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Ejercicios Resueltos

Ejercicios Resueltos Baldor - Algebra Básica Relación por temas de los ejercicios resueltos de álgebra elemental Ejercicios sobre cantidades positivas y negativas: Nomenclatura algebraica: Clasificación de las expresiones algebraicas: Clases de polinomios: Reducción de términos semejantes: Valor numérico: Ejercicios sobre notación algebraica: Suma de monomios: Suma de polinomios: Suma de polinomios y valor numérico: Resta de monomios: Resta de polinomios: Suma y resta combinadas: Signos de agrupación: Multiplicación de monomios: Multiplicación de polinomios por monomios: Multiplicación de polinomios por polinomios: División de monomios: División de polinomios por monomios: División de dos polinomios: Valor numérico de expresiones algebraicas: Miscelánea sobre suma, resta, multiplicación y división: Productos notables: Miscelánea sobre productos notables: Cocientes notables: Miscelánea sobre cocientes notables: Teorema del residuo: División sintética: Corolarios del teorema del residuo: Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita: Miscelánea sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita: Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita: Miscelánea sobre problemas de ecuaciones enteras de primer grado ...: Descomposición factorial: Miscelánea sobre los 10 casos de descomposición en factores: Máximo común divisor de monomios: Máximo común divisor de polinomios: Mínimo común múltiplo de monomios: Mínimo común múltiplo de monomios y polinomios: Mínimo común múltiplo de polinomios: Simplificación y reducción de fracciones: Suma de fracciones: Resta de fracciones: Suma y resta combinada de fracciones: Multiplicación de fracciones: División de fracciones: Multiplicación y división combinadas de fracciones: Simplificación de fracciones complejas: Formas indeterminadas: Miscelánea sobre fracciones: Ecuaciones numéricas fraccionarias de primer grado con una incógnita: Ecuaciones literales de primer grado con una incógnita: Problemas sobre ecuaciones fraccionarias de primer grado: Miscelánea sobre problemas de ecuaciones de primer grado: Problema de los móviles: Fórmulas: Desigualdades e inecuaciones: Funciones: Representación gráfica de las funciones: Aplicaciones prácticas de las gráficas: Ecuaciones indeterminadas: Problemas sobre ecuaciones indeterminadas:

1, 2 y 3 4 5 6 7, 8, 9 y 10 11, 12 y 13 14 15 16, 17 y 18 19 20 21, 22, 23, 24, 25 y 26 27, 28, 29 y 30 31, 32, 33 y 34 35, 36, 37, 38 39 y 40 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47 y 48 49, 50 y 51 52 y 53 54, 55, 56, 57, 58 y 59 60 61 62, 63, 64, 65, 66 y 67 68 69, 70, 71 y 72 73 74 75 76 y 77 78, 79 y 80 81 82, 83, 84, 85, 86, 87 88 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109 y 110 106 111 112, 113 y 114 115 116 117 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124 y 125 126 y 127 128 y 129 130 y 131 132 y 133 134 y 135 136 137 y 138 139 140 141 y 142 143 y 144 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156 y 157 158 159 160, 161, 162 y 163 164 y 165 166 y 167 168, 169 y 170 171 y 172 173 174

Representación gráfica de una ecuación lineal: Sistemas de dos ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas:

175 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184 y 185 Sistemas de tres ecuaciones simultáneas de primer grado con tres incógnitas: 186, 187, 188 y 191 Coordenadas cartesianas de un punto en el espacio: 189 y 191 Representación gráfica de una ecuación de primer grado con tres variables: 190 Sistemas de cuatro ecuaciones simultáneas - primer grado con cuatro incógnitas 192 Problemas que se resuelven por ecuaciones simultáneas: 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201 y 202 Miscelánea de problemas que se resuelven por ecuaciones simultáneas: 203 Calculo del número de combinaciones de m elementos tomados n a n: 204 Potencia de un monomio: 205 Cuadrado de un binomio: 206 Cubo de un binomio: 207 Cuadrado de un polinomio: 208 Cubo de un polinomio: 209 Binomio de Newton: 210 Triángulo de Pascal: 211 Término general: 212 Raíz de un monomio: 213 Raíz cuadrada de polinomios: 214, 215, 229 y 230 Raíz cúbica de polinomios: 216 y 217 Teoría de los exponentes: 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227 y 228 Simplificación de radicales: 231, 232 y 233 Introducción de cantidades bajo el signo radical: 234 Reducción de radicales al mínimo común índice: 235 y 236 Reducción de radicales semejantes: 237 Suma y resta de radicales: 238 y 239 Multiplicación de radicales: 240, 241 y 242 División de radicales: 243, 244, 245 y 250 Radicación de radicales: 246 Racionalización (expresiones conjugadas): 247, 248 y 249 Resolución de ecuaciones con radicales: 251 y 252 Simplificación de imaginarias puras: 253 Suma y resta de imaginarias puras: 254 Multiplicación de imaginarias puras: 255 División de imaginarias puras: 256 Suma de cantidades complejas: 257 y 258 Diferencia de cantidades complejas: 259 y 260 Productos de cantidades complejas: 261 y 262 División de expresiones complejas: 263 Representación gráfica de las cantidades complejas: 264 Resolución de ecuaciones de segundo grado: 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271 y 272 Ecuaciones con radicales que se reducen a segundo grado: 273 Representación y solución gráfica de ecuaciones de segundo grado: 274 Problemas que se resuelven por ecuaciones de segundo grado: 275 Carácter de las raíces de la ecuación de segundo grado: 276 y 277 Dadas las raíces de una ecuación de segundo grado, determinar la ecuación: 278 Dada la suma y el producto de dos números, hallar el número: 279 Descomponer un trinomio en factores hallando las raíces: 280 Representación gráfica de las variaciones del trinomio de segundo grado: 281 Resolución de ecuaciones binomias: 282 Resolución de ecuaciones trinomias: 283 y 284 Transformación de radicales dobles: 285 Progresiones aritméticas: 286, 287, 288, 289 y 290 Progresiones geométricas: 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297 y 302 Logaritmos: 298, 299, 300 y 301 Interés compuesto: 303, 304 y 305

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Ejercicios Resueltos A continuación se da la lista completa de los Ejercicios del Álgebra de Baldor:

EJERCICIO 1

1 Cantidades positivas y negativas 1. Pedro debía 60 bolívares y recibió 320. Expresar su estado económico. Solución: Nota: cuando totalizamos dos cantidades con distinto signo, hallamos la diferencia entre las cantidades y el resultado lo expresamos con el signo de la cantidad de mayor valor absoluto.

Respuesta: el estado económico de Pedro es de + 260 bolívares.

2. Un hombre que tenía 1 170 sucres hizo una compra por valor de 1 515. Expresar su estado económico. Solución: Nota: cuando totalizamos dos cantidades con distinto signo, hallamos la diferencia entre las cantidades y el resultado lo expresamos con el signo de la cantidad de mayor valor absoluto.

Respuesta: el estado económico del hombre es de - 345 sucres.

3. Tenía $200. Cobre $56 y pagué deudas por $189. ¿Cuánto tengo? Solución:

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Ejercicios Resueltos Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y los de las negativas y, luego, calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los subtotales) de mayor valor absoluto.

Respuesta: Ud. tiene + $67. 4. Compro ropas por valor de 665 soles y alimentos por 1 178. Si después recibo 2 280. ¿Cuál es mi estado económico? Solución: Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y los de las negativas y, luego, calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los subtotales) de mayor valor absoluto.

