1
Recuerda: Dos reglas nemotécnicas sobre El número p, razón de la circunferencia al diámetro, tan familiar a todos los estudiantes, ha sido calculado por muchos autores, cada vez con más decimales. Mucho antes de disponer de la ayuda de las computadoras, el matemático inglés W. SHANKS (1812-1883) lo había calculado, en 1873, nada menos que con 707 cifras, y este valor figura grabado a lo largo del friso circular en que se apoya la cúpula del Palais de la Decouverte en París, desgraciadamente, las 150 últimas cifras decimales son erróneas. Para ninguna aplicación práctica son necesarias tantas cifras, bastando usualmente los valores aproximados 3,14 ó 3,1416, o 22 . De todos modos, como regla nemotécnica 7 para recordar las 32 primeras cifras, se puede acudir a los siguientes versos (originales del ingeniero R. Nieto París, de Colombia):
¡REFLEXIONA! • La fortuna solo sonríe a los audaces, fríos y prudentes, a aquellos a quienes las espontaneidades de la imaginación no son suficientes para lanzarse al peligro. • Uno de los secretos para disfrutar de una vida larga y feliz es amar el trabajo que hacemos. • Si amas tu profesión descubrirás que nunca tendrás que volver a trabajar en tu vida.
Soy p, lema y razón ingeniosa de hombre sabio, que serie preciosa valorando, enunció magistral. Por su ley singular, bien medido el grande orbe por fin reducido fue al sistema ordinario usual.
Si se sustituye cada palabra por el número de letras que la forman, obtendremos el desarrollo decimal de: p = 3,1415926535898932384626433832795...
• ¡Derrota tu negativismo y halla en todas las cosas simples motivos de ilusión!
¡ Razona... ! En la figura, ¿cuántos cerillos como mínimo se deben mover para que dicha operación sea correcta?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
10 operaciones básicas Expresión algebraica
A(x) = a . xn
Exponente Variable (base)
Coeficiente
Operaciones con expresiones algebraicas ax + bx = (a + b)x
1. Suma:
Ejemplo:
2. Resta:
Ejemplo:
4x6 . 2x3 = 8x9
Ejemplo:
18x+ 6x = 24x
ax - bx = (a - b)x
xn . xm = xn + m
3. Multiplicación:
xm xm - n = xn
4. División:
18x - 6x = 12x
Ejemplo:
12x8 = 4x3 3x5
Valor numérico (V.N.) Resultado que se obtiene al sustituir las variables por valores numéricos dados arbitrariamente. Ejemplo: Hallar el valor numérico de x + 3xy + y, para x = 1 e y = 2. Resolución: Reemplazando los valores de la variable en la expresión: 1 + 3(1)(2) + 2 = 9 Entonces: V.N. = 9
Nota
Si un polinomio se evalúa para x = 1, se obtiene la suma de sus coeficientes.
Ejemplos: 1. Hallar la suma de coeficientes de E = 2x + 7.
2. Hallar el V.N. de M = x2 + y3, si: x = 4, y = 2.
Resolución:
Resolución:
Este resultado lo hallamos haciendo x = 1. E = 2(1) + 7 = 9
V.N. de M es: (4)2 + 23 = 16 + 8 = 24
11 Efectuar: Grupo II
Grupo I 1. 20a + 8a + 3a
1. E = x + y; si: x = 10; y = 8
2. 24x + x + 6x
2. S = 2 . x + y; si: x = 4; y = 6
3. -6x + 10x
3. T = x2 + y2; si: x = 2; y = 3
4. -2x - 3x - 4x
4. U = x2 - y; si: x = 4; y = 10
5. 15m - 10m + 3m
5. D = a2 + b2 + 1; si: a = 2; b = 4
6. x6 . x4
6. I = 3a – b; si: a = 8; b = 12
7. b10 . b4 . b2
7. A = a2 – b2; si: a = 5; b = 3 8. M = a3 + b2; si: a = 2; b = 3
10
8.
y y9
9. A = ab + a2; si: a = 3; b = 4 10. S = x2 + y2 - xy; si: x = 3; y = 4
-8 9. a-2 a
11. T = x2 + 2x + 2y; si: x = 5; y = 2
6 10. 20x2 5x 2
12. U = m2 - n2 + mn; si: m = 4; n = 3 13. S = x – y; si: x = 46; y = 21 4
5
11. 4x . x + 2x . x 12. 10y8 . y4 - 3y9 . y3
14. A = x2 + 2xy; si: x = 3; y = 1 15. L = x3- xy; si: x = 4; y = 2
13. 5x - 9x + 8x + 3x - x + 2x + 7
16. V = m2 + n2 + m; si: m = 5; n = 7
14. 3a - 5b + 8a - b - a - 2b + 5b + 6a
17. A = a3 + b4 - ab; si: a = 3; b = 2
15. 2xy - 3y + 2x - y + 4x + 5xy
18. D = x . y + x2 . y; si: x = 6; y = 1
16. 2n - m - n - 2 + 3 n - 3m 5 4
19. D = a3 + ab - b2; si: a = 4; b = 3
17. 3x - (x - 2) - (-x + 4) 18. 2a - (a - 3) + (-a - 2) + (a + 5) 19. 7h - (2h - 3) - (-3k + 6h) - 8k 20. (3x - 2y + 5z) - (-3y - 5z - 3x) + x - y + z
20. S = ab + bc + ac; si: a = 1; b = 2; c = 3
12 1. Hallar el valor de P.
P = 17m - {(6m + 7) + 9m - [(m + 6) + (4 - 3m)] }
Resolución: • Eliminando paréntesis, corchetes y llaves respectivamente: P = 17m - {6m + 7 + 9m - [(m + 6 + 4 - 3m)} P = 17m - {6m + 7 + 9m - [10 - 2m]} P = 17m - {6m + 7 + 9m - 10 + 2m} P = 17m - {17m - 3} P = 17m - 17m + 3 P=3
2. Reducir:
M = 4 (x + 2x + 3x) - 2 (4x + x) 3 5
Resolución:
M = 4 (6x) - 2 (5x) 3 5
M = 8x - 2x M = 6x
5. Calcular:
E = a + b + c + 2a + 3b + 4c - 5c - 4b - 3a Resolución:
agrupando:
E = (a + 2a - 3a) + (b + 3b - 4b) + (c + 4c - 5c) E=0+0+0 E=0
6. Calcular: M = (2 + 2 + 2 + ... + 2) - (3 + 3 + 3 + ... + 3) 20 veces 10 veces
M = 2(20) - 3(10) M = 40 - 30 M = 10
7. Efectuar:
Resolución:
