Activados Matemática 4

   

Gerente editorial

Daniel Arroyo

Coordinadora del área de Marcas y derechos

Amorina Scalercio Jefa de contenidos editoriales e ditoriales

Verónica Lombardo

Jefe del departamento de Arte y diseño

Lucas Frontera Schällibaum Jefe del área de Matemática

Gabriel H. Lagoa

Diseñadoras de maqueta

Editora

Patricia Cabezas Laura Porta

Yanina Sousa Diagramación Editing

Alberto G. Scotti y Pablo Alarcón para Cerúleo

Belén Boscaroli Ilustrador Autores

Pablo Zerda

Aperturas: Pablo Amster ¿Para qué sirve? : Laura Pezzatti

Fotografías

Roxana Abálsamo Adriana Berio Silvana Mastucci Nora Quirós Fernando De Rossi

Archivo de imágenes de Grupo Macmillan Thinkstock Gerente de Preprensa Produccióny editorial Producción editorial

Carlos Rodríguez

Corrector de estilo

Gabriel Valeiras

Matemática4: Matemática 43.¿Para ¿para Fotoactivados qué qué sirve? sirve?:/ /Roxana versión AdrianaAbálsamo para Beatriz el docente Berio... ... [et.al.]. [et.al.]. / Roxana - 1a- ed. 1a Abálsamo ed. - San - ... Isidro: Boulogne: [et.al.]. Puerto - 1aPuerto ed. de -Palos, Boulogne: de Palos, 2013.2013. Puerto de Palos, 2013. 256256 p.:p.: il.;il.; 2828x20 x 20 cm cm.- (Activados) - (Activados) ISBN ISBN 978-987-547-529-8 978-987-547-579-3 978-987-547-582-3 1. Matemática. 1. Matemática. 2. 2.Enseñanza Enseñanza Guía Docente. SeSecundaria. Secundaria. cundaria. I. Abálsamo, I. I.Abálsamo, Abálsam Berio, Roxana Adriana o, Roxana Beatriz CDD CDD 510.712 510.712 371.1

© Editorial Puerto de Palos S.A., 2013. Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan. Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina. Internet: www.puertodepalos.com.ar Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. ISBN 978-987-547-582-3 978-987-547-529-8 978-987-547-579-3 La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (INADI) con los editores de texto. No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor. Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446. Primera edición. Esta obra se terminó de imprimir en octubre febrero de de 2013, 2013, en en los los talleres talleres de de FF PP Compañía Compañía Impresora, Impresora, Beruti 1560, Florida,1560, Beruti provincia Florida, de provincia Buenos Aires, de Buenos Argentina. Aires, Argentina.



 Es una nueva propuesta que facilita el aprendizaje de la matemática a través de XXX actividades que favorecen la comprensión de los distintos temas. En formato binarizado, la sección ¿Para que sirve? conecta conecta la matemática con la vida cotidiana a través de una pregunta que surge constantemente en el aula. Es una nueva propuesta que facilita el aprendizaje de la matemática a través de 681 actividades que favorecen la comprensión de los distintos temas. En formato binarizado, la sección ¿Para que sirve? conecta conecta la matemática con la vida cotidiana a través de una pregunta que surge constantemente en el aula.

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Apertura: en esta sección, Pablo   Amster, especialista en el área de  la matemática, ofrece textos relacionados con la historia y evolución del Apertura: en esta sección, Pablo pensamiento matemático. Amster, especialista en el área de la matemática, ofrece textos relacionados con la historia y evolución del pensamiento matemático.

InfoActiva: presenta definiciones, clasificaciones, procedimientos básicos y ejemplos de cada contenido presenta queInfoActiva: facilitan la comprensión. definiciones, clasificaciones, procedimientos básicos y ejemplos de cada contenido que facilitan la comprensión.

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contenidos aparecen los temas numerados para su En el cuadro de fácil identificación. contenidos aparecen los temas numerados para su fácil identificación.

Conector: invita a repasar conceptos explicados en páginas anteriores.

Conector: Conexión a invita a¿Para repasar conceptos qué sirve? explicados en páginas anteriores. Test de comprensión: incluye preguntas básicas que permiten evaluar la

para cada tema Actividades: incluye Test de comprensión: se proponen distintas actividades preguntas básicas que permiten que están organizadas de manera evaluar la comprensión de la teoría secuencial. y revisar errores comunes.

Actividades: para cada tema se proponen distintas actividades que están organizadas de manera secuencial.

menteACTIVA: propone menteACTIVA:

situaciones problemáticas con un propone situaciones mayor nivel deproblemáticas complejidad. con un mayor nivel de complejidad.

Trabajos para propone propone prácticos: más actividades Integración: incluye más actividades Autoevaluación: Autoevaluación: incluyen más evaluar actividades actividades resolver en el para cuaderno. resolver en el más actividades para para que que cada cada alumno pueda los para practicar los temasel del cuaderno. alumno pueda evaluar conocimientos los adquiridos durante capítulo. capítulo. conocimientos adquiridos durante el capítulo.

¿Para qué sirve? qué sirve? ¿Para ¿Para qué sirve?: en esta sección, Laura Pezzatti, especialista en el área de la matemática, ofrece una serie de textos que conectan los ¿Para qué contenidos sirve?: endeesta sección, Laura los capítulos con la vida Pezzatti, especialista en elyárea la matemática, cotidiana otrasdedisciplinas con el ofrece una serie objetivo de textosdeque conectan los contenidos responder a la pregunta de los capítulos inicial con laque vidasecotidiana plantea. y otras disciplinas con el objetivo de responder a la pregunta inicial que se plantea.

Índice general Capítulo 1: NÚMEROS REALES ..................... 9

Capítulo 4: FUNCIÓN CUADRÁTICA ............ 83

1. Números reales. .................................. 10 2. Números racionales. ........................... 12 3. Operaciones con números racionales. 14 Integración .......................................... 18 4. Módulo de un número real. ............... 20 5. Ecuaciones. ......................................... 22 6. Inecuaciones. ...................................... 24 Integración .......................................... 26 Autoevaluación .................................... 28

23. Función cuadrática. ............................ 84 24. Raíces de una función cuadrática.

Capítulo 2: NÚMEROS IRRACIONALES ....... 29 7. Propiedades de la potenciación y

la radicación. ...................................... 30 8. Números irracionales. ......................... 32 9. Radicales. Adición y sustracción. ....... 34 10. Multiplicación y división de radicales. .. 36 11. Operaciones combinadas. .................. 38 12. Racionalización de denominadores. ... 42 Integración .......................................... 46 13. Sucesiones. ......................................... 48 14. Sucesiones aritméticas. ...................... 50 15. Sucesiones geométricas. .................... 52 Integración .......................................... 54 Autoevaluación .................................... 56 Capítulo 3: FUNCIONES ............................. 57 16. Funciones. ........................................... 58 17. Análisis de funciones I. ...................... 60 18. Análisis de funciones II. ..................... 62 Integración .......................................... 66 19. Función lineal. .................................... 68 20. Distancia entre dos puntos. ............... 70 21. Ecuación de la recta. .......................... 74 22. Función módulo. ................................. 78 Integración .......................................... 80 Autoevaluación .................................... 82

Discriminante. ..................................... 86 25. Distintas expresiones de la función cuadrática. .......................................... 88 26. Gráfico de una función cuadrática. .... 92 Integración .......................................... 96 27. Ecuaciones de segundo grado. .......... 98 28. La parábola como lugar geométrico. 102 29. Ecuación de la parábola. ................. 104 Integración ........................................ 106 Autoevaluación .................................. 108 Capítulo 5: POLINOMIOS ......................... 109 30. Polinomios. Características. ............... 110 31. Suma y resta de polinomios. ............ 112 32. Multiplicación de polinomios. ........... 114 Integración ......................................... 118 33. División de polinomios. ................... 120 34. La regla de Ruffini. Teorema

del resto. .......................................... 122 35. Raíces de un polinomio. .................. 124 36. Operaciones combinadas. ................ 126 Integración ........................................ 130 Autoevaluación .................................. 132

Capítulo 6: FACTORIZACIÓN DE

POLINOMIOS ................................... 133 37. Factor común y factor común por grupos. ....................................... 134 38. Trinomio cuadrado perfecto y cuatrinomio cubo perfecto. .............. 136 39. Suma y resta de potencias de igual exponente. ............................... 138 40. Teorema de Gauss. ........................... 140 Integración ........................................ 142 41. Casos combinados de factoreo. ....... 144 42. Ecuaciones Ecuaciones de degrado gradomayor mayora ados. dos...... 148 Estudio de de funciones funcionespolinómicas. polinómicas...... .. 150 43. Estudio Integración ........................................ 154 44. Expresiones algebraicas fraccionarias. ..................................... 156 45. Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias. ................. 158 46. Ecuaciones con expresiones algebraicas fraccionarias. ................. 162 Integración ........................................ 166 Autoevaluación .................................. 168 Capítulo 7: SISTEMAS DE ECUACIONES ... 169 47. Sistemas de ecuaciones lineales.

Método gráfico. ................................ 170 48. Resolución de sistemas de ecuaciones I. ..................................... 172 49. Resolución de sistemas de ecuaciones II. .................................... 176 50. Sistemas de ecuaciones mixtos. ...... 178 Integración ........................................ 182 Autoevaluación .................................. 184

GEOMETRÍA Y Capítulo 8: SEMEJANZA ...................................... .............................. 185 Y TRIGONOMETRÍA FIGURAS PLANAS 51. Teorema de Thales. .......................... 186 Aplicacionesdel delteorema teoremadedeThales. Thales.... 188 52. Aplicaciones 53. Semejanza de triángulos. ................. 192 Integración ........................................ 196 54. Trigonometría. .................................. 198 Cálculo de de razones razonestrigonométricas. trigonométricas. .... 200 55. Cálculo de triángulos triángulos rectángulos. 202 56. Resolución de rectángulos.del....................................... seno y del coseno. .... 202 204 57. Teoremas Resolucióndel de seno triángulos y del coseno. .... 204 58. 57. Teoremas 58. Resolución oblicuángulos. ............................................. de triángulos 206 ............................................. ........................................ 206 210 oblicuángulos. Integración .................................. 210 212 Autoevaluación Integración ........................................ Autoevaluación .................................. 212 Capítulo 9: PROBABILIDAD Y ..................................... 213 9: COMBINATORIA ESTADÍSTICA Capítulo 59. Combinatoria. ......................................... ................................... 213 214 Y PROBABILIDAD Binomio de Newton. ................................... Triángulo 214 59. 60. Combinatoria. de Pascal. de......................................... Newton. Triángulo 218 60. Binomio de Pascal. ......................................... .................................... 220 218 61. Probabilidad. Probabilidad condicional. .................................... ................. 220 222 62. 61. Probabilidad. condicional. ................. 224 222 62. Probabilidad Integración ........................................ .................................. 224 226 Autoevaluación Integración ........................................ Autoevaluación .................................. 226

Control de resultados ............................... 227 Control de resultados ............................... 227

¿Para qué sirve?

1

Números reales Contenidos 1. Números reales.

o l u t í p a c

2. Números racionales. 3. Operaciones con números

racionales. 4. Módulo de un número real. 5. Ecuaciones. 6. Inecuaciones.

Los números racionales aparecen en los primeros textos matemáticos de la historia. Se encuentran presentes en las tablillas babilónicas y en el célebre papiro egipcio de Ahmes, escrito hacia 1650 a. C. Allí se detallan las operaciones con fracciones, que los egipcios escribían como sumas de fracciones de numerador igual a 1; estos desarrollos no son únicos. Es un hecho notable que los números racionales se puedan representar siempre de esa forma, y más notable aún que lo supieran ya los antiguos egipcios. Por ejemplo, el 1 también se puede pensar como __21 + _31_ + __61 . En aquellos tiempos, la notación era muy diferente a la actual. La barra de fracción, que separa el numerador del denominador, fue introducida recién en el siglo XIII por Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci. Por su parte, las fracciones decimales tuvieron que esperar hasta el siglo XVI, cuando el belga Simon Stevin ideó la forma de calcular empleando décimas, centésimas, etc., aunque todavía faltaba para llegar a la notación actual: en 37 654 su sistema un número como ______ 1 000 se escribía 37(0)6(1)5(2)4(3).

1. Lean atentamente y resuelvan. a. ¿Por qué son tan importantes los números racionales? b. Representen las siguientes fracciones utilizando el método egipcio. 

_5_

4



_3_



5

a. Respuesta abierta. b.  _54_ = _21_ + _31_ + _41_ + _61_



_4_

9

1 = _1_ + _1_ + ___ 1 _3_ = _1_ + ___ 5

2

10

3

5

15



_4_ = _1_ + _1_

9

3

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Números reales ¿Para qué sirve? PÁGINA 2

INFOACTIVA

Los números racionales son aquellos que pueden ser expresados como el cociente entre dos números enteros. Existen dos maneras de escribir un mismo número racional: como fracción o en forma decimal; una y otra designan exactamente al mismo número. La expresión decimal de un número racional tiene un número finito de cifras decimales, o es periódica. 34 = 3,777... = 3,7 ___

13 = –3,25 – ___ 4

9

17 = 2,8333... 2,83 ___ 6

Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como un cociente entre dos números enteros, por tener infinitas cifras decimales no periódicas. Todas las raíces no exactas de base entera son números irracionales. __ 3  6 = 1,817120...

__  5 = 2,236067...

4

___

 21

= 2,140695...

Hay números irracionales que se determinan a partir de una ley de formación.

2,246810...

–0,12223242...

5,1122334455...

14,0123456...

El conjunto de los números reales ( ) está formado por los números racionales ( ) y los irracionales ( ). Los números reales se grafican sobre una recta denominada recta real. A un punto de la misma se le asigna el 0, se elige un segmento unidad y se ubican los números restantes. A cada número real le corresponde un punto de la recta y viceversa.

– _21_

–1

0

_1_

1

8

Intervalos reales Se denomina intervalo real a toda semirrecta o segmento de la recta real. Algebraicamente se designa un intervalo por sus extremos encerrados entre paréntesis o corchetes:  paréntesis, si los extremos no están incluidos (intervalo abierto);  corchetes, si se incluyen los extremos (intervalo cerrado). A = x∈ [ –3

B=x∈ ( 4

C = x∈ [ –5

D=x∈ ( –4 10

∧ –3 ≤ x ≤ 1 = [–3;1] ] 1

4 < x < 7 = (4;7) ) 7

–5 ≤ x < 0 = [–5;0)

E=x∈ [ 3,5

F = x∈

] –1

∧ x > –6 = (–6;+∞ )

( –6

G = x∈

) 0

–4 < x ≤ –1 = (–4;–1]

∧ x ≥ 3,5 = [3,5;+∞ )

∧ x ≤ 1 = (–∞;1] ] 1

H=x∈

1 ∧ x < – __ ( ∞;– _21_ ) 2 = – ) – _21_

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Todo número que tiene infinitas cifras decimales ¿es irracional? b. ¿Cuál es la diferencia entre (2;3) y [2;3]?

a. No, los números periódicos son racionales. b. El primer intervalo no incluye los extremos y el segundo, sí.

1

ACTIVIDADES Números reales

1. Coloquen una X donde corresponda. Número –4

Naturales

Enteros

Racionales

X

X

X

X

X

_1_

3__

 5 __  9

Irracionales

Reales

X X

X

1,34

X

X

X

X

X

2. Representen cada uno de los siguientes intervalos en la recta numérica. c. [ __31 ;__21 ]

a. –2;3 ( ) ( –2 __ b. ( –5;  5 ]

) 3

( –5

]__  5

[

]

1 __

___

1 __

3 ___

2

3 3 27 ;  27 ) d. [– 

[ ___ 3 –  27

3

) ___

 27

3. Escriban el intervalo real correspondiente en los siguientes casos. a. x ∈

∧ x ≥ –3 =

b. x ∈

∧ –1 ≤ x < 7 =

c. x ∈

∧ x ≠ 3 =

[–3;+∞ )

(–3,5;0)

d. x ∈

∧ –3,5 < x < 0 =

[–1;7)

e. x ∈

∧ –1,2 < x ≤ 1,2 =

(–1,2;1,2]

(–∞;3) ∪ (3;+∞ )

f. x ∈

∧ x ≤ –2 ∧ x > 1 =

(–∞;–2] ∪ (1;+∞ )

4. Expresen de tres formas distintas los intervalos que se indican a continuación. a. Todos los números reales mayores o iguales que –3 y menores que 2. x ∈

∧ –3 ≤ x < 2 = [–3;2)

–3 [

2 )

b. Todos los números reales mayores o iguales que –5. x ∈

∧ x ≥ –5 = [–5;+∞ )

–5 [

c. Todos los números menores que –3 o mayores o iguales que 2. x ∈

∧ x < –3 ∨ x ≥ 2 = (–∞;–3) ∪ [2;+∞ )

–3 )

2 [

d. Todos los números reales mayores que –2 y menores o iguales que –1. x ∈

∧ –2 < x ≤ –1 = (–2;–1]

–2 (

–1 ] 11

2

1

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Números racionales ¿Para qué sirve? PÁGINA 3

INFOACTIVA

Al efectuar la división no exacta de dos números enteros, puede suceder que:  el resto de la división sea cero; en ese caso el cociente es una expresión decimal con un número finito de cifras decimales ( expresiones decimales finitas ). _5_ = 5 : 2 = 2,5

9 = 9 : 12 = 0,75 ___

2

12 = –12 : 10 = –1,2 – ___ 10

12

el resto nunca se anule; necesariamente se repite y al repetirse también lo hacen las cifras decimales del cociente, determinando el período ( expresiones decimales periódicas ). 

_2_ = 2 : 3 = 0,6

10 = –10 : 11 = –0,90 – ___ 11

3

16 = 16 : 15 = 1,06 ___ 15

Para transformar una expresión decimal periódica en fracción, se escribe en el numerador de la misma el número decimal, sin la coma, menos la parte no periódica y en el denominador, tantos 9 como cifras decimales periódicas tenga la expresión, seguidos de tantos ceros como cifras decimales no periódicas contenga. 32 – 3 = ___ 29 3,2 = ______ 9 9

315 – 3 = ____ 312 = ____ 104 3,15 = _______ 33 99 99

583 – 158 = – 1425 95 _____ = – ___ –15,83 = – 1___________ 90 90 6

Aproximación Cuando se trabaja con números que tienen muchas o infinitas cifras decimales, se realizan aproximaciones cometiendo un pequeño error que es aceptado por razones de orden práctico.

Para calcular el promedio final de las calificaciones de un alumno en una asignatura determinada, se suman las notas obtenidas en los tres trimestres y se las divide por 3. Los promedios finales se aproximan por redondeo a dos decimales. Asignatura

1.° trimestre

2.° trimestre

3.° trimestre

Promedio final

Lengua Historia

5 7

8 7

7 8

6,67 7,33

Para aproximar por redondeo se considera la cifra siguiente a la última que se va a dejar; si es mayor o igual que 5, se suma uno a dicha última cifra y si es menor, se deja igual. 5 + 8 + 7 = ___ 20 = 6,6666... ≅ 6,67 (ε < 0,01) ________ 3 3

7 + 7 + 8 = ___ 22 = 7,3333... ≅ 7,33 (ε < 0,01) ________ 3 3

Otra manera de aproximar es por truncamiento, que consiste en eliminar directamente las cifras que no desean considerarse. __  5 =

2,236067... ≅ 2,23 (ε < 0,01)

= 2,7182818... ≅ 2,7182 (ε < 0,0001)

e

Error El valor más probable es el promedio de los valores obtenidos.

_ x1 + x 2 + ... + x n x = ______________ n

Se denomina error absoluto ( ε ) a al módulo de la diferencia entre el valor de cada medición ( x )i y el valor más probable ( ). x x

_ εa = | xi – x| εa _ El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor más probable. εr = __

12

El error porcentual es el error relativo multiplicado por 100.

x ε% = εr . 100

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Siempre es importante trabajar con la expresión decimal exacta de un número? b. ¿La expresión 3,2 es equivalente a _32_?

29 . a. Depende del contexto que se esté trabajando. b. No, es equivalente a ___ 9

2

ACTIVIDADES Números racionales. Operaciones.

5. Completen para obtener números racionales periódicos. Escriban la expresión decimal correspondiente. a.

12 _____

12 b. 7 = _____

=

6

c.

2 _____

d.

=

5 3 =

_____

3

Hay infinitas posibilidades.

6. Rodeen con color las expresiones equivalentes en cada caso. 233 a. ____ 100

2,33

2,3

0,233

2,033

b. __91

1,11

0,1

0,1

1,11

c. _25_

4 ___

4

0,4

2,5

10

7. Escriban como fracción irreducible los siguientes números. a. 3,2 = 16 5

31 c. 1,24 = 25

52 e. 1,15 = 45

g. 5,36 = 59 11

3 b. 0,3 = 10

d. 1,6 = 53

f. 0,09 = 111

h. 4,26 = 64 15

8. Completen las siguientes tablas.

__

a. 23,1456 Error ε < 0,1 ε < 0,01 ε < 0,001

b.  8 Truncamiento

Redondeo

23,1

23,1

23,14

23,15

23,145

23,146

Error ε < 0,1 ε < 0,01 ε < 0,001

Truncamiento

Redondeo

2,8

2,8

2,82

2,83

2,828

2,828

9. Calculen el error porcentual de cada una de las siguientes aproximaciones por redondeo. __ a.  5 , ε < 0,001

15 , ε < 0,01 b. ___ 7

0,003

0,1333

10. Lean atentamente y respondan. Pablo tiene que repartir con sus tres socios los $3 000 de la ganancia de la semana. Para calcular cuánto dinero le corresponde a cada uno, realiza las siguientes operaciones. 1 __ 0,33 . $3 000 = $990 cada uno. 3 = 0,333… ¿Es correcto esto? ¿Por qué? No, le corresponden $1 000 a cada uno, porque al haber trabajado con la expresión decimal periódica truncada, no se repartió el dinero en su totalidad. 13

3

2

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Operaciones con números racionales INFOACTIVA Una operación donde aparecen expresiones decimales periódicas conviene resolverla en forma fraccionaria, respetando la jerarquía de las operaciones y sus propiedades. 15 . 0,26 + 5–1 – ___ 4

_____  0,25

15 . ___ 24 + _1_ – ___ 4

____

1. Se escriben como fracción las expresiones decimales.

=

25 = ____ 90 5  100 15 . ___ 5 4 _1_ ___ ___ 4 15 + 5 – 10 = 7 1 + _15_ – _12_ = ___ 10

2. Se simplifica cuando sea posible. 3. Se resuelven las potencias y raíces. 4. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. Luego, las sumas y restas.

Si aparecen paréntesis, corchetes y llaves, se deben resolver primero las operaciones que estos encierran. ___

__ 4 3 25 – 0,26 = ___ 8 . ___ 24 1 1 . 2 + _5_ – ___ _ _ . . 0,08 ( 2 )  8 +  ___ 64 90 ( 16 8 ) 90

[

]

4 . _1_ + _5_ – ___ 4 = ___ 45 ( 8 8 ) 15 4 . _3_ – ___ 4 = = ___ 45 4 15 1 – ___ 4 = – _1_ = ___ 15 15 5

Si el cálculo está expresado como fracción, se deben resolver el numerador y el denominador por separado y luego, obtener el cociente correspondiente. _______

0,5 – _3_

0,03 . 5  8 _______ + ________ –3 2 0,1 3

=

_______ 5 – _3_ 3 . 5 3 ___ ____ 100 10 8 ________ + ________ 3 _1_ _1_



9

__

( 2 )

3_ 1_  20 8 = ____ + ____ _1_ _1_ 9 8

3 ___

3 : _1_ + _1_ : _1_ = ___ 20 9

2 8

_2_ + 0,3 . _9_ : 0,6 _2_ + _3_ . _9_ : _2_ ( _____________ ( 5 2 ) 5 9 2 ) 3 _____________ _______ = ________ _5_ 2 21 + 1 – _5_ 2 ____  0,21 + 1 – ( ) ( 2 ) 2  100 _2_ + _3_ : _2_ ( 5 2 ) 3 ____ = ___________ 121 _5_ 2 ____  100 – ( 2 )

19 : _2_ ___

10 3 = _______ 25 11 – ___ ___ 10

57 ___

27 + 4 = ___

20 = _____

107 = ____ 20

57 . –____ 20 = ___ 20 ( 103 )

20

103 –____ 20

57 = –____ 103

14

4

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Al resolver una operación, ¿por qué conviene escribir las expresiones decimales periódicas como fracción? b. Las expresiones decimales periódicas, ¿cumplen con las propiedades de los números naturales? a. Porque así se tienen en cuenta todos sus decimales. b. Sí, cumplen con las mismas propiedades.

3

ACTIVIDADES Operaciones con números racionales

11. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas. a.

_3_ . 15

5 29 ___

– 1,2 . ( –0,5 ) =

3

15 + 0,3 : 0,5 = b. _53_ : ___ 9 _8_

f. ( 0,54 . _37_ ) . _71_ – ( 0,24 + _35_ + 0,26 ) = 97 – ___ 90

g. ( 0,18 + 0,21 ) : ( 0,2 + 0,05 ) + 0,3 = 16 ___ 9

5

c. ( 0,583 – 0,3 : _21_ ) . 1,2 = 1

h. ( 0,35 : 0,15 + __41 ) . ( 0,002 : 0,007 + 1 ) = 93

15 . 0,2 = d. ( 3 – __51 : 0,7 ) . ( ___ ) 4

11 + 2 + 0,2 + 1,1 ) . 3,5 = i. –( 0,4 . __ ) ( 8

– ___ 50

95 ___

___

28

37 ___ 18

42

e. – ( _35_ + 0,09 : 0,03 ) – 0,5 : 0,125 = 38 – ___ 5

j. [ 2 . 0,2 + (–10 + 3,75) : _32_ ] : 0,3 = 113 – ___ 10

12. Resuelvan. 4 ___

a. 0,2 2 = 81 –3

27 ____

b. 2,3 = 343 9 ____

c. 0,3 = 100 2

125 ____

d. 1,6 = 27 3

____

_5_

e.  2,7 = 3 ___

_2_

f.  0,4 = 3 ______

1 ___

g.  0,009 = 10 ______ h.  0,064 3

_2_

=5

15

3


13. Escriban el cálculo combinado que responde a cada pregunta y resuelvan. a. ¿Cuál es la mitad de la quinta parte de veinte?

20 . _51_ : 2 = 2

b. ¿Cuál es el inverso del triple de 0,3?

( __31 . 3 ) = 1

c. ¿Cuál es el triple de 0,2 aumentado en 0,1?

3 . 0,2 + 0, 1 = _79_

d. ¿Cuál es el doble de 0,07 disminuido en __21 ?

31 2 . 0,07 – _21_ = – ___ 90

–1

14. Encuentren el error en la resolución de los siguientes cálculos, si es que lo hay. Luego, resuél vanlos correctamente. a. –0,3 2 + (0,5 + 0,3) . 5 = –( _31_ ) + 0,8 . 5 = 2

_________

____________

b.  2,5 + 0,2 .  2 . 0,7 + 0,22 + 0,03 = ______ ______ 23 _2_ _7_ ___ 3 1 ___ ___  9 + 9 .  5 + 25 + 90 =

37 – __91 + 4 = ___ 9

En el segundo término, se toma 0,3 como 0,3 al resolver la sustracción.

3 61 ___ 1,6 . _65_ + ___ 90 = 30

El cálculo está resuelto correctamente.

15. Resuelvan. ________________

__ – 0,015 0,04 . 10 8  __________________ = a. 0, 2

9 ___

0,2 + 1,1 0, 4 . 3,5 _______ ________ + = 0, 6 0, 3

20 ___ 3

16

c. 

 0,027

=

6

10

b.

_______________ 0,24 + _35_ + 0,15 _________________ _______ 5

________________________ (0,7 + 0,3)5 . (2,7 : 10) . 0,1 –1 _________________________ d.  3

(2,9 : 7)3

343 ____ 90

=

3


16. Marquen las opciones correctas. ___

3 125 a. ( 0,6 .  ____ 8 + 0,1 ) : 1,75 =

32 X ___ 35

b. ( 1,6 + 0,1 )2 : _89_ =

7

9 + 0,2 + 0,3 2 = c. ________ _1_

32 X ___ 9

3,6125

_5_

37 X ___ 9

_4_

3

3 ________ 11 – ( 0,3 – 1 )0 = d.  0,20 . __ 5

0

_________

_7_ –

a.  2 – 1,992 + 3 14

– ___ 5

___

( 0,45 .  121 + 0,3 ) =

X – _1_ 3

99 X ___ 10

17. Resuelvan los siguientes cálculos combinados. 3

3

–0,33

99 – ___ 10

e. ( 0,35 + __91 ) : 0,05 + _32_ =

5

113 ___ 36

10 ___

14 ___

_8_

9 ___ 10

___

3 ____ 1 2 . _5_ + 0,3 –1 = e. 0,6 + 0,05 . [ (  ] 125 ) 9

2

173 ____ 288

______

3 0,008 = b. [ 2,02 – ( 0,2 – 0,17 + 1,3 – 2 ) ] : 

0, 18 . 1,1 f. _________ 2 + 0,1 = _3_

40 ___

9 ___

3

( 2 + 2,5 )

80

____ __ 1 ___ 81 +

c.  

_____________________ 1 0,6 + 0,32 + __ 6 : 0,02 _______________________ 53 0,23 + ___

(

218 – ____

=

30

_7_

3

2

_________________ _________ 0,03 –1 d.  1,4 + 0,04 +  ( 1,5 – 1,2 ) : ( 1 – __31 ) – _____ 0,5 =

( )

113 – ___ 10

)

g. 

( 0,2 – 1,03 ) : 0,0 1 =

_______ 1 . [0,9 – (0,03 + 0, 1)] 0,04 . __ 4 _____________ __________________________ –1 3 0,14 – __1 . 0,03

h. 

77 _____

( 

2

)

=

1 800

17

INTEGRACIÓN 18. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas. Todo número...

a. ¿Cuántos números naturales, incluido el cero, se encuentran en el intervalo (–2;4]? ¿Y números enteros? 5 números naturales. 6 números enteros. b. ¿Cuántos números reales se encuentran en el intervalo [–2;–1]? Hay infinitos números reales.

a. ... natural es un número entero. V b. ... entero es un número natural. F c. ... real es un número natural. F

23. Escriban el intervalo indicado en cada caso.

d. ... irracional es un número real. V e. ... irracional es un número racional. F

19. Hallen el valor de x en cada caso e indiquen a qué conjunto numérico pertenece la solución. a. c. Perímetro = x 1 cm __

x

7 cm

2,3 cm 79 , , . P = ___

3

15

5 cm

x =

b.

___  74

cm,

x

y .

d. Área = x

siguientes intervalos. a. [2;3) x ∈ ∧ –2 ≤ x < 3 b. (–∞; –5] ∪ (7; +∞ ) x ∈ ∧ x ≤ –5 ∨ x > 7 c. [–2; +∞ ) x ∈ ∧ x ≥ –2 –∞;–1] ∪ [2;+∞ ) x ∈ ∧ x ≤ –1 ∨ x ≥ 2 d. (

5 cm 4 cm __  2

cm

A=5

__ .  2 ,

Recta numérica a cargo del alumno. y .

20. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según pertenece ( ∈ ) o no ( ∉ ) al intervalo. a. 2 ∈ (2;5]

F

d. 5 ∉ (2;5)

b. 2 ∈ [2;5]

V

e. 0 ∈ (–5;–1) F

c. 5 ∉ (2;5]

F

f. –3 ∈ [–3;2]

V

V

21. Representen los siguientes intervalos en la recta numérica. a. x ∈ ∧ –3 < x < 5 b. x ∈ x ≤ –1 ∧ x > __51 c. x ∈ ∧ __31 < x ≤ _72_ d. x ∈ ∧ x ≥ 5 Solución a cargo del alumno.

18

Luego, represéntenlo en la recta numérica. a. Todos los números reales mayores o iguales que 5. [5;+∞ ) b. Todos los números reales mayores que 3 y menores o iguales que 8. (3;8] los números reales menores o iguales c. Todos ___ ___ 3 3 34 ] que  34 . (–∞;  d. Todos los números reales mayores que – __21 y menores que 3. ( – _21_;3 ) e. Todos los números reales mayores o iguales que – _75_ y menores o iguales que 0 [– _75_; 0 ] f. Todos los números reales mayores que 0. (0;+∞ )

24. Representen de dos maneras distintas los

3 cm

x = 5 cm, , , , .

22. Respondan.

25. Escriban los intervalos representados en cada recta. a. ) b.

3

[ 5

(–∞;3) ∪ [5;+∞ )

( –3

) 5

(–3; 5)

( 1

(1; +∞ )

c. d.

[ –2

) 3

[–2; 3)

e.

] –4

[ 2

(–∞;–4] ∪ [2;+∞ )

f.

( –8

] –1

(–8; –1]

capítulo

CONTENIDOS

1 *2 *3

1

26. Escriban la expresión decimal de cada una

31. Lean atentamente, escriban el cálculo en

de las siguientes fracciones. Clasifíquenlas.

cada caso y resuelvan. a. El doble de la tercera parte de 15, aumenta23 do en la raíz cuadrada del doble de _98_. ___ 2 16 y las tres b. La diferencia entre un cuarto de ___ 9 131 quintas partes de 25. – ___ 9 c. La raíz cuadrada de la suma entre un quinto 36 y ___ 10 . 3 de cinco y el producto de ___ 5 9 d. El cociente entre el cuadrado de la diferencia entre un tercio y tres quintos, y cinco 8 medios elevado a menos uno. ___ 45 e. La raíz cúbica de la diferencia entre uno y siete octavos, disminuida en el doble de la raíz 17 cuadrada de 2,7. – ___ 6 f. La diferencia entre el cociente de la raíz cua81 y la raíz cuarta de ___ 81 , y el doble drada de ___ 16 16 de cinco cuartos. –1

a. _32_ = 1,5 E.D.F.

e. __91 = 0, 1 E.D.P.

7 b. ___ 28 = 0,25 E.D.F.

f. _59_ = 0, 5, E.D.P.

1 c. ___ 15 = 0,06, E.D.P.

12 = 2,4 E.D.F. g. ___ 5

3 d. ___ 16 = 0,1875, E.D.F.

15 1,6, E.D.P. h. ___ 9 =

27. Completen el siguiente cuadro realizando una aproximación por truncamiento. Número ε < 0,1 ε < 0,01 ε < 0,001 ε < 0,0001

__  6

1,345

__  7

_2_

3

3

1,3

2,4

0,6

1,9

1,34

2,44

0,66

1,91

1,345

2,449

0,666

1,912

1,3455

2,4494

0,6666

1,9129

28. Completen el siguiente cuadro realizando una aproximación por redondeo. Número 2,345 2,3 ε < 0,1 2,35 ε < 0,01 2,346 ε < 0,001 ε < 0,0001 1,3456

__  7

__ 3  3

_2_

2,6

9 0,2

2,65

0,22

1,44

2,646

0,222

1,442

2,6458

0,2222

1,4422

1,4

29. Calculen el error porcentual de cada una de las siguientes aproximaciones por redondeo con ε < 0,01. 113 0,03538 a. ___ 9 __ b.  5

0,1758

__

c.  7 0,1606 _5_

d. 7 0,6

__

e.  2 0,2979 _4_

f. 7

0,25

30. Aproximen por redondeo a los milésimos el 25 ___

25 ≅ 1,786 ___

número 14 e indiquen los errores. 14 a. εa b. εr c. ε% 25 1,786 – ___ 14 | | 25 a. |1,786 – ___ b. εr = __________ 25 14 | ___ 14 25 ___ 1,786 – 14 | . 100 c. ε% = |__________ 25 ___ 14

32. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas. 49 a. –3 . 3,2 + ( __51 – __31 ) = – ___ 5 ___ 9 5 30 b. ( _7_ . 0,25 – _7_ ) .  121 = – ___ 7 1 . _2_ c. ( 0,6 + 0,02 – ___ 20 2,2 ) : 1,4 = 5 17 d. 0,4 . 3,3 + 0,2 + 0,3 2 + 0,2 = ___ 9

e. ( 0,2 + 0,5 ) . 1,51 –1 + __31 + 0,7 : 1,5 = 4_3_ f. [ 11 – ( 0,5 : 0,1 + 3,3 + 0,2 ) ]2 = 9 1 . 11 ___ g. [ – _53_ . ( 0,5 – 0,2 + ___ 10 3,3 : 1,6 ) + 1 ] – 0,7 = – 18 1 h. ( –0,3 + 2 . 0,5 ) – ( 0,09 + 0,2 ) . ___ 29 + 0,1 = 0,8

29 i. [ 0,5 : 5,9 : ( 0,7 – 0,3 ) + 1 ] : ( – __21 ) = – ___ 12 ________________

27  ( 6,19 – 5,29 ) . 0,1 = – ___ j. ___________________ 11 0,07 – 0,13 . 9 + 1

k. l.

___

4 1 2 .  __ 16 + _58_ . 0,08 4 ____________________

[ ( )

0,26

]

= _41_

–0,2 + ( 1,3 – 0,3 ) : – ( __61 ) = –5 _____________________ 1,3 : 0,83 – 0,2 . _95_

19

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Módulo de un número real INFOACTIVA El módulo o valor absoluto de un número real es su distancia al cero sobre la recta real. Para todo número real x , su módulo se expresa: |x |.

{

∀ x ∈ : | x | = – x x

|3| = 3

si x ≥ 0 si x < 0

|–5| = –(–5)

–5

0

|–5| = 5

Propiedades del módulo

3

|3| = 3



|x| ≥ 0

|_23_| = _23_



|x| = |–x|

|4,03| = |–4,03| = –(–4,03) = 4,03

|247| = |–247| = –(–247) = 247

|x + y| ≤ |x| + |y|

|3,2 + 5| ≤ |3,2| + |5| |8,2| ≤ 3,2 + 5 8,2 ≤ 8,2

|8,9 + (–6)| ≤ |8,9| + |–6| |2,9| ≤ 8,9 + 6 2,9 ≤ 14,6

|x . y| = |x| . |y|

|4 . (–3)| = |4| . |–3| |–12| = 4 . 3 12 = 12

|–2,4 . 1,95| = |–2,4| . |1,95| |–4,68| = 2,4 . 1,95 4,68 = 4,68





|0| = 0

|–15,7| = 15,7

Para entender mejor las propiedades que siguen, se representan los siguientes intervalos reales. x < –a 

–a )(

0 –a < x < a 0

|x| > a

|x| > 8 ∧ 8 > 0 ⇒ x > 8 ∨ x < –8 ⇒ x ∈ (–∞;–8) ∪ (8;+∞)

a (

|x| ≥ 4,1 ∧ 4,1 > 0 ⇒ x ≥ 4,1 ∨ x ≤ –4,1 ⇒ x ∈ (–∞;–4,1] ∪ [4,1;+∞)

|x| < a ∧ a > 0 ⇒ –a < x < a ⇒ x ∈ (–a;a) –a (

|x| < 3 ∧ 3 > 0 ⇒ –3 < x < 3 ⇒ x ∈ (–3;3) 20

x > a

|x| > a ∧ a > 0 ⇒ x > a ∨ x < –a ⇒ x ∈ (–∞;–a) ∪ (a;+∞ ) –a )



a )(

0

|x| < a

a )

|x| ≤ _25_ ∧ _25_ > 0 ⇒ – _25_ ≤ x ≤ _25_ _;_2_ ⇒ x ∈ – _2 55

[

]

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Dos números opuestos ¿tienen el mismo módulo? b. ¿Cuál es el signo del valor del módulo del cociente entre un número positivo y otro negativo? a. Sí, porque ambos se ubican a la misma distancia del cero en la recta numérica. b. El resultado es positivo.

4

ACTIVIDADES Módulo de un número real

33. Calculen los siguientes módulos. a. |–3| = 3

d. |–a| = a, si a > 0

g. |3 . (–2)| = 6

b. |–20| = 20

e. |3 – 5| = 2

h. |–12 : 6| = 2

c. |a| = a, si a > 0

f. |5 + 7| = 12

i. |3 . (–5) – 8| = 23

34. Completen con <, > o =, según corresponda. a. |–45| = |45|

c. |a + 3|

b. –3

d. |–2 + 5|

|3|

<

e. |x| . |–2|

|a| + |3|

< <

>

|x| . (–2)

f. |5 . (–3)| = |5| . |–3|

|–2| + |5|

35. Escriban el conjunto solución. a. |x| = 3

c. |x|  2

e. |x| > 2,3

S = {–3;3}

[–2;2]

( –∞;– _73_ ) ∪ ( _73_;+∞ )

b. |x| = –5

d. |x|  3

f. |x| < 0, 1

Absurdo.

(–∞;–3] ∪ [3;+∞ )

36. Resuelvan los siguientes _______ cálculos. a. | –3 + _9_

1 __ 3 : 0,6

|

3

– _91_;_91_

(

______ 3 0,008 ____ – | –2,3 + 2,5 |  ___________________

c.

+  | –0,125 | =

0

2

__

1 – 0,2 b. |–3 + 0,2| – | –  __41 | – ______ =

d.