Respuesta: su estado económico es de + 437 soles. 5. Tenía $20. Pagué $15 que debía, después cobré $40 y luego hice gastos por $75. ¿Cuánto tengo? Solución: Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y de las negativas y, luego, calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los subtotales) de mayor valor absoluto.

Respuesta: Ud. tiene - $30. 6. Enrique hace una compra por $67; después recibe $72; luego hace otra compra por $16 y después recibe $2. Expresar su estado económico. Solución:

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Ejercicios Resueltos Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y los de las negativas y, luego, calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los subtotales) de mayor valor absoluto.

Respuesta: El estado económico de Enrique es de - $9. 7. Después de recibir 200 colones hago tres gastos por 78, 81 y 93. Recibo entonces 41 y luego hago un nuevo gasto por 59. ¿Cuánto tengo? Solución: Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y los de las negativas y, luego, calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los subtotales) de mayor valor absoluto.

Respuesta: Ud. tiene - 70 colones. 8. Pedro tenía tres deudas de $45, $66 y $79 respectivamente. Entonces recibe $ 200 y hace un gasto de $10. ¿Cuánto tiene? Solución: Nota: cuando los subtotales de las cantidades positivas y el de las negativas son iguales, el total es cero.

Respuesta: Pedro tiene 0 pesos.

EJERCICIO 2 1. A las 9 a.m. el termómetro marca + 12° y de esta hora a las 8 p.m. ha bajado 15°. Expresar la temperatura a las 8 p.m. Solución: Como la temperatura ha bajado 15°, se debe restar 15° de +12° : +12 - 15 = - 3.

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Respuesta: A las 8 p.m., la temperatura es de -3°.

2. A las 6 a.m. el termómetro marca -3°. A las 10 a.m. la temperatura es 8° más alta y desde esta hora hasta las 9 p.m. ha bajado 6°. Expresar la temperatura a las 9 p.m. Solución: De las 6 a.m. a las 10 a.m., la temperatura sube 8° a partir de -3°, y - 3 + 8 = +5 De las 10 a.m. a las 9 p.m., la temperatura baja 6° a partir de +5°; y + 5 - 6 = -1 Respuesta: A las 9 p.m. la temperatura es de -1°.

3. A la 1 p.m. el termómetro marca +15° y a las 10 p.m. marca -3°. ¿Cuántos grados ha bajado la temperatura? Solución: Calculamos la diferencia entre las temperaturas, en valor absoluto (la temperatura final menos la inicial) : |-3 - 15| = |-18| = 18 Respuesta: la temperatura ha bajado un total de 18°.

4. A las 3 a.m. el termómetro marca -8° y al mediodía +5°. ¿Cuántos grados ha subido la temperatura? Solución: Calculamos la diferencia entre las temperaturas, en valor absoluto (la temperatura final menos la inicial) : |+5 - (-8)| = |5 + 8| = |13| = 13 Respuesta: la temperatura ha subido un total de 13°.

5. A las 8 a.m. el termómetro marca -4°; a las 9 a.m. ha subido 7°; a las 4 p.m. ha subido 2° más y a las 11 p.m. ha bajado 11°. Expresar la temperatura a las 11 p.m. Solución: De las 8 a.m. a las 9 a.m., la temperatura sube 7° a partir de -4°, y - 4 + 7 = +3. De las 9 a.m. a las 4 p.m., la temperatura sube 2° a partir de +3°; y +3 + 2 = +5. De las 4 p.m. a las 11 p.m., la temperatura baja 11° a partir de +5°; y +5 - 11 = -6. Respuesta: A las 11 p.m. la temperatura es de -6°.

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6. A las 6 a.m. el termómetro marca -8°. De las 6 a.m. a las 11 a.m. sube a razón de 4° por hora. Expresar la temperatura a las 7 a.m., a las 8 a.m. y a las 11 a.m. Solución: 7 - 6 = 1 y 4 * 1 = 4 {de las 6 a.m. a las 7 a.m. ha transcurrido una hora} -8 + 4 = -4 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 8-6=2 y 4 *2=8 {de las 6 a.m. a las 8 a.m. han transcurrido dos horas} -8 + 8 = 0 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 11 - 6 = 5 y 4 * 5 = 20 {de las 6 a.m. a las 11 a.m. han transcurrido cinco horas} -8 + 20 = 12 Respuesta: la temperatura a las 7 a.m. es de -4°, a las 8 a.m. de 0° y a las 11 a.m. de 12°.

7. A las 8 a.m. el termómetro marca -1°. De las 8 a.m. a las 11 a.m. baja a razón de 2° por hora y de 11 a.m. a 2 p.m. sube a razón de 3° por hora. Expresar la temperatura a las 10 a.m., a las 11 a.m., a las 12 m. y a las 2 p.m. Solución: Para hallar la temperatura a las 10 a.m. y a las 11 a.m. tomamos la temperatura de las 8 a.m. como la inicial, es decir de -1° 10 - 8 = 2 y (-2) * 2 = -4 {de las 8 a.m. a las 10 a.m. han transcurrido dos horas y en dos horas la temperatura baja 4°} -1 + (-4) = -5 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 11 - 8 = 3 y (-2) * 3 = -6 {de las 8 a.m. a las 11 a.m. han transcurrido tres horas y en tres horas la temperatura baja 6°} -1 + (-6) = -7 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} Para hallar la temperatura a las 12 m. y a las 2 p.m. tomamos la temperatura de las 11 a.m. como la inicial, es decir de -7° 12 - 11 = 1 y 3 * 1 = 3 {de las 11a.m. a las 12 m. ha transcurrido una hora y en una hora la temperatura sube 3°} -7 + 3 = -4 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 14 - 11 = 3 y 3 * 3 = 9 {de las 11a.m. a las 2 p.m. han transcurrido tres horas y en tres horas la temperatura sube 9°} -7 + 9 = 2 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} Respuesta: la temperatura a las 10 a.m. es de -5°, a las 11 a.m. de -7°, a las 12m. de -4° y a las 2 p.m. de +2°.

8. El día 10 de diciembre un barco se halla a 56° al oeste del primer meridiano. Del día 10 al 18 recorre 7° hacia el este. Expresar su longitud este día. Solución: 56 - 7 = 49 {se efectúa la diferencia por ir en sentido opuesto}. Respuesta: el barco se halla, el 18 de diciembre, 49° al oeste del primer meridiano; es decir, a - 49°.

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9. El día primero de febrero la situación de un barco es: 71° de longitud oeste y 15° de latitud sur. Del día primero al 26 ha recorrido 5° hacia el este y su latitud es entonces de 5° más al sur. Expresar su situación el día 26. Solución: Longitud: -71° + 5° = -66° Latitud: -15° + (-5°) = -20° Respuesta: el 26 de febrero el barco se halla 66° al oeste y 20° al sur; o, lo que es lo mismo, su longitud es de -66° y su latitud de -20°. 10. El día 5 de mayo la situación de un viajero es 18° de longitud este y 65° de latitud norte. Del día 5 al 31 ha recorrido 3° hacia el este y se ha acercado 4° al Ecuador. Expresar su situación el día 31. Solución: Longitud: +18° + 3° = +21° Latitud: +65° + (-4°) = +61° {del norte al Ecuador se viaja hacia el sur} Respuesta: el 31 de mayo el barco se halla 21° al este y 61° al norte; o, lo que es lo mismo, su longitud es de +21° y su latitud de +61°. 11. Una ciudad fundada el año 75 A.C. fue destruida 135 años después. Expresar la fecha de su destrucción. Solución: Las fechas A. C. Se expresan con signo negativo y las D.C. con signo positivo; y -75 + 135 = +60. Respuesta: La ciudad fue destruida en el año 60 D.C. ó en el año +60.

