ap r en d ido lo ap ica m o s lo A p l ica tema 3: 1
ANÁLISIS ANÁLIS IS COMBINA COMBINAT TORIO
Un producto se arma en tres etapas. En la primera etapa hay 5 líneas de armado, en la segunda etapa hay 4 líneas de armado y en la tercera etapa hay 6 líneas de armado. ¿De cuántas maneras puede moverse el producto en el proceso de armado?
2
Una señora tiene 11 amigos de confianza. De cuántas maneras puede invitar a 5 de ellos a comer, si dos de ellos no se llevan bien y no asisten juntos. j untos. Resolución:
_ 20 i # _ 95 i + _ 12 i # _ 94 i = 378
Resolución:
5 Ç 4 Ç 6 = 120
A) 60 D) 150 3
A) 210 D) 400
C) 120
De cuántas formas puede ordenarse los elementos del conjunto: {A; O; S; T}
B) 378 E) 462
C) 360
Resolución:
Yisela tiene 3 amigos y siempre va a la universidad acompañada por lo menos con uno de sus amigos. ¿Cuántas alternativas de compañía tiene Yisela para ir a la universidad?
4! = 24
Resolución:
A) 6 D) 24 5
B) 100 E) 180
4
_ 13 i + _ 32 i + _ 33 i = 3 + 3 + 1 = 7
B) 12 E) 28
C)d 18
El asta de una bandera de un barco tiene tres posiciones en las que puede colocarse una bandera. Suponiendo que el barco lleva cuatro banderas diferentes para hacer señales, ¿cuántas señales pueden hacerse con dos banderas? Resolución:
3! Ç _ 42 i = 36
A) 6 D) 9 6
B) 7 E) 10
C) 8
Katy quiere comprar un mandil y un par de guantes, para esto visitó 2 tiendas. En la primera, encontró 3 modelos de mandiles y 7 guantes; mientras que en la segunda, encontró 2 modelos de mandiles y 5 de guantes. ¿De cuántas maneras puede efectuar la compra, si debe comprar ambos artículos en la misma tienda? Resolución:
_ 13 i_ 17 i + _ 12 i # _ 15 i = 31
A) 24 D) 42
B) 32 E) 48
C) 36
A) 21 D) 40
B) 31 E) 46
C) 35
ARITMÉTICA - ACTIVIDADES UNIDAD 4
85
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7
Se dispone de 8 colores y queremos pintar una bandera de 5 franjas, cada franja de un color, ¿de cuántas maneras de puede hacer esto?
8
Resolución:
Resolución:
8!
8
V5
=
_8
i
5 !
-
=
4! = 24
4 Ç 5 Ç 6 Ç 7 Ç 8 = 6720
A) 6720 D) 7040 9
B) 6890 E) 7532
A) 24 D) 44
C) 6910
Una línea de ferrocarril tiene 20 estaciones. ¿Cuántos billetes diferentes habrá que imprimir si cada billete lleva impresos las estaciones de origen y destino?
10
Resolución: 20 V2 =
20! 18!
¿Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con los dígitos 1; 2; 3 y 4?
B) 36 E) 48
Tres atletas toman parte en una competición. ¿De cuántas maneras podrán llegar a la meta? Considere que pueden llegar juntos. Resolución:
=
P3
380
3
C2
+
.
A) 180 D) 300
B) 200 E) 380
C) 250
Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen. ¿De cuántas maneras puede elegirlas, si las cuatro primeras son obligatorias? =
_6
-
i
3 ! # 3!
=
20
13
B) 18 E) 23
Resolución: =
14
C) 10
5!
5
= 120
B) 120 E) 144
C) 720
¿De cuántas maneras se pueden elegir dos o más corbatas entre una colección de 8 corbatas? A=
56
8
8
8
8
8
8
8
C2 + C 3 + C 4 + C 5 + C 6 + C 7 + C 8
A = 247
Por lo tanto: se pueden elegir 56 comités.
A) 24
1 = 10
Resolución:
Es un caso de combinación: 8
+
3 llegan juntos
B) 12 E) 15
A) 24 D) 30
C) 19
¿Cuántos comités de 3 miembros se pueden elegir entre 8 personas? C3
=
` P
A) 15 D) 20
2 llegan juntos
3! 2!
¿De cuántas maneras se pueden ordenar 5 libros en un estante con capacidad para 5 libros? P5
6!