0, 2

13 – ___

|_____________ 1,5 – 1,2 – 3 |

4

10

|  0,64 – 3 |

0, 6

)

=

=

37. Representen sobre la recta numérica los conjuntos de números que se indican a continuación. a. |x| = _35_ b. |x| ≥ a

x ]

g. |x| > 2 ∨ x = 0

4

)

–2

0

) –7

f. |x| < 4 ∧ x > 9

[ a

–a

c. |x| ≤ 4 ∧ x ≥ 4 d. |x| > 2 ∧ x < 3

e. x < 0 ∧ |x| > 7

x

( 2

) 3

h. |x| < 6 ∨ x = 2

ø

) –2 ( –6

0

( 2 ) 6 21

5

4

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Ecuaciones INFOACTIVA Una identidad es una igualdad que se verifica para cualquier valor de la/s variable/s. h + h = 2h m+n=n+m cn + dn = (c + d) . n 3,5x + 2 – x + 0,4 = –0,6x + 1,3 Una ecuación es una igualdad que se verifica para uno, algunos o ningún valor de la/s variable/s. x+3=0 8 – 2x = 0 x+5=x–2 a + 2b + c = 0 9 + x = 4 – 2 x2 – 8

Resolver una ecuación es encontrar, si existen, el o los valores de las variables que verifican la igualdad planteada. Dichos valores determinan el conjunto solución de la ecuación. Una ecuación de primer grado o lineal es aquella cuya forma general es: ax + b = 0, siendo a y b números reales y a ≠ 0.

–6 . ( x – _13_ ) = ( –_45_ x + 2 ) : _12_

3x – 2 + 2 . ( _13_ x + _14_ ) = x – _43_ . (x – 4)

–6x + 2 = –_85_ x + 4

3x – 2 + _23_ x + _12_ = x – _43_ x + 4

–6x + _85_ x = 4 – 2

11 x – _3_ = –_1_ x + 4 ___ 3

22 x = 2 –___ 5 5 x = – ___ 11

3 11 4x = ___ 2 11 x = ___ 8 2

Ecuaciones con módulo Para resolver ecuaciones lineales en las que aparecen módulos que incluyen la incógnita, se deben tener presentes tanto la definición de este concepto como sus propiedades. Se elimina el módulo, aplicando la definición. |x + 5| = 8 ∨ x + 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ –5 x + 5 < 0 ⇒ x < –5 ∨ x+5=8 ⇒x=3 –x – 5 = 8 ⇒ x = –10

[ –5

0

3

) –5

–10

0

Solución = {–10; 3} 2 . |2 – 3x| + 5 = x + 9

Se elimina el módulo, aplicando la definición.

2 – 3x ≥ 0 ⇒ x ≤ _23_

∨

2 – 3x < 0 ⇒ x > _23_

2 . (2 – 3x) + 5 = x + 9

∨

2 . (–2 + 3x) + 5 = x + 9

4 – 6x + 5 = x + 9

–4 + 6x + 5 = x + 9

–7x = 0

5x = 8

x=0

x = _85_

]

0

2__ 3

(

1

0

Solución = {0; 8} 22

2__ 3

1

8__ 5

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿La solución de la ecuación –3x = 15 es x = 18? b. ¿Es cierto que en |x – 5| = –2 el valor de x es igual a 3? a. No, es –5. b. No, porque el módulo de un número real es siempre positivo.

5

ACTIVIDADES Ecuaciones

38. Marquen las opciones correctas. a. ¿Cuáles ecuaciones tienen infinitas soluciones? X 7a + 2a = 9a 7a + 2a = 9 7 + 2a = 9a

7 + 2a = 9

b. ¿Cuáles ecuaciones tienen solución única? X b . _21_ = b + 0,6 8 – |x| = |x|

2a – b = –b + 2a

|a| + 2 = 5

c. ¿Cuáles ecuaciones no tienen solución? X x – 0,2 = x + __1 x + 5 = 1,7 – x 5

–x + _37_ = 2x + 1

2 . (x – 4) = x – 4

39. Resuelvan las siguientes ecuaciones. a. _53_ x + 8,2 = 10 – _56_ x

5 . _3_ d. 2,4 . ( – __ 11 + 3x ) = 1,5 ( – 7 x + 1 ) 1

b. 2,6 + 5,2 = –x + _78_ x 944

e. x – ( 2x + 0,32 ) – 3x = _91_ + 9x 1

c. 1,8 + 0,3x – __31 = –0,7x 7

0,3x – 0,3 . 7 _________ x = (–13) f. –0,4 . ( 2,8 – 0,4 ) + ___ 15 –15

18 x = ___ 25

x = – ____ 15

x = – __ 5

x = _3_

– ___ 30

10 x = ___

(

)

3

40. Resuelvan las siguientes ecuaciones con módulos. a. | x + 5 | = 2,5 x = –2,5; x = –7,5

b. | 2x – 1 | = 0,5

x = _79_; x = _29_

_ c. 0,25 . | –3x + 4 | = _74 x

x = _52_

d. 2 . | __21 x – 0,25 | = 2x – _34_ 5 x = ___ 12

41. Planteen las ecuaciones y resuelvan. a. El quíntuplo del módulo del siguiente del tercio de un número es igual a dos. 5.

21 | _31_x + 1 | = 2; x = – _95_; x = – ___ 5

b. La cuarta parte de la suma entre un número y su anterior es igual al siguiente de su triple.

1 . (x + x – 1) = 3x + 1; x = – _1_ __ 4

2

23

6

5

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Inecuaciones INFOACTIVA Las desigualdades que contienen variables se llaman inecuaciones. Resolver una inecuación es encontrar todos los valores de la incógnita que la verifican, y el conjunto solución es un intervalo real o el conjunto vacío. Una inecuación se resuelve como una ecuación, salvo en el caso en que se divida o se multiplique a ambos miembros por un número negativo, lo que invierte el sentido de la desigualdad.

– _25_ x ≤ –4

–5x > 7

–5x : (–5) < 7 : (–5) – _25_ x : ( – _25_ ) ≥ –4 : ( – _25_ ) x < – _75_ x ≥ 10 S = ( –∞;– _75_ )

–2x < 9

– _34_ x ≥ –2

–2x : (–2) > 9 : (–2)

– _34_ x : ( – _34_ ) ≤ –2 : ( – _34_ )

x > – _92_

x ≤ _83_

S = ( – _92_;+∞ )

S = [10;+∞)

S = ( –∞;_83_ ]

Inecuaciones con módulo |3x – 5| < 4

Debe eliminarse el módulo, aplicando la definición.

3x – 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ _53_

∨

3x – 5 < 0 ⇒ x < _53_

3x – 5 < 4 ⇒ x < 3

∨

–3x + 5 < 4 ⇒ x > _13_

x ≥ _53_ ∧ x < 3 ⇒ _53_ ≤ x < 3 [ 0

_5_

1

3

[ _53_;3 )

) 3

2

x < _53_ ∧ x > _13_ ⇒ _13_ < x < _53_ (

0 _31

( _13_;_53_ )

)

_5_

1

3

3

2

La solución es la unión de los intervalos: S = ( _13_;_53_ ) ∪ [ _53_;3 ) = ( _13_;3 ) (

0 _31

4 . |x + 3| – 1 > 1 – x

1

) 3

2

Debe eliminarse el módulo, aplicando la definición.

x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ –3

∨

4 . (x + 3) – 1 > 1 – x

x + 3 < 0 ⇒ x < –3 4 . (–x – 3) – 1 > 1 – x

∨

4x + 12 – 1 > 1 – x

–6

–5

–4x – 12 – 1 > 1 – x

5x > –10 ⇒ x > –2

14 –3x > 14 ⇒ x < – ___ 3

x ≥ –3 ∧ x > –2 ⇒ x > –2

14 ⇒ x < – ___ 14 x < –3 ∧ x > – ___ 3 3

–4

[ –3

( –2

–1

( –2;+∞)

)

–6

14 –5 – __ 3 –4

) –3

–2

–1

14 ∪ ( –2;+∞ ) La solución es la unión de los intervalos: S = ( –∞;– ___ 3 ) )

–6

24

14 –5 – __ 3

–4

–3

( –2

–1

14 ( –∞;– ___ 3 )

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es cierto que la solución de la inecuación –5x ≤ 20 es x ≥ –4? b. ¿La inecuación |x – 3| < 4 tiene como solución todos valores que se encuentran entre –1 ≤ x ≤ 7? a. Sí, al pasar el –5 dividiendo cambia el sentido de la desigualdad. b. No, no se deben considerar los extremos.

6

ACTIVIDADES Inecuaciones

42. Marquen las opciones correctas. __ . (–4) ≤ –20 es: a. La solución de – x 5

(–∞;–25) X (–∞;–25]

b. La solución de |4x – 2| < 4 es:

[ __21 ;_32_ )

( – __21 ;_21_ )

X ( – __1 ;_3_ ) 2 2

c. La solución de 2 . |x – 6| > 4 es:

[4;8]

(8;+∞ )

(–∞;4)

(–25;+∞ )

[–25;+∞ )

( – __21 ;_32_ ] X (–∞;4) ∪ (8;+∞ )

43. Resuelvan las siguientes inecuaciones y escriban el conjunto solución. 5 a. 0,6x – __91 ≥ – ___ 18 1

[

5 d. –0,3 . ( __31 x – ___ 12 ) ≤ 0,3x

15 S = ___ 52 ;+∞

[

)

S = – __ 4 ;+∞

+ 8,4 _________ e. 4,1x ≤ 0,9 2x

_ b. _76_ x – 3,2 < _92 x

29 ;+∞ S = – ___ 30

(

)

)

S = –4;0 [ )

c. __21 x + 5,07 – x > 5,57 S = ( –∞;–1 )

_____ < 2,8 f. x –3x –1

26 ∪ ( 1;+∞ ) S = –∞; ___ 53

(

)

44. Resuelvan las siguientes inecuaciones con módulo y escriban el conjunto solución. a. 6 . |x – 2| ≤ 8x

c. 4 . (x + 1) < |x – 3| + 4x

S = _6_;+∞

S = (–∞;–1) ∪ (7;+∞ )

b. |–5| . |2x – 3| ≥ 10

d. 3 . |4x – 1| > 10x

[ 7 )

S = –∞;_1_ ∪ _5_;+∞

(

2 ] [ 2 )

3 ∪ _3_;+∞ S = ( –∞;___ 22 ) ( 2 )

45. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. a. El módulo del anterior del triple de un número es menor que el módulo de menos cinco. |3x – 1| < |–5|; S = – _43_;2

( )

b. La tercera parte del siguiente de un número es mayor que la suma entre dicho número y su doble.

_1_ . (x + 1) ≥ x + 2x; S = –∞;_1_

3

(

8 )

25

INTEGRACIÓN 46. Calculen los siguientes módulos. a. |–15| = 15 b. |–29| = 29 c. |45| = 45 d. |–1 – 5| = 6

e. |–3 . 20| = 60 f. |10 : (–2)| = 5 g. |2 + 4 . 3| = 14 h. |12 : (–6) + 1| = 1

47. Respondan. La distancia de un número a cero es 5. ¿Cuáles son los números que cumplen con esa condición? –5 y 5

48. Escriban el conjunto de valores que verifican las siguientes igualdades. a. |x| = 23 S = {–23; 23}c. |x| = 0 S = {0} b. |x| = –4 Absurdo. d. |x| = 7 S = {–7; 7}

49. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. a. La tercera parte de la diferencia entre el doble de un número y su mitad es igual al doble del cuadrado de tres. ¿Cuál es ese número? b. El anterior de la mitad de un número es igual al doble del mismo. ¿Cuál es dicho número? c. La suma de dos números consecutivos es igual al triple del siguiente de dicho número. ¿Cuáles son esos números? d. La diferencia entre el triple de un número y su quinta parte, es igual al doble de seis quintos. Solución a cargo del alumno.

50. Resuelvan las ecuaciones.

13 x = ___ 70 + 3 + x __ = 2x _______ x = _25_ b. –2x 3 6 0,2x 3 5 + 1 ____ ______ x = ___ c. _2_ x + 0,3 = 3x 17 2 + 4 1 – 8x 2x +1 – 2 –10x ________ ______ x = – ___ d. 7______ 3 16 6 + 3 = e. 2,1 x + __41 x – 3 . ( _91_ x – _61_ ) = 6 –2 x x = – _41_

a. 0,7 . (x + 1) = 0,2 + 0,7

51. Escriban en lenguaje coloquial. a. 2 . (0,5 + x) = x + 1 _ – 1 = 5x – 2 b. __41 . ( _31 x ) c. |x + 5| : 2 = |–16|

d. 3 . __21 = 3 . | 2x – __21 | Solución a cargo del alumno.

26

52. Resuelvan las siguientes ecuaciones con módulo. a. |x| + 5 = 12

S = {–7;7}

b. |x| + 4 = 12

S = {–8;8}

c. –2 . |x| + 1 = –11

S = {–6;6}

e. |x + 4| = 2 1 . |x __

S = {–6;–2}

f. 3 + 1| = 2 S = {–7;5} g. 3 . |x – 3| + 1 = 7 S = {1;5}

d. 0,2 – |x| = 0 _1_ _1_ h. –2 . |x –1| – 3 = –15 S = {– 5 ; 5 } S = {–5;7} 53. Escriban el conjunto representado como ecuación o inecuación con módulo. a. |x| = 3 –3

3

b.

[ –5

] 5

|x| ≤ 5

c.

) –1

( 1

|x| > 1

54. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. a. El módulo de la diferencia entre un número y cinco es siete. ¿Cuál es dicho número? b. El doble del módulo de la suma de un número y cuatro es doce. ¿Cuál es dicho número? c. La tercera parte del módulo de la suma entre un número y uno es uno. ¿Cuál es dicho número? d. El triple del módulo de la suma entre siete y un número es nueve. ¿Cuál es dicho número? a. –2;12 b. –10;2 c. –4;2 d. –10;–4

55. Calculen todos los números que verifican las siguientes igualdades. d. _53_ + 0,2 – |x| = 1

a. |x| + 4 = 5

S = {–1;1}

b. _23_ . |x| – 2 = 3 15 ;___ 15 S = – ___ 5_ 2 2 _ c. 2 – |x| = 4

{

S=∅

}

S = – _89_;– _89_ e. |x + 4| = 3 S = {–7;–1} f. 2 + 3 . |x + 1| = _52_ S = – _76_;– _56_

{

}

{

}

56. Unan cada ecuación con su conjunto solución. a. |x – 4| = 2 b. |2x – 4| = 2 c. 2 . |x – 4| = 2 d. |x – 4| : 2 = 2

{0;8} {2;6} {3;5} {1;3}

capítulo

1

CONTENIDOS

4*5 *6

57. Escriban el conjunto solución de las siguientes inecuaciones. a. |x| > 3__ b. |x| ≤  7 c. |x + 1| > 2

d. |x – 2| < 4 e. 2 . |x – 3| ≥ 8 f. __31 . |x + 4| ≤ 2

61. Unan cada inecuación con su conjunto solución. a. 2 . (x – 1)3 < 16 b. –2 . (x – 1)3 > 16 c. [2 . (x + 1)]3 > 8 d. [–2 . (x + 1)]3 < –8

x x x x

> 2 < 3 > 0 > –1

Solución a cargo del alumno.

58. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. a. Una ecuación es una igualdad que se verifica para todos los valores de la variable. F

62. Marquen las opciones correctas. a. El doble del módulo del siguiente de un número es menor que su triple. X 2 . |x + 1| < 3x

b. Toda ecuación lineal es de la forma ax + b = 0. V

c. En la ecuación |2x – 7| = –3, el valor de d. El conjunto solución de una inecuación siempre es un intervalo real. F

e. Cuando se multiplican ambos miembros de una desigualdad por un número negativo, la desigualdad no cambia su sentido. F

59. Escriban la expresión con módulo que corresponde a cada representación. a.

) –3

( 3

|x| > 3

b.

[ 0

) 1 __ 3

|x| < _31_ ∧ x  0 |x| = 2 ∨ x > 4

d.







–2

2

4

[ –a

] a

|x| ≤ a

|2x| + 1 < 3x

b. El módulo del anterior de la mitad de un número es mayor que su doble.

F

x es 2.

c.

|2 . (x + 1)| < 3x

|2x + 1| < 3x

X

| __21 . (x – 1) | ≥ 2x | __21 x – 1 | ≥ 2x

1 . x __ |

– 1 | ≥ 2x 2 1. __ 2 x – 1 ≥ 2x

| |

63. Resuelvan las inecuaciones con módulo. 11 S = ( –∞;__ a. 5 + |3x – 4| ≤ 12 – 4x 7] 4 b. 3 – (2x – 8) + 5 > |–x – 4| . |–3| S = ( –28;_5_ ) S = (–∞;8) c. 2 . (2x – 6) < |3x – 7| + 3 d. 4 . |2x + 5| + 3 ≥ _21_ . (4x + 6) S = e. 6 + |2x + 3| – 4x > 5x + 1 S = ( –∞;_87_ ) f. |7x – 4| + 8 ≤ 2 . (x – 6) + 10 S = ∅ g. 2x + |2x + 3| ≥ –3 . (x + 2) S = [– _97_ ;+∞ ) S = (–2,6;–0,5) h. 7 . |x + 2| – 10 < 3x + 2 S = ( –∞;–2 ] i. 3 . |–x + 3| + 2x ≤ –2x + 7 _ + 10 S = [ –3;+∞ ) j. | __31 x – 5 | + 8 ≤ _23 x

64. Marquen las opciones correctas.

60. Escriban en lenguaje simbólico y obtengan el conjunto solución. a. La quinta parte del anterior de un número es mayor o igual que el doble de dicho número. b. El siguiente del triple de un número es menor que dicho número aumentado en dos novenos. c. El doble del módulo de la tercera parte de un número disminuido en nueve es menor que siete. a. _51_ . (x – 1) ≥ 2x; S = ( –∞;– _91_ b. 3x + 1 < x + 0,2; 7 . _1_ S = ( –∞;– ___ 18 ) c. 2 | 3 x – 9 | < 7; S = (16,5;37,5)

]

¿Cuál es el conjunto solución de… 1 . a. … ___ 12 |–5x + 2,6| > 0,16? 2 ( ___ 15;+∞ ) 14 ( –∞;___ 15 )

14 2 ___ X ( –∞;___ 15 ) ∪ 15 ;+∞ 14 2 ___ ___ 15 ; 15

(

(

)

)

b. … 2x + 2 – 5 . (x – 3) ≤ x – 8? X

25 ;+ [ ___ 4 ∞ ) 25;+∞ ( ___ ) 5

25 ( –∞;___ 4 ) 25 ( –∞;___ 4]

27

capítulo

1

AUTOEVALUACIÓN Marquen las opciones correctas 65. ¿Cuál es el intervalo que corresponde en cada caso? a. x ∈

∧ –2 < x < 2

(– ∞;–2) ∪ (2;+∞ )

b. x ∈

{–2;2}

Ninguna de las anteriores.

[–3;5)

(–∞;–3] ∪ [5;+∞ )


{–4;3}

(–4;+∞ )

∧ x < –3 ∨ x > 5

X (– ∞;–3) ∪ (5;+∞ )

c. x ∈

X (–2;2)

∧ x = –4 ∨ x > 3

(–4;3)

X Ninguna de las anteriores.

___

66. ¿Cuál es el error porcentual de  15 por redondeo con ε < 0,001? X a. 0,000429

b. 0,429

c. 0,000000429

67. ¿Cuál es el resultado de cada cálculo? a.

_________ __ 1____ . 0,20 3 8 .  100  ________________

(0,25 – 0,30) . 2,1

21 ___

2 X – ___ 21

2

X {–1;1}

b. 3 . |x| + 2 = 5 c. 5 + 2 . |x + 1| = 15

(–1;1) X {–6;4}

{4}

2 ___ 21

[–1;1] {–6}

68. ¿Cuál es la ecuación que corresponde a cada problema? a. La mitad del siguiente de un número es igual a su doble, aumentado en la tercera parte de 30. ¿Cuál es el número? 1 . 2x __ 2

+ 1 = 2x + __31 . 30

1 x __ 2

+ 1 = 2x + 3 . 30

19 X __1 . (x + 1) = 2x + __1 . 30 x = – ___ 3 2 3

b. El anterior de la tercera parte de un número es igual a la raíz cuadrada del producto entre dieciséis y el cuadrado del desconocido. 1 . (x __ 3

____

– 1) =  16 x2

____ X __1 . x – 1 =  16 x2 3

S=∅

1 x __

___

2 2 3 – 1 =  16 x

69. ¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación? |–2| . |__21 x – 0,3 |  1,3

a. (–∞;2]

28

b. [–0,6;+∞ )

X c. [–0,6;2]

d. (–∞;2] ∪ [–0,6;+∞ )

Números irracionales Contenidos 7. Propiedades de la

2

potenciación y la radicación. 8. Números irracionales. 9. Radicales. Adición y sustracción. 10. Multiplicación y división de radicales. 11. Operaciones combinadas. 12. Racionalización de denominadores. 13. Sucesiones. 14. Sucesiones aritméticas. 15. Sucesiones geométricas.

En la historia matemática hay una leyenda que ha atravesado los siglos: la del descubrimiento de los irracionales por parte de los pitagóricos. Se cuenta que Pitágoras, el célebre filósofo de la antigua Grecia, tenía la idea de que todo en el universo está basado en los números. Y los números eran, para él, enteros o fracciones de enteros. Sin embargo, uno de sus discípulos encontró una magnitud que no podía escribirse como fracción de enteros: esto era terrible, pues conmovía toda una visión del mundo. Y la magnitud en cuestión no era otra que la diagonal del cuadrado, cuyo cálculo procede de un teorema que lleva justamente el nombre de Pitágoras, aunque era conocido mil años antes por los babilonios. Si el lado del cuadrado mide 1, el cuadrado de su diagonal tiene que valer 12 + 1 2 = 2; de esta forma, la diagonal mide la raíz cuadrada de 2. Se cuenta que los pitagóricos, avergonzados, no quisieron revelar a nadie el secreto de su hallazgo; otra leyenda va más allá y afirma que a quien dio a conocer tal secreto lo arrojaron por la borda de un navío. No se cree que esto sea cierto aunque, de alguna forma, deja entrever que los pitagóricos se vieron un tanto “desbordados” por los acontecimientos.

1. Lean atentamente y resuelvan. los números racionales de los irracionales? a. ¿Cómo se diferencian __ b. Además de  2 , ¿qué otros números irracionales conocen? a. Porque los números irracionales no se pueden escribir como fracción de enteros. b. Por ejemplo, los más “famosos” son π, la constante e y el número de oro ( φ ).

o l u t í p a c

7

6

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Propiedades de la potenciación y la radicación INFOACTIVA Propiedades de la potenciación 

Potencia de exponente cero.

a0 = 1 ⇔ a ≠ 0



Potencia de exponente negativo.

1 a –n = __ an ⇔ a ≠ 0



Potencia de otra potencia.

n m (a ) = a n . m



Producto de potencias de igual base.

an . am = a n + m



Cociente de potencias de igual base.

a ___



Distributividad respecto de la multiplicación.

(a . b) n = a n . bn



Distributividad respecto de la división.

( _ba_ ) = __ b ⇔ b ≠ 0

n

n– m ⇔ a ≠ 0 a =a m

an

n

n

Propiedades de la radicación __

p __

n p La radicación se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario:  a = an

__  6 =

_1_ 2

6

__ _1_  5 = 5 3

4

3

__ 3

 x

=x

_3_ 4

__ 1 = x– _73_ __ x7

 3

Las propiedades de la radicación son análogas con las de la potenciación. 



___

n m __

Raíz de raíz.

  a n

Distributividad respecto de la multiplicación.

_____

 a . b __





Distributividad respecto de la división.

 b

Simplificación de índices.

 am

___ __ 3 3  5 =  5 6



___

___  = 72 = |7| = 7

Amplificación de índices. __ __ 2 .2 ____ 4 ___ 4  3 =  31 .2 =  32 =  9

30

n

4

___

 64

___

_1_

_a_

___

_1_

_1_

n __ a  __ ____ n

an ___

= ( b ) = n

_1_

bn

=

n

___ 4 4  = 3 = |3| = 3 ___

__

___

=

⇔ b ≠ 0

___

n:r m:r

 a

⇔ r ≠ 0 ∧ a > 0

___ ___ 5 2 4  3 =  3

10

__

5

n

n

n n = a ⇔ n es impar ∨  a = |a| ⇔ n es par

___

 32

 am

n __

n

 b

m:r ___

_m_

 81

__

a



_1_

n

= a n = a n:r = 10

n

4

_1_

m.n __

= (a . b) = a . b =  a .  b

___ ___ 6 =  2 =  23  a

 81

1 ____

n

4

Eliminación del radical.  49



n _a_

1 _1_ __

= ( am ) n = a n.m =

_m_

___ 5 5  = 2 =2 m.p ____

= a n = a n.p =

___ __ 5 .3 ____ 15 ___ 5 15  4 =  22 .3 =  26 =  64

3

___

 –8

n.p ____ m.p

 a

6

3

_____

=  (–2)3 = –2

⇔ p ≠ 0 ∧ a > 0

___

__

 x3

=

6 .4 3 .4

 x

=

24

___

 x12

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. _4_ ? a. ¿Es cierto que ( _34_ ) = ( –__ 3 ) 3 3 b. ¿Es correcto decir que  a = |a|? –2

2

a. No, la base de la segunda expresión debe ser positiva. b. No, esto ocurre si el índice y el exponente son pares.

7

ACTIVIDADES Propiedades de la potenciación y la radicación

1. Marquen las respuestas correctas. a. (ab) –5 : (ab) 2 . a = ____

____

b.  a4 b5 .  a2 b = __

__

_3_

3

a6 b6

a4 b3 _7_

_____

__

X a –6 b –7

X a2 b – 2

c.  a .  b . a2 : b4 = __

a –2 b –3

X a –3 b6

a –8 b –7

X a 3 b3

ab2 _9_

_7_

a2 b – 2

_5_

a –3 b – 6

a2 b2

_5_

d.  a .  b .  a . b . a –4 =

a –7 b –7

_9_

a2 b 2

1 __

a5 b6

1 __

a5 b – 6

2. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen las respuestas. a. 3 –2 = __91

V

d. 2 . 20 : 2 –3 = 2 3

b. ( 72 ) –3 = 7 6

F

c. 4 –3 : 4 –5 = 4 –8

F

F

g. (2a)5 = 2a5

6 5 e.   5 = 

V

3 25 = 53 h. 

V

5 5 9 = |9| f. 

V

_3_ – _3_ i. ( _25_ ) 2 = ( – _52_ )2

F

___ 3 __

__

__

___

3. Expresen como una única potencia aplicando las propiedades. a. 2 –5 . 2 : 2 –4 =

d. (ab)3 . (ab) –2 =

20

b. [ (–3)3 : (–3) –3 ] –2 =

(–3) –12

c. (5 . 4) : (5 . 4) =

5 4

2

3

2

–4 –1

__

__

ab

__

3 2 6 5 5 .  5 = e.  5 . 

____ ___ __ f.   64 .  2 =

52

__

_2_

__

__

g.  6 .  63 .  66 = ___

____

h.  ab :  a2 b = ___

22

F

i. (a –1 b)5 .  ab =

65 – _21_

a – _9_

11 __

a 2 b2

4. Identifiquen el error y resuelvan correctamente. 6 –3 = (210 (24 : 2 . 2 ) ) –3

9 –3 (2 ) = (2) –27

= 27

5. Resuelvan expresando con un índice común. __ a. b.

__ __ 3 5 .  3  _______ ______ 6

 9 . 125

__ 8 ___ 2_____ .  81  _______ 4

8

 1 296

3

6 __

=  5

__

=

_1_

 4 8

___

2

5 10 __ 4

c. 10 . =  3  3 .  3 __ __ 5 3  __ 2  __ _______

d.

__ __ 3 3__  2__  _______ 4 12  3  2

. .

=

12

_____

 33 . 23

31

8

7

8

10

11

12

13

14

15

16

17

Números irracionales INFOACTIVA Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como el cociente entre dos números enteros y tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Como ya se vio, las raíces no exactas de números racionales son números irracionales. Se denomina radical a la raíz indicada de un número o de una expresión, siempre que esta tenga solución real.

Representación en la recta numérica Cada número irracional tiene asociado un punto sobre la recta real. Para representar ese punto sobre la recta numérica, si el irracional es __ de la forma  a , se debe recurrir al teorema de Pitágoras: A 2 = B 2 + C 2

 Representación de

A

B c

__  2 .

Se determina sobre la recta un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos midan 1. El valor de ______ __ la hipotenusa es:  12 + 1 2 =  2

__

 2

0

__

1

 2

2

__

 Representación de  3 .

Se determina sobre la recta __ un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1 y  _______ 2 ,__respectivamente. __ El valor de la hipotenusa es:  (  2 )2 +1 2 =  3

__

 2

__

 3

0

__

1

 2

__

 3

2

__

 Representación de  5 . __

Se determina sobre la recta un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1 y 2, respectivamente. ______ __ El valor de la hipotenusa es:  12 + 2 2 =  5

 5

0

1

2

__

 5

3

De este modo se puede representar cualquier raíz cuadrada de un número natural, siempre que se elijan convenientemente los catetos del triángulo rectángulo.

32

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas.

__  6 ,

si uno de los catetos mide 1 cm, ¿cuánto a. En el triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide debe medir el otro cateto? b. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 1 cm y 4 cm, ¿la medida de la hipotenusa corresponde a un número racional o irracional? _____ __

a. El otro cateto debe medir  5 cm. b. Racional, se representa  9 cm = 3 cm.

8

ACTIVIDADES Números irracionales

6. Marquen las opciones correctas. a. Los números que son irracionales. __

__

X –  3

–  4

___ –2 

X π

b. Las operaciones cuyos resultados son números irracionales. X

__ ___  2 .  18

X

__  5

__

+1

__

__

–  9 + _21_

X –  2 +  3 __

__

__

7. Representen los números √6 ; √8 ; – √2 en la recta numérica.

__

 6

__

 2

__

 8

__

__

 6

–  2 –4

–3

–2

–1

0

__

1

 2

2

__

 8

3

4

5

8. Representen en la recta numérica los siguientes números, usando una escala de 1 cm. __ 3  ___

__

a. 2

d. –  2 + 2

__

b.  5 – 1

__

c. –2 .  3


__

__

e.  2 +  3

__

__

f. –2 .  5 +  2

33

9

8

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Radicales. Adición y sustracción INFOACTIVA Extracción de factores de un radical Existen factores, dentro de un radical, que pueden ser extraídos si el exponente de los mismos es mayor o a lo sumo igual que el índice de la raíz. Para ello deben aplicarse las propiedades de la potenciación y radicación. 3

_____

 16x8

3

______

3

________

3

__ 3 __

__

__ __ __ __

__

___

__

3

3

__

____

3 3 =  24x6x2 =  23 . 2x6x2 =  23 .  2 .  x6 .  x2 = 2 .  2 . x2 .  x2 = 2x2 . √2x2

_______

__________

___

__

__

3

____

__

6 5 2 6 4 2 6 4 3 2 3 2  63x yz =  3 . 7x yz z =  3 .  7 . x .  y .  z .  z = 3 .  7 . x .  y .z .  z = 3x z . √7yz _____ 4 ___ 4 ___ ___ ______ ___ 4 4 ____ 36 m5 =  34 .___ 3 729 m5 = 4 ___  32 . 4 m4 . 4 __ _ _ _________ m . √9m  m =  4 4 5 625 54





_____ 2

343a ______



b3

 5

_____

.a = 7_____  b3 = 3

2

___

__

__

a2  72 .__  7 .  ____________ __  b2 .  b

__

=

7 .  7 __. a _______ b .  b

__

7a . _7_ = ___ b b

√

Radicales semejantes Dos radicales son semejantes cuando tienen igual índice y el mismo radicando. 

Términos con radicales semejantes:

__ 5 –  3

__ 5 y  3;

__ 3 –2 .  2y

4

__ 3 .  2;

4

__

4

Términos con radicales no semejantes:



__

__

__

__

__

__

__

4 3 3 –  7 y  7 ; 5 .  3 y 7 .  2 ; –4 .  3 y 9 .  4.

3 .  x 3 y –8 .  x 3 .

Adición y sustracción de radicales Solo es posible sumar o restar términos que contienen radicales semejantes. __

__

__

__

__

__

__

6 .  3 + 4 .  3 –  3 = (6 + 4 – 1) .  3 = 9 . √3 __

__

__

__

__

__

5 .  6 – 9 .  2 + 3 .  6 + 4 .  2 = (5 + 3) .  6 + (–9 + 4) .  2 = 8 . √6 – 5 . √2

Existen casos en los cuales ciertos radicales son semejantes luego de llevarlos a su mínima expresión. ___ __ ___ __ ___ __ ___ ___ __ __ ____ 4 2 3 .  3 – 5 .  243 + 7 .  27 – 8 .  75 = 3 .  3 – 5 .  3 __ .  3 + 7 .  3 .  3 –__8 .  52 .  3 __ __

= 3 .  3 – 45 .  3 + 21 .  3 – 40 .  3 __ = (3 – 45 __+ 21 – 40) .  3 = –61 . √3

__

___

__

___

__

4

___

___

__

___

__

4 4 .  2 – 6 .  49 – 8 .  8 +  63 = 4 .  2 – 6 .  __ 72 – 8 .  22__ .  2 +  __32 .  7 __ = 4 .  __ 2 – 6 .  __ 7 – 8 . 2 .  2 + 3 .  __7 __ = 4 .  2 – 6 .  7 – 16  2 + 3__.  7 __ = (4 – 16) __.  2 + (–6 __ + 3) .  7 = –12 . √2 – 3 . √7

34

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las__respuestas. __ 3

3 a. ¿Es cierto que  28 = 4 .  4 ? ¿Por qué? __ __ 3 3 no son semejantes? b. ¿Por qué  3 y  __ ________ 3 3

3

__

3

__

3

__

3

__

__

3 4 . b. Porque para que a. Sí, al aplicar propiedades se obtiene  28 =  23 . 23 . 22 =  23 .  23 .  22 = 4 .  22 = 4 .  sean semejantes el índice y el radicando deben ser iguales.

9

ACTIVIDADES Radicales. Adición y sustracción

9. Extraigan los factores del radical. __ ___ a.  32

0,5

____

8a .  a

__

c.  64a3 = 3

____

________

7b3 .  7b2c

_______

3b .  3a3b3

3

d.  2 401b c = 4

f.  343 =

_____

3 0,125 = b. 

5

4

e.  234a3b7 =

3c _3_ c2 . ___

7  7 _________ _3_ ab2c2 4 8 12 4 _________ 81a b c g.  2 401c4 = 7 ___ ________ a _2_ ab . 5 ___ 6 8 5 _______ 3 32a b 3 3c  h.  729b3 c3 = ___ _________ 2a 5 9 10 23a2b4 .  ___ 128a b c __________ c = i.  9bc11 ___ _________ 8bc . 3 ___ a2c ____ 2 3 4 3 _________ 512a b c j.  125d5 = 5d  d2

4 .  2

=

___

_____ 27c5 ____

_____


__

3 ¿Cuáles de los siguientes radicales son semejantes a  2?

___

___

3 –2 a. 

__ 6 X d. 3 .  22

____

3 64 b. 5 . 

3 X c. –2 .  128

11. Resuelvan las siguientes sumas y restas. __ __ __ a. –3 .  5 – 7 .  5 + 2 .  5 __ __ __ b. 2 .  2 + 5 .  2 –  2 = __ __ __ c. –  3 +  3 – 5 .  3 = __ __ __

__

=

–8 .  5 __

6 .  2

__

–5 .  3

__

__ d. 2 .  b – 3 .  a – 2 .  b –  a = –4 .  a __

__

__

e. 5 .  a – 6 .  b –  b =

__

__

5 .  a – 7 .  b

las___siguientes sumas algebraicas. 12. Resuelvan __ __ a.  5 +  8 –  32 = __  5

__

___

___

b. 3 .  7 – 3 .  28 +  63 = 0

___

___

__

__

__

e.  54 +  12 –  6 = 2 .  6 + 2 .  3

___

__

____

1 1 1 __ ___ . ____ c. –4 .  __ 27 +  3 – 2  243 =

– _59_ . _31_ 

__

___

15 . _1_ – ___ 4  2

– 2 .  2

__

__

1 – 5 . ___ 1 1 __ __ d. –3 .  __ 2  32 +  8 =

___

__

__

f.  20 + 3 .  8 – 5 .  5 = __

__

–3 .  5 + 6 .  2

35

10

9

11

12

13

14

15

16

17

18

19

Multiplicación y división de radicales INFOACTIVA Para efectuar cualquier multiplicación o división de radicales, estos deben tener el mismo índice. La operatoria con radicales cumple con las siguientes propiedades. 

Propiedad distributiva de la multiplicación y división respecto de la suma y resta. a . (b ± c) = (b ± c) . a = ab ± ac (b ± c) : a = b : a ± c : a ___ __ __ 3 . 3 + 27   

(

__

__

___

__

___

__

) =  3 .  3 +  3 .  27 =  9 +  81 = 3 + 9 = 12

____ ___ __ ____ __ ___ __ ___ __ (  125 –  20 ) :  5 =  125 :  5 –  20 :  5 =  25 –  4 = 5 – 2 = 3 

Cuadrado de un binomio y diferencia de cuadrados. (a ± b)2 = a 2 ± 2ab + b2 (a + b) . (a – b) = a 2 – b 2 __

__

__

__

__

__

__

__

(  2 –  3 )2 = (  2 )2 – 2 .  2 .  3 + (  3 )2 = 2 – 2 .  6 + 3 = 5 – 2 .  6 ___

___

__

___

__

__

(  10 +  7 ) . (  10 –  7 ) = (  10 )2 – (  7 )2 = 10 – 7 = 3 Multiplicación y división de radicales de distinto índice Para que los índices de dos o más radicales sean iguales, se debe calcular el mcm de los índices de los radicales dados, obteniéndose así el mínimo común índice. 4

__

 a2 4

__

__

6 y  x

4 .3

___

mcm(4;6) = 12, ambos radicales deben tener índice 12. __

12

__

6 .2

___

12

__

6  a2 =  a2 .3 =  a6 y  x =  x1 .2 =  x2

Para multiplicar o dividir radicales de distinto índice , se los debe reducir a mínimo común índice y luego aplicar las propiedades recíprocas de las distributivas de la radicación respecto de la multiplicación y división. _

n 

a

__ .  b n

_

__ c . ... .  d n

n 

.

_ __ n ___ =  a . b . c . ... . d ∧ a =  _a_ con b ≠ 0 n

_________

__ 4 __

 a .  a 4

2

___

73 ____  ___ 6

 75

36

3

3 .4

___

2 .4 4 .3

____

=  a .  a

____ 4.3 3.3 7  _______ = 6 . 2 ____  75 . 2

=

12

3 .3

 710

__

8 12

__

12

6

___

=  55

_____

12

___

=  a .  a =  a . a =  a

___

79  ______ ___ 12

12

____

79 ___

__ _1_

= 710 =  7  12

12

9

b

 b

__ __ 2 .3 ____ 3 .2 ____ 6 ___ 6 ___ 6 _____ 3 1 .3 1 .2 =  53 .  52 =  53 . 52  5 .  5 =  5 .  5 3

n  __ n

8

9

__ 4 3 b  ____ __ 5

 b2

=

17

__ ______ 12 5 12 5 =  a . a = a .  a

4.5

12

____

b3 . 5  ____ _______ 5.4

 b2 . 4

=

___ 20 15  b _____ __ 20  b8

=

___ __ b15 = 20 ___ b7  8

 b 20

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. __ __ __ __

a. ¿Es cierto que (  2 –  3 )__2 =3 __(  2 )2 – (  3 )2? ____ 62 2 .__  5  . 5 _______ ____ es lo mismo b. ¿Es correcto decir que 6 __ que  7 ?

 7 da 5 – 2 .  6 y la segunda –1. b. No, porque si bien 6 es el índice común, a. No, la primera expresión resuelta no fue aplicada correctamente la propiedad en el radicando.

10

ACTIVIDADES Multiplicación y división de radicales

13. Resuelvan las siguientes operaciones. __

__

__

a.  3 . (  5 + 2 .  5 ) = ___

3 .  15

__

__

___

__

__

___

__

d. (  5 +  27 ) . (  5 –  27 ) = –22

____

___

__

b.  2 . (  32 –  128 ) =

e.__(  7 +  __8 ) :  3 =

–8

 3 + 2 .  3

_7_

c. (  7 –  3 )2 =

__

___

(a2 – b) .  b

14. Reduzcan a un índice común. 3

__ y  3

__

__

a.  3

__

f. (  a5 b –  ab3 ) :  a =

10 – 2 .  21

__

___

____

__

__

_2_

4

__

 36

4

6

3 2 5 y  5 b. 

