UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
ANÁLISIS SÍSMICO ESTÁTICO Y DINÁMICO
I n g. Ro Ron n ald Santana Santana Tapi Tapi a DOCENTE AS ASOC OCII ADO UNCPUNCP-FI FI C
2012-2
Métodos de Análisis MÉTODOS:
- DINÁMICO:
▫ ▫
MODAL ESPECTRAL TIEMPO HISTORIA
- ESTÁTICO:
▫
FUERZAS ESTÁTICAS EQUIVALENTES
Métodos de Análisis MÉTODOS:
- DINÁMICO:
▫ ▫
MODAL ESPECTRAL TIEMPO HISTORIA
- ESTÁTICO:
▫
FUERZAS ESTÁTICAS EQUIVALENTES
EJEMPLO ILUSTRATIVO :
Para el sistema de 3 niveles de concreto armado mostrado en la figura, determine: 1. El Vector de Desplazamientos. 2. El Vector de Fuerzas Inerciales. 3. El Vector de Fuerzas Cortantes. 4. El Vector de Momentos de Volteo. Po r lo s m é to d o s s ig u ien tes :
- Análisis dinámico (modal espectral). - Análisis estático (fuerzas (fuerzas estáticas equivalentes).
W 3 = 400 ton
5%
K3 = 315 ton/cm
3.0 m
W 2 = 440 ton
5% K2 = 270 ton/cm
3.50 m
W 1 = 500 ton
5% K1 = 325 ton/cm
ANÁLISIS DIRECCIÓN DEL SISMO X-X
4.30 m
Para ambos análisis se hará uso del Código Peruano de Diseño Sismo Resistente. (NTE-E.030). DATOS:
▪ ▪ ▪ ▪
UBICACIÓN USO SISTEMA SUELO
: : : :
Lima. Pueblo Libre. Oficinas. Mixto (Dual). Tipo S1. Suelo sobre el que se cimentará.
Método Dinámico 1. FORMULACIÓN MATRICIAL PARA EL ANÁLISIS DINÁMICO m1 = W1 / g = 500 / 981 = 0.507 ton-seg² / cm. m2 = W2 / g = 440 / 981 = 0.449 ton-seg² / cm. m3 = W3 / g = 400 / 981 = 0.408 ton-seg² / cm.
0 0.507 0 0 m1 0 M 0 m 2 0 0 0.449 0 0 0 m 0 0 0 . 408 3 0 595 270 0 k 1 k 2 k 2 K k 2 k 2 k 3 k 3 270 585 315 0 0 k k 315 315 3 3
2. CÁLCULO DE LOS PERÍODOS Y FORMAS DE MODO DE VIBRACIÓN De la ecuación dinámica:
K . φ ω .M. φ i
2
i
i
Aplicando los métodos iterativos de Stodola y Holtzer ó el programa de cómputo JACOBI se obtuvo.
1 11.770 rad / seg.,
2 32.182 rad / seg.,
3 45.545 rad / seg.,
T1 0.534 seg.,
1.0 1 1.944 2.369
T2 0.195 seg.,
1.0 2 0.259 0.758
T3 0.138 seg.,
1.0 3 1.691 1.003
3. CÁLCULO DE LOS FACTORES DE PARTICIPACIÓN MODAL ( FPMi ) i T
FPM i
.m i T .M. i
MODO : 1
FPM1
0.507 1.0 1.944 2.369.0.449 0.408 2.346 0.523 (52.3%) 4 . 482 0 . 507 0 0 1 . 0 1.0 1.944 2.369. 0 0.449 0 .1.944 0 0 0.408 2.369
n
En General :
FPM i
i
. m
i2
. m
1 n
1
MODO : 2 FPM 2
1.0 x 0.507 0.259 x 0.449 ( 0.758) x 0.408 0.407 ( 40.7%) 2 2 2 1.0 x 0.507 0.259 x 0.449 ( 0.758) x 0.408
MODO : 3 FPM 3
1.0 x 0.507 ( 1.691) x 0.449 1.003 x 0.408 0.071 (7.1%) 2 2 2 1.0 x 0.507 ( 1.691) x 0.449 1.003 x 0.408
Además:
FPM1 + FPM2 + FPM3 = 1.0 (100%)
4. CÁLCULO DE LA ACELERACIÓN ESPECTRAL: (Sa i ) NORMA: (NTE-E0.30) Sai = Z U S Ci . g ……… (1) R
Parám et ro s Sís m ic o s :
Z = 0.4 U = 1.0 S = 1.0 R = 7.0
(Lima) (Oficinas) (Suelo rígido) Tp = 0.4 seg. (Sistema Mixto o Dual)
Ci = 2.5 Tp Ti
,
C ≤ 2.5
Además: C/R ≥ 0.125
MODO : 1 T 1 0.534 seg .,
En (1) :
Sa1
C 1
0.4 2.5 1.873 2.5 , 0.534
0.4 x 1.0 x 1.0 x 1.873 7
x 981
!
