ANÁLISIS DE CAUDALES MÁXIMOS INSTANTÁNEOS (MÁXIMAS AVENIDAS) I.
CONCEPTOS:
Para el diseño de estruct estructuras uras hidráulicas hidráu licas es despre desprescindi scindible ble conoc conocer er cuant cuantitativ itativamente amente los caudales máximos y mínimos. Así por Ejm. Se debe conocer el caudal máximo para el diseño del vertedero de demasias de una represa, diseño de encauzamiento y deensas ribereñas, diseño de puentes y y alcantarillas, evacuaci!n de a"uas pluviales. Para el diseño de tomas y bocatomas es primordial conocer los valores de caudales máximos y mínimos. #os re"istros de caudales y precipitaciones máximas se ajustan a cinco modelos probabilísticas, lue"o se ajustan con prueb pruebas as estadís estadísticas ticas el mod modelo elo $ue mejor se ajuste o inalm inalmente ente se considera consid era el %ries"o de alla& y la %vida espera esperada& da& de la estruct estructura ura hidrá hidráulica ulica para obten obtener er el caudal máximo de diseño.
a)
MÉTO MÉ TODO DO DE DETER DETERMI MINA NACI CIÓN ÓN DE MÁXI MÁXIMA MA AVEN ENID IDA: A:
Se puede airm airmar ar $ue la aveni avenida da varia en unci! unci!n n de la superi supericie cie de la cuenc cuenca, a, orient orientaci!n aci!n,, oro"ráica, ve"etaci!n, clase de terreno, permeabilidad del suelo. El a"ua $ue no se iniltra corre supericialmente ormando vertientes, arroyos y 'ltimamente ríos, aumentando su volumen por la aportaci!n sucesiva de los conluentes, varia especialmente con la extensi!n de la cuenca y en los dierentes años con la intensidad de lluvia $ue motive la avenida. Para la determinaci!n de avenidas existen básicamente cuatro m(todos) *
+(to +( todo do di dire rect cto o o hi hist st!r !ric ico. o.
*
+(todo empírico.
*
+(to +( todo do del del hi hidr dro" o"ra rama ma unit unitar ario io..
*
+(to +( todo doss prob probab abil ilís ísti tico cos. s.
El calcul calculo o del caudal de diseño de las estruc estructuras turas hidráu hidráulicas licas tiene dos proced procedimient imientos os de inormaci!n de acuerdo al tipo de re"istro.
b)
*
e"ist e" istro ro de caudales caudales máximos máximos ins instan tantán táneos eos en m- m-se" se"..
*
e"ist e" istro ro de pre precip cipitac itacion iones es máx máxima imass de /0 hrs en mm mmho hora. ra.
MÉT MÉ TODO DI DIRE RECT CTO O O HIS ISTÓ TÓRI RICO CO::
Se establece, sea por observaci!n directa o pre"untando a al"'n conocedor del lu"ar, hasta $ue altura alt ura sub subee el a"u a"uaa en una crec crecien iente te y se pue puede de con conoce ocerr la secc secci!n i!n lue lue"o "o se apl aplica ican n las ormulas de lujo en canales naturales. #a desventaja principal de este m(todo es $ue no se puede conocer el periodo de retorno de la avenida. +uchas veces las señales dejadas por la "ran creciente son imprecisos, estas pueden deberse a una creciente anual o una creciente pluvioanual.
c)
MÉTODO EM EMPÍRICO:
Es el m(to m(todo do más anti" anti"uo uo y consis consiste te en establ establecer ecer una relaci! relaci!n n unci uncional onal entre el área de la ciencia1 la intensidad de la lluvia y la temperatura. #os m(todos empíricos son el caliorniano, ven 2e 3ho4, 5iandottic, 6.S. 3orps o en"ineers, etc. 3ada una de estas ormulas pueden dar
resultados aceptables para a$uella cuenca cuyas desviaciones la hayan dado ori"en1 %6nas no cabe& "eneralizarlo o utilizar para toas las cuencas los resultados diieren mucho para una misma supericie y se comprende la disparidad por $ue una avenida es unci!n de muchos actores.
II.
