Antenas con Reflector Parabólico casegrein y gregoriana

©Constantino Pérez Vega

1

Dpto. de Ingeniería de Comunicaciones Universidad de Cantabria - 2008

ANTENAS CON REFLECTOR PARABÓLICO 1. Introducción El origen de la antena con reflector se remonta a 1888 en el laboratorio de Heinrich Hertz, que demostró experimentalmente la existencia de las ondas electromagnéticas que habían sido predichas por James por James Clerk Maxwell unos quince años antes. En sus experimentos, Hertz utilizó un reflector parabólico cilíndrico de zinc como el ilustrado en la figura 2, excitado por una chispa en la parte central de un dipolo colocado en la línea focal y otro similar como re‐ ceptor. Las dimensiones del reflector de Hertz eran de 1.2 m de abertura por 2 metros de largo1. Cuando se desea la máxima directividad de una antena, la forma del reflector generalmente es parabólica, con la fuente primaria localizada en el foco y dirigida hacia el reflector. Las antenas con reflector parabólico, o simplemente antenas parabólicas antenas parabólicas se utilizan extensamente en sistemas de comunicaciones en las bandas las bandas de UHF a partir de unos 800 MHz y en las de SHF y EHF. Entre sus características principales se encuentran la sencillez de construcción y elevada direccionalidad. La forma más habitual del reflector es la de un paraboloide2 de re‐ volución, excitado por un alimentador situado en el foco como se ilustra en la figura 1.

Reflector parabólico

Alimentador mentador primario

Eje del paraboloide

Fig. 1. Antena con reflector parabólico.

Otro tipo de antena, bastante antena, bastante utilizado en aplicaciones de radar es el cilindro parabólico que tiene la forma mostrada en la figura 2 y fue la primera antena con reflector utilizada por Hertz en sus experimentos. El alimentador, o fuente de energía es una antena lineal o un alineamiento de éstas, colocada en la línea focal y la reflexión en la superficie parabólica transforma el frente de onda de ci‐ líndrico en plano.

Love, A.W. “Some Highlights in Reflector Antenna Development”. Radio Sci. Vol. 11, pp. 671‐684, Aug.‐Sept. 1976. Aquí utilizaremos indistintamente el término paraboloide y parábola , entendiéndose en este último caso que se trata de un para‐ boloide de revolución. 1 2


2


Fig. 2. Cilindro parabólico

En las antenas parabólicas se aplican las propiedades ópticas de las ondas electromagnéticas3. Las propiedades geométricas de la parábola son tales que las ondas emitidas por el alimen‐ tador en el foco se reflejan por la parábola en un haz de rayos paralelos al eje de la parábola, de modo que la longitud del trayecto del foco al reflector parabólico y, después, hasta la su‐ perficie de la abertura que pasa por los bordes de la parábola, es la misma para cualquier ángulo. Por consecuencia en la abertura de la antena se tiene una superficie equifase y, teóri‐ camente, el haz radiado es cilíndrico, si bien en la práctica esto no es completamente cierto, ya que parte de la energía se dispersa en los bordes del reflector. En la figura 3 se ilustra la geometría de la antena parabólica.

Abertura D R

θ

F

Vértice

z 2θmax

f

Fig. 3. Geometría de la parábola.

En coordenadas cartesianas la ecuación de la parábola es: x 2 + y 2 = 4 fz

(1)

Y, en coordenadas esféricas, con el origen de coordenadas coincidente con el foco, F: ρ =

3

2 f 1 + cos θ

Márkov, G. y Sazónov, D. Antenas. Editorial MIR, Moscú, 1978.

(2)

©Constantino Pérez Vega Dpto. de Ingeniería de Comunicaciones Universidad de Cantabria - 2008

3

Donde ρ es la distancia del foco al punto de reflexión sobre la superficie parabólica y f la dis‐ tancia del vértice al foco o distancia focal. Según la distancia focal, las antenas pueden como clasificarse como3: Foco largo. Cuando el foco está fuera del reflector, en cuyo caso f >D/4 y 2θ max<π . Foco corto: El foco está dentro del reflector de modo que fπ . Además de las antenas con reflector parabólico hay otros tipos similares como el reflector esférico, utilizado en radioastronomía y estaciones receptoras terrestres pequeñas, ya que el haz puede barrer el espacio moviendo el alimentador. Un ejemplo de esto es el reflector esfé‐ rico de 305 m de diámetro, usado en el radiotelescopio de Arecibo, Puerto Rico, en que el barrido del haz se realiza moviendo el alimentador4.

2. Consideraciones sobre el diseño de antenas parabólicas El análisis de las antenas parabólicas utilizando la teoría de rayos puede servir para dar una imagen sólo aproximada y, en general, es necesario emplear la teoría de la difracción para obtener resultados precisos. Aquí no entraremos en detalles teóricos y nos limitaremos a los aspectos más importantes desde un punto de vista práctico.

