Contenido: Teorema de Thales de Mileto
Geogebra:
Gu\u00eda sobre semejanza
Una herramienta para construcciones Geom\u00e9tr
En busca del Teorema de Thales de Mileto
Descripci\u00f3n
Autor : Manuel Galaz P\u00e9rez
Las acciones que se presentan en esta gu\u00eda, tienen como prop\u00f3sito qu relaciones que permitir\u00e1n descubrir el Teorema de Thales. A continuaci\u00f algunas construcciones e investigar\u00e1s sobre dichas propiedades.
Recursos \ \
Software Geogebra. u e 0 0 0 Geogebra: Una herramienta para construcciones Geom\u00e9tricas; En busca del Teorema de Thales de Mileto. u
e
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Acciones T\u00e9cnicas Elementos Iniciales. 1. Activar Geogrebra
Para activar este software educativo, debes recurrir a Programas del men\u00fa su computador funciona con el Sistema Operativo Windows. Luego, activa el programa desde la carpeta Geogebra.
2. Identificando el ambiente de Geogebra
Una vez activada la aplicaci\u00f3n, es importante ambientarse en su interfaz. \u00 compuesta de los siguientes ambientes:
1
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Barra de herramientas
Secci\u00f3n de Algebra
\u00c1rea de trabajo
Secci\u00f3n de entrada de comandos figura 1: Interfaz de Geogebra
3. Identificando las herramientas de construcci\u00f3n Para trabajar con esta aplicaci\u00f3n, uno de los elementos claves es manejar los botones de la barra de Herramientas. A trav\u00e9s de ellos, se podr\u00e1 cons figuras geom\u00e9tricas planas que desee y que la aplicaci\u00f3n permita. fi
figura 2 : barra de herramientas
Esta barra de herramientas est\u00e1 compuesta por 9 botones. Cada uno de e permite seleccionar una opci\u00f3n de un conjunto de acciones que, al activa permiten realizar una operaci\u00f3n espec\u00edfic fi a para efectuar la constr que se desee. Por ejemplo:
figura 3
Si mantiene presionado, con el indicador del mouse, el sector que se\u00f1ala la flecha se activa el men\u00fa de la figura 4. figura 4
2
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figura 5
Al activar este bot\u00f3n se desplaza el men\u00fa que se observa en la figura 6.
figura 6
4. Algunas acciones importantes Al momento de estar trabajando en una construcci\u00f3n geom\u00e9trica, s acciones que, inicialmente, son necesarias de conocer: deshacer construccione err\u00f3neas y guardar el trabajo realizado. Para el primero, se debe realizar siguiente acci\u00f3n: Del men\u00fa Edita, seleccionar Deshace.
\ue000
As\u00ed podr\u00e1s borrar aquellas construcc acciones no deseadas. figura 7
Para Guardar o almacenar una construcci\u00f3n geom\u00e9trica realizada en la a realiza los siguientes pasos: Del men\u00fa Archivo seleccionar Graba. \ue000En la ventana de di\u00e1logo Guardar, determina el Nombre y seleccione el lugar don guardar\u00e1 el archivo. Finalmente, Guardar. \ue000
De esta manera podr\u00e1s almacenar los trabajos que realice en esta aplicaci\u00f3n.
figura 8
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Visualizando el Teorema de Thales. 1.
Presentación principal.
i.- En el Área de Trabajo construya un Triángulo. Activa las opciones del Botón que se muestra en la figura 9.
figura 9´
De ellas, selecciona Polígono, como se muestra en la figura 10.
figura 10
En el Área de Trabajo, dibuja el triángulo ABC. Para ello, haz un clic para dibujar el punto A, luego otro para B y C, terminando con un clic final en A.
De esta manera has dibujado un triángulo. figura 11
. a A continuación, dibujarás un segmento paraAlelo
B
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Activa las opciones del Botón que se muestra en la figura 12.
figura 12´
De ellas, selecciona Nuevo Punto, como se muestra en la figura 13. A , dibuja C el punto D. Con un clic sobre
figura 13
Active las opciones del Botón que se muestra en la figura 14.
figura 14
De ellas, selecciona Recta Paralela, como se muestra en la figura 15. A , y Botro clic sobre el Con un clic sobre punto D.
figura 15
Activa las opciones del Botón que se muestra en la figura 16.
figura 16´
figura 17
De ellas, selecciona intersección de dos objetos, como se muestra en la figura 17. Haz un clic sobre el punto de intersección de
BC
y la recta que pasa por el punto D.
De esa forma se obtiene el punto F, como se observa en la figura 18.
figura 18
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Para ocultar construcciones segundarias, se debe realizar la siguiente acción. Activa las opciones del Botón que se muestra en la figura 19.
figura 19´
De ellas, selecciona Expone / Oculta objeto, como se muestra en la figura 20. Con un clic sobre
figura 20
DF
.
De esa forma se oculta una construcción secundaría.
Ahora, se trazará unos segmentos a partir de los puntos de ∆ABC.
figura 21´
Activa las opciones del Botón que se muestra en la figura 21. De ellas, selecciona Segmento entre dos puntos, como se muestra en la figura 22.
figura 22
Con un clic sobre los puntos D y F respectivamente. Así obtiene DF o el segmento e. Repite esta última acción en los siguientes puntos. Un clic en los puntos A y D respectivamente. Así obtiene segmento f. Puntos D y C para obtener g. Puntos C y F pata obtener h. Puntos F y B para obtener I.
