Controle e Servomecanismos – Nota de Aula – Prof Pr of Geraldo M. Pinheiro -2009 Modelagem e Controle de um Motor DC
Modelagem e Controle de um Motor DC 1. OBJETIVOS Entender a modelagem e a simulação de um Sistema de Controle de velocidade angular aplicados ao modelo de um motor de Corrente Contínua. A abordagem aqui apresentada vai focalizar o modelo em Função de Transferência. Uma outra abordagem, em modelo de espaço de estados será feita em uma próxima nota de aula.
2. DESCRIÇÃO DO MOTOR DC O Motor de Corrente Contínua é muito usado como atuador eletromecânico em Sistemas de Controle, principalmente nos Servomecanismos. É também conhecido como SERVOMOTOR CC. Tem vasta aplicação em plantas mecânicas para controle de posição e velocidade, principalmente em processos industriais. A figura a seguir mostra um esquema simplificado. Existe uma malha elétrica onde se aplica a tensão contínua da armadura que vai gerar o movimento do sistema mecânico formado pelo eixo que transmite um torque à carga.
R
+ v a(t) _
i a(t)
Torque τ( t ) )) ) Vel angular ω(t)
L + Vemf _
MOTOR
Carga Inercial
DC
O Motor CC (corrente contínua), apresenta as grandezas assim definidas: R Resistência de enrolamento da armadura; v a (t ) Tensão aplicada na armadura;
L v emf
τ (t )
ω (t ) Velocidade angular J Momento de Inércia do rotor e da carga;
Torque mecânico ref ao eixo do motor;
i a (t ) Corrente na armadura;
Indutância do enrolamento da armadura; Tensão gerada p/ força contra eletromotriz
K b
Constante de proporcionalidade da F emf ;
K f
Coeficiente de fricção viscosa.
φ
Fluxo Magnético gerado pelo Estator
K T Constante de Torque do motor
3. FUNCIONAMENTO DO MOTOR CC Um campo magnético é formado por bobinas de CAMPO no ESTATOR ou por imãs permanentes (pequenos motores). Dentro deste campo magnético é inserido um ROTOR (Armadura), envolto em uma bobina, com rolamentos nas extremidades e que gira impulsionado pelo TORQUE gerado por ação do campo magnético nas espiras do rotor. Este torque é proporcional à intensidade do campo e à corrente de armadura (i a).
1
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Rigidamente ligado ao eixo do rotor está o COLETOR constituído de paletas de cobre isoladas entre si, onde estão ligados os condutores do rotor. As ESCOVAS permitem que a corrente elétrica, oriunda da fonte, seja aplicada aos condutores. Existem duas modalidades de operação com o motor CC: 1) Tensão de Controle na Armadura (mais comum); 2) Tensão de Controle no Campo. Para aplicações de baixa potencia, o motor DC comumente usa a tensão de Controle na armadura e campo formado por imãs permanentes. A figura a seguir ilustra o seu funcionamento. Bobinas de Campo ROTOR
Estator Ia
IMÃ Permanente
Coletor Va
Escovas
A corrente na armadura i a(t) produz um torque τ (t ) que é diretamente proporcional ao produto do fluxo magnético pela corrente.
τ (t ) = K φ ia (t ) = K T ia (t )
(1) A força Contra Eletromotriz induzida pela rotação da bobina de armadura no campo magnético é proporcional à velocidade de rotação angular do rotor.
vemf (t ) = K φ
(t ) = K b (t )
(2)
Aplicando a Lei de Kirchoff , obtém-se as seguintes equações para o sistema elétrico: di L a + R ia + v emf (t ) = v a (t ) (3) dt A seguir considera-se o sistema mecânico, que produz um torque e gera uma aceleração angular com base na lei de Newton. O torque τ gerado é igual a soma do torque inercial mais o torque de atrito.
J
d ω dt
+ K f ω (t ) = τ (t ) + T D
T D aparece na equação como o torque de carga. Sabe-se
numericamente idênticos.
