IME ITA
Álgebra Linear 01 - (FUVEST SP) ⎡sen θ cos θ ⎢sen θ cos θ A matriz ⎢ ⎢sen θ 1 ⎢ 0 ⎢⎣ 0
0 1⎤
⎥
0 0⎥ 0 0⎥
é inversível, se e
⎥
1 0⎥⎦
somente se: a. θ ≠ nπ / n ∈ Z b. θ ≠ 2nπ/n ∈ Z c. θ ≠ d. θ ≠ e. θ
π
2 π
4
+ nπ /n ∈ z
+ nπ/n ∈ Z
∈ R
02 - (Mauá SP) Determine as condições que x deve satisfazer para que a matriz A seja invertível. ⎛ 1 ⎜ ⎜1 A=⎜ ⎜1 ⎜ ⎝ 1
2
3
4 ⎞
3
x
5⎟
3
4
6
5
⎟
3⎟
⎟
x ⎠⎟
03 - (ITA SP) Sejam A, B e C matrizes reais 3 x 3, satisfazendo às relações AB = C-1, B = 2 A. Se o determinante de C é 32, qual é o valor do módulo do determinante de A ? a) 1/16 b) 1/8 c) 1/4 d) 8 e) 4 04 - (INTEGRADO RJ) O valor de a tal que ⎡ −11 2 7 2 ⎤ ⎡3 7 ⎤ seja a matriz inversa de ⎢ 5 ⎥ ⎢ a 11 ⎥ é: ⎢⎣ 2 -3 2 ⎥⎦ ⎣ ⎦ a) –1 b) 3 c) 1/5 d) 2 e) 5 05 - (ITA SP) Sejam as matrizes ⎡ 1 0 1 / 2 −1 ⎤ ⎡ 1 3 − 1 / 2 1⎤ ⎢− 2 5 2 − 3⎥ ⎢ 1 − 2 − 2 3⎥ ⎢ ⎥ ⎥ A= e B=⎢ ⎢ 1 −1 2 ⎢− 1 1 1⎥ 1 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 5 − 1 1 / 2 5⎦⎥ ⎣⎢ − 5 1 3 / 2 0 ⎦⎥ Determine o elemento c34 da matriz C = (A + B) −1 .
06 - (ITA SP) Uma matriz real quadrada A é ortogonal se A é inversível e A −1 = A t . Determine todas as matrizes 2 x 2 que são simétricas e ortogonais, expressando-as, quando for o caso, em termos de seus elementos que estão fora da diagonal principal.
07 - (UNICAMP SP) Uma matriz real quadrada P é dita ortogonal se PT = P–1, ou seja, se sua transposta é igual a sua inversa. a) Considere a matriz P abaixo. Determine os valores de a e b para que P seja ortogonal. Dica: você pode usar o fato de que P –1P = I, em que I é a matriz identidade. ⎡ − 1 / 3 − 2 / 3 − 2 / 3⎤ P = ⎢− 2 / 3 a − 1/ 3⎥ ⎢ ⎥ 2 / 3 ⎦⎥ ⎣⎢− 2 / 3 b
b) Uma certa matriz A pode pode ser escrita na forma A = QR, sendo Q e R as matrizes abaixo. Sabendo que Q é ortogonal, determine a solução do sistema Ax = b, para o vetor b dado, sem obter explicitamente a matriz A. Dica: lembre-se de que x = A–1b. ⎡ 1 / 2 − 1 / 2 − 2 / 2⎤ ⎢ ⎥ −1/ 2 Q = ⎢ 1/ 2 2/2 ⎥ , ⎢ 2/2 2/2 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡6⎤ b = ⎢− 2⎥ . ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 ⎦⎥
⎡2 R = ⎢0 ⎢ ⎣⎢0
0 ⎤ 0 ⎥, ⎥ 2 ⎦⎥
0 −2 0
⎡i 08 - (CEFET PR) Considere a matriz A = ⎢0 ⎢⎣0
0 0⎤ i 0
0⎥ , i⎥ ⎦
na qual “i” é a unidade imaginária. É correto afirmar que A9 é igual a: (I3 ⇒ identidade de ordem 3) a) A. b) – A. c) i . A. d) I3 . e) – I3 . 09 - (ITA SP) Seja A ∈ M3x3 tal que det A = 0. Considere as afirmações: I. Existe X ∈ M3x1 não nula tal que AX é identicamente nula II. Para todo Y ∈ M3x1, existe X ∈ M3x1 tal que AX = Y. 1
5
III. Sabendo que A 0 = 1 0
2
então a primeira linha da transposta de A é [5 1 2]. Temos que: a) todas são falsas b) apenas (II) é falsa c) todas são verdadeiras. d) apenas (I) e (II) são verdadeiras. e) n.d.a
Matemática – Ney
10 - (UnB DF) Um industrial instalou cinco fábricas, que serão representadas pelos números 1, 2, 3, 4, 5. Ele necessita de instalar uma oficina de manutenção de máquinas em uma das fábricas. Na matriz (C = cij)5x5, o elemento cij representa o custo (em mil Reais) de transporte de uma máquina da fábrica i para a fábrica j. Na matriz coluna M = (mi1)5x1, o elemento mi1 fornece o número de máquinas da fábrica i. Considere as ⎡0 5 4 5 4⎤ ⎡5⎤ ⎢6 0 2 3 1⎥ ⎢2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ matrizes C = ⎢ 4 3 0 2 1 ⎥ e M = ⎢ 3 ⎥ e julgue ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢6 4 3 0 1⎥ ⎢4⎥ ⎢⎣ 5 2 3 2 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ os itens seguintes. 00. Para transportar todas as máquinas para a fábrica 4, o custo é de 43.000 Reais. 01. Se x é o custo de transporte de todas as máquinas das outras fábricas para a fábrica i, então o custo de retorno dessas máquinas para as fábricas de origem é x, qualquer que seja 1 ≤ i ≤ 5. 02. Considerando que as máquinas encontram-se em igual estado de conservação, como opção mais econômica, o industrial deverá instalar a oficina de manutenção na fábrica 5.
⎡2 ⎢ c. 2 ⎢ ⎢⎣1 ⎡1 ⎢ e. 2 ⎢ ⎢⎣1
1 2 2 2 2 1
2⎤
⎥ 1 ⎥ 2⎥⎦ 2⎤ ⎥ 1 ⎥ 2⎥⎦
⎡2 ⎢ d. 1 ⎢ ⎢⎣1
1
2⎤
⎥ ⎥ 2⎥⎦
2 2 2
14 - (UERJ) João comeu uma salada de frutas com a, m e p porções de 100 g de abacaxi, manga e pêra, respectivamente, conforme a matriz X. A matriz A representa as quantidades de calorias, vitamina C e cálcio, em mg, e a matriz B indica os preços, em reais, dessas frutas em 3 diferentes supermercados. A matriz C mostra que João ingeriu 295,6 cal, 143,9 mg de vitamina C e 93 mg de cálcio.
11 - (PUC RJ) Calcule a vigésima potência da matriz ⎛ 1 a ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . 0 1 ⎝ ⎠
Considerando que as matrizes inversas de A e B são A–1 e B–1, o custo dessa salada de frutas, em cada supermercado, é determinado pelas seguintes operações: a) B . A–1 . C b) C . A–1 . B c) A–1 . B–1 . C d) B–1 . A–1 . C
12 - (UERJ) Considere as matrizes A e B: A = ( a ij ) é quadrada de ordem n em que a ⎧ 1, se i é par a ij = ⎨ ⎩− 1, se i é ímpar B = ( b ij ) é de ordem n x p em que b ij = ji a) Calcule a soma dos dos elementos da diagonal diagonal principal da matriz A. b) O elemento da quarta linha e da segunda coluna da matriz produto AB é igual a 4094. Calcule o número de linhas da matriz B.
15 - (ITA SP) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB = A e BA = B . Então, [(A + B)t]2 é igual a a) (A + B)2. b) 2(At . Bt). c) 2(At + Bt). c) At + Bt. e) At Bt .