6
3! +
Resolución:
Resolución: C3
=
.
A) 11 D) 14 12
1
+
.
3 llegan por separado
11
C) 40
B) 11
Por lo tanto: se pueden elegir de 247 maneras.
C) 8
A) 240
B) 247
C) 120
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Practiquemos Nivel 1
Resolución de problemas Comunicación matemática
6.
Del siguiente grupo de personas:
¿De cuántas maneras se pueden disponer en una cancha, 6 jugadores de fulbito fulbito si uno de ellos siempre siempre juega de arquero? arquero? A) 90
B) 100
C) 120
D) 240
E) 320
Enunciado para los problemas: 7, 8 y 9
Un grupo esta formado por 3 abogados, 5 arquitectos y 2 ingenieros. 7.
¿De cuántas maneras diferentes se podrá elegir a tres personas? A) 160
8.
1.
2.
¿Cuántas comisiones se formarán si en ella deben haber dos mujeres? Respuesta: ¿Cuántas comisiones se formarán si en ella deben haber dos hombres? Respuesta:
10.
D) 60
E) 240
B) 20
C) 30
D) 60
E) 12
¿De cuántas maneras diferentes se podrá elegir un ingeniero y 4 arquitectos? A) 5
Se quiere formar comisiones de 5 personas.
C) 120
¿De cuántas maneras se podrá elegir 2 abogados y 3 arquitectos? A) 15
9.
B) 80
B) 10
C) 20
D) 15
E) 30
¿De cuántas maneras se puede colocar todas las vocales en una fila? A) 124
B) 136
C) 130
D) 125
E) 120
Nivel 2 Comunicación matemática
3.
¿Cuántas comisiones se formarán si en ella deben estar todos los hombres? Respuesta:
En la siguiente figura se muestra las teclas de la 1. a octava de un piano.
Razonamiento y demostración 4.
Hay seis ómnibus diferentes que viajan de Lima a Huancayo. Da el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Existen 30 posibilidades posibilidades de ir y regresar, pero en un ómnibus diferente.
11.
Si se tocan 4 teclas simultáneamente, ¿cuántos sonidos distintos pueden producirse? Respuesta:
12.
Si se tocan 3 teclas simultáneamente, ¿cuántos sonidos distintos pueden producirse? Respuesta:
II. Si un ómnibus se malogra, existen 25 posibilidades de ir y regresar. III. Si se incrementa la flota en tres ómnibus, existirían 72 posibilidades de ir a Huancayo. A) VVV D) FFF 5.
B) VVF E) FVV
C) VFF
Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
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Resolución de problemas 15.
16.
23.
Si n ! N y Cp8
A) 8
24.
Por medio del análisis combinatorio, demuestra que el número
D) 10
E) 60
B) 15
C) 18
D) 20
E) 14
B) 30
C) 50
D) 60
E) 40
B) 110
C) 120
D) 130
B) 40
C) 60
D) 30
25.
A) 120
B) 360
C) 480
D) 320
26.
.
!N
p2 + p + 1
_
n# n-3 2
i
.
C) 7
D) 14
E) 13
Un estudiante contesta 7 de 10 preguntas de un examen. De cuántas maneras se pueden escoger las 7 preguntas, si: - Las 2 primeras son obligatorias.
27.
A) 210 28.
29.
Comunicación matemática
30.
B) 103
C) 35
D) 60
E) 648
B) 6
C) 24
D) 10
E) 8
¿De cuántas maneras se podrá formar un número de dos cifras impares diferentes? B) 8
C) 16
D) 20
E) 10
Con 9 colores diferentes, ¿cuántos tríos puedo formar si siempre uso el verde y el azul? A) 9
Nivel 1 1.
C) 56; 40
¿De cuántas maneras se podrá formar un número de dos cifras pares diferentes?
A) 12
EQUIPOS L. Huánuco Pací Pa cífifico co FC Melgar Inti Gas Cienciano Comercio José Gálvez San Martín
B) 28; 10 E) 63; 24
¿De cuántas maneras se podrá formar un número de tres cifras diferentes?
A) 12
Dicho campeonato de fútbol se juega en dos ruedas (local y visita).
B) 12
A) 56; 20 D) 14; 30
Nivel 3
EQUIPOS César Valle lejjo Spor Sp ortt Hua Huanc ncay ayoo Universitario Real Garcilaso S. Cristal Alianza Li Lima Juan Aurich UTC
2Cp8 + 1 , demuestra que
- Debe contestar 3 de las 6 primeras.