R = 6x + 18 + 5x - 10 + 4x - 4 - 15x
R=
x (6 + 5 + 4 - 15) + 18 - 10 - 4
R=
x (0) + 4
R= 4 R=2
R = 6 (x + 3) + 5 (x - 2) + 4 (x - 1) - 15x
3. Hallar el valor de E.
8 2 5 12 13 E = x .8x .7x - x10 .x15 x .x x .x
Resolución:
8 2 5 12 13 E = x .8x .7x - x10 .x15 x .x x .x
15 25 E = x15 - x 25 x x
E = x15 - 15 - x 25 - 25
E = x0 - x0 E = 1-1 E=0
4. Hallar el valor numérico de:
E = 2(x + y) + 2(x - y) + 4(x + y) - 9(x - y)
Resolución:
E = 2x + 2y + 2x - 2y + 4x + 4y - 9x + 9y E = - x + 13y E = - (12) + 13(1) E=1
Para: x = 12 e y = 1
8. Calcular:
S = [8(x + 1) + 4(x + 2) - 12(x + 1)]3
Resolución:
S = [8x + 8 + 4x + 8 - 12x - 12]3 S = [8x + 4x - 12x + 8 + 8 - 12)3 S = [0 + 4]3 S = 64
Evaluación
Día:
Mes:
Año:
Apellidos y nombres: Año:
LIFICACIÓN CA
Sección:
Tema:
1. Efectuar:
2. Efectuar:
M = (10x2 + 7x2 + 3x2) - (5x2 + 3x2 + 2x2)
A) 8x2 D) 18x2
B) 15x2 E) 17x2
C) 10x2
E = 3 + 3 + 3 + ... + 3 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 100 sumandos 12 sumandos
B) 16 E) 19
T = - 2x(x2 - 1) + 2(x3 - x)
A) 4x D) x
B) 6x E) 0
C) 1
4. Hallar T.
3. Calcular el valor de E:
A) 18 D) 12
C) 14
5 12 8 T = x 4 + x11 + x7 x x x
A) 3 D) x2
B) 3x E) 4x2
C) 3x2
13
5. Hallar el valor numérico para x = 1 e y = 4 en:
M = (4x6y2)(2x3y2)
A) 1408 D) 938
B) 1036 E) 2048
C) 2302
7. Reducir la siguiente expresión:
B) 2 E) 3a
A=
B) 2xy2 E) xy2
B) x E) 8
C) 4
abc + 2abc + 3abc + 4abc + ... + 10abc
A) 55abc D) 25abc
C) a
B) 71abc E) 45abc
C) 65abc
10. Hallar el valor numérico de E para a = 10, b = 15 y c = 7.
x 4 .x3 .y12 x5 .x7 .y15 .x9 + x6 y10 x15 y13 x5
A) 3xy2 D) 5xy
5 (x + 5) + 3 (x - 3) - 8x
A) 2 D) 16
9. Calcular el valor de A:
4
8. Efectuar la siguiente suma:
P = 4(a - 1) + a (1 - b) + ab + 4
A) 2a D) 5a
6. Efectuar la siguiente expresión:
C) 2y2x
E = 3 a - c 2 b - 3 cm + 1 c + 2 b - 3 a 2 5 7 7 3 5
A) 10 D) 4
B) 14 E) 17
C) 8
15 1. Efectuar:
A) 2 D) 4x
8x + 8x + 4x + 4x A) 20x D) 24x
B) 21x E) 26x
C) 10x
C) 3x
10. Efectuar:
2. Efectuar:
B) 2x E) -3x
U = 12x + 8x - 5x 6x 4x 5x A) 2
B) 1
C) 6x
D) 4x
E) 3
-10x - 4x - 6x 11. Efectuar: A) 20x D) -19x
B) -20x E) 19
C) -18x
A) 5x D) 9x
3. Efectuar:
-6x + 8x - 7x + 9x A) 0 D) 4x
B) 3x E) -9x
C) 9x
B) 2x E) -x
C) x
x4 . x-2 . x3 A) x6 D) 1
B) 24a2 E) a6
B) 412 E) 620
C) 539
14. Calcular:
8a-6 . 3a8 A) 24a D) 8 a2 3
77 sumandos
C) x
6. Efectuar:
C) 12xy
7 + 7 + 7 + ... + 7
A) 592 D) 575 B) x4 E) x5
B) 7xy E) 20xy
13. Efectuar:
5. Efectuar:
C) 7x
(2xy + 7xy - 3xy) + (7xy + 6xy - 3xy) A) 3xy D) 16xy
T = 6x + 8x + 10x - 12x - 10x - 2x A) -2x D) 0
B) 6x E) 8x
12. Reducir:
4. Efectuar:
(3x + 4x + 5x) - (x + 2x + 3x)
C) 8 a 3
(ab + 4ab + 3ab) - (5ab + 3ab) A) 0 D) 3ab
B) 1 E) 2ab
C) ab
15. Calcular:
(3x + 2x) + (5x + 6x) - (7x + 2x) - x
7. Efectuar:
A) 2x D) x2
2 20x6 $ x 20
A) x-4 D) x8
B) 40x E) x12
C) 400x2
B) 14x E) 18x2
9. Efectuar:
7 4 6 3 A = x5 . x5 + x4 . x 4 x .x x .x
3x + 4(3x + 4) + 5x + 4(-4 + 5x) A) 40 D) 40x
M = 4x . 2x + 6x . 3x A) 26x2 D) 14x2
C) 26x
C) 3x
16. Reducir:
8. Reducir:
B) 6x E) 2x2
B) 20x E) 7x
C) 20
B) 12 E) 15
C) 13
17. Calcular:
2 + 2 + ... + 2 72 sumandos
A) 11 D) 14
16
18. Efectuar:
A) 0 D) 3
a + 2a + 3a + 4a + ... + 12a A) 13a D) 78a
B) 26a E) 14a
C) 15a
B) 7y E) 6y
C) 3y
B) 24x 7
D) 3x 5
E) 10x 4
C) 12x 6
2x 2x x x + - 3 9 2 3
B) 3x 7
D) 4x 3
E) x 15
C) x 18
(2xy + 7xy - 3xy) + (7xy + 6xy - 3xy) B) 7xy E) 20xy
C) 12xy
A) -a
B) -2a
D) -4a
E) -5a
C) -3a
E) 16x2
A) b D) 2b
B) 6b E) 7b
C) 3b
B) 2x6 E) 3x2
C) x4
3 18x . x 9
A) 2x4 D) 3x4
S = 9x . 3x - 5x . 4x A) -x2 D) 7x2
B) 9x2 E) 6x2
C) 8x2
U = 12x + 8x - 5x 6x 4x 5x
E = -2(3x - 4) - 3(4x - 5) + 4(5x - 6) B) 2x - 1 E) 3x - 2
C) 4x + 7
2^a + 3h + 3^a + 2h + 4^a - 2h - 9a A) 4 D) 3
C) 12x2
33. Efectuar:
25. Calcular:
B) 5 E) 2
26. Calcular:
D) 7x2
E = a – 2a + 3a - 4a + 5a - 6a + 7a - 8a
A) 2x + 1 D) 2x + 6
B) 55x2
32. Efectuar:
24. Efectuar:
A) 6x2
31. Efectuar:
23. Calcular:
x2 + 2x2 + 3x2 + ... + 10x2
P = a + b + 2a - 3b - 3a + 4b
A) 2x 5
A) 3xy D) 16xy
C) 3a
30. Efectuar:
22. Reducir:
B) 16 E) 7a
29. Hallar:
21. Efectuar:
C) 11
8(a + 8) - (a - 1) - 7(a + 7) A) 14 D) 2a
3x 4x 11x 6x + + + 7 7 7 7 A) 7x 12
B) 13 E) 12
28. Efectuar:
20. Reducir:
8^x + 8h + 9^x + 9h - 17x - 1 A) 10 D) 9
2(x + y) - 3(x - y) + 2(2x + y) - 3x A) 5y D) 2y
C) 2
27. Reducir:
19. Efectuar:
B) 1 E) 4
4+6+8-3+5-4
A) 2 D) 4x
B) 1 E) 3
C) 6x
34. Efectuar: 10 I = x2 8 x .x
C) 6 A) 0 D) x3
B) x E) 1
C) x2
17 OPERANDO con EXPRESIONES ALGEBRAICAS Expresión algebraica Es una expresión matemática en donde las variables y constantes están ligadas entre sí por las operaciones aritméticas en cantidad limitada. P(x; y) = 3xy + 5 x + 3 y
Ejemplo: conceptos previos
Constante Es todo aquello que no cambia. generalmente las constantes se representan con números.
