ALETAS
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1.7. SISTEMAS DE CONDUCCION CONVECCION. Aunque existen muchas situaciones diferentes que envuelven efectos combinados de conducción convección, la aplicación más frecuente es el de una superficie extendida que se utiliza específicamente para aumentar la velocidad de transferencia de calor entre un sólido y un fluido adyacente. Estas superficies extendidas se denominan aletas.
Figura 1.17 Superficies sin y con aletas
Consideremos la superficie de la figura 1.17a. Si T S es fijo, hay dos maneras en las cuales se puede aumentar la velocidad de transferencia de calor. El coeficiente convectivo h puede aumentarse aumentando la velocidad del fluido, y/o la temperatura del fluido T puede reducirse. Sin embargo, pueden encontrarse muchas situaciones en las cuales aumentar h al máximo valor posible es aún insuficiente para obtener la velocidad de transferencia de calor deseada o los costos asociados son prohibitivos. prohibitivos. Estos costos están relacionados a los requerimientos de potencia para el ventilador o la bomba necesarios para aumentar a umentar el movimiento del fluido. f luido. Es más, la segunda opción de reducir T es frecuentemente impracticable. Examinando la figura 1.17b, sin embargo, nosotros vemos que existe una tercera opción. Esta es, la velocidad de transferencia de calor puede aumentarse aumentando el área superficial sobre la cual ocurre la convección. Esto puede hacerse utilizando aletas que se extienden desde la pared hacia el fluido de los alrededores. La conductividad conductividad térmica del material de las aletas tiene un fuerte efecto en la distribución de las temperaturas a lo largo de la aleta y por lo tanto influye en el grado hasta el cual la velocidad de transferencia de calor se incrementa. Idealmente el material de las aletas deberá tener una conductividad térmica alta para minimizar las variaciones de temperatura desde su base hasta su extremo. En el límite de conductividad térmica infinita, la aleta completa estaría a la temperatura de la superficie base, proveyendo por tanto el máximo aumento posible de la transferencia de calor.
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ALETAS
Figura 1.18 Aletas rectas y anulares
En la figura 1.18 se ilustran varias configuraciones de aletas. Una aleta recta es cualquier superficie extendida fijada a una pared plana. Puede ser de área seccional transversal uniforme o ésta puede variar con la distancia desde la pared. Una aleta anular es una que se encuentra fijada perimetralmente a un cilindro y su sección transversal varía con el radio desde la línea central del cilindro. Estos tipos de aleta tienen sección transversal rectangular, cuya área puede ser expresada como un producto del espesor de la aleta t y y el ancho w para aletas rectas o la circunferencia 2 r para aletas anulares. En contraste una espina o aleta puntilla es una superficie extendida de sección transversal circular. Estas aletas pueden también ser de sección transversal uniforme o no uniforme. En cualquier aplicación, la selección de una configuración particular de aleta puede depender del espacio, del peso, manufacturación, y consideraciones de costos, así como de la extensión en la cual las aletas reducen el coeficiente convectivo superficial y aumenta la caída de presión asociada con el flujo sobre las aletas.
Figura 1.19 Aleta tipo puntilla área transversal constante
Para determinar la transferencia de calor asociada con una aleta nosotros debemos primero obtener la distribución de temperaturas a lo largo de la aleta. Como hemos hecho para otros sistemas, nosotros comenzamos realizando un balance de energía en un elemento diferencial apropiado. El análisis se simplifica si hacemos ciertas suposiciones. Asumimos condiciones unidimensionales en la dirección longitudinal, aunque la conducción dentro de la aleta es realmente bidimensional. La velocidad a la cual la energía se transporta por convección hacia el fluido desde cualquier punto de la superficie de la aleta debe ser balanceada por la velocidad a la cual la energía alcanza ese punto, gracias a la conducción en la dirección transversal. Sin embargo en la práctica la aleta es delgada y los cambios de temperatura en la dirección longitudinal son mucho mayores que aquellos en la dirección transversal. Aquí nosotros podemos asumir conducción unidimensional en la dirección z. Nosotros también podemos considerar condiciones de estado estable y también asumir que la conductividad
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ALETAS
Figura 1.18 Aletas rectas y anulares
En la figura 1.18 se ilustran varias configuraciones de aletas. Una aleta recta es cualquier superficie extendida fijada a una pared plana. Puede ser de área seccional transversal uniforme o ésta puede variar con la distancia desde la pared. Una aleta anular es una que se encuentra fijada perimetralmente a un cilindro y su sección transversal varía con el radio desde la línea central del cilindro. Estos tipos de aleta tienen sección transversal rectangular, cuya área puede ser expresada como un producto del espesor de la aleta t y y el ancho w para aletas rectas o la circunferencia 2 r para aletas anulares. En contraste una espina o aleta puntilla es una superficie extendida de sección transversal circular. Estas aletas pueden también ser de sección transversal uniforme o no uniforme. En cualquier aplicación, la selección de una configuración particular de aleta puede depender del espacio, del peso, manufacturación, y consideraciones de costos, así como de la extensión en la cual las aletas reducen el coeficiente convectivo superficial y aumenta la caída de presión asociada con el flujo sobre las aletas.
Figura 1.19 Aleta tipo puntilla área transversal constante
Para determinar la transferencia de calor asociada con una aleta nosotros debemos primero obtener la distribución de temperaturas a lo largo de la aleta. Como hemos hecho para otros sistemas, nosotros comenzamos realizando un balance de energía en un elemento diferencial apropiado. El análisis se simplifica si hacemos ciertas suposiciones. Asumimos condiciones unidimensionales en la dirección longitudinal, aunque la conducción dentro de la aleta es realmente bidimensional. La velocidad a la cual la energía se transporta por convección hacia el fluido desde cualquier punto de la superficie de la aleta debe ser balanceada por la velocidad a la cual la energía alcanza ese punto, gracias a la conducción en la dirección transversal. Sin embargo en la práctica la aleta es delgada y los cambios de temperatura en la dirección longitudinal son mucho mayores que aquellos en la dirección transversal. Aquí nosotros podemos asumir conducción unidimensional en la dirección z. Nosotros también podemos considerar condiciones de estado estable y también asumir que la conductividad
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15 térmica es constante, que la radiación desde la superficie es despreciable, que los efectos de generación térmica están ausentes, y que el coeficiente de transferencia de calor convectivo h es uniforme sobre la superficie. Consideremos la superficie extendida de la figura 1.19. Aplicando los requerimientos de conservación de la energía, (ecuación 1.7 sin generación y en estado estable) a un elemento diferencial obtenemos: ALETAS
Q z z dz dQconv Q z
con
Q z z dz Q z z
z
0
dQz dz
dz
y
Q z kA z
dT dz
donde Az es el área transversal, la cual varía con z. La transferencia de calor por convección: dQconv hdS (T T )
donde dS es el área superficial del elemento diferencial. Sustituyendo en el balance de energía obtenemos: d dT dS kA h (T T ) 0 z dz dz dz
(1.33)
Este resultado nos provee una forma general de la ecuación de energía para condiciones unidimensionales en la superficie extendida. Su solución para condiciones límite adecuadas nos dará la distribución de temperaturas, la cual con la ley de Fourier nos permite calcular la velocidad de conducción en cualquier posición.
Figura 1.20 Aleta recta de área transversal variable
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ALETAS 16 La forma de ésta distribución de temperaturas se esquematiza en la figura 1.20. Note que la magnitud del gradiente de temperatura disminuye a medida que aumenta z. Esta tendencia es consecuencia de la reducción en la transferencia de calor por conducción con el aumento de z debido a las pérdidas continuas por convección desde la superficie de la aleta.
1.7.1. ALETAS DE AREA TRANSVERSAL UNIFORME Para resolver la ecuación (1.33) anterior es necesario ser más específicos acerca de la geometría. Comenzamos con el caso más simple de aletas rectangulares y de puntilla de sección transversal uniforme (Figura 1.21). Cada aleta esta fija a una superficie base de temperatura T S y se extiende hacia un fluido a temperatura T .
Figura 1.21 Aletas de área transversal constante
Para las aletas prescritas, A z es constante, y S = Pz, donde S es el área superficial medida desde la base hasta z y P es el perímetro de la aleta. aleta. Suponiendo k constante constante y con dS = Pdz, la ecuación (1.33) se reduce a: d 2T dz 2
Ph kA z
(T T ) 0
(1.34)
Para simplificar la forma de ésta ecuación, nosotros transformamos la variable dependiente definiendo una temperatura en exceso = (T T), teniendo presente que T varía a lo largo de la aleta y que si T es constante d 2T/dz2 = d2/dz2 la ecuación (1.34) se transforma en: d 2 2
dz
m 2 0
(1.35)
Esta ecuación es una ecuación diferencial lineal, homogénea, de segundo orden con coeficientes constantes que puede resolverse por métodos rutinarios (Mickley, Sherwood y Reid, [44] pg 150). Con m2 Ph / kA z y en términos del operador D d / dz
D
2
m2 D m D m 0 16
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ALETAS
de tal forma que: d dz
m C 1 exp( mz ) ;
y
d dz
m C 2 exp( mz )
son soluciones particulares y la solución general es: C1 exp mz C2 exp mz
(1.36)
También, sabiendo que: sinh mz
e
cosh mz
e
mz
e mz 2
mz
e mz 2
la solución (1.36) puede expresarse como: C3 cosh mz C4 sinh mz
(1.37)
o también C5 cosh m L z C6 sinh m L z
(1.38)
Las constantes C i deben calcularse con la ayuda de condiciones límites aceptables: la condición límite de la base no tiene discusión y puede considerarse que para: z = 0,
T = TS;
= TS T = S
En el otro extremo, z = L, puede considerarse una de las condiciones siguientes: i) Está transfiriendo calor por convección al fluido de los alrededores. Esto es, la velocidad a la cual la energía es transferida al fluido por convección desde el extremo debe ser igual a la velocidad con la cual la energía alcanza el extremo por conducción a través de la aleta: kAz(d/dz)z=L = hLAzL;
L = TL T
(1.39)
ii) Como la aleta es delgada podríamos despreciar las pérdidas en su extremo; es decir: (d/dz)z=L= 0
(1.40)
Esta condición para el extremo corresponde a la suposición de que las pérdidas convectivas desde el extremo de la aleta son despreciables en cuyo caso el extremo puede ser tratado como adiabático. Esta condición límite parece irrealista pues correspondería a extremos aislados lo que no es lógico si lo 17
ALETAS 18 que se quiere es disipar calor. Sin embargo, se acepta tomando la altura efectiva como L ef = L + t/2 y Lef = L + D/4 para cilindros (ver figura 1.21).
iii) Si la varilla tiene longitud infinita, su extremo L estará en equilibrio con el medio, es d ecir para: z = , T = T.