⎡0 1 0 ⎤ 13 - (UERJ) Multiplicando-se A = ⎢⎢0 0 1⎥⎥ por X = ⎢⎣1 0 0⎥⎦ ⎡a ⎤ ⎡ b⎤ ⎢ b ⎥ , obtêm-se AX = ⎢ c ⎥ , que é uma ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ c ⎥⎦ ⎢⎣a ⎥⎦ permutação dos elementos de X. Existem cinco outras matrizes de mesma ordem da matriz "A", com apenas elementos 0 e 1, que, multiplicadas por X, formam as outras permutações dos elementos de X. A soma destas cinco matrizes é: ⎡1 2 2⎤ ⎡2 1 2⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ a. 2 1 2 b. 1 2 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣2 2 1⎥⎦ ⎢⎣2 2 1⎥⎦
16 - (ITA SP) Seja A uma matriz real 2 x 2. Suponha que α e β sejam dois números distintos, e V e W duas matrizes reais 2 x 1 não-nulas, tais que AV = V e AW = W. Se a, b ∈ R são tais que a V + b W é igual à matriz nula 2 x 1, então a + b vale a) 0 b) 1 c) –1 d) 1 2
e) − 1
2
2
Exercícios Complementares Complementares
17 - (ITA SP) 1.Mostre que se uma matriz quadrada não-nula A satisfaz a equação: A3 + 3A2 3A2 + 2A 2A = 0 (1) então (A + I)3 = A + I, em que I é a matriz identidade. 2. Sendo
dado
⎡−1
que
A=⎢
⎣0
⎤ satisfaz − 2⎥⎦ 1
2. +⊥ A que transforma a matriz Am x n numa outra matriz A’’ 1 x n onde cada elemento da única linha de A’’ é obtido somando-se os elementos elementos da coluna correspondente de A. Nestas condições, se A for a matriz identidade de ordem p a expressão +/(+⊥A) vale: a) 2p b) p c) p2 d) p . m e) 2 x 2
à
equação (1) acima, encontre duas matrizes não-nulas B e C tais que B3 + C3 = B + C = A. Para essas matrizes você garante que o sistema de equações
⎡ x ⎤ ⎡0 ⎤ ⎥=⎢ ⎥. ⎣ y ⎦ ⎣0 ⎦
( B − C) ⎢
⎡1
21 - (UNIFICADO RJ) Cláudio anotou as suas médias bimestrais de matemática, português, ciências e estudos sociais em uma tabela com quatro linhas e quatro colunas, formando uma matriz, como mostra a figura:
1⎤
18 - (UFC CE) Considere a matriz A = ⎢ ⎥ de ⎣0 1⎦ ordem 2x2. Então pode-se afirmar que a soma A + A2 + ... + An é igual a: a) b) c) d) e)
2 3
⎟ 1⎟ 1 ⎠⎟
3 1 ⎞ 2 3
⎟ 1⎟ 1 ⎠⎟
matemática ⎛ 5,0
4,5
6,2
5,9 ⎞
6,5
7,1
6,6 ⎟
7,8
6,8
5,9
5,6
⎟
8,6 ⎟
⎟
6,2 ⎠⎟
2 3
⎟ 1⎟ 1 ⎠⎟
2 ⎡1
1
1
4
4
1⎤ 4 ⎥⎦
⎡1⎤ ⎢ 12 ⎥ ⎢ ⎥ c) ⎢ 12 ⎥ ⎢2⎥ ⎢1⎥ ⎣2⎦ d)
3 1 ⎞
1
b) ⎢ ⎣4
⎛ d ⎞ ⎛ d´ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ m ⎟ = ⎜ m´ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠ ⎝ a´ ⎠
⎛ 1 ⎞ ⎛ - 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 1 ⎟ = ⎜ -1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 97 ⎠ ⎝ - 2
4º b
a)
1 4
⎡1⎤ ⎢ 14 ⎥ ⎢ ⎥ e) ⎢ 14 ⎥ ⎢4⎥ ⎢1⎥ ⎣4⎦
O código revelou-se um desastre. De fato, várias datas originais distintas (d,m,a) correspondem a um mesmo código transmitido (d´, m´, a´). Por exemplo, as datas 1/1/97 e 2/2/96 correspondem ao mesmo código 98-98-98, pois:
⎛ − 2 ⎜ ⎜ −1 ⎜ ⎝ − 2
3º b
Sabe-se que as notas de todos os bimestres têm o mesmo peso, isto é, para calcular a média anula do aluno em cada matéria basta fazer a média aritmética de suas médias bimestrais. Para gerar uma nova matriz cujos elementos representem as médias anuais de Cláudio, na mesma ordem acima apresentada, bastaria multiplicar essa matriz por:
19 - (UFRJ) O agente id Ota inventou o seguinte código secreto para a transmissão de datas de certos fatos importantes: o código transforma uma data d-m-a, d-m-a, onde d é o dia, m é o mês e a representa os dois últimos algarismos do ano, em uma nova tripla de números d´-m´,a´, d´-m´,a´ , de acordo com a regra: 3 1 ⎞
2º b
⎜ português ⎜ 8,4 ciências ⎜ 9,0 ⎜⎜ est. sociais ⎝ 7,7
⎡1 n ⎤ ⎢0 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡n n 2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎣⎢0 n ⎦⎥ ⎡1 n (n + 1) / 2⎤ ⎢0 ⎥ n ⎣ ⎦ ⎡ n ( n 2 + n ) / 2⎤ ⎢ ⎥ n ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎡n n ⎤ ⎢0 n ⎥ ⎣ ⎦
⎛ − 2 ⎜ ⎜ −1 ⎜ ⎝ − 2
1º b
⎛ 2 ⎞ ⎛ 98 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ = ⎜ 98 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 96 ⎠ ⎝ 98 ⎠
⎡1
1⎤
22 - (UFC CE) Considere a matriz A = ⎢ ⎥ de ⎣0 1⎦ ordem 2x2. Então pode-se afirmar que a soma A + A2 + ... + An é igual a:
Id Ota pensou em alterar o coeficiente central da matriz, a22, igual a 2, para um outro valor k. Determine, se possível, os valores de k que fazem o código funcionar bem.
⎡1
n⎤
a) ⎢ ⎥ ⎣0 1 ⎦
20 - (FCChagas SP) Dada uma matriz Am x n e as operações: 1. +/ A que transforma a matriz A numa outra matriz A’ m x 1 onde cada elemento da única coluna de A’ é obtido somando-se os elementos da linha correspondentes de A.
⎡1 c) ⎢ ⎣0 ⎡n e) ⎢ ⎣0 3
b)
n (n + 1) / 2⎤ n n⎤
⎥
n⎦
⎥ ⎦
d)
⎡n ⎢ ⎣⎢0 ⎡n ⎢ ⎣⎢ 0
n
2⎤
n
⎥ ⎦⎥
(n 2
+ n ) / 2⎤ ⎥ n ⎦⎥
Matemática – Ney
23 - (UFG GO) Dadas as matrizes
28 - (UEM PR) Sobre matrizes e determinantes, assinale a(s) alternativa(s) correta(s). 01. Se o determinante de uma matriz quadrada A é 10 e se a segunda linha for multiplicada por
⎛ sen θ cos θ ⎞ ⎛ cos θ − sen θ ⎞ ⎟⎟ e N = ⎜⎜ ⎟⎟ cos sen θ − θ ⎝ sen θ cos θ ⎠ ⎝ ⎠ Onde θ é um ângulo compreendido entre 0 e π /2 M = ⎜⎜
4 e a quinta linha por
rad. Abaixo estão relacionadas algumas operações envolvendo estas matrizes. As igualdades corretas são: 01.
M N .
⎛ 0 = ⎜⎜ ⎝ 1
1 ⎞
⎟;
0 ⎠⎟
24 - (ITA SP) Sejam A = (a jk) e B = (b jk) duas matrizes quadradas n x n, onde a jk e b jk são, respectivamente, os elementos da linha j e coluna k das matrizes A e B, definidos por
b jk =
quando
⎛ k ⎞ j ≥ k , a jk = ⎜⎜ ⎟⎟ quando ⎝ j ⎠
⎡
j < k e
⎥ , tem como solução o
3⎦
X 2×1
+ y2 = 1.
