APOLLONIUS (262 – 190 SM)
A. Biografi Biografi Apolloni Apollonius us Period Periodee tahun tahun 300 sampai sampai 200 sebelu sebelum m masehi masehi merupa merupakan kan zaman zaman keemasa keemasan n bagi bagi matemat matematika ika yunan yunani. i. Dalam kurun waktu lebih kurang satu abad itu muncullah tiga orang matematikawan yang terkenal dalam sejarah, yaitu Euclid, rchimedes dan pollonius. !eperti halnya rchimedes dan banyak matematician periode le"andria lainny lainnya, a, poll polloni onius us bukanl bukanlah ah berasal berasal dari dari le"an le"andri driaa sendir sendiri. i. poll polloni onius us dilahi dilahirkan rkan di Perga Perga,, daerah daerah bagian bagian selata selatan n sia. sia. #idak idak bany banyak ak dike diketah tahui ui tenta tentang ng masa masa kecilny kecilnya, a, tetapi tetapi diperki diperkirak rakan an poll polloni onius us dilahi dilahirka rkan n kira kira $ kira kira pada pada tahun tahun 2%2 sebelum sebelum masehi, masehi, yaitu sekita sekitarr 2& tahun tahun lebih lebih muda muda dari rchim rchimede edes. s. Pada Pada waktu waktu masih masih muda, muda, polloniu polloniuss pergi pergi ke le"andria le"andria dan belajar belajar disana disana dengan dengan murid $ murid Euclid, kemudian kemudian tidak berapa lama kemudian mengajar di 'ni(ersitas le"andria. !etela h itu pollonius pergi ke Pergamus Pergamus yang teletak pada kota )ergama )ergama di pro(insi pro(insi *zmir di #urki, #urki, yang merupakan merupakan sebuah kota +unani kuno di ysia. Dimana juga terdapat suatu uni(ersitas dan perpustakaan yang terbesar kedua sesudah le"andria. !etelah mengajar beberapa lama di 'ni(ersitas Pergamus, Pergamus, pollonius pollonius kembali ke le"andri le"andriaa dan meninggal meninggal disana kira $ kira tahun -0 sebelum masehi.
B. ar!a ar!a – ar!a Apol Apollon lonius ius pollo polloniu niuss merupa merupakan kan salah salah satu satu pelopor pelopor metemat metematika ika astrono astronomi mi yunan yunani, i, yang yang menggunakan model matematika untuk menjelaskan teori/teori planet. alaupun pollonius seorang astronomer, tetapi karya $ karya pollonius yang terbanyak dan terbesar adalah dalam bidang matematika. Diantara karya $ karya pollonius dalam matematika adalah 1 • • •
uick deli(ery utting o44 a ratio atau on proportional secction utting o44 an area atau on spatial section
• • • • • •
5n derminate section #angencies 6erging Plane loci #resury onics
#etapi sayangnya tidak semua karya pollonius ini dapat dijumpai sekarang, ada yang ditemukan hanya terjemahannya daam bahasa rab, ada yang sudah hilang sebagian, dan ada pula yang sudah hilang keseluruhannya, dan hanya dapat diketahui dari karya $ karya tulisan matematician sesudahnya. )uku Quick Delivery, yang sekarang tidak ditemukan, membicarakan bagaimana metoda
untuk
melakukan
mengkalkulasikan nilai
kalkulasi
dengan
cepat.
Dalam
buku
ini
pollonius
π dengan sedikit lebih baik dibandingkan dengan kalkulasi yang
dilakukan oleh rchimedes, yaitu 3,-7-%. #idak diketahui bagimana nilai kalkulasi untuk π
ini sampai ketangan Ptolemy dan juga ke *ndia. 8arya $ karya pollonius Cutting off a ratio, cutting off an area, On derminate
section, Tangencies, Verging, Plane loci adalah diantara sekian banyak karya pollonius yang hilang, yang judul dan isinya diketahui berdasarkan karya $ karya matematician sesudahnya. Dari keenam buku pollonius yang hilang ini dan ditambah dengan beberapa karya Euclid 9yang juga tidak ditemukan:. Poppus menyusun suatu buku dengan nama ;#reasury o4 nalysis<, yang banyak berisi tentang geometri analitik. Dalam buku ini sebagian besar isinya adalah hasil karya pollonius, dibandigkan karya Euclid, oleh sebab itu pollonius pada zamannya bisa dianggap sebagai =eometri gung atau >#he =reat =eometer>. Dari karya Pappus ini dan hasil/hasil karya yang lainnya inilah baru dapat diketahui tentang sebagian isi dari karya $ karya pollonius yang hilang. !ebagai contoh misalnya, dalam buku Plane Loci ditemukan dua postulat pollonius tentang tempat kedudukan sebagai berikut1 -. #empat kedudukan titik selisih kuadrat jaraknya terhadap dua titik tetap adalah konsta, adalah suatu garis yang tegak lurus kepada garis yang menghubungkan kedua titik tetap tadi. 2. #empat kedudukan titik $ titik yang perbandingan jaraknya dari dua titik tetap 9bukan berimpit: adalah konstan, adalah suatu lingkaran.
