1.- INTRODUCCIÓN 2.- BIOGRAFÍA
(página 3)
(páginas 3-5)
3.- EL MUNDO EN EL QUE VIVIÓ ALBERTO DURERO 3.1.3.2.3.3.3.4.-
CONTEXTO GEOGRÁFICO (página 5) IDEAS RENACENTISTAS (página 6) ALEMANIA EN EN LOS S. XV Y XVI (páginas 6-7) BREVE HISTORIA MATEMÁTICA MATEMÁTICA ANTERIOR A DURERO (páginas 7-8) 3.4.a.- REGIOMONTANO (páginas 8-10)
4.- OBRA MATEMÁTICA MATEMÁTICA DE ALBERTO DURERO 4.1.4.2.4.3.4.4.4.5.4.6.4.7.4.8.-
ESPIRALES (páginas 10-21) SECCIONES CÓNICAS (páginas 21-25) FIGURAS BIDIMENSIONALES (páginas 25-27) ARQUITECTURA (páginas 27-28) CONSTRUCCIÓN DE LETRAS (páginas 28-30) POLIEDROS (páginas 31-32) PROPORCIONES HUMANAS (páginas 32-33) MÁQUINAS (páginas 33-35)
5.- CUADRO DE “MELANCOLÍA I” (páginas 35-39) 6.- INFLUENCIAS EJERCIDAS POR DURERO (página 40) 7.- APÉNDICE 1: CUADRO DE LAS MENINAS DE VELAZQUEZ (página 41)
APÉNDICE 2: LA ESPIRAL DE DURERO EN LA NATURALEZA (página 42)
8.- BIBLIOGRAFÍA (página 43-44) 1
1.- INTRODUCCIÓN 2.- BIOGRAFÍA
(página 3)
(páginas 3-5)
3.- EL MUNDO EN EL QUE VIVIÓ ALBERTO DURERO 3.1.3.2.3.3.3.4.-
CONTEXTO GEOGRÁFICO (página 5) IDEAS RENACENTISTAS (página 6) ALEMANIA EN EN LOS S. XV Y XVI (páginas 6-7) BREVE HISTORIA MATEMÁTICA MATEMÁTICA ANTERIOR A DURERO (páginas 7-8) 3.4.a.- REGIOMONTANO (páginas 8-10)
4.- OBRA MATEMÁTICA MATEMÁTICA DE ALBERTO DURERO 4.1.4.2.4.3.4.4.4.5.4.6.4.7.4.8.-
ESPIRALES (páginas 10-21) SECCIONES CÓNICAS (páginas 21-25) FIGURAS BIDIMENSIONALES (páginas 25-27) ARQUITECTURA (páginas 27-28) CONSTRUCCIÓN DE LETRAS (páginas 28-30) POLIEDROS (páginas 31-32) PROPORCIONES HUMANAS (páginas 32-33) MÁQUINAS (páginas 33-35)
5.- CUADRO DE “MELANCOLÍA I” (páginas 35-39) 6.- INFLUENCIAS EJERCIDAS POR DURERO (página 40) 7.- APÉNDICE 1: CUADRO DE LAS MENINAS DE VELAZQUEZ (página 41)
APÉNDICE 2: LA ESPIRAL DE DURERO EN LA NATURALEZA (página 42)
8.- BIBLIOGRAFÍA (página 43-44) 1
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Alberto Durero ha sido el artista más reconocido y estudiado del Renacimiento alemán, es el primero al que se le levantó una estatua y el que mayor número de interpretaciones históricas ha recibido. Fue coetáneo de personajes muy ilustres y muy importantes en la historia, como los Reyes Católicos, los emperadores Maximiliano I y Carlos V, Enrique VII y Enrique VIII de Inglaterra, los papas Alejandro VI, Julio II, León X y Clemente VII, entre otros; así mismo, convivió con los Medicis, los pintores Mantenga, Bellini, Botticelli, Giorgione, Tiziano, Leonardo, Rafael, Miguel Ángel, el Bosco, Pedro Berruguete y de Fernando Gallego; descubridores como Cristóbal Colón y Vasco de Gama y de personas tan influyentes en su época y en la actualidad como Lutero y Tomás Moro; o matemáticos como Luca Pacioli, Johannes Verter, Copérnico, Pedro Sánchez Siruelo, Francisco de Mello, Juan de Celaya, Luis Vives, Girolamo Cardano, Pedro Nunes (Nonius), Gerardus Mercator (Kremer) y Leone Batista Alberti. De continuar por este camino, la lista sería excepcionalmente larga, esto me lleva a pensar que estuvo inmerso en un universo en transformación, en el que él mismo contribuyó grandemente.
Nació el 21 de mayo de 1471 en Nüremberg (Alemania), proviene de una familia húngara llamada Ajlos, cuyo significado es puerta, al establecerse en Nüremberg el padre del artista germanizó su nombre a Dürer, adoptando la profesión de platero, ya que entró a trabajar en casa del maestro platero Jerónimo Holper, con cuya hija Bárbara se casó en 1467, con la que tuvo 18 hijos siendo nuestro gran artista el tercero de ellos.
Vista de la casa en la que vivió Alberto Durero en la ciudad de de Nüremberg (Alemania)
Alberto Durero comenzó trabajando con su padre, lo que le fue muy útil para aprender las técnicas de grabados sobre metales, hasta que en 1486 ingresó en el obrador del famoso pintor Miguel Wolgemut, que además de pintura, se ilustraba libros, esculturas, marcos, muebles, etc. Entre 1490 y 1494 estudió en Alsacia y permaneció en Basilea, donde realizó la portada en xilografía para una edición de las Cartas de san Jerónimo, publicada ese año por la imprenta de Nikolaus Kessler y que lleva la firma Albrecht Dürer von Nörmergk, y realizó su primer viaje a Italia; a su regreso, se casó en 1494 con Agnes Frey.
En 1494 trabajó Durero en Wittenberg, por cuenta del gran elector de Sajonia, Federico el Sabio, decorando el palacio, obra en la que también estaba ocupado el veneciano Jacobo de Barbari, cuya refinada técnica introdujo la noción
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de las proporciones del cuerpo, ajustadas a cánones estéticos, en la ejecución enérgica y espontánea del gran artista alemán. Después de haber ejercido el cargo de pintor de cámara del emperador Maximiliano de Austria, desde 1500 hasta 1504, emprendió un viaje a Venecia en 1506, trabajando por cuenta de los ricos mercaderes alemanes establecidos en la ciudad del Adriático. En Venecia, Durero entró en contacto con una realidad nueva para él, y sobre todo le impresionarían la abundancia de obras de arte, el cosmopolitismo y la vivacidad cultural, con todo esto pudo estudiar la perspectiva y la figura desnuda y vestida en relación con la nueva representación del espacio a la que habían llegado en Italia por primera vez los artistas toscanos. En esta época es donde realiza la gran mayoría de sus obras de arte, sabiéndose por varias comunicaciones epistolares con su amigo Pirkheimer y de la lectura de sus cartas, que en Venecia gozaba de todas las consideraciones. El interés por la perspectiva, cuyas reglas habían sido indagadas por los italianos, lo llevó a buscar maestros que pudieran revelarle los principios de esta ciencia. Entre 1505 y 1507, hizo un viaje de Venecia a Bolonia, para buscar a una persona capaz de transmitirle el conocimiento del “arte secreta de la perspectiva”. Se cree que ese maestro pudo ser Luca Pacioli, matemático, paisano de Piero della Francesca y autor también de una obra técnica sobre la perspectiva. Mientras tanto, ya había entrado en contacto con las ideas de León Batista Alberti y de Leonardo, con los estudios de éste sobre anatomía y proporciones humanas. Es por lo que se dedica a estudiar las proporciones del cuerpo humano renunciando a un concepto abstracto de belleza y cultivando el estudio de la naturaleza, mediante la medición de un gran número de individuos. Sin embargo, confesará que no es capaz de decir cuál es la belleza ideal, ya que toda idea de belleza está ligada a su época: “Qué es la belleza yo no lo sé... No existe ninguna que no sea susceptible de ulterior perfeccionamiento. Sólo Dios posee esta sabiduría, y aquel a quien Él se lo revelase también lo sabría”. La segunda década del siglo XVI contempla a Durero entregado cada vez más a fondo a los estudios de geometría y de teoría estética, pero registra una parálisis en la actividad pictórica propiamente dicha. Entre 1516 y 1520 grabó muchas composiciones y una colección de proyectos de festejos y carros triunfales por encargo del emperador Maximiliano. La muerte del monarca y la declaración de una epidemia en Nüremberg, decidieron el viaje de Durero a los Países Bajos, tanto para procurar obtener la protección del nuevo emperador (Carlos V) y de la poderosa regente Margarita, como para huir de la enfermedad reinante. Le acompañó en esta excursión su mujer, siguiendo el curso del Rhin, se dirigieron a Colonia y luego a Amberes; asistió a la coronación de Carlos V en Aquisgrán y visitó, además Bois-le-Duc, Bruselas, Brujas y Gante. La obra de Lutero, especialmente su traducción de la Biblia, supuso un giro fundamental en evolución del alemán. Las doctrinas Luteranas se extendieron rápidamente por toda Alemania y Durero encuentra refugio y seguridad en las ideas de este monje agustino; cuando Durero se enteró de la prisión y muerte de Lutero, exclamo: “¿Quién nos explicará con tanta claridad los santos evangelios?”. Es indudable que los escritos religiosos no condicionaron los textos científicos de Durero. El 12 de julio 1521, regresa a Nüremberg, donde sigue pintando y realiza sus obras de perspectivas, proporciones y fortificación. Minada su existencia por un trabajo incesante y por unas fiebres malignas contraídas en los canales de los Países Bajos, murió la noche del 6 de abril de 1528, fiel a las enseñanzas de Lutero, de las que, por el contrario, su amigo Pirckheimer había abjurado, volviendo al catolicismo. Alberto Durero fue enterrado en el cementerio de la iglesia de San Juan, el Johannes Friedhof, y en su tumba se puso el epígrafe latino dictado por Pirckheimer que reza: “Cuanto en Alberto Durero había de mortal está encerrado ahora en esta tumba”.
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Como la de casi todos los grandes hombres, la imagen de Durero ha variado según las épocas y las mentes en las que se reflejaba, vivió y vive en la memoria de todos como un hombre a la vez grande, bueno y humano, de salud un tanto delicada, apuesto, leal ciudadano, fiel cristiano, artesano y amigo. Tuvo pasión de coleccionista, como animalillos extraños, plantas, piedras, conchas, etc. Era humilde y sincero, su sentido del humor y su modestia le impedían se rencoroso o arrogante. Cuando su amigo Pirckheimer alardeaba de sus logros en el campo del saber o en el de la diplomacia, Durero le respondía: “¡Qué a gusto vivimos los dos, yo con mi pintura y vos con vuestro saber! Cuando nos elogian nos ponemos muy huecos y nos lo creemos todo, pero pudiera ser que un burlador malévolo se riera de nosotros a nuestras espaldas” Sentía que sin “Kunst”, esto es, sin conocimiento, el arte era una mezcolanza fortuita de imitación irreflexiva, fantasía irracional y práctica ciegamente aceptada (“Brauch”). Admitía con franqueza que los artistas alemanes de su tiempo, por más que fueran excelentes en cuanto a técnica y talento natural, carecían del indispensable complemento de lo que él llamaba “buenos cimientos” (“rechter Grund”), y dedicó media vida a intentar remediar esa deficiencia
San Pedro y dos cabezas divididas en facetas (1519) (Sächsische Landesbibliothek, Dresde, Alemania)
3.1.- CONTEXTO GEOGRÁFICO Alberto Durero nació en Nüremberg, Alemania. Esta ciudad debe su prosperidad a su posición de encrucijada entre las rutas de Italia a Alemania del norte, por un lado, y de Renania a Bohemia, por otro. Recibió de Federico II el estatuto de ciudad libre imperial (1219), conoció una rápida actividad comercial y se convirtió en uno de los principales lugares de intercambio entre oriente y occidente. Centro de un artesanado del bronce y del oro, que hizo de ella la ciudad más próspera de Alemania en los s. XV y XVI, fue también una de las sedes más activas del renacimiento en Europa, desde el punto de vista cultural. Los grandes descubrimientos, al modificar las vías de intercambio que hacían de Nüremberg su encrucijada de privilegio, provocaron su decadencia económica.
