Formato Integración de funciones trigonométricas Datos del estudiante Nombre:
Jhonatan Álvarez Vargas Vargas
Matrícula:
160021
Nombre de la Evidencia de Aprendizaje:
Integración de funciones trigonométricas
Fecha de entrega:
1!"Fe#rero"201
Nombre del Módulo:
$alculo Integral
Nombre del asesor:
José %e&naldo Delgado 'endoza
Par ar e al i z ares t aEv i de nc i adeApr endi z aj eesnec es ar i o que hay as compr endi do l os cont eni dos que se t e p r e s en t a r o ne nl aUn i d ad1 .
Instrucciones( 1. bt!n la integral de las siguientes "unciones trigonom!tricas.
Función 1
∫ se n ( x ) dx 2
sen ( x x )= 2
#sar la siguiente identidad:
¿∫
1
−cos ( 2 x ) 2
−cos ( 2 x )
1
2
dx
$acar la constante:
∫ a ∙ f ( ( x x ) dx =a ∙∫ f ( ( x x ) dx
©UVEG.De r e c h osr e s er v a do s .E lc o nt e ni d od ee s t ef o r ma t on op ue des erd i s t r i b ui d o,n it r a ns mi mi t i d o,p ar c i a lot o t a l me nt e ,me di a nt ecu al q ui e rme di o ,mé t o doos i s t e ma ma i mp r e s o,e l e ct r ó ni c o,ma gn ét i c o,i n cl u y en doe lf o t o co pi a do ,l af o t o gr a f í a ,l ag r a ba ci ó nou ns i s t e mad ma er e cu pe r a c i ó nd el ai n f o r ma ci ó n,s i nl aa ut o r i z ac i ó np ore s c r i t od el a Un i v e r s i d adVi r t u al d el Es t a dod eGu an aj u at o ,d e b i d oaq ues et r a t ad ei n f o r ma c i ó nc o nfi d en c i a lq ues ó l op ue des e rt r a ba j a dop orp er s o na la ut o r i z a dop ar at a lfi n .
1
¿ ∙∫ 1− cos ( 2 x ) dx 2
Aplicar la regla de la suma:
¿
1 2
∫ f ( x ) ± g ( x ) dx=∫ f ( x ) dx ±∫ g ( x ) dx
(∫ 1 dx−∫ cos ( 2 x ) dx )
∫ 1 dx %ntegral de una constante:
∫ adx = ax
¿ 1∙ x $impli"icando
¿ x
∫ cos ( 2 x ) dx Aplicar integración por sustitución:
∫ f ( g ( x ) ) ∙ g ( x ) dx =∫ f ( u ) du,u= g ( x)
∫ cos (2u ) du $acar la constante
∫ a ∙ f ( x ) dx =a ∙∫ f ( x ) dx
1
¿ ∙∫ cos ( u ) du 2
Aplicar la regla de integración
∫ cos ( u ) du= sen(u )
1
¿ sen (u ) 2
$ustituir en la ecuación
u=2 x
©UVEG.De r e c h osr e s er v a do s .E lc o nt e ni d od ee s t ef o r ma t on op ue des erd i s t r i b ui d o,n it r a ns mi t i d o,p ar c i a lot o t a l me nt e ,me di a nt ecu al q ui e rme di o ,mé t o doos i s t e ma i mp r e s o,e l e ct r ó ni c o,ma gn ét i c o,i n cl u y en doe lf o t o co pi a do ,l af o t o gr a f í a ,l ag r a ba ci ó nou ns i s t e mad er e cu pe r a c i ó nd el ai n f o r ma ci ó n,s i nl aa ut o r i z ac i ó np ore s c r i t od el a Un i v e r s i d adVi r t u al d el Es t a dod eGu an aj u at o ,d e b i d oaq ues et r a t ad ei n f o r ma c i ó nc o nfi d en c i a lq ues ó l op ue des e rt r a ba j a dop orp er s o na la ut o r i z a dop ar at a lfi n .
