Dalam bagian ini kita akan mendapatkan beberapa hasil yang memungkinkan kita untuk mengevaluasi batas tertentu urutan bilangan real. Hasil ini akan memperluas koleksi kami urutan konvergen agak luas. Webegin dengan membentuk satu harta penting dari urutan konvergen yang akan diperlukan dalam bagian ini dan kemudian. 3.2.1 Definisi Urutan X = (xn) dari bilangan real dikatakan dibatasi jika ada ada bilangan real M> 0 sedemikian rupa sehingga IXnI ::: M untuk semua N. ne Dengan demikian, urutan (xn) dibatasi jika dan hanya jika himpunan {xn: ne N} dari nilai-nilainya adalah dibatasi subset dari JR. 3.2.2 Teorema Sebuah barisan konvergen dari bilangan real dibatasi. Bukti. Misalkan lim (xn) = x dan membiarkan e: = 1. Maka terdapat sejumlah alami K = K (1) sedemikian rupa sehingga IXn - x I <1 untuk semua n :::: K. Jika kita menerapkan Inequality Segitiga dengan n> K kita memperoleh . Jika kita mengatur M: = sup {Ixtl, Ix21, ..., IxK_tl, 1 + bel}, Q.E.D. Kita sekarang akan memeriksa bagaimana proses batas berinteraksi dengan operasi-operasi penjumlahan, maka berikut bahwa IXnI
+ Y= ( Y. ! ! ! ... ! .. . ( ) -. 1 '2' 3 ', n', ) l '2' 3 ', n', X_Y= ~ ~ 19 ... 2N2 + 1 .. . ! ~ 17 ... 2N2 - 1 .. . ( ) l '2' 3 ', n', X . Y = (2,2,2, ..., 2, ...), 3X = (6, 12, 18, ..., 6n, ...), X / Y = (2,8,18, ..., 2n, ".). Kami mencatat bahwa jika Z adalah urutan .2 Z: = (0,2,0,,,, 1 + (_1) n, "..), maka kita dapat mendefinisikan X + Z, X - Z dan X. Z, tapi X / Z tidak didefinisikan karena beberapa hal Z adalah nol. . Kami sekarang menunjukkan bahwa urutan yang diperoleh dengan menerapkan operasi ini untuk konvergen urutan menimbulkan urutan baru yang batas dapat diprediksi. 3.2.3 Teorema (a) Misalkan X = (Xn) dan Y = (Yn) menjadi urutan bilangan real yang
konvergen ke x dan Y, masing-masing, dan membiarkan e E JR.Then urutan X + Y, X - Y, X. Y, dan eX konvergen ke x + Y, x - y, xy, dan mantan, masing-masing. (B) Jika X = (xn) konvergen ke x dan Z = (zn) adalah urutan non zero bilangan real yang konvergen ke Z dan jika Z i = 0, maka urutan quotient X / Z convergesto x / z. Bukti. (A) Untuk menunjukkan bahwa lim (xn + Yn) = X + Y, kita perlu memperkirakan besarnya Saya (xn + Yn) - (x + y) l. Untuk melakukan ini kita menggunakan Ketimpangan Segitiga 2.2.3 untuk memperoleh Saya (xn + Yn) - (x + y) 1 = I (xn - x) + (Yn - y) 1 :::: IXn-xl + IYn-yi. Dengan hipotesis, jika e> 0 terdapat sejumlah alami K1 sehingga jika n :::: 'Kl kemudian IXn-x I < E12, juga terdapat sejumlah alami K2 sehingga jika n :::: maka K2 'IYn - Il
0 adalah sewenang-wenang, kita menyimpulkan bahwa X + Y = (xn + Yn) konvergen ke x + y. Justru argumen yang sama dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa X - Y = (xn - Yn) konvergen untuk x - Y. Untuk menunjukkan X itu. Y = (xnYn) konvergen ke xy, kita membuat perkiraan IXnYn-xyl = (xnYn - xny) + (xny - xy)! 1 :::: IX / Yn - y) 1 + I (xn-x) yl = IxnllYn - il + IXn - xllyl. Menurut Teorema 3.2.2 terdapat M1 bilangan real> 0 sedemikian rupa sehingga IXnI :::: M1for semua n EN dan kami menetapkan M: = sup {MI 'lyl). Oleh karena itu kita memiliki perkiraan ! IXnYn-xYI :::: M Yn - il + Mlxn-xl. Dari konvergensi X dan Y, kita menyimpulkan bahwa jika e> 0 diberikan, maka terdapat alam nomor K 1and K2 sehingga jika n :::: K 1then IXn - X I
