Libro mas famoso del algebra en el colegio. Comentar es agradecer !!!
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Solucionario del ejercicio 21 al 24 del algebra de baldor
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ALGEBRA
a
. baldor
ito y el conteo del núm ero d e anim ales que pojcian; así surgió la A ritm ética. El origen del A lgebra os posterior. Pasaron cientos do siglos p a ra q u e el h o m bre alcansara un concepto ab stracto del núm ero, baso indispensable para la form ación d e la ciencia algebraica.
CONCEPTO DE NUMERO EN LOS PUEBLOS PRIM I TIVOS ( 2 5 ,0 0 0 - 5 ,0 0 0 A. C. I M td it y contar lucron la i p rim e n ) « ti v id jd o t m ito m iH c a t del hom bre p ri m itivo. H aciendo m arcas e n los troncos de los árboles lograban, esto s prim aros pueblos, la modJelén del trem
PRELIMINARES O
ALGEBRA C4 la ram a di* Ja M a tem ática
SU D IF E R E N C IA
E l c o n ce p to d e la c a n tid a d e n A lg e b ra es m u ch o m ás a m p lio q u e en A ritm ética. E n A ritm é tic a las c an tid ad e s se re p re se n ta n p o r n ú m ero s y éstos ex presan valores d e te rm in a d o s. Asi, 20 e x p resa u n solo v alor: v e in te ; para e x p resa r u n v a lo r m ayor o m e n o r q u e este h a b rá q u e e sc rib ir un n ú m e ro d istin to d e 20. E n A lg e b ra, para lo g ra r la g e n era liz ac ió n , las c an tid ad e s se re p re se n ta n p o r m edio d e letras, las cuales p u e d en re p re se n ta r todos los valores. Así. a re p re se n ta e l v a lo r q u e no so tro s le asignem os, y p o r ta n to p u e d e re p re se n ta r 20 o m ás d e 20 o m enos d e 20, a n u e stra elección, a u n q u e co n v ien e a d v e rtir q u e c u a n d o en u n p ro b lem a asignam os a u n a le tra u n valor d e te rm in a d o , esa letra no p u e d e re p re se n ta r, e n el m ism o p ro b lem a, o tro v a lo r d is tin to d e l q u e le hem os asignado. ( 3 ( N O T A C IO N
A L G E B R A IC A
Los sím bolos usados e n A lg e b ra p ara re p re se n ta r las c an tid ad e s son los nú m ero s y las letras.
5
ó
•
A I «i 11 ••A
la * m u se e m p ic a n p a r a r e p r e s e n ta r c a n tid a d e s c o n o c id a s y de (tfrn iin a d a i. la » se e m p le a n p a r a r e p r e s e n ta r to d a c la se d e c a n tid a d e s , ya se a n c o n o c id a s o d e sc o n o c id a s. I .ts . ..ikí.I.kIc', c o n o c id a s se e x p r e s a n p o r las p r im e r a s le tr a s d e l a lf a b e to : n, b , c , d . . . l a s ..u n id a d e s d o c o n u c ¡ d a s se* r e p r e s e n ta n p o r la s ú ltim a s le tra s d e l a lf a b e to : ti. v , w . x , y , z. U n a m ism a le t r a p u e d e r e p r e s e n ta r d is tin to s v a lo re s d ife re n c iá n d o lo s |K>r m e d io d e c o m illa s ; p o r e je m p lo : a ', a" , a’" , q u e se le e n a p r im a , a se g u n d a , a te r c e r a , o ta m b ié n p o r m e d io d e s u b ín d ic e s ; p o r e je m p lo : «2. ih . q u e se le e n a s u b u n o , a su lx lo s, a s u b tr e s . i 4 )
FO R M U LA S
C o n s e c u e n c ia d e la g e n e ra liz a c ió n q u e im p lic a la r e p re s e n ta c ió n d e las c a n tid a d e s p o r m e d io d e le tra s son las f ó rm u la s a lg e b ra ic a s. F ó r m u la a lg e b r a ic a es la re p r e s e n ta c ió n , p o r m e d io d e le tra s , d e u n a r e g la o d e u n p r in c i p i o g e n e ra l. A si, la G e o m e tr ía e n s e ñ a q u e el á re a d e u n r e c tá n g u lo es A —b X h ig u a l al p r o d u c t o d e su b ase p o r su a l t u r a ; lu e g o , lla m a n d o A al á re a d e l r e c tá n g u lo , \> a la b a se y h a la a ltu r a , la fó rm u la / r e p r e s e n ta rá d e u n m o d o g e n e r a l‘el á r e a d e c u a lq u ie r r e c tá n g u lo , p u e s el á re a d e u n re c tá n g u lo d a d o se o b t e n d r á c o n s ó lo s u s t i tu i r A = b x h ~ 3 m X 2 m = 6 m *. b y h e n la fó r m u la a n te r i o r p o r stis v a lo re s en el c aso d a d o . A si, si la b ase d e u n rec„ ta n g id o es 3 n i. y su a l t u r a 2 m ., su á r e a se rá : / E l á re a d e o t r o r e c tá n g u lo c u y a b ase f u e r a 8 m . y su a l t u r a 3J m . se ría : / ( 5)
A = b x h —8 m . x 3 í m .= 2 8 r a .*‘. < )
SIGN O S D EL A LG EB R A
lx>s sig n o s e m p le a d o s e n A lg e b ra son d e tre s clases: ra c ió n , S ig n o s d e R e la c ió n y S ig n o s d e A g ru p a c ió n .
SIGN O S DE O PERA CIO N E n A lg e b ra se v e rific a n c o n las c a n tid a d e s las m ism a s o p e ra c io n e s q u e e n A ritm é tic a : S u m a , R e s ta , M u ltip lic a c ió n , D iv is ió n , E le v a c ió n a P o te n c ia ; y E x tr a c c ió n d e R a íc e s, q u e se in d ic a n co n los sig n o s sig u ie n te s: E l S ig n o d e la S u m a es + , q u e se Ice m ás. A sí a - r b se le e " a m ás b " . < ) l.n el C ap (ó tin u la i iilM cbtaiut
X V I I ! . p ág in a 270, se c u n d ía am p lia m e n te todo Jo relacio n ad o con U i
E l S ig n o d e la R e s ta es —, q u e se le e m e n o s . A sí. a — b se le e " a m e nos b". E l S ig n o d e la M u ltip lic a c ió n e s X , q u e se le e m u ltip lic a d o p o r . Así. a X /; se le e "a m u ltip lic a d o p o r b " . E n lu g a r d e l s ig n o x s u e le e m p le a rs e u n p u n t o e n tr e lo s fa c to re s y ta m b ié n se in d ic a la m u ltip lic a c ió n c o lo c a n d o los fa c to re s e n t r e p a ré n te s is . A sí, a . b y («)(í>) e q u iv a le n a a X b . E n tr e fa c to re s lite r a le s o e n t r e u n f a c to r n u m é r ic o y u n o lite r a l el s ig n o d e m u ltip lic a c ió n s u e le o m itir s e . A si a b e e q u iv a le a a x . b x .c - , 5x y e q u iv a le a 5 X x X y . E l S ig n o d e la D iv is ió n es -t-, q u e se le e d iv id id o e n t r e . A sí, a + b se le e ‘‘
A sí, — e q u iv a le a m -f-n .
E l S ig n o d e la E le v a c ió n a P o te n c ia e s e l e x p o n e n to , q u e es u n n ú m e r o p e q u e ñ o c o lo c a d o a r r i b a y a la dea* = t« w r e c h a d e u n a c a n tid a d , el c u a l in d ic a la s veces q u e d ic h a , c a n tid a d , lla m a d a b a se , se to m a c o m o fa c to r. A sí,
b‘ - bbb
C u a n d o u n a le tra n o tie n e e x p o n e n te , su e x p o n e n te es la u n id a d . A si, a e q u iv a le a m r tx e q u iv a le a m , » lx 1. El S ig n o d e R a íz es V 7 lla m a d o s ig n o r a d ic a l, y b a jo este sig n o se c o lo ca la c a n tid a d a la c u a l se l e e x tr a e la ra íz . A si, v rJ T e q u iv a le a ra íz c u a d r a d a d e a , o sea, la c a n tid a d q u e e le v a d a a l c u a d r a d o r e p r o d u c e la c a n tid a d a; y b e q u iv a le a ra íz c ú b ic a d e ó , o sea la c a n tid a d q u e e le v a d a a l c u b o r e p r o d u c e la c a n tid a d b . C O E F IC IE N T E
E n e l p r o d u c to d e d o s fa c to re s, c u a lq u i e r a d e lo s fa c to re s es lla m a d o c o e f ic ie n te d e l o t r o fa c to r. A si, e n el p r o d u c to ¿‘ a e l f a c to r 3 es c o e fic ie n te d e l f a c to r « e in d ic a q u e el f a c to r a se to m a c o m o s u m a n d o tre s veces, o sea 3a = « + fl + « el p r o d u c to r»ó, el fa c to r b es c o e f ic ie n te d e b e in d ic a q u e b b —b + b A-b + b + b . E stos so n c o e fic ie n te s n u m é ric o s . E n e l p r o d u c to a b , el fa c to r a es c o e f ic ie n te d e l fa c to r b , c in d ic a q u e e l f a c to r b se to m a c o m o s u m a n d o a veces, o sea a b = b \ b b b ... a veces. E ste es u n c o e fic ie n te lite r a l. E n e l p r o d u c to d e m á s d e d o s fa c to re s, u n o o v a rio s d e e llo s so n el c o e fic ie n te d e lo s re s ta n te s . A sí. e n e l p r o d u c to a b e d , a es e l c o e fic ie n te d e b e d ; a b e s el c o e fic ie n te d e c d \ a b e e s e l c o e fic ie n te d e d. ( a r a n d o u n a c a n tid a d n o tie n e c o e fic ie n te n u m é r ic o , su c o e fic ie n te es la u n id a d . A sí, b e q u iv a le a Ib ; a b e e q u iv a le a 1abe.
8 •
A LG U N A
(^8 ) SIGN O S DO R ELA C IO N S e e m p le a n e s to s sig n o s p a ra in d ic a r la r e la c ió n q u e e x is te e n tr e d o s c a n tid a d e s . L o s p r in c ip a le s son: =, que >, que <, q u e
se se se
le e ig u a l a . A sí, a —b se le e "a ig u a l a b". le e m a y o r q u e . A si. x + y > m se le e " x 4- y m a y o r q u e n i" . le e m e n o r q u e . A sí, u < b + c se le e "a m e n o rq u e
( 9 \ SIG N O S DE A G R U P A C IO N L o s sig n o s d e a g r u p a c ió n so n : e l p a ré n te s is o r d in a r io { }, e l p a r é n te sis a n g u la r o c o r c h e te [ J . las llav es { ¡ y la b a r r a o v ín c u lo E sto s sig n o s in d ic a n q u e la o p e ra c ió n c o lo c a d a e n t r e ello s d e b e e fe c tu a rs e p r im e r o . A si, (a + b ) c in d ic a q u e e l r e s u lta d o d e la s u m a d e a y b d e b e m u ltip lic a r s e p o r c; [ a - b ] m in d ic a q u e la d if e r e n c ia e n t r e a y b d e b e m u ltip lic a r s e p o r m ; ( « + ir} + { c — d ] in d ic a q u e la s u m a d e a y i> d e b e d i v id irs e e n tr e la d if e r e n c ia d e c y <í. ( Í
o
)
m o d o
de
r eso lv er
los
p r o b l e m a s
EN A R IT M E T IC A Y EN A LG EB R A E x p o n e m o s a c o n tin u a c ió n u n e je m p lo p a r a e n tr e e l m é to d o a r it m é t ic o y el a lg e b r a ic o e n la f u n d a d o e s te ú ltim o e n la n o ta c ió n a lg e b r a ic a y ésta im p lic a . L íts e d a d e s d e A y 1! s u m a n 48 a ñ o s . S i la e d a d d e A , ¿ q u é e d a d tie n e c a d a u n o ? M ETO D O
h a c e r n o t a r la d if e re n c ia r e s o lu c ió n d e p ro b le m a s , e n la g e n e r a liz a c ió n q u e e d a d d e B es 5 veces la
A R IT M E T IC O
E d a d d e /I m á s e d a d d e B = 48 a n o s. C o m o la e d a d d e fí es b vecen la d e A . te n d re m o s : E d a d d e A m á s ú v eces la e d a d d e A = 48 años. O sea, lu e g o ,
ü veces la e d a d d e A = 48 a ñ o s; E d a d d e A = 8 a ñ o s. R . E d a d d e B = 8 a ñ o s x 5 = 40 a ñ o s.
R.
M E T O D O A L G E B R A IC O
C o m o la e d a d d e A es u n a c a n tid a d d e s c o n o c id a la r e p r e s e n to p o r x . S ea E n to n c e s
x = edad de A . 5x - ed ad d e B.
C o m o a m b a s e d a d e s s u m a n 48 a ñ o s , te n d re m o s : o sea,
x + 5x = 48 añ o s: Cx = 48 a ñ o s.
C A H T ID A D U POSITIVAS V M LC A TIV A S
#
9
Si fi v e te s x e q u iv a le a 48 a ñ o s , x v a ld rá la se x ta p a r te d e 48 a ñ o s, o sea E n to n c e s
x = 8 a ñ o s, e d a d d e A .
R.
5x = S a ñ o s x 5 = 40 a ñ o s, e d a d d e B .
R,
( n ) C A N T ID A D E S P O S IT IV A S Y N E G A T IV A S E n A lg e b ra , c u a n d o se e s tu d ia n c a n tid a d e s q u e p u e d e n to rn a rse en d o s s e n tid o s o p u e s to s o q u e son d e c o n d ic ió n o d e m o d o d e s e r o p u e sto s, se e x p r e s a e l se n tid o , c o n d ic ió n o m o d o d e s e r (v a lo r re la tiv o ) d e la c a n ti d a d p o r m e d io d e los s ig n o s + y —. a n te p o n ie n d o e l s ig n o + a las c a n tid a d e s to m a d a s e n u n s e n tid o d e t e r m in a d o ( c a n tid a d e s p o sitiv a s) y a n te p o n ie n d o e l s ig n o — a las c a n tid a d e s to m a d a s e n s e n tid o o p u e s to a l a n te r io r ( c a n tid a d e s n e g a tiv a s). A si, e l h a b e r se d e s ig n a c o n e l s ig n o + y las d e u d a s c o n el sig n o P a r a e x p r e s a r q u e u n a p e rs o n a t ie n e $100 d e h a b e r , d ir e m o s q u e tie n e •I $100, y p a r a e x p r e s a r q u e d e b e S10U, d ir e m o s q u e tie n e — $100. l a » g ra d o s s o b re c e r o d e l te r m ó m e tr o se d e s ig n a n c o n e l s ig n o + y los g r a d o s b a jo c e ro c o n el s ig n o —. A sí, p a r a in d ic a r q u e e l te rm ó m e tr o m a rc a 10* s o b re c e ro e s c rib ire m o s + 1 0 ° y p a r a in d ic a r q u e m a rc a 8 ° b a jo c e r o e s c rib ire m o s —8 a E l c a m in o r e c o r r id o a la d e r e c h a o h a c ia a r r ib a d e u n p u n t o se d csig n a c o n e l s ig n o + y e l c a m in o r e c o r r id o a la iz q u ie r d a o h a c ia a h a jo d r u n p u n t o se re p r e s e n ta c o n e l s ig n o —. Asf, si h e m o s r e c o r r id o 200 m a la d e r e c h a d e u n p u n t o d a d o , d ire m o s q u e h e m o s r e c o r r id o + 200 m . y si re c o rre m o s 300 m . a la iz q u ie r d a d e u n p u n t o e s c rib ire m o s —300 m . E l tie m p o t r a n s c u r r id o d e s p u é s d e C histo se c o n s id e ra p o sitiv o y el tie m p o tr a n s c u r r id o a n te s d e C ris to , n e g a tiv o . A si, + 2 5 0 a ñ o s sig n ific a 150 a ñ o s D . C . y —78 a ñ o s s ig n ific a 78 a ñ o s A . C . E n u n p o s te in t r o d u c i d o e n e l su e lo , r e p re s e n ta m o s c o n e l sig n o + la p o rc ió n q u e se h a lla d e l s u e lo h a c ia a r r i b a y c o n e l s ig n o — la p o rc ió n q u e se h a lla d e l s u e lo h a c ia a b a jo . A sí, p a r a e x p re s a r q u e la lo n g itu d d e l pos te q u e s e h a lla d e l s u e lo h a c ia a r r i b a m id e 15 m ., e s c rib ire m o s + 1 5 m . y si la p o r c ió n in tr o d u c id a e n e l s u e lo es d e 8 m ., e s c rib ir e m o s —8 m . L a l a t i t u d n o r te se d e s ig n a c o n e l s ig n o + y la la t i t u d s u r co n el sig n o —; la l o n g itu d e ste se c o n s id e r a p o s itiv a y la lo n g itu d o e ste , n e g a tiv a . P o r lo ta n t o , u n p u n t o d e la T i e r r a c u y a s itu a c ió n g e o g rá fic a sea: + 45 1 d e lo n g itu d y — 15° d e l a t i t u d se h a lla r á a -15* a l este d e l p r im e r m e r id ia n o y a 15° b a jo e l E c u a d o r . 12/ E LE C C IO N D EL S E N T ID O P O SITIV O L a f ija c ió n d e l s e n tid o p o s itiv o e n c a n tid a d e s q u e p u e d e n to m a rse e n d o s s e n tid o s o p u e s to s es a r b i t r a r i a , d e p e n d e d e n u e s tr a v o lu n ta d ; es d e c ir.
10
O
A ir . I lili A
q u e p o d e m o s lo m a r c o m o s e n tid o p o s itiv o el q u e q u e ra m o s ; p e r o u n a ve? f ija d o e l s e n tid o p o s itiv o , e l s e n tid o o p u e s to a é ste se rá e l n e g a tiv o . A sf, si to m a m o s c o m o s e n tid o p o s itiv o el c a m in o r e c o r r id o a la d e r e ch a d e u n p u n to , e l c a m in o re c o r r id o a la iz q u ie rd a d e ese p u n to será n e g a tiv o , p e r o n a d a n o s im p id e to m a r c o m o p o s itiv o e l c a m in o re c o r r id o a la iz q u ie r d a d e l p u m o y e n to n c e s el c a m in o r e c o r r id o a la d e r e c h a d el p u n t o se ría n e g a tiv o . A si, si s o b r e e l s e g m e n to A tí to m a m o s c o rn o p o s itiv o el s e n tid o d e A h a c ia tí, e l s e n tid o d e tí h a c ia A serfa n e g a tiv o , p e r o si fija m o s > c o m o s e n tid o p o s itiv o A ---------------------------------- B A ------d e t í h a c ia A , el s e n ti d o d e A h a c ia t í s e ria * * n e g a tiv o . N o o b s ta n te , e n la p rá c tic a se a c e p ta n g e n e r a lm e n te los s e n tid o s p o si tivos d e q u e se t r a tó e n el n ú m e r o a n te r io r . ' 1 3 ; CERO es la a u s e n c ia d e c a n tid a d . A sí, r e p r e s e n ta r e l e s ta d o e c o n ó m i c o d e u n a p e rs o n a p o r 0 e q u iv a le a d e c ir q u e n o tie n e h a b e r n i d e u d a s. L a s c a n tid a d e s p o sitiv a s son m a y o re s q u e 0 y las n e g a tiv a s m e n o re s q u e 0. A sí, + 3 es u n a c a n tid a d q u e e s tro s u n id a d e s m a y o r q u e U; + 5 es u n a c a n tid a d q u e es c in c o u n id a d e s m a y o r q u e 0 , m ie n tr a s q u e —3 es u n a c a n tid a d q u e e s tr e s u n id a d e s m e n o r q u e 0 y —5 es u n a c a n tid a d q u e es c in c o u n id a d e s m e n o r q u e 0 . D e d o s c a n tid a d e s p o sitiv a s, e s m a y o r la d e m a y o r v a lo r a b s o lu to ; asi. + 5 es m a y o r q u e + 3 , m ie n tr a s q u e d e d o s c a n tid a d e s n e g a tiv a s es m a y o r la d e m e n o r v a lo r a b s o lu to : —3 es m a y o r q u e — 5; 0 es m e n o r q u e —4. EJE R C IC IO S SOBRE C A N T ID A D E S P O S ITIV A S Y N E G A T IV A S L) U n h o m b r e c o b r a $180. P a g a u n a d e u d a d e $80 y lu e g o h a c e c o m p ra s jx>r v a lo r d e $90. ¿ C u á n to tie n e ? T e n i e n d o ' $130, p a g o $60; lu e g o , se q u e d ó co n $50. D e sp u é s h a c e u n g a sto d e $95 y c o m o s ó lo tie n e $50 in c u r r e e n u n a d e u d a d e $45. P o r lo ta n to , tie n e a c tu a lm e n te — $-15. R . m-
E JE R C IC IO
1
l’e th o d e b ía U n h o m b re l-'.xprnAr su T n if n $200.
(10 bolívares y recib ió 320. E x p resar su estado económ ico. q u e ten ia 1170 sucres h izo u n a com pra p o r valor d e 1515. estad o económ ico. C obró $50 y pagué d eu d as p o r $169. ¿C u án to tengo?
C M - T W A D t-S P O S IT IV A S Y H E Q A T I V A S
4. ó. 0 7. 8.
•
] I
C o m p ro ro p a s p o r v a lo r de 665 soles y alim e n to s p o r 1178. Si después re c ib o 22B0. ¿cuál es m i estad o económ ico? T e n ia $20. P ag u é $10 q u e d e b ia , después cobró $40 y lu eg o h ice gastos p o r. $75. ¿ C u á n to tengo? E n riq u e hace m ía c o m p ra p o r $67; después recibe $72; luego hace o lía c o m p ra p o r 516 y después recib e $2. E xpresar su estado económ ico. D espués d e re c ib ir 200 colones h ag o tres gastos p o r 78, 61 y 93. R ecibo e n to n c e s 41 y lu e g o h ag o u n n u ev o g asto p o r 59. ¿ C u á n to tengo? P e d ro ten ia tre s d e u d a s d e $45, $66 y $79 resp ectiv am en te. E ntonces re c ib e $200 y hace u n gasto de $10. ¿C uánto tiene?
2 ) A las 6 a . m . e l te r m ó m e tr o m a r c a —4 o. A la s 9 a . in . h a s u b id o 7 o y d e s d e e s ta h o r a h a s ta las 6 p . n i. lia b a ja d o 1 1 ° . E x p r e s a r la te m p e r a t u r a a las 5 p . m . A las 6 a . tu . m a rc a —4 " . C o m o a las 9 a. m . h a s u b id o 7 ° , s ie te d iv is io n e s d e la escala d e s d e — 4 ° h a c ia a r r i b a y te n d r e m o s c e ro ( + 3 ° ) ; c o m o d e s d e e sta h o r a h a s ta la s 5 p- n i. h a b a ja d o I P , 11 d iv is io n e s d e la esc a la d e s d e + 3 °. h a c ia a b a jo lle g a re m o s a g o , a las 5 p . u i. la te m p e r a t u r a e s d e — R. fl»1 2.
3 4l\.
6.
7.
8.
9.
c o n ta m o s 3 ° so b re c o n ta n d o 8 ,:. L u e
E JE R C IC IO 2 A lar. ■) a . m . el te rm ó m e tro m a rra 1 1 2 o y d e esta h o ra a las 8 p . tu. ha b a ja d o 15°. E x p resar la te m p e ra tu ra a las 8 p . ni. A las 6 a. tn. el te rm ó m e tro m a rc a —3 o. A las 10 a . m . la tem p e ratu ra es 8 ° más alta y desd e esta h o ra hasta las 9 p. m. ha b a ja d o 6 o. E xpresa! la te m p e ra tu ra a las 0 p. m . A la l p . u». el te rm ó m e tro m a rc a + 1 5 ° y a las 10 p . m . m arca —3°. ¿ C u án to s g rad o s lia b a ja d o la te m p eratu ra? A Jas 3 a. ni. el te rm ó m e tro m arca —8o y al m e d io d ía + 5 ° . ¿C uántos g ra d o s lia su b id o la te m p e ra tu ra ? A las '$ a. ni. el te rm ó m e tro m arca —J D; a las 9 a. m . h a su b id o 7 ° ; a las 4 p. m . h a su b id o 2 ° m ás y a las 11 p . m . h a b ajarlo 11°. E xpresar la te m p e ra tu ra a las 11 p . ni. A las 6 'a . m . d te rm ó m e tro m a rc a —8o. D e las 6 a . m . a las 1.1 ¡l.m . su b e a razón de -1 ^ p o r h o ra . E x p re sa r la te m p e ra tu ra a las 7 a.n»., a las 8 a. tu . y 3 las 11 a . m . A las 8 a. m . el te rm ó m e tro m a re a —I o. D e las 8 a .m . a las 11 a . ni. b aja a razó n d e 2 C p o r h o ra y de 11 a .m . a 2 p . m . su b e a razón d e 3 o jhji h o ra . E x p resar la te m p e ra tu ra a las 10 a .m ., a Jas I I a.n»., a las 12 a .m , y a las 2 p . m. El d ía 10 de d ic ie m b re u n b a rc o se h a lla a , 5 6 1 al oeste del prim er m e rid ia n o . D el d ía 10 al 18 re c o rre 7o h a c ia ? e l este. E x p resar su Ion g itu d este día. El d ía p rim e ro de fe b re ro la situ a c ió n d e u n b arc o es: 71° de lo n g itu d oeste y 15° de la titu d su r. D el d ía p rim e ro al 26 h a re c o rrid o 5' hiiciu el este y su la titu d es en to n c e s de 5o m ás al sur. E x p resar su situ ació n el «lía 26.
12
®
AHit'IIHA
JO. El d ía ¡3 de m ayo la situ ació n d e u n v iajero es 18° d e lo n g itu d este y 65 ° de la titu d n o rte . D el d ía 5 a l 31 h a re c o rrid o 3 C h acia el este y se h a acercado 4 o al Ecuador. E x p resar su situ ación el d ía 31. 11. U n a ciu d ad fu n d a d a e l añ o 75 A . O. fue d e stru id a 135 años después. E x p resar la fech a de su destrucción. 3) U n m ó v il r e c o r r e 40 n i. e n lín e a re c ta a la d e re c h a d e u n p u n to A y lu e g o r e tr o c e d e e n la m ism a d ir e c c ió n a ra z ó n d e 15 m . jto r s e g u n d o . E x p r e s a r a q u é d is ta n c ia se h a lla d e l p u n to A a l c a b o d e l l ' \ 2 '1, 3'.* y 4V s e g u n d o . El m ó v il h a r e c o r r id o 40 m . a la d e r e c h a d e l p u n to / f ; lu e g o , su p o sició n es + 40 nt-, to m a n d o c o m o p o s itiv o el s e n tid o d e iz q u ie rd a a d e re c h a . E n to n c e s e m p ie z a a m o v e rse d e la d e r e c h a h a c ia la iz q u ie r d a ( s e n tid o n e g a tiv o ) a ra z ó n d e 15 m . p o r s e g u n d o ; lu e g o , e n e l p r i m e r s e g u n d o se a c e rc a 15 m . a l p u n t o A y c o m o e s ta b a a 40 m . d e ese p u n to , .se h a lla a 40 — 15 = 25 m . a la d e r e c h a d e A ; lu e g o , su p o sic ió n es I 25 m . R. E n e l 29 s e g u n d o se a c e rc a o tr o s 15 n i. al p u n to A ; lu e g o , se b a ila rá a 25 — 15 = 10 m . a la d e re c h a d e A ; s u p o s ic ió n a h o r a es -I- .1(1 m . R. E n el 3W- s e g u n d o r e c o rre o tro s 15 m . h acia A , y c o m o e s ta b a a 10 m . a la d e r e c h a d e A , h a b r á lle g a d o a l p u n t o A (c o n 10 tn .) y r e c o r r i d o 5 m . a la iz q u ie r d a d e A , es d e c ir, 1 0 - 1 5 = - 5 m . S u p o sic ió n a h o r a es - 5 m . R. E u el 4‘* s e g u n d o re c o r r e o tr o s 15 tn . m á s h a c ia la iz q u ie rd a y r o m o ya e s ta b a a 5 m . a la iz q u ie r d a d e A , se b a ila r á al r a b o d e l 49 s e g u n d o a 20 m . a la iz q u ie r d a d e A , o sea - 0 — 1 5 = - 2 0 tn .; lu e g o , su p o sic ió n a h o r a e s — 20 tn. R .
m-
E JE R C IC IO IS E N T IO O
3
P O S I T IV O :
DE
IZ Q U IE R D A
A
D ERECH A
Y
DE
A B A JO
A
A R R IB A I.
1. E x p resar q u e u n m óvil se h a lla a 32 m . a la d e re c h a del p u n to A ; a 16 ni, a la izq u ierd a de A . 2. E x p re sa r q u e la p a rte d e u n poste q u e sobresale del su elo es 10 m , y tie n e e n te rra d o s 4 m . 3. D espués d e c a m in a r 50 m . a la derecha del p u n to A rec o rro 85 m . cu se n tid o c o n trario . ¿A q u é d istan cia m e h a llo a h o ra d e A'< Si corre* a la izq u ierd a del p u n to ¡i a razó n d e í> ni. p o r segundo, Ja q u é d istan cia d e B m e h allaré al c ab o d e 11 segs.? 5. D os co rred o res p a rte n del p u n to A e n sen tid os opuestos. El q u e corre h acia la izq u ierd a de A va a 8 ni. p o r scg. y el q u e co rre h acia la derecha va a 9 ni. p o r scg. E x p resar sus d istan cias del p u n to A al cabo d e 6 seg. 6 P a rtie n d o d e la lín e a de salida hacia la d erech a u n co rre d o r da dos vueltas a u n a pista d e 400 nt. d e lo n g itu d . Si yo p a rto d el m ism o p u n to y doy 3 v u eltas a la pista e n se n tid o co n tra rio , ¿qué distancia hem os recorrido? 7. U n poste de 40 pies d e lo n g itu d te n ía J 5 pies so b re el suelo. Días después se in tro d u je ro n 3 pies más. E x p resar la p a rte q u e sobresale y la e n te rra d a .
C A H T IO A O ÍS POSITIVAS Y M Í C A T IV A Í
g. 3 10. 1L. 12.
13.
14-
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I 3
U n m óvil reco rre 55 m . a la d erech a d el p u n to A y luego en la m ism a d irecció n retro ced e 52 m . ¿A q u e d istan cia se h a lla de A ? U n m óvil reco rre 32 m . a la izq u ierd a del p in ito A y luego retrocedí en la m ism a d irección 15 m . ¿A q u e d istan cia se h a lla de A e U n m óvil recorre 35 ni. a la d erech a d e ¡i y luego retro ced e en la misin.i d irecció n -17 m . ¿A q u é distan» ia se h a lla cíe JJ? U n m óvil recoi r e 3!) m . a la izq u ierd a d e M y luego retro ced e en t.i m ism a d irección 5(j m . ¿A q u é d ista n c ia se Italia d e Ai? A p a rtir del p u n to H u n a p erso n a reco rre 00 m . a la d erech a y re tro re d e , en la m ism a d irecció n , p rim e ro :'iS m . y luego 3G m . ¿A q u é discm riii se h a lla de /í? U n m óvil recorre 72 m . a la d erech a de A y en to n ces em pieza a re tro ced er en la m ism a d irecció n , a razó n de 30 m . p o r scg. E xpresar m i d ista n c ia del p u n to A al c a b o del l<\ 9/J, 3? y 41? scg. U n a u to reco rre 120 Km . a la iz q u e rd a del p u n to Ai y lu e g o retrocede a ta z ó n d e 00 Km . jx n h o ra. ;A q u e distancia se h a lla «leí p u n to M al cabo d e la 1*. 2 -, 3? y 4* hora? V A LO R A BSO LU TO Y R E L A T IV O
V a lo r a b s o lu to d e u n a c a n t i d a d e s e l n ú m e r o q u e r e p r e s e n ta la c a n tid a d p r e s c in d ie n d o d e l s ig n o o s e n tid o d e la c a n tid a d , y v a lo r re la tiv o es el s e n tirlo d e Ja c a n tid a d , r e p r e s e n ta d o p o r e l sig n o . A sí, e l v a lo r a b s o lu to d e -f 38 es $8, y e l v a lo r r e la tiv o h a b e r , e x p rc s a d o p o r e l sig n o - ; e l v a lo r a b s o lu to d e — $20 es S2Í), y e l v a lo r re la tiv o d e u d a , e x p re s a d o p o r e l s ig n o —. L as c a n tid a d e s -1-7° y —7 ° tie n e n el m ism o v a lo r a b s o lu to , p e ro su v a lo r r e la tiv o es o p u e s to , p u e s el p r im e r o e x p re s a g ra d o s so b ro c e ro y el s e g u n d o b a jo c e ro ; — 8 ° y - 13° tie n e n e l m is m o v a lo r r e la tiv o {g rados b a jo c e r o ) y d is t i n t o v a lo r a b s o lu to . El v a lo r a b s o lu to d e u n a c a n tid a d a lg e b ra ic a c u a lq u ie r a se re p re s e n ta c o lo c a n d o e l n ú m e r o q u e c o r r e s p o n d a a d ic h o v a lo r e n t r e d o s lin c a s v e r ticales. A si, e l v a lo r a b s o lu to d e + 8 se re p re s e n ta | 8 ¡. C A N T ID A D E S A R IT M E T IC A S Y A L G EB R A IC A S D e lo e x p u e s to a n t e r i o r m e n t e se d e d u c e la d if e r e n c ia e n t r e c a n tid a des a r itm é tic a s y a lg e b ra ic a s . C av.iñbule-i a r itm é tic a s so n las q u e e x p re s a n s o la m e n te e l v a lo r a b s o lu to d e la s c a n tid a d e s r e p r e s e n ta d o p o r los n ú m e ro s , p e r o n o n o s d ic e n el s e n tid o o v a lo r r e la tiv o d e las c a n tid a d e s . A s i, c u a n d o e n A r itm é tic a e s c rib im o s q u e u n a p e rs o n a tie n e 55, te n e m o s s o la m e n te la id e a d e l v a lo r a b s o lu to S5 d e esta c a n tid a d , p e ro co n e sto n o s a b e m o s si la p e rs o n a t ie n e $5 d e h a b e r o d e d e u d a . E s c rib ie n d o q u e el te r m ó m e tr o m a rc a 8 o , n o s a b e m o s si so n s o b re c e r o o b a jo cero .
14
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A ir^r nn a
( :.í n i !'i ií K", a lg e b ra ic a s son las q u e e x p re s a n el v a lo r a b s o lu to e x p re s a m o s el v a lo r a b s o lu to y e l s e n tid o o v a lo r r e la tiv o ( h a b e r ) e x p re s a d o p o r e l s ig n o + ; e s c rib ie n d o — $8 e x p re s a m o s e l v a lo r a b s o lu to S8 y e l s e n tid o o v a lo r r e la tiv o ( d e u d a ) e x p r e s a d o p o r e l s ig n o —; e s c rib ie n d o q u e e l te r m ó m e tr o m a r ca + 8 " te n e m o s e l v a lo r a b s o lu to 8 ° y e l v a lo r r e la tiv o (so b re c e ro ) e x p r e sad o p o r e l s ig n o y e s c rib ie n d o — 9° te n e m o s e l v a lo r a b s o lu to 9 o y el v a lo r r e la tiv o (b a jo c e ro ) e x p re s a d o p o r el sig ilo —. L os sig n o s + y — tie n e n e n A lg e b ra d o s a p lic a c io n e s : u n a , in d ic a r las o p e ra c io n e s «le s u m a y re sta , y o tr a , in d ic a r e l s e n tid o o c o n d ic ió n d e las
cantidades. E s ta d o b le a p lic a c ió n se d istin g u e p o rq u e c u a n d o los sig n o s p i> — tie n e n la sig n ificació n d e s u m a o re s ta , v a n e n tr e té rm in o s o e x p re sio n e s in c lu id a s e n p a ré n te s is , c o m o p o r e je m p lo en ( + 8) + (— 4 ) y e n (— 7) — ( |- 6 ). C u a n d o van p re c e d ie n d o a un té rm in o , y a s e a lite ra l o n u m é ric o , e x p re sa n el s e n tid o p o s itiv o o n e g a tiv o , c o m o p o r e je m p lo e n — a , + b . 7. - ~ 8
R EP R ESEN TA CIO N G R A FIC A DE LA SERIE A LG E B R A IC A DE LOS NUM EROS
T e n i e n d o e n c u e n ta q u e e l 0 e n A lg e b ra es la a u s e n c ia d e la c a n t i d a d . q u e las c a n tid a d e s p o sitiv a s so n m a y o re s q u e ti y las n e g a tiv a s m e n o re s q u e 0 , y q u e las d is ta n c ia s m e d id a s h a c ia la d e r e c h a o h a c ia a r r i b a d e u n p u m o se c o n s id e r a n p o sitiv a s y h a c ia la iz q u ie rd a o h a c ia a b a jo d e u n p u n t o n e g a tiv a s , la s e rie a lg e b ra ic a d e los n ú m e ro s se p u e d e re p r e s e n ta r d e e s te n u x io : - 5 - 4 -3 - 2 1 0 I “ 2 + 3 1 4 ■* 5 • • • I 1------------------i----- 1----- 1 i 1----- ¡------i * • *
N O M E N C LA T U R A A LG EB R A IC A 17^ EX PR ESIO N A LG EB R A IC A es la r e p r e s e n ta c ió n d e u n s ím b o lo a lg e b ra ic o o d e u n a o m á s o p e ra c io n e s a lg e b ra ic a s .
E jem plo s \
^ ^
ü Xa .
18
’ E R M IN O « u n a e x p re s ió n a lg e b ra ic a q u e c o n s ta d e u n so lo sím b o lo o d e v a rio s s ím b o lo s n o s e p a ra d o s e n tr e si p o r e l s ig n o + o —. Así, , 4a . ti, '.ib, '¿xy, ----- son té rm in o s . ;$x
NOMENCLATURA A L G C D R A IC A
•
15
L o s e le m e n to s d e u n té r m i n o son c u a tr o : el s ig n o , el c o e fic ie n te , la p a r te lit e r a l y e l g ra d o . P o r e l s ig n o , so n té r m in o s p o s itiv o s los q u e v a n p r e c e d id o s d e l sig n o + y n e g a tiv o s lo s q u e v a n p r e c e d id o s d e l s ig n o A sí, 4- a, + &x, + 9a b 3a s o n té r m in o s p o sitiv o s y — x , —5b e y — — - so n té r m in o s n e g a tiv o s. —y E l s ig n o + s u e le o m itir s e d e la n te d e los té r m in o s p o sitiv o s. A sí, a e q u iv a le a + a ; 3a b e q u iv a le a + 3 a b . P o r ta m o , c u a n d o u n té r m in o n o va p r e c e d id o d e n in g ú n s ig n o •••■ |> O S ¡IÍV O .
E l c o e fic ie n te , c o m o se d i j o a n te s , es u n o c u a lq u ie r a , g e n e r a lm e n te el p r im e r o , d e los fa c to re s d e l té r m in o . A si, e n el té r m in o 5a el c o e fic ie n te es 5; e n — 3aax a e l c o e f ic ie n te es —3. L a p a r t e l ite r a l la c o n s titu y e n las le tra s q u e h a y a e n e l té r m in o . A sí, 3*® / x*y‘ e n b x y la p a r te lite r a l es x y ; e n — — la p a i t e lite r a l es — — . ' 2a b r ab 1 9 ) E L G RA D O DE U N T E R M IN O p u e d e s e r d e d o s clases: a b s o lu to y co n re la c ió n a u n a le tra . G r a d o a b s o lu to d e u n t é r m in o es la s u m a d e los e x p o n e n te s d e su s fa c to re s lite ra le s . A sí, e l t é r m i n o 4 a e s d e p r im e r g r a d o p o r q u e e l e x i s tie n te d e l f a c to r lite r a l a es 1; e l t é r m i n o a b es d e s e g u n d o g r a d o p o rq u e la s u in a d e los e x p o n e n te s d e sus fa c to re s lite ra le s es 1 + 1 = 2 ; el té r m in o a?b es d e te r c e r g ra d o p o r q u e la s u m a d e los e x p o líe n le s d e su s fa c to re s lite ra le s e s 2 + 1 = 3; 5a<5 1ea es d e n o v e n o g ra d o p o r q u e la s u m a d e los e x p o n e n te s d e sus fa c to re s lite ra le s es 4 + 3 + 2 = 9. E l g ra d o d e u n té r m in o c o n r e la c ió n a u n a le tr a es el e x p o n e n to tic d ic h a le tr a . A si el té r m in o b x l es d e p r i m e r g r a d o c o n re la c ió n a b y d e te r c e r g r a d o c o n re la c ió n a .v; 4 x 9y* es d e s e g u n d o g r a d o c o n re la c ió n a x y d e c u a r to g r a d o c o n r e la c ió n a y . 20 ) CLA SES DE TER M IN O S T é r m i n o e n te r o es e l q u e n o ti e n e d e n o m in a d o r lite r a l c o m o 5a. 2a fia * b \ — . 5 _ _ . 3a T é r m i n o f r a c c io n a r io es el q u e t ie n e d e n o m in a d o r lite r a l c o m o ——. T é r m i n o ra c io n a l e s e l q u e n o t ie n e r a d ic a l, c o m o los e je m p lo s a n te rio re s , c irr a c io n a l e l q u e t i e n e r a d ic a l, c o m o V a b ,
- ■■ y /H a T é rm in o s h o m o g é n e o s so n los q u e tie n e n el m is in o g r a d o a b s o lu to . A sí. 4 x Jy y (ix'-'y1 s o n h o m o g é n e o s p o r q u e a m b o s s o n d e q u i n t o g r a d o a b so lu to . T é r m in o s h e te ro g é n e o s so n los d e d is ti n to g r a d o a b s o lu to , c o m o 5a, q u e es d e p r im e r g ra d o , y 3a'J, q u e e» «le s e g u n d o g ra d o .
16
•
m-
ALQCURA
E JE R C IC IO
4
I. Oigase q u é clase d e térm inos son los siguientes a te n d ie n d o al signo, a si tien en o no d e n o m in a d o r y a si tie n e n o no rad ical: 5fl2, 2
2a —4 a’ b, — , 3
50° jo-rT5 — . vGT, - W , — 6 6
4aa6;i jprrVC«
Dígase el g ra d o abso lu to de los térm in o s siguientes: 5a,
3.
,i.
5. G
y
C L A S IF IC A C IO N DE LA S EX PR ESIO N ES A L G EB R A IC A S
M O N O M IO es u b a e x p re s ió n a lg e b ra ic a q u e c o n s ta d e u n so lo té r m in o , c o m o
3 a, - 5 b , /
.2 2
•lo*'
P O L IN O M IO es u n a e x p re s ió n a lg e b r a ic a q u e c o n sta d e m ás d e u n té r m in o , c o m o a + b , a + x — y , x :t I 2 x - + x -5- 7. * a 3 5 mx* B in o m io es u n p o lin o m io q u e a + b , x —y, —— c o n s ta d e d o s té r m in o s , c o m o : _____________________ / «2 T r in o m i o e s u n p o lin o m io q u e a + b + c , x 2— 5 jí+ '6 , 5 x i --6 y 3+ —. c o n s ta d e tre s té r m in o s , c o m o /* EL GRADO d e u n p o lin o m io p u e d e se r a b s o lu to y co n re la c ió n a u n a le tra . G r a d o a b s o lu to d e u n p o lin o m io es el g r a d o d e s u té r m in o d e m a y o r g ra d o . A sí. e n el p o lin o m io x* - 5x* + x z - 3 x e l p r im e r té r m in o es d e c u a r to g ra d o ; e l s e g u n d o , d e te rc e r g r a d o ; e l te rc e ro , d e s e g u n d o g ra d o , y el ú ltim o , d e p r i m e r g ra d o ; lu e g o , e l g r a d o a b s o lu to d e l p o lin o m io es el c u a rto .
G r a d o d e u n p o lin o m io c o n re la c ió n a u n a le tr a e s e l m a y o r e x p o tie n te d e d ic h a le tr a e n e l p o lin o m io . A sí, e l p o lin o m io a" + a*x?- - a 2* 4 es d e s e x to g r a d o c o n r e la c ió n a la a y d e c u a r to g ra d o c o n r e la c ió n a la x. 0» E JE R C IC IO 5 ! D ígase el g ra d o ab so lu to d e los sig u ien tes polinom ios: a ) x*+ x*+ x. c) u*b—a~b--\ab3—b4. b ) ílfl—S a'+ 't/í* —(i. d) x ' - f i x y —á c T ty + x y - S y 0. 2- D ígase el g ra d o de los sig u ien tes polin om ios con rela ció n a cada u n a de sus letras: a ) •—4u2x-l ab" - - 5aab*x*. b ) x'-f-1x3—bx-y*—Ixy*. d ) m 4n 2—m«*+»wx, y3—x H-|-y,B—»nM. 24 | CLASES DE PO L IN O M IO S
c u a n d o n o c o n tie n e ra d ic a le s , c o u to e n lo.s e je m p los a n te r io r e s ; ¡ n a c io n a l c u a n d o c o n tie n e r a d ic a l, c o m o V5F+ VU —Vc'—V ñ b c ; h o m o g é n e o c u a n d o i«d o s su s té r m in o s so n d e l m is m o g r a d o a b s o lu to , c o m o 'lci3 + 5«sb+ C a/> s -l b \ y h e te r o g é n e o c u a n d o su s té r m in o s n o s o n d e l m is m o g ra d o , conu>
xx+ x -1- x - r>.
P o lin o m io c o m p le to c o n r e la c ió n a u n a le tra es e l q u e c o n tie n e to d o s los e x p o n e n to s su c e siv o s d e d ic h a le tr a , d e s d e el m á s a l t o a l m á s b a jo q u e te n g a d ic h a le tra e n e l p o lin o m io . A sí, e l p o lin o m io x a + x« — x 3 + x3 -.'t.v e s c o m p le to re s p e c to d e la x , p o r q u e c o n t i e n e u x io s los e x p o n e n te s su c e si vos d e la x d e sd e el m á s a l t o ñ, h a s ta e l m á s b a jo 1, o s e a :>, 4, 3, 2, 1; el p o lin o m io o* —a^b -I- a t y — a b 3 4- b* es c o m p le to re s p e c to d e a y b. P o lin o m io o r d e n a d o c o n r e s p e c to a u n a le tr a e s u n p o lin o m io e n el c u a l los e x p o n e n to s d e u n a l e n a e sc o g id a , lla m a d a le tr a o r d e n a tr i/, v a n a u m e n t a n d o o d is m in u y e n d o . A sí. e l p o lin o m io x* - -1xB-I- 2 x 2 — 5 x + 8 e stá o r d e n a d o e n o r d e n d e s c e n d e n te c o n r e la c ió n a la le tr a o r d e n a t r i / x ; e l p o lin o m io — 2n*fi i Imi'I* r>a-b* -I- Znb* — I/' e stá o r d e n a d o e n o r d e n d e s c e n d e n te re s p e c to d e la le tra o r d e n a tr iz a y e n o r d e n a s c e n d e n te r e s p e c to d e la le tr a o r d e n a t r i / b. O r d e n a r u n p o lin o m io es e s c r i b i r su s té r m in o s d e m o d o q u e los cx|x> n e m e s d e u n a le tr a e sc o g id a c o m o le tr a o r d e n a tr iz q u e d e n e n o r d e n d e s r e n d e n te o a s c e n d e n te . A si. o r d e n a r el p o lin o m io —5 x 8+ x ° - 3 x - l- x 4- x :'+ (! e n o r d e n d e s c e n d e n te c o n r e la c ió n a x se rá e s c r ib ir x 5+ x l —5x3 x - —3x + (¡. O r d e n a r el p o lin o m io x*y — 7 x 2y3 — !5xn 4-Gxy* + y 3 — x 'y - e n o r d e n as c e n d e n te c o n re la c ió n a x se rá e sc rib irlo : ‘ Cx)'1— 7 x * y t— x 3y J -I x l y
18
•
ALQCBRA
( 2 6 i T é r m i n o in d e p e n d ie n te «le u n p o lin o m io c o n re la c ió n .« u n a le tra es e l te r m i n o q u e n o tie n e d ic h a le tra . A sí, e n el p o lin o m io a 1 —a - •}• 3a — 5 e l t é r m in o in d e p e n d ie n te c o n r e la c ió n a la a es 5 p o r q u e n o tie n e a: c ji x* — Ox3 + 8xa — 9x + 20 e l té r m i n o i n d e p e n d ie n te e s 2 0 ; e n a s - «2¿ -1- '¿ab'1 -f- b ” el té r m in o in d e p e n d ie n te c o n re la c ió n a la a es b \ y e l t é r m in o in d e p e n d ie n te c o n re la c ió n a la b es o3. E l té r m in o in d e p e n d ie n te c o n r e la c ió n a u n a le tr a p u e d e c o n s id e ra rs e q u e tie n e esa le tr a c o n e x p o n e n te c e ro , p o r q u e c o m o se v e rá m á s a d e la n te , to d a c a n tid a d e le v a d a a c e r o e q u iv a le a 1. A sí, e n e l p r i m e r e je m p lo a n te r io r , — 5 e q u iv a le a — 5 n u, y e n e l ú l t i m o e je m p lo , e q u iv a le a a"b3. & 1.
E JE R C IC IO 6 A te n d ie n d o a si tie n e n o no d e n o m in a d o r lite ra l y a si tie n e n o n o r a d i cal, dígase d e q u e clase son los p o lin o m io s siguientes: a) aJ+ 2 « --U a . c) V ü »- x/ZT— 2c -1- V ti. “ > 4’ + -V;
2 .
■V
5.
ü. 7.
-
E scrib ir u n p o lin o m io de tercer g rad o ab so lu to : d e q u in to g rad o abso lu to ; d e o ctav o g ra d o ab so lu to : de d e c im o q u in to g ra d o absoluto. E scrib ir u n trin o m io de segundo g ra d o respecto de la x ; u n polinom io d e q u in to g ra d o respecto de la a; u n p o lin o m io de noveno g ra d o res p ecto d e la »«. D« los sig u ien tes |K)I¡>.ornios: a) 3fl“ó + 4 « » -5 6 » . d ) 4 « - 5 ft+ 6 r 3- 8d , - 6 . b) «*—«3Í> t-fl-U'-'-l-aU3. c) y* ~ a yt +o?y:' —a iyx—a ,y+ ya. c) x5—ó x 4+ afrx 3+«Z>8x2. f) —4-a3//-'—(>&♦. d) 5«-rC«8—9«2+G. c) -x ^ y -’-Kv' "+3x'ly'!—s d y + x 2)-*. f) —3 m ,t’n * + 4 m , 2«!‘—8m *n4- lllm !,ne I-»’ m ,sn. O rd e n a r los sig u ien tes polinom ios respecto «le c u a lq u ie r le n a e n orden ascendente: a)
■EDUCCION DC Y H M iN O t « M IJ A N T 1 S
•
19
( 2 7 ) TER M IN O S SEM EJA N TES D os o m á s té r m in o s s o n s e m e ja n te s c u a n d o tie n e n la m is m a p a r te lite r a l, o sea, c u a n d o tie n e n ig u a le s le tr a s a fe c ta d a s d e ig u a le » e x p ó n e n te s .
E jem plos
2o y a¡ - 2 b y 8fa; -50 *6* y - 8 a 3b»; x " '1 y
L o s té rm in o » -lab y 6fl*6 n o s o n s e m e ja n te s, p o r q u e a u n q u e tie n e n ig u a le s le tra s , éstas n o tie n e n lo s m is m o s e x p o líe n le s , y a q u e la a d e l p r i m e r o tie n e d e e x p o líe n te 1 y la « d e l s e g u n d o tie n e d e e x p o n e n te 2. L o s té r m in o s - 6 .v‘ y «b* n o son s e m e ja n te s , p o r q u e a u n q u e tie n e n lo* m ism o s e x p o n e n te s , las le tr a s n o s o n ig u ales. 28 ) R ED U C C IO N DE TER M IN O S SEM EJA N TES es u n a o p e r a c ió n q u e n e n e p o r o b je to c o n v e r tir e n u n s o lo té r m in o d o s o m ás té r m in o s se m e ja n te s . E n la re d u c c ió n d e té r m in o s s e m e ja m o s p u e d e n o c u r r i r los tres sig u ie n te s: J)
R e d u c c ió n d e d o s o m á s té r m in o s s e m e ja n te s d e l m is m o sig n o
R EG LA
S e s u m a n los c o e fic ie n te s , p o n ie n d o d e la n te d e e s ta s u m a e l m ism o s ig n o q u e tie n e n to d o s y a c o n tin u a c ió n s e e s c rib e la p a r t e lite r a l.
Ejem plos 11» 3a + 2o = So.
R.
(61 io b + J a b = ja b .
(2 ) — 5b —7b = — 12b. O I —o * - ? a * = — 10a-,
R.
(7 )
R
(9 ) — m — 3m — éoi - - 5m
(5 ) —4o“ ** — '/a " • * = • lio " * 1. R E JE R C IC IO
=
(S ) 5x -I- x + 2x = 8*. R.
R.
(4) 3 a - " -1 5a*-¡i — 8o’ «. K.
%■
R.
110)
;**y + V y - t - ^ y
- lf«n /"y.
R.
7
Reducir: 1. 2. 3. 4. r>.
x+ 2x. &M-9a. 11b+96. —6 —56. —8tn—m.
e. 7. 8 9. 10.
-la^+ria*. lyi* • i+8
14
1112
18.
±ab+ ±ab.
7*7+7*7-
16-
16.
- T
^
- 7
i - a - - a .
2 0
•
A LC U K A
17.
8a+ 9 a+ 6 « .
16. IO
15x+20x+x. 4/•*/»» JT/t. —a~b—aJb —'¿<¡'b.
20. 21. 22.
24.
a*+ü«*+8a*. —5a, “ , ~3a*'*1—5a*1 *. 1 2 a + -V f-a . v s 2 1 —X-----X-----X. n 4
25.
~ax+ ~ox+ ax. S 10
28
_ 1 rHx—^-a2x - r i2x.
27. 28.
llf l+ 8 a + 9 a + lla . m ’,+ ,+3w»,‘- 1+4r>»*' *+Gwi,<**.
23.
2)
29. 30.
—x yy - 8x*y—9x'-'y-20x3y. - 3 a » - 5 a " - 6 a « —9a“ .
O 1 31.
—« + 7 ^1 + —a + a .
32. 33.
2 1 1 1 - <2x+ -i t> x + ~ flx + -a x . 0 .5w + 0.6m + 0.7m |0.8m .
——«6—^-ab——a 6 —ab. t i. a» 2 i » 1 . * . 35. - 7 * 2y - T x * > '- -x * y --x » y . 30. ‘ x*11- x * • 1. 38. -x » ' >-8 x * - *■ i , i ,i ,i 30. -~a+ 2 3a + —a 4 + —« i + —a. 1 34.
40-
_
Vct5 _ L a 5 _ l a 6 _ i
R e d u c c ió n ilc d o s té r m in o s s e m e ja n te s d e d i s tin to « g n o .
REG LA
S e re s ta n lo s c o e fic ie n te s , p o n ie n d o d e la n te d e e s ta d ife re n c ia e l sig n o d e l m a y o r y a c o n tin u a c ió n se e s c rib e la p a r t e lite ra l.
Ejem plos (1 ) 2o — 3a = — o. tí II X
T <2
(2 )
R.
(51 2 5 a * '1 - 5 4 o - 1 = - 290*“ ,
R.
I V I 16) -2o — -3o = —-o e .
(3 ) - 2 0 o b + 1 1 o b = - 9 a b .
R.
17) —Jo*b + o:b — ^a*b.
R.
R.
a " 41. (8 ) _ 5 0 « .» .f *0 » .i = — i12
(41 - B o - + 13a‘ = 5a*. R.
Do lo regla anterior Je deduce q u e dos términos seme/ontru do iguales coefi cientes y d e signo contrario se anulan.
Atí:
E JE R C IC IO
- B a b + 8ob = 0.
R.
i , íi » _ JX V --X 7 -0 . 'P
„ R.
S
R e d u c ir: 1.
8 fl-6 a .
ó
2. 3. 4
6a —8a. 'Jab—lv a b . 15a6—Onb.
6.
2a—2a. -7 6 + 7 6 .
7. H.
-1 4 x y + 3 2 x y . - 2 5 x ay+ 32x*jt.
9. JO. H. 12.
d O x ^ y - ó lx y —m :n+ 6rn3n . —15x>*+40xy. 5fia!,6 a—81a:i6 3.
M DU C C IO M D I T D tM IM O í 3 IM C M N T Q
- x ^ + x 2?. —y-+9at>-. 7 x = y -7 x 2y. —lO lm n + U S m n . 502«b -4Ü 5«b. - 1 0 2 4 x |1 0 1 8 x . 10. -15 « b + 1 3 aí> . i s 20. 7 a- 7 a13. 14. 15. 16. 1718.
21.
22 .
L jb -fr b . 3)
23.
- ± x S y + L x *y.
33.
¿4-
s —ú m K
34.
20.
—ani4-*-am r* ,
2Í».
r. am. 4
•
30.
—a"1' *— - a 1" - •. C IR
-m « i;
36.
•l
27. 28. 29 30.
—n-7,+ % -¿». 3.1o 7 , (Vi'fA -1.2y£+S.4jW . Ia « -2 a \
37. 38.
—5 'm » i+ -|m n . 8a*+s6* * í _ 2 >
39.
-■ ^v i"b * + a,,b".
31
— S o * • ' + 8 / 1* «
32.
2r>Hí, - , - 3 2 » í ‘ ».
40.
O.SSntxy——rn.xy.
21
R e d u c c ió n d e m á s d e d o s té n a f a a w s e m e ja n te s d e sig n o s d istin to * .
REGLA S e r e d u c e n a u n solo t é r m i n o to d o s los p o sitiv o s, se r e d u c e n a u n v ilo té r m in o to d o s los n e g a tiv o s y a los d o s re s u lta d o s o b te n id o s se a p lic a la irg la d e l c a so a n te r io r .
E jem plos l 1 I Reducir 5a — 8o + o — 6a I 21o. Reduciendo los positivos! 5ci + o + ? lo —27n. Reduciendo los Rogativos: —15o 6a = 14o. Aplicondo o estos resultados obtenidos, 27o y — ’4o, la tcgla d o l c o j o a n b : rior, se tiene: 2 7 o — 14o = 13o. R. Eslo reducción también suele hacerse té rm in o a te rm in o , de e:tu monrmi 5o —8o = 3o; - 3o + o = - 2 o . - ? a - 6 a = eo; - 8 o + 21o^ 13o, R (2.) Reducir — fbx2 + rbx" I ^bx- — 4bx2 + bx-\ i .■ 4 Reduciendo los positivos: -l¿>x- + ^bx* + 6x2 —^ b x -. Reduciendo los negolivos:
— ^b x: — 4bx2 = — '."bx2.
Tendremos: —bxJ — —bx2 = — * 'bx*. so n 20 mi. 2. 3. 4.
E JE R C IC IO
R.
9
R ed u cir: 9 a -3 n + 5 n . —8 x + 9 x —x. 12 m n —23 n t» —5rn ti. -x + 1 9 x -1 8 x .
5. 6. 7 8
19wi—IOm-1 (¡w. - lla & -1 5 a b + 2 6 a f> . — 35a \ - 2 4 a * '* —l S a ^ H a y a " *
9.
2 . • jy + r y -y -
10 .
- T m +> -
2 2
•
A lG IO R A
11. \W n-b v ~-1 y b - a 2b. .12. —« + 8 « + 9 « —15«. 13. 7n6—1 l a 6 l-20ob -31o6. 25x*—50x24-llx * 4 -1 4 x s. 3.r>. —xy—8xy—19x)'+40xy. 1C. 7 a 6 + 2 1 o 6 —a b —80«6. i 7 —25xys+llxy*4-G 0x)i2--82x)>s. 13. -7 2 n x + 8 7 « x —101«x+243
22 .
i
í . i
3y
3^ * 0^
23.
—0*6 — ¿ a-'ÍM- * n : 6 —a:b.
25. 26. 2y. 28. 20,
- a + 8 o —llú + 1 5 a - 7 5 o . —7 c + 2 lc + 1 4 c —30c+ 82f. — 14w n—3 1 w n —nj«4-20m «. «“>* -7fl'J),- 9 ? a sy+ 51a*y+ 48¿2y. -o + fl—o-r«—3
* . 2 7 . i 30. T x + T x ~ x + T x ~ x -
1 11 ? '
31,
-2 x 4 - ®X-h—X4-X— yX.
32.
7o* 30a*- -41fl*-9a*4-73a*.
33. 34. 35.
o*4‘1+7o*'t l —llfl* 4 ’ 2 0 0 * '1 l-26a‘ *1 o + 6 a —20 a+ 1 5 0 o —S0o+31o. - 9 5 115 -1 7 5 -8 1 6 -6 4 -1 1 0 5 .
36
— /2 B6 - h l 5 o * 6 4 - 0 * 6 — í> .V j 3 6 — 1 : í 1 o 7 6 4 - 3 9 « í 6 .
37.
B4m-x—501 tn-x
33.
-^0*6*4-j 0 35 * - - V b * - A r 35*~4«*62.
80. 40
40o -8 1 o4-I30 o4-11 o - 8 3 o- 9 1 o4-16 o. -2 1 o 6 4 -5 2 o 6 -C O < i6 4 -8 4 o 6 -3 1 o 6 -o 6 23o6.
OO-toi-x -7 l,r»w -x4231m 2x4-165»J*x.
R ED U C C IO N DE UN POLIN O M IO Q U E C O N TEN G A TERM IN O S SEM EJA N TES DE D IVERSAS C LA SES
( ! ) Reducir el polinomio 5a — 4b 4- 8c 4- ? cj — 20c — b 4- 4b — c.
Tendremos;
14o — b — 13c. R.
( 2 ) Reducir el polinomio; Sa3# 4- 4a«b3 4- ¿o V - a 8!)2 - 9o*b3 - 15 - 5ob5 4- 8 - 6a b \
(31 Reducir el polinomio; | x ‘ - ;x*y 4- 3x4 — /* + Jy ‘ - 0.3** - \x * y - 6 4- x»y - 14 + 2\y*.
V A IO R MUMKMICO
Tendremos:
9
23
rx'1 + 3x' — 0.3.x4 = 3 —x4. i»'
r»
l * '/ =
2i j ^
” x'^y!
y- = 2 ’y*. - 6 — 14 — — 20.
E JE R C IC IO
10
R e d u c ñ lo» jxjlinom ios siguiente»! 1 . 7 jv-ÍI¿>+«x i -4¿>. % a l-i» c b —c ■2c a. 3. b x - I l y —0+ 20* - 1- y 4. —Gtn+gM+G—m —n —$ro—11. D. o + 5 + 2 ¿ > -2 e + 3 « + 2 c -3 6 . 6 - S I x + 1 9 ,-3 0 r+ 0 )-+ 8 0 x + .x -2 5 )-. 7. íóo* - 6 e 5 —B fl"+ 2 0 -íjci5 -'3 1 + aa—ai». B. 3 a + 4 ¿ » ~ f lo + 8 l¿ r - n 4 í> + íila - a - 6 . ». —71a8l>—64o4í»*+50o3¿ + 8 4 a 46*—45+18a*ft. 10- - o + f i - e + 8 -t 2 < i+ 2 6 ~ |9 ~ 2 c —So—3 3¿>4 3c. 11. tu 71 tu n —14 wi~—ifoni »i—ni*—mi3—115rn 0m J. J2- x ,y —x3y s+ x í y —8 x 4y —x y —JO+x*y-—7 x :iy s—0 + 2 tx * y -‘y;’+5O. 13 5a, + 1—3 6 * 8c*“ 3—5 o , + 1— 50+ 45* - :2—G5 -!>' - -,4-1)0+ c ‘ 4 ¡H-7C • *. 14 a"' *B- x " * * - 5 + 8 —3úm ,9+ 5xr* • 9 -6 + tí" -» 9- 5 x in-'5. 10- 0.3o : 0.4¿» t O.ác—O.fiu U.76 0.!)c | 3a 3 6 - 3 c . 1G.