O traço de uma matriz quadrada (c jk) de ordem n x n é definido por ∑ pn =1 c pp . Quando n for ímpar, o
32. Se A = B ⋅ C, onde
traço de A + B é igual a a) n(n − 1)/3 b) (n −1)(n + 1)/4 c) (n2 − 3n +2)/(n − 2) d) 3(n − 1)/n e) n − 1)/(n − 2)
⎡3 ⎢ C = ⎢0 ⎢⎣0
2 1 3
0
⎡x ⎤ = ⎢ ⎥ , tais que x2 ⎣y⎦ ⎡1 ⎢ B = ⎢1 3 ⎢4 ⎣⎢ 3
0
0⎤
1
0⎥
1
⎥
⎥ 1⎥ ⎦
e
⎤ ⎥ , então o determinante de A é ⎥ − 4⎥⎦ 4 2 3
igual a – 4. 29 - (UFAC) Considere a função ∂ : C → M 2 (R ) ⎡ x y⎤ z = x + yi → ∂ ( z) = ⎢ ⎥ ⎣− y x ⎦ que a cada número complexo em C associa uma matriz quadrada de ordem 2 em M2(R). A proposição errada dentre as dos itens abaixo é: a) Det (∂ (z )) = z 2 ; ∀z ∈ C b) ∂ ( z.w ) = ∂ (z).∂( w ); ∀ z, w ∈ C c) ∂ ( z + w ) = ∂ ( z) + ∂ ( w ); ∀ z, w ∈ C
25 - (UFU MG) Seja A uma matriz de ordem 3 inversível tal que (A – 2I) 2 = 0, em que I é a matriz identidade de ordem 3. Assim, pode-se afirmar que a matriz inversa A–1 é igual a a) I − 14 A b) 2 A d)
1I 2
26 - (FGV ) O montante aplicado de R$ 50.000,00 foi dividido em duas partes, x e y, uma tendo rendido 1% em um mês, e a outra 10% no mesmo período. O total dos rendimentos dessa aplicação foi de R$ 4.000,00. Sendo M, P e Q as matrizes
, então o
4⎤
conjunto das matrizes
⎛ jk ⎞ ∑ (−2) p ⎜⎜ ⎟⎟ . p =0 ⎝ p ⎠
⎡x ⎤ M=⎢ ⎥, ⎣y⎦
3
matriz dada por ⎢ ⎣− 4
jk
c) 4I – A
2
determinante da matriz resultante é 20. 02. Uma matriz quadrada A de ordem 3 é tal que seus elementos satisfazem aij + a ji = 0 para todo 1 ≤ i, j ≤ 3. Então, det(A) ≠ 0. 04. Se uma matriz quadrada A de ordem n tem determinante satisfazendo a equação det(A2) + 2det(A) + 1 = 4, então o det(A) é igual a 1 ou – 3. ⎡k 1 − 1⎤ 08. Se A é a matriz dada por ⎢⎢1 1 2 ⎥⎥ , então o ⎢⎣k 0 k ⎥⎦ único valor de k que torna o determinante de A2 nulo é zero. 16. A equação matricial Xt ⋅ A ⋅ X = 3 onde A é a
02. det M + det N = 2; 04. M.N = N.M; ⎛ 2 0 ⎞ ⎟ no caso em que θ = π /4 rd; 08. M + N = ⎜⎜ ⎟ 2 0 ⎝ ⎠ 16. N–1 = N, onde N–1 é a inversa de N; 32. det kM = k det M, onde K ∈ R.
⎛ j ⎞ a jk = ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎝ k ⎠
1
⎡50⎤ P=⎢ ⎥ ⎣4⎦
e
⎡1 Q=⎢ ⎣1
⎡1
d) ∂((1 − i) −1 ) = ⎢
⎣1
0,01⎤
⎥, a
- 1⎤
⎥
1⎦ 2 x 2
e) ∂ (1) = 12
0,1 ⎦
matriz M pode ser obtida pelo produto: a) 1 000 ⋅ (Pt ⋅ Q)–1 b) Pt ⋅ Q ⋅ 1 000 c) Q–1 ⋅ P ⋅ 1 000 d) 1 000 ⋅ (Qt)–1 ⋅ P e) (Q–1)t ⋅ P ⋅ 1 000
30
-
(UFBA BA) Considerando-se a matriz ⎛ u 2 + log v 0 u 2 − log v ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ , sendo u, w∈R e B=⎜ 0 2w 0 ⎜ 2 ⎟ ⎜ u − log v 0 u 2 + log v ⎟ ⎝ ⎠ v∈R*+, é correto afirmar: 01. A matriz B é simétrica, para quaisquer u, w∈R, v∈R*+. 02. O determinante de B é negativo se e somente se u ≠ 0 e v > 1 .
27 - (IME RJ) Considere uma matriz A, n x n, de coeficientes reais, e k um número real diferente de 1. Sabendo-se que A3 = k A, prove que a matriz A + I é invertível, onde I é a matriz identidade n x n. 4
Exercícios Complementares Complementares
04. Se u = 6, e v = 0,0001, então existe um único w∈R tal que os elementos da diagonal principal de B são medidas de um triângulo eqüilátero. 08. Se u = 0, existem v ∈R*+ e w ∈R tais que B2 é uma matriz nula. 16. Para qualquer w∈R, o sistema de equações tem uma infinidade de soluções BX = 0 ⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ X = ⎜ y ⎟ se e somente se v = 1 . ⎜ ⎟ ⎝ z ⎠
01. a coluna central não contém números compostos. 02. a linha de ordem k contém (2k −1) números naturais, k =1,2, … 04. a quantidade de números naturais escritos até o final da linha k é k 2, k =1,2,… 08. a soma de todos os números naturais escritos até o final da 20.ª linha é 80.200. 16. o número natural 628 é o quarto número da 26.ª linha. 34 - (ITA SP) Sejam A e P matrizes reais quadradas de ordem n tais que A é assimétrica (isto é, A = At) e P é ortogonal (isto é, P . Pt = I = Pt . P), P diferente da matriz identidade. Se B = PtAP então: a) AB é simétrica b) BA é simétrica c) det A = det B d) BA = AB e) B é ortogonal
31 - (UEM PR) Considere a equação matricial a ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡3⎤ ⎡− a 2 ⎢3 a − a ⎥⎥ ⎢⎢ y ⎥⎥ = ⎢⎢1⎥⎥ . ⎢ ⎢⎣ 2 − 4a − 2⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣6⎥⎦
a) Para qual(is) valor(es) de a a equação matricial possui uma única solução? Justifique. b) Determine a solução da equação matricial para a = −1 , justificando sua resposta.
35 - (ITA SP) Seja A uma matriz real quadrada de ordem n e B = I – A, onde I denota a matriz identidade de ordem n. Supondo que A é inversível e idempotente (isto é, A 2 = A) considere as afirmações:
32 - (UFAL) Considere: • a matriz matriz A = (aij)2x2, tal que aij = 2j − i; • que traço de uma matriz quadrada A é a soma dos elementos da diagonal principal de A;
1. 2. 3. 4. 5.
3n
•
⎛ 2 2 ⎞ , em que n é um ⎜x + ⎟ x ⎠ ⎝
o binômio
número natural. Use essas informações para concluir se as afirmações seguintes são falsas ou verdadeiras. 00. O traço da matriz inversa de A é
3 2
Com respeito a estas afirmações temos: a) Todas são verdadeiras. b) Apenas uma é verdadeira. c) Apenas duas são verdadeiras. d) Apenas três são verdadeiras. e) Apenas quatro são verdadeiras.
.
01. Se At é a matriz transposta de A, então A ⋅ At
⎡5 =⎢ ⎣3
3⎤
⎥.
36 - (UFG GO) Após uma prova de 4 questões aplicada a 4 alunos, o professor construiu uma matriz (A) onde cada linha corresponde a um aluno e cada coluna às questões da prova, colocou 0 (zero) se o aluno errou a questão e 1 (um) se acertou. Com base nesse enunciado podemos afirmar: 01. Se cada aluno acertou apenas 1 questão a matriz pode ser a matriz identidade se as questões acertadas são distintas; 02. Se um aluno tirou zero na prova o determinante da matriz é zero; 04. A única situação em que A2 = 0 é se todos os alunos tirarem zero na prova;
2⎦
02. Se n é o traço de A , então o 4o termo do desenvolvimento do binômio dado, segundo as potências decrescentes de x, é 168x 9. 03. Se n = 2, a soma dos coeficientes do binômio dado é 243. 04. Se n = 3, então, no desenvolvimento do binômio dado, o termo independente de x é 168. 33 - (UEM PR) Considere os números naturais colocados ordenadamente em linhas da disposição triangular mostrada na figura e suponha que a distribuição continue, indefinidamente, obedecendo ao mesmo padrão.
08. Se
...
