Ejercicio 2. Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas básicos. Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que le describe y soluciónelo por medio de una reducción de Gauss –Jordan. Valide su resultado por medio de Geogebra*.
Se desea obtener un preparado semanal que cubra las necesidades mínimas de una persona en proteínas, hidratos de de carbono y grasas. Suponga que el preparado debe contener una mezcla de los productos A, B y C cuyos contenidos por onzas son los que se indican en la siguiente tabla: Proteínas
Hidratos
Grasas
Producto A
2
1.5
0.5
Producto B
0.5
3
1.5
Producto C
1.5
2.2
0.5
Disponibilidad
0.5 lb
0.5 lb
0.5 lb
¿Cuántas onzas de cada producto deberán mezclarse semanalmente para obtener el preparado? UNIFICACION DE UNIDADES: 0.5 Lb (16) = 8 onzas
VARIABLES DEL SISTEMA:
= = =
Cantidad de producto A Cantidad de producto B
Cantidad de producto C
SISTEMA DE ECUACIONES:
2+0.5+1.5=8 1.5+3+2.2=8 0.5+1.5+0.5=8
DESARROLLO DEL SISTEMA DE ECUAIONES:
8 2 0 . 5 1 . 5 10..55 13.5 20..25 88 → ∗ 4 1 0 . 2 5 0 . 7 5 10..55 13.5 20..25 88→− + + → → − + + 10 20.6.2255 10.0.7755 42→ 0 1.375 0.125 6 10 0.125 430/.71505 16/21 4 →− + + ; → → − + + 0 1.375 0.125 6 10 01 6483//110055 80/21 16/21 →− 0 0 −46/105 −104/21 10 01 6483//110055 80/21 + + 16/21 →− + = = − + 0 0 1 −260/23 10 01 00 256/23 124/23 0 0 1 −260/23 ;
;
SOLUCION DEL SISTEMA DE ECUACIONES:
= = = 11.13 = = = 5.39 = = −11. −11.3
Ejercicio 3. Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas básicos. Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que le describe y soluciónelo por medio de una reducción de Gauss –Jordan. Valide su resultado por medio de Geogebra*. “Un virus ha destruido parte de la información de los datos de aprobación del curso
de Álgebra Lineal (e-learning) del año 2018. Se ha logrado rescatar parte de la base de datos, sabiendo que el promedio de estudiantes del curso de Álgebra Lineal (e-learning) que entregaron y aprobaron las tareas 1, 2 y 3 del periodo 16-04 16 -04 de ese año fue de 1.243 estudiantes. Se sabe que el número de estudiantes que aprobaron la Tarea 2 supera en 230 estudiantes al promedio de los que aprobaron la Tarea 1 y la Tarea 3. Así mismo, se sabe que el número de estudiantes estudiantes que aprobaron la Tarea 3 es menor en 90 estudiantes al promedio de los estudiantes que aprobaron las Tareas 1 y 2. Con estos datos, se busca saber cuántos estudiantes aprobaron cada una de las tareas del curso y reconstruir así los datos estadísticos del informe a presentar.”
DEFINICION DEL SISTEMA DE ECUACIONES:
= = =
tarea 1 tarea 2
tarea 3
DESCRIPSION DE ECUACIONES:
++=1243 − 2 + − 2 =230 2 + 2 −=90
DESARROLLO DEL SISTEMA DE ECUACIONES:
1 1 1 1243 −00..55 01.5 −−01.5 23090 2= + 2 3= 3 = − + 3 10 11.5 10 851. 12435 2= 2 2 0 0 −1.5 −531.5 3 1243 1=−2+1 10 11 10 1703/3 0 0 −1.5 −531.5 10 01 10 2026/3 23 3 3=− 1703/3 0 0 −1.5 −531.5 10 01 10 2026/3 1703/3 1=−3+1 0 0 1 1063/3 321 10 01 00 1703/3 0 0 1 1063/3 ;
SOLUCIÓN DEL SISTEMA:
=3211703 = 3 =567.67 = 10633 = 354.33
Ejercicio 4. Aplicación de conceptos de rectas en R3 en la l a solución de problemas básicos. Defina las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas, de las siguientes rectas, y grafíquelas con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab): a. De la recta que pasa por los puntos P=(-3,4,8) y Q=(2,5,7). b. De la recta que pasa por el punto R=(-5,4,-3) y que es paralela a la recta que pasa por los puntos A=(-2,4,6) y B=(1,-3,5). c. De la recta que pasa por el punto S=(-9,6,11) y cuyo vector director es V=(2,7,-6).
