Análisis de Sensibilidad

¡Estudiar y llevar este doc um ento para la próxim a clase ! ANALISIS DE SENSIBILIDAD o ANALISIS DE POST-OPTIMALIDAD Los modelos de PL son representaciones matemáticas de situaciones reales. Estas representaciones son de carácter estático por cuanto corresponden a una instantánea del conjunto de condiciones que prevalecen en el momento de formular y resolver el modelo. Sin embargo, las situaciones reales son cambiantes, los ambientes de decisión rara vez permanecen estáticos y en consecuencia es esencial determinar cómo cambia la solución óptima cuando cambian los elementos y parámetros del modelo. Esto es lo que hace el análisis de sensibilidad. Proporciona técnicas de cómputo eficientes para estudiar el comportamiento dinámico de la solución óptima que resulta al hacer cambios en las condiciones iniciales del problema, pero sin necesidad de tener que repetir por completo el proceso de solución. Los cambios pueden estar relacionados con: 1. 2.

3. 4. 5.

La disponibilidad de recursos: bi Los coeficientes de las variables en la F.O. Desde el punto de vista de la tabla óptima estos coeficientes pueden estar asociados a variables no básicas Cj o a variables básicas Ci. Ejecución de nuevas actividades, actividades, dentro del modelo esto es equivalente a la adición de nuevas variables. Nuevas restricciones o restricciones que originalmente no habían sido incluidas. Los coeficientes coeficientes de las variables variables dentro de las restricciones: aij

En la siguiente tabla se resumen todos los casos posibles (efectos) que pueden surgir como consecuencia de los cambios anteriores y las acciones necesarias para obtener la nueva solución: Efecto o condición resultante de los cambios La nueva solución queda factible y óptima La nueva solución queda infactible La nueva solución queda no óptima La nueva solución queda infactible y no óptima

Acción recomendada Ninguna Utilizar el dual para para desaparecer desaparecer la infactibilidad. Utilizar el Simplex para recuperar la optimalidad. Utilizar el Dual- simplex para obtener una nueva nueva solución factible óptima.

A continuación vamos a estudiar como evaluar el efecto o el impacto de cada uno de estos cambios sobre la solución óptima ya encontrada. 1. Cambio en la disponibilidad de recursos (RHS): bi Todo cambio en disponibilidad de recursos o cambio en el lado derecho de las restricciones afecta o cambia el valor de la solución, es decir se tienen nuevos valores para para las variables básicas y para para la F.O. Si los nuevos valores para las variables básicas son todos positivos entonces se dice que la nueva solución es factible y el problema ha concluido. Pero, si por lo menos una de las variables básicas es negativa entonces la nueva solución es in-factible in-factible y en consecuencia se debe utilizar el algoritmo dual para desaparecer la infactibilidad. Los problemas o preguntas asociados con cambios en la disponibilidad de recursos son dos: 1)

Dado el cambio en uno, en varios o en todos los recursos, encontrar la nueva solución.

2)

Determinar cuánto puede cambiar la disponibilidad de cada recurso de manera que la nueva solución siga factible. Esto es equivalente a encontrar lo que se denomina “ rango factible” factible” e “intervalo de factibilidad ” En sistemas computarizados se denomina sensibilidad para los términos de lado derecho (RHS) y representan los valores dentro de los cuales puede variar la disponibilidad de cada recurso y la nueva solución seguirá factible.

Universidad Tecnológica de Bolivar

Inv. de Operaciones I

Msc. Misael Cruz Monroy

Veamos como solucionar estos problemas: 1.1 Dado el cambio en la disponibilidad de un recurso, encontrar la nueva solución. alternativas que son: a)

Para este efecto tenemos dos

-1

Utilizar la matriz inversa de la base inicial: A Por propiedades de la matriz inversa se puede comprobar que en la tabla óptima: Cualquier Vector colum na final = Inversa x Vector colum na inicial. Así por ejemplo: -1

[solución]final = A .[solución] inicial -1 X1(final) = A .X1(inicial) -1 X2(final) = A .X2(inicial); y así sucesivamente… Entonces, si cambia la disponibilidad de un recurso, de dos o de todos los recursos, tendremos un nuevo vector -1 de términos independientes Bi. En cuyo caso: Nueva [solución] = A Bi(nuevo) b)