- Il 0 adalah sewenang-wenang, ini membuktikan bahwa X urutan. Y = (xnyn) konvergen ke xy. Fakta bahwa eX = (cxn) konvergen terhadap mantan dapat dibuktikan dengan cara yang sama, tetapi juga dapat disimpulkan dengan mengambil Y menjadi urutan konstanta (c, c, c, ...). Weleave rincian untuk pembaca. (B) Kita selanjutnya menunjukkan bahwa jika Z = (zn) adalah urutan angka nol non yang menyatu ke batas z non nol, maka urutan (l / zn) dari resiprokal konvergen ke I / z. Pertama mari ex:! = Izi sehingga mantan> O.Since lim (zn) = z, terdapat Kl nomor alam sehingga jika n :::: Kl kemudian IZn-zi 0 diberikan, terdapat sejumlah alami K2 sehingga jika n :::: K2 kemudian IZn-zl 0 adalah sewenang-wenang, maka yang
Saya K (e). ) 1 11m-= -. zn Z Bukti (b) sekarang selesai dengan mengambil Y menjadi urutan (1 / zn) dan menggunakan Fakta bahwa X. Y = (xn / zn) konvergen ke x (1 / z) = x / Z. Q.E.D. Beberapa hasil Teorema 3.2.3 dapat di perpanjang, dengan Induksi Matematika, untuk " terbatas jumlah urutan konvergen. Sebagai contoh, jika A = (an) 'B = (miliar),. . . , Z = (zn) adalah konvergen konsekuensi dari bilangan real, maka jumlah mereka A + B + ... + Z = (suatu miliar + + . . . + Zn) adalah urutan konvergen dan (1) lim (an miliar + + ... + zn) = lim (an) + lim (miliar) +. . . + Lim (zn) ' Juga produk mereka A. B. . . Z: = (anbn ... zn) adalah urutan konvergen dan (2) Oleh karena itu, jika Ken dan jika A = (An) merupakan barisan konvergen, maka (3) Kami meninggalkan bukti-bukti dari pernyataan kepada pembaca. 3.2.4 Teorema Jika X = (xn) merupakan barisan konvergen dari bilangan real dan jika xn 2: 0 untuk semua n E N, maka x = iiin (xn) 2: o. Bukti. Misalkan kesimpulannya adalah tidak benar dan bahwa x <0, kemudian E: =-x adalah positif. Sejak X konvergen ke x, ada sejumlah alami K sedemikian rupa sehingga x - E
bahwa xn 2: 0 untuk semua n E N. Oleh karena itu, kontradiksi ini menyiratkan bahwa x 2 : OQED Kita sekarang memberikan hasil yang berguna yang fonually kuat dari Teorema 3.2.4. 3.2.5 Teorema Jika X = (xn) dan Y = (Y ~) adalah konvergen konsekuensi dari bilangan real dan Jika xn :::: Yn untuk semua EN n, maka lim (xn) :::: lim (yn). Prool "Biar Z:. = Y - X sehingga Z: = (z) = Y - X dan Z n 'J' n n n n dari Teorema 3.2.4 dan 3.2.3 yang o :::: lim Z = Lim (yn) - lim (xn), > 0 untuk semua n E N. Ini mengikuti Hasil selanjutnya menegaskan bahwa jika semua tenus dari urutan konvergen memenuhi sebuah pertidaksamaan bentuk a :::: xn
= Lim (yn) = lim (zn) ' Bukti. Biarkan w: = lim (xn) = lim (zn) 'Jika E> 0 diberikan, maka sesuai konvergensi X dan Z untuk w bahwa ada sejumlah alami K sedemikian rupa sehingga jika n ~ K kemudian IXn - wi 0 adalah sewenang-wenang, hal ini menyiratkan bahwa lim (yn) = w. Keterangan Karena setiap ekor barisan konvergen memiliki batas yang sama, hipotesis dari Teorema 3.2.4, 3.2.5, 3.2.6, 3.2.7 dan dapat melemah untuk diterapkan pada ekor berurutan. Misalnya, dalam Teorema 3.2.4, jika X = (xn) adalah "akhirnya positif" dalam arti bahwa ada ada laki-laki seperti yang xn ~ 0 untuk semua n ~ m, maka kesimpulan yang sama bahwa x ~ 0 akan terus. Modifikasi serupa berlaku untuk teorema lainnya, sebagai pembaca harus memverifikasi. 3.2.8 Contoh (a) Urutan (n) adalah divergen. Ini Teorema 3.2.2 bahwa jika urutan X: = (n) a dalah konvergen, maka ada ada suatu bilangan real M> 0 sedemikian rupa sehingga n = Inl KI, ini memberikan 1 - 1 - al <1, sehingga -2