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3.2.- IDEAS RENACENTISTAS El término “rinascita” apareció en 1568 para expresar un fenómeno que se remonta al siglo anterior: la renovación de las artes bajo la influencia del redescubrimiento de la antigüedad, lo que permitió sustraerse de la pretendida “barbarie” del estilo gótico. Fue en Florencia, a partir de la primera mitad de quattrocento, donde muchos elementos se conjugaron en el arte de los Brunelleschi, Donatello, Masaccio y en el pensamiento de Alberti. En 1494, la llegada de los franceses trastornó el equilibrio italiano, y Roma recogió la antorcha del modernismo, hasta la dispersión de los artistas que siguió al saqueo de 1527. Leonardo da Vinci, no obstante, tras sus años en Milán, se vio empujado a una carrera nómada. Parma y sobre todo Venecia contribuyeron al apogeo clásico del renacimiento. España y después Francia se verían influidas por el sesgado en la decoración: arabescos, follajes, pilares y órdenes chapados sobre una arquitectura tradicional remplazaron las tendencias góticas. En España, esta arquitecturas se denominaría plateresca, pero no se adoptó la concepción espacial del renacimientos hasta el segundo tercio del siglo XVI, con la difusión de los tratados teóricos (de Diego de Sagrado) y la formación italiana de muchos arquitectos españoles (Diego de Siloé). En Europa central, Hungría conoció precozmente el nuevo estilo reinando Matías Corvino, y los arquitectos italianos intervinieron en Moscú (y más tarde en Cracovia) desde 1475. Durero tuvo acceso a la biblioteca de su amigo Pirckheimer y así como otras bibliotecas de Nüremberg, como la del astrónomo Bernhard Walter, al cual le compró su casa, conocida como Dürershaus, situada en el Zisselgasse, en el lado oeste de la Platz am Tiergärtmertor, incluidos su taller mecánico y su observatorio; aún hoy se conserva a pesar de los bombardeos de la Segunda Guerra Mundial. Su amigo Pirckheimer, sobre todo, ayudó al artista en la traducción e interpretación de los textos griegos y latinos. Otros auxiliares científicos de esta peculiar forma de bajo colectivo fueron el matemático Johann Werner y el ingeniero Tschertte. Leonardo y Durero establecieron las proporciones de la belleza mediante fracciones aritméticas, en contraste con los esquemas geométricos que prevalecían en la Edad Media. Ghilberti, Alberti y Leonardo, que insistían en que el artista se ocupa exclusivamente de lo que ve, desecharon las explicaciones metafísicas del origen del arte. El interés por los hechos físicos del hombre y la naturaleza continuó siendo la característica del arte occidental, e indujo a los europeos a concentrar su atención en los aspectos corpóreos de la existencia humana más que en la espera espiritual o religiosa. Al mismo tiempo que los primeros artistas renacentistas intentaban recrear la apariencia física de las formas naturales objetivas, veían en el mundo físico una revelación de la belleza, la armonía y el orden divino, e imitaban las “mejores” partes de la naturaleza en el proceso de creación de sus propias formas.
3.3.- ALEMANIA EN LOS SIGLOS XV Y XVI Desde mediados de siglo XV, surge en Alemania un movimiento humanista que comienza en las ciudades imperiales de la alta Alemania y luego en las Universidades y muy pronto se presenta con propia conciencia y alguna exageración como la ciencia moderna. El entusiasmo por lo extraño y ajeno, es decir el entusiasmo italiano por la antigüedad romana y por Platón, dio paso posteriormente a una ciencia filológica de la antigüedad y sobre todo al helenismo, cuyo valor fundamental se reconoció frente a la antigüedad romana. Los retóricos y poetas se convirtieron en investigadores serios que se dedicaron a la exacta comprensión e interpretación de los antiguos textos. Este humanismo prestó atención a la vieja historia alemana y rememoró a la nación sus grandes glorias
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pasadas, sobre todo recobró los ideales del cristianismo primitivo. Este espíritu de la nación influyó en la evolución artística del siglo XV. Durero no solamente llevó a incomprensible cultura la técnica del grabado en madera y en cobre, sino que expresó en sus creaciones todo lo que conmovía a todos y todos comprendían; al igual que otros artistas alemanes, se le reprocha que se entregara a modelos extranjeros, aunque esta influencia supo aprovecharla en su propio beneficio. Tampoco hay que olvidar que el mundo comenzó una revolución en todos los sentidos, no solo el movimiento humanista, la filología y la arqueología se desarrollaron, Colón encontró América, se estudió a Lucrecio para refutar la escolástica, cuentistas y moralistas celebraron la sensualidad pagana y los escritores plagiaron a Cicerón, a Virgilio y a Horacio, pero esta civilización no pudo acomodarse a las tradiciones cristianas, quizás por este motivo Durero se hizo luterano en sus últimas épocas.
3.4.- BREVE HISTORIA ANTERIOR A DURERO
MATEMÁTICA
Hasta aproximadamente el 1500 el saber matemático no había avanzado en su mayor parte más allá de la fase en que los griegos y musulmanes lo habían dejado. A mediados del siglo XVI Europa desarrolló el campo del álgebra más allá de sus fuentes hindúes e islámicas. Proporcionó métodos de solucionar ecuaciones anteriormente solucionadas, únicamente por procedimientos geométricos griegos. Se atribuyen a Tartaglia, el mérito de descifrar los problemas tenidos desde hace tiempo como fundamentales para la solución de ecuaciones cúbicas, pero probablemente el crédito pertenece a su colega Scipione dal Ferro. El abogado matemático francés, François Viète fue el primero en introducir en el álgebra símbolos generalmente aceptables de letras; Stifel instituyó el símbolo para la raíz y trató de los números negativos y Descartes utilizó el sistema exponencial moderno. Simon Stevin simplificó mucho los cálculos aritméticos cuando propuso el empleo de fracciones decimales en lugar de las sexagesimales, pero este sistema de notación siguió muy embarazoso y el cálculo decimal fue simplificado cuando Edward Wright, en una traducción inglesa de la “Rabdologiae seu Numerationis per virgulas libris duo” de Napier, introdujo el simple punto decimal. Otro expediente propuesto a comienzos del siglo XVII, los logaritmos, facilitó los cálculos agobiantes sin exigir una comprensión de las operaciones matemáticas que suponían. Los logaritmos reducían la multiplicación y la división a sumas y restas, y la extracción de raíces a una simple división. A comienzos del s. XV en Italia comenzó un conocimiento de la geometría proyectiva, de la óptica y de la visión en sí misma, a lo que se llamó “perspectiva natural”. Los textos fundadores de este campo son los de Euclides (“Elementos y perspectiva”) y los de los sabios árabes al-Kindi (800-873), al-Hazen (965-1038), renovados al ser conocidos en el mundo cristiano por los teóricos franciscanos John Pecham (1240-1292) y Roger Bacon (1214-1294); se dedicaron a demostrar las razones geométricas de la visión y exploraron algunos campos experimentales como el tema de los espejos, que tan apasionante fue para la Antigüedad. Los principales teóricos del Renacimiento, con Alberti, apoyado en su trabajo por matemáticos como Toscanelli, se ocuparon de transformar el enfoque de la perspectiva en una técnica de producción gráfica y no solo en un instrumento de comprensión de un fenómeno físico. Aquellos autores que no dominaban el latín, tenían a su disposición una escasísima y limitada producción de obras sobre matemática, en la facultad de artes de Leyden (Países Bajos), se desarrollaba hasta el s. XVII, una enseñanza en latín y orientada hacia aritmética y geometría especulativas.
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Los autores alemanes ligados al género del “Kunstbuchlein”, así como los neerlandeses que pueden leer en esa lengua, disponían de la obra de Durero así como las recopilaciones realizadas por Walter Hermann Rivius. También se progresó en el estudio de la trigonometría. Copérnico escribió un tratado sobre trigonometría esférica en relación con su investigación científica, pero su obra fue publicada separadamente por Georg Joachim von Lauchen (Rheticus), que escribió un tratado propio que contenía tablas de senos, tangentes, secantes y otras funciones trigonométricas. Mención especial merece Johann Müller, REGIOMONTANO:
3.4.a.- REGIOMONTANO Nació en Königsberg, Alemania. Probablemente es el matemático que ejerció una mayor influencia de todo el s XV. En 1452 terminó sus estudios en la universidad de Liepzig, pero tuvo que esperar hasta 1457 para obtener el título de licenciado, porque 21 años era la edad mínima exigida. En 1461 viajó a Roma donde participa en la reforma del calendario y diseña astrolabios y relojes de sol. En Italia se convirtió en un lazo de unión entre el saber clásico conservado en Constantinopla y el entonces joven movimiento renacentista de Occidente. A su regreso de Italia, junto con B. Walther determinó la posición del cometa de 1472, posteriormente llamado Halley; Walther le proporciona los medios para poner un observatorio (el primero de Alemania), una imprenta (en la que publicó uno de los primeros calendarios completos con datos astronómicos sobre las posiciones del Sol y de la Luna, eclipses y fiestas móviles, las Ephemerides ab anno 1475 ad annum 1506, muy utilizadas por los navegantes de los siglos XV y XVI) y un taller de construcción de instrumentos científicos, con el objeto de promover el interés por la ciencia y la literatura. Su temprana muerte acaba con el proyecto de imprimir traducciones de Arquímedes, Apolonio, Herón y Ptolomeo, entre otros. Su conocimiento de la obra de Nasir Eddin, contribuyó a que deseara organizar y sistematizar la trigonometría como materia independiente de la astronomía. El primer libro de su obra “De triangulis” comienza con una exposición de los conceptos fundamentales sobre magnitudes y razones, inspirada por Euclides, a continuación vienen más de 50 proposiciones que tratan de la resolución de triángulos, basándose en las propiedades de los triángulos rectángulos. El libro segundo comienza enunciando el teorema de de los senos y demostrándolos, seguidos de diversos ejemplos de problemas sobre determinación de lados, ángulos y áreas de triángulos planos. El libro III contiene teoremas del tipo de los que se pueden encontrar en los antiguos texto griegos sobre “esférica”, anteriores a la utilización de la trigonometría. Y el último y cuarto libro trata de trigonometría esférica, incluyendo el teorema de los senos para una superficie esférica. El estudio general de los triángulos que emprendió Regiomontano le condujo a la consideración de ciertos tipos de problemas de construcciones geométricas que pueden recordar a la “División de figuras” de Euclides. El álgebra de Regiomontano es de tipo retórico, como la de los árabes, conocía la “Aritmética” de Diofanto en la que adopta la notación sincopada, pero fue de Al-Khowarizmi, de quien aprendió la Europa medieval tardía de los métodos matemáticos. Su influencia en el álgebra se vio limitada por su adhesión a la forma de expresión retórica. En 1471, planteó el problema de ¿a qué distancia debe situarse un observador para que una estatua situada en un pedestal le parezca lo mayor posible?. Es decir, que las visuales desde sus ojos al pié y a la parte más alta de la estatua formen el ángulo mayor posible. Los casos más interesantes se presentan cuando el observador está situado por encima de la parte más alta de la estatua o por la más baja. El caso en que el
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observador esté situado a la altura de la estatua es trivial, pues la verá mayor cuanto más se acerque: ¿A qué distancia deberá situarse un observador de 1,70 metros de altura para ver lo mayor posible una estatua de 2 metros de altura situada sobre un pedestal de 3 metros? Primer Caso: 0 <= h < L Teniendo en cuenta la figura adjunta resulta
Puesto que
sustituyendo estas expresiones en la igualdad anterior resulta:
siendo k = L - h. Esta expresión es función de x; derivando e igualando a 0 resulta
En nuestro caso resulta k = L - h = 3 - 1,7 = 1,3; H = 2; L = 3; h = 1,7 por lo que x = 2,07 Puede comprobarse que para dicho valor la segunda derivada es menor que 0. Segundo Caso: L < h < L + H Son evidentes las siguientes relaciones entre los ángulos de la figura: por lo que:
Teniendo en cuenta que:
y procediendo de forma análoga a la anterior (es decir derivando e igualando a 0) llegamos a la conclusión que x = 0. Es decir cuanto más se acerque a la estatua mayor la verá. Tercer Caso:
h>L+H
Basta tener en cuenta que
y que
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Puede probarse que si se traza una circunferencia que pase por los extremos de la estatua y sea tangente a la visual del observador, la distancia de dicho punto de tangencia a la estatua es la distancia pedida. Teniendo esta consideración en cuenta, pasamos a resolver el caso propuesto: consideremos el punto P de corte entre la visual y la recta determinada uniendo el extremo superior e inferior de la estatua. En el caso que nos ocupa resulta: PB = 3 - 1,7 = 1,3; PA = 3,3; PT = x La potencia del punto P respecto de dicha circunferencia verifica: PT.PT = x 2 = PA.PB de donde x 2 = 1,3 * 3,3 resultando x = 2,07. Regiomontano se encontró situado en un punto de unión crítico en la historia de la ciencia, y en él se dieron tanto las aficiones como la capacidad necesarias par sacar el mejor partido de todo ello. Compartía con los humanistas el amor por el saber clásico, pero se distinguía de ellos por su fuerte inclinación por las ciencias. Por otra parte, no se mostraba de acuerdo con el desprecio que manifestaban los humanistas por el saber escolástico y árabe, su interés por el saber teórico y por las artes prácticas lo calificaban como hombre renacentista. Regiomontano sabía, por sus contactos con los averroístas en la universidades italianas, que los astrónomos árabes habían estado preocupados por las inconsistencias entre los sistemas de Aristóteles y Ptolomeo, y sin duda sabía también que tanto Oresme como Cusa se habían planteado seriamente la posibilidad del movimiento de la Tierra. Se dice que Regiomontano tenía la intención de abordar una reforma de la astronomía, y es muy posible que, en el caso de haber vivido lo suficiente, hubiera podido anticiparse a Copérnico, pero su muerte prematura acabó con todos estos proyectos, y tanto la astronomía como las matemáticas debieron buscar a otros que llevaran a cabo las siguientes etapas.
