SOLUCION DEL ATOMO DE HIDROGENO CON LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
CARLOS EDUARDO JOVEN GARCIA
UNIVERSIDAD DEL CAUCA CUARTO SEMESTRE POPAYÁN 2017
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SOLUCION DEL ATOMO DE HIDROGENO CON LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
WAYNER RIVERA MÁRQUEZ MAGÍSTER EN INGENIERÍA ELÉCTRICA, CINVESTAV-IPN, MÉXICO MASTER OF SCIENCE DE THE UNIVERSITY OF NORTH TEXAS. FÍSICO, UNIVERSIDAD DEL VALLE.
UNIVERSIDAD DEL CAUCA FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES POPAYAN 1 DE DICIIEMBRE DE 2017
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TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN OBJETIVOS PRIMERAS MODELACIONES DEL ATOMO DE HIDROGENO APLICACIÓN DE LA ECUACION DE SCHRÖDINGER PARA LA SOLUCION DEL ATOMO DE HIDROGENO
CONCLUSIONES
BIBLIOGRAFIA
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INTRODUCCIÓN
Uno de los modelos atómicos más estudiados es el modelo de Hidrogeno, se sabe que desde el Niels Bohr, entre otros físicos del siglo XX; se sabe que las primeras modelaciones de este átomo mediante un modelo matemático, fueron un fracaso, como caso aparte, se tiene que el átomo de Hidrogeno es uno de los átomos más fáciles de analizar de forma matemática siendo el único que admite una solución exacta desde el punto de vista de la mecánica cuántica. Con esta forma se puede notar que desde el siglo XIX se intentó modelar el átomo de hidrogeno, con el modelo clásico de la física, pero como se mencionó antes este modelo fue un fracaso ya que, en la mecánica clásica, el átomo de hidrogeno se toma como un tipo de problema de dos cuerpos, en donde el protón sería el primer cuerpo, sabiendo que este tiene el 99% de la masa que confirma el sistema y el protón el 1% de la masa del sistema. En la resolución de este sistema que está conformado por los dos cuerpos, es necesario hacer la descripción de este, para esto se coloca el origen como sistema de referencia en el centro de masa de la partícula con mayor porcentaje de masa, siendo el protón el de mayor masa, como ya se comentó anteriormente. En el modelo cuántico ya se pudo describir el modelo del átomo de hidrogeno, el tipo de modelo con el que se explica de forma cuántica al átomo, ya se expresa de forma satisfactoria y por así decirlo este se modela de forma matemática gracias a la ecuación de Schrödinger, ya que este problema se consideraba como un problema de tres dimensiones que se encuentra dentro de un campo electros tático; en este modelo se puede describir el electrón como una función de onda, que satisface la ecuación tridimensional de Schrödinger.
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OBJETIVOS .
Mostrar de forma matemática y escrita la modelación del átomo de Hidrogeno mediante la ecuación de Schrödinger.
Expresar el modelo clásico y explicar mediante las ecuaciones de la mecánica clásica.
Encontrar la función de onda de la ecuación de Schrödinger.
Expresar las ecuaciones a partir de la ecuación de onda.
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PRIMERAS MODELACIONES DEL ATOMO DE HIDROGENO
En la mecánica clásica, el átomo de hidrogeno, es considerado como un problema de dos cuerpos donde el protón se tomaba como sistema de referencia, como se sabe que este tenía el 99% de la masa del átomo, y el electrón como el segundo ya que este tiene el 1% de la masa del átomo; en la solución del problema era necesario el plantear el sistema de referencia que ya se mencionó y este se colocaba en el centro de masa en el cuerpo de mayor masa, teniendo en cuenta que esta descripción era correcta, cuando se consideraba como masa de la otra partícula, la masa reducida que viene dada por la ecuación que se señala a continuación.
=
me m p me
m
e
mp
0.99 me
masa del electrón
m p
masa del protón
Al parecer, es como si el átomo de hidrogeno parece admitir una solución simple en la que el electrón se moviera de forma elíptica, sin embargo, aparece un problema con la solución clásica estando de acuerdo con las predicciones del electromagnetismo; una partícula que tiene un movimiento acelerado, como pasaría al describir una ecuación de elipse la cual debería emitir una radiación electromagnética y por lo tanto perdería energía cinética, lo que seria que la cantidad radiada seria.
dEr dt
2
2
e a
4
6 o c
3
14
2
e me 3
4
8 3
96 o h c
8
5.1*10 watt
6
Lo que haría que se genere un colapso del átomo con el núcleo en un tiempo muy corto dadas grandes aceleraciones existentes donde el tiempo de colapso seria 10 lo que quiere decir, que los átomos de hidrogeno no serían estables.
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APLICACIÓN DE LA ECUACION DE SCHRÖDINGER PARA LA SOLUCION DEL ATOMO DE HIDROGENO La solución de la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrogeno proporciona unas funciones de onda llamadas orbitales; en 1927 Erwin Schrödinger propuso que cualquier electrón o partícula que posee propiedades ondulatorias donde este puede ser descrito por una función llamada función de onda o estado y contiene toda la información que es posible conocer sobre ese sistema cuántico.