3. Alimentador Para conseguir la máxima eficiencia de una antena parabólica es necesario un riguroso con‐ trol de la amplitud, fase y polarización del campo incidente sobre el reflector, lo que impone condiciones estrictas sobre el excitador primario o alimentador. El alimentador es en realidad una antena direccional orientada con la máxima radiación en dirección al vértice del parabo‐ loide. Este debe ser pequeño y de configuración tal que produzca un frente de onda esférico, es decir que parezca como si la energía fuese radiada por una fuente puntiforme. La ampli‐ tud del haz radiado por el alimentador debe abarcar un ángulo amplio para iluminar ade‐ cuadamente toda el área del reflector y el campo debe ser de naturaleza tal que, después de la reflexión las ondas deben tener la polarización adecuada. La fase del campo radiado por una antena depende de la longitud eléctrica entre la antena y el punto de observación. Esto en sí mismo no es muy significativo, pero si se mide la fase de todos los puntos en el campo a una distancia de varias longitudes de onda de la fuente y se conectan los puntos de igual fase, se obtiene una curva que representa el frente de onda, del que se pueden extraer algunas conclusiones. La dirección de propagación de la energía transportada por la onda es perpendicular a las superficies de fase constante. Conocida esta superficie equifase, se puede inferir la dirección de destino de la onda y la dirección de la fuente. Con base en la teoría de rayos se puede ver que si la onda no es esférica el frente de onda no será plano después de ser reflejado por un paraboloide ideal y la fuente vista hacia atrás no será un punto sino una línea o una superficie peculiar. Esta fuente aparente no tiene 4

Balanis, C.A. Antenna Theory, Analysis and Design 2nd Ed. John Wiley & Sons, Inc. 1982.


4


necesariamente relación con el tamaño y forma física del radiador, si bien da una base para comparar diferentes tipos de alimentadores y, eventualmente, puede sugerir algún método para su corrección. Si el frente de fase de un alimentador no es esférico, la fase en la abertura de la antena puede corregirse cambiando la forma del reflector5. Si el frente de fase no es esférico o no se corrige, se alterará el patrón de radiación y la ganan‐ cia se verá reducida. Generalmente el ensanchamiento del lóbulo principal en bajos niveles y el llenado de nulos entre lóbulos secundarios, es indicativo de desviaciones de fase. Tanto el dipolo con o sin reflector o una guía de onda abierta proporcionan buenas distribuciones de fase independientemente de sus dimensiones relativamente grandes y en general, no es co‐ rrecto atribuir las limitaciones en la directividad de una antena parabólica a las desviaciones de fase a causa de las dimensiones físicas del alimentador. La principal limitación a la delga‐ dez del haz radiado es la difracción en los bordes de la abertura del paraboloide. En la prác‐ tica es frecuente utilizar como alimentadores antenas de corneta, rectangular o circular, orientadas a la superficie reflectora. Para un alimentador dado hay un valor óptimo de la distancia focal ( f/D6)opt , para el cual se alcanza la eficiencia máxima. Cuando f/D < ( f/D)opt la eficiencia tiende al máximo, sin embar‐ go, el diagrama direccional del alimentador resulta pequeño en comparación con el ángulo de la abertura 2θ max con lo que la eficiencia se reduce debido a que la distribución de ampli‐ tud se vuelve irregular. Si f/D>( f/D)opt la distribución de amplitud es uniforme y la eficiencia aumenta, si bien sólo una parte de la potencia radiada por alimentador es reflejada hacia adelante por el paraboloide y la restante se pierde en otras direcciones. Para un alimentador en forma de dipolo de media longitud de onda y con un reflector para el que ( f/D)opt = 0.38, el nivel de la amplitud en el borde de la abertura, es decir, en el borde del paraboloide en el caso óptimo es de aproximadamente 0.33 (‐10 dB)7 y el factor de utiliza‐ ción de la superficie reflectora es de alrededor de 83%. Se puede considerar este como el ni‐ vel adecuado de excitación de los bordes del reflector. y, en este caso, el ancho del haz puede estimarse mediante la siguiente fórmula:

∆θ =

λ × (65a 70) o D

(3)

El nivel del primer lóbulo secundario es de ‐22 a ‐24 dB respesto al lóbulo principal. Las consideraciones anteriores son válidas para el cálculo de antenas parabólicas de peque‐ ñas dimensiones y bajo costo. El costo de producción de antenas de grandes dimensiones aumenta considerablemente al aumentar el diámetro, por lo general, proporcionalmente al cuadrado del diámetro. Para obtener la ganancia óptima el alimentador debe estar situado precisamente en el foco. Si se mueve a lo largo del eje focal la ganancia oscila alrededor de un valor promedio, ya que el Cutler, C.C. “Parabolic‐ Antenna Design for Microwaves”. Proc. IRE, vol 35, pp. 1284‐1294, Nov. 1947. La relación f/D se designa por lo general como relación focal. 7 Márkov, G. y Sazónov, D. Antenas. Editorial MIR, Moscú, 1978. 5 6


5

campo radiado directamente por el alimentador se suma en fase a las diversas componentes del campo reflejado por el paraboloide. Si el alimentador se desplaza lateralmente sobre un eje perpendicular al punto focal, el haz principal se ve deflectado respecto al eje focal, de modo que en estas condiciones es posible radiar en direcciones distintas de la del eje focal. Un defecto de las antenas parabólicas con el alimentador en el foco lo constituye el hecho de que el alimentador obstruye los rayos reflejados produciendo una región de baja intensidad o sombra en el centro de la apertura. El efecto en el patrón de radiación puede estimarse aproximadamente tomando la diferencia de la radiación de la abertura y del área de sombra localizada en la dirección del alimentador. El efecto neto es una alteración del patrón de ra‐ diación en que se rellenan los nulos entre lóbulos como se ilustra en la figura 4 en coordena‐ das rectangulares.