1
¿ sen (2 x ) 2
(
¿ 1 x − 1 sen ( 2 x ) 2
2
)
Agregando constante a la solución
(
)
¿ 1 x − 1 sen ( 2 x ) + C 2
2
Función 2
∫ cos (3 x ) dx 2
#sar la siguiente identidad:
¿∫
1
+ cos (2 ∙ 3 x ) 2
$acar la constante:
cos
2
( x )=
(
+
1 cos 2 x
)
2
dx
∫ a ∙ f ( x ) dx =a ∙∫ f ( x ) dx
1
¿ ∙∫ 1 + cos ( 2 ∙ 3 x ) dx 2
Aplicar la regla de la suma:
¿
1 2
∫ f ( x ) ± g ( x ) dx=∫ f ( x ) dx ±∫ g ( x ) dx
(∫ 1 dx+∫ cos (2 ∙ 3 x ) dx )
∫ 1 dx
©UVEG.De r e c h osr e s er v a do s .E lc o nt e ni d od ee s t ef o r ma t on op ue des erd i s t r i b ui d o,n it r a ns mi t i d o,p ar c i a lot o t a l me nt e ,me di a nt ecu al q ui e rme di o ,mé t o doos i s t e ma i mp r e s o,e l e ct r ó ni c o,ma gn ét i c o,i n cl u y en doe lf o t o co pi a do ,l af o t o gr a f í a ,l ag r a ba ci ó nou ns i s t e mad er e cu pe r a c i ó nd el ai n f o r ma ci ó n,s i nl aa ut o r i z ac i ó np ore s c r i t od el a Un i v e r s i d adVi r t u al d el Es t a dod eGu an aj u at o ,d e b i d oaq ues et r a t ad ei n f o r ma c i ó nc o nfi d en c i a lq ues ó l op ue des e rt r a ba j a dop orp er s o na la ut o r i z a dop ar at a lfi n .
%ntegral de una constante:
∫ adx = ax
¿ 1∙ x $impli"icando
¿ x
∫ cos (2 ∙ 3 x ) dx Aplicar integración por sustitución:
$ustituir:
∫ f ( g ( x ) ) ∙ g ( x ) dx =∫ f ( u ) du,u= g ( x )
u=2 ∙ 3 x
d ( 2 ∙ 3 x ) dx
$acar la constante
¿ 2∙ 3
( a ∙ f )' =a∙ f '
d ( x ) dx
Aplicar la regla de derivación
d ( x ) =1 dx
¿ 2∙ 3 ∙1 $impli"icando
¿6 ⟹
du=6 dx
⟹
dx = du
1 6
©UVEG.De r e c h osr e s er v a do s .E lc o nt e ni d od ee s t ef o r ma t on op ue des erd i s t r i b ui d o,n it r a ns mi t i d o,p ar c i a lot o t a l me nt e ,me di a nt ecu al q ui e rme di o ,mé t o doos i s t e ma i mp r e s o,e l e ct r ó ni c o,ma gn ét i c o,i n cl u y en doe lf o t o co pi a do ,l af o t o gr a f í a ,l ag r a ba ci ó nou ns i s t e mad er e cu pe r a c i ó nd el ai n f o r ma ci ó n,s i nl aa ut o r i z ac i ó np ore s c r i t od el a Un i v e r s i d adVi r t u al d el Es t a dod eGu an aj u at o ,d e b i d oaq ues et r a t ad ei n f o r ma c i ó nc o nfi d en c i a lq ues ó l op ue des e rt r a ba j a dop orp er s o na la ut o r i z a dop ar at a lfi n .
1
¿∫ cos ( u ) du 6
¿∫
cos
(u )
6
du
$acar la constante:
∫ a ∙ f ( x ) dx =a ∙∫ f ( x ) dx
1
¿ ∙∫ cos ( u ) du 6
Aplicar la regla de integración
∫ cos ( u ) du= sen(u )
1
¿ sen (u ) 6
$ustituir en la ecuación
u=2 ∙ 3 x
1
¿ sen ( 2 ∙ 3 x ) 6
$impli"icando 1
¿ sen ( 6 x ) 6
(
1 1 ¿ x + sen ( 6 x ) 2
6
)
Agregando constante a la solución
(
)
¿ 1 x + 1 sen ( 6 x ) + C 2
6
©UVEG.De r e c h osr e s er v a do s .E lc o nt e ni d od ee s t ef o r ma t on op ue des erd i s t r i b ui d o,n it r a ns mi t i d o,p ar c i a lot o t a l me nt e ,me di a nt ecu al q ui e rme di o ,mé t o doos i s t e ma i mp r e s o,e l e ct r ó ni c o,ma gn ét i c o,i n cl u y en doe lf o t o co pi a do ,l af o t o gr a f í a ,l ag r a ba ci ó nou ns i s t e mad er e cu pe r a c i ó nd el ai n f o r ma ci ó n,s i nl aa ut o r i z ac i ó np ore s c r i t od el a Un i v e r s i d adVi r t u al d el Es t a dod eGu an aj u at o ,d e b i d oaq ues et r a t ad ei n f o r ma c i ó nc o nfi d en c i a lq ues ó l op ue des e rt r a ba j a dop orp er s o na la ut o r i z a dop ar at a lfi n .