4.1.- ESPIRALES En 1525, Durero, entregado al estudio de las proporciones, escribe su libro “Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt in Linien ebnen unnd gantzen corporen” (“Instrucción para la medida con el compás y la regla de líneas,
planos y todo tipo de cuerpos”) para, tal y como le comenta a su gran amigo Willibald Pirckheimer, “iniciar y dar razón del arte todos los jóvenes con inquietudes artísticas, para que se instruyan en las medidas del compás y la regla y así puedan reconocer y ver con sus propios ojos la recta de verdad y puedan llegar a tener un mejor y correcto juicio”. A pesar de su gran amor por las matemáticas, Durero, es fundamentalmente pintor, por lo que no hace un estudio teórico de las espirales y se limita a dar preceptos para su construcción. Por su influencia del mundo helénico, Durero impone la utilización exclusiva de la regla y el compás, por lo que se limita a 10
investigar la representación aproximada de la espiral no uniforme mediante arcos de circunferencias. Por esta razón, su libro comienza con sencillas enseñanzas a cerca de puntos, tipos de rectas y construcción de diferentes tipos de planos y cuerpos voluminosos, para después dedicarse a la construcción de espirales y otras figuras curvas. De las muchas espirales que Durero explica como dibujar, se encuentran: 1º
Espiral de Arquímedes, como hacerla con el compás sobre el plano
Se traza de la siguiente manera: Se hace una línea vertical a-b y dividirla en cuatro partes iguales con los puntos c-d-e. Dividir el segmento d-e en dos partes iguales por el punto f. Poner una g a la derecha de la línea y una h a la izquierda. Coger un compás y hacer un semicírculo de centro de y extremos a-b orientándolo hacia h. Repetir la operación con otros semicírculos: - con centro f y extremos b-c, orientado hacia g - con centro d y extremos c-e, orientado hacia h - con centro f y extremos e-d, orientado hacia g Por último se traza otro semicírculo cuyo centro sea el punto medio entre d y f y extremos d y f orientado hacia h. Esta curva es útil para la voluta (“horneiffen”, cuerno de carnero) de un capitel.
Columna jónica del Templo de Artemisa
2º Otra manera de construir la espiral de Arquímedes. Poner un punto a trazar una circunferencia tan larga como se quiera hacer el desarrollo de la espiral. Dividir la línea circular en 12 partes iguales. Trazar una línea recta desde a hasta b, donde b es el extremo superior de la circunferencia. En este punto se pone el 12 y se comienza a numerar hacia la mano izquierda los puntos que dividen la circunferencia hasta dar la vuelta. 11
La línea a-b se divide con 23 puntos en 24 partes iguales y se comienza a numerar en a. Luego se toma una regla recta y se marca en ella los puntos de la mencionada línea a-b, designándolos por su número. Se coloca con su extremo a en el centro a y con el extremo b en el punto 1 de la circunferencia, y, donde indique el punto 1 de la regla, pongo otro 1. Así voy girando por todos los puntos de la circunferencia, dejando la regla siempre fija en el centro a; de este modo los puntos de la regla indican todos los puntos de la espiral con los números donde se deben poner. Si se quiere ver y utilizar correctamente esta línea espiral, hay que quitar de ella la circunferencia, la regla graduada y todos los números con los que se ha hecho, y dejar sin más la espiral con sus puntos y el modo en que se deben trazar, tal como la he dibujado la segunda vez. Esta espiral tiene por ecuación:
r = !" 3º
r2-r1=2#a=cte
Variante de la espiral 2
Se utilizan dos líneas, una curva y otra recta, que se ponen juntas; una se mide por la otra, y no son iguales, sino acompasables (de acompasar, medir con el paso o el compás para traducir el “polisémico vergleichlich” de Durero cuando éste quiere decir que una configuración (subdivisión de una recta) puede ser deducida de otra por una ley, una regla). Se hace de la siguiente manera:
Se traza una línea vertical del largo de la regla con la que se hace la espiral. Sea a su extremo superior y b el inferior. Luego se traza una línea horizontal c-d que forme ángulos iguales con el punto de la línea vertical. Se traza una línea oblicua d-b, se coge un compás y se pone uno sus brazos en el punto d y el otro en el punto a. Desde aquí se traza una línea curva hacia arriba hasta la oblicua d-b, y, donde la toque, se pone el punto e. Se divide esta línea curva a-e con 23 puntos en 24 partes iguales, y desde el punto de se trazan líneas rectas por todos los puntos de a-e hasta la línea a-b. Los puntos donde estas líneas cortan a la línea a-b se les designa con números, comenzando de arriba abajo desde b hasta a; los espacios intermedios resultantes aumentan hacia arriba y disminuyen hacia abajo.
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Las espiras de esta espiral no se desarrollan en paralelo. En realidad, no se trata de una espiral, porque si la ecuación de la espiral arquimédica es:
r = ! tg (" /n) Mientras que la ecuación de la curva que deduce Durero es:
r = a tg (" /n) * Para poner líneas rectas que se atengan a un orden se debe coger una regla y situar uno de sus extremos en el centro a y el otro en el punto 12, desde donde se debe trazar con la regla una línea recta hacia fuera. Se deja una de las partes de la regla siempre fija en el centro a. Se va moviendo la otra alrededor por todos los puntos de la espiral y se trazan líneas rectas hacia fuera, hasta que se le da la vuelta y se vuelva al centro a. * Para saber cómo se debe encontrar conforme a un orden la longitud de cada una de las líneas rectas que se pusieron, se coge un compás, y se pone uno de los brazos en el punto 12 y el otro en el punto 1 trazando una línea curva en sentido ascendente, a continuación se hace lo mismo pero poniendo uno de los brazos en el 1 y el otro en el 12. Donde se cortan las dos líneas curvas, se pone el punto c. Se hace sí con todos los puntos de la espiral y se designan por letras (d, e, f, g,...) los puntos donde se cortan. Si se une con líneas rectas c-d, d-e, etc., es decir, todas las letras alrededor, se cortarán las líneas trazadas desde los puntos 1, 2, 3, etc., y así por los demás números. Para proporcionar estos elementos, se divide convenientemente con una mediana las hojas formadas por las líneas curvas; se traza desde el punto c, y luego desde los puntos d, e, f, etc., líneas rectas hacia el centro a hasta llegar a la espiral.
4º
Construcción más sencilla de la misma espiral
Se traza a partir de la circunferencia de centro a y se vuelve a poner hojas, pero las líneas rectas que cortan las hojas por la mitad estarán dispuestas de forma diferente a las anteriores. Perfil del báculo episcopal
La línea vertical a-b con la que se va girando, se divide con 11 puntos en 12 partes iguales. Se vuelve a mover como he ha dicho antes, y se marca con puntos la espiral hasta llegar al centro a. Así queda hecha esta línea, que se puede utilizar en especial para un báculo episcopal.
13
Se dibuja desde el punto 6 de la circunferencia una línea recta hacia abajo. Se utiliza la espiral y la mitad de la circunferencia con los números más altos. La otra mitad con los números más bajos, se deja a un lado. Con un compás, se traza un arco de círculo hacia fuera con uno de los brazos en el punto 9 y otro en el 7. A continuación se traza otro arco hacia fuera con uno de los brazos en el punto 7 y el otro en el 9. El punto donde se cortan las dos curvas se denomina con la letra c, y desde el punto 8 de la circunferencia se traza una línea recta al punto c. A continuación se hace lo mismo con los puntos 9-11, 11-1, 1-3, 3-5, 5-7 y 7-9, que se marcan correlativamente con f, g, h, i k, sus puntos de unión. Luego se traza en las hojas, sobre la línea espiral, las rectas e12, f2, g4, h6, i8, k10. Quedará un espacio entre 11 y el centro a, al unirlo también con el compás y el punto de unión será l. La espiral expurgada también se puede utilizar para labores de follaje, importantes en la arquitectura y la orfebrería góticas. 5º
Proyección de una espiral en vertical.
Durero señala que cuando se quiere hacer algo, lo primero que se debe establecer, sea un edificio o cualquier otra cosa, es su planta. Por eso se traza primero la planta de la espiral precedente con la circunferencia con la que está hecha y se invierten los números de los puntos de la espiral. Una vez se haya dado la vuelta a la circunferencia del 1 al 12, se continúa con los puntos en el interior de la espiral. Cuando se pase del punto 12 de la circunferencia al primero de la espiral, se pone en él un 13 y se continúa hasta el 23. Una vez dibujada la planta, se traza una línea recta vertical desde el punto 6 hacia arriba pasando por el centro a y el punto 12 tan alta como se necesite, el punto superior se designa con una a. A continuación se corta esta línea en su parte inferior con una horizontal c-d, el punto de corte será b. Se divide la línea a-b con 23 puntos en 24 partes iguales y se dispone en vertical poniendo la a arriba y la b debajo, comenzando a enumerar de abajo arriba. Al elevar la línea vertical, se atraviesa la horizontal c-d, el punto 1 de la planta y donde se crucen se pone un punto 1. Este es el primer punto de la proyección vertical de la espiral. Se repite a ambos lados para todos los puntos y números de la planta y de la vertical a-b. Se dibuja la espiral punto por punto. Esta espiral es útil para trazar escaleras Dibujo de Durero representando una escalera de caracol
14
6º
Espiral que se traza a partir de un círculo regular, a la que se llama línea helicoidal.