)uku Cutting off a ratio 9on proportional secction: masih dapat ditemukan , tetapi bukan dalam bentuk karya asli pollonius, melainkan sudah disalin kedalam bahasa arab, yang kemudian oleh ?alley 9teman ?ewton: pada tahun -@0% disalin lagi kedalam bahasa Aatin. )uku ini berisi -B- proposisi yang pada umumnya berhubungan dengan problem $ problem matematika umum. !alah satu problem dalam buku ini adalah1 diketahui dua garis a dan b dengan dua titik tetap pada a dan ) pada b. Aukislah melalui suatu titik 5 yang diketahui sehingga C ))C konstan. Penyelesaian problem ini adalah eki(alen dengan penyelesaian persamaan kuadrat jenis
ax
2
−
bx =bc .
)uku Cutting off an Area 9On Spatial Section: berisi -27 proposisi yang pada umumnya berhubungan dengan problem yang hampir bersamaan dengan karyanya Cutting off a ratio. Problem yang ada dalam buku ini antara lain1 Diketahui dua garis a dan b dengan dua titik tetap pada a dan ) pada b, lukislah melalui titik 5 yang diketahui suatu garis yang memotong a di C dan b di )C sedemikian sehingga 9C: 9))C: konstan, yang penyelesaiannya eki(alen dengan penyelesaian persamaan kuadrat bentuk
ax + x
2
=
bc .
8arya pollonius Tangencies, yang berisi -27 proposisi, berbeda dengan karya/karya pollonius lainnya. )uku ini berhubungan dengan problem, bagaimana melukis suatu lingkaran yang menyinggung tiga unsur yang diketahui1 titik, garis lurus atau lingkaran. Problem ini meliputi sepuluh kasus, mulai dari kasus yang sederhana, seperti tiga garis atau tiga titik, sampai kepada kasus yang paling sukar, yakni garis singgung terhadap tiga lingkaran. Dua kasus yang paling mudah sudah dibicarakan dalam bukunya Euclid Elemens, enam kasus lainnya dibicarakan dalam buku * Tangencies, sedangkan dua kasus yang paling sukar, yaitu dua garis dan satu lingkaran, dan tiga lingkaran dibicarakan dalam buku **. Dalam buku ** ini tidak terdapat penyelesaian problem ini, yang merupakan tantangan bagi matematician berikutnya. !alah seorang yang memberikan penyelesaian terhadap problem ini adalah ?ewton, dengan hanya menggunakan mistar dan jangka. 8arya pollonius On Vergings berisi -2& proposisi yang berhubungan dengan inklinasi, yang hanya dapat diselesaikan dengan menggunakan jangka dan mistar saja. Problem umum dalam On Vergings ini adalah bagaimana menyisipkan suatu segmen garis antara dua tempat kedudukan, sedemikian sehingga garis dari segmen itu melalui suatu titik yang diketahui.