2
(4)
que as constantes K b e K T têm valores
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4. MODELAGEM EM FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Aplicando a Transformada de Laplace na equação (3) temos:
( Ls + R ) I a (s ) + K b Ω(s ) = V a (s) ⇒ como o torque τ (s ) = K T I a (s ) ⇒
I a (s ) =
V a (s ) − K b Ω(s ) Ls + R
τ (s ) =
K T Ls + R
[V a (s ) − K b Ω(s )] ......(5)
Aplicando Laplace na equação (4) temos:
⇒ Ω(s ) =
1
[τ (s ) + T D ] ......(6) Js + K f As relações (5) e (6) obtidas, mostradas a seguir, permitem descrever o sistema segundo o diagrama bloco da figura, que apresenta o Modelo da Função de Transferência, ligando a variável velocidade angular à tensão na armadura. JsΩ(s ) + K f Ω(s ) = τ (s ) + T D
τ (s ) =
K T Ls + R
[V a (s ) − K b Ω(s )] e
Ω(s ) =
1 Js + K f
[τ (s ) + T D ]
. Torque de Carga T D
Tensão na Armadura V a(s)
K T
+
τ τ( s)
Ls + R
_
+
1
Ω(s )
Js + K f
CARGA
ARMADURA Kb
Observações: 1) O Motor DC é tratado como um sistema com duas entradas e uma saída. 2) O modelo completo está representado no diagrama. Observa-se que, pelo fato de existir uma tensão contra eletromotriz de reação ao movimento, esta funciona como uma realimentação negativa. Tratase, então, de uma realimentação física e natural do próprio sistema. Em outras palavras, pode-se afirmar que a própria PLANTA (malha aberta) já apresenta uma realimentação natural, que ajuda na estabilização do motor. Função de Transferência Global (Matriz de Transferência para sistema MISO) Para obter a Função de Transferência global aplica-se o teorema da superposição já que o sistema é linear. Assim considera-se as entradas: TD=0 e V a ≠ 0 para obter: 3
Controle e Servomecanismos – Nota de Aula – Prof Geraldo M. Pinheiro -2009 Modelagem e Controle de um Motor DC K T GVa (s ) =
Ω (s )
V a (s )
da mesma forma, considera-se V a
( Ls + R )( Js + K f )
=
1+
=
K b K T
( Ls + R )( Js + K f )
0 e T D
GTD (s ) =
T D (s )
Ls + R LJs 2 + ( RJ + LK f )s + RK f + K T K b
K T
( Ls + R )( Js + K f ) + K b K T
0 , para obter:
Ω(s )
Aplicando o princípio da superposição A Velocidade Angular é assim obtida: Ω(s ) =
≠
=
=
Ls + R
( Ls + R )( Js + K f ) + K T K b
Ω(s ) = GVa (s )V a (s ) + GTD (s )T D ( s)
T D (s ) +
K T
LJs 2 + ( RJ + LK f )s + RK f + K T K b
V a (s )
Por se tratar de um sistema MISO (Multiple Input Single Output) com duas entradas e uma saída, a representação do modelo se faz através de uma MATRIZ DE TRANSFERÊNCIA, envolvendo as duas entradas e dada pela seguinte expressão: V a (s ) Ω(s ) = [GVa (s ) GTD (s )] T D (s )
onde M (s ) = [GVa (s ) GTd (s )] é a Matriz de Transferência
K T M (s ) = 2 LJs + ( RJ + LK f )s + RK f + K T K b
LJs 2 + ( RJ + LK f )s + RK f + K T K b Ls + R
5. ANÁLISE E SIMULAÇÃO DA DINÂMICA DO MOTOR DC Simulação em Malha Aberta O modelo numérico foi obtido com os valores numéricos dos parâmetros, no sistema internacional de unidades, apresentados na tabela. R=2 L=0.5 Kt=0.1 Kb=0.1 Kf=0.2 J=0.02
Resistência da ARMADURA Indutância da Armadura Constante de Conjugado Constante de Forca Contraeletromotriz Coeficiente de fricção viscosa (ref ao eixo do motor) Momento de Inércia equivalente do Motor e Carga