3
4
5
6
7
8
9
10
11
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
A
=
A ij
4x 4
onde
a ij
⎧1 se i ≥ j , então um =⎨ ⎩0 se i < j
aluno acertou todas as questões 16. Considere a função f definida em { a ij, 1 ≤ i, j ≤ 4}cuja lei de formação é f (aij) = a ji Se A = I (identidade) a função f é a função nula; 32. Se todos os alunos acertarem todas as questões da prova então de A ≠ 0.
1 2
B é idempotente AB = BA B é inversível A2 + B2 = I AB é simétrica
...
37 - (ITA SP) Sejam A e P matrizes n x n inversíveis e B = P–1 AP. Das afirmações:
Sobre o exposto, é correto afirmar que: 5
Matemática – Ney
I. BT é inversível e (BT)–1 = (B–1)T. II. Se A é simétrica, então então B também também o é. III. det(A – λI) = det(B – λI), ∀λ ∈ R.
para o ponto 3B. Então, a área do paralelogramo gerado por 2A e 3B é igual a 5 vezes a área de P. 02. O produto da matriz M pela matriz
é (são) verdadeira(s): a) todas b) apenas I c) apenas I e II d) apenas I e III e) apenas II e III
⎛ cos 30° − sen 30° ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ é uma matiz 2 x 2 cujas ⎝ sen 30° cos 30° ⎠ linhas são as coordenadas dos pontos C e D. Então, a área do paralelogramo gerado por C e D é igual à área de P. 42 - (PUC SP) Seja a matriz A = (aij)3x3, tal que ⎧ cos 7 π se i j = ⎪⎪ i a ij ⎨ 7π se i ≠ j ⎪sen j ⎩⎪ O determinante da matriz A é igual a:
38 - (ITA SP) Se A é uma matriz real, considere as definições: I. Uma matriz quadrada A é ortogonal se e só se A for inversível e A −1 = A T . II. Uma matriz matriz quadrada quadrada A é diagonal se e só se ai j = 0 , para todo i, j = 1, ..... , n, co co m i ≠ j
a) −
Determine as matrizes quadradas de ordem 3 que são, simultaneamente, diagonais e ortogonais.
b) −
0
1 ⎞
2
0⎟
0
2 1 2
c) – 1
39 - (ITA SP) Sejam A e B matrizes 2 x 2 tais que AB = BA e que satisfazem à equação matricial A 2 + 2AB – B = 0. Se B é inversível, mostre que (a) AB–1 = B–1A e que (b) A é inversível
⎛ 2 ⎜ 40 - (ITA SP) Considere as matrizes A = ⎜ 0 ⎜ ⎝ 1 ⎛ − 1 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ e B=⎜ 0 −2 0 ⎟. ⎜ ⎟ ⎝ 1 0 − 1 ⎠
3
1
d)
2 3
e)
⎟
2
43 - (UFMS MS) Sejam
2 ⎠⎟
⎛ 3 ⎜⎜ ⎝ 1
A
⎛ x − 5 = ⎜⎜ ⎝ 0
1 ⎞
e B =
⎟
5 ⎠⎟
⎞ ⎟ matrizes reais de ordem 2 e 3 − x ⎠⎟ 0
f :
IR
IR a função definida por f(x) = 3.det.(A.B) , onde det.(A.B) denota o determinante da matriz produto de A por B . Calcule o valor máximo da função f . →
Sejam λ0, λ1 e λ2 as raízes da equação det(A λI3) = 0 com o λ0 ≤ λ1 ≤ λ2. Considere as afirmações: I. B = A - λ0I3 II. B = (A - λ1I3)A III. B = A(A - λ2I3)
44) Qualquer que seja x ∈R, tal que
x
≠
k π 2
(k ∈ z) ,
o
determinante
Então: a) todas as afirmções são falsas. b) todas as afirmações são verdadeiras c) apenas I é falsa d) apenas II é falsa e) apenas III é falsa
1
sec2 x
cossec2 x
sen 2 x
1
1
2
cos x
a) b) c) d) e)
41 - (UnB DF) Considere os sistema de coordenadas cartesianas no plano, cuja origem é denotada por O = (0,0). Sejam A e B pontos dessse plano, distintos da origem. O paralelogramo P, gerado pelos pontos A e B, é aquele que tem os segmentos OA e OB como arestas. A área desse paralelogramo é o determinante det M da matriz quadrada M, de ordem 2, cujas linhas são as coordenadas dos pontos A e B. Tendo em vista essa informações, julgue os itens que se seguem. 00. Se det M = 0, então os segmentos OA e OB são colineares. 01. Sejam 2A o ponto cuja coordenadas são duas vezes as coordenadas de A. Analogamente
2
tg x
é igual a: 2
cotg x
secx . cossecx 1 –1 zero n.d.a
45 - (FEI SP) Calcule; cos2a
cos2a
sen 2a
cos2b cos2 b sen 2 b cos2c
cos2c
sen 2c
46 - (FEI SP) Seja M uma matriz quadrada de 3a ordem; constrói-se uma matriz N em que cada coluna é a soma das outras duas colunas da matriz M. Sendo A o determinante de M e B o determinante de N, tem-se: a) B = 0 b) B = A 6
Exercícios Complementares Complementares
c) B = 2A d) A = 2B e) n.d.a 47 - (UnB DF) Seja f(x) =
1
1
1
x
b
c
bc
I. Se A = At e B = Bt, então AB = (AB)t. II. det(A + B) = det A + det B. III. Se AB = CB, então A = C. IV. A2 – B2 = (A – B)(A + B). com a, b, c
A respeito dessas afirmações, assinale a alternativa correta. a) Todas as afirmativas são falsas. b) Apenas a afirmação afirmação I é verdadeira. c) Apenas as afirmações afirmações I e III são verdadeiras. verdadeiras. d) Apenas a afirmação afirmação II é falsa. e) Todas as afirmações são verdadeiras.
cx bx
reais não-nulos e distintos. As raízes de f(x) = 0 são: 00. x = a, x = b, x = c 01. x = a, x = c 02. x = b, x = c 03. x = a, x = b
52 - (ITA SP) Sejam A e I matrizes reais quadradas de ordem 2, sendo I a matriz identidade. Por T denotamos o traço de A, ou seja, T é a soma dos elementos da diagonal principal de A. Se T ≠ 0 e λ1, λ2 são raízes da equação det(A - λI) = det(A) – det(λI), então: a) λ1 e λ2 independem de T b) λ1 . λ2 = T c) λ1 . λ2 = 1
48 - (PUC SP) Indica-se por det A o determinante de uma matriz quadrada A. Seja a matriz A = (aij), de ordem 2, em que ⎧ ⎡π ⎤ ⎪sen ⎢ .(i + j)⎥, se i = j a ij = ⎨ . ⎣4 ⎦ ⎪sen[ x.(i − j)], se i ≠ j ⎩ quantos números reais x, tais que –2π < x < 2π, satisfazem a sentença a) b) c) d) e)
det A
=
1 4
?
d)
10 8 6 4 2
+1
b 0
+ λ 2
=
T 2
e) λ1 + λ2 = T 53
b b 2
+1
b
0
0
…
…
0 b b 2
+1
b …
b
0
…
0
0
…
0
b
…
0
…
0
2
+1
…
0
0
0
0
0
0
0
0
… …
…
b
2
+1
b
⎫ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ 0 ⎬n ⎪ ⎪ ⎪ b ⎪ 2 b + 1 ⎭
-
(ITA
⎡ 2 ⎢ det G ( x ) ⎢ ⎢⎣[G( x)]2
49 - (IME RJ) Calcule o determinante da matriz n x n em função de b, onde b é um número real tal que b2 ≠ 1, b 2
λ 1
SP) 2
a
equação
⎤ ⎥ F( x ) = 0 ⎥ [F( x )]2 ⎥⎦ 2
2x 4x
Considere
2
onde
4 3 2 F( x ) = x + x 2− x +1 e G(x ) = x −1 , com x ∈ R, x ≠ 0.
x
x
Sobre as raízes reais dessa equação, temos: a) Duas delas são negativas. b) Uma delas é um número irracional. c) Uma delas é um número par. d) Uma delas delas é positiva e outra negativa. e) n.d.a.
0
linhas
…
54 - (ITA SP) Seja C = {X ∈ M2x2; X2 + 2x = 0}. Dadas as afirmações:
…
n colunas
I. Para todo X ∈ C, (X + 2I) é inversível. II. Se X ∈ C e det (X + 2I) ≠ 0 então X não é inversível. III. Se X ∈ C e det X ≠ 0 então det X > 0.