Se traza una circunferencia con centro a y se divide en dos partes iguales con una línea vertical que pasa por el centro a. Donde se corte a la circunferencia se pone arriba un 12 y abajo un 6. Se alarga esta línea desde el punto 12 tanto como se desee, y el extremo será a. A continuación, se corta la línea vertical a bajo, cerca de la circunferencia, con una horizontal cd, formando ángulos iguales, cuyo extremo se nombrara b. Se divide el círculo con puntos en 12 partes iguales y se numeran. Según sea necesario, se puede seguir numerando, de modo que al 13 le corresponda el 1, al 14 el dos, etc. Luego se lleva una línea desde el 1 de la circunferencia que atraviese la horizontal c-d. Y a continuación se lleva otra desde el 1 de la línea vertical a-b una horizontal hacia la vertical. El punto en el que se cruzan se pone también un punto 1. Se repite el proceso para todos los puntos y números de la planta y de la línea a-b. Cuando esté punteada toda la espiral, se dibuja a mano. Esta espiral también se puede hacer doble. Durero aclara que “esta espiral es útil para hacer tornillos de dos, tres o cuatro vueltas, con los que se pueden elevar y quebrar objetos tan duros y resistentes que es de admirar”. Esta es la única mención de todo el libro a problemas de mecánica. 7º Construcción de la misma espiral “simple”, de una sola revolución en el interior del círculo generador. Con un cuadrante (un instrumento con el que se enseñaban todas la geometrías prácticas de la época) a-b-c, en el que b es el centro, a está arriba y c a un lado. Se divide el arco con once puntos en doce partes iguales, comenzando a enumerar por el c. Así, la línea recta c-b, queda dividida en función del círculo a-c. Se traza desde c hacia abajo un semicírculo cuyo radio sea igual a b-c, de modo que la línea recta que lo limita sea una vertical con extremos a-b y centro c. Se trazan las líneas radiales desde el centro c a todos los puntos numerados. Se dibuja un semicírculo con centro b y extremo en el punto 1 (de la horizontal c-b) y otro de centro c y de extremos la parte superior de la vertical a-b, debajo de a y la línea radial 1c. Se repite la operación entre todos los radios del semicírculo inferior. Al tomar todas las medidas en la línea c-b del cuadrante superior y se trasladan abajo, al marcar con números los puntos que se han originado en los radios por la intersección de los trazos curvos, se descubre como desarrollar punto por punto la espiral desde a hasta c.
15
La ecuación de esta curva en coordenadas polares es: "
$ = R sen ——
2
y en coordenadas cartesianas: 4(x2 + y2)3 - 4R2(x2 + y2)2 + R4x2=0 Durero lleva sobre los radios de un semicírculo de radio R longitudes # – "
"
$ = R cos ———— = R sen ——
2
2
Es la ecuación de la curva, en coordenadas polares. Para obtener la ecuación cartesiana basta con eliminar " de: x2 + y2 = R2 sen2(" /2) y/x = tg " De donde:
4(x2 +y2)3 – 4R2(x2 + y2)2 + R4x2 = 0 Se obtiene la curva completa, que Staigmüller 1891 llamó folium de Durero, para 0 % " % 4& Posee cuatro ramas, cada una de las cuales forma un “caracol” según Durero.
8º
Trazo de una línea útil para los arquitectos. Se traza una línea horizontal c-d, y se divide con 9 puntos en 10 partes iguales. En el punto 5 se coloca una vertical a-b perpendicular a c-d, la cual se divide con 19 puntos en 20 partes iguales, numerándose de abajo arriba. Se toma la longitud b-d, con la que se determinarán todos los puntos de la línea curva que se quiere o debe hacer. Una de las partes b-d se divide en tres partes iguales y con uno de estos tercios se prolonga la parte primera. Con un compás con la abertura de la parte que se ha aumentado, con el centro en d, se traza un arco en sentido ascendente, la longitud e-f marcada, el extremo e se coloca en el punto 1 de la vertical y el f en el arco de círculo, el punto donde se corte será de nuevo, el punto 1. Se repite el proceso para los siguientes puntos, siempre manteniendo constante la abertura del compás, hasta conseguir la altura deseada. Se dibuja numerados.
la
curva
uniendo
los
puntos
16
En el dibujo se han proyectado dos veces, con una línea e-g más corta; se juntan más en la parte superior de la curva que en la inferior. La ley de formación de la curva fue explicada por Staigmüller, pero sobre todo por Hofmann. Cuando el segmento de longitud constante UP = c se desplaza, el punto U(t,0), sobre el eje vertical, llega en: V(t+ 't,0) y simultáneamente, sobre la curva buscada, el punto corriente P(x,y) llega en: Q(x+ 'x,y+'y) tal que: PQ = 's = k 't, con k = 4/3 Es decir, que 's/'t = k Después de integración, la ecuación de la curva se escribe:
( ) (1+y2) dx = k (y- ) (c2-x2))
Durero utilizó esta curva en aplicaciones arquitectónicas, como la construcción de torres. 9º
Construcción de una línea en forma de concha (“muschellinie”) Se divide una línea horizontal a-b, con 16 puntos consecutivos separados la misma distancia, pero entre el extremo b y el punto 16 quedará un espacio de mayor o menor longitud. Se traza una línea vertical en el punto 13 de la misma longitud que a 16, graduándola con los mismos puntos (comenzando de abajo arriba) Se traza la longitud a-b haciendo que pase por el punto 1 de la vertical, y el extremo se denota con otro 1. Se repite el proceso para los 16 números
17
Por último, se traza punto por punto esta línea “en forma de concha” La discusión más completa de las propiedades de esta curva reencuentra en Gino Loria, “Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven”. Durero da dos ejes ortogonales que designaremos como Ox, Oy. A (-a,O) es un punto fijo sobre el eje de las abcisas Ox. Un segmento de recta MP (de longitud b constante) se mueve de tal manera que su extremo M recorre el eje Ox y que AM=ON, donde N es el punto de intersección del segmento MP con el eje Oy. El extremo P describe entonces la concoide de Durero. Para dar una expresión analítica, pongamos OM = z. Entonces, ON = a-z, y la ecuación de la recta MN se escribe: x y —— = —— = 1 z a-z Además:
b2 = (x-z)2 + y2
Eliminando z se obtiene la ecuación cartesiana de la curva: (xy + b2 – y2)2 = (x + y – a)2(a2 – y2) La concoide de Durero es una curva de 4º orden con dos puntos dobles determinados por: x+y–a=0 xy + b2 – y2 = 0 Estos dos puntos de abcisas
x1,2
3a ± ) (a2 + 8b2) = ————————— 4
son siempre reales: (' = a2 + 8b2 *0). Según los valores relativos de a y de b, la concoide de Durero puede adoptar tres formas diferentes. 10º
Construcción de una línea arácnea (“Spinnenlinie”)
Trazar una línea vertical a-b, que se alarga hasta c. Dejando fijo a, de extensión b-c, dejando fijo b y moviendo c. Cuando la primera línea haya dado la vuelta y la segunda, contigua, también, el extremo c trazará una línea singular. Para que la línea se haga con seguridad, se traza una circunferencia por debajo de b y centro a, que se divide en tres partes, repitiendo el proceso con el punto b, y cada vez que se avanza un grado con la línea a-b, se avanza igualmente un grado en la circunferencia b con la línea c; de este modo el extremo c va señalando en todos lo puntos por los que se debe trazar su línea.
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Un segmento a-b (=R) gira alrededor de un punto fijo a, mientras que un segundo segmento b-c (=r) gira alrededor de b con la misma velocidad angular +. El extremo c describe la curva de ecuación: z=Rei+ +re2i+
o
x=Rcos++rcos2 + y=Rsen ++rsen2 +
Eliminan + de las ecuaciones, se obtiene la ecuación cartesiana: (x2 + y2 - 8R 2 - r2)2 = 32R2(rx + r2+ 2R 2) Es una curva de grado 4 con un punto doble (-r, 0). Para demostrar que la curva es una epitrocoide, basta con imaginar un círculo fijo C de centro a y de radio R/2 y un segundo círculo C’ de centro b y del mismo radio R/2, que rueda exteriormente sin deslizarse sobre C. Entonces, la arácnea de Durero es descrita por un punto fijo c de C’ con bc = r > R/2. 11.- LA ESPIRAL DENOMINADA “DE DURERO” Pero de todas las espirales que traza Durero en Underweysung, hay una que ha pasado a la historia como la Espiral de Durero. Es una aproximación a la espiral logarítmica, pero no es la misma porque esta última no puede trazarse con regla y compás. Durero la construye de la siguiente forma: Se comienza en un punto a y se traza esta línea con arcos de círculo hacia dentro, como si transcurriera hacia un centro, y cuanto más gira en este sentido, se acorta en la mitad la separación de la línea. Se hace lo mismo al llevar la línea desde a hacia fuera, cada vez que se da una vuelta, se aumenta en la mitad la separación de la línea. Cuanto más larga sea hacia dentro, más se comprime, y cuanto más larga hacia fuera, más se dilata y nunca tiene fin. Esta curva, corresponde a una espiral logarítmica de ecuación: $ = 2
" /2&
Esta espiral es casi una espiral logarítmica de salto angular 90 grados y razón geométrica el número de oro (también denominada sección aurea). La única diferencia, inapreciable a pequeña escala es que los centros de esos arcos van saltando a su vez de un vértice a otro de los rectángulos. La sección áurea era, para Platón, la más hermosa relación entre tres números, la más reveladora de las proporciones matemáticas. La sección áurea fue descubierta por los pitagóricos y luego fue empleada por artistas, filósofos y científicos tal que terminaron llamándola en el Renacimiento la “proporción divina” . La construcción geométrica de la sección áurea es sencilla:
19
El segmento AM es la sección áurea de AB, porque: AM/AB = MB/AM Cuando el segmento AB tiene valor 1 la sección áurea tiene el valor 0,618... Esto puede demostrarse del siguiente modo: si AB = 1 y la longitud de AM = x, entonces AM/AB = MB/AM se convierte en x/1 = (1 - x)/x.
Otro modo de llegar hasta + consiste en suponer que el segmento AM es igual a 1 y AB es x. En ese caso la ecuación quedaría como sigue:
Se puede calcular el valor que se obtiene al dividir el segmento mayor, AB o x, entre el segmento menor, AM ó 1-x. El resultado es el número áureo o número de oro, también llamado + en honor al escultor griego Fidias (s. V a. C) y cuyo valor es 1,618033988749894848204586834365638117720309179805… Los rectángulos áureos son aquellos cuyos lados están en proporción áurea, es decir, el cociente entre su lado mayor y su lado menor es 1,618... Este tipo de rectángulo, como veremos más abajo, lo usó Fidias en la fachada del Partenón, pero también podemos verlo hoy en las cajetillas de tabaco, el DNI, las tarjetas de crédito, etc. La sección áurea tiene un curioso parecido con la sucesión de Fibonacci, llamada así por haber sido descubierta por el matemático medieval pisano Leonardo Fibonacci (1170-1240). La sucesión de Fibonacci es una sucesión de números en la que cada término es igual a la suma de los dos términos precedentes: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, y así sucesivamente. Resulta que el límite cuando n tiende a infinito del cociente n-1/n es igual a 0,6180339.