Fig. 4. Efecto de la sombra en el patrón de radiación.

Otro efecto que se produce cuando el alimentador está en la trayectoria de la onda reflejada es que algo de la energía de ésta regresa al sistema alimentador y produce un desacopla‐ miento de impedancia. El valor absoluto de la impedancia es prácticamente constante en función de la frecuencia o de la posición del alimentador, pero su fase puede variar rápida‐ mente debido al viaje de ida y vuelta del alimentador al reflector y de regreso a éste. Un método para evitar este problema de impedancia, así como la sombra producida por el alimentador es desplazar éste como se ilustra en la figura 5. En este tipo de antena para to‐ dos los fines prácticos, el alimentador queda fuera de la onda reflejada. La designación habi‐ tual de esta antena es offset , que se trata con un poco más de amplitud en la sección 7.


6


Fig. 5. Antena parabólica con foco desplazado (offset)

4. Ganancia y Eficiencia La ganancia teórica de una antena parabólica de abertura circular excitada uniformemente está dada por:

⎛ 4π D ⎞ G=⎜ ⎟ ⎝ λ ⎠

2

(4)

La expresión anterior supone una eficiencia de 100%, lo que no se da en la práctica. Para hacer un uso efectivo del área del reflector parabólico la energía debe estar distribuida uni‐ formemente sobre la superficie. Sin embargo, hay diversos factores inevitables que reducen la eficiencia entre ellos, los principales son:

•

Tipo de distribución de amplitud en la abertura y el factor de utilización de la superficie.

•

Eficiencia del alimentador.

•

Sombras provocadas por el alimentador y los elementos estructurales de so‐ porte de éste.

•

Derivación de corriente eléctricas a la parte posterior del reflector, que da lugar a crecimiento de lóbulos laterales y reducción de la ganancia en la di‐ rección principal.

•

Aparición de polarización cruzada.

•

Diferencia de fase en la distribución de las corrientes superficiales equiva‐ lentes sobre la abertura.

•

Desborde de la energía por radiada por efectos de difracción en el borde del reflector.

Como se puede apreciar, los factores que intervienen en la eficiencia son variados y su cuan‐ tificación precisa es, por lo general, difícil. Una definición de la eficiencia de un radiador es


7


mediante la relación entre su ganancia y la de una abertura de la misma área, iluminada uni‐ formemente8:

⎡ θ ⎛ θ ⎞ ⎤ U (θ )tan ⎜ ⎟ d θ ⎥ ∫ ⎢ ⎛ θ ⎞ 0 ⎝2⎠ ⎦ η = 2cot 2 ⎜ max ⎟ ⎣ π 2 ⎝ 2 ⎠ [U (θ ) ] sen θ d θ

2

max

∫

(5)

0

Donde U (θ ) es la amplitud relativa del campo radiado por el alimentador y U (θ ) = 1 cuando θ = 0. Si la característica de radiación del alimentador U (θ ) es conocida, las integrales pueden eva‐ luarse por métodos gráficos o mediante análisis de Fourier. La ganancia de la antena parabó‐ lica suele expresarse incluyendo la eficiencia en (4) como:

⎛ 4π D ⎞ G = η ⎜ ⎟ ⎝ λ ⎠

2

(6)

En la práctica, el valor de la eficiencia utilizado con frecuencia en cálculos en que no se cono‐ ce el valor de la eficiencia es de η = 0.55 (55%). En la figura 6 se ilustra la variación de la efi‐ ciencia en función de las dimensiones del paraboloide.

Fig. 6. Eficiencia de una antena parabólica en función de sus dimensiones.

En la eficiencia de cualquier antena y, en particular de las antenas parabólicas intervienen diversos factores como los mencionados en párrafos anteriores y otros como las pérdidas óhmicas, la dispersión en los bordes, la obstrucción y dispersión por los diversos elementos estructurales que soportan el alimentador o el subrreflector en el caso de antenas Cassegrain que se tratarán más adelante, rugosidad de la superficie reflectora, etc9. 8

9

Cutler, C.C. “Parabolic‐ Antenna Design for Microwaves”. Proc. IRE, vol 35, pp. 1284‐1294, Nov. 1947 Para un tratamiento más completo de la eficiencia véase por ejemplo Kraus, J.D. Antennas, 2nd Ed. McGraw‐Hill, Inc. Sección

12‐9 y Balanis, C.A. Antenna Theory: Analysis and Design, 2nd Ed. John Wiley

& Sons, Inc. 1997.


