UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
1/10
REESSIISSTTÊÊNNCCIIAA DDOOSS MAATTEERRIIAAIISS II Apostila - Flambagem Índice FLAMBAGEM ............................................................................................................. 2
Flambagem Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni
Página 1
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
2/10
FLAMBAGEM Definição: É a ocorrência de flexão lateral em uma peça esbelta quando submetida à compressão axial. Essa flexão lateral acontece sempre na direção do eixo de menor momento de inércia da seção transversal, se a carga for aplicada no CG da seção transversal. No fenômeno da flambagem a peça pode perder a sua estabilidade antes mesmo do material atingir a tensão de escoamento, o que então denominamos de instabilidade elástica. Esbeltez: área da seção transversal muito pequena em relação a seu comprimento. Leonhard Euler: primeiro a se dedicar ao estudo da flambagem o qual encontrou, através desse efeito, a explicação para muitos colapsos estruturais. Causas:
a) Instabilidade de forma; b) Falta de retilinidade; c) Excentricidade de carregamento; d) Falta de homogeneidade.
Tipos de Equilíbrio: admitindo que a carga crítica de uma estrutura seja Nfl, tem-se três condições de equilíbrio, em função da posição da carga N aplicada: • Estável:
N < Nfl
• Indiferente: N = Nfl • Instável:
Flambagem Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni
N > Nfl
Página 2
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
3/10
Consideremos a peça abaixo:
Aumentando a carga N, chegará a um valor para o qual a forma reta da barra deixa de ser estável. Então a carga N atingirá um valor tal que a peça se encurva adquirindo outra forma de equilíbrio estável. O valor que a carga N atinge passando entre as duas formas de equilíbrio estável chama-se carga de flambagem.
Flambagem Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni
Página 3
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
4/10
Índice de Esbeltez: É a relação existente entre o comprimento axial da peça e o raio de giração mínimo da seção transversal.
λ=
l fl rmin
onde: λ – índice de esbeltez (adimensional) lfl – comprimento de flambagem rmin – raio de giração mínimo:
rmin =
I
A
onde: I – menor momento de inércia da seção transversal A – área da seção transversal - O índice de esbeltez mede o quão esbelto é uma peça; - Ele mede a facilidade ou dificuldade que a peça tem em flambar; - Se o índice de esbeltez limite do material for: - pequeno: a probabilidade do pilar flambar é menor; - grande: a probabilidade do pilar flambar é maior.
Carga Crítica de Euler: Equação de Euler genérica:
N fl =
π2 ×E×I l 2fl
onde: I – menor momento de inércia da seção transversal; E – módulo de elasticidade do material; lfl – comprimento de flambagem (função das condições de apoio). - Comprimento de flambagem (lfl) em função do tipo de apoio da barra em suas extremidades. São denominados “fator K” podendo ser igual ou diferente de 1. Este fator K, multiplicador do comprimento da peça comprimida, representa a coluna que está sendo analisada por uma bi-rotulada com comprimento reduzido e comportamento equivalente:
Flambagem Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni
Página 4
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
5/10
Tensão Crítica de Flambagem:
σ fl =
π2 ×E λ2
Para que se possa empregar a fórmula de Euler é necessário que se cumpra as condições:
σ fl =
π2 ×E λ2
=〈σp
λ>
π2 ×E σp
onde: σp: tensão de proporcionalidade do material Isto quer dizer que a fórmula de Euler só é aplicável em peças que flambam no regime elástico, ou seja, peças longas ou de grande esbeltez. Para o caso do aço:
Conforme aumentarmos a esbeltez da peça, diminuímos a tensão de flambagem e λlim é a esbeltez limite da validade da expressão de Euler. Flambagem Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni
Página 5
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
6/10
O gráfico mostra que para peças com pequena esbeltez, será necessário grande tensão para que a flambagem aconteça. Para λ > λlim → a peça é considerada muito esbelta e irá flambar com uma tensão de flambagem σfl abaixo da tensão de proporcionalidade σp. Para λ < λlim → a peça é considerada pouco esbelta e irá flambar com uma tensão de flambagem σfl acima de σp. Nesta situação é possível a ocorrência da ruptura por compressão antes da peça flambar. Valores de para alguns materiais:
Material Aço ABNT 1010 / 1020 Aço ABNT 1040 / 1050 Ferro fundido
σp (kgf/cm2)
E (kgf/cm2)
λlim
2050
2.100.000
100
2400
2.100.000
100
1540
800.000
80
108.000
60 a 100
Madeira Concreto
85
Duralumínio
2000
750.000
59
Pinho
99
105.225
100
A flambagem que segue a equação de Euler é denominada de flambagem elástica (λ ≥ λlim), uma vez que a tensão é menor que a tensão limite de proporcionalidade do material. A flambagem que não segue (λ ≤ λlim) é denominada de flambagem inelástica, uma vez que o padrão de comportamento é função do material da peça e o resultado apresenta grande dispersão. A flambagem inelástica ocorre na fase plástica.
