Lectura 2: Definiciones y Conceptos Relacionados a Grafos Temas: 2.1 Grafos y digrafos 2.2 Adyacencia 2.3 Grado de un vértice 2.4 Ciclos y caminos 2.5 Grafos simples y multigrafos 2.6 Grafos densos y dispersos 2.7 Bucle 2.8 Grafos conexos 2.9 Grafos completos 2.10 Ejemplo de propiedades de grafos
Bibliografía: - Estructuras de Datos en Java, Mark Weiss, Addison Wesley, 2000, capítulo 14
2.1
Grafos y digrafos
Como mencionamos en la lectura anterior, un grafo es un una tupla , donde
V: conjunto de vértices (nodos)
E: conjunto de aristas (arcos)
y cada arista es un par (v,w), donde v,w V. Los grafos pueden ser dirigidos (o dígrafos), dígrafos), y en ese caso (v,w) se trata un par ordenado. Algunas veces veces las aristas tienen tienen un peso o costo costo asociado (v,w,p), (v,w,p), v,w
V,
p
R .
Por ejemplo, en
el grafo de la Figura 1, se observa un conjunto de ciudades, donde las distancias entre ellas están determinadas determinadas por los pesos de cada arista. Este grafo puede ser utilizado para encontrar el camino más corto (en kilómetros) que lleva de una ciudad a otra.
Materia: Algoritmos y Estructuras de Datos 2 Profesor: Claudio Ochoa
-1-
Bogotá
1.500 Brasilia
320
800
160 Lima
230 1900
250
500 120
280
201
900
Asunción
210 200
Santiago 2.000
Buenos Aires
Figura 1. Grafo de distancia entre ciudades
2.2
Adyacencia
Decimos que un vértice w es adyacente a un vértice v si existe una arista (v,w) en E. En el caso de grafos no dirigidos, si w es adyacente a v, entonces v es adyacente a w. En el caso de dígrafos, esto no se cumple, a no ser que tanto (v,w) y (w.v) sean aristas del grafo.
2.3
Grado de un vértice
Se considera grado de un vértice a la cantidad de aristas que llegan o salen de él. Para el caso de grafos no dirigidos, el grado de un vértice es simplemente la cantidad de aristas incidentes a este vértice. En el caso de grafos dirigidos, podemos definir un grado de entrada y un grado de salida. El grado de entrada está determinado por el número de aristas que llegan al grafo, mientras que el grado de salida está determinado por el número de aristas que salen de él. Por ejemplo, en la siguiente figura el grado de salida de V 2 es 2, mientras que el grado de entrada de V 2 es 1.
Materia: Algoritmos y Estructuras de Datos 2 Profesor: Claudio Ochoa
-2-
2
V0
V1
4
10 1
V2
3
V3
2
5
8
V4
2
4
6
V5
V6 1
Figura 2. Grafo dirigido
A un vértice del que sólo salen aristas se le denomina fuente (en el ejemplo anterior, el vértice V 4 ), mientras que a aquellos vértices a los que sólo llegan aristas se les denomina sumidero (en el caso anterior, el vértice V 5 ); tiene grado positivo 0.