Función )
∫ sen ( x )dx 3
Aplicando la siguiente propiedad algebraica: x
a
= x a− ∙ x 1
sen ( x )= sen ( x ) sen ( x ) 3
2
¿∫ sen ( x ) sen ( x ) dx 2
sen ( x )=1 −cos ( x ) 2
#sar la siguiente identidad:
2
¿∫ ( 1−cos ( x ) ) sen ( x ) dx 2
Aplicar integración por sustitución:
∫ f ( g ( x ) ) ∙ g ( x ) dx =∫ f ( u ) du,u= g ( x )
u= cos ( x )
$ustituir:
d ( cos ( x ) ) dx
Aplicar la regla de derivación:
d ( cos ( x )) =−sen( x ) dx
¿− sen ( x ) ⟹
du=− sen ( x ) dx
⟹
dx =
−1 du sen ( x )
¿∫ ( 1−u ) sen ( x ) 2
(
)
−1 du sen( x )
¿∫ u −1 du 2
©UVEG.De r e c h osr e s er v a do s .E lc o nt e ni d od ee s t ef o r ma t on op ue des erd i s t r i b ui d o,n it r a ns mi t i d o,p ar c i a lot o t a l me nt e ,me di a nt ecu al q ui e rme di o ,mé t o doos i s t e ma i mp r e s o,e l e ct r ó ni c o,ma gn ét i c o,i n cl u y en doe lf o t o co pi a do ,l af o t o gr a f í a ,l ag r a ba ci ó nou ns i s t e mad er e cu pe r a c i ó nd el ai n f o r ma ci ó n,s i nl aa ut o r i z ac i ó np ore s c r i t od el a Un i v e r s i d adVi r t u al d el Es t a dod eGu an aj u at o ,d e b i d oaq ues et r a t ad ei n f o r ma c i ó nc o nfi d en c i a lq ues ó l op ue des e rt r a ba j a dop orp er s o na la ut o r i z a dop ar at a lfi n .
Aplicar la regla de la suma:
∫ f ( x ) ± g ( x ) dx=∫ f ( x ) dx ±∫ g ( x ) dx
¿∫ u du−∫ 1 du 2
∫ u du 2
Aplicar la regla de la potencia:
¿
u
a+ 1
x x dx = , a ≠ −1 a +1
∫
a
+
2 1
+
2 1
$impli"icar
¿
u
3
3
∫ 1 du %ntegral de una constante:
∫ adx = ax
¿ 1∙ u $impli"icar
¿u
¿
u
3
3
−u
$ustituir en la ecuación
¿
( cos ( x )) 3
u= cos ( x )
3
− cos ( x )
$impli"icando
©UVEG.De r e c h osr e s er v a do s .E lc o nt e ni d od ee s t ef o r ma t on op ue des erd i s t r i b ui d o,n it r a ns mi t i d o,p ar c i a lot o t a l me nt e ,me di a nt ecu al q ui e rme di o ,mé t o doos i s t e ma i mp r e s o,e l e ct r ó ni c o,ma gn ét i c o,i n cl u y en doe lf o t o co pi a do ,l af o t o gr a f í a ,l ag r a ba ci ó nou ns i s t e mad er e cu pe r a c i ó nd el ai n f o r ma ci ó n,s i nl aa ut o r i z ac i ó np ore s c r i t od el a Un i v e r s i d adVi r t u al d el Es t a dod eGu an aj u at o ,d e b i d oaq ues et r a t ad ei n f o r ma c i ó nc o nfi d en c i a lq ues ó l op ue des e rt r a ba j a dop orp er s o na la ut o r i z a dop ar at a lfi n .
¿
cos
3
( x )
3
−cos ( x )
Agregando constante a la solución
¿
cos
3
( x )
3
−cos ( x ) + C
Función !
