inicialmente introduza o valor numérico que deseja converter, em seguida atribua ele a
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unidade em que se encontra. Agora, entre com o valor 1 e atribua a ele a unidade de saída, aquela que deseja obter após a conversão. Então, pressione LARANJA + 6 → TOOLS (F1)→ CONVERT (F1). Você também pode converter unidades mais complexas, ou formada por um conjunto de unidades básicas, por exemplo m. BTU/ N. Um comando interessante, é o UBASE, essa opção converte automaticamente a unidade para a correspondente no SI. Ela pode ser acessada em LARANJA + 6 → TOOLS (F1)→ UBASE (F2). Vamos praticar fazendo as seguintes conversões: 12 metros(m) para pés (ft) 7,5 J.cm.lb/s para cal.in.g/h 1,3 lb/h para unidades SI
Uma função da HP bem interessante é poder fazer conversão de números decimais (0,25;0,456) para números em sua forma fracionária (1/4;57/125). Para isto, entre com o número em sua forma decimal à pilha. Então execute os seguintes comandos: BRANCO + 6 (CONVERT) → REWRITE (F4) → →Q (NXT e F5). A HP também faz conversão entre bases numéricas, a mais utilizada entre a base usual (decimal) e a binária. Vamos demonstrar esse recurso através de um exemplo. Para converter o número 12 na base decimal para seu correspondente na base binária. Pressione LARANJA + 3 (BASE) → escolha a base de entrada, nesse caso decimal (F2) → entre com o número precedido por # ( BRANCO + 3 → 12) → escolha a base de saída, no caso a binária (F4) → número será convertido (1100). Vale ressaltar que a calculadora também realiza as operações matemáticas com os números por exemplo na base binária.
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Vamos nesse capítulo abordar algumas funções estatísticas presentes na HP. A HP fornece várias funções estatísticas pré-programadas, que são acessíveis pelo menu STATistics, associado às teclas LARANJA + 5. Em praticamente todos os casos os dados são aos quais se quer aplicar aplicar as funções funções estatísticas são inseridos na forma de matriz, mais especificamente como colunas da matriz ∑ DAT.
Estatísticas de variável individual individual
Dentro do menu Statistics, acessível pelas teclas LARANJA + 5, entre no sub-menu 1. Single variance. Esse ambiente permite a obtenção de alguns parâmetros estatísticos de amostras ou populações individuais. Ao abrir o sub-menu Single-var., estará selecionado o campo ∑ DAT.
Para inserir os dados de sua amostra, simplesmente pressione EDIT. Você será redirecionado para o editor de matrizes. Digite os conjuntos de valores nas colunas da matriz. Como exemplo, insira o seguinte conjunto de dados na primeira coluna: 2,1
1,2
3,1
4,5
2,3
1,1
2,3
1,5
1,6
2,2
1,2
2,5
Ao final tecle ENTER. De volta ao ambiente a mbiente Single-var., verifique que a coluna da matriz que será escolhida para os cálculos será a coluna 1 (Col: 1). No No caso da matriz ∑ DAT conter mais de um conjunto de dados, você pode alternar entre as colunas. O campo ‘Type’ determina se você está trabalhando com uma amostra (‘Sample’) ou população (‘Population’). No exemplo mantenha ‘Sample’. Finalmente, marque os campos referentes aos parâmetros desejados: média, desvio padrão, variância, total, valor máximo e valor mínimo. Ao final pressione OK. Os valores selecionados serão listados, marcados corretamente, no visor da calculadora.
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Ajuste de dados para uma função y = f(x) (REGRESSÃO)
Dentro do menu Statistics, acessível pelas teclas LARANJA + 5, a opção 3.Fit data permite o ajuste de um conjunto de dados (x,y) armazenado na matriz ∑ DAT a uma função linear, logarítmica, exponencial ou de potência. Para essa aplicação é necessário ter pelo menos duas colunas na matriz ∑ DAT. Como exemplo, vamos ajustar uma relação linear para os dados abaixo: X
Y
0 1 2 3 4 5
0,5 2,3 3,6 6,7 7,2 11
Dentro do ambiente Fit data, insira as duas colunas de dados na variável ∑ DAT usando o editor de matrizes e pressione ENTER. Se for necessário, altere seu visor para os parâmetros seguintes para fazer o ajuste linear:
Para obter os ajustes de dados pressione OK. O formulário de saída desse programa, mostrado abaixo para o nosso conjunto de dados, consiste das seguintes três linhas (modo RPN): 3: 0,195238095238 + 2,00857242857*X 2: Correlation: 0,983781424465 1: Covariance: 7,03 O nível 3 mostra o formulário de uma equação, Neste caso y = 0,195238095238 + 2,00857242857x. O nível 2 mostra o coeficiente de correlação amostral, geralmente denotado por r, e finalmente o nível 1 mostra a covariância de x-y. A HP ajusta também outras relações além da
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linear. Por exemplo, os modelos diferentes para ajuste de dados fornecida pela calculadora podem ser linearizados conforme descrito na tabela abaixo:
A calculadora pode determinar qual sua relação linearizada pode oferecer o melhor ajuste para o conjunto de dados (x,y). Para tanto, no campo ‘Model’ do ambiente Fit data, escolha a opção ‘Best Fit’. Ainda no menu STAT (LARANJA + 5) temos a opção Summary Stats, nessa opção podemos selecionar alguns parâmetros para que a calculadora nos forneça baseados nas colunas da matriz ∑ DAT, são eles:
ΣX : fornece a soma dos valores na coluna Xcol. ΣY : fornece a soma dos valores na coluna Ycol. ΣX2 : fornece a soma dos quadradas dos valores coluna Xco l. ΣY2 : fornece a soma dos quadradas dos valores coluna Ycol.
⋅
ΣXY: fornece a soma de x y, y, ex., os produtos de dados nas colunas Xcol e Ycol. NΣ : fornece o número de colunas na matriz matriz Σ DATA.