8

5. Polarización La característica de radiación del alimentador debe ser tal que todas las ondas estén polari‐ zadas en la misma dirección después de ser reflejadas por el paraboloide. Todas las compo‐ nentes del campo que se radien con polarización perpendicular a la deseada se pierden y contribuyen a la radiación por lóbulos secundarios. Por lo general, esta radiación se concen‐ tra en cuatro lóbulos menores localizados en cuadrantes entre el plano de polarización y un plano perpendicular que intersecta el eje del paraboloide, como se ilustra en la figura 7. Si se utiliza un alimentador con una característica de polarización pobre, el patrón de radia‐ ción resultante tendrá regiones en que la polarización es perpendicular a la del alimentador y se tendrán lóbulos secundarios de menor amplitud en direcciones distintas a la de máxima radiación.

Fig. 7. Lóbulos secundarios debidos a polarización cruzada

Tipos de Alimentadores Un alimentador ideal debe radiar una onda esférica que, al ser reflejada por el paraboloide se convierte en una onda plana. Inversamente, en la antena receptora, la onda plana reflejada por el reflector parabólico, se vuelve esférica hacia el alimentador. Por esta razón un alimen‐ tador ideal debe ser puntiforme, es decir, debe radiar frentes de onda esféricos, si se desea un patrón de radiación determinado. Otra característica del alimentador es que debe proporcio‐ nar la iluminación adecuada del reflector primario con una distribución de amplitud prede‐ terminada sobre éste, así como mínimo desbordamiento por los bordes de la parábola con mínima polarización cruzada. En el caso de transmisores de alta potencia como ocurre en numerosos sistemas d comunicaciones espaciales o en sistemas de radar, el alimentador debe ser capaz de manejar la potencia de pico y la potencia promedio sin sufrir deterioro en cual‐ quier tipo de entorno de funcionamiento. Otras consideraciones incluyen el ancho de banda de funcionamiento y si la antena es de un solo haz, multihaz o monopulso10.

10

Skolnik, M.I. Radar Handbook , 2nd Ed. McGraw‐Hill Publishing Company. 1990


9


Los alimentadores más utilizados a frecuencias de microondas son típicamente en forma de guía de onda ensanchada, tales como cornetas rectangulares con propagación en el modo dominante TE10 , ya que cumplen con lo requerimientos para manejar potencias elevadas. En algunos casos se utilizan guías

6. Patrón de radiación de aberturas circulares grandes con iluminación uniforme La radiación de un paraboloide grande cuya abertura está uniformemente iluminada es equivalente a la de una abertura circular del mismo diámetro D localizada en una placa per‐ fectamente conductora de dimensiones infinitas sobre la que incide una onda plana uniforme como se ilustra en la figura 8. Onda plana uniforme Abertura iluminada uniformemente

D

φ

φ

D

Abertura iluminada uniformemente

Placa conductora infinita

Fig. 8. Paraboloide iluminado uniformemente y su equivalente.

En el caso anterior, el patrón normalizado de intensidad de campo puede calcularse el prin‐ cipio de Huyghens de manera similar a una abertura rectangular y está dado por11:

E (φ ) =

2λ

⎡ ⎛ π D ⎞⎤ sen φ ⎟ ⎥ ⎠⎦ ⎣ ⎝ λ

J 1 ⎢ ⎜

π D

sen φ

(7)

Donde D = diámetro de la abertura en m. λ = longitud de onda en el espacio libre en m. φ = ángulo respecto al eje normal a la abertura, medido a partir del centro de ésta. J 1 = Función Bessel de primer orden. El ángulo φ 0 al que ocurren los primeros nulos del patrón de radiación ocurre cuando J 1(x) = 0, lo que ocurre cuando x = 3.83 y está dado por la siguiente relación: π D λ 11

sen φ 0 = 3.83

Kraus, J.D. Antennas , 2nd Ed. pag. 569. McGraw‐Hill, Inc. 1988. Slater, S. Microwave Antenna Theory and Design. Dover Publications, Inc. N.Y. 1965. pag. 194.

(8)


10


El ancho del haz entre los primeros nulos es el doble del ángulo anterior, es decir 2φ 0. Cuan‐ do el ángulo entre nulos es muy pequeño como es el caso de aberturas grandes, pueden apli‐ carse las siguientes relaciones: φ 0



70 Dλ

grados

(9)

En que Dλ = D/λ es el diámetro de la abertura expresado en longitudes de onda. En este caso el ancho del haz entre los primeros nulos es el doble de (9). Por comparación, el ángulo entre los primeros nulos de una abertura rectangular grande, iluminada uniformemente está dado por: φ 0 =

115 Dλ

grados

(10)

El ancho del haz en los puntos de media potencia (‐3dB) es: φ −3dB =

58 λ

grados

(11)

Finalmente, la directividad está dada por (4). Por otra parte, la directividad de una abertura cuadrada, de lado L , es ligeramente mayor que la de la abertura circular y está dada por: 2

⎛ L ⎞ D = 4π ⎜ ⎟ = 12.6 L2λ ⎝ λ ⎠

(12)

No debe confundirse D , directividad en la expresión (12) con D , el diámetro de la abertura circular en las expresiones anteriores.