- i - a + y 6.+ 2a —3 6 —y<2—-^-^+7— j -
17.
-- wi9 - 2m w + S u - - * m ii - 2 m n - 2«i-.
18.
— ^ o 9+ -ji« 6 —^*»9+ 2—o9—■” -o6 + ^ - 6 s
10.
0 .4 x ^ + 3 l+
20.
-3 asf!
— ? ¿,n- -3+ so sK
! b -2 a b .
j x Jy - 0 .2 x / J+ |y > i l/
f>.
j . -L¿,11.-2, pr,
VALOR N U M E R IC O V a lo r n u m é ric o d e u n a e x p re s ió n a lg e b ra ic a es e l r e s u lta d o q u e se o b tie n e a l s u s titu ir las le tra s p o r v a lo re s n u m é ric o s d a d o s y e f e c tu a r d e sp u é s las o p e ra c io n e s in d ic a d a s.
ALGOR A
24
3 0 ) V A LO R N U M ER IC O DE EX PRESIO N ES SIM PLES
Ejem plos (I I Hallar el valor numérico de Sab pora a — I, b —2. Sustituimos la a por su valor 1, y la b por 2, y tendremos: 5o6 = 5 X 1 X 2 = 10. R. (,-) Valor numérico de a ’-bsc‘ para a = 2, b = 3, c.— —. o263c* = 2a x 3a X \{\* = 4 X 27 X
= ó|
R.
<3 ) Valor numérico do 3cc v' 2ab poro a = 7, b —9, c = 3ac \Z fc S = 3 X 2 X \ X V 2 X 2 X 9 - 2 X V 2 6 = 2 X 6 = 1 2 . numérico de
4o3fe3
. , L paro a = j , b
4 x ) i )5 X 1;\ )3
4q*b» 5cd
5X 2X 3
l
R.
c = 2, d = 3.
4 X 1 X /•
-
30
W 77~ 30
' 81 0 '
R
E JE R C IC IO 11 Itrilla r el v a lo r n u m érico de las expresio n es siguientes para <1 = 3, 12. 3. 4.
3«b. 5«3M c. 0 -m n .
5
7.
tn h rp * .
8.
J o '- 'm - * .
010. 11.
V, 2í e 5. 4m
12.
6.
b = 2. c = S, m = -y, ti -
¡> — 1G.
13.
24mn 2 vV p*
14.
}&*
172»r
F " '
ir».
2w
J \/ñ p P _
IR.
3&e’
f ' í /l 2 o 7 ñ ñ
®
31 ) V A LO R N U M ER IC O DE EX PRESIO N ES CO M PUESTAS
Ejem plos 11)
Hollar el valor numérico do oz — 5ab + 3b3 pora a — 3, b — A. o 2 - 5ob + 3b* = 3* — 5 X 3 X 4 + 3 X 4« = 9 - 6 0 l - 192= U l.
R.
V A lO ll N U M IRICO
•
25
,7 1 u , . . , 3o» Sob b 1 I {¿ ¡ Voior numérico d o -------------- b ----- paro a — 7, b ~ —, x = —. 4 x ox 3 6 3üs
Sob . b x ox
4 m-
........... 4 ¿ = 3 -2 0 -1 -1 = - 1 6 .
10 2X* R.
i
]
E JE R C IC IO 12 H a lla r el valor n u m é ric o d e las exp resio nes siguientes para a — 3, b = 4. c = -ai , ab + ti
ae d
ti — 2] .
m — 0, n
bd ni
a- — 2ab -1- b~.
7.
c2 + 2c d +
8.
v 'b -f V n -1- vBrñ.
14.
0.
e
IfS.
a b — Iti' c m c —•-1- 2 d « á> b2 m~ — —•{. ■i■ 3 2 6 '
10.
—c + '¿d. r. — —b a
12.
11.
13.
— d V ÍO b- 4 -« v'fid".
m* d» ‘ 4 «*
4 4d-
rrj 1G« 2
2
+
«4 b b+m c d b - a , m —b , , -------- + — —-4 - óa. TI d 12
16.
3d»
_ _1_ — «'
17. 18.
2
m
*d ^
V 5F + ^ _ 3 VW + V2d
6 '/Ü c-I-'/H í/
2 I 2 Va*b* 3V 24^ --------------- h ~ ......... — — a 3 4
( 3 1 Volor numérico do 2(2a — b) |x 2 + y) - lo2 + b) |ü —o) paro a - 2 . b = 3 , x - 4, y - y .
las operaciones indicadas dentro do Jos paréntesis deben efectuarse onfes que , ninguna olio, o s ! :
/
2(2o — b ) = 2 X |2 X 2 — 3) = 2 X |4 — 3 | = 2 • I , i , i i x ' 4- y — 4 • + ” — 16 + — 16— 03 + b = 7a 4- 3 = 4 »• 3 = 7 6 — o = 3 —2 = 1
Tendremos: 2(2o — b ||x a + yj — (o5 4- b |< b —o) = 2 X 16— — 7 X 1 = 2 x ” - 7 = 33 — 7 = 2 6 E JE R C IC IO 13 H a lla r e l v a lo r n u m érico de las expresiones siguientes p a ra « = 1. b = 2, c — 3. d = 4 . m = * , 1
(a+b)t.—d.
2
!')
II = y ,
p —
, x = 0.
(-|;/i-iS p)((7--|-//-X C ri-d ).
»
0. ( c - b ) ( d - c ) ( b - a) ( m - p ) . 7. b 3(c -fr/)-« -(n H -» )4 -2 x . 8 2 m x + 6 (b 1+ c a) - 4 d 3.
1Q 11
+
la.
4 (m ib ) « H fr* — — + ------— a
c*
®
2 6
AIGCIIfcA
(2 rn + 3 M + lp )(8 /;+ b « -4 n í)(!)« + 2 0 p ).
10 .
3
c3(m +n)--<í2(m +p)+¿>i{w4-p). , v^T d7
2
(4 p + 2 ¿» )(l8 n -2 -4 p )+ 2 (8 m + 2 )(4 0 p + a). d . 2 a+T 54— -
& v ____
d -b p» ( ü + ¿ ) ) \ / ? > 8Í —m v/tt7. ( —
V 6ñ \ + —
2{b—a)
2V S5
( ----------------+ — — ) " * • V a y fd '
, Va+c
cdnp
VG aU c
20 .
•
x
2, 21.
23
+ 3(a+ ¿»)(2a+ 36) „
+ ( i
+ l
)-K c 4 -rf> V > .
24.
) ( i
4
) +
( i
+
¿ ) :
(2»n+3n)(4p4-2e)—4m*n*. b * --£
,.
abe
3 2 tib —m
ti b —tn
(32 32 ) E JER C IC IO S SOBRE N O T A C IO N ALGEBRAICA C o n Jas c a n tid a d e s a lg e b ra ic a s , r e p r e s e n ta d a s p o r le tra s, p u e d e n h a c e rse las m ism a s o p e ra c io n e s q u e c o n los n ú m e r o s a r itm é tic o s . C o m o la re p re s e n ta c ió n d e c a n tid a d e s p o r m e d io d e s ím b o lo s o le tra s s u e le o fre c e r d if ic u lta d e s a los a lu m n o s , o fre c e m o s a c o n tin u a c ió n a lg u n o s e je m p lo s.
Ejem plos I ¡ ) Escríbase la suma del cuadrado d e a con el cubo a 2 4- b3. R.
de
b.
12)
Un hombre tenío Sa; después recibió $8 y después pagó una ¿Cuánto le quedo? Teniendo $o recibió $8 luego tenía S |a 4- 8). Si entonces gasta $ { a 4 - 8 - c |. R. ( 3 ) Compré 3 libros a $a coda uno; ó sombreros a $b coda uno y coda uno. ¿Cuánto he gastado? 3 libros o $a importan $3a. 6 sombreros a $b importan $ób. m trajes a $x importan Jrox. Luego el gasto totol ba sido de $<3o 4- á b 4- n>x). R. (4 ) Compro x libros iguales por $m. ¿Cuánto me ha costado cada Cada libro lia costado
x
.
cuenta
de
$c.
Se le quedon ni trajes a $*
uno?
R.
( 5 ) Tenía $9 y gaste $x. ¿Cuánto me quedo? Me quodon $(9 — x). R. E JE R C IC IO '.!
14
lúicrlbata la sum a tic a, b y m . Escríbase la sum a del c u a d ra d o «le m , cia d e x.
el c u b o «le b y la c u a rta p o te n
N O TA C IO N A L C U IR A IC A
3.
•i. 6. 7 B 9. 10. !112. i3 1415 16. 17. 13. 19
2) 22 23
27 2
1
•
27
S ie n d o a u n n ú m e ro e n te ro , escríbanse los dos n ú m e ro s en tero s conse cu tiv o s jxistcriorcs a a. S iendo x u n n ú m e ro e n te ro , escríbanse los dos n ú m e ro s consecutivos a n te rio re s a x. S ie n d o y u n n ú m e ro e n te ro p a r, escríbanse los tres n ú m ero s p aics con sccutivos p o sterio res a y. P ed ro te n ía $«. co b ró Sx y le re g a la ro n $m . ¿ C u á n to tie n e Pedro? Escríbase la d iferen cia e n tre m y ti. D e b ía x bolívares y p ag u é G. ¿ C u án to d e b o ahora? D e u n a jo rn a d a d e x K m . ya se h a n rec o rrid o m Km. ¿ C u án to (alta p o r an d ar? R ecib o $x y desp u és Ja . Si gasto $m , ¿ cu án to m e q u ed a ? T e n g o q u e re c o rre r m Km. El lu n es a n d o a Km., el m artes b Km y el m iércoles c Km . ¿C u án to m e fa lta p o r andar? Al ven d er u n a casa en $ n g a n o $300. ¿C uánto m e costó la casa? Si h a n tra n sc u rrid o x d ía s d e u n a ñ o . ¿cuántos días fa lta n p o r transcurrir? Si u n so u jh icro cuesta So, ¿cu án to im p o rta rá n 8 som breros; 15 som bre ros; m som breros? Escríbase la sum a de! d u p lo d e a con e l trip lo d e b y la m ita d d e c. JExpresar la su p erficie d e u n a sala re c tan g u la r q u e m id e a m . d e largo y b ni. d e aneno. li n a ex ten sió n re c ta n g u la r de 23 m. d e la ig o m ide n m . d e ancho. Ex p re sa r su superficie. ¿C uál será la su p erficie d e u n c u a d ra d o de x m . de lado? Si u n so m b rero cuesta So y u n tra je %b, ¿cuánto im p o rta rá n 3 sóm brelos y G trajes?, ¿x som breros y ni tr a jo ? Escribase el p ro d u c to de a + b p o r x + y. V endo (x + 6) tra je s a $8 cada u n o . ¿C u án to im p o rta la venta? C o m p ro (« —8) caballos a ( x + 4 ) bolívares cada u n o . ¿C u án to im|Kirt.i la com pra? Si x lápices cu estan 75 sucres; ¿cuánto cuesta u n lápiz? Si p o r j a co m p ro m kilos de azúcar, ¿cu án to im p o rta u n kilo? Se co m p ra n (n - 1) caballos p o r 3000 colones. ¿C u á n to im p o rta cada caballo? C o m p ré a som breros p o r x soles. ¿A cóm o h a b ría sa lid o cada so m b rcio si h u b ie ra c o m p rad o 3 m enos p o r e l m ism o precio? 1.a su p erficie de u n ca m p o re c ta n g u la r es m m.* y e l larg o m ide M m E x p resar el ancho. Si m i tre n lia re c o rrid o x + 1 Km. en a horas, ¿cuál es su velocidad por hora? T e n ía $« y cobré 5b. Si el d in e ro q u e tengo lo em p le o to d o en com prar ( m — 2) libros, ¿a có m o sale cada libro? I.n el piso b ajo de u n h o tel hay x h abitaciones. En el se g u n d o p iso hay d o b le n ú m ero d e h a b itacio n es q u e e n el p rim ero ; e n el te rce ro la m ita d d e las q u e hay e n el p rim ero . ¿C uántas h ab itacio n es tie n e el hotel? P ed ro tien e a sucres; J u a n tie n e la tercera p a rte d e lo d e P edro; E n riq u e la c u a rta p a rte d e l d u p lo do lo d e Pedro. La su m a d e lo q u e tie n en los tres es m en o r cpic 1000 sucres. ¿C u án to falta a esta su m a para ser ig u al a 1000 sucres?
28 •
A t e t a KA
N O TA S SOBRE EL C O N C EP TO DE N UM ERO E l con cep to d e n ú m e ro n a tu ra l (véase A ritm ética T eórico-P ráctica, 33). q u e satisface las exigencias de la A ritm ética ele m e n ta l n o resp o n d e a la gene ralización y ab stracció n características de la o p e ra to ria algebraica. E n A lgebra se d esarro lla u n cálcu lo d e validez g en eral a p lica b le a cual q u ie r lifw» especial d e n ú m ero . C on v ien e p u es, co n siderar cóm o se h a am p liad o el cam p o de los n ú m ero s p o r Ja in tro d u c c ió n «le nuevos entes, q u e satisfacen las leyes q u e re g u la n las operaciones fu n d am en tales, ya q u e . com o verem os m ás ad e la n te , el n ú m e ro n a tu ra l (1) n o n os sirve p a ra e fec tu ar la resta y la división e n lodos los casos. Baste p o r el m om ento, d a d o el nivel m atem ático q u e alcanzarem os a lo larg o de este tex to , ex p licar cóm o se h a llegado al co n cep to de n ú m e ro real. P a ra h acer m ás com p ren sib le la am p liació n d el cam p o de los núm eros, ad o p tarem o s u n d o b le criterio . P or u n lado, u n criterio h istórico q u e nos haga conocer la g ra d u a l a p a ric ió n de las d is tin ta s clases d e n ú m eros; p o r o lio , un crite rio in tu itiv o n u e nos p o n g a de m a n ifie sto cóm o ciertas necesidades m a te riales h a n o b lig a d o a Jos m atem áticos a in tro d u c ir nuevos en tes num éricos. Este d o b le c rite rio , ju stificab le p o r la ín d o le d id áctica de este lib ro , |> ennitirá a) p rin c ip ia n te a lcan zar u n a com p ren sió n clara d el co n cep to form al (abstracto) de los nú m ero s reales. EL N U M ERO
EN TERO
Y
E L N U M E R O F R A C C IO N A R IO
M u c h o a n te s d e q u e los griegos (E n d o x io , Euclides. A polonio, etc.) re a lizaran la sistem atización de los co nocim ientos m atem áticos, los b abilonios (según m u e stra n las ta b lilla s cuneiform es q u e d a ta n d e 20001800 A .C .) y los egipcios (com o se ve en el p a p iro de R h in d ) conocían las fracciones. I.a necesidad d e m ed ir m agnitudes; c o n tin u a s tales com o Ja lo n g itu d , el volum en, e) peso, etc., llev ó a l h o m b re a in tro d u c ir los n ú m e ro s fraccionarios. C u a n d o tom am os u n a u n id a d c u a lq u ie ra , p o r ejem plo, la vara, para m e d ir u n a m a g n itu d c o n tin u a (m a g n itu d escalar o lineal), p u ed e o c u rrir u n a d e estas dos cosas: q u e la u n id a d esté c o n te n id a u n n ú m e ro e n te ro de veces, o q u e n o esté c o n te n id a u n n ú m ero e n te ro d e veces. í?) En el p rim e r caso, represen tam o s el re su lta d o d e la m edición con u n n ú m ero en tero . .E n el se g u n d o caso, te n d rem o s q u e fraccio n ar la u n id a d elegida e n dos, en tres, o en c u a tro p a rte s iguales; d e este m odo, h allarem o s u n a fracción de la u n id a d «pie este co n ten id a en la m ag n itu d q u e tra ta m o s d e m ed ir. E l re su lta d o d e esta ú ltim a m edición lo expresam os con u n j>ar d e n ú m ero s en teros, distin to s de cero, llam ad o s respectivam ente n u m e ra d o r y d e n o m in ad o r. El d en o m in a d o r nos d a rá el n ú m e ro de p artes en q u e hem os d iv id id o la u n id a d , y el num e rad o r, el n ú m e ro «le su b u n id ad es co n ten id as e n la m a g n itu d q u e acabam os de m e d ir. S u rg en d e este m o d o los n ú m e ro s fraccionarios. Son nú m ero s fra c cio n ario s 1/ 2, 1 /3 . 3 /5 . etc.
11)
P . I - <1. D ir k h lc t (alem án. IDOf,-!&&!>), h a sostenido q u e n o e s necesariam ente indiste a m p lia r el m n e e p to «le n ú m e ro n a tu ra l, ya «pie —según ¿I cu alq u ier p rin cip io iíc la m ás a lta m atem ática p u e d e dem ostrarse p o r m edio d e loa nútttCiOS natu rales. ( 2) E n la p ráctica y h a b la n d o to n rigor, n in g u n a m edida resulta exacta, e n ra tó n de lo ¡ui|K-tfcctn d e nu estro s instrum ento* d e m edida y d r nuestros sentido».
K O fA S l o s a c tL CONCEPTO D I NUMCRO
•
29
T odciuos d e c ir ta m b ié n , q u e son n ú m e ro s fraccionarios los q u e nos per tniu.ni ex p re sa r el co cien te d e u n a d iv isió n inexacta, o lo q u e es lo mismo, una división e n la cual el d iv id e n d o n o es m ú ltip lo d el divisor. C o m o se ve, en o|Kisición a los n úm eros fraccionarios tenem os los n ú m eros en tero s, q u e pod em o s d e fin ir com o a q u ello s q u e e x p re sa n el cociente d e u n a división exacta, com o p o r ejem p lo , ] , 2 . 2. etc. 5 |j ¡ _ 0 1 E L H U M ERO
R A C IO N A L Y
8 1 -I 0 2
EL N U M ERO
6 + 2 = 3.
IR R A C I O N A L
S ig u ie n d o el o rd e n h istó ric o q u e n os hem os trazado, vam os a ver ah ina c u á n d o y cóm o su rg iero n los n ú m ero s irracionales. lis in d u d a b le q u e fu e ro n los grieg o s q u ien e s conocieron p rim e ro los n ú m eros irracionales, i.os h isto riad o res d e la m atem ática, están el»? acuerdo en a tr ib u ir a l’itág o ras d e Santos (540 A .C .), el d escu b rim ien to d e estos núm eros, a) estab lecer la relación e n tre el lad o de u n cu ad rad o y la d iag o n al d el mismo, Más ta rd e , T e o d o ro d e C ire n e (400 A .C .). m atem ático de la escuela p ita g ó rica, d em o stró g eo m étricam en te cpic s/5T v i? , Vfi. VTT etc., so n irracionales Ene lides (300 A .C .). e s tu d ió e n el I.ib ro X d e sus ■'Elementos'*, cierta» m ag n itu d es q u e al ser m ed id as n o en c o n tra m o s n in g ú n n ú m e ro e n te ro ni fraccio n ario q u e las exprese. Estas m a g n itu d e s se llam an inconm ensurables, v los n ú m ero s q u e se o rig in a n 3l m edir ta le s m ag n itu d es se llam an irracionales. - * Ejem plos de: tales m ag n itu d es son la relació n del Jado de u n c u a d ra d o con la d ia g o n a l del m isino, q u e se expresa con el n ú m e ro irrac io n al s/ñ* > >■'. y la relación de la circu n feren cia, al d iá m e tro q u e se ex p resa con la leti.i t: = 3 .1 4 1 5 9 2 -.. riGUIA i
C =
circunferencia
D = diámetro
dA /a'+b'
- g . = 7Y = 3 .1 4 1 5 9 .
( ¡) Al ex p o n er siu c m itic am e n cc Iro ni'nncros irax io fialcs. E u d itle t los llam ó aiy m m eiio i, i-.i ra d o n ale* los llam ó syntinclroa, p a la b ras «pie á g n if k n n sin m ed id a y « m i m edida, i'.u.i u-úulur el l i« l m d e <|uc t a ta n d m c m i (los irracionales) n o te n ía n expresión los designaba ,-in l.i s o r alngoi. llo c o » (<75-55-1 n . C.). a l «r.idurir e m p le ó c o m m c n tm a b ilit e lueom m cn•uiabllU Sin enilstrgo. C e ñ u d o d e C reinona <11111187). e n u n a trad u cció n d e u n com entarlo Arabe su b te E u rlid o . m ilitó e rró n e a m e n te r.itio iu lis c irracio n alu , ni lo m a r lo ro s y ¿dugos in m ii ta ró n v n o e n U acepción d e p a U b m (v c ih u m ), Ufada |w r E u d id e s. Elle e rro r «e d ifu n d ió u lo lam o «le «oda la E dad M edia, prevaleciendo e n n u e stras din» el n o m b re de n ib iirro t irracionales.
3 0
•
ALCCOKA
C om o consecuencia de la in tro d u c c ió n d e los núm eros irracionales, con sideram os racio n ales el c o n ju n to de los n úm eros fraccionarios y el co n ju n to d e los nú m ero s enteros. D efinim os el n ú m e ro racio n al com o aq uel n úm ero q u e p u ed e expresarse com o cociente de dos enteros. Y el n ú m e ro irracio n al corno aq u el n ú m e ro re a l q u e n o p u ed e expresarse co m o e l cociente d e dos enteros. L lam am os n ú m e ro r e d e s al c o n ju n to de los núm eros racionales c irra cionales. L O S N U M E R O S P O S IT IV O S Y
N E G A T IV O S
J jOí n úm eros negativos n o fu e ro n conocidos p o r los m atem áticos de la a n tig ü e d a d , salvo e n el caso de D io fan to (siglo I I I D .C.?), q u e en su A ritm ética, a l e x p lic a r e l p ro d u c to d e dos diferencias, in tro d u c e u n n ú m ero co n sig n o + . En el siglo V I, los h in d ú e s B raliraag u p ia y B háskara usan los núm eros negativos d e u n m o d o p ráctico , sin llegar a d a r u n a d e fin ició n d e ellos. D u ra n te la E d a d M edia y el R en a c im ie n to los m atem ático s reh u y e ro n usar los nú m ero s negativos, y fue N cw to n el p rim e ro e n c o m p ren d er la v erdadera n atu rale za de esto» núm ero s. P o sterio rm en te H a tr io l (1560-1G21) in tro d u jo los signos I y — p ara caracterizar los n ú m e ro s positivos y negativos. L a significación d e los n úm eros relativos o con signos (positivos y nega tivos) se co m p ren d e claram en te, c u a n d o los utilizam os p a ra re p re se n ta r el resu ltad o de m e d ir m a g n itu d e s relativas, es decir, m ag n itu d es cuyas cantidades p u e d en tom arse e n sentidos opuestos, tal corno sucede c u a n d o tra ta m o s de m ed ir In lo n g itu d geográfica de u n a reg ió n d e te rm in a d a ; o de ex p resar el g rad o d e te m p e ra tu ra de u n lu g a r d ad o . E n el p rim e r caso, podem os h a b la r de lo n g itu d este u oeste to n re s |« c to a u n m e rid ia n o fija d o a rb itra ria m e n te (G reenw ich). E n el segundo caso, podem os referirn o s a grados sobre cero o grados b a jo cero. C o n v c n d o n a lm c n tc fijam os los nú m ero s positivos o con signo -f e n u n a d irecció n , y los n úm eros negativos o c o n signo —, e n la d ilec ción opuesta. Si sobre u n a sem irrecta fijam os u n p u n to cero, a p a rtir del cual, h acia la derecha, señalam os p u n to s q u e re p re se n ta n u n a d e te rm in a d a u n id a d , nos re su lta n los p u n to 3 A, B, G, etc. Si sobre esa m ism a sem irrecta, a p a rtir «leí p u n to cero (llam ad o o rigen), procedem os del m ism o m o d o hacia la izq u ierd a, te n d re m os los p u n to s a, 1), c, etc. Si convenim os e n q u e los p u m o s d e la sem irrecta in d i cados a la d erech a del p u n to cero rep resen tan n ú m ero s positivos (A. B, C . etc.); los p u n to s señalados a la izq u ierd a (a, b , c. etc.), rep re se n ta rán nú m ero s negativos.
...c 3
b - 2
a - 1
|
*
0
-1 -1
? I 2
| -----i- 3
H istó ricam en te, los n ú m e ro s negativos surgen p a ra h acer p o sib le la resta e n to d o s los casos. D e este m odo, la resta se co nvierte e n u n a o p eració n in v ersa de la sum a, y se hace p o sib le restarle a u n m in u en d o m en o r u n su strae n d o m ayor.
NOTAS SOBRE EL C0NC4HO OE HUMERO
0
3)
L a s n ú m ero s y los sím bolos literales negativos se d istin g u e n p o r el signo — <|iio llev an an tep u esto . L os n ú m e ro s positivos y su rep resen tació n lite ra l llevan el signo -I-, siem p re q u e n o in icien u n a ex p resió n algebraica. F.l n ú m e ro cero. C u a n d o tra ta m o s d e a p re h e n d e r el c o n c ep to tic n ú m ero n a tu ra l, vem os cómo éste surge de la co m p aració n de c o n ju n to s equivalentes i. co o n lin ab les e n tre si. P or ex ten sió n llam am os c o n ju n to al epte tie n e u n solo elem en to y q u e se rep résen la p o r el n ú m e r o '1. A hora, co n sideram os el n ú m e ro cero ro m o c x p rc s ió n 'd c u n c o n ju n to n u lo o vacío, es d ecir, u n c o n ju n to q u e carece de elem entos. P or o tr a p a rte , el cero rep resen ta u n ele m en to de sep a ra ció n e n tre los núm eros negativos y positivos, d e m o d o q u e el cero es m ay o r q u e cualquier n ú m e ro n eg ativ o y m en o r q u e c u a lq u ie r n ú m e ro positivo. El sig u ien te d ia g ra m a nos a c la ra rá las d istin tas clases d e núm eros con lo\ m a le s vam os a tra b a ja r: NUMEROS KKAI.F.S
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^
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Irra cio n a le s
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Itn tao u a k z
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lu i'C li/ ü .iil '11
FO H M A t.E S O E L A S O P E R A C IO N E S F U N D A M E N T A L E S N U M ERO S R EA LES
Memos visto su m a ria m e n te cóm o a través del curso de la h isto ria de las m. i tem áticas, se ha ¡do a m p lia n d o sucesivam ente el cam po de los núm eros, h.nt.i llegar al con cep to do n ú m e ro real. F.l cam in o re c o rrid o h a sido, u n a i c e s , el geom étrico, q u e siem p re desem boca en í a A ritm é tic a p u ra , form al; olí u veces, el cam ino p u ro , form al h a in ic ia d o e l re co rrid o p a ra desemboca» ■o lo in tu itiv o , e n lo geom étrico. C om o ejem p lo s de! p rim e r caso, tenem os lio n úm eros ¡n acio n ales, in tro d u c id o s com o razón de dos segm entos con el i o •»|>ósiio d e re p re se n ta r m ag n itu d es inco n m ensurables, y q u e hacen posible l.i expresión d e l re su lta d o d e la rad icació n in ex acta. Y ta m b ié n , los núm eros ii.u d o n a » io s q u e su rg en p a ra ex p re sa r el re su ltad o d e m e d ir m ag n itu d e s con MKTiairables. y q u e hacen p o sib le Ja división inexacta. C om o e jem p lo del Hj'.uudo caso, están los n úm eros negativos q u e aparecen p o r p rim e ra vez com o i ii« de ecuaciones, y h acen p o sib le la resta e n lodos los casos, ya q u e c u a n d o ■I m in u e n d o es m en o r tjuc el su straen d o esta o p era ció n carece de sen tid o • ii.iiulu tra b a ja m o s con n ú m ero s n atu rales. M ás tard e, estos n ú m ero s negativos . 11 luíivm ) serv irán p a ra ex p re sa r los p u n to s a un o y o tro lad o de u n a recta in d efin id a. Sin p reten sio n es de p ro fu n d iz a r p re m a tu ra m e n te en el ca m p o num érico, unos a e x p o n e r las leves fo rm ales (esto es, q u e n o to m an e n c u e n ta la iiatui ib /.» de los núm eros) d e la su m a y d e la m u ltip lic ac ió n , ya q u e las dem ás opei.o lon rs fu n d am en tales p u ed en exp licarse co m o inversas de éstas, así, la resta,
32
•
AIGLBRA
la div isió n , la p o ten ciació n , la lo g aritm ació n y la rad ica ció n . C o n v ien e ir a d a p ta n d o la m e n ta lid a d d el p rin c ip ia n te al carácter form al (abstracto) d e estas leyes, pues e llo c o n trib u irá a la co m p ren sió n d e los p roblem as q u e u lte rio rm e n te le p la n te a rá n las m a te m á tic a s su p erio res. P or o tr a p arto , e l c o n ju n to de estas leyes fo rm ales c o n s titu irá u n a d c iin ic ió n in d ire c ta d e los nú m ero s reales y de las o p eracio n es fu n d am en tales. E stas leyes q u e n o re q u ie re n d em ostración, pues son d e a p re h e n sió n in m e d ia ta , se lla m a n axiom as. IGUALDAD
A xiom a d e id e n tid a d : a — a. II
A x io m a d e recip ro cid ad : si a = b , tenernos q u e b = a.
ii SUM A
A x io m a d e tra n sitiv id a d : si « = // y b = c, tenem os q u e a — c. O A D IC IO N
i A xiom a d e u n ifo rm id a d : la su m a d e dos n ú m e ro s es siem pre igual, es d ecir, ú n ic a ; asi, si a = b y c — d , ten em o s q u e a + c — b + d . A xiom a d e co m n u taiiv id ad : a + b = b ! 11.
a.
A xiom a d e asociatividad: (fl + b ) I- c — a
(b -I- c).
A xiom a d e id e n tid a d , o m ó d u lo d e la sum a: h a y u n n ú m e ro y sólo u n n ú m e ro , el cero, d e nim io q u e a + O — O + a — a, para c u a lq u ie r valor d e a. D e a h í q u e el cero recib a el n o m b re d e e le m e n to id é n tic o o m ó d u lo d e la sum a. M U L T IP L IC A C IO N
i A xiom a d e u n ifo rm id a d : el p ro d u c to d e dos n ú m e ro s es siem p re igual, es d e c ir, único, asi si a — b y c — d , tenernos «pie ae = bd. A xiom a d e c o n m u ta tiv id a d : a b = bu. A xiom a d e asociatividad: («ó) c — a (be). IV. A xiom a d e d istrib u tiv id a d : ro n respecto a la su m a tenernos q u e a (b I c) = a b + «c. V. A xiom a de id e n tid a d , o m ó d u lo d e l p ro d u cto : hay u n n ú m ero y sólo u n n ú m e ro , el u n o (1). d e m odo q u e a . J ~ / .a = a, p a ra cu a lq u ie r valor de «. V I. A xiom a d e existencia d e l inverso: p a ra to d o n ú m e ro real a ¥ - 0 (a d istin to d e cero) co rresp o n d e u n n ú m e ro real, y só lo u n o . x . d e m o d o q u e ox = / . Este n ú m e ro x se llam a inverso o recíp ro co d e a, y se rep resen ta p o r 1/a. A X IO M A S D E O R D E N
T ric o to m ía : Si tenem os d os n ú m ero s reales a y b só lo pued e h a b e r u n a relación, y sólo u n a , e n tre atnliov, q u e a > b; a — b o a < b. 11.
M o n o to n ía d e la sum a: si a > b tenem os q u e a + c > b + c. M o n o to n ía d e la m u ltip licació n : si a > b y c > 0 tenem os q u e ac > be.
MOTAS SOBRE EL CONCERTO O t NUMIRO
A X IO M A
•
33
D E C O N T IN U ID A D
I Si n ú m e ro d e n .il c co n d e n tro d e l
ten em o s d os c o n ju n to s d e n ú m e ro s reales A y B, «le m o d o q u e lodo A es m e n o r q u e c u a lq u ie r n ú m e ro d e B, e x istirá siem p re u n n ú m ero el q u e se v e rifiq u e a ¿ c ¿ b. e n q u e «i es u n n ú m e ro q u e está c o n ju n to A, y b es u n n ú m e ro q u e está d e n tro d el c o n ju n to B,
O I’E R A C IO N E S F U N D A M E N T A L E S
CON
L O S N U M E R O S R E L A T IV O S
SU M A DE N U M ERO S R E L A T IV O S
F.n la sum a o ad ició n d e n ú m e ro s relativos po d em o s considerar c u a tro «aros: su m a r d o s n ú m ero s positivos; su m a r dos núm eros negativos; sum ar u n positivo c o n o tro negativo, y su m a r el cero con u n n ú m ero p o sitiv o o negativo. I)
Sum a d e d o ; n ú m e ro s positivos
R eg la P a ra su m a r tíos n úm eros positivos se procede a la su m a a ritm é tic a «le los valores al « o lm o s d e am bos núm eros, y a l M aullado o b te n id o se le a n te p o n e e l sig n o I . Asi tunem os:
(-f 4) -r ( I '.?) ,
Podem os re p re se n ta r la su m a d e dos n ú m ero s positivos del sig u ien te m odo:
>6
• 41
O h i
z
-«■2-
- 3 x 4 + 5
6
7
FIGU RA 2
2 ) Surna d e «los m u ñ eren negativos R egla P ara su m a r dos n ú m ero s negativos se procede a la su m a u ritm é tic a «le los valores absolutos d e am bos, y al resultarlo o b te n id o se le a n te p o n e el signo —- Así leñem os:
(— 4) I ( ~ '-*)
Podem os re p re se n ta r la sum a d e dos núm eros negativos d e l siguiente m odo:
3
2
1
FIGU RA 1
0
-1
- 2
* 3 * 4
O
ALGEBRA
.S) Su iii :i «Jo un munero positivo y «lio negativo R egla Para su m a r u n n ú m e ro positivo y u n n ú m e ro negativo procede a h a lla r la «lifcrencia aritm ética d e los valores «lutos «le am bos nú m ero s, y al resultado o b te n id o se le '•pone el sig n o del n ú m e ro m ayor. C u an d o los d os mímeticnen igual v a lo r a b so lu to y signos distin to s la sum a es Z i. Asi tenem os: ______________________ 1_________
6) + (— 6) + (-« ) + <+G) +
(— 2) = (•!• 2) = (+ 0 ) = (-G ) = i
Podem os re p re se n ta r la su m a de u n n ú m e ro positivo y o tto negativo de siguientes m odos: R ep resen tació n g ráfica d e la sum a de u n n ú m e ro positivo y u n n ú m e ro jativo, en q u e el n ú m e ro positivo tien e m ayor v a lo r ab so lu to q u e el negativo: ,4 -
-3
-2
-I
0
*1
-2
.3
*4
□
FI GURA 4
R epresentació n g ráfica d e la sum a de u n n ú m e ro positivo y u n n úm ero g ativo, e n q u e el n ú m e ro n egativo tie n e m ay o r valor ab so lu to q u e el ¡«ositivo: -4 - 6
fe-
-. 24.
0
3
Vi
>¡ i *?
« 3
FI GURA S
R ep re sen ta c ió n g ráfica d e la su m a de u n n ú m e ro positivo y u n n ú m e ro ¡vo, e n q u e el valo r ab so lu to «le am bos n úm eros es igual. egattvo, ♦ 6 6
5
4
- 3
2
-1
»■
-------------------o---------------------i
I
’i
+ D-
FI GURA 6
,*2
+3
+ T
/s
tT
+ I —4 0 0
NOTAS SOIIRI IL CONCEPTO OE NUMERO 4)
• 35
Sum a d e cero y u n n ú m e ro p o sitiv o o negativo
R egla La sum a d e cero con c u a lq u ie r n ú m e ro positivo o neg ativ o nos d a rá el m ism o n ú m e ro positivo o negativo. . . As. te n e m o s :
<+4) + 0 = + 4 > ( - 4> + 0 = - 4
E n g en eral: -------------------- # « + ü = <) + « = « E n q u e a p u ed e ser positivo, n egativo o nulo. SU ST R A C C IO N DC N UM EROS R E LA T IV O S
L lam am os o p u esto de u n n ú m e ro al m ism o n ú m e ro con signo co n tra rio . Así, decim os q u e ni es o p u esto d e + m . Ya vim os en u n caso d e la sum a q u e : ________________________ T '
(í- m ) -I (— m ) - ti
l a sustracción es u n a o p e ra c ió n inversa de la sum a q u e consiste en h a lla r u n n ú m e ro x (lla m a d o d iferencia), tal q u e, su m ad o con u n n ú m e ro d a d o ni, d é u n re su lta d o igual a o tro n ú m ero ti. de m o d o q u e se v e r i f i q u e : _________________________ L lam a n d o itt‘ al o p u esto d e m , podem os d e te rm in a r la d ifere n c ia x , su m a n d o en nnihos m iem bro* d e la ig u ald ad (1), el n ú m ero ni'; en erecto: _________
_
,_ , x + m + m —n + m /*
Si observam os el p rim e r m ie m b ro d e esta ig u ald a d (2), velem os q u e a p lic a n d o el a x io m a de asociatividad tenernos: m -I n i' ~ 0, y com o x + 0 = x . ten d rem o s: _ _________________ Z1
x = n + rn'
(-) (.1)
q u e es lo q u e q u eríam o s d em o strar, es d ecir, q u e p a ra h a lla r la diferencia c n lie m y ni b a sta su m arle a n el o p u esto de tn (m r). Y com o hem os visto q u e para h a lla r el o p u esto d e u n n ú m e ro b asta c a m b iarle el signo, po d em o s e n u n c ia r la sig u ien te R egla P a ra h a lla r la d iferen cia e n tre dos n ú m eros relativos se sum a al m in u e n d o el susii.m id o , cam b iá n d o le el signo. A sí:__________________ /*
SU ST R A C C IO N DE N U M ERO S R E L A T IV O S
P or m ed io d e la in te rp re ta c ió n g eo m étrica d e la sustracción d e núm eros 'd a tiv o * , pod em o s exp resar la d ista n c ia , e n u n id ad es, q u e h a y e n tre el p u n to ipii rrp ic s c n ta al m in tien d o y el p u n to q u e rep re sen ta a l su straen d o , así como • I u-ntido (n eg ativ o o positivo) d e esa d istan cia.
6 #
ALGEBRA
l*;ira e x p re sa r la d iferen cia ( + 4 ) — (—8) = + 12, tendrem os:
---------------------------------------- •* 12---------------------------- ;---------- M . e
- 7
- 6 - 5 - 4 - 3 -2
-1
0
M
- 2 ‘ 3
* 4
FIGURA 7
P ara ex p re sa r la d ife re n c ia { - 8} —( + 4 ) = — 12, tendrem os:
* ---------------------------------------- n ---------------------------------------- i ■
T »
•
1'7
-6
-4
-3
-2
- 1
0
*1
Tj
n
*4 *
FIGURA 5
M ULTIPLIC A C IO N OH N U M ER O S RELATIVOS
R egla £1 p ro d u c to de dos n úm eros relativos se h a lla m u ltip lic a n d o los valores ibsolm os «le a m b o s El p ro d u c to h a lla d o llev ará signo positivo ( + ) , si los ágnos d e a m b o s factores son iguales; llev ará signo n egativo (—). si los (ac unes tie n e n signos d istin to s. Si u n o d e los factores es o el p ro d u c to será U. C u a n d o ojx:ram os con sím bolos literales el p ro d u c to es siem p re in d icad o , b ien e n la ‘orina a X b \ b ien e n la fo rm a n . l>; y m ás asn alm en te ab. Asi: l.l sig u ien te c u a d ro es u n m edio d e reCordal fácilm en te la ley d e los signos e n la m u ltiplicación d e los n ú m ero s relativos. _ /
( -I- 2) (1-3) = I t» ( _ <¿i ( —3) = + (i i + 2 } ( —3»= — 6
{f(i ( 1 3 ) = ü ( 0) ( — 3) = í | 0 0=11
( — 2) ( + 3 > = - 6 I- p o r • «la + — p o r — «la I
+ por da — p o r -I da —
U riH IS E N T A C IO N G R A FIC A DEL PROD U CTO D t DOS N U M IH O I RELATIVOS
I'l p ro d u c to d e dos u ú m eio s relativos p u ed e expresarse geom étricam ente como el área «le u n rectán g u lo cuyo larg o y cuyo an ch o vienen dados p o r amitos núm eros. A esta á re a poelemov a trib u irle u n valor p o sitiv o o negativo,
«.•OTAS SO B R E r t
CONW FTO
D t M U M tR O
•
37
según q u e sus lados te n g a n valores d e u n m ism o sen tid o o d e sentidos dis tin to s respectivam ente.
ru 1 -------
> F IG U R A 9
F O T IH C IA D t H UM ERO S R E LA T IV O S
L lam am o s poten cia de u n n ú m e ro re la tiv o a l p ro d u c to ilp lo m a rlo co m o factor ta n ta s veces com o se q u iera. Si a m i n ú m e ro re la tiv o c u a lq u ie ra y n > 1 es u n n ú m ero Matinal, ten d rem o s la n o tació n nn, q u e se le e a elevado a la «ni lim a |> otcntia. <• indica u u e a d eb e lo m arse com o facto r n vrtc». A s i : _________________________________________________ y
a* = a . a . a .................
Kn la n o tació n a ' — x , llam am os p o te n c ia al p ro d u c to x , base al in iiiirio q u e tom am os com o fa c to r a. y e x p o n en to a n , q u e nos indica 11» w « r, q u e emos to m a r com o facto r a a. A la o p eración d e h a lla r ■l |.in d o c to x , la llam am os p o te n c ia c ió n o elevación a potencia.
1J
Ejemplo:________ 1 ii este ejem p lo , 4 es la base; 5 es el ex p o n en to , y 1024 es la potencia. R eglo I .i p o te n c ia d e u n n u m e r o p o s itiv o s ie m p r e es p o s itiv a . La po!• ni la d e u n n ú m e r o n e g a tiv o s e r á p o s itiv a s i e l e x p o n e n to e s e n te r o ■ p u t n e g a tiv a si el e x p o n e n te e n t e r o e s im p a r . A si:
101!
18 •
ALOlllRA
)D U C T O O I DO S P O T E N C IA S OC IG U A L BASE
Regla P ara m u ltip lic a r d o s p o ten cias d e ig u al base, eleva d ich a base a la poten cia q u e resu lte de la n a «le los ex p o n e n te s icspcctivos. E je m p lo :_________ / ’
a " .o * — u r,,n (3)s (3V* = 3a*4 - 3° - 729
T E N C IA D t U N A P O T E N C IA
R eg la P ara h a lla r la (x n en cia d e u n a p o ten cia se m ui■lican los ex p o líen les y se m a n tie n e la base prim i- ( ( - 23);' “ - 2; ‘* - - A!'5 - (¡ I /a. E je m p lo :________________________________________ / H ay q u e pon er especial c u id a d o e n n o c o n íu n r la po ten cia de u n a jHjtencia, con la elevación d e i n ú m ero a u n a p o ten cia cuyo expolíente. a la v e / té a fec tad o p o r o tr o ex p o líen te. A si, n o es lo m ism o -)8 q u e (•I**).
E jem plo:
, t / ~ /ja*. -
_ 4» — GGí>36
/*
V ISIO N DE N U M ERO S R E L A T IV O S
Ya vim os, al tr a ta r de las leyes fo rm ales de la m u ltip lica ció n , q u e de u crd o co n el ax io m a VI (existencia del inverso), a to d o n ú m e ro real «•/•<), irrcspoiule u n n ú m e ro real, y sólo u n o , x , d e m o d o q u e a x — I; Este nú e ro x se llam a inverso o recip ro co d e <1 . v se rep re se n ta p o r l/ n . El invento «» recip ro co de u n n ú m e ro reíavo c u a lq u ie ra d is tin to de cero tiene su m ism o 1 ^
El inverso j.-| j n v v r w ”, 1:1 m v <:iso El inverso
de ,jt. , de de
-I I es -I- { _ ,j cs _ .
— — v .T c * -I- J es + 2
1 __
l.a d iv isió n es 1111:1 o p eració n inversa d e la m u ltip lic ac ió n q u e consiste 1 h a lla r u n o «le los factores, conocidos el o tr o factor y el p ro d u cto . Es decir, id o el d iv id e n d o d y el divisor d ‘ h a lla r el cociente c, de m o d o q u e se veíi«|ue d ’c — d. R ecordam o s q u e esta o jieración sólo es posible si «/' es d istin to
1 / d ' (d'c) — ( 1 / d ' d ‘) c = ( + l ) c — c
E lim in a n d o q u e d a :
c = 1 /d ' d
De lo cu al d educim os la sig u ien te R egla P ara d iv id ir u n n ú m e ro c u alq u iera d p o r o tro n ú m e ro d istin to «le cero d \ m il ¡p id a m o s d jx>r el reciproco d" (l/« l')- *'■! cociente q u e resulte será positivo i los dos n ú m e ro s son d e l m ism o signo: y neg ativ o , si son d e signos contrarios. C o n el sig u ie n te c u a d ro podem os re c o rd a r fácilm ente la ey de los signos de la división con n ú m ero s relativa*. ___ / "
1 i l L
e n t r e
- f
4la
+
c u n e
—
d a
- 1-
c u t r e
—
tía
—
c u i t e
-E
d a
* +
NOVAS SODIO rt CONCEPTO DE NUMERO
39
A h o ra q u e estudiam os Ja div isió n , podem os e n u n c ia r eres casos «Ir la elevación a p o ten cia d e u n n ú m e ro c u a lq u ie ra . I) Si u n n ú m e ro c u a lq u ie ra
r t"
3"
_____
2) Si u n n ú m e ro c u a lq u ie ra a ¥■ 0, se eleva a u n ex p o n e n te tr " = — neg ativ o c u a lq u ie ra — m es ig u a l al reciproco d e la po ten cia am. de e x p ó rten te positivo. A sí:_____________________________________________ -1 = _ L
3* 3 } L a d iv isió n de d os p o te n c ia s d e ig u al base es igual a la base ele v a d a a la p o ten cia q u e d é la d ife re n cia de am bos exponento s. A sí:__________________ ______________________ '
17— = r t '
3-
= 3 ' 2 - 3*
U N IIO K M ID A D o t LA S O I'tH A C IO N U lU M D A M r N T A ir S CO N N UM EROS R E L A T IV O S
H em os visto e n las o p eracio n es estu d ia d a s, a saber: su m a , resta, m u ltip li cación, p o te n c ia c ió n y d iv isió n , q u e se c u m p le e n to d as ellas el ax io m a de u n ifo rm id a d . Q u iere esto sig n ificar q u e c u a n d o som etem os d o s nú m ero s rela tivos a c u a lq u ie ra d e las o p eracio n es m en cio n ad as, e l re su lta d o es u n o , y sólo u n o , es decir, único. Sin e m b a rg o , c u a n d o extraem os la raía c u a d ra d a d e u n n ú m e ro po sitiv o , tenem os nri re su lta d o d o b le. Pues com o verem os, a l estudiar la e x tracció n d e las raíces, u n n ú m e ro p o sitiv o c u a lq u ie ra siem p re tie n e dos i alees d e g r a d o p a l.u n a p o sitiv a y o tra negativa. A sí:
V f o — ± a'
del m ism o m odo:
v/ + 64 — ± 8
p o rq u e : g (4- rt')3 - (-f a ') <+ a ') = -f a 1 ( - fl')2 = ( - a') <• - a') es 4 a poique: | (+ 8>* = (+ 8) {+ 8) = + (i-1
( - 8 ) - = f - 8 ) { - 8 ) ^ + 64 P O O in iL ID A O
D E A M P L t A t t E L C A M P O N U M E R IC O
Los n úm eros reales n o c ie rra n la p o sib ilid ad de a m p liació n del cam po num érico. T a l p o sib ilid ad se m a n tie n e a b ie rta p a ra la in tro d u c c ió n d e nuevos ru tes, siem p re q u e tales en te s c u m p la n las leyes form ales. D en tro d e los lim ites d r este tex to , el e stu d ia n te to d a v ía se e n fre n ta rá con u n a n u eva am pliación ilrl r.m ip o n u m érico . -Se tra ta del n ú m e ro com plejo, q u e es u n p a r d e núm eros dados e n u n o rd en d e te rm in a d o y q u e e stá c o n stitu id o p o r u n n ú m e ro real y u n n ú m e ro im ag in ario . C o n estos n ú m ero s p odrem os re p re se n ta r u n p u n to ■u a lo m e ra e n el plano. E n el c a p ítu lo X X X II se p re sen ta rá u n a discusión m iplia so b re estos núm eros.
¡EGRA E N E L A N T IG U O E G IP T O < 5 ,0 0 0 -5 0 0 En Eg ip to , m aravilloso pueblo de faraones y os, en co ntram os lo s p rim ero s v e stig io s del de do u n a c ie n c ia m a te m á tica . Sus ex ig en cias vi o le ta l a las p erió d ica s in u n d acio n es d el N ilo,
los llo ra ro n a p erfeccio n ar l a A r lím o t lc j y la Goomotrl». En el p apiro A» R h in d , d ebid o «I «acriba Ab«n** < 1 6 5 0 A . C . I , e l m is valioso y antig uo docum ento m atem ático q u e exalto, se presentan en tre m ú ltip les p roblem as, soluciones d e e cu acio n es do segundo grado.
CAPITULO SUM A ( 3 3 ) LA SU M A O A D IC IO N es u n a o p e ra c ió n q u e tie n e p o r o b je to r e tiñ ir d o s o m á s e x p re s io n e s a lg e b ra ic a s (su m a n d o s) e n u n a so la e x p re sió n a lg e b ra ic a (su m a ). A si, la s u m a d e a y b es « + b , p o i q u e e sta ú ltim a e x p re s ió n es la r e u n ió n d e las d o s e x p r e s io n e s a lg e b ra ic a s d a d a s : a y b. L-a s u m a d e a y - b es « - i r , p o r q u e esta ú ltim a e x p re s ió n es la r e u n ió n d e las d o s e x p re s io n e s d ad as: a y — b. 3 4 ) CA RA C TER GENERAL DE LA SU M A ALGEBRAICA F.n A r itm é tic a , la s u m a s ie m p re s ig n ific a a u m e n to , p e ro e n A lg e b ra la s u m a es u n c o n c e p to m á s g e n e ra l, p u e s p u e d e sig n ific a t a u m e n to o d is m in u c ió n , ya q u e h a y s u m a s a lg e b ra ic a s c o m o la d e l ú ltim o e je m p lo , q u e e q u iv a le a u n a re s ta e n A ritm é tic a . R e s u lta , p u e s , q u e s u m a r u n a c a n tid a d n e g a tiv a e q u iv a le a re s ta r u n a c a n tid a d p o s itiv a d e ig u a l v a lo r a b s o lu to . A sí. la s u m a d e m y — n e s m — n , q u e e q u iv a le a r e s ta r d e m el v a lo r a b s o lu to d e — ti q u e es |n|. L a s u m a d e — 2 x y — '¿y es —2 x —3y , q u e e q u iv a le a re s ta r d e - 2 x el v a lo r a b s o lu to d e - 3y q u e es |3y|. 40
JUX»A
•
4 1
3 5 J R E G L A G EN ER A L PARA SUM AR P a r a s u m a r d o s o m á s e x p r e s io n e s a lg e b r a ic a s se e s c rib e n u n a s a c o n tin u a c ió n d e la s o tra s c o n su s p r o p io s sig n o s y se r e d u c e n lo s té rm in o s s e m e ja n te s s i los h a y . t.
SUM A ))
DE M O N O M IO S
S u m a r ¡5fl, 6 b y Be.
L o s e s c rib irn o s u n o s a c o n tin u a c ió n d e o tr o s c o n su s 5 a '+ 6 b + be, p ro p io s sig n o s, y c o m o w=+Z>a, G b = + 6 b y B c = + 8c la s u m a s e r á : / 1 E l o r d e n d e los s u m a n d o s n o a lte r a la s u m a . m is m o q u e 5a I- 8c 4- 6b o q u e 8 b — 8c + 5a.
A si, 5a t- (ib I- Se es lo
E s ta e s la L e y C o n m u ta tiv a d e la s u m a . '!) S u m a r 3a ¿b , 4a b a, tr b , 7ab2 y fibs. T e n d re m o s:
:ia-h l -ia b - -l- a-b -I- la b " + 6b 3.
R e d u c ie n d o los té r m in o s tc m e ja n te s , q u e d a : __________________________________
-la^b + l l a b 11-I-Ob1. /
:) S u m a r 5 a y — 2b . C u a n d o a lg ú n s u m a n d o es n e g a tiv o , s u e le in c lu irs e d e n tr o d e u n p a ré n te s is [rara in d ic a r la s u m a ; a si: L.a s u m a será:
3 a -2 b .
__ /
R.
) S u m a la , — 5b , — 15«, Ob, — 'le y &. P e n d re m o s : 8b ) + { - 15fl)+ ítb -I- { - 4 c ) + 8 - 7« - 8 b - 1 5a • » - Í J Í ~ < f c 4 - 8 - - 8 tH - b — f c + 8.
I
) S u m a r .^a2, {ma b , — 2 b 1, - -I a bd , {á*, - -Db 2. «• + {a b + ( - 2 b 3) + ( - *«b) -r {a - -t ( - | 6 2) = .1rfl3 + 2-.ab - 2 b 2 - -a b + V 2 - - b * ~ a - - -a b - “ b 3. 15
LB.
- l l m , 8m. <1ab , 15
17.
i» ' r°-
II. 12. 13. 14. ID.
20.
-4 x ~ y , ~ x* y .
21. 22.
i , I —m n . m K 4 a , b , c.
24. 25. 26. 27. 28. 20. 30. 31.
23.
a, — b, c.
32,
18. 19.
- j * ? > ~ 7 X>{a b e , O
2 abe. 5
a, —b , 2c. 3m , —2 n . •!/> 7ab, f x3, —3xy, - i x1. - x 2)'. 6. 2«. —b , 3a. —» j . —Su, 4i 1
S u m ar: n\, n. m , —n. 3a. Ib. (ib, - ( la . 7. -C . a. 2 x . \\y. Dtnri, —r». fui, la . -H.v, - 5 x .
s
E JE R C IC IO
K.
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1 * T ’ t»> “ 7
42
•
A ic ,ir n .\
- m , - m . - —ron. s s a2. &a6 , 3 6 a, - a 2. m n 2, —5rn. I7 m « 3. —4;».
42. w a, - 4 m “><, G»i:i, -5 « ia 43. 9x, —l l y , —x , —Gy, 4s, —6*. 44. - 7 6 a, - 1 1 . - i w 6, 9a'-, - 86*. 46. - x y * , -Gxy», - 4 y ‘, 7xy*. -Ó , x-y*.
- 8x=y. 5 . -7 x » , 4x*y.
46
3 . U
_ 4<
6.
», 9xy, - 6 x y . 7 f , - j e 2. 0*6, 5n62, —a*b, - 1 1 a 62. - 7 6 a. >, —8m-'n, 7 m » 2, - n » , 7 m * i.
47 48
1, 7 6 , - 7 0 , 7 6 . - 6.
49.
* x2 - j x y , -ly*. - ^-xy. x 2. Gy2.
- 3 6 , - 8c. 46, - a ; 8c.
50.
-V '6 . \ ab* - V b . - ^ i 62. a26 , -
H.
i j 5 « o T x a. - x y . 7 7 a. - j x y , T x a. - - y * . 5 a \ -Ga>*>, 8o > '2, «*•», Ga«*J. - 8a ‘.
SU M A DE PO LIN O M IO S 1) S u m a r a — b , 2a 4- 36 — c
y
— 4a + 56.
I .a su m a s u e le in d ic a r s e in c lu y e n d o los s u m a n d o s d e n t r o d e p a ré n te s is ; así:
(a - b ) 4 (2 a -I- 3 6 — c ) + {— 4a I
Z
A h o r a c o lo c a m o s to d o s los té r m in o s d e e sto s p o lin o m io s u n o s a c o n ti n u a c ió n d e o tr o s c o n su s p ro p io s sig n o s, y te n d re m o s : a — b + 2 o + 36 — c — 4a + 5 6 = — a + 76 — c.
R.
E n l a p rá c tic a , s u e le n c o lo c a rse lo s p o lin o m io s u n o s d e b a jo d e los o tro s d e m o d o q u e los té r m in o s s e m e ja n te s q u e d e n e n c o lu m n a ; se h a c e la r e d u c c ió n d e ésto s, s e p a r á n d o lo s u n o s d e o tro s co n su s p r o p io s signos. a— 6 A sí, la s u m a a n t e r i o r se v e rific a d e e s ta m a n e r a : Z
2 a + 3 6 —
R.
2 ) S u m a r 3 m — 2 « + 4, fin + 4p - 5, 8« - fi T en d re m o s:
y m - n -
4 /j.
3m — 2 » +4 G71 + 4 / / - 5 8n -6 m — n —ip 4w + U n
-7 .
R.
( 3 6 )P R U E8 A DE LA SU M A POR EL V A LO R N U M ER IC O S e h a lla el v a lo r n u m é r ic o d e lcis s u m a n d o s y d e la s u m a p a r a los m is m os v a lo re s, q u e fija m o s n o so tro s, d e las le tra s. Si la o p e r a c ió n está c o rre c ta , la su m a a lg e b r a ic a d e lo s v alo res n u m é r ic o s d e los s u m a n d o s d e b e ser ig u a l al v a lo r n u m é r ic o d e la su m a .
SUMA
•
43
E jem plo Sum ar IJa — 3 b -f 5c — d, — 2b + c — 4d y —'3 a - | Só p o r e l v a l o r n u m é r i c o p a r o a = l , b = 2 , C = 3 . d ~ 4.
Tendremos:
8a —
3b
5c
—
d —
— 2b + c - 4 d =
— 3a + 5b — c 5o
6 + 15 — 4+ 3- 1 6 - 3 ID - 3
8 — -
=
+ 5c — 5d
—c y
5
p r o b a r el resu ltad o
4 =
13
=
17
=
4
I-1 5 - 2 0 =
0
Lo suma de los valores numéricos de los sumandos 13 — 17 — 4 — 0, igual que el ve lor numérico de la suma que lombién es cero. EJERCICIO
16
H a lla r la sum a de: ,'k r+ 2 b -c ; 2 u + 3 b + c . 7«—4 b —5c: —7s4-4¿> <¡c.
in \ n-p; -m-ti+p.
9 x - 3 y + 5 : - x - y >4; - 5 x 4 4y—9. « I b e: 2 « + 2 6 -2 e ; —3n—b + 8c. p + q + r . - 2 /r - G r /+ 3 r ; p , S tj- Hr.
7. 8. D. 10. n 12.
?x 4y I 6z; 10*—20y—8z: —5x+24y-l 2r - 2 m + 3 # - 6 : 3 m - 8 » + 8 ; _ 5 m + ii-1 0 i - 5 « 2 6 ~ 3 c; 7 « -3 & + 5 c : - 8 n + 5 b - 3 f . a b + b c+ cd ; -M l> -\} b c :icd; 5áb + 2 b t 1 a x - a y - a x ; —J > b x — 7áy-G «z: 4r»x+9«y * 5 x -7 y + 8 : -y + G -4 x ; 9~3x+8y.
13.
/ini Gmn I»; (5j—a tn —óm n: —'¿t—5 n tn+ 3am . 2 a + 3 6 ; G 6 -4 r: - « + S c . I: Ci/i—:\n; - 4 ; ; | 5p; - r n - H p . I . 2 a + M ; ü c - 4 : 8«+<¡: 7 c - 9 . 17 2x—Liy: 5 z - 9 ; Gv 4; S y - 5 . 8 « 4 -3 b -e ; 6« —b+c; —a —b —c ; l a —b I 4c. i 7 x + 2 y -4 ; 9 y -G z + 5 ; - y |-3 z -6 : - 5 + 8 x - 3 y . >»■ » - p : » i + 2 » - 5 ; 3 / i - 6 » i t 4 ; 2»4-5 » » -8. 5 a* -3 rt'' - 7 n " ; - 81?* - f«?"-9rta; - 1 b i,+ 5 « ,,+ l(j« ". G ur*-' -7t;j*»*—5?«v , í : jw i* "1—l m %+-—« * * * ; —5ma ' l+3w r*• 8x + y + z + « ; - :jx - 4y *2zI-3m; 4 * + ñ y + Z t- 4 u : - 9 x - y + x 4 - 2 « . a i b c i d : a —b + t—fii - ‘¿ a + 'ib -'lc \ d ; —3 o -3 b -f4 c —d. 5ab—Hbc+4ed; \lbc+2cd -3de; 16c—2rtb+3rlc: - 3 be Gcd ab. a - b ; b - c ; c-l-d: a - c : c —d i d ~ a : a - d . 3)
S u m a r 8x 2 - 4xy I f .
- 5xy - 6xa - 3y- y - Gy*
' 3.
8x y - 9 x : .
Si Jos p o lin o m io s q u e se s u m a n p u e d e n o r d e n a rs e c o n re la c ió n a u n a le tra , d e b e n o r d e n a rs e to d a s c o n re la c ió n a u n a m ism a le tra a n te s d e tu rn a r.
A si,, e n e ste c a so v a m o s a o r d e n a r e n o r d e n «leu « u d e rite c o n re la c ió n a x y te n d r e m o s :___
3x* — 4 x y + y a 6x s — 5 x y —3y9 - 9x M— Bxy — 6y 7 — l l x y — Hy3.
I
44
®
A to riiK .v
■>) S u m a r /i3b — b A+ a b a,
— 2a*if: ‘ 4ab:,+ .< ¿ b'> y 5rt3í> —4fló* —<¡4Jó2 a 3¿/'
O r d e n a n d o c o n re la c ió n a la a se tie n e : ______________________
+
íj 6 * —
6 * — ü. O4
— 2asb * + i a b 9 + 2 b 4 Z 1 5a3¿ - tía2¿ 2 - l a fr3 - fr4 ~ 6 6 a iíi > - 8 a ai» * + aí>3
3 x -rx n; —4xs-l-5; - x 3+ 4 x 2- 6 . x -- -3xy+y2; —2y2+ 3 x y - x 2; x2 r 3 x y - y 2. a2—3ab+b"-, —5«i>+«i —<»*; 8ab—b'-- :2tt2. —7x24-5x—6 ;, 8x —9 + 4 x 2; - 7 x - r l 4 - x 8. a * -4 a + 5 : a3-2-'-lfi; « * -7 « + 4 . —x -'+ x —tí: x3- 7 x * + 5 ; —x :H -8 x -5 . «3—&J; 5a»b—)ab3; ( ¡ « - la b '- b * .
xM-xy2 l y3: —5x8y + x 3—y"; 2 x s-4 x y ‘2—5y*. —7w«*»+4m*; m s+ 6n in ft—wa: —«’ií + 7»n*n+ 0na. x4—x 2 l x ; x3- 4 x 3+ 5 : 7x5—1x~G. a ‘+ fl°+ 6 : fl* -8 « * + 8 : «9- « a- 1 4 . xs+ x —9; a x ’- 7 x a+ 6 : - 3 * 3--4 x + 5 . «*—nM -(imn: ; —2m 3—2m *n+ n9. a '- S c * - 2; .wj^ + G u—3; Ta—’ l-a'-*; a* ‘-lO a * -3. «*■»2—a*-fa** -fla * + * -a * -l+a*-*'. - a ' + í a ' 43- 5 fl* f2 ; u’-~l -
3 7 ) SU M A DE POLIN O M IO S CO N C O E F IC IE N T E S F R A C C IO N A R IO S 3)
R.