MÉTODO RACIONAL: DEFINICIÓN:
Escorrentía máxima o descar"a de diseño es el máximo caudal $ue se espera pueda ocurrir con un determinado periodo de retorno o recuencia en años, durante el periodo de vida 'til del proyecto u obra.
PROPÓSITO: #as obras de conservaci!n de suelos como canales de desviaci!n o evacuaci!n, alcantarillas, di$ues de retenci!n para control de cárcavas, etc se deben diseñar de tal manera $ue sean capaces de resistir este evento o caudal máximo, el mismo $ue construye un criterio básico para las dimensiones de las estructuras. #a ma"nitud de la descar"a de diseño se calcula de acuerdo al periodo de retorno 7años8 esco"ido1 la avenida máxima con 9: años de recuencia será sensiblemente menor $ue a$uella $ue se presenta con 9: años y así sucesivamente. Por lo tanto la selecci!n del periodo de retorno está en relaci!n directa con la naturaleza e importancia de la obra. Si se tratan de sistemas de tratamiento temporal $ue no ten"an mucho peli"ro de causar daños como pe$ueñas alcantarillas etc. Es suiciente una recuencia de 9: años1 si son obras de ciertas rápidas, caídas, muros de contenci!n, etc el tiempo de retorno puede esco"erse en /; años1 inalmente si se trata de aliviadores de reservorios medianos, deensas ribereñas costosas, puentes, carreteras, etc. Puede esco"erse ;: ! 9:: años, sean la inversi!n comprometida y el ries"o de daños personales $ue se pueden producir en caso de alla. #a predicci!n de los picos de descar"a, vol'menes y distribuci!n en el tiempo de escorrentía no es un trabajo simple. Para calcular las descar"as se utilizan procedimientos diversos $ue sintetizan una serie de actores, principalmente relacionados con la precipitaci!n 7
ur ?rec.8, la topo"raía y "eomorolo"ía 7área, lon"itud de ríos y otros8 y los llamados coeicientes de escorrentía $ue expresan la relaci!n entre el a"ua $ue precipita y el "ua $ue escurre sobre la supericie. El actor tiempo o recuencia de ocurrencia se incluye dentro del actor precipitaci!n, seleccionando un periodo de retorno determinado. #a mayoría de procedimientos se basan en análisis estadísticos para determinados lu"ares y por lo tanto su aplicaci!n no es universal.
LUGAR CONDICIONES PARA SU APLICACIÓN: El m(todo racional es uno de los pocos universalmente aplicables cuando se dispone de escasos datos1 y su eiciencia aumenta con la experiencia y apreciaci!n del t(rmico $ue usa. Es muy apropiado para áreas de drenajes pe$ueñas, "eneralmente no mayores a ;: @as.1 sin embar"o al"unos autores recomiendan su aplicaci!n hasta límites de 9,;::. @as.
RESTRICCIONES: El m(todo racional no debe de preerencias ser usado para supericies de más de ;: @as. Por $ue asume) *
ue la precipitaci!n ocurre a una intensidad uniorme por un tiempo por lo menos i"ual al tiempo de concentraci!n.
*
ue la precipitaci!n ocurre con una
LA FORMULA RACIONAL: #a ormula racional ue desarrollada por +ulvaney en
CIA -F:
>onde) 3 es la descar"a máxima en m-s. 3 es el coeiciente de escorrentía $ue despu(s del relieve, textura, condiciones de cobertura ve"etal, etc. < es la máxima intensidad de lluvia de concentraci!n 72c8 de la cuenca. Se expresa en mmhr. A es el área de recepci!n o drenaje en @as. #a !rmula del m(todo racional no proporcional un hidro"rama de descar"a, para un determinado periodo de recuencia. Este dato es suiciente para el diseño de estructuras de evacuaci!n de a"uas supericiales como canales de desviaci!n, canales de desa"Ge, al cantarillas, rápidas, caídas, aliviaderos, etc.
TERMINACIÓN DEL TIEMPO DE CONCETRACIÓN (!c) El tiempo de concentraci!n se deine como el tiempo $ue tarda el a"ua en viajar desde el punto más remoto del área, hasta el punto de la desembocadura o control. #a distancia de este recorrido del a"ua se asume i"ual a la lon"itud del cause de drenaje o río 7#8.