104.995
cm / seg ²
MODO : 2 T 2
0.195 seg .,
En (1) :
Sa2
C 2
0.4 2.5 5.128 2.5 , 0.195
0.4 x 1.0 x 1.0 x 2.5 7
x 981
140.143
C 2 2.5
cm / seg ²
MODO : 3 T 3
0.138 seg .,
En (1) :
Sa3
C 3
0.4 2.5 7.246 2.5 , 0.138
0.4 x 1.0 x 1.0 x 2.5 7
x 981
140.143
C3 2.5
cm / seg ²
ACELERACION ESPECTRAL (Sa) PARA CADA MODO DE VIBRACION DE LA ESTRUCTURA DATOS: Z U S R Tp
FORMULAS: 0.4
Lima
1.0 1.0 7.0 0.4
Oficinas Suelo Rígido Sistema Dual Período del suelo S1
Sa = ZUSC * g R T C 2.5 p , C 2.5 T
ACELER ACIÓN ESPECTRAL:
T (seg)
C 0.00 0.10 0.20 0.30
2.500 2.500 2.500 2.500
0.35 0.38 0.39 0.40 0.41 0.45 0.50 0.55 0.60 0.70
2.500 2.500 2.500 2.500 2.439 2.222 2.000 1.818 1.667 1.429
Sa (cm/seg²) 140.143 140.143 140.143 140.143 140.143 RESULTADOS DE "Sa" (cm/seg2) 140.143 MODO T (seg) C Sa 140.143 1 0.534 1.873 104.976 140.143 2 0.195 2.500 140.143 136.725 3 0.138 2.500 140.143 124.571 4 0.000 #¡DIV/0! #¡DIV/0! 112.114 5 0.000 #¡DIV/0! #¡DIV/0! 101.922 6 0.000 #¡DIV/0! #¡DIV/0! 93.429 7 0.000 #¡DIV/0! #¡DIV/0! 80.082 8 0.000 #¡DIV/0! #¡DIV/0!
ESPECTRO TEÓRICO (NTE - E.030) Sa vs. T 160 ) ² g e s / m c ( a S
140 120 100 80 60 40 20 0 0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
T (seg)
5. CÁLCULO DEL VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS
X FPM . i
i
Sai
2
.
i
i
MODO 1:
1.0 0.396 cm 104 . 995 1 X 0.523 . . 1.944 0.771 cm 2 11.770 2.369 0.939 cm
MODO 2 :
1.0 0.055 cm 140 . 143 X 2 0.407 . . 0 . 259 0 . 014 cm 2 32.182 0.758 0.042 cm
MODO 3 :
1.0 0.005 cm 104.995 3 X 0.071. . 1 . 691 0 . 008 cm 2 45.545 1.003 0.005 cm
COMBINACIÓ N MODAL :
X 0.25
i
X 0.75
0.396 0.055 0.005 X i 0.771 0.014 0.008 0.939 0.042 0.005
X
i 2
0.396 2 0.055 2 0.005 2 0.7712 0.014 2 0.008 2 0.939 2 0.042 2 0.005 2
X
i 2
.......... ........( 1)
0.456 cm 0 . 793 cm 0.986 cm
0.400 cm cm 0 . 771 0.940 cm
En (1) :
0.456 0.400 0.414 cm X 0.25 0.793 0.75 0.771 0.776 cm 0.986 0.940 0.952 cm
NORMA: (NTE - E.030) Los desplazamientos obtenidos del análisis elástico, deberán corregirse por 0.75R.