17
H a lla r la sum a lie: :2+ 4 x ; —5x4-x2. ?+ ab\ -2/ib+ fjV . 3+ 2 x ; - x 2-|-4. i4- -3a2: (i*+4tí. - x s+ 3 x ; x !,+fi. 4x: - 7 x + (J : 3x2- 5 . n*+n-: —3»»«l-4n2; —5»i*—5«*. 151617
-tí.
Sum ar V
+ 2y3 - \ x * y + 3, - ¿ x '- 'y + J x / - - S y
T en d re m o s: J x * - ? x 2y
+ 2y* + 3
* * • - . Lx2> + ! x>a + i S y i _ 2 .
R.
+ ¿* y * -5 .
SUM A
E J E R C IC IO
*
45
18
H a lla r la sum a de: . 1 1 . 1 .. 1. l -x y ; -x y IS -2.
a« + i ab: - U
3.
x2 4- \ x y ; - [ x y + y3; - ¡x y + \ f .
4. 5. 6.
+ l¿= : - \ a b - \ b 3.
-\f¡
h * y + \ y '-
-«* + r.lo!; r. .. s - . -Xa - - -y * + c a
-í»2: -Ua 2 - -10a b + -«b 3: - -12a 2 + -»a b - 3-M . 2 3 i i , i .. n -x y : - -x y — x - 4- -y* -x y ——xa 4 - -y*. a *• ♦ a 2 0 8 tí
7.
«*-
3
x ‘ - x M 'ii i j X » - ¡ x - 3 ; - ¡ x í + í x » -
0.
i" » 3 - ¡ m « a -1- ¡ n 3: ¡ 0 ^ 0 + |m n ! — 7«3; m* — \
+
|« V > - J « M - 2 & 3: \ a * ~ s n — >i2.
_L,«; _ i xay _ l x V 4.
JO.
X4 + 2x*y2 4- ^y<: - ¡ x * -h - x 2) - - ¡x y 1 -
11.
2 ... 4 . . . . 11 .. 1 2 . X » - ¡x* + ¡x ; - a x t. + - x - _ _ x; - - x . 4 - Í X 4 - V ; - ¿ x » +
12.
,5 ?«’ •!
13.
o " - a* 4- a-; «
14.
x n „ yB; - x 3y 2 - ¡ x y ‘ - ¡ y n; ¡ x 4y - ¡ x - y 3 ~ \ f - 2x*y — ¿x*y2 —
E JE R C IC IO
i , a „ v , i , —; x*; —-a* x —-« x a —¡x*; — ¡« n 3 — •‘,o: - I
a . . i i 0 -a* 4- - o ax - - < ¡ x 3.
- 8j a 2 + 6: — ¡ a — 6.
19
S u m a r las exp resio n es sig u ien tes y h a lla r el valor n u m érico del resu ltad o p a ra a = 2, l / = 3 , c — 10. x = 5, y = 4, m = « = p 1 4x—5y: —3x4-G y-S; —x + y . x2- 5 x + 8 : - * * + 1 0 x - 3 0 ; - R x 2+ 5 x - 5 0 x '-}•*: —5x'-y- - 8 + 2 x ‘: - 4 x , + 7 x iy i I0xys. 3 o t~ 5 h + 6 : —6r « + 8—20n ; - 2( ln + 12wt—12. n x + e n —a b ‘. -ab-t-8nx—2cn: —itb -\-n x~ 5. - 3 a i b+& ab*-b*; - 5 f l 8-6 « fc5+ 8 ; ‘¿ a2b -2 b * . 2 7 » i* + l2 5 n a; —$m-¡i-r'25m>i2; \4i>in-—$; l l » i n 9+ lO m 2R. x. H .y » -a+ ,n * -i: 2x° > • d y ^-V n * 1 - f iM '- ’- y m '- a - l lO; 4 r ^ , 4-5mx- * - l 8 . x »y—xy»+5; x ‘—x y -l-ó x -1)»—6: -G x y J4-x2y'-‘4-2: -y '4 -3 x y * + l. i f l a + i f r 2; i
n
a
4-i-G í; - i a t - J - f c a . ®
o
T ' “ 15m n+~; '•'* >1
8
—«»'*'— y : —¡¡m 3—30»m 4-3.
y!»’m — a- f n - 2 : ~ b 3rn+ 6—j¿cn; — ~ b am + ~ c n + 4 ; 2cn4--~— 0 .2 a* + 0 .4 a6 * -0 .5 « ty ; -0^& »+ 0.6o& B-0.3n*& : -0.-í/i»+6-0.8a*¿»: 0.2a° •f0.0M4-l.DnVj.
.C U L O E N C A L D E A
Y A S IR IA
15 .0 0 0 -5 0 0 >
tiem po
< 1 9 3 0 ), fig u ran O peració n » algebraica» coc
. No lia «ido ííno recicntomcnti! que se ha ecuaciones do «cguudo grad o y labias d e potencian de mjniliosto la «norme contribución dv loa q u e req u ie ren un dom inio d e la m ate m á tic a elem en , aririoa y babilonio! al acorvo matemático do tal, p e ro no supone e s to q u e los caldeos tu v ieran anidad. En tablilla» doscifradai hace muy poco to d a u n a concepción a b stra c ta do tac m atem ática».
CAPITULO
II
RfSTA ( 3 8 ) LA RESTA O SU S T R A C C IO N e s u n a o p e r a c ió n q u e tie n e p o r o b je to . d a d a u n a s u m a d e d o s s u m a n d o s ( m in u e n d o ) y u n o d e e llo s (sustra e n d o ) , h a l l a r e l o tr o s u m a n d o (re s ta o d ife re n c ia ). E s e v id e n te , d e e sta d e fin ic ió n , q u e la s u m a d e l s u s tr a e u d o y la d ife r e n c ia ti e n e q u e s e r e l m in u e n d o . S i d e ti ( m in u e n d o ) q u e re m o s re s ta r b (s u s tra e n d o ), la d ife r e n c ia será a - l>. E n e fe c to : a b se rá la d if e r e n c ia si s u m a d a c o n el s u s tr a e n d o b re p r o d u c e e l m i n u e n d o a, y e n e fe c to : a - b -I- b — a. 3 9 ) R EG LA G E N E R A L PARA RESTAR Se e sc rib e e l m i n u e n d o c o n su s p ro p io s sig n o s y a c o n tin u a c ió n el s u s tr a e n d o c o n los sig n o s c a m b ia d o s y s e r e d u c e n los té r m in o s s e m e ja n te s , s i los h ay . I.
RESTA DE M O N O M IO S 1)
D e — 4 r e s ta r 7.
E sc rib im o s e l m in u e n d o 4 co n su p r o p io sig n o y .i c o n tin u a c ió n e l s u s tra e n d o 7 co n e l sig n o c a m b ia d o y la re s ta s e r á : _________________________________ / I m i e fe c to : 11 e s la d if e r e n c ia p o r q u e s u m a d a co n el n m tra o iid o 7 r e p r o d u c e el m in u e n d o —4:
46
— 4 — 7 = — 11.
R.
— 1 1 + 7 = — 4.
RUTA
O 47
2 ). R e s ta r 4 b d e 2a. E s c rib im o s el m in u e n d o 2« c o n su s ig n o y a c o n tin u a . ¡.>ii el s u s tr a e n d o 16 co n el sig n o c a m b ia d o y la re sta se rá : E n e fe c to : 2a — 4 6 es la d ife re n c ia , p o r q u e sum a d a c o n el s u s tr a e n d o 46 r e p r o d u c e e l m in u e n d o : 3>
2a — 4b. . / 2« — 4 b i I h
/
R e s ta r 1a*b d e —5o26 .
E s c rib o el m in u e n d o — 5 a-b y a r o m ilin a c ió n el s u s tra e n d o 4azb c o n el s ig n o c a m b ia d o y t e n g o : ____________
- 5«26 — 4o26 = — !)«'-'6. ✓
Da-b e s la d if e r e n c ia , p o r q u e s u m a d a c o n el s u s tr a e n d o 1a -b r e p r o d u c e e l m in u e n d o :_____________ / -.1)
-I- 4 /r h = - ir,
D e 7 r e s ta r —4.
C u a n d o el s u s tr a e n d o es n e g a tiv o s u e le in c lu irs e d e n tr o d e u n p a ré n te s is p a ra in d ic a r la o p e r a c ió n , d e este «no- „ _ . d o d is tin g u ir n o s el s ig n o - q u e in d ic a la r e s ta d e l s ig n ó — 1 <|iie se ñ a la el c a r á c te r n e g a tiv o d e l s u s tra e n d o . A sí: ^
j —n ~
El s ig n o - d e la n te d e l p a r é n te s is está p a r a in d ic a r la re s ta y este stg i r > n o t ie n e m á s o b je to q u e d e c irn o s , d e a c u e r d o c o n la r e g la g e n e ra l para re s ta r, q u e d e b e m o s c a m b ia r e l s ig n o al s u s tr a e n d o —4. P o r e s o ’a c o n tim i.u io n
D e 7x*yl r e s ta r
R xV .
re m ir e m o s : 7x*y* - (-- S .x 'y ') = Ixí'y* + il)
l)e
R.
4 «6 re s ta r — 3 « 6 .
leitd re m o s : —
— {— J 0 6 ) = — %nb + ¡}fl6 = { a b .
R.
( 4 o ) C A R A C T E R G E N E R A L DE LA R ESTA A LG EB R A IC A El) A r itm é tic a la re sta s ie m p r e im p lic a d is m in u c ió n , m ie n tr a s q u e la " •a i a lg e b ra ic a tie n e u n c a r á c te r m á s g e n e r a l, p u e s p u e d e s ig n ific a r d is m in u c ió n o a u m e n to . M ay re sta s a lg e b ra ic a s , c o m o las d e los e je m p lo s 4 y J> a n te rio r e s , en un la d if e r e n c ia es m a y o r q u e e l m in u e n d o . I o s e je m p lo s 4 , i> y G n o s d ic e n q u e r e s ta r u n a c a n tid a d n e g a tiv a eq n iilr a s u m a r la m ism a c a n tid a d p o s itiv a . E JE R C IC IO D e:
20
48
ALGEBRA
—7 o3m 2. - 8ab*. —4Gx2y.
lab3 ll x 2y ¡4ri-b
-8 4 a ’b 5 b * 42. 11.
lx»43
22.
fia-
23. —45a*-1 24.
546—»
25. —35m* 26.
6
restar
—fia» Do".
f*
COa«~>.
41
« 6b*->.
ff
ft
27. —
?• 4*
restar
26.
±xt O
GOro*.
29.
±x*y
i T
3 0 .- ~ r tb 2 n
- i,* . -
4* *
R e sta r de
- 2. 7. - 8. 5. -7 . 2 a .
b ~im 5a
—3x. —2«. 3b. 8 b. -7 n . 2fmb.
9 25 II.
43. 44. 45. 46. 47. 4349. 50. 81. 52. 83. 84.
-a -3 b -llx * 14a*b —43n-Jy 9«b - S l x 2? n* _ 7 n » fi 9/»*
de •• »» !• >» •» y* •* M ft
—19rW*
t%
3a. -4b. 5 lx J l&a’ b. -Ciia'y. -ab. ' -3lJe*y. -3a*. 31 l a * " . I05rn* -314»-*. ~234im*.
55.
54a*4 3
de
-8 5 a » • * i
56- —6a 67- - 5
--m 10 > .
58. 59. - J - W 00.
J5«*bj
C
-
-la 0 3*2.
RESTA DE PO L IN O M IO S
C .» a n d o e l s u s tr a e n d o es u n p o lin o m io , h a y q u e r e s ta r d e l m in u e n d o c a d a u n o d e los té r m in o s d e l s u s tr a e n d o , asi q u e a c o n tin u a c ió n d e l m in u e n d o e s c rib ire m o s el s u s tra e n d o c a m b iá n d o le e l sig n o a torios sus té rm in o s .
®
( i ) De 4x — 3y H 2 restar 2x + 5z ~ 6. La sustracción so indica incluyendo el suslroen4x — 3y + 7 — |2x -r 5z — 6). do en un paréntesis procedido del signo —. osé Ahora, dejamos el minuendo con sus piapías sig nos y O continuación escribimos el sustroendo 4x — 3y -I- 2 — 2x — 5 r + 6. cambiándole el signo o todos sus términos y tend/em os: 2x — 3y —
4x — 3y + 7. - 2* — 5z + 6 2x
3y - 4r h 6.
R.
KtilA
• 49
PRU EBA
to diferencio fumado con el sustraendo debe dar el minuendo. En el ejemplo anterior, sumando lo d ilc rencici 2 x — 3y — 4x + 6 con el su stra e n d o 2x -I- Sx — 6 , te n d re m o s : ______________ / ’
7*
3y — Az + 6 + 5z • - 6
4x — 3y + ¿
|minuendo)
(2 ) Resiar — ia -b — abB4- 6o■1b9 —o 2b4 — 36* de eo 'b 1 I o° — 4o'-'b' 4* 6c b 4. Al escribir el sustraendo, can sus signos combiodos, deba¡u del minuendo, deben ordenarse ambos con relación a una misino letra. Así, en oüe coso, ordenando en orden descendente con^eloción a l a o t e r v l a diferencio sueroda con el sustraen. da, debe darnos el minuendo: /
o"
4- Ekéb3 — 4o*6‘ -I- 6obr‘ 4* 4o46 — 6o*6*4- ó*b*+ obB4 - 3b* ^ + + * ,« * _ W _ w + Job* i
üú 4- 4o»b 4- 80^ ' ¿o-’b4 - 3a 3b* 4- 7o 64 4-36* _ ^ + ^ _ Q, b s _ a{>!1 _ ^ o*
4 -IJcdb*
— 4o2b ‘ 4- 60b '1
(mlnuoml
<31 Restar —8a*‘x 4- 6 — 5ax3 —x3 de 7a3 4- 8a3x 4- 7ox2 - 4 y probar el resul tado por el valor numérico. la r? 4- 8a‘~x + 7o1 — -1 Efectuemos la resta ordenando con relación x1 4- box3 4- Ba3x °
l a Xr
10
lo p/ueba dot valor numérico sr; efectúa hallando el valor numérico del mi nuendo, del sustrnendo con los signos combicdos y de lo diferencio pora un mismo valor de los letras |el valor de coda letra lo escogemos nosotros). Reduciendo el valor numérico de minuendo y suslracndo con el signo cam biado, debe darnos el voloi numérico do la diferencia. Asi, en ef ejemplo onterior poro o = l , x —2, tendremos: / '
De: 11 - /> te sta r a —b. v - :ty restar —x + 2y. fu l-b restar, —3rr 4 4. » -:ix restar —5x4-6.
9. x 3—x?—G restar f>x-‘—1x4-6. LOi s. 12. 13. 14 Lfi. 10
ys+ 6y:l 8 restar 2 y * -3 y 3+ 6 y. a*—6rí//J4-9n restar Ifw -b—8 0 +5. x4+ 9 x y :l l l v ' restar - 8 x « y - 6 x 3y34-20y4. a + b + c —d restar —a —b-i-c d. aO >2ac '.icd-ñ>l'- re star —4<¡c+$ab—Gcd-l-úd x3—9 x + 6 x 3—19 re sta r —1 lx 3 1 21x--43+6x*. y!‘- 9 y :,4 «y2- 3 1 resiai - U y ‘4-31y3-8y'-'~L!>y
17. On>*—9 » ! r-Gm2n —8m «2 restar I4m «*—•2lm*ti4-5»i*—18. 18 4x3y - 1 9 x y 34-y4- 6 x zy s re sta r —x 4—5 1 x y H 3 2 x y - 2 5 * 1)!. 10. W -l-m *»1'—9« i 3h4-1-19 re sta r —13w»3»*4-36ínrt5—30m a« 4—61. 20. -a»6+ 6* * 6 * --1 8 * & H 4 2 restar -.Sa°-t-9b0- 1lfl«bs- l l a * b 4.
-xi «+3*. -e>!5 re sta r - x IJ+ 8 x t ~ 3 0 x 2+ l5 x --2 4 . V - 1 8 restar —y B+ 9 x y 1+ $ 0 - 2 1 x 3yi!- G l x 4Y. r«*'—Sm4m2+*21w 2n4+ 6—fiwm6 restar —2 3 m 5n+14w i8n*—24»m B+ 8n*—14x i~ S x + H ’,x6- 2 3 x s - 1 5 restar - 8 x ,,+ 2 5 x , --3Üx8+ 51x--18. art*—I 5fl46 »+31«*&4—6a-M4 restar 25ePb— \ba^b2-rb2
22
R estar: i—b de b —n. :—y de 2x+ 3y. - 5 n + 6 de: —7 . —jc-|-y—r d e x !-3 y —6z. V tf+ ab Gb 2 d e —5&2+ & *6+ ua. 21. 22 23 24 2G. 27. 28. 29. 30.
1 1 . m 2— « * —
3m »
e le — 5 w » 2 — » i * + 6 » i n .
- x 3- x + 6 de —Bx2+ 5 x - -4r«8+ l4 m * + 9 de 1 4 m * -8 n + 1 6 . a b —bc-rfícd d e 8o 6 + 56c + 6cd. 25 a * b -8- a k * -b * d e ’*—6yB v/ +14* d,ve 6vx3—Sx^y-G ' / “xy2. / wis+7n—8e+d de m*-9M-l lle~ 14. 7ti86 + G a5:' -8a*W+b* de 5,r,-I-18-
Tendremos:
— x*.
R-
1
O* + 1ío 3b - fia-b2 - 9ob* + b4 - I.
B>
E JE R C IC IO
*-a"b+ fo fa + 9 3 14 |oí> I 1.
R.
24
l)c: R.. 1 *
re sta r — - n2 — —ab + —6a. * a »
ló re sta r ‘-.vy f¡
3
4a:ib8 - | a 9b*
1 (minuendo). 1
+
-o'Jb* — -a b - 8 d r. 4o:ib:l
xa + x + 5 - x2 — x — 4
( 5 ) Restar 9ab3 - 11a*b + 8o*b* - b * d e a * - 1. Tendremos: lla* b — (1 er br — 9aba + b4
- 9 restar 3r>+aa- 5 . lfi restar 5 x y -x * + 1 6 .
Í xíy
Tendremos:
£1 sustraendo x2 + x 5 sumado con la di ferencio — 4 — x ~ x2 nos da el minuendo-,
•
^x1 5 1 ?y
I - ) Restar —4 tPlr' — ~-ob + ;¡a2h 2 — 9 de —| a b + ¿ a 2b2 — 8.
1 —5 —x — —4 —x
1.
a 2 re sta r $.i/-b ^(ytOz—b*. y* restar —üx:ty + ri x >!y - - f t x y \ >n‘ re star -S x 2y2 d e x* 1. R esta r - lía* 6 + 2 ci268+ 8a*63—éab* d e tf+ b * . R estar $x*—25x d e x '+ x 2-t-50. R estar 9y’+ 1 7 y 4- y 3+18y* do •/'+ > •-41. R e sta r - l 5 n s6 + 1 7 « W -1 4 f f6 " - 6 * de /j«+9a*b*+aab*. R estar - x 2+ 5 x —34 d e x 4+ x :,- l l x . R estar m -n + 7 m n s- 3 n J d e m a—1.
<1 I De -Jx3 lestur - r> - \x y 2 + -¡x»y - \ y \
25x+ 25**—18*"’—llx * —46 de x3- f i x ‘-| gx2- 9 + lG x . H a 'b + a W - lO a 'W 45«b4- B de /r1-2 G « :'6 J+ 8rt54- 5 B+ 0 . 23y8+ 8 y 4—15ys—8y—5 de y,,+ y :,-l y3+ 9. 7*I+ 5 x í - 2 3 x a+ 5 lv + 3 6 d e x * - x 8+3x*- -3x2- 9 . y r - é O x y I 90x3y4- 5 0 x y « - x 2ys de x2- 3 x Jy 2 l-35x-,yn- 8 x 2y H 6 0 . i « - 6b* de «“ 1 ''-Bt?1 ' > -5 . Sa0-1+&*-'-■■|-7fl*+fln- 3 de -8 a M -l< k » '^ + 1 5 # * ‘2+ « n7!l. S lx * * 1—9 x * ' x 1**—l í x 1-1 de l:ix ’-*3 |-5 x -t2 ~Gx"+41x'-~’. 12am~s—!iam"*—rt!n—8a “ 1 d e 9fl"‘- , - 2 l f l " - 2 l-2C«'"“»+14«“*-6. —tw*+«~6r»’ETl—23wi‘ ' 2—m*-1 de -IG w r^ H S O m * 4-1—14m x-'« rn x- , + 8 jn x"íí.
E JE R C IC IO 23 De: 1 re sta r «—1. O resta r j - 8.
8. I x- + -~-xy - ¿ y * t estar - ¡ x - •»■2y* - Jjx y. 9.
restar - -Ja* + A t + - j.
10. » ia I l.m n - - y-n* re sta r H.
4- * m»* + »t3 — -y-
i - x ' + y-xay - ± x f + | y ‘ re sta r x< + y-x*y* - -i-xy3 + y-y‘.
12-
* 1 + f f c - f e + f d restar - $
f
EJER C IC IO 2 5 R estar: 1.
d e * a2 — —a.
,¡
— * 6 + -ye de a + b — c.
2. -i-« - - i// de 8« + 66 - 6.
b -m + n - p
de -=-»i +
3. -^-x2)! de x"- -I- -yx*y — 6.
6 . - i a 3 ——a b 2
+ ~p.
6 de y-o2b + -j-ab* —-j-.
7. — »t< + y m 2n2 — " r a n 1 d e y-m2» + £•»!*»* + j m i é — 6. «• y + | * y -
“ T x i tlc - f ■**>’ +
+ f * V + T*>* - 7 -
0- x" - ¿ x 2y2 I- ■~xay4 - yu -I- xy6 de y x ry + -yx^y2 - y-x^ 3 — x2y* »• xyr- !• ~y°. 10. - i-x 2)1+ ~xy* - ~ x 3 + 6 de -Jxy* - -yx2)- + -i-x-» - ¿ y 3 - -J. 11. — —r/t” + —«* ——» t4« 2 + —m*«4 — — d e —m 'n 2 - * m2»* I * I» í S» 14 t 10 T * 12. - ± c 'd + ~d-- - - i ^ d 2 + ± cd * de [ > E JE R C IC IO
d* l -
c 'd 2 + ~ c ‘d - 35.
26
E fectu a r las restas siguientes y h a lla r el v a lo r n u m érico del reso ltad o para a = l , 6 = 2, c = 3, x = 4, y = 5, m = - , n = —. De: l a*—n b restar 3 n 6 + b 3. 2. a^-lb 3 re sta r —Cia26+$a£>2—26a. i , B 3 ■--1^ i re sta r —b — —c + a. 4. 3m B—5«* re sta r m 2+ 8 m « + 1 0 « 16 - x * - 1 8 x y + l 5 y « re sta r -IG.v'y-Gxy^+Oy*. G. a J—7a;n*+iM* restar —5«wi*+8a*m—5 » ia. 7. --n i + --n l) — J - ^ j « s
2
r c 5t;,r ‘ a2 + «6 — ~b~. « 10
8. 4n m*íí + -~-mrt* — —«* restar — m* — —nt*» —d—>n«* — --n*. « a O a
SUMA
Y R E S T A C O M I! I M A D A S
0
5 3
R estar: í). 10-
a * b * -& W de a*--¿a?b*+ b*.
11. lla*e>-9fl&*+¿>1' d e a \
15nfc de —aÍA-l- 10m«—8 wjc.
12. .1*3-j. JLX _ iL j e JLX4, m
13
± ¿ ~ ± Xy 3 - 2 p *
(|e *3 +
14.
«»-> — !»<*» a -|- fl*~= de 4 a - 1 + « « - —«*-» + ax t B
SUM A Y RESTA CO M B IN A D A S
®
SUM A Y RESTA C O M B IN A D A S DE POLINOM IOS CON C O E F IC IE N T E S EN TEROS
Ejem plos < 1) De oa restar la suma He 3ab — 6 y 3a'*‘ — Bob + 5. 3a2 — Gafa 4- 5 3af> — 6
Efectuemos primero la sumai
3o2 — í»ob — I Esta sumo, que es el susliaendo, hay que restada de o5 que es el minucrvdo, luego debajo do a 2 escribo 3a3 — 5ob — 1 coa los signos cambiados, y tendremos!
I
) De xs — dx5? 4- 5ya reslor - 6x*y 4- 9xy3 -l
la
Efectuemos primero la suma:
suma de
_______ , /
—x* +
a-’ _ 30 ?+ 5 05 q. ) 9a~ 4- 566 + I
5x2y — 6xy2 + y3 con
— x* + 5x*y — 6xy3 + y* — dx^r 9xy2 — 16v3 - x 3-
x2y + 3xy2 — 15y3.
Fsta sumo, que es el sustraendo, tengo que restada xn — 4x2y de x3 —4x2y + 5yB que es el minuendo, luego dox* 4- x,Jy bajo do este minuendo escribiré el sustraendo con , los signos cambiados y tendremos: ______ / 2x - * * * " ^ (3
) De lo suma de x3 + 4x3 — 6 y — 5x3 —I lx 4- 5 restor Efectuemos la sumo:
4- 5yh 3xy3 4- 15y* _ . ; nn , + 20y '
x4 — 1.
x* 4- 4x2 —6 — 5x2 — 11x4-5 x3 -
x2 — 1lx — 1
xs _ xs _ jix — 1 Esto suma es el minuendo, luogo debajo de ello es_ x< .j. ] cribiré el sustraendo x4 — 1 con los signos cambia dos y tondrcmosi_____________________________________— x4 4- Xa — x3 — ÍTx
5 4
'■
A tflíB H A
E J E R C IC IO 27 1. 2. 3. •1. 6. i! 7. 3 10. j;i. 12. L3. 14. 101(1. 17. 1319. 20 21 255. 24. 20. 2G. :7
20. 3(1.
D e a- re s ta r la su m a d e a b ¡-b s con «2—Ofr2D e 1 re sta r la su m a «le « + 8 con —a-l-G. D e —Ix ^ y re s ta r la sum a d e 4xy2- ‘x 8 con S x ^ + y 3. D e 5m 4 re sta r la sum a de —3n**«+,l>nna—w3 con 3m 3« —4 m « 2-f5 « 3. D e (¡+3c. D e n + b —c re sta r la sum a de a—b + c con —¿a-\-b—c. D e m —n I p re sta r a sum a d e - m - V n —p con 2>n—2u-~2p. De x 3—5 ax + 3 a* re sta r la sum a d e Ü o x -o 3 con 2(ix2- 9 « x + 7 « 2. D e « * - 1 restar- la sum a de 5fls+ 6 a —4 con 2/r*—8«+l>. D e x *—1 re sta r la su m a d e 5x3—Ux®+4 con — llx* 7x3 <>x. D e o3 ; b1 re sta r la sum a de —7oi»a |-35o2&—11 con —7a3+ S a b -—2íía-b[f>. D e n 5—'7 «3+-1n re sta r la sum a «le —l l t ^ + M n 2—2¿m-l-8 con lí)n*—Gn2 + 9 n —4. D e n4—8d*ma+ m 4 re sta r la sum a d e —6«sm + 5 flm * -6 con 7’* restar la su m a d e —1x4y-l 18x2y3—ítxy4 con -C)Xn+ 8x 3>'2+ x v 1—2v5. D e la sum a d e « \ b con a —b restar 2a—b. D e la sum a d e 8 x + 9 con C>y—5 re sta r —2. D e la sum a d e x2—Gys con —7xy-M 0)'“ re sta r —9>*--l 3<>. De la sum a d e 4«"+8«i&—5¿i2 con a- i fíb- la b restar \a2+ a b —b~. D e la sum a d e x3—y* con —14x5)'+5.vv2 re sta r 3x*4 19y3. De la sum a d e x4—éx'-yH -)'1 con Sx2> -l-3 1 y ' re-star x*-f 2xs)<2+ 3 2 y 4. D e la sum a d e n*—tjn^+n* con 7 n 3—8 n —ñ ,J—6 restar —3 n 4—« e—ft«a-l 39. R e sta r 5a4¿»—7a26 8+ í »8 «le la sum a d e a5—8a3¿>2+(¡4 con 22«4/H-10n*fo2 —l l u / r 1—b*. R e sta r 5—m* de la sum a de —5tttB+4»n3—2m con •7m *+ 8m + 4. R e star —4 d e la sum a de 7«B--lI«M -f> B con —7«::+1 8. R e sta r a—b —2c d e la sum a de 3o—ib + ñ c ; —7a-f8¿»—l l ; - a + 2 b —lc . R esta r a 4—3«3+ 5 d e la sum a de :)«3+ 1 4 « 2—19?t' con •• l l m 8n —ldm*»!*—S w t^ + n 4 d e 6m 4+ 7 » iBHB+8»»n3 - •«*. R estar la sum a d e fl8+4/i3J>*+B«&4—br-, 7a*b-\-15at bi —25ab*+'¿b6 y - b a b '+ Z a W - á 'b * d e 3o°-(J-*-^'& d e x 8+32x*y-2f>x3ya + \$ x Jy * - 2 x ? 4y>. R estar la su m a d e S^'d-on1-1 con a* 7 az
14) Restar la sumo de 5x',ys + 6x2/ 4 — 5y° con — 3x* I x2y ‘ ” H yB de lo suma de x° -I- 7 x Y ~ / ' - 4x*y" I 3xBy4 + 3y,J. Sx*y: + óx'-'y* — 5/■
Efectuemos la primera suma que será el sustraendo: __________________________ /
— 3x° 4- xJy‘ — 11y® _ „ . ■" . 7 T7~l - 3x° + S x V -I 7x-y* ~ 1¿Y x"
Efectuemos la segundo suma que scró el minuttndoi_________________________________ /
SUMA Y HtSTA COMIIINADAS Como esta sumo os el minuendo escribimos debajo de ello, con los signos cambiados, lo sumo anterior que es el sostroendo y te n e m o s :_______________/
• 'j'j
x° —4 * y + 5 x V + V 3 x" - 5x4y 3 - 7 x 'V -I- I6y* 4x * - ? * V “ 2x2y 4 I 18y*
E JE R C IC IO 28
' »¡.
9
De la sum a de x 2-j-5 con 2 x —6 restar la sum a de x — 4 con — x + 6. D e la sum a de 3 « ~ 5 b -rc c o n a - - b ~ 3 c re sta r la sum a d e 7«-l-6 con —8¿>~3r. De la sum a de x2+ l con 5x3+ 7 —x 2 restar la sum a d e 9 x + 4 con —3x2—x l l De la sum a de o2+ l con o3- l re sta r la sum a d e a4-|-2 con a —2. De la sum a de tib+ bc+ tic con —7¿»r+8ac—9 r e s u r la sum a de ia c -'M n + 5ab con 3 b e + .W —ab. ' r la sum a de n2x —3x3 con n’+ÍUrx2 re star la sum a d e —5«2x-fllene* - l l x * con a*-l-8x8- 4 a 2xd-6ox2. De la sum a de x4+ x a—3: —3 x + 5 —x 3; —5 x r + lx + x 4 re sta r la sum a de —7x*+8x2—3 x + 4 con x4—3. De la sum a de m 4—n 4; —7»r«3+.17m3M—4m 2na >• —rn4+ 6m*w9—80n4 r e s u r la sum a de (¡—r« 4 co n —ítj2ti2+ i/ih 3—4. De la su m a d e a - 7 + a * ; a'1- a 4-l> a::+fi; —fia2—ll< i+ 26 re sta r la sum a «le —Ia 3+tt*—a 4 con —15+ 16«3—8«2—7«. R e sta r la sum a de 3x*—y* con —1 Ix y i 9>'2—14 de la su m a de x a—3xy —y2 con 9y3—8 x y + l9 x 2. R estar la sum a de « - I con - a : I de la sum a d e a: —3: a —4; - 3 a í 8. R e sta r la sum a de a 2+ 6 2—rió: 7b2—8a¿»+3a2: —5a*—17 b2 + l l a b de la sum a de 3b9—«u+ 9 « b -u > u —8« b —7beR e sta r la sum a de m 4—1; - m :H-8m 2—(Iwt 15 ; —7 m —m24 l de la sum a de m r>—16 con - 1I>»í4+ 7 m 2- 3 . R e sta r la sum a d e x 6- y 5; - 2 x 4y + 5 x íy 2 -7x2y * -3 y 5; G x y ^ - T x V - S «le la su m a d e —x3ya+ 7x4y 4 -llx y 4 con —xy4—I. R e sta r la sum a de 7«4—«•—8 «; —Ua5+ l l « 3—n2+ 4 : —Git*—l i a 4—2 a + 8 : —5oJ-l-5as -4«i-l-l de la sum a de —W - r l a ? —8a-l-5 co n r>or'—7a3 M l a 3 —G O o+ 8.
R e sta r la sum a d e a &- 7 a 3xa+ 9 ; - 2 0 a 4x l-2 1 a2x * ~ l!)ax 4; xtt~ 7 o x 4 i-9a>xa - 8 0 de la sum a de - 4 x 2+ 1 8 « 3x2- 8 ; - 9 « 4x - 1 7 n 8x2+ l l « 2x-»: «°+Üt>. SUM A CON
Y
R ESTA C O M B IN A D A S
DE P O L IN O M IO S
C O E F IC IE N T E S F R A C C IO N A R IO S
roslar la mina de - a 2 + -b 2 — jo b con — j a 2 + ' b- — ^ob.
'- a * - \ a b + Efocluontos lo lomo quo será ol suslrocndo:
’
-¡b»
i o2 - 2a b + > ja 2 — o b + |b s
5 6
•
A ic ro G A
r.a2 Debajo dol minuendo -d* — - 6a escribimos el resultado de esta suma con los signos combiodos y tendremos:_______________________ /"
_ ! 5*
—s ° 8 + o b ~ \ b i - J o 2 + o b - ~ b 2. R.
( 2 ) Restar lo suma He -m 3 — -m i^ + b con -ni*n -I- -m rr — -n 3 de la suma de 3
.
,
, 1
2
3
»
,
, 1
----
-m s i -n* — - m rr con -o rn -t-
I
rnn2 + ‘.n3
i" * Efectuamos la segunda suma que será el minuendo. /
* n rn +
mn]
—•r.
3-ro*1 +. 3-m -n ^ — ntn2 + ; n a - \ 0 mn2 Efectuamos la primero sumo que será > el su stra e n d o :_____ -/
- m'-'n + " 11 -w ¡X 11 3-m -n
3
-/»* + -m®n Ahora, de la primera suma restamos esta último sume y tendremos:------------—--------- /
D e - a * -I- —a* re sta r la sutna de — G con - o 2 — - o " , u s s o n
3
R estar —v i r. R estar
m n• - — 3 ~n
—m rr -I- j n s — 7
1.
1
+6
1
'2
ii
b de la sum a de a + 3b con 6 -----(i «
la surtía d e - jx 3 f-
'J
.1
— ~-xJ con (¡ — -jj-x + ^ x 2 de —-j-x4.
ft.
D e la sum a d e
con —
U.
R esta r la sum a de
-
V
De |o J — jb* restar la sum a de - -^
’-x
b.
- I
+
—o2 — G restar -7-a — j--- 7a 4.
—y - -j-r con 3 — ~ z - j y
«le —y - y . ^ a b 2+ ~ b ^ . « a
RRTA
SUMA Y
COMBINADAS
•
57
8.
D e Ja sum a d e 2
— %-b con —b v J O— ^~e restar la su m a d e —b » + --c t, con
9.
R esta: la sutna d e -~al + -j-c- -I- ■— c o n — —a —-—a" — — d e la sum a d r *
n
u
<
r.
10
~ á - — -7 a + 7 con _ £ , * + 1 *3 - 1 , 10.
D e la su m a de -jj-x2 - I x y + -¿y3 co n - -j* > '“ 7 ?* + 1 rcstar ,a »»,IM de ± x u - l y * + l- xy R e s ta r la su m a d e 1 «3 - 1&» con — ia*i» + -*■a b 2 + l & a d e la sum a d< +
12.
con —
+ ~ ab3 — 1¿<8 — —
D e r ^ n 4 — —n* re sta r la s u m a d e ” 2 —-jm®»* + -j-nt co n y-m4 —-^in*n + D e 5 restar la sum a de j-x + l y ;
]
- ¿ - t n n a — n*: ^-m * + -m*m 4 1 6
| rws« s — l n * . * y - ¿-z: - r 1 + ~ n » ; — 1 ro + l f » +
R e sta r - — 1 «3 + - —a*; — -‘ o* A
*•
2
n
4
N
}
4
+ T * - 7 ' - > + V ‘a+ 5a+ ¿E JE R C IC IO i
V
30
H a lla r la expresión q u e su m ad a c
7a'TON
S DE MILETO 1640-535 A. C.). Cl primero famoso do los siflo uliios de Greca», Su vidj ivuulta en la bruma do la leyenda. Fue cl prilóiofo jónico. Recorrió Egipto, donde hlxo ctponléndojp en contacto de cito modo con lo»
misterio! de la religión egipcia. So lo atribuye cl haber prcdicho cl eclipse de Sol ocurrido en el año 585. Tambicn »e le atribuye el habor rotlix.ido la medición de las pirámides, mediante les sombras que proyectan. Fue el primero en dar una explicación de loi eclipses.
CAPITULO
SIG N O S DE AG RU PACIO N ( 4 5 ) L o s sig n o s d e a g r u p a c ió n o p a r é n te s is so n d e c u a tr o clasei: el p a r é n te sis o r d i n a r io ( el p a ré n te s is a n g u l a r o c o r c h e te [ ]. las llaves | ¡ v e l v ín c u lo o b a r ia 4 6 ) U SO DE LOS SIGNOS DE A G RU PA C IO N I/>s sig n o s d e a g r u p a c ió n se e m p le a n p a t a in d ic a r q u e las c a n tid a d e s e n c e rra d a s e n ello s d e b e n c o n s id e ra rs e c o m o u n torio, o se a, c o m o u n a sola c a n tid a d . A si. « -l (l> - c}. q u e e q u iv a le a n + ( - r h - c ) . in d ic a q u e la d ife r e n c ia b — c d e b e s u m a rs e c o n (t, y ya sa b e m o s q u e p a ra e f e c tu a r esta s u m a e s c rib i m o s a c o n tin u a c ió n d e a las d e m á s c a n tid a d e s con su p r o p io s ig n o y te n d re m o s : ________ l a e x p r e s ió n
a + (b - c) — a -r b — C.
x 1- ( - 2y + 2)
in d ic a q u e a x h a y q u e s u m a r le - 2y + z; lu eg o , a c o n tin u a c ió n d e x, e sc rib im o s - 2y - x c o n su s p ro p io s sig n o s y te n d re m o s :
x + { - 2y 4 ¿) = x - 2y + x.
V em os, p u e s, q u e h e m o s s u p r im ir lo el p a ré n te s is p re c e d id o riel sig n o •, d e ja n d o a c a d a u n a d e las c a n tid a d e s q u e e sta b a n d e n tr o ríe él con »u p r o p io sig n o .
58
'
PARENTCSIS
•
5 9
L a e x p re s ió n a — (l> -I- c), q u e e q u iv a le a a — (4- b 4- c), in d ic a q u e d e <1 h a y q u e te s ta r la s u m a b + C y c o m o p a r a r e s ta r e s c rib im o s el s n s ir a e n d o c o n los sig n o s cam h ia d o s a c o n tin u a c ió n d e l m in u e n d o , te n d r e m o s :____/ ’ L a e x p re s ió n
.v
( . _ ^
^
^
( — y + z)
in d ic a q u e d e x h a y q u e r e s ta r —y l ; ; lu eg o , r a tn h ia n d o los sig n o s al s u s tra e n d o , te n d r e m o s :_______ /
x — (— y -I- z) = \ 1* y
V em o s, p u es, q u e lie m o s s u p r im id o el p a r é n te s is p r e c e d id o d e l sig no c a m b ia n d o e l s ig n o a c a d a tin a d e las c a n tid a d e s q u e e s ta b a n cm ■ i ra d a s en, el p a ré n te sis. E l p a ré n te s is a n g u l a r | . las lla v e s ¡ y e l v in c u lo o b a rra tie n e n la m ism a s ig n ific a c ió n q u e e l p a ré n te s is o r d in a r io y se s u p rim e n d e l m ism o m o d o . .Se u s a n esto s sig n o s, q u e tie n e n d is tin ta fo rm a p e ro ig u a l sig n ific a < ió n . p a r a m a y o r c la rid a d e n los casos e n q u e u n a e x p re s ió n q u e ya tie n e u n o o m á s sig n o s d e a g r u p a c ió n se in c lu y e e n o tr o s ig n o d e a g ru p a c ió n I.
SUPRESION DE SIGNOS DE A G RU PA C IO N
(47^)R EG LA G EN ER A L PA R A SU PRIM IR SIGN O S DE A G R U P A C IO N I > P a ra s u p r i m i r sig n o s d e a g r u p a c ió n p re c e d id o s d e l s ig n o 4- se d e ja <1 m ism o s ig n o q u e te n g a n a c a d a u n a d e las c a n tid a d e s q u e s e h a lla n denn o d e él. ?.) P a ra s u p r im i r sig n o s d e a g r u p a c ió n p r e c e d id o s d e l s ig n o — se c a m bia el s ig n o a c a d a u n a d e las c a n tid a d e s q u e se h a lla n d e n t r o d e él.
Ejem plos
<1 > Suprimir los signos He agrupación en la expresión! o I- |b
—
cj 4- 2c
—
fa
t
b).
Esto expresión equivale a 4- a 14- b — c ) + 2 a — (4 - o 4- b ),
Como el primer paréntesis va precedido tlol signo 4 lo suprimimos dejando o lus cantidades que se hallen centro con su propio signo y como el segundo paréntesis va procidido del signo — lo suprimimos cambiando oí signo o las cantidades que so hallan dentro y tendremos: o 4 -(b —e |- t- 2 a — |o 4 b | — n 4 -6 — c 4 - 2a —a b — '2a — c. R. (i!) Suprimir los signos da agrupación en 5x 4- (— x — y) — {— y I- 4x) I- -{x 6J-. El paréntesis y las llaves están pieccdidos del signo 4 , luego los supri mimos dejando los cantidades que 5x ~• x — y) ~ 1 - y | {x so hallun dentro con su propio signo ~ 5x — x — y 4 - y — 4 x 4- x — 6 y como el corchete va precedido dot = x - 6 . R. signo . lo suprimimos cambiando el signo o las cantidades que se hallan dentro, y lundremo); ___
6 0
' 1
a l c íb iia
(i?) Simplificar in + 4n — 6 + 3m — n 2/n — 1. B vínculo o borra equivale a un paréntesis que encierra o las cantidades que se hallan debajo de él y su signo es el signo de la primera de los cantidades que están debajo de él. Así, la expresión onterior equivale a:
ni + [4n — 6) + 3m
m + 4» — 6 - f- 3 m — n + 2m — 1 = m + 4n — 6 + 3m — ;i 2/n + 1
Suprimiendo los vínculos, tendremos:
= 2 m !-3 n -5 . m-
E JE R C IC IO S im
p li f i c a r ,
(« + 2m — 1).
R.
31 s u p r im
i e n d o
lo s
s ig n o s
d e
a g r u p a c ió n
y
r e d u c ie n d o
t é r m
in o s
s e m e ja n t e s :
1. x - ( x - y ) 2. x * + ( - 3 x - x 3+ 5 ). 3. < i+ 6 - ( - 2 a + 3 i . 4 . d m —( — 2 m —n ) . 5. 2 x |- 3 y - 4 x + 3 y . I» « + ( a - i > ) + ( - a + b ) . 7. íT-' l j ■bí + 2 « 2]-[ f l2- í > 2]. 8. 2 a - { - x + a - l H { a + x - 3 } . { '. )
010ii.
x 2+)P*-(x2-t-2xy-|-y-)-f- (—x^-i-y3]. {—5?h -t 6)-í-(—» r+ 5 )—C. x + y + x -> -fz -x + y -z .
1 2 .
13. 14. IB.
Simplificar la expresión:
- ( x 2- y " ) + x y + < - 2 x - l - : J x y ) - [ - /- 4 - x ) - ] .
8x2 1 ( 2A>-r>'2] - ^ - x - - h x y - : f ) - ^ (x2-3 x y ) - { r a + ft> + (-rt-b ) -( -ft+«t)+(3rt+b).
3a + ^ — 5 x — [ — a - r |9x — o -h x [|
Cuando unos signos de agrupación están incluidos dentro do otros, como en este ejemplo, se suprime uno en cada paso empezando por el más interior. Así, en este caso, suprimimos primero el vínculo y tendremos: 3a + -¡ — 5x — [ — o + (9x — a — xj] f. Suprimiendo el poróntcsn, tenemos: Suprimiendo el corchete, tenemos:
3a + { — 5x — [ —a I- 9x — a — xj ¡3a + ■• — 5x -i- a — 9x + a ~ x ¡'
Suprimiendo las llaves, tenemos: 3a — 5x -f o —9x -I- a + x. Reduciendo términos semejantes, queda:
S o — 13x.
R.
( t Simplificar la expresión: - [ - 3 a - - ¡ b + [ - a - l | 2 a - b | - | - a + fo)l -I 3b} + 4o], Empozando por los — i —3 a — { b 4- | — o 4- 2a — b t- a — b + 2b } + 4o. m á s interiores que — — I —3er — -¡ b — a -I- 2a ■b + o — b + 3b ¡ i 4o son los párenle- = — [ — 3o —b -h o — 2o + b — a + b 3b -I- 4o sis ordinarios, te- ^ = ?o -I- b —o -f-?o — b -I- o - b -t- 3b — 4a __ / = a 4* 2b. R. nemos; E JE R C IC IO S im
p li f i c a r ,
32 s u p r im
i e n d o
lo s
s ig n o s
d e
a g r u p a c ió n
y
r e d u c ie n d o
t é r m
in o s
s e m e ja n t e s :
I
2 n + (a - ( a + í/) J . :i x - ( x + y - 5 x + j ¡ |. J m
- f ( w
—
n
) —
( m
+ n ) J .
4. 4 x * + [ - ( x 2- x >) + ( - 3 /* ,+ 2 x y ) - ( - 3 x 2-f-y2)]. 5( - 2 a + b ) - ( - a + b - c)+ a }■ 0 .
4 m
—
( 2 m
+ ñ —
3
] +
[ —
4 n —
2 m
+ 3 ) .
I’A S í M T C S I Ü
7. 8.
2 x + [ —5 x —( ~ 2 y -f {—x + y j)). x2- { —7 x y + (—y2+ ( —x 2+ 3 x y —2ys))
9.
~ ( a + 6 ) + [ -3 a + b -{ - 2 a + b -(a - b )} + 2 a ] .
10. 11. 12. 13.
( - x - i y ) - f l x - f 2 y + f - x - y - x + y ] j. —(— ( ú + b ) —( —2«-l-3b)+(—b + « —b)]. 7 m * H —(m 2+ 3 n —(5—« )—(—3+ m»*)J j —{2n+ 3). 2a—(—4 fl+ b )—j - ( - 4 a + ( b - a ) - ( - b + « ) ] } .
14.
3 x - (ñ y -f[— 2 x +
1C. 16. 17.
Gc~[--(2b-|-(3n—c )+ 2 —(—a + b —c + 4 )]—(—« + b ) j.
18.
- | - 3 x - K - x - £ F 5)]-H ~ ( 2 x + y ) + ( —x —3 ) v 2 —x + y j .
20.
{y
0
61
— G T x } — ( — x + > ') ] ) •
- [ - ( « l b ) ) H + [ - ( - * - « > 1 ► -«+*.
21. ~{-Ha+b-c)] >-j+[-(c-fl+b)j}+H —o4*(—b)\).
11.
22. 23.
—[3m+^ —tu —(n—hH-4) —(»«+«)+(—2n (-3) ¡-]. - [x+ l —(x + y )—[—x-b (y —z)—{—x + y ) |—y \].
24-
—[—a + { —«-}•(«—b)—¡i—b + r —[—{—«) I bjj-].
IN T R O D U C C IO N DE SIG N O S DE A G RU PA C IO N
•18 } S a b e m o s q u e -
-------------- « + {— b i- c) - n — b + c
lu e g o , r e c í p r o c a m e n t e : ----------------- *
a — b + c = a I-
H e m o s v is to ta m b ié n q u e
>
a — fb — c ) - a — b + c
>
a — b -I- c = a — ( b — c).
lu e g o , r e c íp r o c a m e n te : ----D e l p r o p io m o d o ,
—
—
b + c).
a + b - c — d — c = a + ( b - el
L o a n t e r i o r n o s d ic e q u e ¡os té r m in o s d e u n a e x p re s ió n p u e d e n ag ru |w rs e d e c u a lq u ie r m o d o . lista e s la L e y A so c ia tiv a d e la su m a y d e la re sta . P o d e m o s, p u e s, e n u n c ia r la sig u ie n te : R EG LA G E N E R A L PA R A IN T R O D U C IR C A N T ID A D ES EN SIG N O S DE A G R U P A C IO N 1) P a r a in t r o d u c ir c a n tid a d e s d e n tr o d e u n sig n o d e a g r u p a c ió n p re i r d i d o d e l s ig n o •!• se d e ja a c a d a u n a d e las c a n tid a d e s c o n e l m ism o sig n o q u e te n g a n . 9.) P a t a i n t r o d u c i r c a n tid a d e s d e n t r o d e u n sig n o d e a g ru p a c ió n p r e c e d id o d e l s ig n o — se c a m b ia e l s ig n o a c a d a tin a d e las c a n tid a d e s «pie se in c lu y e n e n él.
6 2
<•
A « : r .iiH A
E jem p lo s (1 I Introducir los fres últimos términos de la expresión: x:l — 2xa -f 3x —
E JE R C IC IO
33
In tro d u c ir los tres ú ltim o s térm in o s «le Jas expresiones sig u ien tes d e n tr o de m i p arén tesis p re cedido d e l signo + : ________________ ._____________ / *
In tro d u c ir los tres ú ltim o s térm in o s tic las expresiones siguientes d e n tro de u n paréntesis p reced id o d d signo —: ___________________________/ "
1. 2. 3. 4. B.
o—M -c—d. x s- 9 x y - v-1 ti. x34-4x2- 3 x + 1 . /t»-r>(j-¿>-| 3 f d '- - /A x 4 x a+ 2 * = - 2 x + l.
C. v.
2n+ b- ft-d. x * + x * + 8 x —1.
8.
x * - 5 x '$ + '¿ x y *
9. 10.
>J .
«*—Xa- 2xy—y3. ( P + W - ib c - c * .
(31 Introducir todos los términos menos el primero, He la expresión 3cr + ?b —( a + 6 | — ( —2a r-3 b | en un paréntesis precedido del signo . Cambio-reñios el signo o 2b y pondremos —2b, y cambiaremos los signos que es'ón Helante de los porcnlesis, porgue cambiondo estos signos cambian los signos de las cantidades encerrados en ellos, y tendremos: 3a — [ —2b + {o + b | -I ( — 2a + 3b H . E JE R C IC IO
34
I n tro d u c ir torios los térm inos, ilíc itos el p rim e ro . d e las expresiones si guientes, e n u n p a ré n te sis p recedido del signo —: f
In tro d u c ir las expresio n es sig u ien tes cu u n p arén tesis p reced id o del tig n o —: ______________________________ S
1. 2. 3-
x-l-2y t-(x—y). 4 w —2n-|-3--(—« !+ » ) ‘ (2m —n). x - - 3 x y + [ ( x a—xyj-i-y*].
4.
**-3xa+ l-4 * + 2 ]-8 x -(a* + 3 ).
6.
2n 4-3¿* - { - 2 « + [o l ( b - « ) }
0. - 2 a + ( - 3 a + í» ) . 7. 2x---1-:t-vy—<>,=-4 xy)+{—x - i-y*). 8. x3—[—3x5 r 4 x —2). 11. [ m i 4— (3w 3+ 2 /» -t18)]H-{--2w»+3).
r i i AitOKAS ( 5 8 5 - 5 0 0 ) A. C . ) . Cólobrc fllótolo • ••»«i» nacido on Snmov y m uerto en M ctopontc . da t c a l i u r iu« prtmuros csludiot e n »u ciudul natal » l a j ó por Egipto y olio» paíve-a de Oriente. A -a ••ututo tu n d o U E»cuola de Crotona, q u e era
una sociedad acerola d e tipo p o tiflco -rnliq lo io , la i a lca n zó gran p tepond orancia. Fuu «I primorn locar .t l.t li.i*o do las c ip o c u la c io n c i trlm n lu ti co n ce p to ! fundam éntale» du l« m aternal., a )| dol núm ero el p rin cip io universal por «»i»l»«
CAPITULO
MULTIPLICACION ( 50
M U L T IPL IC A C IO N r s u n a ojm-iu i iú n q u e tie n e p o r o b je to , lla llas d o s c a n tid a d e s lla m a d a s m u ltip lic a n d o y m u ltip lic a d o r , h a lla r u n a i r t . i ia c a n tid a d , lla m a d a p r o d u c to , q u e sea re sp e c to d e l m u ltip lic a n d o , en v alo r a b s o lu to y sig n o , lo q u e e l m u ltip lic a d o r es re s p e c to d e la u n id a d p o sitiv a. I I m u ltip lic a n d o y m u ltip lic a d o r so n lla m a d o s fa c to re s d e l p ro d u c to . '■I
MI o r d e n d e los fa c to re s n o a lte r a el p r o d u c to . E sta p r o p ie d a d , de m o s tra d a e n A r itm é tic a , se c u m p le ta m b ié n e n A lg e b ra . Así, e l p r o d u c to ab p u e d e e s c rib irs e ba; el p r o d u c to a b e p u e d e e sc ri b irse ta m b ié n b a c o-. E-.i .i es la I.e y C o n m u ta tiv a d e la m u ltip lic a c ió n . 5 2 ) L os f a c to re s d e u n p ro d u c to p u e d e n a g ru p a rs e d e c u a lq u ie r m o d o . A sí. e n el p ro d u c to a b e d , te n e m o s : /"
n b e d - a X { b a l) — {ab) x ( cd) - (a b e) X d .
E sta es la L e y A so c ia tiv a d e la m u ltip lic a c ió n . 63
6 4
A
AL6UKA
( 5533 ) LEY DE LOS SIGNOS D is tin g u ire m o s d o s casos: 1) S ig n o d e l p r o d u c to d e d o s fa c to re s . S ig n o s ig u a le s d a n E n efecto : 1.
E n e ste caso, la re g la es:
+ y sig n o s d if e r e n te s d a n
_
( + a ) x ( + b ) = + ab,
p o r q u e se g ú n la d e f in ic ió n d e m u ltip lic a r , e l s ig n o d e l p ro d u c to tie n e q u e s e r re s p e c to d e l s ig n o d e l m u ltip lic a n d o lo q u e e l sig n o d e l m u ltip li c a d o r es resj>ecfo d e la u n id a d p o sitiv a , p e ro e n e ste caso, e l m u ltip lic a d o r tie n e el m is m o s ig n o q u e la u n id a d p o s itiv a : lu e g o , e l p r o d u c to n ece sita te n e r e l m is m o s ig n o q u e el m u ltip lic a n d o , p e ro e l sig n o d e l m u ltip lic a n d o es + , lu e g o , el s ig n o d e l p r o d u c to s e r á I-. 2.
( - a) X (+ b ) = — a b,
p o r q u e te n ie n d o e l m u ltip lic a d o r el m is m o s ig n o q u e la u n id a d p o sitiv a , el p ro d u c to n e c e s ita te n e r e l m ism o s ig n o q u e el m u ltip lic a n d o , p e ro éste tie n e lu e g o , e l p ro d u c to te n d r á 3.
(4 -/i)x (- b ) = - a b ,
p o r q u e te n ie n d o el m u ltip lic a d o r s ig n o c o n tr a r io a la u n id a d p o s itiv a , el p r o d u c to te n d r á sig n o c o n tr a r io a l m u ltip lic a n d o , p e ro el m u ltip li c a n d o tie n e + , lu e g o , e l p r o d u c to te n d r á —. 4.
( - a ) X (—
+ ab,
p o rq u e te n ie n d o el m u ltip lic a d o r s ig n o c o n tr a r io a la u n id a d p o sitiv a , el p r o d u c to h a d e te n e r s ig n o c o n tr a r io a l m u litp lic a n d o ; p e ro éste tie n e —. lu eg o , e l p r o d u c to t e n d r á + . „ . + por da + . I .o
a n te r io r p o d e m o s re s u m ir lo d ic ie n d o q u e _
~
~
^
1‘
p o r j_ da 2)
S ig n o d e l p r o d u c to d e m ás d e d o s fa c to re s.
E n este caso , la re g la es:
a ) lil Signo d e l p ro d u c to d e v a tio s fa c to re s es -|- c u a n d o tie n e u n n ú m e ro p a r ile fa c to re s n e g a tiv o s o n in g u n o . A sí, (— a) x ( — b ) x (— c) X ( —d ) = a b ed E n e fe c to : S e g ú n se d e m o s tró a n te s , el s ig n o d e l p r o d u c to d e d o s fac to re s n e g a tiv o s es + ; lu e g o , te n d re m o s : ( - ti) x { - b ) x ( - c) x ( - d ) = { - « . - f>) x ( - c .— rf) = (+ «f/)x(K:d)= a b ed . h ) f-'.l Mgtio d e l p r o d u c to d e v a rio s fa c to re s e s — c u a u d ó tie n e u n a d itic io iitip u r d e fa c to re s n e g a tiv o s. A si, (—a ) x { — b ) X {— c) = —ab e. E n e fe c to : ( - «) x ( - /;) x {—c ) = [ ( - a ) X (— b)J x (— c) — ( + «/;) X ( - c) = - abe.
M U L T IP L IC A C IO N
•
6 5
5 4 J LEY DE LOS EXPONENTES J’a r a m u ltip lic a r jx itc n c ia s d e la m is m a b a se se e s c rib o la m ism a busf: y no le jiy iie ]>r>r e x p o n e n to la s u m a d e los ex já m e n lo s d e los fa c to re s. A si,
X a 2 = a i '* tS = a,J.
E n e fe c to : a ' X a 1 X a 2 — nana X aaa x a a = aaaaaaoaa = a°. ( 5 5 1 LEY DE LOS CO EFIC IEN TES ■' F.l c o e fic ie n te d e l p r o d u c to d e - d o s fa c to re s es e l p r o d u c to d e Ion m e (¡c ie n to s d e lo s facto res. A si,
da x i b — 12ab.
E n e fe c to : C o m o e l o r d e n d e fa c to re s n o a lte r a e l p r o d u c to , te n d r e m o s : /"
da x i b = 3 x l x n
■ h • 11
(5 6 )
CASOS DE LA M U L T IP L IC A C IO N D is tin g u ire m o s tr e s casos: 1) M u ltip lic a c ió n d e m o n o m io s . 2) M u l tip lic a c ió n d e u n p o lin o m io p o r u n m o n o m io . 3) M u ltip lic a c ió n d e p o lin o m io s.
I
M U L T IP L IC A C IO N DE M O N O M IO S
(5 7 )
REGLA S e m u ltip lic a n los c o e fic ie n te s y a c o n tin u a c ió n d e e s te p r o d u c to se c -itrib c n las Ietr.ts d e lo s fa c to re s e n o r d e n a lfa b é tic o , p o n ié n d o le a cada le d a u n e x |H » ie n te ig u a l a la s u m a d e los e x p o n e n to s q u e te n g a e n los lai to te s. El sig n o d e l p r o d u c to v e n d ió d a d o p o r la lx :y d e los sig n o s (B3).
Ejem plos
< i 1 Multiplicar 2o* poi 3o:i. 2a* X 3o3 “ 2 X 3a'-** — 6 o \ R. O signo del produelo ns -J- porque + por + da - t.
( J Multiplicar — x y - por — Sm rfy9 \ — >.yi ) X { 5inx’V J = 5mx l *‘ y*‘ s = 5 t» x V . R. El signo dol producto es -I- poique — por — por — 4f>*x. 3o5fc X (— 4 b 'x ) — — 3 X A a'b l *3x = - I ?o*f>3x. El signo del producto os — porque -I- por — d a —.
R.
I ) Multiplicar — ab- por 4o“ i>ncs. | -
o b 3) X v lo - b V
=
-
1 X 4 a 1“ 'f>2* t,c 3
=
-
4 a m ‘ 1b - V .
R.
El signo del producto es — porque — por + do —. E JE R C IC IO 3 5 M u ltip lic a r: |»or - 3 . 3. —15 jx>r 1G. p o r —8. -I- ah p o r —ah.
ü. 2x* p o r - 3 x . G- —1a‘b p o r —ah3.
7. - S x 3)» jx>i x 8. a*ba p o r 3«b
6 6
•
). I I. 1.
-4m*, p o r - f y n t f i p . f)«“)' p o r —l>v-. - x - y * p o r — ly'z4. abe p o r a i .
i2. J. i 5.
A tC ÍB R A
13. 14. II). 16-
—lú x ,y1 p o r IG n V . 3rt2¿ :¡ («»r —tx “y. 3«SÍ>* p o r 76ax*. —8»r-i);1 |h>i —9«a»iJf'.
17. 18. 1020.
<>"!>" p o r —ah. —¡io"b" p o r —6a2b ttx. x uy ° c |««r—x"y"e*. —i» 'n y p o r —6 m sn.
(5 ) Mulliplicor por —3 a " 2b*. ( o * * '^ ’2 ) X ( — 3 o "*b*) — — 3a**, ' ” "b’”"‘:i -
3 0 * * 6 “ *. R.
(61 M ulliplicor — o " " ,b " " * por | - o” ,1b - " ) X |
R.
E JE R C IC IO 36 M u ltip lic ar: a"‘ p o r o '" * 1. —x ' p o r —x " ' -. 4a"b* p o r —« i» * '1. —an , l b " r> p o r a n*sb ".
6. 7. 8. 9.
-3 ií" • •/»" - * por — 4 « " ' " /) * * :i. M
1 = 4o*" 'b * '--.
10.
Sx2)'1 p o r 4x", - ,y" ‘ 2. 4x* • -Vr* *•*p o r -^^x’" . ‘>b í ^ , . a"'b"c p o r —n"b'in. —x * " ')>*•- p o r — ó w ’ o " >c jio i — 7 r« -*_i'n t’“ J.
JJ
17 > Multiplicar j o sb por • -‘-o*/». IÜ -O7b 11 —4icr'm ) = —.;1X4 ;Oflbm = —«,*ar,bm.
R.
18) Mulliplicor — j x V por — ^ x uy ',,i i - * x v ) f - S * v * ) = * .* h
E JE R C IC IO
y ,I ,a = 7 « " * V “
*■
37
E lc ctu a r: 1.
2.
— a -
]K > r
--a * !).
{ /n '-a po r — ^ r t,J» i!l.
n
a'".
7.
7 « por
8.
— —si" [»or - { a b * . i
9.
—amb n p o r - * ü ab*c. c
3-
*x2y* p o r — {-a2x«y. /i ••
■*
— ‘ ^«sn■, p o r —~ a * in 3r/.
10.
— —a'b »• * i p o r
B.
— --a b e p o r ~ o :i.
11.
—amb" p o r - { « s » 6*M
ü.
- ± xy
12.
- i . . . ib i~aci j>or —
p o r - - « * < 7 *.
ti
*-a*“ , frni.
¡7 ) PRODUCTO CO NTINUADO M u ltip lic a c ió n «le m;«s «le «los m o n o m io s .
Ejem plos
(11 Efectuar ( 2 a | | - 3 o sb | | - o b * | . < 2 o | | - 3 o Jb H - o b ,) - « í o ' b '.
R.