El tiempo de concentraci!n se puede calcular de las s"tes. +aneras)
a)
E" #$"c%&" ' a *"'%"! + ,"-%!$' ' ca$ ' /0,.1 2c :.:/;F H :.CC - / L Siendo) H 9 / H >onde) 2c Es el tiempo de concentraci!n en min. # Es la lon"itud del cause de drenaje en metros. @ Es la dierencia de nivel entre el punto más alto y más bajo del cause en metros.
Este m(todo no es adecuado para el caso 79*b8.
b)
E" #$"c%&" ' a *"'%"! 22a'%a3 ' !//", + c,b/!$/a 4-!a.1
#a tabla Iol muestra los valores aproximados de la velocidad de la escorrentía, en unci!n de la pendiente media del terreno y su cobertura ve"etal, basada en los trabajos de amser y @orton, de modo $ue se puede estimar 2c dividiendo la distancia del recorrido más remoto entre dicha velocidad. #a ?i". IJ / es una soluci!n "ráica de la tabla IJ 9 y proporciona directamente los valores del 2c conociendo la lon"itud de recorrido, la pendiente media del terreno y su cobertura. Este m(todo es aplicable para el caso 79*b8. Ejem. >e aplicaci!n) En un área cuya extensi!n uera de 9: @as. >e las cuales / @as. 2uviera una pendiente predominante de 0K1 0 @ás. 2uviera 9;K y los restantes 0 has tuviera /;K, la pendiente ponderada representativa del área sería) / x 0 + 0 x9; + 0 x /;
S
9:
= 9F.BK
Por tanto estará considerado en el ran"o de pendiente de 9; a /:K y además si la cobertura ve"etativa es uniorme en todo el área por Ejm. >e pastos y potreros y la lon"itud de recorrido es 0:: mts. Se utiliza directamente la i" /. 3urva L C y se determina) 2c-:: se". ;.: min. Si en aplicaci!n del ejem. Anterior se observa $ue el uso del suelo no es uniorme en todo el área1 por ejm. >e las 9: hás, 0 hás se dedican a cultivos de limpio, / hás son de pastos con buena cobertura y las restantes 0 hás. 2iene bos$ue, el calculo se hara utilizando la tabla Io9. ÁREA
/ / / 0 9: @ás
PENDIENTE 5
0 9; 9; /;
USO O CO6ERTURA
VELOC. MED. PARCIAL (' !aba N, 7)
3ultivo en limpio 3ultivo en limpio Pastos o potreros Mos$ues
Nelocidad media ponderada en toda el área
:.F: ms 9.;: 9./: 9.0: 9/ ./ 9:
ÁREA X VEL.
9./ -.: /.0 ;.F 9/./
9.// ms
Sí la lon"itud de recorrido es 0:: mts. Entonces) 2c
0:: 9.//m s
= -/Bseg . = ;.0 min .
TERMINACIÓN DEL COEFICIENTE DE ESCORRENTI 8C9. El coeiciente de escorrentía 738 es obtiene de la tabla IO / evaluando cuatro condiciones de la cuenca) relieve, iniltraci!n, cobertura ve"etal y almacenamiento supericial. Ejm de aplicaci!n) Se tiene un área de @ás, C.; de las cuales se encuentran en la parte más alta de una ladera con pendiente de /BK y las restantes /.; en la parte inerior con una pendiente de 9:K ; hás. ; hás de la parte superior son suelos supericiales con terreno rocoso de insi"niicante capacidad de
iniltraci!n, mientras $ue las otras ; hás tienen una proundidad 9 mt. son suelos rancos con iniltraci!n moderada. #as /.; hás más altas tienen terreno con pastos nativos de"radados con menos de ;K de cobertura eectiva, mientras $ue la zona intermedia de ; hás presenta la mitad del área con buenos pastizales y árboles y la otra mitad es dedicada a cultivos en limpio. Io hay almacenamiento sup. Se desea construir un canal de desviaci!n para evacuar las a"uas de escorrentía de está área hacia un desa"Ge natural, sin causar erosi!n, para prote"er las propiedades situadas más abajo. 3on los datos suministrados buscamos en la tabla IO / procedemos como) CONCEPTO PUNTAJE % AREA (HAS) PONDERADO PARCIAL VALOR DE Ci % Pendiente 30 7.5 225 (C ) 20 2.5 50 275 : 20 Hás. = 27.5 ----------------------------------------------------------Infilt. 20 5.0 100 (C2) 10 5.0 50 ----------------------------------------------------------150 : 10 hás = 15.0 ----------------------------------------------------------Cobetu! 15 2.5 37.5 "e#et!l 10 5.0 50.0 (C3) 15 2.5 37.5 ----------------------------------------------------------125.0: 10 Hás = 12.5 ----------------------------------------------------------$l!&en!'iento u-20 10 200: 10 h!s = 20.0 Pefi&i!l (C) -.-.-.--.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. "$*+, +$* /* C+/ICI// = 75.0% -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.--.-.-.-.-.
