1 Preguntas propuestas
Semestral UNI • Aptitud Académica • Cultura General • Matemática • Ciencias Naturales
Álgebra Números complejos I
A)
3
2
B)
5
3
3
2
5
C)
3
3
2
5
1
5
2
3
NIVEL BÁSICO 3
D) 1.
Se cumple w=1+2 i+3 i2+4 i3+...+4 ni4 n – 1; n ≥ 34. Determine
Re( w) 2 Im( w)
A) 2 B) 1 C) 1/2 D) 1/4 E) 4 2.
=
i
6.
1− i
+
+
1 − i
1−
1+
3 − 5 i
D)
−
| z − a|2
a
B)
b
;
a, b ∈
b
C)
a
a+ b a
a+ b
E) 1
b
NIVEL INTERMEDIO
7.
Sea α =
1
+
2
i 2
Si además se cumple que a27+a n –1=0, calcule un valor de n.
a + 1 + bi a + (1 + i ) b
A) 1 B) 2/9 C) – 6/49 D) 5/3 E) 0 Determine el módulo de z. 3 + 4i ·(1 − i )4 ·(cos 15 + i sen 15) 3
2
1 − i
Halle (a – b) si
=
C) 14 E) 11
Si z ∈C de parte real no nula, calcule el valor de
A)
1 + i
I. z es un complejo real II. z es un complejo imaginario puro III. | z|=2 IV. | z|=1
z
B) 12
| z + b|2 − | z − b|2
A) 30 D) 58
es equivalente a un imaginario puro de módulo 2 (a; b ∈ R),
4.
Sea z ∈C, tal que | z|+3 i= z – 2. Determine |4 z+5|.
z + a
5 + 3 i
A) VFVF B) FVVF C) VFFV D) FVFV E) VFFF 3.
5
A) 13 D) 10
Determine la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F), luego de reducir z
5.
E)
3
2 i + 23 · (1 − 3i )
B) 45
C) 37 E) 100
2 ∧ | z |= 1, = z 1
8.
Si A = z ∈ C / Im z −
entonces A es un conjunto A) infinito. B) de tres elementos. C) de dos elementos. D) nulo. E) unitario.
2
Álgebra 9.
10.
Determine el argumento principal de z=(ab+ac; bc–a2)·( bc+ ba; ac– b2)·(ac+ bc; ab– c2)
C)
A) 0 D) p /3
D)
B) p
Si z=2[cos70+ isen70]; | w|=3; | z+ w|2=21. determine Re( wz). A) 8 D) 2
11.
C) p /2 E) p /4
B) 3
4
[
6
6
−
z · w,
2
3
−
2
2
Si i
1 y se tiene la igualdad
=
−
n
1 + i (1− ) = (1 − i )(1+ i )n 2 i
2
calcule el valor de A) 3 D) 2 12.
z + w
2 | z | + | w |
B) 4
+ u
1
1 + w
+
1+
w2
+
A) 1006 D)
... +
B)
A) 1 D) 5 16.
1 1+
w2013
2013
100
A)
i
E) 2013
4
A) – 2 D) 1/2
D) 17.
B) 1
C) – 1 E) 2
Al unir los afijos de los complejos z1=(– a, 0); z2=(0, – a)/ a > 0; z3=( x, y) pertenece al primer cuadrante, se genera un triángulo equilátero de lado 3. Determine y.
+
B)
6
2
+
100
3
5
B)
4
4
−1
100
C)
E)
3
Sea z= x+ yi / z39=1; z≠1. Determine Re( z+ z2+ z3+... z37). x
−1 +
x
B)
2
2
D) x2+ y2
−1
E)
2
+
y
+
y
2
x
1+
x
3
y
x
1−
2
2
+
2
x
−1 −
x
C)
2
2
+
3
+1
4 100
−1
3
x
A)
C) 3 E) 7
4
A) 14.
3
100
Si a, b ∈C /|a – b|=|a|=| b|>0, halle el valor
a b de + b a
B) 2
Si se cumple la identidad (1+ x+ x2)1000≡ a0+a1 x+a2 x2+...+a2000 x2000 determine a0+a4+a8+...+a2000.
C) 1006 i
2
2013 2
calcule el valor de n.
C) 1 E) 5
Si w2013=1; w≠1, evalúe 1
13.