Variable Es todo aquello que cambia o varía. Generalmente las variables se representan con letras. Término algebraico Concepto: expresión matemática que une a las constantes y a las variables mediante la operación de multiplicación. 6x2; 7y;
Ejemplos:
2 x3 y ; 5xy4; 12xyz; 3x5y
Partes de un término algebraico Un término posee generalmente dos partes: • parte constante • parte variable Ejemplo: 8x10 y6
Luego:
x10 y6
S Parte variable
8 1 44 2 44 3
Parte constante
Términos semejantes Son términos algebraicos que poseen igual parte variable. Ejemplo: Los siguientes términos algebraicos son semejantes pues tienen igual parte variable. • 5x2y8
• 10x2y8
• 12x2y8
Reducción de términos semejantes Solo los términos semejantes se pueden sumar y restar. A este proceso se le llama reducción. En las operaciones indicadas solo intervienen las partes constantes y las partes variables se repiten. Ejemplos:
1.
+ 7
= 7
7
2 x + 3 x = 5 x
2.
=
3
5 x - 3 x3 = 2 x 3
Efectuar:
1. 3x(1 + y) + 2y(x - 2) + 4y - 5xy
7. 7x + 8x + 9(2 - 3x) + 12x
2. -(-(-4)) + 4x - (-4)
8. 2ab + 7ba - 11dc + 15cd - 6ab
3. 5x + 7(x - 8) - 3(4x + 1)
9. 6mn + 5ma - 5mn - 4ma
4. 2 + 2 + 2 + ... + 2; si hay 10 sumandos.
10. 3x2 . x3 + 5x5 - 6x4 . x
5.
11. 4x6 - 3x3 . x3 + 2x4 . x2
5 + 5 + 5 + 5... + 5 20 sumandos
6. -3x + 8 - (-3x + 4)
12. x4y5 + 3x2y5 . x2 + 4x3y3 . xy2 13. x3y6 + 2x . x2 y6+ 5x2 . x . y3 . y3
18 1. Reducir la siguiente expresión:
5. Hallar M. 2
2
A = x (1 - x + y) - y (x + 1 - y) - (y - x )
M = 3xy + 4xy - 5xz - 6xz - 7xy + 10xz
Resolución:
Resolución:
A = x - x2 + xy - yx - y + y2 - y2 + x2
Agrupando términos semejantes:
A = x + (- x2 + x2 ) + (xy - yx) - y + (y2 - y2) A = x + (0) + (0) - y + (0) A=x-y
M = (3xy + 4xy - 7xy) + (- 5xz - 6xz + 10xz) M = (0) + (- xz) M = - xz
Agrupando términos semejantes:
2. Hallar el valor de N.
6. Calcular A.
A = (x - 2y)2 - x2 - y2 - 3y2 + 3xy
N = (a + b)(a2 - ab + b2)
Resolución:
Resolución:
N = a3 - a2b + ab2 + a2b - ab2 + b3
A = (x - 2y) (x - 2y) - x2 - y2 - 3y2 + 3xy A = x2 - 2xy - 2xy + 4y2 - x2 - y2 - 3y2 + 3xy
Agrupando:
Por términos semejantes:
N = a3 + (- a2b + a2b) + (ab2 - ab2) + b3 N = a3 + 0 + 0 + b3 N = a3 + b3
A = (x2 - x2) + (-2xy - 2yx + 3xy) + (4y2 - y2 - 3y2) A = 0 + (- xy) + 0 A = - xy
3. Efectuar: 2 (a + b) + 3 (a - b) + 4 (a + b) - 9 (a - b) 5 (a - b) - 4a + 5b - a + 6b
Q=
Resolución:
Q = 2a + 2b + 3a - 3b + 4a + 4b - 9a + 9b 5a - 5b - 4a + 5b - a + 6b
7. Hallar el área del rectángulo.
Agrupando: (2a + 3a + 4a - 9a) + (2b - 3b + 4b + 9b) Q= (5a - 4a - a) + (- 5b + 5b + 6b)
Q = 0 + 12b 0 + 6b
Q=2
4. Reducir la siguiente expresión:
x+1
2x – 1
Resolución:
Por fórmula del área del rectángulo se tiene:
A = largo # ancho A = (2x - 1)(x + 1) A = 2x2 + 2x - x - 1 A = 2x2 + x - 1
8. Calcular E.
M = 2x(3 + y) + 3y(2 - x) - 6(x - y) + xy
E = (x - 3)(x2 + 3x + 9) - (- 32 + x3)
Resolución:
Resolución:
M = 6x + 2xy + 6y - 3xy - 6x + 6y + xy
Agrupando convenientemente:
M = (6x - 6x) + (2xy - 3xy + xy) + (6y + 6y) M = 0 + 0 + 12y M = 12y
E = x3 + 3x2 + 9x - 3x2 - 9x - 27 + 32 - x3 E = (x3 - x3) + (3x2 - 3x2) + (9x - 9x) + 5 E=0+0+0 +5 E=5
Evaluación
Día:
Mes:
Año:
Apellidos y nombres: Año:
LIFICACIÓN CA
Sección:
Tema:
1. Efectuar:
2. Reducir:
x + x + x + ... +x
2 (a + b) + 3 (a - b) + 4 (a + b) - 9a - 3b
x veces
A) x2 D) 2x
B) xx E) 2x2
C) 3x
B) 1 E) 3
C) 2
4. Al efectuar:
3. Hallar M. M = 2x(3 + y) + 3y(2 - x) -6(x-y) + xy
A) 6y D) 3y
A) 0 D) 4
B) 3xy E) 12y
C) 12xy
M = (x - 3)(x + 3)(x2 - 4)
uno de los términos es:
A) 13x2 D) - x4
B) -13x2 E) 2x4
C) -36
19
6. ¿En cuánto excede el área del rectángulo al área del triángulo?
5. Hallar el valor de R.
R=
3b - 6b + a - (2b + a)@ - 4a + 4a + 4b
x+4 x+6
A) 1 D) a b
B) 2 E) b a
C) 0
2
2
2
P = - x + 2x - 3x + 4x - ... + 80x
A) 30x2 D) 40x2
B) 60x2 E) 28x2
2
B) 8x + 24 E) 2x + 8
C) 3x - 24
N=
5m - 6 4m - (3m + n) + 2n@ - 3n 2 (m - n)