__

 54

4

__

y  3

6

__

3

5

__

c.  a y  b

__

2

7

y  53

____

15

___

 a10

4

___

d.  a2 b3 y  5c

14

y

____

 a4 b6

15

___

 b12

y

14

____

 57 c7

15. Reduzcan a un índice común y resuelvan las siguientes multiplicaciones y___divisiones. ___ 3 ___ a.  2x .  2 x2

__

___ 4

=

____ x .  25 x 6

8 __

8

___

b.  x .  3 x2 .  x = x .  9x

___ 4 ____ 5 xy .  x3 y2 c. 

=

20

_____

x19 y14 

___

____

y 2 x3

5 12 ___

d.  4y :  8x y =



___ 5 __ e.  5x :  x4

5 x 

3

2

4

___

=

5 10 __ 3

______ ____ 9 8 7 5 f.  27 x2 y3 :  3y2 x =  3 y x 3

______

9

37

11

10

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Operaciones combinadas INFOACTIVA Para resolver un cálculo combinando con radicales, se deben seguir estos pasos, teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones y sus propiedades. __ __ __ __ __ __ ( ) 2 . 2 . 8 + 5 . 6 – 7 . 8 . 3=       __ __ __ __ _______

1. Se separa en términos. 2. Se resuelve cada término respetando la jerarquía de las operaciones.

 2 . 2 . 8

+ ___ 5 .  6 .  3___ – 7 .  8 .  3= ___ .  18 – 7 ._____  24 = ___  32 + 5 _____ 5 + 5___ .  2 . 32 –__7 .  3 . 2__3 = ___ __  2 __ ___ 2 .  __ 2=  2__  24 .  2 + 5__.  2 .   32 –__7 .  3 .  2 2 .  2 + 5 .__ 3 .  2 – 7__. 2 .  3 .  __ 2= 4 .  2 + 15 .  __ 2 – 14 .  __ 6= 19.  2 – 14 .  6 =

3. Se escriben los radicales en su mínima expresión. 4. Se resuelven las sumas y restas entre los radicales semejantes. _______ ___

__ __ 3  3 __ .  9 _______

____ 3 .4 ____ 1. 6 .  32 .4 – ____________  3 ____ 4 .3 1 .3  3 2 .6

Para repasar las operaciones con radicales pueden volver a las páginas 34 y 36.

__ __ __ 2 3 (    . 9 + 5 – 3 ) =

–  3 .  27 4  3 __ 3 ___ ___ ___ __ __ __ __ 4 3 3 2  3 __ .  32 –  __ ________ ( ) (       3 . 3 . 3 + 5 – 3 . 5 – 3 ) = 4  3 ____ ____ ____ __ __ __ __ 2 .6 1. 6 4 .3 3 .3 3 .4 2 .4 2 ( ) (      3 . 3 . 3 + 5 – 2 . 5 . 3 + 3 )2 =    ______ _________ ____ 36 . 3 8 – 12 6 9 8 ______  3 . 3 . 3 + 5 – 2 .  5 . 3 + 3 =



12

33

____

___ ___ 314 – 12 ___  323 – 2 .  15 + 8 =

 3 12

12

3

___ 11

 3

12

___

___

___

12

11

Si en el cálculo aparecen letras, o números y letras, se procede de la misma forma. _______ __ __ __  x ________  x2 .   3 3

__

6

x .  x5



____________

___ ___ ______ ___ ___ 3 3 . 2 ___ 2.2 2.3 1.3 6 3 .2 2 .2 2 6 x . x ______________    __ ___ +  9x :  3x = 2 . 3 1 .3 6 5 +  3 .x :  3x  x .  x ______ 3 6 _____ _________ 4 3 6 4 2 x . x ________   _____ = 6 + 3 .x : (3x) 3



 x3 . x5

= =

__ x7  __ ____ 6

18

 x8

6

____________

+  (34 : 3) . (x (x2 : x)

__ 18 7 x  ______ _____ 6

 x6 . x2 18

6

____

+  33 . x

__

____

6 3 x7 +   ____ _1_ . _______ __ 3 .x

= x

6.3

 x2 . 3

__ ____ 1 __ 6 3 18 1 x7 +  _ __ _ = . __ 3 . x = __ . 18√x

x

38

 x

6

___

– 3 .  3 – 2 .  15 + 8 = –2 . √3 – 2 . √15 + 8 11

x

____

6

+ √33 . x

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las__ respuestas. __ __

___ 2 .  10 ?

decir que  2 +  2 .  5 = a. ¿Es correcto_______ ___ _1_ _3_ __ __ b. El cálculo  3 .  27 , ¿puede expresarse como ( 3 + 3 2 ) 2?

_5_ __

4

__

a. No, para resolver se debe tener en cuenta la jerarquía de las operaciones. b. No, es 34 o  35 .

11

ACTIVIDADES Operaciones combinadas

16. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas. ____ ____ __ ___

6

56 + 5 .  35

___

____

___

____

___

___

___

4

__

__

2

__

4  3

__

__

__

__

__

__

__

m.  3 . (  5 – 2 .  3 ) + (5 .  3 +  5 ) .  5 = ___

2_ _3_ __ 3 . ___  5 + 4 .  5

6 .  15 – 1

__ ____ 5 .  512 ) :  23

=

– 28

____ __ n.  8 . (   242

44 – 8 ____

____

__

3 3 3 2977 –__ 2 .  29 189 ) : ( 3 .  2 ) = g. ( 5___.  3 11 _7_ . 3 __ 5 .  __ 2 – 2  2

___ ___ –  27 ) –  24

=

__ .  6

___

__

__

___

__ (   6

– 2 .  21 21 ) ) :  3 =

__

3 3 : 23 + 2 . ñ. –  10  (    10 + 5 .  7 ) = ____ __ 6 –3 .  5 + 5 .  392

___

__

4 4 4 486 + 2 .  96 ) : ( __21 .  3 ) = h. ( –5 . 

__

__

__

_9_ – __ __ _7_ . __ _5_

18 –  48 e. (   __ __ ) :  5 =

____

___

l.  2 .  8__– ( 7 .  5 – 2 .  3 ) : ( 4 .  3 ) =

4

–

__

__

2 .  12 – 3 .  18

___

__

8 .  2 – 15 ____

___

4

__

k. (   6 – 5 .  3 ) .  3 +  50 =

4 4 4 6 . (  32 –  243 ) = d.  ___ ___

– 22 .  2

6

__

__

3 3 3 .  77 + 2 .  49

f.

__

2 + 5 .  7 + 3 .  25

3 3 3 297 +  56 ) .  7= c. ( 

____ 1288 ( 3 .  12

__

__

4 .  33 – 9

___

__

3 j.  175 + (   2 + 3 .  2 ) .  2 =

27 ) ) = = b.  3 . (   176 –  27

__

_____

28 .  33 . 74 + 45

____

__

__

__

__

3 5 7 + 5 .  33 ) = i.  3 . ( 4 . 

a. (   448 +  125 ) .  7 =

__ __ __ o. –  2 .  3 :  3

+

___

__

__

–2 .  7

39

11


17. Expresen en lenguaje simbólico y luego resuelvan. a. El cuadrado de la suma entre la raíz cuadrada de quince y la raíz cuarta de cincuenta. ___

___

___

__

2 4 4 (   15 +  50 ) = 15 + 10 .  18 + 5 .  2

b. El cociente entre la diferencia de la raíz cuadrada de ocho y el triple de la raíz cuadrada de cuatro, y la raíz cuadrada de dos. __

__

__

__

(   8 – 3 .  4 ) :  2 = 2 – 3 .  2

c. El producto entre la suma del doble de la raíz cúbica de cinco y tres y su diferencia. __

___

__

3 3 3 ( 2 .  5 + 3 ) . ( 2 .  5 – 3 ) = 4 .  25 – 9

d. El cuadrado del producto entre la suma de la raíz cuadrada de siete y la raíz cuadrada de veintiuno, y la raíz cuadrada de tres. ___

__

__

__

2 [ (   7 +  21 ) .  3 ] = 84 + 42 .  3

e. El cubo de la diferencia entre el producto de la raíz cuadrada de tres y la raíz cuadrada de dos, y el triple de la raíz cuadrada de seis. __

__

__

__

3 (   3 .  2 – 3 .  6 ) = –48 .  6

18. Hallen el perímetro y el área de las figuras sombreadas. a.

b. __

 2

__

 3

__

__

__

+2

3 .  5

__

Perímetro Períme tro = 4 . (   2 +  3 ); Superficie = 5 + 4 .  3

40

__ 45 Perímetro Períme tro = 15 + 3 .  5 ; Superficie = ___ 2

11


19. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas. __ 4 ____ ______ ___   128 _________ +  2 .  32 – 2 3.___ = __ __ __ 64  4 3 4 –  2 + 2 .  2 –  2

___ a.  72

___ –  98

____ 3 _____ __ __ .  2 401 – __ 343_____ 2  ____________ 7 . 7 (  7 ) +    6

b. ( 3 – __

__  2 401

+ ( 1 25 – 6___1_ . __ ___  3 6

– 2 ) =

6 9 – 4 .  7 + 49 .  7

c.

___ __ __ __  ________ ( 2 + 5 .  3 ) . ( 1 –  3 ) – 274 __.  3

 9

___

2 .  21 – 3

d.

__ (   2

__ __ –  6 )2 – (   6

__

1 +  3 e. _______

__ __ 2 + (   3 +  7 ) =

+

____ __ 2  675___ _________ __  3 ) –  3

____

__ ________ __ 3 ____ __ __ –27 +  25 .   8 –  2 f.  2 .  __ _1_ .  __ –3 .  2 – __ 3 5

___ 1 . ___ 9 __

 324

__ –6 .  3

=

h. 2

___ (  10 __ .  5

–

__

__ __ –  2 ) . (  5

___ +  10

___

________ __  75___ –

.

 5  27

_______ __  2 __ . ________ __ 1 __ –

g. 3  25__ + 2 – 3   _1_ __

___

=

3

5 – 9 .  2

__ .  24 162____ __________ +  2 )2 + 

.  12

 2

+  3

__ __ +  2 ) – (  2

__ ___  8 .  16

__ –  5 )2 –

4

__

4 .  23 =

=

__

6 ___ __ 5 .  =  3

–9

20. Relacionen una expresión de la primera columna con la correspondiente de la segunda. _____ 2 a. (   a – 1 + 1 ) =



a – 2

2 b. (   a – 1 – 1 ) =



a + 2 – 2 .  a + 1

2 c. (   a + 1 + 1 ) =



a

2 d. (   a + 1 – 1 ) =



a + 2 .  a – 1

e. (   a – 1 – 1 ) . (   a – 1 + 1 ) =



a + 2 + 2 .  a + 1

f. (   a + 1 – 1 ) . (   a + 1 + 1 ) =



a – 2 .  a – 1

_____

_____

_____

_____

_____

_____

_____

_____

_____

_____

_____

mente ACTIVA ___________ ______ __

¿Cuál es el resultado de  3 .  3 .  3 ? 8

__

 37

_7_ __

o 38

41

12

11

13

14

15

16

17

18

19 20 21

Racionalización de denominadores INFOACTIVA el denominador de una fracción es transformarlo en un número racional; por lo tanto, Racionalizar el siempre que en el mismo aparezcan radicales irracionales, se debe hallar una fracción equivalente a la dada con denominador racional.

Primer caso: en el denominador hay un único radical con índice igual a 2. Para racionalizar este tipo de expresiones, se debe amplificar por la misma raíz que tiene el denominador. denominador . __

1__ ___

1__ ___

 5

 5

__

5 1__ .  ___ __ = ___  5

=

 5

5  ____ ___

 52

__

√5 = ___ 5

Segundo caso: en el denominador hay un único radical con índice mayor que 2. Para racionalizar este tipo de expresiones, se debe amplificar por una raíz que tenga el mismo índice que la raíz del denominador, cuyo radicando tenga los mismos factores, pero con exponente igual a la diferencia entre el índice y el exponente dado. 5

5

5

 22

4 ______ ____ 4

 a3b2

 a3b2

5

 22  23

 22

4 _____ ____ 4

___

___

3 2 3_____ .  23 3 .  ____ ___ ___ = ______ = ____ 5 5 5

3 ____ ___

3 ____ ___

 22 .23

___ 4 4 ab2 _____  _____ ____ . 4 ___ 4

=

 a3b2  ab2

=

=

5

__

__

3 .  8 _____ ___ 5

 25

___ 4 4 . ab2  ________ _______ 4

 a3b2ab2

5

=

3 .√ 8 ______ 2

=

4 ____ .  ab2 _______ 4 4 4  a b

4

___

_ _ _ _

4

4 . √ab2 = ______ ab

Tercer caso: el denominador es una suma o resta de uno o dos radicales de índice 2. Para racionalizar este tipo de expresiones, se debe aplicar el producto de una suma de dos términos por su diferencia. (a + b) . (a – b) = a2 – b2 __

__

 3

+  5

__ 3 – __ 1  ______

3 ________ ________ __ 7 __ = ________ __ 7 __ .  __ __ +  5

 3

–  5

 3

= = = =

–  5

__ __ ( 7 . 3 + 5)   __________________ __ __ __ __ (  3 –  5 ) .(  3 +  5 __ __ ( 7 . 3 + 5)   ____________ __ __ 2 (  3 ) – (  5 )2 __ __ 7 . (  3 +  5 ) ____________

)

3–5

=

5 .  3 +  3 .  6__– 5 –  6 ______________________

5 –  6 5 +  6 __ __ (_______________  3 – 1 ) .( 5 +  6 ) __ __ = ( 5 –  6 ) .( 5 +  6 ) __

__

__

__

52 – (  6 )2

__ ___ __ 5 .  3 +  18 – 5 –  6  __________________ = __

__

__

19

__

__

_7_ . (  3 +  5 ) = – __ 2

__

__

3 . 2 – ___ 5 – ___ 5 . 3 + ___ 1 . 6 = ___ 19 √ 19 19 √ 19 √

__

_7_ . √3 – __ _7_ . √5 = – __ 2 2

42

=

5 .  3 + 3 .  2 – 5 –  6 = ____________________

–2

__

__

25 – 6

__ __ ( 7 . 3 + 5)   ___________

__

5 –  6

__

1 . _______  3 – __ 5 +  __ 6 _______

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas.___

a. ¿Es correcto decir que la expresión  x –1 (con x > 0) debe racionalizarse? ________ __ 1 __ ? b. ¿Cómo se racionaliza la expresión  2– 5

 __ __ 1__ . b. Se debe multiplicar el numerador ___ y el denominador por a. Sí, porque es   2 +  5 . x

12

ACTIVIDADES Racionalización de denominadores

21. Marquen las opciones correctas. ¿En cuáles de las siguientes expresiones no se racionaliza el denominador? __

a. (  2 ) –1

X b.

( ___21 ) __ 

x ___ __ c. _____ x

–1

1 ___ X d. ____  16

 

22. Unan con flechas cada expresión con la racionalización correspondiente. __  2 __ 3 _3_ .   4 2 __ _3_ .  2 

3 __ a. ____ 6 5 =



 4

3 = __ b. ____ 3  2

3__ = c. ___ 3

4

 4

23. Racionalicen__ las siguientes expresiones. 1__ = ___

a. 7 

7  ___

g.

7

1 ____ __ 3

5 .  3 – _____ 3

 3

12x ____ ___

c.  2x =

3a ____ ___ =

d. 3a 

e.

5b___ ______ 7 .  3b

__

8 .__  2 = h. ______

___  3a

i.

___

 2

3 _9_ .  4

2

4

__

8 .  2

  3

___

=

4 – _23_ .  27

__ 3  ___

_1_ + 3 7

6

k.

__

9__ = f. ___ 3

2__ –___ ______

j. 7 . 3 = 

= 21

25

4

__ 7 +  __3 _______

5 . 3b ___ 

___ 3 25  ____

 2

___

6 .  2x

=

 54

__

5__ = b. – ___

_3_ . 3 2

l.

7____ ________ 6 2 3 = 3 .  7 a

__  5 ______ ____ 5

 81b4

=

____

74a3  _____ 3a

________ 10  28 125 b2 __________

3b

43

12


24. Marquen las opciones correctas. ¿Cuál de las siguientes expresiones racionaliza a...

a. ...

__ 3  ___ __  5

__ 3  ___ __  3

?

__ 1 ? b. ... _______  2 + 1 __ ________ __  3 __

c. ... 2 + 7 ?  

_______ __ 1

X

 2 – 1 __ __ 2 –  __ 7  _________ __

 2

–  7

X

__ 3  ___ __  5 __ 2__ – 1  ______

__ 5  ___ __  3

 2 – 1 __ __ 2 +  __ 7  _________ __  2

a.

–  7

__

=

15 – 7 .  5



__

b. 5 + 2 =  __  __ _______ c. 55 –+ 25 = 

–5 – 3 .  5



__

3 .  5 – 5



__

__

5–5  __ d. _______

=  5 – 2

15 + 7 .  5



26. Racionalicen las siguientes expresiones. a.

_______ __ 1

 2

+3

=

__

10 –  __5 ________

e. 5 + 5 = 

__

_3_ .  __ – 4 4 5

11 __

3 –  2

–7 __ = b. _______ 5 –  3

35 – ___ 7 . __ – ___ 22 22  3

f.

_________ __ –3 __ =

 11

–  7 __ __ 3 – _4_ .  11 – _43_ .  7

__

__

_______ __  2

c. 2 – 5 = 

_________ __ –5 __

d. 10 – 3 =   ___ __ – _57_ .  10 – _57_ .  3

44

__

3 –  8__  _________ ___

g. 12 – 2 =   __

5 .  __ 2 – ___ – ___ 23 23 2

3. _1_ – ___ 5 10  6

__

h.

________ __ 1 __  2 –  7

________ __ 1 __  2 +  7

 2

25. Relacionen cada cálculo con su resultado. __ 5 +5  _______ __  5 + 2 __ 5 –5  __ _______

______ __ 1

__ 5  ___ __  5 __ 2__ + 1  ______

8 .  3 __ = _________

5 + 2 .  3 48 40 . __ ___ – ___ + 13 13  6

X +1

 2

+1

12


27. Racionalicen las siguientes operaciones. __

2__+  3 a. _______  3

–1

= 2

_________ __ –2 ___

2

__

b.

__ __ __ 7 + __ 2 .  3 _________ = 2 .  2 + _47_ .  6 + _27_ .  3 + 1 2 .  2 – 1

__

5__.  2 __ __________

d.

___ __ 2 +  ___ 16  _________ __  2 –  16

=

5

– _9_ – 7

__

3 – 1 __  ___ ____________

e. 2 . 27 – 2 =  

__ _4_ .  2

__ __ __ 18 –  2 – 6 .  3 +  6 ___________________

106

g.

__ 5  ___

= 2

+ _1_ 2

___

__________ __ 49  8 + 49  ___________ 3

7

__ 6  ___

__ 2  ___

= 2 + 2

=

a–1 _______ ______

___ ___ 10 +  35  _________

5

______

– 1) .  a3 + a ______________ = (a l. 3  a + a a3 + a

__

____

22 +  143 f. 2 . 11 – 13 = __________   31

_______ __ 5_______ +  5__  ________  5 –  5

=

________ __ __ 7 +  2   _________ ________ __ __   7 –  2

k.

7

__  ___________ __11 ___

1 ______ i. ________ 3 __   8 – 1

________ __ __ 6 + 2__    _________ __ j. ________   6 –  2

__

_3_ .  6 – _2_

c. 3 . 3 + 2 = 5  

__

.  5 – 2 .  2y ______________ h. 5 – 2y = –2 5 – 2y  

__

_3_ .  3 + _5_

m.

1______ –  a –1 __ =  a – 1

______

a2 + 2 + 5 1  __________ ______ = n. ___________ a2 – 23  a2 + 2 – 5

45

INTEGRACIÓN 28. Escriban la mínima expresión aplicando las propiedades. a. (5 –2 : 5 –5 )2 : 57 = 5 –1

__

___

__

e.  7 .  14 .  23 = 28 ____

____

5 2 7 (83 : 8 ) 7 –1 = 810 : b. (8 ) f.  c2d3 .  c8d2 = c2d

___

c. (a ) : (a . a ) = a –2 3 4

_b_

–2

–5 –2

b3 b –1 = __ __

4

d. ( c ) . ( c2 )

h.

c2

a14 ___

___

a4 = a g.  a21 :  __ a8 7

___ 3 __ 15  5  ________ ______

. = 15 1 . 5 –1 ___ 3

 3 6

29. Marquen las opciones correctas. ¿A cuál_2_ de las siguientes expresiones equivale ( ab )3 ? 3

___

 ab

33. Extraigan los__ factores fuera del radical. ______ ______ ____ ______ ____ 3 4 3xz . 3 ___ 27 x z ____ ______ 3 b.  2 187 = g. 256y5 = 4y 4yz 2 _____ _____ _______ ___ 8 5 _4_ y 4 4 5 _4_ x x __ ___ 5 . c.  3 125a = 5a .  5a h. 5 . xy6 = y  5 . x2 __ _____ ____ _____ 5 2 5 7 9 1 a ___ 2 ___ 4 _ _ . . d.  x y = xy .  x . y i.  9 a12 = 3a5  _2a_ ________ ____ ___ 2 10 2 3 4 4 ________ 3a2 ab a b = ___ a b ___ ___ ____ e.  c5d = c2 .  cd j.  243a 2 10 b2 3a b _____

3

2

__ .  3 3

a. 2 .  5 + 2 .  2

__  3

_____

 ab3

__

 (ab)

3

2 .  2

b.

30. Indiquen V (Verdadero) o F (Falso).

__ 6 .  3

__

__ +  6

2 .  3

__  3

Expliquen las respuestas. __

_5_ 5 a. b 3 =  b3 F

___  27

b. a . a . b = 2ab F __

_a_

__

__

c.  b =  a :  b

35. Resuelvan las siguientes sumas algebraicas. __ ___ ___ __

V

a. –  45 +  20 – 7 .  5 = –8 .  5 ___

___

___

__

d. ( b . b3 )3 = b 9 F

b.  48 – 5 .  12 +  27 = –3 .  3

e.  a2 = |a| V

c. –  54 +  24 – 3 .  2 . 3 = –4 .  6

__

f. b5 . b2 = b 10

___

____

F

31. Representen en la recta numérica. __ __ __ 7+2 a. –  __ b.  6 – __1 c. 3 +  2

.  5 – 3 .  3 d. 2__ e.  11__ f. –  11 + 2


32. Piensen y resuelvan. __

Para representar  2 en la recta numérica, se comienza por__2 catetos cuyas medidas son 1. Para__ representar  3 , por dos catetos que miden 1 y  2 ; __ y para representar  5 , por dos catetos que son 1 y 2. ¿Cuáles son las medidas de los __ catetos que debe___ ___ rían para___representar  11 ;___ ?  37 ;  56 ___ ___ __ considerar  11 ,

1 y  10

 37 ,

___

___

____

__

____

__

d. –  169 –  99 +  275 = –13 + 2 .  11 ___

46



34. Calculen el__perímetro de cada figura. __

_____

___

 3



3 X  (ab)2

2

3 3 2 x2 . y2 16 x2y5 = 2y .  f. 

a.  512 = 24 .  2

1y6

 56 ,

1 y  55

___

____

___

__

e.  52 – 2 .  117 +  578 = –4 .  13 + 17 .  2

___ __ __ ___ ____ 3 –2 . 7 – 7   f. –  56 –  175 +  112 = ___ __ 3 __ 3 __ 3 3 88 –  11 +  8 =  11 + 2 g.  ___ ___ ___ __ __ h.  98 –  112 –  28 =7 .  2 – 6 .  7 ___ ____ 1 3 __ __ 3 3 ___ 3 16 +  250 – _2_ .  2 = _23_ + _92_ .  i. 54 2 __ ___ ___ __ j. –  54 –  24 + _32_ .  6 = – _72_ .  6 3



__

__

36. Sabiendo que A = √ 3 + 5 y B = 2 . √ 3__ – 1. __ a. A + B = 3 .  3 + 4 b. 2A – B = 11__ c. –A + B =  3 – 6

d. 3A – 5B = –7 .  __3 + 20 e. –4A – B = –6 .  3 – 19__ f. –2A + 3B = –13 + 4 .  3

capítulo

2

CONTENIDOS

7*8*9*10*11*12

42. Racionalicen__las siguientes expresiones. ___ 4 2

de cada figura. 37. Calculen el área __ a.

14 __ = –2 .  7 a. – ___ 7

 3

__ __ 6 +  3  _______

7 = _______ 7 .  8 x ___ j. _____ 4 2 2x 2 x  __ ________ 2 .  y x x______ ___ . 4 32 . 53 x3 y _____ = 15  k. 4



__

_9_ 18 ____ ___ = .  2

b. 50 5  __

2

2 .  __3 = c. ______

__  2

 6 __ 3 5  __ ___

+1

d. 5 = 

b.

l.

__



__

38. Resuelvan los siguientes ___ cuadrados. __ __ __ 2

a. (  5__ –  8__ ) = 4 2 +  5___ b. (  ___ )2 = 3 15 )2 = c. (  12 – 

9 __ ___ = 3 .  6 f. ______ 8 .  6 16 6 = 3 __ ___ g. ____  9 3  24

2

d. (  21 __– 7 .  7 )___ = e. ( 2 .  __3 + 5 .  __15 )2 = 2 3 3 5 + 3 .  2 ) = f. ( 4 . 


__

39. Resuelvan teniendo __en cuenta que __A = √3 + 2, __

B = √3 + 5, C = 5 – √3 y D = 2 – √3 . a. (B – A) . C c. C . D + B : A e. (D – C) : A + B2 b. (B + C) : D

d. (B . C) – D

f. (A + B) : D – C

2


40. Resuelvan expresando como índice común. __

__

. y x __ = a.  xz ___ 3 __ .  y2 xy____ ________ = b.  6 5 9 x y  _____ ___ 4 2 5   ______

6

_____

____

3 5 2 3 x y z = d.  x5y9 :  __ 4 __ .  x = x5 __ _______ e. 

x__ __  3 7

x .__ x  ______ = f.  4 7

c.  (xyz) .  xyz =

x 


3 3 3 a.  ab .  2ab .  ab2 = ab .  2b 3

___

_____

___

b.  a3 .  ab2 .  a3b2c = a3b2 .  ac _____

______

___

______

5

_____

______

4 d.  a4c5 .  a2b7c4 :  a3bc2 = ab3 c2 .  a8 b6c17

______

e.

4

______

2b7c5 ab3___ c4 .  a___  _____________ 4

 a2b .  b5c

__

__

20

____

 abc

_____

f.

4

6 . a7b9  a3b5c____  _____________

__

__

4

____

= a3b4c2 .  b2c3 __

4 = ab2 c4 .  b

3 _______ 12 10 2 –3 a __.  b .  c __ .  a = c –1 .  _____________ a bc g.  __ 3 4  b .  c .  c3

2

6

________

__

.  x2 5 – 5_____ ____ __ i. – 6 4 = x x 

 9a3 b7 c2

43. Unan cada expresión con su resultado. a.

__ 2__ + 7  _______ 2 +3  __

=



2__ + 7 = b.  _______  __2 – 3 2__ – 7 _______ = c.  2 +3



 __ 2__ – 7  _______

__ _4_ .  2 + 7 7 19 _4_ . __ ___ 7 – 7  2

19 ___



23 – ___ 10 . __ – ___ 7 7  2



23 + ___ 10 . 2 – ___ 7 7 

__

d. 2 – 3 = 

44. Marquen las opciones correctas. ¿Cuál__ de las siguientes expresiones racionaliza __ –1 a (  5 –  11 ) ? __ __ 5__ –  11  _________ __  5 –  11 __ __ 5__ –  11  _________ __

b. 5 + 11  

X c.

__ __ 5__ +  11  _________ __  5 +  11 __ __ 5__ +  11  _________ __

d. 5 – 11  

45. Traduzcan al lenguaje simbólico y racionali__

c.  a2b5c3 .  ab2c4 :  ab = ab3c3 .  c ____

 4

a.

las siguientes___ operaciones. 41. Resuelvan ___ ____ ___ __

h.

__

5 7__ = _7_ .  ___ 8 5

8

4

36 a7 b3 c6  ab _________ _________ _______ =  8

3abc 10 + _5_ .  ___ 5 ___ ___ = m. ________ 3 6 10 4 –  10 __ 6a a  ________ ________ __ n.  a – 6a = 1 a– +36a ___ __ 3 . 35 – 5 5   __________ _________ o. 3 . __7 + __5 = 58   __ __ 5__ –  6__ –1 = p.  ________  6 –  5 __ 2 .  2 _________ _______ __ __ q. – __ __ = _______   5 +  7 –2 .   7 –  5 4 x2 + ___ x = r. – ________ 4 __ x +___   2x __ __ 4 (  2x –  x ) . (  x + 2x )

__ 6  5

7 = – _7_ . 3 ___ e. – ____ 9  27

__  6

3

 45xy ___

__  2

cen las expresiones obtenidas. a. El cociente entre la raíz cúbica de tres y la suma de la raíz cuadrada de trece y tres. b. La razón entre el cuadrado de la raíz cuarta de dos y la raíz cuadrada de sesenta y tres. c. El cociente entre la diferencia de la raíz cuadrada de ciento sesenta y la raíz cuadrada de doscientos cincuenta, y la raíz cuadrada de cinco. d. El inverso de la suma entre el triple de la raíz cuadrada de 7 y__la raíz____ cuadrada ____ de 54. __ 4 2 3 ___ 160 – __  250 d. ( 3 . __ 2 c.  –1  3 ____ ___________ ___ ___ a. ________ b.   7 +  54 ) 5 13 + 3 63   

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Sucesiones ¿Para qué sir ve? PÁGINA 4

INFOACTIVA

Una sucesión es un conjunto ordenado de números, uno a continuación del otro.

N = {1; 2; 3; 4; 5; 6; ... }

El conjunto de los números naturales es una sucesión de infinitos elementos.

Se denomina término a cada uno de los elementos de la sucesión.

1; a1

4; a2

9; a3

16; a4

25; a5

36; ... a6

; n2 an

En algunas sucesiones se puede encontrar un término general an (término enésimo) que es la fórmula de un término cualquiera en función del lugar que ocupa.

En la sucesión 1; 4; 9; 16; 25; 36; ..., el término general de la sucesión es a n = n 2. Si se conoce el término general, se puede hallar la sucesión o cualquier término de la misma, reemplazando en forma consecutiva los números naturales en el valor n del término general.

Si el término general de una sucesión es an = _n1_, entonces la sucesión será: 1; _12_; _13_; _14_; _15_; _16_; ...; _1n_ Por lo tanto, una sucesión es una función que le asigna a todo número natural un número real. f: →

Sucesiones aritméticas Se denomina sucesión aritmética a aquella en la cual cada término de la misma se obtiene sumando al anterior un número constante r llamado razón aritmética.

6;

12; 6+6

18; 12 + 6

24; 18 + 6

30; ...

Sucesión aritmética con r = 6.

24 + 6

Para que una sucesión sea aritmética, debe verificarse que: a 2 – a1 = a3 – a2 = ... = an – an – 1 = r

Sucesiones geométricas Se denomina sucesión geométrica a aquella en la cual cada término de la misma se obtiene multiplicando el anterior por un número constante q llamado razón geométrica.

2;

–4;

2 . (–2)

8;

–4 . (–2)

–16; 8 . (–2)

32; ...

Sucesión geométrica con q = –2.

–16 . (–2)

a

a

a

3 n 2 __ ____ Para que una sucesión sea geométrica, debe verificarse que: __ a1 = a2 = ... = an – 1 = q ⇔ q ≠ 0

48

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En una sucesión aritmética, ¿cada término es mayor que el anterior? b. En una sucesión geométrica, el cociente entre un término y su anterior ¿es siempre el mismo? a. No siempre. Si la razón es un número negativo, el anterior será mayor. b. Sí, es la condición de sucesión geométrica.

13

ACTIVIDADES Sucesiones

46. Escriban los cinco primeros términos de cada una de las sucesiones, a partir del término general. c. an = _23_ n + 1

a. an = 3n + 2

13 ; ... 11 ; ___ _5_; _7_; 3; __

5; 8; 11; 14; 17; ...

3 3

3 3

b. an = 2 . (n – 1)

d. a n = 2n2 – 1

0; 2; 4; 6; 8; ...

1; 7; 17; 31; 49; ...

47. Escriban los siguientes tres términos en cada sucesión. 13; 15; 17; ...

a. 5; 7; 9; 11; 75 ___ ;

b. 300; 150; 75; 2

75 ; ___ 75 ; ___ 75 ; ... ___ 4

8 16

c. 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; ... d. 2;

__ 2.  3 ; 3

__ 2 .  9 ; 3

__

6;

__

3 3 6 .  3 ; 6 .  9 ; 18; ...

48. Rodeen con color el término general de cada sucesión. a. –1; 1; 3; 5…

2n – 3

n+1

3n – 2

b. – __31 ; __31 ; 1; _53_…

_2_ n

– __31 n

_2_ n

3

+1

3

–1

49. Indiquen si las siguientes sucesiones son aritméticas o geométricas y calculen la razón. 7 e. 7; – _72_; _74_; – _78_; ___ 16 ; ...

a. 7; 9; 11; 13; 15; ...

1 Geométrica, razón –__ 2.

Aritmética, razón 2.

b. 8; –24; 72; –216; 648; ... Geométrica, razón –3.

17; – ___ 23 ; ... 11 ; – ___ f. __21 ; – _52_; – __ 2 2 2

Aritmética, razón –3.

c. 8; 3; –2; –7; –12; ...

g. 6; –6; 6; –6; ...


Geométrica, razón –1.

__

__

__

d.  2 ; 2; 2 .  2 ; 4; 4 .  2 ; ...

h. 9; 6; 3; 0; –3; –6; ...

Geométrica,


__ razón  2 .

50. Propongan un ejemplo del término general de acuerdo con el tipo de sucesión indicada y escriban los tres primeros términos en cada caso. a. Sucesión aritmética. La solución no es única, por ejemplo n + 4. Los tres primeros términos son 5; 6; 7.

b. Sucesión geométrica. La solución no es única, por ejemplo n . (–3). Los tres primeros términos son –5; –10; –15.

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Sucesiones aritméticas INFOACTIVA En una sucesión aritmética cada término se obtiene sumándole al anterior un valor constante r .

a1 = a1 + 0r a2 = a1 + 1r a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = a1 + r + r + r = a1 + 3r an = an – 1 + r = a1 + r + r + ... + r = a1 + (n – 1) . r

El término general an es: an = a1 + (n – 1) . r

n – 1 veces

Para calcular un término determinado de una sucesión aritmética conociendo dos términos consecutivos, se deben seguir estos pasos. Calculen a6 en una sucesión en la cual a 1 = –2 y a2 = 7. 1. Se halla la razón. r = a2 – a1 ⇒ r = 7 – (–2) ⇒ r = 7 + 2 ⇒ r = 9 a6 = a1 + (6 – 1) . r ⇒ a 6 = –2 + (6 – 1) . 9 ⇒ a 6 = –2 + 5 . 9 ⇒ a 6 = 43 2. Se calcula el término. 

La razón es igual a la diferencia entre dos términos consecutivos: r = a k – a k – 1 ∧ k ∈ N – {1} Para calcular un término determinado de una sucesión aritmética conociendo otro término y la razón, se deben seguir estos pasos. Calculen a4 si a10 = 35 y r = 8. Se considera a a4 como primer término (a4 → a1) y a a10, por lo tanto, como séptimo (a10 → a7). an = a1 + (n – 1) . r ⇒ a7 = a1 + (7 – 1) . r ⇒ 35 = a1 + 6 . 8 ⇒ a1 = 35 – 48 ⇒ a1 = –13 → a4 = –13 



Para calcular el número de términos de una sucesión aritmética, se deben seguir estos pasos. Calculen el número de términos de la sucesión aritmática, sabiendo que a 1 = 8; a2 = 20; …; an = 140. r = a2 – a1 ⇒ r = 20 – 8 ⇒ r = 12 an = a1 + (n – 1) . r ⇒ 140 = 8 + (n – 1) . 12 ⇒ 132 = (n – 1) . 12 ⇒ 11 = n – 1 ⇒ n = 12

Suma de los términos de una sucesión aritmética La suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética se obtiene de la siguiente manera. a1 a2 a3 ... an–2 an–1 an a1 + 2r + an – 2r = a1 + a n a1 + r + an – r = a1 + a n

(a + a ) . n

1 n La suma de los n primeros términos es: Sn = ___________ 2

a1 + a n Para calcular la suma de los términos de una sucesión aritmética se deben conocer el primer término, el último y la cantidad de términos. Calculen la suma de todos los números pares comprendidos entre 42 y 120, inclusive. 120 = 42 + 2 . (n – 1) ⇒ 78 = 2 . (n – 1) ⇒ 39 = n – 1 ⇒ n = 40 40 ⇒ S = 162 . 20 ⇒ S = 3 240 Sn = (42 + 120) . ___ n n 2 

50

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si se conocen los términos a2 y a6 de una sucesión aritmética, ¿cómo se puede averiguar la razón? b. El término a6 de una sucesión aritmética, ¿puede ser mayor que a 20?

a. Sí, se despeja r en la fórmula an = a1 + (n – 1) . r, y se consideran a2 → a1 y a6 → an. b. Sí, pueden ser decrecientes.

14

ACTIVIDADES Sucesiones aritméticas

51. Calculen los 3 primeros términos de una sucesión aritmética que cumpla con las siguientes condiciones. a. La razón es 3 y su primer término, 4.

b. Su primer término es 10 y el segundo, 8.

4, 7, 10

10, 8, 6

52. Marquen las opciones correctas. ¿Cuál es la razón en una sucesión aritmética de 40 términos que comienza con 10 y termina en 244? r=3

X r=6

r = __61

53. Resuelvan de dos formas diferentes y respondan. a. ¿Cuál es el primer elemento de una sucesión aritmética, si el quinto es 7 y su razón es 2? a1 = –1

b. ¿Cuál es el tercer término de una sucesión aritmética, si su razón es –3? No es posible hallar el tercer elemento conociendo solo la razón.

54. Lean atentamente y respondan. a. En una sucesión aritmética el primer término es 15; el último, 110 y su razón, 5. ¿Cuántos términos tiene? ¿Y si su razón fuera 10? Tiene 20 términos. No es posible una sucesión aritmética que cumpla con estas condiciones.

b. En una sucesión aritmética la razón es –3, el segundo elemento es 4 y el último, –26. ¿Cuántos términos tiene? Tiene 12 términos.

55. Respondan. a. ¿Cuál es la suma de los primeros 20 números pares? 420

b. ¿Cuál es la suma de los 10 primeros múltiplos de 11 que siguen a 83? 1 375

56. Lean atentamente y respondan. ¿Cuáles son las amplitudes de los ángulos de un triángulo rectángulo si se sabe que están en sucesión aritmética? 30, 60 y 90 51

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Sucesiones geométricas INFOACTIVA En una sucesión geométrica cada término se obtiene multiplicando el anterior por un valor constante q. a1 = a 1 . q 0 a2 = a 1 . q 1 a3 = a 2 . q = a1 . q . q = a 1 . q 2 a4 = a 3 . q = a1 . q 2 . q = a1 . q 3 an = a n – 1 . q = a1 . q . q . q . q . ... . q

El término general an es: an = a 1 . qn – 1

n – 1 veces

Para calcular un término determinado de una sucesión geométrica conociendo dos términos consecutivos, se deben seguir estos pasos. Calculen a6 en una sucesión geométrica en la cual a 1 = 5 y a 2 = 15. 

a

2 15 ___ q = __ a1 ⇒ q = 5 ⇒ q = 3 a6 = a1 . q 6 – 1 ⇒ a 6 = 5 . 3 5 ⇒ a 6 = 5 . 243 ⇒ a 6 = 1 215

1. Se halla la razón. 2. Se calcula el término. a

k La razón es igual al cociente entre dos términos consecutivos: q = ____ ak – 1 ∧ k ∈

– {1}

Para calcular un término determinado de una sucesión geométrica conociendo otro término y la razón, se deben seguir estos pasos. Calculen a3 si a7 = 192 y q = 2. Se considera a a3 como primer término (a3 → a1) y a a7, por lo tanto, como quinto (a7 → a5). 192 ⇒ a = 12 → a = 12 an = a1 . qn – 1 ⇒ a5 = a1 . 25 – 1 ⇒ 192 = a1 . 24 ⇒ 192 = a1 . 16 ⇒ a1 = ____ 1 3 16 



Para calcular el número de términos de una sucesión geométrica, se deben seguir estos pasos. 243 . Calculen el número de términos de la sucesión geométrica, sabiendo que a1 = _23_; a2 = _12_; ...; a n = ______ 2 048 _1_

a 2 ⇒ q = _3_ q = __2 ⇒ q = __ a1

_2_

3

4

243 = _2_ . _3_ an = a1 . qn – 1 ⇒ ______ 2 048 3 ( 4 )

n–1

729 = _3_ ⇒ ______ 4 096 ( 4 )

n–1

_ 6 _3_ n – 1 ⇒ n – 1 = 6 ⇒ n = 7 ⇒ ( _3 4 ) = ( 4 )

Suma de los términos de una sucesión geométrica La suma de los n primeros términos de una sucesión geométrica se obtiene de la siguiente manera. Dada: Sn = a 1 + a 1 . q + a1 . q 2 + a 1 . q 3 + ... + a 1 . q n – 1 (1) Sn . q = a1 . q + a1 . q 2 + a 1 . q 3 + ... + a 1 . q n – 1 + a 1 . q n (2) – Sn = a 1 + a 1 . q + a1 . q 2 + a 1 . q 3 + ... + a 1 . q n – 1 (1) Sn . q – S n = –a1 + a 1 . q n

Se multiplican ambos miembros de (1) por q. Se resuelve (2) – (1).

qn – 1 ______ . Sn . q – S n = –a1 + a 1 . q ⇒ Sn . (q – 1) = a 1 . –1 ( + q ) ⇒ Sn = a 1 q – 1 ∧ q ≠ 1 n

52

n

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En una sucesión geométrica, si un término es positivo y el sucesor es negativo, ¿qué signo le corresponde al siguiente término? b. Si se conocen la razón y la suma de los términos de una sucesión geométrica, ¿qué dato se puede averiguar?