− u +
]
NIVEL AVANZADO
C) 6 E) 4
z + w
2
−
2
E)
15.
Si z, w∈C / u =
3
y
2
2
3+3 4
Álgebra 18.
Sean z1; z2; z3 números complejos, tal que z1+ z2+ z3=0 ∧ | z1|=| z2|=| z3|=1
2 1 +
determine z A) – 1
2 2 +
z
z
D) 1 19.
z +
1
= a;
z ≠
z + z z
=
1; z
=
C) 2
A) máx| z|=1; mín| z|=1/2
E) 4
| a| + a | a| − a B) máx| z|= ; mín| z|= 2 2
C) máx| z|=
1
con z=cos x+ isen x; x∈[0; 2p〉. A) 6 D) 4
B) 8
0.
Determine el máximo y mínimo valor de | z|.
Determine el número de soluciones en z
Sea a un número real positivo, tal que z
2 3.
B) 0
20.
D) máx| z|= C) 10 E) 2
E) máx| z|=
a + a2 + 9 2
−
; mín| z|=
a + a2 + 4 2
a + a2 + 4 2
4
−
2
; mín| z|=
, mín| z|=
−
a + a2 + 9
a + a2 + 4 2
a + a2 + 4 2
Álgebra Números complejos II
4.
Indique una de las raíces cúbicas del número
complejo z
NIVEL BÁSICO
i
A) 2 e 1.
Si z es un número complejo, tal que p arg( z(1+i))= y | z i|=8, 6 determine el número complejo z representado en su forma exponencial.
i
D) 2 e 5.
=
4 3
11π 9
−
4 i. i
B) 2 e
35π 9
21π 18
i
C) 2 e i
E)
2 e
23 π 18 39 π 11
Si se sabe que 1, w, w2 son las raíces cúbicas de la unidad, determine el valor de la expresión 50 w
i π
i π
−
−
12
A) 8 e
B) 6 e
i π −
5
C) 5 e
4
E
i π −
D) 3 e – ip 2.
E)
2 e
3
(1 − i
5
)
3
6
4 (1 − i )
(cos θ + i sen θ)7
6.
8
(cos θ − i sen θ)
2 i
A) e
C)
2 e
A) 12
3.
13π +15θ 6
e
B) 5
C)
5
E)
4 5
Dado el complejo
Calcule m si se sabe que el argumento principal de z( z – i) es 45º. A) 4/5
B) 3/5
D) 2/5
C) 5/3 E) 1
7π 11
=
II. cos θ =
III. e e
iθ
A) FVF D) VFV
8.
1 i θ
i
3 − 4 i },
z=2 m+(1 – m) i; m ∈R+
− 5π +15θ i 3
Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones. I.
+
NIVEL INTERMEDIO 7.
i
3 + 4i
D) 4
D) 1 E) e
{ z ∈ C / z =
A=|a|+| b|+|c|+| d |
− 13π +15θ 6 2 i
=
además, M ={a, b, c, d }. Calcule el valor de la expresión
11+ 3θ 7
i
B) 2 e
C) w E) 1
Si M es un conjunto definido por M
se obtiene
B) w2
A) w+1 D) – 1
Al simplificar el número complejo z =
3 w 2 w = [ w w ]
e
+ e− iθ 2
Si |8+( z – 1) i|=1, indique en qué cuadrante se encuentra el
, ∀θ ∈ 0; 2π
= e− sen θ , ∀θ ∈0; 2π B) FVV
C) VVF E) VVV
5
complejo
A) primero B) segundo C) cuarto D) tercero E) ninguno
5cis
π · z. 4
Álgebra 9.
Al representar gráficamente en el plano de Argand
5
1−
3 i una
13.
Efectúe
1 + i cot 15 4 ; i = −1 1 − i cot 15
de las raíces se encuen-
tra en el tercer cuadrante, determine su argumento.
A) 22p
A)
B)
15
5
p
18 p
D) 10.
7
C)
E)
15
19 p 15 17 p
C)
3
2
2
i
i
15
C)
D)
− n
1 2 1 2
3 +
−
2 3 2
i
i
E) 1
2
( w − 1)
14.
n w
2
1
S= w+2 w2+3 w3+...+( n –1) w n–1
B)
2
3 +
B) − −
Si w≠1 es una raíz enésima de la unidad, ¿a qué es equivalente la siguiente suma?