La ecuación de Schrödinger,
H
es una ecuación diferencial cuya solución
E ,
da la función de onda del sistema y su energía, donde la ecuación H representa el operador Hamiltoniano cuya expresión para el sistema vendría dado por. 2
H
2
d
2m dx
2
2
V
=
2
2m N
2 N
2me
2 e
Z e r
Siendo h
2
y V el potencial al que está sometida la partícula
El significado físico de la función de onda lo da su módulo al cuadrado, llamado densidad de probabilidad, |ψ|2, y relacionado con la probabilidad de encontrar la partícula en una determinada zona del espacio. Se trata de una partícula confirmada en el intervalo [0, a], sobre el eje x. dentro de este intervalo al que está sometida la partícula es 0, mientras que fuera del intervalo es infinito.
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Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger para este modelo da la función de onda y energía.
2
n
sin
a
a
2
E n
n x
h n
2
8ma
2
Siendo n=1,2,3 el número que cuantiza la energía; por lo tanto, las funciones y su densidad de probabilidad se muestra en las siguientes figuras.
Por ahora se muestra de forma generalizada sobre el átomo de hidrogeno y finalmente se da las demostraciones para mayor entendimiento.
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la solución de la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno nos proporciona unas funciones de onda, llamadas orbitales, y unos niveles de energía permitidos. Dada la simetría del problema es aconsejable el uso de coordenadas esféricas (r, θ, φ). El conjunto de funciones de onda hidrogenoides tienen la siguiente forma.
nlm(r , , )
Rnl (r )Ylm( , )
La función () se denomina función de onda radial y la función (,) se conoce como función de onda angular y pertenece a la familia de los armónicos esféricos. , son los números cuánticos que surgen al resolver la ecuación de Schrödinger y determinan el tipo de orbital. n: número cuántico principal , toma valores enteros, positivos y distintos de cero. Representa los niveles de energía en el átomo hidrogenoide. n=1,2,3... l: número cuántico del momento angular orbital , toma valores comprendidos entre 0 y n-1. l=0,1,2.... m: número cuántico magnético, está asociado a la componente z del momento angular y toma valores entre − +. = −, − + 1. . . .0. . . . . . − 1, Todos orbitales con el mismo n forman una capa o nivel electrónico y poseen la misma energía (degenerados). Los orbitales con el mismo pero diferente l forman una subcapa o subnivel. Se acostumbra a representar las subcapas con letras, según la notación: = 0 (); = 1 (); = 2 (); = 3 (). Las subcapas s poseen un sólo orbital cuyo valor de = 0 . Las subcapas p poseen tres orbitales, uno por cada valor que toma el número cuántico m (-1,0,1). Las subcapas d poseen 5 orbitales correspondientes a los valores de (−2,−1,0,1,2). Las subcapas f se componen de 7 orbitales. Los niveles de energía en los que se disponen los orbitales del átomo de hidrógeno vienen dados por la ecuación
En
2.178 x10
n
2
18
.J
9
Los orbitales están situados en la misma capa (mismo valor de n) poseen idéntica energía.
ORBITALES HIDROGENOIDEOS Según la interpretación de Born el módulo al cuadrado de la función de onda nos da la densidad de probabilidad, probabilidad de encontrar la partícula en unas determinadas coordenadas. En esta sección vamos a representar las densidades de probabilidad de los orbitales mediante superficies que contienen la mayor parte de la probabilidad de encontrar el electrón. Recordemos que las funciones de onda hidrogenoides se componen del producto de una parte radial R(r) por una parte angular Y (θ, φ), denominada armónico esférico. La parte radial depende de los números cuánticos n y l, mientras que la parte angular la hace de l y m. Para obtener la función de onda del estado fundamental del átomo de hidrógeno 3
multiplicamos esférico Y00=
la
función
radial
R(1s)
2
2(Z / a) * e
Zr
a
por
el
armónico
1 4
3
Zr
z 2 1 ( s) * *e a 1
a
En el caso del átomo de hidrógeno Z=1, y la ecuación para la función de onda nos queda:
10
Elevando al cuadrado la función de onda obtenemos la densidad de probabilidad: 2
(1 s )
1
a
3
e
2r / a
o
o
En la figura (a) se representa la densidad de probabilidad electrónica frente a r. La figura (b) representa la densidad de probabilidad como densidad de puntos. La figura (c) es la típica representación del orbital 1s en la que se delimita la zona del espacio con una probabilidad de encontrar el electrón de 0,9. Para el orbital 2s la función radial viene dada por la ecuación: 2
La parte angular del orbital 2s sigue siendo el armónico 00 = 1/√4. El producto de ambos factores da lugar a la función de onda del orbital 2s.
El cuadrado de esta función nos da la densidad de probabilidad, que podemos representar de diferentes formas, igual que hicimos con el orbital 1s .