SOLUCIÓN LITERAL A)
ECUACIÓN:
= −3,4,8 = 2,5,7 ⃗ =(2− −3 −3)̂+ 5 − 4 ̂ + 7− 7 − 8 ⃗ =5̂ + ̂ + − ⃗= +⃗ ⃗= −3,4,8 + 5,1,−1 ⃗= −3,4,8 + 5,1,−1 ,, = −3,4,8 + 5,1,−11 ,, = −3,4,8 + 5,,− ,, = −3+5,4+,8−
ECUACIONES PARAMETRICAS:
ECUACIONES DE t
ECUACION SIMETRICA:
SOLUCION LITERAL B)
= −5,4,−3 = −2,4,6 = 1,−3,5
=−3+5 → = + = 4+ → = − = 8− → = − +5 3 = −4=8−
ECUACION DE RECTA PARA PUNTOS A Y B:
ECUACION DE r:
= −2,4,6 = 1,−3,5 =1− −2̂ + −3−4 ̂ + 5− 5 − 6 = ̂ ,− ̂, − ⃗= +⃗ ⃗= −5,4 −3 + 3−7,−1
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
⃗= −5,4 −3 −3 + 3−7,−1 3−7,−1 , , = −5+3,4−7,−3−
SEPARACION DE TERMINOS:
DESPEJE DE t:
ECUACION SIMETRICA:
=−+ =− =−− =−5+3 → = + = 4−7 4−7 → = − = −3−→ =− + + = − = − +
SOLUCION DEL LITERAL C
⃗= +⃗ = −9,6,11 ⃗= −2,7,−66 = −,, + −,,− ECUACION PARAMETRICA:
⃗= −9,6,11 + −2,7,−6 ,, = −9,6,111 + −2,7,−66 ,, = −−,+,−
SEPRACION DE TERMINOS:
=−9−2 =6+7 = 11−6 1− 6 = − 9 +2 = −7 6
ECUACION SIMETRICA:
= 11− 6 + = − = −
Ejercicio 5. Aplicación de la teoría de planos en la solución de problemas básicos. Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de Geogebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab): a) ¿Son pararelos los siguientes planos 1:3x+8y-3z=1 y 2:-15x-40y+15z=-5? Justifique su respuesta con el método que corresponda. Grafique ambos planos.
b) ¿Cuál es la ecuación del plano que contiene los puntos A(-3,7,9), B(2,4,6) y C(2,2,1)? Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente.
PARALELISMO DE PLANOS:
1=2 3 −15 −38 =−4015 3=−15 → =−1/5 8=−40 → =−1/5 −3=15 → =−1/5
Como el valor de dio en todas las componentes componentes igual, se dice que los planos son paralelos.
SOLUCION EL LITERAL B) Encontrando el vector normal al plano. A(-3,7,9), B(2,4,6) y C(2,2,-1)
=−= +,−,− =,−,− =−= =−= + ,− , − ,− − − =,−,− PRODUCTO CRUZ:
= ̂ ̂ = |55 −−35 −−130| = 30−15̂ − −50+15 ̂ + −25+ −25 + 15 =,,−
ECUACION DEL PLANO:
− . = 0 15−2,−4,−6 −2,−4,−6 . 15, 3 5, − 10 10 = 0 15+35−10−30−140+60=0 − 2 + 35 − 4 − 10 − 6 = 0 +−−=
Donde P0 es cualquier punto conocido sobre el plano, por ejemplo, el punto B (2,4,6):
+−=