A)
1 −
−1
Sean 1, w1, w2, ..., w10. los raíces de orden 11 de la unidad.
n
Determine
2
(1 − w ) (1 − w )... (1 − w )
( w − 1)
2 1
2 2
2 10
D) 0 A) 0
E) 1 11.
Determine el área del polígono regular formado al unir los afijos de las raíces cuartas del complejo z
=
D) 11
E) 110
1+ i
A) 2 4 2
B) 3
2
D) 4 4 2
C) 4 E)
2
A) icotq B) itan2q
M ={ z ∈C / z=2+ t(–1+ i); t ∈[0; 1]}
3π = w ∈ C / w = z· cis , 4
z
D) 6
2
B) 5
C) i
∈ M
encuentre en N el complejo de mayor argumento principal. A)
Si z=cos2q+ isen2q, entonces calcule
1 + z tan θ 1 − z
2
Dados los conjuntos
N
C) 10
NIVEL AVANZADO 15.
12.
B) 1
C) − 2 E) 7
D) icot2q E) – 1 16.
Se tiene z3+ w 7=0; z5 · w11=1. Halle | w|. A) 1/2 D) 1
B) 2
6
C) 3 E) 1/4
Álgebra 17.
Sea z un complejo cuyo argumento principal 5p es . Determine el argumento principal de
Im
Im Re
A)
11
B)
Re –1
1
z− | z |
. z+ | z | A)
Im
p
B)
11 p D) 2
18.
p
C)
4
2p 2
Re
1/2
C)
E) 0 Im
Im
Si A es un conjunto definido por
Re
D)
E)
Re
A={ z – i /2Re( z)+3 Im( z) ≤ 4},
entonces la figura que mayor representa es 20. Im 7/3
Señale la figura que mejor representa la gráfica del conjunto M
7/2
A)
Re
= z ∈ C /
−i
z=
Im –1
Im
A)
1 –1
Re
7/2
B)
1
Re – 7/3 Im
–1
B)
Im 7/3
C)
–1
1 Re 1
Re
– 7/2 Im 1 Im
C)
–1
D)
Re –1
1
Re –1
–2
Im Im
E)
Re
D)
–1
– π /6
Re –2
Im
19.
Determine la gráfica que mejor representa
1 + z = 1 B = z ∈ C / Re 1 − z
π /6
E)
–1
1 Re –1
7
2
( w)
∧ | w| > 1 ∧ 0 ≤ arg w ≤
π 3
Álgebra Ecuaciones polinomiales I
A) – 3/2
7.
Si a es una solución de la ecuación x 2 − 3 x + 1 = 0, determine a18+a6+1. A) 1 D) 3
2.
B) – 1
C) 2 E) – 3
La ecuación polinomial ( x – n)4(2 x+3) P( x – P)2(5 x – 1) n=0 admite 10 raíces cuya suma es Determine P / n. A) – 1/4 D) 1/4
3.
B) 1/3
8.
10
ab
a+ b
x +
−
bc
−
ca
c+a
=
B) {abc}
{
a+ b a
;
a+ b b
3 b
( a − 1)2
+
c
( b − 1)2
A) 2 D) 4
C) {ab+ bc+ac} E) a+ b+c 10.
+
3
( c − 1) 2
B) 2/3
C) 3 E) 3/2
Dada la ecuación en x 8 m3 x – 4 n= n(36 x – n+2), mn≠0, halle n2 – m2 para que tenga infinitas soluciones.
}.
A) 10 D) 27
1 Calcule n + 1 B) 1
C) 6 E) – 6
Dada la ecuación polinomial x3 – x2+2 x – 1=0 de raíces a, b, c determine 3 a
m +
A) 1/2 D) 2
B) 5
a+ b+ c
Sea la ecuación cuadrática x2 – ( m – 2) x+2 n=1, m, n ∈ Q. de CS =
6.
x +
b + c
A) {0} D) 1
C) 1 E) 5
Para {a, b, c}∈R , resuelva en x −
C) 6 E) 12
Sean a, b, c, d , e raíces de x5+ x2+1=0. Determine a5+ b5+c5+ d 5+ e5
+
x
B) – 3
NIVEL INTERMEDIO 9.