EJERCICIO 3 1. A las 9 a.m. el termómetro marca + 12° y de esta hora a las 8 p.m. ha bajado 15°. Expresar la temperatura a las 8 p.m. Solución: Como la temperatura ha bajado 15°, se debe restar 15° de +12° : +12 - 15 = - 3. Respuesta: A las 8 p.m., la temperatura es de -3°. 2. A las 6 a.m. el termómetro marca -3°. A las 10 a.m. la temperatura es 8° más alta y desde esta hora hasta las 9 p.m. ha bajado 6°. Expresar la temperatura a las 9 p.m. Solución: De las 6 a.m. a las 10 a.m., la temperatura sube 8° a partir de -3°, y - 3 + 8 = +5 De las 10 a.m. a las 9 p.m., la temperatura baja 6° a partir de +5°; y + 5 - 6 = -1 Respuesta: A las 9 p.m. la temperatura es de -1°.

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3. A la 1 p.m. el termómetro marca +15° y a las 10 p.m. marca -3°. ¿Cuántos grados ha bajado la temperatura? Solución: Calculamos la diferencia entre las temperaturas, en valor absoluto (la temperatura final menos la inicial) : |-3 - 15| = |-18| = 18 Respuesta: la temperatura ha bajado un total de 18°.

4. A las 3 a.m. el termómetro marca -8° y al mediodía +5°. ¿Cuántos grados ha subido la temperatura? Solución: Calculamos la diferencia entre las temperaturas, en valor absoluto (la temperatura final menos la inicial) : |+5 - (-8)| = |5 + 8| = |13| = 13 Respuesta: la temperatura ha subido un total de 13°. 5. A las 8 a.m. el termómetro marca -4°; a las 9 a.m. ha subido 7°; a las 4 p.m. ha subido 2° más y a las 11 p.m. ha bajado 11°. Expresar la temperatura a las 11 p.m. Solución: De las 8 a.m. a las 9 a.m., la temperatura sube 7° a partir de -4°, y - 4 + 7 = +3. De las 9 a.m. a las 4 p.m., la temperatura sube 2° a partir de +3°; y +3 + 2 = +5. De las 4 p.m. a las 11 p.m., la temperatura baja 11° a partir de +5°; y +5 - 11 = -6. Respuesta: A las 11 p.m. la temperatura es de -6°. 6. A las 6 a.m. el termómetro marca -8°. De las 6 a.m. a las 11 a.m. sube a razón de 4° por hora. Expresar la temperatura a las 7 a.m., a las 8 a.m. y a las 11 a.m. Solución: 7 - 6 = 1 y 4 * 1 = 4 {de las 6 a.m. a las 7 a.m. ha transcurrido una hora} -8 + 4 = -4 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 8-6=2 y 4 *2=8 {de las 6 a.m. a las 8 a.m. han transcurrido dos horas} -8 + 8 = 0 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 11 - 6 = 5 y 4 * 5 = 20 {de las 6 a.m. a las 11 a.m. han transcurrido cinco horas} -8 + 20 = 12 Respuesta: la temperatura a las 7 a.m. es de -4°, a las 8 a.m. de 0° y a las 11 a.m. de 12°.

7. A las 8 a.m. el termómetro marca -1°. De las 8 a.m. a las 11 a.m. baja a razón de 2° por hora y de 11 a.m. a 2 p.m. sube a razón de 3° por hora. Expresar la temperatura a las 10 a.m., a las 11 a.m., a las 12 m. y a las 2 p.m.

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Solución: Para hallar la temperatura a las 10 a.m. y a las 11 a.m. tomamos la temperatura de las 8 a.m. como la inicial, es decir de -1° 10 - 8 = 2 y (-2) * 2 = -4 {de las 8 a.m. a las 10 a.m. han transcurrido dos horas y en dos horas la temperatura baja 4°} -1 + (-4) = -5 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 11 - 8 = 3 y (-2) * 3 = -6 {de las 8 a.m. a las 11 a.m. han transcurrido tres horas y en tres horas la temperatura baja 6°} -1 + (-6) = -7 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento}

Para hallar la temperatura a las 12 m. y a las 2 p.m. tomamos la temperatura de las 11 a.m. como la inicial, es decir de -7° 12 - 11 = 1 y 3 * 1 = 3 {de las 11a.m. a las 12 m. ha transcurrido una hora y en una hora la temperatura sube 3°} -7 + 3 = -4 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 14 - 11 = 3 y 3 * 3 = 9 {de las 11a.m. a las 2 p.m. han transcurrido tres horas y en tres horas la temperatura sube 9°} -7 + 9 = 2 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} Respuesta: la temperatura a las 10 a.m. es de -5°, a las 11 a.m. de -7°, a las 12m. de -4° y a las 2 p.m. de +2°. 8. El día 10 de diciembre un barco se halla a 56° al oeste del primer meridiano. Del día 10 al 18 recorre 7° hacia el este. Expresar su longitud este día. Solución: 56 - 7 = 49 {se efectúa la diferencia por ir en sentido opuesto}. Respuesta: el barco se halla, el 18 de diciembre, 49° al oeste del primer meridiano; es decir, a - 49°. 9. El día primero de febrero la situación de un barco es: 71° de longitud oeste y 15° de latitud sur. Del día primero al 26 ha recorrido 5° hacia el este y su latitud es entonces de 5° más al sur. Expresar su situación el día 26. Solución: Longitud: -71° + 5° = -66° Latitud: -15° + (-5°) = -20° Respuesta: el 26 de febrero el barco se halla 66° al oeste y 20° al sur; o, lo que es lo mismo, su longitud es de -66° y su latitud de -20°. 10. El día 5 de mayo la situación de un viajero es 18° de longitud este y 65° de latitud norte. Del día 5 al 31 ha recorrido 3° hacia el este y se ha acercado 4° al Ecuador. Expresar su situación el día 31. Solución: Longitud: +18° + 3° = +21° Latitud: +65° + (-4°) = +61° {del norte al Ecuador se viaja hacia el sur} Respuesta: el 31 de mayo el barco se halla 21° al este y 61° al norte; o, lo que es lo mismo, su longitud es de +21° y su latitud de +61°. 11. Una ciudad fundada el año 75 A.C. fue destruida 135 años después. Expresar la fecha de su destrucción.

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Solución: Las fechas A. C. Se expresan con signo negativo y las D.C. con signo positivo; y -75 + 135 = +60. Respuesta: La ciudad fue destruida en el año 60 D.C. ó en el año +60.

EJERCICIO 4 Nomenclatura algebraica

Sugerencia: lea cuidadosamente, en el álgebra de Baldor, las páginas 13 a 15.