E) 210
En la tabla se muestran los equipos participantes en el torneo descentralizadoo 2013 de la 1.a división. descentralizad
=
Pepe observa, en la fiesta de su primo Doroteo, 105 apretones de mano, ¿cuántas personas observó Pepe? A) 15
E) 15
¿Cuántas palabras de 4 letras se pueden formar con las letras de la palabra LATINO?
2
Resolución de problemas
E) 140
¿Cuántas señales se pueden hacer con 5 banderines de colores diferentes, usando 3 de ellos en cada señal?
+
de diagonales de un polígono regular de n lados es
¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con las cifras 1; 5; 4; 3; 8; 9?
A) 120 20.
C) 15
El número de formas que se puede confeccionar una bandera de franjas de 3 colores, si se tiene tela de 5 colores distintos es:
A) 100 19.
B) 6
Cuatro hombres y tres mujeres deben sentarse en una fila de 2 asientos, de modo que ningún hombre ocupe un sitio par. ¿De cuántas maneras diferentes podrán sentarse?
A) 10 18.
_n + 4i !
¿De cuántas formas se podrá tener una comisión de 3 personas de un grupo de 5 personas?
A) 12 17.
Razonamiento y demostración
B) 18
C) 7
7. C
13.
8. C
14.
D) 6
E) 27
20. B
26. A
Nivel 3
27. E
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ap r en d ido lo ap ica m o s lo A p l ica tema 4: 1
PROBABILIDADES
Entre 5 hombres y 4 mujeres se tiene que formar un grupo de 3 miembros. Si la selección se realiza al azar, halla la probabilidad de que 2 miembros sean hombres.
2
Resolución:
Resolución:
n(W) = 36 A = {(1; 2); (1; 3); (1; 4); (1; 5); (1; 6); (2; 1); (3; 1); (4; 1), (5; 1); (6; 1)}
A: 2 de los seleccionados son hombres. 5
P(A) =
3
4
C 2 # C1 9 C3
=
40 84
=
Se lanzan 2 dados. Halla la probabilidad de obtener exactamente un as (el número uno).
10 36
& P(A) =
10 21
A)
1 3
B)
11 23
D)
8 21
E)
4 25
C)
10 21
En una caja hay 10 bolas de billar, de las cuales solo 3 son de color rojo. Si se extraen 3 bolas de billar al azar, halla la probabilidad de que al menos una sea de color rojo.
4
Resolución:
A: al menos una resulta de color rojo.
=
5 18
A)
2 5
B)
3 5
D)
5 18
E)
7 20
C)
9 17
De entre 20 tanques de combustibles fabricados para un transbordador espacial, tres se encuentran defectuosos. Si se seleccionan aleatoriamente cuatro tanques, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de los tanques se encuentre defectuoso? Resolución:
Sea el evento A: ninguno de los tanques se encuentra defectuosos.
_ 3 i_ 7 i _ 3 i_ 7 i _ 3 i_ 7 i P(A) = 1 10 2 + 2 10 1 + 3 10 0 = 91 120 _3 i _3 i _3 i
5
A)
91 120
B)
93 150
D)
92 123
E)
97 120
17
P(A) =
C)
85 123
Entre los números 1; 2; ...; 50 se escoge un número al azar. ° ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga un número 6.? Resolución:
Sea al evento A: se obtienen un 6° A = {6; 12; 18, ...; 48} & n(A) = 8 Luego: P(A) =
6
=
4 25
20
C4
=
2380 4845
=
28 57
A)
28 29
B)
12 13
D)
23 30
E)
25 57
C)
28 57
En una bolsa se tienen 4 caramelos de fresa, 4 de limón y 2 de naranja. Se extraen 4 caramelos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se haya extraído 1 caramelo de naranja? Resolución:
A: Se extrae un caramelo de naranja. 2
P(A) = 8 50
C4
8
C1 # C3 10
C4
=
112 210
=
8 15
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María y 6 amigas se ubican en una fila. ¿Cuál es la probabilidad de que María se ubique en el centro de dicha fila?
7
8
Resolución:
A: María se ubica en el centro de la fila. P(A) = 6! = 1 7!