Dalam karya pollonius Plane Loci, yang berisi -7@ proposisi, diantara sekian banyak teorema dalam buku ini terdapat dua teorema tentang tempat kedudukan1 -. pabila dan ) dua titik tetap, dan k suatu konstanta yang diketahui. aka tempat kedudukan titik P, dimana P)P k, adlah suatu lingkaran apabila k
≠ -, atau
suatu garis lurus apabila k -. 2. pabila , ), ... adalah titik/titik tetap, dan a, b, ..., k adalah konstanta/konstanta yang a ( AP )
2
diketahui, maka tempat kedudukan titik P, dimana
+
b ( BP )
2
+
…= k adalah
suatu lingkaran Aingkaran dari teorema pertama diatas dikenal dengan ;Aingkar pollonius<. Dari sekian banyak hasil karya pollonius, hanya dua karyanya yang sebagian besar tidak hilang, yaitu Cutting off a atio yang sudah dibicarakan diatas, dan !Conics". )uku Conics terdiri dari delapan buku, empat buku pertama dari buku ini masih terdapat dalam tulisan aslinya, tiga buku lainnya hanya terjemahannya dalam bahasa rab, sedangkan buku kedelapan tidak ditemukan, baik yang asli maupun terjemahannya. 8arya pollonius Conics ini, yang berisi lebih kurang 700 proposisi, adalah karyanya yang paling besar. alaupun irisan kerucut sudah dikenal orang satu setengah abad sebelum pollonius menyusun buku ini, dan juga telah dibicarakan dalam hasil karya tulis dua orang matematician, #uclid dan Aristoeus, tetapi uraian dalam tulisan kedua orang ini sangat elementer sekali, sedangkan tulisan pollonius sudah jauh lebih maju 9ad(ance:. Empat buku pertama dari Conics adalah berhubungan dengan teori/teori sederhana mengenai kerucut, yang materinya sebagian besar 9terutama buku *, **, dan ***: sudah pernah dibicarakan dalam buku elementer Euclid, sedangkan buku *6 berisi beberapa penemuan/penemuan khusus. enurut pollonius, khusus buku ***, beberapa teorema yang terdapat didalamnya adalah hasil penemuannya sendiri. )uku * dari Conics berisi tentang semua irisan kerucut dari satu ;circular double cone< tegak maupun miring. !ebelum pollonius, Elips, parabola dan hiperbola diperoleh sebagai irisan terhadap tiga kerucut lingkaran tegak yang berbeda/beda, tergantung apakah sudut puncak kerucut itu tumpul,siku/siku, atau lancip. pollonius adalah orang yang pertama secara sistematika memperlihatkan bahwa tidak perlu melakukan irisan tegak lurus kepada salah satu elemen dari kerucut, dan bahwa dari satu kerucut tunggal seseorang dapat
memperoleh semua tiga jenis irisan kerucut dengan mem(ariasikan kemiringan dari bidang potong. =eneralisasi kedua yang diberikan pollonius adalah ketika dia mendemonstrasikan bahwa tidak diharuskan kerucut itu kerucut tegak, tetapi boleh juga kerucut lingkaran miring. enurut Eutacius dalam komentarnya terhadap Conics, pollonius adalah geometer pertama yang memperlihatkan bahwa si4at/si4at kur(a tidak tergantung kepada apakah kur(a itu berasal dari kerucut miring atau kerucut tegak. Disamping itu pollonius memperkenalkan kerucut dua punuk 9cabang dua: seperti yang dikenal pada waktu sekarang, pengganti kerucut cabang satu yang dikenal sebelumnya. pollonius mende4inisikan kerucut dalam buku * sebagai berikut1 ;pabila suatu garis lurus yang panjang tak terhingga dan selalu melalui suatu titik tetap diputar mengelilingi keliling lingkaran yang tidak sebidang dengan titik tetap itu, maka gerakan garis lurus itu akan membuat permukaan dari suatu kerucut bercabang dua<. Perubahan ini menyebabkan timbulnya hiperbola bercabang dua seperti yang dikenal sekarang ini. !ampai dengan zaman rchimedes, orang masih menemukan irirsan kerucut dengan nama 5"ytome 9untuk kerucut lancip:, 5rthome 9untuk kerucut siku/siku:, dan mblytme 9untuk kerucut tumpul:. pollonius dianggap sebagai orang yang pertama menggunakan istilah ellips, parabola dan hiperbola untuk masing/masing irisan kerucut ini. Dalam buku *, proposisi &, pollonius memperlihatkan bahwa setiap kerucut lingkaran miring bukan hanya mempunyai tak terhingga banyaknya irisan/irisan lingkaran yang sejajar dengan alasnya, tetapi juga mempunyai tak terhingga banyak irisan lingkaran yang dikenal dengan nama ;irisan subcontrory<. isalkan )F adalah alas kerucut lingkaran miring dan ) irisan segitiga dari kerucut. isalkan P sebarang titik pada irisan lingkaran DPE yang sejajar dengan )F