Interpolação de Dados Ainda dentro do ambiente Fit Data, a HP fornece uma ferramenta de interpolação de dados ao modelo de regressão atual. Essa ferramenta é útil, por exemplo, para predizer o valor de uma propriedade que é a tabela em pontos discretos. Por exemplo, mostramos abaixo uma parte de uma tabela de vapor saturado:
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Temperatura (K)
Pressão (MPa)
273,16 280 290 300 310 320
0,000612 0,000992 0,001920 0,003537 0,006231 0,010546
Esta tabela relaciona a temperatura em K com c om a pressão de vapor, v apor, em MPa, da água. Para saber a pressão de vapor da água à temperatura de 25°C (298,15), devemos interpolar os valores de pressão correspondentes aos valores de temperatura de 290 e 300 K, ou seja, ajustar uma reta com os pontos (290;0,001920) (290;0,001920) e (300;0,003537) e predizer predizer o valor de y = f (298,15). Na calculadora isso é feito dentro do ambiente Fit data, inicialmente adicionamos os dois dados de temperatura na coluna 1 e os dois dados de pressão correspondentes na coluna 2 da matriz ∑ DAT. Após digitar esses dados, pressione ENTER e volte ao ambiente Fit data. Pressione PRED (F6) para adicionar mais dois campos ao ambiente ambiente Fit data: ‘X’ e ‘Y’. No campo ‘X’ digite o valor da temperatura de referência refe rência (298,15) e com o cursor no campo ‘Y’ pressione PRED no canto inferior esquerdo para descobrir o valor interpolado de pressão (0,003237). Para visualizar o valor com todas as casas decimais, pressione EDIT. A HP também possui algumas funções para realizar testes de hipóteses, mas para a realização deste tipo de trabalho é recomendado instalar programas específicos para cada teste. Esses programas são mais intuitivos e de fácil utilização. No link: http://www.hpcalc.org/hp49/math/statistic/ você poderá encontrar diversos programas de análises estatísticas que atendam atendam sua necessidade.
O ambiente Matrix Writer
O ambiente do aplicativo Matrix Writer da HP permite ao usuário a entrada e manipulação de matrizes (tanto unidimensionais – vetores, vetores, como bidimensionais). A tela desse ambiente mostra os elementos da matriz em células individuais, dispostas em linhas e colunas, como mostra a figura abaixo:
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Para acessar o ambiente do Matrix Writer, pressione BRANCO + ‘(O). Para inserir uma matriz à pilha operacional, digite os elementos da primeira linha da matriz apertando ENTER após inseri-los. Ao fim da primeira linha mova o cursor para baixo e continue digitando os elementos, quando terminar de inserir todos os elementos aperte ENTER novamente para transferir a matriz para a pilha. Para praticar, entre na calculadora com a matriz:
5 4 1120 18 0 7 2
Operações com matrizes
As matrizes, como outros objetos matemáticos, podem ser adicionados ou subtraídos. Elas podem ser multiplicadas por um escalar ou entre si. Elas podem também ser elevadas a uma potência real. Uma operação importante para as aplicações de álgebra linear é o inverso da matriz e o cálculo de seu determinante. Para realizar adições, subtrações e multiplicações de matrizes, basta inseri-las à pilha operacional e pressionar a tecla referente à operação desejada ( + , - , × ).
Para criar uma matriz qualquer, randômica, pressione BRANCO + ‘+’ ({ }); digite o número de linhas e pressione LARANJA + SPC(,) e em seguida entre com o número de colunas. co lunas. Em alguns casos digitar apenas SPC ao invés do comando LARANJA + SPC. Então você tem duas alternativas, ou podese digitar RANM na pilha e apertar ENTER (pressionar ALPHA duas vezes e digitar RANM), outra opção é pressionar BRANCO + 5 (MATRICES) → CREATE (F1) → NXT → NXT → RANM (F1). Então a calcula c alculadora criará na pilha uma matriz de elementos aleatórios. 21
Para criar uma matriz identidade, segue-se a mesma lógica, só que para essa opção basta apenas entrar com a ordem da matriz, visto que todas as matrizes identidades são quadradas. Digite a ordem da matriz desejada, em seguida digite IDN (pressionar ALPHA duas vezes e digitar IDN) ou você também pode encontrar essa mesma opção no mesmo menu de criação de uma matriz randômica. Para calcular o determinante de uma matriz, entre com a matriz e em seguida digite DET e aperte ENTER (pressionar ALPHA duas vezes e digitar DET). Você pode também acessar essa opção através de BRANCO + 5 (MATRICES) → OPERATIONS (F2) → DET (F6) Para calcular a inversa de uma matriz, entre com a matriz e em seguida digite INV e aperte ENTER (pressionar ALPHA duas vezes e digitar INV) ou você pode apertar a tecla 1/X ou ainda fazer a matriz elevada a -1. Para determinar o traço de uma matriz (soma dos elementos da diagonal principal), entre com a matriz e em seguida digite TRACE ou você pode encontrar essa opção em BRANCO + 5 → OPERATIONS (F2). Lembrando que você pode também salvar uma matriz desejada numa variável qualquer, seguindo os mesmos passos explicados anteriormente.
Inicialmente vamos explicar como podemos inserir um objeto vetor na pilha de operações da HP. Para isso, pressionamos a tecla BRANCO + ‘X’ ([ ]), então entre os colchetes colchetes digitamos os valores de cada componente do vetor precedidos de espaço (SPC). Por exemplo, para digitar o vetor (2,3,1) vamos seguir os seguintes passos: BRANCO + ‘X’ → 2 → SPC → 3→ SPC →5 → ENTER. As operações básicas de soma, subtração e multiplicação por escalar são efetuadas de maneira habitual, inserindo os objetos desejados e selecionando a operação que se deseja utilizar. Já para realizar o produto escalar, produto vetorial e encontrar o módulo do vetor temos que seguir alguns passos diferentes. Para isso, primeiramente insira os vetores na pilha. Em seguida acesse o meu MTH, através das teclas BRANCO + SYMB. Esse menu nos fornecerá uma série de opções, para o desejado selecione VECTOR (F1). Nesse novo menu encontraremos o que procuramos. A função ABS (F1) nos retornará o 22
módulo do vetor na posição 1 da pilha, a opção DOT (F2) nos fornecerá o produto escalar entre dois vetores e a opção CROSS (F3) nos concede o produto vetorial entre dois vetores selecionados.