Le corresponde un número positivo porque su razón tiene que ser negativa para pasar de un término positivo a otro negativo. b. Se puede averiguar el primer término de la sucesión.

15

ACTIVIDADES Sucesiones geométricas

57. Hallen los 3 primeros términos de una sucesión geométrica que cumpla con las condiciones indicadas. a. La razón sea 5 y su primer término, –2. –2; –10; –50

b. Su primer término, –12 y le sigue –3. –12; –3; – _34_

58. Respondan. En una sucesión geométrica... a. ... el octavo término es –640 y su razón es –2. ¿Cuál es el primer elemento? a. a1 = 5

b. ... el primer elemento es 1, el último es 243 y su razón es 3. ¿Cuántos términos tiene? Tiene 6 términos.

c. ... la razón es 2, su primer elemento es 3 y el último, 1 436. ¿Cuántos términos tiene? No existe sucesión geométrica con estas condiciones. __

__

d. ... a 4 =  7 y a 5 = 2 .  7 . ¿Cuál es la razón? La razón es 2.


¿Cuál es la razón en una sucesión geométrica de 12 términos que comienza con _81_ y termina en 256? r = __21

r = –2

X r=2

60. Calculen la suma de los cinco primeros términos en cada caso. a. Sucesión geométrica donde a1 = 129 y la razón es 3. 15 609

b. Sucesión geométrica cuyos primeros dos términos son 2 y 6. 242

61. Lean atentamente y respondan. Martín decide repartir una determinada cantidad de dinero entre sus cinco hijos, dándole a cada uno el doble de lo que le dio al anterior. Si comienza repartiéndole $45 al más pequeño, ¿cuánto dinero repartió entre sus hijos? $1 395 53

10INTEGRACIÓN 62. Escriban los tres términos que siguen en

68. Resuelvan teniendo en cuenta el concepto de

cada sucesión. Luego, indiquen si se trata de una sucesión aritmética o geométrica. a. 4; 9; 14; ... d. 20, 10; 5; ...

múltiplo. a. ¿Cuántos múltiplos de tres hay entre 9 y 225? b. ¿Cuántos múltiplos de siete hay entre 7 y 1 680?

b. 5; 15; 45; ... c. 5; 6; 4; 7; 3; ...

14 16 ; ___ e. 6; ___ 3 3 ; 4; ... 15; ___ 27 21 ___ f. _92_; ___ 2 2 ; 2 ; ...


63. Escriban los cuatro primeros términos de cada una de las siguientes sucesiones, teniendo en cuenta el término general. __ a. an = 3n + 2 d. an =  n __ __ 5; 8; 11; 14

1; 2 ; 3 ; 2

1; 3; 5; 7

– _51_; 0; _51_; _25_

  e. an = 1_1_– __21 n _1_ 3; 9; 27; 81 2. ; 0; – 2 ; –1 1 _ _ c. an = 2n – 1 f. an = 5 (n – 2)

b. an = 3n

64. Resuelvan.

a. Escriban el término general de una sucesión aritmética y sus tres primeros términos. b. Escriban el término general de una sucesión geométrica y sus tres primeros términos. Solución a cargo del alumno.

65. Hallen el término general de la sucesión aritmética o geométrica que represente lo indicado en cada caso. a. Una sucesión de números pares. b. Una sucesión de números impares. c. Una sucesión de números primos. a. an = 2n b. a n = 2n – 1 c. No existe.

66. Resuelvan.

¿Cuál es el término general que permite obtener cada uno de los términos de la sucesión ?

a. _32_; 2; _52_; 3; _72_… b. _32_; 1; _34_; _35_; 0,5…

c. 4; _52_; 2; _74_; _85_… d. 5; 7; 9; 11; 13…


67. Calculen teniendo en cuenta que se trata de sucesiones aritméticas. a. El valor de n, sabiendo que el primer término es 15, la razón es –3 y el último término es –57. b. El valor de a8, sabiendo que la razón es 12 y el tercer término es 5. n = 25 a8 = 65

54

a. Hay 73 números. b. Hay 240 números.

69. Calculen la cantidad de términos en cada caso. En una sucesión aritmética... a. ... cuyos primer y último elementos son 135 y 20, respectivamente y su razón es –5. 24 b. ... su razón es 7, el primer elemento es 40 y el último, 25. No es posible esta sucesión. c. ... el primer elemento es 20, el último es –67 y la razón es –3. 30

70. Respondan. a. ¿Cuál es el cuarto término de una sucesión aritmética, si el primero es 5 y la razón, 7? b. ¿Cuál es el primer término de una sucesión aritmética, si el sexto es 40 y su razón es 3? c. ¿Cuál es el noveno término de una sucesión geométrica, si el primero es 9 y el segundo, 12? d. ¿Cuál es el segundo término de una sucesión geométrica, si el décimo es _74_ y la razón es __61 ?

a. a4 = 26 b. a1 = 25 c. a9 = 33 d. a2 = 2 268

71. Respondan.

a. Si en una sucesión aritmética el primer término es –67 y la razón es –3, ¿qué lugar ocupa el término cuyo valor es –16? No es posible. b. Si en una sucesión aritmética el primer término es 6 y la razón es _21_, ¿qué lugar ocupa el término cuyo valor es 12? Lugar 13. c. Si en una sucesión geométrica el primer término es 2 y la razón es 3, ¿qué lugar ocupa el término cuyo valor es 4 374? Lugar 8. d. Si en una sucesión geométrica el primer término es – __51 y la razón es 5, ¿qué lugar ocupa el término cuyo valor es –125? Lugar 5.

72. Respondan. En la sucesión aritmética 4; 19; 34; 49; 64, ¿cuántos términos hay que agrupar para que la suma sea 715? Hay que sumar 10 términos.

capítulo

CONTENIDOS

13*14*15

73. Resuelvan. a. Calculen la suma de los 20 primeros múltiplos naturales de 5 comenzando por 35. b. ¿Cuál es la suma de los primeros diez términos de la sucesión aritmética 12; 7; 2; –3…?

a. 1 650 b. –105

74. Resuelvan. Las longitudes de los lados de un triángulo, cuyo perímetro es 99 cm, forman parte de una sucesión aritmética. a. ¿Cuánto mide cada uno de los lados del triángulo? Por ejemplo, 20 cm; 33 cm y 46 cm. b. ¿Existe una única solución? ¿Por qué? Existen varias soluciones, depende que número se toma como primer elemento de esta terna.

75. Resuelvan.

a. Escriban una sucesión geométrica cuya razón sea 2 y su primer término, 5. 5; 10; 20; 40 b. Escriban el término general que corresponde a la sucesión de a. 5 . 2n – 1

76. Calculen sabiendo que son sucesiones geométricas. 4 1 __ a. a1 y S 4, siendo a4 = ___ 25 y q = 5 . b. a4 y S 5, siendo a1 = 50 y q = __21 .

624 . b. a = ___ 25 y S = ____ 375 . a. a1 = 20 y S4 = ____ 4 5 25 4 4

77. Calculen la razón en cada caso, sabiendo que se trata de sucesiones geométricas. 1 a. El primer término es 25 y el quinto es ___ 25. b. El tercer término es 117 y el sexto es 3159. c. El primer término es –4 y el quinto es –484. 1 a. __ 5 b. 3 c. 3

78. Respondan. a. Sabiendo que a1 = 3 y a 5 = 768 y que se trata de una sucesión geométrica, ¿cuál es la suma de los primeros seis términos? b. En la sucesión geométrica cuyo primer término es 5 y la razón es 2, ¿cuál es la suma de los ocho primeros términos? c. ¿Cuál es la suma de los primeros cinco términos de la sucesión geométrica cuyos cuarto y 1 quinto términos son __51 y ___ 10 , respectivamente?

4 095 b. 1 280 c. ___ 31 a. _____ 10 1 024

2

79. Lean atentamente y respondan. Una alumna de la escuela decide repartir caramelos a sus 20 compañeros siguiendo el orden de la lista, de la siguiente forma: al primer compañero le da 40 caramelos y al siguiente 2 menos. a. ¿Cuántos caramelos le regaló al compañero número 20? 2 números. b. ¿Cuántos caramelos repartió en total? 420 c. Si al primer compañero le compartiera 35 caramelos, ¿cuántos le corresponderían al compañero número 20? No es posible cumplir con la condición indicada.

80. Lean atentamente y respondan. La profesora Laura quiere formar a los alumnos de su escuela de una forma muy especial, para participar de la jornada de Educación Física. En la primera fila iría solamente un alumno; en la segunda, dos; en la tercera, tres, y así sucesivamente. La idea es que los estudiantes formen un triángulo. a. ¿Cuántos alumnos participan para formar un triángulo de cinco filas? 15 alumnos. b. ¿Cuántos alumnos participan para formar un triángulo de veinte filas? 210 alumnos. c. La relación que existe entre las filas de estos triángulos ¿es una sucesión aritmética o geométrica? Es una sucesión aritmética.

81. Resuelvan. Malena y Guadalupe están organizando el cumpleaños de Lola. El primer día deciden comenzar a preparar las invitaciones, cumpliendo con la consigna de que a partir del día siguiente cada una de ellas invita a dos personas. Esas dos personas al día siguiente invitan a dos amigos cada una, y así sucesivamente. a. ¿Cuántos invitados habrá al finalizar la semana contando a Malena y a Guadalupe? b. ¿Cuántos días tendrán que transcurrir para que en la fiesta haya 32 personas? a. 128 invitados. b. 5 días.

82. Escriban el enunciado de un problema cuya respuesta sea a3 = 5.

Existen infinitas soluciones, una puede ser: Hallen a3 si a1 = 1 y la razón es 2.

55

capítulo

2

AUTOEVALUACIÓN Marquen las opciones correctas 83. ¿Cuál de los siguientes números es irracional? __

___

a.  –4

__

b.  4

3

c. –  4

__

X d.  4

84. ¿Cuáles de las siguientes expresiones es equivalente a ( a2 . b5 ) –3 . (ab) 2? a. a –28 . b2

b. a –19 . b2 __

X c. a 3 . b –13

d. a23 . b2

__

85. ¿Cuál es el resultado de 2 – (– √8 ) . √3 ? __

__

__

a. 2 .  3 + 2 .  6

__

b. 2 .  3 – 2 .  6

__

X c. 2 + 2 .  6 __________ ________ _______ 3

__

d. 2 – 2 .  6

__

86. ¿Cuál es la expresión en lenguaje coloquial que traduce a    5  2 + 2 ? a. La raíz cuadrada de la raíz cúbica de la raíz quinta de la suma entre la raíz cuadrada de dos y dos. b. La raíz quinta de la raíz cuadrada de la raíz cúbica de la suma entre la raíz cuadrada de dos y dos. X c. La raíz cúbica de la raíz cuadrada de la raíz quinta de la suma entre la raíz cuadrada de dos y dos.

d. La raíz cúbica de la raíz cuadrada de la raíz quinta de la suma entre la raíz cúbica de dos y dos.

87. ¿Cuál es el resultado de __

a.  x

__ x √ __ ___ ?

√y

__ b. x y

88. ¿Cuál es el resultado que se obtiene al racionalizar ___ X a. – _73_ – _23_ .  10

___ b. _73_ + _23_ .  10

___ xy  ___

__

x ___



c. y __

X d. y

__

2 + √ __5 ? √ _________ __ √2 – √5

___

c. – _73_ + _23_ .  10

___ d. _73_ – _23_ .  10

89. ¿Cuál es el término general de la sucesión – _95_; – _85_; – _75_; – _65_? 1. X a. __ 5 n – 2

b. 5n – __51

c. __51 . n

90. ¿Cuál es la razón de la sucesión aritmética de 20 términos que comienza en 12 y termina en –45? a. r = 3

X b. r = –3

c. r = –2

91. ¿Cuántos términos tiene una sucesión geométrica si su razón es 3; su primer elemento, último término, 19 683? a. 3

56

b. 81

X c. 15

1 ____

243 y el

Funciones Contenidos 16. Funciones.

3

17. Análisis de funciones I. 18. Análisis de funciones II. 19. Función lineal. 20. Distancia entre dos puntos. 21. Ecuación de la recta. 22. Función módulo.

¿Cuándo nace el concepto de función? En la matemática babilónica, ya aparecían tablas de cuadrados y cubos de números naturales. Más tarde, los griegos calcularon valores de distintas funciones como las cuerdas de círculos determinadas por distintos ángulos. Pero esta es una mirada moderna de la matemática antigua: en realidad, hizo falta que pasaran muchos siglos para que se entendieran las funciones como relaciones entre conjuntos. Y en el camino hubo dificultades. En el siglo XVII, Galileo, ya anciano y casi ciego, observó que precisamente la misma tabla de cuadrados perfectos que habían descripto los antiguos traía aparejada un hecho inquietante: ¿cómo pueden ponerse en correspondencia los números naturales y sus cuadrados siendo que los primeros son muchos más?

Esta aparente paradoja se resolvió mucho tiempo después, pero las funciones siguieron su recorrido y, en 1748, otro sabio llamado Euler introdujo la idea de “expresión analítica”, que sirve para pensar muchísimas funciones a partir de fórmulas. Como Galileo, también Euler terminó sus días ciego, aunque eso no le impidió tener una visión extraordinaria en casi todas las ramas de la matemática.

1. Lean atentamente y resuelvan. a. ¿Cuál fue el aporte que realizó Euler? ¿Por qué creen que fue tan importante? b. Escriban algunos ejemplos de funciones aplicadas a situaciones de la vida cotidiana. a. El aporte que realizó Euler fue la idea de “expresión analítica”. Su aporte sirve para pensar muchísimas funciones a partir de fórmulas y así, poder analizarlas en profundidad. b. Por ejemplo, el tiempo que tarda en llenarse una pileta en función de la cantidad de agua que vierte la canilla.

o l u t í p a c

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25

Funciones ¿Para qué sirve? PÁGINA 5

INFOACTIVA

Una función es una relación entre dos variables en la cual a cada valor de la primera (independiente) le corresponde un único valor de la segunda (dependiente).

Dominio y codominio de una función El conjunto dominio (Df ) de la función está formado por los valores que puede tomar la variable independiente. El conjunto codominio está formado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente. El conjunto imagen (Im ) es un subconjunto del codominio formado por los valores que toma la función. La imagen de x a través de la función f se denota con la expresión y = f(x). f: A → B es función de A en B ⇔ ∀ x ∈ A ∃! y ∈ B / y = f(x) (∀: para todo; ∃!: existe un único)

La representación gráfica de una función es el conjunto de todos los puntos (x;y) de cuales (x;y) es un par ordenado de f . (–3;4)

y 4 1 0 1 4

Df =

para los

y

y = x 2 + 2x + 1 x –3 –2 –1 0 1

→

4 3 y = x2 + 2x + 1

2 1

Im = (0;+∞)

–4

–3

–2

–1

0

1

2 x

Clasificación de las funciones Una función es inyectiva si y solo si a elementos distintos del dominio les corresponden imágenes distintas en el codominio.

Una función es sobreyectiva si y solo si a todo elemento del codominio le corresponde una preimagen en el dominio.

y

6

f : [–4;6] → [–2;6]

5

Una función es biyectiva si y solo si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

y f : [–3;7] → [–3;5]

y f : [–3;5] → [–2;4]

4

A

4 B

–4

58

0 –1 –2

–3 6 x

0

7 x

–3

0 –2

C –3

5

x

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. la misma imagen ¿es función? a. Una relación en la cual dos elementos distintos del dominio tienen_____ b. ¿Qué valores puede tomar x para que se pueda resolver f(x) =  x – 3 ?

a. Sí. b. No, x ≥ 3.

16

ACTIVIDADES Funciones

1. Marquen con una X los gráficos que representan funciones de A

→ B, A = [–1;4] y B = [–2;3].

Expliquen la respuesta. a.

b. X

c.

y

y

1

1

0 1

0 1

y

1 x

0 1

x

x

a. Hay elementos del dominio sin imagen. b. Es función. c. Hay elementos del dominio que tienen más de una imagen.

2. Completen la tabla de valores y grafiquen cada una de las siguientes funciones. a. f(x):

→ /f(x) = 2x + 1

x

f(x)

–1

–1

0

1

1

3

b. g(x): x

→ /g(x) = 2x + 1

g(x)

1

3

2

5

3

7 Solución gráfica a cargo del alumno.

3. Clasifiquen las siguientes funciones definidas de a.

→

b.

en inyectivas, biyectivas y sobreyectivas. c.

y

y

y

4

4

3

–3

–1 0 –2

Biyectiva

3

5

x

–3

–1 0

3

5

–2

No inyectiva - No sobreyectiva

–3

–1 0

3

5

x

x

–3

No inyectiva - Sobreyectiva 59

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25

26

Análisis de funciones I INFOACTIVA Intersección con los ejes La ordenada al origen es el punto de intersección de la gráfica con el eje y ; vale decir que f(0) = c . Los ceros o raíces de una función son las abscisas de los puntos de intersección de la gráfica y el eje x ; vale decir que f(x) = 0. Para determinar la raíz, hay que plantear y resolver una ecuación (procedimiento y analítico).

f(x) = –_35_ x + 2 0 = –_35_ x + 2 –2 = –_35_ x –2 : ( –_35_ ) = x 10 = x ___ 3

3 2 1 –2

–1

0

1

2

3

4 x

–1

Teorema de Bolzano Si una función f(x) es continua en un intervalo de su dominio, y tiene distinto signo en los extremos del mismo, entonces la función tiene por lo menos una raíz real en ese intervalo.

} f(b) > 0 ( ) = 0 ∧ x f(c) < 0 } ⇒ f x

f(a) < 0 ( 1 ) = 0 ∧ x1 ∈ (a;b) f(b) > 0 ⇒ f x 2

2

y

∈ (b;c)

f(b) a

Como consecuencia del teorema anterior, entre dos raíces reales consecutivas la función adopta solo valores positivos o negativos.

c x 1

b

x 2

x

f(c) f(a)

Conjuntos de positividad y negatividad de una función El conjunto de positividad está formado por todos los valores del dominio para los cuales la función es positiva. C + = x ∈ Df ∧ f(x) > 0 El conjunto de negatividad está formado por todos los valores del dominio para los cuales la función es negativa. C – = x ∈ Df ∧ f(x) < 0 y

Los conjuntos de positividad y negatividad quedan determinados por las raíces reales de la función. C + = (a;b) ∪ (c;+∞ ) C – = (– ∞;a) ∪ (b;c) 60

b a

d

e

c x

Intervalo de positividad Intervalo de negatividad

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si solo se sabe que f(0) = 2, ¿se puede afirmar que la función f es negativa en todo su dominio? b. Si la función g(x) verifica que g(3) = 0 y g(5) = 8, ¿el intervalo de positividad es C + = (3;+∞ )? a. No, faltan datos para conocer la negatividad en el resto del dominio. b. No, faltan datos para asegurarlo.

17

ACTIVIDADES Análisis de funciones I

4. Completen la tabla. Función

f(x) = 3x – 1

g(x) = x2 – 4

h(x) = _32_ x – __41

k(x) = (x – 3)2

Intersección con el eje x

1 __ 3

2 y –2

_1_

3

Intersección con el eje y

–1

–4

6 – _41_

9

5. Marquen las opciones correctas. ¿Cuál es el intervalo que verifica el teorema de Bolzano en cada caso? a. De una función f(x) sabemos que f(–4) = 0, f(1) = 0, f(5) = 0, f(0) > 0 y f(2) < 0. [–5;0]

X [–3;3]

[3;6]

b. Dada la función f(x) = 3x + 1 X [–2;2]

[–2;–1]

[0;2]

c. Dada la función f(x) = (x – 4) . (x + 3) [–4;–3]

X [0;5]

[5;7]

6. Indiquen, en cada caso, los ceros, la ordenada al origen, los intervalos de positividad y negatividad. a.

b.

c.

y

y

y

4 2

2 2

–4

–2

0

2

4

6 x

–4

–2

–2

0

2

–2

4

6 x –4

–2

0

2

4

6 x

–2

Ord. al origen = (0;0)

Ord. al origen = (0;1)

Ord. al origen =

(0;4)

Raíces = (–3;0); (0;0); (3;0)

Raíces = (1;0); (5;0)

Raíces = (–3;0); (3;0)

C + = (–3;0) ∪ (0;3)

C + = (–∞;1) ∪ (5;+∞ )

C + = (–3;3)

C – = ( ∞;–3) ∪ (3;+∞ )

C – = (1;5)

C – = (–∞;–3) ∪ (3;+∞ )

61

18

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27

Análisis de funciones II INFOACTIVA Funciones pares e impares Existen condiciones de simetría que facilitan la representación gráfica de ciertas funciones. Una función es par cuando su gráfica es simétrica respecto del eje y . f(x) es par ⇔ f(x) = f(–x) y

f(x) = x f(–x) = (–x)2 = x2 f(x) = f(–x) 2

4 f(1) = f(–1) f(2) = f(–2)

2 –4

La gráfica de la función f(x) = x2 es simétrica respecto del eje de las ordenadas; se dice entonces que es una función par.

–2

0

2

4

6 x

–2

Una función es impar cuando su gráfica es simétrica respecto del origen de coordenadas. f(x) es impar ⇔ f(x) = –f(–x) y

f(x) = x f(–x) = (–x)3 = (–x)2 . (–x) = –x3 f(x) = –f(–x) 3

La gráfica de la función f(x) = x3 es simétrica respecto del origen de coordenadas; se dice entonces que es una función impar.

4 2

–4

–2

0

2

4

x

–2 –4

Si una función no es par ni impar, se dice que no tiene paridad.

Crecimiento y decrecimiento de una función Una función f(x) es creciente, en un cierto intervalo de su dominio, cuando al aumentar los valores que adopta la variable independiente, también aumentan los valores de sus imágenes. f(x) es creciente ⇔ x 2 > x 1 ⇒ f ( x2 ) > f ( x1 )

f(x) = x2 es creciente en el intervalo (0;+∞), pues: x2 = 3 > x1 = 1 ⇒ f(3) = 9 > f(1) = 1 Una función f(x) es decreciente, en un cierto intervalo de su dominio, cuando al aumentar los valores que adopta la variable independiente, disminuyen los valores de sus imágenes. f(x) es decreciente ⇔ x2 > x1 ⇒ f x ( 2 ) < f x ( 1 )

f(x) = x2 es decreciente en el intervalo (–∞;0), pues: x2 = –1 > x1 = –2 ⇒ f(–1) = 1 < f(–2) = 4

Máximos y mínimos de una función En el punto en que la gráfica pasa de ser creciente a ser decreciente, existe un máximo relativo. En el punto en que la gráfica pasa de ser decreciente a ser creciente, existe un mínimo relativo. Una función puede tener más de un máximo o mínimo relativo. 62

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. La función y = 3x – 2 ¿es par o impar? b. Si una función es creciente en el intervalo (2;3), ¿existe un máximo en x = 3? a. No tiene paridad; b. No necesariamente.

18

ACTIVIDADES Análisis de funciones II

7. Determinen analíticamente si las siguientes funciones son pares o impares. a. f(x) = 3x2

d. k(x) = x2 + 2

Par.

Par.

b. g(x) = 3x

e. l(x) = 3 x4

Impar.

Par.

c. h(x) = –x3

f. m(x) = x2 + x

Impar.

Ni par, ni impar.

8. Unan con flechas, cuando sea posible, teniendo en cuenta que f(x) = – x2 + 2 y g(x) = 2 x3. a. f(x) + g(x)

b. f(x) . g(x)

c. 2 . f(x)

d. g(x) + g(x)

PAR

e. g2(x)

f. f(x) . f(x)

IMPAR

9. Identifiquen si los siguientes gráficos corresponden a funciones pares o impares. a.

Impar

–3

c. Par

–2

y

y

1

1

–1

0

1

2

3

–3

x

–2

–1

–1

1

2

3

x

0

1

2

3

x

–1

b. Impar

–3

0

d. Par

–2

–1

y

y

2 1

1

–1 –2

0

1

2

3

x

–3

–2

–1 –1

63

18


10. Observen los gráficos y completen. a.

d. y

y

4

–1,5 –1 –0,5

2 –3

–2

–1

0 0,5

1

1,5

x

5

x

3

X

–2 0

1

2

3

–4

x

–2

–6

(–∞;0) ∪ (2;+∞ )

Int. de crecimiento =

(0;2)

Int. decrecimiento =

Máximos =

(0;4)

Máximos =

No tiene.

Mínimos =

(2;0)

Mínimos =

No tiene.

Int. de crecimiento = Int. de decrecimiento =

b.

No tiene.

e.

–3

–2

y

y

2

2

–1

0

1

2

3

–1

x

0

–2

–2

–4

–4

1

2

3

4


(–∞;0) ∪ (2;+∞ )


(–∞;3)

Int. de decrecimiento =

(0;2)


(3;+∞ )

Máximos =

(0;0)

Máximos =

(3;3)

Mínimos =

(2;–4)

Mínimos =

No tiene.

c.

f. y

y

2 10 1 –3

–2

–1

0

1

2

3

x –3

–10

–2

–1

0

1

2

–1


64


(–2;0,5) ∪ (3;+∞ )

Int. de decrecimiento =

No tiene.


(–∞;2) ∪ (0,5;3)

Máximos =

No tiene.

Máximos =

( 0,5;f(0,5) )

Mínimos =

No tiene.

Mínimos =

(–2;0) y (3;0)

18


11. Escriban V (Verdadero) o F (Falso), teniendo en cuenta el gráfico. a. La función crece en el (– ∞;2). F y

b. La función tiene un máximo en (–3;2). V

2

c. En el intervalo (–2;+∞ ) la función es decreciente. V

1

d. La función decrece en el intervalo (–3;+ ∞ ). V

–6 –5

–4

–3

e. La función crece solo en el intervalo (–4;–2). F

–2

–1

0

1 x

–1

12. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si el intervalo de crecimiento de una función es (– ∞;3) entonces, ¿la función decrece en el intervalo (3;+∞ )? Puede decrecer o ser constante, o decrecer en otro intervalo.

b. Si en una función el intervalo de decrecimiento es (– ∞;t) y el de crecimiento es (t;+ ∞ ), entonces en el punto de abscisa t ¿hay un mínimo relativo? Sí, porque a la izquierda de la abscisa t la gráfica decrece y a su derecha, crece.

13. Realicen el gráfico de una función que cumpla con las siguientes características y respondan. f(x): →  Imagen: (– ∞;3) 

C + = (–2;1) – )  C = (– ∞;–2) ∪ (1;+∞ 

Intervalo de crecimiento = (–∞;–1) )  Intervalo de decrecimiento = (–1;+ ∞ 

a. ¿Cuál es el máximo? Solución a cargo del alumno.

b. ¿Cuál es la ordenada al origen? Solución a cargo del alumno.

c. ¿Cuántas raíces tiene? ¿Cuáles son? Solución a cargo del alumno.

Gráfico a cargo del alumno. 65

INTEGRACIÓN 14. Escriban la fórmula de la función que cumple

16. Escriban la imagen que corresponde en cada

con lo pedido en cada caso. a. A cada número real le asigna su doble. b. A cada número entero le asigna el anterior de su triple. c. A cada número real le asigna el triple de su cuadrado.

caso, teniendo en cuenta el gráfico. Luego, clasifiquen las funciones. y a. f(x): → + 4 b. g(x): → + + c. h(x): → 2

a. y = 2x b. y = 3x – 1 c. y = 3 x2

15. Indiquen el dominio y la imagen para cada uno de los siguientes gráficos. a. Df = ; Imf = 15 10 5 –2

–1 –5 0 –10 –15

1

2

3

x

b. Df = ; Imf = (– ∞;1]

0

1

2

3

4

5

x

–1 –2

c. Df = ; Imf = [–3;+∞ ) y

–5

–4

–3

–2

–1 0

1 x

–1

–3

d. Df = ; Imf = [–2;2] y

3 2 1

66

2 x

–2

condiciones indicadas en cada caso, teniendo en cuenta los conjuntos A = [–3;2] y B = [–1;4]. a. f(x): A → B/f(x) es creciente en el [–3;0) y es decreciente en (0;2]. b. f(x): A → B/f(x) no sea inyectiva, pero sí sobreyectiva. c. f(x): A → B/f(x) tenga dos máximos.

–2

–1 –1 0 –2 –3

1

2

a. La función f(x) = x3 – 3x + 4, ¿tiene al menos una raíz en el intervalo (–2;0)? b. La función f(x) = 2 x3 – x – 7, ¿tiene al menos una raíz en el intervalo (0;2)? c. Para una función continua f(x) se cumple que f(–3) < 0 y f(–2) > 0, entonces ¿en el intervalo (–3;–2) existe por lo menos una raíz? Solución a cargo del alumno.

19. Indiquen, en cada caso, los intervalos de positividad y negatividad sabiendo que se trata de una función f(x) continua. a. Los únicos ceros de la función f(x) son x = –5 y x = 1, además f(–6) = 3, f(0) = –1 y f(2) = 4. b. Los únicos ceros de la función g(x) son x = –3, x = 2 y x = 4, además g(–4) = 2, g(0) = 3, g(3) = –2 y g(5) = 3. c. Los únicos ceros de la función h(x) son x = –3 y x = 2, además h(–4) < 0, h(0) < 0 y h(3) > 0.

–2

–3

1

18. Respondan y expliquen las respuestas.

1

–6

0


y

–1


–1

17. Representen la función que cumpla con las

y

–3

–2

3

x

a. C ++ = (– ∞;–5) ∪ (1;+∞ ), C – = (–5;1) – b. C+ = (– ∞;–3) –∪ (–3;2) ∪ (4;+∞ ), C = (2;4) c. C = (2;∞ ), C = (– ∞;–3) ∪ (–3;2)

capítulo

3

CONTENIDOS

16*17*18

20. Resuelvan teniendo en cuenta el gráfico.

22. Marquen las opciones correctas. Teniendo en cuenta el siguiente gráfico...

y

y

4

1

2 –1

–3 0

1

2

3

4

5

–2

6 x

–2

–1 –1 0 –2 –3 –4 –5

1

2

3

x

–4

a. Clasifiquen la función definida de → . b. Redefinan el dominio y el codominio para que sea biyectiva, en caso de ser necesario. c. Intervalos de positividad y de negatividad. d. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. e. Máximos y mínimos, si los hubiera. Solución a cargo del alumno.

21. Indiquen la información solicitada para cada uno de los siguientes gráficos.  Raíces.  Ordenada al origen.  Intervalos de positividad y de negatividad.  Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.  Máximos y mínimos.  Imagen.

a. ... ¿cuál es el intervalo de crecimiento? (–∞;2) ∪ (–4;2) X (– ∞;–2) ∪ (0;2)

(–2;0) ∪ (0;2) (–2;+∞ )

–5

–4

–3

–2

–1

0 x –2

X par. impar.

d. ... ¿cuál es el conjunto de negatividad? – 0 –

X

– 0

+ 0

(0;–2)

y

–

(0;–4) X (2;0)

g. ... la función definida de

6 5 4 3 2 –1 –1 0

X

X (–2;0)

b. h(x) = (x + 2) 2 . (x –2)2

–2

sin paridad.

f. ... ¿cuál o cuáles son los máximos?

–4

–3

(–2;2)

c. ... es una función:

2 –6

X (–2;0) ∪ (2;+∞ )

e. ... ¿cuál es la imagen?

y

–7

(–∞;2)

b. … ¿cuál es el intervalo de decrecimiento?

+ 0

a. f(x) = – _21_ . (x + 4)2 + 2

(–4;–2) ∪ (0;2)

→

– 0

es:

inyectiva. no inyectiva, no sobreyectiva. 1

2

3

x

X no inyectiva, sobreyectiva. biyectiva.


67

19

18

20

21

22

23

24

25

26

27

28

Función lineal ¿Para qué sir ve? PÁGINA 6

INFOACTIVA

Se llama función lineal a aquella cuya fórmula es y = mx + b. Los números m y b reciben el nombre de pendiente y ordenada al origen, respectivamente. Ecuación explícita de la recta: y = mx + b Pendiente

Ordenada al origen

La representación gráfica de una función lineal es una recta.  La pendiente de una recta es el cociente entre la variación de la variable dependiente ( Δy) y la variación de la variable independiente ( Δ x) de cualquier punto de la misma. y______ – y 1 Δy 2 m = ___ = Δ x x2 – x1

y

y2

Δy

y1 Δ x

b

La ordenada al origen es el valor donde la recta corta al eje y . 

0

x 1

x 2

x

f(0) = b El valor de la pendiente determina que una función lineal sea creciente, constante o decreciente. y

4 3 2 1 –4

–2

–1 –2

y

y

4 3 2 1

m > 0

0

2

4

6 x

–4

–2

Creciente

–1 –2

4 3 2 1

m=0

0

2

4

6 x

–4

Constante

–2

–1 –2

m < 0

0

2

4

6 x

Decreciente

Representación gráfica de una función lineal dada de forma explícita Para graficar una función lineal, se debe marcar la ordenada al origen ( b ) y, a partir de ella, representar un par de valores cuyo cociente sea igual al valor de la pendiente ( m ). y

y

4

4

y = _2_ x + 1 3

3

y = – _32_ x + 4

3 3

2

2

2

1

1 3

–2

b=1

68

0

2 3

Δy _2_ m = ___ = Δ x 3

6

x

–2

b=4

0

3

6

Δy m = ___ = – _32_ Δ x

x

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. La ecuación explícita de la recta que corta al eje y en 3 y tiene pendiente 2, ¿es y = 3x + 2? b. Las funciones de la forma f(x) = mx + b, con m > 0 y b cualquier valor real, ¿siempre son crecientes?

a. No, la ecuación es y = 2x + 3. b. Sí.

19

ACTIVIDADES Función lineal

23. Grafiquen las siguientes funciones lineales dadas en forma explícita. a. y = 3x – 5 b. y = – __41 x + 2 c. y = –5x – 1 d. y = __21 x + _32_


24. Escriban la ecuación de una recta que cumpla con las condiciones indicadas en cada caso. a. Es una función decreciente y tiene la misma ordenada al origen que y = 3x – 2. Por ejemplo, y = –x – 2

b. Tiene una raíz positiva y es creciente. Por ejemplo, y = 3x – 2

c. Pasa por el origen de coordenadas y su pendiente es la misma que 2x – 4y = 1 Por ejemplo, y = _21_ x

d. Es una función constante cuya ordenada al origen es 3. Por ejemplo, y = 3

25. Calculen la pendiente de cada recta. a. La recta R pasa por los puntos a = (–2;–3) y b = (1;0). 1

b. La recta S pasa por los puntos c = (–1;3) y d = (2;–4). – _73_

c. La recta T pasa por los puntos e = (–5;–2) y f = (–3;–7). – _52_

d. La recta U pasa por los puntos g = (–1;4) y h = (–5;–2).

_3_

2

69

20

19

21

22

23

24

25

26

27

28

29

Distancia entre dos puntos ¿Para qué sirve? PÁGINA 7

INFOACTIVA

La distancia entre dos puntos es la longitud del segmento que tiene a dichos puntos por extremos. Para calcular la distancia entre dos puntos se aplica el teorema de Pitágoras. Sean los puntos a = ( x1;y ) y b = (x2;y ). 1 2

y

________

ab = ac + bc ⇒ ab =  ac + bc 2

2

2

2

2

b

y2

y2 – y 1

__________________

D(a;b) =  ( x2 – x 1 )2 + ( y2 – y 1 )2

y1

a

c

x2 – x 1

x1

x2

La distancia entre a y b es: x1

y

x2

4

a = (–2;2) ∧ b = (4;3) y1

x

b

3

y2

a

2

__________________

D(a;b) =  _______ [4 – (–2)]2 +___ (3 – 2) 2 D(a;b) =  62 + 12 =  37

1 –2

0

4

x

Distancia de un punto a una recta La distancia de una recta a un punto que no pertenece a la misma es la longitud del segmento perpendicular a la recta que tiene por extremos a un punto de la misma y al punto considerado. La distancia de un punto p = ( x1;y ) a una recta. y 1 R: Ax + By + C = 0 está dada por la siguiente fórmula: A x1 + By1 + C _______ D(R;p) = ____________  A2 + B 2

|

R

|

p

y1 x1

Distancia del punto a = (3;1) a la recta R: y = _12_ x + 3. R: y – _12_ x – 3 = 0 ⇒ R: –x + 2y – 6 = 0 . _________ 3+2.1–6 _____________ D(R;a) = –1 2  (–1)2 + 2 +2 _________ __– 6 = 3,13 D(R;a) = –3  5

| |

|

|

y

5 4 3 2 y1 1 –1 –1 0

70

x

R: –x + 2y – 6 = 0

p 1

2

3 x1

4 x

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cómo se expresa la fórmula de distancia de cualquier punto al origen de coordenadas? 3 . 2 + ______ 1 . (–3) – 2 se puede obtener de la siguiente expresión? D (R,a) = _______________ b. ¿Qué información _________ 2 2

|

2 (x )2 + (x ) a. Si p = (x1 ;x ), b. La distancia desde la recta 3x + y – 2 = 0 al punto (2;–3). 2  1 2

 3

+ 1

|

20

ACTIVIDADES Distancia entre dos puntos

26. Calculen la distancia entre los puntos dados. a. m =__ (–3;1) y t = (0;4) 3 .  2

= (–2;–3) y q = (1;2) b. p___  34

c. r = ( __21 ;5 ) y s = ( _72_;1 ) 5

–3;– e. v =___ ( _43_ ) y w = (1;–6) _2_ .  85

3

_3_ f. k = ____(–2;5) y l = ( 5 ;7 )

269  _____ 5

g. n = (–4;0) y o = (0;–2) __

2 .  5

d. t = (3;3) y u = (2;–4) __

5.  2

= (–1;5) y r = ( 6;_45_ ) h. p_____ 1009  ______ 4

27. Ubiquen los puntos m = (2;5) y t = (4;2) en un par de ejes cartesianos y resuelvan.


a. Calculen la D(m,t). ___  13

b. Indiquen los puntos q y r , del segundo cuadrante, que verifiquen que D (m,t) = D (q,r). q = (–4;2); r = (–2;5)

c. Dado el punto h = (0;–4), encuentren el punto j que cumpla D(m,t) = D (h,j). Por ejemplo, (2;–1).

d. Las respuestas en los ítems b. y c. ¿son únicas? No, hay infinitas respuestas. 71

20


28. Calculen la distancia del punto p a la recta M, en cada caso. a. p =___(–2;3) y M: 3x – 2y + 4 = 0 8 .  13 ______ 13

d. p =__(3;–2) y M: y = 2x – 4 _4_ .  5

5

b. p =___(–2;–4) y M: x + 3y – 1 = 0 _3_ .  10

2

c. p = (1;3) y M: x + 1 = 0 2

e. p = (1;–3) y M: y – 2 = 0 5

(0;–2) y M: y = 3x + 2 f. p = ___ _2_ .  10

5

29. Representen en un sistema de ejes cartesianos y calculen el perímetro de cada figura en forma exacta. a. Triángulo abc, siendo a = (–3;2), b = (0;3) y c = (–1;0). ___

__

2 . (  10 +  2 )


b. Paralelogramo mrtq, siendo m = (–1;–2), r = (0;1), t = (4;1) y q = (3;–2). ___

8 + 2 .  10

Solución a cargo del alumno. 72

20


30. Calculen analíticamente la distancia entre las rectas dadas y grafíquenlas en un sistema de ejes cartesianos. 3x – 2 y B: y = 3x + 5 a. A: y = ___ 7 . 10 ___  10

b. C: __ y = –x + 2 y D: y = –x + 1 2  ___ 2

c. E: y – 2 = 2x y F: (y – 1) = 2 . (x + 3) __  5

– 1) = –2 . (x – 3) y H: y = –3x – 2 d. G: (y ___ _6_ .  10

5


mente ACTIVA Dada la función f(x) = –2x – 4 y dos puntos de la gráfica, tales que f(a) = 0 y f(0) = b, __ calculen la distancia entre a y b. 2 .  5 73

21

20

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28

29

30

Ecuación de la recta INFOACTIVA y

x __ + m

__ + __ = 1 representa una recta Toda ecuación de la forma x m n en forma segmentaria. Los denominadores m y n representan la raíz y la ordenada al origen, respectivamente.

y __ n = 1

y

ordenada al origen n

abscisa al origen m

x

Para pasar de la ecuación explícita a la segmentaria, se procede de la siguiente manera. y Dada la recta y = 2x – 3 ⇒ 2x – y = 3 x ___ + ___ y = 2x – y _3_ y x 2x + ___ _____ ___ ⇒ ⇒ ___ = 3 3 3 –3 = 1 _3_ 2

y + ___ –3 = 1

_3_

1 –1

Para representar gráficamente una función lineal en forma segmentaria, se determinan sobre los ejes las intersecciones con la recta y luego se traza la misma.