50 - (UFBA BA) Considere a matriz simétrica A = (aij), 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 3, que satisfaz as seguintes condições: I. Se j = i + 1 ou i = j + 1, 1, então aij é a distância do ponto P ao ponto Q, sendo P e Q interseções da parábola y = x2 – 2x + 1 com a reta y = – x + 1. II. Se j = i + 2 ou i = j + 2, então aij é a área do triângulo PQR, sendo o ponto R o simétrico de Q em relação à origem do sistema de coordenadas xOy. III. Se i = j, então a ij é o valor máximo da função quadrática f(x) = – 2x2 + 4x.
podemos dizer que: a) Todas são verdadeiras. b) Todas são falsas. c) Apenas (II) e (III) são verdadeiras. d) Apenas (I) é verdadeira. e) n.d.a. 55 - (UnB DF) Para A e B matrizes quadradas quaisquer, de ordem 3, denote por A² o produto de A por si mesmo e por det A o derminante da matriz A. julgue os itens.
Assim sendo, escreva a matriz A e calcule o seu determinante.
00. (A + B) . (A – B) = A2 . B2. 01. det (2A) = 2 det A
51 - (UFU MG) Sejam A, B e C matrizes reais quadradas de ordem 3. Considere as seguintes afirmações: 7
Matemática – Ney
02. Somando-se 4 a todos os elementos da
⎡1 matriz A = ⎢⎢2 ⎢⎣3
60 - (UFU MG) Sejam A e B matrizes de elementos reais, quadradas de ordem 3, e represente por I a matriz identidade de ordem 3. Se A + B = 3 I e det(A – B) = 1, determine det(A2 + AB – BA – B2).
1 1⎤
⎥
1 1 , o determinate da nova ⎥ a 1⎥⎦
matriz será 4det A
⎡1 0 03. Se (det A)2 = 1, então A = ⎢⎢0 1 ⎢⎣0 0 ⎡− 1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ A = 0 −1 0 . ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 − 1⎥⎦ ⎡ a2 (a + 2) 2 (a + 4) 2 ⎤ ⎢ ⎥ 04. Se A = ⎢(a + 2) 2 (a + 4) 2 (a + 6) 2 ⎥ , o ⎢(a + 4) 2 (a + 6) 2 (a + 8) 2 ⎥ ⎣ ⎦
61 - (ITA SP) Considere as afirmações dadas a seguir, em que A é uma matriz quadrada n × n , n≥2: I. O determinante de A é nulo se e somente se A possui uma linha ou uma coluna nula.
0⎤
⎥ ou ⎥ 1⎥⎦ 0
57 - (UNIP SP) Se
3
6
9 12
x
y
= −12 , então
z
det A
2
y 1
x
y
z
2
3
4
1
2
3
62 - (UECE) Seja
mantendo-se
inalteradas as
X
(são)
= M + M 2 + M 3 + ... + M k , em que M
⎡1 1 ⎤ ⎣
⎛ m ⎟ ⎜ z⎟ e ⎜ x ⎜ 1 ⎠⎟ ⎝ 1
n p ⎞ y 1
⎟
z ⎟ . Se indicarmos por A e
63 - (ITA SP) Sejam A e C matrizes n x n inversíveis tais que det(I + C −1A) = 1 / 3 e det A = 5 . Sabendo-se
1 ⎠⎟
que B = 3(A −1 + C −1 ) , então o determinante de igual a t
b + n + 1 c + p + 1 ⎞ 1
1
2y
2z
⎦
determinante da matriz X é igual a 324, então o valor de k 2 + 3k − 1 é: a) 207 b) 237 c) 269 d) 377
B, respectivamente, os determinantes dessas matrizes, o determinante da matriz
a) b) c) d) e)
− 1,
é a matriz ⎢ ⎥ e k é um número natural. Se o 0 1
c ⎞
⎛ a + m + 1 ⎜ ⎜ 1 ⎜ ⎝ 2x
então
demais colunas, então det B = det A . Então, podemos afirmar que é verdadeira(s): a) apenas II. b) apenas III. c) apenas I e II. d) apenas II e III. e) todas.
58 - (VUNESP SP) Considere as matrizes reais 3x3 b
= 0 para
III. Se B for obtida de A , multiplicando-se a primeira coluna por 2 + 1 e a segunda por
vale: a) -4 b) –4/3 c) 4/3 d) 4 e) 12
⎛ a ⎜ ⎜x ⎜ ⎝ 1
aij
com i, j = 1, 2, ..., n, > j , co det A = a11 a 22 ... a n n .
56 - (MACK SP) A é uma matriz quadrada de ordem 4 e det A = -6. o valor de x tal que det (2A) = x – 97 é: a) -12 b) zero c) 1 d) 97/2 e) 194 2
é tal que
i
não dependerá do valor de a.
1
= (a i j )
II. Se
⎟ ⎟ é igual a: ⎟ ⎠
a) 3n
–2A–2B 2 A+ 2B +1 2 A + 2B – 2A –2 B– 1 2 A – 2 B – 1.
c)
1
e)
5 ⋅ 3 n −1
b) d)
5
2⋅
B
é
3n
52 3n −1
5
64 - (MACK SP) O menor valor positivo de α, para
⎧ (sen α) x − y = 0 tenha mais de ⎩x + (4 cos α)y = 0
59 - (UFU MG) Sejam A e B matrizes quadradas quaisquer de ordem dois. Indique qual das afirmações abaixo é verdadeira. a) (A + B) (A – B) = A2 – B2. b) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2. c) se AB é a matriz nula então A ou B são nulas. d) se A e B são inversíveis então A + B é inversível. e) se A e B são inversíveis então então AB é inversível.
que o sistema ⎨
uma solução, é igual a: a) 75° b) 105° c) 120° d) 165° e) 225° 8
Exercícios Complementares Complementares
65 - (FUVEST SP) Dado um número real a, considere o seguinte problema: “Achar números reais x1, x2, …, x6, não todos nulos, nulos, que satisfaçam o sistema linear: (r – 2) (r – 3)xr – 1 + ((r – 1) (r – 3) (r – 4) (r – 6)a + (-1)r)xr + (r – 3)xr + 1 = 0, para r = 1, 2, …, 6, onde x0 = x7 = 0”.
69 - (ITA SP) Considere o sistema linear homogêneo nas incógnitas x1, x2, ..., xn dado por:
⎧ a1x1 + (a1 + 1)x 2 + ... + (a1 + n − 1)x n = 0 ⎪a x + (a + 1)x + ... + (a + n − 1)x = 0 ⎪ 2 1 2 2 2 n ⎨ ⎪ ............................................................... ⎩⎪a n x1 + (a n + 1)x 2 + ... + (a n + n − 1)x n = 0
a) Escreva o sistema linear acima em forma matricial. b) Para que valores valores de a o problema problema cima tem solução? c) Existe, para algum valor de a, uma solução do problema com x1 = 1? Se existir, determine tal solução.
Onde a1, a2, ..., an são números reais dados. Sobre a solução deste sistema podemos afirmar que: a) Se ai > 0, i = 1, 2, ..., n o sistema possui uma única solução. b) Se ai < 0, i = 1, 2, ..., n o sistema possui uma única solução. c) Se ai > 0, i = 1, 2, ..., n o sistema é impossível. d) Se ai < 0, i = 1, 2, ..., n o sistema é impossível. e) O sistema sistema possui possui infinitas soluções quaisquer que sejam os valores dos números a 1, ..., an dados.