A) 2 D) 3
B) 1 E) 0
C) 6
10. Calcular P e indicar uno de sus factores.
E = (x + 6)(x + 4) - (x + 8)(x + 2)
A) 6 D) 5
C) 120x2
9. Calcular:
x+2
8. Hallar el valor de la siguiente expresión:
7. Hallar el valor de P. 2
A) x + 2 D) 6x + 12
2x
B) 2 E) 8
C) 1
P = (x + 1)(x + 3)(x - 2)
A) -x3 D) 4x
B) 5x E) 2x2
C) 6
21 1. Efectuar:
10. Calcular: -2
2 3
-3
E = (x y )(xy )( x y) A) y D) x3
C) y3
B) 1 E) y2
M = (x - 2)(x2 + 2x + 4) - (x3 - 10) A) 2
B) 1
C) 3
D) 4
E) 6
11. Efectuar: 2. Efectuar:
K = (x + 3)(x2 - x + 1) - x2(x + 2)
A = 2x(x + 1) - x(2x - 1) A) 3x D) 2
B) 6x E) 0
A) 6x - 3 D) 3 - 2x
C) 2x
C) 6 - 5x
B) 6x E) 2x+ 1
12. Efectuar: 3. Efectuar:
S = x(3x + 6) - 3(x2 + x) A) 2x D) 0
B) 3x E) x
M = n(n + 1)(n + 2) - n3 - 2n2 A) n2 + 2n D) n
C) 4x
B) n - 2n2 E) n + 1
C) 0
13. Al efectuar: 4. Efectuar:
K = 2x(x3 +1) - x4(2 - x) - 2x B) x5 E) x4
A) x D) 4
uno de sus términos es: A) 8x2 D) 24x
C) 12x + 5
B) 12 E) 5 + 2x2
6. Efectuar:
B) 1
C) 3
D) 4
E) 6
Y = (2a + 7)(a - 5) - 2(a2 - 20) A) 5a - 3 D) 1 - 3a
B) a - 3 E) 5 - 3a
C) 0
R = (x + 6)(x + 1) - (x + 4)(x + 2) - x B) -2 E) -3
A) 2 D) 4
C) 1
C) 3 - 5a
x+2 2
I
B) 30 E) 8
x+4
2x + 4
C) 5 A) 4
9. Calcular:
B) 6
C) 8
D) 10
E) 2
17. Efectuar: 2
3
E = (a + 2)(a - 2a + 4) - (a - 3) A) 10 D) 14
2x
II
3
M = (x + 3)(x - 3x + 9) - x A) 27 D) 12
B) x3 - y3 E) x3
16. ¿En cuánto excede el área del rectángulo (I) al área del rectángulo (II)?
8. Calcular:
C) 9x3
E = (x2 + xy + y2)(x - y) A) x3 + y3 D) 2x - y
7. Efectuar:
B) 26x E) 1
15. Calcular:
M = (x + 3)(x + 2) - (x + 4)(x + 1) A) 2
14. Efectuar:
R = (2x + 3)(4 - x) + 2x2 A) 5x + 12 D) 2x2
(x + 2)(x + 3)(x + 4)
C) 0
5. Efectuar:
B) 12 E) 15
C) 11
E = [(6 + 6 + 6 + 6 + 6) – (2 . 2 . 2 . 2 . 2)]4 A) 4
B) 8
C) 16
D) 20
E) 64
22
18. Calcular:
26. Calcular:
R = (5 + 5 + 5 + ... + 5) + (4 + 4 + 4 + ... + 4)
S + 1
S = 4(3a + 2) + 3(2a + 1) + 5(6a – 3) + 48(1 – a) + 5
10 veces
8 veces
A) 9 D) 12
A) 56 D) 70
B) 64 E) 82
C) 72
A = (3 . 3 . 3 . 3 . ... . 3) – (9 . 9 . 9 . 9 . ... . 9) 20 veces
A) 38 D) 0
10 veces
B) 920 E) 914
C) 312
S = 9 + 3(3y – 1) + 4(4y – 1) + 2(2y – 1) A) 29 D) –29
N=
20. Calcular: A = 67 . 7 . 7 . ... . 7@4 - ^49 . 49 . 49 . ... . 49h 1 4 44 2 444 3 1 44444 2 44444 3 15 veces
A) 1 D) 8
C) 4
P = 6(a – 1) + 5(a – 1) + 11(1 – a) A) 2 D) 4a
B) a E) 0
B) 1
C) x y
E) 2
29. Reducir:
21. Efectuar:
C) 0
2x + 6 x - ^x + yh@ 2x - y
A) 0 y D) x
30 veces
B) 2 E) 0
B) 29y E) –20
28. Efectuar:
C) 11
27. Calcular:
19. Efectuar:
B) 10 E) 8
M = c x + x + x + ... + x m + 3 8x3 3 42 3 4444433 134444 24 veces
A) 0 D) 12x
C) 5a
B) 10x E) 15x
C) 9x
30. Efectuar: 22. Reducir:
P=
4^x - 1h + x^1 - yh + xy + 8 - 5x
A) 3 D) 7
B) 6 E) 2
C) 5
23. Calcular:
S = 5 5^x + 5h + 3^x - 3h - 8^x - 1h + 8 A) 2 D) 5
B) 1 E) 6
C) 3
S = –x + 2x – 3x + 4x – 5x + 6x – ... + 40x A) 200 D) 20x
B) 100 E) 40x
C) 20
25. Efectuar:
R = (3a + 3a + 3a + ... + 3a) – (a + a + ... + a ) 40 términos
A) 12a D) 10a
M=
3( a + b) + 4( a - b) - 7( a - b) b + 2b + 3b
A) 0 D) 1
B) 2 E) b
B) 14a E) 8a
110 términos
C) 5a
C) a b
31. Efectuar:
A = c 2x - x + 3x m + c 12x + 21x m 3 6 2 11 11 A) 5 D) 5x
24. Efectuar:
B) 6x E) 8x
C) 3x
23 MONOMIO y POLINOMIO TÉRMINO ALGEBRAICO Un término algebraico es una expresión que une la parte constante y la parte variable mediante la multiplicación. Ejemplo: 7 x–2 Parte constante Parte variable
Monomio Es un término algebraico donde los exponentes de las variables deben ser números enteros y positivos. Ejemplos: 7x5w
–83y6
2 x2y6 3
Nota Los exponentes en un término algebraico son cualquier número. Los exponentes en un monomio son enteros y positivos. Los monomios se pueden sumar y restar, pero antes recordemos cómo se realizan estas operaciones con los números enteros.
Suma y resta de monomios Para sumar o restar monomios estos deben ser semejantes, es decir, tener la misma parte variable. Ejemplos:
•
3x + 2x
•
8x2 - 6x2
• •
5x + 3x2 4w - 5x
Se pueden sumar y restar porque tienen la misma parte variable.
No se pueden sumar y restar porque sus partes variables son diferentes.
Nota •
M(x) = –7x5
Las variables de cada monomio siempre están entre paréntesis... ¡Obsérvalas!
N^x; yh = - 5 x 4 y11 2 4 • P^a; bh = a8 b7 3 •
Grado de un monomio 1. Grado absoluto (G. A.). Se suman los exponentes de las variables del monomio.
Ejemplos:
•
M(x; y) = 5x3y4
&
G.A. = 7
•
N(m; n) = 7m2n7
&
G.A. = 9
24 2. Grado relativo (G.R.). Es el exponente de la variable indicada.
Ejemplos: G.R.(x) = 3
•
•
M(x; y) = 5x3y4
G.R.(y) = 4 G.R.(m) = 2
N(m; n) = 7m2n7
G.R.(n) = 7
POLINOMIO Es aquella expresión algebraica en donde los exponentes de las variables son números enteros no negativos. Ejemplos:
• P(x; y) = 4xy – 5xz + 4 - 3x2 •
P(x; y; z) = 4x2y + yz4 - 3
Suma y resta de polinomios Para sumar o restar polinomios debemos recordar que: Cuando un signo (+) precede a un signo de colección la expresión interior no cambia de signo. Cuando un signo (-) precede a un signo de colección la expresión interior cambia de signo. Ejemplos: 1. (3x + 2) + (2x + 5) = 3x + 2 + 2x + 5 = 5x + 7
Polinomio
Polinomio Términos semejantes
2. (8x + 4) – (5x + 2) = 8x + 4 – 5x – 2 = 3x + 2
Polinomio. Es la reunión de dos o más monomios mediante sumas y restas. Ejemplo: P(x; y) = 5x5y4 - 9x2y7 + 7x8z2
Grado de un polinomio 1. Grado absoluto (G.A.) Es el mayor de los G.A. de los monomios que conforman el polinomio.