Fig. 9. Patrones de radiación para aberturas circular y cuadrada.


11


En la figura 9 se ilustran los diagramas de radiación normalizados, en coordenadas rectangu‐ lares, para las aberturas circular (línea continua) y cuadrada (línea discontinua). En los dos casos se asume que el campo eléctrico es uniforme tanto en magnitud como en fase en toda la superficie de la abertura. De los diagramas puede observarse que si bien el ancho del haz para la abertura circular es mayor que para la abertura cuadrada, el nivel de los lóbulos se‐ cundarios es mayor para ésta.

7. Antenas con foco desplazado (offset ) En la sección 3 se mencionaron las antenas con foco desplazado o como suelen designarse con el término en inglés offset como antenas en las que la estructura de soporte del alimenta‐ dor no presenta obstrucción significativa al haz reflejado por el paraboloide como se ilustra en la figura 8. Aunque hay cierta ambigüedad en el uso del término offset en la ingeniería de antenas, aquí entenderemos que una antena offset es aquella que no es simétrica respecto al eje de revolución, ya que se descarta la porción de la superficie reflectora situada a un lado del eje. Como el alimentador debe estar localizado sobre el eje o muy cerca de él, en la antena offset se desplaza al alimentador de la región de máxima abertura, reduciendo o eliminando el bloqueo. Desde luego, el eje del alimentador debe desplazarse verticalmente de modo que el haz transmitido por él incida sobre la superficie de la porción reflectora del paraboloide, ya que otro modo se produce un desborde excesivo en los bordes del reflector12.

Abertura del reflector

θ c θ c f

θ 0

Reflector parabólico

Eje del alimentador Eje del reflector

Fig. 10. Geometría de una antena offset.

El desplazamiento del alimentador a lo largo del eje del reflector parabólico da lugar a que el haz haga un barrido vertical en el plano, similar al que se tendría si se hiciera girar vertical‐ mente a la antena. El desplazamiento lateral sobre el plano focal produce resultados simila‐ res13 , aunque no iguales, en el plano horizontal. Cuando el alimentador se desplaza en una dirección transversal al eje del paraboloide, el haz se desplaza en la dirección opuesta, apuntando en un ángulo respecto al eje. Debido a aque se producen términos de orden mayor y fase lineal en la abertura, el ángulo al que se desvía 12 13

Love, A.W. Editor. Reflector Antennas. IEEE Press (John Wiley & Sons). 1978. Ingerson, P.G. and Wong, W.C. “Focal Region Characteristics of Offset Fed Reflectors”. 1974 Int. IEEE/AP‐S Symp. Program & Digest. June 10‐12, 1974. pp. 121‐123.


12


el haz es menor que el ángulo (medido respecto al vértice del paraboloide), al que se despla‐ za el alimentador. La relación entre el ángulo del haz y el del alimentador se designa como factor de desviación del haz (BDF14) y se puede calcular como15 2 ⎡ ⎛ D ⎞ ⎤ ⎢ 1 + k ⎜ ⎥ 4 f ⎟⎠ ⎥ −1 ⎢ d ⎝ sen 2 ⎢ f ⎛ D ⎞ ⎥ ⎢ 1+ ⎜ ⎥ 4 f ⎟⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ BDF = ⎛ d ⎞ tan −1 ⎜ ⎟ ⎝ f ⎠

(13)

Donde d = distancia entre la posición del alimentador en el eje horizontal perpendicular al del paraboloide. D = Diámetro del paraboloide. f = Distancia focal. k = Constante menor que 1, cuyos valores se muestran en la figura 11.

Fig. 11. Factor de desviación del haz en función de k y de f/D.

Aunque k es función de f y D, su valor no es crítico, espacialmente para valores grandes de f/D , como puede inferirse de (13). El ángulo de deflexión del haz puede calcularse aproxima‐ damente mediante la expresión14:

Θb



sen

−1

2 4 2⎛ D ⎞ ⎛ D ⎞ ⎤ d⎡ ⎢1 − ⎜ ⎟ + k ' ⎜ 4 f ⎟ ⎥ 3⎝4 f ⎠ f ⎢ ⎝ ⎠ ⎥

⎣

(14)

⎦

Donde k’ = ½, 13/18, 15/18 para n = 0, 2, 3... y n es el número de escalonamientos (tapers) utili‐ zados para conformar el haz del alimentador. 14 15

Beam Devbiation Factor. Lo, Y.T. “On the Beam Deviation Factor of a Parabolic Reflector”. IRE Trans. Ant. and Prop. Vol. AP‐48, pp. 347‐349, May 1960.


13


8. Antenas con doble reflector. Antenas Cassegrain. Antenas con doble reflector Las antenas con doble reflector están constituidas por dos reflectores, uno principal parabóli‐ co y otro secundario, en la forma que se ilustra esquemáticamente en la figura 12. Reflector principal

Alimentador Subreflector

Transmisor o Receptor

Fig. 12. Geometría básica de una antena de doble reflector.