66 - (ITA SP) A seqüência (a1, a2, a3, a4) é uma progressão geométrica de razão q ∈ R * com q ≠
⎧ a1x + a 2 y = c ⎩a 3x + a 4 y = d
1 e a 1 ≠ 0. Com relação ao sistema ⎨ podemos afirmar que:
a) é impossível para c, d ∈ [-1, 1] b) é possível possível e determinado determinado somente somente se c = d. c) é indeterminado indeterminado quaisquer quaisquer que sejam c, c, d ∈ R. d) é impossível impossível quaisquer que sejam sejam c, d ∈ R*. e) é indeterminado indeterminado somente se d = cq2
70 - (FUVEST SP) Discutir o sistema de equações: ax + by = 0 ⎧ ⎪ bx + ay = 0 ⎨ ⎪ 2 2 2 2 ⎩x + y = a + b + 1 71 - (UnB DF) Sendo um número real qualquer, considere o sistema de equações: ⎧ x + y + 3z = 1 - m ⎪ S : ⎨2x − y + z = 2 + m ⎪ ⎩ 3x + 2 y - mz = m Analise os itens a seguir: 00. O sistema S é sempre possível e determinado 01. O sistema S, sempre que possível, é também determinado 02. Se m = 0 então a única solução solução de S é tal que x = 10/22 03. Se m torna possível possível uma solução de de S, então qualquer tal soluação satisfaz a equação 2y – (4+m) z = m – 3 04. Exixtema pelo menos 2 valores de m para os quais S é impossível
67 - (ITA SP) O sistema abaixo, nas incógnitas x, y e z,
⎧ 3a x − 9 a y + 3z = 2 a ⎪ a +1 a +1 ⎨3 x − 5 y + 9z = 2 ⎪ x + 3a −1 y + 3a +1 z = 1 ⎩⎪ é possível e determinado quando o número a é diferente de: a) log 3 2 e b) log 2 3 e c) log 2 1 e d)
1 2
1 2 1 2 1 2
(− 1 + log 2 5) . log 2 5 . log 2 3 .
(− 1 + log 2 1) e
e) log3 1 e
1 2
1 2
(− 1 + log 2 3) . 72 - (UFU MG) Considere a matriz
(− 1 + log3 5) .
⎛ 0 −1 ⎞ ⎟⎟ . ⎝ − 1 0 ⎠
A = ⎜⎜
Determine quantas soluções tem o sistema linear
(A
68 - (ITA SP) Sejam a, b, c, d números reais não nulos que estão nesta ordem em progressão aritmética. Sabendo que o sistema abaixo: ⎧⎪ 4.2a .x + 2c.y = 2 .2 b 3 ⎨ d b ⎩⎪3 .x + 9.3 .y = 81 é possível e indeterminado, podemos afirmar que a soma desta progressão aritmética é: a) 13 b) 16 c) 28 d) 30 e) n.d.a.
2
⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ + A 3 + A 222 + A 333 )⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ y ⎠ ⎝ 0 ⎠
73 - (ITA SP) Considere o sistema Ax = b, em que ⎛ 1 - 2 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 k 6 ⎟ , b = ⎜ 6 ⎟ e k ∈ R . ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 1 3 k 3 ⎝ ⎠ ⎝ 0 ⎠ Sendo T a soma de todos os valores de k que tornam o sistema impossível e sendo S a soma de todos os valores de k que tornam o sistema possível e indeterminado, então o valor de T– S é a) −4 b) −3 c) 0 d) 1 e) 4 9
Matemática – Ney
79 - (UERJ) Observe a tabela de compras realizadas por Mariana:
74 - (UFOP MG) Considerando que um sistema de equações lineares homogêneo 3x3, nas incógnitas x , y e z , com coeficientes reais, é possível e indeterminado, assinale a alternativa que não representa uma solução geral desse sistema. a) {x = 2 t, y = t, z = − 3t , t ∈ R } t ⎧ ⎫ b) ⎨x = , y = − t, z = t , t ∈ R ⎬ 2 ⎩ ⎭ c) {x = 2 t , y = t + 1, z = t , t ∈ R } d) {x = t , y = t, z = t, t ∈ R }
Loja Produto Preço/unid.(R$) Despesa(R$) 3,00 caneta 50,00 A lapiseira 5,00 caderno 4,00 B 44,00 corretor 2,00
Sabendo que ela adquiriu a mesma quantidade de canetas e cadernos, além do maior número possível de lapiseiras, o número de corretores comprados foi igual a: a) 11 b) 12 c) 13 d) 14
75 - (UFPR) Disponho de certa quantia para fazer compras. Para comprar um par de tênis, uma camisa e uma calça, faltarão R$ 30,00. Se eu comprar a calça e a camisa, sobrarão R$ 90,00; e se eu comprar a calça e o par de tênis, sobrarão R$ 10,00. Nessas condições, é correto afirmar: 01. Se eu comprar só a calça, sobrarão R$ 130,00. 02. Se eu comprar o par de tênis e a camisa, gastarei R$ 160,00. 03. O par de tênis custa R$ 110,00. 04. A camisa custa R$ 50,00.
80 - (UERJ) Um comerciante gastou R$250,00, adquirindo as mercadorias A e B para revender. Observando a tabela abaixo, calculou e comprou o número de unidades de A e B para obter o lucro máximo. Preço por unidade(R unidade(R$) $) Mercadoria de custo
76 - (FUVEST SP) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
de venda
máximo de unidades libe rado para o comerciante
A
1,00
2,50
100
B
2,00
3,00
200
Com a venda de todas unidades compradas, o lucro máximo, em reais, foi: a) 225 b) 250 c) 275 d) 325 81 - (UFF RJ) Em um restaurante existem mesas de 3, 4 e 6 cadeiras, num total de 16 mesas.Ocupando todos os lugares nas mesas de 3 e 4 cadeiras, 36 pessoas ficam perfeitamente acomodadas. Sabendo-se que o restaurante acomoda, no máximo, 72 pessoas, quantas mesas de cada tipo existem?
77 - (UnB DF) A distância entre duas cidades, A e B, é de 156 km. De A para B, a extensão das descidas e 0,7 vezes a extensão das subidas. Um ciclista pedala a 25 km/h, nas partes planas da estrada, a 15 km/h, nas subidas, e a 30 km/h, nas descidas. A diferença entre o tempo de ida e o tempo de volta do ciclista é de 48 minutos. Calcule, em quilômetros, quilômetros, a extensão da parte plana do trajeto, desconsiderando a parte fracionária de seu resultado, caso exista.
82 - (UFF RJ) Um biscoito biscoito é composto composto por açúcar, farinha de trigo e manteiga, sendo a quantidade de farinha o dobro da quantidade de açúcar. Os preços por quilograma do açúcar, da farinha e da manteiga são, respectivamente, R$ 0,50, R$ 0,80 e R$ 5,00. O custo por quilograma de massa do biscoito, considerando apenas esses ingredientes, é R$ 2,42. Calcule a quantidade, em gramas, de cada ingrediente presente em 1 kg de massa do biscoito.
78 - (UnB DF) Em uma corrida de motocross, os competidores devem seguir um percurso de um ponto A até um outro ponto B e, em seguida, retornar ao ponto A pela mesma trilha. Um dos motociclistas desenvolve uma velocidade constante de 12km/h em trechos de subida, 30km/h em trechos planos e 60km/h em trechos de descida. Um segundo motociclista desenvolve uma velocidade de 10km/h em trechos de subida, 40km/h em trechos planos e 80km/h em trechos de descida. O primeiro gasta 1h para ir de A até B e 1h e 10 min para ir de B até A, enquanto o segundo gasta 1h e 3min para ir de A até B. Calcule, em quilômetros, quilômetros, a distância que, no sentido de A para B, corresponde ao trecho de subida. Despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista.
83 - (UNICAMP SP) Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$5,00, o quilo da castanha de caju, R$20,00 e o quilo de castanha-do-pará, R$16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas. 10
Exercícios Complementares Complementares
a) Escreva o sistema sistema linear que representa a situação descrita acima. b) Resolva o referido sistema, sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata
89 - (FUVEST SP) Considere o sistema de equações lineares
84 - (UFV MG) Em uma urna vazia são colocadas 20 bolas nas cores vermelha e branca. Se acrescentássemos uma bola vermelha à urna, o número de bolas brancas passaria a ser igual à metade do número de bolas vermelha. Quantas bolas vermelhas e quantas bolas brancas existem na urna?
a) Para cada valor de m, determine determine a solução (xm, ym, zm) do sistema. b) Determine todos os valores de de m, reais ou complexos, para os quais o produto x mymzm é igual a 32.