Autovalores e autovetores são conceitos importantes de matemática, com aplicações práticas em áreas diversificadas como mecânica quântica, processamento de imagens, análise de vibrações, mecânica dos sólidos, estatística, etc. (na língua inglesa, os termos usuais são eigenvalue e eigenvector. Para encontrar os autovalores e autovetores de uma matriz, inicialmente devemos inserir a matriz na pilha de operações normalmente. Então com a matriz na pilha, vamos encontrar os autovalores através da opção EGVL, ela é acessada da seguinte maneira: BRANCO + 5 (MATRICES) → EIGENVECTORS (opção 7, ou no soft menu clique NXT e F1) → EGVL (F3). Para obter os autovetores da matriz siga os mesmos passos mas escolha a opção EGV (F2). Vamos ver um exemplo. Para a matriz
505 10
. A HP nos retornará as seguintes telas para as opções de
autovalores e autovetores: 1. AUTOVALORES 1:
1 5
1 01 510
2. AUTOVETORES 2: 1:
Aqui, vale esclarecer que para o autovalor 1, está associado o autovetor (0,1) e para o autovalor -5 está associado o autovetor (1,0).
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Equação polinomial ou algébrica é toda equação da forma p(x) = 0, em que p(x) é um polinômio: p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a 1x + a0 de grau n, com n ≥ 1. Veja alguns exemplos: x4 + 9x2 – 10x 10x + 3 = 0 10x6 – 2x 2x5 + 6x4 + 12x3 – x x2 + x + 7 = 0 As raízes de uma equação polinomial constituem o conjunto solução da equação. Para explicar como solucionar equações polinomiais na HP vamos realizar alguns exemplos práticos dessa aplicação. Para realizar esse tipo de cálculo devemos acessar o menu Solve Poly que se encontra na opção NUM.SLV ( LARANJA + 7). Ao acessar o menu, você encontrará a tela abaixo:
Para encontrar as raízes do polinômio, entre com os coeficientes de cada termo através da opção EDIT, nela será aberta o editor de matrizes e você deve adicionar os coeficientes ao longo da primeira linha. Sendo assim, vamos praticar em alguns exemplos.
Polinômio do Segundo Grau
87=0
Para resolver, acesse o menu mencionado anteriormente e insira na primeira linha da matriz os termos [ 1 -8 7 ]. Lembre-se Lembre-se que a calculadora usa o modelo de polinômio mencionado acima, em que o termo independente está ao mesmo lado dos demais. Ao digitar os coeficientes, ilumine a opção ROOTS e pressione a opção SOLVE (F6). Então a calculadora nos retornará as raízes do polinômio em sua forma matricial. matricial. Nesse caso: [ 1 7 ].
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Polinômio com raízes complexas
45=0
Para resolver esse caso procedemos semelhantemente ao anterior. Porém nesse exemplo o polinômio possui raízes complexas, então a HP também nos fornecerá essas raízes. Para esse caso, ela nos retornará a seguinte seguinte tela: [ (2; 1) (2;-1) ]. Vale lembrar que o primeiro primeiro algarismo representa a parte real e o segundo a parte imaginária do número complexo. Então, obtivemos como raízes do polinômio: 2 +i e 2-i.
Polinômios do terceiro grau
2 85=0
Novamente, seguiremos os mesmos passos e a mesma lógica utilizados anteriormente. Então entraremos com a matriz dos coeficientes:[ 1 2 -8 5 ] e selecionaremos SOLVE. Então a HP nos fornecerá a seguinte tela: [ 1 1,19258240357 -4,19258240357 ]. Você irá perceber que como esses números possuem muitas casas decimais fica difícil visualizá-los no ambiente do solver, então saia desse ambiente e retorne à pilha, você perceberá que essa matriz solução do polinômio se encontra na primeira posição da pilha precedida pela palavra ROOT: ; então pressione VIEW (F2) no soft menu para conseguir visualizar melhor a resposta.
Um sistema linear de n x n é um conjunto de n (n lineares e n incógnitas. Este sistema linear pode ser colocado em sua forma matricial A.X = B. A HP usa essa representação matricial para resolver sistemas de equações lineares de forma rápida e eficiente. Um sistema de equações lineares pode ser transformado em forma matricial, do modo demonstrado a seguir:
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A
X
B
⋯ ⋯ = ⋯ ⋯ = => ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ = ⋮ … ⋯ = … Para resolver um sistema de equações na HP pressione LARANJA + 7 (NUM.SLV), então escolha a opção 4. Solve lin sys.. Assim você terá acesso ao ambiente semelhante ao da imagem:
Assim, entre com as matrizes A e B referentes ao sistema linear que deseja resolver, então ilumine o campo referente à matriz X e selecione a opção SOLVE (F6). Vamos praticar através de um exemplo. Resolva o seguinte sistema de equações:
2=2 {2=3 =6 1(2 21 11) 1 1 (123) 6 1(2) 3
Para resolver esse problema vamos pressionar as teclas LARANJA + 7 e escolher a opção Solve lin sys. Iluminando a opção A: vamos clicar em edit e escrever a matriz:
, depois vamos iluminar o campo
referente a B: e acrescentar a matriz
. Feito isso, iluminaremos o campo
X: e selecionaremos a opção SOLVE (F6). Pronto a calculadora nos retornará a matriz z = 3.