Es decir: Y el límite cuando n tiende a infinito de n/n-1 es +:
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Una vez construida la sucesión de rectángulos áureos encajados, uniéndolos mediante un arco de circunferencia dos vértices opuestos de cada uno de los cuadrados obtenidos, utilizando como centro de la misma otro de los vértices del mismo cuadrado, se obtiene la espiral de Durero:
Construcción de la espiral de Durero a partir de triángulos isósceles (cada triángulo guarda con el siguiente la denominada proporción aúrea)
Construcción de la espiral de Durero a partir de cuadrados cuya proporción es denominada “la razón de oro”
4.2.- SECCIONES CÓNICAS Uno de los rasgos más interesantes del Primer Libro es que es el primer estudio en alemán sobre secciones cónicas. Sin duda, Durero debe su familiaridad con los términos y descripciones de Apolonio (parábola, hipérbola y elipse) a Johannes Werner, que vivió en Nürember y cuyo libro “Libellus super viginti duobus elementos conicis” había aparecido tres años antes que Underweisung. Pero, en vez de investigar las propiedades matemáticas de la parábola, hipérbola y elipse, trata de imaginarlas justo como había tratado de construir las espirales, y logró esto por medio de la ingeniosa aplicación de un método familiar a todos los arquitectos y carpinteros, el método de proyección paralela. 12º
Distintos cortes de un cono
El cono se puede cortar en dos mitades, que presentan la misma configuración que el cono. Pero cada una de las otras tres secciones constituyen una línea peculiar. La primera sección, que corta el cono en sentido oblicuo y no quita nada a su base, se llama elipse. Este corte se hace más alto en un lado (Durero denomina así a la apotema del cono) y más bajo en el otro, de modo que uno esté más lejos de su base y el otro más cerca. La segunda sección es en su alzado, una línea paralela al lado a-b del cono, se denomina parábola. La tercera sección es en su trazado, una línea vertical paralela a la línea que va del centro de la base del cono al vértice a, se llama hipérbole. Durero denomina a la elipse, línea en huevo, porque “es prácticamente igual a un huevo”. A la parábola la llama línea de incandescencia, porque “sin con ella se hace un espejo, se pone al rojo”. Y a la hipérbole la denomina línea en horca.
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Durero señala como dibujar las tres: 12a
ELIPSIS, “EIERLINE” O “LÍNEA EN HUEVO”
Sea a, el vértice del cono y b-c-d-e la base. Desde a se baja una vertical f-g, que se divide en12 partes iguales con 11 puntos, numerándolos desde f. Debajo del cono se dibuja su proyección en planta, a es el centro y b-c-d-e, su circunferencia. De todos sus puntos bajan verticales a la planta. Las líneas correspondientes a f, g, y los números intermedios, cortan la circunferencia en distintos puntos. Con el compás cuya abertura sea la distancia que hay desde la vertical a, a la altura del punto 1 y la misma altura de la línea a-d. Con centro a se traza una curva en dirección a d hasta llegar de nuevo a la línea 1. Se repite el proceso con una abertura del compás que sea igual a la distancia que hay desde la línea vertical a, a la altura del punto 2 y la misma altura de la línea a-d, y se vuelve a trazar una curva en dirección a d, con centro a desde el punto 2 de la recta hasta llegar de nuevo a la línea 2. Así se continúa hasta el punto 4. A partir del punto 5 se invierte el compás repitiendo el proceso anterior. Tomando como planta el punto de partida, se hace la elipse poniendo en vertical la longitud de la sección fg, dividida con sus 11 puntos, a partir de cada cual se trazan once líneas horizontales paralelas. En la línea 1 de la planta se toma el ancho correspondiente al espacio que queda comprendido entre los dos cortes del compás y se transporta a la sección f-g, se pone en la línea 1 y se marca a ambos lados. Proceso que se repite para todos los números. Una vez marcados todos los puntos, se traza la línea punto por punto. Formación de una línea que sea igual a “un huevo bien formado”: Se traza una línea recta horizontal a-b y se divide con 9 puntos en 10 partes iguales. Con un compás se trata una circunferencia cuyo centro esté en el 5 y pase por el 3 y el 7. A continuación se traza un arco de circunferencia cuyo centro sea b y pase por el punto 3. Y se repite el proceso con un arco de circunferencia de centro a y que pase por el punto 7. El punto en el que se cruzan se le denomina e. Se traza una línea horizontal paralela a la superior a-b y los puntos donde corten a los arcos de círculos se les denomina con c y d, y otra vertical desde el punto 5 que pase por e, denominando con un 10 al punto donde corte a c-d. Se divide por la mitad el arco comprendido entre 3 y 10, denominándolo como f y se repite para el arco 7-10 denotándolo como g.
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De nuevo con un compás, se traza el arco de circunferencia de centro f y radio d que pase por la línea 5e, y se repite para otro de centro g y radio c. El punto donde se encuentran se denota con una h. Dividir h-10 en dos partes iguales por el punto i. Con la ayuda de un compás, y con el centro en i, se traza un arco desde c-h hasta h-d. De ese modo queda hecha esta línea oval. Aunque en realidad no logra su objetivo, porque en de y en c los arcos del círculo no se unen de manera lisa. f y d deben estar alineados para que los círculos descritos alrededor de a y f sean tangentes en d.
Como un colegial, Durero encontró difícil imaginar que una elipse fuera una figura perfectamente simétrica. No pudo sustraerse a la idea de que se ensanchaba en proporción con la abertura del cono y falseaba involuntariamente la construcción hasta que terminaba en una “Eierline” o “línea de huevo” y no en una elipse correcta, más estrecha en la parte superior que en la inferior. Incluso con los primitivos métodos de Durero, el error pudo haber sido evitado fácilmente. El que fuera cometido, no sólo hace notar un conflicto importante entre el pensamiento geométrico abstracto y la imaginación visual, sino que también prueba la independencia de Durero en sus investigaciones. Después de la publicación de su libro, inventó un ingenioso compás, que le hubiera evitado dicho error, pero veo innecesario decir que ese instrumento resuelve el problema de la elipse sólo “mechanice” y no “demonstrative” 12b
PARÁBOLA O “LÍNEA DE INCANDESCENCIA”
Se hace de la misma manera que la elipse. Primero se dibuja el cono a-b-c-d-e y en él la línea vertical a, trazando la parábola haciendo un corte de arriba abajo (f-g) hasta la base, de manera que esta sección sea paralela al lado a-b. Se divide en 12 partes iguales mediante 11 puntos y se trazan líneas horizontales por todos los puntos de f-g-h. En los que estén del lado a-d, las horizontales las se dibujan desde la vertical a a la línea o lado ad del cono, y los que estén del otro lado, se dibujan desde la vertical a a la línea lateral a-b del cono. Debajo del cono de dispone de su planta, cuyo centro es a y la circunferencia b-c-d-e. Desde f-g-h y todos los puntos numerados, se trazan líneas rectas hasta la planta circular, y se marcan los puntos de intersección con sus números, al igual que se hace con la elipse. Con la abertura del compás equivalente a la distancia comprendida desde el centro a a la recta 1 se traza una curva en dirección a d hasta la línea 1; repitiendo el proceso con todas las líneas numeradas, hasta llegar a g-h. Cuando esté terminado, a partir de la planta se traza la línea de la parábola trazando la línea horizontal y poniendo encima la vertical a la altura que alcanza en el cono la parábola f-g-h. Se toma en la planta el ancho g-h y se coloca en la línea horizontal, de manera que la vertical f esté en el centro.
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Se trazan por todos los puntos de la vertical f, once líneas del largo necesario y desde la planta se llevan a la vertical f el ancho de todas las rectas numeradas que cortan los arcos de círculo, marcando los puntos a ambos lados. Por último, se traza punto por punto la línea de incandescencia
A partir de la parábola, señala como hacer un espejo ustorio, al que también denomina ardiente, refiriéndole a aquel espejo que concentra los rayos: Se dibuja un cono del que se quiere obtener la parábola con su vértice no más alto que la anchura de su base, o bien se puede hacer que la proyección vertical sea un triángulo rectángulo. Se traza una parábola y se toma esa misma línea, donde se hace un espejo cóncavo, el cual se debe cortar un poco en la parte de delante. De este modo se encenderá con más fuerza en el punto en que concurren los rayos del sol que inciden en él y se vuelven a reflejar. Se traza una línea horizontal a-b con la que se quiere representar un espejo plano o una superficie de agua. A un lado se pone una luz c, y en el opuesto, a un pequeño hombre que está mirando en el espejo o en el agua (cuyo ojo denotamos por d). La posición de c respecto al ojo estará en función de que los ángulos que forman el rayo luminoso (“radius”) c y el rayo visual (“streimlinien”) d sean iguales. Cuando en el punto e, en el que se produce la reflexión, levantas
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una vertical, y trazas un arco de círculo de centro e por encima de la línea a-b, se observa que los rayos c y d distan lo mismo de la línea vertical, ese será el punto donde se sitúe la luz. Con este ejemplo, Durero explica la formación de una imagen virtual por reflexión sobre un espejo plano, dice que el ojo ve el punto luminoso c en f, punto que ha sido determinado por la llamada regla del cateto. 12c
HIPÉRBOLA O “LÍNEA DE HORCA”
Se dibuja de nuevo el cono a-b-c-d-e. A continuación se traza una línea vertical (f-gh) paralela a la vertical a, con ella se corta el lado d. Esta sección se divide con once puntos en doce partes iguales y desde f, g, h y todos los puntos numerados le llevan líneas horizontales paralelas del largo que se necesite. A un lado se dibuja una vertical f que corte a todas las líneas horizontales. Debajo del cono se dispone de la planta circular de centro a y circunferencia b-c-d-e. Prolongando la sección f-g-h del cono hasta que corte la planta, se pone en ella las letras g-f-h, tal como se obtienen en planta a partir del cono, Durero aquí utiliza la expresión “wie sich das auss dem kegel in grund wirft” que revela una gran familiaridad con el método de la doble proyección; es evidente, que la proyección horizontal de la sección f(gh) sobre del cono, es una cuerda g-f-h. Con un compás, como se ha indicado antes, se toma el ancho de medio cono en cada una de las horizontales de f-g-h, y se trazan desde el centro a y con dirección d, todos los arcos de círculo. Se toma en planta el ancho de todas las líneas que se han acotado y se pasa la vertical f. Así se hace un número tras otro, y se marcan con puntos a ambos lados de la vertical, empezando por el 1 y finalizando por g y h. Por último, se traza punto por punto la hipérbole.
4.3.- FIGURAS BIDIMENSIONALES En el segundo libro, habla de las figuras bidimensionales, recalcando especialmente la cuadratura del círculo (ya escrito en un libro en alemán por Johann Müller, también conocido como Regiomontano) y la construcción de aquellos polígonos regulares que no pueden derivarse del cuadrado y del triángulo equilátero, como el pentágono, el eneágono…. Entre estos, solo el pentágono y el pentadecágono habían sido tratadas en los tiempos clásicos, el pentágono porque es el elemento básico de uno de los sólidos “platónicos”. En la Edad Media, el problema alcanzó más importancia; tanto la decoración islámica como la gótica necesitó métodos para construir toda clase de polígonos regulares. Durero empieza a desarrollar dichos métodos en modelos de tracería y a combinarlos en “pavimentos”.