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En el caso del orbital 2s nos encontramos con un nodo radial (punto de densidad de probabilidad nula) que se transfiere al orbital en forma de una superficie nodal esférica. El número de nodos radiales o superficies nodales esféricas viene dado por la expresión: n-l-1 En las siguientes imágenes se muestran las densidades de probabilidad radial, obtenidas al representar 4 r R frente a la coordenada radial (r), así como la zona del espacio con una probabilidad de encontrar el electrón muy elevada (98%), conocida como orbital. 2
2
nl
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DEMOSTRACION MATEMATICA DE LAS ECUACIONES
Al expresar la ley de coulomb se ha utilizado el sistema gaussiano y se supone que la constante dieléctrica es igual a 1. Teniendo en cuenta que el en si el átomo de hidrogeno es un problema de fuerzas centrales si llamamos a M = mN + me Como la masa total del átomo y = /( + ) (masa reducida del átomo es posible escribir el Hamiltoniano mediante la relación.
Siendo R = (rN mN + reme)/M la distancia entre centros de masa del átomo y de coordenadas arbitrarias y, r = rN -re la distancia relativa entre el núcleo y el electrón H / 2 M depende solo de la coordenada de masa del átomo mientras que 2
R
R
depende de la distancia relativa entre el núcleo y el electrón donde (r) son las coordenadas internas y (R) son las coordenadas externas. H r
2
/ 2 Ze / r , 2
r
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La otra ecuación que se conoce H E se conoce como la ecuación de Schrödinger electrónica del átomo de hidrógeno. Con frecuencia, a dicha ecuación, se le denomina simplemente, como ecuación de Schrödinger del átomo de hidrógeno, la cual suele escribirse como H E , siendo H / 2 Ze / r en cualquier caso hay que indicar que mN >> me, por lo que μ ≈ me , por lo tanto el Hamiltoniano a estudiar será
r
r
r
r
2
2
2
r
2
El operador se expresa como
Donde
se expresa como es el operador momento angular al cuadrado, que depende de las coordenadas θ y φ y que se define en lo anterior 2
L
Y
DeestaformaeloperadorHpuedeescribirsecomo:
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Siempre que V, dependa solo de r y no de las coordenadas angulares, es posible resolver la ecuación de Schrödinger ( = ) mediante el método de separación de variables, suponiendo que (, , ) = ()(, ), con esto, la ecuación de Schrödinger puede escribirse como:
Si se divide por = ()(, ), se obtiene
Cada término de la anterior igualdad, depende o bien de , o bien de las coordenadas angulares, e independientemente del valor de dichas coordenadas, ambos son iguales, luego ambos términos deben ser constantes. Analizando la primera de estas ecuaciones 2(, ) = (,). Esta ecuación ya se la conoce, las funciones propias del operador L2, son los armónicos esféricos 2 2 A( , ) Ye y los valores propios son ( 1) , es decir L 2Y ( 1) Y , luego la constante que aparece en la cte ( 1) 2 , donde se deduce que la segunda ecuación depende de r y que es m
m
Evidentemente, las soluciones R(r) van a depender del número cuántico ℓ . La solución de esta depende de H. Las funciones que se obtienen se denominan funciones radiales y tienen la forma, ya normalizadas
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Donde
Las funciones L son los polinomios ortogonales de Laguerre. La función R (r) depende de dos números cuánticos, ℓ , siendo = 1,2,.. , , ≥ ℓ + 1. Las funciones de onda, también conocidas como orbitales atómicos, se construyen mediante 2
1
n
n
Como puede apreciarse, existen 3 números cuánticos, uno por cada coordenada, n ha aparecido al introducir la coordenada r. Los valores propios de H, es decir la energía, vienen dados por
La energía depende solo de n, sin embargo, ψ depende de tres números cuánticos,
se dice que los estados son degenerados en ℓ y m. Para un valor dado de n, ℓ puede tomar los valores 0 , 1 , . . , − 1 , y para un valor dado de ℓ , m toma los valores 0, ±1, ±2, . . ± ℓ. La degeneración, dado un valor de n, es por lo tanto . Cuando se tiene en cuenta el spin, que veremos más adelante, la degeneración es 2 n . Cada función de onda viene especificada por un conjunto de tres números cuánticos (,ℓ,). Sin embargo, es frecuente indicar solo dos. Así, los orbitales atómicos se designan por el valor de = 1, 2, . ., y el valor de ℓ , para el cual se utiliza una letra, así, para ℓ = 0, 1, 2, 3, . ., se usan las letras s, p, d,f, .., no indicándose el valor del número cuántico m. Físicamente, el número cuántico n está relacionado con la energía del sistema, el número cuántico ℓ , con el módulo del vector momento angular, y m con la proyección de dicho vector sobre un eje cualquiera. n
2
2
,
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CONCLUSIONES
La ecuación de Schrödinger es de suma importancia En el mundo cuántico es posible describir los modelos atómicos mediante este tipo de ecuación El modelo clásico fracasa, ya que este hace que el átomo colapse
BIBLIOGRAFIA LECCIÓN 6: EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO.
http://www.quimicafisica.com/orbitales-atomo-de-hidrogeno.html
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