(1.41)
iv) para: z = L, T = TL, constante y conocida.
(1.42)
Caso i: extremo convectivo (condición 1.39)
Por ser más fácil la determinación de las constantes de integración, partimos de la expresión C5 cosh m L z C6 sinh m L z
Aplicando condiciones límite: Para z = 0, S = C5cosh (mL) + C6senh (mL) Para z = L; d dz z L
mC 5 sinh[ m( L z )] C 6 cosh[m( L z )] z L
h L L k
como sinh 0 = 0 y cosh 0 =1 kC6m = hLL determinando C 6 y C5 se obtiene: S
T T T S T
cosh[m( L z )] (h L / mk ) senh[ m( L z )] cosh[mL] (h L / mk ) senh[ mL]
(1.43a)
Si la transferencia de calor en el extremo de la aleta es despreciable, se tiene h L = 0 y la ecuación (1.43) debe entonces coincidir con la solución para el extremo adiabático (1.40). Note también que el coeficiente de transferencia de la superficie lateral, h, contenido en el parámetro m, no necesariamente es el mismo que el coeficiente hL del borde de la aleta. Para z = L, la temperatura en exceso del borde es: L S
1 cosh[mL] (h L / mk ) senh[ mL]
(1.43b)
Calor total transferido por la aleta: De la figura 1.21 es evidente que el calor transferido puede evaluarse en dos caminos alternativos, y ambos usan la distribución de temperaturas. El procedimiento más simple es aplicar la ley de Fourier en la base de la aleta. Q S = kS (dT/dz)z=0. Así el calor que fluye a través de la base en z = 0
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ALETAS
QS mkA S
h L / mk tanh(mL) 1 (h L / mk )tanh(mL)
(1.43c)
Sin embargo, la conservación de la energía establece que la velocidad a la cual el calor es transferido por convección desde la aleta debe ser igual a la velocidad a la cual es conducido a través de la base de la misma. Consecuentemente, la formulación alternativa Q f
hT ( z ) T dS h ( z )dS Q
S
S
S
Caso (ii): extremo adiabático (condición 1,40)
Si se usa la ecuación (1.36) C1 exp mz C2 exp mz
Para z = 0 S = C1 + C2 para z = L, ’L = mC1exp(mL) mC2exp( mL) = 0 Resolviendo y reemplazando: S
exp(mz ) 1 exp(2mL)
exp(mz ) 1 exp(2ml )
(1.44a)
Una solución más práctica se obtiene si se parte de la correlación (1.38): C5 cosh m L z C6 sinh m L z
d dz z L
mC 5 sinh[ m( L z )] C 6 cosh[m( L z )] z L 0
Se obtiene C 6 = 0 y C5 S / cosh mL S
cosh[m( L z )] cosh(mL)
La diferencia de temperatura en el extremo de la varilla (z = L) es: L T L T
T S T cosh(mL)
(1.44b)
El flujo de calor a través de la base de la barra (z = 0) es:
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ALETAS
QS kAS
d dz z 0
senh[m( L z )] mkAS S S PhkAS tanh(mL) (1.44c) cosh( mL ) z 0
Caso (iii): aleta infinita
Aquí es más fácil usar la ecuación (1.36) C1 exp mz C2 exp mz
Para z = 0 S = C1 + C2 Para z S
, L 0 C1 = 0 y el perfil es:
→∞
→
T T TS T
QS kAz
exp mz
dT dz z 0
PhkAz S
(1.45a)
(1.45b)
Caso (iv): Temperatura conocida en el extremo
Para z = L, L Usando la solución (1.37) C3 cosh mz C4 sinh mz
obtenemos para z = 0, S = C3, y para z = L: L = S cosh(mL) + C4 senh(mL), por lo que:
C 4
L S cosh mL sinh mL
Reemplazando en (1.37):
L S cosh mL sinh mz sinh mL
S cosh mz
(1.46a)
Usando correlaciones del anexo D, p 471:
L senh mz senh m L z T T S S TS T senh mL 20
(1.46b)
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ALETAS
También puede expresarse como:
L mL e mz e mz mz e mL mL e S TS T S e e
T T
(1.46c)
El flujo de calor en cualquier punto Q z kAz
dT dz
z z
kA z m senh mL
S
cosh m L z L cosh mz
(1.46d)
Así, el flujo de calor por el extremo en z = 0 Q S PhkAz
cosh mL L / S senh mL
L / S e mL kAz m S 1 2 mL mL e e
El flujo de calor total por convección desde la superficie expuesta de la aleta será L
Qconvectivo Qz z 0 Qz z L h z Pdz
Ph S L cosh mL 1 m senh mL
0
Lo que equivale a: Qconvectivo
cosh mL 1 senh mL
PhkAz S L
(1.46e)
Para encontrar la temperatura mínima en la aleta diferenciamos la ecuación para el perfil, igualamos a cero y así encontramos el valor de z para el cual T es mínimo. Lo reemplazamos en el perfil de temperaturas y encontramos ese valor mínimo. Utilizando (1.46a): S cosh m L z L cosh mz
Esta ecuación puede resolverse por prueba y error, por algún método numérico o usando EES. Sin embargo, a partir de la solución para el perfil (1.46a):
cosh mL L / S sinh mL
tanh mz min
EJEMPLO 1xx: (Thirumaleshwar Ej 6.5 p 240 modificado) Los dos extremos de una barra de cobre (k = 380 W/m.K), de 15 mm de diámetro y 300 mm de longitud, están conectados a dos paredes cuyas superficies permanecen a 300 °C. Aire a 40 °C y velocidad de 15 m/s fluye transversal al cilindro. Calcule la temperatura del punto medio del cilindro, el calor transferido al aire y el calor transferido desde los primeros 10 cm medidos desde cualquiera de los extremos. Tome para el aire las
21
ALETAS 22 siguientes propiedades: C P = 1017 J/kg.K; k = 0.03541 W/m.K; = 2.396x105 N.s/m2; Pr = 0.688; = 0.8264 kg/m3.
$UnitSystem SI C Pa J Rad L=0,150 [m] D=0,015 [m] "h=107,3 [W/m^2-K]:"Tb=300: Tf=40
Nusselt=h*D/k_f k_f=conductivity(air;T=140): Pr=Prandtl(air;T=140) Re=rho*V*D/mu rho=density(air;T=140;P=101325): mu=viscosity(air;T=140;P=101325) Nusselt=0,3+0,62*Re^0,5*Pr^(1/3)/(1+(0,4/Pr)^(2/3))^,25*(1+(Re/282000)^(5/8))^0,8 k=380 [W/m-K] {eta=eta_fin_spine_rect(D; L; h; k)} m=sqrt(P*h/k/A) P=pi*D: A=pi*D^2/4 (T-Tf)/(Tb-Tf)=cosh(m*(L-z))/cosh(m*L) z=L Q=sqrt(P*h*k*A)*tanh(m*L) {Qi=h*pi*D*Integral((T-Tf);z;0;0,10)}
Variables in Main A=0,0001767 D=0,015 [m] h=107,3 [W/m^2-K] k=380 [W/m-K] L=0,15 [m] m=8,677 P=0,04712 Q=0,5024 Qi=96,26 T_0,1=184,3 Tb=300 Tf=40 z=0,1 T_L= 171,7 = 0,6523 Re= 7563 Nu = 45,83 Ejemplo 2XX: (p 137 koth..) Una varilla de sección transversal cuadrada de 12 mm de lado está construida de acero de bajo carbono tiene longitud de 159 mm, une dos superficies que se encuentran a 200 °C y 100°C respectivamente. Determine la temperatura en su punto medio así como la mínima temperatura y su ubicación. La conductividad del material es k = 51.9 W/m.K, y la temperatura ambiente es de 35 °C. El coeficiente convectivo es de 22 W/m 2.K. ¿Cuál es el flujo de calor (magnitud y dirección) en cada uno de sus extremos? ¿Cuál el calor disipado por convección? Respuestas: T1/2 = 112.65 °C; QTotal = 15.07 W; zmin = 0.1365 m; Tmin = 99.7 °C EJEMPLO 1.7: Se mide la temperatura de un fluido que avanza en el interior de un conducto circular por medio de un termómetro colocado dentro de una cavidad o portatermómetro cilíndrico soldado en el interior de la pared del tubo como se muestra en la figura (1.22). Si la temperatura del fluido es alta y difiere bastante de la temperatura externa, la pared del conducto puede estar a una temperatura inferior a la del fluido interno y fluirá calor por conducción desde el portatermómetro hacia la pared del conducto. El extremo del mismo, donde el bulbo del termómetro (o la unión de la termocupla) está colocado, podría entonces estar más frío que el fluido, y la temperatura indicada no sería la verdadera temperatura. Este error puede calcularse resolviendo la ecuaciones (1.46). Para ilustrar el caso que nos ocupa, demos las siguientes dimensiones al conducto y al portatermómetro. El tubo tiene 10 cm de diámetro y por él fluye vapor de agua sobrecalentado; el portatermómetro es de hierro y tiene diámetro D = 1.50 cm. El vapor está a presión de 1 kg/cm2 y su temperatura es de 315 °C. La velocidad de flujo es 20 m/s. Determinar la longitud del receptáculo que se necesitaría para producir un error en la medida de la temperatura que sea inferior al 0.5% de la diferencia entre la temperatura del vapor y la temperatura de la pared del conducto.
22
23 Calculando, el coeficiente convectivo entre el vapor y el conducto es de h = 105 W/m 2K. La conductividad térmica del hierro es k = 55 W/m.K (Perry [49]). Si la pared del receptorio tiene espesor e = 0.1 cm el área transversal para el flujo de calor por conducción en el mismo será: Az = De = ()(1,5)(0.1) cm2. El perímetro es sólo D = P. ALETAS
Figura 1.22 Portatermómetro inclinado 1 m = (hP/kAz)½ = (h/ke)½ = [(105)(100)/((55)(0.1))] 1/2 = 43.7 m
Se requiere que: L S
T L T T S T
0.005
o sea, por la ecuación (1.47): 1/[cosh(mL)] 0.005 cosh(mL) 200 mL 5.99, es decir, la longitud del portatermómetro será: L (5.99/43.7)x100 = 13.71 cm. Como esta longitud es mayor que el diámetro del tubo, será necesario colocarlo oblicuamente con respecto al eje del conducto. La radiación térmica entre la pared del conducto y el portatermómetro puede inducir un error adicional en la medición de la temperatura. EJEMPLO 1.8: Una varilla de diámetro D = 25 mm y conductividad térmica k = 60 W/m.K sobresale normalmente de la pared de un horno que está a T w = 200°C y está cubierta (la pared) de un aislante de espesor L ais = 200 mm. La varilla está soldada a la pared del horno y se usa como soporte para cargar cables de instrumentación. Para evitar que se dañen los cables, la temperatura de la varilla en la superficie expuesta, To, debe mantenerse por debajo de un límite de operación específico de T max = 100°C. La temperatura del aire ambiental es T = 25°C, y el coeficiente de convección es h = 15 W/m2.K. a) Halle una expresión para la temperatura de la superficie expuesta T o como función de los parámetros térmicos y geométricos establecidos. La varilla tiene una longitud expuesta L o y su punta está bien aislada. b) ¿Una varilla con Lo = 200 mm cumplirá con el límite de operación especificado? En caso contrario, ¿qué parámetros de diseño cambiaría? Considere otro material, aumente el espesor del aislante y la longitud de la varilla. Además, considere cómo unir la base de la varilla a la pared del horno como un medio para reducir To. Solución: D = 25 mm
k = 60 W/mK
Tw = 200°C
Lais = 200 mm 23
24 Tomax =100°C
ALETAS
h = 15 W/m2 K
T = 25°C
To = ?