El subreflector suele ser hiperbólico en cuyo caso la antena se designa como Cassegrain16 o bien elíptico y la antena se designa como gregoriana17. En la primera, el hiperboloide suele presentar la parte convexa hacia el reflector principal como en el caso de la figura 1 y, en la gregoriana, el elipsoide reflector suele presentar la parte cóncava. En algunos casos se em‐ plean también subreflectores planos o esféricos. Estas antenas se utilizan extensamente en comunicaciones espaciales y radioastronomía, además de comunicaciones terrestres. Este tipo de antenas ofrece algunas ventajas sobre las antenas de un solo reflector y, aunque pue‐ den tener diseños diferentes, comparten un conjunto de aspectos básicos comunes18. Una de las ventajas es que el alimentador de la antena no requiere de una línea de transmisión larga y se conecta casi directamente a la salida del transmisor o a la entrada del receptor reducien‐ do considerablemente las pérdidas. Si bien el bloqueo por la estructura de soporte no puede eliminarse en el caso de la geometría de la figura 1, la eficiencia de las antenas de doble re‐ flector en general es superior a la de las de reflector simple llegando aproximadamente al 70% o más19. Su ganancia se calcula de la misma manera que la una antena parabólica simple, utilizando la fórmula (4).

Basada en el telescopio del mismo nombre, inventado por el sacerdote y astrónomo francés Laurent Cassegrain en 1672. Basada en el telescopio inventado por James Gregory en 1663 18 Hannan, P.W. “Antennas Derived From the Cassegrain Telescope”. IRE Trans. Ant. Prop. Vol. AP‐49, pp. 140‐153. March 1961. 19 Haeger, T.A. and Lee, J. J. “Comparison Between a Shaped and Nonshaped Small Cassegrain Antenna. IEEE Trans. on Anten‐ nas and Propagation , Vol. 38, Nº 12, pp. 1920 ‐1924. 16 17


14

Antenas Cassegrain Un telescopio Cassegrain consiste de dos espejos y un instrumento óptico de observación. El espejo primario es grande y cóncavo y refleja la luz incidente hacia un espejo secundario convexo y más pequeño, frente al espejo primario. Este espejo secundario refleja a su vez la luz hacia el centro del espejo primario en el que sitúa el observador o, en al caso de una an‐ tena, el receptor, como se ilustra esquemáticamente en la figura 11. El análisis del funciona‐ miento de la antena Cassegrain puede hacerse con la misma aproximación semióptica utili‐ zada para antenas de un solo reflector. Por lo general, el alimentador es suficientemente pe‐ queño como para que la onda radiada por éste pueda ser descrita en términos del campo lejano antes de alcanzar al subreflector y la onda incidente sobre éste aparece como si viajara a lo largo de rayos originados en un punto centrado en el alimentador. El subreflector debe ser lo suficientemente grande como para interceptar la porción útil de la radiación del alimentador y refleja esta onda sobre el reflector primario de acuerdo a las le‐ yes de la óptica. Al alcanzar el reflector principal la onda es reflejada de nuevo y, a causa de la geometría de los elementos de la antena, los rayos emergen paralelamente al eje del reflector principal y el frente de onda es plano, como en el caso de las antenas con reflector simple. La amplitud de la onda emergente a través de la abertura tiene una disminución20 gradual del centro hacia los bordes, al igual que en las antenas de reflector simple, que está determinado por la carac‐ terística de radiación del alimentador21 y se modifica por el efecto de disminución de la geo‐ metría del ssubreflector y del reflector principal. En la geometría clásica de la antena Cassegrain se emplea un paraboloide como reflector primario o principal y un hiperboloide para el reflector secundario en que uno de los dos focos de la hipérbola es el punto focal real del sistema y está localizado en el centro del ali‐ mentador. El otro es un foco virtual que se localiza en el foco de la parábola. Como resultado, todas las partes de la onda originada en el foco real y luego que luego son reflejadas por am‐ bas superficies, viajan distancias iguales hasta el plano de la abertura frente a la antena.

20 21

El término en inglés es taper cuyo significado es disminuir gradualmente o ahusar. No debe confundirse el alimentador con el subreflector. Un alimentador común es una antena de corneta que, en este caso, ilumina al subreflector.


15


Parábola

ym Foco real

Foco virtual ys

φ v

φ r

Dm

Ds

xs

xm

Hipérbola

Lv Fc Fm

Fig. 13. Geometría de la antena Cassegrain.

Para describir completamente una antena Cassegrain son necesarios cuatro parámetros, dos por cada reflector. En la figura 13 se tienen siete parámetros, de modo que tres de ellos de‐ penden de los otros cuatro y se tienen tres ecuaciones que los describen22. En el caso del re‐ flector principal la relación es: 1 Dm ⎛1 ⎞ tan ⎜ φ v ⎟ = ± (15) 4 F m ⎝2 ⎠ En la expresión anterior, el signo positivo se aplica a la antena Cassegrain y el negativo a antenas gregorianas. En el caso del subreflector las relaciones son: 1 tan φv

+

1 tan φ r

=

2 F c Ds

⎡ 1 φ − φ ⎤ ⎢⎣ 2 ( v r ) ⎥⎦ 2 Lv 1− = 1 F c ⎡ ⎤ sen (φv + φ r ) ⎢⎣ 2 ⎥⎦

(16)

sen

(17)