OCEDIMIENTO: EEMPLO DE APLICACIÓN Se desea proyectar un canal de desviaci!n de ;::m. >e lon"itud, para deender unos terrenos de cultivo contra la erosi!n $ue produce la escorrentía de una zona situada en la parte superior de una ladera, de acuerdo con el ejm. Anterior.
a)
TIEMPO DE CONCETRACIÓN.
Para 2c9 usaremos el se"undo m(todo y de la tabla se obtiene) AEA
PEI>
3QME26A
NE#Q3. PA3
AEA R NQ#
/.; /.; /.; /.;
/B /B /B 9:
Pasto natural Pasto árbol 3ultivo limpio 3ultivo limpio
9.F 9.F 9.D 9.D
0.; 0.: 0.C; 0.C;
9: @ás
9B.:
Nelocidad media ponderada 9B **** 9.B ms 9: Asumiendo $ue la mayor lon"itud de recorrido sea 0::m. 0:: 2c9 *************** ///./ se". -.C min. 9.B
El tiempo de concentraci!n 2c/ se calcula de acuerdo a la velocidad del canal de desviaci!n. En estos casos, para calcular los tiempos de concentraci!n desde el punto de vista conservador, conviene tomar velocidades altas. Asumiendo $ue será un canal excavado entierra ranca, sin revestir, la velocidad máxima permisible será 9 ms ;:: 2c/ ***** B.- min. 9 2c 2cl 2c/ -.C B.- 9/ min.
b)
COEFICIENTES DE ESCORRENTIA. 3omo se explica en el Ejm. Anterior 3 :.C;
c)
INTENSIDAD MÁXIMA. 2ratándose de una ace$uia de desviaci!n, usaremos una recuencia de 9: años para una duraci!n de 9/ min. Se obtiene)
I ; <= 22>?/. ')
CAUDAL MÁXIMO DE DISE@O. 3
III.