5.
Sea la ecuación polinomial x3+3 x – 2=0 de raíces m, n, p. Calcule ( m+ n)3+( m+ p)3+( p+ n)3
A) 0 D) – 5
C) – 1/3 E) 1/5
B) 2
E) 1
A) 3 D) – 6
131
Calcule el valor de n para que la siguiente ecuación de incógnita x no tenga solución. ( n2 – 3 n+2)=( n2 –4 n+3) x A) 0 D) 3
4.
C) 0
D) 1/2
NIVEL BÁSICO 1.
B) – 1
C) 3/2 E) – 1
Dada la ecuación 2ax2+(3a – 1) x+(a+ b)=0 Halle un valor de b para que exista un solo valor de a que permita que las raíces de la ecuación sean iguales.
11.
B) 12
C) – 27 E) 31
Sea la ecuación cuadrática ( x − 3)2 +
(
7 + 2 10
)x
=
5 − 6x
Indique el módulo de una raíz.
A) 1 D)
B) 2
1+
3
C) – 2 E)
2
8
34
Álgebra 12.
Si m > n > 0, entonces
1
=
m
−
m
−
n
y
= m +
m x2
16.
m x
Dada la ecuación polinomial x3+ x – 1=0 de raíces x1, x2, x3,
m− n
son raíces de la ecuación
determine (2 – x1)(2 – x2)(2 – x3).
A) mx 2 – nx+ m=0
A) 10 D) 8
2
B) mx + mx+ n=0 C) mx2 – mx+ n=0 D) nx2 – 2 mx+ m=0
B) 11
C) – 8 E) 9
NIVEL AVANZADO
2
E) nx +2 mx+ m=0 17. 13.
Si las raíces de la ecuación x
2
mx – ( m+3) x+2 m+1=0 ( m≠0)
difieren en 2 unidades, determine el conjunto
{
}
9
; −1 11
{
C) −
18.
; 1 11
D) {1; 9}
r
8
9
Sean x1, x2, x3 las raíces de la ecuación x3 – 2 nx 2 – 72=0. Halle x1· x2 si x1+ x2+2 x3=5 n, n∈R. A) 36 D) 24
19.
B) 12
Determine
Si
L
C) 14 E) 60
( m − n)2
A) 1 D) 4
−
· 18
4
r
0
=
C) 0 E) 2
r s
)
4 mn
+
20.
( p − m)2
(
2
pm n
−
)
4 pm
B) 3
+
(
C) 0 E) 3/2
9
2
−
r
b +
)
4 np
a
C) 4
2 3
B
{
=
E)
4 3
}
2 n − 1 2 n + 3 ; es el conjunto solución n − 1 n + 1
b =
−
4 ac
( a + b + c )2
B) 12
C) 4 E) 2
Sean a, b, c raíces de x3 – 9 x2+11 x – 1=0 y S
( n − p)2 np m
s +
B) 1
A) 16 D) 8
Determine el valor de 2
1 x +
de ax 2+2 bx+4c=0, a≠ 0, calcule
Sean { m, n, p} el conjunto solución de x3+ x – 100=0.
(
)
Sea la ecuación cuadrática
D)
2
mn p
r
B) 1/4
2
15.
+ 12
A) 0
{ }
(
ax 2+ bx+ b=0; a ≠ 0, ab > 0 de raíces r > s>0.
}
9
E) 2;
+
A) 1 D) 1/2
A) {2; 3} B)
2
tiene como conjunto solución al conjunto {a}; a ∈R, calcule el valor de 3 – r ·21– r /2·a
de valores reales que puede admitir m.
14.
Si la ecuación cuadrática
=
a
+
b
+
c.
Calcule S4 – 18 S2 – 8 S. A) 27 D) – 37
B) – 54
C) – 27 E) – 47
Álgebra Ecuaciones polinomiales II NIVEL BÁSICO
5.
Si x1, x2, x3, x4 son raíces de x4 – 2 x2+3=0
calcule x14
x24
+
A) – 2 1.
Dada la ecuación polinomial. 2 x4+ax3+ bx2+cx – 4=0, {a, b, c, d } ⊂ Q y siendo a+ i y 2 dos de sus raíces, calcule 2
a
+
2
b
+
c
2
6.