Los parámetros Dm , Fm , Fc y φ r se determinan por consideraciones de rendimiento y limitacio‐ nes de espacio, con lo que se pueden calcular φ v , Ds y Lv. El valor de φ r , que determina el an‐ cho del haz requerido para la radiación del alimentador puede especificarse independiente‐ mente de la relación Fm/Dm , que determina la forma del reflector principal. El contorno del reflector principal está dado por: xm =

ym2

4 F m

(18)

y, el contorno del subreflector:

22

Hannan, P.W. “Antennas Derived From the Cassegrain Telescope”. IRE Trans. Ant. Prop. Vol. AP‐49, pp. 140‐153. March 1961.


16


2 ⎡ ⎤ ys ⎞ ⎛ xs = a ⎢ 1 + ⎜ ⎟ − 1⎥ ⎝b⎠ ⎢⎣ ⎥⎦

(19)

Donde a , el semieje transversal de la hipérbola y b , el semieje conjugado, están dados por: a=

F c

b = a e2 − 1

2e

(20)

en donde e es la excentricidad, expresada como:

⎡ 1 φ + φ ⎤ r ) ⎥ ⎢⎣ 2 ( v ⎦ e= ⎡1 ⎤ sen (φv − φ r ) ⎢⎣ 2 ⎥⎦ sen

(21)

La combinación del reflector y el subreflector puede tratarse como una parábola equivalente, como se ilustra en la figura 14, con lo que el diseño de la antena se convierte en el de una antena parabólica simple23. Para una antena de reflector simple, la iluminación está determinada por el patrón de radia‐ ción del alimentador, modificado por una función de atenuación espacial que es una función simple de la relación f/D24. Para una antena Cassegrain el mismo proceso es exactamente aplicable, en que ahora en la relación f/D , f es la longitud focal equivalente y D sigue siendo el diámetro del reflector principal. Dicho de otra forma, la iluminación es exactamente la misma que la que se tendría de un reflector simple, de longitud focal equivalente e ilumina‐ do con el mismo alimentador. Cuando la longitud focal equivalente es mayor que el diáme‐ tro de la parábola, la atenuación espacial modifica ligeramente la característica de radiación del alimentador. En condiciones prácticas, tal antena puede tener una eficiencia elevada aún cuando su longitud focal sea corta. Parábola principal

Parábola equivalente

ye

φ

Dm

r

φ

v

xe

Lr

Lv

Fm Fe Fig. 14. Concepto de parábola equivalente

Rusch, W.V.T., Prata, Jr. A., Rahmat ‐Samii, Y and Shore, R.A. “Derivation and Application of the Equivalent Parabolioid for Classical Cassegrain and Gregorian antennas. IEEE Trans. on Antennas and Propagation. Vol 38, Nº 8, pp. 1141‐1149, Aug. 1990. 24 Cutler, C.C. “Parabolic‐Antenna Design for Microwaves”. Proc. IRE , Vol 35, pp. 1284 ‐1294, Nov. 1947. 23


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El concepto de la parábola equivalente se basa en la óptica geométrica, es decir, análisis de rayos y no en un análisis exacto de la acción ondulatoria. Esta aproximación es suficiente‐ mente buena para buena parte de los casos. Cuando es necesario el análisis preciso es necesa‐ rio considerar el patrón de difracción de Fresnel formado en el reflector principal después de la reflexión de las ondas radiadas por el alimentador por el subreflector. Las siguientes ecuaciones proporcionan la relación entre la antena real y la parábola equiva‐ lente. Los parámetros se ilustran en la figura 14 y algunos de ellos previamente en la figura 13.

⎛ φ ⎞ = tan ⎜ r ⎟ 4 F e ⎝2⎠ 1 Dm

xe =

(22)

2

ye

4 F e

⎛ φ v ⎞ ⎟ Fe 2 ⎠ Lr e + 1 ⎝ ± = = = φ r ⎞ Lv e − 1 Fm ⎛ tan ⎜ ⎟ ⎝2⎠

(23)

tan ⎜

(24)

En (24) el signo positivo se aplica a las antenas Cassegrain y el negativo a las gregorianas. La ecuación (7) es la de la parábola equivalente en términos de la longitud focal equivalente Fe. Es evidente de (24) que con el sistema Cassegrain clásico, la longitud focal equivalente es mayor que la longitud focal del lóbulo principal. El concepto de la parábola equivalente se aplica también a las formas gregorianas. Si el subreflector de la antena Cassegrain es cóncavo en lugar de convexo, la longitud focal equivalente resulta menor que la del reflector principal real. Por analogía con el telescopio óptico, la relación Fe/Fm se designa a veces como factor de magnificación y no debe confundirse con la magnificación en un telescopio óptico en que el término se aplica a los tamaños relativos de la imagen y del objeto.