Ejemplo:
Hallar el G.A. del polinomio.
P (x; y) = 7 x 4 y3 - 1 x 2 y7 + 5 xy5 S 2S S g.A. = 7
g.A. = 9
g.A. = 6
Se observa que el mayor G.A. es 9 & G.A.(P(x; y)) = 9
25 2. Grado relativo (G.R.)
Es representado por el valor del mayor exponente de la variable en referencia.
Ejemplo:
Hallar el G.R.(y) del polinomio:
P (x; y) = 7 x 4 y3 - 1 x 2 y7 + 5 xy5 S 2S S g.R.( y) = 3
g.R.( y) = 7
g.R.( y) = 5
El mayor de todos los G.R.(y) es 7 &G.R.(P(x; y))(y) = 7
Efectuar: Grupo I
Grupo II
Hallar la adición en cada caso.
Hallar la sustracción en cada caso.
1. -3x + - 8x
1. 3x8 - 2x8
2. -8x2 + -10x2 + - 2x2
2. 5xy - (-7xy)
3. 6 2 xy + - 7 2 xy
3. -8m7 - (- 6m7)
4. -0,7xy2 + 0,6xy2 + - 0,1xy2
4. 5mn - (-10mn)
5. - 1 amb + - 1 amb + - 1 amb 3 4 5
5. -2 2 x10 - (-6 2 x10)
6. 3x2 + x + -1 + -5x + x2+ -6
6. 5 7 m10 - (-6 7 m10)
7. 5x3 + x - 6 + x2 + 3x - x2 + 5x3 - 1 + x + x3 + 5
7. 0,73xy2 - 1 xy2 2
8. 3ab + -6b+ -7 + -5ab - 8 + 7b+ 6ab + 18b+ -6
7 8. mn3 - c- 2 m mn3
9. 0,6x7+ -6,5x3 + x + -10 + 7,2x7 + 3,2x + 15 + -3,4x3 + 6,2x7 + -8
9. 0,5 xyz - (-0,78xyz)
2
2
2
2
10. 3 7 abc2 - (-8 7 abc2)
10. 16mn + -m n + 8 + -15m n +-6mn + -10 + -7mn2 + -m2n + 15
Grupo III
5. M(x; y; z) = 9x5y4z18
Hallar el grado absoluto y los grados relativos en cada caso.
6. M(x; y; z) = 14x6y9z 7. M(x; y) = 2xn-1yn+1
1. M(x) = 6x5
8. P(x; y) = 8x6y7 - 3x5y9 + xy11
2. M(x) = 2 xn+1 3
9. P(x; y) = 10x9y9 + 2x10y8 - x13y5
3. M(x; y) = 8x10y5 4. M(x; y) = -18x3y16
10. P(x; y) = xy + x3y - y4
26 1. Hallar (m - n) si el polinomio P es de grado absoluto 20 y de grado relativo a y igual a 8. P = 4x
m+1 n-2
y
+ 6x
m+2 n-1
y
+ 6x
G.A.(M) = 6 + 4 + 7 + n = 19 & n = 2 / m = 2
Piden mn: mn = 22 = 4
m+3 n-2
y
4. Hallar m si el monomio es de quinto grado.
Resolución:
Del polinomio:
M = x2 x2m x3m
P = 4xm + 1yn - 2 + 6xm + 2 yn - 1 + 6xm + 3 yn - 2
g.A. = m + n - 1
g.A. = m + n + 1
g.R.^yh = n - 2
g.R.^yh = n - 1
g.A. = m + n + 1 g.R.^yh = n - 2
Resolución:
M = x2 x2m x3m = x2 + 5m
Del dato: 2 + 5m = 5 & m = 3 5
El mayor G.A.: m + n + 1 = 20 m + n = 19 ...(1)
5. Hallar el grado absoluto máximo de:
Además el mayor G.R.(y) = n - 1 = 8 & n = 9
P^x; yh = ^x 2h
Reemplazando en (1): m + n = 19 & m + 9 = 19 & m = 10
Resolución:
Por tanto: m - n = 1
P^x; yh = ^x 2h
Resolución:
M = x5a - 1 - ^3 - ah y 2a + 2 - ^a - 5h z3a + 3 - ^4 - 2ah
+ xm - 5 ym - 2 - y 7 - m
P^x; yh =S x 2m - 4 + xm - 5 ym - 2 - y7 - m 1 44 2 44 3 S
g.A. = 2m - 7 g.A. = 7 - m
Como los exponentes deben ser enteros y positivos, el máximo valor de m es 7.
x5a - 1y2a + 2 z3a + 3 M = 3 - a a - 5 4 - 2a x y z Si el grado relativo a x es 20.
m-2
+ xm - 5 ym - 2 - y 7 - m
g.A. = 2m - 4
2. Calcular el grado relativo a z en el siguiente monomio:
m-2
Entonces: G.A.(P) = 2m - 4 = 2(7) - 4 &
G.A.(P) = 10
6. Si el monomio es de grado absoluto 4, y los grados relativos a x e y son iguales, calcular: E = 3b - 2a M^x; yh = x a y a x b y a b
G.R.(x) = 5a - 1 - 3 + a = 20 6a - 4 = 20 & a = 4
1
1
b
Resolución:
Piden: G.R.(z) = 3a + 3 - 4 + 2a G.R.(z) = 5a - 1 = 5(4) - 1 „ G.R.(z) = 19
M^x; yh = x a y a x b y a & M^x; yh = x a
3. Sea el monomio:
Del dato: G.A.(M) = 4
Entonces:
M = x 2 y 5 ^ x 2 y h ^ xm y h 2
b
1
1
b
b
+
1 b 1 + b ya a
n
Si el G.R.(x) = 10 y el G.A.(M) = 19, hallar: m
b 1 b 1 4 + + + = a b a a
Resolución:
2 n M = x 2 y 5 ^ x 2 y h ^ xm y h
& 2b + 1 + 1 = 4 ...(1) a b a
n
2 5 4 2 mn n
M=x y x y x y
M = x 2 + 4 + mn y5 + 2 + n
M = x6 + mn y7 + n G.R.(x) = 6 + mn = 10 & mn = 4 G.A.(M) = 6 + mn + 7 + n = 19
Además: G.R.(x) = G.R. (y)
b 1 b 1 &a b + = + = a b a a
Reemplazando en (1):
2b 1 1 4 & b 1 + + = = b b b „ E = 3b-2a = 1
Evaluación
Día:
Mes:
Año:
Apellidos y nombres: Año:
LIFICACIÓN CA
Sección:
Tema:
1. Hallar el grado absoluto del monomio:
M=
1 xb
y
2. Hallar n si Q es de segundo grado:
1 a
Q= x
n-2 3
x
n
$ x7
n+1 12
Si se cumple: a - b = 8 / ab = 4.