S = (To T)
Figura 1.23 Ejemplo 1.8 a) La parte de la varilla que sobresale del aislamiento configura un sistema de conducción convección equivalente a una aleta de área transversal constante con temperatura T 0 en la base y extremo aislado en el punto z = L0. En la zona aislada solo hay transferencia de calor por conducción unidireccional estable sin generación. Igualamos ambos flujos de calor basándonos en las ecuaciones (1.47 a) y (1.10) establecemos: Q z
hP kA z (T w T o ) kA Lo Lais z
hPkA z T 0 T tgh
La incógnita es T 0. Manipulando algébricamente despejamos:
hP kA z hP kA Lo T hPkA tgh Lo T w z z kA kA Lais z L ais z
T o hPkA z tgh
b) 2 15 0.025 60 0.0252 15 0.025 4 200 60 0.025 25 tgh L 2 0.025 4 60 4 0.2 1 15 0.0252 2 3 L 225 0.025 tgh 0 . 025 0 . 2 o
T o
o
25 0.1588 200 0.1473 0.1588 0.1473
109.21o C 100o C
Si se usa un material de conductividad térmica menor que 43 W/m.K o se aumenta el espesor del aislante por encima de 250 mm se alcanzan las condiciones estipuladas. Sin embargo, aumentar la
24
25 longitud L o no es suficiente por sí sola pues la tangente hiperbólica alcanza rápidamente su valor límite de la unidad. ALETAS
1.7.2. RENDIMIENTO DE LAS ALETAS EFICACIA: Sabemos que las aletas se utilizan para aumentar la transferencia de calor desde una superficie aumentando el área superficial efectiva. Sin embargo, la aleta misma representa una resistencia conductiva a la transferencia de calor desde la superficie original. Por ésta razón, no hay seguridad de que la velocidad de transferencia de calor pueda aumentarse con el uso de aletas. Un aseguramiento de ésta situación puede hacerse evaluando la eficacia de la aleta. Esto se define como la relación de la transferencia de calor desde la aleta a la transferencia de calor que existiría sin la aleta. f
Q f hA z S
(1.50)
donde Az es el área transversal de la base de la aleta. Para cualquier diseño adecuado el valor de la eficacia debe ser lo más grande posible, y en general, el uso de aletas puede difícilmente justificarse a menos que f 2 como vemos a continuación. Es muy importante poder reconocer las condiciones para las cuales es ventajoso colocar álabes en una superficie. Aunque son varios los puntos de vista que se podrían tener en cuenta, el primero es determinar cuando se incrementaría el flujo de calor utilizando aletas. El límite está dado por la relación (dQ S/dL) = 0. Usando la expresión (1.45) y considerando que los factores k, A z, m y S son constantes, basta con diferenciar la parte fraccionaria de la ecuación. El resultado de la diferenciación, (f/g)' = (gf' fg')/g2, se hace cero cuando el numerador es cero ó el denominador se hace infinito. Esta última condición es satisfecha trivialmente para k = 0. Considerando el numerador: [1+(hL/m.k) tanh(mL)][m/cosh2(mL)] [(h2/m.k) + tanh(mL)][(hL/k)/cosh2(mL)] = 0 que se simplifica a [m (hL2/m.k 2)] = 0. Remplazando m por su valor y haciendo h = h L: 2k/ht·= 1 ó 1/h·= (t/2)/k El término izquierdo corresponde a la resistencia convectiva y el de la derecha a l a resistencia térmica por conducción de una pared plana de espesor igual a la mitad del espesor de la aleta. Cuando ambas resistencias son iguales se alcanza el límite más allá del cual las aletas son inútiles. En la práctica se sugiere utilizar superficies alabeadas siempre y cuando se cumpla que 2k/ht > 5. Para aletas de sección transversal constante, el calor que la base transmitiría sin la aleta Q s = hAzS, y la eficacia sería, usando condiciones límite (ii): f
S PhkA z tanh( mL) hA z S
0.5
kP tanh( mL) hA z
(1.48)
Aunque la instalación de aletas puede alterar el coeficiente convectivo superficial, este efecto normalmente se desprecia. Por lo tanto, suponiendo que el coeficiente convectivo de la superficie con
25
ALETAS 26 aletas es equivalente al de la base sin aletas, se sigue de la aproximación de la aleta infinita (ecuación (1.48) con tanh = 1) que: 0.5
kP f hA z
(1.51)
Varias tendencias importantes pueden inferirse de éste resultado. Obviamente, la eficacia de la aleta se aumenta por la selección de un material de alta conductividad térmica. Aleaciones de aluminio y cobre vienen a la mente, sin embargo, aunque el cobre es superior desde el punto de vista de la conductividad térmica, las aleaciones de aluminio son la elección más común debido a los beneficios adicionales relativos a un menor costo y peso. La eficacia de la aleta es también incrementada aumentando la relación del perímetro al área transversal. Por ésta razón el uso de aletas delgadas pero muy poco espaciadas, es preferido, con la previsión de que el espacio entre las aletas no se reduzca a un valor para el cual el flujo entre las aletas sea severamente impedido, reduciéndose así el coeficiente convectivo. También la expresión sugiere que las aletas se justifican en condiciones para las cuales el coeficiente convectivo h es pequeño. Teniendo presente la magnitud relativa de los coeficientes convectivos para diferentes sistemas, se hace evidente que la necesidad de aletas es mayor cuando el fluido es un gas que cuando es un líquido y particularmente cuando la superficie transfiere calor por convección libre. Si las aletas van a usarse en una superficie que separa un gas y un líquido, generalmente se colocan en el lado del gas, que es el de menor coeficiente convectivo. La ecuación (1.48) nos da además un límite mayor para la efectividad, el cual se alcanza cuando L se aproxima al infinito. Cuando consideramos una aleta adiabática observamos que tanh(2.3) = 0.98, es decir que el 98% del máximo flujo de calor posible se alcanza para m.L = 2.3. Por lo tanto no tiene mayor sentido aumentar la longitud de las aletas mas allá de L = 2.3/m. Por otra parte las correlaciones se han obtenido suponiendo conducción unidimensional. Esto tiene validez si la resistencia por conducción en la dirección perpendicular a las superficies convectivas de las aletas es mucho menor a la resistencia por convección en la misma dirección, es decir: t / 2 kS
1 hS
h t / 2 k
Bi 1
Esta cantidad adimensional, conocida como número de Biot, aparece en problemas de transferencia de calor en las fronteras donde hay conducción y convección. Es similar en su forma al número de Nusselt pero se diferencia en que en Bi la conductividad térmica es la del sólido. 1.7.2.2. EFICIENCIA DE LAS ALETAS: La relación entre el calor disipado por la aleta y el calor disipado por una aleta similar de conductividad térmica infinita, f . En este caso, la conductividad infinita equivale a que toda la aleta se encuentre a temperatura uniforme e igual a la de la base, de tal manera que: f
S PhkA z tanh( mL) hLP S
tanh( mL) mL
(1.49)
26
27 La expresión (1.49) nos da la eficiencia para una aleta de sección transversal uniforme y borde adiabático. Este valor se aproxima a sus valores máximo y mínimo de 1 y 0, cuando L se aproxima a 0 e respectivamente. Esta expresión es suficientemente aproximada para extremos convectivos si corregimos la longitud usando L C = L + t/2 en aletas rectangulares y para aletas en forma de clavo o espina LC = L + D/4. El error asociado con esta aproximación es despreciable si ht/k o hD/2k 0.0625 = (1/16). ALETAS
Figura 1.X: Perfil de temperaturas según la conductividad de la aleta
Si el ancho de una aleta rectangular es mucho mayor que su espesor, es decir w >> t, el perímetro puede aproximarse por P = 2w, y usando un área corregida para el perfil A P = LCt: 1/ 2
1/ 2
Ph 2h 2h LC mLC LC kt kA z kA P
1/ 2
L3C / 2
En la literatura especializada se encuentran gráficos donde se da la eficiencia de diferentes tipos de aletas como función del parámetro L C3/2(h/kAP)1/2, siendo AP el área del perfil de la aleta. EJEMPLO 3xx: Un termopar de cobre y constantán (45% de Ni, 55% Cu), construido con alambre calibre 24 (0.510 mm de diámetro), se instala en una cámara de vapor. El vapor se halla a 320 K y las paredes de la cámara a 300 K. Los alambres están bien separados y no tienen revestimiento aislante.
Si la longitud del termopar dentro de la cámara es de 5 cm, calcule el error debido a la conducción a lo largo de los alambres para un coeficiente de transferencia de calor de 100 W/m 2 K. Tome para el Cu, k = 385 W/m.K y para el constantán, k = 23 W/m.K; coeficiente convectivo 30 W/m 2.°C.