Estructuras en General: :
Tomar
R=R R=¾R
: Para estructuras regulares, : Para estructuras irregulares.
Para nuestro caso el sistema es mixto y regular, por consiguiente: R = (R = 7). 0.414 2.174 cm X 0.75 ( 7 ) . 0.776 4.074 cm 0.952 4.998 cm
4.998 cm
0.924 cm 3.0 m 4.074 cm
1.9 cm 3.50 m
2.174 cm 2.174 cm
4.30 m
ANÁLISIS DIRECCIÓN DEL SISMO X-X
VERIFICACIÓN: “Desplazamientos Laterales” Δxi ≤ 0.007 hi Primer Piso: 2.174 cm ≤ 0.007 (430) = 3.01 cm
OK!
Segundo Piso: 1.900 cm ≤ 0.007 (350) = 2.450 cm
OK!
Tercer Piso: 0.924 cm ≤ 0.007 (300) = 2.100 cm
OK!
6. CÁLCULO DEL VECTOR DE FUERZAS SÍSMICAS
Fi FPMi . Sai . ( m . i )
MODO 1:
0.507 x 1.000 27.841 ton F1 0.523 x 104.995 . 0.449 x 1.944 47.931 ton 0.408 x 2.369 53.076 ton
MODO 2 :
0.507 x 1.000 28.918 ton F 2 0.407 x 140.143 . 0.449 x 0.259 6.633 ton 0.408 x 0.758 17.640 ton
MODO 3 :
0.507 x 1.000 5.045 ton F 3 0.071 x 140.143 . 0.449 x 1.691 7.555 ton 0.408 x 1.003 4.072 ton
COMBINACIÓ N MODAL :
F 0.25
61.804 ton F i 62.119 ton 74.788 ton
,
i
F 0.75
Fi
2
F
i 2
40.458 ton 48.974 ton 56.079 ton
F3 = 60.756 ton
F2 = 52.260 ton
45.795 ton F 52.260 ton 60.756 ton
F1 = 45.795 ton
7. CÁLCULO DEL VECTOR DE FUERZAS CORTANTES
V i S. Fi En donde: S = Matriz cuadrada, diagonal superior con unos de coeficientes.
MODO 1:
1 1 1 27.841 128.848 ton V 1 0 1 1 . 47.931 101.007 ton 0 0 1 53.076 53.076 ton
MODO 2 :
1 1 1 28.918 17.911 ton V 2 0 1 1 . 6.633 11.007 ton 0 0 1 17.640 17.640 ton
MODO 3 :
1 1 1 5.045 1.562 ton V 3 0 1 1 . 7.555 3.483 ton 0 0 1 4.072 4.072 ton
COMBINACIÓ N MODAL :
V 0.25
147.473 ton V i 115.497 ton 74.788 ton
,
V i 0.75
V
i 2
Vi
2
129.257 ton 101.665 ton 56.079 ton
V3 = 60.756 ton
133.811 ton V 105.123 ton 60.756 ton
V2 = 105.123 ton
V1 = 133.811 ton
8. CÁLCULO DEL VECTOR MOMENTOS DE VOLTEO
Mi H . V i En donde: H = Matriz cuadrada, diagonal superior cuyos coeficientes corresponden a los valores de las alturas de los entrepisos.
MODO 1:
4.30 3.50 3.0 128.848 1066 .799 ton m M1 0 3.50 3.0 . 101.007 512.753 ton m 0 0 3.0 53.076 159.228 ton m
MODO 2 :
4.30 3.50 3.0 17.911 14.427 ton m M 2 0 3.50 3.0 . 11.007 91.445 ton m 0 0 3.0 17.640 52.920 ton m
MODO 3 :
4.30 3.50 3.0 1.562 6.742 ton m M 3 0 3.50 3.0 . 3.483 0.026 ton m 0 0 3.0 4.072 12.216 ton m
COMBINACIÓ N MODAL :
M 0.25
1087 .968 ton m Mi 604.224 ton m 224.364 ton m
Mi 0.75
,
Mi
M
2
i 2
1066.918 ton m 520.843 ton m 168.236 ton m
M3 = 182.268 ton-m
1072.181 ton m M 541.688 ton m 182.268 ton m
M2 = 541.688 ton-m
M1 = 1072.181 ton-m
Método Estático 1. CÁLCULO DEL CORTANTE BASAL: V Z .U. S . C V . PT ....... (1) R
En donde: Z = 0.4 U = 1.0 S = 1.0 R=7
(Lima) (Oficinas) (Suelo rígido) (Sistema Mixto)
Tp = 0.4 seg.