D) 1/2
A) 125
E) 0
D) 144
racionales.
7.
+
E) 0
B) 256
C) 48 E) 128
Resuelva e indique las soluciones enteras de x 2
2
2 x + bx +cx + dx+ e=0, tal que una raíz es 3
C) – 8
Determine q, tal que las raíces de la ecuación
C) 2/3
Dada la ecuación polinomial de coeficientes 3
B) – 4
estén en progresión aritmética. B) 5
4
x44
x4– 40 x2+ q=0
ab + bc + ac + 1
2.
+
D) – 12
+1
A) 4
x34
+
+
3x
+1=
2x
2
x 2
+
6x
+
5
+
3x
+1
2 . Determine e.
A) {– 4; – 2; 1; – 1} A) 2
B) 1
D) 1
C) – 2
B) {– 4; – 2; 1}
E) 1/2
C) {– 1; 2} D) {2; 1}
3.
Si (2+ i) es una raíz doble de la ecuación
E) {– 1; – 2}
x5+ax4+ bx3+cx2+ dx+25=0
de coeficientes reales, determine el valor de
8.
1
a+ b+c+ d .
A) 17
x 4
B) 18
D) – 18 4.
Indique el número de soluciones reales de
C) 19
−
x2 + 2
1 +
x4 + x2 − 8
A) 2 D) 5
E) – 17
2 =
x4 − 3
B) 4
C) 6 E) 8
NIVEL INTERMEDIO
Dada la ecuación bicuadrada x4+(a+ b – 1) x3+( b+c – 8) x+(a+c – 3) x+1=0
donde el número de raíces excede en 2 uni-
9.
Dada la ecuación
dades al número de soluciones, calcule un
2 x4 – 4 x3+cx2+ dx+ e=0
valor de
de coeficientes racionales.
2
5 a · b· c a+ b+ c
A) 8 B) 1
B) 16
C) 1/8 E) – 8
Si dos de sus raíces son 1 + 2; 1 + i, determine d + e. A) – 12
B) – 6
D) 12
C) – 10 E) 0
10
Álgebra 10.
Dada la ecuación 5 x
4
2+
+
5x
2
+
A) 1 5
=
0 de
Determine x1 A) 1
+
x2
+
x3
+
x4
B) 4
11.
.
E) – 3
Resuelva en R 2
x − 1 − x + 1 x x
x 3
+ x2 + x + 1 + x = x 3 − x 2 + x − 1
C) 2
D) 1/4
C) 1/2
D) 3
raíces x1, x2, x3, x4. 15.
B) – 1
E) 3
2
4
e indique el número de soluciones.
Halle el intervalo en que debe variar λ para A) 1
que la ecuación
B) 2
C) 3
D) 4
x4+(1– λ) x2+2(λ – 3)=0
tenga solo dos raíces reales.
16.
E) 5
Determine la solución real de x 3 + 3 x
A) λ ∈ 〈– ∞; 2〉
3 x
B) λ ∈ R – {5} C) λ ∈ 〈– 6; 7〉
A)
2
+1
5 =
3
4
3
4
+1
3
4
−1
3
2
+1
3
2
−1
3
D) λ ∈ 〈– ∞; 3〉 E) λ ∈ 〈0; 3〉 12.
B)
Sea la ecuación x4 – 2 x2+81=0 de raíces C)
x1, x2, x3, x4. Determine el área generada por x1, x2, x3, x4 en el plano de Gauss.
D) 3 4 + 3 2
13.
A) 6
5
D) 8
5
B) 4
C) 4
5
E) 5
E)
3
4
−32
Si el número n 1 + 3 b es solución real de la ecua-
ción x6 – 3 x4+3 x2 – 3=0, determine ( b n+ n b). A) 2 D) 8
B) 5
C) 13 E) 28
NIVEL AVANZADO
17.
Indique el número de soluciones de la siguien-
te ecuación fraccionaria 14.
Luego de resolver x 3
1 +
x
3
3 +
x
+
3 x
+
1 3x
2
3 +
x
2
=
14
se tiene que x0 es una solución.
Indique
x0 x0
1 +
x − 1
A) 2 D) 6
+1
11
1 +
x−2
1 +
x−3
B) 3
π =
x−4
2
C) 4 E) 8
Álgebra 18.
ax 4 − bx 2 − c = 0 Si las ecuaciones 4 2 bx − cx − a = 0 son equivalentes, calcule la mayor solución real. Considere que a; b; c ∈R.