27
28
ALETAS
Solución: Aleta compuesta. El perfil viene dado por la ecuación (1.46): T T TS T
cosh[ m( L z )] cosh( mL)
y la temperatura del extremo será
h P T T T L T S con m kA z cosh( mL)
1/2
P 2 D 0.0032 m ;
A z D2 / 4 2.043 107 m2
Si h = 100 W/m 2, m = 61.97 m -1; si h = 30 W/m2, m = 33.94 m-1. En el primer caso TL = 318.2 K, error 0.56%; en el segundo T L = 312.9 K, error 2.2%. EJEMPLO 4xx: Se inserta un termopar en un tubo de aire caliente para medir la temperatura del aire. El termopar (T1) se suelda a la punta de un pozo de termopar de acero de longitud L = 0.15 m y diámetros interior y exterior D i = 5 mm y Do = 10 mm. Un segundo termopar (T2) se usa para medir la temperatura de la pared del tubo. Considere condiciones para las que la velocidad del aire en el tubo es V = 3 m/s y los dos termopares registran temperaturas de T 1 = 450 K y T2 = 375 K. Considerando insignificante la radiación, determine la temperatura del aire T ∞. Suponga que, para el acero, k = 35 W/m.K, y, para el aire, = 0.774 kg/m 3, = 251 10-7 N.s/m2, k = 0.0373 W/m.K, y Pr = 0.686. Solución: flujo externo transversal a cilindros. sistema de conducción-convección: aleta hueca. Se usa la ecuación (1.47) p 63 para temperatura en el extremo de una aleta con extremo aislado. Puede usarse longitud corregida. Para el coeficiente convectivo la ecuación (11) p 405 de Churchill y Bernstein cubre todo el rango de Re si RePr > 0.2. Código en EES: (T_L-T_infinity)/ (T_s-T_infinity)=1/cosh(m*L_c) m=sqrt(P*h/k_m/A_z) P=pi*D_o: A_z=pi*(D_o^2-D_i^2)/4 Re=rho*V*D_o/mu a=,62*Re^,5*Pr^(1/3): b=(1+(,4/Pr)^(2/3))^,25: c=(1+(Re/282000)^(5/8))^,8 Nus_D=,3+a/b*c Nus_D=h*D_o/k_f L=,15:L_c=L+D_o/4: D_i=5e-3:D_o=10e-3: V=3:T_L=450:T_s=375:k_m=35:rho=,774 mu=251e-7:k_f=,0373:Pr=,686
28
ALETAS
29
Resultados a=16,63 ;A_z=0,0000589 m 2;b=1,142 ;c=1,022 ; L_c=0,1525 m; P=0,03142 m h=56,68 W/m2.K; m=29,39 m-1; Nu_D=15,2; Re=925,1; T_infinity=451,7 K EJEMPLO 5xx: Un conjunto de chips electrónicos se arman dentro de un contenedor rectangular hermético, y su refrigeración se efectúa a través de una base con 6 aletas de aluminio (k = 180 W/m.K). La base es cuadrada de lado w = 100 mm, y el espesor de las aletas es t = 10 mm con paso S = 18 mm. La longitud de las aletas L f = 50 mm y el espesor de la base es L b = 10 mm. Se utiliza como refrigerante agua que fluye paralela a las aletas con u ∞ = 3 m/s y T∞ = 17 °C. Si la potencia disipada por los chips es 18000 W, ¿cuál será la temperatura T b de la superficie de la base? Las propiedades del agua se pueden tomar como k = 0.62 W/m.K, = 995 kg/m3, C P = 4178 J/kg.K, = 7.73x10 -7 m2/s, y Pr = 5.2. El coeficiente convectivo puede estimarse asumiendo flujo paralelo sobre una placa plana. Solución: Todo el calor generado por el banco de chips debe disiparse a través de la base con aletas. El coeficiente convectivo se calcula para flujo paralelo a placas planas. Código EES: Q=(T_b-T_infinity)/(R_b+Rsup) R_b=L_b/k/A_b Rsup=1/h/A_T/eta_T eta_T=1-N*A_f/A_T*(1-eta_f) A_f=P*L_c: A_b=w^2:A_T=N*A_f+Asin:Asin=A_b-N*A_z eta_f=tanh(m*L_c)/(m*L_c) m=sqrt(P*h/k/A_z) P=2*w+2*t:A_z=w*t:N=6:L_c=L+t/2:L=50e-3:L_b=10e-3:t=10e-3:w=100e-3 Q=1800:V=3:T_infinity=17:k=180:k_f=,62:rho=995:C_p=4178:nu=7,73e-7:Pr=5,2 Nus_L=,664*Re^,5*pr^(1/3) Re=V*w/nu: Nus_L=h*w/k_f
29
30
ALETAS
Resultados Asin=0,004 m2; A_b=0,01 m2; A_f=0,0121 m2; A_T=0,0766 m 2; A_z=0,001 m2 eta_f=0,2466; eta_T=0,2859; Nus_L=716,6; h=4443 W/m 2.K L_c=0,055; m=73,69 m -1; P=0,22 m; Re=388098; Rsup=0,01028 K/W; R_b=0,005556 K/W T_b=45,5 °C EJEMPLO 6xx: Tubos de cobre se unen a la placa de espesor t de un colector solar y el fluido de trabajo alcanza la temperatura de la placa encima del tubo T o. Hay un flujo constante de irradiación " sobre la parte superior de la placa, mientras que la superficie inferior se encuentra aislada. Sobre qrad la superficie superior circula aire a T con velocidad V que provee un coeficiente convectivo h. a) Determine una expresión para la distribución de temperaturas en la placa a partir del modelo matemático adecuado. b) Si la placa es de aleación de aluminio 2024-T6, k = 180 W/m.K, con t = 6 " mm, el espaciamiento entre los tubos 2L = 0.20 m, la temperatura T o = 60°C, con qrad = 800W/m2, T = 17°C, V = 3 m/s (estime el coeficiente convectivo como si fuera una placa plana de longitud 1 m en la dirección del viento). ¿Cuál será la máxima temperatura sobre la placa y la transferencia de calor por unidad de longitud de tubería? Para el aire suponga las propiedades siguientes: = 1.121 kg/m3, Pr = 0.7053, = 1.903x105 kg/m.s, k = 0.02719 W/m.K.
EJEMPLO 7xx: {Una placa de absorción de un colector solar de aleación de aluminio (2024 - T6, k=180 W/m.K) tiene 6 mm de espesor y está bien aislada en su parte inferior. La superficie superior
30
31 de la placa está separada de la placa de cubierta por un espacio al vacío. Los tubos colectores debajo de ella están espaciados una distancia L de 0.20 m entre ellos, y circula agua a través de los tubos para llevar la energía colectada. Suponga que el agua está a una temperatura uniforme de T_W = 60 °C. Bajo condiciones de operación de estado estable para las que el flujo neto de calor por radiación a la superficie es q_"rad = 800 W/m2, ¿Cuál es la temperatura máxima sobre la placa y la transferencia de calor por unidad de longitud del tubo? Note que q"rad representa el efecto neto de la absorción de radiación solar por la placa de absorción y el intercambio de radiación entre las placas de absorción y de cubierta. Puede suponer que la temperatura de la placa de absorción en un punto directamente arriba de un tubo (x = 0) es igual a la del agua.} ALETAS
$UnitSystem SI Mass Deg J Pa C T=q*x/(2*k*esp)*(L-x)+T_w Q_b=-q*L*w k=180 [W/m^2-K]: esp=6e-3 [m]: L=,2 [m]: T_w=60 [C]: q=800 [W/m^2]: x=L/2: w=1 [m]
RESULTADOS esp=0,006 [m] T_w=60 [C] w=1 [m] x=0,1 m k=180 [W/m^2-K] L=0,2 [m] q=800 [W/m^2] Q_b=-160 W T=63,7 °C EJEMPLO 8xx: Dos varillas de cobre de 2.5 pie de longitud cada una y de diámetro D = 10 mm, se sueldan juntas extremo con extremo; la soldadura tiene un punto de fusión de 650 °C. Las varillas están en aire a 25 °C con un coeficiente de convección de 10 W/m 2 K. ¿Cuál es la potencia mínima de entrada necesaria para efectuar la soldadura? Variables in Main A_z=0,00007854 D=0,01 h=10 k=401 L=0,762 L_c=0,7645 m=3,158 P=0,03142 Pot=122,4 Q_f=61,18 T_b=650 T_infinity=25 Q_f=sqrt(P*h*k*A_z)*(T_b-T_infinity)*tanh(m*L_c) L_c=L+D/4 T_b=650: T_infinity=25:L=2,5*,3048:P=pi*D: D=10e-3:h=10:k=401:A_z=pi*D^2/4 m=sqrt(P*h/k/A_z) Pot=2*Q_f
31
ALETAS 32 EJEMPLO 9xx: Una manija está fija a un equipo de proceso cuya superficie se encuentra a 100 °C. La manija está expuesta a aire a 37 °C con coeficiente convectivo de 15 W/m 2.K. La conductividad del material es 20 W/m.K. Determine las pérdidas de calor a través de la manija y la temperatura en su punto central. ¿Es seguro al tacto este sistema? SUGERENCIA: Considere una aleta recta con temperaturas conocidas en los extremos. La manija es de sección transversal circular con diámetro 15 mm.
$UnitSystem SI Mass deg C J Pa (Tm-Tf)=(Ts-Tf)/cosh(m*L) m=sqrt(P*h/k/A) P=pi*D A=pi*D^2/4 Tf=37: Ts=100: L=190e-3/2: h=15:k=20: D=15e-3 Q=2*sqrt(P*h*k*A)*(Ts-Tf)*tanh(m*L)
Variables in Main A=0,0001767 D=0,015 h=15 k=20 L=0,095 m=14,14 P=0,04712 Q=5,495 Tf=37 Tm=67,78 Ts=100 EJEMPLO 10xx: Un portatermómetro está construido con un tubo de ½ plg de diámetro exterior con 1/8 de plg de espesor de pared, y longitud de 2 plg, como se observa en la gráfica. Se mide la temperatura de vapor de agua que fluye por el exterior del portatermómetro (al interior de una tubería de mayor tamaño). La pared de este conducto está a 200 °F y la lectura del termómetro es de 355 °F. El coeficiente convectivo entre el portatermómetro y el vapor se estima en 50 Btu/hr.pie 2.°F y la conductividad térmica de la pared del portatermómetro es 25 Btu/hr.pie.°F. ¿Cuál es la temperatura del vapor de agua? Estime este valor teniendo en cuenta el calor transferido por el extremo del portatermómetro y sin tenerlo en cuenta. ¿Es mucha la diferencia? Para disminuir la diferencia entre la temperatura marcada por el termómetro y la temperatura de fluido al que se le mide la temperatura,
32
33 ¿qué propone usted? Si la presión del vapor al que se le mide la temperatura es 153 psia, por lo que su temperatura de saturación (tablas de vapor) es de 360 °F, ¿qué concluye usted sobre su condición? ALETAS
Respuestas: Sin convección 379.7 °F; con convección 377 °F. m = 16 pie -1. Sobrecalentado. Aumentar la longitud. Variables in Main Az=0,00009501 Di=0,00635 Do=0,0127 h=283,9 [W/m2-K] k=43,27 [W/m-K] L=0,0508 m=52,49 [1/m] P=0,0399 Tg=193,3 [C] Tga=193,4 [C] Ts=93,52 [C] Tt=179,6 [C] 1.7.3. ALETAS DE AREA TRANSVERSAL VARIABLE. Aletas rectas de perfil triangular:
Al tratar de encontrar la aleta óptima se puede preguntar si se gana algo cambiando el área seccional de la aleta, sea esta rectangular o de otra forma. Vamos a considerar aletas rectas de perfil triangular (figura 1.24). El tratamiento matemático es similar al de las aletas rectangulares excepto en que el área perpendicular al flujo de calor es función de la distancia a lo largo de la aleta, decreciendo a medida que la longitud aumenta. Considerando conductividad y coeficiente convectivo constantes, la ecuación (1.33) se escribe:
33
34
ALETAS
d dT hdS A z (T T ) dz dz kdz
(1.52)
El área transversal puede expresarse en cualquier punto como el producto ew, siendo e el espesor que varía linealmente con z desde cero hasta t: e = (tz/L) y A z = tw(z/L); y el área de la superficie en contacto con el aire dS = 2wdz/cos , siendo la mitad del ángulo subtendido por la aleta. Reemplazando en (1.52): d 2 dz 2
1 d z dz
0
(1.53)
z
donde = 2hL/ktcos. y = (T T). La ecuación (1.53) es una ecuación de Bessel modificada. Para compararla con la ecuación generalizada que se presenta en el apéndice correspondiente la escribimos como: 2
z
d 2 2
dz
z
d dz
z 0
Encontramos que a = 1, b = 0, c = 0, d = , s = 1/2, p = 0, r = 0. La solución es entonces = C1 I0[(2 (z)½] + C2 K 0[(2 (z)½]
(1.54)
Debido a que la temperatura de la aleta debe permanecer en un valor finito cuando z = 0 la constante de integración C 2 debe ser cero pues K 0(0) mientras I0(0) = 1.