MÉTODOS ESTADÍSTICOS O PRO6A6ILÍSTICOS:
DELOS HIDROLÓGICOS: Se"'n 3ho4v. +aiduant y +ays 79DB08, un modelo de sistema hidrol!"ico e4s una aproximaci!n al sistema real) sus entradas y salidas son variables hidrol!"icos mensurables y su estructura es un conjunto de ecuaciones $ue conectan las entradas y salidas. #os modelos hidrol!"icos pueden dividirse en dos cate"orías) modelos ísicos y modelos abstractos. #os primeros incluyen, modelos de escala $ue rerentan el sistema en una escala reducida, tal como un modelo hidráulico del vertedero de una prosa. #os modelos abstractos representan el sistema en orma matemática, la operaci!n del sistema se describe por medio de un conjunto de ecuaciones $ue relacionan los variables de entrada y salida. Estas unciones pueden ser unciones de espacio y del tiempo y tambi(n pueden ser variables probabilísticas y aleatorias, $ue no tienen un valor ijo en un punto particular del espacio y tiempo, pero $ue están descritas a trav(s de distribuciones de probabilidad. Ponce N. 79DBD8, en in"eniería hidrol!"ica, existe cuatro tipos de modelos matemáticos) 798 deterministico 7/8 probabilístico, 7-8 conceptual1 708 param(trico. 6n modelo deterministico1 es
ormulado usando leyes de procesos ísicos y $uímicos, tambi(n descrito por ecuaciones dierenciales1 un modelo probabilístico, si es estadístico es "obernado por las leyes de la probabilidad y aleatoriedad los modelos estadísticos tratan con muestras observadas, considerando $ue los modelos estocasticos, enocan en los propiedades aleatorias de serios de tiempo hidrol!"icos ejm. 6n descar"a diaria un modelo conceptual es una representaci!n simpliicada del proceso ísico, obtenida por los variaciones espacial y temporal y describido en terminos de cual$uiera de las ecuaciones dierenciales o ecuaciones al"ebraicas. 6n modelo Parametrico, representa procesos hidrol!"icos por medio de ecuaciones al"ebraicas, esto contiene parámetros claves para ser determinado en orma empírica. NAAS E. ?EE P. 79DC/8, #os en!menos $ue se presentan en la in"eniería, pueden clasiicarse desde el punto de vista de la certeza de su ocurrencia, en determinísticos y y probabilísticos. Si la probabilidad de ocurrencia de las variables en proceso es cierta, es decir se"urar una ley determinada no probabilístico. En cambio si se toma en cuenta la probabilidad de ocurrencia y la alta de certeza existente entonces se habla de un proceso de naturaleza probabilística en el campo de la in"eniería de la hidrol!"ica pertenecen a la cate"oría de los TTTT probabilísticos o estadísticos. En ri"or, existe dierencias entre los procesos probabilísticos y los estocásticos. #os primeros son independientes del tiempo y los se"undos son dependientes. Se denominan proceso estadístico a un conjunto de variables aleatorias cuyas características varían en el tiempo. En un proceso probabilístico, independiente de la variable del tiempo, la secuencia de las variables no interesan y se supone $ue ellas si"uen un determinado comportamiento dado por el modelo probabilístico o distribuci!n.
FUNCIONES DE DISTRI6UCIÓN DE PRO6A6ILIDAD USADAS EN HIDROLÓGIA. 3here"ue U. 79DBD8, dada pues una variable aleatoria, interesará describir la probabilidad de ocurrencia de los distintos estados. Esto se consi"ue "racias a un modelo matemático de su comportamiento o modelo probabilístico. Esta distribuci!n probabilística permite calcular) 9.
#as probabilidades de los distintos estados o valores $ue pueden tomar la variable aleatoria.
/.
#a probabilidad de tener valores mayores o maneras $ue en determinado límite.
-.
#os valores de probabilidad de ocurrencia asociadas aleatoria.
a cada
valor de la variable
El tratamiento mas com'n de los datos así. preparados, es el ploteo de los pares de puntos P ! 2 versus en un papel con escalas apropiadas. Para prop!sitos "enerales la escala del papel usadV no es al9yrnple, 9,DF/8 $ue aproxima el "ráico de una recta. * ln
9 − ln9 − T
>onde). es una distancia lineal y 2 el periodo de retorno1 dando valores a 2 se puede construir un papel probabilística, en el cual "eneralmente los periodos de retorno se colocan en las abcisas y las descar"as en las ordenadas1 esta 'ltima escala puede ser transormada en lo"arítmica, dando ori"en a otro papel. Es com'n en nuestro país $ue la mayor parte de los re"istros disponibles de descar"as no sobrepasen /: o /; años, y dado $ue las necesidades del proyecto re$uieren periodos de retorno superiores1 la tendencia es de usar la curva de recuencia para eectos de extrapolaci!n, por lo $ue esto debe ser hecho con mucho criterio1 la distancia lineal entre /; y /;: años parece corta en los
"ráicos, pero la extrapolaci!n solo puede justiicarse cuando se veriica $ue el en!meno se ajusta a la ley establecida. +uchos investi"adores intentaron establecer las leyes te!ricas de probabilidades $ue se ajustasen mejor a las muestras de n elementos de modo a poder estimar, para cada caudal máximo , la probabilidad te!rica P de ocurrir o ser sobrepasada. En la práctica es posible eectuar el ajuste de varias distribuciones te!ricas a una determinada muestra. Para comparar y concluir cual de ellas, se plotean los valores en el papel respectivo y se esco"e la $ue mejor se aproxima a una línea recta. Existen a disposici!n del interesado pa$uetes de pro"ramas $ue eect'an ese trabajo 7Silveira et al., 9DB-8, acilitando sensiblemente el análisis, ya $ue el propio computador diseña el papel adecuado. A continuaci!n serán examinadas con al"'n detalle, las distribuciones te!ricas más usadas para el análisis de máximas avenidas, indicando $ue no existe un criterio deinido para la selecci!n a priori de la distribuci!n más adecuada.