que é a solução do sistema, sistema, ou seja, x = 1; y = 2 e
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Resolução de equações e sistemas não-lineares
A resolução de sistemas lineares é realizada de modo simples pela HP 50g, como mostrado anteriormente. Para sistemas não-lineares (onde as incógnitas aparecem elevadas a um expoente diferente de 1, ou dentro de funções trigonométricas, logarítmicas, etc.), apresentamos uma ferramenta complementar, que não acompanha a calculadora, o programa SolveSys 49 v 1.2. Esse programa apresenta uma interface simples e amigável, além de ser razoavelmente robusto na resolução de sistemas complicados. O programa também pode ser utilizado também na resolução de sistemas lineares, sem o inconveniente da necessidade de organizar os coeficientes em matrizes. Como exemplo de utilização desse programa vamos mostrar sua utilização num problema simples de balanço de massa em um evaporador. Suponha que numa empresa de suco de laranja concentrado temse um evaporador por onde entra 1000 kg/h de suco fresco com 7,08% de sólidos (corrente S). Seu chefe quer saber qual é a quantidade de suco concentrado com 58% de sólidos que sai do evaporador (corrente SC) e ainda a quantidade de água que é evaporada (corrente W). Veja o esquema abaixo:
Uma vez que não haja acúmulo dentro do equipamento, a massa que entra é igual à massa que sai e podemos escrever os seguintes balanços: Balanço Geral: S = W + SC Balanço de sólidos: 0,0708S = 0,58SC Essas equações podem ser inseridas diretamente no SolveSys, para solucionarmos o problema. Uma vez instalado numa das portas da calculadora o programa pode ser acessado diretamente no menu Numerical Solver, LARANJA + 7, na última opção desse menu (SOLVESYS 1.2). A tela inicial do programa é a seguinte:
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Nessa tela, o usuário deve inserir as equações do sistema que deseja resolver. Isso é feito pressionando a tecla ADD, no canto inferior esquerdo (F1). Você será redirecionado para o Equation Writer, onde poderá digitar a primeira equação do exemplo, S = W + SC. Após digitar, digitar, pressione ENTER para voltar à tela inicial do programa. Para inserir a próxima equação, pressione novamente ADD e, de volta ao Equation Writer, digite a segunda equação. Por fim aperte ENTER. A tela da calculadora deve estar assim:
Caso alguma das equações esteja digitada errada, o programa oferece a opção de editar essa equação novamente, ou simplesmente deletá-la, bastando para isso pressionar as teclas EDIT ou DEL, DEL, respectivamente. Você ainda pode gerar uma cópia de uma das equações com o botão COPY ou limpar todas as equações da tela com o botão CLEAR. Para resolver o sistema de equações, devemos passar para a próxima tela do programa clicando no botão OK. A imagem no visor deve ser essa:
O SolveSys reconhece todas as variáveis envolvidas nas equações inseridas e atribui valor 1 para todas aquelas variáveis que não forem encontradas na memória da calculadora dentro da pasta de trabalho. O valor de S, entretanto, já é conhecido, e vale 1000 kg/h. Para alterar o valor de S, posicione o cursor sobre seu campo e pressione EDIT. Digite então seu valor. 28
O SolveSys infelizmente não trabalha com unidades, portanto coloque apenas 1000, sem unidades. Pressione ENTER para voltar a tela das variáveis. O SolveSys realiza um processo numérico iterativo para resolver os problemas, utilizando como chute inicial o valor que for atribuído a cada variável. Além disso, ele irá tentar resolver para todas as variáveis variáveis que estiverem estiverem marcadas marcadas com um S é fixo, devemos desmarcá-lo, bastando para isso pressionar o botão +/quando o cursor estiver sobre seu campo. As imagens seguintes mostram a tela do programa antes e depois de desmarcar o campo S.
Finalmente, para resolver o sistema, pressione o botão SOLVE. Durante um breve intervalo de tempo, você verá alguns números na parte inferior da tela convergindo para zero. Finalmente pressione p ressione OK para ver os resultados na tela. SC = 122,1 kg/h e W = 877,9 kg/h aproximadamente.
Para voltar para a tela das equações ou para sair do programa, aperte repetidamente a tecla ON. Esse programa salva todos as variáveis e equações na memória da calculadora, dentro da pasta de trabalho. Finalmente, devemos destacar que o programa demorar bastante para convergir quando há várias incógnitas dentro de funções transcendentais (exponenciais, logaritmos). Caso isso aconteça, você pode parar o processo iterativo pressionando ON.
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A HP também pode ser utilizada para realizar cálculos de limites de funções. Para tal, vamos demonstrar um método simples para realizar essa operação. Acesse o menu do Equation Writer (LARANJA + ’). Pressione a tecla SYMB, no soft menu selecione a opção CALC (F3) e selecione a opção lim (F5). A HP nos exibirá a seguinte tela: lim( ; ). A função limite nos nos exige dois argumentos, o primeiro é a função de interesse, e o segundo é o valor para qual se quer calcular ca lcular o limite. Para exemplificar, vamos calcular: . Assim, acesse o menu do Equation Writer como já explicado. Selecione a função limite como mostrado anteriormente. Assim entre com a função e o limite como indicado, lim(x 2;2), depois ilumine todo o campo e aperte EVAL. A calculadora retornará a resposta esperada. Outro modo de resolver limites na HP é através da inserção da função e do limite diretamente na pilha de operações. Para tanto entre com a função desejada, x2 (certifiquese de que a variável não possui nenhum valor salvo em seu nome, ou o u apenas limpe a variável). Em seguida pressione ‘ e digite a variável da função seguida de igual e o valor do limite, ‘x=2’. Assim a tela da calculadora ficará:
li→m
‘X2’ ‘X=2’
2: 1:
Então pressione a tecla BRANCO + 4 (CALC), entre na opção LIMIT (F2) e em seguida selecione a opção lim (F2). A resposta aparecerá ap arecerá na pilha de operações. Em alguns casos a calculadora antes de realizar o cálculo irá lhe pedir permissão para desativar o modo aproximado de operação. operação .
Limites com duas variáveis
A HP também consegue calcular limites com duas variáveis diferentes. Para tanto, deveremos utilizar o segundo método explicado acima. Vamos ter que que resolver o limite em partes, iremos resolver o limite para a primeira variável e em seguida com esse resultado calcularemos o limite para a segunda variável. Vamos utilizar o seguinte exemplo para entendermos melhor:
++ ,,l →im,−9 9+
.
Insira a função determinada na pilha, você pode utilizar o Equation Writer para facilitar a digitação. Então calcule o limite para a primeira variável como explicado anteriormente, obtendo como resposta: 6y + 54, que estará
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no primeiro nível da pilha. Agora, realize os mesmos passos para a segunda variável, obtendo-se como resposta final 0.
Assim como no cálculo de limites podemos calcular derivadas através do menu Equation Writer. Para isso dentro desse ambiente pressione LARANJA + COS (∂). Ao pressionar essa tecla aparecerá na tela: ; onde está , você deverá inserir a variável na qual a derivada deve ser calculada e a função que se deseja derivar. Por exemplo, para calcular a derivada da função f(x) = x 3. Pressione LARANJA + COS no ambiente do Equation Writer e digite os parâmetros da função como mencionado anteriormente, sendo que o visor se apresentará da seguinte forma: . Ilumine toda essa função e pressione a tecla EVAL. A calculadora exibirá o resultado 3x2. Outra forma de calcular a derivada é diretamente na pilha de operações. Nesse caso pode-se fazê-la de dois modos, através da função DERIVX e DERIV. No primeiro caso, entre com a função que se deseja calcular a derivada, sendo ela no formato f(x), ou seja, sendo uma função da variável x (usualmente utilizada pela calculadora como variável padrão para cálculos). Após ter inserido a função, pressione a tecla BRANCO + 4 (CALC) e selecione a opção DERIVX (F5). No segundo método, entre com a função que se deseja calcular a derivada na pilha de operações, para esse caso pode-se entrar com uma função para qualquer variável, após, entre com a variável pela qual se quer calcular a derivada. Feito isso, pressione BRANCO + 4 (CALC) → DERIV (F1)→ (F1) → DERIV (F2).