El signo del produelo es + porque hay un número por do focloro» negotivo»
M U L TIP L IC A C IO N
12)
•
67
Efectuar ( - x * y ) \ - 3 x » ) f - j o V ) . (— x-y I I - Jx “ ) ( - J o V J = V ' 1- R El signo dol producto os — porque tiene un número impar d e {adores negativos
E JE R C IC IO
38
Multiplicar: 1. 3.
(a )(-3 a )(a -).
7.
(3 x *^){-x *7y /\ X -a“* *V* x ). (_ m2nX_ 3m iK _ 5 m n l).
8.
->. (—a'*)(—2«lr)(—3«a¿r*). «. < II
£
*
*
)
1L. <
-
» '). « % ( - T m > )(-r,ü^ ) ( - - a «m‘).
(n " 6 * )(-a s) ( - 2 a í» ) ( - 3 a ax).
i 2.
M U L T IP L IC A C IO N D E PO LIN O M IO S POR M O NOM IOS
5 9 1 S ea el p ro d u c to (a -I b )c. M u ltip lic a r (n i b ) p o r c e q u iv a le a to m a r la s u m a {fl -4 b ) c o m o su m a n d o c veces: lu eg o : (a + b )c — {n + b ) + ( a b ) -p (ti t b ) c veces -(fl+ ii - a c veces) + (6 + b + b . . . . c veces) = ac + be. Sea el p r o d u c to ( a - b ) c . T en d re m o s:
(o - b ) c - { a - b) + (« — &) + {« — b ) . . . . c veces = ( a + a + a . . . c veces) - ( 0 + b + b . . . c veces) — a c — be.
P o d e m o s, p u e s, e n u n c ia r la s ig u ie n te : 6 0 ) R EG LA PARA M U L T IP L IC A R UN POLINOM IO POR UN M O NOM IO S e m u ltip lic a el m o n o m io p o r c a d a u n o d e los té r m in o s d e l p o lin o m io , te n ie n d o e n c u e n ta e n c a d a caso la re g la d e los sig n o s, y se s e p a ra n los p ro d u c to s p a rc ia le s c o n su s p r o p io s sig n os. E sta e s la L e y D is tr ib u tiv a d e la m u ltip lic a c ió n .
Ejem plos
( I ) M ultiplicar 3x s — óx + 7 por 4ox®. rendremo»: (3xa —6 x + 7| X A a x 2 — 3x 2 (<1oxs } — 6 x { 4 v x J \ + 71*
= 12a** - 24ar* + 2 W .
lo operación suele disponerlo olí: /
R.
3x2 - ó * + 7 4ax2 I2cix* - 2-tox' +• 2flax'
6 8
•
A L C i& O A
a3* - 4a V (2 )
M u ltip lic a r a :lx - 4 o 2x 2 + 5 a x ! por -
x4
2 o 2x . --------------------------------
_ 2aV .
( j ) M u ltip lic a r x Mly - 3x*y2 + 2 x * V - x l ' V x '" V -
+ 5ax4 - x 4
~ 2t*X _____________________________ _____
+ Ba4¡(, _ 1 0 o V + 2 o * x 6.
p o r - 3 x2y ” .
3x°y5 + 2 x ‘ - V - *“ V
- 3x2y“ - 3x"»y“ »« HEJERCICIO
_ óx-'y®*» -|. 3 * y » 4. R.
39
M u ltip lic ar: 3x*—x 2 ]>or —2x. 8xay~-3y2 p o r 2<*x3. x3—4 x + 3 p o r —2x.
(4 )
«*— « ' "
i
»
10. 11. 12. 1314. 1016. L7. 18.
8«*6*+i »n p o r ~ S aay2. ' 3—a"~9b* 4 6 p o r 4a,,¿ 3.
M u ltip lic a r - p c V — V y 4 + V
i
«•
a” —«“ -H -n ” - 2 p o r -2«. x m r + S x 1"!-*” - ’ p o r 3xJt”. a ’'í i » + a » - i i " i » - ú ,,-=itn ' ! p o r xs—3 x 2+ 5 x —6 p o r —4-V2. a* 6tí*x i ÍM1* 2—8 [K>r 3l»x*. a " - 3—3 a " -'2-4a2xy2. x » * 4—3x* * 4+ x * 4 *—5x-*' i por - 2 x 2.
p a r - ? o 2x*y9.
l*
4*
f « y - J x V + ; y*
- =z»o V y' 4 + fir»a V y ’ - ^«¡io V y * . E JERCICIO
R.
40
M u ltip lic ar: 1 2, 2 •-■a - •"& p o r ,a * .
G.
3a - 5b + Gr.‘ p o r - -^fl2Xa.
2 3, —« — jx>r -
7.
l x« _ xy + i y «
x 1 , 2 n „ —a - —0 -t- —r p o r —-jflí*.
8.
^ - - V - l - V - ’- ^ - 2 p ° r —
•~a* +
/tb — —b- p o r 3a-’x.
0
7 » n * - + —7 -rwn2 — -~-M3 ]tor y / n 2»8.
1 o 2 * o „ 3 % 7 * * - 7 1 7 - 751® IK)r 7 7 -
10.
a ai
por - * * y .
7 X° - 7 * y + V x2>'4 “ ¿y * lK,r “ 7 a *x V -
69
M U L T IP L IC A C IO N
III.
M U L T IP L IC A C IO N DE P O L IN O M IO S POR PO L IN O M IO S
61 ) S e a e l p r o d u c to (a + b — c ){ m + n ). H a c ie n d o r n -i-u — y te n d r e m o s : (a + í; — c) {m + « ) = {« + b — c )y = a y + b y — cy { su stitu y e n d o y p o r su v a lo r m + » ) ------ — ------------------------------------►
—d (m + n ) d b (m + r¡: - a»¡ \ a n b tn i b u
m >, i etn
—am + Itm — cni - an ■■hn P o d e m o s , p u e s , e n u n c ia r la s ig u ie n te : 6 2 ) REGLA PA RA M U L T IPL IC A R DOS PO LIN O M IO S Se m u ltip lic a n to d o s lo s té r m in o s d e l m u ltip lic a n d o p o r c a d a u n o d r los té r m in o s d e l m u ltip lic a d o r , te n ie n d o e n c u e n ta la L e y d e los signos, y ve r e d u c e n los té r m in o s s e m e ja n te s . ( ! I Multiplicar a
Ejem plos
4 par 3 T rr.
Los dos factores daban ordenarse con lalación a uikj misma laIra.
Tendremos:
a —4 a + 3 o |cr| — 4 (a ) •I- 3(o) — 3|4)
a - 4 o+ 3 o sea
u -4 a 3 a - 1? 9 » - a — 12.
R.
Hemos multiplicado el primer término del multiplicador a por los dos tórmi nos del multiplicando y el segundo término del multiplicador 3 por los dos términos del multiplicando, escribiendo los productos porcioles de modo que los términos semejantes queden en columna y hemos reducido los términos semejantes. (
2
)
Multiplicar 4x — 3y por — 2y + 5x. Ordenando en orden descendente con relación o lo x tendremos: 4x 5x
—
4x 5x -
3y 2y
4x(5x) — 3y|5x) - 4 x |2 y j + 3y(2y)
o seo
3y 2y
20x2 — 15xy. - 8xy+6y: 20x* — 23xy + 6y-.
E JE R C IC IO
R.
41
M u ltip lic a r:
n + 3 p o r a —1. n - 3 p o r n+1. x + 5 p o r x —1. mi—6 por, mi—G- x + 3 por - x + 5 .
6. 7. 8. fl. 10 -
—a —2 jior —« —3. 3 x -2 y por y+2x. —Iy+f>.v por -3 x + 2 y . 5a—7 b por CI+3Ó. 7 x -3 |ior 4+2x.
11. 12 13
—a + b por Owi—5 » p< fin—9 mi jk
I!.
—7 )'-3
,
70
®
ALGfORA
<31 Multiplicar 2 4- o2 — 2o — a 5 por o 4-1. 2 - ?o + o5 - o3 1+ o Ordenando en orden ascendente ^ con relación a la a tendremos-- /
2 — 2a + o * - o 3 2a - 2a* + rr1 — o4. 2
-
a4. R.
a3
(4 ) Multiplicar 6y3 4-2x2 —5xy por 3x3 — 4y3 4 -2xy. 2x*3x3 • O r d e n a n d o e n o r d e n d e s c e n d e n te con re la c ió n a la x ten d re m o s:
,
^x
5xy + 2xy -
15 x y 4 ' '® * V ‘
^
/
6x‘ < 5 1 M u ltip lic a r x - 4x2 t- x* - 3 p o r x* -
6y2 4y*
~ 1° XJ + - 8x7y 4- 20xy3 - 24y4
I IxV
-4- 3 ? x y s — ? 4 y 4.
R.
1 -H 4 x 2.
x* - 4x* + x - 3 x3 4*1 - I Ordenando en orden descendente con relación a x, tendremos: Z'
(6 I Multiplicar 2x — y + 3z por x — 3y — 4r 2x y x —3/ 2x2 -
* 3z — 4z
xy -i- 3 xz
6xy -8 x 7
-t- 3 y 2 — 9yz -|- 4 y z — 12z*
2 x a - 7 x y - 5 x z 4- 3y= - 5yz -
12 r* .
R.
E JE R C IC IO 4 2 1. Z
3. 4. 0. (i. 7. 8. 0.
10. u. 12.
M u ltip lic a r; xa4-xy4-y* p o r x —y. a¿ \ b - —2ab p o r a —fe. /ií +feí -f-2fffe p o r «4-fe. x, - 3 x s+ l p o r x + 3 . <**—«4-a* p r a - 1 . w 4- f w 3« a-t-« 4 jK>r tn¿—n -, x*~ 2xa-|-3x—l p o r 2x4-3d y -'+ S -ü y p o r y- i 2. m*—ffia+ m —2 p o r «m +is. 3a*—5afe+2b2 p o r la —f»fe. 5m4—3wta« a- f n 4 p o r ;)w—n. a*4-a4-l por a*—« —1.
13. 14. 15. 16. 17.
18.
19. 20 .
.
21 22 .
23. 24
x*4-2xa x p o r x*—2x4-5. w 3—3» "n-i-2mri- p o r m a—2 m « - 8 » 2. x i + ) J x p o r xa—x — 1. 2 - 3 x l-x ' |>or xa—2x4-3. rw*-4rn-rwr-—1 p o r «1*4-1. a3 óa4-2 p o r a a—ad-5. x :‘ -2x>H-y- p o r xy—x*'-|-3y2. ny 2m4-1 p o r « a—1. a* 3o2fe+4«fe'-' p o r flafe—2afea—10fe3. 8x> - 9y*4-6xyí —12x*y ¡x>r 2x4-3y. 2v’ t-y—3ya—I por 2y4-5. 3.»5 - «a4-2axs p o r 2a'J- x * - 3 a x .
M U L T IP L IC A C IO N
37. 33. 39. 40. 41. 42. 43. 44.
^
•
|
O JL .
771
32. 33 84. 35. 36.
7í:,- í i + / i zt 1 p o r - ' por :tx" i 1 / ; —3«+ 2 « 2—4«3—I poi a 'x 1 x 3 K v - x l-l p o r x » -2 x s -t-3x n i 3«4—b a + ,¿ 'i2— 4 j«>i
.7 7 7 1
(7 1 7 1
0 7 1 1 -—
¿7 7 1 1
I
5>'1—'{)■•-l>'--l-2y p o r ro 1—2ni*M+3inBrt*—4 n 4 p o r h" ¡5mn-1 3m-H m 3. x e—3x’,)ia—x ^ y '+ y 0 p o r x s—2xay*+8x>''. 30<‘-C « r4 -2 n ---3 « (-2 p o r «< -3 fl-+ 4 « -5 . a + b —c p o r a—6 - r C . x r 2 y ~ : (K>r x —y-‘ z. 2 x - 3 > t 5 l |Kir y + 2 i - x . x1 ) y- 112' xy x z - y z p o r x+ y+ z.
(63 jM U L T IP L íC A C IO N DE PO LIN O M IO S CO N — EX PO N EN TES LIT E R A L E S
o 11’- — ? o ,r" ' —4o" -2 o
o " " 1 - 2a " " 3 - 4a,,,:
2a«»a-|-4a“ ,s I O.. -*» o 1" ' — 4a""3 < I M u ltiplica r x l t i - 3x“ - *■** + x - s por x"’ 1 -4- x* - f
4X*1.
x*‘ £ - x “ * - 3x'• + x '- ‘ x*” + x ‘ + 4x* 1 x ü ».2 _
XS » I _
3 x 2 .. +
^ x 31’ *1 - 4x,n -
x!l»l
„ 2u -l
12x3" - ' + 4x-’" “
- 6x^ _ |
R
E JE R C IC IO 4 3 M u ltip licar: 1. r x ^ - ^ x * * ’. 6. 3rt*-J- 2 r t ‘~u l-ri‘ p o r a*-l-2a—1. 7. 3rt*'* ■.n t -'2A ' - p o r a*~ax ti. m “ ' ‘—2 mi* * m ‘ 1 1' p o r ‘ -*-r 9. x*-M -2x‘ - 3- x * x « -* p o r x* : v -x' 10 n " b —/>" ,5a+2rj" -*fc1 |xji /¡' b ^—a"~sb ,. 11. «*+6* p o r a l" + 6 “ . 12. /i’ l—0a~l Jior a—b. 13. ri?"' • 1—5aJ"' * ®+3o-'" p o r 14 x* • 7 ' 1 . 3 x » y • ' |x * • '>•• pro -2 X 8* - ') '* -I 0 x 5" 3y«— t x 5*’ ;y ' >.
+ 8d "*'
72
•
A tC IB K A
(^64 6 4 J) . M U L T IP L IC A C IO N
DE PO LIN O M IO S CON C O E F IC IE N T E S FR A C C IO N A R IO S
^
E jem plo s (1 )
M ultiplicar
í — *- V**' ~*Xo x*y
* x a — jx y por \ x — p r.
- j x 8y + ¿ x y a 1 ..
as ,
, <
..
„
; x « - - x * y |.- x / s. R. los productos de los coeficientes deben simplilicoise. i,,i 2_ 1 *. 1 i a nemos: 5 X 5 - — ; ¿ X-; = - = -.
(2 )
Multiplicar
Así, en este coso, te-
^o3 I |b*' —£cb por ^|az —y.db —] b 2.
5°B
>
+ ->
! a a _ l ah - l y i y - L 0 3b + ‘# a V -
8»
E J E R C IC IO
Jcr’b + ¿ e r b '- '- Jo b 8
44
Multiplicar; 1
1
.
í
.
i
,
ü.
• imP + S
x - j 7 p o r ,¡y + T x .
6-
: + ± x _ i . po,. 2X3 - -¡-x + 2
t x'j -
7.
T*” 7
P ° r r , + T &-
S
6
,
+
I
p °r } * - i? -
-j-a8 —o b + -^62! p o r \^a - f b. i, 9.
10I..
1 , 1 ,
7 +T
8. 1
, 1 ,
(tx - 4••• x 2 + 3
\* * n Ts * * “ 1
,
1
,
-fx 8 + ^ * y * — J-xay —Y x *y |>or iK,r 7-J-x2 x -• * „
1 , x
" 7 X+ “7X I*,r T x “ 7 + u x>
-* «i* — ’ m*n + p m « 8 — -j-u8 p o r -^-m3 + —«8 — |-wi
MULTIPLICACION
•
73
M U L T IP L IC A C IO N POR CO EFICIEN TES SEPARADOS L a m u ltip lic a c ió n d e p o lin o m io s p o r e l M é to d o d e c o e fic ie n te s se p a ra d o s a b r e v ia la o p e ra c ió n y s e a p lic a e u los d o s casos s ig u ie n te s : 1) M u ltip lic a c ió n d e dos p o lin o m io s q u e c o a te n g a n u n a sola le tr a ) e s té n 01 d e n a d o s e n e l m is m o o r d e n co n tc la c ió n a esa le tra .
Como el primer létmino del multiplicando tiene x3 y el primer termino del multiplicador tiene x3, ol primer término del producto tendrá x5 y como en lo» factores el exponente de y disminuyo uno unidad en coda término, en el pro ducto el exponento d e x dismiouirá también una unidad en codo létmino, lar go el producto será: 6x* + 8x* - 7x* + 22*» - 23x + 6. R. ( ¿ ) Multiplicar o-1 —6a1 + 2o — 7 por o* —2 a + 4 pot coeficientes separados. Escribimos solamcnto los cooficicntes, pero como en el multiplicando falta el término en a* y en el multiplicador falta el término e n adscribim os cero en los lugores correspondientes . a esos términos y tendremos.
Como el primer término del multiplicando tiene o'* y el primoro del multipli cador tiene a ”, el primor término del producto tendrá a T y como en los facto res el exponenle de a disminuye de uno en uno, en el producto también dis minuirá do uno en uno, luego ol producto será: a T - 8oB+ 6o« + 5o3 — 28o= + 72a - 78.
R.
O B S E R V A C IO N
Si en ambos foetoros el exponento do lo letro común disminuye do dos en dos, de tros on tros, do cuatto en cuatro, etc., no es necesorio poner cero en los lugotes correspondientes o los términos que falten; sólo hay que tener presen to quo en el producto, los exponentos también bajarán de dos en dos, de lie» en lies, de cuatro en cuatro, etc. 2) M u ltip lic a c ió n d e d o s |K >Iinom im h o m o g é n e o s q u e c o n te n g a n sólo Ic u a s c o m u n e s y «atén o rd e n a d o s e n e l m is m o o rd e n c o n re la c ió n .1 u n a las le tra s.
74
•
AL6CUHA
U n p o lin o m io es h o m o g é n e o c u á n d o to d o s su s té r m in o s so n h o m o g é neos, o sea, c u a n d o la s u m a d e los e x p o n e n te s d e las le tra s e n c a d a té r m in o es u n a c a n tid a d c o n s ta n te . E l p r o d u c to d e d o s p o lin o m io s h o m o g é n e o s es o tr o p o lin o m io h o m ogéneo.
E jem p lo
M ultiplicar a 4 — 5a8in + 7a 2rns — 3m 4 por 3a 2 — 2mpor coeficientes sepe rodos.
El primer polinomio es homogéneo, porque la suma de los expórtenles de las letras en todos los términos es 4 y el segundo también os homogéneo, porque lo o tiene de exponente 2 y lo m también tiene d e exponente 2 . Escribimos solamente los coeficientes, poniendo cero en el multiplicando en el lugar correspon diente ol término en om;l que falta y partien do cero en el m ulliplicodor en ol lugar corres pondiente a l término n i ato que falto, y ten dremos: /"
1 -
5 +
7 +
0 -
3
3 -I- 0 - 2 3 - 15 + 21 + 0 - 9 -
2+ 10- 1 4 -0 + 6
3 -1 5 + 1 9 + 1 0 -2 3 -0 + 6
El primer término dol producto tondró o 4 y, como el producto es homogéneo, lu sumo de los cxponcnlcs de las letras en coda término soró 6 . Corno en los factores, el exponento de a disminuye una unidad en cada término y el de n i oumenta uno unidod en cada termina, en ct producto se cumplirá la mis ma ley, luego el producto será:
3oe - 15o5m + l?a1m* + ICa’m1 - X-
E JE R C IC IO
6m «.
R.
45
M u ltip lic a r p o r coeficientes separados: 1. xa- x 3+ x por x'2—1. 2. x ‘+3xa—f>xa+J) |ror x*—2x*—7.
3. a 4+3u*6 -2irEí»2-l-3«í»8—b* jhw az—üab+b*.
4. »i3+M3+6»»na 5m-n por rwa—4w»n-'—rr1. 5. x 4—Sxa+ 3 por x'-G x'-'-ñ. 0- a*—3e4—
m ,a —7m Hl-9m4 15 por m**—5 w ,a+íl««*—lt/r4+ 3 . xR—3x4y —6x:iy>-4x'-!y, --y* p o r 2x=+4y*. C«B—l/i^-rtío—2 por a 4—2«s+a 7. ne-3n«+5n! -S « + 4 por n4—3wa+43x4- 4 x ay - y ' jx»r xs-5 x y ?-r3yíx 1"—5.v'ly4-t 3xJyM--(i>,,<‘ p o r x " - 4 x 4y ? - y * - j x Jy4. n " —3a,,,“, + 5 a"’~s |sor
ICi
a* • *—5 a ''
7«,_l |>or dx-f6a*^, + 7 a í* s.
10. x* ♦a—5x*—(íx*-2 |xrr Gx* * ,-4x»+2x*-, + x4“». 17 t r _ r )(Ju. t |Mjr a,J.^x-«_r,rtS•+G<»*■•, -
MULTICLICACtOH
•
75
6 6 JPRO D U CTO c o n t i n u a d o d e p o l i n o m i o s
E jem p lo
Efectuar 3x(x + 3 )(x - 2 )|x I- \\.
A l poner los factores entre paréntesis la multiplicación está indicada. La operación se desarrolla efectuondo el producto de dos factores cualesquiera; esto producto se multiplica por el tercer factor y este nuevo producto por el factor que queda. Así, en esto caso efectuamos el producto 3 x(x 4- 3 | “ 3x" + 9x. Este producto lo multiplicomos por x —2 y tendremos: 3x 2 + 9x x — 2 ------------3x 3 + 9x— ¿x* — 18x
3x* + 3x2 - 1 8 x * +1
_ Este producto 50 * multiplico por x + 1: X
3 x H - 3x 3 - 18xz 3 x *-h 3 xg — 18x
3x* + 3 x * - l 8 x
3x« + ¿ x » - 1 5 x 4 - | 8 x .
R.
En virtud de la Ley Asociativa de lo multiplicación, podíamos también hober hallado el producto 3 x fx -b 3 ); después el producto ( x — 2 ¡( x + l | y luego multiplicar am bos productos parciales.
E JE R C IC IO
46
Sim plificar; 13-
4(n f-5 )< « -3 ). 3a 8( x + l ) < x - I ) .
3. 2 (tj-3 )(« -J)(fl+ 4 > . 4. (x8+ l ) ( x 8- l ) ( x * + l ) . ú. ■i V
8-
( x * — x-|- l) ( x 2+ x — l ) ( x — 2). »• (a“ - 3 ) ( a « - H - 2 ) ( < i" '- , ~ l ) .
m ( m — 4 )( r» — 6)(3nr + 2 ).
10. a (a —!)(« —2)(«—3> 11 (x —3)(x | 4)(x—5>(x-f 1). 12- (x 8- 3 ) ( x - + 2 x + l ) ( x - l ) ( x z-l-3).
3 x (x 8- 2 x - H ) < x - 1 ) ( x + l ) .
13. («»■»
( 6 7 ) M U L T IP L IC A C IO N C O M B IN A D A C O N
1)
S im p lific a r (x l- 3 )(x —4 ) + 3(.v
S U M A Y RESTA
l ) ( x + 2).
E fe c tu a re m o s el p r im e r p r o d u c to ( .v i 3 )(x - 4); e f e c tu a re m o s e l se g u n d o p r o d u c to Ü(x — ! ) ( x 4 2 ) y s u m a re m o s e ste s e g u n d o p r o d u c to co n el p rim e ro . E f e c tu a n d o el p r im e r p r o d u c to : (x + 3 )(x — 4) = x 8 — x — 12. E f e c tu a n d o cl s e g u n d o p r o d u c to : r
S u m a n d o e ste s e g u n d o p r o d u c to c o n el p rim e ro : (x J
x - 12) -I- (3x* f- 3x - t i ) - x* - x - 12 + 3*a I- 3x - 6 - 4x® + 2x - 18.
R.
7 6
A U G tBR A
2)
S im p lific a r x (a - b j- - 4 x(« + 6 )-.
E le v a r u n a c a n tid a d al c u a d r a d o e q u iv a le a m u ltip lic a r la p o r sí m is m a; a sí (o — b y e q u iv a le a (a — 6 ) ( « — 6). D e s a r r o lla n d o x (n — b)-. x(a — b f — x f a2 - 2ab + b'¿) = a - x - 2a b x + b 'x . D e s a r r o lla n d o 4x(fl -I- b)-. 4x(fi + 0 )' — 4 x(a 2 + '¿ab + bv) —4a¿x -I- ü a b x + 4 6 a*. R e s ta n d o e s te s e g u n d o p r o d u c to d e l p r im e r o :
»
a - x —2a b x i b'-x - {4a7x + 8 a b x + 4 6 a* ) = a 2x - 2a b x -I b -x - i a - x - 8a b x - 4 b 2x - - 3«-* - 1Oa/>x - 362x . R .
E JE R C IC IO 4 7 Sim plificar:
l(x+3)+5(x+2). 5(x*+4)-3(x-+ l)-l-5(x*+2>. { { a -x ) t-3 fl(x + 2 « )-« (x —3«). x*{y*+l)-Ht*(x*+l)~ 3 x V . 4»»*—5»m 3+ 3 m '-(m2+>(■'■) —3 m (>«- n i). y * + x y -* » (x * + l)+ y s(x* f 1 ) — 1 >. ú(x+2)—(x+ l)(x+ 4)—6x. (fl+5Va—5 )—3 (a+ 2 )(« —2)+ 5 (e + 4 ) . (« + 6 )( 4 « -3 6 ) - ( y e - 2 6 ) ( 3 f l r-6) -(a + 6 )(3 a -C ,6 ). (a -\-c)--(a—c)2.
11.
3{x+y)=-4
12 . 13. 14. 13. 16. 1718. 1Ü.
( w + « ) 4—(2fn-l-w)a+(wi—4«)2. x(a \ x ) - |- 3 x ( a + l > - ( x !)(«■1-2x)-(/i-x> * «-I-6—«r)?.+(l - ( x * - 2 + *)*+(**■ -x —3>*. 'x + y + í)» -(x -l-y )(x -y > + 3 (x s+ x jt I >-)• ■v+{2x—3)l[3x—(x + l)]-l-4 x —x2. 3
20 .
[{x-t-y)a-3{x-y)2)[(x+y)(x-y)+x0'->)]-
- 3 ( 0 ) - 7 i){.
8 }SU PR ESIO N DE SIG N O S DE A G RU PA C IO N ^ CON PRO DU CTO S IN D ICA D O S
Ejem plos
{ i ) Simplificar 5a -I- ( a — 2 [a + 36 — 4 (a + b ) ] }.
Un coeficiente colocado ¡unto a un signo do agrupación nos indica que hoy que mul tiplicarlo por coda uno de los tómanos en conados en el signo do agrupación. Asi. en esto coso multiplicamos • 4 por a - h h, __ _____________ y tendremos:
Sa + ^ o — 2 ( a + 3b — 4o — 4b] }.
Un ol curso de la operación podemos reducir térmi nos semejantes. Asi, reduciendo los términos seme jantes dentro dol corchete, leñemos:. Efectuando la multiplicación de — 2 por | — 3o — b ) tenemos:________ /
5a + { a — 2 [— 3a — b j }.
Ía -l ía 6a I 2b} & H - ( 7a -I- 2b} 5a I- 7a I 2b - »2o -I 2b.
R.
CA-MBiOS OE 1 IC N 0 5
»
77
(Z l Simplificar — 3|x -I- y) — 4 [ — x + 2 { — x -I- 2y — 3 |x — / -I- 2) ¡- — 2x]. 3(x + yJ 4 ( - x + 2{ - x t 2 y - 3 | x - y - 2) ^ — 2*| 3x - 3y 4 | - x -I- 2 ] — x -f 2y - 3x + 3y + 6 } • -2« | 3x — 3y — 4 [— x -I- 2 ^ - 4 x + 5yd -6 ¡- 2x| 3x — 3y - 4 [ — x — 8x + lOy 1 12- 2 x ] 3x — 3y — 4 [ — llx -l- 1 0 /+ 12] 3x - 3 / -I- 44x - 4 0 / - 48 41x — 4 3 / — 48. K.
Suprimiendo prime ro el vinculo, ten dremos: y
E JE R C IC IO 4 8 S im p lificar: 1.
x —|3a4-2{—x + 1 )].
2.
-(—a+ 2)]-
8.
—[3x--2y I (x —2y)—2 (x —y)—3(2xT 1)}.
4.
4x2—
5
2 a —¡ —3 x + 2 [—a-|-3x - 2 ( - a + b - 2 T á ) ) } .
6.
«—(x + y )—3 (x —y )+ 2 [—( x - 2 ) ’)—2 (—x —y)J.
7.
m - ( m + » ) - 3 ( - 2 m - i - [ - 2 m + n I 2{ 2+ w )—m -r n —1¡
8
—2(a—6)—3(
9.
—5(x-|-y) (2x—y-r2{ —x-l-y - 3 —x —y—l}]-i-2x.
3 x + 5 —(—x + x (2 —x)]
10.
m—
2 m + « —2 - 3( t w—» +l J ) +m} ) .
u.
—3(x —2 y )+ 2^ —4 (—2 x —3 { x + y ) ) ( x + y ) ]
12.
5 ^ - ( f l+ b ) - 3 ( - 2 f l+ 3 6 - ( f l+ ¿ » ) + < - < i- 6 ) + 2 ( - f l+ f r ) ) - o ^
13. J4.
- ^ + í — 2 (a -í» )-l-3 { -[2 « -lb -3 (íj - f b - l } ] } - ; i ( - a d - 2 ( - l + « } ] ^
í 6 9 ) CA M B IO S DE SIG N O S EN LA M U L T IPL IC A C IO N L as re g la s g e n e ra le s p a r a los c a m b io s d e sig n o s en la m u ltip lic a c ió n so n las s ig u ie n te s : (+ « ) ( + b ) = + „¿, y (~a) (-b ) = + a b . I) Si «¡e c a m b ia e l sig n ó a u n n ú m e r o p a r d e fa c to re s, e l s ig n o del p io d u c to n o v aría. Un e fe c to : S a b e m o s q u e (+ a )
= + ab
y
( —a ) ( —b) = + ab.
d o n d e v em o s q u e c a m b ia n d o e l sig n o a d o s fa cto res el s ig n o d e l p r o d u c to n o v a ría .
78
•
A LC IR H A
2) Si se c a m b ia e l s ig n o a u n n ú m e r o im p a r d e fa c to re s, e l sig n o d e l r ro d u c tn v a ria . E n e fe c to : S a b e m o s q u e ( + a) ( + b) -
\-a b
y
( + « ) ( - b ) = — fíb
o
{- a ) (+ b ) = — ab,
lo ttd c v e m o s q u e c a m b ia n d o e l s ig n o a u n fa c to r e l s ig n o d e l p r o d u c to ta rta . C u a n d o lo s fa c to re s s e a n p o lin o m io s , p a ra c a m b ia rle s e l sig n o h ay q u e :a m b ia r el sig n o a c a d a u n o d e su s té r m in o s . A sí, e n e l p r o d u c to (a — b ) [c d). p a ra c a m b ia r e l s ig n o a l ta c to r (a - b), h a y q u e e s c rib ir (b a), d o n ir v em o s q u e a , q u e te n ia + , a h o ra tie n e —, y b , q u e te n ia —. tie n e a h o ra I ; p a r a c a m b ia r e l s ig n o a (c d ) h a y q u e e s c r ib ir (d — c). P o r ta n to , c o m o c a m b ia n d o e l sig n o te m h e m o s 0 r
p ro d U rt°
U&M' -
y c o tilo c a m b ia n d o el s ig n o a tíos fa c to re s el p r o d u c to n o v a ria d e sig n o , te n d re m o s :
(a-b)(c-d) = ~(b-a){c-d) < a -fe )(c -d ) = -< * -b )(d -c > fa -b U c — = ' '
)(d — r\ r\ r
T ra tá n d o s e d e m á s d e d o s fa c to re s a p lic a m o s las reg las g e n e ra le s q u e n o s d ic e n q u e c a m b ia n d o e l sig n o a u n n ú m e r o p a r d e fa cto res el p r o d u c to n o v a ria d e .signo y c a m b ia n d o el sig n o a u n n ú m e r o itn ju ir d e fa c to re s el p r o d u c to v a ría d e s ig n o . A si. te n d re m o s :
(-i a ) ( + b)< + c ) = — ( - n) (•! b ) ( - r c) ( + « ) ( + & )(+ C) — ( I a ) ( - b ) (+ c) ( + « ) ( + b ) ( + e ) = - ( - « > ( - 6 > ( - e)
y ta m b ié n :
(+ « )(+ 6 )(+ c ) = { - a ) ( - 6 ) ( + c ) ( + « ) ( + b ) ( + t:) = ( + a ) ( - 6 ) < - C > (+ « )(+ b ) ( |c ) = (-« )< + b ) ( - c ) .
.
..
Si s e tr a t a d e p o lu to m ío s, te n d re m o s : / y ta m b ié n :
(
b )(c_ _ „j _ _ ^ _ d) {m =
_ b ) { d _ c){m _ „ ) a)( _ _ m)
(
P L A T O N 1 4 2 9 - 3 4 7 A . C . l U no do lo j m i i f i i i u l n lil.'.iofoi do ta A n tig ü ed ad . A lu m n o p redilecto do Sói ' i i n , dio a co n ocer la s do ctrinas clol M a e stro y las l u v n propias « n los fam osos Diálogos, en tre los que • - I n u l a n el T im e o , Fedó n, el Ban q u ete e tc . V iajó
por el m undo grieg o de tu ¿p o ca , y recibo la m il,., cia de los sabios y m a tem á tico s contom poránror ¿ I. A lc a m ó pleno do m in io de la s cie n c ia s da su tU a po. A l fun d ar la A ca d e m ia b iso in scrib ir en el Ir... t is p ic io : " Q u e nadie en tre a q u í si no sabe G co m aln a
CAPITULO
DIVISION 7O) 1-A D IV IS IO N es u n a o p e r a c ió n q u e tie n e p o r o b je to , «lado e l p ro d u c to d e dos fa c to re s ( d iv id e n d o ) y u n o d e los (a c to re s (d iv iso r), h a lla r e l o t i o f a c to r (c o c ie n te ). D e e sta d e f in ic ió n se d e d u c e q u e e l c o c ie n te m u ltip lic a d o p o r e l d iv i so r r e p r o d u c e e l d iv id e n d o . Asi, la o p e ra c ió n d e d iv id ir G/t- e n t r e :•!», q u e se in d ic a (¡re -r ?,n ó ~ . m u s is te en h a lla r u n a c a n tid a d q u e m u ltip lic a d a p o r :Ut d ó (jt r . Esa c a n tid a d (c o c ie n te ) es 2a. f.flS Es e v id e n te q u e = -— — 3a, d o n d e v e m o s q u e s i el d iv id e n d o m-
d iv id e e n t r e el c o c ie n te n o s d a d e c o c ie n te lo q u e a n te s e r a d iv iso r.
L E Y DE LOS SIGNOS 1.a ley d e los sigilos e n la d iv is ió n es la m ism a q u e e n la m u ltip li c a c ió n : . S ignos ig u a le s -!-+ « = •
p o i q u e el c o c ie n te 01112095 ' \ ‘ 1 > p o r el d iv is o r tie n e q u e d a r el d iv id e n d o c o n su s ig n o y s ie n d o el d iv id e n d o p o sitiv o , c u in o e l d iv is o r o p o sitiv o , el
80
•>
A lc c o iiA
c o c ie n te tie n e q u e se r p o s itiv o pava q u e m u ltip lic a d o p o r el d iv is o r r e p r o d u z c a e l d iv id e n d o : (+ a) X (-1- b ) = + ab . El c o c ie n te n o p u e d e ser - b p o r q u e m u ltip lic a d o p o r el d iv is o r 110 r e p r o d u c e el d iv id e n d o : (+ tf) X (— b ) = — ab. 2.
— a b -■— a = —
3.
+ a b -í— a —
= -i b p o r q u e (—a)X (4- b ) — — ab.
—a
= —b p o r q u e
(—a) x (— b ) — + ab.
■h.— a b + + a = ~ ~ ~ ~ = ~ b p o r q u e ( + « ) x ( - b ) = — ab. En
re su m e n :
+ e n tr e
+
- e n tr e
— da +•
da +.
+ e n tr e
— d a —•
—e n tr e
+
d a —•
LE Y DE LO S EXPO N EN TES P a r a d i v id i r p o te n c ia s d e la m is m a b ase se d e ja la m ism a liase y se 1> p o n e d e e x p o n e n to la d ife re n c ia e n t r e e l e x p o n e n te d e l d iv id e n d o y el ex la m e n te d e l d iv iso r. S ea el c o c ie n te a i -s- «l. D ecim o s q u e a>+ a i = - = u3 a ase n ie l c o c ie n te d e esta d iv is ió n si m u ltip lic a d a p o r el d iv is o r a6 r e p r o d u c e el d iv id e n d o , y e n efecto : a2 X «3 = er. L E Y OE LOS C O EFIC IEN TES El c o e fic ie n te d e l c o c ie n te es e t c o c ie n te d e d iv id ir e l c o e fic ie n te d el d iv id e n d o e n tr e e l c o e fic ie n te d e l d iv iso r. E n efecto: 20ztJ 4- 5a = 4a •ln es e l c o c ie n te p o r q u e 4a x 5a — '¿Oa2 y v e m o s cjuc e l c o e fic ie n te del c o c ie n te 4 . es el c o c ie n te d e d iv id ir '¿0 e n tr e 5. CASOS DE LA D IV ISIO N E s tu d ia re m o s tr e s casos: 1) D iv isió n d e m o n o m io s. 2) D iv isió n d e u n p o lin o m io jx ir u n m o n o m io . 3) D iv is ió n d e dos p o lin o m io s.
D I V IS IO N
I.
D IV IS IO N
•
81
DE M O N O M IO S
D e a c u e r d o co n las leyes a n te r io r e s , p o d e m o s e n u n c ia r la s ig u ie n te : 7 5 ) REGLA PARA D IV ID IR DOS M O N O M IO S S e d iv id e e l c o e fic ie n te d e l d iv id e n d o e n tr e e l c o e fic ie n te d e l divinen a c o n tin u a c ió n se e s c rib e n e n o r d e n a lfa b é tic o las le tra s , p o n ié n d o le a cada le tr a u n e x p o n e n te ig u a l a la d if e r e n c ia e n tr e e l e x p o n e n te q u e tic n r e n e l d iv id e n d o y e l c x jto n e n tc cp ie tie n e e n e l d iv is o r. E l s ig n o lo d a la I.c y d e los sig n o s. Y
Ejem plos
( I ) D ivid ir 40*1»* entre — 2ob. 4a 8b 8 4 o 8b s -5- -
poique ( — 2 o b ) X ( (2 )
2 o fa = — — —
¿Ob
=
•
2 a sb .
R.
2o'-’bJ = do’ b 3.
D ividir — 5 o 'b sc e n tic — o?b.
— 5ó*b*c — 5o*b 3c - i — o 2fi = ------ -— = 5oi b'Jc. —
o -b
R.
poique 5a"b'-’c X | — a-'b) = - 5a*b 8c. Obsérvese que cuDndo en el dividendo hny uno letra que n o existe en el divisor, en csic coso c, dicha letra cporece en el cociente. Sucede lo mismo que si lo c estuviera en el divisor con exponento cero porque tendríamos: c + c® — c1 0 = c. ( 3) D ividir - 2 0 m x V + ‘ix y 3. - 2
0
-®- 4xy 3
— !>1Í = - Smx. R. 4xy'
poique 4xyl X (— 5mx) = — 2Crnx*yJ . Obsérvele que lelros iguales en el dividendo y divisor se co/icelun porque su cociente es 1. Asi, en este coso, y 1 del dividendo se cancelo con y 3 de: d iv i sor, igual que en Aritmética suprimimos los rodares comunes en el nume rador y denominador de un quebrado. Tombién, de acuerdo con la Ley do los exponentos y '1 <■ y 1 — y -1 '3 = y ° y ve remos más adelanto que y ° ~ 1 y l como factor puede suprimirse en el cociente. ( 4 ) Dividir
Xmy ‘ z ' -
entro 3 x y *t8.
— x"y"z’i:_
i
8?
ALGEBRA
E JE R C IC IO
49
D ividir: 2-1 e n tre 8. —G3 entre —7. —ña2 e n tre —a. 1-|«3&4 enere —2ab2. —a'*b*c en tré a^ó4. —a-i» e n tre —ab.
8 0LO 11. 12 13 14
,>4x-y-V<
e n tre — ( 5 1 D ividir
—fir/i8» e n tre »n*n. - S a 8x 3 e n tre - 8 o 8x3. —x>,! enere 2y. 5x4y5 en tre —6x4y. ~ a " b V e n tre 8r*. Ifim ^ i’ e n tre - 5 « 3. —108aT¿>V‘ entre: —2(1£•«*,
15. 1C. 17. 18. 19. 20-
—2ni2ni> e n tre -3wr»i". a ' e tn re a8. —3«*ó" e n u e <¡b,¿. M "b "c e n tre ~Ciaab*c. a 'b " e n tre —la ,r,6 l . —3m "n’x8 e n tre —5 » i‘«8xa.
o 4,3b “ ‘2 e n lr e a**sl>“ *1.
o '- ’b—2 o ,,9fe", ‘ <6>
Dividir
3 , c ^ * V ~ = e n tr e - S x - V ' 1. =
S y 2 » * l <•' « y í » - í - í » - l » — _ v 2 » . 1 - i . « y 3 * - a - » . I — _ „ » . T y -J i i - I
— 5x*'4 y * '1 »■ ]. 2. 3 4:i
E JE R C IC IO
n
50
D ividir: a " 1 * en tre 2 x * -4 eneré —x* ■Ja"**8 enere —5«"r_5. x 8n ' 3 e n tre . —4 x * * 4. 4 a ' s¿»® c u tre —5a3í>*. I 7t
U
5
r. 78 0. 10.
- 7xniJyi"-> en tre -$ x * y2. ña8" - , b '~ 3 e n tre - t x i 2'" -8/;*-'. —4 x ’“ ‘y’ ' s é n tre .rx" 'y " - '. a«**<>*-* e n tre a3,¿>\ - 5 a 6 V entre 6a'*bv*.
Dividir " o 8b :lc e n tr e — ^rr8bc.
20*b*c = - y —T.o*bc E JE R C IC IO
51
D ividir: L.
A r* e n tre A * **
7
— ■ja*b*c* e n tre — - - a b V .
2
—y u
8.
*
3
—
i
x y * i3
—
^ n lre — ~r. a ¿b. i e n t r e
—
—
z * .
e n tre — A i/;8.
■¡■xy entre -2 , :|r/»«rj®/>° e n ríe ——tn*nffi.
9 .
10.
—
e n tre — í» e n tre
i - a nb" e n tre ——i»1.
11. —2ax* 4ba i e n tre — — -A^,_3b ,,, * rr 3 e n tre —«■ 4b"r' 1. 1» fl
DIVISION
II.
•
83
D IV IS IO N DE P O L IN O M IO S POR M O N O M IO S
7 6 jS cA
( a + 0 — c ) -fr m . T e n d r e m o s : ( a + b — c) • m —
a + b -c m
a b c = — + ---------m m m
E n e fe c to : - l es e l c o c ie n te d e la d iv is ió n p o r q u e m u ltip li, m m m r 1 r c a d o p o r el d iv is o r r e p r o d u c e e l d iv id e n d o : t a b c , a b c [ — I------------- 1 r a = X m + — x m -------X m = a + b — c. m m m ni m m P o d e m o s , p u e s , e n u n c i a r la s ig u ie n te : ( 7 7 ) REGLA PA RA D IV ID IR U N P O L IN O M IO POR U N M O N O M IO Se d iv id e c a d a u n o d e lo s té r m in o s d e l p o lin o m io p o r e l m o n o m io s e p a r a n d o los c o c ie n te s p a rc ia le s c o n s u s p ro p io s signos. E sta e s la L e y D is tr ib u tiv a d e la d iv is ió n .
Ejem plos ( I ) Dividir 3os — órr'ó + 9ob“ onlrc 3o. r
,.c
3er1— ócr'b + 9oba = oa - 2 o b + 3b*.
3a8
6o8b
9ab2
R.
( ) Dividir 20*6” — é o l,1b'u*1 — 3a‘*2b“ ' 2 entra —2o*b4. [2a'‘bro - é a '^ b ®*1 - 3ar,2b" “*) + - 2 o*b* = 63"4>,‘-1 3o,,2b“ ’8 + -r-r-r- + = - o*-*bm 4 + 2o*b4 2oab* E JE R C IC IO D iv id ir:
3
2a'b" 2a*b< R.
52
1 a r—a b e n tre a. -I- yx2y8—5«2x1 e n tre —3x*. 1 ya*—Sflft9—6a*b3 e n tre —2a. x3—4 * * + x e n tre x. G 4 x " - 1 0 x 6- r j x ‘ e n tre 2x3. G. 6m"-8m*>i-f-20mn* e n tre - 2 m . 7. f a W - S a W - a ’b* e n tre 3a*b8. í¡ x * - 5 x B—10x*+16x e n tre —5x.
8m*ns—10m7n ‘—20m*n*+12m*ri* e n tre 2m*. 5Í' e n tre a: . ! i 2 « " - - 8 a " +*+6o“ f 4 e n tre —3o*. 12, * " ' * -5 x '" -|-6 x " + , - x n’-* e n tre x"*-*. 14 la* ♦ «¿“- ‘-R a* *\«b*-*+8a*♦ en tre —2a**ab m~i.
84
•
ALC.ÍHÜA
— jx - 'y 2 + ¿ x y * - 'y * entre ¿y.
<3 ) Dividir
a- x, V _ .2 x .,. r - , . . xy..
(
.iy. )\
=xv
i* V
o
r.
¡y
= V _ W + x r - 7y . E JER C IC IO
?*/*
;r‘
3 ¿y
¡y
-. - 3y = r,
r.
53
D iv id ir:
2-
—x " — - x e n tre ~-x. s e a *a t* — -* a .- . .|. . —a I e n tre . , — —. a Z «• -4 5
3.
—m i 1 —— :i r?i*w + — s jn*n2 e n tre —m". «
1.
4. 5. 0. 7. 8.
III.
—y
3y ' +
— xy* e n tre - W
-
a fls _ — i .«3^3 _ afrr, e n tre 5a. z
»•
.(. -Lflti i e n tre -~a. •1 *• ¿ 2 1 2 1 - a 1*’’ — ent r e —a*-®. 3 4 * c -
4
»
'*0" * >Xm e n tre — :i
D IV IS IO N DE DOS PO LIN O M IO S L a división de dos polinomios se verifica de acuerdo con la siguiente:
; 7 8 ) REGLA PA RA D IV ID IR DOS PO L IN O M IO S Se o r d e n a n e l d iv id e n d o y e l d iv is o r c o n r e la c ió n a u n a m ism a le tr a . S e d iv id e el p r i m e r t é r m in o d e l d iv id e n d o e n t r e e l p r im e r o d e l d iv i so r y te n d r e m o s e l p r i m e r té r m in o d e l c o c ie n te . E s te p r im e r t é r m in o d e l c o c ie n te se m u l t i p l i c a p o r to d o e l d iv is o r y e l p r o d u c to se re s ta d e l d iv id e n d o , p a r a lo c u a l se le c a m b ia e l sig n o , e sc ri b ie n d o c a d a t é r m in o d e b a jo d e su s e m e ja n te . S i a lg ú n té r m in o d e este p r o d u c to n o tie n e té r m i n o s e m e ja n te e n el d iv id e n d o se e s c rib e e n e l lu g a r q u e le c o rre s p o n d a d e a c u e r d o c o n la o r d e n a c ió n d e l d iv id e n d o y e l d iv iso r. S e d iv id e e l p r i m e r té r m in o d e l re s to e n t r e e l p r im e r té r m in o d e l d iv is o r y te n d re m o s e l s e g u n d o té r m in o (leí c o c ie n te . Este segundo térm ino del cociente se m ultiplica ¡w r todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos.
DIVISION
•
85
S e d iv id e e l p r i m e r té r m in o d e l s e g u n d o re sto e n t r e e l p r im e r o d el d iv is o r y s e e fe c tú a n las o p e ra c io n e s a n te r io r e s ; y a sí s u c e s iv a m e n te h a sta q u e e l r e s id u o s e a cero .
E jem plos 3x2 -5- 2x — 8 | x + 2 (1 > Dividir 3x2 + 2 x - 8 entre x + 2.
3x7
6x — 4x — 8 4x I- 8
3*
A'
R’
E X P L IC A C IO N
El dividendo y el divisor cslón ordenados en orden descendente con relación a x. Dividimos el primer término d d dividendo 3x“ cnlre el primero del divisor x y leñemos 3x- -<■ x = 3x. Este es el primor termino del cociente. Multiplicamos 3x por codo uno de los términos del divisor y como estos pro duelos hoy que restarlos del dividendo, tendremos; 3x X x = 3x-, pora rcslot — 3X2; 3x X 2 = 6x, poro rostor — 6x. Eslos producios con sus signos cambiados los escribimos debajo de los tér minos semejantes con ellos del dividendo y hocemos lo reducción; nos da — 4x y bajamos el — 8. Dividimos — 4x enlíe x; — 4x -5- x = — 4 y esto c-s el segundo termino del co cíenle. Este — 4 hay que m ultiplicarlo por coda uno de los términos del d iv i sor y restar los productos del dividendo y tendremos: ( - 4| X x = — 4x, poro restar + 4x; ( — 4 ) X 2 = — 8, poro restar 8Escribimos estos términos debajo de sus semejantes y hocicndo la reducción nos da cero de residuo. RAZON
OE LA
R E G L A A P L IC A D A
D ividir 3xs -I- 2x — 8 entre x + 2 es hallar uno cantidad que multiplicada por x I 2 nos dé 3x2 + 2x — 8, de acuerdo con la definición de división. El término 3x 2 que contiene la m ayor potencio dé x.cn el dividendo tiene que ser el producto del término que tiene la mayor potencia do x en el divisor que os x por el término quo tenga la mayor potencia de x en el cociente, luego di vidiendo 3x2 x = 3x tendremos el término quo contiene la mayor potencia de x en el cociente. Hemos multiplicado 3x por x + 2 quo nos da 3x 2 -I- óx y este producto lo ros tamos del dividendo. El residuo es — 4x — 8. Esto residuo — 4x — 8, te considera como un nuevo dividendo, porque tiene que ser el producto dol divisor x -I- 2 por lo que oón nos lo lto del cociente. D ivido — 4x entre x y me da de cociente — 4. Esto os ol segundo termino del cociente. Multiplicando — 4 par x + 2 o b tengo — 4x — 8. Restando esto producto de» dividendo — 4x — 8 me da cero do residuo, lu e g o 3x — 4 es la cantidad quo multiplicada por el divisor x + 2 nos do el dividendo 3xa + 2x — 8, luego 3x — 4 es el copíente do la división.
8 6
®
/OCtDKA
{?.) D ividir
28x2 -3 0 y 2 — 11 xy entre 4x — 5y.
Ordenando dividendo y divisor en o r den descendente con relación a x ten dremos: ___________________________ / "
Dividimos 28x9 4 - 4x = 7x. Este primer termino del cociente lo multiplicamos por coda uno de los lérminos del divisor: 7x X 4x = 23x-, para restar — 28x2; 7x X {— 5y) — — 35xy, para reslar + 35xy. Escribimos estos términos debajo de sos semejantes en el dividendo y los reducimos. El residuo es 24xy — 30y2. D ivido el primer término del residuo entro el primero del divisor: 24xy 4- 4x — + ¿y.
Este es el segundo término del cociente.
M ultiplico 6y por codo uno de los términos del divisor. 6y X 4x — 24xy para restar — 24xy; 6y X ( — Sy) = — 30y2, para restor + 30y2. Escribimos eslos términos debajo de sus semejantes y haciendo la reducción nos do cero de residuo. 7x + óy es el cociente de la división.
EJER C IC IO i. 2. 34. 5. 0. 7. 89. 10. lt.
54
D ividir: a3+2«J—3 en tro a + 3 . a2 2«“ 3 e n tre fl+1xs—2 0 + x e n tre x + 5 . r«9—l l » i + 3 0 e n tre m - 6 . x - 1 1 5 - 8 * e n tre 3 - x . 6+ fl9+3’- 3 x . 5a9-l-8a*-21& 9 e n tre rt+3fc14x9- 1 2 + 2 2 x e n tre 7 x - 3 . - f i a 9 H 2 o ó ~ 4 fc2 e n tre b —a.
12- 5»»9—1 Im n-l fim2 e n tre rn—n. 13. 32n2—54«t7+ l2 m « e n tre 8n !)m. 14. -1 4 y * + 3 3 + 7 1 y e n tre -3 ~ 7 > \ LD- x 3—y° e n tre x y. 10. cr*-|-3«!>2—3«2Ó—ft* e n tre a—b. 17- x*—9 x * + 3 + x e n tre x + 3 . 18. a ‘+
23- 1 2 ^ + 3 3 0 0 * —35fl8¿»—10&* e n tre 4o—5l>. 24. l.ín i4 í)msns —5nj<»j+3wrs« 3+ 3 m « 4— e n tre 3 » t—1>. r i 9 \ PRUEBA DE LA D IV IS IO N P u e d e v e rific a rs e , c u a n d o la d iv is ió n es e x a c ta , m u ltip lic a n d o e l d iv i s o r p o r e l c o c ie n te , d e b ie n d o d a r n o s e l d iv id e n d o si la o p e r a c ió n e stá c o rre c ta . < ) D ividir 2x* — 2 — 4x entre 2 + 2x. Al ordenar el dividendo y el d i visor debemos tener presento que en el dividendo falta el tér mino en x2, luego debemos de jar un lugar pora ese término.-
2 x* - 2x3 - 2x*
4x - 2
- 2x* - 4x 2 x 9 -I- 2 x — 2x — 2 2x + 2
2 x 4- 2
D IV ISIO N
•
8 7
< 4> D ividir 3a® I 10a:,fa" + 64a*b* — 21a4b + 32o6* entre o 3 — 4ab 2 — 5a! b. O rdenando con relación a la a en orden descendente:
< 5» Dividir X1* + * y - x V - x2y,ü entre x" + x“y= - x*y« - * V Al ordenar el dividendo tenemos x12 — x3y* + xV* — x2y10. Aquí podemos observar que fallan los términos en x"'y2 y en X*y*; dejaremos pues un espacio entre x1J y —x’y* paia el término en x,0y2 y otro espe cio entre x*y° y - x V ° p ara término en x*y* Y tendremos: x«2 - x V + x°y® - x V ° L * il+ *V - x V - x*y“ - x ,2 - x ‘V + x V + x V X1 - x2y* + y'*. R. - x ‘V +2xV x,0y* + x9y* — x®y° — x*y" xV + -x V -
^ -x V -x V " x y + *V + *V >
f 6) Dividir 1l a :l — 3ofi — 4¿a~ 4* 32 entre 8 — 3
-3 a °
2 4 a - 34o* + l i a 3 - 2 4 0 + 180*+ 9a3 - 16a2 + 20a-'1 16a* — 12o3 — 6o* E JE R C IC IO
1 i f¡
8o3 — 6o* — 3o° 8a3 + ¿a* + 3or'
55
D iv id ir: ai —a"—2a—1 e n tre o2+ a + l . x * + l2 x » -5 x e n tre x 2- 2 x + 5 . rn4-5 m * /i+ 2 0 » ií «*—16»t»4 e n tre m *—2 m n —8n*. x*—x * - 2 x —1 e n tr e x * - x —1. x « + 0 x » -2 x » —7 x a—4 x+ C e n tre x*—3x*+2.
8 - 6a - 3o2_____ 4 + 3a — 2a3 + a 3. R.
8 8
9
AIG CORA
6. m c+ m *—4 m 4—4 r n + m -~ l e n tre rrrs f-m'-—4 w —1. 7. a s- a 4+ 1 0 —27n t-7as c u tre a8+ 5 —fl. 8 3x3y - 5 x y 3+ 3y4—x 4 e n tre x 8—2xy+y*. 2 n —2 « 3+ n 4—1 e n tre «*—2 n + l . ÍO. 22a - 64—;!kr4b -+ a ° b —lO cb8 e n tre a*b—2o b 2- 10b 3. 31. 16*1—27y4- 2 4 x ay8 e n tre 8x*-9y*+G xy*-12x2y. 12. 4y1 I3y2+ 4y3- 3 y - 2 0 e n tre 2y4-513. 5a*x8- 3 x * - l l a x 4+ 3 a 4x - 2 a ° e n tre 3x3- a 3+ 2 a x 2. 14. 2 x tty—x°—Sx2)1'- xy5 e n tre x 4-3 x * y + 2 x 2y2-|-xy*. 30. a°—5«°-l-3]a2—8 « + 2 1 en tre a3—2a~716. to®—rn5+ 5 w 8—G tn+9 e n tre m 4+ 3 —m 24-m*. 17. a'M-b*—a*b—•la4b2+ 6 o Bb:i—3ab° e n tre a2—2 o b + b 3. 18. xR- 2 x 4y2+ 2 x 3ys- 2 x 2y*+3xyn- 2 y ° e n tre x2- 2 y 2.| xy. 19. 4y3—2y0-l-y,,—y4- 4 y í-2 e n tre y4 1-2—2y3. 20. 3m T—l l m B4-M»4+ 1 8 m 8—8m —3m 3+ 4 e n tre ni4—3m 2+ 4 . 21. aH -2a°—3a8—2«4+ 2 a 2—a—1 e n tre a3+ a 2—a-l-l. 22. 24xí - 5 2 x 4y+36x*y2- 3 3 x 2y:,- 2 6 x y ‘-f4yr; c n tn > 8x * - ! 2x » y - 6xy2+ y 3. 23 5«*+Ga4+ 6 a B—4«v--8an—2a3-H a 2—6a e n tre a 4—2as+ 2 . 24. x7—3x*+Gxs l-x2—3x+G e n tre x 3—2x2+ 3 x + 6 35. 3«°+5a*—9a4—I0 a 3 l-8a2+ 3 a —4 e n tre 3 a * + 2 a - - 5 a - 4 . 26. 5yH—3yT—1 ly* |- I ly °—17y4—3yB—4y2- 2 y e n tre 5y4- 3 y ’+ 4 y 2 • 2y. 27- —m 1 I 14»r»8n2+20»n‘n:l- 13w8n ‘—9m 2n5+20»?ri® -4«1 e n tre n 5+ 3 m 2« —5r» w8—m a. 2ü x 1«--5x8y2+ 8 x 7y4- 6 x 'y ^ 5 x V + 3 x y i « e n tre x °-2 x * y 2-l-3xy4. 20. 3a3- 1 5 a I-l l4 a « - 2 8 a 4 l-47a*-28a2-l-2 3 a-1 0 e n tre 3a!-G « 3 I 2 a = -3 a + 2 . 30. a*—l/v+ 2 b c—cx e n tre a + b —c. 31 - 2 x 2+5xy— xz—3ys—yr+10z* e n tre 2x -3y+5z. 32. x a+ y a+ z 3~ 3xyz e n tre x2+ y 2+ zs- x y - x z - y z . 33 afi-|-bft e n tre « I b. 34. 21x5—21y5 e n tre 3x—3y. 36. 16x*—lGy11 e n tre 2x2+ 2y2. 36 x lu- y 10 e n tre x3—y2. 37. x ,r,+ y ls e n tre x*+y*. 38. x*-l-yI,+ 3 x 8y+3xy,í I en tre x*+ 2xy+y8+ x + y + l . 39. x’+ y 5 e n tre x4—x^y+x^y*- xy'-ry*. D IV ISIO N DE PO L IN O M IO S CO N EX PO N EN TES LITERALES
11 > Dividir 3u” ° -I- 19o*’* - 10o” 4 - 8o” 2 I So*’1 entre a s — 3o + 5. Ordenando en orden descendente con relación o la a, tendremos: 3a” 0 - 10a” 4 + 19a” 3 - 8a” J + 5a” « 1 o2 - 3a + 5______ — 3o**J + 9o**4 — ISo” 8 3o*4* —a**8 + a*‘1. R. -
La división 3 o *,8 + a * = 3o,,,“ 2 — La división - a " * + a * = - o * * * '* - La división a ‘ *a + a 3 = a **s-2 =
3a**3. a *’ *. a **‘ .
( 2 | D ividir x»* - I7x**-S + x "**1 I- 3X3*-4 + í x "*-3 - 2x!u-5 entro x5" * - 2x5* 3 - : i . ' Ordenamos en orden descendente con relación a x y lendicinos: xa» +
xn i-i _ J7x»*-2 +
— Xs* + 3x3*-1 +
x 2*-1 - 3x** s - 2«B* * x ’ *‘ + 4 x " - 3 x * - , d x* '
Lo división x5* -t- x 2*'1 - * u - < í.- i> Lo división 4x3* 1 -t- x 2*-1 = 4x 3- i - i f i - » i
= x»*-2*“ = 4)ri»-i-e».i
= x -« . - 4^ .
La división - S x ^ + x ^ = - 3 x**-*~ « *» = - 3X3" 2-2»-1 La división x3*’3 -i- x3* 1 = x» - * - < í - l > = x *»-a-*«.« _ * -3 .
■
E JE R C IC IO
- - 3x*-’ .
56
D iv id ir: I
« '•* + « * e n tre a + 1 . x ' , 2+ 3 x “ 4 * + x " 44 - x " f ! ' entre x * + x .
m» • *—
i j mM' Sm**0 e n tre m 2—2m + 3.
a*»' *+4«2* ' *+a3" * t —2ata e n tre «■+«■ + *. x:* - ®—3x2»' 8+2x1* * 4- 4 x -* ♦2+2xs"* 1 entre x * *3-2 x » ' >. a*»2—2 a , + 8 a ,_ l—3«‘- i e n tre 3o*“*—2a*~, +a*. | fls«-s+ 5 as.-3 + 2rt3»-t-j»o2‘ -« c u tr e a * - a * ’ + a - 8 »n2“ 2- » n !ta- , - 4 » t 3‘+ 2 m 24' • + 2 m I* 42~ m 2»+!l e n tre » i* - * - » i—1’+ w t* -2. x s*-a + X 2*-3- 4 x 2* 4— x1* 1 e n t r e —x*-3+ x ‘- , - x * - 8.
,1
a tc ¿ » _ a J*-t¿,4^.a2>, 2¿,s_ 2a*m
c n ttc a 'b - n ^ - 'b * r 2 a a - ‘b3- a " - l>bi .
'
a '" f^, + a " 'b , + (l'b u + b ,"*'* e n tre a*-|-6*.
I"
a ' —ab*-1—al~lb + b n e n tre a —b.
l
3 a » » ^ - 2 3 a Bn^ 4 4 5 aB^ , 4 4 6 a 0o,--30fls" * > e n tre > -8n*" 2. 2x * .♦iyt - « _ . i XM),t.-f_2flxs--3y».+:j0xs*-3y2*♦• entre - x * * ay«- , “ ?x4)i, * , +4x44y
9 0
"í
u c ih a
81 ) D IV IS IO N DE PO LIN O M IO S CO N C O EFIC IEN T ES F R A C C IO N A R IO S
E jem p lo
I * 8 - g x ’2y + f x>r - ‘ y 1 entre ^x — |y .
D ividir
I
8S
, 2
- J ,
i| 8T / _ _8y ___________
_ x. . _ _ x V + . x r _ . y.3
- •
\x 3 - \ x Y + y
R.
-;x V + - y
1 í
8J
Obsérvese que lodo quebiodo que se obtengo en el cociente ol dividir, lo mismo que los quebrados que se obtienen ol multiplicar el cociente por el divisor, deben reducirse a so más simple expresión.
m - E JE R C IC IO
57
D iv id ir: 1, -~<*a u + ~lnflb — ~*1b i e n tre l' a + ^> b . 2. -j* * + ¿ x y — p * c n u c x - f y . 3-
* x 3 - £ * -)• + y x y 1 - l y * e n tre i-x * - -J-xy + -J-y*. -Lrt4 _ ~ a í(,— 0:i t \ ab- e n tre -^a — 4-b. I»
1H
3
*
1
2
6.
jm 4+
6.