1. Dígase qué clase de términos son los siguientes atendiendo al signo, a si tienen o no denominador y a si tienen o no radical: Solución:

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2. Dígase el grado absoluto de los términos seguientes: Solución:

3. Dígase el grado de los términos siguientes respecto de cada uno de sus factores literales: Solución:

4. De los términos siguientes escoger cuatro que sean homogéneos y tre hetereogéneos Solución:

5. Escribir tres términos enteros; dos fraccionarios; dos positivos, enteros y racionales; tres negativos, fraccionarios e irracionales

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Solución:

6. Escribir un término de cada uno de los grados absolutos siguientes: tercer grado, quinto grado, undécimo grado, décimo quinto grado, vigésimo grado Solución:

7. Escribir un término de dos factores literales que sea de cuarto grado con relación a la x; otro de cuatro factores literales que sea de séptimo grado con relación a la y; otro de cinco factores literales que sea de décimo grado con relación a la b Solución:

EJERCICIO 5 Clasificación de las expresiones algebraicas Sugerencia: lea juiciosamente, en el álgebra de Baldor, las páginas 16 y 17

Biblioteca Virtual 1. Dígase el grado absoluto de los siguientes polinomios:

2. Dígase el grado de los siguientes polinomios con relación a cada una de sus letras


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Ejercicios Resueltos EJERCICIO 6

6 Clases de polinomios Sugerencia: lea cuidadosamente, en el álgebra de Baldor, las páginas 15, 16, 17 y 18. 1. Atendiendo a si tienen o no denominador literal y a si tienen o no radical, dígase qué clase son los polinomios siguientes:

2. Escribir unn polinomio de tercer grado absoluto; de quinto grado absoluto; de octavo grado absoluto; de décimo quinto grado absoluto. Definición: "El grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado absoluto".

3. Escribir un trinomio de segundo grado respecto de la x; un polinomio de quinto grado respecto de la a; un polinomio de noveno grado respecto de la m.

4. De los siguientes polinomios:

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escoger dos que sean homogéneos y dos hetereogéneos. Solución: Definición 1: "Un polinomio es homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto". Definición 2: "Un polinomio es heterogéneo cuando sus términos no son del mismo grado absoluto". Definición 3: "El grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales". Los polinomios homogéneos serían: a) y e) {en (a) todos los términos son de tercer grado absoluto, y en (e) todos los términos son de quinto grado absoluto}. Los polinomios heterogéneos serían: c) y d).

5. De los siguientes polinomios:

dígase cuáles son completos y respecto de cuáles letras. Solución: El polinomio (a) es completo respecto a la a. El polinomio (c) es completo respecto a la y. El polinomio (e) es completo respecto a la b y a la y.

6. Escribir tres polinomios homogéneos de tercer grado absoluto; cuatro de quinto grado absoluto; dos polinomios completos. Solución:

7. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden descendente:

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Solución:

8. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden ascendente:

Solución:


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7 Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo Sugerencia: lee cuidadosamente, en el Álgebra de Baldor, la página Nro 19. Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente. Procedimiento Para reducir términos semejantes con el mismo signo se suman los coeficientes de todos los términos y se antepone al coeficiente total el mismo signo que comparten, y a continuación se escribe la parte literal.

Reducir: 1. x + 2x. Solución: El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 1 y 2. La parte literal igual en todos los términos es x. Y 1 + 2 = 3; ∴ x + 2x = 3x. 2. 8a + 9a Solución: El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 8 y 9. La parte literal igual en todos los términos es a. Y 8 + 9 = 17; ∴ 8a + 9a = 17a. 3. 11b + 9b Solución: El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 11 y 9. La parte literal igual en todos los términos es b.

Biblioteca Virtual Y ∴

11 + 9 = 20; 11b + 9a = 20b.

4. -b - 5b. Solución: El signo común a todos los términos es el -. Los coeficientes de los términos son 1 y 5. La parte literal igual en todos los términos es b. Y 1 + 5 = 6; ∴ -b - 5b = -6b. 5. -8m - m Solución: El signo común a todos los términos es el -. Los coeficientes de los términos son 8 y 1. La parte literal igual en todos los términos es m. Y 8 + 1 = 9; ∴ -8m - m = -9m. 6. -9m - 7m Solución: El signo común a todos los términos es el -. Los coeficientes de los términos son 9 y 7. La parte literal igual en todos los términos es m. Y 9 + 7 = 16; ∴ -9m - 7m = -16m.


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8 Reducción de dos términos semejantes de distinto signo Procedi miento Para reducir dos términos semejantes de distinto signo, se halla la diferencia entre los coeficientes de los términos, colocando antes de esta diferencia el signo del coeficiente mayor (en valor absoluto) y a continuación se escribe la parte literal.

Nota: dos términos semejantes con igual coeficiente y distinto signo se anulan. Reducir:

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EJERCICIO 9

9 Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos

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Ejercicios Resueltos Procedimiento Para reducir un polinomio con más de dos términos semejantes y con signos distintos, se procede así: 1) Se reducen a un solo término todos los positivos. 2) Se reducen a un solo término todos los negativos. 3) Se calcula la diferencia entre los coeficientes de los términos hallados en los dos pasos anteriores. 4) El signo que precederá la diferencia hallada en el paso anterior será el que tenga el coeficiente mayor en valor absoluto de los términos hallados en los pasos (1) y (2). 5) Por último, se escribe la parte literal.

Reducir:

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10 Reducción de términos semejantes Redución de un polinomio que contenga términos semejantes de diversas clases Procedimiento 1. Se agrupan los términos semejantes de cada clase en un mismo paréntesis 2. Se reducen los términos semejantes 3. Se da la respuesta, ordenando el polinommio resultante Nota: recordemos que los términos semejantes son aquellos que tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes

Reducir los polinomios siguientes:

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EJERCICIO11

11 Valor numérico Valor numérico de expresiones simples

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Ejercicios Resueltos Procedimiento 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas

Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para:

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12 Valor numérico Valor numérico de expresiones compuestas Procedimiento 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas


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13 Valor numérico Valor numérico de expresiones compuestas Procedimiento 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas


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14 Ejercicios sobre notación algebraica

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15 Sum a Suma de monomios Procedimiento 1. Se escriben las expresiones una a continuación de otra y con sus respectivos signos 2. Se reducen los términos semejantes. Para reducir términos semejantes se procede de la siguiente forma: a. Si los términos son de igual signo, se suman los coeficientes y se escribe el signo común b. Si los términos tienen signo distinto, se restan los coeficientes y se escribe el signo del número mayor en valor absoluto c. A continuación del signo y del coeficiente se escribe la parte literal Nota: recuerdese que los términos semejantes son aquellos sumandos que tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes.

Sumar:

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EJERCICIO 16

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Ejercicios Resueltos 16 Suma Suma de polinomios Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la misma columna 3. Se reducen los términos semejantes: a. Se suman los términos positivos b. Se suman los términos negativos c. Se establece la diferencia entres los resultados obtenidos en a y b d. En el total, el signo que lleve el término corresponderá al del número mayor, en valor absoluto, de las sumas en a y b 4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos

Hallar la suma de:

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17 Suma Suma de polinomios Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la misma columna 3. Se reducen los términos semejantes: a. Se suman los términos positivos b. Se suman los términos negativos c. Se establece la diferencia entres los resultados obtenidos en a y b d. En el total, el signo que lleve el término corresponderá al del número mayor, en valor absoluto, de las sumas en a y b 4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos

Hallar la suma de:

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18 Suma Suma de polinomios con coeficientes fraccionarios Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la misma columna 3. Se reducen los términos semejantes: se suman los coeficientes fraccionarios, cada uno con su respectivo signo 4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos Nota: las fracciones las vamos a sumar por el método de hallar el mínimo común denominador (m.c.d.)

Hallar la suma de:

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19 Suma Suma de polinomios y valor numérico Procedimiento 1. 2. 3. 4.