Utilizar los coeficientes de la variable de holgura asociada tal como aparecen en la columna correspondiente de la tabla óptima. Este tratamiento es equivalente al anterior por cuanto si suponemos que: bi’ = bi + Δbi y aplicamos la propiedad de la matriz inversa podemos comprobar que: Nuevo valor variables básicas = Valor actual + (coeficiente variable holgura asociada ) Δbi De acuerdo con esto, el nuevo valor de Xi = X0 +

(coeficiente variable holgura asociada) Δbi

Los coeficientes de la variable de holgura serán los de S 1 para cambios en b 1, los de S2 para cambios en b2 y así sucesivamente. 1.2 Encontrar el rango y el intervalo de factibilidad para cada recurso, es decir determinar cuánto puede cambiar la disponibilidad de cada recurso ( Δbi) de manera que la nueva solución siga factible. Entonces, como se trata de encontrar los valores de Δbi, según el recurso de que se trate utilizamos las expresiones correspondientes a: Xi = X0 + (coeficiente variable holgura asociada) Δb i Despejamos de cada ecuación Δb i para luego encontrar el r a n g o f a c t i b l e y el intervalo de factibilidad

2. Cambios en los coeficientes de la función objetivo. El cambio en el Cj de una variable se interpretaría, por ejemplo, como en incremento en el precio de un producto para un objetivo de maximización, o como la disminución en el costo de una materia prima para un objetivo de minimización. Finalmente, se estudiará por separado si la modificación en el Cj es para una variable no-básica o para una básica, ya que las consecuencias en cada caso son muy diferentes. 1.1 Cambios en el coeficiente Objetivo de una variable No-básica: variables que fueron evaluadas pero no quedaron en la solución. Es importante mencionar que una variación de Cj a Cj’ en el coeficiente objetivo de una variable no-básica, no necesariamente conlleva a una infracción de la inmejorabilidad de la solución óptima actual, aunque en ciertas ocasiones si lo haga. Por este motivo, se considerarán a continuación dos alternativas de cambio mutuamente exclusivas en el Cj de una variable no-básica.




Cuando Cj’ < Cj (maximización)

En la solución óptima actual: Dj = Cj – Zj ≤ 0. Si Cj pasa a Cj’ Cj.

Cuando Cj’ > Cj (maximización) Es claro que solamente cuando el valor de la utilidad de una variable no-básica se incrementa, Cj’ > Cj, en un problema de maximización, surge la posibilidad de que se altere la óptimalidad y por ende el valor de la solución actual. En la solución actual Dj = Cj - Zj ≤ 0 Si Cj cambia Cj’>Cj entonces Dj’ = Cj’ – Zj podrá ser positivo con lo cual cabe la posibilidad de que la solución deje de ser óptima. Alternativamente, si

Cj’ = Cj + ΔCj entonces Dj’ = Cj + ΔCj – Zj o lo que es lo mismo Dj’ = Dj + ΔCj

En maximización la solución sigue óptima si Dj’ ≤ 0 o que Dj + ΔCj ≤ 0 de donde intervalo de óptimalidad correspondiente para este caso es: Cj’ ≤ Cj + │Dj│

ΔCj ≤ - Dj

Rango de óptimalidad. El

Es decir, si el nuevo Cj’ satisface la desigualdad, la actual solución permanece óptima; de lo contrario, debe calcularse el D j’ el cual será positivo, e i ntroducir Xj a la base para encontrar la nueva solución óptima. La pregunta importante de responder en este caso es: ¿cuál debería ser la utilidad de Xj para que sea lucrativa su fabricación? 1.2 Cambios en el coeficiente Objetivo de una variable básica. Cualquier cambio en el coeficiente objetivo de una variable básica (Ci) afectará el valor de las dos últimas filas de la tabla simplex. Es decir que es necesario recalcular el valor de la fila de Zj y el valor de Cj – Zj. Como consecuencia la nueva solución puede quedar óptima o no óptima. Si la solución es no óptima se debe utilizar el simplex para encontrar una nueva solución óptima. La otra pregunta a responder en este caso es: ¿cuánto puede cambiar el coeficiente de cada variable básica en la función objetivo de manera que la nueva solución siga óptima? Esto es lo que se de nomina “rango de óptimalidad ” e “intervalo de óptimalidad ”. Para esto: Se sustituye el Ci en consideración por Ci + ΔCi; se calcula Zj y Cj – Zj y con base en el nuevo valor de cada Dj se despeja el ΔCi teniendo en cuenta que en problemas de maximización la nueva solución sigue óptima si el nuevo Dj ≤ 0 ; en minimización lo contrario. 3. Adición de una nueva variable La adición de una variable dentro del modelo es consecuencia de la ejecución de una nueva actividad. Para el -1 tratamiento de esta situación se utiliza la inversa de la base inicial: A en cuyo caso, en la tabla óptima: -1