5 libros de Aritmética y 4 libros de Álgebra, se colocan al azar en un estante. Si se escogen 3 libros al azar, halla la probabilidad de que 2 de ellos sean de Aritmética y el otro sea de Álgebra. Resolución
A: 2 libros escogidos son de Aritmética y uno es de Álgebra.
7
5
9
A)
1
D)
1 5
2
B)
1 4
E)
1 7
C)
1 6
Una bolsa contiene 5 veces más monedas de S/.5 que de S/.1. Si se extrae una moneda al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea una moneda de S/.1?
10
Resolución:
11
A)
1
D)
1 5
B)
1 3
E)
1 7
C)
_ 93 i 84 = _123 i 220
=
B)
21 55
D)
11 50
E)
14 51
C)
12
E)
13 27
C)
9 23
Una caja contiene 9 tickets numerados del 1 al 9. Si se extraen 3 tickets de la caja, uno a uno, halla la probabilidad de que el 1.er ticket extraído sea impar, el 2.° par y el 3.° impar. 9! =
_9
i
3 !
-
P
A)
2 5
D)
10 63
Resolución: a b con cifras iguales: 11; 22; ...; 99 9 números
Sea el evento A: las cifras son diferentes n(A) = 90 - 9 = 81 81 & P(A) = = 0,9
8 9 9 Ç 10 = 90
C) 0,6
504
.
4
Ç
Sea el evento C: el 1. er ticket es impar, el 2.° es par y el 3.° es impar. 80 10 & P(C) = = 504
4 = 80
B)
3 5
E)
7 20
63
C)
9 17
n(W) = 8! Sea el evento A: dos personas determinadas quedan una al lado de la otra. P(A) = 2 # 7! = 2 = 1
14
8
4
A)
1 2
B)
1 3
D)
1 5
E)
1 6
C)
1 4
Se tienen 5 pares de zapatos mezclados y cada par es distinto de los demás. Si se eligen 2 zapatos al azar, ¿qué probabilidad hay de que corresponda a un mismo par? Resolución:
Sea el evento A: los zapatos elegidos corresponden al mismo par. & P(A) =
A) B) 0,4
=
Si 8 personas se sientan al azar en una fila, ¿cuál es la probabilidad de que dos de ellas, determinadas, queden una al lado de la otra?
90
9
7#8#9
I
. Ç
=
Resolución:
31 25
Se elige al azar un número de 2 cifras. Halla la probabilidad de que las cifras sean diferentes.
A) 0,1
11 25
8!
21 50
h
D)
.
21 55
A)
h
10 21
10 21
5
Sea el evento A: las 3 personas escogidas se han recuperado.
0 1
=
B)
I
2 3
De doce personas que contraen influenza al mismo tiempo, 9 se recuperan en 5 días. Supongamos que pasados los 5 días, se escogen 3 personas al azar de las 12. Halla la probabilidad de que 3 de ellos se hayan recuperado.
1 2
40 84
3 20
9
Resolución:
13
=
A)
V3
7
2
P(A) =
9
C3
Resolución:
Sea a el n.° de monedas de S/.1 y b el n.° de monedas de S/.5. Del enunciado: b = 6a Sea el evento: la moneda extraída es de S/.1. a 1 & P(a) = = 7a
4
C 2 # C1
P(A) =
1 3 1
5 10 C2
=
5 45
=
1 9
B)
1 6 1
C)
1 7
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Practiquemos Nivel 1
Resolución de problemas Comunicación matemática
6.
En la rifa de una bicicleta, organizada organizada en una I. E., se han vendido 40 tickets en total.
7.
1.
Si Mario tiene 3 tickets ¿cuál es la probabilidad de que gane la bicicleta? Respuesta:
2.
3.
3 40
Si Ángela tiene 5 tickets, ¿cuál es la probabilidad de que gane la bicicleta? Respuesta:
9.
1 8
¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los dos gane? Respuesta:
4 5
Razonamiento y demostración 4.
8.
Se lanzan dos dados simultáneamente. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: A) El espacio espacio muestral tiene 46 elementos.
10.