Figura 1.24 Aleta recta de perfil triangular
La otra condición límite se refiere a la temperatura en la base de la aleta: T = TS = s , para z = L. Introduciendo en la ecuación (1.54) podemos determinar la otra constante:
34
35
ALETAS
C 1
S I 0 [2 L ]
La expresión final para la distribución de temperaturas se convierte en: S
I 0 [2 z ] I 0 [2 L ]
(1.55)
El flujo de calor se determina de la ley de conducción de Fourier y la primera derivada de la ecuación (1.55), recordando que la derivada de la función modificada de Bessel de orden cero y primera clase I0(z) es I1(z): QS ktw
d dz z L
w 2hkt S
I 1 (2 L ) I 0 (2 L )
(1.56)
La eficiencia es: f
1 I1 (2 L ) L I 0 (2 L )
La máxima transferencia se obtiene cuando: 1/2
2k 1.309 t/2 ht L
mLóptimo = 1.309
Entonces la temperatura de exceso en el borde del álabe es L = 0.277 s. El peso ahorrado usando aletas triangulares es del 44 %. Se encuentra en la literatura (Eckert y Drake [18]) que las aletas de mínimo peso deben tener perfiles construidos con arcos de circunferencia. Sin embargo, la diferencia en peso con respecto a los álabes de perfil triangular es muy pequeña y como la forma triangular es más sencilla de manufacturar, se puede considerar esta la mejor forma geométrica. En Baehr et al. p 135 se encuentra una expresión aproximada que no contiene funciones de Bessel, de forma similar a la ecuación (1.49) para las aletas rectas: f
tanh( mL) mL
El factor de corrección está dado por 0.99101 0.31484
tanh 0.74485mL mL
Para valores de mL < 5 la diferencia es menor al 0.05%, según la literatura. 35
36
ALETAS
Aletas Cónicas Son aletas tipo clavo de
sección transversal variable. Partiendo de la ecuación (1.33):
d dT dS kA h (T T ) 0 z dz dz dz
Az = r 2; r varía linealmente con z, la distancia desde su ápice hacia la base es: r = Rz/L. El área lateral dS = 2 r(dz/cos) = 2(Rz/L)(dz/cos) con igual a la mitad del ángulo subtendido por el cono, R el radio de su base y L la altura del mismo. Reemplazando en la ecuación del balance, diferenciando el producto y simplificando se obtiene: 2
z
d 2 2
dz
2 z
d dz
z 0
donde = 2hL/kRcos. y = (T T ). Comparando con la solución generalizada de la ecuación de Bessel (ver anexo E) observamos que se satisface si a = 2, b = 0, c = 0, d = , s = 1/2, r = 0. Reemplazando estos valores obtenemos p = 1, d 0.5/s es un valor imaginario por lo cual la solución será = z
{C1 I1[(2 (z)½] + C2 K 1[(2 (z)½]}
1/2´
Como la función de Bessel modificada de segunda clase y orden uno K 1(0) , y la temperatura debe tener valores finitos en todos sus puntos, C 2 = 0. En la base de la aleta, cuando z = L, = S. Con esta condición: C 1
S L
I 1 2 L
L S z
1/ 2
y el perfil de temperatura viene dado por:
I 2
L
I 1 2 z 1
Para hallar el flujo de calor desde la aleta y posteriormente su eficiencia nos basamos en:
x p Z p1 ( x) x Z p ( x) p dx x Z p1 ( x) d
p
Z J , Y , K Z I
36
ALETAS
37
Figura 1.25 Aleta cónica Haciendo = 21/2 y x = z1/2 dx/dz = (1/2)z 1/2 y:
z 1/ 2 I 1 2 z x 1 I 1 x
L I 2 2 z 1 2 S dz z I 1 2 L 2 z 1/ 2
d
Teniendo presente que el calor disipado por una aleta ideal (que tiene la temperatura de su superficie a la temperatura de la base T S) es Q if = hAf S y aplicando la ley de Fourier para determinar el calor Q S disipado desde la aleta real a través de su base ubicada en z = L, encontramos la eficiencia de la aleta cónica:
2h L 2 Rk cos 2 k R 2 hL / Rk cos QS S Qif 2 L h R L / cos S I 2 2h L 1 Rk cos I 2 2
Simplificando
I 2 2
2h
L Rk cos
2h 2h L I 1 2 L Rk cos Rk cos 2
Debe notarse que si L >> R, cos 1. Se hallan otras formas de aletas, pero en general el calor transferido se puede calcular usando diagramas de eficiencias, comunes en los libros de transferencia de calor y en manuales. La eficiencia de una aleta circular de perfil rectangular está dada por (sección 3.6.4 Incropera et al 6a ed) Aleta Circular de perfil rectangular:
f
m
Q f h2 R22 R12 S 2h kt
2 R1
K1 mR1 I1 mR2 I1 mR1 K1 mR2
m R22 R12 K 0 mR1 I1 mR2 I 0 mR1 K1 mR2
Frecuentemente se usa R 2C = R 2 + t/2 en lugar de R 2.
37
38
ALETAS
Figura 1.26 Aleta circular
Figura 1.X: Eficiencia de aletas circulares de espesor constante
Las funciones de Bessel se encuentran tabuladas en el apéndice de muchos libros de transferencia de calor. Excel permite calcularlas y EES trae también la correspondiente subrutina así como las eficiencias para cuatro geometrías más. La tabla 3.5 del Incropera et al y la tabla 3.3 del Cengel traen también un resumen con las eficiencias de formas geométricas usuales. SOLUCIÓN ANALÍTICA: Para determinar la transferencia de calor asociada con una aleta nosotros debemos primero obtener la distribución de temperaturas a lo largo de la misma. Aplicando los requerimientos de conservación de la energía, sin generación y en estado estable, en ausencia de radiación, a un elemento diferencial obtenemos (ver figura 1): d dT dS kAr h (T T ) 0 dr dr dr
(1)
38
39 Aquí, T se refiere a temperatura k y h son propiedades del sistema. Con Ar 2 rt y ALETAS
dS 2 2 rdr la ecuación (1) se escribe: d dT r dr dr
2hr tk T T 0
(2)
La ecuación (2) se puede reordenar como: r
2
d 2T dr
2
r
dT
2 r 2 T T 0
(3)
dr
Donde 2 2h / tk ; haciendo un cambio de variables z r y T T / T1 T : z
2
d 2 dz
2
z
d
z 2 2 0
(4)
dz
Las condiciones límite seleccionadas son temperatura conocida en la base de la aleta y disipación despreciable de calor por el borde: r R1
T T1 ; r R2
z z1 R1
dT dr
0 , o lo que equivale a:
1 ; z z2 R2
d dz
0
La ecuación (4) es una ecuación de Bessel modificada de orden cero cuya solución es (Mickley, H. S., Sherwood, T. S., Reed, Ch. E. 1975 p 174): C1I 0 z C2 K 0 z
Donde I0 y K 0 son funciones de Bessel modificadas de orden cero y de primera y segunda especie respectivamente. Sabiendo que (Mickley, H. S. et al 1975 p 178) d
d
I 0 ax aI1 ax y K0 ax aK1 ax dx dx
39
40
ALETAS
Figura 1 Aplicamos las condiciones límite: 1 C1I 0 z1 C2 K 0 z1
0 C1I1 z2 C2 K1 z2
Así, el perfil de temperaturas en la aleta es: T T T1 T
I 0 mr K1 mR2 K0 mr I1 mR2 I 0 mR1 K1 mR2 K0 mR1 I1 mR2
Con m
2h kt
(5)
(6)
Aplicando la ley de Fourier encontramos el flujo de calor disipado por la aleta: Q f kAr
dT dr
d
k 2 R1t
dr
r R1
Q f 2 kR1t T1 T m
r R1
K1 mR1 I1 mR2 I1 mR1 K1 mR2 K0 mR1 I1 mR2 I0 mR1 K1 mR2
(7)
Se define a eficiencia de la aleta circular de perfil rectangular por f
Q f h2 R22 R12 T1 T
2 R1
K1 mR1 I1 mR2 I1 mR1 K1 mR2
m R22 R12 K0 mR1 I1 mR2 I 0 mR1 K1 mR2
(8)
De forma tal que conocida la eficiencia, el calor disipado pueda expresarse como Q f hA f f T1 T
(9)
40
41
ALETAS
A f es la superficie disponible para transferencia convectiva de calor.