∫ sec (2 x) dx 4
Aplicar integración por sustitución:
$ustituir:
∫ f ( g ( x ) ) ∙ g ( x ) dx =∫ f ( u ) du,u= g ( x)
u=2 x
d ( 2 x ) dx
$acar la constante
¿2
( a ∙ f )' =a∙ f '
d ( x ) dx
©UVEG.De r e c h osr e s er v a do s .E lc o nt e ni d od ee s t ef o r ma t on op ue des erd i s t r i b ui d o,n it r a ns mi t i d o,p ar c i a lot o t a l me nt e ,me di a nt ecu al q ui e rme di o ,mé t o doos i s t e ma i mp r e s o,e l e ct r ó ni c o,ma gn ét i c o,i n cl u y en doe lf o t o co pi a do ,l af o t o gr a f í a ,l ag r a ba ci ó nou ns i s t e mad er e cu pe r a c i ó nd el ai n f o r ma ci ó n,s i nl aa ut o r i z ac i ó np ore s c r i t od el a Un i v e r s i d adVi r t u al d el Es t a dod eGu an aj u at o ,d e b i d oaq ues et r a t ad ei n f o r ma c i ó nc o nfi d en c i a lq ues ó l op ue des e rt r a ba j a dop orp er s o na la ut o r i z a dop ar at a lfi n .
d ( x ) =1 dx
Aplicar la regla de derivación
¿ 2∙ 1 $impli"icando
¿2 ⟹
du=2 dx
⟹
dx = du
1 2
1 ¿∫ sec ( u ) du 4
2
1 ¿∫ sec ( u ) du 4
2
∫ a ∙ f ( x ) dx =a ∙∫ f ( x ) dx
$acar la constante: 1 ¿ ∙∫ sec ( u ) du 4
2
Aplicar la reducción de integrales:
∫ sec ( x ) dx = n
¿
1 2
(
sec
n−1
sec ( u ) sen ( u ) 3
3
( x ) sen( x ) n−2 sec ( u ) sen ( u ) 2 n− sec ( x ) dx ∫ sec ( u ) du = + + ∫ sec ( u ) du ∫ n −1 n−1 3 3 3
2
4
2
)
2 + ∙∫ sec ( u ) du 2
3
∫ sec ( u ) du =tan ( u ) 2
Aplicar la regla de integración:
©UVEG.De r e c h osr e s er v a do s .E lc o nt e ni d od ee s t ef o r ma t on op ue des erd i s t r i b ui d o,n it r a ns mi t i d o,p ar c i a lot o t a l me nt e ,me di a nt ecu al q ui e rme di o ,mé t o doos i s t e ma i mp r e s o,e l e ct r ó ni c o,ma gn ét i c o,i n cl u y en doe lf o t o co pi a do ,l af o t o gr a f í a ,l ag r a ba ci ó nou ns i s t e mad er e cu pe r a c i ó nd el ai n f o r ma ci ó n,s i nl aa ut o r i z ac i ó np ore s c r i t od el a Un i v e r s i d adVi r t u al d el Es t a dod eGu an aj u at o ,d e b i d oaq ues et r a t ad ei n f o r ma c i ó nc o nfi d en c i a lq ues ó l op ue des e rt r a ba j a dop orp er s o na la ut o r i z a dop ar at a lfi n .
¿
1 2
(
sec
3
( 2 x ) sen ( 2 x ) 3
+
2 3
(
tan 2 x
)
)
$impli"icar
¿
1 2
(
2 3
(
tan 2 x
) + 1 tan (2 x ) sec ( 2 x ) 2
3
)
Agregando constante a la solución
¿
(
1 2 2 3
(
tan 2 x
)
) + 1 tan (2 x ) sec (2 x ) + C 2
3
©UVEG.De r e c h osr e s er v a do s .E lc o nt e ni d od ee s t ef o r ma t on op ue des erd i s t r i b ui d o,n it r a ns mi t i d o,p ar c i a lot o t a l me nt e ,me di a nt ecu al q ui e rme di o ,mé t o doos i s t e ma i mp r e s o,e l e ct r ó ni c o,ma gn ét i c o,i n cl u y en doe lf o t o co pi a do ,l af o t o gr a f í a ,l ag r a ba ci ó nou ns i s t e mad er e cu pe r a c i ó nd el ai n f o r ma ci ó n,s i nl aa ut o r i z ac i ó np ore s c r i t od el a Un i v e r s i d adVi r t u al d el Es t a dod eGu an aj u at o ,d e b i d oaq ues et r a t ad ei n f o r ma c i ó nc o nfi d en c i a lq ues ó l op ue des e rt r a ba j a dop orp er s o na la ut o r i z a dop ar at a lfi n .
