Nombre de la materia
Cálculo diferencial e integral Nombre de la Licenciatura
XXXX Nombre del alumno
XXXX Matrícula
XXXX Nombre de la Tarea
XXXX Unidad 2
Derivadas Nombre del Profesor
XXXX Fecha
XXXX
Unidad 2.Derivadas
Cálculo diferencial e integral
“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber.”
Albert Einstein
ACTIVIDAD 3 Objetivos:
Definir e Identificar geométrica y algebraicamente el concepto de derivada.
Calcular derivadas explícitas de funciones continuas.
Calcular derivadas de funciones implícitas, así como derivadas de orden superior para su interpretación gráfica.
Instrucciones:
Después de revisar los videos y los recursos siguientes debes desarrollar la actividad 3.
Video
Ejemplos de aplicación de la derivada.
Lectura
Derivadas y métodos de derivación (INITE, 2012). Se presenta la derivada de la función inversa y de funciones implícitas (páginas 104-120).
Diversas aplicaciones de la derivada (INITE, 2012). Podrás revisar los polinomios de Taylor y de Maclaurin (páginas 141-143), así como la regla de L'Hopital (páginas 148-149).
Derivadas II (INITE, 2011). Documento en el que se observa la manera de calcular derivadas de orden superior (páginas 173-178).
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Cálculo diferencial e integral
¿Cómo entregar nuestra tarea?
-Descargar la actividad en Word y responder directamente en el documento. -Imprimir la actividad para escribir las respuestas y enviar la foto o escaneo correspondiente. -Colocar su respuesta con fotos de lo realizado (ejercicio por ejercicio, etcétera).
Forma de evaluación: Criterio
Ponderación
Presentación
10%
Valor de los ejercicios
90%
Ejercicio 1: (Valor 3.5 puntos)
35%
Ejercicio 2: (Valor 2 puntos)
20%
Ejercicio 3: (Valor 3.5 puntos)
35%
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Cálculo diferencial e integral
Desarrollo de la actividad: Ejemplo 1:
Se bombea aire dentro de un globo esférico, de modo que su volumen aumenta a razón de
100
¿con qué rapidez crecen el radio del globo y su área cuando el diámetro es de 50 cm?
Solución.
Como se puede analizar, al aumentar el volumen del globo, aumenta también su radio y su área superficial (Figura 1). La información suministrada señala que la razón de cambio del volumen respecto del tiempo es de
100
, y se desea calcular la razón de cambio del radio respecto del tiempo y la razón de cambio
del área respecto del tiempo, cuando el diámetro es de 50 cm., o el radio es de 25 cm.
Figura 1. Globo que crece al inflarse Asignando V, r y A a las variables Volumen, radio y Área respectivamente, las razones de cambio
dada y solicitadas se expresan como , & . Así, el problema a resolver se expresa como
Dado
= 100
& , calcular cuando r = 25 cm.
Las relaciones que conectan V, r y A son:
= 4
&
4 = 3
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Cálculo diferencial e integral
En primer lugar, utilizando la relación
= y derivando ambos lados de la ecuación con
respecto a t tenemos:
3 ∗ 4 2 = = 42 3
Como
= 100
, despejando se tiene que:
100 25 = = 42 2 Cuando r = 25, se tiene que:
25 1 = = ∗ 252 25
Así, el radio del globo crece a razón de 25 cuando su diámetro es de 50 cm.
Para calcular la razón de cambio , partimos de la relación = 4 . Derivando a ambos lados con respecto a t, se tiene:
= 4 ∗ 2 = 8
1
Como = , y si r = 25 cm., se tiene que:
8 ∗ 2 5 = =8 25 2
Se concluye que el área del globo crece a razón de 8 cuando su diámetro es de 50 cm. ó 25 cm de radio.
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Cálculo diferencial e integral
Ejercicio 1 (Valor 3.5 puntos):
q
Regla de la cadena
En esencia, la regla de la cadena establece que si y cambia veces más rápido que , mientras que cambia veces más rápido que , entonces cambia veces más rápido que . Ejemplo 2:
Un juego de ruedas dentadas está construido, como muestra la figura de la izquierda, de forma que la segunda y la tercera giran sobre un eje común. Cuando la primera gira, impulsa a la segunda y ésta a su vez a la tercera. Sean , y los números de revoluciones por minuto del primero, segundo y tercer ejes. Encontrar , y , y verificar que: =
Respuesta:
Puesto que la circunferencia del segundo engranaje es tres veces mayor que la de la primera, el primer eje debe dar tres vueltas para que el segundo complete una. Del mismo modo, el segundo eje ha de dar dos vueltas para que el tercero complete una y, por tanto, se debe escribir
=3
=2
Combinando ambos resultados, el primer eje debe dar seis vueltas para hacer girar una vez al tercer eje. De tal manera:
=3∗2=
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Cálculo diferencial e integral
Este ejemplo muestra un caso simple de la regla de la cadena, el enunciado general es el siguiente Ejercicio 2 (Valor 2 puntos):
Un juego de ruedas dentadas está construido, como muestra la Figura 1, de forma que la segunda y la tercera giran sobre un eje común. Cuando la primera gira, impulsa a la segunda y ésta a su vez a la tercera. Sean , y los números de revoluciones por minuto del primero, segundo y tercer ejes. Encontrar , y , y verificar que =
Respuesta:
Puesto que la circunferencia del segundo engranaje es (4)veces mayor que la de la primera, el primer eje debe dar tres 4 vueltas para que el segundo complete una. Del mismo modo, el segundo eje ha de dar dos vueltas para que el tercero complete una y, por tanto, se debe escribir
=4
=2
Combinando ambos resultados, el primer eje debe dar seis vueltas para hacer girar una vez al tercer eje. De tal manera:
=4∗2= =8
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Cálculo diferencial e integral
Teorema:
Si = es una función derivable respecto de y además = es una función derivable respecto a , entonces = es una función derivable de y
= Que es igual o equivalente a
) = ′′ (
Ejemplo 3.
Veremos cómo se aplica la regla de la cadena, lo primero es identificar las funciones u y fu, sea: = 2 Entonces Si = y
= 2 tenemos que = = = 2
Y utilizando
= Tenemos que
= = cos = 2 cos2 Ya que
= = cos
= 2 = 2
Ejemplo 4.
Otro ejemplo sería calcular la derivada de
= Si
1 1
= y = 1 tenemos que = = = +
Utilizando
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Unidad 2.Derivadas
Cálculo diferencial e integral
= Tenemos que
1 1 = =− 2 =− 12 Ya que
1 1 = =− 2
= 1 = 1
Ejercicio 3 (Valor 3.5 puntos):
Efectúa la derivada de la siguiente función
= 3 Type equation here.
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