Una ecuación más simple para la eficiencia es dada por Schmidt, Th. E. en Baehr, p 135: f
tanh( mL) mL
Donde 1 0.35 ln 1 L / R2
Para valores de f > 0.5, el error no es mayor del 1%, según la literatura. Sin embargo, a partir de la gráfica, no parece ser recomendable para valores de Ro/Ri > 1.75. 1 Ro/Ri=1,5 Ro/Ri=1,75 Ro/Ri=2
i f
a t e , f
0,9
Ro/Ri=2,5
a t e
0,8 10
15
20
m
Fifura xx: Comparación entre las eficiencias para aleta circular de seccion recta por el método exacto (curvas inferiores) y el método aproximado de Schmidt. EJEMPLO 10xx: Aletas anulares de 2 mm de espesor y 15 mm de longitud se fijan a un tubo de 30 mm de diámetro externo cuya superficie se encuentra a 100 °C. Sob re las aletas fluye aire a 30 °C con coeficiente convectivo de 75 W/m 2.K. La conductividad térmica del material de las aletas es 235 W/m.K. Se presenta resistencia de contacto con la superficie del tubo de 2x10 4 m 2.K/W. Determine la reducción en el flujo de calor originada en la resistencia de contacto. $UnitSystem SI Mass C Deg J Pa eta=eta_fin_annular_rect(t; r_1; r_2; h; k)
41
42
ALETAS
t=2e-3: R_1=15e-3: R_2=31e-3: k=235: h=75: Ts=100: Tf=30: Rc=2e-4 Rf=1/(h*Af*eta) Af=2*pi*(R_2^2-R_1^2) Qf=(Ts-Tf)/Rf Qfr=(Ts-Tf)/(Rf+Rcont) As=2*pi*R_1*t Rcont=Rc/As Dism=(Qf-Qfr)/Qf
Variables in Main Af=0,004624 As=0,0001885 Dism=0,2615 eta=0,9624 h=75 k=235 Qf=23,36 Qfr=17,25 Rc=0,0002 Rcont=1,061 Rf=2,996 r_1=0,015 r_2=0,031 t=0,002 Tf=30 Ts=100 EJEMPLO 11xx:Se sueldan aletas anulares de aluminio (k = 240 W/m.K) de perfil rectangular sobre un tubo de otro material (k = 150 W/m.K) de diámetro externo 50 mm y espesor 5 mm con temperatura interna 200 °C. Las aletas tienen 4 mm de espesor, 15 mm de longitud, y la resistencia de contacto entre las aletas y el tubo es 2x10 -4 m 2.K/W. El sistema se encuentra en ambiente a 20 °C y coeficiente convectivo 40 W/m 2.K. ¿Cuál es la eficiencia y la efectividad de las aletas? Si hay 125 aletas por metro de longitud de tubo, ¿Cuál es la disipación de calor por metro de longitud de tubo? "Perfil temperaturas aleta circular" T_infinity=20+273:T_b=92+273:R_2=R_1+,015:R_1=0,025:R_2c=R_2+e/2:e=0,004 [m] h=40:sigma=5,67E-8:T_m=89+273:T_alrr=290:epsilon=0,8: k=240 [W/m-K] m=sqrt(2*h/k/e):Rcontacto=2e-4: N= 125: L=1 [m] "Perfil de Temperaturas" (T-T_infinity)/(T_bT_infinity)=(bessel_I0(m*r)*bessel_K1(m*R_2)+bessel_K0(m*r)*bessel_I1(m*R_2))/(bessel_I0(m*R_ 1)*bessel_K1(m*R_2)+bessel_K0(m*R_1)*& bessel_I1(m*R_2)) "Temperatura en el extremo, T_tip" r=R_2 "Eficiencia Aleta circular" eta_f=2*R_1/m/(R_2c^2-R_1^2)*(bessel_K1(m*R_1)*bessel_I1(m*R_2c)- bessel_I1(m*R_1)* bessel_K1(m*R_2))/(bessel_K0(m*R_1)*bessel_I1(m*R_2c)+& bessel_I0(m*R_1)*bessel_K1(m*R_2c))
42
ALETAS
43
"Flujo calor aleta circular conradiación" Q_f=pi*2*(R_2c^2-R_1^2)*(h*(T_b-T_infinity)*eta_f+sigma*epsilon*(T_m^4-T_alrr^4)) "Eficiencia total con resistencia de contacto" eta_or=1-N*A_f/A_t*(1-eta_f/C_1) C_1=1+eta_f*h*A_f*(Rcontacto/A_b) A_b=2*pi*R_1*e A_f=pi*2*(R_2c^2-R_1^2) A_t=N*A_f+Asin Asin=2*pi*R_1*L-N*A_b Rtotal=1/(eta_or*h*A_t)
Eficiencia Superficial
La transferencia de calor total desde una superficie con aletas se encuentra sumando el calor transferido desde la superficie de las aletas y el calor transferido desde la superficie libre de aletas A S así: QT = Nf hAf S + hASS. Aquí se supone que el coeficiente convectivo es igual para la superficie con aletas que para la sin aletas, N es el número de aletas y f y Af es la eficiencia y el área superficial de una aleta respectivamente. Si denominamos AT el área total de transferencia de calor en la superficie, es decir, el área de las aletas más el área que no tiene aletas A T = NAf + AS (que podríamos denominar “área activa”), podemos definir una eficiencia total T para toda la superficie con y sin aletas así: QT NAf f AT NAf hS hATT S
O sea T 1
NA f AT
1 f
Y la resistencia térmica correspondiente a la superficie con aletas es por tanto
R
1 hAT T
Esta ecuación permite efectuar los cálculos necesarios comunes para superficies alabeadas que se usan en intercambiadores de calor. Si, como es usual, las aletas se fabrican por separado y se unen posteriormente a la superficie por soldadura metalúrgica o química o por ajuste mecánico, existirá resistencia térmica de contacto en la base. En este caso se modifica el circuito térmico y la expresión para la eficiencia global será:
43
44
ALETAS
TR" 1 c
NA f
f
AT
C
1
C 1 f hAf Rc" / Az
EJEMPLO 12xX: Se usa un arreglo de aletas tipo clavo para enfriar un equipo electrónico. El arreglo consta de 100 aletas diámetro 1.5 mm y 15 mm de longitud. Estas están dispuestas sobre una base cuadrada de 3 cm de lado y 2 mm de espesor. La conductividad del material de las aletas es 70 W/m.K la de la base es 25 W/m.K. Entre la base y cada aleta, existe una resistencia de contacto Rc" = 1x10-4 m2.K/W. La temperatura del medio ambiente es de 20 °C y la de la superficie de la base en contacto con el equipo electrónico se encuentra a 30 °C. El coeficiente convectivo para las aletas y la superficie libre de la base se puede considerar igual y es 50 W/m 2.K. ¿Cuál es la resistencia térmica de la superficie alabeada? ¿Cuánta energía térmica se puede disipar con este arreglo? Solución: Para encontrar la resistencia térmica de la superficie con aletas y resistencia de contacto en su base usamos la ecuación anterior:
R R" c
1 hAT TR" c
Determinamos inicialmente la eficiencia de las aletas. Luego la constante C para calcular la eficiencia global de la superficie teniendo en cuenta la resistencia de contacto. El flujo de calor es simplemente 44
45 la diferencia de temperaturas máxima dividido por la suma de dos resistencias en serie: la de la base y la de la superficie alabeada. Usando EES: ALETAS
eta=tanh(m*L_c)/(m*L_c) "eficiencia ecuación (1.49)" m=sqrt(P*h/k_f/A_z) L_c=L+D/4 "Longitud corregida aleta cilíndrica" "Datos numéricos" L=15e-3 [m]: D=1,5e-3 [m]: k_f=70 [W/m-K]: h=50 [W/m^2-K]: P=pi*D: A_z=pi*D^2/4 C=1+eta*h*A_f*Re_c/A_z "factor de corrección C" Re_c=1e-4 [m^2-K/W]: A_f=P*L_c eta_T=1-N*A_f/A_T*(1-eta/C) "eficiencia total con resistencia de contacto" N=100: A_T=N*A_f+Asin Asin=w^2-N*A_z:w=3e-2 [m] Re_TR=1/(h*A_T*eta_T) Re_b=e/k/w^2 Q=(T_h-T_infinity)/(Re_b+Re_TR) e=2e-3[m]: k=25 [W/m-K]: T_h=30 [C]: T_infinity=20[C]
Resultados Asin=0,0007233 m 2 A_f=0,00007245 m 2 A_T=0,007969 m2 A_z=0,000001767 m2 C=1,179 eta=0,8728 eta_T=0,7639 L_c=0,01538 m m=43,64 m-1 P=0,004712 m Q=2,963 W Re_b=0,08889 K/W Re_TR=3,286 K/W
Superficie libre de aletas Superficie de una aleta Superficie total, suma de todas las aletas y la libre de aletas Superficie ocupada por la base de una aleta Factor de corrección Eficiencia una aleta Eficiencia superficial Longitud corregida una aleta cilíndrica Parámetro característico de la aleta Perímetro una aleta circular Calor total transferido por la superficie con aletas Resistencia térmica ofrecida por la base de las aletas Resistencia térmica ofrecida por la superficie con aletas
EJEMPLO 13XX: Se sueldan aletas anulares de aluminio (k = 240 W/m.K) de perfil rectangular sobre un tubo de otro material (k = 150 W/m.K) de diámetro externo 50 mm y espesor 5 mm con temperatura interna 200 °C. Las aletas tienen 4 mm de espesor, 15 mm de longitud, y la resistencia de contacto entre las aletas y el tubo es 2x10 -4 m 2.K/W. El sistema se encuentra en ambiente a 20 °C y coeficiente convectivo 40 W/m 2.K. ¿Cuál es la eficiencia y la efectividad de las aletas? Si hay 125 aletas por metro de longitud de tubo, ¿Cuál es la disipación de calor por metro de longitud de tubo?} De la ecuación (XX99) se calcula la eficiencia de una aleta. R 1 es el radio externo del tubo y R 2 es R 1 más la altura de la aleta, 15 mm en este caso. El R 2c corregido es el R 2 más medio espesor. El área de la aleta es 2 R22c R12 teniendo en cuenta las dos superficies de la aleta. El módulo m viene dado por m
2h kt
Reemplazando valores se obtiene f = 0.9897.