A)
B)
C)
D) E)
1 2 1 2
1 2 1 2
19.
P( x)=a8 x8+a7 x7+...+a0
tiene todas sus raíces reales positivas, tal que a8=1, a7=– 4, a6=7.
1+
5
B)
6
2
1 8
2
C) − E)
1 8
2
1 16
2 20.
10 − 2 5
1
D) 28
3
2+2 5
Halle a0. A)
2+2 3
2−
El polinomio
Sea S el conjunto de puntos (a; b) con a; b ∈ [0; 1], tal que la ecuación x4+ax 3 – bx2+ax+1=0 tiene al menos una raíz real. Determine el área de S.
A) 1 D) 1/4
B) 1/2
12
C) 2 E) 1/6
Álgebra Desigualdades
A) 〈– 2; 0〉 B) 〈0; +∞〉 C) 〈– ∞; 0〉 D) 〈– 3; +∞〉 E) 〈– ∞; – 1〉
NIVEL BÁSICO 1.
Sean los intervalos A=〈– 1; 2] B=〈0; 3]
5.
Determine la variación de la expresión E =
C =〈– 5; 3〉
+
A) 6
D) 0;
B) 7
C) 5
Si A; B son conjuntos definidos por A = { x ∈ R / x < 1 ↔ x > 0} y
A) 3 D) 10
1
; x
>
0
B) 0;
2
3
1
C) 1;
3
2
E) 〈1; 2]
2
B) 4
C) 6 E) 15
A) 6 D) 4
b −
a− b
a
>
0
C) 8 E) 12
Halle el menor número N , tal que se cumple
A) 16 D) 4/13
< b
a
B) 9
3 – x2 – x4 ≤ N ; ∀ x ∈ R.
2
a
≥ K
NIVEL INTERMEDIO
Si a < b < 0, halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones. b
Sean a; b; c números reales positivos. Determine el máximo valor de K si abc
7.
II.
+
( a + b )( b + c )( a + c )
2 x = x ∈ Z / ∈ A 16 entonces el número de elementos de B es
I.
x
E) 8
B
2
A) 〈0; 1]
6.
3.
x
Determine el número de elementos enteros en C – ( A – B).
D) 4 2.
2x
8.
B) 13/4
C) 9/4 E) 4/9
Si ∀ x ∈ R: (1+a+a2) ≤ K · (a4+a2+1), luego el mínimo valor de K es
III. Si a≠– b → a(a+ b) > (a+ b) · b
b +1
IV. a−1 >
a
A) V VVF D) VVFF 4.
A) B) VFVV
C) FV VV E) FVVF
Si a∈〈0; b〉, halle el intervalo al cual pertenece la expresión 2
a 2
2
a b
3
B)
4
−b
9.
C) E)
4 3 2 3
Determine la variación de la expresión M =
3x x
2
−
x
D) [– 2; 3]
13
3
D) 3
A) [– 1; 3] 4
1
+
; 1
x
∈R
B) [– 2; 2]
C) [– 1; 2] E) [– 1; 1]
Álgebra 10.
Dada la ecuación 4 x4 – ax 3+ bx2 – cx+5=0
NIVEL AVANZADO
de raíces r 1, r 2, r 3, r 4 positivos, tal que r1 2
r2
+
4
+
r3 5
+
r 4 8
=
16.
1
A =
halle la mayor raíz
A) 1/2 D) 7/3 11.
B) 1
C) 2 E) 5/4
12.
C) 1200 E) 1160
E =
(8 x 2 − 12 x + 12) 2 x − 1
A) 4
; x
>
27
C) 2 · 4
64
18.
3
2x
+
7
+
3
C) 5 E) 9
15.
C) 8 E) 4
A) 4 D)
a
2
3
65
+
9
+
2
b
20.