ÓN LOG NORMAL: Es una distribuci!n apropiada para una variable aleatoria cuyos lo"aritmos si"uen una distribuci!n normal, con parámetros µ y σ . #os datos hidrol!"icos, a veces, tienen una distribuci!n uertemente asim(trica y en "eneral en esos casos una transormaci!n lo"arítmica la transorma en una distribuci!n normal. Así la unci!n de densidad y la unci!n de distribuci!n acumulada son) /
?78
9
σ /π
9
e
9 y − µ
/
σ
/
9 y − µ
P7Wdado8?78
∫ σ −ϖ
− /
9 /π
e
σ
dY
>onde) 9n µ
=
media poblacional, Y
σ
=
>esviaci!n estandar Sy
#a distribuci!n #o"*Iormal es de "ran utilidad por$ue abre el amplio campo te!rico de aplicaci!n de la distribuci!n Iormal. 3omo ambas distribuciones, Iormal y #o"*Iormal son de dos parámetros, basta calcular la media y la desviaci!n estandar de los caudales y de sus lo"aritmos, respectivamente. El "rado de ajuste de una serie de datos puede, como en los demás casos, ser examinado a trav(s del uso del papel de probabilidades #o"*Iormal, donde debe resultar una recta. En la literatura se puede encontrar tambi(n inormaci!n sobre la distribuci!n #o" Iormal de tres parámetros cuando esa linealizaci!n no se consi"ue 7audXivi, 9DCD8.
DISTRI6UCIÓN DE GUM6EL LOG GUM6EL. Entre las diversas distribuciones de valores extremos es la $ue actualmente tiene mayor utilidad. #os valores extremos en cuesti!n serian las descar"as diarias máximas anuales, ya $ue cada una es la máxima entre los -F; valores del año. Para aplicar esa ley, se debe tener en cuenta $ue existen n muestras, cada una constituida de -F; elementos, del universo de la poblaci!n ininita de la variable aleatoria $ue es el caudal diario. >e acuerdo con la ley de los extremos 7pinto et al., 9DCF8, la ley de distribuci!n de la serie de n t(rminos constituidos por los mayores valores de cada muestra tiende asint!ticamente para una ley simple de
probabilidades, $ue es independiente de la $ue ri"e la variable aleatoria en las dierentes muestras y en el propio universo de la poblaci!n ininita. Esa es la base del m(todo de 5umbel 7o distribuci!n de valores extremos 2ipo 98, en el cual se calcula P por la si"uiente relaci!n) P 9 =e*e*r
9 :.CDDC
7F8 7Q − Q + :.0;σ q 8
7C8
donde es la media de los n caudales máximos, P es la probabilidad de $ue un máximo caudal medio diario de un año cual$uiera sea mayor o i"ual a , y σ Q la desviaci!n estandar de los n caudales máximos. #a expresi!n de muestra $ue existe una relaci!n lineal entre (l y el valor de1 esa recta puede ser diseñada conoci(ndose) #a expresi!n de muestra $ue existe una relaci!n lineal (l y el valor de 1 esa recta Q ∑ 7Q − Q8 puede ser diseñada conoci(ndose) Q = ∑ yS n
σ
/
n −9
El eje está marcados los valores de puede ser "raduado en tiempo de retorno a trav(s de la relaci!n 29P y de esta manera, a cada caudal le corresponde un periodo de retorno1 conoci(ndose a este como papel de >istribuci!n 5umbel. El m(todo de 5umbel es de ácil aplicaci!n y se basa solo en dos parámetros, la media y la desviaci!n estándar, mientras $ue otros m(todos incluyen el coeiciente de asimetría. 3uando la asimetría es "rande, se toma X In y se procede al análisis como en el caso anterior, constituy(ndose una distribuci!n #o"*5umbel1 el "ráico establecido corresponde a una recta en el papel de probabilidades correspondiente, si el ajuste es adecuado.