∎
∎ ∎
Derivadas de ordem superior
Você pode realizar esses cálculos utilizando os métodos mencionados acima. Mas para qualquer caso, basta realizar os cálculos semelhantemente aos realizados para limites com duas variáveis. Realize uma derivada seguida de outra para quantas forem necessárias.
A HP pode calcular integrais definidas, indefinidas e impróprias, vamos analisar como realizar esses cálculos. Para i ntegrais , assim ntegrais de def in i das das
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como no cálculo de derivadas podemos calcular integrais através do menu Equation Writer. Para isso dentro desse ambiente pressione LARANJA + TAN (∫). Ao pressionar essa tecla a calculadora produzirá o sinal da integral e fornecerá um alocador de espaço para os limites de integração (a,b), para a função f(x), e para a variável de integração (x):
O cursor de inserção está localizado primeiro no limite inferior da integração, insira um valor e pressione a tecla com a seta para a direita para mover para o limite superior de integração, insira um valor no local e pressione a tecla para direita novamente novamente para mover o cursor para o local do integrante. Digite a expressão integrante e pressione novamente para mover para o último alocador. aloc ador. Digite a variável de d e integração a ser calculada e a integral está pronta para ser calculada. A integral então pode ser calculada selecionando a expressão inteira e pressionado a tecla EVAL. I ntegrais ntegrais indefi indefi ni das das podem
ser avaliadas pelas funções RISCH e INTVX, ambas encontradas no sub-menu DERIV. & INTEG. (F1, soft menu) do menu CALC (BRANCO + 4). A função RISCH retorna a antiderivada de uma função de qualquer variável, sendo para isso necessário especificar a função e também a variável independente. A função INTVX p adrão (tipicamente ‘X’). retorna a anti-derivada com relação à variável padrão I ntegrais ntegrais I mpróprias mpróprias também podem ser calculadas na HP. Para também
isso, no ambiente do Equation Writer, inicialmente selecione a opção de cálculo de limite como já explicado e no campo de alocação da função para a qual deseja-se calcular o limite entre com a integral. Para exemplificar, vamos calcular a integral: . Assim, digite na calculadora para obter a
∫ lim∫ ;∞
seguinte tela: , selecione toda a função e pressione EVAL, a calculadora retornará o resultado (1).
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Um dos problemas mais corriqueiros em Engenharia é a resolução de equações individuais. Nesse capítulo vamos ressaltar algumas funções que a calculadora fornece para a resolução desses tipos de problemas. Associados a tecla 7 temos dois menus de funções para a solução de equações, o SymbolicSolver (S.SLV) e o NUMericalSolver (NUM.SLV). Além desses já mencionamos a utilização do programa SolveSys 1.2 para resolução de equações e sistemas de equações.
Solução Simbólica
Dentro do menu Symbolic Solver, acessado através de BRANCO + 7, as funções ISOL (F2) e SOLVE (F6) podem ser igualmente utilizadas para isolar uma incógnita de uma equação ou expressão algébrica. Para o bom funcionamento dessas funções a calculadora deve estar no modo exato (R=) e operando em radianos (RAD). Ambas as funções tomam como argumentos uma expressão e uma incógnita. No modo RPN, a solução é conseguida inserindo a equação na pilha, seguida da variável, antes de inserir a função ISOL ou SOLVE. Logo antes da execução de ISOL, a pilha de operações deve ser similar à figura a esquerda. Depois de aplicar ISOL, o resultado é mostrado na figura a direita.
O primeiro argumento das funções ISOL e SOLVE pode ser uma expressão como no exemplo acima, ou uma equação. Por exemplo, veja as telas abaixo
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No primeiro exemplo a calculadora retornou o resultado { }, o que indica que a calculadora não encontrou nenhuma solução para o problema. No segundo exemplo há a existência de soluções complexas que só serão exibidas se a calculadora estiver configurada no modo Camplex (C=). Faça esse teste, aplique a função com a calculadora no modo R= e depois no modo C=. A função SOLVEVX (F5) também é encontrada no menu SymbolicSolver e resolve equações para a variável va riável padrão CAS (geralmente ‘X’). Nesse caso, basta apenas inserir a equação antes de aplicar a função. A equação usada como argumento para as funções ISOL, SOLVE e SOLVEVX deve ser redutível a uma expressão racional. Expressões com vários logaritmos, raízes, funções trigonométricas, etc podem retornar a seguinte mensagem de erro:
A função ZEROS encontra as soluções de uma equação de polinômios, sem mostrar sua multiplicidade. A função exige ter como entrada a expressão para a equação e o nome da variável para a solução. Para usar a função ZEROS no modo RPN, entre primeiro a expressão do polinômio, depois a variável para resolver e então en tão a função ZEROS. As seguintes telas mostram a pilha RPN antes e depois da aplicação de ZEROS para os dois exemplos acima:
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Solução Numérica
O menu NUM.SLV da calculadora fornece o item 1. Solve equation.. que resolve diferentes tipos de equações com uma só variável, incluindo as equações algébricas não lineares e transcendentais. Por exemplo, vamos resolver a equação: . Acesse o menu NUM.SLV (LARANJA+7) e escolha a opção Solve Equation. Agora você deve entrar no ambiente do Equation Writer (LARANJA+ ’). Então, digite a expressão desejada e por fim aperte ENTER. Você perceberá que no campo Equation agora aparecerá a equação digitada:
sin = 0
Para resolver essa equação para a variável va riável X, ilumine esse campo e escolha a opção SOLVE (F6). A solução mostrada é X: 4.5006E-2.