2.4
Ciclos y caminos
Un camino es secuencia de vértices w 1,..,wN donde (wi,wi+1) E, para 1 i < N. Se define como la longitud de un camino al número de aristas en el camino. Por ejemplo, la longitud del camino w1,..,wN es N-1. Cuando las aristas tienen peso, se define su longitud como la suma de los pesos de las aristas en el camino. Un camino simple es un camino en el que todos los vértices son distintos, con excepción del primero y el último. Un ciclo es un camino w1,..,wN donde w1 y wN son el mismo vértice. Un ciclo hamiltoniano tiene, además, que recorrer todos los vértices exactamente una vez (excepto el vértice del que parte y al cual llega). La Figura 3 muestra un ciclo hamiltoniano. Por ejemplo, en un museo grande (al estilo del Louvre), lo idóneo sería recorrer todas las salas una sola vez, esto es buscar un ciclo hamiltoniano en el grafo que representa el museo (los vértices son las salas y las aristas los corredores o puertas entre ellas). Materia: Algoritmos y Estructuras de Datos 2 Profesor: Claudio Ochoa
-3-
Se habla también de camino hamiltoniano si no se impone regresar al punto de partida. Por ejemplo, un caballo puede recorrer todas las casillas de un tablero de ajedrez sin pasar dos veces por la misma: es un camino hamiltoniano. Hoy en día, no se conocen métodos generales para hallar un ciclo hamiltoniano en tiempo polinómico, siendo la búsqueda por fuerza bruta de todos los posibles caminos u otros métodos excesivamente costosos. Existen, sin embargo, métodos para descartar la existencia de ciclos o caminos hamiltonianos en grafos pequeños. El problema de determinar la existencia de ciclos hamiltonianos, entra en el conjunto de los NPcompletos.
Figura 3. Ciclo hamiltoniano Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Hamiltonian_path.svg
Si un grafo no contiene ciclos, decimos que el grafo es acíclico.
2.5
Grafos simples y multigrafos
Un grafo es simple si a lo sumo sólo 1 arista une dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos. Materia: Algoritmos y Estructuras de Datos 2 Profesor: Claudio Ochoa
-4-
Un grafo que no es simple se denomina multigrado
2.6
Grafos densos y dispersos
Si un grafo tiene un gran número de aristas, decimos que se trata de un grafo denso. En el caso de los grafos dirigidos, podemos ser mas precisos diciendo que es denso si |E| (|V|)
2
(|V|
). Si |E|
decimos que el grafo es disperso. En la mayoría de las aplicaciones los grafos son
dispersos.
Nótese que puede haber grafos que no sean ni densos ni dispersos.
2.7
Bucle
Un bucle es una arista (v,v), es decir, una arista que sale y llega al mismo nodo. En la figura 4, vemos un bucle, donde una arista sale y llega al nodo A
A
Figura 4. Bucle
2.8
Grafos conexos
Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino, es decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino posible desde a hacia b . Un grafo es fuertemente conexo si cada par de vértices está conectado por al menos dos caminos disjuntos, es decir, es conexo y no existe un vértice tal que al sacarlo el grafo resultante sea disconexo.
Materia: Algoritmos y Estructuras de Datos 2 Profesor: Claudio Ochoa
-5-
Es posible determinar si un grafo es conexo usando un algoritmo Búsqueda en anchura ( Breadth First Search , o BFS) o Búsqueda en profundidad (Depth First Search , o DFS).
Figura 5. Grafos conexos y no conexos Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:GrafoConexo.jpg
2.9
Grafos completos
Un grafo es completo si existen aristas uniendo todos los pares posibles de vértices, es decir, todo par de vértices (a, b) debe tener una arista e que los une.
Un grafo completo de n vértices tiene exactamente
aristas.
2.10 Ejemplo de propiedades de grafos
Materia: Algoritmos y Estructuras de Datos 2 Profesor: Claudio Ochoa
-6-
a
b
e
c
d
Figura 6. Grafo de ejemplo
En el grafo de la figura 6:
Los nodos c y e tienen grado 4, y los demás nodos tienen grado 5
Existe un lazo o bucle en el nodo d
Es multigrafo ya que existen dos aristas que unen los vértices a y b
Existen varios caminos que unen el nodo a y el nodo d o
Por ejemplo, a-b-c-d, a-e-d , a-d o a-c-d
El camino a-c-d-a es un ciclo
El camino a-c-d-a es un camino simple, mientras que a-c-b-d-c-a no lo es
Es un grafo conexo, ya que todos los nodos tienen al menos un camino a otro nodo
Es un grafo completo, ya que existen aristas para todo par de vértices
Es un grafo denso, ya que |E|=12, si fuera dirigido |E|=23
2
|V|
=25
Materia: Algoritmos y Estructuras de Datos 2 Profesor: Claudio Ochoa
-7-