J x 8 + -J-x* - g x » + f x2 - - i I- g x e n tre 2x* - -J-x -i- 2-
Y ?„«
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•
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— ^ m 3n - -I- ‘ w n 1 — ?i* e n tre -j-t/i* + 2 n * — fo n .
^ f lx 3 — -^«2x2 — ^ x 1 e n tre — n s —«x + - x 2. JS
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- f * v - - S ^ ‘7 + W
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40
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I .¿_x* _ ‘ S
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' ' 1 .i."1’" J — ~wm 2n* + —tn Z 1' — — II tn*n + (I~ m n ‘ — 5p n 8 en tre h -m ti*
. «s 4
4
~1/ n J 2— 'm - n
COCIENTE MIXTO
£ 9]
D IV IS IO N DE POLIN O M IO S POR E L METODO D E C O E FIC IE N T E S SEPARADOS L;« d iv is ió n p o r c o e fic ie n te s s e p a ra d o s , q u e a b re v ia m u c h o la o p c ia c ió n , p u e d e u sa rse e n los m ism o s casos q u e e n la m u ltip lic a c ió n .
1) D iv is ió n d e d o s |>o 1íih >iiiío s q u e c o n te n g a n u n a so la le tr a y esté n o rd e n a d o s e n e l m is m o o r d e n c o n r e la c ió n a esa le tra .
- 1 6 + 0 + 1 2 + 24 16 + 0 + 1 2 24 + 24+ 0 + 1 8 -3 6 - 24 - 0 - 1 8 + 36 El primet término del cociente tiene x3 porque proviene de d iv id ir x" enlre x 3 y c o m o en el dividendo y divisor ci exponento de x disminuye una unidad en cada tér mino, en el cociente también disminuirá uno unidad en coda término, luego el co ciente es:
?x® — 4x* + 6. R. •'•) D iv is ió n de* d o s p o lin o m io s h o m o g é n e o s q u e c o n te n g a n so la m e n te d«s% letras.
El primer término del cociente tiene o " Como el cociente c» homogéneo y en minuye una unidad en coda término y ol cocíanlo será: o * - 4o’ b
6 + 1 8 -2 4 6 - 1 8 + 24
porque proviene do d ivid ir o 5 onlro 0a. ol dividendo y divisor el exponento de o dis el de b oumcnla una unidad en codo término, + 5ob* - 6b».
R.
92
O
ALUCUMA
E JE R C IC IO
58
Dividir p o r coeficientes separados: xn—x i+x'¿—x entre x 3—x 7+ x. x H x * - n * 5+ 8 * 4-1 3 x * + 1 9 x S!-5f> entre x:'- 2 x 2- 7 . ai-ra*!)—'¡a*b'¿-\-12it'b ’ - 13«2ó 4-l-7aO’---bc en tre «*—2«ó+i>2. w i°+2tw 'na—5»»#rH-20m*i»*—lU m 2»*—lOmn®—« • e n tre m s- 4 m n - '- n B,
x '_ 2 x 'í—50x‘+58x2—1!) en tre x ‘+Gx2- S . fll ‘ t Do10—7al24-23r(B—52o°+42ai—20fl* entre a1,-4 « e+3w, -2 o a.
3xlJ—20x12—70x°+51xt'+4Gxi —20 entre 3 jc* - 8 x *+10. 53ni’ft- 1 2 » rz* + n i» - l2 7 t» , «+187m,2-3£>2»n“+87»rj<- 4 5 en tre tn ‘--7 w » -| £)ffi«-]5. 2xt- 6 x ")!-8 x;',>i,- - 2 0 x-*>-j—24x:y - lfi.v-y1—4yJ entre 2x2-l-l>-. 6o°—12av l 2rt" ■3GíT*-| fKr‘- lfi«3-|-3& t*-44«+ M e n tre a* 2«- I « —7. n1'1 Gns |-5n7 • 18nd—23ns —8 w*+£4 m3—
3x7 --4x"y
32w-l-lG e n tre w°—3tr, + 5 « 8—8 n + 4 .
15x3y-’ i2!.lx
x"’- 4 x 14y2—lü x 12>i*+21xl'1)iu+28xíl)vS—23xa)i,04 9x*yl'-+33x2y 11-G)f10 entre xn- 4xt )'- s>x2y* I y". c “ ' * - 3 « " 1, -5a'-'' '+ 6 a"x *■:,- 7 R g -‘ ■ »2- 5 a 2*4 * -4 2 rt2‘ - 7 o 2- * entre ox+(íux * 1+7nx ’-3.
Gx2" GxA
á x a* '* - 2 8 x 81' l+ 2 1xy-’~ iG x ^ -'M O x 2* 2—12x2*-1—Gx-n * entre lx M ^ x ^ -’ l x*-2.
tía’’1' s-2 3 i7 ,,,+- |1 2 a i' 4 I -34
quebrado. C u a n d o la d iv is ió n n o es e x a c ta d e b e m o s d e te n e r la c u a n d o el p r im e r té r m in o d e l r e s id u o e s d e g r a d o in f e r io r al p r im e r té r m in o d e l d iv is o r con re la c ió n a u n a m is m a le tra , o sea, c u a n d o e l e x p o n e n te d e u n a le tra e n cl re s id u o es m e n o r q u e e l e x p o líe n te d e la m ism a le tr a e n c l d iv is o r y su m a m os a l c o c ie n te e l q u e b r a d o q u e s e fo rm a , p o n ie n d o p o r n u m e r a d o r c l r e s id u o y p o r d e n o m i n a d o r el d iv is o r.
V A IO R N U M E R IC O
x " - x - 6 — x3 — 3x l l > Dividir x3 — x —6 entre x + 3.
•
9 3
| x+ 3 x-4 +
—
R.
4x + 12
El residuo no tiene x, así quo os do grado coro ccxi relación o la x y el divisor es de primer grado con relación a lo x, luego aquí detenemos la división porque el residuo os do grado inferior ul divisor. Ahora añadimos al c<> 6
dente x — 4 el q u e b ra d o
—, do modo semejante a como procedemos en x “4*3 Aritmético cuando nos sobro un residuo.
?mn° - n* Hemos detenido la O p e r a c i ó n al set el primer término del residuo 2mnn en oí cual la m tiene de exponento I mientras que en el primer termino del divisor la m tiene de exponente 2 y hornos oñedido ol cociente el quebrodo quo so forma poniendo por numerador el residuo y por denominudor el divisor. N OTA
En el número 1 9 0 , uno vez conocidos los cambios de signos en las fracciones, se tratará esta malerio más ampliamenle. E JE R C IC IO 59 I In flar e l cociente m ix to de: 1. % 21. 4. r». o 7.
x2—Gxy+y2 e n tre x + y . x3- x 2+ 3 x + 2 e n tre x 2- x + l . x 3 |-ys e n tre x —y. x r'+y* e n tre x —y. x?-| 4 x * -5 x + 8 e n tre x*—2 x + l. 8n3—lia’ó+iVií»3—91>3 en tre 2fl—36. x &—3x* l-!)x2+ 7 x —4 en tre x2- 3 x t '/
VALOR N U M E R IC O DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS C O N EX PONENTES ENTEROS PA RA VALORES PO SITIV O S Y NEG A TIV O S
C o n o c ie n d o ya las o p e ra c io n e s fu n d a m e n ta le s c o n c a n tid a d e s n e g a ti vas. a sí c o m o las re g la s ríe los sig n o s e n la m u ltip lic a c ió n y d iv is ió n , pcxlcm o s h a lla r e l v a lo r d e e x p re s io n e s a lg e b ra ic a s p a ra c u a le s q u ie ra v a lo re s rie las letras, te n ie n d o p re s e n te lo s ig u ie n te :
94 •
ALGEBRA
( S 5 J PO T E N C IA S DE C A N T ID A D E S N E G A T IV A S 1 ) T o d a p o te n c ia p a r d e u n a c a n tid a d n e g a tiv a e* p o sitiv a . p o r q u e e q u iv a le a u n p r o d u c to e n q u e e n tr a u n n ú m e r o p a r d e Tactores n e g a tiv o s. A si. ( ~ 2)a = + 4 p o r q u e ( - 2)2 = ( —2)* — + 16 p o r q u e ( - 2 )‘ = < -2 ) « = + 64 p o r q u e 2)" = { - 2>* = + 256 p o r q u e < - 2)H=
(- 2) X ( - 2) = ( - 2)a X { - 2)a = < - 2)4 X { - 2)a = < - 2 f X { - 2)a =
y a sí su c e siv a m e n te . K n g e n e r a l, s ie n d o A ' u n n ú m e r o e n t e r o se tie n e : (—a)** 2 ) T o d a p o te n c ia i u ip a r d e tin a c a n tid a d n e g a tiv a es n e g a tiv a p o r q u e e q u iv a le a u n p r o d u c to e n q u e e n tr a u n n ú m e r o im p a r d e (a c to re s n e g a tiv o s. A si,
{—2 )l = ( - 2)* = ( - 2 )5 = ( - '¿Y =
-
2. 8 p o r q u e ( - 2>* = ( - 2)a x ( - 2) = <+ 4 ) X ( - 2) as 8. 82 p o r q u e (—2)® — (— 2)4 X (— 2) “ ( I- 1G) X ( - 2) — — 32. 128 p o r q u e ( - 2)7 - ( - 2)° X ( - 2) = ( I- 64) X ( - 2 ) - - 128.
y a sí su c e siv a m e n te . E n g e n c r a l.s e tie n e : (—a)***1 = — ti2**1.
E jem plo s
( I t Volor numérico de xs —3x: + ?x — 4 poto x = — 2. Sustituyendo x por — 2, tenemos: ( —2)* — 3 (—2)2 + 2 |— 2) - 4 8 —3(4} -l-2( — 2 ] — 4 = -8 -1 2 -4 -4 = - 28. R.
1 Volor numérico de — — ^ 4 6 3 o® 3< r b , 5ob2 T e n d re m o s:---------------- 1------------ b r' 4 6 3 _í-2t1
Pora ejercicios de valor numérico de expresiones algebraicos con exponentos co/o, nogalivos o froccionoriot, véose Teorío do /os Exponentos, póg, 407.
MISCfLANCA DE LAS OPEKACIOMtS lU N O A M t N T A U S
»-
E JE R C IC IO
•
95
60
H a lla r e l valor n u m érico d e las exp resio nes siguientes p a ra a= -L
b = 2.
c= - j :
1. á1 2ab\-b*. 2. 3a4,—4fl?b+3ab3—b a. 3. a*—3«*+2«c—'¿be. ■i. o » - 8 a 'í 4 4 6 o V - 2 0 « aci'+40ac<~e« B. (a —¿>)*+(6—c)'-‘—(a —c)2.
6 ^ A -n f-{ b ~ c y -{ a -c ^ . „ [ ac be c b a 8 . (n-ri> + r:)2-(t,~b-cyj +< 9 8(2
H a lla r el valor n u m érico de las expresiones
siguientes p a ra
a = 2. ¿ = - j . x = — 2, y = - 1, m = 3, n = -j-: x 4 x*y 3xy2 10 . -------- i- | --------^---- y*. 8 2 2 11. {« - x}2 + (x - y)2 +• (x* - y2)(m + x n). 12.
—(x — y) + (x z + y2} (x —y — vi) + 3b (x + y -t- t i ) .
18.
(3x - 2 y) (2n - 4m ) + -lx^ 2 -
Ax x1 /1 U ----------------- M ------- --- x + x ' - r a . 3)' 2+y» ' w b ) 1&• x2(x - y + w») - (x - y) (x2 + y2 - n) -I , „ 3« 2y 3n m lfl _ H. d .,-------------+ o(x2 - y 2 + 4). x m y n EJERCICIO
(x Iy)2 (m s - 2 »).
61
M IS C E L A N E A SO B R E S U M A , R ES T A , M U L T IP L IC A C IO N
Y
D IV IS IO N
1 A las 7 a .m . el te rm ó m e tro m a rta I-5o y d e las 7 a las 10 a. m . baja a razó n de 3a p o r h o ra . E x p resar la te m p e ia lu ra a las 8 a .m ., 0 a .m . y 10 a . ni. T o m a n d o com o escala 1 can rr 10 m , re p re sen tar g ráfic am en te q u e u n p u n to ¡{ está situ a d o a I 10 m de A y o tr o p u n to C está situ a d o a —35 111 tle B. 1 S u m a r x 2—3xy con 3 x y —y2 y el re su lta d o restarlo de x2. I ¿Q ué expresión hay q u e a ñ a d ir a 3x2—6x-Ki p a ra q u e la su m a sea 3x? II R e sta r —2it2+3
9 6
LO. M u ltip lic a r -ja z — -^ab + -jfr2 P ° r ~ a s -h-~ab — < 2 b2. D iv id ir la sum a de Xa—x*+5x2, 2x4+ 2 x a—10x. 6xa—6 x + 3 0 e n tre x a—2 x + 6 . R e sta r el cociente d e w j 3 — —ab* + —b* e n tre —a -1- ~ b d e l-a- - l a b ! 1 b'¿. ■I «•» 15 2 8 3 r. R e star la sum a d e —3trft*—5a y 2aa5+3«í»*—b3 de a3—a2¿»+63 y la d ife rencia m u ltip lic a rla p o r a 2—ab+bs. R estar la sum a d e x"—5xa+ 4 x . —6x3—6 x + 3 , —8xa+ 8 x —3 d e 2 x * -lt> x 2 + 5 x + 1 2 y d iv id ir esta diferencia e n tre x - --x • 3. Ib. P ro b a r q u e (2 + x )2( l + x 2) - ( x 2- 2 ) ( x 3+ x - 3 ) = x 2{ 3 x + 1 0 )+ 2 (3 x -l). llj
H a lla r e) v a lo r n u m érico de (x + y );(x —y)-'+ 2(x+ )'){x—y) para x = —2. y = l .
V¡- ¿Qué expresión hay «pie su m a r a la sum a d e x + 4 , x —6 y x2+ 2 x + 8 para o b ten e r 5xs—4 x + 3 ? R e star —{ 3 a + (—&+«)—2(
8 x + [-2 x | (-x + y )j.
20. R e sta r el cociente d e -j-x3 -f ~ x 3y -I- ~ x y ~ -I■ [ y 1 e n tre 2 x + [-5 x -{ x -y )].
* x-
^ x y + y 2 de
21. P ro b a r q u e {x2 -{3x I 2 » [x2- |- ( - x + 3 ) J - x 2(x2- 4 x + 4 ) - ( 7 x + G ) . 22. ¿Q ué ex p resió n hay q u e su m ar al p ro d u c to de [x(xH-y)—x{x—y)][2(x2 l-y2)—3(xs—y3)] p a ra o b te n e r 2 x íy+3xy*? 23. R e sta r - x a-3 x y + y * de cero , y m u ltip lic a r la diferencia |>or e) cociente de div id ir x*—y* e n tre x —y. 2 1. S im plificar ( x - y ) ( x 2+ x y + y íf) - ( x + y ) ( x 2- x y + y 2). 20-
H a lla r el valor n u m érico d e - \ / Up a ra a = 4 . b = 9, c—25v c
I- '$ b — a) \ / — - — 3(c — b) -i f i v
¿P or cu ál ex p resió n hay q u e d iv id ir el cociente de x * + 3 x * -4 x - 12 c u tre x + 3 p a ra o b te n e r x —2? 27.
S im p lificar 4x2 —{ 0 x —(x2—4 + x )^ t-(x 2—{x + {- 3)}J p a ra x —- 2 .
y
h a lla r
su
v alo r
38.
¿De cu ál ex p re sió n hay q u e re sta r —18x3+ 1 4 x 2+ íH x —45 para q u e la d iferen cia d iv id id a e n tre x 2+ 7 x - 5 d é com o cociente x 2- 9 r
29. P ro b a r q u e ()(
l U O I D E S < 3 6 S - 2 7 5 A . C . l lin o de I o j m .ij g ra n d e : H ia tn m itle o i g rie g o :. F u e el p rim ero quu «embícelo .. . 'Método riguroso d e dem ostración g e o m é trica. L a lioim ilila co n stru id a por Euctidca tu m an tu vo in c ó 1 mi. t in t o el jig lo X I X . L a piedra an g u lar d e su geo-
« o i r í a «s el P o stu la d o : "P o r un punto c it e r io r , recta sólo puede tr.ix .n ji' u n a perpendicular o I ■ ■ ■■ tna y jó lo u n a " . El lib ro en q u e recoge »u» U1 . . . 1 , c io n e : lo tituló " E le m e n t o j" , e : conocido r n l u í loa á m b ito : y ha sido trad u cid o a lo : id io m ai m lfi
CAPITULO PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES I.
PR O D U C TO S NOTABLES
86
S«- lla m a p r o d u c to r n o ta b le s a c ie rto s p ro d u c to s q u e c u m p le n reglas lija s y c u y o r e s u lta d o p u e d e s e r e s c r ito p o r s im p le in sp e c c ió n , es d e c ir, sin v e r if ic a r la m u ltip lic a c ió n . 8 7 ) C U A D R A D O DE LA SU M A DE DOS CA N TID A D ES I lev ar al c u a d r a d o a I b e q u iv a le a m u id p lit.u e ste b in o m io p o r sí m is m o y te n d r e m o s :-
\a + b)" = {a ~ b ) {>i t . /
a »■b E f e c tu a n d o e ste p ro d u e lo , t e n e m o s :___________
/
—. a'-' + a l/
ab -1- 1>-
o sea (á
i"
a
i r - 2flfr 4- I r lu e g o ,el (Iia ih iid o d e la s u m a tic d o s c a n tid a d e s es ig u a l a l c u a d r a d o d e la p itille ra c a n tid a d m ás e l d u p lo d e In p r im e r a c a n tid a d p o r la s e g u n d a m ás el 1 ii.iilia tln ríe la s e g u n d a c a n tid a d , 9 7
98
•
A L U IB * A
11)
E jem plos
D e s o r r o l l a r | x -I 4 ) \
Cuadrado del prim ero..................................................... * Duplo del primero por ol segundo 2 x X 4 = 8x Cuodrodo dol segundo................................................... 16
Luego
|x + 4)" = x= + 8 x - I - 16.
R.
Eslos operaciones deben hacerse menlalmenfú y ol producto escribirse direc tamente.
C u a d ra d o d e u n m onom io.
Para elevar un
monomio a l cuadrado so elevo su coeficiente oJ cuadrado >• se multiplico eJ oxponenle de cada /otro por 2. Sea el monomio 4ob*\ Decimos q u e -'"’
'
l 2» - _ *
i.aua.e— 16o-b .
(.tc-b2)2 = 4ab 2 X 4ob 2 =: 16a2b 4.
En electo: Del propio modo:
(5 x Y x » )s = 25>.,’y V >-
(/.) Dosarrollar |4a + 5f>” p .
—
Cuarirado del 1® ............................... (4o |2 = 1óo'-’. Duplo del I* por el 2 * . . . . 2 X 4o X 5b-' = 4 0 o ír. Cuadrado del 2* .............................(5b-|= = 25b*.
(4a + 562)2 = 16
Luego
K.
Los operaciones, quo se han detallado pora mayor facilidad, no deben s il» verificarse mcaln/mente.
(•’ ) Efectuar (7ox 4 + 9yz,)[7ax 4 +■ 9yr'J. |7ax4 -I 9 /') |7ax 4 I- V I = |7ox^ + 9 y f = 49a'-'xí‘ + 126ux4/ - + B ly 10.
»■
R.
E JE R C IC IO 62 E scribir, p o r sim p le inspección, e l re su lta d o de:
’ ■ ( m + 3>*.
G
28. i
( 5 + x ) 2. ( 6 ff+ b )= . ( Í I H r t i ) 2.
7. 8. 9
( / x + liy - ,
(x+y)'-’. (1 + 3 x 3)2. (2 x í fiy)-*-
11-
(4trjr,+í>«n)2.
1G. («''•+«")-’.
{ I r f ib H b x * ) * . (.|'-+r>x)-»)2. (d x 2y + 9 m n)2.
17. ( < f + 6 * ^ ) 2 1 8 - (* » • > + y’ 2)2.
(a -'x + b y -y -.
12. 13. U .
10. (HoHSO4)-.
IB-
(x ’V l O v 1-'}2-
REPRESENTACION G RA FICA DEL CU A D RA D O )E LA SU M A DE DOS CA N TID A D ES Kl c u a d r a d o d e la s u m a d e d o s c a n tid a d e s p u e d e r e p re s e n ta rs e g e o m étric a m e n te c u a n d o los v a lo re s .son p o sitiv o s. V éan se los s ig u ie n te s pasos: (a + by* = a * + 2n 6 + ir3.
fko o uctos
n o ia jiu j
•
9 9
C o n s tr u im o s u n c u a d r a d o d e a u n id a d e s d e la d o , es d e c ir, d e la d o a: f l C U K A IU
C o n s tr u im o s u n c u a d r a d o d e b u n id a d e s d e lad o , es d e c ii. d e la d o b: FIG U R A
II
C o n s trtiim o s d o s rcct in tillo s d e la rg o a y a n c h o h : --------- -*
b F IGURA 12
ab
ab
a
~ cT
U n ie n d o e s ta s c u a t r o fig u ra s c o m o s e í n d i c a e n la f ig u r a 13. lo n n a r c iiu i’ u n c u a d r a d o d e (« + b ) u n id a d e s d e la d o . El á r e a d e e s te c u a d r a d o r» (u l b )
M ilus d e á r e a a b c a d a u n o o s e a 2uí>). L u e g o :
11) Si d o s o m á s d e s ig u a ld a d e s d e l m is m o sig n o se s u m a n o m u ltip li c a n m ie m b r o a m ie m b r o , r e s u lla u n a d e s ig u a ld a d d e l m ism o sig n o . A si, si o > b y O í f . te n d r e m o s : « + c > í » + d y a c > b d . 12) S i d o s d e s ig u a ld a d e s d e l m is m o s ig n o s e re s ta n o d iv id e n m ie m b ro a m ie m b r o , e l r e s u lta d o n o e s n e c e s a ria m e n te u n a d e s ig u a ld a d d e l m ism o sig n o , p o d ie n d o se r u n a ig u a ld a d . A sí, 10 > 8 y ó > 2 . R e s ta n d o m ie m b r o a m ie m b r o : 8 - 2 = 6: lu e g o q u e d a 5 < 6 ; c a m b ia e l sig n o .
10 - 5 5
y
Si d iv id im o s m ie m b r o a m ie m b r o las d e s ig u a ld a d e s 10 > 8 y 5 > * l. te 10
lie m o s
8
— = 2 y — = 2 ; lu e g o q u e d a 2 = 2, ig u a ld a d . 5 *1
IN EC U A C IO N ES 2 4 9 ) U N A IN E C U A C IO N es u n a d e s ig u a ld a d e n la q u e h a y u n a o m i ' c a n tid a d e s d e sc o n o c id a s (in c ó g n ita s ) y q u e só lo se v e rific a p a ra d e te r m in a d o s v a lo re s «le las in c ó g n ita s . L as in e c u a c io n e s se lla m a n ta m b ié n d e s ig u a ld a d e s d e c o n d ic ió n . A si. la d e s ig u a ld a d 2x - 3 > . v I ó e s u n a in e c u a c ió n p o r q u e tie n e I . in c ó g n ita x y s ó lo .se v e rific a p a ra c u a l q u i e r v a lo r d e x m a y o r q u e H. Kn e le c to : P a ra x = 8 se c o n v e r tir ía e n ig u a ld a d y p a r a x < 8 se <011 v e r tir la c u u n a d e s ig u a ld a d d e s ig n o c o n tr a r io . (2 5 0 ; RESOLVER U N A IN E C U A C IO N es h a lla r los v a lo re s d e las in có g n ita* q u e sa tis fa c e n la in e c u a c ió n . I 2 5 l) P R IN C IP IO S EN QUE SE F U N D A LA RESOLUCION DE LAS IN EC U A C IO N ES L a r e s o lu c ió n d e las in e c u a c io n e s se f u n d a e n las p r o p ie d a d e s d e las d e s ig u a ld a d e s , e x p u e s ta s a n te r i o r m e n t e , y e n las c o n s e c u e n c ia s que* d e las m ism a s s e d e r iv a n . 5 2 ) RESO LU CIO N DE IN E C U A C IO N E S I 1 > Resolver lo inecuoción 7x — 3 > x -I S.
Ejem plos Reduciendo:
Posando x al primor miembro y 3 al segundar 2x - x > 5 + 3. x > 8.
R.
8 es ol IImito inferior de x, es decir que la desigualdad dodo sólo se verifica para los volorns do x moyoros que 8 .
2 8 0
•
a lc ib r a
x 5x (2 ) Hallor el limiio do x en 7 — > ------- 6. 2 3 Suprimiendo donominodoros: 42 - 3x > lOx — 36. transponiendo: — 3x — lOx > — 36 —42. - 13x > - 71i Cambiando el signo u los dos miembros, lo cual fiaco cambiar el signo de la desigualdad, se tiene: I3 x < 7 8 . 78 Dividiendo per 13: * < — o s e o x < 6. R. IO 6 es el íimilo superior de x, es decir, que lo desigualdad dado sólo se verifico para los valores de x menores que 6. (3 ) Hallar el limite de x en | x + 3 ) | x - 1) < [ x — 1 J* + 3x. Efectuando los operaciones indicadas: x2 + 2x 3 < x- — ?x 4 - 1 + 3x. Suprimiendo x* en ambos miembros y transponiendo: 2x + 2x —3x < 1 i 3 x <
4.
R.
4 es el límite superior de x. I»-
EJER C IC IO 1 6 4 H a lla r el lim ite de x en las inecuaciones
siguientes:
1.
x — 5 < 2 x -6 .
10- 6
2. 3.
5 x —1 2 > 3 x —4. * -6 > 2 1 -S *
11- ( x - 4 ) ( x + 5 ) « x - 3 ) ( x - 2 ) . 12- (2x—3)s+4x*(x—7 )< 4 (x —2)*-
4. 3 x —14< 7 x —2. r .>
x .
x,± _ í _
3x - 4 + 4 < ^ + 2 .
‘
7-
(x —1)*—7 > {x —2>*.
8. 0.
(x + 2 )( x- 1 ) + 2 6 « x+4X x + 5).
15-
3 (x -2 )l2 x (x + 3 » (2 x -lM x + 4 ). 17.
v-
3 x+2 ? 5 On •> — — — < — -. -
5. 2 x - 7 > 7 + 1 0 .
6.
2 x + 1 : 2x+5. 3 x - l ' 3x+2
3 x 4 -1
11v ? — i
j
1
16.— - > ~ 7 -
2x—1
^ .
H a lla r los núm eros en tero s cuyo tercio a u m e n ta d o e n 15 sea m ayor q u e su m ita d a u m e n ta d a e n 1.
IN E C U A C IO N E S SIM U LTA N EA S ( 3 ) i IN E C U A C IO N E S SIM U LTA N EA S s o n in e c u a c io n e s q u e tie n e n soluciones comunes. 2x 4 >6
Ejem plos
f l ) Hollar qué valares de x satisfacen lar. inecuaciones: /
Resolviendo la primera:
?x 6+ 4 ? x > 10 x > 5.
Resolviendo la segunda:
3x 14 — 5 3x> 9 x > 3.
3x + 5 > 14.
INECUACION!»
•
281
la primero inocuoción se satisface pora x > 5 y la segunda p a ia x > 3, luogo lomamos como solución gcnerol de ambas x > 5, yo que cualquior valor d« x mayor que 5 será mayor que 3. Luego el fímílo inferior de las soluciones comunos os 5. R. 12 J H ollar el limite de los soluciones comunes o las inecuaciones:________ / n Resolviendo lo primero:
~ 6
* - _ 0
3 x < 16 — d 3 x < 12 x < 4.
Resolviendo la segundo:
— x> — 8+ 6
—x > - 2 x < 2. La solución común es x < 2, ya que lodo valor de x menor que 2 ovidentomm to es menor que 4. Luego 2 es el lím ite superior de las soluciones comunos. R. (3 l
H allar el límite superior e inferior de los valores de i x que satisfacen los inecuaciones: /* Resolviendo la primero:
5x
«* .
' ’- 'o ,
. i, ¿ f
3x > — 2 + 10
2x > 8 x > 4. Resolviendo lo segunda:
3x — 2x < 6 — 1 x < 5.
La primera se satisface paro x > 4 y la segunda paro x < 5, luego todo» 1 • valores de x que sean a la vez mayores que 4 y menores que 5, satisfacen ambas inecuaciones. Luego 4 es el límite inferior y 5 o l límite superior de las soluciono’, comunes lo que se expreso 4 < x < 5. R.
E JE R C IC IO
165
I ta lla r el lim ite
c íe
l«s soluciones com unes
a:
x -3 > 5 y 2x+0>17.
*•
5x - 4 > 7 x - 1 6 y 8 - 7 t < l » i - lf>»
ó —x > —G y 2 x + 9 > 3 x . (|Jí+ 5 > 4 * H -ll >■ 4 - 2 x > 1 0 - 5 x .
_ 6-
x r
.. * 3> r ' 2 y
3
H a lla r el lim ite su p e rio r e in fe rio r de las soluciones com unes a: 2 x —3 < x + 1 0 y Gx—4 > áx + G . x x 1 3 2 y
2
x
- 3 - >
x
+
?
( x - l ) ( x + 2 ) < ( x t-2 )(x -3 ) y (x |-3 )(x + 5 )> (x + 4 )(x + 3 ). x f-2 ^ x —2 x —1 x -5 x-f-8
x+3
*
x+ l
< x -1 ’
H a lla r los n ú m ero s e n te ro s cuyo trip lo ntcnos (i sea m ayor q u e su m i ta d m ás I y cuyo c u a d ru p lo a u m e n ta d o e n 8 sea m e n o r q u e mi trip lo a u m e n ta d o en 15.
_ _ , 4 : . . s « - . . - .-ÍÍMP+ ‘. * r .* s a a | FERMAT < 1 6 0 1 -1 6 6 5 * M atem ático francéa Pascal llam ó " d p rim er cerebro d el m u n d o ", antiderara* con O rnearte» com o e l má» grande ico dnl lig io XVII. M ientra» aua c o n te m p o ri. preocupaban p o r elaborar u n a ciencia aplicada.
F«im *t p rofundizaba lo» m.»r*villo»o» y «i«t»»ord¡njrio» cam ino» d e la m atem ática pura. T rabajó incantablem en te e n la T cori* d e lea N úm ero» o A ritm ética Su perior. dejando vario» toorom a» q u e Itovan tu nom bro; el m i l fam ojo ea ol llam ado ú ltim o T eorem a de Fcrmat,
CAPITULO
XX
FUNCIONES 2 5 4 1C O N ST A N T E S Y VARIABLES L a s c a n tid a d e s q u e in te r v ie n e n e n u n a c u e s tió n m a te m á tic a so n c o n s u m e s c u a n d o tie n e n u n v a lo r lijo y d e te r m in a d o y so n v a ria b le s c u a n d o to m a n d iv e rso s v a lo re s . P o n d re m o s d o s e je m p lo s . 1) S i u n m e tr o d e te la c u e s ta $2, el c o sto d e u n a p ieza d e te la d e p e n d e r á d e l n ú m e r o d e m e tr o s q u e te n g a la p ie z a . Si la pieza tie n e 5 m e tro s, e l c o m o d e la p ie z a s e rá $10; si t i e n e 8 m e tro s , el c o sto se rá S16, e tc . A cpii. e l «oslo d e u n m e tr o q u e s ie m p r e c.s c l m is m o , 52, es u n a c o n s ta n te , y cl n ú m e r o d e m e tr o s d e la p ie z a y e l co sto d e la p ie za , q u e to m a n d iv erso s v a lo re s, so n v a ria b le s . ¿D e q u é d e p e n d e e n e ste caso cl c o sto d e la pieza? D el n ú m e r o «le m e tro s q u e te n g a . E l co sto d e la p ie z a es la v a r ia b le d e p e n d ie n te y cl n ú m e ro d e m e tro s la v a ria b le in d e p e n d ie n te . 2 j S i u n m ó v il d e s a r r o lla u n a v e lo c id a d d e fí tu p o r s e g u n d o , el es p a cio q u e re c o r r a d e p e n d e r á d e l lic m p o q u e e s té a n d a n d o . Si a n d a d u r a n te 2 se g u n d o s , r e c o r r e r á u n e sp a c io d e 12 m ; si a n d a d u r a n t e 3 se g ú n «los, r e c o r r e r á u n cs|>acio d e 18 m . A q u í, la v e lo c id a d 0 rn es c o n s ta n te y el t¡cm|K> y e l e s p a c io re c o r r id o , q u e to m a n su cesiv o s v a lo re s, so n v a ria b le s. 282
it m c io N t i
•
283
¿ D e q u é d e p e n d e e n este ra s o e l e s p a c io re c o rr id o ? D el (¡cm jx» q u e h a e s ta d o a n d a n d o el m ó v il. E l tie m p o es la v a ria b le in d e p e n d ie n te y el e s p a c io r e c o r r id o la v a r ia b le d e p e n d ie n te . I2 5 ¿
EJEM PLO S DE FU N C IO N E S , PUEDA 0 NO ESTA B LEC ER SE M A T E M A T IC A M E N T E LA L E Y DE D EPEN D EN CIA
N o e n to d a s las liu x io n es se c o n o c e d e u n m o d o p re c iso la re la c ió n m a te m á tic a o a n a lític a q u e lig a a la v a r ia b le in d e p e n d ie n te c o n la v a ria b le
284
•
A K ilB ílA
d e p e n d ie n te o fu n c ió n , es d e c ir, n o s ie m p re se c o n o c e la ley d e d e p e n d e n c ia . Kit a lg u n o s caso s s a b e m o s q u e u n a c a n tid a d d e p e n d e d e o tra , p e ro n o co n o c e m o s la re la c ió n q u e lig a a las v a ria b le s . D e a h í la d iv is ió n d e las fu n c io n e s e n a n a lític a s y co n c re ta s. FUNCIONES ANALITICAS
C u a n d o se c o n o c e d e u n m o d o p re c is o la r e la c ió n a n a lític a q u e liga a las v a ria b le s , e s ta re la c ió n p u e d e e sta b le c e rs e m a te m á tic a m e n te p o r m e d io d e u n a f ó r m u la o e c u a c ió n q u e n o s p e r m ite , p a ra c u a lq u ie r v a lo r d e la v a ria b le i n d e p e n d ie n te , h a lla r el v a lo r c o r r e s p o n d ie n te d e la fu n c ió n . E stas so n f u n c io n e s a n a lític a s . C o m o e je m p lo d e estas fu n c io n e s p o d e m o s c ita r las sig u ie n te s: Kl c o sto d e u n a p ieza d e le la , I u n c ió n d e l n ú m e r o d e m e tro s d e la p ie z a . C o n o c id o el c o s to d e u n m e tro , p u e d e c a lc u la rse e l co sto d e c u a l q u i e r n ú m e r o d e m e tro s. E l tie m p o e m p le a d o e n h a c e r u n a o b r a , f u n c ió n d e l n ú m e r o d e o b re ros. C o n o c id o e l tie m p o q u e e m p le a c ie r to n ú m e r o d e o b re r o s c u h a c e r la o b ra , p u e d e c a lc u la rs e el tie m p o q u e e m p le a ría c u a lq u ie r o tr o n ú m e r o d e o b re ro s e n h a c e rla . E l e s p a c io q u e r e c o rre u n c u e r p o e n s u c a íd a lib r e d e s d e c ie r ta a ltu r a , fu n c ió n d e l tie m p o . C o n o c id o el tie m p o q u e e m p le a e n c a e r u n m ó v il, p u e d e c a lc u la rs e e l e sp a c io re c o rrid o . FUNCIONES CONCRETAS
C u a n d o p o r o b s e rv a c ió n d e los h e c h o s sa b e m o s q u e u n a c a n tid a d d e p e n d e d e o tr a , p e ro n o se h a p o d id o d e t e r m i n a r la re la c ió n a n a lític a q u e lig a a las v a ria b le s , te n e m o s u n a f u n d ó n c o n c re ta . Kn e s te caso, la ley d e d e jrc n d e n c ia , q u e n o s e c o n o c e co n p re c is ió n , n o p u e d e e sta b le c e rs e m a te m á tic a m e n te p o r m e d io d e u n a fó r m u la o e c u a c ió n p o r q u e la re la c ió n f u n c io n a l. a u n q u e e x is te , n o es s ie m p r e la m is m a . C o m o e je m p lo p o d e m o s c ita r la v e lo c id a d ele u n c u e r p o q u e se des liza s o b re o tr o , f u n c ió n d e l ro c e o f r o ta m ie n to q u e h a y e n t r e los d o s c u e r pos. A l a u m e n t a r e l ro ce, d is m in u y e la v e lo c id a d , p e r o n o se c o n o c e d e u n m o d o p re c is o la r e la c ió n a n a lític a q u e lig a a estas v a ria b le s . M u c h a s leyes físicas, lu c r a d e c ie rto s lím ite s , so n f u n c io n e s d e e sta clase. E n los casos d é fu n c io n e s c o n c re ta s s u e le n c o n s tru irs e ta b la s o gráficas e n (p ie f ig u r e n los casos o b se rv a d o s, q u e n o s p e r m ite n h a lla r a p ro x im a d a m e n te el v a lo r d e la f u n c ió n q u e c o r r e s p o n d e a u n v a lo r d a d o d e la va r ia b le in d e p e n d ie n te . (259) V A R IA C IO N DIRECTA S e d ic e q u e A v a ria d ir e c ta m e n te a li o q u e A es d ir e c ta m e n te p ro p o r c io n a l a H c u a n d o m u ltip lic a n d o o d iv id ie n d o u n a d e e sta s d o s v a ria b le s
FUNCIONES
•
2 8 'j
p o r u n a c a n tid a d , la o tr a q u e d a n u il ti p l ¡cada o d iv id id a p o r esa m ism a c a n tid a d .
E je m p lo
. I
Si im móvil que so muevo con movimiento uniforme recorro 20 Km en 10 minutos, en 70 minutos recorrerá 60 Km y en 5 minutos recorrerá 15 Km, luego la variable espado recorrírío es direcle.mcntc proporciono! (o proporcional) o ¡o variable tiempo y viceversa.
(260) S i A e s p r o p o r c io n a l a II, A e s ig u a l a 11 m u ltip lic a d a p o r u n a cons ta u te . E n el e je m p lo a n t e r i o r , la re la c ió n e n t r e e l e sp a c io y e l tie m p o < . c o n s ta n te . E n e fe c to : 30 E n 10 m in el m ó v il r e c o r r e 30 K m ; la re la c ió n e s = 3. 10 En En
20 m in d
m ó v il r e c o r r e 60 K m ; la re la c ió n es
5 m in el m ó v il r e c o r r e 15 K m : la re la c ió n es
fiO 20 15
= 3. = 3.
5 E n g e n e r a l, si A es p r o p o r c io n a l a ¡i. la re la c ió n A e n tre A y B es c o n s ta n te ; lu e g o , d e s ig n a n d o esta — —ky de aq u í
E jem p lo (262)
Si 10 hombres hacen una obra en 6 horas, 20 hombres lo harón en 3 horos y 5 hombres en 12 horas, luego la vorioble im/upu empinado nn hacer (a ab'ci os inversamente proporcional a la variable número d e hombres y viceverso.
Si A e s in v c is a m e n te p ro jro rc io n a l a R , A es ig u a l a u n a c o n s ta n te d iv id id a e n t r e B.
E n el e je m p lo a n te r io r , el p r o d u c to d el n ú m e r o d e h o m b re s p o r el tie m p o e m p le a d o e n h a c e r la o b r a es c o n s ta n te . E n efe c to : 10 h o m b re s 20 h o m b re s á h o m b re s
e m p le a n 6 b o ta s : el p r o d u c to 10 x G = GCI. e m p le a n ' '1 h o ra s : el p r o d u c to 20 x 3 — t*n. e m p le a n 12 h o ra s ; el p r o d u c to 5 x 1 2 — 60.
I n g e n e ra l, si A es in v e rs a m e n te p ro p o rc io n a l • H el p r o d u c to A JI es c o n s ta n te ; lu e g o , d e s ig n a n d o m i r o m e a n te p o r k , te n e m o s:
V A R IA C IO N C O N JU N TA Si A es p r o p o r c io n a l a B c u a n d o C e s c o n s ta n te y A es p ro p o rc io n a l a C c u a n d o n es c o n s ta n te , A es p r o p o r c io n a l a B C c u a n d o B y C v a ría n , p r in c ip io q u e se e x p re s a : ^
®
d o n d e k es c o n s ta n te , lo q u e se p u e d e e x p r e s a r d ic ie n d o q u e si u n a c a n tid a d es p r o p o r c io n a l a o tra s v a ria s, lo es a su p ro d u c to .
E jem p lo
El áren de un triángulo es proporciono! o lo olturo, si lo base e l consiente y 05 proporcional n lo base si lu olturo €S cons tante, luego si la base y la alluro vorian, cl orco es proporcio nal al producto do la bo .c por le alluro. Siendo A ol área, b lo base y h la alluro, leñemos; A = khh y la comíante It ~ i [por Geometría) luxigo A = ¿bh.
(264) V A R IA C IO N D IR EC T A E IN VERSA A LA V E Z _k B ' - ' Se d ic e q u é A e s p r o p o r c io n a l a B c in v e n s a tn e n tc p r o p o r c io n a l A'~ ~ c " B ,1 a C c u a n d o A e s p r o p o r c io n a l a la r e la c ió n lo q u e s e e x p r e s a :/ 2 6 5 ) RESUM EN DE LAS V A RIA C IO N ES Si A e s p r o p o r c io n a l a B ........................... Si A
A
= kB .
es in v e r s a m e n te p ro p o r c io n a l a H . .
A = -.
Si A es p r o p o r c io n a l a B y C ................. A = kB C . Si A es p ro p o r c io n a l a B c in v e r s a m e n te ^ p r o p o r c io n a l a C
E jem plo s
A= —
( I I A e l proporcione! a ñ y Ilo llo r A cuando B ~ 6 .
A—
20 cuando fl = 2.
Siendo A proporcional o 15, se tiene: Paro hallar la com íante fc. como A = 20 cuand o B ~ 2, tendremos: ►
20
A~kB.
= fc X 2
2^ V= — = 1 0 . 2
Si fc — 10. cuando B = 6, A valdrá:
A = fcfl _ lo X 6 = tü.
R.
| 2 ) A a i invcrsamenle proporcional o (i y A — S cuando B ~ -t. H allar A cuando fl = 10. Corno A es inversamente proporcional a B. se tiene: Hallemos k, batiendo A = 5 y fl —
5= — A
k = 20.
Siendo k = 20, cuando B — 10, A valdrá:
k
20
■M
fc
A — —.
B
KUNCIOHES
•
287
<3 ) A w proporciono! c 6 y C¡ A — 6 cuorxJo B = 2 y C = 4. Hollar 8 cuando A = 15 y C = 5. Siendo A proporcional o i? y C. íé tiene:
A = fcSC.
< 1 >.
Poto hollar k ; -----------------------------------
Ú ~kX.
2X 4
P e ra h o lla r 8 lo d e s p e in m o t e n
3
II):
8 = -^ -.
Sustituyendo A — 15, 1: — • ,
C - 5,
’* tendrem os:______________
_________ ;
14) x
oí
6 6 = fc X 8
l:C
y?
p ro p o rc io n a l o y e in v e rs a m e n te p ro p o rc io n a l c z.
5: x — 4 c u a n d o y — 7, 7 — 3 , hollo i x c u a n d o y — 5, 7 = 1 5 . S ie n d o x p ro p o rc io n a l o y e in v e rs a m e n te p ro p o rc io n a l a 7,
tendremos:
Haciendo x —
,
y = 2, z = 3,
t
,
■ l - ' 2 - y .5 '
3
se t i e n e : _____________________________ / H aciendo en 1 1 )
Je = 6, y ~ 5. 1 ~ 15.
se lle n e ;__________ E JE R C IC IO
1 *
x
j^
/
166
I. x es |>io|x«c:irm:íl ¡i y. .Si a cí p io jx irc io n a l .1 y- -Si .4 es p to |x > rao n a l a /í y cu a n d o l¡ ~ 1, C — I.
x — !) c u a n d o y — 6. llalla» .v crian d o y — 8, >• —3 c u a n d o x —2. h a lla r y c u a n d o x - 2 * J . C. Si 4 = 3 0 c u a n d o / 3 = 2 y C = 5, h allar
I
.v es proporcional a y v a z. Si x — 4 cuando y = 3 y z = G, hallar y • ii.iiuIh x — 10, 2 = £1. A es in v ersam en te p ro p o rc io n a l a /(. Si A — 3 cu a n d o /I = 5, hall-n 4 cuando H — l . ( j /f es in v ersam en te p ro p o rc io n a l a A . Si A — — c u a n d o f l = - , h a llai /I c u a n d o If = —. 12 4 es p ro p o rc io n a l a i? <; in v ersam en te p ro p orcional a C. Si 4 = 8 cuando C = 3, h a lla r 4 c u a n d o ¡i = l , C — 14. x es p ro p o rcio n al a y e in v ersam en te p ro p o rcio n al a z. Si ,v = 3 a ra n d o y — 4, r. = fí, h a lla r z c u a n d o y = 7, x = JO'.i- x es p ro p o rcio n al a y2 — 1. Si x = 48 c u a n d o y = 5. h a lla r x c u a n d o y - 7. " x es inversam ente p ro p o rc io n a l a y2 — ]. Si .v = <| c u a n d o y = 3 h a lla r x c u a n d o y — ,r>. 1 1.1 área de un c u a d ra d o es p ro p o rcio n al al c u a d ra d o de su diagonal. .
13
Si el área es 13 ni- cuando la diagonal es (! 1 1 1 , hallar el área ruando la diagonal sea ](l 1 1 1 . l'l área lateral de uno pirám ide regular es proporcional a sil apotema y al |x-i ¿metro de la liase. Si el área es 480 ni.a cuando el apotema es 12 m y el perímetro de la liase 80 m, hallar el área cuando el apntema es G m y el perímetro di- la liase 40 ni.
2 8 8
A ic i B f c A
13-
lil v o lu m e n d e u n » p irám id e es p ro p o rc io n a l a su a ltu ra y al área de su base. Si el v o lu m en •. C u a n d o y — G, x — 4H a lla r y c u a n d o .v — 0. Í266
FU N C IO N E S EXPRESABLES POR FORM ULAS F.u g e n e r a l, las fu n c io n e s so n e x p re s a Irles p o r f ó rm u la s o e c u a c io n e s c u a n d o se c o n o c e la r e la c ió n m a te m á tic a q u e lig a a la v a ria b le d e p e n d ie n te o f u n c ió n c o n las v a ria b le s in d e p e n d ie n te s , o sea c u a n d o se c o n o c e la le y d e d e p e n d e n c ia . E n esto s casos h a b r á u n a e c u a c ió n q u e s e rá la e x p re s ió n a n a lític a d e la fu n c ió n y q u e d e f in e la fu n c ió n . A sí,
>' = 2x + 1, y - 2 x \ y = ** + 2 x - 1
so n fu n c io n e s e x p re s a d a s p o r e c u a c io n e s o fó rm u la s. 2 x I 1 es u n a f u n c ió n d e p r im e r g ra d o ; 2x-\ d e x :l + 2 x — 1. d e te rc e r g ra d o . L o s e je m p lo s a n te r io r e s so n f u n c io n e s d e la v a ria b le v a lo r d e x c o r r e s p o n d e u n v a lo r d e te r m in a d o d e la fu n c ió n . P a ra E n e fe c to : C o n s id e r a n d o la f u n c ió n 2x + l , q u e re p re s e n ta m o s p o r v . te n d r e m o s : v = 2x i 1. /' v ' '
segundo
g ra d o :
x p o rq u e
a
v —0. V “ 2 X 0 -f 1 — 1 « - a
+ 1- 3
X , , ..................................... ' ' ' ' . ‘ ' ' " " ; ' P a ra x _ j. y — 2 í— 1 J + I — l
x= 2.’ y ~ « (“ 2) ' 1 x es la v a r ia b le in d e p e n d ie n te e y la v a r ia b le d e p e n d ie n te .
e tt-
U 67J D E T C R M IN A C IO N DE LA FO RM U LA CO RRESPO N D IEN TE A FU N C IO N E S DADAS C U Y A LEY DE DEPENDENCIA SEA SENCILLA < U El costo de ur.n pieza de lela es proporcional o¡ nú mero de metros. Determinar ln fórmula de la fundón costo, sabiendo que toa pieza de 10 metros cuesto $30, Designando pac x la variable independiente número cíe metros >• por y lo función corto, tendremos, por ser y proporcional r. x: y — fex. I I ) Hol lomos lo constante t:, sus tituyendo y = 3 0 . x — 1 0 :---------------------------, 30 — i: X 10 fe = 3. Entonces, como lo comíanle os 3, sustituyendo este valor on (1 I , la función coílo vendrá dada por la ecuación: , y ~ 3x, R.
Ejeru píos
ru M cio N U
•
289
(?.) El orco de un cuodrodo es proporcione! el cuadrado de su diagonal. Hallar le fórmula riel órco de un cuadrado en función de !a diagonal, sabiondo quo el óreo de un cuadrado cuyo diagonal mide B m es 32 ni3. Designando por A el órco y por D la diagonal, tendremos: Hallemos k liociend o -A = 3 2 y D - 8:
A ~ 4Da. / ' 32 = fc >'■ M
(
______________________/ '
1
Sustituyendo i = 4 en ( 1 1 , el área de un cuudrado en función de la diagonal, vendrá dada por la formulo:
f 3) La altura de una pirám ide es proporciono! ol volumen si el órco de la base ■ • constante y es inversamente proporcional a l área do la base si ol volumen es constonte. Determinar lo fórmula d e lo altura d e una pirámide en fun ción del volumen y el área de la base, sabiendo que una pirámide coya altura os ¡5 m y el área de so base ló m - treno on volumen de & ) m'. Designando lo altura por ir, el volumen por j, *' V y el úreo de la bose por 3, tendremos: íl (Obsérvese que la variable V directamente proporcional con h va en el nurnc rador y la variable 3, inversamente proporcional con .h, va en el dendm inodot)
Hallemos la constante k haciendo H = 15. V — 80, B = 16:
Haciendo k — 3 en f 1 ) , la altura de una pirámide en (un ción del volumen y el área de lo bose vendrá dada por la fórmula:
"
< I Determinar la fórmula correspondiente a una función sabiendo que puro • *>•!<> valor de lo variable independiente corresponde un valor de la función qt • es igual al trip lo del valor de la variable independiente aumontodo on V Siendo y la función y x lo variabie independiente, tendrem os:________________________
EJERC IC IO
y
; 3» I !
./
167
Si A es p ro p o rcio n al a li y A — JO cu a n d o fí = b, e sc rib ir la fórm ula q u e las relaciona. Id espacio reco rrid o p o r tin m óvil (inov. u n ifo rm e) es p ro p o rcio n a l al p ro d u c to de la velocidad p o r el tiem p o . Escriba la fó rm u la q u e expresa el espacio r e n función d e la velocidad v y del tie m p o l.
'
290
•
A L G lti «A
La lo n g itu d C d e tin a circunferencia cs p ro p o rcional al rad io r. U na circunferen cia d e 21 cm de ra d io tie n e u n a lo n g itu d de 132 cm. H a lla r Ja íói m u ía q u e expresa la lo n g itu d de la circunferencia en fu n ción del radio. 6. El espacio reco rrid o p o r u n c u erp o q u e cae desde cierta a ltu ra cs p ro porcional al c u a d ra d o del tiem p o q u e em p lea en caer. Escribir la ló rm u la del espacio c e n fu n ció n del tiem po t sab ien d o q u e u n c u erp o q u e cae desde u n a a ltu ra de 19.6 m em p lea e n su caída 2 seg. 7. I_i fuerza c e n trifu g a F es p ro p o rcio n al a l p ro d u cto d e la m asa m p o r el c u a d ra d o de la velocidad t< de un c u e rp o s¡ el ra d io r del circulo que describe cs c o n stan te y es inversam ente p ro p o rcio n al al ra d io si la masa y la velocidad son co lm an tes. E xpresar esta relación por m edio de u n a ló rm u la . 8- E scribir la fó rm u la de u n a función y sa b ie n d o q u e p a ra cada valor de la variab le in d e p e n d ie n te x corresponde u n v a lo r de la función q u e es el d u p lo del v a lo r d e x au m e n ta d o en 3. 9. El laclo de u n c u a d ra d o inscrito en u n circu lo cs proporciona! al ra d io d e l circu lo . E x p resar la fórm u la del Jado del c u a d rad o inscrito en función del ra d io . (A — \/2 ) . 10. E scrib ir la fó rm u la d e tin a función y sab ien d o q u e p a ra cada valor de la variab le in d e p e n d ie n te v co rresponde u n valor d e la función q u e es igual a la m ita d d e l c u a d ra d o del valo r de x m ás 211. E scribir la ecu ació n tic una función y sabiendo q u e para cada valor d e x co rresp o n d e u n valor de y q u e cs igual 51 la diferencia e n tre 5 y el d u p lo d e x . d iv id id a esta diferencia e n tre 3. 12. 1.a fuerza d e atracció n e n tre d os cu erp o s es p roporcional al p ro d u cto de las m asas de los cuerpos tu y m ' si la distancia cs constante y es inversam en te p ro p o rcio n al al c u a d ra d o d e la distancia si las masas tío v arían. E xpresar esta relación p o r m ed io d e u n a fórm ula. 13. I-i a ltu ra de u n triá n g u lo es projw n a'o n al al área del triá n g u lo si la base cs constante, y cs inversam ente p ro p o rcio n al a su base si el área es cons tan te. E scribir la fó rm u la de la a ltu ra de u n triá n g u lo en fu nción del área y de su base, sab ien d o q u e c u a n d o la base es 1 cm y la a ltu ra 10 cm , el á re a del triá n g u lo es 20 cm". 14- L a energía cinética de u n c u e rp o W cs p ro p o rcio n al al p ro d u c to d e la masa tu p o r el c u a d ra d o de la velocidad V. E xpresar la ló rm u la de la energía cin ética, (A = A). Ib . El á rea d e la base de u n a p irám id e cs p ro porcional al volum en sila a ltu ra cs co n stan te y cs ¡o v o sa m e n te p ro p o rcio n al a la a ltu ra si el vo lum en cs constante! Escribir la fó rm u la del atea de la base B de u n a rirám ide e n fu n ció n del volum en V y d e la a ltu ra h sabiendo q u e cu an d o f = 12 y B — 100, V - 400. 16. x es in versam ente p ro p o rcio n al a y. Si x = 2 c u a n d o y — 5, h a lla r la fó rm u la de x en función d e y. 17. x es in versam ente p ro p o rcio n al al c u a d ra d o d e y. Si x = 8 cu an d o y —2, h a lla r la fó rm u la d e x en fu n ció n d e y. IB. A es p ro p o rc io n a l a B e inversam ente p ro p o rcio nal a C. C uantío B = 24 y C — 4, A — 3. H a lla r la fórm u la q u e expresa A e n fu n ción d e B y C.
S
n i A". P A S C A L
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11623-16621
M atem ático
y «iciilM
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q u ito s m j j conocido p o r iu s obrrn litcru •. . . . u n o lo i " P e n ic c * " y In i “ Lo ltrc» '*, qu«i por i u i . . • in lb u rlo n o n las m-atümáticat. D e n itu ra lc x a c n « ,lu « un verdadero niño prodigio. A lo t doce
año*, d ice i u herm an a G ilb erto , habla d a n t « i l r * J « 3 2 proposiciones de E u d id e t . A l lo s tc n c r i n n t i p d«ncia con F e rm a t, P atea! e ch a la t lu so s da la T*« de lat Probabilidades. E n tre tu s trabajos fig u ra al *| *«yo tobre la t C ó n ic a * " , q u e eterib ió i.c m lo «o ni
CAPITULO
[PRESENTACION G R A F IC A DE LAS FUNCIONES ( 2 6 8 ) SIST E M A RECTANGULAR DE COORDENADAS CARTESIANAS ( ' ) D os lin e a s re c ta s q u e s e c o r ta n c o n s titu y e n u n siste m a d e e je s co o rd t natíos. Si las lin e a s so n p e r p e n d ic u la r e s e n tr e si te n e m o s 1111 sistem a di ejes c o o rd e n a d o s re c ta n g u la re s ; si n o lo son, i- lie m o s u n siste m a d e e je s o b lic u o s . D e los p r i Y m e n " n o s o c u p a re m o s e n este C a p ítu lo . T r a c e m o s d o s lin c a s r e c ta s X O X ' , V O Y ' 11 1 • p ie se c o r ta n c u el p u n t o O f o r m a n d o .-íngulo 1 re to . ( F ig u r a 2 4 ) . E stas lín e a s c o n s titu y e n u n to te m a d e e je s c o o rd e n a d o s r e c ta n g u la re s . X 0 > I.a lín e a X O X ‘ se lla m a e je d e las x o e je de las ab scisas y la lín e a Y O Y ’ se lla m a e je de la» v o e je d e las 01 d o n a d a s. El p u n t o Ü se lla m a III IV o r ig e n d e c o o rd e n a d a s. I o s e je s d iv id e n al p la n o d e l p a p e l e n c u a tr o p a rte s lla lli nías c u a d r a n te s . X O Y es el (l)
c
F IG U R A i S
A ti lim itadas cu h m io t ilcl Celebre m atcttütiC o l l a m ó
•lulor «lo lu Cromen(4 AnuMIIia,
291
Y'
Dl.sC.AR I I.S ((..nlrtlii»),
292
•
A LGE6RA
p r i m e r c u a d r a n t e . Y O X ' e l s e g u n d o c u a d r a n te , X ‘O Y ‘ e l te rc e r c u a d r a n te. Y ' O X c l c u a r t o c u a d r a n te . El o r ig e n O d iv id e a c a d a e je e n d o s seini-cjcx. u n o p o sitiv o y o tr o n e g a tiv o . O X es c l se m i-c je p o s itiv o y O X ' cl s e m i-e je n e g a tiv o d e l ejed e las x ; O Y es c l se m i-e je p o s itiv o y O Y ' el s e m i-e je n e g a tiv o d e l e je d e las y. C u a lq u i e r d is ta n c ia m e d id a s o b re el e j e d e la s x d e O h a c ia la d e re c h a es p o sitiv a y d e O h a c ia la iz q u ie rd a e s n e g a tiv a . C u a lq u i e r d is ta n c ia m e d id a so b re el e je d e la s y d e O h a c ia a r r i b a es p o sitiv a y .d e O h a c ia a b a jo e s n e g a tiv a . ¿6 9 ! A B SC ISA Y O R D EN A D A DE UN PUN TO 1.a d is ta n c ia d e u n p u n to a l e je d e las o r d e n a d a s se lla m a a b s c is a d e l p u n to y su d is ta n c ia a l e je d e las a b sc isa s se lla m a o r d e n a d a d e l p u n to . L a a b scisa y la o rd e n a d a d e u n p u n to so n las c o o rd e n a d a s c a rte s ia n a s d e l p u n to .
Y
R
P
O
A
Asi, (l;ig .2 íi)la abscisa del p u n to / 'e s ñ P —O A y su o rd e n a d a A P = O U . P P y A P son las coorde n ad as «¡i-l p u n to /'. X
Las co o rd en ad as d e i \ son: abscisa H P ,= O C y o rd e n a d a C P x—OD. Las co o rd en ad as de P« son: abscisa ¡)Pas¡OC y o rd e n a d a CP..—O D .
?• F I G U R A 75
*
Tais co o rd en ad as 'le /*, son: abscisa DPx—O A y o rd e n a d a A P t = O D . Las abscisas se rep resen tan p o r x y las o rd e nadas p o r y.
2701 SIGN O DE LA S CO ORDEN ADAS L as abscisas m e d id a s d e l e je Y Y ' h a c ia la d e r e c h a la iz q u ie r d a , n e g a tiv a s. A si. e n la fig u ra a n t e r i o r t i P P P , y D P j so n n e g a tiv a s. L a s o r d e n a d a s m e d irla s d e l e je X X ' h a c ia a r r ib a a b a jo so n n e g a tiv a s . A sí. e n la fig u ra a n te r io r , A P C P S y A P * so n n e g a tiv a s.
son p o sitiv a s y h acia y D P t so n positiv as: so n po sitiv a» y hacia y C P , s o n p o sitiv as,
2 7 1) D ET ER M IN A C IO N DE UN PU N TO POR SUS CO O RD EN AD AS L as c o o r d e n a d a s d e u n p u m o d e te r m in a n cl p u n to . C o n o c ie n d o las c o o rd e n a d a s d e u n p u n t o se p u e d e fija r cl p u m o e n e l p la n o . !) D e te r m in a r el p u n t o cu yas c o o rd e n a d a s son 2 y 3. Siem pre, el m im en» q u e se da p rim e ro es la abscisa y el segundo la oidenada. La notació n e m p le a d a p ara in d ic a r q u e la abscisa es 2 y la ordenarla 3 es " p u n to (2. ÍJ)”.
R C P R f S tN T A C IO N GRAFICA D I t A J
FU K C IO M IS
293
'lo m a m o s u n a m ed id a, escogida a rb itra ria m e n te , com o u n id a d de m e d id a (F ig .2 6 ). C om o la abscisa es 2, p ositiva, tom am os la u n id a d escogida «los veces sobre O X d e O b a ria la derecha. C o m o la o rd e n a d a 3 es p o sitiv a, levantam os e n A u n a perp en d icu lar a O X y so b re ella hacia a r r ib a tom am os tre s veces la u n id a d . F.l p u n to P es el p u n to (2, 3), d e l p rim er c u ad ra n te . 2 ) D e te r m in a r e l p u n t o (—3, 4). C om o la abscisa es n egativa, —3, lom am os sobre O X ' d e O h acia la izq u ierd a tre s veces la u n id ad escogida; e n fí levantam os u n a p e rp e n d ic u la r a O X ' y sobre e lla llevam os 4 veces la u n id a d hacia a rrib a p o rq u e la o rd e n a d a es positiv a 4. El p u n to P , es el p u n to (—3, 4), d e l segundo c u a d ra n te .
it . P l • •)
X"
_ B
0
A l\(.
;¡ ) D e te r m in a r el p u n t o (—2, —4). L levam os ía u n id a d dos veces so b re O X ' de 0 bacía la izquierda p o rq u e la abscisa es —2 y sobre la p e rp e n d ic u la r, hacia a b a jo p o rq u e la o rd en ad a es - 4 , la lom am os 4 veces. El p u n to P2 es e l p u n to (—2, —4). d e l tercer c u a d ra n te .
Y* I
figura k
) D e te r m in a r e l p u n t o {4, - 2 ) . De O h acia la derecha, p o rq u e la abscisa 4 es positiva llevam os la u n id ad 1 veces y p e rp e n d ic u la rm e n te a O X , h a d a abajo p o rq u e la o rd e n a d a n la llevam os 2 veces. El p u n to Pt es el p u n to (4. —2). del c u a rto c u a d ra n tr I-i' e s to s c a so s se p u e d e ta m b ié n m a r c a r el v a lo r de la o rd e n a d a so b re O Y o s o b re O Y ‘, según q u e la o r d e n a d a s e a p o sitiv a o n eg ativ a, y so b re OX ii O X e l v a lo r do la a b sc isa , se g ú n q u e la a b s c isa se a p o sitiv a o n e g ativ a. lín ti nccs p o r la ú ltim a d iv isió n d e la o rd e n a d a , tr a z a r u n a p a ra le la a l eje d e Im ab sc isa s y p o r ú ltim a d iv isió n d e la a b s c is a tr a z a r u n a p a ra le la al e je tic la s o rd e n a d a s , y el p u n to en q u e se c o rte n OS el p u n to b u sc a d o , lis in d ife re n te u s a r un p ro c e d im ie n to u o tro . P o r lo e x p u e s to a n te r io r m e n te , se c o m p r e n d e r á f á c ilm e n te q u e : l )
L as c o o rd e n a d a s d e l o r ig e n s o n (0, 0).