Isto, contudo, não é a única solução possível para esta equação. Para obter uma solução negativa, por exemplo, insira um número negativo no campo X (tente -3) antes de resolver a equação. A solução agora é X: -3.045. A solução que a calculadora busca é determinada pelo valor presente inicial no campo de entrada da incógnita. Se nenhum valor estiver presente, a calculadora usa um valor va lor padrão de zero. Assim, você pode buscar por mais de uma solução para uma equação alterando o valor inicial no campo de entrada da incógnita.
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Resolvendo Equações salvas na memória
A HP também possui uma aplicação muito interessante, a resolução de equações salvas em sua memória, isto pode ser muito utilizado em algumas a lgumas disciplinas como método rápido e confiável para obter um parâmetro de determinada equação quando são fornecidos os demais termos. Inicialmente vamos explicar como salvar uma equação na memória da calculadora. Para tanto, utiliza-se a mesma lógica de quando mencionamos o armazenamento de variáveis, pois uma equação também é uma variável para a base de dados da calculadora. Então, digite a equação de interesse, você pode utilizar-se do Equation Writer para facilitar o trabalho. Insira a equação na pilha de operações, em seguida dê um nome para essa variável va riável e aperte a tecla STO para armazená-la na memória. Lembre-se que durante a construção da equação você poderá utilizar qualquer caractere da calculadora, seja ela uma letra maiúscula ou minúscula, símbolo especial ou uma combinação dos mesmos (Pr, ϴ1, Aµ1). Então após a equação estar salva, acesse o menu do NUM. SLV e escolha a opção Solve Equation. Na opção Equation, escolha CHOOSE (F2), a calculadora irá abrir o ambiente contendo os arquivos presentes no diretório corrente, escolha a equação que você salvou e pressione OK (F6). A equação será inserida no ambiente do Solve Equation e automaticamente a calculadora reconhece todas as variáveis descritas por você. Insira todos os parâmetros conhecidos, ilumine aquele que deseja encontrar e pressione SOLVE. Vamos fixar esse conceito através de um exemplo. A energia específica em um canal aberto é definida como a energia por unidade de peso medida em relação ao fundo do canal. Permite E = energia específica, y = profundidade do canal, V = velocidade do fluxo, g = aceleração da gravidade, depois escrevemos:
= 2
Digite a equação e a salve como comentado acima. Acesse o Solve Equation e escolha a equação que acabou de criar. Agora, fornecidos E= 10 m; v = 5,25 m/s e g = 9,81 m/s2, descubra a profundidade do canal. Um ponto de relevância é que a HP salva cada parâmetro da equação também em sua memória e armazena os valores utilizados nesses espaços. Para a equação acima, a calculadora terá armazenada por exemplo o valor 10 para a variável E. Deste modo, modo, você pode pode fazer relações entre duas equações existentes. Considere por exemplo que o valor de v possa ser calculado como
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Q/A (Q: vazão volumétrica; A:área da secção transversal). Se você tiver salvo também essa equação na memória da calculadora e por exemplo, tiver resolvido a mesma para a variável v, quando você acesse a equação de energia específica (E) o valor de v já terá sido completado com aquele número encontrado quando você solucionou a equação para a velocidade. Outro fato interessante é que você pode pod e realizar os cálculos atribuindo unidades aos valores numéricos inseridos. A HP fará o cálculo numérico normalmente e ainda atribuirá a esse valor uma unidade coerente com aquelas de entrada, lembrando que ela só realizará esses cálculos se a equação for consistente na sua dimensão.
Para acessar a lista de formatos de gráficos disponíveis na calculadora usamos a sequência de teclas BRANCO + F4. Observe que se estiver usando o modo RPN estas duas teclas devem ser pressionadas simultaneamente para ativar quaisquer das funções gráficas. Depois de ativar a função 2D/3D, a calculadora produzirá a janela PLOT SETUP, que inclui o campo TYPE conforme ilustrados abaixo:
Logo em frente do campo TYPE você verá provavelmente a opção Function ressaltada. Isto é o tipo padrão do gráfico para a calculadora. Para ver a lista de tipos de gráficos disponíveis, pressione a tecla virtual CHOOS. Isto produzirá um menu com as seguintes opções (use as teclas com as setas para acima e para baixo para ver todas as opções).
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Estas opções são descritas rapidamente a seguir: Function : para as equações da forma y = f(x) no lugar das coordenadas cartesianas Polar : para equações da forma r = f(ϴ) em coordenadas polares no plano Parametric : para equações de plotagem da forma x = x(t), y = y(t) no plano Diff Eq : para plotagem da solução numérica de uma equação diferencial linear Conic : para equações cônicas de plotagem p lotagem (círculos, elipses, hipérboles hipérboles e parábolas) Truth : para desigualdades de plotagem no plano Histogram : para histogramas de frequência de plotagem (aplicações estatísticas) Bar : para mapas de barra simples de plotagem Scatter : para plotagem de difusão de plotagens p lotagens de conjuntos de dados discretos (aplicações estatísticas) Slopefield : para traços de plotagem de inclinações de uma função fun ção f(x,y) = 0. Fast3D : para superfícies curvadas de plotagem no espaço Wireframe : para superfícies curvadas de plotagem no espaço mostrando as grades Ps-Contour : para plotagens de contornos de superfícies Y- Slice : para plotagem de visao dividida de uma função f(x,y). Gridmap : para plotagem de traços das partes real e imaginária de uma função complexa. Pr-Surface : para superfícies paramétricas dadas x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v).