A) 1 D) 0
B) 2 E) 6
C) 4
3. Dado el polinomio:
Si su grado absoluto es 36, hallar: G.R. (x) + G.R. (y)
B) 38 E) 40
B) 6 E) 9
C) 8
4. Hallar a, si el grado absoluto del monomio es 6:
P^x; yh = 2xa ya + 1 + 5x 2a ya + 3 - axa - 6 + aya + 7 + 7x 2a ya + 2
A) 28 D) 35
A) 7 D) 5
C) 50
M=
x
2a - 2 2a + 3 4 z 3 2a
37
y 5 w 10
A) 24 D) 12
B) 10 E) 8
C) 14
27
5. Si el polinomio Q se reduce a un solo término, hallar: m + n Q^x; yh = xm - 1y6 + x3 yn - 1
A) 8 D) 12
B) 10 E) 13
6. Hallar a si la expresión es de octavo grado. M=
A) 6 D) 8
C) 11
7. Hallar (p + q + r) si el monomio:
9^x
h $x
a-2 3
9^x h2 $ x C a
C $x
2a - 3 2
10
4 2
B) 4 E) 5
C) 2
8. Dados los polinomios:
M = 15xp + 2q + 2r y2p + 3q + 3r z3p + q + r
es de grado absoluto 180.
P = 2xa - 1yb - 1 + 3xb - 1ya + 7xa + 2 yb - 1 Q = 5xa + 2 y1 - b + 7x2 - b ya + 6xa - 1y2 - b si el grado absoluto de P es 10 y el grado absoluto de Q es 6, hallar ab.
A) 20 D) 30
B) 40 E) 10
9. Hallar el número de variables que debe tener el monomio:
A) 216 D) 96
C) 50
M = x1 $ y 2 $ z3 . ... para que su grado absoluto sea 45.
B) 316 E) 128
C) 108
10. Si el grado absoluto de Q es 17 y el G.R. (y) es 9, hallar: n - m
Q = xm y2n + 1z 6 xm - 1yzn - 1 + ^xyhm zn@
A) 6 D) 8
B) 10 E) 9
C) 11
A) 0 D) 2
B) 5 E) 3
C) 1
29 1. Si: P(x) = 3x5 + 4x7 + 2x10 + 8
10. Si: P(x) = x2n - 7 - x2n - 9 + 2x2n - 12
Calcular: G.A.(p) A) 5 D) 12
B) 7 E) 11
C) 10
2. Si: P(y) = y2a+3 - ya+1 + y2a+2
B) 3 E) 7
C) 4
3. Si: P(x) = xa - 4 + x2a - 3 - x2a - 4
B) 2a - 3 E) 2a - 1
C) 2a - 4
B) 6 E) 13
C) 8
B) 20 E) 26
C) 24
B) 1 E) 4
C) 3
B) 8 E) 11
C) 9
15. Si: P (x; y) = - 5 xa - 2 y10 - a + 13xa - 8 y10 - a 3
C) 2
Calcular: G.A.(P) A) 4 D) 6
7. Si: P(x) = 8x8 - 7x6 + 10x12 - 7
B) 2 E) 5
P(x) = 3 2 + 9xa - 4 - 1 xa - 3 2 A) 7 D) 10
3 x a yb - 7 x a + 5 y 7 + yb + 7 4 Donde: G.R.(x) = 5, calcular a.
A) 0 D) 3
C) 5
14. Calcular a si el siguiente polinomio es de cuarto grado:
6. Si: P(x; y) =
B) 4 E) 7
P(x; y) = 5xa+3y6 + 6xay8 A) 1 D) 4
Donde: G.R.(x) = 7, calcular (n2 - 1). A) 18 D) 25
C) 17
13. Calcular a si G.R.(x) = 4 en:
5. Si: P(x; y) = x2yn - 1/4xn+2yn-1 + 10
B) 16 E) 20
P(x) = (n - 4)xn - 4 + (m + 1)x2n + 1 - x2n - 2 Donde: G.A.(P) = 7, calcular n. A) 3 D) 6
Calcular: G.R.(x) + G.R.(y) A) 3 D) 10
C) 2n - 12
Calcular: G.R.(x) + G.R.(y) A) 15 D) 18
4. Si: P(x; y) = x7y3 + x8y2 - x5y5
B) 2n - 7 E) 2
12. Dado el polinomio:
Calcular: G.A.(P) A) a - 4 D) 2a + 5
A) 2n D) 2n - 9
11. Si: P(x; y) = 2x9y - 7x2y9 + x8y3
Donde: G.R.(y) = 7, hallar a. A) 2 D) 5
Calcular: G.A.(P)
Calcular: G.A.(P)
B) 8 E) 2
C) 10
16. Dado el polinomio: A) 8 D) 13
B) 6 E) 10
C) 12
2 x 4 y5 - 1 x7 y - 4 4 Calcular: G.A.(P)
8. Si: P(x; y) =
A) 4
B) 7
C) 9
D) 8
A) 1 D) 4 E) 6
B) 2 E) 5
C) 3
17. Dado el polinomio:
9. Si: P(y) = 2y2m+1 - 3ym+7 + y2m+7 + 8
P(x) = 4xa+2 - 7x2a+7 + 5x2a+4 Donde: G.A.(P) = 17, calcular a.
P(x) = (a - 1)x2a+1 + (b + 2)x2a-3 - cx2a+2 Donde: G.A.(P) = 16, calcular a + 2 .
Donde: G.R.(y) = 9, calcular m. A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A) 3 D) 6
B) 4 E) 8
C) 5
30
18. Dado el polinomio:
P(x) = 2 3 xm+7 + 5x2m+7 - 7x2m-7
Donde: G.A.(P) = 23, calcular m. A) 7 D) 10
B) 8 E) 11
A) 1 D) 4
19. Dado el polinomio: P(x; y) = xa-2y2a + 7x2-ay4a+1
Se tiene G.R.(y) = 9, calcular a. A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
2 S(x; y) = 4n x7m+10y2 - 7m m+n
Hallar su grado. A) 7m D) 14
C) 3
P(x; y) = 2xny4m+3 - 7x2n y2m-3 + xn-1y4m
Se tiene G.R.(y) = 23, calcular m. B) 6 E) 10
B) 12 E) 18
C) 10
27. Si el monomio: M(x) = 4 5 xa+20
20. En el polinomio:
A) 5 D) 8
C) 2
26. Sea el monomio: C) 9
B) 0 E) 3
es de grado 24, hallar a. A) 2 D) 5
B) 3 E) 6
C) 4
28. Hallar el grado del siguiente monomio: C) 7
21. En el polinomio:
M(x; y) =
4
x12 . 3 y9
A) 3 D) 18
B) 6 E) 16
C) 12
P(x; y) = - 1 x7m - 2 - 2 x6m y 4 - m + 8x7m + 6 y7 - m 4
Se tiene G.R.(x) = 20, calcular: m2 + G.R.(y)
29. Si el polinomio es de séptimo grado siendo m 2 0, hallar m + 3.
A) 6 D) 9
B) 7 E) 10
C) 8
P(x) = A) 3 D) 8
22. Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio sabiendo que su G.R.(y) = 5.
7 x2+m +
2 x3+m +
11x4+m
B) 6 E) 12
C) 7
30. El grado de P(x) es 32. Hallar m.
P (x; y) = 2 m 2 x 4 - 5 2 xym - 6 + 3 2 mym - 7 A) 149 2 D) 2
B) 141 2 E) 133 2
C) - 2
23. En el polinomio:
P(x; y) = -3x2n-1yn + 1 + 7x2n + 7yn + 2
Se tiene: G.R.(x) = 17, calcular: G.R.(y) + n A) 12 D) 15
B) 13 E) 16
C) 14
24. En el polinomio:
P(x; y) = 2xa-2y2a - 5xa+1y2a+3
Se tiene G.R.(x) = 13, calcular: a - G.R.(y) A) -15 D) 17
B) 15 E) 18
C) 16
25. El polinomio P(x) es de 5.° grado; hallar m.
P(x) =
7 x1+m -
6 xm+2 +
5 x2m+3
P(x) = (xm + 5)(xm + 4)(xm + 3)(xm + 2) A) 8 D) 4
B) 6 E) 3
C) 5
31 NOTACIÓN POLINÓMICA Polinomio Se llama así a aquella expresión algebraica en la cual los exponentes de sus variables son números enteros no negativos (enteros positivos incluyendo al cero). Todo polinomio de acuerdo a su número de términos recibe el nombre particular de: Monomio, si:
P(x; y) = 7x2y
Binomio, si:
P(x; y) = 9x4 – 2xy
Trinomio, si:
P(x; y) = 6x2 – 5x + 8
Nota
Para n términos se denomina polinomio de n términos.