(C) lim (2n: I) = 2. Jika kita membiarkan X: = (2) dan Y: = (l / n), maka «2n + I) / n) = X + Y. Oleh karena itu berikut dari Teorema 3.2.3 (a) bahwa lim (X + Y) = lim limX + Y = 2 + 0 = 2. ( 2n + 1 ) (D) lim n + 5 = 2. Karena urutan (2n + I) dan (n + 5) tidak konvergen (mengapa?), Tidak mungkin menggunakan Teorema 3.2.3 (b) secara langsung. Namun, jika kita menulis 2n + I + I ~ 2 / n -, n +5 +5 1 / n kita bisa mendapatkan urutan yang diberikan sebagai salah satu yang Teorema 3.2.3 (b) berlaku ketika kita mengambil X: = (2 + I / n) dan Z: = (1 + 5 / n). (Checkthat semua hipotesis puas.) Karena limX = 2 dan limZ = 'I # 0, kita menyimpulkan bahwa lim (2n + i) / (n + 5)} = 2/1 = 2. (E) lim ( 22N ) = O. n+I Theorem3.2.3 (b) tidak berlaku secara langsung. (Kenapa?) Wenote bahwa 2n 2 ---, n2 + I + I n / n tapi Teorema 3.2.3 (b) tidak berlaku di sini baik, karena (n + I / n) tidak konvergen Urutan (Whynot?) Namun., jika kita menulis 2n _ 2 / n n2 + I - I + l/n2 '
. maka kita dapat menerapkan Teorema 3.2.3 (b), karena lim (2 / n) = 0 dan lim (1 + l/n2) = I '# O. Oleh karena lim (2n / (n2 + I »= 0/1 = O. (I) 1 . ( Sinn ) _ 1m - O. n Kita tidak bisa menerapkan Teorema 3.2.3 (b) secara langsung, karena urutan (n) tidak konvergen [Tidak adalah urutan (Sinn)]. Itu tidak muncul bahwa manipulasi aljabar sederhana akan memungkinkan kita untuk mengurangi urutan menjadi satu yang Teorema 3.2.3 akan berlaku. Namun, jika kita perhatikan bahwa-I ::: sin n ::: I, maka berikut bahwa Saya Sinn. Saya - <- <-N nn untuk semua n E N. Oleh karena itu kita dapat menerapkan Teorema Squeeze 3.2.7 untuk menyimpulkan bahwa lim (nI Sinn) = O. (Wenote bahwa Teorema 3.1.10 juga bisa diterapkan untuk urutan ini.) (G) Mari X = (Xn) menjadi urutan bilangan real yang konvergen ke x E JR.Let p menjadi polinomial, misalnya, biarkan p (t): = aktk + ak_1tk-1 + ... + Alt + ao ' di mana Ken dan aj E JRfor j = 0, I, "", k. Menurut Teorema 3.2.3 bahwa urutan (P (xn »konvergen ke p (x) Kami meninggalkan. Rincian untuk pembaca sebagai latihan. (H) Misalkan X = (xn) menjadi urutan bilangan real yang konvergen ke x E JR.Let r menjadi
Fungsi rasional (yaitu, r (t): = p (t) / q (t), di mana p dan q adalah polinomial). Mengira bahwa q (xn) '# 0 untuk semua n EN dan q (x)' # O. Kemudian urutan (r (xn »konvergen ke r (x) = p (x) / q (x). Kami meninggalkan rincian untuk pembaca sebagai latihan. 0 .1 Kami menyimpulkan bagian ini dengan beberapa hasil yang akan berguna dalam pekerjaan ya ng berikut. 3.2.9 Teorema Biarkan X urutan = (Xn) convergeto x. Kemudian urutan (lxnDof nilai absolut menyatu ke bel. Thatis, jika x = lim (xn), kemudian bel = lim (lxnD. Bukti. Ini mengikuti dari Ketimpangan Segitiga (lihat Corollary 2.2.4 (»yang IIxnl - IxII: s IXn - xl untuk semua EN n. Konvergensi (IxnI) ke IXI ini kemudian merupakan konsekuensi langsung dari konvergensi (Xn) ke X. Q.E.D. 3.2.10 Teorema Misalkan X = (xn) menjadi urutan bilangan real yang konvergen ke x dan misalkan xn ~ O. Kemudian urutan (JX: ") positif menyatu akar kuadrat dan lim (JX: ") = jX.. Bukti. Menurut Teorema 3.2.4 thatx = lim (xn) ~ 0 sehingga pernyataan masuk akal. Kami sekarang mempertimbangkan dua kasus: (i) x = 0 dan (ii) x> O. Kasus (i) Jika x = 0, mari E> 0 diberikan. Sincexn - +0 terdapat K nomor alam sehingga jika n ~ K kemudian o 0 adalah sewenang-wenang, ini menyiratkan bahwa JX: "- + O.. Kasus (ii) Jika x> 0, maka .., x> "0 kering kami mencatat bahwa A - .., x = (JX: "-. JX) (JX:". + JX) = xn - X n JX: "+ jX JX:.". + jX Sejak JX:.. "+ JX ~ jX> 0, maka yang Konvergensi .., xn - + ..; x mengikuti dari kenyataan bahwa xn - + x. Q.E.D.
Untuk beberapa jenis urutan, hasil berikut memberikan. "Uji rasio" cepat dan mudah untuk konvergensi. Hasil Terkait dapat ditemukan dalam latihan. 3.2.11 Teorema Misalkan (xn) menjadi urutan bilangan real positif sehingga L: = lim (xn +1 / xn) ada. Jika L <1, maka (xn) konvergen dan lim (xn) = O. Bukti. Dengan 3.2.4 maka bahwa L ~ O.Let r menjadi nomor sedemikian rupa sehingga L O.There ada nomor KEN sedemikian rupa sehingga jika n ~ K kemudian IX;: '- LI K. Karena 0