E) 2 2 − 2
x x
6
4
+
−
x
2
2 x3
−
C) 3 + 4 E) 9
1
; x
>
1
B) 1/6
C) 2 E) 1/8
Indique la variación de la expresión =
x
2
+
x
+1−
x
2
−
x
+1
si x ∈ R. A) 〈– 1; 1〉
13
C) 1/2
Determine el máximo valor de
M
+ 16
B) 2
4
B) 1
A) 1/2 D) 1/3
Sea a+ b=4; tal que Halle el menor valor de f donde =
C) 6 E) 9
2
D) 19.
a, b ∈R+ 0.
f
+
A) 2 2
si x, y>0 / x+ y=1. B) 3 2
; x > 0
B) 2
x 2 + 2 − x 4 x
2y + 7
A) 2 D) 2 · 3 4
3 7 C) ; 2 3
Sea x un número real positivo, encuentre el máximo valor posible de
Calcule el máximo de L =
5 2
27
Sabiendo que 2 p=a+ b+c calcule el máximo valor de k, siendo a, b, c lados de un triángulo que verif ique p3 – 3abc ≥ k( p – a)( p – b)( p – c) B) 3
3
3 E) ; +∞ 2
A) 4 D) 8
2
A = 14.
;
x + 1 + x 3 + 1 x x 3
E) 1 + 3 4
A) 1 D) 7
7
B)
2
2 .
x + 1 6 − x 6 + 1 − 2 x x 6
1
D) 3 + 33 4 13.
3
x ∈ 1;
3
64
B) 4 4
+ x +1 si x + 1
Encuentre el mínimo de
Determine el mínimo de x
2
D) [1; 2〉 17.
B) 1260
x
A) 0;
Determine el máximo producto xy (72 – 3 x – 4 y); donde x, y > 0 A) 1100 D) 1152
Indique el intervalo al cual pertenece
2
B) [– 1; 1]
1
1
3
3
D) − ;
C) 〈– 2; 2〉 1
1
2
2
E) − ;
14
Álgebra Inecuaciones cuadráticas
5.
Determine la suma de valores de k, de modo que la inecuación
NIVEL BÁSICO 1.
x2 – kx+9 < 0 tenga CS=φ
Siendo a < b < 0, resuelva x a
+
b
x
≥
a
b
+
A) 12
a
6.
2.
;
tiene raíces positivas, entonces A) a < – 3
+ ∞
−m
+
x
np
D) A ∪ B
−n
x
+
mp
−
p
nm
1 > 2 + m
1 n
+
1
7.
p
C) a > – 3 E) a < 6
Determine el intervalo del parámetro a, de modo que la desigualdad a x2 – 2 x+a ≤ 1 se cumpla para todo x ∈ R
A) 〈 m; +∞〉
1 − 5 1 + 5 ; A) 2 2
B) 〈– ∞; m+n+p〉 C) 〈 m+ n+ p, +∞〉
B) 〈– ∞; 0〉
D) 〈 m – n – p; +∞〉 E) 〈– ∞, m – n – p〉
C) −∞;
1− 5
2
La inecuación x 2
−
2 3x
+1<
0
D)
tiene como conjunto solución a A)
3 − 1;
3 +1
B)
2 − 1;
2 +1
C)
3
−
2;
D) − 3 ;
3
3
+
E)
2
8.
Al resolver la inecuación cuadrática 2
1+ 5 2
;
+ ∞
1− 5
R−
2
;
1+ 5 2
NIVEL INTERMEDIO
E) 2 − 3; 2 + 3 4.
B) 2 < a ≤ 6
Para { m, n, p} ⊂ R+ resuelva la inecuación en x x
3.
Si la ecuación cuadrática (a – 2) x2 – 2ax+(a+3)=0
D) 〈ab; +∞〉 a+ b
E) 52
b
C) 〈a – b; +∞〉 1
C) 48
D) 0
A) 〈– ∞; a+ b〉 B) 〈 – a – b; +∞〉
E)
B) 6
2
ax + bx+a > 2
se obtiene como conjunto solución al intervalo
Se sabe que el conjunto solución de bc( ax
−
b + c
es m,
1)
+
+ ∞
ab(cx
−
1)
a+ b
. Halle m −
1 − 2; 1 + 2 . Determine a+ b.
A) – 1 D) 1
B) 2
C) – 2 E) 3 15
A) 1/ a D) 1/ d
B) 1/ b
+
ac(bx
1 a
−
a+c
1)
>
1
a+ b+ c
− si {a, b, c} ⊂ R+. b
C) 1/ c E) a
Álgebra 9.