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La construcción del pentágono regular no está descrita por Durero según Euclides. En vez de la Euclídea, da la construcción menos conocida de Ptolomeo, que de no haber sido por él, hubiera permanecido olvidada para siempre en la “Geometría deutsch” y además, indica una construcción aproximada “con la abertura del compás invariable” Así, el “Underweisung der Messung”, sirvió “de puerta giratoria”, por decirlo de algún modo, entre el templo de la matemática y el mercado y familiarizó a los matemáticos profesionales con lo que podría llamarse “geometría de taller”. Debido gran parte a su influencia, las construcciones “con la abertura del compás invariable” se convirtieron en una especie de obsesión para los geómetras italianos del siglo XVI, y las construcciones de Durero sobre el pentágono sirvieron de estímulo a la imaginación de hombres como Cardano, Tartaglia, Benedetti, Galileo, Kepler y P:A Ataldi, quien escribió una monografía completa sobre el “Modo di formare un pentágono… descrito da Alberto Durero”. 13º
Construcción del pentágono:
Se trazan dos círculos secantes, de modo que uno pase por el centro del otro. Mediante una línea recta a-b se unen los dos centros, esta será la longitud de un lado del pentágono. Los puntos donde se cortan las dos circunferencias se denotan por c y d y se traza la línea recta c-d. Con un compás, se traza un arco de círculo de centro d y que pase por a y b. Los puntos de corte serán e y f, y el corte con la vertical será g. Se prolonga la recta e-g hasta que corte a la circunferencia, quedando la recta e-g-h y se repite para f-g, resultando f-g-i. Al unir a-i y b-h, se obtienen tres lados del pentágono. Haciendo que se corten dos lados de igual longitud trazados desde i y h, resultará el pentágono. Para determinar el quinto vértice del pentágono, se trazan los círculos de centro h e i que se cortan en 1. Según la construcción, el pentágono es equilátero, d-c es eje de simetría, el ángulo f-g-e = 90º; el ángulo g-b-a = 15º y el ángulo b-g-f = 30º. En efecto, siendo equilátero el triángulo a-b-d (de lado R), el ángulo en el centro a-d-b = 60º, el ángulo en la circunferencia = 30º y, por tanto, el ángulo suplementario a-g-b = 150º. En consecuencia, el ángulo b-d-g =75º y, finalmente, el ángulo b-g-f = 15º Ángulo b-g-f = ángulo b-g-d – ángulo f-g-d = 75º - 45º = 30º Por tanto, el ángulo h-g-b = 90º - ángulo b-g-f = 60º Según el teorema de los senos en el triángulo h-g-b: h-b ———— sen 60º o bien
h-b = R
Por lo tanto
g-b ———— = sen(bhg)
=
y
g-h ————— sen(gbh)
R/2 g-b = ————— cos 15º
R R/2 ———— = ————————— sen 60º cos 15º sin (bhg)
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sin 60º De donde: sin (b-h-g) = —————— 2 cos 15º y el ángulo b-h-g = 26º 38´ 2” El ángulo g-b-h = 180º - (60º + 26º 38´2”) = 93º 22´58” El ángulo a-b-h = 93º 22´58” + 15º = 108º 22´58”, en lugar de 108º. El error es de 22´58”, es decir, un error relativo de 0.48%.
4.4.- ARQUITECTURA El libro tercero es de índole puramente práctica. Lo destinó a ilustrar la aplicación de la geometría en los trabajos concretos de arquitectura, ingeniería, decoración y tipografía. Durero estudió a Vitruvio con admiración y su elogio seguía directamente su declaración de que la mente alemana reclama siempre “nuevos modelos que no hayan sido vistos anteriormente”. Se sabe que Durero favoreció el techado clásico, con una inclinación de algo más de 20 grados, en oposición al gótico escarpado; y sus ideas sobre el diseño de ciudades revelan su familiaridad con aquellos teóricos, como Leone Battista Alberti y Francesco di Giorgio Martín. Pero sus diseños de capiteles, pedestales, relojes de sol y estructuras completas, tales como torres rematadas en punta para ser colocadas en el centro de una plaza de mercado, son clásicos. También describe monumentos triunfales que se formarán con armas de fuego verdaderas, barriles de pólvora, balas de cañón y armaduras con todo perfectamente proporcionado (more geométrico) Monumento a la victoria
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Alberto Durero escribe la Varia Lección, que se inscribe dentro de una tradición medieval, que tiene en común con otras obras precedentes, un afán didáctico y de defensa de la lengua alemana. Es la primera obra impresa sobre fortificación permanente y urbanismo militar y sobre la adaptación de perímetros defensivos al desafío de las armas pesadas de fuego. El siglo XVI fue una época en la que hubo más asedios a gran escala que grandes batallas campales. Capturar una fortaleza o sitiarla podía llegar a ser tan difícil como construirla, de ahí la importancia creciente del nuevo estilo de ingeniería militar que se estaba imponiendo. Esta obra está situada entre los manuales más logrados de su época. El título primigenio era: “Allerley undericht zu befestigung der stett, schlo , unnd flecken” pero Durero sustituyó posteriormente “Allerley” (“toda clase de”) por “Etliche”. Como se puede ver en la portada y título de una de sus ediciones. Portada original del tratado de urbanismo
La Varia Lección no posee, en su edición original, ninguna división por capítulos ni índice alguno, pero Camerarius, amigo de Durero y traductor de su obra al latín la divide en cuatro partes: - La primera, “De estruendos aggeribus ratio prima” (primera instrucción sobre la construcción de bastiones), trata de la defensa de ciudades de gran tamaño con bastiones situados en ángulos estratégicos del recinto amurallado. - La segunda, “Alia aggris struendi ratio” (Otra instrucción sobre la construcción de bastiones), trata sobre la situación, emplazamiento y distribución de una ciudad fortificada. - La tercera, “Rationes condendae arcis” (Instrucción sobre la creación de una fortaleza), trata de la creación de una fortaleza circular de bloqueo. - La cuarta y última, “Antiquae civitatis ratio (Instrucción para una ciudad antigua), trata sobre el modo de acondicionar pirobalísticamente un burgo de antigua construcción mediante caponeras, terraplenos y fosos revestidos. Durero también añade un apéndice dedicado a los cañones defensivos y una serie de figuras que muestran la planta, sección y alzado de las obras de fortificación.
4.5.- CONSTRUCCIÓN DE LETRAS Al final de este libro tercero, Durero familiariza a los países del norte con la construcción geométrica de letras romanas, “litterae antiquae”, nombre dado por Lorenzo Ghilberti. En Italia, este problema había sido planteado por Felice Feliciano y tratado por Damianos Moyllus (o de Moile); Luca Pacioli; Segismundus de Mantis y, posiblemente, por Leonardo da Vinci. Durero no estaba en condiciones de mejorar los métodos de estos precursores italianos. En lo que se refiere a letras romanas, tuvo que limitarse al papel de intermediario. Construyó letras góticas basándose en un principio que no puede encontrarse en ninguna otra fuente anterior.
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Durero utiliza la escritura como medio de expresión y como elemento de estilo en las inscripciones de sus grabados y sus pinturas. Recurre a caracteres distintos para los textos latino y alemán, siguiendo en ello a su padrino Antón Koberger, que había hecho realizar dos tipos diferentes de caracteres. La escritura es para Durero un poderoso medio de expresión artística y, en tanto que tal, debe ser tomada tan en serio como la imagen. En relación con el conjunto, esta parte del De la medida de Durero parece larga y monótona, su aspecto sistemático y las construcciones relativamente detalladas pero difíciles de seguir, le confieren una cierta pesadez. Sin embargo, tuvo un eco y una influencia enormes, sobre todo en los países germánicos. Las construcciones de Durero han sido reproducidas numerosas veces, comentadas de manera variada y sirven todavía hoy de modelo. 14º
Construcción de letras
LETRA A: Se designan los vértices de su cuadrado con a, b, c, d (esto se hace en todas las letras). Se divide este cuadrado con dos líneas dispuestas en cruz, la vertical e-f y la horizontal g-h. Se ponen dos puntos i y k en el lado inferior c-d, cada uno metido hacia dentro una décima parte de la longitud. Se hace un trazo fino de la letra desde i hasta la parte superior del cuadrado, y desde allí se vuelve a bajar con el trazo ancho, de modo que el exterior de ambos trazos toque los puntos i y k. En el medio queda un triángulo, encontrándose el punto e en el centro de la parte superior de la letra. Se une la a por debajo de la horizontal g-h, dando por ancho a este trazo una tercera parte del mayor. En la parte superior del trazo ancho se hace un arco de círculo hacia la derecha, rematando la letra en su parte superior con una línea serpentina, cuya parte cóncava se oriente hacia el trazo fino. Se redondea los dos pies de la letra, de modo que toquen los vértices c y d del cuadrado, con un arco de círculo que tenga por medio diámetro un séptimo del lado del cuadrado. En su parte interior se deja que sobresalgan dos tercios del ancho del trazo mayor, y se hace esto en ambas partes. LETRA M: Se divide el lado a-b del cuadrado abad en seis partes iguales, y se separan las dos extremas con dos puntos f y g. Se dibuja desde aquí el trazo grueso interior con el vértice en el punto e y luego se vuelve a dibujar hacia arriba el trazo fino, de forma que entre f y g quede un espacio vacío. Así, la letra resulta más amplia. Se deja como estaba la parte superior de los dos trazos laterales, el fino de la izquierda y el grueso de la derecha, pero se desplaza la inferior hasta los dos vértices c y d. Se redondean los vértices exteriores del extremo superior y se curvan los dos trazos verticales de la parte inferior en dos trazos verticales en ambos lados. La curvatura sobresaldrá del cuadrado en d. Para hacer en punta la parte de arriba de la m se practica un corte romo en la parte superior de los trazos.
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LETRA
E:
Se traza una línea horizontal e-f por el centro del cuadrado a-b-c-d. Se dibuja el primer trazo grueso vertical de la letra del mismo modo que se ha descrito en la d. A continuación el trazo fino horizontal superior por debajo de la línea a-b, con una longitud de seis décimas partes menos un tercio de décimo. Se redondea su extremo hacia abajo con un ancho igual a la décima parte de la línea a-b y se da al diámetro de la circunferencia con la que se hace una décima parte de a-b. Se hace un trazo horizontal fino intermedio en el centro de la línea e-f, con una longitud más corta que la superior en una décima parte de a-b y se da a su extremo una anchura dos veces mayor que el superior, redondeándolo arriba y abajo con un círculo cuyo diámetro sea una sexta parte de e-f. El trazo fino horizontal inferior se hace por encima de la línea c-d de modo que su esquina inferior sobrepase al trazo superior en un décima parte de la longitud de c-d y cuya punta (curvada) sobresalga a su vez dos tercios de un décimo, proyectándola hacia arriba una sexta parte de la longitud c-d. Se redondea con un círculo cuyo medio diámetro sea una sexta parte de c-d. Se da forma cóncava al ángulo inferior de la letra con un círculo del tamaño con el que están redondeados el trazo horizontal intermedio. Los otros ángulos se dejan tal cual. LETRA
L: Para dibujar la L, se hace con un trazo grueso en el centro del cuadrado a-b-c-d, al que toca arriba y abajo y se redondea sus extremos. A este trazo se le añade en su parte inferior el pie de la E hecha antes.
LETRA
I:
Se hace la I con un trazo grueso en el centro de su cuadrado, al igual que se hace la L, pero sin el pie de la E.