ÓN PEARSON III LOG1PEARSON III. #a distribuci!n Pearson <<< posee la característica de ser asim(trica y no ne"ativa, lo $ue lo hace adecuada para describir los caudales máximos1 es una distribuci!n de tres parámetros. #a media, la desviaci!n estandar y el coeiciente de asimetría, son deinidos por las si"uientes relaciones. #a unci!n de densidad y la unci!n de probabilidad acumulada están dadas por) Q
=
S;
∑Q
(B)
n
∑ 7Q − Q8
/
()
n −9
7Q − Q 8 ∑ C ; / S ∑ 7Q − Q 8 -
/
=
q
n
∑Q
-
− -n7 ∑ Q87∑ Q / 8 + /n7 ∑ Q n7 n − 987 n − S q- 8
8-
(7)
#a unci!n de densidad y la unci!n de probabilidad acumulada están dadas por) −9
−
78 7Q − α 8 e β γ L 7γ 8
Q −α
β
7998
Q
78W7dado8 ∫ :
−9
7Q − α 8 e
−
γ
Q −α
β
d
79/8
β L7γ 8
>onde)
= α + βγ
α Parámetro de posici!n
Q
β = parámetro de escala
S$
γ Parámetro de orma.
β γ
3
/ γ
>e orma análo"a al caso anterior, si se hace ln , se "enera la distribuci!n #o"*Pearson <<<, procedi(ndose con un análisis semejante. El METODO DE FOSTER representa una aplicaci!n de la distribuci!n Pearson <<<, a trav(s de un ajuste del coeiciente de asimetría establecido por @azen.
9 + B.; n 3 3
79-8
>onde n es el tamaño de la muestra de caudales máximos diarios. Para la aplicaci!n del m(todo, se calculan los parámetros media, desviaci!n estandar y el coeiciente de asimetría.
FULLER: Es un m(todo de extrapolaci!n de datos hist!ricos basado no en una distribuci!n de recuencia, pero si en una re"la de probabilidad, $ue establece la si"uiente relaci!n entre Q Q Q Q
y el periodo de retorno 2) a blo" 2
7908
donde es el caudal diario más probable con periodo de retorno 21 a y b son coeicientes YZ1 determinados a partir de los datos hist!ricos. 3uando no existen series de datos observados, el autor propone los valores de) a 9:: b :.B obtenidos para un "ran n'mero de ríos, y el caudal medio puede encontrarse a trav(s de) Q
:.CDF:.B
79F8
Siendo A el área de la cuenca. >e esta orma, el caudal máximo diario para un periodo de retorno 2 en una cuenca de área A se obtiene) :.CDFA:.B79:.Blo"28
USO DE LOS FACTORES DE FRECUENCIA EN EL ANÁLISIS DE MÁXIMAS AVENIDAS. El actor de recuencia es un valor característico de la #ey de distribuci!n #o" Iormal, $ue tiene "ran si"niicaci!n en el análisis de eventos extremos y es conocido matemáticamente como la variable reducida. Este t(rmino ue usado por Nen 2e 3ho4 en combinaci!n con la !rmula "eneral para el análisis de recuencia hidrol!"icas, si"uientes) Q HS >onde H es el actor de recuencia, $ue depende de la #ey del evento hidrol!"ico y es te!ricamente id(ntico al actor de asimetría de la curva lo"arítmica. #a ecuaci!n del actor de recuencia 79C8 ue propuesta por 3ho4 79D;98, y se aplica a muchos distribuciones de probabilidad utilizadas en el análisis de recuencia hidrol!"ica. Para una distribuci!n dada, puede determinarse una relaci!n H = 2 entre el actor de recuencia y el periodo de retorno correspondiente. Esta relaci!n puede expresarse en t(rminos matemáticos o mediante una tabla.