2

0

1

–3

2

1

3

x

–1 2

–2 –3 y = 2x – 3

1

Ecuación de una recta, dadas la pendiente y un punto de la misma Fórmula para hallar la ecuación de una recta, dada su pendiente ( m ) y un punto perteneciente a la misma ( x1;y ). 1

y – y1 = m . (x – x ) 1

La ecuación explícita de una recta cuya pendiente es 2 y pasa por el punto (1;3). y – 3 = 2 . (x – 1) ⇒ y – 3 = 2x – 2 ⇒ y = 2x – 2 + 3 ⇒ y = 2x + 1

Ecuación de una recta dados dos puntos de la misma Fórmula para hallar la ecuación de una recta, dados dos puntos pertenecientes a ella ( x1;y ) y ( x2;y ). 1 2

y – y 1 ______

x – x 1 ______ = y 2 – y 1 x 2 – x 1

La ecuación explícita de una recta que pasa por los puntos (2;1) y (5;3) es: (2;1) y (5;3) x1 y1

y – 1 _____ – 1 _____ x – 2 ⇒ y_____ _____ = = x –32 ⇒ y – 1 = _13_ x – _23_ 3–1 5–2 2

(

) . 2 ⇒ y = _23_ x – _43_ + 1 ⇒ y = _23_ x – _13_

x2 y2

Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales. M: y = a1 x + b 1 ∧ P: y = a 2 x + b 2 ∧ M // P ⇔ a 1 = a 2

Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares si y solo si sus pendientes son inversas y opuestas. 1 S: y= a1 x + b 1 ∧ N: y = a2 x + b 2 ∧ S ⊥ N ⇔ a1 = – __ a2 74

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Todas las rectas pueden expresarse en forma segmentaria? y–1 – 3 = _____ b. ¿Por cuáles puntos pasa la recta de ecuación x_____ –3 2 – 1?

a. No, las que pasan por el origen no pueden expresarse en forma segmentaria. b. Por los puntos (3;1) y (0;2).

21

ACTIVIDADES Ecuación de la recta

31. Escriban en forma segmentaria y explícita la ecuación de cada una de las rectas graficadas. a.

c.

–3

–2

–1

y

y

6 5 4 3 2 1

1

–1 –2

–1

0

1

2

3

X

y x __ + __ =1 2 4 Forma segmentaria:

1

2

3

4

5

X

1

X

x y =1 __ + ___ 4 –4 Forma segmentaria:

y = 4 – 2x

Forma explícita:

0

–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7

y = –4 + x

Forma explícita:

b.

d.

–5

–4

–3

–2

y

y

1

1

–1

0

1

–5

X

–4

–3

–2

–1

–1

0

–1

x ___ + __y = 1 1 –3 Forma segmentaria: y = 1 + _31_ x

y x ___ + __ =1 –1 –3 Forma segmentaria: 1 y = – __ 3x – 1

Forma explícita:

Forma explícita:

32. Escriban las ecuaciones de las rectas indicadas. Función

f(x)

g(x)

h(x)

k(x)

Pendiente

3

–2

1 __ 4

– _32_

Punto

(2;6)

–1;– ( __21 )

(0;–2)

(0;0)

Ecuación explícita

y – 6 = 3 . (x – 2) y = 3x

y + _21_ = –2 . (x + 1) y = –2x – _52_

y + 2 = _41_ x y = _41_ x – 2

y = – _32_ x

Ecuación segmentaria

No tiene

y x + ____ ____ =1 – _5_ – _5_

y x __ + ___ 8 –2 = 1

No tiene

4

2

75

21



y

__ + ___ = 1? a. ¿Cuál es el valor de la ordenada al origen de la recta x 4 –2 X –2 4 2

_1_

4

b. ¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta y – 1 = –3 . (x + 2)? X –3

–1

2

–2

__ + __ = 1? c. ¿Cuál es la abscisa al origen de la recta x 2 3 X 2 –3 1

–6

y

d. ¿Por cuál de los siguentes puntos pasa la recta de ecuación y – 3 = – __21 . (x + 2)? X ( 3; – __21 ) (–3;2) (–3;–2) ( – __21 ;0 ) –4 – 2 = y_____ e. ¿Cuál es la ecuación en forma explícita de la recta x_____ 5 ? 3 y = __31 x – 4

X y = _53_ x + _23_

y=x–2

y = 3x + 5

y __ + __ 34. Coloquen < o > según corresponda a las ecuaciones de la forma x a b = 1 de las rectas graficadas.

a.

b.

c.

y

y

y

x

a

>

0

b

<

0

x

a

<

0

b

>

0

x

a

<

35. Escriban la ecuación de la recta que pasa por los puntos indicados. a. m = (2;–1) y t = (1;–2) y=x–3

b. q = (–3;–2) y r = (–1;2) y = 2x + 4

76

c. s = (0;3) y t = (–1;2) y=x+3

d. u = (1;–2) y p = (3;1) y = _32_ x – _27_

0

b

<

0

21


36. Escriban // o ⊥ según corresponda. a. 3y = x

⊥

y x ___ + __ // (y + 1) = _2_ . (x – 3) e. –6 4 =1 3 y x __ f. (y + 1) = 2 . (x – 3) // ___ 1__ + –1 = 1 2 g. y – 4 = –3 . (x + 1) ⊥ y = _31_ x + 7

(y + 1) = –3 . (x – 1)

b. y – 1 = _23_ x ⊥ y = – _32_ x – 1 c. y = 3x – 1 // y – 2 = 3 . (x + 1) d. y = –x

y __ + ___ ⊥ x 2

h. __21 y + _34_ x = 1

–2 = 1

⊥

y – 5 = _23_ . (x – 6)

37. Escriban en forma segmentaria las ecuaciones de las rectas. a. La recta M pasa por los puntos (2;3) y (–1;0). x __ –1 + y = 1

b. La recta T es paralela a M y pasa por el punto (–3;1). x + __y = 1 ___ –4 4

c. La recta R es perpendicular a T y pasa por el punto (–3;0). y x + ___ ___ –3 –3 = 1

38. Completen la tabla teniendo en cuenta el punto indicado. Ecuación de la recta

Punto a

Recta paralela que pasa por a

Recta perpendicular que pasa por a

y = 3x + 2

(4;1)

y = 3x – 11

1 _7_ y = – __ 3x + 3

– __31 x – y – 3 = 0

(2;0)

y = – _31_ x + _23_

y = 3x – 6

y = 5x

(–2;–1)

y = 5x + 9

y = – _51_ x – _75_

y+3 x __ = _____ 2 8

(6;–2)

y = 4x – 26

y = – _41_ x – _21_

–y + 1 = __31 x

(–3;1)

y = – _31_ x

y = 3x + 10

mente ACTIVA Ubiquen en un sistema de ejes cartesianos los puntos a = (–2,1), b = (3;2) y c = (1;–2) y calculen el área del triángulo abc de dos maneras diferentes. Área = 9 unidades cuadradas 77

22

21

23

24

25

26

27

28

29

30

31

Función módulo INFOACTIVA y

Se define la función módulo o valor absoluto como: f(x) = |x| = { –xx sisi xx ≥< 0 0

1

f: R → R +0

–3

–2

–1

0

1

2

3

X

–1

Funciones de la forma f(x) = |x + c|

–3

–2

y

y

2

2

1

1

–1

0

1

2

3

–3

X

Si c > 0, la función |x| queda desplazada c unidades hacia la izquierda. f(x) = |x + 1| 

–2

–1

0

1

2

3

X

Si c < 0, la función |x| queda desplazada |c| unidades hacia la derecha. f(x) = |x – 2| 

Funciones de la forma f(x) = |x| + b y

y

2

–3

–2

–1

–2

–1

1

2

3

X

–1

1 –3

0

0

1

2

3

–2 X

Si b > 0, la función |x| queda desplazada b unidades hacia arriba. f(x) = |x| + 1 

Si b < 0, la función |x| queda desplazada |b| unidades hacia abajo. f(x) = |x| – 2 

Para graficar ciertas funciones, se deben redefinir las mismas aplicando la definición de valor absoluto. f(x) = –2 .|2x – 2| + 3

2x – 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1 f(x) = –2.(2x – 2) + 3 = –4x + 4 + 3 f(x) = –4x + 7 ⇔ x ≥ 1

2x – 2 < 0 ⇒ x < 1 f(x) = –2.(–2x + 2) + 3 = 4x – 4 + 3 f(x) = 4x – 1 ⇔ x < 1

{

+ 7 si x ≥ 1 f(x) = –4x 4x – 1 si x < 1

y

3 1 –3

78

–2

–1

–1

0

1

2

3

X

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. La función y = |x| definida de → ¿es inyectiva? ¿Y sobreyectiva? b. La función y = –2 . |x – 3| + 4, ¿tiene un máximo o un mínimo en su vértice? ¿Qué coordenadas tiene? a. No es inyectiva ni sobreyectiva. b. Un máximo. (3;4)

22

ACTIVIDADES Función módulo

39. Grafiquen en un mismo sistema de ejes cartesianos los siguientes grupos de funciones. a. f(x) = |x| g(x) = |x| + 2

b. m(x) = |x| n(x) = |x| – 3

h(x) = |x + 2| i(x) = 2 . |x| y

y

f(x) = |x| + 2

4

4

f(x) = 2 . |x|

3 2

f(x) = |x + 2|

o(x) = |x – 3| p(x) = –3 . |x|

f(x) = |x – 3|

3 2

f(x) = |x|

1

f(x) = |x|

1

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 –1 f(x) = –3 . |x| –2 f(x) = |x| – 3 –3

x

–2 –3

5

x

40. Representen las siguientes funciones en un sistema de ejes cartesianos. a. f(x) = –|x + 3| b. g(x) = |2x – 2| + 1 c. h(x) = |x + 1| + 3

y

4

g(x) = |2x – 2| + 1

3 2 1

h(x) = –|x + 1| + 3

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1 f(x) = –|x + 3|

2

3

4

5

x

–2 –3

41. Observen los gráficos, analicen los desplazamientos y escriban la fórmula correspondiente. a.

b.

y

y

3 2 1 –6

–5

–4

y = |x + 4| – 2

–3

–2

–1

–1 –2 –3

3 2 1 0

1

X

–3

–2

–1

–1 –2 –3

0

1

2

3

X

y = –2 . |x| + 1 79

INTEGRACIÓN 42. Escriban las ecuaciones de las siguientes

43. Calculen la distancia entre la ordenada al origen

rectas en forma explícita y segmentaria. Luego, calculen la distancia de cada una de las rectas al punto (–3;–2). __ a. y = 2x + 3;  5

y la raíz de cada una de las siguientes rectas. a. y = __21 x – 4 d. y = – x – 5 1 _ _ b. y = –2x + 3 e. y – 2 = 3 . (x + 1) c. y = 4x __ f. y + __21 =___– _21_ . (x__ – 2)

y

44. Resuelvan lo pedido en cada caso.

7 6 5 4 3 2 1 –3

–2

__ 5 c. 0 d. 5 .  __ 5 10 f.  ___ .  ___ a. 4 .  5 b.  ___ e. 2 5 2 3 6

a. y = 4__ x – _1_ 3 3 y

2 t

1

–1 –1 0 –2 –3

1

2

3

x

–2

–1

0

1

2

3

–1

4

x

r

–2

b. y = –2x +

__ 1;  5

–3

m y

7 6 5 4 3 2 1 –3

–2

Ecuación de la recta mr. 14 . ___  Distancia D ( t,mr ) 5  Distancia D (m;r). 5 2  Área del triángulo mrt. 7 u b. y = 3__ x + 3 

–1 –1 0 –2 –3

1

2

3

2

x

y

4 3

___

1

y

3

f –2 –1

2

g

1 –2

h

2

c. y = –3x – 1;  10

–3

i

–1

1

2

3

4

x

–1

Ecuación de la recta___fg. 5 .  13  Distancia D ( h,fg ). ______ ___13  Distancia D (f;g).  13 2  Área del paralelogramo fghi. 5 u 

0 –1

0

1

2

3

x

45. Resuelvan. Un triángulo queda determinado por la recta 2x – 3y + 1 = 0 y los ejes coordenados. ¿Cuánto mide___el perímetro y el área del triángulo?

13 +5 unidades; A = ___ 1 P =  ______ 12 unidades cuadradas. 6 80

capítulo

3

CONTENIDOS

19*20*21*22 46. Escriban la ecuación de la recta en forma

49. Escriban las fórmulas de las siguientes fun-

explícita, en cada caso. a. La recta M que pasa por los puntos a = (–3;2) y b = (1;0). M: y = – _21_ x + _21_ b. La pendiente de N es 3 y pasa por el punto c = (0;–2). N: y = 3x – 2 c. La recta P es perpendicular a 2x + 3y – 1 = 0 y pasa por el punto d = (1;2). P: y = _32_ x + _21_ d. La recta R es paralela a (y – 2) = __21 . (x + 2) y pasa por el punto e = (–2;0). R: y = _21_ x + 1 e. La recta S tiene la misma ordenada al origen y x ___ + __ que –3 2 = 1 y pasa por f = (–3;–2).

ciones, a partir del gráfico de f(x) = |x|. a. Se traslada c unidades a la derecha. b. Se traslada d unidades hacia arriba. c. Se traslada f unidades hacia abajo y k unidades hacia la derecha. d. Se traslada h unidades hacia abajo.

S: y = _43_ x + 2

47. Resuelvan en cada caso, teniendo en cuenta los puntos a = (1;2), b = (3;–4) y c = (6;3). a. La ecuación en forma segmentaria de lay x + ___ = 1 ___ recta que pasa por b y c . 33 –11 ___ 7 a bc, b. La ecuación de la recta perpendicular 17 y = – _37_ x + ___ que pasa por a. ___ 7 58  ____ . c. La D( a;bc ). 16 29 ___ ___ ___ d. El perímetro del triángulo abc. 2 .  10 +  58 +  26 e. El área del triángulo abc. 16 u2 f. La distancia del punto c al eje x . 3

48. Observen el gráfico de f(x) = –|2x + 3| + 5 y resuelvan. a. Intersecciones con los ejes. b. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. c. Intervalos de positividad y negatividad. d. Máximo o mínimo. e. Imagen. f. Dominio y codominio para que sea biyectiva.

a. f(x) = |x – c|; b. f(x) = |x| + d; c. f(x) = |x – k| – f; d. f(x) = |x| – h

50. Escriban la fórmula de cada uno de los

siguientes gráficos, teniendo en cuenta que son corrimientos de la función f(x) = |x|. Luego, indiquen los intervalos de crecimiento, de decrecimiento, positividad y negatividad. a. y = |x + 2|, C = (–2;+∞ ), D = (–∞;–2) C – = no tiene, C + = (– ∞ ;–2) ∪ (–2;+∞ ) y

4 3 2 1 –4

–3

–2

–2

–1 –1 0 –2

1

2

x

b. y = –|x| + 3, D = (0;+∞ ), C = (–∞;0) C + = (–3,3),

–

C = (– ∞;–3) ∪ (3;+∞ )

y

3 2 1 –3

–2

–1

0

1

2

3

x

3

x

–1

8 7 6 5 4 3 2 1 –3

0 –1

y

–4

–1

c. y = |x – 1| + 1, C = (1;+ ∞ ), D = (–∞;1) C – = no tiene, C + = y

3 2 1

2

x

1 –3

al origen 2 b. C = (–∞;–1,5), a. Raíces: –4 y 1, ord. D = (–1,5;+∞ ) c. C + = (–4;1), C – =(–∞;–4) ∪ (1;+∞ ) d. Máx = (–1,5;5) e. (–∞;5] f. [–1,5;+∞ )→(–∞;5]

–2

–1

0

1

2

–1

81

capítulo

3

AUTOEVALUACIÓN Marquen las opciones correctas 51. ¿Cuál es la imagen de la función y = (x – 3) 2? a.

b.

+

X c. [0;+∞ )

d. (1;+∞ )

52. ¿Cuál es la imagen de la función y = |x – 2| – 3? a. [3;+∞ )

b. (–∞;3]

X c. [–3;+∞ )

d. (– ∞;–3]

53. ¿En cuál intervalo es creciente la función y = |x| – 4? a. (–∞;0)

X b. (0;+∞ )

c. (– ∞;–4)

d. (–4;+∞ )

54. ¿En cuál intervalo es negativa la función y = |x – 3|? a. (–∞;3)

b. (–∞;–3)

c. (3;+∞ )

X d. Ninguna de las anteriores.

55. ¿Cuál es la pendiente de la recta (y – 4) = –2 . (x – 1)? X b. –2

a. 2

c. –4

d. 1

y x __ 56. ¿Cuál es la distancia aproximada desde el punto a = (2;0) a la recta ___ –2 + 3 = 1?

a. –3,33

b. 9,23

c. –9,23

X d. 3,33

57. Dada la función y – 1 = 2 . (x + 1), ¿cuál de las siguientes rectas es paralela? X a. y = 2x

b. y = –2x

c. y = x

d. y = –x

58. El cuadrado abcd tiene dos vértices ubicados en a = (1;0) y b = (2;3); ¿cuál es su perímetro? ___

a.  10

82

b. 10

___

X c. 4 .  10

d. Ninguna de las anteriores.

Función cuadrática Contenidos 23. Función cuadrática.

4

24. Raíces de una función

cuadrática. Discriminante. 25. Distintas expresiones de la función cuadrática. 26. Gráfico de una función cuadrática. 27. Ecuaciones de segundo grado. 28. La parábola como lugar geométrico. 29. Ecuación de la parábola.

Durante el período helenístico se dio un avance fundamental en la historia de la matemática. Al cabo de varios siglos, esta se transformó por fin en una disciplina independiente de la filosofía. Grandes sabios contribuyeron a esto, como Euclides y Arquímedes. Este último también desarrolló de manera notable un aspecto de la matemática hasta entonces poco explorado por los griegos: las aplicaciones prácticas a problemas concretos. Sin embargo hay un tercer personaje, no tan famoso, pero no por eso menos importante. Hablamos de Apolonio de Perga, en cuyo tratado sobre las cónicas introdujo un término que se sigue usando en la actualidad: la parábola. Se trata de una curva que ya era conocida siglos atrás, aunque fue Apolonio el primero en estudiarla en profundidad y describir una propiedad geométrica que todavía se emplea para la construcción de objetos de gran utilidad, como antenas satelitales o colectores solares.

1. Lean atentamente y resuelvan. a. ¿Qué cambio fundamental se produjo en el período helenístico? b. ¿Qué objetos conocen que tengan forma de parábola? a. En el período helenístico, la matemática pasó a ser una disciplina independiente de la filosofía y comenzó a aplicársela a problemas concretos. b. Por ejemplo, las antenas parabólicas y los faros de los autos, entre otros.

o l u t í p a c

23

22

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29

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31

32

Función cuadrática ¿Para qué sirve? PÁGINA 8

INFOACTIVA

A la función polinómica de segundo grado f(x) = a x2 + bx + c, siendo a, b, c números reales y a ≠ 0, se la denomina función cuadrática. Los términos de la función reciben los siguientes nombres: y = a x2 + bx + c.

Término cuadrático

Término lineal

Término independiente

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola.  Funciones de la forma y = a x2.  Funciones de la forma: y = x2 + c . y

y

y = x 2

7

y = __1 x 2

4

3

–4

–2

y = x 2

5

2

y = x 2 + 3

3 0

2

4

y = x 2 – 3

x

1

–2

–4

–2 –1 0

–4

2

4

x

–3 y = –x 2

a > 0 → La parábola “va” hacia arriba. a < 0 → La parábola “va” hacia abajo. 0 < | a| < 1 → La parábola se abre. |a| > 1 → La parábola se cierra. 

c > 0 → La gráfica se desplaza hacia arriba. c > 0 → La gráfica se desplaza hacia abajo.

Funciones de la forma y = a x2 + bx .

y = _21_ x 2 + 2x

y

y

6

6 y = x 2

4

4

y = x 2

2 –6

–4

–2

0

2 2

4

6 x

–2 –4 y = – _21_ x 2 – 2x –6

Si a y b tienen el mismo signo, la gráfica se desplaza hacia la izquierda. 84

y = _21_ x 2 – 2x

–6

–4

–2

0

2

4

6 x

–2 –4 –6

1 2 y = – __ 2 x + 2x

Si a y b tienen distinto signo, la gráfica se desplaza hacia la derecha.

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En la gráfica de la función y = –2 x2, ¿el vértice representa un máximo o un mínimo? b. Las gráficas de las funciones y = 2x2 – x e y = –2 x2 + x, ¿se desplazan ambas hacia la derecha?

a. Un máximo, ya que a < 0. b. Sí, hacia la derecha, porque los signos de a y b en ambos casos son distintos.

23

ACTIVIDADES Función cuadrática

1. Escriban <, > o = según corresponda, sabiendo que los gráficos corresponden a funciones cuadráticas. a. De la forma y = ax2

–3

–2

–1

d. De la forma y = a x2 + c

y

y

1

3

0

1

2

3

2

x

1

–1 –2

–3

–2

–1

–3

a

<

b =

0

–2

–1

c = 0

0

a

<

b = 0

0

>

y

y

3

3

2

2

1

1

0

b =

0

1

2

3

–3

x

a

>

0

–2

–1

b

0

–2

–1

0

c

1

c

=

0

a

>

0

b

0

>

x

>

0

2

3

x

y

2

1 1

2

3

–3

x

–2

–1

0

–2

–1

–4

–2

–6

–3

0

c

=

0

f. De la forma y = a x2 + bx

y

0

=

3

–1

c. De la forma y = a x2 + c

–3

2

e. De la forma y = a x2 + bx

–1

a

1

–1

b. De la forma y = a x2

–3

0

c

<

0

a

<

0

b

>

1

0

2

3

x

c = 0 85

24

23

25

26

27

28

29

30

31

32

33

Raíces de una función cuadrática. Discriminante INFOACTIVA Las raíces de una parábola, y = ax2 + bx + c, se calculan mediante la fórmula: ________

±  b2 – 4ac ______________ x1,2 = –b 2a

Calculen en forma analítica las raíces de la función y = x2 – x – 6. _______________

–(–1) ±  (–1)2 – 4 . 1 . (–6) x 1,2 = _______________________ 2.1

a = 1; b = –1; c = –6

___ 1+5 _____  25 1 ± 1 ± 5 = 2 ⇒ x1 = 3 _______ = 2 = _____ 1 – 5 ⇒ x = –2 _____ 2 2 2

{

Al radicando b2 – 4ac se lo llama discriminante, ya que el valor del mismo sirve para discriminar la naturaleza de las raíces (se lo simboliza con la letra griega Δ, delta). Δ = b 2 – 4ac

Si Δ > 0 ⇒ Raíces reales distintas . Si Δ = 0 ⇒ Raíces reales iguales . Si Δ < 0 ⇒ Raíces no reales. Δ > 0

Δ = 0

y

Δ < 0

y

x 1

x 2 x

y

x 1 = x 2

x

x

La gráfica tiene dos puntos La gráfica tiene un punto de La gráfica no tiene puntos de de intersección con el eje x . intersección con el eje x . intersección con el eje x .

y = –x2 – x + 2 Δ = (–1)2 – 4 . (–1) . 2 = 9

x 1 –3 –2

–1

y = x2 + 4x + 4 Δ = 42 – 4 . 1 . 4 = 0

y

y

y

3

5

5

2

4

4

1

3

3

2

2

1

1

0

x 2 1

2

x

–1 –2 –3

86

y = x2 + 2x + 3 Δ = 2 2 – 4 . 1 . 3 = –8

x 1 = x 2 –4

–3

–2

–1 0 –1

1 x

–4

–3

–2

–1 0 –1

1 x

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. La ecuación x2 – 2x + 1 = 0, ¿tiene raíces reales? ¿Cómo son esas raíces? b. Si las raíces de una ecuación cuadrática no son reales, ¿la gráfica corta al eje x ? a. Sí. Iguales. b. No.

24

ACTIVIDADES Raíces de una función cuadrática. Discriminante

2. Marquen una X donde corresponda. Discriminante

Ecuación

> 0

x2 +5x – 14 = 0

=0

X

Reales iguales

X

x2 – 6x + 4 = 0

X

x2 + 2x + 1 = 0 3

Reales distintas

2x + 3 = 0

No reales

X

x2 + 10x + 29 = 0

1 x2 – __

< 0

Tipo de raíces

X X

X

X

X

X

3. Calculen en forma analítica las raíces de las siguientes funciones. a. y = 4 x2 – 4x + 1

d. y = x2 – 6x + 9

x1 = x 2 = _21_

x1 = x 2 = 3

__

b. y = x2 + 2 .  5 x – 1 x1 =

__ __  5 +  6 ;

x2 =

c. y = x2 – 2x + 17 Raíces no reales.

__ __  5 –  6

e. y = __21 x2 – x + 2 Raíces no reales.

f. y = x2 + 2x – 2 __

__

x1 = 1 +  3 ; x2 = 1 –  3

87

25

24

26

27

28

29

30

31

32

33

34

Distintas expresiones de la función cuadrática INFOACTIVA La función cuadrática puede ser expresada de distintas maneras. POLINÓMICA f(x) = a x2 + bx + c

Se desarrolla el cuadrado de un binomio.

Se aplica la propiedad distributiva.

Se busca el vértice. Se CANÓNICA f(x) = a . (x – x v )2 + y v El vértice y el eje de simetría se reconocen con facilidad. y

eje de simetría

8

FACTORIZADA f(x) = a . (x – x ) . (x – x 2 ) 1 Las raíces se identifican en forma inmediata. y

x = 2

6

v = (–2;5)

buscan las raíces.

8 6

y = (x – 2) 2 + 3

4 x 1 = –3

2 –6 y = – _21_ . (x + 2)2 + 5

–4

–2

x = –2

0 –2

2

4

6 x

–4

Canónica

y = – _21_ x . (x – 5)

4 2

–2

x 2 = 5

0 –2

2

4

6 x

x 1 = 0

y1 = – _12_ . (x + 2) . (x + 5) = – _12_ x2 – _72_ x – 5 Factorizada

Polinómica

Polinómica 2

y2 = 2 . (x – 1) . (x – 3) = 2 x – 8x + 6

y2 = (x – 2) + 3 = x – 4x + 7 Canónica

–4

x 2 = –1

–4

2

2

–6

eje de simetría

y1 = – _12_ . (x + 2) 2 + 5 = – _12_ x2 – 2x + 3

y = 2 . (x + 1) . (x + 3)

Factorizada

Polinómica

Polinómica

Las raíces x 1 y x 2 de una ecuación de segundo grado (a x2 + bx + c) y los coeficientes a, b y c de su forma polinómica se relacionan de la siguiente manera: x1 + x 2 = – _ba_

x1 . x2 = _ac_

a x2 + ___ bx + _c_ = 0 ⇒ x 2 + ___ bx + _c_ = 0 a x2 + bx + c = 0 ⇒ ___ a a a a a

Reconstruyan la ecuación de segundo grado cuyas raíces son x 1 = – _32_ y x2 = _14_. x1 + x2 = – _ab_ ⇒ – _32_ + _14_ = – _ba_ ⇒ – _54_ = – _ba_ ⇒ _ba_ = _54_ _c_ ⇒ – _3_ . _1_

x1 . x 2 = a 88

2 4

= _c_ ⇒ _c_ = – _3_ a

a

8

}

_ x – _3_ ⇒ x2 + _5 4 8

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la función y = –2 . (x – 3) 2 – 2? b. En la función y = (x + 3) . (x + 1), ¿la abscisa del vértice es 2? a. El punto (3;–2). b. No; es –2, ya que es el valor medio entre las raíces.

25

ACTIVIDADES Distintas expresiones de la función cuadrática

4. Escriban en forma canónica la función cuadrática que corresponde en cada caso. a. El vértice se encuentra en el punto (3;–2) y el coeficiente principal es –1. y = –(x – 3)2 – 2

b. El vértice de la función es el punto (–3;–1) y pasa por el punto (1;1). y = _81_ . (x + 3)2 – 1

5. Escriban en forma factorizada la función cuadrática que corresponde en cada caso. a. Las raíces de la función son x 1 = –3 y x2 = 1, y el coeficiente principal es –2. y = –2 . (x + 3) . (x – 1)

b. Pasa por los puntos (2;0), (3;0) y (–1;2). y = _61_ . (x – 2) . (x – 3)

6. Completen la siguiente tabla. Forma factorizada

Forma polinómica

Forma canónica

y = –(x – 2) . (x + 2)

y = –x2 + 4

y = –x2 + 4

y = 2 . (x – 1) . (x + 3)

y = 2x2 + 4x – 6

y = 2 . (x + 1)2 – 8

y = (x + 3)2

y = x2 + 6x + 9

y = (x + 3)2

y = _21_ x . (x – 8)

1 2 y = __ 2 x – 4x

y = __21 . (x – 4)2 – 8

7. Marquen las opciones correctas. a. ¿Cuál es el vértice de la función y = 2 . (x + 3) 2 – 4? (3;–4)

(2;–4)

X (–3;–4)

(–2;–4)

b. ¿Cuales son las raíces de la función y = x 2 + x – 6? x1 = 2 y x2 = 3

X x1 = 2 y x 2 = –3

x1 = –2 y x2 = 3

c. ¿Cuáles son las raíces de la función y = __31 . (x – 6)2 ? 1 x1 = 6 y x2 = __ x1 = –6 y x2 = __31 x1 = 6 y x2 = –6 3

x1 = –2 y x2 = –3 X x1 = 6 y x 2 = 6 89

25


8. Completen con la letra que identifica al gráfico que corresponde a cada función. 

Gráfico A

Gráfico B



Gráfico C

y

y

y

6

1

2

4

–1

2 –1



0

0

1

2

3

1

4 x

–1 1

2

3

4 x

–2

–2

–1

0

–2

–1

–3

–2

1

a. y = – (x – 1) . (x – 3) B

c. y = (x – 2) 2 + 1 A

e. y = – (x – 2)2 + 1 B

b. y = (x + 2) . (x – 1) C

d. y = x2 – 4x + 5 A

f. y = x2 + x – 2 C

2

x

9. Escriban V (Verdadero) o F (Falso), según corresponda. Expliquen las respuestas. El vértice de f(x) = a . (x – h) 2 + k coincide con una de las raíces de g(x) = a . (x – x 1 ) . (x – x2 ), entonces...

a. ... la función f(x) tiene dos raíces iguales.

V

b. ... la función f(x) es positiva en todo su dominio, menos en x = h. F c. ... el vértice de f(x) es (h;0).

V

d. ... si x1 < 0 y x2 < 0, entonces h > 0.

F

Podría ser negativa, depende del signo de a.

Debe ser negativo.

10. Escriban en forma polinómica cada una de las siguientes funciones cuadráticas. a. Tiene por raíces a x 1 = –2 y a x 2 = –3, y pasa por el punto (0;6). y = x2 + 5x + 6

b. Pasa por los puntos (0;0), (4;0) y (2;–4). y = x2 – 4x

c. El vértice es el punto (0;–2) y una de las raíces es x 1 = –1. y = 2x2 – 2

d. La ordenada al origen es 5 y sus raíces son x 1 = –1 y x2 = 1. y = –5x2 + 5

90

25


11. Reconstruyan la ecuación de segundo grado que corresponde en cada caso. a. x 1 = 2 y x2 = –3

c. x 1 = –1 y x2 = 0

x2 + x – 6 = 0

x2 + x = 0

b. x 1 = 2 y x2 = –1

d. x 1 = 2 y x2 = 5

x2 – x – 2 = 0

x2 – 7x + 10 = 0

12. Escriban las funciones cuadráticas en la forma indicada. a.

c.

y

y

2

2

1 –5

–4

–3



Forma canónica:



Forma polinómica:

–2

–1

0

–5 1

0

–4

–2

–6

y = (x + 3)2 – 2 y = x2 + 6x + 7

–2

–1

–1

0

1

x

–2



Forma factorizada:

y = –x . (x + 3)



Forma polinómica:

y = – x2 – 3x

d.

y

2 –3

–2

x

y

–4

–3

–1

b.

–5

–4

1 1

–1

x

0

–2

–1

–4

–2

–6

–3

1

2

3

4

5



Forma factorizada:

y = (x + 3) . (x – 1)



Forma canónica:

y = –(x – 2)2



Forma polinómica:

y = x2 + 2x – 3



Forma polinómica:

y = – x2 + 2x – 4

x

mente ACTIVA Una compañía de telefonía celular, de acuerdo con un estudio de mercado, sabe que el ingreso mensual de la empresa cuando la tarifa es de x pesos mensuales está dado por la función f(x) = –600x . (x – 300), donde 0 < x < 300. a. ¿Cuál debe ser la tarifa mensual para que el ingreso sea máximo? ¿Cuál es ese ingreso? b. ¿A partir de qué tarifa mensual la empresa comienza a tener pérdidas? a. $150, $13 500 000 b. A partir de $300. 91

26

25

27

28

29

30

31

32

33

34

35

Gráfico de una función cuadrática INFOACTIVA Para realizar el gráfico de una parábola, f(x) = a x2 + bx + c, se deben calcular los elementos de la misma y luego, representarla. Raíces de la parábola. Son los puntos de intersección de la gráfica y el eje x , vale decir que f(x) = 0. 

________

±  b2 – 4ac ______________ x1,2 = –b 2a 

y

Vértice

Vértice de la parábola.

xv =

x1 + x 2 _______

b o xv = – ___ 2a

2

yv = f( x ) v

Las coordenadas del vértice son: V = x ( v;f x ( v ) ).

Ordenada al origen Raíz x 1

Eje de simetría. Es la recta que tiene por ecuación x = x v. 

Punto simétrico

a í r t e m i s e d e j E

Raíz x 2 x

Ordenada al origen. Es el punto de intersección de la gráfica con el eje y , vale decir que f(0) = c. 



Punto simétrico a la ordenada al origen con respecto al eje de simetría.

Representen la función f(x) teniendo en cuenta los elementos de la parábola. f(x) = x2 – 2x – 3 ⇒ a = 1 ∧ b = –2 ∧ c = –3 _______________

Raíces:

–(–2) ±  (–2)2 – 4 . 1 . (–3) x1; x2 = _______________________ 2.1 ______ 2 ±  4 + 12 = ___________ 2 ___ ±  16 = 2_______ 2 2±4 = _____ 2

2+4 = 3 _____

x1 = 2 Vértice: –(–2) xv = _____ 2.1

y

6 y = x – 2x – 3 2

2 – 4 = –1 _____

x2 = 2

–6

4

2 Raíz x 2 = –1 –4 –2 0

–2 Ordenada al origen (0;–3) –4

xv = 1

yv = 12 – 2 . 1 – 3 y v = –4

–6

x = 1 a í r t e m i s e d e j E

2

Raíz x 1 = 3 4 6 x Punto simétrico (2;–3)

Vértice (1;–4)

V = (1;–4) Eje de simetría: x = 1 92

Ordenada al origen: (0;–3)

Punto simétrico: (2;–3)

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En una función cuadrática, ¿cuál es el punto en el que la parábola pasa de ser creciente a ser decreciente o viceversa? b. Si las raíces de una función cuadrática son iguales, ¿cuál es el valor de la abscisa del vértice?

a. El vértice, sea máximo o mínimo, se encuentra en el cambio de crecimiento. b. El mismo valor que el de las raíces.

26

ACTIVIDADES Gráfico de una función cuadrática

13. Observen los gráficos y completen. a. y

Raíces:

(–2;0) y (2;0)

Vértice:

(0;4)

2

Eje de simetría:

x = 0

1

Ordenada al origen:

(0;4)

Intervalo de crecimiento:

(–∞;0)

Intervalo de decrecimiento:

(0;+∞ )

Raíces:

(0;0) y (4;0)

3

Vértice:

(2;4)

2

Eje de simetría:

x = 2

1

Ordenada al origen:

(0;0)


(–∞;2)


(2;+∞ )

Raíces:

(–1;0) y (3;0)

Vértice:

(1;–4)

–1

Eje de simetría:

x = 1

–2

Ordenada al origen:

(0;–3)

–3


(1;+∞ )

–4


(–∞;1)

4 3

–1 –0

–2

1

2

3 x

–1

b. y

4

–1 –0

1

2

3

4 x

–1

c. y

1 –1

0

1

2

3

4 x

93

26


14. Realicen el gráfico aproximado de cada una de las siguientes funciones y escriban los datos indicados en cada caso. a. y = x2 + 2x – 3 Raíces:

(–3;0) y (1;0)

Vértice:

(–1;–4)

Eje de simetría:

x = –1

Ordenada al origen:

(0;–3)

Punto simétrico:

(–2;–3)


(–1;–∞ )

–3

Intervalo de decrecimiento: (–∞;–1)

–4

y

1 –4

–3

–2

–1 0

1 x

–1 –2

b. y = (x – 3)2 – 1 Raíces:

(2;0) y (4;0)

Vértice:

(3;–1)

4

Eje de simetría:

x = 3

3

Ordenada al origen:

(0;8)

2

Punto simétrico:

(6;8)

1


(3;+∞ )

y

–1

– 0

1

2

3

4 x

1

2

3 x

–1

Intervalo de decrecimiento: (–∞;3)

c. y = (x – 3) . (x + 2)

Eje de simetría:

(–2;0) y (3;0) 25 _1_;– ___ 2 4 x = _21_

Ordenada al origen:

(0;–6)

–2

Punto simétrico:

(1;–6)

–4


(–∞;0,5)

–6

Raíces: Vértice:

(

Intervalo de decrecimiento: (0,5;+∞ )

94

y

)

2 –2

–1

0

–8

26


15. Completen con la letra que identifica al gráfico correspondiente, sabiendo que las gráficas representan funciones de la forma y = ax 2 + bx + c.  Gráfico A



Gráfico B

y

y

4 2 3 1 2 –2

1

–1

0

1

2

3

4

x

–1 –2

–1 0

1

2

3

4

x

–2

–1

a. El discriminante negativo. A

c. a > 0 y b > 0 A

b. El vértice es un máximo. B

d. Tiene raíces reales. B

16. Marquen las opciones correctas. a. En la función y = 2 . (x – 2) 2 + 1... ... el vértice es el punto (2;–1). X ... las raíces no son reales.

... la ordenada al origen es el punto (0;1). X ... el intervalo de crecimiento es (2;+ ∞ )

b. En la función y = _12_ . (x – 3) . (x + 4)... X ... el eje de simetría es x = – __21 . _ ... el intervalo de crecimiento es (– ∞;– _21 ).

X ... las raíces son x1 = 3 y x 2 = –4.

... la imagen de 2 es 3.

c. En la función y = x 2 – 3x... X ... la ordenada al origen coincide con una raíz.

... el eje de simetría es x = _21_. ... la imagen es (0;+ ∞ ). X ... una raíz es x = 3.

d. En la función y = _21_ x2 + 2x + 2... X ... las raíces son reales e iguales. X ... el vértice es (–2;0). X ... el intervalo de crecimiento es (–2; ∞ ). X ... la ordenada al origen es 2.

mente ACTIVA Martín juega al básquet. En un entrenamiento, lanza la pelota de modo tal que sigue la trayectoria descripta por la función f(x) = – x2 + 5x + 6, donde x representa el tiempo en segundos y f(x) la altura a la que se encuentra la pelota en m. a. Realicen el gráfico correspondiente. b. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? c. ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en tocar nuevamente el piso? d. ¿Desde qué altura lanza Martín la pelota? a. Solución a cargo del alumno. b. 12,25 m c. 6 seg d. Desde los 6 m. 95

INTEGRACIÓN 17. Respondan.

22. Escriban la fórmula de una función cuadráti-

a. Si la gráfica de una parábola crece en el intervalo (–∞;3), ¿cuál es el eje de simetría? b. Si el eje de simetría de una parábola es x = 2, ¿cuál punto es el simétrico de (1;3)? c. Si las raíces de una función cuadrática son x1 = –1 y x2 = 4, ¿cuál es la abscisa del vértice? d. Si una función cuadrática decrece en el intervalo (–∞;3), ¿cuál es el intervalo de crecimiento? e. Las parábolas, ¿siempre cortan al eje y ?

a. x = 3, b. (3;3), c. x = _32_, d. (3;+∞ ), e. Sí.

18. Marquen las opciones correctas. Luego, escriban en forma factorizada cada una de las funciones marcadas. ¿Cuáles de las siguientes funciones tienen raíces reales distintas? X a. y = 2x2 – 3x + 1 X b. y = x2 – 8x + 2

c. y = –x + x – 3 2

ca que cumpla con las condiciones indicadas en cada caso. a. Las raíces son reales y distintas. b. El eje de simetría sea x = 2. c. Las raíces coinciden con el vértice. d. El discriminante es negativo. e. Una raíz es cero. f. Una raíz coincide con la ordenada al origen. Solución a cargo del alumno.

