UNIVERSITATEA „CONSTANTIN BRÂNCUŞI” TARGU JIU FACULTATEA DE INGINERIE Catedra care gestionează disciplina : Ingineri, cursuri de zi, 4 ani AVIZAT,
ŞEF CATEDRĂ
PROGRAMA ANALITICĂ Denumirea disciplinei Codul disciplinei
Algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala Semestrul I Numărul de credite
UCB.01.02. OF.1.002
De Inginerie Facultatea Domeniul de Inginerie Energetică licenţă Specializarea Termoenergetica/Managementul energiei
Numărul orelor pe semes semestru Total 56
Categoria formativă a disciplinei : F – fundamen fundamentală, D- domeniu, S – de de specialitate, specialitate, U - umanistă
Categoria de opţionalitate a disciplinei : O- obligatorie, A- opţională, L –liber aleasă (facultativă) (facultativă)
Discipline anterioare
5
C 28
S 28
L -
P -
F
O
Obligatorii (condiţionate) Recomandate
A.OBIECTIVELE DISCIPLINEI
Scopul cursului este de a furniza studenţilor cunoştinţele fundamentale de algebră liniară, geometrie analitice şi geometrie diferenţială, cunoştinţe absolut necesare in studiul altor discipline de specialitate. specialitate.
B. COMPETENŢE OFERITE DE DISCIPLINĂ Rezultatele învăţării, exprimate în competenţe cognitive, constau în însuşirea următoarelor cunoştinţele generale: - Noţiunile de bază bază ale Algebrei liniare (spaţii şi subspaţii liniare, baze baze şi coordonate, coordonate, aplicaţii liniare, spaţii euclidiene, normate şi metrice). - Determinarea bazei unui subspaţiu, schimbarea bazelor şi a coordonatelor, determinarea naturii unor aplicaţii liniare, comportarea acestora la schimbări de baze, determinarea valorilor şi subspaţiilor proprii ale endomorfismelor ;
- Calcul de produse scalare, norme şi distanţe în diverse spaţii, ortogonalizarea - noţiunile de bază ale geometriei analitice (punct, dreaptă, plan, cuadrică si ecuaţiile lor, repe r,
poziţie relativă, unghi, distanţă); De asemenea studenţii trebuie să aibă capacitatea - de a aplica tehnicile algebrei vectoriale în geometria analitică, - de a explica necesitatea folosirii, în general, a tehnicilor specifice algebrei liniare în matematică, mecanică si fizică, - de a explica folosirea, în particular si în detaliu, a tehnicilor specifice algebrei liniare în geometria analitică; - de a modela algebric si geometric diverse reprezentări spatiale; - de a utiliza cunostiinţele teoretice la rezolvarea de probleme; - de a putea modela matematic anumite chestiuni înrudite din mecanică si fizică; - de a lucra individual dar si în echipă la rezolvarea unor probleme complexe.
C. CONŢINUTUL DISCIPLINEI C1. CONŢINUTUL CURSULUI Nr. Crt. 1
2
3
4
Capitolele cursului
Nr. ore
Capitolul 1: SPATII VECTORIALE.
Definiţia spaţiului vectorial. Combinaţii liniare. Dependenţă si independenţă liniară. Baze. Dimensiunea unui spaţiu liniar. Schimbarea bazei. Izomorfismul spatiilor liniare. Subspaţii liniare. Intersecţii si sume de subspaţii liniare. Suma directa a spatiilor vectoriale. Capitolul 2VECTORI LIBERI.
Segment
orientat.
Clasa
de
echipolenta. Vector liber. Operaţii cu vectori liberi. Coliniaritate şi coplanaritate. Produse în spaţiul vectorilor liberi. 4 ore Capitolul 3 OPERATORI LINIARI. Definiţie . Imaginea şi nucleul unui operator liniar. Matrice asociate operatorilor. Schimbarea matricei asociate unui operator liniar la schimbarea bazei (bazelor). 4
2 ore
Capitolul 5 SPATII EUCLIDIENE. Produs scalar. Spatii euclidiene.
Spatii normate. Normă euclidiană. Spaţii Hilbert. Baze ortonormate. Procedeul Gram Schmidt de ortonormare.