•)
L a ab sc isa d e c u a l q u ie r p u n t o s itu a d o e n e l e je d e la s y e s 0.
;i )
l_ i o r d e n a d a d e c u a lq u ie r p u n t o s itu a d o e n e l e je d e las x e s 0.
, ) L o s sig n o s d e la s c o o rd e n a d a s d e u n p u n t o s e rá n : A b id a
En el I r i. cuadrante X O V I n el
2du,
c u a d r a n te
+ l'O A " —
O rd en ad a
+ +
Kn el 3er. cuadrante X ' O Y '
—
—
1 n el
+
—
tío. cuadrante ) " f ) X
294
A l& t lI S A
2 7 2 ) PAPEL CU A D R IC U L A D O E n io d o s los caso s d e g rá fic o s s u e le u sa rse e l p a p e l d iv id id o e n p e q u e
$
p O is i:
FIGURA ZT
1.
2. 3. <1.
ñ o s c u a d ra d o s , lla m a d o p a p e l c u a d r ic u la d o . Se r e f u e r z a c o n el lá p iz u n a lin e a h o riz o n ta l q u e se rá el e je X O X ' y o tr a p e r p e n d ic u la r a ella q u e será el e je V O Y ' . T o m a n d o c o m o u n id a d u n a d e las d iv is io n e s d e l p a p e l c u a d ric u la d o (p u e d e n to m a rs e c o m o u n id a d d o s o m ás divisio n es). la d e te r m in a c ió n d e u n p u n t o p o r sus X c o o rd e n a d a s es m u y fácil, p u e s n o h a y m á s q u e c o n ta r u n n ú m e r o d e d iv isio n e s ig u a l a las u n i d a d e s q u e te n g a la ab sc isa o la o r d e n a d a ; y ta m b ié n d a d o el p u n t o , se m id e n m u y fá c ilm e n te su s c o o rd e n a d a s . F u la fig u r a 2 7 e s tá n d e te r m in a d o s los p u n tos i \ 4.2). P i{— 3,'»), / y - 3 . - 3 ) . l \ { 2. - 5). P,(0.3) y / M - 2.0).
EJER C IC IO 168 D e te rm in a r g ráficam en te lo i pun to s: (1. 2). &. (3. - 4 ) . 9. ( - 3 . 0). ( - 1 . 2). 6. ( —5. 2). 10. (5, - I ) . (-2 . -1 ). 7. ( - 3 . - 4 ) . 11. ( - 4 , - 3 ) . (2. - 3 ) . 8. (0. 3). 12. (0. -G ).
13.
(4. 0). ( - 7 . 10).
IR.
(3. " I ) -
T r a z a r la lin c a q u e pasa |>or los p um os: 10. 17. 18.
(1 .2 ) y (3 .4 ). ( - 2 , I) y ( - 4 . -I). (-3 . - 2 ) y (-1 . -7 ).
25.
D ib u ja r el triá n g u lo cuyos vértices son los p u n to s (0, G), (3, 0) y (—3. 0). D ib u ja r el triá n g u lo cuyos vértices son los p u n ta s (0. —5), ( —4 . 3) y (4. 3). D ib u ja r el i iiad ratlo cuyos vértices son (4. 4), (—4, 4). (—4. —4) y (4. - 4 ) . D ib u ja r el c u a d ra d o cuyos vértices son ( —1, 1), ( —4, —1), ( —4. —4) v (-1 . 4). D ib u ja r el re c tá n g u lo cuyos vértices son (1. —1). (1. —3). (G, 1) y (fi, —3). D ib u ja r el to m b o cuyos vértices son (1, 4). (3. 1), (ó. 4) y (3. 7). D ib u ja r la recta q u e pasa p o r (4. 0) y (0, G) y la recta q u e pasa p o r (0. I) y (4, 5) y h a lla r el p u n to de intersección d e las dos rectas. P ro b a r g rá fic a m en te q u e la serie d e p u n to s (—3. 5). ( —3, 1). (• 3, I). ( 3. - 4 ) . se h a lla n e n u n a linea p a ra le la a la lín ea q u e c o n tien e a los p u n to s (2. I), (2, 0). (2. 3). (2. 7). P ro b a r g ráficam en te q u e la linca q u e pasa p o t (—4, 0) y (0. —4) es per p e n d ic u la r a la linca q u e pasa |>or (—1. —1) y (—4, —4).
20.
2728. 29. 30. 31. 32.
33.
1920. 21.
(2. 4) y (5. - 2 ) . (3, ü) y (0. I). 0) y <0. - 2 ) .
22. 23. 24.
( - 4 . 5) y (2. 0). ( - 3 . - ü) y (0. 1). ( - 3 . - 2 ) y (3. 2).
U t r G l S t N T A C I O N G R A F IC A OE LA 1 F U N C I O N l t
•
295
|2 7 3 J G R A FIC O DE U N A FU N C IO N Sea y - /{*). S a b e m o s q u e p a r a c a d a v a lo r d e x c o rr e s p o n d e n u n o o v a rio s v a lo re s d e y . T o m a n d o lo s v a lo re s d e x c o m o ab scisas y lo s v a lo re s c o rre s p o n d ie n te s d e y c o m o o rd e n a d a s , o b te n d re m o s u n a se rie d e p u n ió * F.l c o n j u n t o d e to d o s e sto s p u n io s se rá u n a lin c a r e c ta o c u rv a , q u e es el g rá fic o d e la f u n c ió n o e l g rá fic o d e la e c u a c ió n > = /{*) q u e re p r e s e n ta la fu n c ió n . Kn la p rá c tic a b a s ta o b te n e r u n o s c u a n to s p u n to s y u n irlo s c o n v e n ir n te n ie n te ( in te r p o la c ió n ) p a r a o b te n e r , c o n b a s ta n te a p ro x im a c ió n , el g iá li c o d e la f u n c ió n .
REPRESEN TA CIO N G R A FIC A DE LA FU N C IO N LIN EA L DE PRIM ER GRADO 1)
R e p r e s e n ta r g r á f ic a m e n te la f u n c ió n y — 2x.
X=
2.
X=
3.
Para X = - I. X —-2 . X = -3 .
II
D an d o valores a x o b ten d rem o s una serie de valores c o rre sp o n d ien te» de y: Para x — u. o. e l ■ y X= 1f y - 2 4
fí. etc. y=-2 y= - 4
y=
y - - c . ele.
R e p re se n ta n d o los valores de x com o abscisas y los valores c o tm p o n (líenles de y com o o rd en ad as (F ig . 28), o b ten em o s la serie de- p u n to s q u e a p a re le u cu el gráfico. I-i lin ea recta Af.V q u e pasa jn ir el orig en es el g ráfico de y: 2x ?.) R e p r e s e n ta r y «s x + 2.
g r á f ic a m e n te
la
fu n c ió n
Los valores d e x y los co rresp o n d ien tes d e y n iele n disponerse en u n a la b ia com o se indica a ro iilin iia c ió n . escribiendo d e b a jo d e ca d a v a lo r de x el valo r co rresp o n d ien te d e y:
»
;-3
y
H
—2 '
0
-1 1
| 0
1
2
2
3
4
3
j....
5 jl- 3 FIGURA
21
2 9 6
•
A lG tO R A
R e p re se n ta n d o los valores d e x com o abscisas y los valores co rresp o n d ien tes d e y corno ordenadas, según se h a hecho en la Fig. 20, se o b tie n e la linea recia M N q u e n o pasa p o r el o rig en . M N es el g ráfico d e y ~ x I- 2.
fig u ra
b)
2v
O b sé rv e se q u e e l p u n t o P, d o n d e la re c ta c o r ta el e je d e la s y, se o b tie n e h a c ie n d o x - 0 , y el p u n t o Q . d o n d e la r e c ta c o i la e l e je d e las x . s e o b tie n e h a c ie n d o y — 0. O P ser lla m a i n te r c e p to s o b re el e je d e la s y, y O Q in tc ic q tto so b re e l e je d e las x . E l s e g m e n to O P es la o rd e n a d a e n e l o r ig e n y el s e g m e n to O Q la ab sc isa e n el o rig e n . O b sé rv e se ta m b ié n q u e O P — 2. ig u a l q u e el té r m in o in d e p e n d ie n te d e la f u n c ió n y - x + 2 .
R e p r e s e n ta r g r á f ic a m e n te la f u n c ió n y = 3x y la f u n c ió n y = 2 * + 4
En la Iu n ció n y = :t.v, se tiene:
El g rá fic o es la linea /III q u e pasa p o r el origen . (Fig. 30). E n la f u n d ó n y — 2x t -1, tendrem os:
El g iá fic o es la lin e a C l ) q u e n o p asa jx n el o rig en . (Fig. ISO).
FIGU RA 3 0
l o s in tc rc q x o s O P y O Q se o b tie n e n , O P h a c ie n d o x — 0 y O Q hacien d o y — 0. O bséiveve q u e O I ‘ = 4, té rm in o in d e p e n d ie n te de y —2 x + 4.
V isto lo a n t e r i o r , p o d e m o s e s ta b le c e r los s ig u ie n te s p rin c ip io s : 1 ) I o d a ( u n c ió n d e p r im e r g r a d o r e p r e s e n ta u n a lin c a re c ta y p o r eso se lla m a f u n c ió n lin e a l, y la e c u a c ió n q u e re p r e s e n ta la fu n c ió n se lla m a e c u a c ió n lin e a l. 2 ) S i la f u n c ió n c a re c e d e té r m in o in d e p e n d ie n te , o se a si es d e la fo rm a y = a x , d o n d e a es c o n s ta n te , la lin e a r e c ta «pie e lla re p re s e n ta pasa ¡M>r e l o rig e n .
■
B fV R r'.IN T A C IO N GRAFICA DE LAS FUNCIONES
•
297
3 ) S i la ( u n c ió n tie n e te r m i n o in d e |> e iid ¡e n tc , o sea si cs d e la (o rin a y — a x + b , d o n d e a y b so n c o n s ta n te s , la lin e a re c ta q u e e lla re p re s e n ta n o jxasst p o r e l o r ig e n y su in te rc e p to s o b r e e l e je d e las y es ig u a l a l te r m i n o in d e p e n d ie n te b. DOS PUNTOS DETERMINAN U N A RECTA
P o r ta n to , p a ra o b t e n e r e l g r á lic o d e u n a fu n c ió n d e p r in ic t g ia d ti. b a sta o b t e n e r d o s p u n to s c u a le s q u ie r a y u n ir lo s p o r m e d io d e u n a lím > recta. Si la f u n c ió n c a re c e d e t e r m i n o i n d e p e n d ie n te , c o m o u n o d e los p u u to s d e l g r á f ic o es e l o r ig e n , b a s ta o b te n e r u n p lin to c u a lq u ie r a y u n ir lo r o n e l o rig e n . Si la fu n c ió n tie n e té r m in o in d e p e n d ie n te , lo m ;is c ó m o d o es hallo i los in te re q ito s s o b re los e je s h a c ie n d o x ~ < ) e y — fl, y u n ir los d o s p u n to s q u e s e o b tie n e n .
E jem p lo Roprosentor grúficoinenlc lo función 2x y = 5 don dt* / cs lo variable dependiente función Cuando en una función lo vorioble dependiente no osló despejado, como en este coso, ’.n función se llamo /mp/icito y cuondo lo vorioble dependien te osló despejada, ia función cs explícito. Despejando y , tendremos y = 2x — 5. A hora la fun ción es exp/ícilo. Poro Isallor los interceptor, sobre los ejes (Fig. 31|, diremos: Paro x = - 0. y — — 5. Poro y “ 0. tendremos: 0 = 2 * - 5 luego 5 = 2 * . \ x = 2.5. El grófico de y = ?x — 5 OS la línea recta AB.
E JE R C IC IO
[
f ig u r a n
169
R e p re se n ta r g rá fic a m e n te las fu n c io n e s :
3
» 1
y - x - l- 2 . y - x - 3. y - x t l . y ¡|x + 3 .
7. 8.
y = 2 x — 4.
0. 10. 1 1 .y 12.
y = :»x + tí. y = 4 x + . r>. y —— 2 x i- I. = — 2 x — -1 . y = x -3 .
13. 14. 16.
y = 8 - 3x. y ii
I• y = x. .1 y - — 2 x .
x+6
16.
y=
x —9 •« |J
17.
>• =
5 x -4 2
18.
y= ?+«■
R e p re se n ta r las (tin c io n e s s ig u ie n te s sie n d o y la v a ria b le ln
1
x - iy - O . 2x 3y.
21 22
2x + y 10. ¡|y |x + 0.
23. 24.
|x + y = 8. y + 1» - x .
25. 20-
d e p e n d ie n te : fix - y - 22v = y - I .
298
@
•
a i.w iik a
GRAFICOS DE ALGUNAS FUNCIONES DE SEGUNDO GRADO
1)
G ráfico de y = x~.
Form em os u n a la b ia con los valores d e x y los corresp o n d ien tes d e y:
F.ii cl g ráfico (Fig. 3 2 ) aparecen rep resen tad os los valores de y co rresp o n d ien tes a los q u e hem os d a d o a x. La posición d e esos p u n to s nos indica la form a de la curva; es u n a p a rá b o la , curva ilim itada. El trazad o d e la curva u n ie n d o e n tre si los p u n to s i|u e liemos b ailad o de cada Indo del eje d e las y es ap ro x im ad o . C u a n to s m ás p u n tos se b ailen , m ayor ap ro x im ació n se o btiene. l - i o p e ra c ió n d e tra z a r la c u rv a h a b ie n d o h a lla d o só lo a lg u n o s p u m o s d e e lla se lla n ta in te r p o la c ió n , p u e s h a c e m o s p a sa r la c u rv a p o r m u c h o s o tro s p u n to s q u e n o h e m o s h a lla d o , p e r o q u e s u p o n e m o s p e r te n e c e n a la Curva.
F IG U R A
32
'¿) G rá f ic o d e x - + ■/ = Jt>. D espejando y tendrem os: y ~ = |g — x - ,
luego,
El sig n o ± p roviene d e q u e la ra l/ cu adrarla d e u n a c a n tid a d politív a tie n e do» signos ~ y —. P or ejem plo, v T = x 2 p o rq u e
=
í : ■ • / l6 -
X*.
F IG U R A
JJ
(-+ 2) X { + 2 ) = +-1 y ( - 2 ) x ( —2) = +
RC PR C 5ÍN T A C I0M G R A F IC A
OE L A S S U N C I O N t S
•
2 9 9
P o r ta n to , e n este caso, a cada valo r d e x co rresp o n d erán dos valores de y, 11110 positivo y o tro negativo. D a n d o valores a x: -3
-4
X
-2
1
1)
1) —2.6 = 3.4 = 3.8
y
2
1
.
3
4
= 3.8 ± 3 .4 = 2.6
2.4
i) i
I .a cu rv a (Fig. 33) es u n círculo cuyo c en tro está en el origen. T o d a e c u a c ió n d e la f o r m a x* r yr e p r e s e n ta u n c ir c u lo c u y o ra d io es r. A s i , e n e l c a s o a n te r io r , el r a d io es 4, q u e e s la ra íz c u a d r a d a d e 16. = r-
3 ) G rá fic o d e
l 2 ñ )- = 225.
V am os a d esp ejar y. T e n d rem o s: 25y* = 225 - 9x2 / . >•* =
f
”
D a n d o valores a x, tendrem os: X
-4
-5
y
-3
-2
-1
= 1.8 = 2 .4 = 2.6 = 2.8 = 3
"
2
1
0
3
4
5
± 2 .8 ± 2 .6 = 2.4 ± 1 .8
■■
En la lig. 3 4 ap arecen rep resen tad o s los valores de y co rresp o n d ien te. ■ l
G rá fic o d e x y — 5 o y — —.
D an d o a x valores positivos, tendrem os: i *
0
5
1
2
3
4
5
6
7
8
= «0
10
5
2 .5
,.6
1 .2 5
1
0.8
0.7
0.6
|)
1
M alean d o cuidadottjiiiicnlc estos p u n to s obtenem os la curva situ ad a en • I | n . c u a d ra n te d r la Fig. 35.
3 0 0
®
AtG IBRA
FIGURA 35
D a n d o a x valores negativos, tenem os: X y
0
_ :r'
í : co - 1 0
-1
-2
-3
-5
- 2 . 5 - 1 . 6 - 1 .2 5 - 1
-4
-5
—6
-7
-8
|....
—O.ft' —0 .7 | - 0 . ó | ------
$2 (fí
” 1
M a rc a n d o cu id ad o sam en te c ú o s p u n to s o b ten em o s la curva situ a d a e n e l 3er- c u a d ra n te d e la l'ig . 35. La c u rv a se a p ro x im a in d c lin id a m e n te a los ejes sin llegar a tocarlos; los toen un t.l infinito. L a cu rv a o b te n id a es u n a h ip é rb o la re c ta n g u la r. 'I'o d a ecuación de la form a x y = a o y = 7
d o n d e a es co n sta n te , re p re se n ta u n a h ip é rb o la de
esta clase. L a p a r á b o la , la e lip s e y la b ip é rlro la se lla m a n se cc io n es c ó n ic a s o s im p le m e n tc s c ó n ic a s . E l c í r a t l o es u n caso e sp e c ia l d e la e lip se . E sta s c u rv a s so n o b je to d e u n d e te n id o e s tu d io e n G e o m e tr ía A n a lítica. OBSERVACION
E n los g rá fic o s n o e s im p r e s c in d ib le q u e la u n id a d sea u n a d iv isió n d e l p a p e l c u a d r ic u la d o . P u e d e to m a rs e c o m o u n id a d d o s d iv is io n e s , tres d iv isio n e s, e tc . E n m u c h o s casos e s to es m u y c o n v e n ie n te . L a u n id a d p a r a las o rd e n a d a s p u e d e se r d is tin ta cpie p a ra las abscisas.
12. 3. 4.
E JER C IC IO 1 7 0 H a lla r cl g ráfico de: 0. y - '¿x-. 0. x* 7. y= T 8 ■v’ + y» = 25. 0. llx* + 1 tí),a — 14-1. 10.
y = x s + 1. y - x - = 2. x y ~ 4. x» -I- yu = 8C. y=z X* 2x. 3flx,J 1- 2r.y* = 000.
11 .
xí
12.
y = x a - 3x.
13.
xy = fl. y = x d. -*a -.
14.
ya = 40.
W o o tsth o rp e %
•
ISAAC NEW TON 11 6 4 2 -1 7 2 7 1 El m á i g ra n d e d c U a m atum iflCM in g liiju i. Su libro "P rin c ip ia M .ith e m jili.iV ', com id crad o com o uno d o lo» m i» g ra n d es por tento» d e la m en te h u m a n a , le b astaría p a ra o c u p ar un iug»r aobresaliunte e n la historia do las m a te m á ti
cas, Descubrió, cari sim u ltá n ea m e n te to n l.elbnil C álculo D iferencial y o l C álculo Integral. B aiim U ' los trabajos J e K epler, form uló la Ley «le Oravi|, U niversal. Ya en e l dom inio d e m o n ia l del debem os el desarrollo d el Binom io que ll«>» ...... .
CAPITULO
X X |
G R A FIC A S . A P LIC A C IO N ES PRACTICAS
¡2 7 6 IU T IL ID A D DE LOS GRAFICOS Es m u y g r a n d e . E n M a te m á tic a s . o n F ísica, E s ta d ís tic a , e n la iudustr ia , e n el c o m e rc io se e m p le a n m u c h a s los g rá fic o s. E s tu d ia re m o s a lg u n o s caso s pr.1<:ticos. '2 7 7 ¡ S ie m p r e q u e u n a c a n tid a d sea p r o p o r c io n a l a o tr a es ig u a l a esta o tra m u ltip lic a d a p o r u n a c o n s ta n te (2G0). A si, s i y es p r o p o r c io n a l a x . (rod em o s e s c r ib ir y — o x , d o n d e « es c o n s ta n te y sa b e m o s q u e e s ta e c u a c ió n re p ré s e n la u n a lin e a re c ta q u e p a s a p o r c í o r ig e n (274). P o r ta m o , las v a ria c io n e s d e u n a c a n tid a d p ro p o rc io n a ) a o tr a e sta rá n t r p re s e n (acias p o r u n a lín e a r e c ta q u e posa p o r el o rig e n . P e rte n e c e n a e ste caso el s a la r io p r o p o r c io n a l al tie m p o d e tr a b a jo ; el c o ito p r o p o r c io n a l al n ú m e r o d e cosas u o b je to s c o m p ra d o s : el e s p a c io p r o p o n io n a l al tie m p o , si la v e lo c id a d e s c o n s ta n te , etc. 30!
302 •
aigíoiia
Ejem plos <11 Un ob -ero gano $2 por boro. Hollor lo grófico del solorio en función del tiempo. Sobre- ol eje de las x |f¡g. 36) señalarnos ol tiempo. Cuatro divisiones re presentan una horo y sobre el e¡e d e los y el solario, codn división repre senta un peíO. En una boro el obrero gana 32: determinamos el punto A que marco ol valor de! sala rio $2 puro une horo y como c¡ salario es proporcional al tiempo, la grálico tiene que ser uno linca recia que paso por el origen. Unimos A con O y lo recta OlV. es la gráfico del solario. Esta lobln gráfica nos do d valor dol solnrin puia CUOquier número do horas. Paro sohci el sülorio correspondien te a un tiempo dodn no hay más que leer el valor do la ordenodn para ese valor do la abscisa. Asi se ve que en 2 boros el saíurio es S-1; en 2 horas y CUOfte $4.50; o r 3 horas, 36; on 3 horas y <15 minutos o 3? horas, $7.50. | 2 ) Sabiendo que 15 dólares equivelen n 225 sucres, iorm or una tabla que per mita convertir dólares en sucres y viceversa. las abscisas serón dóla res, |:ig. 37J. crida d iv i sión c ; U. S. $1.03; los ordenados sucres, coda división 15 sucres. Ho llamos el volar de la or denada cuando la ubscicísa es U. 5. $15.00 y te nemos el punto A. Uni mos C-ste punto ron O y tendremos la gráfica OAL Dando suficiente exten sión o los ojes, podemos Saber cuántos sucres son cualquier número de dó lares. En el g iú lk o se ve quo U. S. $1 equivale o 15 sucres, U. S. í-4 50 equivalen a 67.50 sucres, U. S. $9 a 135 sucres y U. S. $18 o 270 sucres.
DOLARES
c
HGURA S>
CKAÍICAS,
B>
APLICACION!* PRACriC A*
•
303
Un Iren que va a -10 Km por h w o sale de un punió O a ¡o* 7 o. m. Con»fruir uno gráfica que permito hollar o qué distancia se halla del punto de partida en cualquier momento y a que hora llegará al punto P situado a I -0 Km de O.
Les horas (fig. 36|, ion las abscisas; codo división es 10 minutos. Las di» rancias las ordenodas; cada división 20 Km. Saliendo a los 7, o las 8 habrá andado ya '10 Km. Marcamos el punto A y lo unimos con O . la lineo O M es ia gráfica de la distancia. M idiendo el valor de la ordenada, veremos que por ejemplo, a los 8 y 20 '•> halla a S3.3 Km del punto d e parlidu; a las 9 >• 15 a 90 Km. A l punto * situado a 1-60 Km llega o los 10 y 30 o.m. <-<) Un hombre sale de O hacia M , siluorío a 20 Km de O o las 10 a. m. y va ii 8 Km por hora. Coda vez que onda una hora, se detiene 20 minuto» para descansar. Hallar gráficamente o qué hora llcgorú a Af. Cada división de OX (fig. 39), representa 10 minutos; codo división de OV representa 4 Km.
HORAS F IG U R A
19
3 0 ?
9
A L G E& K A
Como va o 8 Km pe-' hora y 5o:e a leí 10 o, m. o las II habrá andudo yo 8 Km¡ w; halla c-n A. El tiempo que descansa, de II o 11.20 se expreso con un segmento AB porolelo ol eje de lai horas, porque el tiempo sigue avon/ando. A leí 11 y 50 emprende de nuevo su marcha y en uno hora, de 11.20 o 12.20 recorre otros 8 Km, tueco se hallará en C que corresponde a o crdenodo 16 Km. Deseanso oíros 20 minutos, de 12.20 a 12.40, Isegmento Cí>J y a las !2.¿0 emprende otro vez lo morcha. Aboco lo falten 4 Km para llegar o M. Oo í> o M la ordenado aumenta 4 Km y ol punto M corresponde en lo abscisa la 1 y 10 p . m.
p .
EJERC IC IO
R.
171
I E L I I A L A S U N ID A D E S A D tC U A O A S I
1, C onstru ir unw g ráfica q u e p e rm ita h a lla r el costo d e c u a lq u ie r ntim cJ» de m etros d e te la (h a sta 10 m) sa b ie n d o q u e 3 m cuestan .>4. •¡ S abien d o q u e ó tu de tela cuestan SC¡, h a lla r g ráficam en te c u á n to cuestan 8 m . ft ni, 12 rn y cuántos m en o s se p u ed en com prar con $ 20. S abiendo q u e I d ó la r = 1 5 sucres, co n stru ir u n a gráfica que p erm ita c am b ia r sucres |X>r d ó la re s y viceversa h asta 20 chilares. H a lle gráfica m ente cu án to s dólares son 37-50, 45 y 83 sucres, y cu án to s sucres son 1.50 v 7 dólares. a . S ab ien d o «pie bs. 200.-ganan bs. Il> al añ o . construya u n a gráfica que p rim ita h a lla r el Ínteres anua! d e c u a lq u ie r c a n tid a d h a sta bs. 1000. H alle g ráficam en te el in terés de bs. 450, bs. 700 y bs. 025 en un ario. . P o r :} h o ras de tra b a jo mi h o m b re recib e IS soles. H a lle g>á lien mente el sa la rio de -1 h oras, y horas y 7 horas. ¡¡ U n tre n va a <¡() K m p o r h o ra. H a lla r g ráficam en te la d ista n c ia reco rrid a a l cabo de 1 h o ra y 20 m in u to s, 2 hom s y cu a rto , :¡ h o ras y m edia. Y. H a lla r la g ráfica del m ovim iento u n ifo rm e cíe u n m óvil a ia /ó u de $ m por segundo hasta 10 segundos. H a lle g ráficam en te la d istan cia recorrida en 5J seg„ e n 7? scg. y. U n h o m b re sale de O hacia M , situ ad o a l>0 Km de O . a las (¡ a.m . y va a 10 Km p o r hora. Al cabo de 2 horas descansa 20 m in u to s y re a n u d a su m arch a a la m ism a velocidad a n te rio r. H a lla r gráficam en te a q u é h o ra llega a Ai. <1 U n h o m b re sale or hora y a la vuelta a 50 Km p o r h o ra . H a lla r la gráfica «leí v iaje tle ida y vuelta y la hora a q u e llega al p u n to tle p artid a.
0
G K A H C A J,
A PL IC A C IO N »
PRA C TIC A !
•
305
ESTA D ISTIC A
L a s C u estio n es d e E sta d ís tic a son d e e x tr a o r d in a r ia im p o r ta n c ia p a ra la in d u s tr ia , el c o m e rc io , la e d u c a c ió n , la s a lu d p ú b lic a , e tc . 1.a E sta d ístic a es u n a c ie n c ia q u e se e s tu d ia b o y e n m u c h a s U n iv e rsid a d e s. D a re m o s tin a lig e ra id e a a c e rc a d e estas c u e stio n e s, a p ro v e c h a n d o la o p o r t u n i d a d q u e n o s o fre c e la re p r e s e n ta c ió n g rá fic a . M ETO D O S DE R EPR ESEN TA C IO N EN ESTAD ISTICA
E l p r i m e r p a s o p a r a h a c e r u n a e s ta d ís tic a e s c o n s e g u ir to d o s los d a to . ]>osibles a c e rc a d e l a s u n to d e q u e se tr a te . C u a n t o m á s d a to s se r e ú n a n , m á s fie l será la e sta d ístic a . U n a ve/, e n p o se sió n d e e sto s d a to s y d e sp u é s d e c la sific a rlo s rig u ro sa m e n te s e p ro c e d e a la r e p re s e n ta c ió n d e los m ism os, lo c u a l p u e d e liaceiMp o r m e d io d e ta b u la r e s y d e g ráfico s. 2 8 0 ) TABULAR C u a n d o los d a to s e sta d ís tic a s se d is p o n e n e n c o lu m n a s q u e p u e d a n v i le íd a s v e rtic a l y h o r iz o n ta lm e n te , te n e m o s u n ta b u la r . E n el tí t u l o d e l t a b u l a r se d e b e in d ic a r su o b je to y cl tie m p o y h ig m a q u e se re fie re , to d o 'c o n c la r id a d . L o s d a to s se d is p o n e n e n c o lu m n a s s e p a ra d a s u n a s d e o tra s p o r ra y a s y e n c im a «le c a d a c o lu m n a d e b e h a b ía <• >> títu lo q u e e x p liq u e lo q u e la c o lu m n a re p r e s e n ta . l a s fila s h o r i/o n la lr t tie n e n ta m b ié n su s títu lo s . L os to ta le s «le las c o lu m n a s v a n a l p í e d e las m ism a s y los to tale s
R ." -
CARACAS
E N E R O -JU N IO CAMIONES Y AUTOMOVILES POR MESES TOTAL
A U T O M O V IL E S M (S U
A U T O M O V III
C A M IO H L S C tR R A O O S
A B IE R T O S
TOTAL
V
C A M IO N !»
ENÍRO
18
20
2
22
40
FEBRERO
24
30
5
35
59
MARZO
31
40
8
48
79
ABRIL
45
60
12
77
117
MAYO
25
32
7
.19
64
JUNIO
15
20
3
23
36
158
202
37
239
397
IOTALES
3 0 6
•
ALGEBRA
,2 8 1 ) G RAFICOS P o r m e d io d e g rá fic o s se p u e d e r e p r e s e n ta r to d a ciase d e d a to s esta dísticos. G rá f ic a m e n te , los d a to s e sta d ístic o s se p u e d e n re p r e s e n ta r p o r m e d io d e b a rra s , c írc u lo s , lin e a s re c ta s o c u rv a s. 282) BARRAS C u a n d o se q u ie r e n e x p re s a r sim p le s c o m p a ra c io n e s «le m e d id a s se e n e p ic an las b a rra s , q u e p u e d e n s e r h o riz o n ta le s o v e rtic a le s. Ksios g ráfico s su e le n lle v a r s u e sc a la . C u a n d o o c u r r e a lg u n a a n o m a lía , se a c la ra c o n u n a n o ta a l p ie.
PR O D U C C IO N DE C A Ñ A DE LA COLONIA
i*o«i ANOS 1951 - 5 7
E je m p lo de gráfica» c o n b a rra s ho« ¡zo n ta les.
FIG U R A 4 0
MILLONES DE ARROBAS
SEQUA
C IR C U L A C IO N DE L A REV ISTA " H " muiarcs
Eje m p lo d e g rá fic o c o n b a rra s v erticales.
F I G U R A 41
i* fjttzt'iAnrs
PO R
M C ST S
J U ltO - O I C .
K"
G R A FIC A S.
A P U C A C IO N t* PRA CT IC A *
307
283) CIRCULOS
A lg u n a s v cccs e n la c o m p a ra c ió n d e m e d id a s se e m p le a n c ircu len , de m o d o q u e su s d iá m e tr o s o sus á re a s se a n p ro p o rc io n a le s a las c a n tid a d e s q u e se c o m p a ra n .
B V E N ÍA S
EN
VENTAS
EN
L A C A P IT A L
EL IN T E R IO R
$4 0 .0 0 0
$ 10.000
V E N T A S EN LA
C A P IT A L
$ 4 0 ,0 0 0
EL IN ÍE B IO R
$ 20 ,0 00
FIGU RA 47
E n la fig u ra 42-A se re p re s e n ta n las v e n ta s d e u n a ra sa d e c o m e n io i lu í a n l e u n a ñ o . $40000 e n la C a p ita l y 520000 e n el in te r io r , p o r m e d io d> d o s c írc u lo s , s ie n d o e l d iá m e tr o d e l q u e re p re s e n ta $40000 d o b le d el q u e i r p re s e n ta 520000. E n la f ig u r a 42-B el á r e a d e l c irc u lo m a y o r cs d o b le qu> la d e l m e n o r. S ie m p re cs p r e f e r ib le u sa r el sistem a d e á re a s p r o p o rc io n a le s a las < ui tid a d e s q u e se re p re s e n ta n e n v e / d el d e d iá m e tro s. E ste siste m a n o cs m u y u sa d o ; es p r e f e r ib le e l d e las b a rra s. L o s c irc u io s se e m p le a n ta m b ié n p a ra c o m p a r a r e n tr e si las pai tes q u e fo rm a n u n to d o , r e p r e s e n ta n d o las p a rte s p o r sec o n e s c irc u la re s cuy as á re a s sean p io jx irc io n a lc s a las p a rte s q u e »c c o m p a ra n . A si. p a ra in d ic a r q u e d e los $10000 d e v e n ta d e u n a casa d e V E N IA VENIA Í30.CCO $ 5 0 .0 0 0 te jid o s e n lí).»8, el 20% se v e n d ió a l c o n ta d o y el reato a p la /u s , se FIGU RA 4 1 p u e d e p ro c e d e r asi:
308 •
AL6M H A
Ks p r e f e r ib le cl m é to d o d e b a r r a s I!, d a d a la d if ic u lta d d e c a lc u la r c la r a m e n te el á r e a d e l s e c to r c ir c u la r . P a r a e x p r e s a r q u e d e los $120000 e n m e rc a n c ía s q u e tie n e e n e x is te n cia u n a lm a c é n , c l 2 5 % es a z ú c a r, c l 2 0% e s c a fé y c l re s to v ív e re s, |ro d em o s p r o c e d e r a sí:
ÍIC U H A 4 4
EXISTENCIA suo.eoe
E X IS T E N C IA
VttO.MO
1x y í g r á f ic o s a n t e r i o r e s e n q u e la s p a r t e s d e u n t o d o se r e p r e s e n t a n p o r
sectores p o rq u e
circu la res son llam ad o s e n inglés “ p ie c h a rts", (gráficos d e pastel) los sectores tie n e n sem ejanza con los cortes q u e se d a n a u n pastel.
2 8 4 ) LIN E A S RECTAS 0 CURVAS. EJES CO O RD EN A D O S
G RA FICO S POR
C u a n d o e n E s ta d ís tic a s e q u ie r e n e x p r e s a r las v a ria c io n e s d e u n a c a n ti d a d e n fu n c ió n d e l tie m p o se e m p le a la r e p r e s e n ta c ió n g rá fic a p o r m e d io d e cje.s c o o rd e n a d o s . !.a s ab scisas r e p r e s e n ta n los tie m p o s y las o rd e n a d a s la o tr a c a n tid a d q u e se r e la c io n a co n el tie m p o .
r iC U H A
4S
C u a n d o u n a c a n tid ad y es propotcíonal al tie m p o I, la ecuación q u e la liga con este es d e form a y = al, d o n d e « es cons ta n te . lu eg o cl g ráfico d e sus variaciones será u n a lín e a recta a través d el orig en y si su iclació n con el tie m p o es d e la form a y — al + b, d o n d e a y l> son constantes, el g ráfico será m ía linea recta q u e n o pava p o r cl orig en . Asi, la e s ta d ís tic a gráfica d e la s g anan c ia s d e u n a lm a c é n d e 1954 a 1957. sab ien d o q u e en 1954 g a n ó $2000 y q u e e n c a d a arto p o s te rio r g a n ó $2000 m á s q u e e n cl in m ed ia to a n te r io r , e s tá re p re s e n ta d o p o r la li n c a re c ta O M en la fig. 45,
G R A FIC A !
A P L I C A C I O N (S
P R A C T IC A S
•
3 0 9
P ero esto n o es lo m ás c o rrie n te . le í usual es q u e l.is variaciones de l.i c a n tid a d «pie iej»rcsentan las o rd e n a d a s sean más o m enos irregular»» y en lotices el g rá ííro «•» u n a lín ea c u rv a o q u e b ra d a . L i fig. 46 m uestra las variaciones de la te m p e ra tu ra m ín im a e n u n a c iu d a d del d ía 15 al 2 0 d e diciem bre. Se ve q u e el d ía 15 la m ín im a fue 17.5°: el d ía Ifi «le 10", el «lia 17 d e 15°, el IR «le 2 5 °. el 1!) «Ir 22° y e l 20 d e 15®. I-i lín e a q u e b ra d a «¡tic se o b tie n e es la g ráfica d e las varía* n o n e s de la te m p e ra tu ra. F IG U R A 46
En la fig. 47 se rep re se n ta la p ro d u c ción d e u n a fáb rica de au to m ó v iles d u ra n te l«is 12 meses del a ñ o e n los años 1954, 1955, 1956 y 1957. El v a lo r
D IA S DE DIC.
AUTOMOVILES
FIG U R A 4 7
nu E n la fig. 48 se e x h ib e «:l a u m e n to de la p o b lació n d e u n a c iu d a d , «lesilr 1935 basta 1960. Se ve q u e en 1935 la población era d e 5000 alm as: el a u m e n to d e 1935 a 1940 es d e 2000 abrías: «le 1940 a 1945 d e (¡IKK) alm as; etc. L a p oblación e n 1955 es «Ir 30000 alm as y e n 1900 d e 47000 alm as.
«ss
mi
r»j
M i l i A N IS
F IG U R A 4 8
*■ E JE R C IC IO
172
E xpíese por inedio d e b a rra s b o riro n ta lc s o verticales q u e e n 1962 las co lo n ias del C e n tra l X p ro d u je ro n : L a colonia A . ¿’ m illo n es «le arroba»; la «olnnia II. 3 m illones y m edio; la colo nia C, u n in illin i y c u a ito y la colonia />, 4 | m illones. E xprese p o r barras q u e d e los 200 alu m n o s d e u n colegio, hay 50 d e 10 año». 40 «le I I añ o s, 30 «le 13 años, 60 «le 14 año» y 20 d e 15 años. ' Exprese p o r m ed io d e sectores circu lares y de b arra s q u e «le los 80000 sacos «le m ercancía» «pie tie n e u n alm acén, el 40% so n d e a /ú c a r y el «esto «le a íro /.
3 1 0
•
A lC tB R A
4. E xprese p o r m ed io de sectores circulares y d e b arra s q u e d e los 200000 a u to s q u e p ro d u jo u n a fábrica e n 19G2 100000 fu eron cam iones, -10000 a m o s a b ie rto s y el icsto cen ad o s. ¡i. E xprese p o r b a rra s horizontales q u e el e jé rc ito del país A tie n e 3 m i llones «le hom bres, el d e B u n m illó n 800000 h om bres y el d e <’■ 600000 hom bres. 0- E x p íese jK»r m ed io d e b arras verticales q u e la circulación d e una revista «le m arro a ju lio d e 1062 ha sido: m arzo, 10000 ejem plares: a b ril, 14(JO0: m ayo, 22000; ju n io , 25000 y julio. 30000. 7. In d iq u e |x>r m ed io de lia n a s q u e u n alm acén gan ó e n 195G $3(KX) y después cada a n o basta 1962. g a n ó $1500 mys «pie el a ñ o an terio r. 8. Exprese |>or m ed io d e b arras q u e u n h o m b re tie n e in v ertid o e n casas bs. 5 UKXM). en valores bs. -100000 y e n u n B anco bs. 120000. 9. Exprese |>or m ed io d e liarras «pie un p aís cx|>ortó m ercancías |>or los siguientes valores: e n J957. >4 m illones d e |>csos; e n 1958. 17 m illones: e«¡ 1959, 22 m illones; en 196 0 20 m illones; en 1962 25 m illones y en 196 2 10 m illones. 10. H aga u u g rá fic o q u e exprese las te m p e ra tu ra s m áxim as siguientes: Día 14. 32°; d ía 15. 35°; «lia 10, 38*; «lia 17. 2 2 °; d ía 18. ló * . «lia 19. 25°. 11. H ag a u n g ráfico q u e exprese las siguientes tcn ijicralu ras d e u n enferm o: D ía 20: a las 12 d e la noche. 39°; a las G a.tn., 39.5°: a las 12 del «lia 40"; a las 6 p.m ., 3 8 .5 ". D ía 21: a las 12 de la noche, 38": a las 6 a.n»., 37°; a las 12 d e l «lia, 37.4°; a las 6 p.ui.. 36°. 32- I-as coi ¡/aciones «leí d ó la r h a n sólo: D in 10, 18.20 soles: «lia 11, 1840; d ía 12, 19-00; «lia |3 , 18.80: día 11. 18-60- E x p u se gráficam en te esta c o tiz a c ió n .
13- U n a lu m n o se ex am in a d e A lgebra to d o s los meses. En o c tu b re ob tu v o 55 p u n to s y e n c a d a mes posterior hasta m ayo o b tu v o 5 p u n to s m ás q u e e n el m es a n te rio r. H a lla r la g ráfica d e sus calificaciones. 14. I-as calificaciones d e u n a lu m n o en A lgebra h a n sitio: o c tu b re 15, 90 p u n to s: oct. 30. 60 p unios; nov. 15. 72 p u n to s: nov. 30. 85 puntos: d i e 15. 95 p u n to s. H a lla r la gTáiica «le sus calificaciones. 15. La p o b lació n «!«• u n a ciu d a d fu e en 1930. 5000 alm as; e n 1940, 10000 alm as; c u 1950. 20001) alm as; e n 1960. 4001)0- H a lla r la gráfica del a u m en to d e po b lació n . 16. I.as ventas d e u n alm acén h a n sido: 19.77. $40000: 1958. S60000; 1959. $35000: 19G0 S2U00U. 1961. $5000; 1902. 512500. H a lla i la g iá lita de las ventas. 17. Las im p o rtacio n es «le u n alm acén d e feb rero a noviem bre d e 11162 lian .-sitio: febrero, $56000; m arzo. $80000: a b ril. $90000: m ayo. $100090; junio, $82000: julio. SVIOOO: agom», $60000; septiem bre. $94000: o ctu b tc. $75000 y n o v iem b re, $63000. H a lla r la gráfica. 18- I a s can tid ad es em pleadas poi u n a «om pañia e n salarios d e sus ol ñeros «le ju lio a dii ii-m bre «le 19G2 fu ero n : ju lio $25000: agento. $30000; sepL, $40000: oct., $20000: ik*v., $12000: «lie- $23000. H a lla r la gráfica d e los salarios. 19. Rcc«>memlamos a to«lo a h u n ito com o ejercicio m uy in teresan te «pie lleve u n a estadística g ráfica «fe sus calificaciones d e I « k 1o el tu is o en esta
asignatura.
•
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^
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_
i.O IT fR IE D W ILHELM LEIBH ITZ < 1 6 4 6 -1 7 1 6 ) U 4» 4« •I
F¡-
A n á lisis C o m b in ato ria. M an tu v o durante M r •» la idea de u n a m atem ática sim bólica G rassm an co m e n zó a lograr al deiarro tlar *t *1 ■ de M am ilton. M u rió cuando escribía la hlitM ). la fam ilia 8 ru n sw ick en la Biblíotoca d * II» -
. lo f n u l c m i l k o i l n ú n . U m c n le m i l u n ÍT o ru I iu rp o c *. D om inó t o d j la filo in lia y toda la cie n cia »u tiem po. D escu b rió u m u ltá n e a m e a ta c o n N ew ton C álculo D ife re n cia l. D etarrolló n otablem en te ci
C A P 1ÍU L 0 ECUACIONES INDETERMINADAS 2 8 5 ECU A CIO N ES DE PRIM ER GRADO C O N DOS VARIABLES C o n s id e re m o s la e c u a c ió n 2x I 3y = 12, q u e lic n c d o s v a ria b le s o tu c ó g n ita s . D e s p e ja n d o y . te n d re m o s : 1 2 -2 * >• = ------------- .
3y = 12 — 2x P a ra r a d a v alo t q u e d e m o s a x=0. y - I x — I, y = 3J
x o b te n e m o s u n v a lo r p a ta y- Asi. x = 2. x -3 ,
p a ta
y = 2jj y - 2 . e ir.
T o d o s estos p a re s d e v a lo re s, s u s titu id o s e n la e c u a c ió n d a d a , la c o n v ie rte n e n id e n tid a d , o sea q u e sa tis fa c e n la e c u a c ió n . D a n d o v a lo re s a x (todem o s o b te n e r in f in ito s p a re s d e v a lo re s q u e satisfacen la e c u a c ió n . Esta es u n a e c u a c ió n in d e te r m in a d a . E n to n c e s, to d a e c u a c ió n d e p r im e r g ra d o r o n d o s v a ria b le s es u n a e c u a c ió n in d e te r m in a d a . 2 8 6 ) RESOLUCION DE U NA EC U A C IO N DE PRIM ER G RADO CON DOS IN C O G N ITA S. SOLUCIONES ENTERAS Y POSITIVAS I le n to s v isto q u e to d a e c u a c ió n d e p r im e r g r a d o c o n d o s in c ó g n ita s o in d e te r m in a d a , tie n e in f in ita s so lu c io n e s; p e ro si fija m o s la c o n d ic ió n d e 311
312
•
A L G tü H A
q u e las so lu c io n e s s e a n e n te r a s y p o sitiv a s, e l n ú m e r o d e so lu c io n e s puedeser lim ita d o en- a lg u n o s casos.
Ejem plos
( ! ) Resolver x-1 y ~ 4, pata valores enteros y positivos. Despejondo y, tenemos:
y = 4 — x.
El volor de y depende del valor de x; x tiene que ser entero y positivo según la condición (ijada, y poro que y sea a tle ta y positiva, cl mayor volor que podemos d o r o x es 3, porque si x = 4, entonces y = 4 — x = <1 — 4 — 0, y si x es 5 ya se tendría y = 4 — 5 = — 1, negativa. Por tanto, los soluciones ente ros y positivos de lo ecuación, son; x = 1 x= 2 x= 3
y-3 y -2 y
R.
( 2 ) Resolver 5x t 7y — 128 para valores enteros y positivos. Despejondo
x
que tiene ol menor coeíicicnte, tendremos: 5x = 128- 7 y
x - j£ lz Z ^ .
Ahoro descomponemos 128 y — 7y en dos sumandos uno de los cuales sea cl mayar múltiplo de 5 que contiene cada uno, y tendrerpoS: 125 + 3 - 5 y - 2 y x = ----------------------------
125
5y
5
5
5
luego quedo:
x = 25 — y d
3-2y 3 -2 y 1------ -— = 25 — y + — -— 5 ' 5
3_2y . . 3 — 2y — y de aquí x — 25 I y - — - —
J
V
Siendo x e y enteros, (condición lijado) el primer miembro de esto igualdad tiene que ser entero, luego cl segundo miembro será entero y tendremos: 3 -2 / — — entero. A liara multiplicamos cl numerador par un número tof que ol dividir c l cocfi ciento de y enfre 5 nos dé de residuo I, en este coso por 3 ,y tendremos: 9 — ¿y — - — = entero
6y
9 o seo
5 I 4
-—
5 luego nos queda
5
Sy - y 5 Sy 4 y — — -------- 1-------- — I 5 5 5
4 -y y f
— entero 5
4— y I - y • — - — — entero.
4 — y 4 — y Pora que I — y I --------- sea entero es necesario que---------- — entero. 5 5 memos m a este entero:
4 —y
^ = ni.
Lla-
ICUACIOwts INOETÍKMIHAOAS • Despe¡ondo y.
3
4 — y = 5m — y — Sni ■ 4 y = 4 — 5m.
(1 )
Sustituyendo este valor d t y en lo ecuación dodo 5* + 7y — 128, leñemos-. 5x + 7 (4 — 5m ) = 128 5x + 28 35rrr— 128 5 x = l00 + 3Sm
100 + 35m
x — --------------5 x = 2 0 -f- 7/n.
(2 )
Reuniendo los resultados < 1 I y ( 2 ) , tenemos: ( x - 2 0 + 7/n > y = j¡ _ 5^
donde m cs entero.
Ahoro, dando vo'.ores a m obtendremos volores paro x c y. negativo, se desecho la solución. Así: N o se
Poro
m= 0 m= 1
x = 20. x = 27.
Si algún valar
y = 4 y = — 1 se desecha,
prueban másvalores positivos de m porque dorion lo y negativo Paro
m— — 1 « = — 2 m= — 3
x — x= x= —
13, y — 9 6, y =s 14 1, se desecha.
N o se prueban másvalores negativos de «7 porque darían lo x negativo Por tonto, los soluciones enteros y positivos de la ecuación, san: x = 20 x = 13 x^ d
y— 4 y= 9 y — 14. R.
los resultodos <1 1 y <2 > son lo soliKÍón general de la ecuación. 3 I Resolver 7x — 12y = 17 pora valores enteros y positivos. Despejando x:
o m
, =
14 + 3 + 7y + Sy
------------------------ -------------------=
luego quedo
o sea
x = ----- -— —
7x = 17 + 12y
x= 7+ y H
3
14
_
+
7y
_ . +
3 + 5y
_
5y —
_ —3 +- —57 . x— 0 2— y —
Sicario x o y entoros, x — ? — y cs entero, luego 3 + 5y
= entero.
_
=
3 I 5y
2 + ir+ ^
„
3 1 4
•
ALGEURA
M ultiplicando cl numerador p o r 3 (porque 3 X 5 “ y 15 d ivid id o entre 7 da
residuo 1J tendremos: o sea 9 + I5y
luego queda:
9+15y -- -
= entero
7 + 2 + Uy + y 7 Uy y +2 y + 2 — = ? + — + — = i+ 2 r+ — = « •'< » » y+ 2 1 + 2y + ———— entero.
y + 2 Paro que esta expresión seo un número entero, es necesorio que —- — = entero. Llomcmos m a este entero:
Despejando y:
y+ 2 — —
— m.
y + 2 = 7m y = '/m — 2.
(11
Sustituyendo este volor de y en la ecuación doda 7x — 12y = 17, se tiene: 7x - 1 2 17/i) - 2 ) = 17 7* - 84m I 24 = 17 7x = 8'1m - 7 84rn —7 x ~ ----------x ~ 12m — I. La solución generoJ es: j *
*
^
(2 )
donde m es entero.
Si m es cero o negativo, x e y setíon negativos; se desechan esos soluciones. Para cualquier valor positivo de m, x c y son positivas, y tendremos: Para
1 m=7 tn ~ 3 m —4
x — 11 X - 23 x — 35 x=<7
7= 5 y = ?2 y - 19 y -2 6
y así sucesivamente), luego cl número de soluciones enteras y positivos es ríímilodo. OBSERVACION
Si en lo ecundón dada el término quo contiene la x está conectado con el tér mino que contiene lo y por medio del signo I el número de soluciones enteros y positivas es limitado y si está conectado por el signo — es ilimitado.
1. 2. 3. 4. D.
EJER C IC IO 173 H a lla r todas las soluciones c u te ra s 0. 1 5x+ 7y= 186. x+y=5. 7. x + 5 y = 2 4 . 2x+3y=373x+f,y=43. R. 9 x + lly = 2 0 3 . i). 5 x + 2 v = 7 3 . x+3y=9. 7x I 8y—115. 10. 8x+ 13y=162-
y positivas de: 11. ?x+5y=]<>1. J2 . 1 0 x + y = 3 2 . 13. 9 x + 4 y = 8 6 . 1-1. 9 x + lly = 2 0 7 . 10. Ilx + 1 2 y = 3 5 4 .
1«. 17. 18.
1 0 x + i:iy —2!M. l l x I S y -3 0 0 . 21x+ 25y= 705.
C C t l A C IO U f S I h l í U t l t M I M A D A S
•
315
H a lla r la solu ció n g en eral y los tre s m enores pares d e valores entero» y positivos d e x c y «pie satisfacen las ccu aiio n cs siguientes: 19. 20. 21.
3 x —l y - 5 . 5 x - 8 y = |. 7 x -l3 y = 4 3 .
22. l l x —l2 y = 0 . 23. I4 x -1 7 y = 3 2 24. 7 x - U y = 8 3 .
25. 8 x -1 3 y = 4 0 7 . 26. 2 0 y - 2 3 x - l l l . 27. 5 y -7 x = 3 1 2 .
PROBLEM AS SOURE ECU A CIO N ES IN D ETERM IN A D A S 287, U n c o m e r c ia n te e m p le a Q . 04 e n c o m p r a r la p ic e ro s a Q . 3 c a d a u n o y p lu m a s - f u e n te s a Q . 5 c a d a u n a . ¿ C u á n to s la p ic e ro s y c u á n ta s p l u m a s -fu e n te s p u e d e c o m p ra r? S ea
x = n ú m e r o d e la p ic e ro s. y — n ú m e r o d e p lu m a s -fu e n te s .
C o m o c a d a la p ic e ro c u e s ta Q . 3 . los x la p ic e ro s c o s ta r á n O . 3x y c o m o c a d a p lu m a c u e s ta Q . 5, las y p lu m a s c o s ta rá n f ) . 5y. P o r to d o se p ag a Q . 64; lin 'g o , te n e m o s la e c u a c ió n :
3 x -*• 5y
R e s o lv ie n d o e sta e c u a c ió n p a r a v a lo r e s e n te r o s y p o sitiv o s, se o b tie n e n las s o lu c io n e s s ig u ie n te s :
x -1 3 .
II
x — 18,
* = 8.
y = 8
7= 5
x — 3,
>=11
lu e g o . |K»r Q . 64 p u e d e c o m p r a r 18 la p ic e ro s y 2 p lu m a s o 13 lap ic e ro * y > p lu m a s u 8 la p ic e ro s y 8 p lu m a s o 3 la p ic e ro s y 11 p lu m a s . R. »-
E JE R C IC IO
174
1 el)c c u á n to s m odos se p u e d e n te n e r £12 cn billetes «le $2 y «le 55? 2 ¿De cu á n to s m inios se p u e d e n p a g a r $45 c n m onedas d e 55 y d e 510? H a lla r «los n úm eros tales «pie si u n o se m u ltip lic a por 5 y el o tro jxrr 3. la su m a or tela de lan a a 51-50 el m e tro y d e setla a 52.50 e l m etro. ¿C uántos m etro s d e la n a y cu á n to s d e setla com pró? ti En u n a excursión cada n iñ o p a g a b a 45 CU. y cada a d u lto 51. Si el gasto to tal fu e «le $17. ¿cuántos a d u lto s y n iños iban? U n g a n a d e ro c o m p ró cab allo s y vacas jx ir 41000 sucres. C a d a caballo le costó 160 su rte s y cada vaca 440 sucres. ¿C uántos caballo» y vacas com pró? El tr ip lo di- u n n ú m e ro a u m e n ta d o e n 3 eq u iv ale al < |u (n tu p lo d e o tro a m u rilla d o cn 5. H a lla r los m etióte? nú m ero s p o s itiv o s q u e cum p len esta co n d ic ió n . 11 ¿l>e c u á n to s m odos se p u ed en p a g a r $2.10 co n m oneda» d e 25 ets. y «le 10 ets ?
316
•
288;
R EPRESEN TA C IO N G R A FIC A DE U N A ECU A CIO N LINEA L
A I.G II1 M A
~ L as e c u a c io n e s d e p r im e r g ia d u c o n d o s v a ria b le s se lla m a n e c u a c io n e s lin e a le s p o r q u e r e p r e s e n r a n lín e a s re c ia s. E n efecto : S i e n la e c u a c ió n 2x —3y = tí. d e s p e ja m o s y , te n e m o s: - 3 y = - 2 x , o sea, 3y = ¿x y a q u í v e rn o s q u e y es f u n c ió n d e p i ¡n ie r g r a d o d e x s in té r m in o in d e p e n d íe m e . y sa b e m o s (274) q u e to d a f u n c ió n d e p r im e r g r a d o s in té r m in o in d e p e n d ie n te r e p r e s e n ta u n a lin c a re c ta q u e p asa p o r e l o rig e n . Si e n la e c u a c ió n 4 x — 5y — 10 d e s p e ja m o s y. te n em o s: — 5y — 10 — 4 x o sea
5y = -lx — 10
y-
4 x —10
o sea y ~ y x — 2 O
y a q u í v e m o s q u e y e s f u n c ió n d e p r im e r g r a d o d e x c o n té r m in o in d e p e n d ie n te . y s a b e m o s q u e to d a f u n c ió n d e p r i m e r g r a d o c o n té r m in o in d e p e n d ie n te re p r e s e n ta u n a lín e a re c ia q u e n o p a sa p o r e l o r ig e n (274). P o r ta n to : T o d a e c u a c ió n d e p r im e r g r a d o co n d o s v a ria b le s r e p r e s e n ta u n a li n e a r e c ia . S i la e c u a c ió n c a re c e d e té r m in o in d e p e n d ie n te , la fin c a re c ta rju e ella r e p r e s e n ta p a sa p o r e l o r ig e n . S i la e c u a c ió n tie n e té r m in o i n d e p e n d ie n te , la lin c a r e c ta q u e e lla re p re s e n ta n o p a sa p o r e l o rig e n .
E jem p lo s | (1 I Representar gróficomcntc la ecuación 5x — 3y —0. Como la ecuación carece de término independiente el origen es un punto de la recta. (Fig. 491. Basto hollar otro punta cuolquioro y unirlo con el origen. Despejando y.— 3y — — 5x o sea 3y = 5x Hallemos el valor d e y para un valor cuolquiera do x. por ejemplo: Pora x = 3,
y = 5.
n punto 13, 5 ) es un punto de lo recta, que uni d o con el origen determina lo recto 5x — 3y — 0.
ItCURA 4V
G R A FIC O S
DI
IC U A C IO N fS
IIN E A LU
•
317
<2 ) Gráfico de 3x 3-
y — 0, x = 0,
x~ 5 y = 3 }.
Marcando los puntos (5 , 0 ) y 10, 3J ) . ( Fig. 50 ), y uniéndolos entre si queda representado lo rec to que represento la ecuación 3x + Ay — 15.
FIGURA 50
(3 ) Gráfico de x — 3 = 0. Despejando x, se tiene x — 3. Esta ecuación equivale a Oy + x = 3. Para cualquier vulot de y, el término Oy = 0. Para y - 0, x = 3; pora y = 1, x = 3; poro y ~ 2, x = 3, etc., luego la ecuación x — 3 es el lugar gcomélrico de lodos Jos puntos cuya obscisa es 3, o sea que x — 3 0 ó x — 3 represento uno lineo recta pótatela a) cjn de lu í y que posa por c l punto (3/1). |Fig. 51). Del propio modo, x-J-2 — 0 ó x — — 2 represen ta uno linca recto paralelo o l eje de los y que poso por cl punto ( 2, 0 ). (Fig 51]. lo ecuación x ~ G , representa el eje de los o r denados.
FIGURA 51
(4 > Gráfico de y — 2 = 0. Despejando y se tiene y = 2. Esta ecuación equivale a Dx + y ~ 2, o sea que poro cualquier valor de x ,y — 2, luego y 2— C o y = 2 es el lugar geométrico de tocios los pun tos cuyo ordenado es 2 , luego y — 2 represento una lineo reda po/ateto o l eje do lo i x que pasa por c l punto (0 , ?). (Fig. 52). Del propio modo, y + 4 — 0 ó y ~ 4 represen lo una linca recto paralólo ol eje de lus x que posa por cl punto (0. — 4). (Fig. 52). la ccuoción y — 0 representa ol eje do los obs cisas.
r iC U R A 51
318
•
ALG f6RA
<5> H o llo r lo inlcrsccciéo d e 3x < 4y = 10 con 2 x + y — 0. Representemos omhos líneos. | Fig. 53). En 3x I 4y — 10, se tiene: Para
x = 0, y — 0,
y = 2^ * = 3».,
Morcando los puntos | 0, 2J | y { 3 \, 0 ) y unién dolos quedo representado 3x + 4 y — 10. En ?x + y — 0 se tiene: Poro
x = 1,
y = — 2.
Uniendo el punto <1, — 2 ) con el origen jl o ecuación carece d e termino independiente) que do representado 2 x + y = 0 . En el gráfico se ve que los coordenados dol punlo de intersección de tes dos rector, san x = - 2 , y — 4, luego el punto de intersección es I — 2, 4).
FIG U R A 5 3
x = 0, y - 0,
Y— i x = 2.
M arcando estos punios |fig . 54) y uniéndolos que d o representado la ecuación 2x + 5y = 4, En 3x 5 2y = — 5, se tiene: Poro
x = 0,
y = o.
y = — ?i
x= -ig .
Morcondo estos puntos y uniéndolos quedo re presentarla la ecuación 3x -I 2y = — 5. * lo intersección de los dos rectos cs el punto
1 — 3, 2).
RFIG U R A S i
EJE R C IC IO
175
R e p re se n ta r g rá fic a m en te las ecuaciones: 1. 2. 3. 4. 5.
* -y -o . x+y=5. * -1 = 0 . y+5=0. Sx+2y=0.
G.
Kx=3y. x - y - — *• ñ. x + 6 = 0 . 9. y —7 = 0 . 10. 2 x + 3 y = - 2 0 . ?.
1J. 12 . 1314.
ir».
5 x —4 y = 82x+¡r»y—30. • lx + 5 y = —20. 7 x -1 2 y = 8 4 . 2y -3 * = 9 .
16. 17. 18. 19. 20 .
I0 x -3 y = 0 . 9 x + 2 y ——12. 7 x —2y—14=0. 3 x -4 y ~ 6 = 0 . 8y I5x= 40.
H a lla r la intersección ríe: 21. * + 1 = 0 con y—4 = 0 . 22. !Jx—2y con x+y=f». 23. * - y = 2 con 3 x + y = 1 8 . 24. 2 x —y = 0 con 5 x + ly = - 2 G 25. 5 x + G y = —9 con 4 x —3y= 24.
20. * + 3 = 0 co n 6x—7 y = —9. 27. 3 x + 8 y = 2 8 con 5 x - 2 y = - 3 0 . 28. y—1—0 con 7 x + 2 y = 2 2 . 29. G x = —f»y con !x —3 y = —38. 30. 3 x —2 y + 1 4 = 0 con 8 x - 3 y + 1 7 = 0 .
U ltO O K T A Y L O R ( 1 6 8 5 - I 7 3 U M a tem á tico y bom do cie n cia in g lés. C u ltiv ó la física , la m ú sica y la p in tu ra. P erten e cía a un circu lo de discípulo» do M - - lo n , y so dio a co n o ce r en 1 7 0 8 al p rcw in tar en la " R o y s l Socio t y " uta trab aio acerca de los centros
de « c it a c ió n . S u obra fu n d a m en tal, " M ilo d o a . I. in crem en to s directo» o in v e rso s" , contiene !<■« cip ios básicos d el cá lc u lo de U t i W t r i n d u fln tt* En d Alg eb ra elem en tal conocem oe el T r u n w i <| T s y f c r , cu y a c o o iw u e n c ia e t el Teorem a da ......
CAPITULO
XXIV
ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIM ER GRADO CON DOS INCOGNITAS (289) ECU A CIO N ES SIM U LTA N EA S D os o m á s e c u a c io n e s co n d o s o m ás in c ó g n ita s son s im u ltá n e a s c u a n «lo se s a tisfa c e n p a r a ig u a le s v a lo re s tle las in c ó g n ita s. Asi. las e c u a c io n e s
.v + ) —5 x - y - l
son s im u ltá n e a s p o r q u e x “ 3 . y — 2 sa tisfa c e n a m b a s ecu a cio n es. (2 90) ECU A CIO N ES EQUIVALENTES son las q u e se o b tie n e n u n a «le la o tr a . Así,
y = 4 ¿‘ x r 2 y - S
w tt e q u iv a le n te s p o iq u e d iv id ie n d o p o r i! la s e g u n d a e c u a c ió n s e o b tie n e la p r im e r a . 1-is e c u a c io n e s e q u iv a le n te s lic ite n in f in ita s so lu c io n e s c o m u n e s. E c u a c io n e s ¡n«!c|>en«Hcntcs son las «pie n«i se o b tie n e n u n a d e la o tia . 3 1 9
3 2 0
o
A io ir.n /.