Flambagem Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni
Página 6
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
7/10
No caso de λ < λlim a tensão de flambagem σfl é calculada pelas fórmulas de Gordon-Rankine, Tetmajer ou Johnson. Então:
Se: λ ≥ λlim Região elástica Valem as equações de Euler: π2 ×E×I π2 ×E N fl = σ fl = l 2fl λ2 Se: λ < λlim Região não elástica Valem as fórmulas empíricas para a obtenção de tensões
Para λ ≤ λlim → Regime não elástico → Utilizamos as fórmulas empíricas: Algumas fórmulas empíricas: a) Fórmula de Gordon-Rankine: σ fl =
σo 1 + β × λ2
onde: σo = tensão limite de resistência a compressão λ = esbeltez β = coeficiente do material, obtido em laboratório b) Fórmula Tetmayer: σ fl = σ o − a × λ + b × λ2 onde: “a” e “b” = são coeficientes do material. À exceção do ferro fundido, o coeficiente “b” é muito pequeno e pode ser desprezado. Então: σ fl = σ o + a × λ Obs.: para aços: a = 0,005 c) Fórmula de Johnson: σ fl = σ o − C × λ2 onde: σo = tensão de escoamento do material na compressão Flambagem Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni
Página 7
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
8/10
λ = esbeltez C = coeficiente do material e deve concordar com a curva de Euler. C.S.: de 2 a 3 → aço de 3 a 5 → madeira, ferro fundido
Exercícios: 1 – Dada uma coluna de aço, bi-rotulada, com seção reta de 40 x 60 mm, determinar a altura mínima “h” que deverá ter essa coluna, quando axialmente comprimida, a fim de ser possível a aplicação da fórmula da carga crítica de Euler. Dados: E = 2,1 x 106 kgf/cm2
;
σp = 2000 kgf/cm2
2 – Utilizando os dados do problema anterior e considerando a coluna bi-engastada, calcular a altura mínima “h” para que a fórmula de Euler seja aplicável.
3 – Qual deverá ser o diâmetro da barra de aço, com extremidades bi-rotuladas, suportando uma carga de 2,0 tf, para que a peça não venha a flambar. Dados: E = 2,1 x 106 kgf/cm2
Flambagem Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni
Página 8
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
9/10
4 – Calcular a carga máxima que poderá ser aplicada ao sistema estrutural abaixo, de maneira que não haja flambagem na barra, de seção transversal retangular. Aplicar o fator de segurança igual a 1,2. Dados: E = 2,1 x 106 kgf/cm2 ; F.S. = 1,2
5 – Calcular o valor máximo que o pilar poderá suportar sem flambar. Considerar o coeficiente de segurança a flambagem igual a 2,0. Dado:
E = 2 x 106 kgf/cm2
6 – Calcular o valor da carga máxima que poderá ser aplicada na seção abaixo. Utilizar um fator de segurança a flambagem igual a 2,0. Dados: σesc = 2530 kgf/cm2 ; F.S. = 2,0
Flambagem Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni
Página 9
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
10/10
7 – Calcular o maior valor possível para a força F que poderá ser aplicado à estrutura, utilizando um coeficiente de segurança igual a 2,0 na flambagem do perfil horizontal AB. Calcular também o diâmetro mínimo para o tirante BC, utilizando um coeficiente de segurança igual a 2,5. Dados: E = 2,1 x 106 kgf/cm2
Características das Peças Tirante (BC)
Perfil horizontal (AB)
Material: aço CA 50 B
Tipo: I 6” x 18,5 kg/m – ASTIM A 36
σesc = 5000 kgf/cm
Área = 23,6 cm
2
Coeficiente de segurança: ν = 1,5
Ix = 919 cm Iy = 76 cm
2
4
4
rx = 6,24 cm ry = 1,79 cm
Flambagem Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni
Página 10