23. Escriban la función correspondiente a cada gráfico en forma polinómica. a. y = _49_ x2 – _49_ x – _89_ y

2 1

X d. y = 2x2 + 7x + 3

e. y = 4x2 + 3x – 1

–3

–2

–1

2

3

x

1

2

3

x

1

2

3

x

–1

f. y = x + 6x + 9

siguientes funciones tenga sus raíces iguales. a. y = x2 + 4x + t c. y = x2 – tx + 16 b. y = 9x2 – tx + 1x d. y = tx2 + 6x + 9

–2

16 b. y = – _89_ x2 – _89_ x + ___ 9 y

2

a. 4, b. 6 y –6, c. 8 y –8, d. 1 y –1

1

20. Calculen el valor de k , teniendo en cuenta las condiciones indicadas en cada caso. a. Una raíz de la función y = 3x2 – 10x + k es 3. b. Las raíces de la función y = –3x2 – 2x + k no son reales. c. Las raíces de la función y = –x2 + 2x – k son iguales. d. Las raíces de la función y = 2x2 – kx + 2 son reales.

–3

–2

–1

0 –1 –2

c. y = x2 + 4x + 4 y

4

a. k = 3 b. k < – _31_ c. k = 1 d. k  (–∞;4]  [4;+∞ )

21. Escriban las funciones en forma canónica e

3

indiquen las coordenadas del vértice. a. y = x . (x + 3) d y = –3 . (x – 1) . (x + 1) b. y = 2 . (x – 1) . (x + 2) e. y = –(x – 3) . (x + 1) c. y = (x + 3) . (x – 3) f. y = __21 . (x – 2) . (x + 4)

2


1

2

Solución a cargo del alumno. 19. Calculen el valor de t para que cada una de las

96

0

1 –3

–2

–1

0

capítulo

4

CONTENIDOS

23*24*25*26 24. Marquen las opciones correctas.

25. Grafiquen las siguientes funciones e indi-

¿Cuál es la función que corresponde a cada gráfico? a.

quen en cada caso las raíces, el vértice, el eje de simetría, la ordenada al origen, la imagen y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. a. y = –x2 + 9 d. y = – (x + 3)2 + 2 b. y = (x + 2) 2 e. y = x2 + 2x c. y = x2 – 4x f. y = __21 . (x – 2) . (x + 1)

y

6 4 2 –3

–2

–1

0


1

2

3

x

–1

y = (x – 2) . (x + 3) y = x . (x + 3) X y = – (x – 2) . (x + 3)

26. Resuelvan. a. Realicen el gráfico aproximado de una función cuadrática, sabiendo que sus raíces son x 1 = (1;0) y x2 = (3;0) y la ordenada al origen es positiva. b. ¿Cuántas funciones cumplen con lo pedido? c. ¿La función graficada tiene un máximo o un mínimo? a. Solución a cargo del alumno. b. Infinitas. c. Mínimo.

b.

27. Reconstruyan las ecuaciones cuadráticas a y

2 1 –3

–2

–1

0

1

2

3

x

–1 –2

y = 2x2 + x – 1

28. Resuelvan.

X y = 2x2 – x – 1

Escriban la forma polinómica y la forma factorizada de una función cuadrática sabiendo que tiene una raíz en x = 8 y alcanza un mínimo en el punto (6;–12).

y = –2x – x – 1 2

c. y

2 –5

–4

–3

partir de sus raíces. a. x 1 = –2__ y x2 = 4 __ x2 – 2x – 8 = 0 b. x1 =  2 y __x2 = –  2 x2 – 2 = 0 __ c. x 1 = 1 +  3 y x2 = 1 –  3 x2 – 2x – 2 = 0 d. x1 = 0 y x2 = – __21 2x2 + x = 0 e. x 1 = 6 y x2 = 4 x2 – 10x + 24 = 0 f. x 1 = _32_ y x 2 =__ 3 2x2 – 9x + 9 = 0 __ g. x 1 = –2 +  3 y x2 = –2 –  3 x2 + 4x + 1 = 0 h. x1 = – _34_ y x2 = 0 4x2 + 3x = 0

–2

–1

0 –2 –4 –6

a. y = 3x2 – 36x + 96 b. y = 3 . (x – 4) . (x – 8) 1

x

29. Marquen con las opciones correctas. Dada la función y = (x – 3) 2 + 2. a. ¿Cuál es el eje de simetría? X x = 3

x=2

x = –3

b. ¿En qué intervalo crece? y = (x + 3) 2 X y = – (x + 3) 2

y = – (x – 3) 2

X (3;+∞ )

(–3;+∞ )

(–∞;3)

c. ¿Cuál es la ordenada al origen? (0;3)

(0;2)

X (0;11)

97

27

26

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29

30

31

32

33

34

35

36

Ecuaciones de segundo grado INFOACTIVA La forma general de las ecuaciones de segundo grado es: a x2 + bx + c = 0 ∧ a ∈

∧ b ∈

∧ c ∈

∧ a ≠ 0

Ecuaciones incompletas Si b = 0, la ecuación de segundo grado es incompleta de la forma a x2 + c = 0. __ Para resolver este tipo de ecuaciones, se despeja el valor de la x teniendo en cuenta que  x2 = |x|. 

x2 – 16 = 0 x2 = 16 __ ___  x2 =  16 |x| = 4 x1 = 4 ∧ x2 = –4

–3x2 + 27 = 0 –3x2 = –27 x2 = 9__ __  x2 =  9 |x| = 3 x1 = 3 ∧ x2 = –3

_1_ x 2 – 5 = 0 5 _1_ 2 x = 5

5

2

x = 25 __ ___

 x2

=  25 |x| = 5 x1 = 5 ∧ x2 = –5

Si c = 0, la ecuación de segundo grado es incompleta de la forma a x2 + bx = 0. Para resolver este tipo de ecuaciones, se debe tener en cuenta que m . n = 0 ⇒ m = 0 ∨ n = 0. 

x2 – 2x = 0 x . (x – 2) = 0

–5x2 + x = 0 x . (–5x + 1) = 0

{

{

x1 = 0 x2 – 2 = 0 ⇒ x2 = 2

x1 = 0 –5x2 + 1 = 0 ⇒ x2 = _15_

Ecuaciones completas Si la ecuación es completa, o sea que ninguno de sus coeficiente es igual a cero, los valores de x que la satisfacen se encuentran aplicando una fórmula en la cual estos intervienen. ________

±  b2 – 4ac ______________ a x + bx + c = 0 ⇒ x 1,2 = –b 2a 2

2x2 + x – 3 = 0 ⇒ a = 2 ∧ b = 1 ∧ c = –3 _____________

x1,2 =

–1 ±  12 – 4 . 2 . (–3) __________________ 2.2

______

±  1 + 24 = ______ –1 ± 5 ⇒ x = ______ –1 + 5 = 1 ∧ x = ______ –1 – 5 = – _3_ ___________ = –1 1 2 4 4 4 2 4

2x2 + 4x + 2 ⇒ a = 2 ∧ b = 4 ∧ c = 2 __________

________

–4 ±  42 – 4 . 2 . 2 = ________________

±  16 – 16 _____________ = –4 4

x1,2 98

2.2

–4 ± 0 ⇒ x = x = –1 = ______ 1 2 4

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. La ecuación x2 + 9 = 0 ¿tiene soluciones reales? b. La ecuación x2 + 2x + 1 = 0, ¿cuántas soluciones tiene? a. Raíces no reales. b. Una doble, x1 = x 2 = –1.

27

ACTIVIDADES Ecuaciones de segundo grado

30. Resuelvan las siguientes ecuaciones incompletas. a. 2x2 – 50 = 0 x1 =5; x2 = –5

b. x 2 + 49 = 0 La solución no es real.

c. 2x2 = 3x2 + 36 La solución no es real.

d. 3x2 + 2x = 0 x1 = 0; x2 = – _23_

g. _43_ x2 – _23_ x = 0

x1 = 0; x2 = _21_

h. x2 – 9 = 0 x1 = 3; x2 = –3

i. –x 2 + 1 = 0 x1 = 1; x2 = –1

j. _21_ x2 – 8 = 0 x1 = 4 y x2 = –4

e. – x2 – __21 x = 0

k. –2x2 – __21 x = 0

f. x 2 = –4x

l. __21 x2 – 4x = 0

x1 = 0; x2 = – _21_

x = 0; x = –4

x1 = 0 y x2 = – _41_

x = 0; x = 8

99

27


31. Planteen la ecuación y respondan. a. La diferencia entre un número y la mitad de su cuadrado es igual a 0. ¿De qué número se trata? 1 2 x – __ 2 x = 0; 0 y 2

b. La suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos da por resultado 613. ¿Cuáles son esos números? x2 + (x + 1)2 = 613; 17 y 18

c. Si al multiplicar dos números pares consecutivos, se obtiene 1 088, ¿qué números se multiplicaron? 2n . (2n + 2) = 1 088; 34 y 32

d. El anterior del doble del cuadrado de un número es igual a 7. ¿Cuál es el número? 2 x2 – 1 = 7; 2 y –2

e. En un cuadrado, la diagonal mide 3 cm más que el lado. ¿Cuánto mide la diagonal? ¿Cuál es el área? (l + 3)2 = 2l; d = 10,24 cm; área = 52,46 cm 2

f. ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyo lado mide 5 cm menos que la diagonal? d2 = 2 . (d – 5)2; área = 145,71 cm2

32. Calculen el perímetro de las figuras sabiendo que el área de cada una es igual a 14 cm 2. a.

c.

x + 5 cm

x – 1 cm

x

x – 1 cm

18 cm

20,85 cm

b.

x

d. x ___

4 .  14 cm

100

__

20 .  2 cm

7x

27


33. Resuelvan las siguientes ecuaciones. a. x 2 + x – 6 = 0

____

f.  x+ 2___= x – 3 7 +  21 _______

2 y –3

2

b. x 2 – 2x – 3 = 0 3 y –1

__________

g.  x2 + 3x + 7 = 5 3 y –6

c. x + x2 + 1 = 0 No son reales.

d. 2x2 – 8x + 9 = 0 No son reales.

e. (x + 2)2 = x + 2 –1 y –2

h. –3 . (x + 1)2 + 12 = 0 –3 y 1

i. 2x__ . (x –__1) – 3 = x – 3x – 2 2  ___

2  ___ 2 y– 2

j. (x + 3) . (6x – 3) + 5 . (9 – 7x) = 22 No son reales.

34. Calculen el valor de k conociendo el valor de una de las raíces de la ecuación. a. x = 2 es raíz de x 2 – 3x + k = 0 2

b. x = 3 es raíz de x 2 – kx + 6 = 0 5

mente ACTIVA Calculen el perímetro de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son números pares consecutivos. x2 + (x + 2)2 = (x + 4)2. Los lados miden 6, 8 y 10 unidades. Perímetro = 24 unidades.

101

28

27

29

30

31

32

33

34

35

36

37

La parábola como lugar geométrico INFOACTIVA Una parábola es el lugar geométrico de los puntos que están a igual distancia de un punto fijo llamado foco y una recta fija denominada directriz. Para construir una parábola dados un foco (f ) y una directriz (D), se pueden seguir estos pasos.

1. Se traza una recta A perpendicular a D, que pase por f .

2. Se traza una recta B para3. Con centro en f , se traza lela a D entre f y D de modo una circunferencia de radio que su distancia a f sea menor igual a la distancia entre D y B. o igual que la distancia a D.

D

D

f

A

4. Se marcan los puntos de intersección entre la circunferencia y la recta B.

D

A

D

f

A

5. Se repiten los pasos del 2 al 4, considerando cada vez una recta paralela a D distinta a B.

B

D

f

B

A

f

A

6. Se unen los puntos de intersección entre las rectas y las circunferencias, obteniendo así la parábola.

B’ B B’’’

f

D

A

B’’

El vértice de la parábola se encuentra en A en el punto medio entre f y D.

102

B

f

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Qué elemento de la parábola es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco? b. ¿El foco puede pertenecer a la directriz? a. El eje de simetría de la parábola; b. No, porque no habría puntos que equidisten de ambos.

28

ACTIVIDADES La parábola como lugar geométrico

35. Construyan la parábola con los datos indicados en cada caso. a.

c.

D

f

f

D

b.

d.

D

f

f

D

103

29

28

30

31

32

33

34

35

36

37

38

Ecuación de la parábola INFOACTIVA Para obtener la ecuación general de una parábola , se elige el sistema de coordenadas de modo que el vértice tenga coordenadas v = (0;0), y que el eje de simetría coincida con alguno de los ejes de coordenadas. Si el eje de simetría es el eje x , el foco f = (p;0) y la directriz (D) x = –p, donde p ∈ ∧ p ≠ 0, y2 ___ la ecuación de la parábola es x = 4p . |p| es la distancia entre el vértice y el foco o entre el vértice y la directriz. 

Si p > 0, el foco está a la derecha de la directriz y la parábola tiene sus ramas hacia la derecha.

y

D: x = –p

v = (0;0) f = (p;0) x

p

Si p < 0, el foco está a la izquierda de la directriz y la parábola tiene sus ramas hacia la izquierda.

y

D: x = p

v = (0;0) f = (–p;0)

x

p

Si el eje de simetría es el eje y , el foco f = (0;p) y la directriz (D) y = –p, donde p ∈ ∧ p ≠ 0, 2 ___ la ecuación de la parábola es y = x 4p . 

Si p > 0, el foco está arriba de la directriz y la parábola tiene sus ramas hacia arriba.

Si p < 0, el foco está debajo de la directriz y la parábola tiene sus ramas hacia abajo.

y

p

f = (p;0)

v = (0;0)

x

y

D: x = –p v = (0;0) p

x

f = (–p;0)

D: x = –p

Para obtener la ecuación de la parábola conociendo el foco y la directriz se pueden seguir estos pasos. Obtengan la ecuación de la parábola sabiendo que f = (–3;0) y D: x = 3. y2

Ecuación general de la parábola: x = ___ 4p

Distancia del foco al vértice v = (0;0) es 3  |p| = 3.

p < 0 porque la parábola tiene las ramas hacia la izquierda  p = –3

La ecuación de la parábola es:

y2

x = ____ –12

Para obtener el foco y la directriz de una parábola conociendo su ecuación, se pueden seguir estos pasos. Obtengan el foco (f) y la directriz (D) de la parábola y = 3x2. x2 = 3 . 4p ⇒ 1 = 12p ⇒ p = ___ x2 ∧ y = 3x2 x2 = 3x2 ⇒ __ 1 ___ y = ___ 2 4p 4p 12 x La parábola tiene sus ramas hacia arriba, porque p > 0. 1 1 f = ( 0;___ y ___ 12 ) y la directriz es la recta = – 12 . 104

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen2 las respuestas. y

a. En la ecuación x = ___ 20 , ¿cuáles son las coordenadas del foco? b. ¿Cuál es el eje de la parábola 6y = x 2?

a. f(5;0) b. El eje y.

29

ACTIVIDADES Ecuación de la parábola

36. Escriban la ecuación de la directriz y de la parábola en cada uno de los siguientes casos. a. f = (2;0)

c. f = (0;4)

D: x = –2, y2 = 8x

D: y = –4, x2 = 16y

b. f = (0;–5)

d. f = (–4;0)

D: y = 5, x2 = –20y

D: x = 4, y2 = –16x

37. Escriban en cada caso las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz. a. x 2 = 3y

p = _34_, f = 0;_34_ , D: y = – _34_

c. x 2 = –7y

p = – _74_, f = 0;– _74_ , D: y = _74_

( )

b. y2 = __21 x

1 _1_ p = _81_; f = ( __ 8 ;0 ) ; D: x = – 8

(

d. y2 = – _32_ x

)

p = – _38_; f = – _38_;0 ; D: x = _38_

( )

38. Completen la tabla. Ecuación

Foco

Directriz

Sentido de las ramas

x2 = 2y

( 0;__21 )

hacia arriba

6x = y2

( _32_;0 )

–2 x2 = 3y

( 0;– _38_ ) ( – _98_;0 ) ( 0;_53_ )

y = – _21_ x = – _32_ y = _38_ x = _98_ y = – _53_

9x + 2y2 = 0 20y = 3 x2

hacia la derecha hacia abajo hacia la izquierda hacia arriba 105

INTEGRACIÓN 39. Resuelvan las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas. a. 4x2 – 3x = 0 b. 3x2 – 48 = 0 c. –8 + x2 = 0 d. 3x2 – 2x = 0 e. x + x2 = 0 f. x2 – x = 0

g. 6 x2 – 12 = 0 h. 4 x2 = x 2 + 9 i. 9x – 5 x2 = 0 2 j. –7 x2 + 12 = 2 . (1 – x ) k. 10x + 5 x2 = 13x l. 4 . (4 x2 – 4) = 4


40. Planteen y resuelvan los siguientes problemas. a. La diferencia entre el cuadrado de un número natural y el cuadrado de su mitad es 192. ¿Cuál es el número? b. La suma de los cuadrados de dos números positivos consecutivos es 313. ¿Cuáles son esos números? c. Los lados de un rectángulo miden 4 cm y 7 cm, respectivamente. ¿En cuánto se deben disminuir los lados para que el área disminuya 10 cm2? d. Un número más 5 veces su raíz cuadrada da por resultado 126. ¿De qué número se trata? e. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado cuya diagonal mide 8 cm? f. En un triángulo rectángulo, las medidas de los lados son tres números consecutivos. ¿Cuánto mide cada lado? ¿Cuál es el área? ¿Y el perímetro? g. La suma de dos números es cero y su producto, –4. ¿Cuáles son esos números? h. En un número de dos cifras la suma de las mismas es 7 y la suma de sus cuadrados es 29. ¿Cuál es el número? i. Al multiplicar dos números se obtiene 405 y al sumarlos, 42. ¿De qué números se trata? Solución a cargo del alumno.

41. Marquen las opciones correctas. Al doble de un número se lo disminuye en 6, se le calcula el cuadrado y se le resta 4, obteniendo 0. ¿Qué números cumplen con esta condición? X c. 2 a. –2 e. –4 d. –16 f. 16 X b. 4 (2x – 6)2 – 4 = 0

106

42. Resuelvan. 5y–2 a. x 2 + 7x + 10 = 0 –5 y 8 b. 2x2 – 6x – 80 = 0 __ __  6 – 4 y –  6 – 4 c. __21 x2 + 4x + 5 = 0 4y1 4=0 __ d. x2 – 5x + __ __  ___ –  3 y – 23 e. 2x2 + 3 .  3 x + 3 = 0 Raíces no reales. f. x 2 + 2x + 2 = 0 4y2 g. x 2 + 36 – 12x + x 2 = 20 0 h. (x + 5)2 = 50 – (x – 5) 2 _1_ y – 1 i. (2x + 1)2 – (2x + 2) = 1 2 Raíces no reales. j. x . (4 – x) = 5 14 k. (3x – 2)2 : 4 – __21 . (3x + 2)2 = –8 _23_ y – ___ 3 2 4 y –2 ____ l. x – 2x – 8 = 0 385  _____ 2 ___ . (x – 1) + 2x = 4 . (x – 3) 23 m. 3x 2 ± 2 ______ 4 n.  2x + 1 = x – 1

43. Grafiquen las parábolas teniendo en cuenta los datos.

{f = (3;0)

a. D: x = 1

f = (0;–2)

b. {D: y = 2

{f = (–2;0)

c. D: x = 4

f = (0;5)

d. {D: y = 2


44. Escriban en cada caso el foco (f) y la ecuación de la directriz (D). a. 6y = x2 e. y = – __41 x2 b. –9y = x2 f. y = __61 x2 c. y 2 = 4x

g. x = – y2

d. –6x = y2

h. x = – __21 y2


45. Escriban la ecuación de cada una de las siguientes parábolas a partir del foco, sabiendo que tienen vértice en el origen de coordenadas. a. f = (2;0)

e. f = (0;–2)

b. f = – ( _21_;0 ) c. f = (0;4)

f. f = (–3;0)

d. f = ( 0:– __31 )

h. f = ( 0;_34_ )

g. f = ( _23_;0 )

a. 8x = y2 b. –2x = y2 c. 16y = x2 d. 4y = –3 x2 e. –8y = x2 f. –12x = y2 g. 8x = 3y2 h. 3y = x2

capítulo

4

CONTENIDOS

27*28*29

46. Marquen las opciones correctas. a. Si el punto ( _34_;3 ) pertenece a la parábola cuya directriz es x = –3 , ¿cuál de los siguientes puntos también pertenece a la parábola? – ( _34_;3 )

( 3;_34_ )

X _34_;–3 –3;_34_

( ) ( )

48. Escriban la ecuación de la parábola en cada caso, sabiendo que el punto indicado pertenece a la misma. Luego, averigüen el foco y la ecuación de la directriz. y = 4x2 a. p = (1;4) y

3

b. Si el foco de una parábola es el punto (–3;0), ¿cuál es la ecuación de la directriz? y=3 y = –3

x = –3

X 6

–3

1

X x=3

c. La directriz de una parábola tiene por ecuación x = –3 . ¿Cuál es la distancia entre el foco y la directriz? 3

2

–3

–2

–1

b. p = (–1;–3) –3

–2

–1

2

y = –8 x2

0

1

2

3

x

2

3

x

2

3

x

–3

1 y2 x = – __ 2

c. p = – ( _21_;1 )

y

2 1

x = 8y2 X y = 8 x2

x

–2

e. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene foco 1 1 ___ en ( 0;___ 32 ) y directriz y = – 32 ? y = x__8

3

–1

X Hacia la izquierda.

Hacia la derecha.

2

y

d. ¿Cuál es el sentido de las ramas de la parábola y2 = –8x? Hacia abajo.

1

y = –3x2

–6

Hacia arriba.

0

–3

–2

–1

0

1

–1

47. Escriban la ecuación de la parábola teniendo

–2

en cuenta la directriz y sabiendo que el vértice está en el origen de coordenadas. a. D: y = – __21 b. D: y = 3

e. D: x = – __21 f. D: y = –1

c. D: x = _34_ d. D: x = –6

g. D: x = 4

x = 5y 2

d. p = (5;–1)

y

2 1

h. D: y = _34_

a. 2y = 2x2 b. –12y = x2 c. –3x = y2 d. 24x = y2 e. 2x = y2 f. 4y = x2 g. –16x = y 2 h. –3y = x2

–3

–2

–1

0

1

–1 –2

107

capítulo

4

AUTOEVALUACIÓN Marquen las opciones correctas 49. ¿Cómo se clasifican las raíces de la función y = x 2 + 6x + 9? a. Reales distintas. X b. Reales iguales.

c. No reales.

50. Teniendo en cuenta la función y = –3 . (x + 2)2 – 1, ¿cuáles de los siguientes puntos corresponden al vértice? a. (–3;–1)

b. (–3;1)

c. (2;–1)

X d. (–2;–1)

51. En la función y = (x – 3) . (x – 5), ¿cuál es la ecuación que corresponde al eje de simetría? a. x = 3

b. x = 5

X c. x = 4

d. x = –4

52. ¿Cuál es la ecuación que corresponde a la función graficada? a. y = (x + 2) 2 + 2

y

2

b. y = (x – 2)2 + 2

1 –3

–2

–1

0

X c. y = (x – 2) 2 1

2

3

x

d. y = (x + 2) 2

–1

53. Si el vértice de una función cuadrática tiene coordenadas (–3;2), ¿cuál es la ecuación del eje de simetría? X a. x = –3

b. x = 3

c. x = 2

d. x = –2

54. ¿Cuál de los siguientes puntos corresponde al foco de la parábola 4y = x 2? X a. (0;1)

b. (0;–1)

c. (1;0)

d. (–1;0)

55. ¿Cuál es la directriz de la parábola –2x = y 2? a. y = __21

b. y = – __21

1 X c. x = __ 2

d. x = – _21_

56. ¿Cuál es la función que representa los puntos que equidistan del f = (0;–2) y de la D: y = 2? a. 2y = 2x2

108

b. –2y = x2

c. 8y = x2

X d. –8y = x 2

Polinomios Contenidos 30. Polinomios. Características.

5

31. Suma y resta de

polinomios. 32. Multiplicación de polinomios. 33. División de polinomios. 34. La regla de Ruffini. Teorema del resto. 35. Raíces de un polinomio. 36. Operaciones combinadas.

La búsqueda de raíces de polinomios de primer y segundo grado es casi tan antigua como la escritura. Con mayor o menor claridad, los métodos aparecen explicados ya en las tablillas babilónicas, pero la ecuación cúbica es más difícil y tuvo que esperar mucho más tiempo. Se cuenta que fue resuelta por un matemático de Bologna llamado Del Ferro en 1506, pero sus escritos nunca fueron encontrados. En 1539 Tartaglia, italiano también, reveló sus propios métodos a Cardano, quien juró no darlos a conocer y, por supuesto, no cumplió. Más tarde, Cardano atribuyó el descubrimiento original a Del Ferro, calificándolo de “ una hazaña realmente hermosa y admirable”. El hallazgo, por sí solo, no parece tan descomunal. Sin embargo, el resto de la cita nos ayuda a entender el porqué de tanta admiración: “ Este arte, verdadero regalo de los dioses, que supera toda sutileza humana posible y el esplendor de todo ingenio mortal, es una prueba del valor de las inteligencias, y es tan maravillosa que quien la haya logrado puede creer que ya nada le ha de ser imposible”.

1. Lean atentamente y respondan. a. ¿Qué forma de calcular las raíces de un polinomio cuadrático conocen? ¿Qué método habrán usado los babilonios? b. ¿Están de acuerdo con lo que dice Cardano? Después de resolver algo, ¿alguna vez sintieron que “ya nada les ha de ser imposible”? a. Por ejemplo, la fórmula resolvente. Los babilonios no tenían una fórmula sino que empleaban el método de completar cuadrados. Se sugiere que los alumnos busquen información. b. Respuesta abierta. Sin duda, resolver un problema difícil es un gran incentivo para pensar otros aun más difíciles, pero la misma historia de los polinomios mostraría, apenas un par de siglos más tarde, que algunos problemas son verdaderamente imposibles.

o l u t í p a c

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39

Polinomios. Características ¿Para qué sirve? PÁGINA 9

INFOACTIVA

Una expresión algebraica es una combinación cualquiera y finita de números, de letras, o de números y letras, ligados entre sí con la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

3x + 24

4x5 + 6x3 – _14_

___

x2 +  2x

x6 – 10 _______ x2

Los números son los coeficientes, y las letras, las variables o indeterminadas. Si la variable no está afectada por una raíz o como divisor, las expresiones algebraicas son enteras y se denominan polinomios. De los ejemplos anteriores, los dos últimos no son polinomios.

Clasificación de los polinomios Según la cantidad de términos, un polinomio se denomina:  monomio, si tiene un solo término  trinomio, si tiene tres términos _2_ x3; 2x + 5 – x 4; 5 

binomio, si tiene dos términos 5x2 – 4 ;



cuatrinomio, si tiene cuatro términos 6x4 + 8x3 – 5 + x 8.

Los términos que tienen la misma variable y exponente son semejantes. Los términos 10x3, 2x3 y –4x3 son semejantes. Se denomina grado al mayor exponente que tiene la variable de los términos con coeficientes no nulos. P(x) = 6x + x 2 – 7x5; grado: 5 Q(x) = 10 – x3 + x; grado: 3 T(x) = 7; grado: 0 Se llama coeficiente principal al que multiplica a la variable de mayor exponente. S(x) = –x + 2x 4 – 5x3; coeficiente principal: 2 T(x) = –x6 – 8x + x4; coeficiente principal: –1 Al polinomio cuyo coeficiente principal es 1, se lo denomina normalizado. Un polinomio está ordenado si sus términos están ordenados en forma creciente o decreciente respecto de los exponentes de la variable. F(x) = 2x4 + x3 – _25_ x2 – _13_ x + 5 G(x) = 7 + x + 3x2 – _32_ x3 H(x) = x5 + 2x2 – 7 Un polinomio está completo si tiene todas las potencias decrecientes del grado. R(x) = 2x4– x3 + x2 – 8x + 7; está completo. Q(x) = x4 – _25_ x2 +9; está incompleto. Para completar un polinomio, se agregan los términos que faltan con coeficiente cero. M(x) = 2x5 + x3 – 8 = 2x5 + 0x4 + x3 + 0x2 + 0x – 8 N(x) = 8x4 + 3x2 = 8x4 + 0x3 + 3x2 + 0x + 0 O(x) = x5 – 9 = x 5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x – 9

110

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. El grado del polinomio 3 x4 – 5 x3 + 8, ¿es 3? b. El polinomio 4 x2 + 3 x2 – x + 9, ¿es un trinomio? a. No, 3 es el coeficiente principal, el grado es 4. b. Sí, porque 4 x2 + 3 x2 = 7 x2, entonces quedaría 7 x2 – x + 9.

30

ACTIVIDADES Polinomios. Características

1. Marquen las opciones correctas. a. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas es un polinomio? 8 x2 – 3 x –4

___ 3  2x

X

+ x3

__ 3 –1  5 . x + 5

3x +6 ______ x2

6 x2 – 4 x3

8 x4 – 9

b. ¿Cuál es el polinomio de mayor grado? X –5 – 2 x5

3x + 5 x2

c. ¿Cuál es el coeficiente principal de 4 x5 – 3 – x 6 + 8? X –1

1

4

6

d. ¿Cuál polinomio se encuentra normalizado? x 3 – x 4

–x + 1

X 3 x2 + x 3

–x + 3 x2

2. Completen. Coef. Término Grado principal indep.

Polinomio

Clasificación

Completo y ordenado

8 x2 – 6x – 3 x3 12 x6 – 2 – 5 x6 5 x2 + x – 2 x4 – 7 x2 + 3 x3 – 5 x2 – 3 x3 2x – x4 + 5 __ x2 +  5 x – 3 x3 – x2 + 3 + x 2 + 2 x5

Trinomio

–3 x3 + 8 x2 – 6x + 0

3

–3

0

Binomio

7 x6 + 0 x5 + 0 x4 + 0 x2 + 0x – 2

6

7

–2

Cuatrinomio

–2 x4 + 0 x3 + 5 x2 + x – 7

4

–2

–7

Monomio

–4 x2 + 0x + 0

2

–4

0

Trinomio

– x4 + 0 x3 + 0 x2 + 2x + 5

4

–1

5

3

–3

0

5

2

3

Trinomio

–3 x3 + x2 +

Trinomio

__  5 x

+0

2 x5 + 0 x4 + 0 x3 + 0 x2 + 0x + 3

3. Escriban un polinomio que cumpla con las condiciones dadas. a. Un trinomio de grado 3, cuyo coeficiente principal sea 2 y el término independiente, –4. Solución a cargo del alumno. Por ejemplo, 2 x3 + 3 x2 – 4

b. Un binomio de grado 4, normalizado, cuyo término independiente sea 3. Solución a cargo del alumno. Por ejemplo, x4 + 3

c. Un polinomio completo de grado 2, con coeficiente principal –3 y término independiente, –8. Solución a cargo del alumno. –3 x2 + 2x – 8

4. Normalicen los siguientes polinomios. a. –3 x2 + 5 x3 – 10

( – _35_ x + x – 2 ) : 5 2

3

b. – x4 + 3 x2 – 7x –1 . (x4 – 3 x2 + 7x)

c. _23_ – __61 x2 + x –6 . (–4 + x2 – 6x) 111

31

30

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38

39

40

Suma y resta de polinomios INFOACTIVA La suma de varios monomios semejantes es otro monomio semejante al dado, cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes de los monomios dados. 15 x4 6x3 + x3 + 5x3 = 12x3 5x4 + 2x4 + _12_ x4 = ___ x + x + x + x = 4x 2 Para restar dos monomios, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. P(x) = 4x6 ∧ Q(x) = –2x6 ⇒ P(x) – Q(x) = 4x 6 – (–2x6) = 4x6 + 2x6 = 6x6

Reducir un polinomio es sumar o restar sus términos semejantes. 2x4 + 3x + x 4 – x = 3x4 + 2x –4x3 + x5 – _23_ x4 + 2x4 + 6x3 = x5 + _43_ x4 + 2x3 Para sumar varios polinomios entre sí, se completan y ordenan, luego se encolumnan sus términos semejantes y se suman.

{

P(x) = –3 + 2x2 + 5x3 – x4

{

R(x) = 3x2 + 2x – 1

Dados: Q(x) = –9x3+ 2x2 – 4x + 5

Dados: T(x) = –x + 5 – 4x2

P(x) + Q(x)

R(x) + T(x)

– x4 + 5x3 + 2x2 + 0x – 3 + + 0x4 – 9x3 + 2x2 – 4x + 5 ————————————— P(x) + Q(x) = – x4 – 4x3 + 4x2 – 4x + 2

3x2 + 2x – 1 + –4x2 – x + 5 ——————— R(x) + T(x) = – x 2 + x + 4

Para restar dos polinomios, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. = 2x2 – x + 2 Dados: M(x) N(x) = 3x2 – 1

A(x) = 3x – 2x2 – _1_ x3 + 6 Dados: B(x) = –3x2 + 5x +54x4 + 3

M(x) – N(x)

A(x) – B(x)

{

2

2x – x + 2 + –3x2 + 0x + 1 ——————— M(x) – N(x) = –x2 – x + 3

{

0x4 – _15_ x3 – 2x2 + 3x + 6 + –4x4 + 0x3 + 3x2 – 5x – 3 ————————————— A(x) – B(x) = –4x4 – _15_ x3 + x2 – 2x + 3

Para resolver una suma algebraica de polinomios, se opera en el orden en que aparecen los términos. Dados P(x) = 5x 2 + 3x – 2; Q(x) = –6x2 – 4x + 5 y R(x) = 3x2 + x – 7

P(x) + Q(x) + R(x)

P(x) + Q(x) – R(x) 2

5x + 3x – 2 + –6x2 – 4x + 5 3x2 + x – 7 ——————— P(x) + Q(x) + R(x) = 2x2 + 0x – 4

112

5x2 + 3x – 2 + –6x2 – 4x + 5 –3x2 – x + 7 ———————— P(x) + Q(x) – R(x) = –4x4 – 2x + 10

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es correcto decir que 7 x5 + 2 x5 = 9 x10? b. Para resolver P(x) – Q(x), ¿se debe sumar el opuesto del polinomio Q(x) al polinomio P(x)? a. No, porque la parte literal debe ser x5. b. Sí, P(x) – Q(x) = P(x) + [–Q(x)].

31

ACTIVIDADES Suma y resta de polinomios

5. Resuelvan las siguientes sumas algebraicas reduciendo a la mínima expresión. a. x – 3 x – 2 x + 8 x = 4

4

4

4

4 x4

___ ___ ___ b.  48 x2 –  27 x2 –  12 x2 =

__ –  3 x2

– _76_ x3

1 x3 – _7_ x3 = __

c. 0,6 x + 2 d. – __21 x + _35_ x – 3

3

1 x = __ 3

7 x – ___ 30

6. Tengan en cuenta los siguientes polinomios y resuelvan. A(x) = –5 x2 + x – 3





B(x) = x2 + 2 x4 + 2

C(x) = 2 x3 – x + 1



a. A(x) + B(x) = 2 x4 – 4 x2 + x – 1

d. A(x) – B(x) = –2 x4 – 6 x2 + x – 5

b. A(x) + C(x) = 2 x3 – 5 x2 – 2

e. B(x) – A(x) = 2 x4 + 6 x2 – x + 5

c. B(x) – C(x) =

2 x4 – 2 x3 + x2 + x + 1

f. C(x) – B(x) =

–2 x4 + 2 x3 – x2 – x – 1

7. Resuelvan las siguientes sumas algebraicas de polinomios. P(x) = –5 x2 + 3x – 4 x3 – 1



a. P(x) – Q(x) – S(x) = –5 x4 – 2 x3 – x 2 + 3x – 4

b. P(x) – [Q(x) – S(x)] = 5 x4 – 4 x3 – 9 x2 + 3x

c. Q(x) – [R(x) + P(x)] = 3 x3 + 8 x2 – 10x – 3

Q(x) = – x3 + 1



R(x) = 7x + 5 – 3 x2



S(x) = 2 – 4 x2 + 5 x4 – x3



d. [R(x) – Q(x)] + [P(x) – S(x)] = –5 x4 – 2 x3 – 4 x2 + 10x + 1

e. – [R(x) + S(x) – Q(x)] + P(x) = –5 x4 – 4 x3 + 2 x2 – 4x – 7

f. [P(x) + Q(x)] – [R(x) – S(x)] = 5 x4 – 6 x3 – 6 x2 – 4x –3

113

32

31

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41

Multiplicación de polinomios INFOACTIVA Para multiplicar dos monomios, se deben multiplicar los coeficientes y las indeterminadas entre sí, aplicando la regla de los signos y las propiedades de la potenciación. 5x . 3x = 15x2 7x4. (–5x4) = –35x8 –6x3 . 3x = –18x 4

xn . xm = xn+m

–5x5 . (–8x 7) = 40x12

Para multiplicar un polinomio por un monomio, se aplica la a . (b ± c) = a . b ± a . c propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y la resta. 10 x2 – 30x –5x . ( –x3 + 4x2 – _23_ x + 6 ) = –5x . (–x3) – 5x . 4x2 – 5x . ( –_23_ x ) – 5x . 6 = 5x 4 – 20x3 + ___ 3 Para multiplicar dos polinomios, se aplica la propiedad distributiva, efectuando luego la multiplicación de monomios.

(a + b) . (c + d) = ac + ad + bc + bd

Calcular el producto entre P(x) = x 2 – 4x + 3 y Q(x) = 5x 2 – x. P(x) . Q(x) = (x2 – 4x + 3) . (5x2 – x) = x2 . 5x2 + x2 . (–x) – 4x . 5x2 – 4x . (–x) + 3 . 5x 2 + 3 . (–x) = 5x4 – x 3 – 20x3 + 4x2 + 15x2 – 3x P(x) . Q(x) = 5x 4 – 21x3 + 19x2 – 3x

Potencia de un monomio Para resolver la potencia de un monomio, se debe aplicar la propiedad distributiva de la potenciación respecto de la multiplicación y la potencia de otra potencia. (4x)3 = 43 . x 3 = 64x3 (–2x3)2 = (–2)2 . (x3)2 = 4x6

(a . b)n = a n . bn ∧ (xn)m = xm . n 27 21 ( –_35_ x7 ) = ( –_35_ ) . ( x7 )3 = –____ 125 x 3

3

Cuadrado de un binomio Al resolver el cuadrado de un binomio, se obtiene un trinomio cuadrado perfecto. (a + b)2 = (a + b) . (a + b) = aa + ab + ba + bb = a 2 + 2ab + b 2 (a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 Cuadrado de un binomio

Trinomio cuadrado perfecto

(x – 3)2 = x2 + 2 . x . (–3) + 3 2 = x2 – 6x + 9

Cubo de un binomio Al resolver al cubo un binomio, se obtiene un cuatrinomio cubo perfecto . 2 . (a + b) (a + b)3 = (a + b) . (a + b) . (a + b) = (a + b) 2 . (a + b) = (a 2 + 2ab + b ) (a + b)3 = a 2 . a + a2 . b + 2aba + 2abb + b 2 . a + b2 . b = a3 + a 2 b + 2a2 b + 2ab2 + b 2 a + b3 (a + b)3 = a 3 + 3a2 b + 3ab2 + b 3

Cubo de un binomio

Cuatrinomio cubo perfecto

(5 + x)3 = 53 + 3 . 5 . x 2 + 3 . 5 2 . x + x3 = 125 + 15x2 + 75x + x3 114

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es cierta la igualdad (a – b) 2 = a 2 – b 2? 3 = –20 x3? b. ¿Es correcto decir que 4x3 . (–5 x )

a. No, porque la potencia no es distributiva respecto de la resta. b. No, porque al aplicar las propiedades de potencias de igual base los exponentes se suman.