Durero da una explicación para dibujar todas las letras del abecedario Eliminando las líneas que sobran y uniendo todas las letras dibujadas se puede obtener mi nombre:
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4.6.- POLIEDROS En el libro Cuarto reanuda lo abandonado en el segundo: trata de la geometría de cuerpos tridimensionales o estereometría, campo descuidado por completo durante la Edad Media. Al principio, Durero examina los cinco sólidos regulares o “platónicos”. Si Durero conocía o no el trabajo de los dos especialistas italianos en esta materia (Luca Pacioli y Piero della Francesca) no está determinado, pero aborda el problema (al igual que hace con las secciones cónicas) de una forma completamente independiente. Además de estudiar varios sólidos de su propia invención, uno de ellos está compuesto por ocho dodecágonos, veinticuatro triángulos isósceles y ocho triángulos equiláteros. En vez de representar estas imágenes en perspectiva, ideó el método (aparentemente original) prototológico de desarrollarlas en la superficie plana, de tal manera que las facetas formen una “red” coherente que, al ser recortada en papel y doblada por donde dos facetas se unen, se forme un verdadero modelo tridimensional del sólido en cuestión. Para Durero, los poliedros regulares son sólidos cuyos vértices están situados sobre una superficie esférica y cuyas caras, ángulos y lados son iguales. Sabe que Euclides los había llamado “corpora regularia” y que no había más de cinco. A comienzos del siglo XVI, estos poliedros eran conocidos a través del Timeo de Platón y del Libro XIII de los Elementos de Euclides. En el Underweysung, cada uno de los cuerpos está representado por dos proyecciones ortogonales sobre los planos horizontal y vertical y por su desarrollo en un plano. Durero para la descripción de los siete cuerpos arquimédicos se propone presentar cuerpos sólidos “que son tangentes con todos sus vértices a una esfera hueca, aunque tienen caras desiguales”. Pappus, en su “Collectionis quae supersunt” había dado la lista de los trece poliedros semirregulares, atribuyendo su descubrimiento a Arquímedes. Para cada sólido, había indicado el número f de caras, el número a de aristas y el número s de vértices, sin acompañar su descripción con figuras. En la época de Durero, la Colección no existía más que en forma de manuscrito y no había sido posible establecer la presencia de tal manuscrito en los fondos de Nüremberg. El tratamiento de Durero respecto a los poliedros semirregulares difiere del de Piero y Fra Luca. Piero describe cinco cuerpos obtenidos por truncamiento de los ángulos de los cinco cuerpos platónicos y Pacioli deduce de cada uno de los cinco poliedros regulares el cuerpo truncado y el cuerpo sobrealzado obtenido añadiendo una pirámide sobre cada una de las caras y después representa en perspectiva los cuerpos, primero macizos y después vaciados, sobre figuras realizadas por Leonardo da Vinci. Pero a Durero lo que le importa es poder construir los sólidos fácilmente por medio de cartón, cola y tijeras. Algunos ejemplos de los sólidos que da Durero son:
CUBO TRUNCADO O TRIACONOCTAEDRO: Este cuerpo tiene seis caras octogonales y ocho triangulares. Cuando se monta este cuerpo, que está dibujado abierto, tiene veinticuatro vértices y treinta y seis aristas. Cada uno de los seis cuadrados es concéntrico a una de las caras del cubo; cada lado de una cara cuadrada es el lado de un triángulo equilátero.
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CUBOCTAEDRO: Este cuerpo irregular tiene seis caras cuadradas y ocho triangulares. Cuando se monta, tiene doce vértices y veinticuatro aristas.
CUBOCTAEDRO TRUNCADO: Este cuerpo irregular también es conocido como la red de Durero. Cuando está abierto, tiene seis caras octogonales, ocho hexagonales y doce cuadradas, y cuando se monta, tiene cuarenta y ocho vértices y setenta y dos aristas.
4.7.- PROPORCIONES HUMANAS Durero pasó sus siete últimos años de vida trabajando en Nüremberg, donde pintó, entre otras muchas cosas, soberbios retratos y dos célebres retablos que regaló al Ayuntamiento de la ciudad, publicó los libros de geometría y perspectiva y escribió una notable obra sobre proporciones humanas que apareció un año después de su muerte. Se interesó por la geometría por razones prácticas. El problema de representar figuras tridimensionales en el plano, ha interesado mucho tiempo a los matemáticos, así como a los pintores. Uno de los métodos de vencer las dificultades de la proyección, de manera que conserve un esquema estable de propiedades métricas, es la “geometría descriptiva”, ciencia atribuida a Gaspard Monge. Con sus viajes a Italia, toma contacto con el Renacimiento, con la tradición canónica clásica y con las obras de Vitruvio y de Villard de Honnecourt, lo que le mueve a desarrollar una investigación de las proporciones humanas. Estudios sobre fisonomía y proporciones de 15 cabezas diferentes.
Proporciones del pie
En el libro primero muestra su sistema aplicado a hombres y mujeres, eligiendo como módulo la cabeza y oscilando en cada caso entre siete y diez
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cabezas. El uso inicial de números irracionales dificultaba su comprensión y Durero lo corrige en los escritos posteriores. La novedad que remarca la importancia de Durero en la evolución de los sistemas proporcionales es el no limitarse a la búsqueda de las proporciones bellas en un solo modelo o sistema proporcional, sino en varios, lo cual puede entenderse como que la belleza puede encontrarse en diferentes combinaciones proporcionales, en la aceptación en definitiva de la pluralidad de cánones. Esta característica del pensamiento de Durero, marca una diferencia con toda la tradición clásica y con sus mismos contemporáneos renacentistas que seguían empeñados en encontrar un único sistema proporcional objetivo de la belleza humana. Desnudos de una mujer realizados por Durero (1500)
En su libro segundo sobre las proporciones, sustituye los números irracionales que expresaban en el libro primero las medidas como partes alícuotas de la altura total. Durero estaba convencido de que en la diversidad, sin llegar a la deformación, existe también la belleza. Se añaden en este libro ocho nuevos tipos normales de hombre y de mujer, alcanzando la diversidad el total de veintiuna posibilidades diferentes. El libro tercero muestra como variar los rasgos de la cara, con el fin de producir tipos caricaturescos, y en el libro cuarto se ocupa de la teoría del movimiento. Proporciones según Durero de la mano Desnudo de varón visto de perfil y de frente, distorsionado por la proyección mediante un arco de circunferencia.
4.8.- MÁQUINAS 15º
Construcción de un mecanismo para poder “copiar lo que se ve”:
Se monta un vidrio liso y limpio en un marco cuadrado y se hace un tablero cuyo ancho sea igual que el del marco. Se colocan dos bisagras de modo que el marco y el tablero se puedan abrir y cerrar como un tablero de juego, en el que, si se quiere, se pueda bajar el cristal sobre el tablero para guardarlo. Se fijan a ambos lados del balero, en el centro, dos armellas pequeñas con unas varillas de hiero que se puedan recoger y que sean tan largas que llegaren hasta el marco del cristal. Se aplana el extremo delantero de las varillas y se hace un agujero en el que se pone un gancho que se mueva. A continuación se fijan en el punto al que llegan los extremos aplanados de las varillas, dos armellas pequeñas, cuando que coloquen las varillas y se echen los ganchos, el marco debe quedar fijo
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Se hacen dos bloques de madera, uno de ellos más ancho que el tablero para que lo cubra en su totalidad y de tal modo que pueda moverse hacia delante y hacia atrás. A través de unos orificios se pasa un tornillo largo. El otro bloque debe ser de alto como la mitad del marco y se coloca de manera que se mueva a uno y otro lado en ángulo recto; con un tornillo se podrá mover con seguridad hacia el lado que se quiera. A continuación se hace un agujero redondo en sentido longitudinal en medio de la madera vertical, y se recorta un poco uno se los lados. Se deben tallar unas muescas y con una vara torneada que ajuste en el agujero practicado, con un dentículo en su extremo inferior. Se pasa la vara por dicho agujero, de manera que el dentículo baje por el corte abierto en la madera vertical. Cada vez que se suba un grado la vara y se quiera sujetar, se pone un dentículo en una muesca. En lo alto de la vara se hace una tablilla fina y adecuada con un agujero, de modo que se pueda mirar con un ojo. Lo que se vea por el, se registra con un pincel de vidriero en el cristal y se dibuja lo mismo en el soporte que se quiera pintar. Este mecanismo es útil para retratar a alguien. 16º Mecanismo para trasladar una pintura o registrar en una tabla cualquier objeto que puedas alcanzar con ellos: Se clava en un muro una aguja grande con un ojo amplio hecho a tal efecto, para que haga las veces de ojo humano. Se pasa por él un hilo fuerte y se cuelga en su extremo un peso de plomo. Se coloca una mesa o una tabla a la distancia que se quiera del ojo de la aguja que está en el hilo. Se pone encima, transversal al ojo de la aguja, un marco vertical alto o bajo, en el lado que se quiera, que tenga un postigo que se pueda abrir y cerrar. Este postigo será la tabla en la que se va a pintar Se clavan dos hilos cuya longitud sea igual a la altura y anchura del marco, uno en el centro del lado superior y otro en el centro de un lateral, dejándolos colgando. Se prepara un clavo de hierro largo con un arillo en la punta, y se pasa por él el hilo largo que está en la aguja de la pared. Ambos se llevan al otro lado del marco y, mientras otra persona lo sujeta, tú te ocupas de los dos hilos que cuelgan del marco. Se utiliza de la siguiente manera: Se pone un objeto a la distancia que se desee del marco, y sin moverlo, la otra persona debe tensar el hilo en los puntos esenciales del objeto. Cada vez que se pare en uno y estire el hilo largo, se debe sujetar al marco los dos hilos par que se crucen donde el largo. Se fija sus extremos con cera y se suelta el hilo largo. A continuación se cierra el postigo y se dibuja en la tabla el punto en que se cruzan. Se vuelve a abrir el postigo y se hace lo mismo con otro punto, hasta que se haya punteado todo el objeto en la tabla. Para completar el dibujo se unen con líneas los puntos que ha dejado el objeto en la tabla.
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17º
Instrumento para hacer fácilmente una línea de concha
Se debe disponer de una madera cuadrangular en horizontal del largo que se necesite, que será a en su extremo delantero y b en el trasero. En la parte superior se hace una ranura por la que se pueda mover algo hacia uno y otro lado, y se divide la madera por puntos y números en tantos como se quiera, comenzando por la a. Se sujetan los dos lados de la tablilla, en el centro con dos reglas puestas en vertical, se colocan muy cerca y se gradúan con los mismos números con que está graduada la madera horizontal. Se hace una lanceta fina, tan larga como se quiera, que en un extremo tenga una ruedecilla giratoria que encaje en el centro de la ranura de la tabla horizontal a-b y que pueda moverse. Se pasa la lanceta entre las dos reglas y su parte baja con la ruedecilla se pone en el centro de la madera horizontal hacia a, en el primer punto. La lanceta marcará con la punta el trazado de esta línea.
Como último apartado de Durero como matemático, no se puede dejar en el olvido su famoso cuadro de Melancolía I; según Panofsky, es el retrato espiritual de Durero, la geometría se humaniza impregnada de emoción y sufrimiento. En él aparecen varios símbolos: El reloj de arena y la balanza: estos dos símbolos son atributos de Saturno, y le sirven para medir y pesar la vida. La rueda de molino que encontramos en un segundo término del cuadro es también un símbolo hermético; simboliza la "vía seca" que conduce a la perfección de la obra magna. La esfera, es análoga al perro que está enroscado sobre sí mismo; los dos expresan la idea filosófica del Uno-Todo que corresponde al ideograma alquímico del círculo, línea que termina en sí misma. El Uno-Todo se asimila también al huevo que encierra toda generación en estado potencial; también se identifica con la serpiente uroboros (que se muerde la cola). Hallamos detrás del poliedro un vaso que contiene fuego sobre el que aparece un pequeño recipiente en forma de corazón. Este pequeño artefacto lo encontramos a menudo en los laboratorios alquímicos. Sobre el mar se puede ver un arco iris que simboliza el total de los colores de la gran obra y la unión del cielo y la tierra. En este grabado, tierra, agua y fuego están indicados respectivamente por el poliedro, el mar del fondo y por el pequeño artefacto entre el poliedro y el mar. Cerca del poliedro se alza una escalera de mano. Esta escalera ilustra la iniciación progresiva que guía a la iluminación, es decir, señala las dificultades que hace falta superar antes de obtener la piedra filosofal. El niño (o angelito) que aparece junto a la figura corresponde al Ludus puerorum hermético, simboliza la esperanza. Realmente, como de interés matemático en este cuadro aparecen el octaedro y el cuadrado mágico.