Com estes valores a função de Transferência é : Ω(s ) =
0,5s + 2 0,1 T s V (s ) + ( ) 0,01s 2 + 0.14 s + 0,41 D 0,01s 2 + 0.14 s + 0,41 a
O programa em MATLAB a seguir realiza a simulação da operação do motor DC em malha aberta, inserindo um degrau de 5V de amplitude na tensão de armadura V a e um torque de carga T D = −0 ,1 como perturbação do sistema. Fisicamente, significa alimentar o motor com uma tensão de armadura de 5 volts CC durante 15s. Cinco segundos após aplica-se um torque de -0,1 durante apenas 5s, que tende a frear o motor. 4
Controle e Servomecanismos – Nota de Aula – Prof Geraldo M. Pinheiro -2009 Modelagem e Controle de um Motor DC close all % Programa para simular o modelo do motor R=2; %Resistencia da ARMADURA CC com duas entradas L=0.5; %Indutancia da Armadura D=[L*J, R*J+Kf*L, R*Kf+Kt*Kb]; Kt=0.1; % Constante de Conjugado G=tf({N1,N2},{D,D}); % definição da Kb=0.1; % Cte de Força Contraeletromotriz matriz de transferência Kf=0.2; % Coeficiente de friccao t=0:0.01:15; viscosa (ref ao eixo do motor) u1=5*ones(size(t)); J=0.02; % Momento de Inercia u2=-0.1*[(t > 5)&(t < 10)]; equivalente do Motor e Carga U=[u1;u2]; % plot(t,u1,t,u2) % Funcao de Transferencia com duas hold on entradas e uma saida lsim(G,U,t) N1=[0 Kt]; hold off N2=[L,R];
6
Simulação da Dinâmica de Motor de Corrente Contínua Tensão na Armadura - Va
5
4
3 e ) d ( 1 u t i Y l p : o m T A
2
ω Velocidade Angular de Saída
1
0
-1 0
Torque de Carga D - T
5
10
15
Time (sec)
Observa-se que uma perturbação no torque de carga de –0,1 (curva verde) provoca quase que 50% de redução no valor da velocidade angular (curva azul).
6. CONTROLE COM TRACKING DE SET POINT Os objetivos básicos do controle a ser aplicado a esta planta são: • Fazer com que a velocidade angular na saída siga o sinal de referencia na entrada (set point com o valor da velocidade angular desejada), com erro de estado estacionário NULO. Este procedimento denomina-se Controle com Tracking de Set Point . • Reduzir o efeito do torque de carga sobre a velocidade angular. 5
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Ganho de ajuste ZERO para o tracking de set point Na prática, para se ter um erro zero no estado estacionário, ou seja, para que o sinal de saída siga fielmente o sinal de referencia, precisa-se inserir na entrada da estrutura, em malha fechada, um ganho de ajuste zero. A figura mostra uma estrutura em malha fechada onde aparece o ganho N na entrada. Este ganho tem que ser calculado para que, em regime permanente, a saída y seja igual a entrada r.
R(s)
N
Y(s)
G(s)
+ _
K Cálculo do ganho N A função de transferência em malha fechada (sem o ganho N) é: G f (s ) =
G (s )
1 + KG (s )
O sinal de saída será dado por: Y (s ) = N G f (s ) R(s ) Considerando o sinal de entrada um degrau de amplitude Ro, então o valor de set point será: R(s ) = Assim, Y (s ) = N G f (s ) Como se deseja y ss
Ro s
e no estado estacionário a saída será: y ss
Ro s
= lim [s Y (s )] = N G f (0) Ro s →0
= Ro , ou seja, que a saída siga o set point, obriga então que : N G f (0) = 1
N =
Desta forma:
1 G f (0)
G f (0) é conhecido como Ganho DC (DC Gain) da função de transferência de malha fechada.