45
ALETAS 46 El calor transferido por una aleta debe tener en cuenta tres resistencias en serie:
Q f
Ti T ln R1 / Ri Rc" 2 kit
Ab
1 hAf f
Aquí, Ab 2 R1t El calor transferido desde el metro de tubo con N aletas es: QT NQ f Qsin
Qsin es el calor transferido desde la superficie sin aletas, a saber: Qsin
Ti T ln R1 / Ri 2 ki Lsin
1 hAsin
Lsin L Nt y Asin 2 R1Lsin
El mismo valor debe obtenerse al usar el concepto de eficiencia superficial, caso en el cual el calor total viene dado por Q=(T_i-T_infinity)/suma $UnitSystem SI Mass Deg Pa J C T_infinity=20:R_2=R_1+,015:R_1=0,025:R_2c=R_2+e/2:e=0,004 [m] h=40: k=240 [W/m-K]: T_i=200:R_i=,02 m=sqrt(2*h/k/e): Rcontacto=2e-4: N= 125: L=1 [m]: k_1=150 "Eficiencia Aleta circular" eta_f=2*R_1/m/(R_2c^2-R_1^2)*(bessel_K1(m*R_1)*bessel_I1(m*R_2c)- bessel_I1(m*R_1)* bessel_K1(m*R_2c))/(bessel_K0(m*R_1)*bessel_I1(m*R_2c)+& bessel_I0(m*R_1)*bessel_K1(m*R_2c)) "Eficiencia total con resistencia de contacto" eta_or=1-N*A_f/A_t*(1-eta_f/C_1) C_1=1+eta_f*h*A_f*(Rcontacto/A_b) A_b=2*pi*R_1*e A_f=pi*2*(R_2c^2-R_1^2) A_t=N*A_f+Asin Asin=2*pi*R_1*L-N*A_b Rsuperficial=1/(eta_or*h*A_t) "Calor disipadopor el tubo con aletas" Q=(T_i-T_infinity)/suma suma=ln(R_1/R_i)/(2*pi*k_1*L)+1/h/A_t T_b=T_i-ln(R_1/R_i)/(2*pi*k_1*L)*Q Q_f=pi*2*(R_2c^2-R_1^2)*h*(T_b-T_infinity)*eta_f "Efectividad" epsilon=Q_f/h/A_b/(T_b-T_infinity)
46
ALETAS
47
Resultados Asin=0,07854 A_b=0,0006283 A_f=0,007157 A_t=0,9731 C_1=1,09 e=0,004 [m] epsilon=11,27 eta_f=0,9897 Eficiencia (Idéntico valor se obtiene con la subrutina de EES) eta_or=0,9153 h=40 k=240 [W/m-K] k_1=150 L=1 [m] m=9,129 N=125 Q=6942 Q_f=50,53 Rcontacto=0,0002 Rsuperficial=0,02807 R_1=0,025 R_2=0,04 R_2c=0,042 R_i=0,02 suma=0,02593 T_b=198,4 T_i=200 T_infinity=20 Observamos que 50.53x125x100/6942 = 91 % del calor total se transfiere por las aletas. EJEMPLO 14xx: Un tubo de cobre tiene diámetro interior 2 cm y pared de espesor 1.5 mm. Se fija a su alrededor una carcasa con aletas de aluminio tipo aguja. La base de la carcasa tiene 1.5 mm de espesor y tiene fundidas en su superficie 100 aletas tipo aguja por cada cm de longitud. Las aletas tienen diámetro 1.5 mm y longitud 4 cm. El fluido dentro del tubo está a 100 °C y el coeficiente interior de transferencia de calor es de 5000 W/m 2.K. El fluido en el exterior se encuentra a 250 °C y el coeficiente de transferencia de calor en la superficie exterior es de 7 W/m 2.K. Tome para el aluminio k = 204 W/m.K. Asuma resistencia de contacto entre la carcasa con aletas de aluminio (en el dibujo) y la superficie exterior del tubo de cobre igual a 0.07 x 10 4 m2.K/W. Tome la conductividad del cobre en 393 W/m.K. Calcule la transferencia de calor por metro de longitud del tubo. ¿Cuánto calor se transferiría si no estuviera la carcasa con aletas?
47
48
ALETAS
$UnitSystem SI Mass J Pa Rad C "Datos" Ti=100: Ri=1/100: Ro=Ri+1,5e-3: R1=Ro+1,5e-3: D=1,5e-3: L=4e-2: N=100*100 hi=5000: h=7: Hl=1: Ai=2*pi*Ri*Hl: Ao=2*pi*R1*Hl: To=250 k_T=393: Af=pi*D*L:k=204: A_T=Asin+N*Af: Asin=Ao-N*Az: Az=pi*D^2/4 Rc=0,07e-4: Asn=2*pi*Ro*Hl "Ecuaciones" eta=eta_fin_spine_rect(D; L; h; k) Resi=1/hi/Ai ResT=ln(Ro/Ri)/(2*pi*k_T*Hl) Resb=ln(R1/Ro)/(2*pi*k*Hl) Resc=Rc/Asn Q=(Ti-To)/Suma Suma=Resi+ResT+Resc+Resb+ResTot ResTot=1/(h*A_T*eta_T) eta_T=1-N*Af/A_T*(1-eta) Qsin=(Ti-To)/sumasin Sumasin=Resi+ResT+Reso Reso=1/Asn/h Resultados Af=0,0001885 Ai=0,06283 Ao=0,08168 Asin=0,06401 Asn=0,07226 Az=0,000001767 A_T=1,949 D=0,0015 eta=0,9531 eta_T=0,9546 h=7 hi=5000 Hl=1 k=204 k_T=393 L=0,04 N=10000 Q=-1870 Qsin=-75,75 R1=0,013 Rc=0,000007 Resb=0,00009565 Resc=0,00009688 Resi=0,003183 Reso=1,977 ResT=0,0000566 ResTot=0,07678 Ri=0,01 Ro=0,0115 Suma=0,08022 sumasin=1,98 Ti=100 To=250
EJEMPLO 15xx: (Ver Cengel Heat 3.110 Heat & Mass 3a ed español 3-117) Por el interior de un tubo de un sistema de calefacción pasa vapor de agua (steam) a 500 K. Las características del flujo son tales que el coeficiente convectivo de transferencia de calor es de 150 W/m 2.K. El diámetro exterior del tubo es de 5 cm y el espesor de la pared del tubo es de 2.5 mm en un material con conductividad térmica k = 50 W/m.K. En la superficie del tubo hay aletas circulares de aleación de aluminio (referencia 2024-T6; k = 186 W/m.°C) con diámetro exterior de 6 cm y espesor constante t = 1 mm. El paso entre aletas S = 4 mm. El medio hacia el que se transfiere el calor está a 25 °C y 48
49 presenta condiciones tales que el coeficiente de transferencia de calor se estima en 40 W/m 2.°C. Determine el aumento en la transferencia de calor desde el tubo logrado por la adición de las aletas. En la base de las aletas (contacto entre las aletas y el tubo) existe una resistencia de contacto R"c=2x104 m2.K/W. Calcule además todas las temperaturas desconocidas (interior y exterior del tubo y base de la aleta). Recuerde, para resistencia de contacto en la base de la aleta la eficiencia total es: ALETAS
TR" 1 c
NA f
1
AT
f
C
C 1 f hA f Rc" / Az
$UnitSystem SI Mass J Pa Rad C "Datos" Ti=500-273: Ri=(2,5-0,25)/100: R1=2,5/100: R2=3/100: t=1e-3: S=4e-3 hi=150: ho=40: Hl=1: Ai=2*pi*Ri*Hl: Ao=2*pi*R1*Hl: To=25: k_T=50: N=Hl/S: Af=2*pi*(R2^2-R1^2)+2*pi*R2*t: R2c=R2+t/2 ko=186: A_T=Asin+N*Af: Asin=Ao-N*Az: Az=2*pi*R2*t Rc=2e-4: Dif=Qcon-Qsin: G=Qcon/Qsin: percent=(G-1)*100 "Ecuaciones" eta=eta_fin_annular_rect(t; r_1; r_2; h; k):r_1=R1:r_2=R2c: h=ho: k=ko Qsin=(Ti-To)/Sumasin Sumasin=Resi+ResT+Reso Resi=1/hi/Ai: Reso=1/ho/Ao ResT=ln(R1/Ri)/(2*pi*k_T*Hl) Qcon=(Ti-To)/Sumacon Sumacon=Resi+ResT+ResTot ResTot=1/(ho*A_T*eta_TR) eta_TR=1-N*Af/A_T*(1-eta/C) C=1+eta*ho*Af*Rc/Az Qcon=hi*Ai*(Ti-T1) Qcon=(T1-T2)/ResT ho*Af*eta*(Tb-To)=(T2-Tb)*Az/Rc
Resultados Af=0,001916 Ai=0,1414 Ao=0,1571 Asin=0,11 Az=0,0001885 A_T=0,589 C=1,081 Dif=1198 eta=0,9952 eta_TR=0,9355 G=2,225 h=40 hi=150 Hl=1 ho=40 k=186 ko=186 k_T=50 N=250 percent=122,5 Qcon=2175 Qsin=977,5 R1=0,025 R2=0,03 R2c=0,0305 Rc=0,0002 Resi=0,04716 Reso=0,1592 ResT=0,0003354 ResTot=0,04537 Ri=0,0225 r_1=0,025 r_2=0,0305 S=0,004 Sumacon=0,09286 Sumasin=0,2066 t=0,001 Ti=227 To=25 T1=124,4 T2=123,7 Tb=116,3 Separación óptima entre aletas: Fuera
de la geometría y el material de las aletas influye en su rendimiento la separación en el arreglo utilizado. Para aletas longitudinales enfriadas por convección 49
ALETAS 50 forzada en régimen laminar el espacio óptimo entre aletas se calcula según Bejan y Sciubba (IJHMT 42, 3259-3264, 1999) por: 1/2
L S opt 2.15146 V
Aquí L es la longitud de la aleta en la dirección de flujo, V es la velocidad de aproximación del fluido, es la difusividad térmica y S el espaciamiento óptimo entre placas. Según Alebrahim y Bejan (IJHMT 42 3585-3597 1999) el espaciamiento óptimo entre aletas anulares en convección forzada, laminar o turbulenta se puede calcular con la misma correlación reemplazando L por el diámetro mayor de las aletas. Para aletas tipo clavo se tienen espaciamientos en el sentido del flujo y transversal al flujo. El espaciamiento óptimo en cualquiera de los dos sentidos, según Jubran et al (ASME JHT 115 576-583 1993) es S = 2.5 D, siendo D el diámetro del clavo. Para el espaciamiento óptimo entre aletas en convección natural se recomienda usar las expresiones dadas en Incropera et al. capítulo 9. Aletas de enfriamiento por convección natural
Si el aire en contacto con la aleta no está forzado a moverse, por ejemplo mediante un ventilador, su movimiento será por convección natural, es decir, su movimiento se originará en las diferencias de densidad causadas por las diferencias de temperatura. Entonces h, el coeficiente de proporcionalidad en la “ley de Newton del enfriamiento” el cual depende de las propiedades y dinámica del fluido, será función de los gradientes de densidad o indirectamente de T. Para una aleta de enfriamiento, esto significa que h en la ecuación (1.34) no será constante, pues los gradientes de temperatura cerca a la base serán mayores que en el extremo de la aleta donde la temperatura está más cercana a la del aire. Existen muchas correlaciones que proveen h en función de Tn. En la tabla 6 del apéndice sobre coeficientes convectivos, se observa que un valor típico para convección natural laminar es de n = ¼. Si volvemos a analizar el comportamiento de la aleta considerando h variable observamos que la ecuación (1.34) todavía es válida puesto que el balance de energía se tomó alrededor de un elemento de volumen diferencial donde las propiedades son constantes. Sin embargo, al resolverla debemos tener en cuenta la variación de h. d 2T dz 2
Ph kA z
(T T ) 0
Tomando h = C(T - T)0.25 donde C es la constante de proporcionalidad, d 2T 2
dz
PC kA z
(T T )1.25 0
Esta ecuación diferencial ya no es lineal y generalmente será necesario usar técnicas numéricas para resolverla. Existen programas de software poderosos para resolver ecuaciones diferenciales no lineales como esta. Uno fácilmente disponible es el ODE en Matlab. Otro es el paquete de cómputo basado en Windows desarrollado para el texto “Fundamentals of Heat and Mass Transfer” de 50