Dan misalkan ?P8 irisan dengan bidang sedemikian sehingga segitiga ?8 dan segitiga ) sebangun tetapi dengan arah yang berlawanan. pollonius mengatakan irisan ?P8 sebagai irisan ;subcontrory<, dan memperlihatkan bahwa irisan ini adallah suatu lingkaran. 'ntuk membuktikan ini dengan mudah dapat dilakukan denga bantuan kesebangunan antara segitiga ?D dan segitiga E8. Dalam proosisi -3, pollonius memberikan si4at/si4at persamaan Ellips dan hiperbola, yang barangkali juga sudah diberikan oleh matematician sebelumnya, seperti Euclid dan ?eanechmus. Guga dalam buku * ini pollonius memperkenalkan diameter kedua dari irsan kerucut yang dinamakan ;conjugate diameter<, yaitu diameter yang terbentuk dari himpunan titik/titik tengah busur yang paralel dengan diameter atau hierbola. pollonius biasanya menggunakan pasangan ;conjugate diameter< ini sebagai eki(alen dari sumbu/sumbu koordinat miring. )uku ** dari Conics melanjutkan studi tentang conjugate diameter dan garis singgung. !ebagai contoh misalnya, apabila P sembarang titik suatu parabola dengan pusat , maka garis singgung pada P akan memotong assymtots pada titik $ titik A dan AC yang mempunyai
Garak yang sama dari P. )egitu juga dengan proposisi lain dalam buku ** ini mengatakan bahwa, sembarang tali busur C sejajar dengan P akan memotong assymtot pada titik/titik 8 dan 8H, sedemikian sehingga 8 H8H dan 8, 8H
CP
2
.
Proposisi dari buku ** ini memperlihatkan bagaimana melukis garis singgung kepada suatu kerucut dengan menggunakan cara pembagiian harmonik. 'ntuk kasus ellips misalnya, apabila suatu titik pada kur(a, ppollonius melukis suatu garis tegak lurus I kepada sumbu H, maka akan terdapat hubungan harmonik #H# IIH. =aris # dan merupakan garis singgung dari ellips.
)uku *** dari Conics banyak teorema istimewa yang sangat berguna untuk sintesis dari tempat kedudukan ruang, semua teorema ini adalah teorema baru, dan ketika menemukannya ;saya memperhatikan bahwa Euclid tidak melakukan sintesis tempat kedudukan terhadapa 3 dan 7 garis, hanya porsi secara kebetulan yang tidak begitu sukses, karena itu tidak mungkin bahwa sintesis akan menjadi lengkap tanpa penemuan tambahan saya<. !alah satu teorema dalam buku *** ini adalah1 ;pabila garis singgung pada dua titi dan ) suatu kerucut berpotongan di titik dan juga memotong diameter yang melalui ) dan dititik D dan E, maka segitiga/segitiga )D dan E mempunyai luas yang sama<. Guga dalam buku ini terdapat suatu teorema tentang hasil perkalian dari segmen/segmen tali busur yang berpotongan1 pabila dua tali busurP dan J, sejajar dengan dua arah yang diketahui, berpotongan di titik 5, maka 9P5: 95: 95: 95J: adalah konstan dan tidak tergantung kepadan letak 5. #eorema ini sekarang dikenal juga sebagai teorema Jewton. )uku *6 dari Conics berisi pembuktian dari kebalikan dari proposisi yang ada dalam buku *** mengenai si4at/si4at harmonik dari kutub dan polar. *de dari hiperbola dua cabang ini merupakan hal yang baru bagi pollonius, oleh karena itu dia berminat sekali dalam
menemukan teorema dan sekaligus membuktikannya. !ebagai contoh misalnya, dalam buku ini diperlihatkan bahwa1 -. pabila satu cabang hiperbola memotong kedua cabang hiperbola yang lain, maka cabang hiperbola yang berlawanan dari hiperbola yang pertama tidak memotong salah satupun dari kedua cabang hiperbola kedua pada dua titik. 2. pabila suatu hiperbola satu cabang dari hiperbola kedua dengan kecekungannya dalam arah yang berlawanan, maka cabang yang berlawanan dari hiperbola pertama tidak akan memotong cabang yang berlawanan dari hiperbola kedua. )uku 6 dari Conics berhubungan dengan garis/garis lurus maksimum dan minimum terhadap suatu kerucut. #eorema pollonius tentang maksimum dan minimum sebenarnya adalah teorema tentang garis singgung dan garis normal terhadap irisan kerucut. Dalam buku ini pollonius membuktikan teorema yang berhubungan dengan normal 9garis tegak lurus: kepada parabola, yang dalam terminologi modern teorema ini menyatakan bahwa subnormal dari suatu parabola
y
2
px untuk sembarang titik P pada kur(a adalah konstan dan sama
=2
dengan p. #eorema pollonius ini adalah 1 Kpabila adalah puncak suatu parabola y
2
=2
px , dan = adalah sebuah titik pada sumbu, dimana
AG > p
, dan apabila J dalah
suatu titik antara dan = dimana J= p, dan apabila JP dilukis tegak lurus kepada sumbu dan memotong parabola di P, maka P= adalah garis lurus minimum dari = kepada kur(a, oleh karena itu adalah normal kepada parabola pada p<.