32

ACTIVIDADES Multiplicación de polinomios

8. Resuelvan las siguientes multiplicaciones de monomios. c. – _25_ x2 . (–5x) . ( – __21 x3 ) =

2 = 27 x5 a. –3 x3 . (–9 x )

b. _31_ x5 . (–6x) =

–2 x6

d. 0,3 x . ( – _23_ x2 ) = 2

– x6

4 x5 ___ 27

9. Apliquen propiedades y resuelvan. 3 . – __ a. (–5 x ) ( 51 x ) . x =

2 4 . (2 x ) 2 3.2 b. (2 x ) x2 =

5 2.3 x5 + x 15 = c. (3 x )

x5

d. (x – 5) . (x – 5) . (x + 5) =

x3 – 25x – 5x2 + 125

256 x16

e. (x – 2) . (x + 2) . x =

x3 – 4x

28 x15

f. (x – 1) . (x – 1) . x 2 =

x3 – 2 x2 + x

10. Resuelvan las siguientes multiplicaciones. a. (5 x2 + 3x – 4) . (–7x) =

–35 x3 – 21 x2 + 28x

b. _21_ x . x ( 3 – _43_ x + 8 ) = _1_ x4 – _2_ x2 + 4x

2

3

1 c. –3 x3 . –x ( + __91 x2 – ___ 27 ) =

1 5 _1_ 3 3 x4 – __ 3 x + 9 x

15 x3 + 5 x2 = d. _25_ x2 . ( 25x – ___ ) 2

10 x3 – 3 x5 + 2 x4

11. Resuelvan las siguientes multiplicaciones de binomios. a. (4 x3 – 2) . (4 x3 + 2) = 16 x6 – 4

b. (2 x2 + 5) . (2 x2 + 5) = 4 x4 + 20 x2 + 25

c. ( __21 x – 3 ) . ( __21 x + 3 ) = _1_ x2 – 9

4

d. ( _41_ x2 – 2 ) . ( __41 x2 – 2 ) = 1 x4 – x2 + 4 ___ 16

115

32


12. Tengan en cuenta los polinomios y resuelvan. P(x) = 2 x2 + x – 5





Q(x) = 4 x2 + 3x – x4 + 4 + 2 x3

a. P(x) . R(x) =

R(x) = x3 – x





S(x) = –x – 2 x3 + 8 – x2

d. R(x) . S(x) =

2 x5 + x 4 – 7 x3 – x 2 +5x

b. Q(x) . P(x) =

–2 x6 – x 5 + x 4 + 9 x3 + x2 – 8x

e. R(x) . Q(x) =

–2 x6 + 3 x5 + 15 x4 + 0 x3 – 9 x2 – 11x – 20

c. S(x) . P(x) =

– x7 + 2 x6 + 5 x5 + x 4 – 3 x2 – 4x

f. S(x) . Q(x) =

–4 x5 – 4 x4 + 7 x3 + 20 x2 + 13x – 40

2 x7 – 3 x6 – 9 x5 – 20 x4 + x3 + 25 x2 + 20x + 32

13. Resuelvan los siguientes cuadrados y cubos de binomios. a. (a2 + 3)2 =

a4 + 6a2 + 9

3 2 = 25 – 10b3 + b6 b. (–5 + b )

c. (–c – 2)2 =

c2 + 4c + 4

d. (a + 3)3 =

a3 + 9a2 + 27a + 27

e. (4 – b)3 =

64 – 48b + 12b2 – b 3

f. (2c2 + 4)3 =

8c6 + 48c4 + 96c2 + 64

14. Unan cada expresión con su resultado. a. (a + b)2 b. (a – b)2 c. (–a + b)2 d. (–a – b)2 e. (a + b)3 f. (–a – b)3 g. (–a + b)3 h. (a – b)3 116

a2 + 2ab + b2  a 3 – 3a2b + 3ab2 – b 3  –a2 + 2ab – b 2  a 3 + 3a2b + 3ab2 + b 3  a 2 – 2ab – b 2  –a3 – 3a2b – 3ab2 – b 3  a 2 – 2ab + b 2  –a3 + 3a2b – 3ab2 + b 3 

32


15. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas. a. (x + y)3 = (x + y)2 . (x + y) V

d. (x – y)3 = (x – y)2 . (x + y) F

b. (x – y)2 = (x – y) . (x + y) F c. ( x2 + y)2 = ( x2 – y) . (x2 + y)

(x – y) . (x – y)

4 3 = x 6 + 3 x4 y 4 + 3 x2 y 8 + y 12 V e. ( x2 + y )

2 2 = x 2 – y4 (x2 + y) . (x2 + y) f. (x – y )

F

(x – y)2 . (x – y)

F

x2 – 2xy2 + y4

16. Calculen el perímetro y el área de cada figura y escríbanlo en su mínima expresión. a. Recángulo.

c. Cuadrado.

2x

3x 2 – 5

2 . (x + 1)

Perímetro = 8x + 4; Área = 4 x2 + 4x

Perímetro = 12 x2 –20; Área = 9 x4 – 30 x2 + 25

b. Triángulo isósceles.

d. Rombo. 6x

x 2

Perímetro =

__ 2 .  3 . x2,

4x

__ 3 x4  ___

Área = 3

Perímetro =

___ 4 .  13

x; Área = 12 x2

mente ACTIVA Dado un paralelepípedo con las siguientes dimensiones, calculen las expresiones del volumen, el área y la longitud total de las aristas. 3x

Volumen = 30 x3 Área = 62 x2 Longitud total de las aristas = 40x

2x 5x

117

INTEGRACIÓN 17. Marquen las opciones correctas.

22. Dados los siguientes polinomios, resuelvan

a. ¿Cuáles de los siguientes son polinomios normalizados? 1 x4 + __

1 – x3 X x 2 + x 5

2

6

X 3x + x2

b. ¿Cuáles expresiones son monomios? X – __1 x3 – 4 x3 4

5 x2 + 3x

–3 x2 + 1

X 7 x4 – x 5 + x 5

c. ¿Cuáles expresiones son polinomios? X

__  2 x + 5 ___  2x – 8

0,6 x –1 – 3

a. M(x) + N(x) = b. R(x) + S(x) = c. N(x) + R(x) = d. M(x) + S(x) = e. R(x) – N(x) =

__ X x x – 2

23. Resuelvan las sumas algebraicas, teniendo

18. Escriban el grado y el coeficiente principal de cada polinomio. a. –3x + 7 x2 – 3 + x3 c. 4 x2 – 3 x5 + 7 + 8 x3 b. –7x + x2 – 5 d. 3x + 5x – 2 a. 3; 1 b. 2; 1 c. 5; –3 d. 1; 8

19. Resuelvan las sumas y restas de monomios. a. 3 x2 + 7 x2 – 8 x2 + x 2 = 3 x2 25 x8 b. –5 x8 – x 8 + __21 x8 – _34_ x8 = – ___ 4 5 _ c. 0,3x + 3x + 1,2x – 4x = – _9 x 17 x3 d. _78_ x3 – __41 x3 + 1,5 x3 = ___ 8 ___ ___ __ __ e. –  50 x4 –  18 x4 +  8 x4 = –6 .  2 x4 ___ __ __ ____ 5 5 f. –  54 x +  150 x –  6 x5 =  6 x5

a. D(x) – [A(x) – B(x)] = – x4 + 4 x3 – 2 x2 + x – 7 b. A(x) + [C(x) + D(x)] = –2 x3 – x 2 – x + 2 c. B(x) – [A(x) + C(x)] = 4 x3 – x 2 + x – 4 d. [D(x) + B(x)] – C(x) = x4 + 4 x3 – 2 x2 – x + 1 e. [A(x) + B(x)] – [C(x) + D(x)] = 2 x4 – 2 x3 + 6 f. [A(x) – C(x)] + [B(x) – D(x)] = 2 x4 – 2 x3 + 6 g. – [A(x) – D(x) – B(x)] – [C(x) + B(x)] = h. [A(x) + C(x) – B(x)] – [D(x) – B(x)] =


3 x – 4 x + x 7 x2 – 7x + 9 3 x4 + x3 – x2 + 2x + 7 –6 x3 + x2 2

en cuenta los polinomios dados.  A(x) = x4 – 2 x3 + 5 – x  B(x) = – x2 + x – 2  C(x) = – x4 – 2 x3 + x – 3  D(x) = 2 x3 – x – x 2

g. 6 x3 – x 2 – x – 2 h. –6 x3 + x 2 + x + 2

20. Reduzcan los siguientes polinomios. 3

2 2? a. ¿Cuál de las expresiones equivale a (a 4 – b )

a8 – b4

X a8 – 2a4 b2 + b 4

a6 – b4

a6 – 2a4 b2 + b 4

b. ¿Cuál es el producto de (2x2 + 1) . 2x3? X 4x 5 + 2x3

21. Completen y ordenen los polinomios cuando sea necesario. a. 5 x4 – 3 x3 + 2 x2 – x5 + x – x5 + 5 x4 – 3 x3 + 2 x2 + x + 0 b. 7 x3 + 8 x2 – 9x + 2 Está completo y ordenado. c. 4 – 2x + 4 x2 – 3 x3 –3 x3 + 4 x2 – 2x + 4 d. 3 x3 + 2 x2 – 6x 3 x3 + 2 x2 – 6x + 0 118

f. N(x) – M(x) = g. S(x) – M(x) = h. S(x) – R(x) = i. R(x) + R(x) = j. R(x) – S(x) =


2

a. 8 x2 – 3 x3 + x – 5 x2 – x 3 b. x + 7x2 – 3x + 9 – 5x c. 12 x4 – x5 + x 3 + x 5 – 9 x4 d. 6 x2 + 3x + 5 – 7 x2 + 2 – x e. –3 x3 + 5 x2 – x 3 – 4 x2 – 2 x3

las sumas y restas. Luego, indiquen el grado de cada uno de los polinomios dados y de los resultados de las operaciones.  M(x) = 5 x2 + x3 – 2  R(x) = – x4 – x + 3  N(x) = – x3 + 5  S(x) = x2 – x + 2

2x2 + 2x3

4x6 + 2x3 6x8

c. ¿Cuál es el producto de (x – 1) . (x + 1)? x 2 + 2x + 1

x2 + 1

x 2 – 2x + 1

X x2 – 1

capítulo

CONTENIDOS

30*31*32

5

25. Resuelvan.

28. Escriban el polinomio reducido que expresa

¿Cuál es el valor de a para que la multiplicación entre... a. ... (x2 + ax – 1) y (x + 2), dé por resultado (x3 + 5x2 + 5x – 2)? b. ... (x – 3) y (3x 3 + ax2 – 5), dé por resultado (3x4 – 27x2 – 5x + 15)? c. ... (x4 – 2x3 + 3ax2 – xa) y (x – 1), dé por resultado (x5 – 3x4 – 13x3 + 20x2 – 5x)?

el área de cada figura. a. Área: 6x2 – x – 2 d

a ___

ab = 2x + 1

___

c

b

o

do = 3x – 2

b. Área: 7,5x2 + 3,5x – 1

a. a = 3 b. a = 9 c. a = –5

26. Escriban el polinomio reducido que expresa el perímetro de cada figura. a. 10x2 + 2x – 6 d

a

___

ad = 3x + 4x – 5 b. 10x2 + 4x – 4

d

m

___

2 ad __ = 2x + x – 2 dc = 3x2

c

bd = 3x + 2

c. Área: 10 x3 + 6 x2 + 2x d

a

c

__

___

cd = 5x2 + 2 do = 2x ___ ao = 3x – 1

b

___

d. Área: 2x2 + 3,5x – 1

a

ab = 5x + 8

__

b

___

bc = 3x + 2x – 4

2

2

27. Tengan en cuenta los siguientes polinomios y resuelvan.  A(x) = x2 + 4x – 12  C(x) = x2 + 2 a. A . B = b. B . C = c. C . D = d. D . A = e. B . (–D) =

B(x) = –x + x + 3  D(x) = –x + 5 f. D . D = g. (–A) . A = h. C . A = i. B . C . D = j. (C . D) 2 = 2



a. –x – 3x + 19x – 36 b. –x + x + x + 2x + 6 c. –x3 + 5x2 – 2x + 10 d. –x3 + x2 + 32x – 60 e. –x3 + 6x2 – 8x – 15 f. x2 – 10x + 25 g. –x4 – 8x3 + 8x2 + 96x – 144 h. x4 + 4x3 – 10x2 + 8x – 24 i. x5 – 6x4 + 4x3 + 3x2 + 4x + 30 j. x6 – 10x5 + 29x4 – 40x3 + 104x2 – 40x + 100 3

b

o

c

c

a

4

c

2

am = x

c. 11x2 + 4x

___

b

___

ab = 2x – 3x + 2

2

a

ac = 5x – 1

b

__

a

__

c

d

2

4

3

2

ab = x + 2

__

o

b

co = 4x – 1

29. Resuelvan las operaciones combinadas. a. (3x + 1) . (2x + 2) – (6x 2 + 4) = b. (5x – 3) . (2x – 3) + 2 . (–5x2 –7) = c. 3x2 . (2x 2 + 3) + (–x 3 + 7) = 3 4 + x 2 = . (x2 – x) – 3 . (x 5 – x ) d. (–2x )

e. –8x3 . (–x + 2) + (x2 – 1) + 16x 3 = f. (3x2 + x) . (3x 2 – x) – 3x . ( x3 + __31 ) + (x2 + x) = g. (4x + 2)2 + (4x – 2) 2 = h. (x2 – 1)3 + (x – 1) 3 = 4

a. 8x – 2 b. –21x – 5 c. 6x + 9x2 – x 3 + 7 d. –5x5 + 5x4 + x2 e. 8x4 + x 2 – 1 f. 6x4 g. 32x2 + 8 h. x6 – 3x4 + x 3 + 6 x2 – 3x – 2 119

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División de polinomios INFOACTIVA Para dividir dos monomios, se deben dividir los coeficientes y las indeterminadas entre sí, aplicando la regla de los signos y las propiedades de la potenciación. xm : x n = x m – n 10 x3 (10 x3) : (5x) = (10 : 5)(x3 : x ) = 2x2 (–10 x8) : (3x5) = (–10 : 3) (x8 : x 5) = – ___ 3 Para dividir un polinomio por un monomio, se aplica la propiedad distributiva. (a ± b) : c = a : c ± b : c (12x6 + 36x4 – 6x3 + 42x) : (–6x) = 12 : (–6) (x6 : x) + 36 : (–6) (x4 : x) – 6 : (–6)(x3 : x) + 42 : (–6)(x : x) = –2x5 – 6x3 + x2 – 7 Para dividir dos polinomios, se deben cumplir las siguientes condiciones.  El grado del polinomio dividendo debe ser mayor o igual que el grado del polinomio divisor.  El polinomio dividendo debe estar completo y ordenado en forma decreciente.  El polinomio divisor debe estar ordenado en forma decreciente. Dividendo

Resto

{

P(x) = 2x – 5 + 4x4

Dados Q(x) = –2x + x2

Divisor

P(x)

Q(x)

R(x)

C(x)

P(x) = C(x) . Q(x) + R(x) Cociente

hallar P(x) : Q(x).

El dividendo debe estar completo y ordenado: P(x) = 4x4 + 0x3 – 10x2 + 0x – 5 El divisor debe estar ordenado: Q(x) = x 2 – 2x 4x4 + 0x3 – 10x2 + 0x – 5 4x2 . (x2 – 2x)

–(4 x4 – 8x3) —————— 0x4 + 8x3 – 10x2 –(8x3 – 16x2) ————————— 0x3 + 6x2 + 0 x –(6x2 – 12x) ————————— 0x2 + 12x – 5

8x . (x2 – 2x) 6 . (x2 – 2x)

x2 – 2x 4x2 + 8x + 6

Cociente: C(x)

4x4 : x 2 = 4x2 8x3 : x2 = 8x 6x2 : x 2 = 6

Resto: R(x) Se termina la cuenta porque el grado es menor que el grado del divisor.

C(x) = 4x2 + 8x + 6 120

R(x) = 12x – 5


a. Si se aplica la propiedad distributiva en la división (4x 3 – x) : (2x), ¿el resultado es 2x 2 – __21 x? b. En una división de polinomios, ¿cómo se debe ordenar el polinomio dividendo?

a. No, porque x : x da por resultado 1, lo correcto es 2x2 –

_1_.

2 b. Se debe ordenar en forma decreciente.

33

ACTIVIDADES División de polinomios

30. Resuelvan las siguientes divisiones entre monomios. 10 x4 = a. – ( _53_ x6 ) : ___ 3 b. ( –27x8 ) : – ( _92_ x3 ) =

– _21_ x2

– _81_ x2 1 x3 : 2x = __ c. – ( 4 ) _3_ 3 x9 : – __1 x8 = – 4 x d. ___ ( 4 ) 16

6x5

31. Resuelvan las siguientes divisiones. 3x5 + 4x3 – 2

2 2 : (5x ) = a. (15x7 + 20x5 – 10x )

b. ( –3 x5 + 6x3 – _25_ x2 ) : – ( _21_ x ) = c. ( _23_ x9 – 0,6 x7 + _45_ x5 ) : ( – __31 x3 ) = 4 4 : (–8x ) = d. (12x8 – 8x7 + 16x5 – x )

6x4 – 12x2 + _45_ x 12 x2 –2x6 + 2x4 – ___ 5 1 – _32_ x4 + x3 – 2x + __ 8

32. Calculen el cociente y el resto de las siguientes divisiones. a. (2x3 – 10x2 + 8x – 6) : (2x – 1) = 17 Cociente: x2 – _29_ x + _47_, Resto: – ___ 4

b. (3x4 + 12x2 – 9x – 3) : (x 2 + x) =

c. (– 5x3 + 3x2 – x + 1) : ( x2 + 2) = Cociente: –5x + 3, Resto: 9x – 5

2 : (x3 + x ) 2 = d. (12x7 – 10x5 + 8x4 – 4x )

Cociente: 3x2 – 3x + 15, Resto: –24x – 3

Cociente: 12x4 – 12x3 + 2x2 + 6x – 6, Resto: 2x2


a. ¿Cuál es el cociente de ( – __41 x3 ) : ( – _34_ x )? 1 3 __ X __1 x2 3 3 x

1 x4 __ 3

b. ¿Cuál es el cociente de (16x 4 – 12x3 + 8x2 – 20x) : (4x)? 4x4 – 3x3 + 2x2 – 5x

X 4x3 – 3x2 + 2x – 5

4x3 – 3x2 + 2x – 5x

c. ¿Cuál es el resto de la división (x 3 + 1) : (x2 + 1)? x–1

X –x + 1

x+1 121

34

33

35

36

37

38

39

40

41

42

43

La regla de Ruffini. Teorema del resto INFOACTIVA La regla de Ruffini es un método práctico que se utiliza para dividir un polinomio P(x) por otro cuya forma sea x + a . Dados P(x) = 2 x3 + 3x – 1 y Q(x) = x + 2 hallar P(x) : Q(x), aplicando la regla de Ruffini. Dividendo

Divisor

El polinomio dividendo debe estar completo y ordenado.

2x3 + 0x2 + 3x – 1

x+2

Se escriben alineados los coeficientes del dividendo.

2

El coeficiente principal se “baja” sin ser modificado; luego se lo multiplica por el opuesto del término independiente del divisor y se suma con el segundo coeficiente; así sucesivamente hasta llegar al resto. Los números que se obtienen son los coeficientes del cociente y el último valor es el resto.

3

–2

0

–2

3

1

1

1

1

–1

1 3 Cociente Resto

Dividendo

3x2 + 1x + 1 –1

3

–1

+ –2 2

–4

8 –22

–4

11 –23

Cálculos auxiliares (–2) . 2 = –4 (–2) . (–4) = 8 (–2) . 11 = –22

C(x) = 2x2 – 4x + 11

El polinomio cociente es un grado menor que el polinomio dividendo.

(3x3 – 2x2 – 2) : (x – 1) 3x3 – 2x2 + 0x – 2

0

R(x) = –23

Cociente

Resto

(–x5 + 12x3 – 15x2 – 16) : (x + 4) –x5 + 0x4 + 12x3 – 15x2 + 0x – 16 –1 –4 –1 Cociente Resto

Dividendo

0

12

–15

0

–16

4

–16

16

–4

16

4

–4

1

–4

0

–x4 + 4x3 – 4x2 + x – 4 0

Teorema del resto El resto de la división de un polinomio por otro de la forma x + a es el valor que resulta de reemplazar la variable del dividendo por el valor opuesto al término independiente del divisor.

122

Dados P(x) = 3x3 – 2x2 – 2 y Q(x) = x – 1

Dados P(x) = –x5 + 12x3 – 15x2 – 16 y Q(x) = x + 4

El resto de la división P(x) : Q(x) se obtiene: P(1) = 3 . (1)3 – 2 . (1)2 – 2 P(1) = 3 – 2 – 2 = –1

El resto de la división P(x) : Q(x) se obtiene: P(–4) = –(–4) 5 + 12 . (–4)3 – 15 . (–4)2 – 16 P(–4) = 1024 – 768 – 240 – 16 = 0

El resto de la división es –1.

El resto de la división es 0.

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cómo debe ser el polinomio divisor para poder aplicar la regla de Ruffini? b. Para aplicar la regla de Ruffini, ¿el dividendo debe estar ordenado, sin importar si está completo? a. Debe tener la forma x ± a. b. No, el dividendo debe estar completo y ordenado en forma decreciente.

34

ACTIVIDADES La regla de Ruffini. Teorema del resto

34. Marquen las opciones correctas. a. ¿Cuál es el resto de la división (–x 3 – 4x + 5) : (x – 2)? X –9

–7

1

21

(x3 – 2) : (x + 2)

(x3 – 2) : (x – 2)

b. ¿Cuál de las siguientes divisiones es exacta? (x3 – 1) : (x + 1)

X (x3 – 1) : (x – 1)

35. Resuelvan usando la regla de Ruffini y verifiquen usando el teorema del resto. a. (5x3 – 2x2 + x – 3) : (x + 1) = Cociente: 5x2 – 7x + 8, Resto: –11

b. (x5 – 3x3 + 4x2 – x + 2) : (x – 1) = Cociente: x4 + x3 – 2x2 + 2x + 1, Resto: 3

c. (x3 – x2 – 12x + 12) : (x – 1) = Cociente: x2 – 12, Resto: 0

d. (2 x4 – 4x2 + x – 8) : (x – 2) = Cociente: 2x3 + 4x2 + 4x + 9, Resto: 10

e. ( x6 + 4x5 – 7x3 – 3) : (x + 1) = Cociente: x5 + 3x4 – 3x3 – 4x2 + 4x – 4, Resto: 1

f. (–2x5 – 4x3 – x 2 – 80) : (x + 2) = Cociente: –2x4 + 4x3 – 12x2 + 23x – 46, Resto: 12

36. Calculen el resto de las siguientes divisiones aplicando el teorema correspondiente. a. (–x5 – 3x3 + 4x + 7) : (x – 3) = –305

b. (2x6 – x 3 + x 2 – 3) : (x + 1) = 1

c. ( 4 x5 – 3 x4 – 2 x3 + __21 x – 1 ) : (x – 2) = 64

d. (–5 x8 + 3 x2 – x + 6) : (x – 1) = 3 123

35

34

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40

41

42

43

44

Raíces de un polinomio INFOACTIVA Una función de la forma f(x) = an xn + a n – 1 xn – 1 + ... + a2 x2 + a 1 x + a0, siendo n un número natural y an, an – 1 , ..., a2, a1, a0, números reales, es una función polinómica.  Si an ≠ 0 , entonces la función es de grado n.  El dominio de las funciones polinómicas es el conjunto de los números reales .  Las funciones polinómicas son continuas. Función

Grado

5 x4 + 2 x3 – 3 x2 + 4x – 10 9x3 – 4 5x + 4 46

Cuatro Tres Uno Cero

Se llama orden de multiplicidad de una raíz a la cantidad de veces que esa raíz se repite como tal. Para determinar el comportamiento de una función polinómica respecto del eje x (eje de las abscisas), se debe conocer la forma factorizada del polinomio, f(x) = an . x ( – x1 ) . x ( – x2 ) ... x ( – xn – 1 ) . x ( – xn ) , y determinar el orden de multiplicidad de sus raíces. Si el orden de multiplicidad de la raíz es par , la gráfica de la función toca el eje x , pero no lo atraviesa. 

Si el orden de multiplicidad de la raíz es impar , la gráfica de la función atraviesa el eje x . 

y y

Raíz de orden impar

Raíz de orden par

x

f(x) = (x + 1) 3 x = –1 es una raíz de orden impar. La gráfica atraviesa el eje de abscisas y lo “corta”.

f(x) = (x – 2) 2 x = 2 es una raíz de orden par. La gráfica toca el eje x y “ rebota”. y

y

4

2

3

1 x = –1 Raíz de orden impar –3 –2 –1 0

2 1 –1 0

124

x

–1 1

2 3 4 5 6 x = 2 Raíz de orden par

x

–2

1

2

3

4

x

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si el orden de la multiplicidad de la raíz es par, ¿la gráfica de la función atraviesa al eje x ? b. Para que dos polinomios sean divisibles, ¿cuál debe ser el resto de la división entre ellos? a. No, la gráfica rebota. b. Cero.

35

ACTIVIDADES Raíces de un polinomio

37. Marquen las opciones correctas. ¿Cuál de las gráficas corresponde a la función indicada en cada caso? a. f(x) = (x – 2) . (x + 4) 2 . (x + 3)2 y

y

X

–4 –3

2

y

–4 –3

x

2

–4 –3

x

2

x

b. g(x) = x . (x – 1) 2 . (x + 2) y

X

–2

y

1

–2

x

y

1

–2

x

1

x

38. Indiquen en cada gráfico cuáles son las raíces y el orden de multiplicidad de las mismas. a.

c.

y

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

y

4 x

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4 x

Raíces: –4, –2, 0, 1, 3

Raíces: –3, –2, 0, 3

Orden de multiplicidad: Impar: –4, –2, 0; Par: 1, 3

Orden de multiplicidad: Impar: –2, 0, 3; Par: –3

b.

d.

y

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4 x

y

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4 x

Raíces: –5, –3, 3, 4

Raíces: –3, –2, 0, 3

Orden de multiplicidad: Impar: –3, 3; Par: –5, 4

Orden de multiplicidad: Impar: –2, 0, 3; Par: –3 125

36

35

37

38

39

40

41

42

43

44

45

Operaciones combinadas INFOACTIVA Para resolver operaciones combinadas entre polinomios, se deben tener en cuenta los mismos procedimientos y propiedades que con los números reales. Resuelvan como cálculos auxiliares las operaciones más complejas. Para repasar las operaciones de polinomios pueden volver a las páginas 112, 114, 120 y 122.

{

P(x) = x3 – 125 Dados Q(x) = x2 + 5x + 25 calculen P(x) : Q(x) – 2 . R(x). R(x) = x2 + 3x – 1

( x3 – 125) : (x2 + 5x + 25) – 2 . (x2 + 3x – 1) = (x – 5) – 2 . (x2 + 3x – 1) = x – 5 – 2x2 – 6x + 2 = = –2x2 – 5x – 3

Cálculos auxiliares x3 + 0x2 + 0x – 125 –(x3 + 5x2 + 25x) ————————————— 0x3 – 5x2 – 25x – 125 –(–5x2 – 25x – 125) ————————————— 0x2 + 0x + 0

x2 + 5x + 25 x – 5 Cociente

/

Siempre que sea posible, se deben cancelar los términos opuestos para simplificar las operaciones.

{

P(x) = x + 2 Dados Q(x) = x – 3 calculen P(x) . Q(x) – R(x). R(x) = x2 – 2x + 1

(x + 2) . (x – 3) – (x2 – 2x + 1) = (x2 – 3x + 2x – 6) – (x2 – 2x + 1) = x2 – x – 6 – x2 + 2x – 1 = =x–7 En algunos casos, aparecen divisiones que pueden resolverse utilizando la regla de Ruffini.

{

= x3 – 2x2 + x + 4 Dados P(x) calculen P(x) : Q(x) – [Q(x)]2. Q(x) = x + 1

(x3 – 2x2 + x + 4) : (x + 1) – (x + 1 )2 = ( x2 – 3x + 4) – ( x 2 + 2 . x . 1 + 1 2) = ( x2 – 3x + 4) – ( x 2 + 2x + 1) = x2 – 3x + 4 – x 2 – 2x – 1 = = –5x + 3

126

Cálculos auxiliares P(x) : Q(x) = (x3 – 2x2 + x + 4) : (x + 1) 1 –1

–2

–1 1 –3 Cociente: x2 – 3x + 4

1

4

3 4

–4 0

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es cierto que 2x + 2x . (x + 2) = 4x . (x + 2)? b. La suma (x + 1)2 + (x + 1)2, ¿se puede escribir como [ (x + 1)2] ]2? a. No, porque no se respetaron los términos. b. No, se puede escribir como 2 . (x + 1)2.

36


39. Resuelvan las siguientes operaciones. a. 4x . (x5 – x 3 + 2x) + 3x4 – 5x6 = –x6 – x4 + 8x2

3 = f. –(x6 – 5x4 + 2x) . 2x – 2x . (x + x )

–12x7 + 10x5 – 6x2 – 2x4

b. –x . (3x6 + 8x9 – x) – (3x 2 – 5x10 ) = –3x7 – 3x10 – 2x2

3 – 3x . (x + 2x ) 2 – 8x 3 = g. 7 . (x2 + x )

4x2 – 7x3

2 + 3x 2 . (7x + x ) 2 = c. –5x . (4x 3 + 3x )

–17x4 + 6x3

h. –2x . (x3 – x 4 + 5x) – 4x 2 . (x 2 + 3x) + 6x4 = 2x5 – 10x2 – 12x3

d. 4x2 . (x 3 – x 2 + x) – 3x . (–x4 + x) = 7x5 – 4x4 + 4x3 – 3x2

i. –(x3 + 3x2 – 5x + 4) + (x 3 – 1) . 5x + 3x2 = 5x4 – x 3 – 4

e. (x + 4) . (x2 – 5) – x . (x 3 – x 2 + 1) =

j. ( __51 x + x 2 ) . (5x – 1) – ( __51 x – 2 ) . 5x = 49 x 5x3 – 2x2 + ___ 5

–x4 + 2x3 + 4x2 – 6x – 20

40. Marquen las opciones correctas. ¿Cuál es el resultado de cada uno de los siguientes cálculos combinados entre polinomios? a. (x – 4)2 + 3x = X x2 – 5x + 16

x2 – 8x + 16

x2 + 3x – 16

x2 + 11x + 16

3x2 – 8x

–8x2 + 8

b. 4x . (x 2 – x + 2) – 4x 3 + x 2 = 8x3 – 3x2 + 8x

X –3x2 + 8x

c. (x + 3)2 – (x – 3) 2 = 2x2 + 18

x2 + 12x

2x2

X 12x

127

36


41. Resuelvan las siguientes operaciones. 3 2 – (x3 – 1) : (x – 1) = a. (x 2 + x )

e. ( __81 x3 + 27 ) : ( __21 x + 3 ) – ( 9 – __41 x2 ) = _1_ x2 – _3_ x

x6 + 2x5 + x4 – x2 – x – 1

2

b. –3 . (x2 – 4x) + (x3 + 5x2 + 2x – 8) : (x + 2) =

f. ( __21 x + __41 ) . (2x 2 + 2) – ( x2 + _92_ x + 2 ) : (x + 4) = x3 + _21_ x2

–2x2 + 15x – 4

c. (x2 – 2x)2 + (x3 + x – 1) . 3x =

2

2 1 g. ( _32_ x – __31 ) + ( x2 – ___ ( – _41_ ) = 16 ) : x

13 _9_ x2 + ___

4x4 – 4x3 + 7x2 – 3x

4

d. (x4 – 16) : (x + 2) – (x – 4) 2 =

36

h. 5x . (x 3 + 2x – 1) + (4 x3 + 7x2 – 5x – 6) : (x – 1) =

x3 – 3x2 + 12x – 24

5x4 + 14x2 + 6x + 6

42. Encuentren el valor de a, b y c para que se cumpla la siguiente igualdad. –2x5 + 4x4 + 37x3 – 37x2 – 6x + 7 = (ax + bx 2 + c) . (x3 – 5x2 + 1) a = –6; b = –2; c = 7

43. Tengan en cuenta los siguientes polinomios y resuelvan. A(x) = x4 – 2x2 + x



a. [ B(x) ]2 – A(x) = –x4 + 3x2 – 3x + 1

b. D(x) + [ C(x) ]2 = x4 – 3x3 – 4x2 + 17x + 18

128



B(x) = x – 1



C(x) = x2 – 2x – 4

c. A(x) : B(x) + D(x) = 2x3 + x2 + 2

d. C(x) . D(x) – B(x) . A(x) = –x4 – x 3 – 3x2 – 7x – 8

D(x) = x3 + x + 2



36


44. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas. a. (–x3 + 8) : (x – 2) – (x + 1) 2 =

2 2 . x4 – x5 + __ e. ( __21 x3 + __41 ) + (x – 2x ) ( 61 ) =

29 – _74_ x6 + _41_ x3 – ____ 192

–2x2 – 4x – 5

f. ( __41 x3 + x 2 – x – 28 ) : ( __41 x2 + 2x + 7 ) + x2 – 16 =

b. (3x – 1)3 + (2x + 4)2 = 27x3 – 23x2 + 25x + 15

x2 + x – 20

2 : x2 – (5x2 – 2x)2 = c. (x4 – 3x3 + x )

3 2 + (x2 + 2x)3 + 80x7 = g. 5x2 . (2x 2 – 4x )

–25x4 + 20x3 – 3x2 – 3x + 1

1 2 3. 2 2 2 6 . d. [ (3x ) ( – ___ 27 x ) (–3x) ] : x + (x + 2) =

80x8 + 21x6 + 6x5 + 12x4 + 8x3

h. (x5 – 2x4 + 3x2 + 2x + 8) : (x2 + 2) – (x3 – 4) =

x4 – 9 x3 + 4x2 + 4

–2x2 + x + 8

45. Resuelvan teniendo en cuenta los siguientes polinomios. A(x) = x2 + 2 a. B(x) : C(x) + A(x) =



B(x) = x3 – 1



2x2 + x + 3

b. [ _51_ . D(x) – B(x) ] . C(x) =

– _45_ x4 + x3 – _51_ x2 + _53_ x – _35_

C(x) = x – 1  D(x) = x3 + x2 – 2 c. [2 . A(x) . 3 . B(x)] + D(x) – B(x) = 

6x5 + 12x3 – 5x2 – 13

d. [ B(x) ]2 . C(x) + D(x) = x7 – x 6 – 2x4 + 3x3 + x2 + x – 3

mente ACTIVA Se tiene un cuerpo formado por dos cubos unidos entre sí con la longitud de las aristas indicadas en el gráfico. ¿Cuál es el polinomio que expresa el volumen de dicho cuerpo?

x + 2 x + 1

Volumen = 2x3 + 9x2 + 15x + 9

129

INTEGRACIÓN 46. Resuelvan la división de los monomios. 4 6 25 7 ___ 17 9 ___ 51 3 10 4 ___ ___ 3 a. ( ___ 4 x ) : ( 8 x ) = 5x e. ( 5 x ) : ( 4 x ) = 15 x 49 5 ____ 11 27 x12 =___ 121 12 ___ 11 12 __ b. ( _79_ x17 ) : ( ___ 21 ) 81 x f. ( 136 x ) : ( 34 x ) = 4 144 49 58 7 ____ 10 3 ____ 116 6 12 x4 : ___ ___ ___ c. ( ___ 5 ) ( 24 x ) = 25 x g. ( 7 x ) : ( 343 x ) = 2 x 13 x8 : ___ 26 6 3 10 1 13 ___ _3_ 2 _5_ 3 __ d. ( ___ 2 ) ( 3 x ) = 4 x h. ( 4 x ) : ( 10 x ) = 6 x

47. Resuelvan las siguientes divisiones. 1 x5 + __

_2_ x2 +

_2_ x

8x – 9 x ) : ( 3 ) = a. ( 3 b. ( 7,2 x4 + _23_ x3 – 5x2 ) : ( __51 x ) = 4

c. ( 0,5 x5 – 0,5x3 + 0, 05 x ) : ( 10 ) = 1 x ___

1 x5 __

d. ( 7x + 21x – 3 ) : (3x ) = e. ( _27_ x8 – _21_ x6 + 0,4 x4 ) : ( __21 x2 ) = 6

7

4

(

)

3 = f. x7 – __41 x6 + 0, 25 x4 – __51 x3 : (0,2x ) g. ( –2x5 + 4x6 – _72_ x7 – 8x3 ) : ( __31 x2 ) = h. ( – x6 – x 5 + 2x3 – _81_ x2 ) : _83_ x =

( )


corresponda. a. La suma de dos polinomios de grado 2 siempre da como resultado otro polinomio de grado 2. F

b. El producto de dos polinomios de grado 3 siempre da por resultado otro polinomio de grado 9. F

c. El opuesto de un polinomio se obtiene multiplicando el polinomio por (–1). V

d. En un polinomio, si el orden de multiplicidad de una raíz es impar, la gráfica atraviesa el eje x . V

e. Un polinomio de grado 5 tiene 5 raíces. V f. Si un polinomio tiene 2 raíces de orden par,

48. Resuelvan e indiquen el cociente y el resto

el polinomio tiene grado 2. F

de cada división.

g. Dos polinomios son divisibles si su resto es

2 = a. (6 x5 + 3x4 – 9) : (3x )

el polinomio nulo. V

3 = b. ( __51 x4 – _85_ x3 + _75_ x – 5 ) : (5 x ) c. (–10 x7 – 8x5 + 4x7 – x) : (2x2 + 1) =

d. (12x + x – 5x + 3) : (3x – 2) = 3

2

4 : (5x3 – 1) = e. (5 x6 – 20 + 4x 7 – 15x – 6x )

f. (12 x5 – 4x3 + 16) : (4 x2 + 2) = g. (15 x7 – 3x5 – 12x4 – 18x) : (3x3 – x 2 + 1) = h. (x6 + x 3 – x 2 + 1) : (x4 – x2 + 1) =

51. Calculen el valor de a para que P(x) sea divisible por Q(x). a. P(x) = x6 – x 5 + ax3 + 2; Q(x) = x – 1 b. P(x) = x3 – ax2 + x – 5; Q(x) = x + 1 c. P(x) = 3x4 + 2x2 – 2a2; Q(x) = x – a d. P(x) = x4 – ax3 – 2x2 – 1; Q(x) = x + 2


e. P(x) = x5 + ax – 4; Q(x) = x – 2

49. Escriban la expresión que representa el perí-

f. P(x) = ax3 + 8; Q(x) = x – 2

metro___ y el área de la siguiente figura. ___ ao = ob ___ a ab = 2x + 2 cm

g. P(x) = –ax3 + x 4 + 1; Q(x) = x – 1

Perímetro: 16x + 16; Área: 8x2 + 16x + 8

130

50. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según

o b

h. P(x) = _31_ x3 + _29_ x2 + ax – 11; Q(x) = x + 3 i. P(x) = ax3 + 8x – 48; Q(x) = x – 2 j. P(x) = 9x4 – _31_ x2 + x + a; Q(x) = x – 3

a. a = –2; b. a = –7; c. a = 0; d. a = – _78_; e. a = –14; f. a = –1; g. a = 2; h. a = –6; i. a = 4; j. a = –729

capítulo

5

CONTENIDOS

33*34*35*36

52. Escriban el orden de multiplicidad de las raí- 53. Calculen el resto en cada caso, sin resolver ces de cada uno de los siguientes gráficos. a. Orden par = 0, 2. Orden impar = –2

las divisiones. a. (–5 x2 + x – 2) : (x – 3) =

y

b. ( x3 – x2 + 1) : (x + 4) =

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4 x

c. ( _34_ x4 + __41 x3 – x 2 + x ) : ( x – __21 ) = d. ( 0,3 x2 – __61 x3 + 2 ) : (x + 6) =

21 a. r = –44; b. r = –79; c. r = ___ 64 ; d. r = 50

54. Encuentren, en cada caso, el valor de a tenien-

b. Orden par = 2. Orden impar = –3, –2, 0

do en cuenta que P(x) y Q(x) son divisibles.

y

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4 x

c. Orden impar = –1, 1, 3

P(x) x3 – ax + 1 – x4 + x 2 – x 4x5 – 8 – x3 + 5x2 + 10x – 2

Q(x) x+5 x+a x+2 x–a

Resto 6 –1 a 48 ___

a = 26; a = –1; a = –136; a = 5; ±  10

55. Resuelvan las operaciones combinadas.

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4 x

a. ( x2 – 1)2 + (4 x3 – 5x + 2 x2 – 1) = 2 3 – (x2 – 3)2 + (x2 + 9) = b. (4 x ) 3 2 + ( x3 + 1) 2 – ( x2 + 1) = c. – (x )

d. Orden par = –1, 1

d. 3 . (x2 + 2x – 3) – (3x2 – 9) + 6 x2 = e. ( x2 – 1)2 + ( x2 + 1)2 – 2 =

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4 x

f. ( x2 + x + 1)2 – ( x4 + 3 x2 + 1) = 2 . (3 4 = x2 + x – 5) + (– x2 + 5x – 3 x ) g. (x – x ) 2 . x – 2 . (–x3 + x ) 6 = h. ( x3 – 1) . (x + 2 x )

e. Orden par = –1, 1, 4. Orden impar = 3

i. (4 x2 + 1) . 3x – 2 . (x + 1)2 =

y

j. ( x3 + 8) : (x + 2) + (x – 4) 2 = k. ( x2 – x + 1) . (x 3 – 1) : (x – 1) =

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4 x

l. ( x5 + 4x3 – 2x2 + 3x – 6) : (x2 + 3) + (– x3 – 1) = 1 2 . 1 __ 3 m. [ –3x . ( ___ 27 x ) (–2x) : 9 x ] + (x + 1) =

f. Orden par = –1, 1. Orden impar = 0 y

n. ( x3 + 5x2 –x) . x + 3 . (x2 – 1)2 – 5x3 = 2 2 : 2x2 + x + __ o. ( x6 – 2x4 + x ) ( 21 ) . –( _21_ x2 ) =

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4 x

p. ( x2 – 7x + 12) . (x + 1) – x . (x2 + 6x) – x4 = Solución a cargo del alumno.