Valor numérico de un polinomio Es el valor que toma el polinomio cuando a sus variables se les asignan valores particulares. Ejemplos: 1. Sea: P(x) = 3x – 1; hallar P(x + 2).
Resolución:
Se cambia: x por x + 2 P(x + 2) = 3(x + 2) – 1 P(x + 2) = 3x + 5
2. Si: P(x) = x2 – 3x + 8, hallar P(6).
Resolución:
P(6) = 62 – 3 . 6 + 8 P(6) = 36 – 18 + 8 = 26
Valores numéricos notables Suma de coeficientes Se obtiene reemplazando las variables por la unidad. P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1 + a0 Si: x = 1 Entonces:
/ coef. = P(1) = an + an – 1 + ... + a1 + a0
Ejemplos: Hallar la suma de coeficientes de: 1. P(x) = 6x5 + 4x2 - 10
Resolución:
/ coef. = P(1) = 6(1) 5 + 4(1)2 - 10 =0
2.
M(x) = (2x - 1)20 - 5x + 1
/ coef. = M(1) = (2(1) - 1)20 - 5(1) + 1 = (1)20 - 5 + 1 = -3
32 Término independiente Se obtiene reemplazando las variables por “ceros”. P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x + a0 Si: x = 0 Entonces:
Término independiente = P(0) = a0
Ejemplos: Hallar el término independiente de: 1. P(x) = 6x5 + 4x2 + 10
2. M(x) = (2x - 1)20 - 5x + 1
T. independiente = P(0) 5
2
T. independiente = M(0)
= 6(0) + 4(0) + 10
= (2(0) - 1)20 - 5(0) + 1
= 10
= (- 1)20- 0 + 1
=2
Efectuar: Grupo I
Grupo II
1. Si: P(x) = 6x + 4 Hallar: P(4)
1. Hallar la suma de coeficientes de P(x) = 8x2 + 7x + 1
2. Si: P(x) = 7x -10 Hallar: P(3)
2. Hallar la suma de coeficientes de P(x) = 10x3 + 8x2 - 7x + 12
3. Si: P(x) = 8x - 12 Hallar: P(10)
3. Hallar la suma de coeficientes de P(x) = 3x4 - 5x3 + 12x2 - 2
4. Si: P(x) = x2 - x + 1 Hallar: P(7)
4. Hallar el término independiente de P(x) = nx2 + (n + 2)x + 12
5. Si: P(x) = x2 - x + 10 Hallar: P(8)
5. Si: P(x) = 9x - 10 Hallar: P(x + 3)
6. Si: P(x) = x2 + 3x + 1 Hallar: P(2)
6. Si: P(x) = x2 - 6x + 9 Hallar: P(5)
7. Si: P(x) = x3 + x2 + x Hallar: P(3)
7. Si: P(x) = x3 + x2 - x Hallar: P(4)
8. Si: P(x) = 3x + 2 Hallar: P(x + 2)
8. Si: P(x) = x + 2 + x2 + x3 Hallar: P(4)
9. Si: P(x) = 4x + 5 Hallar: P(x + 3)
9. Si: P(x) = 3x + 2 F(x) = 4x - 3 Hallar: E = P(5) + F(3)
10. Si: P(x) = 6x - 2 Hallar: P(x + 4)
10. Si: P(x) = x4 + x3 - x2 - x Hallar: P(2)
33 1. Si: P(x) = 2x + 1 3
4. Sea: P(x) = x2 + x - a2
Calcular:
Resolución:
Hallando P(4):
P(4) =
P(4) = 3
Nos piden:
P (4) + 1
Hallar el término independiente de P(x), sabiendo que a 2 0.
2 (4) + 1 3
P (4) + 1 =
2. Si: P(x + 3) = 3x - 4
Hallar: E = P(4) + P(7)
Resolución:
Hallando: P(4) Se sabe: P(x + 3) = 3x - 4 Entonces: x + 3 = 4 & x = 1 Reemplazando: P(4) = 3(1) - 4 P(4) = -1 Hallando: P(7) Se sabe: P(x + 3) = 3x - 4 Entonces: x + 3 = 7 & x = 4 Reemplazando: P(7) = 3(4) - 4 P(7) = 8 En E: E = -1 + 8 E=7 3. Si: P(x) = 3(x + x ) - 2 c x + x + 1 m 2 2 Evaluar: P(-1) 4
Resolución:
Dato: P(2) = a
Entonces en P(x):
P(2) = (2)2 + 2 - a2 = a a=2 0 a=-3 &a=2
3+1 = 2
5
P(2) = a
Hallando el término independiente:
P(0) = (0)2 + 0 - (22) P(0) = - 4
5. Si: P(x) = x + 7
P(F(x)) = 3x + 9 Hallar: F(6)
Resolución:
F(x) + 7 = 3x + 9 F(x) = 3x + 2 F(6) = 3(6) + 2 F(6) = 20
P(F(x)) = F(x) + 7 Entonces:
6. Si: F(x) = nx + 5
3
Hallar m si se verifica: n F(x) + F(2x) + F(3x) = 30x + m Resolución:
Resolución:
P(-1) = 3((-1)5 + (-1)4) - 2 c(-1) 3 + -1 + 1 m 2 2
F(x) = nx + 5 F(2x) = 2xn + 5 F(3x) = 3xn + 5
P(-1) = 3(-1 + 1) - 2(-1 + 0) P(-1) = 0 - 2(-1) P(-1) = 2
Reemplazando:
nx + 5 + 2nx + 5 + 3nx + 5 = 30x + m 6nx + 15 = 30x + m
34
De donde: 6n = 30 & n = 5
Además: m = 15
„ m = 15 = 3 n 5
Resolución:
P(x) =
^x + 1h ^x - 1h g (x) + 1 x = g (x) - 1 ^x - 2h
P(G(x)) =
(x - 2)(G(x) + 1) = x(G(x) - 1) xG(x) + x - 2G(x) - 2 = xG(x) - x
7. Si: P(x) = 3x + 2
Además: P(G(x)) = 3x2 - 6x + 2
Calcular: G(2)
Resolución:
P(x) = 3x + 2 P(G(x)) = 3G(x) + 2
Despejando: - 2(G(x)) = -x -x+ 2 - 2(G(x)) = -2x + 2 G(x) = x - 1
3G(x) + 2 = 3x2 - 6x + 2 3G(x) = 3x2 - 6x G(x) = x2 - 2x
Nos piden: G(2)
Entonces: G(5) = 5 - 1 G(5) = 4
Entonces:
10. Si: F(x - 2) = 3x + 4
G(2) = (2)2 - 2(2) G(2) = 0
8. Si:P(x) = x + 1
Hallar:
E = P (x + 1) - P (x - 1)
Resolución:
Hallamos:
P (x + 1) P (x + 1) P (x - 1) P (x - 1)
Reemplazando:
E=x+2-x E=2
9. Si: P(x) =
= (x + 1) + 1 =x+2 = (x - 1)+ 1 =x
^x + 1h ^x - 1h
Además: P(G(x)) =
Hallar: G(5)
x ^x - 2h
Además: F(g(x)) = 12x + 64
Hallar: g(- 4)
Resolución: F(x - 2) = 3x + 4 F(g(x)) = 12x + 64 x - 2 = g(x) x = g(x) + 2
Reemplazando:
F(g(x)) = 3(g(x) + 2) + 4 F(g(x)) = 3g(x) + 6 + 4 F(g(x)) = 3g(x) + 10
Igualando: 3g(x) + 10 = 12x + 64 g(x) = 4x + 18
Entonces:
g(- 4) = 4(- 4) + 18 g(- 4) = 2
Evaluación
Día:
Mes:
Año:
Apellidos y nombres: Año:
LIFICACIÓN CA
Sección:
Tema:
1. Si Q(x) = 2x3 - 4x2 - x + 1
2. Si: P(x) = 2x + 4
Hallar: Q(-2)
A) -45 D) 25
B) 40 E) -29
P(F(x)) = 8x + 10 Hallar: F(9)
A) 30 D) 28
C) 35
B) 39 E) 30
3. Dado: F(1 - x-1) = 4x2 - 2x - 5
4. Si: P(x) = xx - 1 + xx - 1
Hallar: F(3)
A) 3 D) -3
B) 5 E) 0
C) -5
C) 36
Hallar: P(2)