C u a n d o las e c u a c io n e s in d e p e n d ie n te s tie n e n u n a so la so lu c ió n c o m ú n so n s im u ltá n e a s . Asi, las e c u a c io n e s x + )’ = 5 y x —> • - 1 so n in d e p e n d ie n te s p o r q u e n o se o b tie n e n u n a d e la o tr a y s im u ltá n e a s p o r q u e el tín ic o p a r d e v a lo re s q u e sa tisfac e a m b a s e c u a c io n e s es x ~ 3, y = 2. E c u a c io n e s in c o m p a tib le s so n e c u a c io n e s in d e p e n d ie n te s q u e n o tie n e n so lu c ió n c o m ú n . A si. las e c u a c io n e s
x + 2v=10 2x -t- 4y = 5
so n in c o m p a tib le s p o r q u e n o h a y n in g ú n p a r d e v a lo re s d e x c y q u e v e ri f iq u e a m b a s e c u a c io n e s . SISTI-M A DE ECU A CIO N ES es la r e u n ió n d e d o s o m á s e c u a c io n e s co n d o s o m á s in c ó g n ita s. A sí.
2 x + 3>> = 13 4 x- y=
5
es u n s is te m a d e d o s e c u a c io n e s d e p r im e r g r a d o c o n d o s in c ó g n ita s. S o lu c ió n «le u n siste m a d e e c u a c io n e s es m i g r u p o d e valore* d e las in c ó g n ita s q u e sa tisfa c e to d a s las e c u a c io n e s d e l siste m a ; L a s o lu c ió n d e l siste m a a n t e r i o r es x = 2, y — 3. U n siste m a d e e c u a c io n e s es p o s ib le o c o m p a tib le c u a n d o tie n e s o lu c ió n y e s im p o s ib le o in c o m p a tib le c u a n d o n o tie n e s o llid ó n . U n siste m a c o m p a tib le es d e te r m in a d o c u a n d o tie n e u n a sola s o lu c ió n c in d e te r m in a d o c u a n d o tie n e in f in ita s so lu c io n e s . SISTEMAS DE DOS ECUACIONES SIM U LTA N EA S DE PRIMER GRADO CO N DOS IN CO G N ITA S 292} : ¡iSOLUCION P a ra re s o lv e r n n siste m a d e esta clase es n e c e s a rio o b ie n e r d e las d o s e c u a c io n e s d a d a s u n a so la e c u a c ió n c o n u n a in c ó g n ita . E sta o p e r a c ió n se lla m a E lim in a c ió n . METODOS DE E L IM IN A C IO N M A S USUALES .Son tre s: M é to d o d e ig u a la c ió n , d e c o m p a r a c ió n y d e re d u c c ió n , ta m b ié n lla m a d o e s te ú ltim o d e s u m a o re sta .
E C U A C I O N IS S IM U L T A N E A S C O N
I.
ELIM INACION
@
R e s o lv e r e l »
POR
O O Í IN C O G N IT A S
x e n (2):
321
IGUALACION
j £
1 1 1
¡ j¡
D e sp e je m o s u n a c u a lq u ie r a d e las in c ó g n ita s : p o r e je m p lo b a s ecu a c io n es. 13 - Ay D e s p e ja n d o x e n (1): 7x = 1 3 - 4 y x =
D e s p e ja n d o
•
:>x - l!> i 2 y
x =
x, en a m
l9 + 2v O
A h o r a se ig u a la n e n t r e si los d o s v a lo re s d e x q u e lie m o s o b te n id o : 13 — l> 7
10 - 2 > =
5
y ya te n e m o s u n a sola e c u a c ió n coii u n a in c ó g n ita : lie m o s e lim in a d o la x R e so lv ie n d o esta e c u a c ió n : 5(13 — Ay) — 7(10 + 2y} G"i - J‘ Oy = 10:1 + 14>- 2<>y - 14y - 30-1 - (¡5 - 3 »>• -
\ x = 3. ‘ } y = -2 .
VERIFICACION S iis tiiity e n d o x = 3 , > = - 2 e n las d o s e c u a c io n e s darlas, a m b a s se c o n v ie rte n e n id e n tid a d . EJERCICIO
176
R esolver p o r cJ m étodo d e igualación; ' ? +<;? - 2.7,
¿
j 7 x - ly = 5 .
I lóx—1 !)•= -.S7-
3 2 2
II.
9
ALG EBRA
ELIM INACION
POR SUSTITUCION
, R e so lv e r e l siste m a
l 2 x + :,y = — 24. -l 8 x _ , J . = ly
(1) (2>
D e sp e je m o s u n a c u a lq u ie r a d e las in c ó g n ita s. j>or e je m p lo x e n u n a d e las e c u a c io n e s . V am o s a d e s p e ja rla e n la e c u a c ió n (1). T e n d r e m o s : - 2 4 -5 > 2x
=
-2 4 -5 y
x=
.
lisie v a lo r d e x se s u s titu y e e n la e c u a c ió n <21 / —2 4 - 5 y \ ) ya te n e m o s u n a e c u a c ió n c o n u n a in c ó g n ita : lie m o s e lim in a d o la x. R eso lv a m o s esta e c u a c ió n .
S im p lific a n d o S y 2, q u e d a :
4(—24 —T>y}— 3y=l!> - 9 6 - 2 0 ? - 3 y = 19 - 2 0 y - 3 y = 1 9 + 90 - 2 3 y = 115 y = -5 . S u s titu y e n d o y — — i> e n c u a lq u ie r a d e Jas e c u a c io n es d a d a s , p o r e je m p lo e n <1> se tie n e : 2x + f>(—5) = - 2 1 . 2x - 25 = - 24 fx = 2x = 1 R. < 2 \ y=-5. 1 x = —. 9 VERIFICACION
H a c ie n d o x = l. y = - 5 en las d o s e c u a c io n e s d a d a s, a m b a s se c o n v ie r ten e n id e n tid a d . m-
EJER C IC IO
177
Resolver |«>r
su stitu ció n :
. '•
) x~3y= (!. 15 v -2 y = 1 3 .
„
I 5 x + 7 jr= —1. ) -3 x M y = -2 4 .
.
l lv + ílx = 8 . ) 8 x —fiy = —77.
-
„
*
j x -5 y = 8 . ) -7 x + S y = 2 .r>.
„ »*
( 4x+5y=5. ) _ i o y _ 4 X= _ 7 .
j I 5 .v - n y = 3 2 . } 7y—9 x = 8 .
a
i 3 2 x -2 5 )= 1 3 f I6 x + I5 g r* 4 .
j I0 x + I8 y = -Il. j l6 x -!)y = -5 .
n 1
l-I3 y 4 -Ilx = -1 G 3 . f - 8 x l-7y=ü4.
I C U A C I O N I S S IM U L T A N E A S C O N O O '. I N C O U N I l A i
III.
•
323
M E T O D O DE R E D U C C I O N
T>, „ . . . 1 5 * I <¡> = 20. 96} Resolver el sistema . (x . 'y _ _ 23
<1> (2)
Kn este: m é to d o se lia re n ig u a le s los c o e fic ie n te s d e u n a d e la s in c ó g nitas. V a m o s a ig u a la t los c o e fic ie n te s d e y e n a m b a s e c u a c io n e s , p o r q u e lo m á s se n c illo . 5x • Gv S x — Cy
El n i. r . m . d e los c o e fic ie n te s d e y, G y 3, es 6. M u ltip lic a m o s la s e g u n d a e c u a c ió n p o r 2 p o r q u e • :i <¡, y te n d re m o s : _____ /
3 x 4- G> = Bx — 6y —
C o m o los c o e fic ie n te s d e y q u e h e m o s ig u a la d o tie n e n sig n o s d is tin to s , se s u m a n e sta s c c u ai io n e s p o r q u e c o n e llo se e li m i n a la y:
18x
20 l«
= - 211 2C x = “ í¡ r
.S u stitu y e n d o x = p ío c u (1). se tie n e :
2H III
*
-2 e n c u a lq u ie r a d e la s e c u a c io n e s d a d a s , p o r rjc m :>í
2) I Gy — 20
- 1 0 + 6y = 20
G> = :$o y = 5. v, „ . . . ) 1 0 x + !)>•= 8. 297) R e s o lv e r cl s is te m a , S x _ 15' = _ , .
(1) (2)
V a m o s a ig u a la r lo s c o e fic ie n te s d e x . F.I tu . c m .
1 11) = 37 37 > = 111
f
S u s titu y e n d o y = J e n (2 ), te n e m o s:
8x - 5 = - 1 8x = I 1 1 * ~
8
~
2
22 ft.
•lOx l- :»G> a 22 ■lOx I- 75) = 5
( Otilo los c o e fic ie n te s q u e lie m o s ig u a la d o t í m e n sig n o s ig u a le s, se re s ta n a m b a s e c u a c io n e s s d e ese m o d o se e lim in a la x . C a m b ia n d o los sig n o s a u n a c u a lq u ie r a d e e lla s, p o r e je m p lo a
U segunda, tenemos: _________
40x + Uiiy = 4 0 x - v;.v -
x = A, o R.
y =•
I 3"
3 2 4
•
A ic ro R A
l"l m é to d o e x p u e s to , q u e es el m ás e x p e d ito , se lla m a ta m b ié n d e su m a
E JER C IC IO
178
R esolver p o r sum a o resta: 1-
. 3-
( 6jc-ó>-=-
»
I 7 x -ir> y = 1 . J -x -< j> -= 8 .
j l l x —yy = 2 . 0- \ 1 3 x - ir » y = - 2 .
\:jx -4 v = ll/ U x + (;y = 4 7 .
_
. l» x + lly - H *• l Ox—5}'=—34-
J1 0 x -8 y -3 6 . <2 .v - 5 y - - 4 .
( 1 3 x ~ H jr-2 0 { 12>—14x——1 9 . ,ü -
l 1 8 x + 5 y = —11| 1 2 x 1 1 ly = 3 1 .
U ó x -y = * > . } lD x+ 8y=236.
,, 1L
i 9.v ! ? > • - - 1. f ll x - 1 3 y « —*8.
( 3 G x - l l y * t - l 1. { 2 4 x -l7 y = l0 . í 1 2 x - 1 7 > '- llll. J If>x+1D>=-31.
'298) RESOLUCION DE SISTEM AS N U M E R IC O S DE DOS v-" ' ECUA CIO N ES ENTERAS C O N DOS IN C O G N IT A S C o m x id o s los m é to d o s d e clim in ai.ii> n . u-sol v e te m o s siste m a s e n q u e a m e s d e e lim in a r h a y q u e s im p lific a r las e c u a c io n es. , 1.
„ , . ■ R e so lv e r el siste m a
'
\ 3x |
(4y + 6) — 2y — (x + 1 8 ). « „ 2 x - ? j = x — y + 4.
.• , , , -, \ 3x —4 y — (í — 2 y — x — 18 S u p r im ie n d o los sig n o s d e a g r u p a c ió n : -j x —y+ j -r . . \ 3 x — 4v ~ 2y I x = 18 + 6 T ra n s p o n ie n d o : j ¿ _ i + y = 4+ , R e d u c ie n d o té r m in o s
se m e ja n te s: ' 1 |
,X x +
y=
7
D iv id ie n d o la la . e c u a c ió n p o r 2: \ • /
x +
^ — y -
íj 7
(1)
V a m o s a ig u a la r los c o e fic ie n te s d e y . M u ltip lic a m o s la s e g u n d a e c u a c ió n p o r 3 y su m a m o s: S u s titu y e n d o x - 3 e n (1). se tie n e : 3+ >= 7 y = 4.
{ x =3. R - / y = 4.
t C U A C I O H ! '-
2.
ilM U L T A M C A S C C N
í \
R e so lv e r e l siste m a
OOS
• 325
IH C O G M IT A S
8 < 2 j M - y ) - 2 ( y - x ) = ~ t < y i 7). 3(2y 3x) — 2 0 = — 53.
. . < Gx + 3 y —2 y + 2 x = - - 1 y - 2 8 l-.íc c tu a n d o la s o p e ra c io n e s in d ic a d a s : + ^ 53 . . S Gx + 3 y - 2 y t-2 x + 4y = - 2 8 I ía n s p o n ie n d o : 9 x -r G y= —03 • l’H _ . . , \ 8x I' 6y = —28 Reduciendo: | f c + ¿ = _ w ... , , , ■< \ 8 x + 5y = - 28 D iv id ie n d o p o r o la 2a. e c u a c ió n : •; ^ .¿ y - - I I
(1>
M u ltip lic a n d o la l a . e c u a c ió n \ 2-1x-I 13y = — 84 p o r 3 y la 2a. p o r 8: i 2 4 x + 16y = — 88 - 24 x - 1Oy 24x T 16y -
C a m b ia n d o sig n o s a la la . e c u a c ió n :
84 - 88
y = -
-1.
S u s titu y e n d o y - - l e n (1): 8 x I 2{~ 4) = - 1 3x - a = - i 3x = x = E JERC IC IO
„
j
x = -l.
R '
1
y= -4 .
179
R esolver lo» sig u ien tes sistem as: J
o
.
J 8 x —3 —7y—9. j 6 x = 3 y l G.
1 ( x - y ) - ( G x i-8y)——{10x+5>'+3). V- ( ( x t y ) - ( 9 > - l l x ) = 2 y - 2 J c .
1 x - l -> •+ !. • ) x —3 = 3 y —7-
8.
\ ó(x l- 3 y ) -(7 x + 8 y )= -6 . ’j 7x—9)' -2(v ]H y)^0.
1 3 (x l-2 )= 2 y . ) 2
9-
\ 2 (x + ó )-4 (y 4x). í I 0 ( y - - x ) = lly - 1 2 x .
1 .v - l-2 (y -t l>). í x-MI~ 3 (1 -2 )’).
10.
I 3 x 4y—2(2x—7 )= 0 . } ;» ( * - i) - ( 2 y i ) - u -
j 3ü—(8 —x )—2y+30. ) r».v - 2 9 - x - < 5 —ly).
11.
] !2 < x + 2 ))-8 (2 x ! v )T-2(á.v—(jy). ) 2ÍI(.\ - !>•)=—10.
12-
lx (y -2 )- y (x -3 )= -U . 1 y ( v - 0 ) —x(y4 9) M .
. } 3 x -< 9 x * >•) - 5 ) - ( 2 v * yy). u - ) i.v-(.iv ♦7)=r»y 17.
ALG EBR A
RESO LU CIO N DE SISTEM AS N U M E R IC O S DE DOS ECUACIO N ES FR A C C IO N A R IA S C O N DOS IN C O G N IT A S
1
3* + I
y I- 2
7
r
R e so lv e r el siste m a
5x + l
x -t 24
11
2
[ ~}
S u p r im ie n d o d e n o m in a d o re s : |
+ J> =
Efeouando operaciones: | T r a n s p o n ie n d o :
I
^
I * * - J x í aí*
j
“
n , i i Reduciendo: i
12x 7y ^ (
M u ltip lic a n d o la la. e c u a c ió n ( p o r 7 y la 2a. p o r I: |
2<¡
( 1)
ft-lx -I!») — ]&> - 84x 4- 17fiy - 1088 i2 T r= rr¿ 7 o > = 10 .
S u s titu y e n d o y = 10 e n (1): I2 x —70 = 2
2.
x + > ._
2
x —y
7
R eso lv e i el sistem a 8x + y - 1 - - - = 2. x - y -2 S u p r im ie n d o d e n o m in a d o re s : *
< '* •'/ / 8x + y — 1 —
E f e c tu a n d o o p e ra c io n e s : r
J Tv + 15 ~ 2 x '' 2? I 8.v + y - 1 = 2x —2y - «1
T r a n s p o n ie n d o : j } R e d u c ie n d o : D iv id ie n d o p o r 3 la 2a. e c u a c ió n :
“;x ^ . 2(x — y — 2)
'X - r 7y t - 2x - 2> = 0 8x + y - '¿x + 2y = - I + 1
< ‘>A ' { C,x + 3y = - 3 \ '[* H ,,%~ 0 ? 2x+ y = - l
(1) — (l
r r .llA C IO N C í S IM U L T A N fA S
CON
I|V
!
O OS I N C O G N I T A *
327
•
»«• — Q
¿ — 10.* — 5 y - 5 —x x = -5 .
S u s titu y e n d o x = — .> e n (1): 9(— ñ) •!• 5y = 0 - 4 5 -I-531= 0 5y = -10 ) '= EJERC IC IO
9.
180
R esolver los siguientes sistem as: j + y = ul.
7. y x + /= 7 .
b
12
y = 9.
3y x — - — 104 x y 3.
13.
4
40
14.
4
8
4
2 ■x—1
5 y—1
2
3
10.
" lo " " T
5x
7y
10 ' 3)4-3
I2 v +:')>• (-0=0JO.
”
x - 4 _ y—2 5
1
2
x 4 -l _ y —1
2x - 3>' = - 8.
• .
y 4-1
3
2x4-1 _ y T
>— I
xH
1 3 -x y — i7 4
D.
x -3
x - 4 , y+ 2
i» 1- .
x y - 4 - - = 0. 7 K
7
7*1—
o
x y - • = 5
:>*
10
16.
3 2 8
•
A IG ÍB H A
x-*y
y-x
6
3
2ri
24.
* . * - y _ •> ■¿ 6 12 ' f z i- 2 z i = 4 2 ■ ix-y
_
10
x —) 4 4
y42
23.
x -y “
- ^ L 30.
3 y -x
X 4V 41
3
6
X T )-|
4 ,¿y . _ o 1
= a>-+ 2.
ü
26.
5 y -3 x
a=T
Z Z l3
)(x -4 )= x (y -6 ). _J>
27.
U_
x~3
y-1
=
0-
5 x 4 fiy
17
28.
4 x -7 ) -2 .
® r-
y - * y
X -V 4 I
31.
2
x -1 “
3‘
— (1 — x j = 40.
3x-t-dy 32.
x-üy
_30 ~
9 x-y 3 ‘
33.
= -1 5 .
23’ 03
34x~y “
- > ’
17
“
- (5 -)•)= -6 0 .
17
>•462
x41
x 4 )—l
8
21
y - b
x4y41
3
2 y - ~ <
1
r»(>—i )
17
x42 ~
- y.
4x
2x4)
x -2 _
x -y
3{x+3)>) _ 2 1
2y f-J
”
=
x 4 y -15
2x45
X
32 -
2
4x—Gy45 — 5
2x43)—3 6 3 x 4 2 ) - 4 ~ IT"
— t1•
7 .
215.
Cx4
3 x - 2 y ~- I:
ti x4y
x
7
7 2x- 3)-M>
37 ’
1x41
2)—5
0
3
3 )4 2
■<418 1(1
SISTEM A S LITERALES DE DOS ECU A CIO NES C O N DOS IN C O G N IT A S
Ejem plos . . ( ! ) Resolver cl sistemo
1 a x 4 b y = a : -I b 2. bx + o y = 2 ob.
Vamos o igualar los coeficientes de la x. par b y la segunda por o, leñemos:
II) (2 )
M ultiplicando lu primera ecuación
; abx 4 b 'y — a'Jb -I- b'1 I obx 4 o 7y = ?o*b Roslondo la 2o. ecuación de la primero:
¡ obx 4 h*y = a "b 4 f>a ) — abx — a^y = — 2a, b b Jy - o Jy = o ’ b 4 b* - ?o*b
‘
329
rcU /.C IO M E S S 'M U L T A N é a S CON OOS IhC O G M ITA S
Reduciendo (orminos sc-mejnntes:
—t
y ( b 2 - o* |
Sacando el tactor común y en el primer miembro y ol lacroi común b en el segundo: Dividiendo por |f>-' — o5 ) ambos miembros:
b'-'y — c ry
------------- >
—
|j' b (b
y~b
Sustituyendo y — b en ( 2 ) , leñemos: bx : a b -: ?ob bx - ab
Transponiendo-. Dividiendo por b.
x = -i
R.
\ y = •'
x— o
( 2 ) Resolver el sistema
Ooirnndo denominadores en ( 1 ) nos queda: M ultiplicando por 6 lo 2o. ecuurión y cambiándole el signo:
x
y
b
o
b
a'
x -
y = o.
m <2J
h* — oy — 6-
1 x—
y— a
bx — o y = h? — h x - b b y — - ab b y — o y = b- — ab
Socando factor común y en el primer miembro y b en el segundo: y (b — o ) = b (b — a) Dividiendo por ( b — O ):
>' = 6 .
Sustituyendo en 12) osle voiar de y, leñemos:
x —b —a R.
x — a 4 -6 .
x+ y
a- + b— -
ub
( JI Resolver ei sislema
ox — by = 2b. Q uitando denominadores:
M ultiplicando k> 2a por o y sumando:
ecuación
cbx I o b y — o 2 + b 2 o x — b y — 2b
(1 ) (21
o b * + o b y = o2 t b 2 o zx — a b y = 2 nb o 2x + o b x = o 2 + 2 a b -I- b 2
Faclorando ambos, miembros: Dividiendo por |cr + b |:
ox i o + b ) — { o - b ) ; ox — o -|- b a -I■ h x — --------- .
\ i
= 1 ■ li y= <
30
A I C .I E M A
Este valor de x puede sustituirse en cualquier ecuación paro hollar y, pero no vam oi a hacerlo usi, sino que vernos a hallar y eliminando la x. Paia eso, tomamos otro vez cl sistema ( 1 ) y ( 2 1 : I obx + aby = o* + b 2 \ ox by~7b Multiplicando ( 2 ) por b y com bándole cl signo:
1
(1 > <2 >
obx + aby = o 2 + b2 obx I b y = — ?ha b y + b'-'y = a : - br
Fuclorundo ambos miembros:
b y | a + b | = l o + b | ( o — b)
x=
by = u — b
a + b
R.
a — b
a - b
y -
y = ~ T
NOTA
El sisteme que hemos empleado «le hallar lu segunde incógnita elimine neo lo primera, os muchos voces mes sencillo que el de sustituir.
B-
EJERCICIO
181
R om ilv o r la s ¡c isio n a s:
i-y— a + b. 8.
« x —b y —0-
15.
a+b
- y — a — b. * + >“
:+ y = b + 2 .
(jy - b x =
m x -i/y=m --l n : .
:- y = 0 -
II.
10.
n x + w jy r= m 2+ r t 2.
-y = d « .
x
10.
11. í X+>'= fl[
— y = a -b .
H X + »«y= 5»« + H.
( u - b ) x - (a + b )y —b2- 3 a b . 18.
v—y=m— n. y
n
b
«
r]2+b*
x
2y _ 2 b - - a 3
b
ab
.
by=a+b.
■.■bbyxjp+b*.
b * a
14.
~
y -b +
b
x— a
- + f = 0.
13.
( a - b ) x - { a - b ) y = a b - b z. x~b
19.
.V
,M 3 - „ 3
mx—ny= -------- • mn
m x — n y ~ rn 3— n 3.
H—= 2 .
+ —=
(
J L + > l= n + b . b- n-
17-
rn x —n y —m 3—mn*. l- ) t- 2 b .
rlb
x —y= al»(b—<»>.
V
— |- - = 2 m . r/r «
-y = l-a .
« * - 6»
-
x + y = 2 c. « * ( x — y ) = 2 o*.
|
«+b x
y
—
6
b a+b
a
x 20 .
~
y— a _
h nb
a+b
a
y
- 1.
r i+ b
ab
a *+ b ! .
n
E C U A C IO N !* S IM U L T A N E A S C O N
D O S IN C O G N IT A S
331
3 0 i ) ECU A CIO N ES S IM U L T A N EA S CO N IN C O G N IT A S ^ EN LOS D ENOM INADO RES Kn c ie r to s casos, c u a n d o las in c ó g n ita s e stá n e n los d e n o m in a d o re s , el sistem a p u e d e reso lv erse p o r u n m é to d o e sp e cia l, e n q u e n o -s e s u p rim e n los d e n o m in a d o re s . A c o n tin u a c ió n re so lv e m o s d o s e je m p lo s u s a n d o r ite m é to d o .
Ejem plos 10
9
- + - = ?. X y
<11
( I I Resolver el sisteme
7
x Vamos O clim inoí la y. por 3, leñemos:
2
y
.
(
2)
Multiplicando la primeio ecuación por ? y lo segunda
oí ^302} DETERM INANTE Si ele! p r o d u c to «i» re s ta m o s el p r o d u c to c d , te n d re m o s la e x p re sió n <>(>- cd. E sta e x p re s ió n p*ie
I..i e x p re s ió n
| < * I u j es u n a d e te r m in a n te .
''
l.a s c o lu m n a s d e u n a d e te r m in a n te e s tá n c o n s titu id a s p o r las ca m illa ties q u e e s tá n e n u n a m is m a lin c a v e rtic a l.
E n e l e je m p lo a n te r io r ‘ r i
1^ p r im e r a c o lu m n a y * la s e g u n d a c o lu m n a . l.a s filas e stá n c o n s titu id a s p o r las c a n tid a d e s q u e e s tá n e n m ía mi m a lín e a h o riz o n ta l. E n e l e je m p lo d a d o , a d <-s la p r im e r a lila y < h la s e g u n d a fila . U n a d c ic r n iin a n tc « c u a d r a d a r u a n d o tie n e el m ism o n ú m e r o d e r o lu n illa s q u e d e lilas.
A si. ¡’ ' | es u n a d e te r m in a n te c u a d r a d a p o r q u e lic
u ó d o s c o lu m n a s y d o s filas. El o r d e n d e u n a d e te r m in a n te c u a d r a d a es e l n ú m e r o d e e le m e n to s d e ca d a fila o c o lu m n a .
A sí,
^ y | | ‘ | 4011 d e te r m in a n te s d e se g u n d o
o rd e n . I 11 la d e te r m in a n te |* X ^ j ,;i q u e u n e o co n b es la d ia g o n a l p rin c ip a l y Ja lín e a q u e u n e c c o n d es la d ia g o n a l s e c u n d a ria . I.OS e le m e n to s d e esta d e te r m in a n te son los p ro d u c io s a b y c d . a cuya d ife r e n c ia e q u iv a le esta d e te r m in a n te . II) lf« iil.i »lr
,1
N « t « m iir u iiiA i ■ .r> |.,m lr, r i l e m i l l o « I d l - n ^ i n i i u O f l r i a l , p i < - < i i M l l r i i t l i ) «l« i n f e r n a n t e i i t a l n l » , i|iic lia r la ilr m a tU ih » e x te r n o * e tJ o i f lc u icn lO » .
l>
3 3 4
9
a ic c iira
DESARROLLO DE U N A DETERM INANTE DE SEGUNDO ORDEN U n a d e te r m ín a m e d e s e g u n d o o rd e n e q u iv a le ;il p r o d u c to d e los té r m in o s q u e p e r te n e c e n a la d ia g o n a l p r in c ip a l, m e n o s e l p r o d u c to d e los té rm in o s q u e p e r te n e c e n a la d ia g o n a l s e c u n d a ria .
;304) RESOLUCION POR D ETERM IN A N TES DE U N SISTEM A DE DOS ECU A CIO N ES CO N DOS IN C O G N IT A S c
,
■
S ea el siste m a
i « ,X + f ) ;V = r,.
. / , a3x + l>;y - Cj.
(1)
(2 )
ó
-
a
1 -1 !) —21 S 2 -3
0 . 31 - 8 f> 20
43
3 3 5
RESOLUCION fO R O U t K M I t M N m
R e s o lv ie n d o este siste m a p o r el m é to d o g e n e r a l e s tu d ia d o a n te s, se tie n e :
(4) al b2 — a-jbi
a , b « —/i2b t
V éase q u e a m b a s fra c c io n e s ti e n e n e l m ism o d e n o m i n a d o r a t b 3 - a-J), y esta e x p r e s ió n cs e l d e s a rro llo d e la d e te r m in a n te Z
(5)
lo rm a d a c o n los c o e fic ie n te s d e las in c ó g n ita s e n las e c u a c io n e s (1) y (2>. E sta es la d e te r m in a n te «leí siste m a . E l n u m e r a d o r d e x , c.J>¿ — c2b u e s e l d e s a r ro llo d e la d e t e r m in a n te --------
'i
Z
I (|
h ¿,t
q u e se o b tie n e d e la d e t e r m i n a n t e d e l siste m a (5) co n só lo s u s titu ir e n ella «i la c o lu m n a d e los c o e fic ie n te s d e x | p o r la c o lu m n a d e los té r m in o s in fi «í d e p e n d ie n te s | d e las e c u a c io n e s (1) y (2). C2 ííj
E l n u m e r a d o r d e y . axc-¿ - a-¿y, es e l d e s a r ro llo d e la d e te r m i n a n t e
f)
<±l I%
q u e s e o b t i e n e d e la d e t e r m i n a n t e d e l s iste m a (5) co n só lo s u s t i t u i r e n rila b\ la c o lu m n a d e los c o e fic ie n te s d e y, | p o r la c o lu m n a d e los té rm in o s C| in d e p e n d ie n te s | d e las e c u a c io n e s d a d a s. o» P o r ta n t o , los v a lo re s d e x c y, ig u a ld a d e s (3) y (4), p u e d e n e sc rib irse . 1 Cx 1( t
w
y -
Ol Qi
1c ' I
h
t»
Ol
Cx
I
t*
1
>>,
1 «i* A*
V isto lo a n te r io r , p o d e m o s d e c ir q u e p a r a re so lv e r u n siste m a d e dos e c u a c io n e s c o n d o s in c ó g n ita s p o r d e te r m in a n te s :
1) F.l v a lo r d e x c s u n a fra c c ió n c u y o d e n o m in a d o r es la d e te r m in a n te fo r m a d a c o n los c o e fic ie n te s d e x c y ( d e te r m in a n te d e l s is te m a ) y c u y o n u m e r a d o r cs la d e t e r m i n a n t e q u e se o b t i e n e s u s titu y e n d o e n la d e te r m i n a n te d e l siste m a la c o lu m n a d e los c o e fic ie n te s d e x p o r la c o lu m n a d e los té r m in o s in d e |> c n d ic n tc s «le las e c u a c io n e s d ad as. El v a lo r d e )■ cs u n a fraccú 'm c u y o d e n o m in a d o r es la d e te rm in a n * te d e l s is te m a y c u y o n u m e r a d o r e s la d e t e r m in a n te q u e se o b tie n e sm ti-
3 3 G
O
A ic te iiA
lu y e n d o e n la d e te r m i n a n t e d e l siste m a la c o lu m n a d e los c o e fic ie n te s d e y p o r La c o lu m n a d e los té r m in o s in d c ]> c n d ie n ic s d e las e c u a c io n e s d a d a s.
Ejem plos ( 11 Resolver por dcterm-nonlcs
15x + 3 / = S <| ^ ^
35 — 81 _ - 4 0 x —
3 5 -1 2 “
_ ¿
73
'35 — 20 _ ¡ i 5 _ s 73
- 720 4- 237
-4 3 8
2
-5 4 0 -1 9 2
-7 3 2
3
12 —29 a -6 0
-7 3 2
- 549
3
- 732
A
l_y-2 7 t 3) Resolver por determinantes
x M 3 Q uitando denominadores:
Transponiendo y reduciendo: tendremos:
-2
y=
5
x— 1 £
i 24 £x>!
*< II
* -
(> 60 8 —60
x=
Px-t- 6y 12. 2 »x - 6 0 / - - ■/).
( 21 Resolver por determínenles
1 12 1-79 1 9 1 2-5
R.
~ 23
1 sí §
>' -
8
y-? 6
~ 3
7x + 7 — 5y — 10 lv 2x + 8 - >• t 9 - 16 j 7x - t y = ~ U
; 2x-
y= -
I
R. y=
2 3 3
•1
H tS O K J C IO H
E JE R C IC IO
3 3 7
PO# O m U M IH A M T Il
184
R esolver p o r d eterm in an tes: ax+ 2y-2.
í 7x+8> = 2 9 . 1.
|5 x + l l y = 2 6 -
|- 3 y = - l .
3x— ly -1 3 -
13x—3 Iy ——32l>.
4.
'
»•
4
’
—— —= 0 . S 12
15x—4 4 y = -f».
3 x + fly = ;k i+ l.
32y—2 7 x = —1 .
10.
14- .
V
x-y= 2b.
a
!)> •.
x+2
) —
8
_
5
15-
C.
*>)— ( x + 3 ) = 3 x + l.
5 6
12.
6’
, )—
nx~l>y=7. 3 x - ( y + 2 ) = 2 y + l.
7.
8
~
x+ 9 _y + 2 1
2 x -3 _ ~5~
.
_JL + J L a2. í+ 6 tt—t
.V 1
1 1 -
1
x+ y+ 1' 8
.
5.
1 * 2 -4 . x~y x —y —I
—4-ay=2.
—', ^ 7' a x —b y ——l .
21
6
.
2.'ix-l-37)'=l-lfi.
8x— —
iT ^ y
13. .
v . y
8x—5 y ——5. 3.
2y+3
8-
10-
x - 9 ~y+30'
3 x —2 y = á.
x+8_y+19
w x + 4 y = 2 (w i+ l).
x - 8 ~ y+11
(3 0 5 ) RESOLUCION G R A FIC A DE U N SISTEM A DE DOS ECU A CIO N ES CO N DOS IN C O G N IT A S Si tin a r e r ta p asa p o r u n p u n to , las c o o rd e n a d a s d e e s te p u m o sa tis fac en la e c u a c ió n d e la re c ta . A si. p u ra s a b e r si la re c ta 2x + óy — 1!' pasa |x tr e l p u n t o (2. 3). h ac e m o s x = 2 . y = 3 e n la e c u a c ió n d e l.r re c ta y te n e m o s 2(2) + 5(8) = 10. o sea. 19 = 19; lu eg o , la r e c ta 2x t By = 10 p a sa p o t el p u n t o (2, 3). R e c íp ro c a m e n te , si las c o o rd e n a d a s d e u n p u n to sa tis fa c e n la e c u a c ió n d e u n a re c ta , d ic h o p u n t o p e r te n e c e a la re c ta . c .. \ 2x + 3 y = l 8 S e a el siste m a J . .■' , i 3x t- ly = 25. R e s o lv ie n d o este s iste m a s e e n c u e n tr a x - 3 . y — A, v a lo re s q u e sa tis fa c e n a m b a s e c u a cio n es. E sta s o lu c ió n x = 3, y = 4 r e p r e s e n ta u n p u n to «leí p la n o , el p u n to (3, I). A ltor.i b ie n , x —3, y - I s a tisfa c e n la e c u a c ió n 2.v + 3y — 18; lu e g o , el p u n t o (3. -I) p e rte n e c e a la r e c ta q u e r e p r e s e n ta esta e c u a c ió n , y c o rn o x -- 3. y . I sa tisfa c e n ta m b ié n la e c u a c ió n 3 x + 4y = 25, el p u n t o (3. I) p e rte n e c e a a m b a s re c ta s; lu eg o , n e c e s a r ia m e n te e l p u n to (3. -1) es la in te rs e c c ió n d e las tíos re c ta s.
338 •
ALGKnoA
P o r ta n to , la s o lu c ió n d e u n siste m a ele d o s e c u a c io n es co n d o s in c ó g n ita s re p re s e n ta las c o o rd e n a d a s d e l p u n to d e in te rs e c c ió n d e las dos rectas (p te re p re s e n ta n las e c u a c io n e s ; lu e g o , re so lv e r g rá fic a m e n te u n sistem a d e d o s e cu ac io n es c o n d o s in c ó g n ita s co n siste e n h a lla r e l p u n t o d e in te rse c ció n d e las d os rectas.
Ejem plos f 1 1 Resolver gróhrnmcnte e¡ sistemo
í x+ y= 6 \ 5 x - 4 y = 12.
Hoy qoe ticllor lo in te sección de eslo» dos rectos. RcpieSerlenios cu b o s enun ciarles. (Fig. SSI-
En Poto
x ■ y — 6. tenemos x = C. y = 6. y = 0. x=6 Cn 5x — '1y ~ 12. leñeros: Poso x = 0. y = — 3. > -= 0 ,
a
-
2$.
Le ntersccción es el punto | «J. 2) ueyc íO solución del sistema es X — A, y = 2. R
<21
Reso'vfi
q i ó í i c o m e n t c e< s i s r e . n o
¡
\
,x
FIGURA SJ
"
3x — Sy —
II.
Hollemos lo irlersecrir.n rie os tos roe tes. {Fig. 561.
En
4* -+- 5y — — 32. se tiene:
Pata
x—fl, y —~ 6ji y = 0. X = - 3. 3x —£y — 11. se ücne.
En Peto
x — 0.
>■ = — 2 j
y = 0.
x ■= 3jj.
E punto de intersección es
— 3.
4)
luego lo solución del s ste-no esx ——3, y = - 4. R.
I I
figura
se
R E S O L U C IO N C R A U C A
I x - 2 y = 6. , 2 x - 4 y = S. Representemos ambos ecuaciones. (Fi gura 57)
( 3 ) Rcsolvor grófrcomerite
En x— Para x = y — En 7x — Poro x = y —
2y ~ ó se licno: 0, y — — 3. 0, x= 6. -ty = 5 so tiene: 0. y = - 1 *. o, x= 2 1.
les lincas sen parólelos, no hay punios de intersección, luego el sísiomo no tie ne solución; los ecuociones son incomo o lib lcí.
<41 Resolver orclicamenle
* 7y ~ \ 2 x - A y ~ 10 . Representemos ombas ecuaciones. |f¡gura 58).
En x — 2y Paro x ~ 0. y — 0. Fn 2x — Ay Para x — 0, y =0,
= 5. se tiene: y — — 2J. x = 5. — 10, se tiene: y — — 21. x — 5.
Vemos que embos rectos coinciden, tie nen infinites puntos c o m u n e s . L o s dos ecuaciones representan lo misma línea, las ecuaciones son equivalentes.
EJE R C IC IO
F IG U R A s i
185
R ' sol ver grá l ica mente: 3x= —4)’. ■■I x + y -7 .
¡
x-2>=10.
3x+4y=15.
2 .1 * 2x4-3y=—8.
7x—y = —10.
8.
2x+ y= 5.
y - 4 = x - l2 . t .
óx+2 )'=l(i. C‘
i 0 ' | 3x+£Íjr= 10.
1=o
5
I 2 x + 3 y = -1 3 .
4
| fix+íly= —;{!).
x - ' t y - 25. * _y
5x-3)'=0. *■
“ .18.
í x -4 :iy=«.
x+S=>'+2. v- {
0.
2
1
3'
?
4x-f3)’= 10. Ü + 2 :
3
4
12’
x—2
y —3
2
3
7
y-2
x—3
12'
2
3
H allar gráficam ente el par de valores de x e y cjttc satisfacen cada «no • I.
los grupos de ecuaciones siguientes:
v-py=9. 13. x - y = —1 . x - 2y = - 6.
x-t-y-fi. H.
3 x + 4 y = l8 . 2x4 3y= |2.
2 x + y = - l. 10. x—2y=—13. 3 x -2 y =-!!»•
X - r .r l . 10.
2 y - x = —\ •lx—5jr=7.
=
4.
í, xioueund'.u
EULER 1 1 7 0 7 -1 7 8 3 ) M a te m ític o wiw>, í*iilo a. F ue a lu m n o de J o h a n n c t BernoulU. >co años g a n ó ol prem io quo a n u alm en te Acaócmlii d e P<>m »obre d iv e rto i tem ar Federico el G rande lo llam ó a B erlín; Ca
ta lin a d e R u jia lo lle ra a San P e te rib u rg e , d o n d e ♦»» baja in c e ia n le m c n te . Por tu 'T r a t a d o to b re M ecánica puede conaiderano cl Fundador d e la ciencia m oderna. Su obra fuo co p lo titim a, a p e ta r dn q u o lo» últim oa d icc M c te a ñ o t de au vida tritu ro to ta lm e n te ciego.
CAPITULO
XXV
ECUACIONES SIM ULTAN EAS DE P R IM E R GRADO CON T R E S 0 M A S INCOGNITAS
106) RESO LU CIO N DE UN SISTEM A DE TR ES ECU A CIO N ES "• CON TRES IN C O G N IT A S
Para resolver un sistema tic tres ecuaciones con tres incógnitas se pro:ctle de este modo:
1 ) Se com binan dos de las ecuaciones dadas y se elim ina una de las
incógnitas (lo más sencillo es elim inarla por suma o resut) y con ello se ub icuo una ecuación enn dos incógnitas. 2 ) Se combina la tercera ecuación con Cualquiera de las otras dos ca m iones dadas y se elim ina entre ellas la misiiia incógnita q u e se elim inó mtes. obteniéndose otra ecuación con dos incógnitas.
3 ) S e resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones con dos ¡nróguitas que se han obtenido, hallando de este modo dos de las incógnitas.
y ) Los valores de las incógnitas obtenidos se sustituyen en una de las rcuacioncs dadas de tres incógnitas, con lo cual se halla la tercera incógnita. B40
( C U A C I O N L S S IM U L T A N E A S
Ejem plos
(1 )
Resolver el sistema
Combinomos los ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ) cando la ecuación < 11 por 2 , so tiene:
COK
TR E S I N C O G N I T A S
x+ 4y- z= 6. ' 2x -|+ 5y -— 7z = -— 9. 3x — • 2y 2y + 2z -= 2. 2. y vamos a elim inar la x.
•
3*11
(
1)
<21 (3> M ultipli
/ 2 x + 8y — 2 z = 12 \- 2 x - 5 y - t - 7 í= 9 Rcslondo:
3y + 5z = 21
(4 )
Combinamos la tercera ecuación ( 3 ) con cuolquicro de las otros dos ecua ciones dados. Vamos a combinarla con ( 1 ) p aio eliminar la x. M u ltip li cando <1) por 3 tenemos:
1
3x + 12y — 3z — 1 - 3 * + 2y — z = Restando: Dividiendo entre
14y
2:
18 2
— 4z =
ló
7y — 2 z ~
8
(5 )
Ahoro tomamos las dos ecuaciones con dos incógnitos que hemos obtenido ( 4 ) y < 5 1 , y formamos un sistema: 3 y l- 5 z = 2 1 . 7 y - ? z - 8. Resolvamos este sistema. <51 por 5:
<4 > (51
Vamos a elimincr la z multiplicando <41 pe- 2 y <$y+10z = 4? 3 5 y - 1 0 z -4 0 41 y
= 62 7= 2
Sustituyendo y — 2 en < 5 ) se tiene-. 7 ( 2 ) — 2z = 8 14 — 2x = 8 -2 z--6 7= 3 Sustituyendo y = 2, z = 3 en cuolquiera de kss tres ecuaciones dodos, por c¡ompío en <1 ) , se tiene: x + 4 (2 | — 3 = ú x+ 8- 3= 6 x = l.
x =
R.
1.
y = 2. x
=
3-
V E R IF IC A C IO N
lo s valores x = l , y = 2, z = 3 tienen quo satisfacer los tres ecuaciones dodos Hágase la sustitución y so veró quo los tres ecuaciones dados so convierten en idonlidod.
342
A IC E 6 R A
6 x -1 9
z —A + (2 1
R esolver e l sistem a
= — y.
,0 - i ^
Í
= 2, - l .
4 r + 3y — 3x — y.
Quitando denominadores:
5c 80
transponiendo >• reduciendo:
-
20 4- 6x — 19 = — Sy x 4- ?z = 16y - 8 U + 3y = 3x - y 6 x 4 - 5y + 5 r = 39 x - 16y s 2r - - 88
- 3 x 4 - 4y Vemos c eliminar x.
47 =
(II
<2.1 (3 )
0.
Combinamos ( 1 ) y ( 2 ) y multiplicamos ( 2 ) por 6. 6 x4- 5y 4- 5 z = 39 - 6 x — 9áy 4- 1 2z = — S28
Sumando: Combioomos 12) y ( 3 ) . 1 Multiplicando ( 2 ) p o r'3 y cambiándole el signo;
ECUACIONES SIM ULTAN EAS CON TREL IN C O G M ITA Í
•
34 3
En olgunos cosos, no hay regios fijos poro resolver el sistemo y deponer de lo habilidad del olumno encontrar el modo más expedito de resolverlo. Este ejemplo puede lesolversc asi: l e ecuación <1 1 tiene x e y. Entonces tengo que buscar otra ecuación d
Reuniendo ( 2 ) y ( 3 1 : Sumando:
x + 3y
= — 10
(4 )
Va tengo la ecuación que buscaba. Ahora, formamos un sistema con I 1 > y (41 : f ?x — 5y — 13. \ x + 3y = - 10. Multiplicando esto últim a ecuación par 2 y restando: í
\
-
2x -
5y=
13
? x
áy =
2 0
*"
-
— I ly —
33
y=-
3.
Sustituyendo y = — 3 en ( I I : 2x — 5 1 — 3 1= 13 2x r 15 = 13 2x = - 2 x = Sustituyendo x —
I, y = — 3 en ( 3 ) : — 1 - | - 3 |
-1
— * =
— 2
7— — 2
+3 -*
=
-* *
2 = 4.
E J E R C IC IO
I.
* = -!.R.
;
y -
3.
(
* =
4
186
R esolve r los sistemas:
fx + y + i= 6 . i x y+2x=Ó. | x—y—3*=—10.
f2x+ 3y+ x= l. 6. <6x-2>— *= -14 . l8 x + y - * = l.
I 9 x -l4 y -1 0 z= 6 . 13. { t i x - ^ + 5 í = ~ l . [ l2 x + 12y-15z=10. r» x - ia > - z = - li. 14.
l ü x — y + z = lü .
l5x-|-2y-z= -7. f x+>'=l15. í y + z = - l .
I z + x ——G.
22 x
.
y t
Í x + 2 y = -l.
24.
y
í 3x—2y=0. 13. | 3y—lz=2G. ^z—5x=—14.
21.
Í
2 x -:= 1 4 . 4x l y—z=41. 3 x —y + 5 z= 5 3 .
7 5 x —z _ ) —4
27.
x y z _i _1_J___ —oí 3 4 3
I+ Z-¿ = n
26.
2 x -r 2
3
10
’ x-l)—z = l. 2+ x —y=3. z~x|-y=7.
1 + l = 5. X
30. ,
x ~> 2
z* - Z l f = 5 “ Ol
—
2
X~ * - . q
i +l=6. z
— + — = 7. y
'
s + í =
31.
y
2
2
y
: ~ 2
x
32.
4
2.
x
i+ i«
y—z x - y + Z _ _ = 3. 29.
y
X
y -2 “ —* TI*
v _ Í Í i = x _6 > 2 b' x —7 z - _ = y-5.
,
y - - í 8± Í = - 1jo 0.
5 y—z
X
5 0 3 x y z _ + ¿ -----= 3. 10 3 fi
20-
23.
G x-3 z-2 . 2 z - y = -5 . x+2y—|z=8.
x+ y _ y i 4
z
í í u
í x — 2y = 0 .
>-2z=5. I x+y-fz= 8.
ü -Z+ i-n G 3 6
, -
[ 3 y-5 z= -1 3 . 20.
3 + i - r - 5-
25.
10. \ G x-3y= —7.
f y r z = - 8. 17. < 2x+z='J. (3 y t2 x = ~ 3 .
2 + | “ ? = ax
f 3z-5x=10.
2> '+ := 0. x|-2z—11.
z
3
3
1_
4
2 _
x
y
z
3 -
x
+
2 - +
y
4 - =
z
3.
íx - ly - «r = 81
- x -
EM PLEO DE LA S D ETER M IN A N TES EN L A RESO LUCIO N DE UN SISTEM A DE TRES ECU A CIO N ES CON TRES IN C O G N ITA S 307) D ETER M IN A N TE DE TER C ER ORDEN Una determinante romo fli
bt
c,
a¡
hs
r*
Ai
f 'i
c»
I I
tjuc consta de tres lilas y tres columnas, es una determinante de tercer o r d e n .
R ES O LU C IO N
l'OM
DrTCN M IN A N T E S
•
3 4 5
(308! H A L L A R E L V A LO R DE UN A D ETERM IN A N TE - DE TER CER ORDEN E l modo más sencillo y q u e creemos al alcance de los alum nos,de ha llar el valor de mía determinante de tercer orden es aplicando la Regla de Sarros. Explicarem os esta sencilla regla práctica Con dos ejemplos. J ) Resolver
I 1 - 2 - 3 -4 2 1 1 5 -1 3
por la Regla de Sarrus
Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales y tenemos: K "
5 1
2
"
1 3 —3
—1 —2
-4
3
2
Ahora trazamos 3 diagonales de derecha a izquierda y 3 de izquierda a de* recha, como se indica a continuación:
-»
^ ”
. '
’s • l ''
I
Ahora se m ultiplican entre si los tres números por que pasa cuda diagonal. Lo s productos de los números que hay en las diagonales trazadas de izquierda a derecha se escriben con su propio signo y los productos de l<<» números que hay en las diagonales trazadas de derecha a izquierda con el signo cambiado. Así, en este caso, tenemos6valor de la determinante dada.
1 2 - 10 + 3 0 + 1 —24 = —11
DETALLE DE LOS PRODUCTOS
De izquierda a derecha: 1 X 2 X 3 -II
( — 4 ) X ( — 1 ) X ( — 3 ) = — 12
5 X ( ~ 2 ) X 1 = - 10.
De derecha a izquierda: ( - 3 ) X 2 X 5 = - 30 cambiándole el signo +30. l x ( - l ) x l = — 1 cambiándole el signo + 1. 3 X {—2) x (—4 )= 24 cambiándole el signo — 24. 2 ) Resolver por Sarrus
- 3 -fi 4 I 5 8
1 -3 | 7 |
Aplicando el procedimiento explicado, tenemos:
^
4X
‘X
5X
“X
5 ^
•3 -3 V
- 2 1 + 32 + 9 0 - 5 - 7 2 + 108= 1 9 2 .
R.
46 •
ALC£8RA
E J E R C IC IO
187
H allar el valor de las siguientes determinantes: 2 5 2 1 2 1 ó -1 7-3 —7 4. 3 4 3 1 3 —4 o . 4 . 4 U 6 2 tí 1 2 2 5 6 3 1 1 2 5. 2 3 8. - 1 —3 3 1 -3 3 2 4 5 . 3 4 2 3 -1 2 -3 4 4 5 1 1 ó o •f> 0 C 2 —3 6 . í 0 3 7 . 2 3 4 1 2 12 3
-8 10 -
3
12 8 7
-1 5 4
M.
0 3
12.
2 -
** -G 4
—9 7 4
3 —5 f>
11 -12
-.1
-1 3
1
3
09) R ESO LU CIO N POR D ETER M IN A N TES DE UN SISTEM A DE TR ES EC U A C IO N E S CON TR ES IN C O G N IT A S
Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, pot leterminantes, se aplica la Regla de K ram er, que dice: F.l valor de cada incógnita es una fracción cuyo denominador es la det erm inante formada con los coeficientes de las incógnitas (determinante leí sistema) y cuyo numerador es la determ inante que se obtiene sustitu yendo en la determinante del sistema la colum na de los coeficientes de la ncógnita que se halla por la columna de los término» independientes de as ecuaciones dadas. x+
Ejem plos
11 > Resolver por deleiniinonles
y+
Z = A.
2x 3y I 5z 5. 3x + 4y + 7z = 10.
Paro hollar x, o pircando lo Kcgía de Kramer, tendremos-. 4 5
-
10
1
1
-3 4
5 7
-6 9
1
1
-2 3
4
7
1 2 —3 5
í
3
~ 3.
Véoso que a determinante de i denominador | determinóme del sistema) está íonnudo con los coeficientes de los incógnitos en las ecuaciones dodos. El numerador de x se ha formado sustituyendo cn lo determinante del siste mo lo columna
J
de los coeficientes de x por lo columna --J
términos independientes do los ccuociortes dados, Poro hollar y, tendremos:
1 4 1 2 - 5 5 Y =
10 7 1 3 ’ 1 1 1 1 2 - 3 5 3 4 71
-4 6 - 2 .
-2 3
de tos
10
■ tS O L U C IO N
POK
D(TKNM INANTFS
•
3 4 7
El denominador w el mismo de antes, lo oclcrmincnte de! sistemo El no i merodor se obtiene sustituyendo en ésto !o columna -3 de los coeficientes de y por la columna
-i
de los términos independientes.
I’ora hallar 7 . tendremos: f I 4 2 - 3 - 5 4 10 x= - 3 I I 1j 7 -3 5 3 4 7
23 — 23
El denominador os lo determinóme del sistemo; el numerador se obtiene sus I¡luyendo en esta lo columna
-5
S de los coeficientes de / por lo columnn
de les términos independientes. x=3. y “~ 2 2. X = - I.
lo solución del sistema es 1•: i
2x i y 3z "= 12 5x — 4y + 7x = 27 10a + 3y — x - 40.
[Z> Resolver par delcrminonles Tendremos:
12
1
77 1 40
-4 3
2
1
5
-4 3
10 2
12
5
27 40
10 2
1
-3 7
1 -3 7
-3 7
-1 -3 1 7 1
-1
7 1 G -4 3
27 40
11 0
12 5
10
1 -4 3
= S.
-1
-4 3
I 5
- m — 124
496 -
124
,2! 248 -
-3
2I - l!
124
2.
R.
x y x
= 5. = 4 = 2.
348
•
A L G tec.A
E JE R C IC IO 188 Resolver por determinantes: 7x+10y+4z=-2. 5x-2y+6*=38. 3x+y-r=21.
X -*7 + 2 = 1 1 X — y+3z=13 2x-|2)i—2=7.
1.
x+ yl-z= C 2x+y—z= —1
(
6.
7.
x -2 )'J-3 := -6 . 2x+3>+4r=3 2x+f»y-l-8í=5
1
4x+9y—4z=4. 4x—y+2—4. 2>— x+2x=2
|
«x+3r-2y=12.
8
4x+7y+5*=—2 fix-4 3y4-7x=G x —y+9z=—213x-Gy+2x=—22 2x-y+6r=32 exl-3y—5z=—33.
6 x
2 y
z_
—+y=2z4 3
x-t7'+s=3 x+2y=6
12.
3x—2y= —1
* -y = l X |-2 = —+11. 4
4 x 4 -z = -2 8 x
2
2~K ~2
2x+3y=6.
9-'
y
U.
i
,í
x
+ 2 ) '+ 3 z= — 4 3 .
(x+ 4y+ G t= U b. { 3x—2y+z—5 10- DE PUNTOS REPRESEN TACIO N G R A FIC A I 4x4CIO y —3*=—26. DEL ESPA Y PLANOS 310) EJES CO ORD EN AD OS EN E L ESPA CIO
(figura 5 9 i
Si por un punto del espacio O trazamos tres ejes O X , O Y , O Z , de mudo que cada eje sea perpendicular a los otros dos, tenemos un sistema de ejes coordenados rectangulares en el espado. Si los ejes no son per pendiculares entre sí, tenemos un sistema de ejes coordenados oblicuos. E l punto 0 se llama origen. Cada dos de estos ejes determinan un plano. l.os ejes O X y O Y determ inan el pla no X Y \ los ejes O Y y O Z determ inan el plano Y Z , y los ejes O Z y O X determinan el plano Z X . Estos son los planos coorde nados. Estos tres planos, perpendicular cada uno de ellas a los ottos dos, forman un triedro trirrectángulo. Cuando los ejes están dispuestos como se indica en la figura 51), se dice que cl triedro trirrectángulo es inverso. Si el eje O X ocupara la posición del eje O Y y vicc(I)
l'onga tero tornn ««clkirnie de la» iniógnilat que filien en cada rcuadAn.
C O O R O tM A O A S IW
versa, cl triedro seria directo. inverso.
II
(« P A C IO
Nosotros trabajaremos con cl
•
3 4 9
triedro
Para que el alumno adare los conccpu» anteriores, fíjese en cl ángulo dela izquierda de su salón de dase. El suelo es el plano X Y ; la pared que está a la izquierda del alumno es cl plano YZ; la pared que le quedaenfrente es el plano Z X . El eje O X es la intersección de la pared de enfrente con el suelo: el eje O Y es la intersección de la pared de la izquierda con el suelo; el eje O Z es la intersección de la pared de la izquierda con la pared del frente El punto donde concurren los tres ejes (la esquina del suelo, a la izquierda) es el origen. CO O RD EN AD AS C A R T E S IA N A S DE UN PUNTO D EL ESPA CIO La posición c!e un punto del espacio queda determinada por sus coor denadas en el espacio, que son sus distancias a los planos coordenados. Sea el punto P (figura 60). Las coordenadas del punto P son: i ) 1.a abscisa x , que es la distancia de P al plano YZ. ') 1.a ordenada y , que es la distancia de P al plano Z X . d) L a cota z, que es la distancia de P al plano JV1’. E l punto P dado por sus coordenadas se expresa P ( x . y . i) . Asi. rl punto (2. 4, 5) es un punto del espacio tal que, para una unidad escogida, su abscisa es 2, su ot denada es 4 y su cota es 5. (Las coordenadas de un punto del espacio en su salón de clase son: abscisa, la distancia del punto a la pared de la izquierda; ordenada. I t «lis tancia del punto a la pared de enfrente: cota, la distancia del punto .•I
suelo). En la práctica, para representar un punto del espacio, se mide la ab* risa sobre el eje O X y se trazan lincas que representen la ordenada y la cola En la figura fil está representado cl punto P (3, 2. 4).
F IG U R A
so
F IG U R A « I
(50 •
A tG F W íA
112: R E P R E S E N T A C IO N
DE U N
PUNTO C U A N D O
UNA
O M A S C O O R D E N A D A S SON 0
Cuando una de las coordenadas es 0 Y las oirás dos no, el pum o esta ¡¡loado en uno de los planos coordenados. (Figura l>2). Si x — el punto está situado en el plano l'Z : en la figura, P ,( 0, 2. ■'(). Si y - « . el punto está en el plano Z X : en la figura, P¡(3. <). 3). S i 2 —II. el pumo está situado en el plano X Y ; en la figura, f l j ( O .O . J ) p .< 3 .0 .3 .1 t-----------------í 3, 2, 0.). Cuando dos de las coordenadas son 0 y la oirá no. el pum o está situado en uno ríe los ejes. Si x — 0, y = 0, el punto está situado en el eje O Y.: en la figura, P«(0, n. 3). Si x - 0 . 2 = 0 , el pum o está en el eje O Y : en la ligura, P.,(0. 2. <)}. Si y = 0, 2 —0, el punto está en el eje O X ; en la figura. P*(3. 0. Oí. Si las ires coordenadas son U. el punto es el origen. E JE R C IC IO
T o d a ecuación ríe prim er gnu lo con tres variables representa un planoá ) Así, toda ecuación de la forma A x 4 Hy + C t - Ü representa un plano. (Figu ra txl). Los segmentos O A , O H y O C son las tratas del plano solirc los ejes. En la figura la traza del plano sobre el eje O X es O A - a ; la traza sobre el eje O Y es OIS ~ b y la traza sobre el eje OY. es O C - c. Lo s pum os /I, t í y C , donde el plano intcrsccta a los ejes, por ser puntos de los ejes, tienen dos coordenadas nulas. ( 1) A.lmltinim calo como uii pilucipio, ya <|iic »u tteimuiniOAn cu» cae.» al alom e «le lo» alumno» ilr lijehlllcialo,
nEPItCSEWTACION ORATICA
•
351
Í 3 1 4 ; REPRESEN TA CIO N G R A F IC A DE U N A ECU A CIO N 1314}
-
DE PRIM ER GRADO CON TRES V A R IA B LES 1)
R e p re s e n ta r Ja e c u a c ió n I a- I- -iy »• 2 s — 12.
Para representar gráfic-am em c esta ecua c ió n vam os a h a lla r las (raras del p la n o <|ui e lla representa sobre los ejes (F ig . i; I). La traza sobre e l eje O X se h a lla Jiacic n d o y — 0. = = 0 en la e cu a ció n dada. T m «Iremos: Para y - II. s = 0. cjuctla
tx - 12
x = 3.
Se re présenla el p u m o (3. 0. Ó). I -i traza sobre el eje O i se h a lla h a c e n d ó .v = 0. 1 = 0 en la e cu a c ió n d a d a . T e n (hem os: P.n a v — 0. : — o (¡necia
3y — 12
y — 4.
Se re p re se n ta el p u n to (0 . •?. ít). I.a maza sobre el eje O /, se h a lla ha■ ic n d o v — ñ. y = 0 en la e cu a ció n dad a . T e n ib m ío s :
l'-ir.i ,\ - 0 . y — (f q u e d a 2 t = 1 2 - ' - z - 6 . S¡ i ( presenta el p u n to (0 . Ü. 6). q u e
l'n ic h d o e n n t si los tres p u n to s q u e lu-mos h a lla d o , o b te n e m o s u n p la n o < s l.i le p rc s e in u c ió n g rá iú .i. d e la e cu a ció n lx + 3 y - 2 : = 12. 2)
R e p re s e n ta r g rá fic a m e n te
lx + by -t- í>c = 20.
( F ig u r a 65).
I c u c h i os:
l'a ia y = 0, í - 0, v = Y ~ ó
P u n to (ó , U. 0).
Para \ - 0. i = 0. y = ? = 4. P u n to (0 , -L 0). Pa»a v - II. y - 0. I - J - 2 ‘ . P u m o (0. II. 2 U n ie n d o estos ¡m u lo s e n tre m (pieda tra za d o u n p la n o q u e es la ic p rc s c n ta rió n g rá fic a de la e cu a ció n l.v l- ü y + h - - 20 .
3 15 PLA N O QUE PASA POR UN UNTO Si un plano pasa por un punto del espacio, las coordenadas de ese pun to satisfacen la ecuación del plano. Asi, para saber si el plano 2x + y + 3; - 13 pasa por el punto (1, 2, 3), hacemos x = l . > - 2 , z = 3 en la ecuación del plano y tendremos: ‘¿(1) + 2 + 3(3) — 13. o sea, 13 = 13; luego, el plano pasa por el punto (1, 2, 3). o de oiro modo, el pum o pertenece al plano. (3161 S IG N IF IC A C IO N G R A FICA DE LA SO LU CIO N DE UN SISTEM A DE TRES EC U A C IO N ES CON TRES IN C O G N ITA S x + y + z - 12 Sea el sistema < 2x - y + 3 t - l ? ( 3 x + 2y —.rw = — 8.
Resolviéndolo se halla x - 3. y = 4. z = 5.
Esta solución re p re s e n ta un punto d e l espacio, el p u m o {3,4,í>}. Aflo ra bien: x = 3. y — 4, z - b satisfacen las tres ecuaciones del sistema: luego, el punto (3,4,0) pertenece a las tres planos que re p re s e n ta n las ecuaciones dadas; luego, el panto (3,1.5) es un punto por el que pasan los 3 planos, el punto común a los 3 planos. (317) R ESO LU CIO N Y REPRESEN TACIO N G R A FIC A DE UN V y SISTEM A DE TRES EC U A C IO N ES CON TRES IN C O G N ITA S Resolver gráficamente un sistema de tres ecuaciones con tres inrógni tas cs hallar el punto del espacio por el que pasan los tres planos. Para ello, dados las conocimientos que posee el alumno, el procedi m iento a seguir es el siguiente: 1) Se representan gráficamente los tres planos que representan las tres ecuaciones del sistema, hallando sus trazas. 2) Se traza la intersección de dos cualesquiera de ellos, que será una linea recta. 3 ) Se traza la intersección del tercer plano con cualquiera de los anteriores, que será otra linca recta. •?} Se busca el punto donde se cortan las dos rectas (intersecciones) halladas y esc será el punto común a lós tres planos. la * coordenadas de este punto son la solución del sistema
R t l'K f i r m -A C l O H
G R A F IC A
353
•
Resolver groficomcnte cl sistema \ ? i + ? y + z = 12 ! x + y \ r — fl I 3x - r ?y + 5z = 30.