Se ordenan los polinomios Se suman los polinomios En el total, se sustituye cada letra por su respectivo valor numérico Se efectúan las operaciones indicadas y se reduce el resultado

Sumar las expresiones siguientes y hallar el valor numérico del resultado para a = 2, b = 3, c = 10, x = 5, y = 4, m = 2/3, n = 1/5.

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20 Resta Resta de monomios Procedimiento 1. Se identifican tanto el minuendo como el sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado 3. Se reduce la expresión resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes.

De:

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Restar:


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21 Resta Resta de polinomios Procedimiento 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresión resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente.

De:

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Restar:

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De:

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24 Resta Resta de polinomios con coeficientes fraccionarios Procedimiento 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresión resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente. Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo común denominador (m.c.d.)

De:

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25 Resta Resta de polinomios con coeficientes fraccionarios Procedimiento 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresión resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente. Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo común denominador (m.c.d.)

Restar:

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EJERCICIO 26

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Ejercicios Resueltos 26 Resta Resta de polinomios y valor numérico Procedimiento 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresión resultante 4. En el resultado cada letra se sustituye por su respectivo valor numérico 5. Se simplifica aritméticamente el resultado Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente. Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo común denominador (m.c.d.)

Efectuar las restas siguientes y hallar el valor numérico del resultado para a = 1, b = 2, c = 3, x = 4, y = 5, m = 3/2, n = 2/5: De:

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27 Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes enteros Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo 3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo o del sustraendo, según el caso 4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, debajo del minuendo y, los términos semejantes compartiendo columna 5. Se efectúa la suma indicada

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28 Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes enteros Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo 3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo o del sustraendo, según el caso 4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, debajo del minuendo y, los términos semejantes compartiendo columna 5. Se efectúa la suma indicada

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29 Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes fraccionarios Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo 3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo y los del sustraendo 4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, a la derecha del minuendo 5. Se efectúa la suma indicada Nota: las sumas las realizamos por el método de agrupar los términos semejantes. Las fracciones las sumamos hallando el m.c.d.

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30 Suma y resta combinadas

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31 Signos de agrupación Supresión de signos de agrupación Procedimiento Para suprimir signos de agrupación se procede de la siguiente manera: 1. Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo +, los términos que estaban agrupados por él no cambian de signo 2. Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo -, los términos que estaban agrupados por él cambian de signo 3. Cada vez que se suprime un signo de agrupación, se procede a reducir los términos semejantes

Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes:

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32 Signos de agrupación Supresión de signos de agrupación Procedimiento 1. El secreto radica en ir suprimiendo, sucesivamente, los signos de agrupación más interiores 2. Cuando el signo de agrupación está precedido del signo +, no se cambian los signos de los términos una vez "destruidos los paréntes" 3. Cuando el signo de agrupación está precedido del signo menos, se cambian los signos de los términos una vez "destruidos los paréntes" 4. Se reducen los términos semejantes

Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes:

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33 Signos de agrupación Introducción de signos de agrupación Procedimiento Para introducir cantidades en signos de agrupación se procede de la siguiente manera: 1. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo +, dichas cantidades permanecen con el signo original 2. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo -, el signo de cada una de estas cantidades cambia

Introducir los tres últimos términos de las expresiones siguientes dentro de un paréntesis precedido del signo +:

Introducir los tres últimos términos de las expresiones siguientes dentro de un paréntesis precedido del signo -:

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34 Signos de agrupación Introducción de signos de agrupación Procedimiento Para introducir cantidades en signos de agrupación se procede de la siguiente manera: 1. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo +, dichas cantidades permanecen con el signo original 2. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo -, el signo de cada una de estas cantidades cambia

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35 Multiplicación Multiplicación de monomios Procedimiento 1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos") 2. Se multiplican los coeficientes numéricos 3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores"

Multiplicar:

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EJERCICIO 36

36 Multiplicación Multiplicación de monomios Procedimiento 1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos") 2. Se multiplican los coeficientes numéricos 3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores"

Multiplicar:

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EJERCICIO 37

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Ejercicios Resueltos 37 Multiplicación Multiplicación de monomios Procedimiento 1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos") 2. Se multiplican los coeficientes numéricos, en este caso, fraccionarios: "Para multiplicar dos fraccionarios, se multiplican los numeradores entre si para hallar el numerador del producto; y, los denominadores entre sí para hallar el denominador del producto" 3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores"

Efectuar:

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38 Multiplicación Multiplicación de monomios Producto continuado de monomios Procedimiento 1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos"). Si el número de signos menos es impar el producto es negativo; en cambio, si el número de signos menos es par el producto es positivo 2. Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí. En el caso de fraccionarios se efectúa así: "Para multiplicar dos fraccionarios, se multiplican los numeradores entre si para hallar el numerador del producto; y, los denominadores entre sí para hallar el denominador del producto" 3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores"

Multilplicar:

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39 Multiplicación Multiplicación de polinomios por monomios Procedimiento 1. Se multiplica el monomio por cada uno de los terminos del polinomio, en el siguiente orden: a. se multiplican los signos, teniendo presente la "Ley de los signos" b. se multiplican los numeros entre si. c. se multiplica la parte literal. Cada letra particular representa una base; y, "el producto de varias potencias con igual base se obtiene escribiendo la base común y, sumando los exponentes respectivos ... 2. Se ordena el polinomio resultante

Multilplicar:

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40 Multiplicación Multiplicación de polinomios por monomios Procedimiento 1. Se multiplica el monomio por cada uno de los terminos del polinomio, en el siguiente orden: a. se multiplican los signos, teniendo presente la "Ley de los signos" b. se multiplican los numeros entre si. Recuerdese que el producto de dos fracciones se obtiene del siguiente modo: numerador, producto de los numeradores; denominador, producto de los denominadores c. se multiplica la parte literal. Cada letra particular representa una base; y, "el producto de varias potencias con igual base se obtiene escribiendo la base comun y, sumando los exponentes respectivos ... 2. Se ordena el polinomio resultante

Multilplicar:

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EJERCICIO 41

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Ejercicios Resueltos 41 Multiplicación Multiplicación de polinomios por polinonomios Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas 3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la línea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los términos semejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los términos semejantes

Ley de los signos + por + da + + por - da - por + da - por - da +

Multilplicar:

Propiedad en el producto de potencias Para hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta con escribir la base común y sumar los exponentes respectivos.

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EJERCICIO 42

42 Multiplicación

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Ejercicios Resueltos Multiplicación de polinomios por polinomios Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas 3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la línea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los términos semejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los términos semejantes


Multiplicar:


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43 Multiplicación Multiplicación de polinomios por polinomios Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas 3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los términos semejantes


Multiplicar:


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44 Multiplicación Multiplicación de polinomios con coeficientes separados Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas 3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los términos semejantes Nota1: recuerda que el producto de dos fraccionarios es una fracción cuyo numerador es igual al producto de los numeradores y cuyo denominador es igual al producto de los denominadores Nota2: para sumar los denominadores vamos a utilizar el método de hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.d.)