Dado el conjunto S
=
{
x
∈R
13.
/ sen t( x − 1) < t( x − 1); 0 <
t<
π
2
}
Resuelva la siguiente inecuación en x. x2+ m2+ n2+ p2 > x( m+ n+ p); { m, n, p} ⊂ R+
calcule la suma de los cinco menores elementos enteros de S.
A) B)
A) 10
B) 18
D) 23 10.
C) 20
C)
E) 29
D) φ E) m2 + n2 + p2 ; + ∞
Dados los conjuntos C
{ x ∈R / x ≤ 5
∨ x>
R + R – R
8}
A
=
B =
{ x ∈R / ( x 2 + 3 x + 7) ( x 2 − 9) ≥ 0}
14.
Se tiene el conjunto
{
2
(
)
}
T = t ∈ R / ∀x ∈ R : x − 2 2 − sen 2t x + 1 ≥ 0
Si T ⊂ 〈0, 2p]; calcule el cardinal del conjunto T .
Halle A ∩ B. A) 0 D) 3
A) [5; 8〉 B) [– 3; 3]
C) 2 E) 5
D) [8; +∞〉
Dado el sistema de desigualdades y − x 2 + 6 x − 12 ≥ 0 2 y − x ≤ 4
E) 〈5; 8]
Determine el máximo valor de x+ y.
Respecto al conjunto A dado por
A) 6 D) 10
15.
C) [– 3; 5 〉 ∪ 〈8; +∞〉
11.
B) 1
{
},
B) 7
C) 8 E) 9
2 A = x ∈ R / 5 x − 1 < ( x + 1) ≤ 7 x + 15
NIVEL AVANZADO
indique la secuencia correcta de verdadero (V) ó falso (F).
16.
I. ∃ x ∈ A /1 – x > 0
II. A ∩ {1, 2, 6}=φ
III. Los elementos de A suman 20. A) VFV
B) FVF
D) FFV 12.
C) VFF
I. es posible que CS=〈0; 1〉.
E) FFF
II. es posible que CS=〈1; 3〉.
Sabiendo que P( x) ≤ 0; ∀ x ∈〈 – 8; 5] ∪ [7; +∞〉 P( x )
= −x
2
+
En la siguiente inecuación x2 – ∆ x+∆ < 1 donde ∆ representa el discriminante del polinomio cuadrático x2 – ∆ x+(∆ – 1), podemos afirmar que
( 2a + 1) x + b + 2 /
III. siempre se cumple que CS ⊂ 〈0; 3〉. IV. Car(CS ∩ Z) > 1. A) solo I
a ∨ b ∈ R; calcule 2 a – b.
B) solo II C) solo III
A) 0 D) 42
B) 54
C) 48
D) I y II
E) 36
E) I, II y III 16
Álgebra 17.
Dado el polinomio de coeficientes reales
19.
P( x)= x3+ax 2+ bx+c
Si a; b ∈ Z+ , tal que 2
b
2
+
b
+
a
=
4
tal que sus tres raíces son reales positivas,
a
además, sea el polinomio Q( x)= x2 – 2 x+3. Se
determine el número de (a, b) que sean solu-
ción de la ecuación.
sabe que P(Q( x))=0 tiene todas sus raíces imaginarias. Determine la variación de c.
A) 1 A) − 8; 0 B)
−
C)
−∞
27;
B) 2 C) 0
+∞
; 8
D) 4
D) R E) 18.
−
E) infinitas 8;
+∞
20.
Dados los polinomios
Dados los polinomios f ( x)= x3 – 3 x2+5 x – 17
2
f ( x)=2 x +2 x – 4 g( x)= x2 – x+2
g( x)= x3 – 3 x2+5 x+11
encuentre el número de valores reales que
Si f (a)=0; g(b)=0; a ∧ b ∈R
toma x para que A) 1 D) 4
f ( x ) g( x )
B) 2
sea un número natural.
calcule a+b.
C) 3
A) 3
E) 5
D) 5
17
B) 4
C) 6 E) 2
Álgebra Semestral UNI
NÚMEROS COMPLEJOS I
NÚMEROS COMPLEJOS II
ECUACIONES POLINOMIALES I
ECUACIONES POLINOMIALES II
DESIGUALDADES
INECUACIONES CUADRÁTICAS
18
