Dinâmi Dinâmica ca de Máquin Máquinas as Análise de Forças Forças
Representação Vetorial
Representação Vetorial
Representação de vetores no plano por números complexos:
O “ j ” significa:
Um número no plano complexo pode ser escrito como:
n
j
Ae
Onde A é o módulo de n e θ é o ângulo da posição do número.
Um vetor no plano pode ser representado pela forma complexa: j x jy Ae r P P P
Identidade de Euler e
j
cos jsen
Sistema inercial (fixo) de referência: – Sistema de eixos cartesianos em repouso ou com velocidade constante; – Denotados com letras maiúsculas (X, Y, Z).
Sistema móvel (transladado): – Coordenadas acompanham algum ponto (transladando); – Nesse caso os vetores no sistema móvel e no inercial são iguais.
Sistema móvel (transladado e rotacionado): – Coordenadas acompanham algum ponto (transladando e rotacionando); – Neste caso os vetores na base móvel e na inercial são diferentes.
Transformação com sistema em rotação Base Inercial (I)
Transformação com sistema em rotação Base Móvel(M)
Leis de Newton do movimento
1ª lei:Um corpo em repouso/movimento uniforme tende a permanecer em repouso/movimento uniforme se o mesmo não for submetido à força externa. d (mv )
F
V=0 ou V=constante
dt
F 12 F 21
2ª lei: Força resultante sob um corpo é igual à derivada do momento linear Considerando a massa constante:
F
d (mv) dt
F ma
3ª lei: Para cada força ativa existe uma força de reação de mesma magnitude e direção em sentido contrário
F AB F BA
Momento de massa: Integral das posições x, y, z de cada elemento infinitesimal de massa dm:
ydm zdm
M x xdm
ydm zdm
M x xdm
M y M z
M y
M z
T I CG
Centro de massa (CM/CG): Ponto do corpo onde os momentos de massa se anulam (planos de simetria passam no CM):
Momento de inércia de massa( ICG): – Medida de resistência à rotação de um corpo
T I CG -Quanto maior o momento de inércia, maior é a dificuldade para girar o corpo.
( x ² z ²)dm ( x ² y ²)dm
I x ( y ² z ²)dm I y I z
Lei de Euler do movimento angular A 2ª lei de Newton pode ser expressa para explicar a dinâmica de rotações (lei de Euler):
TCG I CG
TCG= Momento resultante em relação ao CG ICG= Momento de inércia em relação ao CG α=Aceleração angular
Análise dinâmica via método Newton-Euler
Análise dinâmica via método Newton-Euler Análise cinética: Aplicação da lei de Euler em cada n-ésimo componente (preferencialmente na base móvel rotacionada pois o momento de inércia é constante dado que acompanha a rotação do próprio corpo.
T Móvel O
I Móvel Móvel n
Analise cinemática de um elo rotativo •
Definição do problema:
L
T
Torque atua em giro no plano (eixo saindo do slide)
0 T 0 T
Analise cinemática de um elo rotativo •
Definição dos sistemas de coordenadas: x
Y
Sistema inercial X-Y
y
O
Sistema móvel rotacionado x-y (acompanha o ângulo da barra X
Analise cinemática de um elo rotativo
Analise cinemática de um elo rotativo Definição do vetor posição utilizando notação complexa
I R CG
L
2
e
j
L/2= Comprimento do vetor θ=Ângulo do vetor
Analise cinemática de um elo rotativo Vetor velocidade d ( I RCG )
v CG I
dt
L d j e j 2 dt
I
v CG
Vetor aceleração
I
a CG
d ( I v CG ) dt
L
L
a CG j I a CG j I
a CG I
L d
j e ( j e ) 2 dt
e j j ²e j 2
L
e j j ²e j 2 e j j ²
j
j
L
2
je
j
Analise cinemática de um elo rotativo Substituindo a identidade de Euler: e j cos jsen E separando os componentes real e imaginário, obtém-se:
L ( sen ² cos ) j[ ( cos ² sen )] 2 2 L a CG , X ( sen ² cos ) I 2 L a CG ,Y ( cos ² sen ) I 2 As componentes em X e Y da aceleração são: a CG I
L
a CG ,X I
I
a CG ,Y
L 2
L 2
( sen ² cos )
( cos ² sen )
Aqui finaliza a análise cinemática (acelerações do centro de gravidade da barra) mas ainda temos que fazer a análise cinética da barra
Analise cinética de um elo rotativo Diagrama do Corpo Livre da Barra
2ª lei de Newton
F X ma CG , X
R X ma CG , X
F Y ma CG ,Y
R Y ma CG ,Y
RY W ma CG , X
RY m(a CG Y g )
Analise cinética de um elo rotativo Lei de Euler(momentos)
Lei de Euler (momentos) Fazendo o somatório dos momentos em relação ao ponto O na base móvel :
M TO
M
T mg cos
I M L 2
I
I mg cos T ou I
d ² dt ²
mg cos T
Problema dinâmico •
Diagrama de corpo livre da barra Y X
CG
T
R
W
Problema dinâmico •
Resumo dos resultados:
I mg
L
2
cos T
R X maCG, X RY m aCG ,Y g –
Onde:
L
Lei de Euler (equação do movimento)
2ª lei de Newton (reações dinâmicas)
aCG, X 2 L 2 aCG,Y cos sin 2 sin
2 cos
Problema dinâmico •
Quantas equações temos ? –
•
x
O que pode ser admitido como y conhecido ? –
–
•
3 equações;
Momento de inércia (I); m, g , L, T (torque de entrada).
Y
O
Quantas incógnitas ? e (contam como 1 incógnita); , R X e RY (2 incógnitas). –
–
X
Problema dinâmico •
•
1º passo: Resolver a equação do movimento e obter (posições, velocidades e acelerações angulares em função do tempo); L I mg cos T 2 2º passo: calcular as reações:
R X maCG, X RY m aCG ,Y g
aCG, X aCG,Y
L
L
2
2
sin
cos
2 cos
2 sin
Problema dinâmico •
Como resolvo essa equação diferencial ?
L I mg cos T
2
•
–
“Na mão” (analiticamente) ? (complicado !);
–
Numericamente ? (melhor, precisa de um PC).
Série de Taylor, Runge-Kuta, PreditorCorretor,...
Resolução numérica de EDOs •
•
•
Muitos sistemas são modelados via equações diferenciais; Solução analítica nem sempre é de fácil obtenção; Solução numérica é mais conveniente considerando a capacidade atual de processamento de computadores.
Solução da EDO da barra em rotação •
Resolvam agora:
L I mg cos T
2
•
Com os seguintes valores:
I 0.2147 m 1.0064 L 0.8 T 2.9 g 9.8
[kg*m2] [kg] [m] [N*m] [m/s2]
(t
0) / 2 [rad]
(t
0) 0
[rad/s]