Halla la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un número mayor que 2. A)
1 2
B)
1 3
D)
2 3
E)
3 4
C)
1 4
Al lanzar un dado, halla la probabilidad de obtener un número par menor que 4. A)
1 2
B)
1 3
D)
3 4
E)
1 6
C)
1 4
¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos monedas se obtenga solamente un sello? A)
1 2
B)
1 4
D)
1 8
E)
1 3
C)
1 6
En una urna hay 4 bolas rojas y 6 bolas azules. Si se extrae una bola al azar, ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola roja? A)
1 2
B)
2 3
D)
2 5
E)
1 6
C)
1 4
En una urna hay 7 fichas color rojo y 9 de color blanco. Si se extrae una bola al azar, ¿Cuál es la probabilidad de extraer una ficha de color rojo? A)
3 16
B)
2 17
D)
1 16
E)
7 16
C)
6 17
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11.
12.
¿Cuál es la probabilidad de que Lucero saque un palito rojo?
A)
250 969
B)
301 969
Respuesta:
D)
312 969
E)
345 969
¿Cuál es la probabilidad de que Lucero saque un palito azul?
17.
Respuesta:
Razonamiento y demostración 13.
Se lanza simultáneamente un dado común y una moneda. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
18.
A) El espacio muestral tiene 12 elementos. elementos. B) La probabilidad de obtener obtener un sello y un 2° es 1 .
C)
308 969
En una urna hay 12 fichas de las cuales 3 son de color amarillo y 9 son de color verde. Si se extraen 4 fichas al azar, halla la probabilidad de que al menos una resulte de color amarillo. A)
3 55
B)
10 57
D)
17 55
E)
29 30
C)
41 55
En una bolsa se tiene 20 fichas numeradas del 1 al 20. Halla la probabilidad de que al extraer una ficha al azar se obtenga un múltiplo de 3. A) 0,1
B) 0,2
D) 0,4
E) 0,5
C) 0,3
4
C) La probabilidad de obtener un sello y un número primo es 14.
1 6
.
En una urna hay a fichas de color rojo y b fichas de color verde. Si se extraen 2 fichas al azar, indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: A) El espacio muestral tiene Cba elementos. B) La probabilidad de que los 2 elementos extraídos son de color a
verde es
C2 a+
C2
19.
. b
C) La probabilidad de que los 2 elementos extraídos son de
20.
Se lanzan dos dados. Halla la probabilidad de obtener como suma total de puntos, un número primo. A)
5 18
B)
5 12
D)
2 3
E)
1 6
C)
5 6
Si se lanzan simultáneamente un dado y una moneda, ¿cuál es ° la probabilidad de obtener un sello y un 3? A)
1
D)
2 3
2
Nivel 3
B)
1 3
E)
5 6
C)
1 6
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21.
22.
¿Cuál es la probabilidad de que ubique el libro de Aritmética al centro?
A)
14 55
B)
Respuesta:
D)
13 55
E)
¿Cuál es la probabilidad de que los libros de Aritmética y Álgebra estén juntos?
28.
Respuesta:
Razonamiento y demostración 23.
Si de N artefactos, n son defectuosos y se extraen r artefactos al azar donde r < n, indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
29.
A) El espacio muestral tiene CNr elementos. B) La probabilidad de que entre los artefactos seleccionados n
Ck
hayan k defectuosos es
N Cr
.
C) La probabilidad de que los artefactos seleccionados sean n
todos defectuosos es 24.
Cr
. N
Cr
30.
11 56
C)
12 55
1 11
En una bolsa hay 5 cubos idénticos. En todas las caras de cada cubo está escrita una de las letras siguientes: o; p; r; s; t. Halla la probabilidad de que en los cubos extraídos de uno por vez y dispuestos en una línea se pueda leer la palabra “sport”. A)
1 120
B)
1 50
D)
3 5
E)
4 9
C)
1 2
Se elige al azar un número de 6 cifras. Halla la probabilidad de que todas las cifras sean diferentes. A) 0,013
B) 0,741
D) 0,341
E) 0,151
C) 0,651
Los participantes de un sorteo sacan fichas de una caja de fichas numeradas desde 1 hasta 100. Halla la probabilidad de que la primera ficha extraída al azar contenga la cifra 5. A) 0,25 D) 0,52
B) 0,91 E) 0,84
C) 0,19
Demuestra por medio de la definición clásica de probabilidad, que para todo evento A de un espacio muestral Ω, se cumple que 0 # P(A) # 1.
Resolución de problemas 25.
Un experimento aleatorio consiste en disponer los dígitos: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 y 8 uno a continuación del otro. Calcula la probabilidad de que el número formado sea múltiplo de 4. C A A E C