6
2 ore
VALORI ŞI VECT ORI PROPRII. FORME CANONICE ALE MATRICELOR ŞI ENDOMORFISMELOR. Valori şi vectori proprii. Polinom caracteristic. Teorema lui Cayley Capitolul
Hamilton.
5
4 ore
2 ore
Capitolul 6 FORME BILINIARE SI PATRATICE. Forme biliniare. Matricea unei forme biliniare intr-un sistem de baze. Forme biliniare simetrice si forme pătratice. Metode de ad ucere la forma canonica a unei
forme pătratice. Metoda lui Gauss. Metoda valorilor şi vectorilor proprii. Legea inerţiei. 2 ore
7
GEOMETRIE ANALITICĂ Capitolul 7 SISTEME DE COORDONATE. SCHIMBĂRI DE REPERE CARTEZIENE. Sisteme de coordonate în plan şi spaţiu. (Coordonate carteziene. Coordonate polare. Coordonate sferice (în
spaţiu). Coordonate cilindrice.) Schimbări de axe în coordonate . Rototranslaţia şi simetria. 1 ore 8
9 10
11
DREAPTA ŞI PLANUL ÎN SPAŢIU. Determinări ale planului şi dreptei în spaţiu. Fascicul de plane. Distanţe şi unghiuri în spaţiu. 2 ore Capitolul 9 CONICE. Definiţie. Reducerea la forma canonică. Invarianţii conicei. Centru. Clasificare. Intersecţia cu o dreaptă. 2 ore Asimptote. Tangentă. Capitolul 10 CUADRICE. Sferă. Elipsoid. Hiperboloizi. Paraboloizi. Reducerea la forma canonică. Intersecţia unei cuadrice cu o dreaptă. Intersecţia cu un plan. Plan tangent. 2 ore Capitolul 8
GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ Capitolul 11 CURBE ÎN PLAN ŞI SPAŢIU. A) CURBE PLANE . Ecuaţii carteziene explicite si implicite. Ecuaţii parametrice ale unei curbe. Ecuaţii in coordonate polare. Ecuaţie vectoriala. Tangenta şi normala la o curba plana. Unghiul tangentei cu raza vectoare in cazul ecuaţiilor curbelor definite in coordonate pol are. Normala la o curba plana. Puncte multiple ale unei curbe plane. Asimptote. Elementul de arc al unei curbe plane. Curbura. Raza de curbura. B) CURBE IN
SPAŢIU. Ecuaţii ale curbelor in spaţiu (ecuaţii explicite, implicite, parametrice, vectoriale, în coordonate polare). Tangenta la o curba strâmbă. Elementul de arc al unei curbe în spaţiu. Plan normal. Plan osculator. Normala principala. Plan rectificat. Curbură. Torsiune. Triedrul lui Frenet. Formulele lui Frenet.
5 ore
C2. CONŢINUTUL LUCRĂRILOR DE LABORATOR Nr. Crt.
Temele lucrărilor de laborator
C3. CONŢINUTUL SEMINARIILOR/ PROIECTULUI Nr. Temele seminariilor/ Tema şi etapele proiectului Crt. 1
2
Nr. ore
Nr. ore
SPATII VECTORIALE. Exemplificarea noţiunilor de spaţiu vectorial, combinaţie liniare, sistem de generatori. Aplicaţii referitoare la
dependenţa si independenţa liniară .Exemple de baze pentru spatii vectoriale. Determinarea dimensiunii unui spaţiu liniar. Schimbarea bazei. Izomorfismul spatiilor liniare. Exemple şi aplicaţii. Aplicaţii 4 ore privind subspaţiile liniare, intersecţia si suma subspaţiilor liniare. VECTORI LIBERI. Aplicaţii privind operaţiile cu vectori liberi, coliniaritatea şi coplanaritatea acestora precum si produsele definite în spaţiul vector ilor liberi. 4 ore
3
OPERATORI LINIARI. Exemple de operatori liniari. Operatii cu
operatori liniari. Aplicatii. Determinarea imaginii şi a nucleului unui operator liniar. Calculul matricilor asociate operatorilor liniari. Aplicatii privind schimbarea matricei asociate unui operator liniar la schimbarea 2 ore bazei (bazelor).
4
VALORI ŞI VECTORI PROPRII. FORME CANONICE ALE MATRICELOR ŞI ENDOMORFISMELOR. Determinarea valorilor şi vectorilor proprii pentru un operator liniar. Calculul polinomului caracteristic. Aplicatii ale teoremei lui Cayley Hamilton.