La nueva Xi(final) = A .Xi(inicial) Al tener el vector columna final de la nueva variable con su correspondiente Dj, podemos determinar si la nueva act ividad es o no lucrativa y en caso afirmativo encontrar la nueva solución. 4. Adición de nuevas restricciones La adición de una nueva restricción a un modelo existente, puede llevar a uno de los siguientes dos casos:




1) La solución actual satisface la nueva restricción, lo que quiere decir que la nueva restricción es redundante y por consiguiente se puede eliminar del modelo. 2) La solución actual no satisface la nueva restricción. La solución queda infactible y por consiguiente es necesario utilizar el dual para recuperar la factibilidad.

EJERCICIO DE APLICACIÓN: Dado el siguiente modelo de PL: Max. Z = 60X1 + 120X2 + 180X3 s.a

2X1 + 2X2 + 4X3 ≤ 120 X1 + 4X2 + 2X3 ≤ 80 4X1 + 2X2 + 4X3 ≤ 100 X1, X2, X3 ≥ 0

La tabla óptima es:

Base S1 X2 X3 Zj Cj - Zj

Solución

X1

X2

X3

S1

S2

S3

20 10 20 4800

-2 - 1/3 7/6 170 110

0 1 0 120 0

0 0 1 180 0

1 0 0 0 0

0 1/3 - 1/6 10 - 10

- 1 - 1/6 1/3 40 - 40

De acuerdo con esta solución: 1.

Cuál es el estado de cada uno de los recursos?

2.

Cuál es el precio sombra de cada uno de los recursos? Qué representan dichos precios?

3.

Cuáles son las tasas de sustitución? Qué representan dichas tasas? por ejemplo para X1.

4.

Cuál es la matriz inversa de la base inicial?

5.

Suponga que le ofrecen 30 unidades adicionales del recurso 2 con un sobreprecio de 8$/unidad. Compraría usted estas unidades adicionales? En caso afirmativo, cuál es la nueva solución? Qué pasaría si la oferta fuera de 60 unidades?

6.

Suponga que la disponibilidad del recurso 3 disminuye hasta 70 unidades, cuál es la nueva solución?

7.

Si b1 se aumenta hasta un valor de 140, cuál sería el ef ecto sobre la solución? Cuánto podría disminuir la disponibilidad del recurso 1 de manera que la solución siga factible?

8.

Cuánto puede cambiar la disponibilidad de cada recurso de manera que la solución siga fa ctible? Es decir dentro de qué límites puede variar la disponibilidad de cada recurso para que no se afecte la factibilidad dela solución actual?

9.

Cuál es el intervalo de óptimalidad para los coeficientes de la función objetivo?

10. Cuál debería ser la utilidad de X1 para que sea lucrativa su fabricación? Si su utilidad se incrementa hasta 180, cuál es la nueva solución? 11. Cuál debe ser el valor de C3 para que X3 se convierta en no básica? 12. Qué tan grande debe ser b2 para dejar de ser una restricción limitante? 13. Cuál debería ser el valor de

a31 para que X1 entre en la solución?

14. Si la empresa se compromete en entregar 6 unidades de X1, cuál es la nueva solución? 15. Suponga que la empresa desarrolla un nuevo producto para el cual se estima que requiere: 2 unidades del recurso 1, 3 unidades del recurso 2 y 1 unidad del recurso 3. Si la utilidad por unidad se proyecta en $75. Determine si es lucrativa su fabricación y en caso afirmativo encontrar la nueva solución.




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