DF
o el
De esa forma están rotulados los segmentos del ∆ABC como lo muestra la figura 23. figura 23
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Mostrando las medidas de los segmentos de ∆ABC. Haz doble clic sobre el rótulo f. En la ventana de diálogo Propiedades, activa el menú desplegable Expone rotulo y seleccione Valor. Luego Aplica.
figura 24
De esa forma, se presenta la medida de un segmento, en este caso la de AD como muestra la figura 25. Con la acción anterior, muestre las medidas de g, h, i, b y a respectivamente. De esa forma se muestran las medidas de los segmentos del ∆ABC como lo muestra la
figura 25.
figura 25
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Determinando las razones entre los segmentos del ∆ABC. En la sección de entrada de comandos, digita R1=distancia[C,D]/distancia[D,A , como se muestra en la ] figura 26.
figura 26
Luego ENTER. Observa que se ha ingresado la razón CD DA
cuya valor se encuentra
asignado s R1, como lo muestra la
figura 27.
Repite las acciones anteriores ingresando los siguientes comandos. R2=distancia[C,E]/distancia[E,B] R3=distancia[A,C]/distancia[D,A] R4=distancia[C,E]/distancia[C,B] R5=distancia[A,C]/distancia[C,D] R6=distancia[C,B]/distancia[C,E]
figura 27
Completa las siguientes tablas, tomando los valores de R1, R2, R3, R4, R5, R6 que encuentran en la sección de Algebra. Para obtener medidas, mueve en tres ocasio vértices del ∆ABC. Por cada movimiento, ingresa las medidas en las tablas: AD
DC
CE
EB
AC
CB
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R1=CD
DA
R2=
CE
EB
CA
R3=
DA
CB
R4=
EB
R5=
CA
CD
CB
R6=
CE
¿Qué relación se observa en estas razones? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
2. Otra presentación del Teorema de Thales. Activa una hoja nueva de trabajo. Construye una recta, sea ésta AB . Traza una recta paralela a AB y que pase por el punto C. En la recta que pasa por C, dibuja los puntos D y E. Traza el segmento AE. Traza el segmento BD. Oculte las rectas paralelas y el punto C. Traza los segmentos AB y EB. El punto de intersección de AE y BD , rotúlalo F.
De esta forma, has construido los triángulos BFA y DFE. A continuación, exploraras las relaciones que existen entre ellos.
figura 28
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figura 29
figura 30
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Sobre el triángulo BFA, traza los segmentos BF y AF. Observa que, en cada segmento, se ha asignado un rotulo, g y h respectivamente. Activa las opciones del Botón que se muestra en la figura 29. Haz doble clic sobre g y configúralo para que muestre la medida de BF . Repite la acción para que se muestre la medida de AF . En el ∆ DFE, determina las medidas de FD , FE y DE .
Observa tu construcción y compárala con la figura 30.
Visualizando las medidas de los ángulos interiores de los triángulos.
figura 31
Activa las opciones del Botón que se muestra en la figura 31. Selección la opción Angulo. Haz un clic sobre los vértices B, F y A respectivamente. Haz doble clic sobre la letra asignada para el ángulo y configúrala para que se observe su medida. Repite la acción con los otros ángulos interiores de ∆ BFA. Repite la acción con los
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ángulos interiores de ∆ DFE respectivamente.
figura 30
Visualizando las razones entre los segmentos de los triángulos. En la sección de entrada de comandos, digita
R1=distancia[A,F]/distancia[F,E] , como se muestra en la figura 31.
figura 31
Luego ENTER. Observa que se ha ingresado la razón AF FE
cuya valor se encuentra
asignado a R1, como lo muestra la
figura 32.
Repite las acciones anteriores ingresando los siguientes comandos. R2=distancia[B,F]/distancia[F,D] R3=distancia[A,B]/distancia[D,E]
Observa que en la sección Álgebra, se muestran las razones ingresadas, como lo muestra la figura 32.
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figura 32
Observa a continuación, lo que ocurre al mover los vértices de uno de los triángul
Por cada movimiento que realices completas las tablas sobre ángulos, segmentos y respectivamente. Mueve el vértice D. Mueve el vértice A. Y finalmente mueve el vértice B.
Sobre los ángulos m(∠BFA)
∆ BFA
m(∠FAB)
m(∠ABF)
m(∠DFB)
∆ DFE
m(∠FDE)
m(∠EDF)
Sobre los segmentos m( BF )
∆ BFA
m( FA )
m( AB )
∆ DFE
m( DF )
m( FE )
m( ED )
Sobre las razones R1=BF
DF
R2=
FA
FE
R3=
AB
ED
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Reflexionando sobre loa datos ingresados. ¿Qué puedes señalas sobre las medidas de los ángulos? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
¿Qué puedes señalas sobre las medidas de los Segmentos? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ¿Qué puedes señalas sobre las razones entre los segmentos? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ¿Qué puedes señalar sobre la forma de los triángulos? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ Conjetura: Dos triángulos son semejantes si:_________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ Desafio Realice la siguiente construcción e investigue la relación entre los ángulos interior de los triángulos, segmentos y razones.
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