C = 2.5 (Tp / T ), Además:
C ≤ 2.5
C / R ≥ 0.125 T = hn / CT (Período fundamental)
hn = 4.30 + 3.50 + 3.0 = 10.80 m (Altura total del edificio) CT = 45
(Sistema mixto) T = 10.80 / 45 = 0.24 seg.
C = 2.5 (0.4 / 0.24 ) = 4.167 > 2.5 C = 2.5
PT = W1 + W2 + W3 = 500 + 440 + 400 (Peso total del edificio) PT = 1340 ton
Reemplazando en (1): V = 0.4 x 1.0 x 1.0 x 2.5 . PT = 0.143 PT (14.3% PT) 7 V = 191.429 ton 2. DISTRIBUCIÓN DE “ V ” EN ALTURA
Fi
w i . hi
. V
n
w .h i
1
i
V = 191.429 ton.
; Fuerza Horizontal en la Base del Edificio.
wi
hi
w i . hi
Fi
Vi
(ton)
(m)
(ton-m)
(ton)
(ton)
1
500
4.3
2150
41.565
191.430
2
440
7.8
3432
66.349
149.865
3
400
10.8
4320
83.516
83.516
TOTAL
1340
-
9902
191.430
-
NIVEL
3. VECTOR DE FUERZAS SÍSMICAS F3 = 83.516 ton
F2 = 66.349 ton
41.565 ton F 66.349 ton 83.516 ton
F1 = 41.565 ton
4. VECTOR DE FUERZAS CORTANTES
V3 = 83.516 ton
191.430 ton V 149.865 ton 83.516 ton
V2 = 149.865 ton
V1 = 191.430 ton
5. VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS Xi
NIVEL 1 2 3
Vi , Ki
Xi Xi 1 Xi
Vi
Ki
ΔXi
Xi
(ton)
(ton/cm)
(cm)
(cm)
191.43
325
0.589
0.589
149.865
270
0.555
1.144
83.516
315
0.265
1.409
NORMA: (NTE - E.030) De igual manera, los desplazamientos obtenidos por este método, deberán corregirse por 0.75R para obtener los desplazamientos reales.
0.589 3.092 cm X 0.75 ( 7 ) . 1.144 6.006 cm 1.409 7.397 cm
7.397 cm 1.391 cm 3.0 m 6.006 cm 2.914 cm 3.50 m 3.092 cm 3.092 cm
4.30 m
ANÁLISIS DIRECCIÓN DEL SISMO X-X
VERIFICACIÓN: “Desplazamientos Laterales” Δxi ≤ 0.007 hi Primer Piso: 3.092 cm ≤ 0.007 (430) = 3.01 cm
NO CUMPLE!
Segundo Piso: 2.914 cm ≤ 0.007 (350) = 2.450 cm
OK!
Tercer Piso: 1.391 cm ≤ 0.007 (300) = 2.100 cm
OK!
Comentario: Para el desplazamiento lateral del Primer Piso, no cumple con la Norma, por lo tanto debe rigidizarse más la estructura en dicha dirección de análisis. Para el análisis dinámico: Para el análisis estático :
2 . 1 7 4 c m ≤ 3.01 cm 3 . 0 9 2 c m ≤ 3.01 cm
Podemos mencionarse que, en cuanto al análisis estático, la diferencia es ajustada. Respecto al análisis dinámico cumple sobradamente. Por lo tanto, la decisión de reestructuración y recálculo, es exclusivamente del diseñador, si queremos ser más conservadores.
6. VECTOR DE MOMENTOS DE VOLTEO
Mi H . V i En donde: H = Matriz cuadrada, diagonal superior cuyos coeficientes corresponden a los valores de las alturas de los entrepisos.