Ley de los signos + por + da + + por - da - por + da - por - da + Multiplicar:


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EJERCICIO 45

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Ejercicios Resueltos 45 Multiplicación Multiplicación por coeficientes separados Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben solo los coeficientes, escribiendo 0 en el lugar donde falte un término 3. La parte literal del primer término del producto será igual al producto de las letras de los primeros términos, el del multiplicando y el del multiplicador

Multiplicar por coeficientes separados:

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46 Multiplicación Producto continuado de polinomios Procedimiento 1. Se multiplica el primer factor por el segundo; luego, el producto obtenido se multiplica por el tercer factor y así sucesivamente hasta que no quede ningún factor 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas 3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los términos semejantes Nota1: cuando uno de los factores es un monomio, multiplicamos primeramente dicho monomio por uno de los paréntesis Nota2: para multiplicar un monomio por un paréntesis, se multiplica el monomio por cada uno de los términos dentro del paréntesis, y teniendo en cuenta la "ley de los signos"


Simplificar:


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47 Multiplicación Multiplicación combinada con suma y resta Procedimiento 1. Se efectúan los productos indicados: multiplicando cada término del multiplicador por cada uno de los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos) 2. Se reducen los términos semejantes Nota1: Deducción de la fórmula general para el "cuadrado de un binomio":

Nota2: Deducción de la fórmula general para el "producto de la suma por la diferencia de dos cantidades":


Simplificar:

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EJERCICIO 48

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Ejercicios Resueltos 48 Supresión de signos de agrupación con productos indicados

Procedi miento 1. Se suprimen los signos de agrupación más internos 2. Se reduce 3. Se suprimen los signos de agrupación que quedaron como más internos, se reduce; y así sucecivamente hasta suprimir todos los signos de agrupación

Simplificar:

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49 División División de monomios Procedimiento 1. Se aplica la ley de los signos 2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor 3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor" 4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético Ley de los signos

Dividir:

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50 División División de monomios Procedimiento 1. Se aplica la ley de los signos 2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor 3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor" 4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético Ley de los signos

Dividir:

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EJERCICIO 51

51

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Ejercicios Resueltos División División de monomios Procedimiento 1. Se aplica la ley de los signos 2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. En este caso los coeficientes son fraccionarios: "el cociente de dos fraccionarios es una fracción cuyo numerador es el resultado de multiplicar el numerador del dividendo por el denominador del divisor y cuyo denominador es el producto entre el denominador del dividendo y el numerador del divisor". Si, para indicar la división, se escribe una fracción sobre otra fracción, se dice, entonces, que "el cociente es una fracción cuyo numerador es el producto de los extremos y cuyo denominador es el producto de los medios":

3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor" 4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético Ley de los signos

Dividir:

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EJERCICIO 52

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Ejercicios Resueltos 52 División División de polinomios por monomios Procedimiento 1. Se hace una separación de cocientes, cada uno con su propio signo. 2. Cada término del dividendo se divide por el divisor, y procediendo de la siguiente manera: 3. Se aplica la ley de los signos 4. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. 5. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor"

6. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético Ley de los signos

Dividir:

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53 División División de polinomios por monomios Procedimiento 1. Se hace una separación de cocientes, cada uno con su propio signo. 2. Cada término del dividendo se divide por el divisor, y procediendo de la siguiente manera: 3. Se aplica la ley de los signos 4. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. En este caso los coeficientes son fraccionarios: "el cociente de dos fraccionarios es una fracción cuyo numerador es el resultado de multiplicar el numerador del dividendo por el denominador del divisor y cuyo denominador es el producto entre el denominador del dividendo y el numerador del divisor". Si, para indicar la división, se escribe una fracción sobre otra fracción, se dice, entonces, que "el cociente es una fracción cuyo numerador es el producto de los extremos y cuyo denominador es el producto de los medios":

5. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor"

6. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético Ley de los signos

Dividir:

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54 División División de dos polinomios Procedimiento 1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente 3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante 4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente 5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante 6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores ... 7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

Dividir:

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55 División División de dos polinomios Procedimiento 1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente 3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta 4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente 5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta 6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores ... 7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero. Nota1: cuando nos preparamos para efectuar la división, una vez ordenados los polinomios, debemos dejar un espacio (en el dividendo) por cada término que no aparece

Dividir:

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56 División División de dos polinomios Procedimiento 1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente 3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta 4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente 5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta 6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores ... 7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero. Nota1: cuando nos preparamos para efectuar la división, una vez ordenados los polinomios, debemos dejar un espacio (en el dividendo) por cada término que no aparece

Dividir:

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57 División de polinomios con coeficientes fraccionarios Dividir:

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58 División División de polinomios por el método de coeficientes separados Procedimiento 1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 2. Se escriben solamente los coeficientes con sus respectivos signos, escribiendo 0 donde falte algún término 3. Se efectúa la división con los coeficientes 4. El exponente del primer término del cociente se calcula restando el exponente del primer término del divisor del exponente del primer término del dividendo. Los exponentes de los demás términos irán disminuyendo de 1 en 1. Donde aparece 0 en el cociente no se escribe el término correspondiente

Dividir por coeficientes separados:

EJERCICIO 59

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Ejercicios Resueltos 59 Cociente mixto

Hallar el cociente mixto de:

EJERCICIO 60

60 Valor numérico de expresiones algebraicas con exponentes enteros para valores positivos y negativos Procedimiento 1. Se sustituye cada letra por su respectivo valor numérico 2. Se efectúan las operciones indicadas 3. Se simplifica Nota1: Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva Nota2: Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa

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61 Miscelánea Suma, resta, multiplicación y división 1. A las 7 a.m. el termómetro marca +5° y de las 7 a.m. a las 10 a.m. baja a razón de 3° por hora. Expresar la temperatura a las 8 a.m., 9 a.m. y 10 a.m. Solución: 5 - 3 = 2: a las 8 a.m. la temperatura es de +2° 2 - 3 = -1: a las 9 a.m. la temperatura es de -1° -1 - 3 = -4: a las 10 a.m. la temperatura es de -4°. 2. Tomando como escala 1 cm: 10 m, representar gráficamente que un punto B está situado a + 40 m de A y otro punto C está situado a -35 m de B. Solución: Tomamos el sentido positivo el hecho de que un punto esté a la derecha de otro punto y como negativo que esté a la izquierda:

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62 Productos y cocientes notables Productos notables Cuadrado de la suma de dos cantidades Procedimiento 1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio 2. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad" 3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2

Escribir por simple inspección, el resultado de:

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63 Productos y cocientes notables Productos notables Cuadrado de la diferencia de dos cantidades Procedimiento 1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio 2. "El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad" 3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2


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EJERCICIO 64

64 Productos y cocientes notables Productos notables Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades Procedimiento 1. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo" 2. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.


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65 Productos y cocientes notables Productos notables Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades Procedimiento 1. Se agrupa convenientemente (si es necesario, se factoriza por -1) 2. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo" 3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.


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66 Productos y cocientes notables Productos notables Cubo de un binomio Procedimiento 1. Se desarrolla el paréntesis, observando si se trata del cubo, de la suma o la diferencia de dos cantidades; en el primer caso se procede como indica el paso 2, en el segundo caso se aplica el enunciado del paso 3: 2. "El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda" 3. "El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda" 4. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.


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67 Productos y cocientes notables Productos notables Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b) Procedimiento 1. El desarrollo de los paréntesis da un trinomio 2. El primer término será el cuadrado del primer término de los paréntesis (igual en ambos) 3. El segundo término será el producto de la suma de los términos independientes por el primer término común de los paréntesis 4. El tercer término será el producto de los términos inde pendientes


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68 Productos y cocientes notables Productos notables Miscelánea

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EJERCICIO 69

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Ejercicios Resueltos 69 Productos y cocientes notables Cocientes notables

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades Procedimiento 1. Factorizamos la diferencia de cuadrados en el numerador 2. Simplificamos.