Plotar uma expresão y = f(x) (Function) (Function)
Nesta seção apresentamos um u m exemplo de plotagem de uma função da forma y forma y = f(x). Para fazer a plotagem exclua ex clua primeiro a variável x, se estiver
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definida no diretório atual (x será a variável independente da característica PLOT da calculadora e, portanto, ela não será pré-definida). Como exemplo, vamos plotar a função f(x) = x 5 – 5x 5x3 + 4x. Primeiro entre no ambiente a mbiente PLOT-FUNCTION pressionando BRANCO + F1. Então pressione a tecla virtual ADD (F2) para adicionar uma equação, equa ção, será solicitado a preencher o lado direito de uma equação Y1(X) =. Digite a função a ser plotada e ao terminar pressione ENTER para retornar a janela PLOT-FUNCTION. Após, entre no ambiente PLOT WINDOW (BRANCO + F2), aqui você poderá definir em H-VIEW e V-VIEW os intervalos dos eixos das abcissas e ordenadas que irão aparecer na tela quando o gráfico for plotado. Após definir os intervalos intervalos de plotagem pressione DRAW (F6) para para desenhar o gráfico, se por acaso você tenha desenhado algum gráfico anteriormente pressione ERASE (F5) para limpar a área de plotagem, caso contrário, a tela apresentará ambos os gráficos. Na tela de plotagem além do d o gráfico desenhado, temos algumas funções no soft menu:
ZOOM: opções de zoom (X,Y): mostra os valores de x e y da função na parte inferior da tela quando o cursor está sobre o gráfico plotado TRACE: faz o cursor andar somente sobre a função FCN: opções sobre a função EDIT: opções para editar a tela CANCL: volta ao PLOT-MENU
Opções presentes no menu ZOOM:
ZFACT: abre uma janela na qual é possível definir os fatores vertical e horizontal do zoom BOXZ: cria uma “caixa” a partir do ponto atual do cursor de forma a mostrar na tela apenas a parte selecionada pela “caixa”. ZIN: aproxima a imagem ZOUT: afasta a imagem ZDFLT: volta ao zoom padrão HZIN, HZOUT, VZIN, VZOUT: aproxima ou afasta o zoom apenas em uma direção, na vertical (V) ou na horizontal (H) CNRT: centra a janela do gráfico com zoom no n o local atual do cursor ZAUTO: encaixa a função na tela o melhor possível (nem sempre fica muito bom) 39
Opções do menu FCN:
ROOT: leva o cursor para a raiz mais próxima e mostra a coordenada do ponto na parte inferior do visor ISECT: leva o cursor para o ponto de intersecção entre duas funções mais próximo e mostra a coordenada do ponto na parte inferior do visor SLOPE: mostra o valor da inclinação do ponto na parte inferior AREA: cria um “X” no ponto atual do cursor, d eve-se então levar o cursor até um ponto à direita ou à esquerda do “X” e novamente apertar AREA. Aparecerá na parte inferior do visor a área abaixo da curva entre os dois pontos SHADE: deve ser feito o mesmo procedimento que foi feito para AREA, porém essa função irá sombrear a área abaixo da curva entre os dois pontos EXTR: leva o cursor para o ponto de máximo ou mínimo local mais próximo e mostra a coordenada do ponto F(X): informa o valor da função no valor de x que o cursor se encontra F’: desenha o gr áfico áfico da derivada da função que está desenhada TANL: traça a reta tangente ao ponto da função no n o qual se encontra o cursor e mostra a equação da reta na parte inferior do visor
Note que ao regressar ao PLOT – FUNCTION FUNCTION apareceram duas funções (caso você tenha utilizado a função F’). É possível colocar várias funções e plotar todas elas simultaneamente. A ordem em que elas aparecem no gráfico gráfico é a mesma na qual estão dispostas no PLOT-FUNCTION. Para excluir uma equação deve-se selecioná-la e pressionar a tecla DEL, para editá-la deve-se pressionar EDIT.
Gerar uma tabela de valores para uma função
As combinações BRANCO + F5 (TBLSET) e BRANCO + F6 (TABLE), pressionadas simultaneamente se estiver no modo RPN, permite que o usuário produza uma tabela de valores de funções. Para tanto, você pode escolher uma e um intervalo de valores em que qu e deseja montar a tabela. Primeiro, precisamos assegurar que o tipo de gráfico está configurado para FUNCTION no visor PLOT SETUP (BRANCO + F4, pressione-os simultaneamente se estiver no modo RPN). O campo na frente da opção Type será ressaltado. Se este campo não estiver ainda configurado para FUNCTION pressione a tecla CHOOS e selecione a opção FUNCTION e depois pressione OK. Depois pressione ↓ para ressaltar ressaltar o campo na frente da
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opção EQ e digite a expressão da função desejada, você também pode gerar uma tabela de valores para uma função que você tenha acabado de plotar o gráfico, nesse caso o campo EQ pode estar preenchido apenas com Y1(X), que será a função descrita no menu BARNCO + F1. A próxima etapa é acessar o visor Table Setup usando a combinação de teclas BRANCO + F5. Isto produzirá um visor onde você pode selecionar o valor de início (Start) e os aumentos (Step). Depois pressione OK para retornar ao visor visor normal da calculadora. Para ver a tabela, pressione BRANCO + F6. Isto produzirá uma tabela de valores de x e os valores correspondentes de f(x), listados como Y1 por definição. Você pode usar as teclas com as setas para mover-se ao redor na tabela. Observe que não tivemos que indicar um valor final para a variável independente x. Assim, a tabela continua além do valor máximo para x sugerido anteriormente. Algumas das opções disponíveis enquanto a tabela estiver visível são ZOOM, BIG e DEFN:
• A DEFN quando selecionada mostra a definição da variável independente. • A tecla BIG altera apenas a fonte na tabela de pequena para grande e vice versa. • A tecla ZOOM, quando pressionada, produz um menu com as opções: In,Out, Decimal, Integer e Trig. Essas opções produzem aumentos na exibição dos valores, diferenciando-se uma das outras apenas do fator em que será dado esse aumento. Por exemplo, a opção Decimal produz aumentos de 0.10 e a opção inteira produz aumentos de 1. Para recuperar o aumento de zoom dado, selecione a opção Un-zoom.
Gráficos de dispersão e de barras
Para produzir um gráfico de dispersão, acesse o menu PLOT SETUP (BRANCO + F4) e no campo Type escolha a opção Scatter. Feito isso devemos colocar o conjunto de pontos na calculadora, com a opção ∑DAT selecionada pressione EDIT e insira os dados desejados, ao final pressione ENTER para retornar ao menu. Agora acesse o menu de PLOT WINDOW (BRANCO + F2) para configurar as opções de intervalos de plotagem. Aperte a tecla ERASE para apagar qualquer outro gráfico que possa estar desenhado na área de plotagem e em seguida pressione DRAW. A calculadora irá desenhar o gráfico desejado, na tela de plotagem a opção STATL (F4) irá traçar a melhor reta para os pontos plotados. Para plotar um
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gráfico de barras siga as mesmas instruções acima, apenas alterando para a opção Bar no campo Type do menu PLOT SETUP.