5
6
2 ore
SPATII EUCLIDIENE. Exemple de spatii vectoriale dotate cu produs scalar. Norma provenita dintr-un produs scalar. Exemple si aplicatii. Exemple de sisteme ortogonale. Aplicatii ale procedeului de ortonormare Gram Schmidt. Baze ortonormate. 2 ore FORME BILINIARE SI PATRATICE. Forme biliniare. Matricea unei forme biliniare intr-un sistem de baze. Aplicatii Forme biliniare simetrice si forme patratice. Metode de aducere la forma
canonica a unei forme patratice. (Metoda lui Gauss. Metoda valorilor şi vectorilor proprii.) Legea inertiei. Aplicatii.
7
8
9 10 11
2 ore
SISTEME DE COORDONATE. SCHIMBĂRI DE REPERE CARTEZIENE. Sisteme de coordonate în plan şi spaţiu ( Coordonate carteziene. Coordonate polare. Coordonate sferice (în spaţiu). Coordonate cilindrice.) Aplicaţii. Schimbări de axe în coordonate . Rototranslaţia şi simetria. Aplicaţii. 1 ore DREAPTA ŞI PLANUL ÎN SPAŢIU. Determinări ale planului 2 ore şi dreptei în spaţiu. Fascicul de plane. Distanţe şi unghiuri în spaţiu. Aplicaţii. Reducerea la forma canonică a unei conice. Aplicaţii. Determinarea invarianţilor unei conicei si a centrului daca acesta exista. Clasificare. Intersecţia cu o dreaptă. Asimptote. Tangentă. Aplicaţii. 2 ore CUADRICE. Reducerea la forma canonică a unei cuadrice. Intersecţia unei cuadrice cu o dreaptă. Intersecţia cu un plan. Plan tangent. Aplicaţii. 2 ore CURBE ÎN PLAN ŞI SPAŢIU. A) CURBE PLANE . Determinarea diferitelor tipuri de ecuaţii pentru o curba plana. Tangenta şi normala la o curba plana. Unghiul tangentei cu raza vectoare in cazul ecuaţiilor CONICE.
curbelor definite in coordonate polare. Normala la o curba plana. Puncte multiple ale unei curbe plane. Asimptote. Elementul de arc al unei curbe plane. Curbura. Raza de curbura. Aplicaţii. B) CURBE IN
SPAŢIU. Determinarea diferitelor tipuri de ecuaţii pentru o curba în spaţiu (ecuaţii explicite, implicite, parametrice, vectoriale, în coordonate polare). Tangenta la o curba strâmbă. Elementul de arc al unei curbe în spaţiu. Plan normal. Plan osculator. Normala principala. Plan rectificat. Curbură. Torsiune. Triedrul lui Frenet. Formulele lui Frenet. Aplicaţii 5 ore C4. Cerinţe minimale pentru promovarea examenului (obţinerea notei 5) Nr. Numele capitolului Lista noţiunilor minimale pe care trebuie
să le
Crt. 1
SPATII VECTORIALE
posede studentul Să cunoască definiţiile următoarelor noţiuni: spaţiu vectorial, combinaţie liniară, sistem de generatori, sistem liniar
2
independent,
sistem
liniar
dependent,
baza,
dimensiune a unui spaţiu vectorial, coordonate ale unui vector într -o bază, subsapaţiu vectorial. Să fie capabil să exemplifice (cu argumentaţia necesară) fiecare noţiune menţionată mai sus. Să cunoască definiţiile următoarelor noţiuni sau operaţii:
VECTORI LIBERI
segment orientat, vector liber, adunarea vectorilor liberi,
înmulţirea cu scalari a vectorilor liberi, produsul scalr şi produsul vectorial al vectorilor liberi. Să cunoască proprietăţile operaţiilor enunţate mai sus şi să poată efectua calcule care utilizează aceste operaţii. 3
OPERATORI LINIARI.
Să cunoască definiţia operatorului liniar şi pe baza definiţiei, să poată verifica dacă o aplicaţie dată este sau nu operator liniar.