FIGURA
te
Apliquemos el procedimiento unterior ( h g . 661 Representemos 2 x 1 2y + r = 12. P o ra y - 0 , *-0 '
7 - o, x -6 z - 0. y= 6 y = 0, ¿ ” 12I I plano que representa esta ecuaaicn os cl plono ABC. Representemos x ;• y + z — 8. Paray — 0, *
“
0 /
x —0 ,
2= 0 2 =
0 '
y —g
/
“
2
= 8.
8
El plano que representa esta ecuación es ol plano D£F. Representemos 3x + 2y + 5z = 30. P a ra y -.0 , 2 = 0. > -o , 2-a ' * o, y = Q
* = 10 y =»5 i 6.
E- plano quo representa esta ecuación os el plano G /fl Trozamos la intersección del plano ABC con el plano DEP que es la lineo recta M N / trozamos la intersección del plono OEF con cl plano C H I que es la línea roda ÍQ . Ambas intersecciones so corlan en el punto P; el punto P pertenece o los 3 planos, las coordenados de P que en la figura so vo quo san x = 2, y — 2, / -1 son la solución do) sistema.
354
yitr.tüR* E JE R C IC IO
191
R e so lver y rc p rc s c m ;u g rá fica m e n te los sistémas: I.
Combinando ( 1 ) y <31 climinomos lo x multiplicando 111 por 3 y testando: 3x 4- 3y 4- 3x 4- 3
~'y + Ai —2o =
17
(6)
Combinando 111 y ( 4 ) eliminamos lo x, restondot x -|- y 4- / 4 - o - 1 0 — x 4- 3y - 2z 4- 4o = 3
4y —
z + 5v = !3
(7 )
Reuniendo lus ecuaciones ( 5 ) , Í 6 ) y < 7 l que hemos obtenido tenemos un sis temo de 3 c-ruocionos con Iros incógnitos: f 3 y — x + ¿u — 11 y 4- 4x — 2u — 17 j 4y — z 4- 5u = 13.
15) 16) (7 )
Vamos a eliminat la z. Combinando <51 y < 6 1 , multiplicamos ( 5 ) por 4 y su mo mos: 12y — 4x 4- 24u = 44 y - M i — 2u = 17 13y
(8)
+22«=61
Combinando <51 y <71 oliminamos la z restándolos: 3y — x 4 -t< o = II — 4 / 4 - x — 5u = - l 3 —
y
+■ v = -
7
191
IC U A C IO W 3 S IM U IT A N ÍA J COM C U A TR O
IN C O C M IT A S
•
3 'Ú 5
Reuniendo ( 8 ) y <95 leñemos un sistemo do 7 ecuaciones con 2 incógnitos: ( 13y + 22u = 61 ^ y + - 7
Resolvemos «sle sistemo
<81 I9>
Multiplicando 19) por 13 y sumando:
I3y I 2 2 u ~ — 13y -r l.'lo —
61 26
35Ü ="
35
u = l. Ahora, sustituimos o = 1 en uno ecuación do dos incógnitas, por ejemplo rn ' 9 ' y leñemos:
— y -I- 1 = — 2 y = 3. Sustituimos t / = 1, y = 3 en una ecuación de fres incógnitas, por ejemplo en 151 y tenemos: 3 (3 1 — * -4-611 ) = I I 9 — *r + 6 — 11 r . — A. Ahora, sostifoimes o = l , y — 3, ¿ —-A en runlqoiero de los ecuaciones dadas, po< ejemplo en ( 1 i y tenonios: * 4 3 + 4 + 1 = 10
.
x s =2
E J E R C IC IO
ó
K-
* IT ,y $• x = 4.
p
u -\.
192
R esolver los sistemas:
1.
.v + y + z -i ir —-1 .v-l-'Jy+dc— >r=— 1 :.:.v4 iy 2c l t r = - 5 ,\ | 4y-i-:U — i*— — 7. x l 7 l-A = rt = 1 0 •> x ~ y -2 z ¡ 2 « ~ 2 v -2 v -3 c -u = 2 2y — 4 c l- 2 « = l.
5.
6-
3 .v+ )'— U — 2 » = T 2 .v-l-2 y- -z~><= 1 \ 4 l y - l- 2 : - . ') ? r = l2 .
7.
2.v :¡y-¡-:4 lu=0 3.v-f y - - : i u 10 6 v + 2 r - H ir— — 3 .V+.V/'l | : : i i r = - 6 .
' ¿ x - y — Iz-|-m=- - 1 X I 2> + 3 c = 2 n = - 1.
x • 2 >’ + c = — 4 2 x + : { y - |- 4 : = - 2 3.v I y + 2 + u = 4 G x+3y- - z l w = 3 .
::.v 4 2 y = - 2
\ - 2 v - l - Z I : |n - r —3
a.
.v4>— Z - - I ■Ix l 3 t + 2 z - « = 9
8.
v | y - |- ,i= — n :tx — 2y ~ u = - 7 • 5 v I :»y-|-(i:48ir
2 \ - :¡ :- if=2 : i y - ;’: - . r>irr-3 ly
:>i/ = 2
x— 3 y 4 3 » -:ii-
-
1 1 -
ro l, la i don du la Enciclopedia. Dirigió dicho moví», m iento y re d a c tó todo» loa artículo» «obre m atem ática» q u e aparoccn on Ib fantoaa Enciclopedia. Fue Secre tario P e rp e tu o do la A cadem ia Francoza. Punde c o n nderarao con Rousseau, p ro c u n o r d e la Revolución.
tOND D’ALEMBERT I 1 7 1 7 -1 7 8 3 » A bannaccr on el a trio do lo C apilla d e 5t. Joan IM recogido por I r «tpoaa d e u n hum ilde criado h u t a l i m ayoría do edad. Fue un genio precoz. C oncibió y realizó con Dide.
CAPITULO
XXVI
P R O B LEM A S Q U E SE R ES U ELV EN P O R EC UACIONES S IM U LTA N EA S 319' L a diferencia de dos números es 14, y ~ de su suma es 13.
H allar
los números. Sea
x = cl número mayor. y = cl número menpr.
De acuerdo con las condiciones del problema, tenemos el sistema: ¡ x - y = 14 x+y r
Q uitando denominadores y sumando:
= I3 .
(1) (2 )
l x -- y = 14 i x + y = 52 2x
~= 66 x = 33
Sustituyendo x = 33 en (1): 33- y = 14 y = 19
Los números buscados son 33 y 19. 356
R.
r jt o jiiif t t A S s a t in e e c u a c i o n e s
E JE R C IC IO
•
s im u l t a n e a s
357
193
1. I.a diferencia de do* números es -10 y - i de su suma es 11. H allar los números. 2.
1.a suma de dos números es 190 y j
de su diferencia es 2- H allar lo*
números. ?■ 4. ¡>.
La suma de dos números es 1529 y su diferencia 101. H allar los núnuu.s Un cuarto de la suma de dos números es 45 y unicreio es 4- H allar los números. Los — de la suiua de dos números son 74 y los i
'
de su dilem uia
' de
■>
su diferencia \)
Hallar los números. G.
Los — de la suma de dos números exceden en 6 a 39 y los — de su tu 6 diferencia son I menos que 26. H allar los mimo o*.
7.
Un tercio de la diferencia de dos mimeri>s es 11 y los — del maynt equivalen a Jos
H.
del menor. Hallar los uúmeios.
Dividir 60 en dos partes tales que los — de la parte mayor equivalgan a los — de la menor. Hallar dos números tales que 5 veces el mayor exceda a j- del memu en 222 y ó veces el menor exceda a i del mayor cn 66.
(320)i '.320/ G lbs. de café y 6 lbs. de azúcar costaron S2.27, y 5 ll>s. de café y 4 Un de azúcar (a los mismos precios) costaron S1.8B. H a lla r el precio il< tina libra de café y una de azúcar. Sea
x = precio de 1 lib ia de café en ets. y = precio de 1 libra de azúcar en ets.
Si una libra de calé cuesta x. 6 lbs. costarán 6x; si una ^ __ f lih. de azúcar cuesta y. 5 lbs. de azúcar costarán ay, y corno el i ' importe de esta compra fue S2.27 6 227 cis.. tendremos: / 5 lb s. d e c a fé c u e s ta n b x , y 4
de
a z ú c a r. Ay, y r o m o e l
f>x + 4 )
iu t|> o rte d e esta c o m p ra l u c d e S I .88 ó 188 ets.. te n d r e m o s : / R e u n ie n d o las e c u a c io n e s (1) y (2 ). te n e m o s e l s is te m a :
\ Ox + 5 y ^ 227.
(1)
t 5 * + 4 y - 188.
(2)
M ultiplicando (1 ) |Kir 5 ^ Í10x + 2 5 y = 1135 y (2 ) por 6 y restando: I- Sílx - 24y - - 1126 >= 7 Snstiiuyem lo y 7 en ( l) ve tiene x 32. U na libra de café costó 32 ets.. y una libra «le azúcar, 7 ets.
R.
(J
IH9
(9:
358
•
ALGI6RA
E JE R C IC IO
194
1. 5 n a j e s y so m b re n » * c u e s ta n -lle O so le s, >' ri n a j e s y ¡j s o m b t e n » t)¡)IIJl l a l l . u e l p r e c i o d e u n n a j e y d e u n s o m b re ro . 2. l . n lu te e n d a d o c o m p r o i v a ra s y 7 c a b a l lew p o r S ú l J y m á s ta r d e , a los m is in o s p re c io s , c o m p r ó {i v a c a s y y c a b a llo * ja n - >*¡18. H a l l a r el c o sto d e u n a v a c a y d e «•» c a b a llo . 3. l.n u n c in e , 10 c u n a d a s tic a d u l t o y ü d e ii iñ u c u e s ta n >i>.l2, y }7 d e n i ñ o \ l."> d e a d u l t o lla il.n el p re c io d e u n e n tr a d a d i n iñ o y m u d e a d u lto . 4.
Si . i v eces e l m a y o r d e d o s m i n íe lo s se a ñ ad e- 7 te c e s e l m e n o t. I.t s u m a e s H t¡, y si a •) v e ces e l m e n o r se te s ta e l c u a d r u p l o tlc-l m a y o r, la d if e r e n c i a e» s:¡. H a l l a r lo s m i n u to s .
0.
L os v d e la e tla tl
J d e la
« u n ía n
íá
d i li e q u i v a
le n a i1 a ñ o s . H a l l a r a m b a s e d a d e s .
0.
I I <1....,i-
<|i- la
V
I.a r i l a d ex u d e en
e d a d d e .1 « - s u d e cu .'ai .m u s a la e d a tl tl«:
:{.‘i a ñ o s m e n o s ip ie la e tla tl <1l-
li. y --tic- la
A .H a lla r am b as edades
d e .-I e x c e d e e n 13 a ñ o s a la tlt- l i . y t i i l n p l o d e '_ ':t a ñ o s a la e tla tl d e .1. H a l l a r a m b a s e d a d e s .
i.t e tla tl «le ¡l
1 ib- la e d a d d e A :.<• a u n u ’itia e n lo s * «le la d e it. e l r e s u lta d o set;.-
8 . Si
3 7 a ñ o s , y A «le la o tla d tic- l i e q u iv a l e n a ^
d e la e tla tl tic A . l l a l l a )
a m b a s edades.
,32 y .Si a los dos términos tle una tracción se añade 3. t:l valor tic la frac ción es es 4-.
y si a los dos términos se resta 1, el valor tle la fracción
H a lla r la Fracción.
Sea
x — el mimeradot
y = el denominador x
Entonces
y
— la I r a tt.i o ti .
Añadiendo :? a cada término. I.t fricció n se conviene en
y según
las condiciones del problema el valor de esta fracción es }: luego: ü | = y + 3
Restando
1
i
2
W
a t ola término, la fracción »«,• i otiv tei te en ’
las nnnlii iones, el valor de esta fracción es A: luego:
y según
P R O B L E M A S S O B H E E C U A C IO N E S S I M U L T A N E A S
Reuniendo las ecuacio nes (1) y (2), tenemos el sistema:
x+3
i.
y + 'i
2'
x -1
1
•
3S9
y — 1 ~ 3"
Q uitando denominadores: ¡ “* ' !? } ! I :ix —9 = y - l . Transponiendo \ 2 * —y — —3 y reduciendo: ¿ 3.x —y = 2 Restando:
(3)
- 2x I- y - 3 3x - y - 2 —o
.Sustituyendo
lá - y - 2
x —5 en (3): Luego, la fracción es -j. E JE R C IC IO I
y = 13. R.
195
Si a lo s d o s té r m i n o s d i: u n a tr a c c ió n se añ a d e - 1 , «1 v a lo r d e la l i a i .........
es y si a los dos términos se resta 1. el valor de la tracción o V Hallar la fracción. .Si a lo» dos términos de una fracción se resta 3» el valor de la ......... es A y si los dos términos se aumentan en Hallar la fracción.
el valor de la tracción •
'
Si al numerador de una fracción se añade 5, el valor de la fracción • » y si al numerador se resta 2, el valor de la fracción es 1. H allar la tracción i. Si el numerador de una fracción se aumenta en 26 el valor de la trac ción es 3. y si el denominador se disminuye en 4. el valor es 1. Il.ill.u la tracción. Añadiendo ¡j al numerador de tina fracción y restando 2 al dcnominadoi. la fracción se convierte en y . pero si se resta 5 al numerador y se añade 2 al denominador, la fracción equivale a 4- H allar Ja iraccióu. ti Multiplicando por 3 el numerador de una iracción y añadiendo 12 d denominador, el valor de la fracción es
y si el numerador'se aumenta
en 7 y se triplica el denominador, el valor de la fracción es '. Hullai la fracción, /
Si el numerador de una fracción se aumenta en es ', y si <-| numerador se disminuye Cu Hallar la fracción
el valor de la Iriución
el valor de la fracción es *
3 6 0
•
A L o au k
322) Dos núm eros están en la relación de 3 a 4. S i el menor se aumenta en 2 y el mayor se dism inuye en 9, la relación es de 4 a 3. H a lla r los números. Sea
x = cl número menor y = el número mayor.
I - i r e la c ió n d e d o s n ú m e r o » cs e l c o c ie n te d e d i v i d i r u n o p o r e l o t r o . S e g ú n las c o n d ic io n e s , x e y e s tá n e n la r e la c ió n Je 3 a 4; lu e g o . ____________ , S i e l m e n o r se a u m e n ta e n 2. q u e d a rá x + 2 ; s i el m a y o r se d is m in u y e e n 9. q u e d a rá y — 9; la r e la c ió n d e
x+
.V
3
y
4
2
4
7 - í»“
estos n ú m e r o s , se g ú n las c o n d ic io n e s , es d e I a 3; lu e g o .
x R e u n ie n d o (1 ) y (2), le ñ e m o s e l s is te m a :
v
í
>
'*
o
,j
> •-9 ~ 3* R e s o lv ie n d o e l s is te m a se h a lla x = 1$, y = 24; estos so n lo » m i n in o s buscados. m1.
R.
E J E R C IC IO
196
D os n ú m e ro s están en la re la c ió n d e á a 2 v e l m a y o r se d is m in u y e e n (j. la re la c ió n
í>. Si el m e n o r se a u m e n ta en cs d e !) a 8 . I ta lla r los núm eros.
2- La re la c ió n «le dos n ú m e ro s ex «le 2 a 3. Si el m e n o r se a u m e n ta e n 8 y e l m a y o r en 7. la re la c ió n es d e 3 a -1. H a lla r los núm eros. 3.
Dos n ú m e ro s son e n tre si io n io i» es a 10. Si el m a y o r se a u m e n ta e n 20 y e l m e n o r se d is m in u y e e n 15. e l m e n o r será a l m a yo r ro m o 3 es a 7. H a lla r los núm e ros.
4.
Las edades tic / / y [ t están en la re la c ió n d e a 7. D e n tro de 2 a nos la re la c ió n e n tre la edad de A y la de l i será d e 8 a 11. H a lla r las edades actuales.
5
Las edades de A y l i están e n la re la c ió n d e I a 5 . H a c e ", años la re la c ió n era tic 7 a !). H a lla i las edades actuales.
6.
L a ed a d -actual tic A g u a rd a c o n la e d a d a rtu a l de ¡ i la re la c ió n de 2 a 3. Si la edad q u e A te n ia hace I años se d iv id e |x.»r la edad q u e te n d rá l i d e n tro tic 4 años, el cocie n te es ». H a lla r las edades actuales.
7.
'C u a n d o c m p ii/ a n a ju g a r A y l i . la re la c ió n de lo q u e tie n e A y lo i|iu tie n e l i es de 1(1 a i 3 . Después q u e A Je lia g a n a d o 10 b o lív a re s a II. la re la c ió n c n ir e lo q u e tie n e A y lo q u e le queda a l i es «le 12 a 1 1 . ;C u n c u a n to e m p e /o a ju g a r cada uno?
8.
A n te * ib- u n a b a ta lla , las fu e r ras tic da» e jé rc ito s estaban en la re la c ió n tic 7 a !l. L I e jé rc ito m e n o r p e itlió 151100 h o m b re s cu la b a ta lla y el m a y o r 250110 hom bres. Si la re la c ió n a h o ra i » d e I I a 13. ¿cuántos Ito in b ie s te n ia cada e jé rc ito antes de la b a ta lla d
(i)
(2 )
P R O B L E M A S S O IIR Í « C O A C I O N t S S IM U L T A N E A S
£
Jg |
323 Si cl mayor de dos números se divide ¡sor c l menor, cl cociente es 2 y el residuo 9, y si 3 veces el menor se divide por c l mayor, cl cor ¡en te es 1 y el residuo 14. H allar los números. Sea
x — el núm ero mayor y — cl núm ero menor.
Según las condiciones, al d ivid ir x entre y el cocicnte es 2 y cl residuo 9, pero si el residuo se le resta al dividendo x. quedará x — 9 y entonces la división entre y es exacta; luego: /
x —9 = 2. y
( 1)
D ividiendo 3)' entre x, según las condiciones, el «oriente es 1 y el residuo I I . pero restando I I del di videndo la división será exacta: luego _ /' —
Reuniendo (l) y (2>. leñemos el sistema:
J’ =
2.
v 3 , -1 4
^
1 Q uitando denominadoresTransponiendo:
tx — 9 — ¿y i 3jr — 1-1 = x. )
(3)
x - 2> = :•
I - X 4 3 y = 14 , = 23.
Sustituyendo y = 23 en <3) se obtiene x [.os números buscados son 55 y 23. R . h
E JE R C IC IO
9 = 46: luego. x = óá
197
1. Si el mayor de dos números se divide j >o i ti incnór, (4 enciente es 2 ) el residuo 4. y o 5 veces el menor se divide |x>i el mayor, el cociente es 2 y el residuo 17. Hallar los números. 2 Si el mayor de dos nutricios se divide por el menor, el cociente es 3. y si 1Ü vetes cl menor se divide por el mayor, cl cociente es 3 y el resi duo 19. Hallar los números. ;i Si el «jupio del mayor «le «los mimen» ve divide por el triplo del menor, el cócieim es I y el residuo 3, > si s v u n el menor si «livide por el mayor, el cociente es 5 y el residuo ). Hallar los miminis, La edad «le .1 excede en 22 años a la edad «le l<, y si la edad «le .4 se divide entre el triplo «le la de II, el cociente es | y el residuo 12.Hallai ambas edades. Ir. Seis veces el ancho de una sala excede en I tu a la longitud de la sala, y si la longitud aumentada en :i m se divide entre el ancho, el cociente i< 5 > el residuo 3 Hallar las dimensiones «le la sala.
3 6 2
•
A lf lM R A
\2 \¡ L a sum a do la cifra de bis decenas y la cifra de las unidades de un núm ero es 16. y si al número se resta 9, las tifia s se invierten. H a llar el número. Sea
x — la cifra de las decenas y — la cifra de las unidades.
Según las condiciones: n
,
x + y - la .
.... (1)
F.l núm ero se obtiene m ultiplicando |>or 10 la cifra de las decenas y sumándole la cilra d r las unidades; luego, ol núm ero será lOx -f y . Según las condiciones, restando 9 de este número, las eilras se invierten, luego,
10* * >•
9 = lU v + x.
R euniend o (1) y (2). J x - f y — lf» tenemos el sistema: í lOx -r y - *J = l(>y + x Transponiendo \ x - r y = 15 y reduciendo: ( 9x — 9y = 9. D ividiendo la 2a. ecuación \ x + y = 15 por 9 y sumando: | x —y — 1 2x
= 16 x — 8.
Sustituyendo x = 8 en (1) se tiene 8 4 -y = 1 5 .'.y = 7. FI núm ero buscado es 8". R. m-
E JE R C IC IO
198
1- La suma de ¡a cifra «lelas decenas y la cifra de lasunidades de un número es 12. y si al número se resta 18, las cifras seinvierten. H allar el número. 2- l.a suma de las dos cifras de un número w 14, y si al número so suma 36. las cifras se invierten. Ifallar el número. 3. La suma de la cifra de las decenas y la cifra do las unidades de un número es 13. y si al número se lo testa 45, las cifras so invierten. Hallar el número. 4- U i suma de las dos cifras de un número es 11, y si el número so divide por la suma «le sus cifras, el cociente es 7 y ol residuo 6- Hallar el número. Si un número de dos cifras se disminuye en 17 y esta diferencia se divide por la suma «le sus cifras, el enciente es 5, y si el número dismi nuido en 2 se divide por la cifra de las unidades disminuida en 2. el cociente es 19. H allar el número. ’’ Si a un número de dos cifras se añade 9, las cifras se invierten, y si este número que resulta se divide entre 7. el cociente es 6 >' el residuo 1. Hallar el número. 7- La suma de las dos cifras de un número es 9. Si la cifra de las decenas se aumenta en 1 y la cifra de las unidades se disminuye en 1 , las cifras se invierten. H allar el número.
H l O O L E M A l S O B R E E C U A C IO N E S S I M U L T A N E A S
0
3 6
1
Í325/ Se lid ie n 8120 en 33 liillcifó de a 85 y de a $2. ¿Cuántos billetes « m on de 85 y cuántos de *>2? Sea
x = el núm ero de billetes de $2 y —él número de billetes de $5.
Según las condiciones:
x (
.jj
í:
2x
•r>v
K-’il
Reuniendo ti) v t2) tenemos el sistemas * _’ ( 2.x — !>y = 120. Resolviendo se encuentra x ~ lá, y = 18: luego, hay lá billetes
E J E R C IC IO
1 2. 3.
i
D t! 7.
1 99
y tie n e n M 1 -3 II e n 75 m onedas de ¡i 2 0 i i «l<- |0 «ts \ cu á n ta s tle 21) cts.r t u li o m h i : ti e n e .>-404 e n ••] i i k i i i k I.is il< ;t Sá y ib a S I . ¿ C u á n ta s m o n i tía s s o n tic Sá y c u á n ta s d e SI? I ' i i u n e n e lias TOO p e í « m a s « u n e a d u lto s \ n iños. C ada a d u lto pagó tu cts. y catla n iñ o lá tt s p o r m e n tra d a . L a re ca u d a c ió n es tic S lf-o ; ( a i.ín to s a d u lto - y iii. in io s nii'io s hay cu el t iiu ? Si- re p a H c n m onedas de 20 «ts, s *> «i*. e n tre ¡ 1 |iersi>nas, d a n d o m u m oneda a cicla u na. .Si la c a m b ia d re p a rtid a es SD.ÍIá, .'in a n ia s pCISiui.n re c ib ie ro n m onedas d e 20 «t». ) cuántas de 25 ets.r Se tie n e n S-51!) en 287 b ille te s d e a S | y de a 52. .'C uántos b ille te s m u i 2 ? C o n 171 «ilíones lo i n ji ié :{ | lib ro s y d e a 7 colones. ; ( u .n ilo lib ro s c o m p ré de cada precio? C u lo m e rc ia m e e m p le ó 0720 sucres c u ro m m a i tra je s a 375 sucres \ -un breros a lá . s i la sum a d e l n ú m e ro ele tra je s y el n ú m e ro d e s o m b ie n n ip ir c o m p ró es á | . ¿ m .iiiio s n a je » c o m p ró y cu á n to s sombreros?
132^ Si A le da a 15 82, ambos tendrán igual suma, y si 15 le da a A s;>, A tendrá el triplo «le l«i «pie le «picd» a 15. ¿Cuánto tiene rada uno? Sea
x — lo que tiene A y lo que tiene 11Si A le «la a H 52. -I se «iti«da ron Sis 2i \ /?. tendrá $(y + 2). y según las condiciones ambos tienen entornes igual suma: luego._____________________/ Si ¡\ le da a A 52. H se «piula ron S i y - 2 ) y A tendrá Sf.v I- 2) y según las i ondú iones «monees A tiene el triplo de lo que le queda a /{; luego,
Resolviendo este sistema si Italia \ lt nene SO. R.
Í
v --1 *» “ y , *i
^ (
v —2 ■ v ~ 2. ~ ... “ .
x + 2 -!()•-:
10. y - (i; luego, A licite $10 s
i
3 6 4
•
ALG EBR A
3 2 7 / H a c e 8 a ñ o s la e d a d d e A e ra t r i p l e q u e la d e B , y d e n tr o d e 4 a ñ o s
x = celad a c tu a l d e A y = e d a d a c tu a l d e B .
Sea
^
x - 8 = 3 < y -8 ).
y"
>■ 4- 4 = ^ ( x •» 4).
H a c e 8 a ñ o s A te n ia x — $ años y B te n ía y —8 a ñ o s;
se g ú n
las c o n d ic io n e s :
D e n t r o d e 4 año s, A te n d r á x — 4 a ñ o s y B te n d r á y 4 -1 a ñ o s y s e g ú n las c o n d ic io n e s :
x — 8 — 3 { y — 8). R e u n ie n d o (1 ) y (2 ), te n e m o s e l s is te m a : y + 4 ^ ( x + l) . R e s o lv ie n d o e l s is te m a se It a lia x = 3 2 , y — 16. A t ie n e 3 2 año s, y B , 16 a ñ o s.
m-
E JE R C IC IO
R.
200
1.
Si .-I le d a a l l S i. am bos tie n e n lo m is in o , y si B le «la a A SU A te n d rá el t r ip l o d i lo q u e le q u e d e a ll. ¿ C u á n to tie n e cada tmo.:
9..
SiI I le d a a A 2 vedes, am bos tie n e n lo m is m o , y si A le «la a l i 2 soles, l i tie n e éld o b le de lo q u e le queda a A . ¿ C u á n to tie n e cada uno?
3. Si P e d io le da a J u a n § 8, a m b o s ,tie n e n ig u a l sum a, p e to si J u a n le «la a P e d io 83, éste tie n e I veces lo q u e le q u e d a a J u a n . ¿ C u á n to tie n e cada uno? 4. H ace 10 anos la edad d e A era d o b le q u e la «le / I ; d e n tr o d e 10 año» la eda d de B será los j
d c la de A . H a J la i las edades actuales.
5. H ace ti años la edad d e A era d o b le q u e la de B ; d e n tr o d e 6 años será los - r de la « d a d d e B. l l a l l a t las edades actuales. fi.
L a e d a d tic A hace 5 años e ra los -7 d e la de B ; d e n tr o d e l ( j años la
e d a d «le H será los — de la de A . H a lla r las edades actuales. t» 7. 1.a edad a c tu a l d e u n h o m b re es los — d e la edad de su esposa, y d e n tro de 4 años la edad de su esposa sera los - - de la suya. H a lla » las edades actuales. 3-
9.
A y I I e m piezan a ju g a r. Si A p ie rd e 25 le m p ira s . B te n d rá ig u a l sum a q u e A , y si H p ie id o 3:1 le m p ira s , lo q u e
le qm rda
te n d rá e n lo m e s
a
A . ¿C on c u á n to rm p e /ó
10.
ju g a r cada
U n p a d re le dice a su h ijo : H ace í; años tu edad c ía tle ¡I años sera los j .
es los — de lo q u e uno? r
«lela m ía : d e n tro
H a lla r am bas edades actuales.
P e d io le « lite a |u a n : .Si m e das lá ets. te n d ré 5 veces lo «pie tú , y [u a n le d ic e a P e d io : Si tú m e «las 20 ets. te n d ré :t veces lo tu te n i. a C iiá u io tie n e cada uno?
P R O B L E M A S S O B R E E C U A C IO N E S S IM U L T A N E A S
•
365
11. A 1c dice a II: Dame la mitad de lo que tienes, y 00 cts. más. y tendré •1 veces lo que tú, y li le contesto: Dame 80 ris. y tendré $3.10 más que tú. ¿fJtiánto tiene cada uno? 12. Hace G años la edad de Enrique cía los de la edad de su hermana, y dentro de 0 años, cuatro veces la edad de Enrique será á veces la edad de su hermana. H allar las edades actuales. 328) U n bote que navega por un río recorre 16 kilómetros en 1* hot.n a favor de Í3 corriente y 12 kilómetros en 2 horas contra la corriente. H a lla r Ja velocidad del bote en agua tranquila y la velocidad del río. Sea
Entonces
x — la velocidad, en Km por hora, del bote en agua tranquila, y —la velocidad, en Km por hora, del lio . x • y — velocidad del bote a favor de la corriente, x —y = velocidad del bote contra la corriente.
E l tiempo es igual al espacio partido por la velo cidad; luego, el tiempo empleado en recorrer lo* 1.1 Km a favor de la corriente, 11 horas, es igual al espacio recorrido, 16 Km , dividido entre la velocidad del bote, .v -l y, o sen:
1•r> _ x +y
El tiempo empleado en recorrer los 12 Km contra la corriente, 2 horas, es igual al espacio recorrido, 12 Km , dividido e n ü c la velocidad del bote, x — y, n sea: ___________________________ ____________ —
Reuniendo (1) y (2), tenemos el sistema:
x+y 12
x-y
^
12
x —y
= n
—
2.
Resolviendo se halla x = 8, > = 2; luego, la ve ’ocidnd del bote en agua ii.tnquila es 8 K m por hora, y la velocidad del rio, 2 Km por hora. U. m-
E JE R C IC IO
201
1. Un hombre rema rio abajo 10 Km en una hora y rio arriba -1 Km en una luna. Hallar la velocidad del hote en agua tranquila y la velocidad del rio. Una tripulación rema 28 Km en EJ horas rio abajo y 2-1 Km en :i horas iio arriba. Hallar la velocidad del bote en agua tranquila y la velocidad «leí rio. Un bote emplea 6 horas cu recorrer 21 Km. rio abajo y cu regresar. Kn recorrer 3 Km rio ahajo emplea el mismo tiemjx) que en recorrer 2 Km rio arriba. Ilall.n el tiempo empleado en ir y el empleado en volver.
3 6 6
®
ALG EBR A
•1. I n.i tripulación emplea 2i hora* cu recorrer M Km rio ahajo y horas en <1 regreso, llalla) la velocidad del bou: en agua 1 ian<|itiiny la velo eitlaU del rio. (j. Una tripulación emplea 0 horas en rccotrcr -10 Km rio abajo y en ream ar. Ku tentar 1 Km rio arriba emplea el mismo tiempo que en temar 2 Km lio abajo. Hallar c! tiempo empleado en ir y en volver, (i. Un bote emplea j huras en recorrer 32 Km río abajo y 12 Km rio arriba. I'.n rema) 4 Km lio abajó c) botero emplea el mismo tiempo que en remai 1 Km lio arriba. Hallar la velocidad del bote en agua tranquila y la del río. (329; 1.a suma de tres números c» 1G0.
l' n cuarto «le la Mima del mayor y
el mediano equivale al menor dism inuido en 9.0. y si a ... de la dife rencia entre el mayor \ el menor se suma el número del medio, el resul tado es f>7. H a lla r los números. Sea
\ — núm ero mayor y— número del medio -= número menor. | v + y .+ 2 = JttV
Según las condiciones riel problema, tenemos el sistema:
'
j
¿ - 20
*
Resolviendo el sistema se halla \ — <12. y —.10. ; = «>. tjue son los nú meros buscados. R. 33U) l a suma «le las tres cifras de un número es 1G. I-a sum a «le la cifra de las centenas y la cifra de las decenas es el triplo de la cifra «le las unidades, y si al núm ero se le resta 99, las cifras se invierten. H allar el número. Sea
v - l a cifra y = la c ifra z = la cilra
de las centenas de las decenas de las unidades.
Según las condiciones, la simia de las tres cifras os 16: luego: .v -r y -I- z - 10.
(1)
1 .i suma de la r ilra «le las centenas x con la cifra de las decenas y es el triplo de la cifra de las unidades z: luego. "
,,ú ,,,e r ?
Si
restamos 99 a) numero, las ciñ a s se invierten: lu e g o .---------------------------- f '
io o * + io v + s - w
x + y = 'áz.
m
^
io y + x .
p f'.o e u M A S s o b u e e c u a c i ó n »
R e u n ie n d o (1 ), (2 ) y (3), te n e m o s c l s is te m a : ¡ ^
+ ^
s im iiit a n f a s
+
•
367
, v
R e s o lv ie n d o e l sis te m a se h a lla x = 5, y = 7, 2 — •!, lu e g o , e l n ú m e iu b u s c a d o es 574.
E JE R C IC IO
R.
202
1. L a su m a de tres n úm eros es 37. El m e n o r
d is m in u irlo e n 1 e q u iv a le .1 1
de la sum a d e l m a yo r y c l m e d ia n o ; la d iic ic n c ia e n tró el m e d ia n o y el m e n o r e q u iv a le a i m a y o r d is m in u id o e n 13- H a lla r los núm eros. 2. 5 k ilo s ele azúcar, 3 «le ta le y I d e Irijo le s cuestan 4 d e a rú c a i, ó «le calé y 3 de Ir ijo le s cuestan $1.45: 2 «le acucar, 1 d e c a lé y 2 de fr ijo le s cuestan 4<¡ cts. H a lla » e l p re c io d e u n k ilo d e cada m ercancía I
La sum a de las tres c ilra s d e u n n ú m e ro
es 15. L a sum a «le la C ilra d<
las «1 m enas «m i la c ifra d e las decenas es los
d e la c ilra d e las unidades,
y si a l nÚRit io se le resta íl!>. las c ifra s se in v ie rte n . H a lla r el n ú m e ro . La sum a de tres núm eros es J27 ‘
«leí n ii-ili.in o y ^
Si a la m ita d «leí m e n o r se a fta d r
del m a y o r, la sim ia
es ;j'J y e l m a y o r
excede e n
1 la m ita d «le la sum a d e l m e d ia n o y el m e n o r. H a lla r los n iim r io ¡i
L a sum a de las tres c ilra s d e u n n ú m e ro es 6 . Si el n ú m e ro se d iv id e p in la sum a de la « ¡lia «le las centenas y la c ifra «le las deccn.n. r l cociente es 41. y si al n ú m e ro se Je añade IÍI 8 , las c ifra s se in v ie rte n lla lla » el n ú m e ro .
■
La sum a de h » t u s á n g u lo s «le u n tr iá n g u lo es I8 0 11. E l m a yo i e x » «Ir al no m u en 3 5 ° y el m e n o r excede e n 2 0 ' a Ja d ife re n c ia e n tre cl m ayoi y el m e d ia n o . H a lla , los ángulos.
7 H n h o m b re tie n e 1 IIJ a n im a le s e n tre vacas, c a h a lli» y terneros,
1 del
n ú m e ro de vacas más — del n ú m e ro de ca ballos más — ,]c | n ú m e ro de fi r, terneros e q u iv a le n a 13, y la sum a del n ú m e ro d e te rn e ro s co n e l de vacas es fifi {C u á n to s a n im a le s d e cada clase tiene?
1 .a sum a de las tres c ifra s de u n n ú m e ro es 10 . L a sum a d e la c ilra de las centenas y la c ifra de las decenas excede en 4 a la c ifra tic las u n i dades, y la sum a de la c ifra de las centenas y la c ifra d e las unidades excede en 1; a la c ilra d e las decenas. H a lla r c l n ú m e ro .
1 I . i sum a de los tío s á n g u lo s d e u n tr iá n g u lo es 180°. l-a sum a d e l m ayor y el m e d ia n o es 135°, y la sum a del m e d ia n o y c l m e n o r es 110°. H a lla r Jos ángulos. ! 1'
E n tre A , lt y f. tie n e n MU li o ii vares. C. tie n e la m ita d d e lo q u e tie n e .1. y A bs. 10 más q u e Vi. {C u á n to tie n e cada uno?
1 1 s i I le da S i a am bos tie n e n lo m is m o ; si I I tu v ie ra S l m enos, te u d riu lo m is m o «pie y si A tu v ie ra 55 más, te m h la ta n to c o m o cl d o b le de lo q u e tie n e C . {C u á n to tie n e cada uno?
368
•
AicrotiA
12. D e te rm in a r u n n ú m e ro e n u e 301) y -100 s a b ie n d o q u e la su m a de su* d ir a s es 6 y q u e le íd o :tl revés es ^ ) 3 . Si A le da a l i
d e l n ú m e ro p r im itiv o .
quetzales, am bos tie n e n lo m is m o . Si t í le d a a C L q u e u a l,
am b os tie n e n lo m is m o . S i A tie n e los
d e lo q u e tie n e C , ¿cuánto tie n e
cada uno? 14. H a lla r
n n n ú m e ro m a y o r q u e <100
y m e n o r q u e 500 sa b ie n d o
q u e sus
c ifra s su m a n 0 y q u e le íd o a l reves es ^ d e l n ú m e ro p r im itiv o . 15. Si a l d o b le d e la edad d e C a u m e n ta d a cu '.V¿ años. tle la tle C , v ; o b tie n e la sum a tle las edades de A las edades respectivas.
&■ E JE R C IC IO
A se ........ la edad d e l i . se o b tie n e la edad de S i al te rc io de la edad d e t í se sum a c) d o b le de A a u m e n ta d a en 0 años, y el le r d o d e la y l i es 1 a ñ o m enos q u e la edatl tle C. H a lla r
203
MISCELANEA DE PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN POR ECUACIONES SIMULTANEAS
E l p e rím e tro tle u n c u a rto re c ta n g u la r es 18 m , y
Si un a sala tu v ie ra 1 m e tro mas de la rg o y 1 m . más d e .ancho, e l área sería 2 6 más de Jo q u e es a h o ra , y si tu v ie ra 3 m m enos de la rg o y 2 m más de a m b o , el área sería 1!) n i- m a y o r q u e a h o ra . H a lla r las d im e n sio n e s tle la sala. C o m p ré u n c a rro , u n c a b a llo y sus a rre o s p o r $200. E l c a rro y tos a rre o s co sta ro n $20 más q u e el c a b a llo , y el c a b a llo y los arreos costaron $10 más q u e el carro. ¿ C u á n to costó el ca rro , c u á n to el c a b a llo y c u á n to los á tico s?
5. H a lla r tres n ú m e ro s tales q u e Ja som a del lt> y e l 2*? excede e n 1 $ al te rce ro : la sum a del 1 “ y c i 3 '-1 excede en 78 a l segundo, y la sum a del 2Í> y el 3'-> excede en 102 al 1 ?.
6. I - i su m a tle las dos c ifra s tic u n n ú m e ro es (i, y si a l n ú m e ro se le resta 38, las c ifra s se in v ie rte n . H a lla r el n ú m e ro . U n p á ja ro , v o la n d o a fa v o r d e l v ie n to re c o rre 55 K m e n 1 h o ra , y cu c o n tra del v ie n to 25 K m en 1 h o ra . H a lla r la v e lo c id a d en K m p o r lio ra del p á ja ro cu a ire tr a n q u ilo y d e l v ie n to . 8 . U n h o m b re to m p r ó c ie rto n ú m e ro tic lib ro s . Si h u b ie ra c o m p ra d o 5 lib ro s m ás p o r el m ism o d in e ro , cada lib r o le h a b ría costado $2 menos, y «i h u b ie ra c o m p ra d o 5 lib ro s m e llo s p o r e l m is m o d in e ro , cada lib r o le h a b ría co sta d o $-1 más. ¿C uántos lib ro s c o m p ró y c u á n to pagó p o r cada uno? 7 k ilo s tle calé y 6 de té cuestan $1.80: ¡) k ilo s tle té y 8 tle ta lé cuestan $6.45. ¿ C u á n to cuesta u n k ilo tle ca fé y c u á n to u n k ilo tle té? 7
10. U n c o m e rc ia n te e m p le ó $1010 e n c o m p ra r 50 tra je s tic a $10 y tic a $35. ¿C uántos tra je s tle cada p re c io co m p ró ?
MtO&UMAS S03BC ICUACIONÍI SIMULTANEAS 11.
O 369
Si al numerador de una fracción se resta 1, cl valor de la fracción es ‘ ,
y si al denominador se resta 2. el valor de la fracción es Hallar la fracción. )•>. Dos bolsas tienen 200 soles. Si de la bolsa que tiene más dinero se sacan 15 soles y se ponen en la otra, ambas tendrían lo mismo. ¿Cuánto tiene cada bolsa? 13.
1 !,
los — de lo que costó el caballo. H allar el precio del caballo y del cochr. U n número de dos cilras equivale a (i veces la suma de sus cifras, y m al número se le resta 9, las cifras se invierten. H allar el número. Cierto número de personas alquiló un ómnibus para una excursión. Si hubieran ido 10 jiersonas mas, cada una habría pagado .> bolívarct menos, y si hubieran ido G personas menos, cada una habría pagado ó bolívares más. ¿Cuántas |>eisonas iban en la excursión y cuánto pagó cada una? Entre A y tí tienen 1060 sucres. Si A gasta los -§• de su dinero y tí suyo, ambos tendrían igual suma. ¿Cuánto tiene cada uno?
del
Ayer ganó 610 más que boy. Si lo que ganó hoy es los — de lo que ganó ayer, ¿cuánto gane cada día? Dos números están en ia relación de :i a ñ. Si cada número se disminuye en 10, la relación es de 1 a 2. I billar los números. 1 0 . A le dice a li: Si me das 4 lempiras tendremos lo mismo, y li le conten a: Sí tú me das -1 lempiras tendré -jj- de lo que tú tengas. ¿Cuánto tiene cada uno? Mace 20 años la edad de A era el doble que la de li; dentro de 30 .iú<>‘ i
'
i,
será los ’ de la edad de tí. H allar las edades actuales, Una tripulación emplea 3 horas en remar ||> Km rio abajo y en n gresar. En rentar 2 Km río arriba emplea el mismo tiempo que en rrm.ii 4 Km. río abajo. Hallar la velocidad del bote en agua tranquila y la velocidad del río. j la edad de A excede en 2 años a — de la edad de l i , y cl doble dr ía edad tic li equivale a la edad que tenia A hace 15 años. Hallar las edades actuales. En 5 horas A camina I Km más que tí en 4 horas, y A en 7 horas camina 2 Km más que tí en 6 horas. ¿Cuántos Km anda cada uno en cada hora? I.a diferencia entre la cilra de las unidades y la cifra de las decenas de un número es 4, y si el número se suma con cl número que resulta do invertir sin cifras, la suma es (ÍG. Hallar el número, El perímetro de un rectángulo es 58 m. Si el largo se aumenta en 2 m y el ancho se disminuye en 2 m. el área se disminuye en 4ü m'J. Hallar ias dimensiones del rectángulo. El perímetro de una sala rectangular es 56 m. Si el largo se disminuye c ii 2 m y el ambo te aumenta en 2 m, la sala se hace cuadrada. Hallar las dimensiones de la tala.
0
.IMS LAGRANGE < 1 7 3 6 -1 8 1 3 1 M atem ático en Italia, y d o l« n g rc fran e c t* . A lo» 16 año» m brado profesor d e m ate m á tic a! en la Real de A rtillería de T u rin . Fuu uno de los m is i analistas del sigla X V III. Su m ayor c o n tríb u -
ción al A lgebra o l í c n la m em oria que escribió en 8 c rlm hacia 1 7 6 7 , "S o b re la resolución d e las ccuaeionet n u m érica s". Poro su obra fu n d am en tal fuo ll "M ec án ic a A n alítica". R espetado por la Revolución, fue am igo de B onapartc que lo nom bró Senador.
CAP,mo XXVII ESTUDIO ELEMENTAL DE LA TEORIA COORDINATORIA (33l) L A T EO R IA C O O R D IN A TO R IA estudia Ja ordenación de las cosas o elementos. L a distinta ordenación de las cosas o elementos origina las coordina ciones, permutaciones y combinaciones. (333)
C O O R D IN A C IO N ES O ARREGLOS son los grupos que se pueden ['or inar con varios elementos (leerás, objetos, personas), tomándolos uno a uno, «los a dos, tres a tres, etc., «le modo que dos grupos del mismo n ú mero «lo elementos se diferencien por lo menos en un elemento o, si tie nen los mismos elementos, por el orden en que están colocados. Vam os a lorm ar coordinaciones con las letras ti. b . c, d. La s coordinadas otoñarías de estas cuatro letras son los grupos de una letra que podemos formar con ellas, o sea:
a , I>, c , d,[
L a s coordinaciones binarias se forman escribiendo a la derecha de cada letra todas las demás, una a una, y serán: (Vó»»e q u e lu í grupos 0Í1 y m. se d ilc icm iasi e n ui» d e m e n to |>i» r n el nideis d e l
C 0 0 *(M N A C < 0 N C 4
•
371
La s coordinaciones ternarias se forman escribiendo a la derecha <1«cada binaria, «na a una, todaslas letras que no entren en ella y serán: abe, Une, cab, dub,
abd, bad, ca d , daC,
ach, bea, cba, dba,
acd, bed, cbd, ábe,
adb, bda, eda, d ea ,
ade, bdc, cdb, deb.
(y fc w que leo grupos abe y abd «r diferencian cu un demento: k * grupos abe y bac ic diferencian en el orden).
La s coordinaciones cuaternarias se formarían escribiendo a la derecha de cada ternaria la letra que no entra en ella. F.l sím bolo de las coordinaciones cs A , con un subíndice que indica el número de elementos y un expórtente que indica cuantos elementos en irán en cada grupo (orden de las coordinaciones). Así. en el caso anterior,las coordinaciones m onarias.de a, b , c . r/'st expresan M«; las binarias, *Aa\ las ternarias, */f,: las cuaternarias. ‘A ,. (334) C A L C U L O D EL NUM ERO D E CO O R D IN A CIO N ES DE m ELEM EN TO S TO M A D O S n A n Co n m elementos, tomados de uno en «no, se pueden formar » í coordinaciones monarias; luego,
------------ /*
Para formar las binarias, a la derecha de cada uno de los m eltment"-. ve escriben, uno a uno, los demás m —1 elementos; luego, cada, elemento origina m — 1 coordinaciones binarias y los m elementos darán m { tn - 11 coordinaciones binarias; luego, */fn, = m (m — 1), ®
sA m = * / l a(»n — 1 ),
porque m = l A Para formar las ternarias i la derecha de cada binaria escribimos, uno a uno, los tu 2 elementos que no entran en ella, luego, cada binaria produce tu — 2 ternarias y tendremos: ^
.^
Para formar las cuaternarias, a la derecha de cada ternaria, escribimos, uno a uno. los >«—3 elementos que no entran en ella: luego, cada ternaria produce :i cuaternarias y tendremos:-------------------------- ■ --------- /
j
\ •!„(»«
•Am= m sA n, = ' A „ { v i - 1 )
Continuando el procedimiento, obtendríamos la serie de fórmulas:
*A m— ~ A ,J m — 2) *A m- :' A J v i — 3) "A,,, —"~l A „ (m
ni
M + 1).
M ultiplicando m iem bro a m iem bro estas igualdades y suprim iendo los (actores com unes a los dos miembros, se tiene: ■A,. - m(m - l) (m - 2 )
372 •
ALCIBKA ( 1 ) ¿Cuántos números distintos, de 4 cifras se pueden fo r mar cor. los números 1, 2, 3, 4. 5. 6, 7, 8 y 9*
Ejem plos
Aplicamos la fórmula <11. Aquí m ~ 9, n = 4. M , = 9 X 8 X . . . X l 9 - 4 + 1 ) = 9 X 8 X 7 X á = 3024.
R.
iZ ) ¿Cuántas señóles distintas pueden hacerse ccn 7 handeras izando 3 de coda vez? Los señales pueden ser distintas per diferenciarse uno de otra en uno o más banderas o por el orden en que se izon los banderas. Aplicamos la fórmula ( 1 ) . Aquí m — 7, n = 3. Tendremos: 3A 7 = 7 X . . . . X (7 - 3 - I - 1 ) ~ 7 X 6 X 5 = 210 señales. R.
Í3 3 S Si se establece la condición de que cierto núm ero de elementos tienen — que ocupar lugares lijos en los grupos que se formen, al aplicar la fórmula, m y n se dism inuyen en el núm ero de elementos lijos. Por ejemplo: Con 10 jugadores de basket, ¿de cuántos modos se puede disponer el team de 5 jugadores si los dos fonvards han de ser siempre los mismos? A q u í hay dos jugadores que ocupan lugares l ijos: »i ~ 10 y n —ñ, pero tenemos que d ism in u ir m y n en 2 porque habiendo 2 jugadores fijos en dos posiciones, quedan 8 jugadores para ocupar las 3 posiciones que que dan; luego, los arreglos de 3 que podemos formar con ios 8 jugadores son: = 8 X 7 X 6 = 336 modos.
R.
33
a b y na. —
—
l.as permutaciones de las letras a , b y c se obtienen formando las per mutaciones de a y b , que son a b y ba , y haciendo que la c ocupe todos los lugares (detrás, en el medio, delante) en cada una de ellas y serán: abe,
Itc b ,
cab,
bac,
bea,
cb a .
L a s permutaciones de a , b , c y d se obtienen haciendo que en cada una de las anteriores la d ocupe todos los lugares y asi sucesivamente. 337 J
CALC ULO DE m
D E L N U M E R O DE P E R M U T A C IO N E S
ELEM EN TO S
La s permutaciones son un caso particular de las coordinaciones: el caso en que todos los elementos entran en cada, grupo. Por tanto, la fór-
riKMurAcioMfí
#373
ínula del núm ero de permutaciones d e .w elementos, P „, se obtiene de la fórm ula que nos da el núm ero de coordinaciones nA „ - m ( m - l)(m — 2 ). . , , . (m — » + 1 ) haciendo m = w .
Si hacemos m = n el factor m —« + 1 = 1, y quedará:
P„
=
o sea,
-
1 )
1X 2 X
( m
X .
-
2
)
X
I ,
.. x m - m
L a expresión m ! se llama una factorial e indica el producto de los números enteros consecutivos de 1 a m . Por tanto. < 11
P„
m!
/*
¿De cuántos modos pueden colocarse en un cstonte 1 libros? En cada o rrcg lo quo se bago han de entrar los 5 libros, luego aplicando la fórmula ( 2 ) tenemos:
p6 = 5 ! = l X 2 X 3 X 4 X 5 = 1 2 0 modos. R. I
) ¿De cuántos modos pueden sentarse 6 personas a un mismo lodo do uno mesa'1 Pu — ál — 750 modas.
R.
Si se establece la condición de que determinado? elementos han de ocupar lugares fijos, el núm ero total de permutaciones es el que puede form ar con los demás elementos.
Ejernplo
Con 9 jugadores, ¿de cuántos modos se puede disponer uno novena si el pitchcr y el enreher son siempre los mismoi* H oy dos elementos fijos, quedan 9 — 2 = 7 paro pormulor, luego P; = 71 = 5340 modos. R.
(339) P ER M U T A C IO N ES C IR C U LA R E S C uando m elementos se disponen alrededor de un círculo, el número de permutaciones es {m - l j si se cuenta siem pre en el m ism o sentido i» p artir de un mismo elemento.
Ejemplo
¿De cuántos modos pueden sentarse 6 personas en una meso redonda, conloado e r un solo sentido, a p a rtir do tino do ellos? Po-i = P& = 51 = 120 modos.
(340) C O M B IN A C IO N ES son los grujios que se jiueden form ar con varios elementos tomándolos uno a uno, dos a dos, tres a tres, etc., de modo que dos grujios que tengan el mismo número de elementas se diferencien |Kir lo menos en uu elemento. Vamos a formar combinaciones con las letras a , b , c , ti.
3 7 ^
«
AL CEO RA
L a s c o m b in a c io n e s b in a r ia s se fo r m a n e s c rib ie n d o a la d e re c h a d e cada le tra , u n a a u n a , to d a s las le tra s s ig u ie n te s y s e rá n : ab,
ac, be,
ad, bd, cd.
I.a s c o m b in a c io n e s te r n a ria s se fo r m a n e s c rib ie n d o a la d e re c h a d e ca d a b in a r ia , u n a a u n a , las le tra s q u e s ig u e n a la ú lt im a d e ca d a b in a r ia : s e r á n : -----------
a b e, a b d , acá, bcd.
K n lo s e je m p lo s a n te r io r e s se ve q u e n o h a y d o s g r u p o s q u e te n g a n lo s m is m o s e le m e n to s : lo d o s se d ife r e n c ia n |>or lo m e n o s e n u n e le m e n to .
C A L C U L O D EL N UM ERO DE CO M BIN A C IO N ES DE m ELEM EN TO S TOM ADOS n A n S i e n las c o m b in a c io n e s b in a r ia s a n te r io r e s p e rm u ta m o s lo s e le m e n to s d e c a d a c o m b in a c ió n , o b te n d r e m o s las c o o rd in a c io n e s b in a r ia s ; si e n las c o m b in a c io n e s te r n a ria s a n te r io r e s p e rm u ta m o s lo s e le m e n to s d e cada c o m b in a c ió n , o b te n d r e m o s las c o o rd in a c io n e s te r n a ria s : p e r o a l p e r m u ta r los e le m e n to s d e ca d a c o m b in a c ió n , e l n ú m e r o d e g r u p o s (c o o r d in a c io n e s ) q u e se o b tie n e es ig u a l a l p r o d u c to d e l n ú m e r o d e c o m b in a c io n e s p o r e l n ú m e r o d e p e rm u ta c io n e s d e lo s e le m e n to s d e ca d a c o m b in a c ió n . P o r ta n to , d e s ig n a n d o p o r " C „ las c o m b in a c io n e s d e m cosas to m a d a s , n a t i , p o r I \ las p e rm u ta c io n e s q u e se p u e d e n fo r m a r c o n lo s tr e le m e n to s d e ca d a g r u p o y p o r *A „, las c o o rd in a c io n e s q u e se o b tie n e n a l p e r m u ta r los >/ e le m e n to s d e ca d a g r u p o , te n d re m o s : ■C . X P . = -/< ..• .
(3)
* n
lo q u e d ic e q u e e l n ú m e r o d e c o m b in a c io n e s ele ru e le m e n to s to m a d o s ■'» a n es ig u a l a l n ú m e r o d e c o o rd in a c io n e s d e lo s m e le m e n to s to m a d o s n a n d i v i d i d o e n tr e e l n ú m e r o d e p e r m u ta c io n e s d e lo s n e le m e n to s d e cada g r u p o .
Ejem plos
( i I Entro 7 personas, jd c cuántos modos puede (ointor.se un comité de ¿ peí iones? Aplicomos lu fórmula 1 3 ) .
A qui m = 7, n — 4. 'A l 7X 6 X ...(7 -4 + 1 1 X - = — - = ------------------s--------------41 (2 )
7 y. 6 X 5 X 4 — ----------------I X 2X 3X A
= 35
En un examen se ponen 8 temas para que el alumno escoja 5. lecciones puede hacer cl alumno?
8 X 7 > . . . . . . X ( B — 5 d -1 1
8 X 7 X ¿X SX 4
modos.
R.
¿Cuántas se D
M IS C E L A N IA
E JE R C IC IO
•
375
204
1-
¿C uántos n ú m e ro s d is tin to s tle 3 d it a s se p u e d e n m eros 4, 5. 6 , .7, 8 y 9?
fo rm a r con los n ú
2-
C o n ó jug a d o re s, ¿de cu á n to s m odos se p u e d e d is p o n e r u n u-.un d e basket de 5 hom bres?
3-
C o n 7 personas, ¿cuántos co m ité s d is tin to s tle 5 personas p u e d e n (orinarse? E n tre la G u a ira y L iv e ijio n l h a y <» barcos h a c ie n d o los viajes. ¿De c u á n tos m odos p u e d e ha ce r el v ia je de id a y v u e lta u n a persona si e l via je tle v u e lta debe h a c e rlo en u n b a rc o d is tin to al d e ida?
b-
¿De cuá nto s m odos p u e d e n sentarse 3 |«eisonas e n 5 sillas? D e ti? lib ra s , ¿cuántas selecciones tle 5 lib ro s puede» hacerse?
7-
¿De cu ánto s m odos p u e d e n disponerse las le tra s tic la p a la b ra E cuador, e n tra n d o todas en cada g ru p o ? ¿C uántas selecciones tle -I le tra s [rueden hacerse con las le tra s tic la p a la b ra A l f r e d o
9.
Se tie n e u n lib r o d e A ritm é tic a , u n o do A lg e b ra , u n o d e G e o m e tría , m ío de Física y u n o tle Q u ím ic a . ¿De cu á n to s m odos p u e d e n dis|x>neiMe n u n estante si e l d e G e o m e tría sie m p re está en el medio?
6 c ifra s pueden lo rm a rs c co n
10-
¿C uá ntos n ú m e ro s d is tin to s d e m eros 1. 2, 3, 4, 5 y (i?
los
mi
;l-
¿De cuánto s m odos p u e d e n disponerse en u n a Id a u n sargento y ti sol dados si e l s a rg e n to s ie m p re es e l p rim e ro ? , ¿si el sargento n o ocupa lugar fijo ?
> • ¿De cu á n to s m odos p u e d e n sentarse u n padre, su esposa y sus c u tid o h ijo s e n u n banco?, ¿en u n a mesa re d o n d a , to m a n d o s ie m p re a part i r del padre? ¿C uántas señales d is tin ta s p u e d e n bacetse con 9 banderas, iz a n d o 3 d< cada ver? '
¿C uántos n ú m e ro s, m ayores q u e 2000 y m enores q u e 3000, se pueden fo r m a r co n los núm eros 2. 3. ó y fi?
1 - ¿C uántas selecciones de 3 m onedas pueden hacerse con u n a p ic ra de 5 centavos, u r a d e 10, u n a d e
2o.
, u n a de 40 y u n a de a peso?
10- ¿De cu ánto s m odos p u e d e disponerse u n a tr ip u la c ió n d e 5 h o m b re s el tim o n e l y e l s tro k e son s ie m p re los mismos? H a y 7 h o m b re s p a ra el stro ke son s ie m p re la trip u la c ió n ?
m
fo r m a r u n a tr ip u la c ió n d e 5, p e ro eltim o n e l y los m ism os. ¿De cu á n to s m odos 86 puede d isponer
¿De cu á n to s nrodtxs p u e d e n disponerse 11 m u chachos p a ra fo r m a r una rueda? ::i
D e e n tr e
20
¿C uántos n úm eros de 5 c ifra s q u e e m p iecen p o r 1 y acaben p o i pu e d e n fo r m a r to n los n ú m e ro s 1, 2. 3, 4, 5, (i. 7, 8?
y c a n d id a to s, ¿cuántas te rn a s se pueden escoge»?
8 se
C o n 5 consonantes y tres Tócales, ¿cuántas p alabras d is tin ta s tle 8 letras pu e d e n fo rin .m c ? , ¿cuántas, si las vocales son fijas? ¿De cuántos m odos te puede d is p o n e r u n team tle basket tle con I» juga d o re s si el c e n tre es fijo ?
> h o m b tc t
D MONGE (1 7 4 6 -1 S I 8 ) M atem ático f n n M inistro d o M a rin a d e la Revolución. D entro ¿tem ática» cultivó m uy eip e cia lm e n to la G coInventó I* G eom etría D ercríptiva, ba»e de lo» de m ecánica y d e lo» procedim iento» gráfico»
p i n b ejecución i * i a obra» de ingnnioiii. f u e cl prim ero en u tiliia r p s r « d s elem ento» imaginario» p ira lim b o lix ir relacione» « p a cíate » realci Su toorla dn la sup erficie, p erm ito l« ío tu d ó n de la» eeuacione» difcrenci»le». A plicó su ciencia a problema» marítimo*.
CAPITULO
XXVIII
POTENCIACION 1342) P O T EN C IA de una expresión algebraica es la misma expresión o el resultado de tomarla como factor dos o más veces. 1.a prim era potencia de una expresión es la misma expresión. A si = 2fl. L a segunda potencia o cuadrado do una expresión es el resultado de tomarla como factor dos veces. Asi. (2a)a = 2a X 2a = 4a". Kl cubo de una expresión es cl resultado de tomarla tom o factor tres veces. A sí, (2a)* = 2a x 2u x 2a — >1 veces.
E n general, {2 a )'' = 2a X "2a x 2a
343) SIGN O D E LA S PO TEN CIA S C u a lq u ie r potencia de una cantidad positiva evidentemente es positi va. porque equivale a un producco en que todos los factores son positivos. E n cuanto a las potencias de una cantidad negativa, ya se vio (85) que: 1 )T o d a potencia par de una cantidad negativa es positiva. 2 ) T o d a potencia im p.11 de una cantidad negativa es negativa. Así,
{— 2»)* = (— 2 a )X (— 2a) = 4á* ( - 2a)* = ( - 2a) x ( - 2a) x ( - 2a) = - fia:i ( 2a)* = ( - 2a) X ( - 2a) X ( - 2a) X ( - 2«) = lGa*. etc. 3 7 6
POTENCIACION
•
377
@ ) P O T EN C IA DE UN M O NOM IO Para elevar u n monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se m ultiplica el exponente de cada letra por el exponentc que indica la potencia. S i e l monomio es negativo, el signo de la potencia es + cuando el exponentc es par, y es - cuando el exponentc es im par. . Cr
I
1
( 1 1 Desarrollar ( 3al>*/ o
jem plos
(30b V ' = 3®.o,K* b M = 27o36 \
R.
En d octo; { 3ab2) = 3ab 2 X 3ob* X 3ob 2 = 27o eb°. 121 Dcsorrollor |— 3o:b *Jl - 3cr b 3) ■ - 3 2 .a 2' 2. b‘ ,s = 9o^b*
R.
Cn ofcclo: I - 3u 2ba |2 = ( — 3cr>b* J X | — 3o*bl 1 = 9 o ’ b n.
R.
( 3 ) Desarrollar I — 5x*y* r ( - 5r 'y * I ' = - 125JCV*. (4 )
Desabollar
R.
( — — - ) V 3y¡ >
Cuando el monomio es una tracción, poro d c v o rlo a una potencia CUal<|Uiom, se elevo SO numerador y su denominador o eso potencio. Asi, cn cjti> rom , tenemos; (
2x y _ 3r
(5 ) Desarrollar
'
E J E R C IC IO
81 y » '
■
| — — u 'b '1 )
( - - o 3b « ) V 3 / »
1 ¿*«
V xr
~ 13y-1*
= - - - o ‘ »b*>. 243
R.
205
D e s a rro lla r:
1 . (4a*)*. 2 . ( — 5a)3. 3.
(3 xy)*.
4
(— (3d*6)*
5.
0.
( — 2 x ay, ) a. (4 a 2ít» d )3.
7.
(_Gx«j,5)J.
8 . ( — 7fl/»*c*)*.
9. (a n b*)*. JO. ( - 2 x *y ‘ i°)«. 1 1 . ( - 3 n i* n ) * . 1 2 . (a *5 "c)“ . 13. ( — Ml*tJX3)4. 14. ( — 3a 2b )4. 15. (7 x V * T v , O 10. ( ~ 5 ) -