Funções de três variáveis, z= f(x,y)
Para gerar gráficos deste tipo, siga as mesmas instruções mostradas para gráficos de funções do tipo y = f(x). Acesse o menu PLOT SETUP e no campo Type selecione a opção Fast3D. Volte ao menu principal e acesse agora o menu PLOT – FAST3D FAST3D (BRANCO + F1). Note que este menu é semelhante ao PLOT FUNCTION. Para adicionar uma equação deve-se proceder de forma forma análoga ao que foi feito para uma função função y = f(x), f(x), porém, porém, agora aparecerá Z1(x,y) = . Depois acesse o menu PLOT WINDOW (BRANCO + F2) para configurar os intervalos de plotagem e pressione DRAW para desenhar o gráfico (Lembre-se de pressionar ERASE para apagar algum gráfico já desenhado).
Cônicas
Para plotar gráficos de cônicas (elipse, hipérbole, parábolas, circunferência) siga os mesmos passos explicitados anteriormente, você apenas deverá selecionar a opção Conic no menu PLOT FUNCTION (BRANCO + F4) em Type. O menu APPS nos fornece algumas funções da calculadora bem interessantes. A primeira é a biblioteca de constantes salvas na HP. Para ter acesso a ela, pressione APPS e em seguida escolha a opção 3.Constants lib. O usuário poderá optar por visualizar a descrição do símbolo da constante ou o seu valor, pressionando para isso o menu VALUE. Poderá também escolher as unidades dessas constantes (SI ou o u sistema inglês) e poderá enviar env iar para a pilha operacional qualquer uma dessas constantes, pressionando a tecla STK.
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Outra função interessante presente no menu APPS é a 13.Periodic Table. Selecione esta opção, você então encontrará no soft menu a opção PERTB, pressionando-a você será direcionado para a tabela periódica onde poderá navegar pelos elementos. Nessa opção o soft menu menu nos apresenta as opções: TABLE: mostra a tabela NAME: organiza os elementos elementos por nome SYMB: organiza os elementos por sigla ATWT: joga a massa atômica do elemento iluminado no stack, incluindo a unidade DENS: joga a densidade do elemento iluminado no stack, incluindo a unidade QUIT: volta ao menu inicial do Periodic Table De volta ao menu inicial de Periodic Table a opção MOLWT (F3) calcula massa molar de qualquer substância. O argumento dessa função é a fórmula molecular da substância, importante lembrar de usar letras minúsculas. Por exemplo para o hidróxido h idróxido de sódio, digite NaOH.(As letras minúsculas são acessadas pelos comandos ALPHA + BRANCO + letra desejada).
Neste módulo vamos apresentar algumas funções que podem ser úteis também presentes na HP. Pressione os botões BRANCO + 1 (ARITH). Nesse menu escolha a opção Polynomial (F2). Nesta opção vale destacar as funções:
DIV2 (F4): inseridos dois polinômios a calculadora irá realizar a divisão entre eles e nos retornará o quociente e o resto dessa divisão FACTOR (F6): fatora o polinômio ou um número inteiro
No menu MTH (BRANCO + SYMB) acesse a opção PROBABILITY PROBABILITY (NXT + F1). Nesse menu você encontrará:
, = !! −!−!
COMB: realiza a combinação de n termos tomados p: C (n,p)
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, = −−! !
PERM: realiza o arranjo de n termos tomados p: A (n,p) !: realiza o fatorial de um número
Ao pressionar as teclas LARANJA + 8 (TRIG) e selecionando a opção HYP (F1) você terá acesso as funções trigonométricas hiperbólicas. A HP também calcula os fatores de Darcy e Fanning, muito utilizados em Mecânica dos Fluidos. Você pode utilizá-los dentro do ambiente do Equation Writer, apertando as teclas LARANJA + SYMB (CAT) e procurando as opções op ções DARY ou FANNING e inserindo como argumentos, primeiro a rugosidade relativa e depois o número de Reynolds para o escoamento. Você também pode acessar essas funções seguindo: APPS → o u FANNI (F3). Nesse 12.Equation Library → UTILS (F4) → DARCY (F4) ou menu UTILS, a opção MINEH (F1) dá acesso ao jogo MineHunter, semelhante ao campo minado.
A HP pode ser incrementada com uma série de programas existentes que realizam as mais diversas funções. Assim como o SolveSys já descrito anteriormente, podemos encontrar na internet uma infinidade de programas para as mais diversas áreas (Cálculo Numérico, Estatística, Cálculos de Engenharia e até jogos). Um dos melhores sites de coletânea de programas para a HP 50g é o http://www.hpcalc.org/ http://www.hpcalc.org/.. Nele você encontrará uma vasta coletânea de programas divididos por áreas e modelo da HP, no nosso caso, utilizamos a HP 49series.
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Para instalar um programa, primeiro você deve fazer o download para seu computador, os arquivos a serem instalados possuem extensão .hp ou .lib.. Após ter esse arquivo você deve transferi-lo para a memória calculadora (aconselhável transferir para o diretório HOME ou FLASH), para isso, você pode utilizar um cabo USB e o programa que acompanha a calculadora c alculadora ou pode se utilizar de um cartão de memória SD (O cartão de memória deve ter no máximo 2 GB de espaço, cartões que excedam essa capacidade não são reconhecidos pela calculadora). Com o arquivo na memória da HP você deve resetá-la para instalar o programa, para isso pressione a tecla ON e sem soltá-la pressione a tecla F3 até que a tela da calculadora mostre algumas imagens e retorne a tela principal. Pronto, o programa já está instalado, você poderá acessá-lo através da opção LIB (LARANJA + 2).
A HP também é capaz de reproduzir textos no formato .txt, mais conhecidos por serem escritos no bloco de notas do Windows. Basta apenas digitar o texto desejado e transferi-lo para a calculadora. Outra opção interessante é utilizar sites de edição de texto específicos para a HP, um deles é o http://sitegui.com.br/editorHP/ ; nele você poderá até inserir imagens ao seu arquivo. Um tutorial em vídeo é fornecido pelo próprio site na opção Ajuda, no canto superior esquerdo na tela.
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Referências
HEWLETT PACKARD; “HP 48G Series – User’s Guide”, 8 a edição, 1994. HP 50g calculadora gráfica – Curso de Introdução. CA Engenharia Química UFV. Prof. José Vicente Hallak d’Angelo. Introdução às Operações com Calculadoras HP49g+/HP50g e Principais Aplicações em Engenharia. Campinas –SP, 2012.
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