Hallar, por simple inspección, el cociente de:

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EJERCICIO 70

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Ejercicios Resueltos 70 Productos y cocientes notables Cocientes notables

Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades Procedimiento 1. Factorizamos la diferencia o la suma, según el caso, de cubos en el numerador 2. Simplificamos.


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EJERCICIO 71

71

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Productos y cocientes notables Cocientes notables Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades Procedimiento Criterios de divisibilidad Criterio 1 : La diferencia de dos cantidades con potencias iguales, pares o impares, es divisible por la diferencia de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por :

Criterio 2 : La diferencia de dos cantidades con igual potencia par, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por:

Criterio 3 : La suma de dos cantidades con igual potencia impar, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por :

Criterio 4 : A) La suma de dos cantidades con igual potencia par, no es divisible ni por la suma ni por la diferencia de las cantidades. Esto es, cocientes de la forma :

B) La diferencia de dos cantidades con igual potencia impar, no es divisible por la suma de las cantidades. Es decir, cocientes de la forma :

Nota : Se dice que dos expresiones determinadas son divisibles, cuando su división es exacta, esto es, cuando al dividir a una (el dividendo) por la otra (el divisor), el residuo es cero.


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72 Productos y cocientes notables Cocientes notables Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades (los exponentes del divisor son diferentes de 1) Procedimiento

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Criterios de divisibilidad Criterio 1 : La diferencia de dos cantidades con potencias iguales, pares o impares, es divisible por la diferencia de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por :

Cuando los exponentes del divisor son diferentes de 1, esto es, si son 2, 3, 4, 5, etc., sucede que el exponente de a disminuye, sucesivamente, en cada término 2, 3, 4, 5, etc.; la b aparece en el segundo término del cociente elevada a un exponente igual al que tiene en el divisor, y aumentará este exponente en 2, 3, 4, 5, etc. en los siguientes términos. Las soluciones de estos cocientes tendrán las tres formas siguientes (dependiendo del criterio de divisibilidad que se aplique) :

Criterio 2 : La diferencia de dos cantidades con igual potencia par, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por:

Criterio 3 : La suma de dos cantidades con igual potencia impar, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por :

Criterio 4 : A) La suma de dos cantidades con igual potencia par, no es divisible ni por la suma ni por la diferencia de las cantidades. Esto es, cocientes de la forma :

B) La diferencia de dos cantidades con igual potencia impar, no es divisible por la suma de las cantidades. Es decir, cocientes de Nota : El número de términos en el cociente es igual al resultado de dividir m entre la forma : n.

Nota : Se dice que dos expresiones determinadas son divisibles, cuando su división es exacta, esto es, cuando al dividir a una (el dividendo) por la otra (el divisor), el residuo es cero.

Biblioteca Virtual Hallar, por simple inspección, el cociente de:


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EJERCICIO 73

73 Productos y cocientes notables Cocientes notables Miscelánea Escribir el cociente sin efectuar la división:

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74 Teorema del residuo Procedimiento 1. Se aplica el Teorema del Residuo: "El residuo de dividir un polinomio entero y racional en x por un binomio de la forma bx - a se obtiene sustituyendo, en el polinomio dado, la x por a/b". Nota1: un polinomio entero y racional es de la forma:

Nota2: Si en el divisor, el coeficiente de x es 1, esto es, si b = 1, el residuo se obtiene, simplemente, sustituyendo, en el polinomio, la x por a.

Hallar, sin efectuar la división, el residuo de dividir:

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EJERCICIO 75

75 División sintética Procedimiento Para hallar el cociente y el residuo de la división de un polinomio entero en x por un binomio de la forma x - a, se procede de la siguiente manera: 1. Se ubican en una misma fila los coeficientes de los términos del dividendo (si el polinomio carece de alguna de las potencias se escribe allí 0) y, separada por una línea vertical, la a. 2. HALLAR EL COCIENTE : Grado del cociente : El cociente será de un grado menor que el dividendo. Coeficiente del primer término: El primer término del cociente tendrá el mismo coeficiente que el primer término del dividendo. Demás coeficientes : Los coeficientes de los otros términos del cociente se obtienen multiplicando el coeficiente del término anterior (previamente hallado) por la a y, seguidamente, sumando este producto con el coeficiente que sigue en el dividendo. 2. OBTENCIÓN DEL RESIDUO : El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último término del cociente (previamente hallado) por a y, sumando este producto con el término independiente del dividendo. NOTA: Si el binomio (el divisor) es de la forma bx - a, en vez de la a se pone a/b y, consecuentemente, se multiplican los coeficientes por a/b. Además, cada número debe dividirse por b antes de pasar a ser un coeficiente de un término del cociente. Explicación: Para aplicar apropiadamente el método de la división sintética, en los casos en los que el divisor es de la forma bx - a, debemos hacer que el divisor tome la forma x - a; y, para ello hay que dividir al divisor por b, con lo que el dividendo queda multiplicado por b. Para deshacer esta operación es por lo que se divide cada número, que está destinado a convertirse en coeficiente de un término del cociente, por b.

Hallar, por división sintética, el cociente y el resto de las divisiones siguientes:

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EJERCICIO 76

76 Corolario del Teorema del residuo Procedimiento Corolario del Teorema del Residuo: Un polinomio entero en x, P(x), que se anula para x = a/b, o sea que al sustituir la x por a/b en el polinomio el resultado es cero, esto es P(a/b) = 0, es divisible por bx - a. Nota1: Se dice que una cantidad es divisible por otra cantidad si al dividir a la primera por la segunda el residuo es cero. El teorema del residuo establece que para hallar el resto de la división de un polinomio entero en x por un binomio de la forma bx - a, sin efectuar la división, basta con sustituir la x por a/b. Conjugando los dos conceptos anteriores se deduce la veracidad del Corolario. Nota2: Si el divisor tiene la forma x - a, entonces para aplicar el Corolario se halla P(a) y, si P(a) = 0, se concluye que P(x) es divisible por x - a.

Hallar, sin efectuar la división, si son exactas o no las divisiones siguientes:

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Sin efectuar la división, probar que:


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Sin efectuar la división, hallar si las divisiones siguientes son o no exactas, y determinar el cociente en cada caso y el residuo, si lo hay:

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77 Teorema del residuo

Procedimiento Corolario del Teorema del Residuo: Un polinomio entero en x, P(x), que se anula para x = a/b, o sea que al sustituir la x por a/b en el polinomio el resultado es cero, esto es P(a/b) = 0, es divisible por bx - a. Nota1: Se dice que una cantidad es divisible por otra cantidad si al dividir a la primera por la segunda el residuo es cero. El teorema del residuo establece que para hallar el resto de la división de un polinomio entero en x por un binomio de la forma bx - a, sin efectuar la división, basta con sustituir la x por a/b. Conjugando los dos conceptos anteriores se deduce la veracidad del Corolario. Nota2: Si el divisor tiene la forma x - a, entonces para aplicar el Corolario se halla P(a) y, si P(a) = 0, se concluye que P(x) es divisible por x - a.

Diga, por simple inspección, si son exactas las divisiones siguientes y en caso negativo, diga cuál es el residuo:

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EJERCICIO 78

78 Ecuaciones enteras de primer grado Resolución de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita Procedimiento 1. Se reducen términos semejantes 2. Se hace la transposición de términos, los que conengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de letras en el derecho 3. Se reducen téminos semejantes 4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita, y se simplifica.