51 Incropera et al. [29], como herramienta de productividad y aprendizaje denominado Interactive Heat Transfer (IHT). Este Software, desarrollado en colaboración con Intell. Pro. Inc. De New Brunswick, New Jersey, está integrado con este texto, usando la misma metodología y nomenclatura. Como se estudia en elcapítulo sobre diferencias finitas el EES es la herramienta más sencilla de aplicar. ALETAS
EJERCICIOS: 2 - Tenemos un cilindro de vidrio de 1.3 mm de diámetro y 1 m de longitud. Uno de sus extremos se mantiene al punto de ebullición normal del tolueno, 110.6 °C. El otro extremo se fija a un bloque de hielo. La conducción longitudinal en la barra es de estado estable. El calor de fusión del hielo es 79.7 cal/g. La conductividad térmica del vidrio es 0.86 W/m.K. Suponga que no se pierde calor desde la superficie expuesta de la barra. Encuentre: (a) la cantidad de calor transferido en J/s; (b) el número de gramos de hielo que se funden en 30 minutos. 4 - Una varilla de estaño de 100 mm de longitud y 5 mm de diámetro se extiende horizontalmente de un molde a 200 °C. La varilla está en un aire ambiental con T = 20°C y h = 30 W/m2 K. ¿Cuál es la temperatura de la varilla a 25, 50 y 100 mm del molde? k Sn = 59 W/m.K 10 - Una barra delgada de longitud L tiene sus extremos conectados a dos paredes cuyas te mperaturas son T1 y T2 respectivamente. La barra disipa calor hacia un fluido cuya temperatura es T . Si el área de sección transversal de la barra es A, el perímetro es P, su conductividad k y el coeficiente de transferencia de calor es h, determine (a) la distribución de temperaturas en la barra y (b) el calor disipado. 13 - Un termómetro de vidrio ( = 0.96) está inserto en un conducto circular grande, en ángulo recto con la pared. El bulbo del termómetro tiene 0.25 plg De diámetro y está en el centro del conducto. El aire fluye a una velocidad tal que el coeficiente convectivo vale 20 Btu/hr.pie 2.°F. a) Si la temperatura de la superficie es 800 °F y el termómetro marca 300 °F, ¿Cuál es la temperatura del gas? b) Si una laminilla de plata ( = 0.03) se envuelve alrededor del termómetro, ¿cuál es la nueva lectura del termómetro? (Adaptado de Bennett y Myers, ejemplo 26.3 pp 436-437) 16 - Un termopar de 0.8 mm de diámetro se emplea para medir la temperatura del aire en un horno eléctrico. La lectura del termopar es de 150 °C. Se sabe, sin embargo, que el flujo de calor por radiación que recibe el termopar de las paredes del horno es igual a 0.001 W/cm de longitud. El coeficiente de transferencia de calor en el termopar es igual a 5 W/m 2K. Estime la temperatura correcta del aire en el horno. 23 - Una barra larga pasa a través de la abertura de un horno con temperatura 400 C y está presionada firmemente contra una superficie sólida. Termocuplas colocadas a 25 y 120 mm de ésta superficie registran temperaturas de 325 y 375 °C respectivamente. ¿Cuál es la temperatura de la superficie? Asuma coeficiente convectivo h = 10 W/m 2.K. La conductividad térmica de la barra es 200 W/m.K. 24 - Considere una superficie extendida de sección transversal rectangular con las siguientes dimensiones: longitud igual a 3.5 cm, ancho igual a 3.0 cm y espesor igual a 0.2 cm. Si la aleta es de aluminio (k = 205 W/m.K.), el coeficiente promedio de transferencia de calor es igual a 600 W/m 2K, la temperatura en la base es igual a 135 °C y la temperatura del aire ambiente es igual a 40 °C, calcule el calor disipado por la aleta.
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ALETAS 52 25 - Un extremo de una barra de cobre muy larga se conecta con una pared que tiene temperatura de 400 °F, mientras que el otro extremo asoma hacía un cuarto cuya temperatura es de 70 °F. a) Estime el calor perdido por la barra si ésta tiene 1/4 de pulgada de diámetro y si el coeficiente de transferencia de calor entre su superficie y el aire que la rodea es igual a 5 Btu/h.pie 2 °F. b) Trabaje de nuevo el problema anterior para el caso de la aleta con extremidad aislada. Considere que la longitud de la aleta es de 6 pulgadas. c) Determine la eficiencia la aleta descrita inicialmente, si su longitud fuera de 6 pulgadas.
26 - La temperatura de un gas caliente que fluye en una tubería se mide por una termocupla fija al fondo de un portatermómetros colocado perpendicularmente a la pared del tubo. Este portatermómetros penetra 2.5 plg al interior de la tubería y el espesor de su pared es de 0.035 plg. Encuentre la temperatura del gas si la termocupla marca 375 F cuando la temperatura de la pared es 175 F. La conductividad térmica del material del portatermómetros es 200 Btu/hr.pie. F y el coeficiente convectivo con el gas es 24 Btu/hr.pie 2.F. Nota: Observe que la termocupla no indica la temperatura correcta del gas debido a la conducción de calor a lo largo del portatermómetro hacia la pared del tubo más fría. 28 - Una varilla cilíndrica muy larga, de 3 cm de diámetro, está parcialmente inserta en un horno con uno de sus extremos expuesto al aire de los alrededores, el que se encuentra a 300 K. Las temperaturas medidas en dos puntos distanciados 7.6 cm son 399 K y 365 K, respectivamente. Si el coeficiente convectivo de transferencia de calor es h = 17 W/m 2.K, determine la conductividad térmica del material de la varilla. 31 - Un conducto circular de 2 pie de longitud y 2 plg de diámetro tiene en su centro una termocupla con superficie 0.3 plg 2. Las paredes del conducto están a 200 °F, y la termocupla indica 310 °F. Si el coeficiente convectivo entre la termocupla y el gas del conducto es de 30 Btu/hr.pie 2.°F, estime la temperatura real del gas. La emisividad de las paredes del conducto es 0.9 y la de la termocupla 0.6. 32 – Un termopar alojado en el interior de una vaina cilíndrica de acero de 1.3 cm de diámetro externo, 0.25 cm de espesor y 5 cm de longitud, se encuentra instalado en una conducción tal como se ve en la figura 1.28. En régimen estacionario la lectura de dicho termopar es 423 K mientras que la de otro fijo a la pared del conducto es de 338 K. Suponiendo que el coeficiente de transmisión de calor entre el vapor y la vaina del termopar es h G = 340 W/m2.K y que la conductividad térmica del acero es k m = 45 W/m.K calcule la temperatura del vapor de agua.
Figura 1.28 Problema 32
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53 36. Los dos extremos de una varilla circular delgada de diámetro D, situados en x = 0 y x = L se mantienen respectivamente a las temperaturas T 0 y TL, en tanto que en la varilla se genera calor a una tasa uniforme de 0 Btu/h pie3. Obtener una expresión de la distribución de temperatura en la varilla, en el estado estable, para los casos en que (a) la superficie lateral de la varilla está aislada y (b) la superficie lateral disipa calor por convección hacia un medio a temperatura T L y coeficiente de transferencia de calor h. ALETAS
38. En una varilla circular delgada de longitud L y diámetro D se genera calor a una tasa constante de Btu/h píe 3. Los dos extremos en x = 0 y x = L se mantienen respectivamente a las temperaturas constantes T0 y cero, en tanto que la superficie lateral disipa calor por convección hacia un medio de temperatura cero y coeficiente de transferencia de calor h. (a) Deducir la ecuación de energía en estado estable en una dimensión que permita determinar la distribución de temperatura T(x) en la varilla. (b) Hallar la expresión de la distribución de temperatura T(x) en la varilla resolviendo la ecuación diferencial anterior. 40. De una pared sobresale una varilla de cobre larga y delgada de k = 220 Btu/h.pie.°F y diámetro D = 1/2 pulg. El extremo de la varilla que está en contacto con la pared se mantiene a 500°F. La superficie lateral de la varilla disipa calor por convección al aire que se encuentra a 100°F y cuyo coeficiente de transferencia de calor es h = 5 Btu/h.pie 2.°F. Determinar la tasa de pérdida de calor desde la varilla hacia el aire que la rodea. 43. Dos varillas de cobre largas de diámetro D = 10 mm se sueldan juntas extremo con extremo; la soldadura tiene un punto de fusión de 650 °C. Las varillas están en aire a 25 °C con un coeficiente de convección de 10 W/m 2 K. ¿Cuál es la potencia mínima de entrada necesaria para efectuar la soldadura? Respuestas a algunos problemas capítulo 1 RBG 3 k = 9.93 Btu/hr.pie.°F = 17.18 W/m 2.K 4 132, 93, 67 °C 11 6.79 W/m; 3.84e6 W/m 3; 24.2 A 13 a) Tg = 120.4 °F; b) Tt = 127 °F 17 Tmax = T1 = 310 K 20 El mejor aislante cerca al tubo 21 Tc = 70.31 °F; Ts = 70.28 °F; Fi = 3040 Btu/pie 3 30 Tmax = 600 °C Un calentador de aire consiste en un tubo de acero (k = 20 W/m.K), con radios interno y externo de r1 = 13 mm y r2 = 16 mm, respectivamente, y doce (no ocho) aletas longitudinales fabricadas integralmente, cada una de espesor t = 3 mm. Las aletas se extienden a un tubo concéntrico, que tiene radio r3 = 40 mm y aislado en la superficie externa. Agua a temperatura T i = 90°C fluye a través del tubo interno, mientras que aire a T o = 25°C fluye a través de la región anular formada por el tubo concéntrico más grande. Dibuje el circuito térmico equivalente del calentador y relacione cada resistencia térmica con los parámetros apropiados del sistema. Si hi = 5000 W/m 2.K y h0 = 200 W/m2.K, ¿cuál es la transferencia de calor Q por unidad de longitud?
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