Bloqueo por el subreflector La limitación principal en la aplicación de la antena Cassegrain es el bloqueo de abertura principal producido por el subreflector. Este problema no ha sido serio en los telescopios ópticos en los que las características del patrón de difracción no son severas y por la corta longitud de onda de la luz. En el caso de microondas estas condiciones no se dan y la presen‐ cia del subreflector opaco a la energía electromagnética produce un hueco en la iluminación que da como resultado reducción de la ganancia y aumento de los niveles de los lóbulos late‐ rales. Para analizar este efecto de forma empírica, la iluminación resultante puede dividirse en dos componentes: la iluminación original y el hueco o centro negativo no iluminado. El patrón resultante se obtiene sumando las dos componentes, con el resultado que se ilustra en la figura 15.


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Fig. 15. Efecto del bloqueo de la abertura sobre el patrón de radiación.

En las antenas de doble reflector con simetría central el bloqueo, en mayor o menor escala, es inevitable. Para evitar el problema del bloqueo, se emplean antenas Cassegrain y gregoria‐ nas con foco desplazado (offset)25 , cuyo funcionamiento es similar al de las antenas offset de reflector simple. En la figura 16 se muestra la geometría básica de una antenna offset grego‐ riana.

Fig. 16. Antena gregoriana offset.

En las antenas con alimentador primario o subreflector en el foco de la parábola la eficiencia se sitúa aproximadamente entre 50% y 65%, en tanto que en las antenas con alimentador o subreflector desplazado (offset), la eficiencia suele superar el 70%. El uso de antenas con do‐ ble reflector ha ido en aumento en las últimas décadas y se utilizan bastante en comunicacio‐ nes espaciales y radioastronomía. La mayor antena de este tipo es la de Arecibo, en Puerto Rico, cuyo subreflector original fue reemplazado en 1997 por uno de tipo gregoriano. El re‐ flector principal tiene 300 metros de diámetro y es de tipo esférico. La antena es fija y el apuntamiento se consigue moviendo el subreflector en un plano normal al plano focal (fig. 17). Granet, C. “Designing Classical Offset Cassegrain or Gregorian Dual‐Reflector Antennas from Combinations of Prescribed Geometric Parameters”. IEEE Antennas And Propagation Magazine. Vol. 44 Nº 3, June 2002. 25


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(a)

(b)

Fig. 17. Antena de Arecibo (a) y detalle del subreflector (b).

Bibliografía Adicional 1. Wolff, E. A. Antenna Analysis. Cap. 7. John Wiley & Sons, Inc. N. York, 1967. 2. G. H. Brown, “Directional Antennas”. Proc. IRE, Vol. 25, pag. 122. Enero 1937. 3. Jonson, R.C. and Jasik, H. Antenna Applications Reference Guide. McGraw‐Hill, Inc. 1987. 4. Kraus, J.D., Antennas , 2nd Ed. McGraw‐Hill, 1988 5. Balanis, C.A. Antenna Theory: Analysis and Design. 2nd Ed. John Wiley & Sons, Inc. 1997. 6. G. T. Márkov y D. M. Sazónov. Antenas. Editorial Mir, Moscú, 1978. 7. E.C. Jordan y K.G. Balmain, Electromagnetic Waves and Radiating Systems , 2nd Ed. Prentice Hall, Inc. 1968. 8. Rusch, W., A. Prata, Y. Rahmat‐Samii and R. Shore, “Derivation and Application of the Equivalent Paraboloid for Classical Offset Cassagrain and Gregorian Antennas”, IEEE Trans. Ant & Prop vol. 38, pp. 1141‐1149, August 1990. 9. Wade, Paul. “Multiple Reflector Dish Antennas. W1GHZ ©2004 [email protected] 10. P. W. Hannon, “Microwave Antennas Derived from the Cassegrain Telescope,” IRE‐ Transactions on Antennas and Propagation , March 1961, pp. 140‐153.

11. Granet, C. “Designing Axially Symmetric Cassegrain or Gregorian Dual‐Reflector Antennas from Combinations of Prescribed Geometric Parameters,” IEEE Antennas and Propagation Magazine , April 1998, pp. 76‐82.


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12. Granet, C. “Designing Axially Symmetric Cassegrain or Gregorian Dual‐Reflector Antennas from Combinations of Prescribed Geometric Parameters, Part 2: Minimum Blockage Condition While Taking into Account the Phase Center of the Feed,” IEEE Antennas and Propagation Magazine , June 1998, pp. 82‐85. 13. Christophe Granet, “Designing Classical Offset Cassegrain or Gregorian Dual‐ Reflector Antennas from Combinations of Prescribed Geometric Parameters,” IEEE Antennas and Propagation Magazine , June 2002, pp. 114‐123. 14. Galindo, V. “Design of Dual‐Reflector Antennas with Arbitrary Phase and Amplitude Distributions”. IEEE Transactions on Antennas and Propagation. Vol. 12, No. 4, July 1964. pp. 403‐408. 15. Frante, Ronald L. et al. ʺA Parabolic Antenna with Very Low Sidelobesʺ. IEEE Trans‐ actions on Antennas and Propagationʺ. Vol. 28, N0. 1. Jan. 1980. pp. 53‐59.

Antenas con Reflector Parabólico casegrein y gregoriana

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