Resolver las ecuaciones:

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79 Ecuaciones enteras de primer grado Resolución de ecuaciones de primer grado con signos de agrupación Procedimiento 1. Se suprimen ("destruyen") los signos de agrupación, comenzando por los más internos 2. Se reducen términos semejantes 3. Se hace la transposición de términos, los que conengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de letras en el derecho 4. Se reducen téminos semejantes 5. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita, y se simplifica.

Resolver las siguientes ecuaciones:

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80 Ecuaciones enteras de primer grado Resolución de ecuaciones de primer grado con productos indicados Procedimiento 1. Se efectúan los productos indicados 2. Se reducen términos semejantes 3. Se hace la transposición de términos, los que conengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de letras en el derecho 4. Se reducen téminos semejantes 5. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita, y se simplifica.


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EJERCICIO 81

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Ejercicios Resueltos 81 Ecuaciones enteras de Miscelánea


primer grado

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82 Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita

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85 Problemas sobre ecuaciones enteras

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86 Problemas sobre ecuaciones enteras

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EJERCICIO 87

87 Problemas sobre ecuaciones enteras 1. Compré doble número de sombreros que de trajes por 702 balboas. Cada sombrero costó 2 y cada traje 50. ¿Cuántos sombreros y cuántos trajes compré?

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EJERCICIO 88

88 M i s ce l á n e a d e p r o b l e m a s s o b r e e c u a c i o n e s e n t e r a s

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89 Descomposición factorial Factor común Procedimiento 1. Se identifica el factor común 2. Se divide cada término del polinomio por el factor común 3. Se escribe el factor común y a continuación, dentro de un paréntesis, los cocientes hallados en el paso anterior (cada uno con su respectivo signo)

Factorar o descomponer en dos factores:

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90 Descomposición factorial Factor común Procedimiento 1. Se identifica el factor común 2. Se divide cada término del polinomio por el factor común 3. Se abren dos paréntesis, en el primero se escribe el factor común y en el segundo los cocientes hallados en el paso anterior (cada uno con su respectivo signo)


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EJERCICIO 91

91 Descomposición factorial Factor común por agrupación de términos Procedimiento 1. Se agrupan los términos convenientemente, utilizando paréntesis 2. Se saca factor común de cada uno de los paréntesis 3. Se realiza una segunda factorización (el factor común será, en este caso, el paréntesis


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92 Descomposición factorial Trinomio cuadrado perfecto Definición : Una cantidad es un cuadrado perfecto cuando es el resultado del producto de dos factores iguales.

Procedimiento 1. Se ordena el trinomio 2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos 3. Se halla el doble producto de las raíces obtenidas en el paso anterior 4. Si el producto hallado en el paso anterior es igual al segundo téermino del trinomio y si el primero y tercer términos tienen igual signo, se trata de un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como tal. 5. Se escribe dentro de un paréntesis las raíces cuadradas del primer y tercer términos, separadas por el signo del segundo término, y el paréntesis elevado al cuadrado.


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93 Descomposición factorial Diferencia de cuadrados perfectos Procedimiento 1. Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo 2. Se abren dos paréntesis 3. En el primer paréntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de las raíces halladas en el paso 1.


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94 Descomposición factorial Diferencia de cuadrados perfectos (caso especial) Procedimiento 1. Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo 2. Se abren dos paréntesis 3. En el primer paréntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de las raíces halladas en el paso 1. 4. Se reduce, si es el caso

Descomponer en dos factores y simplificar, si es posible:

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EJERCICIO 95

95 Descomposición factorial Trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados perfectos (combinación de estos dos casos) Procedimiento 1. 2. 3. 4.

Se identifica el trinomio cuadrado perfecto (o los ...) Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto (como en el Ejercicio 92) Se factoriza la diferencia de cuadrados resultante (como en el Ejercicio 94). Se reduce, si es el caso


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EJERCICIO 96

96 Descomposición factorial Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

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Ejercicios Resueltos Procedimiento 1. Se ordena el trinomio 2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos 3. Se halla el doble producto de las raíces halladas en el paso anterior 4. Se compara el resultado obtenido en el paso anterior con el segundo término del trinomio 5. Se suma o resta, según el caso, la cantidad necesaria para crear el segundo término del trinomio cuadrado perfecto 6. Se resta o se suma la misma cantidad que se sumo o resto en el paso anterior, para que el valor de la expresión no se altere


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97 Descomposición factorial Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción Factorar una suma de dos cuadrados Procedimiento 1. 2. 3. 4. 5.

Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos Se halla el doble producto de las raíces halladas en el paso anterior Se suma y se resta el producto hallado en el paso anterior Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto así formado Se factoriza la diferencia de cuadrados


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98 Descomposición factorial

Procedimiento 1. Se ordena el trinomio 2. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio 3. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis 4. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio 5. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo parénteis 6. Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 7. Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 8. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis 9. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la busqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8


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EJERCICIO 99


Casos especiales

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Ejercicios Resueltos Procedimiento 1. Se ordena el trinomio 2. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio 3. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis 4. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio 5. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo parénteis 6. Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 7. Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 8. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis 9. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la busqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8. Nota: para factorizar de esta forma es necesario que la parte literal del segundo término sea la raíz cuadrada de su correspondiente parte literal en el primer término.


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Ejercicios Resueltos Procedimiento Para factorizar esta clase de trinomios se lleva a la forma y se factoriza como en el Ejercicio 98: 1. Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer término, esto es por a 2. Se escribe el trrinomio de una forma adecuada (de la forma x2 + bx+ c) 3. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio 4. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis 5. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio 6. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo parénteis 7 Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 8 Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 9. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis 10. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la busqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8 11. Se factorizan los paréntesis que tengan factor común 12. Se simplifica Nota: siempre es posible eliminar el denominador .


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EJERCICIO 101


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Ejercicios Resueltos Casos especiales Procedimiento Para factorizar esta clase de trinomios se lleva a la forma y se factoriza como en el Ejercicio 99: 1. Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer término, esto es por a 2. Se escribe el trrinomio de una forma adecuada (de la forma x2 + bx+ c) 3. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio 4. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis 5. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio 6. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo parénteis 7 Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 8 Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 9. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis 10. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la busqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8 11. Se factorizan los paréntesis que tengan factor común 12. Se simplifica Nota1: para factorizar de esta forma es necesario que la parte literal del segundo término sea la raíz cuadrada de su correspondiente parte literal en el primer término. Nota2: siempre es posible eliminar el denominador .


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102 Descomposición factorial Factorar una expresión que es el cubo de un binomio Procedimiento El desarrollo del cubo de un binomio es:

En esta clase de ejercicios se nos da una expresión como el miembro derecho de las identidades anteriores, es decir un cuadrinomio; y debemos constatar si se trata de un cubo perfecto de binomios (como los miembros izquierdos de las expresiones anteriores); para lo cual debemos proceder de la siguiente manera: 1. Se ordena el cuadrinomio en forma descendente o ascendente respecto a una letra 2. Se extrae la raíz cúbica del primero y cuarto términos del cuadrinomio 3. Se observa si todos los signos son positivos o si se alternan positivo-negativopositivo-negativo 4. Se triplica el cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto término y se compara con el segundo término del cuadrinomio dado 5. Se triplica la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del cuarto término y se compara con el tercer término del cuadrinomio dado 6. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son positivas, se trata del desarrollo del cubo de un binomio y se factoriza como tal: dentro de un paréntesis se escriben las raíces cúbicas del primero y cuarto términos del cuadrinomio y separadas por el signo más o por el signo menos, según el caso; y se eleva al cubo el paréntesis 7. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son negativas, no se trata del desarrollo del cubo de un binomio y no se puede factorizar como tal

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