Tracking de Set Point do Motor Função de Transferência da planta Ω(s ) =
0,5s + 2 0,1 T s V a (s ) ( ) + D 2 2 0,01s + 0.14 s + 0,41 0,01s + 0.14 s + 0,41
Normalizando-se ambas as funções (x100/100) 50 s + 200 10 T D (s ) + 2 V a (s ) Ω(s ) = 2 s + 14s + 41 s + 14 s + 41 A estratégia de controle é usar um compensador do tipo integrador e aplica-lo na entrada da tensão de armadura. 1 10 Ω(s ) Planta a ser controlada G (s ) = Compensador H (s ) = = 2 s V a (s ) s + 14 s + 41 A figura a seguir mostra o diagrama em blocos do sistema em malha fechada com a realimentação de saída − K Ω(s ) + Ω r (s ) apenas sobre a função GVa (s ) . A lei de controle é V a (s ) = , onde Ω r é uma velocidade s
angular de referencia, para que a velocidade de rotação do motor siga este valor.
Calculo do Ganho DC - K DC 6
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Para atingir este objetivo faz-se necessário aplicar um controle integral com realimentação de saída. 10 Obtém-se, assim, a FT de malha será : GH (s ) = 2 s (s + 14 s + 41) Fechando a malha como mostra a figura, obtém-se a Função de Transferência de Malha Fechada: GH (s ) Ω (s ) 10 = = 3 G f (s ) = Ω r (s ) 1 + KGH (s ) s + 14s 2 + 41s + 10 K
Como o ganho de realimentação K está na malha de retorno, para conseguir um erro NULO em regime, é necessário inserir o ganho de ajuste ZERO ( N ) na entrada do sistema. A constante Kdc é calculada pela expressão: 1 K dc = lim [G f (s )] = G f (0 ) = K
s →0
EXERCÍCIO a) Fazer a continuação do programa anterior para realizar do Controle Integral com erro de estado estacionário NULO, de acordo com o que está previsto no MODELO em malha fechada mostrado a seguir. Os resultados do programa estão mostrados nos gráficos a seguir mostrados. b) Procure obter os mesmos resultados implementando este diagrama em blocos no SIMULINK.
50s + 200 s 2 + 14s + 41
TD(s)
Ω r(s)
1
+
K dc
_
10 2 s +14s + 41
1 s
+
Ω (s)
K
Root Locus
20 15 10 5 s i x A g a m I
K=5,56 Posiciona os polos MF neste ponto
0.7
5
0
0.7
-5 -10 -15 -20 -30
-25
-20
-15
-10 Real Axis
7
-5
0
5
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O programa deverá abrir o gráfico do Lugar das raizes, mostrado na figura acima e atraves do comando RLOCFIND escolhe-se o valor de K que posiciona os polos de malha fechada do sistema com amortecimento de 0,7. Para tal o ganho é de 5,56. Observa-se que o controle obriga a saída a retornar ao set point quando o torque de carga aparece e quando ele sai. Observa-se um overshoot de 15%. Observe que valor da velocidade angular de referencia (5 rad/s) se mantem.
6
Resulatado da Simulação obtida com Controle Integral e psi=0,7
5
4
e ) d 1 u ( t i l Y p : o m T A
3
2
1
0
-1 0
5
10
15
Time (sec)
7. CONCLUSOES Como conclusão para o resultado da simulação acima realizada, podemos dizer que o motor leva cerca de 2 s para entrar no estado estacionário. Quando aparece a perturbação de torque de carga, percebe-se que a rotação cai da ordem de 10% mas logo volta ao normal previsto no set point. Mas quando termina o torque de carga, em t= 10s , a rotação sobe também 10% e em seguida volta ao normal. Esta variação de ±10% na rotação pode ser reduzida utilizando-se compensadores do tipo PID, Avanço/Atraso ou outros mais sofisticados.
8