4
VALORI ŞI VECTORI Să cunoască definiţia noţiunilor de valoare proprie şi PROPRII. FORME respectiv vector propriu pentru o matrice. Să ştie să CANONICE ALE calculeze vectorii şi valorile proprii pentru o matrice de MATRICELOR ŞI ordin cel mult 3. ENDOMORFISMELOR.
5
SPATII EUCLIDIENE
Să cunoască definiţiile următoarelor noţiuni: spaţiu euclidian, spaţiu unitar, produs scalar, normă provenită din produs scalar, sistem ortogonal, sistem ortonormat, baza
ortogonală, bază ortonormată. Să poată verifica dacă un sistem de vectori dintr-un spaţiu vectorial dotat cu produs scalar este ortonormat.
Să cunoască definiţia formei biliniare şi respectiv a formei pătratice. Să ştie să asocieze matricea unei forme pătratice date într -o bază dată. DE Să cunoască sistemele de coordonate carteziene, polare, sferice şi cilindrice precum şi legăturile dintre ele. DE
6
FORME BILINIARE SI PATRATICE.
7
SISTEME COORDONATE.
SCHIMBĂRI
REPERE CARTEZIENE
8
DREAPTA ŞI PLANUL Să cunoască următoarele ecuaţii: ecuaţia generală a planului, ecuaţia planului care trece printr -un punct si are ÎN SPAŢIU. un vector normal dat, ecuaţia dreptei care trece prin două puncte distincte, ecuaţia dreptei determinate de un punct şi un vector director. Să ştie să determine aceste ecuaţii dacă sunt date elementele necesare.
9 10 11
Să cunoască definiţia generală a unei conice precum şi ecuaţiile conicelor în formă redusă, învăţate în liceu. Să cunoască ecuaţiile cuadricelor în formă redusă. CUADRICE CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN Să recunoască ecuaţiile implicite, explicite sau parametrice ale unei curbe în plan sau în spaţiu. Să poată determina SPAŢIU ecuaţia tangentei la curbă (plană sau în spaţiu) într -un CONICE
punct atunci când curba este reprezentată parametric
D. FORMA ŞI MODUL DE EVALUARE A CUNOŞTINŢELOR Forma de evaluare (E – examen, C – colocviu, V – verificare, CFN –colocviu fară notă) • evaluarea finală (colocviu, verificare, examen) • prezenţă curs Stabilirea notei • lucrări practice (seminar şi/saulaborator) finale • proiect (procentaje)
60 % 10 % 30 % 0%
E. BIBLIOGRAFIE
[1] V. Brînzănescu, O. Stănăşilă, "Matematici speciale", Editura ALL, Bucureşti, 1994. [2] C.Radu, " Algebra liniară, geometrie analitică şi diferenţială",, Editura ALL, Bucureşti, 1994.
[3] I.Creanga ,C.Reischer, ”Algebra liniara “ ,Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti,1970.
[4] M.Craiu, G.Toma “Curs de algebra liniara si geometrie “ ,Bucures ti.I.P.B, 1979. [5] M.Rosculet, “Algebra liniara ,geometrie analitica si geometrie diferentiala”, Editura Tehnica , Bucuresti,1987.
[6] C.Udriste si altii “Probleme de algebra liniara ,geometrie analitica si ecuatii diferentiale”, Bucuresti,1995. [7] V. M. Ungureanu,
M. R. Buneci, "Algebră Liniară: teorie şi aplicaţii " , Editura Mirton
Timişoara, 2004. [2] V. M. Ungureanu, " Algebra Academica Brancusi, Tg-Jiu, 2009.
Coordonator disciplină Legendă: Observaţie:
liniară, geometrie analitică şi diferenţială", Editura
Grad didactic, titlul, nume, prenume
Semnatura
Ungureanu Viorica Mariela
S-seminar, L – laborator, P- proiect
În conformitate cu Hotărârea Biroului Consiliului Facultăţii de Inginerie nr. 148/02.09.2008, art. 1. şi 150/12.09.2008, art .4, la stabilirea notei finale se vor avea în vedere următoarele : - la disciplinele prevăzute cu form a de evaluare proiect: 50% - evaluarea finală, 50% - evaluarea pe parcurs (10% prezenţă, 20% seminar şi/sau laborator, 20% proiect)
- la disciplinele prevăzute fără forma de evaluare proiect: 60 % - evaluare finală, 40 % - evaluare pe parcurs (10% prezenţă, 30% seminar şi/sau laborator).