A) 0 D) 2
B) 3 E) 5
C) 4
35
6. Sea P(x - 2) = x2 + 3x - 2.
5. Si: P(x) = x + 1 Hallar:
P^x + 1h + P^x - 1h P^xh
A) 0 D) 1
B) 3 E) 5
Hallar: P(0)
7. Si: P(x) = 2x2 + x - 4
Calcular: E =
B) - 3 4 2 E) 3
C) - 2 3
B) 2 E) 0
A) 1 2 D) 3
B) 2
C) 1
E) 1 3
10. Calcular el valor numérico de E para x = 2 . 5
Si P(a) = a, calcular: a
A) 1 D) 4
C) 7
Calcular: a - b
9. Dado el polinomio: P(x) = 3x - 2
B) 8 E) 4
8. Dado el polinomio: F(x) = 2x - 1 y F(a) = 2b + 1
P (0) + P^2h P (- 1) - P^- 2h
A) - 2 5 D) - 1 5
A) 10 D) 6
C) 2
C) 3
Si: E =
A) 1 D) 0
^5x - 1h3 + ^5x - 1h2 - 1
B) 2 E) 5
C) 3
37 9. Si: F(x) = x2 + 2x - 3x + x2 + 3
1. Dado: P(x) = x2 + x - 1 Calcular: P(3)
A) 10 D) 11
B) 14 E) 16
C) 15
A) 2 D) 1
Z x ]]F^xh = + 4 2 2. Si: [ x ]P ^ x h = - 1 3 \
B) 14 E) 21
Hallar:
Calcular:
B) 8 E) 5
Calcular: A) 5 D) 3
P^6h - 1 B) 4 E) 7
B) 46 E) 56
B) 14 E) 17
C) 13
14. Siendo: P(x - 8) = x3 + x2 + x Hallar: P(-5) A) 41 D) 39
B) 37 E) 42
C) 38
C) 6 15. Si: P(x - 6) = x2 - 25 + 2x
7. Si: F(x) = x3 + x2 - 2x + 3 Calcular: M = F(2) + F(3) A) 45 D) 38
Hallar: F(5)
C) 35
6. Siendo: P(x) = x2 - 3x + 8
C) 20
13. Siendo: F(x + 2) = x2 + x + 1
A) 12 D) 15 B) 36 E) 32
B) 17 E) 15
C) 9
Calcular: F(F(4)) A) 34 D) 42
C) 10
Hallar: F(5) A) 19 D) 16
5. Dado: F(x) = 3x - 1
B) 7 E) 4
12. Si: F(x - 3) = 3x - 5
P^2h + 3
A) 7 D) 6
Hallar: P(5)
C) 8
4. Si: P(x) = 2x4 + x - 1
C) 32
11. Dado: P(x + 1) = 2x + 1
A) 9 D) 6 B) 3 E) 4
B) 26 E) 21
C) 18
F^2h
A) 2 D) 5
C) 5
calcular: F(F(2)) A) 28 D) 36
3. Dado: F(x) = x3 + x + 6
B) 3 E) 6
10. Si: F(x) = 5(x - 1) + 1
Calcular: M = F(4) . P(9) A) 12 D) 20
calcular: R = F^-2h - 4
Calcular: P(-1) A) 12 D) 20
C) 44
B) 15 E) 30
C) 10
16. Dado: F(x) = 2(x2 - x) + x - 1 8. Si: F(x) = 3(x - 3) + 2
Calcular: M = F^ 1h + 5 A) 2 D) 6
B) 1 E) 3
C) 4
Calcular: F(F(-1)) A) 6 D) 10
B) 8 E) 5
C) 7
38
17. Si: F^xh = 4x + 8 7
25. Si: P(x) = x2 - 3x + 1
Calcular: S = F^5h - 4
A) 5 D) 2
B) 3 E) 0
Calcular: E =
P^- 2h + P^- 1h P^4h - P^3h
C) 1 A) 1 D) 2
B) 4 E) 0
18. Siendo: F(x) = 2x + 1 P(x) = 3x - 2
26. Hallar el V.N. de E, si se sabe que:
x = -1; y = -2; z = 10.
E = 3 xy + 2z + 5
Calcular: F(P(4)) A) 23 D) 26
B) 21 E) 27
C) 24
A) 2 D) 1
19. Si: P(x) = x2 - x + 1 F(x) = x2 + 1
A) 50 D) 26
B) 17 E) 65
C) 37
C) 28
B) 2 E) 1 2
C) 0
^5x - 1h3 + ^5x - 1h2 - 1
Si: E = A) 1 D) 0
C) 7
22. Si: P c x + 1m = 5x + 12 3 Calcular: P(-1) B) -10 E) -16
B) 2 E) 5
C) 3
B) 4 E) -13
Si se sabe que: P(x; y) = 7x2 + 3xy - 7x2 A) -18 D) -27
B) -20 E) -16
C) -25
B) 3 E) 0
C) 2
30. Hallar n si: M^xh =
es de grado 621. A) 4 D) 1
C) 5
24. Si: P(x) = 5x2 + 7x - 12
n- n
C) -12
23. Si: P c 2x - 2m = 4x + 4 3 Calcular: P^0h A) 3 D) 7
b =- 1 2
29. Calcular: P(-2; 3)
B) 6 E) 4
A) -8 D) -14
/
28. Calcular el valor numérico de E para x = 2 . 5
21. Si: f(x) = 2x + 1 g(x) = x2 - x Calcular: f(g(-1)) A) 5 D) 8
Para a = 1 2
D) 4
Calcular: C(B(A(2))) B) 29 E) 31
A) 1
A(x) = 3x - 1 B(x) = 2x + 1 C(x) = 3x - 2
A) 30 D) 36
C) -3
27. Calcular el V.N. de: E = a2 + 2ab + b2
Calcular: F(P(3))
20. Se define:
B) 3 E) -1
C) -4
4
n
xn
n
x16n
31. Dado el polinomio:
P(x) = ax2 + bx + c
Si P(–1) = c + 2, calcular: a – b
P(1)
Calcular: (P(-1)) A) 1 D) -2
B) -1 E) 0
C) 2
A) 0 D) 2
B) 1 E) –2
C) –1