⎧x + y + z = −2m ⎪ ⎨x − y − 2z = 2m ⎪ ⎩2x + y − 2z = 3m + 5
90 - (ITA SP) Sejam a, b, c ∈ R* com a2 = b 2 + c 2. Se x, y e z satisfazem o sistema
85 - (UNIFOR CE) Um grupo de amigos comprou um presente por R$ 6.300,00. Pretendiam dividir essa quantia entre si, em partes iguais. Como 2 membros do grupo não puderam cumprir o compromisso, cada um dos restantes teve sua parcela aumentada de R$ 360,00. O número de pessoas do grupo era, inicialmente, a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7
⎧c cos y + b cos z = a ⎪ ⎨c cos x + a cos z = b então cos x + cos y + cos z é ⎪ ⎩ b cos x + a cos y = c igual a: a) c)
86 - (UNICAMP SP) O IBGE contratou um certo número de entrevistadores para realizar o recenseamento em uma cidade. Se cada um deles recenseasse 100 residências, 60 delas não seriam visitadas. Como, no entanto, todas as residências foram visitadas e cada recenseador visitou 102, quantas residências tem a cidade?
e)
a − b c b + c a b 2
.
b)
.
d)
a + b c
.
c+a b
+ c2 a
91 - (ITA SP) Se (x, y, z, t) é solução do sistema
⎧ x − y + 2z − t = 0 ⎪ ⎨3x + y + 3z + t = 0 qual das alternativas abaixo é ⎪ ⎩ x − y − z − 5t = 0
87 - (INTEGRADO RJ) Num concurso, a prova de Matemática apresentava 20 questões. Para cada questão responda corretamente, o candidato ganhava 3 pontos e, para cada questão respondida erradamente ou não respondida, perdia 1 ponto. Sabendo-se que para ser aprovado deveria totalizar, nessa prova, um mínimo de 28 pontos, pontos, o menor número de questões respondidas corretamente para que o candidato fosse aprovado era de: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
verdadeira? a) x + y + z + t b) x + y + z + t c) x + y + z + t d) x + y + z + t e) n.d.a.
e e e e
x tem o mesmo sinal. sinal. t tem o mesmo mesmo sinal. y tem o mesmo sinal. sinal. z tem sinais contrários.
⎧x + y - z = 0 . x y z 0 + = ⎩
92 - (PUC RJ) Resolva o sistema ⎨
Descreva geometricamente o seu conjunto de soluções. 93 - (UFMA) Sendo (a, b, c) solução do sistema
⎧x − y + 2Z = 1 tal que ab = 2c, então um valor de ⎨ ⎩ y + 3Z = 5
88 - (FGV ) “Um ) “Um galo custa 5 moedas; uma galinha, 3 moedas e 3 frangos custam 1 moeda. Com 100 moedas, compram-se 100 dessas aves. Quantos galos, galinhas e frangos são?” Esse é o problema chinês do Cento de Aves , que foi enunciado pela primeira vez no livro Manual Matemático, de Zhang Quijian, editado no século V. O problema ficou famoso e apareceu, mais tarde, em diversos textos matemáticos na Índia, no mundo islâmico e na Europa. a) Expresse o enunciado do problema chinês mediante um sistema de equações. b) Dê a solução solução geral do sistema. c) Nessa época, época, o zero não era considerado considerado um número e, por isso, não entrava na solução dos problemas. Então, quais as prováveis respostas que o matemático chinês deve ter encontrado para o problema do Cento de Aves?
a é: a) –3 d) 3
b) –4 e) 4
c)
2
94 - (FUVEST SP) João, Maria e Antônia tinham, juntos, R$ 100.000,00. Cada um deles investiu sua parte por um ano, com juros de 10% ao ano. Depois de creditados seus juros no final desse ano, Antônia passou a ter R$ 11.000,00 mais o dobro do novo capital de João. No ano seguinte, os três reinvestiram seus capitais, ainda com juros de 10% ao ano. Depois de creditados os juros de cada um no final desse segundo ano, o novo capital de Antônia era igual à soma dos novos capitais de Maria e João. Qual era o capital inicial de João? 11
Matemática – Ney
a) b) c) d) e)
R$ 20.000,00 R$ 22.000,00 R$ 24.000,00 R$ 26.000,00 R$ 28.000,00
a) Mostre graficamente graficamente que esse sistema sistema não tem solução. Justifique. b) Para determinar uma solução aproximada de um sistema linear Ax = b impossível, utilizase o método dos quadrados mínimos, que consiste em resolver o sistema ATAx = ATb. Usando esse método, encontre uma solução aproximada para o sistema dado acima. Lembre-se de que as linhas de MT (a transposta de uma matriz M) são iguais às colunas de M.
95 - (UNICAMP SP) Encontre o valor de a para que
⎧⎪ 2x− y+3z=a o sistema: ⎨ x +2y−z=3 seja possível. Para o valor ⎩⎪7x+4y+3z=13 encontrado de a ache a solução geral do sistema, isto é, ache expressões que representem todas as soluções do sistema. Explicite duas dessas soluções. 96
101 - (UFAC) Os números reais positivos a e b, ambos diferentes de 1, soluções do sistema de ⎧ b 1 a = 16 , quando multiplicados, têm equações ⎨⎪ ⎪log 1 a = b ⎩ 2
- (UNICAMP SP) Considere o sistema: ⎧ 1 ⎪x + 2 ( y + z) = p ⎪⎪ 1 ⎨y + (x + z) = p ⎪ 2 ⎪z + 1 (x + y) = p ⎩⎪ 2 x , y , a) Mostre que se tal sistema sistema tem solução ( x z ) com x, y e z inteiros, então o parâmetro p é múltiplo inteiro de 17. b) Reciprocamente, mostre que se o parâmetro parâmetro p for múltiplo inteiro de 17, então este sistema tem solução ( x , y , z ) com x, y e z inteiros.
como produto o número: a) 2 b) 4 c) d)
1 2 1 4
e) 8 102 - (FGV ) a. Mostre que existem infinitas triplas ordenadas (x, y, z) de números que satisfazem a equação matricial: ⎡1⎤ ⎡ 2⎤ ⎡ − 1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ x ⋅ ⎢ 2 ⎥ + y ⋅ ⎢0⎥ + z ⋅ ⎢− 10⎥ = ⎢0⎥ ⎢⎣− 1⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣ 7 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ b) Resolva o sistema linear abaixo, nas incógnitas x e y, usando o conceito de matriz inversa:
⎧x + y + z = 28 ⎩ 2x - y = 32
97 - (MACK SP) As soluções do sistema ⎨
onde x > 0, y > 0 e z > 0 obedecem às seguintes restrições: a) 2 < x < 8 e 2 < y < 8 b) 16 < x < 20 e 0 < y < 8 c) 10 < x < 20 e 2 < y < 10 d) 1 < x < 3 e 8 < y < 12 e) 7 < x < 15 e 9 < y < 11
⎧2 x + y = a ⎨ ⎩5x + 3y = b
Use o fato de que a inversa da matriz A
98 - (FUVEST SP) São dados três números naturais a, b e c, com a < b < c. Sabe–se que o maior deles é a soma dos outros dois e o menor é um quarto do maior. Se a – b + c = 30 então o valor de a + b + c será: a) 45 b) 60 c) 900 d) 120 e) 150
⎡2 =⎢ ⎣5
1⎤
⎥ é 3⎦
A −1
⎡ 3 −1⎤ =⎢ ⎥ ⎣− 5 2 ⎦
103 - (UFC CE) Sejam x e y os números reais positivos que satisfazem o sistema de equações: ⎧⎪log 3 x + log1 / 3 y = 3 + log3 2 . ⎨ ⎪⎩log3 x + log3 y = 3 + log 3 2
Assinale a alternativa na qual consta o valor numérico de x + y . a) 12 b) 18 c) 24 d) 30 e) 36
99 - (ITA SP) Sendo x , y , z e w números reais, encontre o conjunto solução do sistema x + 2y )( log[( x )(w − 3 z )−1] = 0, +3 z − 8 . 2y −3 z +w = 0, 2 x +3 3 2 x + y + 6z − 2w − 2 = 0 100 - (UNICAMP SP) Seja dado o sistema linear: ⎧− x1 + 2x 2 = 2 ⎪ ⎨2x1 - x 2 = 2 ⎪ ⎩ x1 + x 2 = 2
12
Exercícios Complementares Complementares
Gabarito
38 As matrizes de ordem 3 que são, simultaneamente, diagonais e ortogonais são da ⎡ a 0 0⎤ forma ⎢⎢0 b 0⎥⎥ tais que a, b, c ∈ {–1, 1} ⎢⎣0 0 c ⎥⎦ 39 a) 1)Se B é inversível, então existe B–1, tal que B ⋅ B–1 = I . 2) Sendo AB = BA, temos: A = A ⇔ A ⋅ I = A ⇔ A ⋅ B ⋅ B–1 = A ⇔ ⇔ B ⋅ A ⋅ B–1 = A ⇔ B–1 ⋅ B ⋅ A ⋅ B–1 = B–1 ⋅ A ⇔ I ⋅ A ⋅ B–1 = B–1 ⋅ A ⇔ A ⋅ B–1 = B–1 ⋅ A b) A2 + 2AB – B = 0 ⇔ B = A2 + 2AB ⇔ ⇔ B = A ⋅ (A + 2B) ⇔ det B = det [A ⋅ (A + 2B)] = det A ⋅ det (A + 2B) ≠ 0, pois B é inversível. Se det A ⋅ det (A + 2B) ≠ 0, então det A ≠ 0 e, portanto, A é inversível. 40 e 41 00-C; 01-E; 02-C. 42 a 43 45 44 d 45 zero 46 c 47 00-F; 01-F; 02-V; 03-F 48 b
01 a 02 x ≠ 2 03 a 04 e 05 −
2 11
⎞ 1 - b 2 b ⎟ ⎛ - 1 0 ⎞ ⎛ ⎜ ⎟, ⎜⎜ ⎟ e ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 - 1 ⎠ ⎝ b - 1 - b ⎠⎟ ⎛ − 1 − b 2 b ⎞⎟ ⎜ com - 1 ≤ b ≤ 1 . ⎜ b 1 - b 2 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 1 0 ⎞ 06 ⎜⎜ ⎟⎟, ⎝ 0 1 ⎠
07 a)
a
2
=
3
; b = −
1 3
⎡1⎤ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣− 4⎥⎦
b) ⎢
08 a 09 b 10 CEC ⎛ 1 20a ⎞ ⎟⎟ 11 ⎜⎜ ⎝ 0 1 ⎠
⎧ 0, se n é par -1 +1 –1 +1 ...(-1)0 = ⎨ ⎩− 1, se n é impar b) n = 11 c a c a 1. (A + I)³ = (A + I).(A + I).(A + I) = (A² + 2A + I).(A + I) = A³ + 3A² + 2A + A + I = A + I , como A³ + 3A² + 2A + A = 0, temos que: 0 + A + I = A + I, ou seja, A + I = A + I
12 a) 13 14 15 16 17
⎡0
2.