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En el centro izquierda del cuadro, aparece un poliedro, un gran bloque de piedra, curiosamente colocado. Los estudios sobre Durero se refieren al bloque que aparece en el grabado, como un “poliedro”, “un poliedro de granito” o un sólido geométrico, excepto para Panofsky, que se refiere a él como un “romboedro truncado de piedra” y como un “romboide truncado”. La figura muestra un croquis del grabado al que se le ha añadido números de referencia. La parte visible del poliedro, la cual dibujó Durero, muestra 4 caras, 10 vértices y 13 aristas, teniendo que deducir los bordes superior e inferior. La cara del fondo, muestra solo dos vértices, debe haber al menos otro vértice para que no coincida con ninguno de los mostrados, ya que si fuera así, el bloque caería. Por lo tanto, el poliedro debe tener al menos 11 vértices. Un estudio de las conexiones de las aristas, muestra que debe haber al menos cuatro caras más de las que se muestran, y por lo tanto el poliedro debe tener al menos ocho caras. De las 4 caras mostradas, una es un triángulo y tres son pentágonos. Por lo tanto, el poliedro que buscamos tiene al menos 11 vértices y ocho caras de las cuales, al menos una sea un triángulo y tres sean pentágonos, puestas de tal forma, que el objeto sea agradable a la vista y se corresponda con el del grabado. El número de vértices (V), caras (C) y aristas (A) de los poliedros debe satisfacer la “ecuación de Euler”: V+C=A+2 Es fácil demostrar esta ecuación y el hecho de que cada cara deba tener al menos 3 aristas que la delimiten, demuestra que 8 caras del poliedro deben tener por lo menos 12 vértices. Si el número de aristas en cada cara del poliedro son contadas y sumadas juntas, los resultados deben ser dos veces el número de aristas en el cuerpo, desde cada arista estará contada dos veces. Cada cara debe tener al menos 3 aristas y por lo tanto: 2A * 3C De forma similar, saliendo de él.
2A * 3V
desde cada vértice debe haber 3 aristas
La ecuación de Euler el multiplicada por 2: 2A = 2V + 2C – 4
!
2V + 2C – D * 3C
Sumando 4 y restando 2C a cada lado: 2V * C + 4
!
2C * V + 4
Si son ocho caras, la ecuación 2V * C + 4 muestra V que deber ser mayor o igual que 6, y la ecuación 2C * V + 4 por lo que V debe ser igual o menor que 12. Como se ha indicado, el número de vértices del poliedro deben ser 11 o más, pero menor o igual que 12; así pues hay dos casos a considerar:
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a) Que el poliedro tenga 12 vértices: La fórmula de Euler demuestra que en las 8 caras del poliedro debe haber 18 aristas. 10 vértices y 13 aristas son visibles, por lo que hay 2 vértices y 8 aristas en la parte trasera. Hay entonces dos casos a considerar, uno con la base triangular, y otro con la base cuadrada. En ambos casos, solo hay una configuración posible. b) Que el poliedro tenga 11 vértices: La fórmula de Euler muestra que hay 17 aristas y por lo tanto hay 4 aristas y un vértice adicional en la parte trasera. El undécimo vértice debe estar en la base y la base es por lo tanto un triángulo. Dos de las cuatro aristas invisibles forman parte de la base y los dos que quedan son localizados. De un octaedro con 11 vértices, uno de ellos debe tener cuatro aristas saliendo de ella y en los 10 restantes, tres. Hay seis tipos diferente de poliedros que se ajustan para ser el poliedro representado por Durero, si se asume que es un octaedro: El octaedro A, consta de 2 triángulos y 6 pentágonos. Puede ser construido con 2 triángulos equiláteros y los otros seis pentágonos deben ser congruentes. Así construido, debería haber tres planos de simetría sobre cada uno de los cuales pudieran ser reflejados. El octaedro B, tiene un triángulo, 3 cuadrados, 3 pentágonos y un hexágono. El cuerpo puede ser construido para tener un plano de simetría. El plano debe cruzar los vértices 1 y 2 y partir por la mitad las aristas 3-10, 6-7 y 11-12. El octaedro C, tiene 2 triángulos, 2 cuadrados y 4 pentágonos. Así mismo, puede ser construido para tener un plano de simetría. El plano atravesaría los vértices 1, 2 y 11 y biseccionaría las aristas 3-10 y 6-7. Los octaedro denominados D y F tienen cada uno 3 triángulos, un cuadrado, 3 pentágonos y un hexágono. El llamado E (que junto con el D y el F no están dibujados) posee 2 triángulos, 2 cuadrados y 2 pentágonos. Ninguno de los tres poseen plano de simetría.
Hay otra característica de los poliedros A, B y C que no poseen D, E y F, aparte de la simetría. Cada uno de los tres puede convertirse de forma sencilla añadiendo dos piezas para hacerse un cubo.
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En el cuadro de Melancolía I se puede observar un cuadro en la pared del fondo con unos números. Este cuadrado es el denominado “el cuadrado mágico de Durero”. Para obtenerlo basta escribir en un cuadrado los 16 primeros números de la siguiente forma:
1 5 9 13
2 6 10 14
3 7 11 15
4 8 12 16
Manteniendo las dos diagonales, se giran media vuelta los ocho números restantes, por lo que queda:
1 12 8 13
15 6 10 3
14 7 11 2
4 9 5 16
el cual ya es un cuadrado mágico. Permutando la tercera y haciendo girar todo el cuadrado media vuelta, se obtiene el cuadrado de Durero:
16
3
2 13
5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1
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Durero escribe todo su trabajo en alemán y es traducido al latín por Joachim Camerarius (1500-1574), nacido en Bamberg, estudia griego y latín en la universidad de Liepzig y conoce personalmente a Durero durante los últimos años de la vida de este. Gracias a estas traducciones, la geometría de Durero es muy conocida; muchos especialistas, artesanos de la revolución científica como Clavius, Galileo Galilei, Tycho Brahé, Johannes Kepler o Simon Stevin, no se interesan por la obra artística de Durero, pero se apropian de los numerosos conocimientos técnicos que ignoran, como por ejemplo, los polígonos y los poliedros. Por ejemplo, un joven Galileo de 28 años, comienza su actividad de profesor de matemáticas en la universidad de Padua, presentando la construcción del pentágono regular que Durero presenta en el libro segundo. Benedetti y después Clavius en su Geometría práctica demuestran que el pentágono no es más que equilátero sin ser equiángulo, algo de lo que Durero no parece haber sido consciente. Así mismo, en su “Comentario a la Geometría elemental de Euclides”, indica una crítica al método práctico propuesto por Durero para obtener la duplicación, triplicación…, de un cuadrado o de un paralelogramo cualquiera a uno dado, según Clavius, no justifica esta práctica, sino que se limita a proponerla. Kepler es el primero que indica la utilidad de los métodos aproximativos de Durero, pero restringe el alcance en los cálculos de errores. En su libro “Harmonice mundi”, 1619, da igualmente la construcción del heptágono dado por Durero, indicando que es el primer polígono que no se puede construir exactamente con regla y compás. Los principios en los que se basan todos los teóricos durante el Renacimiento, permanecieron estables, pero los intereses de los artistas evolucionaron, este movimiento de artista y matemático se extendió con el paso del tiempo y, a pesar de todas las críticas, Durero está integrado como matemático ya que ha enriquecido la geometría con sus conocimientos prácticos, gráficos o visuales, por lo que contribuyó a enriquecer el siglo XVI con sus métodos radicalmente novedosos. Paralelamente a la multiplicación de actitudes matemáticas entre los artistas, algunos matemáticos empiezan a interesarse por las artes de manera teórica, implicándose a veces en obras completas. Esta tendencia cobra impulso en la segunda mitad del s. XVI gracias especialmente a las traducciones italianas de Cosimo Bartoli que publica en 1550 las traducciones de Alberti o de Gian Paolo Gallucci, que publica las proporciones de Durero en 1591. La grandeza de Durero como matemático y como artista radica en que una misma persona del Renacimiento, supo aunar ambas disciplinas, son conocidas las relaciones entre Galileo y Ludovico Cigoli, o entre Paladio y Daniele Barbaro. Aparte de Alberto Durero, son numerosos los matemáticos poco conocidos que trabajaron, directa o indirectamente, con artistas y cuya contribución nunca ha sido estudiada. Evidentemente no todos los artistas eran hábiles matemáticos, pero los que colaboran con ellos, intentan elaborar formas nuevas que se nutren de saberes externos, reflejo de realidades e investigaciones específicas; estas personas nos permiten relativizar el carácter de invención de las ciencias a través de las artes, algo con frecuencia reservado a las figuras más brillantes del Renacimiento.
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7.- APÉNDICE 1: CUADRO DE LAS MENINAS DE VELÁZQUEZ Son muchas las personas que han estudiado la espiral de Durero y la han intentado aplicar a múltiples trabajos posteriores de otros artistas; uno de los más llamativos quizá es las Meninas de Velásquez, en el cual la espiral de Durero comienza en el centro del pecho de la infanta Margarita y va recorriendo todo el cuadro. Se puede observar que la dama de honor (o menina) que aparece a la izquierda de la infanta, está inclinada hacia esta, siguiendo el trazo de la espiral, como se ve a continuación.
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APÉNDICE 2: LA ESPIRAL DE DURERO EN LA NATURALEZA
También aparecen organismos variados en los cuales se puede apreciar que la espiral está presente en la naturaleza. Cada ficha de paleontología indica entre otros datos, el nombre científico del organismo, el período de tiempo en el que existió (los he colocado por orden de antigüedad, el primero tiene, aproximadamente, 500 millones de años y el último, unos 50 millones de años). La gran mayoría de estos organismos viven en la actualidad y prácticamente no han evolucionado. Pero la espiral de Durero no se aprecia solamente en organismos con esqueleto externo, sino que también se puede apreciar en el crecimiento de las espinas de los cactus, en algunas flores y en la trayectoria que describen algunas galaxias. Habrá que plantearse la pregunta… Durero, aparte de un excelente pintor, un gran matemático y un estratega, entre otras ocupaciones, ¿es posible que fuera un observador tan excelente como para estudiar la naturaleza y descubrir “su espiral” en ella? La respuesta solo la sabe él.
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BIBLIOGRAFÍA - “De la medida” Autor: Alberto Durero. - “Tratado de arquitectura y urbanismo militar” Autor: Alberto Durero. Edición de Juan Luis González García. Ediciones Akal. Año 2004 - “Vida y arte de Alberto Durero” Autor: Edwin Panofsky. Versión española de Maria Luisa Balserio. Editorial: Alianza Forma. Título original: The life and arto f Albrecht Dürer. - “Dictionary of scientific biography” Volume 3. Autor: Charles Coulston Gillispie. Pierre Cabanis-Heinrich von Dechen. Editorial: Charles scribner’s sons-New York. - “Los grandes genios del arte: Durero”. Director de la Colección: Hielen Romano. Diseño: Marcello Francote. Biblioteca El Mundo. - “Historia de las matemáticas I” Autor: Jean-Paul Collete. Traducción: Pilar González Ganoso. Editorial: s. XXI de España. - “Historia de las matemáticas vol I: De la antigüedad a la Baja Edad Media” Autores: J. Rey Pastor y José Babini. Prefacio de J. Vernet. - “Historia de la matemática” Autor: Carl B. Boyer. Versión española de Mariano Martinez Pérez. Alianza Universidad Textos. - “SIGMA: El mundo de las matemáticas” Vol IV. Autor: James R. Newman. Año de publicación: 1968. Editorial Grijalbo. - “La geometría en el arte”. Autor: Dan Pedoe. Colección punto y línea. Editorial Gustavo Gili S.A. - “La perspectiva como forma simbólica” Autor: Edwin Panofsky. Traducción: Virginia Careaga. Ediciones Gráficas Diamante. Título original: Die Perspektive als “symbolische form” Vorträge 1924-1925. - “Enciclopedia universal Ilustrada Vol. XVIII, XXII y XXXIX” DIS/ECZ. Segunda parte. Editorial: Espasa-Calpe s.a. Editores. - “La historia Universal: del Gótico al Renacimiento vol IV” Autores: Walter Gotees, Jacob Strider, Alfred Dorem, Hedor Schneider, Kart Brandi, Fritz Rörig, Martin Winkler y Hans Plischke. Espasa Calpe. - “Fichero de Paleontología estratigráfica” Autor: Bermuda Melendez. Editorial Paraninfo Madrid España - “Paleontología”. Magallanes 21-Madrid-15.
Autor:
Bermuda
Melendez.
Ediciones
Paraninfo
- Diccionario enciclopédico Larousse Vol 3 Ediciones Planeta.
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