Pembuktian teorema ini oleh pollonius menggunakan cara tak langsung, yaitu dengan memperlihatkan bahwa apabila PC adalah titik lain dari parabola, maka PC= akan selalu bertambah besar bila PC bergerak menjauhi P dalam arah manapun.
)uku 6* berisi teorema/teorema dan problem/problem konstruksi yang berhubungan dengan kerucut yang sama dengan kerucut yang sebangun. Diantara proposisi yang termudah dari buku 6* adalah demonstrasi bahwa semua parabola adalah sebangun, dan bahwa suatu parabola tidak mungkin sebangun dengan ellips atau hiperbola, begitu juga ellips dengan hiperbola. Proposisi lain adalah membuktikan bahwa apabila sembarang kerucut dipotong oleh dua bidang sejajar sehingga membentuk irisan/irisan elliptik atau hiperbolik, maka irisan/irisan itu akan sebangun, tetapi tidak sama. )uku 6** berisi sejumlah teorema yang berhubungan dengan conjugate diameter, dan proposisi/proposisi baru yang berhubungan dengan diameter irisan dan bangun/bangun yang diatasinya. !alah satu proposisi yang ada dalam buku 6** ini adalah1 ;Dalam setiap ellips, dan dalam setiap hiperbola, selisih dari kuadrat sembarang dua conjugate diameter adalah sama dengan jumlah atau selisih masing/masing dari kuadrat sumbu/sumbu<. Guga dalam buku ini dibuktikan bahwa apabila garis singgung pada ujung/ujung pada suatu pasangan sumbu sekawan 9conjugate e"es: suatu ellips atau hiperbola, maka jajaran genjang yang terbentuk oleh empat garis singgung ini akan sama dengan empat persegi panjang sumbu/ sumbu. )uku 6*** kemungkinan berisi lanjutan dari buku 6**, karena dalam buku 6** dikatakan bahwa teorema/teorema dalam buku 6** akan digunakan dalam buku 6*** untuk menyelesaikan problem/problem kerucut tertentu. Dari uraian/uraian diatas terlihat bahwa buku pollonius Conics adalah karya yang luar biasa, baik keluasan maupun kedalamannya. etoda yang digunakan pollonius dalam Conics dalam beberapa hal adalah sama dengan approach moder, dimana karyanya ini kadang/kadang dianggap sebagai geometri analitik, mendahuli karya Descances sekitar -000 tahun kemudian 8arya lain pollonius dalam bidang matematika yang hilang, kemungkinan adalah ;Perbandingan Dodecehedron dan *cosohedron<. Dalam karyanya ini penulis membuktikan suatu teorema bahwa permukaan bidang pentagon dan dodecahedron adalah mempunyai jarak yang sama pada titik pusat bola yang mengellilingi dodecahedron itu dengan jarak permukaan bidang segitiga dari *cosohedron kepada titik pusat pada luar yang sama.
"A#$A% PUS$AA
uchtar =. -BB. !ejarah atematika. Padang 1 *nstitut 8eguruan dan *lmu Pendidikan 9*8*P:. http1dokumen.tipsdocumentsap/polonius.htmlL http1matematikasalatiga.blogspot.co.id20--0@apollonius.html http1learn/math.in4oindonesianhistoryDetail.htmMidpollonius http1hanmatematika.blogspot.co.id20-30-apollonius.html