B=⎢
⎣0
1⎤
⎥ - 1⎦
e
⎡-1 0 ⎤ C=⎢ ⎥ ⎣ 0 - 1⎦
e
o
49
28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
1 1 − k
A2
53 d 05
−
1 1 − k
=
b 2 n + 2 b
2
−1
−1
50 Sendo A = (aij) uma matriz simétrica tem-se que aij = aij. • Da condição I, obtém-se os elementos a 12, a21, a23 e a32 cujos valores correspondem à distância dos pontos P e Q, intersecções da parábola y = x 2 − 2x + 1 com a reta y = −x + 1 ⎧⎪y = x 2 − 2x + 1 Resolvendo-se o sistema ⎨ , obtem−se ⎩⎪y = −x + 1 x = 0 ou x = 1. Para x = 0 encontra-se y = 1 e para x = 1 encontra-se y = 0, assim P(0,1) e Q(1,0) ou P(1, 0) e Q(0, 1) e a distância entre P e Q é 2 Logo, a12 = a21= a23 = a32 = 2
sistema
apresentado admite solução (x, y) ≠ (0, 0) 18 d 19 não há valores de k que solucionem o problema com o código. 20 b 21 e 22 d 23 VFFVVF 24 c 25 a 26 DE 27
Dn
• Da condição II. obtém-se os elementos a13 e a31 cujos valores correspondem à área do triângulo PQR, sendo R o simétrico de Q em relação à origem e portanto R( −1, 0) se Q (1, 0) ou R (0, −1) se Q (0,1) A área do triângulo PQR em qualquer caso é igual a 1. Logo, a13 = a31 = 1.
A + I é a inversa de A + I
• Da condição III, obtém-se os elementos da diagonal a11, a22 e a33. cujos valores correspondem ao valor máximo da função quadrática f(x) = −2x2 + 4x. A função quadrática tem valor máximo que ocorre
VFFFF 14 c e VVFVFF d
para
x=
−4 = 1 . Logo, o valor máximo é f(1) = 2( −2)
2 e a11 = a22 = a33 = 2.
13
Matemática – Ney
A matriz é
2 2 1
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65
2
⎛ 2 ⎜ ⎜ 2 ⎜ ⎜1 ⎝
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81
2⎟
2
e o determinante
⎟ 2⎟ ⎠
2
5 ⋅ x + 3 ⋅ y + 1 ⋅ z = 100 x + y + 3z = 100
1
2
E, =8+2+2−2−4−4=2
2 2
2
b)
a d e c EEEEC c d a e det(A2 + AB – BA – B2) = 27 d d d b ⎛ −1 ⎜ 0 ⎜ a) ⎜ 0 ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0
−2 ( −8a +1)
89 90 91 92 93 94 95
0
0
0
0
0
0
0
0
−1 −1
0
0
0
0
2
1
1
0
0
0
6
( −8a −1)
2
0
0
0
12
1
⇔
5x + 3y + z = 100 x + y + 3z = 100
supondo que a moeda subdivisões, temos U = N 3 .
5x + 3y + z = 100 x + y + 3z = 100
⇔
5 x + 3y = 100 − z x + y = 100 − 3z
⇔
não
tenha
= −100 + 4z y = 200 − 7 z
x
c) 4 galos; 18 galinhas; 3 . 26 = 78 frangos; 8 galos; 11 galinhas; 3 . 27 = 81 frangos; 12 galos; 4 galinhas; 3 . 28 = 84 frangos. a) (-m – 1, m + 3, -2m – 2); b) 1, -3 –2i e –3 + 2i c c x = 0, y = z. O conjunto solução é a reta y = z no plano x = 0. b a a = 2 Z ∈ ℜ / 7 5 − Z, 7 5 + Z,− Z
{
(
)}
96 a) A proposição é falsa b) A proposição é falsa 97 b 98 d
x ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ x1 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎟⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ x3 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ; ⎟ ⎜ x ⎟ =⎜ 0 ⎟ ⎟⎜ 4⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ x5 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0⎟ ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ ⎠
99
b) a = ou a = − ; c) (1, -1/2, 0, 0, 0, 0) e e e e 1 8
66 67 68 69 70
88 a) Sejam x o número de galos, galos, y o número número de de galinhas e z o número de ternos de frangos comprados. Então:
1 ⎞⎟
2
31 8
⎧⎛ 31 + w; ⎩⎝ 3
V = ⎨⎜
-8 3
;
−5 3
⎞ ⎠
; w ⎟ t.q.w
⎫ ∈ R - {- 5}⎬ ⎭
100 a)
a = b = 0 → SPI a = ± b ≠ 0 → SPD a ≠ + b e a ≠ − b → SI
FVVVF Cada equação pode ser representada por uma reta no plan b) x1 = 4/3, x2 = 4/3 101c 101 c ⎡1⎤ ⎡2 ⎤ ⎡ − 1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 102a) 102 a) x ⋅ ⎢ 2 ⎥ + y ⋅ ⎢0⎥ + z ⋅ ⎢⎢− 10⎥⎥ = ⎢⎢0⎥⎥ ⇔ ⎢⎣− 1⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣ 7 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎧x + 2 y − z = 0 ⇔ ⎨⎪2 x − 10z = 0 ⎪ ⎩− x + y + 7 z = 0 Como no sistema linear homogêneo da página anterior, 1 2 −1 D = 2 0 − 10 = 0 , conclui-se que o sistema −1 1 7 possível e indeterminado e, portanto, infinitas triplas ordenadas (x, y, z) de números satisfazem a equação matricial dada. b) V = {(3a – b; – 5a + 2b)} 103c 103 c
a c VVFF e 46 08 b a 4 mesas de 3 lugares 6 mesas de 4 lugares 6 mesas de 6 lugares 82 Açúcar 200g, Farinha 400g, Manteiga 400g 83 a)
⎧ ⎪ x + y + z = 0,5 ⎪ ⎨5x + 68z = 17,25 (x + z) ⎪ = y 3 ⎩⎪
b) 250g de amendoim, 125g de castanha de caju e 125g de castanha-do-pará. 84 13 vermelha e 7 brancas 85 e 86 3060 residências 87 a
14
IME ITA