c$"c%a *a/a a D%!/%b$c%&" N,/2a + L,-1N,/2a. Es el mismo $ue la variable normal estándar [ deinida por la ecuaci!n si"uiente) H[
Q − Q
79B8
S Q
El valor de [ correspondiente a una probabilidad de excelencia puede calcularse encontrando el valor de una variable intermedia U) 9 /
9 U ln / p
7:WP ≤ :.;8
9 U ln / P − 7 9 8
79Da8
9 /
7p\:.;8
79Db8
El valor de [ puede ser obtenida de tabla o calculada con la si"uiente ecuaci!n de aproximaci!n) H[U*
/.;9;;9C + :.B:/B;-W + :.:9:-/BW 9 + 9.0-//CBBW + :.9BD/FDW /
/
+ :.::9-:BW -
7/:8
Para la distribuci!n #o". Iormal, se usa el mismo procedimiento excepto $ue (ste se aplica a los lo"aritmos de las variables.
c$"c%a *a/a a D%!/%b$c%&" G$2b + L,-1G$2b. Para la distribuci!n de Nalor Extremo 2ipo <, 3ho4 79D;-8 dedujo la si"uiente expresi!n) H *
F
π
ln T : . ;CC/ ln + T − 9
7/98
9 2
9 − exp − exp − :.;CC/ +
K
π
F
7//8
3uando la variable es i"ual a la media H Q y 2 /.-- años, $ue corresponde al periodo de retorno de la media de la distribuci!n. Para la distribuci!n #o"*5umbel, se usa el mismo procedimiento excepto $ue (ste se aplica a los lo"aritmos delas variables.
c$"c%a *a/a a D%!/%b$c%&" Pa/," III + L,-1Pa/," III. Para la distribuci!n #o"*Pearson <<<, el primer es tomar los lo"aritmos de la inormaci!n y lue"o se procede a calcular la media, desviaci!n estándar y el coeiciente de asimetría de los lo"aritmos de los datos. El actor de recuencia depende del periodo de retorno 2 y del coeiciente de asimetría 3. 3uando 3Q el actor de recuencia H es i"ual a la variable normal estándar [ y cuando 3 Q el actor de recuencia se aproxima por Hite 79DCC8 como)
≠
H[ ( z
/
/
-
0
;
C 9 C C C 9 C − 9) + ( Z - − F Z ) − 7 Z / − 98 + Z + 7/-8 F F F F - F
#os valores de [ y H para un periodo de retnorno dado pueden calcularse a trav(s de las ecuaciones 7/:8 y 7/-8 o en su deecto obtenerse de las tablas $ue se presentan al inal del texto.
,"#%a"a *a/a a D%!/%b$c%," ' Va,/ E!/2,. #os datos observados, "raicados en los papeles de probabilidad correspondientes, muestran una tendencia linial recta, sin $ue la línea ajustada se localice exactamente sobre los puntos pleteados. Este hecho muestra $ue los datos no pueden ser representados con absoluta conianza por la teoría de probabilidades. Por lo tanto la distribuci!n de los datos de probabilidad acumulada pueden ser descritas por los #ímites de 3onianza, establecida a ambos lados de la curva de ajuste, $uedando entonces la nube de puntos ploteados dentro de estos límites con un cierto "rado de probabilidad. Para ello se calcula, en primer lu"ar, el inventario de conianza a partir del error estándar de la media y de la desviaci!n estándar multiplicándose por el estadístico %t& de Student esco"ido en unci!n del n'mero de "rado de libertad 7v8.
I"!/4a, ' C,"#%a"a: IV;
tS Q n
79 + :.;Z 89 /
L02%! ' C,"#%a"a S$*/%,/: #3S <3 L02%! ' C,"#%a"a S$*/%,/: #3< * <3 El n'mero de "rados de libertad se calcula tamaño de la muestra 7n8) vn*X.
restando el n'mero de parámetros 7X8 al