131

capítulo

5

AUTOEVALUACIÓN

Marquen las opciones correctas 56. ¿Cuál de los siguientes polinomios tiene grado 5, término independiente igual a 3 y coeficiente principal 2? a. 5x2 + x 4 – 6x + 3

b. 3x5 + x 4 – 6x + 2

c. 2x3 + x 4 – 6x + 5 X d. 2x5 + x 4 – 6x + 3

57. ¿Cuál de las siguientes gráficas puede representar una función polinómica de grado 6? y

a.

y

c.

x

b.

x

X d.

y

y

x

x

58. ¿Cuál es el resto de la división entre (3 x (3 x6 + 5x4 – 2x3 – x 2 – 10) y (x + 2)? a. –274

b. –242

X d. 274

c. 242

59. ¿Cuál es el valor de a para que al dividir (– x4 + 2x3 + 4x2 + ax + 6) y (x + 3), el resto sea –78? X a. –5

b. –3

c. 3

d. 5

60. ¿Cuál de los siguientes polinomios es divisible por (x + 4)? a. –x – x5 + 5x2 – 8

b. –5x + 3x3 – x2 + 40

X c. – x4 – 3x3 + x 2 + 48

d. x2 – 2 x3 – x + 12

61. Si x3 + ax2 – bx + ___81_ = ( x + ___21_ )3, ¿cuáles son los valores de a y b? a. a = – ___32_ y b = – ___34_

3_ y b = – __ _3_ X b. a = ___ 2 4

c. a = – ___32_ y b = ___34_

d. a = ___32_ y b = ___34_

62. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa la función x 2 . (x – 2)4 . (x + 2) . (x + 3) 5? a.

b.

y

x

132

X c.

y

x

d.

y

x

y

x

Factorización de polinomios Contenidos 37. Factor común y factor común por grupos.

6

38. Trinomio cuadrado perfecto y cuatrinomio

cubo perfecto. 39. Suma y resta de potencias de igual exponente. 40. Teorema de Gauss. 41. Casos combinados de factoreo. 42. Ecuaciones de grado mayor a dos. 43. Estudio de funciones polinómicas. 44. Expresiones algebraicas fraccionarias. 45. Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias. 46. Ecuaciones con expresiones algebraicas fraccionarias.

A fines del siglo XVIII y comienzos del XIX vivió en Italia un personaje cuyo nombre es conocido por cualquiera que haya atravesado el colegio secundario. Nos referimos a Ruffini, Ruffi ni, autor de la famosa regla para la división de polinomios. Sin embargo, la fama es a veces injusta: en realidad, el mayor hallazgo de Ruffini pasa casi desapercibido para quienes no son matemáticos. Se trata de responder a una simple pregunta: ¿hay alguna fórmula que permita encontrar las raíces de cualquier polinomio? La respuesta es notable: no existe una fórmula general para encontrar raíces de polinomios de grado mayor que 4. La demostración de Ruffini no era del todo correcta, pero más tarde fue corregida y publicada por el noruego Abel, en 1826. Desde entonces, la teoría de ecuaciones algebraicas no volvió a ser la misma.

1. Lean atentamente y respondan. a. El polinomio x5 – x tiene 3 raíces que se pueden encontrar factorizándolo. ¿Contradice esto el resultado demostrado por Ruffini y por Abel? b. ¿Por qué creen que la teoría de ecuaciones algebraicas “no volvió a ser la misma”? a. No; porque se refiere a la posibilidad de encontrar una fórmula general, pero eso no quiere decir que no se puedan resolver ciertos polinomios específicos. b. Respuesta abierta. Más allá de la importancia particular de la demostración de Ruffini y de Abel, en matemática son muy interesantes (y en general difíciles) los teoremas que muestran alguna imposibilidad.

o l u t í p a c

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36

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46

Factor común y factor común por grupos ¿Para q qu ué s ir ve? PÁGINA 10

INFOACTIVA

un polinomio de n términos es expresarlo como un producto de polinomios primos. Factorizar un

Factor común Para factorizar un polinomio a través del factor común, se debe recordar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma o de la resta. a . (b ± c) = a . b ± a . c (el factor a se repite en ambos términos) Para extraer el factor común, se debe proceder de manera inversa: a . b ± a . c = a . (b ± c) Primero, se debe reconocer cuál es el factor que se encuentra repetido en cada término y luego, para encontrar el factor que va entre paréntesis, se divide cada término por el factor común. El factor común puede ser la variable del polinomio, elevada a la menor potencia, y/o el dcm de todos los coeficientes del mismo.

Factoricen el polinomio P(x) = 6x2 – 3x, extrayendo el factor común. es el factor común de los dos términos. P(x) = 3x . 2x – 3x . 1 3x es Expresión factoreada de P(x) a través del factor común. P(x) = 3x . (2x – 1) 6x2 ___ 3x ____ 3x 3x

Dentro del paréntesis va lo que resulta de dividir cada término por 3x.

Factoricen el polinomio Q(x). Q(x) = –15x6 – 12x5 + 6x3 = –5 . 3x3 . x 3 – 4 . 3x3 . x 2 + 2 . 3x 3 = 3x3 . (–5x3 – 4x2 + 2) Para normalizar un polinomio, se debe sacar como factor común el coeficiente principal.

R(x) = 3x

_1_ __ 2 1 3 x _ __ _ __ ____ – = 3 . –2

2

2

(

3

3

) = = 3 . ( x – 2

_1_ __

6

)

Polinomio normalizado

Factor común por grupos En algunos casos el factor común por grupos se puede aplicar a polinomios que no tienen un factor común en todos sus términos.

Factoricen el polinomio S(x) = 4x3 – 2x 2x2 + 6x – 3, mediante el factor común por grupos. Se forman grupos de términos, de forma tal que en cada S(x) = (4x3 – 2x 2x2) + (6x – 3) uno de ellos haya un factor común. 2x2

3

S(x) = 2x2 . (2x – 1) + 1) + 3 . (2x – 1) S(x) = (2x (2x2 + 3) (2x – 1)

En cada término debe aparecer el mismo factor para poder extraerlo nuevamente como factor común. Al sacar nuevamente factor común, la expresión queda factorizada a través del factor común por grupos.

Factoricen el polinomio Q(x). Q(x) = x6 + 2x5 + x4 + 2x3 + 2x + 4 = (x ( x6 + 2x5) + (x (x4 + 2x3) + (2x + 4) = x5 . (x + 2) + x 3 . (x + 2) + 2 . (x + 2) Q(x) = (x5 + x3 + 2) . (x + 2) 134

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En P(x) = 6 x3 – 15x2 + 3x = 3x . (2x2 – 5x), ¿se extrajo correctamente el factor común? b. En todo polinomio, ¿se puede aplicar factor común por grupos? a. No, P(x) = 3x . (2 x2 – 3x + 1). b. No, se deben poder agrupar términos con factores comunes.

37

ACTIVIDADES Factor común y factor común por grupos

1. Marquen las opciones correctas. En cada caso, ¿cuáles expresiones son equivalentes a las dadas? (x2 – 3x + 1) = a. x 8 – x 2 = b. x 5 – 2x2 + x = c. x 4 . x x2 . x (x4 – x )

X x . x (x4 – 2x + 1)

X x2 . x (x6 – 1)

4 x5 . (–2x (– 2x3 + x )

6 x8 . (1 – x )

x5 . (x – 2x –3 + x)

2. Extraigan factor común.

)

X x6 – 3x5 + x 4

x6 – 3x3 + 2x3

x8 – 3x4 + x 4

X x5 – 3x4 + x 3

(

15 x5 b. ___94_ x9 + 3x8 – ___ 2

)

e. 3x5 – ___35_ x + 6

4_ x3 – ___ 10 _9_ x5 . x4 + ___ __ 3 3 4

(

3x5 – 9x4 + 6x3

21 x – __ _3_ __ x3 . xx4 + ___ – 2__ 2 9 10

6x3 . x2 – x + __31

(

2x6 – 4x5 + 2x4

7 4 __1 3 d. – ___29_ x7 – ___ 15 x + 3 x

a. 6x5 – 6x4 + 2x3 =

(x2 – 3x + 2) = d. x 3 . x

3 . x ( 5 – ___51_ x + 2 )

)

35 21 x6 – ___ f. – ___ 10 6

1 _2_ __ c. – ___29_ x2 – ___ 15 x – 3

3 __ . x2 + ___ – 2__ 10 x + 3 ) 9 (

25 21 . x6 + ___ – ___ 10 9

(

)

3. Extraigan factor común por grupos en los siguientes polinomios. a. x 4 – x 3 + 2x – 2 =

(x – 1) . x (x3 + 2)

(x2 – 3) . x (x3 – 2) b. x 5 – 3x3 – 2x2 + 6 = x

c. x3 – 2x2 – x + 2 =

x (x2 – 1) . (x – 2)

4. Marquen las respuestas correctas. a. ¿Cuáles de las siguientes expresiones corresponden al área del rectángulo?

b. ¿Cuáles de las siguientes expresiones corresponden al volumen del prisma? x – 2

3 . (x – 3) 6x x + 4

3x – 5

X (3x – 9) . (x + 4)

x . (5x + 11)

X 3 . (x – 3) . (x + 4)

x . (2x – 4) . (3x + 15)

4x – 5

X 6x . (x – 2) . (3x – 5) 135

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47

Trinomio cuadrado perfecto y cuatrinomio cubo perfecto INFOACTIVA a

Cuadrado de un binomio: expresión factorizada del trinomio cuadrado perfecto.

x 2 ± 2 2aa x + + a2 = ( x ± a )2

Trinomio cuadrado perfecto : Es el desarrollo del cuadrado del binomio.

a

x 2

ax

ax

a2

x

x

(x + a)2 = x 2 + ax + ax + a 2 = x2 + 2ax + a2

x2 ± 2ax + a2 = (x ± a) .(x ± a) = (x ± a)2 2

2

2

x – a

a

(x – a)2

a . (x – a)

P(x) = x + 10x + 25 = x + 2 . x . 5 + 5 = (x (x + 5)

2

x – a

x 5 Q(x) = x2 – 6x + 9 = x2 – 2 . x . 3 + 32 = (x (x – 3)2

x a .(x – a)

x 3 2 R(x) = x + 12x + 16 = x2 + 2 . x . 6 + 42 6 ≠ 4 x 4 No es trinomio cuadrado perfecto.

a2

x

(x – a)2 = x2 – a . (x – a) a ) – a . (x – a) a ) – a2 = x2 – ax + a2 – ax + a2 – a2 = x2 – 2ax + a2

Cuatrinomio cubo perfecto Cubo de un binomio: expresión factorizada del cuatrinomio cubo perfecto. Cuatrinomio cubo perfecto : es el desarrollo del cubo del binomio.

x 3 + 3a x 2 + 3a 3 a2 x + + a 3 = ( x + + a)3

x3 ± 3a 3axx2 + 3a 3a2 x ± a3 = (x (x ± a) . (x (x ± a) . (x (x ± a) = (x (x ± a)3

(x + a)3 = (x + a) . (x + a) . (x + a) 2 . (x + a) = ( x x2 + 2ax + a ) = x 3 + 3ax2 + 3a 3 a2 x + a3

Expresión factorizada

(x – a) 3 = (x – a) . (x – a) . (x – a) 2 . (x – a) = ( x x2 – 2ax + a ) = x3 – 3ax2 + 3a 3 a2 x – a3

T(x) = x3 + 3x 3x2 + 3x + 1 = x3 + 3 . x2 . 1 + 3 . x . 12 + 13 = (x (x + 1)3 x 1 K(x) = x3 – 6x 6x2 + 12x – 8 = x3 – 3 . x2 . 2 + 3 . x . 22 – 23 = (x (x – 2)3 x 2 3 2 M(x) = x + 4x 4x + 8x + 8 = x3 + 3 . x2 . 2 + 3 . x . 22 + 23 6 ≠ 4 12 ≠ 8 x 2 No es cuatrinomio cubo perfecto. 136

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. El producto de (x + 6) . (x – 6), ¿es equivalente a un trinomio cuadrado perfecto? b. ¿El cubo de un binomio es equivalente al cuatrinomio cubo perfecto? a. No, porque los dos factores tienen que ser iguales. b. Sí, es la misma expresión factorizada.

38

ACTIVIDADES Trinomio cuadrado perfecto y cuatrinomio cubo perfecto

5. Completen con el valor que corresponde para que resulte un trinomio cuadrado perfecto. a. x 2 + 6 x + 9

b. 4 x2 – 20x + 25

c. 9x2 – 12x + 4

d. 4x2 + 12 x + 9

6. Desarrollen las siguientes expresiones. a. (2x – 4)2 = 2 b. ( __21 x – 5 ) =

4 x2 – 16x + 16 1 2 __ 4 x – 5x + 25

c. ( x3 – 2)2 =

x6 – 4 x3 + 4

d. (x + 6)3 =

x3 + 18 x2 + 108x + 216 27 x3 – ___ 27 x2 + 18x – 8 ___ 8 2

3 e. ( _32_ x – 2 ) =

f. ( x5 – 2x)3 =

x15 – 6 x11 + 12 x7 – 8 x3

7. Expresen cada trinomio cuadrado perfecto como el cuadrado de un binomio. c. __91 x10 + _31_ x5 + __41 2

a. x 2 – 10x + 25

( _31_ x + _21 )_

(x – 5)2

5

b. 9x2 – 12x + 4

d. x6 + 4x4 + 4x2

(3x – 2)2

(x3 + 2x)2

8. Expresen cada cuatrinomio cuadrado perfecto como el cubo de un binomio. c. __81 x6 + _34_ x4 + _32_ x2 + 1 3

a. x 3 – 9x2 + 27x – 27

( _21_ x + 1 )

(x – 3)3

2

b. 8x3 + 36x2 + 54x + 27

d. 27x6 – 81x5 + 81x4 – 27x3

(2x + 3)3

(3x2 – 3x)3

9. Escriban la expresión más sencilla que permita calcular el área de la figura. Área = (x + 1)2 1

x + 1 x

137

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Suma y resta de potencias de igual exponente. INFOACTIVA Para un polinomio de la forma P(x) = xn ± an existen cuatro posibilidades. P(x) = xn ± an ∧ n es par P(x) = xn ± an ∧ n es impar

Factoricen el polinomio P(x) = x 4 – 81 = x4 – 34.

___

4 Se buscan las raíces de P(x): x 4 – 81 = 0 ⇒ |x| =  81 ⇒ |x| = 3 ⇒ x1 = 3 ∧ x2 = –3 Por el teorema del resto: P(3) = 0 ⇒ (x – 3) es divisor de P(x). P(–3) = 0 ⇒ (x + 3) es divisor de P(x).

Se aplica la regla de Ruffini con las raíces halladas, las veces que sea posible. (x4 – 81) : (x – 3) = x 3 + 3x2 + 9x + 27 1 3 1

0 3 3

0 9 9

0 –81 27 81 27 0

(x3 + 3x2 + 9x + 27) : (x + 3) = x 2 + 9 1 –3 1

3 –3 0

9 27 0 –27 9 0

P(x) = x4 – 81 = (x3 + 3x2 + 9x + 27) . (x – 3) = (x2 + 9) . (x + 3) . (x – 3) Q(x) = x4 + 81 no tiene raíces reales. R(x) = x5 – 32 = x 5 – 2 5 Se buscan las raíces de P(x): x5 – 32 = 0 ⇒ x = 2

S(x) = x3 + 64 = x3 + 43 Se buscan las raíces de S(x): x3 + 64 = 0 ⇒ x = –4

Por el teorema del resto: R(2) = 0 ⇒ (x – 2) es divisor de R(x).

Por el teorema del resto: S(–4) = 0 ⇒ (x + 4) es divisor de S(x).

Se resuelve por la regla de Ruffini R(x) : (x – 2) Se resuelve por la regla de Ruffini S(x) : (x + 4) R(x) = (x – 2) . (x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16) S(x) = x3 + 64 = (x + 4) . ( x2 – 4x + 16) Resumiendo:

P(x) = xn ± an n impar n par

xn + a n xn – a n xn – a n xn + a n

Divisor/es (x + a) (x – a) (x + a) ∧ (x – a) No tiene divisores de la forma (x ± a).

Diferencia de cuadrados P(x) = x2 – 4 = x2 – 22 = (x – 2) . (x + 2) R(x) = x4 – 64 = (x2)2 – 82 = (x2 – 8) . (x2 + 8) R(x) = x6 – 16 = (x3)2 – 42 = (x3 – 4) . (x3 + 4) 138

P(x) = x2 – a2 = (x – a) . (x + a)

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. 2 ¿son equivalentes? a. Las expresiones (x – y) 2 y (x2 – y ) b. Uno de los posibles divisores del polinomio x 4 + 16 ¿es (x – 2)?

a. No, la primera es el cuadrado de un binomio y la segunda, la diferencia de dos expresiones al cuadrado. b. No, porque un polinomio de la forma xn + a n con n par no tiene divisores de la forma x  a.

39

ACTIVIDADES Suma y resta de potencias de igual exponente

10. Factoricen las siguientes sumas y restas de potencias de igual exponente. a. x 5 – 32 =

e. x 9 + 1 =

(x – 2) . (x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16)

(x + 1) . (x2 – x + 1) . (x6 – x 3 + 1)

b. x 12 + 1 =

f. x6 + 729 =

No tiene raíces reales.

No tiene raíces reales.

c. x4 – 81 =

g. x3 – 64 =

(x – 3) . (x + 3) . (x2 + 9)

(x – 4) . (x2 + 4x + 16)

d. x 7 + 2 187 =

h. x8 – 256 =

(x + 3) . (x6 – 3x5 + 9x4 – 27x3 + 81x2 – 243x + 729)

(x – 2) . (x + 2) . (x2 + 4) . (x4 + 16)

11. Escriban cada expresión como diferencia de cuadrados, siempre que sea posible. (x – 3) . (x + 3)

a. x 2 – 9 =

b. 100 x – 256 = 4

(10x 2 – 16) . (10x 2 + 16)

__

c. 9x – 5 = 2

d. 4x2 – 25 = (2x – 5) . (2x + 5) 1 ___

e. x – 36 = 6

__

(3x –  5 ) . (3x +  5 )

f. x2 + 25 =

( x – _61_ ) . ( x 3

3

+ _61_

)

No es diferencia de cuadrados.

12. Calculen la medida de cada una de las aristas del prisma. Volumen = 3x2 – 12

Una de las aristas mide x – 2 cm y la otra, x + 2 cm.

3 cm

139

40

39

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44

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46

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49

Teorema de Gauss INFOACTIVA Si el polinomio P(x), de grado n, con coeficientes enteros y término independiente no nulo, admite p una raíz racional __q (fracción irreducible), entonces p es divisor del término independiente y q lo es del coeficiente principal. Para hallar las raíces racionales de P(x) = a xn + b xn – 1 + c xn – 2 + ... + d:  se buscan los divisores del término independiente y del coeficiente principal; p _→ __ __ Divisores del término independiente.  se buscan las posibles raíces: q → Divisores del coeficiente principal. Todo polinomio P(x), de grado n, de n raíces reales, puede factorizarse como: P(x) = a.(x – x1).(x – x 2).(x – x 3) ....(x – xn)

Siendo a el coeficiente principal de P(x) y x 1; x2; ... ; x n sus raíces reales.

Hallen las raíces del polinomio P(x) = 2x3 – 7x2 + 2x + 3. Divisores del término independiente, (–3): ±1, ±3 Divisores del coeficiente principal, (2): ±1, ±2 p

Posibles raíces __q : _; x = ±3; x = ±_3_ x1 = ±1; x2 = ±_1 4 2 3 2

Se especializa el polinomio P(x) por las posibles raíces (xn es raíz si P(xn) = 0). P(1) = 0 ⇒ x1 = 1 es raíz. P(– _12_) = 0 ⇒ x2 = – _12_ es raíz. P(–3) = 0 ⇒ x3 = –3 es raíz. P(x) = 2x3 – 7x2 + 2x + 3 ⇒ P(x) = 2 . (x – 1) . (x + _12_) . (x + 3) Un polinomio P(x) tiene una raíz múltiple si al descomponerlo en función de sus raíces hay factores iguales; el orden de multiplicidad de la misma está dado por el exponente del factor.

Polinomio factorizado P(x) = 2 . (x – 1) . ( x + __21 ) . (x + 3)

Raíces

Multiplicidad

x1 = 1 ∧ x 2 = – __21 ∧ x3 = –3

Tres raíces simples.

P(x) = (x – 1)2 = (x – 1) . (x – 1)

x1 = x 2 = 1

Una raíz doble.

x1 = x 2 = x 3 = –2

Una raíz triple.

P(x) = (x + 2)3 = (x + 2) . (x + 2) . (x + 2) P(x) = (x – 2)2 . (x + 1)3 P(x) = x3 . (x + 3) = x . x . x . (x + 3)

140

x1 = x 2 = 2 ∧ x 3 = x 4 = x 5 = –1 2, raíz doble y –1, raíz triple. x1 = x 2 = x 3 = 0 ∧ x 4 = –3

0, raíz triple y –3, raíz simple.

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cuál es el coeficiente principal y el término independiente en x n + b xn – 1 + … + d? b. Si un polinomio es de grado n, su mínima expresión factorizada ¿es el producto de n factores? a. El coeficiente principal es 1 y el término independiente es d . b. No, depende de si las raíces son simples o múltiples.

40

ACTIVIDADES Teorema de Gauss

13. Escriban las posibles raíces de los polinomios. a. x 3 + 3x2 – 10x – 24 = b. –3x3 + 9x2 + 99x – 105 =

1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24 1; 

_1_;

3



_5_;

3



_7_; 3; 5; 7;

3



35 ; 15; 21; 35; 105 ___ 3

1  __; 1 4 2 7 1  __; 1;  __; 5; 7; 35. 4 3 2 5 5 d. 5x – 20x – 90x – 100x – 35 =

c. –4x4 + 2x3 – 2x + 1 =



_1_;

14. Calculen las posibles raíces de los polinomios. Luego, especialícenlos para hallar las raíces. a. x 3 + 2 x2 – x – 2 2; 1;

raíces: x = –2; x = 1

b. x 3 – 7x + 6 6; 3; 2; 1;

c. 3x3 – 12x2 + 15x – 6 1; 

_1_;

3



_2_; 2; 3; 6; raíces: x = 1 (doble) y x = 2

3

d. 2x 3 + 14x2 + 30x + 18 raíces: x = –3; x = 2; x = 1

1; 

_1_;

2



_3_; 2; 3;

2



_9_; 6; 9; 18;

2

raíces: x = –1; x = –3 (doble)

15. Hallen las raíces de los siguientes polinomios y factorícenlos. a. x 3 + 2x2 – 5x – 6 = (x – 2) . (x + 3) . (x + 1)

b. x 3 – 4x2 – 3x + 18 = (x – 3)2 . (x + 2)

c. 2x4 + 10x3 + 12x2 – 8x – 16 = (x – 1) . (x + 2)3

d. 3x 3 – 9x2 – 30x + 72 = 3 . (x – 2) . (x – 4) . (x + 3)

e. 5x3 + 25x2 – 125x – 625 = 5 . (x – 5) . (x + 5)2

f. –2x4 – 10x3 – 18x2 – 14x – 4 = –2 . (x + 1)3 . (x + 2)

141

INTEGRACIÓN 16. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según

20. Completen con = o ≠ según corresponda.

corresponda.

a. (3x – 2)2 ≠ 9x2 – 4

a. x 3 . (x – 3) = x 3 – 3x F

b. (5x – 2)2 = 25x2 – 20x + 4

b. x 3 . (x2 – 2x + 1) = x 5 – 2x3 + 1 F

c. (–2x + 1)2 ≠ –4x2 – 4x +1

c. x4 . ( x2 – 3x + 1) = x 6 – 3x5 + x 4 V 15 4 F _3_ 2 ___ 4 2 3 + 5x ) = 2 x – 2 x 15 x4 V 4 = _3_ x2 – 1 + ___ e. _32_ . ( x2 – _23_ + 5x ) 2 2 f. – __31 x2 . ( __21 x2 + __31 x – 2 ) = – __21 x4 – __91 x3 + _23_ x2

d.

d. (x – 1)3 = x3 – 3x2 +3x + 1

_3_ . ( x2 – _2_

e. (2x – 2)3 ≠ x3 f. (3x2 – 1)3 ≠ 27x5 – 27x4 + 9x2 +1 F

17. Extraigan factor común.

a. 9x2 – 6x + 1 = (–3x + 1)2

a. 3x5 – 6x3 + 3x2 = 3x2 . (x3 – 2x +1) 3 4 _9_ 3 _3_ x3 . x2 – _1_ x + 3 b. _32_ x5 – ___ ) 5 10 x + 2 x = 2 ( c. –2x4 + 2x2 – 4x = –2x . (x3 – x + 2)

d. __31 x7 – __91 x6 – _53_ x3 + _23_ x2 =– _31_ x2 . –x ( 5 + _31_ x4 + 5 x3 – 2 ) 21 = _3_ . (x 3 – 2x + 7) e. _32_ x3 – 3x + ___ 2 2 3 7 _6_ 6 __1 3 – _3_ x3 . _1_ x4 – 2x3 – _31_ ) f. – ___ 10 x + 5 x + 5 x = 5 ( 2 21 x2 – _3_ x3 = _3_ . _1_ + _7_ x2 – x3 g. _34_ + ___ ) 2 ( 2 5 10 2 6 3 _2_ 2 _2_ 2 . _1_ 2 _3_ 2 4 ___ h. – ___ 15 x + 35 x + 5 x = 5 x ( – 3 x + 7 x + 1 )

18. Extraigan factor común por grupos. a. 2x4 – 4x3+ 3x – 6 = (x – 2) . (2 x3 + 3) b. _32_ x6 – 3x5 – 2x + 4 = (x – 2) . ( _32_ x5 – 2 ) c. x5 – 2x4 – 2x3 + 4x2 = ( x4 – 2 x )2 . (x – 2) d. 3x3 – 2x2 – 9x + 6 = (3x – 2) . (x2 – 3) 2 e. 6 x3 + 5 x2 + 48x + 40 = (6x + 5) . (8 + x ) f. 2 x5 + 4 x3 – x2 – 2 = (2 x3 – 1) . (x2 + 2) g. 4 x7 – 12 x5 + 3 x2 – 9 = (4 x5 + 3) . (x2 – 3)

19. Desarrollen las siguientes expresiones. a. (2x – 3)2 = b. (–2x + 5) = 2

2

c. ( __31 – __21 x ) = 2 d. ( 2x + __31 ) = 2

2 e. ( _35_ x2 – __41 ) =

f. (3x – 2)3 = 3

3 3 = i. ( x2 + 2 x ) 2 3 = j. (5 – x )


142

– __1 x2 –

( 3 1 ) = 3 h. ( 2 – _21_ x3 ) = g.

21. Escriban la expresión factorizada. 2 b. __91 x2 – _43_ x + 4 = ( _31_ x – 2 ) c. 9 x4 + 12 x2 + 4 = (3 x2 + 2)2 2 d. __91 x4 + _43_ x2 + 4 = ( – _31_ x 2 – 2 ) 2 e. __41 x6 – 2 x3 + 4 = ( _21_ x3 – 2 ) 2 f. __91 x6 – 2x4 + 9x2 = ( –3x + _31_ x 3 ) g. x 3 – 15x2 + 75x – 125 = (x – 5)3

h. –8x3 + 36x2 – 54x + 27 = (–2x + 3)3 3 i. – __81 x6 – _32_ x4 – 6x2 – 8 = ( – _21_ x 2 – 2 ) 1 x3 = _1_ x – x 2 3 j. –x 6 + x 5 – _31_ x4 + ___ ( 3 ) 27

k. –8 x9 + 12 x6 – 6 x3 + 1 = (–2 x3 + 1)3 3 x4 + ____ 1 x3 = _1_ x – x2 3 l. – x6 + _37_ x5 – ___ ( 7 ) 49 343

22. Completen para que las expresiones resulten equivalentes. a. 3x3 – 2x2 = 3x 2 . ( x – _23_ ) b. 4x2 + 12x +9 =

(

2

)

2x + 3

(

c. x4 + x 3 – 2x – 2 = (x + 1) . x3 – 2 d. x3 + 3x2 + 3x + 1 =

( x

1

+

3

)

)

e. x 6 – 4x3 + 4 = (x3 + 2)2

(

f. 6 x3 + 3 x2 = 3 x2 . 2x + 1

(

)

g. 3 x5 + 30 x3 + 75x = 3x . x2 + 5

2

)

capítulo

CONTENIDOS

37*38*39*40

6

23. Escriban la expresión más simple que indi-

27. Hallen las raíces de cada polinomio y escrí-

que el volumen de cada uno de los cuerpos, teniendo en cuenta los datos. a. v = 5 . (x – 3)2

banlos en forma factorizada. a. x 3 – 19x + 30 = b. x4 + 3x3 – 3x2 – 7x + 6 = c. x3 – 9x2 + 24x – 20 = d. 3x4 – 9x3 + 9x2 – 3x = e. x 4 – x 3 – 6x2 = f. 3x4 – 12x3 – 54x2 – 60x – 21 =

5 cm


(x – 3) cm

28. Hallen las raíces de cada polinomio y escríbanlos en forma factorizada.

(x – 3) cm

b. v = 3 . (x – 27) 3

a. 2 . (x – 3) . (x – 2) . (x + 1) = b. –3 . (x + 1)3 . x ( – __51 ) = c. – (x – 3) . (x + 7) 2 = x 2 – 3x + 9

3 x – 3

24. Factoricen las siguientes sumas y restas de potencias de igual exponente. a. x 4 – 81 = e. x5 – 32 = b. x 6 – 1 = f. x 5 + 32 = c. x4 + 8 = g. x 8 + 1 = d. x 3 – 8 = h. x 2 + 1 = Solución a cargo del alumno.

25. Resuelvan aplicando la diferencia de cuadrados, siempre que sea posible. a. x 2 – 121 = d. 9x2 – 4 = b. x 5 – 25 = e. 9x4 – 25 = c. x6 – 6 = f. __91 x6 – 4 = Solución a cargo del alumno.

26. Escriban las posibles raíces de cada uno de los siguientes polinomios mediante el teorema de Gauss. Luego, verifiquen cuáles son las raíces de cada polinomio. a. x 3 – 2x2 – 5x + 3 e. –5x5 – 4x2 – 3x + 5 b. x 5 – 3x2 – 4 f. x 6 – 4x2 – 3x + 2 c. 3x5 – 2x2 + 3x – 1 g. 4x5 – x 3 – 2x2 + 2 d. –2x7 – 3x2 + 3 h. –3x3 – 2x +1 Solución a cargo del alumno.

d. x3 . (x – 6) = 2 e. – x ( + __41 ) . (x + 0,75)3 =

f. (x – 5)4 = Solución a cargo del alumno.

29. Indiquen el grado de multiplicidad de las raíces de los siguientes polinomios. a. x3 – x2 – 8x + 12 = b. x5 – 4 x4 + 4 x3 = c. x4 – 9 x2 + 4x + 12 = d. x4 – 10 x2 + 9 = e. x3 – 3 x2 + 9x = Solución a cargo del alumno.

30. Marquen las opciones correctas. Dado el polinomio P(x) = x 4 – 3x3 – 8x2 + 12x, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas? X a. Tiene una raíz en x = 0.

b. Tiene una raíz en x = 12. c. Tiene una raíz en x = –3. X d. Tiene dos raíces simples.

e. Tiene una raíz triple. f. Tiene una raíz doble en x = –2. g. Tiene una raíz doble en x = 2.

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Casos combinados de factoreo INFOACTIVA En algunos polinomios se deben aplicar varias veces los distintos casos de factorización. Siempre que sea posible se debe extraer factor común, y luego, se estudia si algunos de los factores se pueden seguir descomponiendo en nuevos factores. 

Factor común x2

P(x) = 2x4 + 2x3 + x2 = x2 . (x2 + 2x + 1) = x 2 . (x + 1) 2 Trinomio cuadrado perfecto Factor común 27

1 = 27 . x – _1_ . x2 + _1_x + _1_ Q(x) = 27x3 – 1 = 27 . (x3 – ___ ( 3 ) ( 3 9) 27)

Para repasar los casos de factoreo pueden volver a las páginas 134, 136, 138 y 140.

Resta de potencias de igual exponente

Se analiza si es posible extraer factor común por grupos, y luego, se estudia si algunos de los factores se pueden seguir descomponiendo en nuevos factores. 

Factor común por grupos

R(x) = x3 + 3x2 – 4x – 12 = x2.(x + 3) – 4.(x + 3) = (x + 3).(x2 – 4) = (x + 3).(x – 2).(x + 2) Diferencia de cuadrados



Se puede también aplicar el teorema de Gauss. Factor común –3

Trinomio cuadrado perfecto

S(x) = –3x3 + 15x2 – 24x + 12 = –3 .(x3 – 5x2 + 8x – 4) = –3.(x – 1).(x2 – 4x + 4) = –3.(x – 1).(x – 2)2 Teorema de Gauss

Se encuentra una raíz de x3 + 5x2 – 8x + 4. S(1) = 0 y se aplica la regla de Ruffini con el divisor (x – 1). 1 1 1

–5 1 –4

8 –4 4

–4 4 0

x3 – 5x2 + 8x – 4 = (x – 1) . (x2 – 4x + 4)

144

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Cuando hay que factorear un polinomio, ¿siempre se puede aplicar más de un caso? b. Cuando se factoriza un polinomio, ¿se debe respetar un orden al aplicar los distintos casos? a. No, depende del polinomio. b. No, no es necesario respetar un orden.

41

ACTIVIDADES Casos combinados de factoreo

31. Indiquen el caso de factoreo aplicado en cada paso. a. 3x3 – 12x2 + 12x

c. 2x4 – 6x3 – 5x – 15

3x . (x 2 – 4x + 4) Factor común.

2x3 . (x – 3) – 5 . (x – 3) Factor común por grupos.

3x . (x – 2)2 Trinomio cuadrado perfecto.

(x – 3) . (2x3 – 5) Factor común.

b. x 3 – 5x2 – 9x + 45

d. 2x 3 – 18x2 + 54x – 54

x2 . (x – 5) – 9 . (x – 5) Factor común por grupos.

2 . (x 3 – 9x2 + 27x – 27) Factor común.

(x – 5) . (x2 – 9) Factor común.

2 . (x – 3)3 Cuatrinomio cubo perfecto.

(x – 5) . (x – 3) . (x + 3) Diferencia de cuadrados.

32. Observen el procedimiento realizado para hallar la factorización de cada polinomio e indiquen si está resuelto correctamente. En caso contrario, escriban la factorización correspondiente. a. x 3 – x 2 – 4x +4 d. x 4 – x 3 – x – 1 x2 . (x – 1) – 4 . (x – 1) x3 . (x – 1) – (x – 1) (x2 – 4) . (x – 1) (x – 1) . (x3 – 1) (x – 2) . (x + 2) . (x – 1) Correcto.

Incorrecto. No se puede aplicar factor común por grupos. x3 . (x – 1) – (x + 1)

b. 2x2 + 18 2 . (x2 + 9) 2 . (x – 3) . (x + 3)

e. x 6 – x 5 + x 4 – x 3 x3 . (x3 – x 2 + x – 1) x3 . (x + 1)3

Incorrecto. La expresión (x 2 + 9) no es diferencia

Incorrecto. En el resultado, el binomio del cubo

de cuadrados.

tiene que ser de la diferencia.

c. x3 – 4x2 + 4x x . (x2 – 4x + 4) x . (x – 2) 2 Correcto.

f. 2x5 + 4x4 + 2x3 2x3 . (x2 + 2x + 1) 2x3 . (x + 1)2 Correcto.

145

41


33. Escriban los siguientes polinomios en forma factorizada. a. A(x) = x3 – x2 + _32_ x – _32_ 3

f. F(x) = x4 – 3x3 – 2x2 + 7x – 3

b. B(x) = 2x3 – 50x

g. G(x) = 2x6 – 16x3

A(x) = (x – 1) . x ( 2 + _2_ )

F(x) = (x3 – 2x + 1) . (x – 3)

B(x) = 2x . (x – 5) . (x + 5)

2 2 c. C(x) = 2x5 – ___ 27 x

G(x) = 2 x3 . (x – 2) . (x2 + 2x + 4)

C(x) = 2x2 . ( x – _31_ ) . x2 + _31_ x + _91_

(

d. D(x) = 3x3 – 12x2 + 15x – 6 D(x) = 3 . (x – 2) . (x – 1)2

e. E(x) = 3x3 + 12x2 – 9x – 54 E(x) = 3 . (x – 2) . (x + 3)2

146

)

25 x2 – 10x 10 x3 – ___ h. H(x) = _53_ x4 + ___ 3 3

H(x) = _53_ x . (x – 2) . (x + 3) . (x + 1)

i. I(x) = x3 + 3x2 + 4x + 12 I(x) = (x2 + 4) . (x + 3)

j. J(x) = x5 + 4x4 + 4x3 – x 2 – 4x – 4 J(x) = (x – 1) . (x2 + x + 1) . (x + 2)2

41


34. Resuelvan teniendo en cuenta el polinomio P(x) = x 4 – 5x3 + 7x2 – 3x. a. Factoricen el polinomio P(x). P(x) = x . (x – 3) . (x – 1)2

b. Indiquen las raíces y el grado de multiplicidad de cada una. Raíces = {0; 1; 3}; x = 0 y x = 3, raíces simples; x = 1, raíz doble.

35. Completen para que se cumpla la igualdad e indiquen el caso de factoreo usado.

( = x . (

a. x 5 – 4x3 = x 3 . 3

) Factor común. ) . ( x + 2 )

x2 – 4 x–2

b. 2x3 + 2x2 – 16x – 24 = 2 .

(

Diferencia de cuadrados.

)

x3 + x 2 – 8x – 12

( = 2 . (x – 3) . (

x+2

( = (x – 2) . (

2

)

Gauss. Regla de Ruffini.

Trinomio cuadrado perfecto.

x3 + 12 x2 + 48x + 64

c. x4 + 10x3 + 24x2 – 32x – 128 = (x – 2) .

(

)

x2 + 4x + 4

= 2 . (x – 3) .

d. 3x5 – 9x4 – 147x3 + 441x2 = 3x2 .

Factor común.

x+4

3

)

x3 – 3 x2 – 49x + 147

( = 3x . (x – 3) . ( = 3x2 . (x – 3) . 2

)

Gauss. Regla de Ruffini.

Cuatrinomio cubo perfecto.

)

Factor común.

) Gauss. Regla de Ruffini. ) . ( x + 7 ) Diferencia de cuadrados.

x2 – 49 x–7

( x + 2 x – x + 6 ) Gauss. Regla de Ruffini x – x + 2 = (x + 3) . ( x + 3 ) . ( ) x –x+2 = ( x + 3 ) . ( ) Gauss. Regla de Ruffini

e. x 4 + 5x3 + 5x2 + 3x + 18 = (x + 3) .

3

2

2

2

2

36. Marquen las opciones correctas. ¿Cuál es la factorización de cada uno de los siguientes polinomios?

a. x 4 – 9x2 =

X x2 . (x – 3) . (x + 3)

b. x 5 + 6x4 + 9x3 =

x . (x + 3)2

c. 2x3 + 4x2 – 6x =

(x2 – 2) . (x + 3)

d. x 3 – 7x – 6 =

x . (x2 – 7)

e. x 5 + 3 x4 – 4 x2 =

X x2 . (x + 2)2 . (x – 1)

x4 . (1 – 9x) X x3 . (x + 3)2

2x . (x2 + 2x + 6) X (x – 3) . (x + 2) . (x + 1)

x2 . (x + 2)2 . (x + 1)

x2 . (x2 – 81) x3 . (x2 + 9) X 2x . (x – 1) . (x + 3)

(x + 3) . (x – 2) . (x + 1) x2 . (x – 2)2 . (x – 1)

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Ecuaciones de grado mayor a dos INFOACTIVA Para encontrar el o los valores de x para los cuales P(x) = –9, siendo P(x) = x 3 – x2 – 9x, se debe plantear la ecuación: x 3 – x 2 – 9x = –9. Para resolver este tipo de ecuaciones, se pueden seguir estos pasos.

1. Se iguala a cero el polinomio. 2. Se factoriza el polinomio resultante.

x3 – x 2 – 9x + 9 = 0 (x3 – x 2) – (9x – 9) = 0 x2 . (x – 1) – 9 . (x – 1) = 0 (x2 – 9) . (x – 1) = 0 (x – 3) . (x + 3) . (x – 1) = 0 x–3=0 x=3

3. Se aplica la ley de nulidad del producto. a . b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0

x+3=0 x = –3

∨ ∨

∨ ∨

x–1=0 x=1

Las raíces de P(x) = x3 – x 2 – 9x + 9 son x 1 = 3, x2 = –3 y x3 = 1. Para verificar las soluciones, se reemplazan los valores de x en P(x): Se debe verificar que P( xn ) = x 3 – x 2 – 9x = –9

P(3) = 33 – 3 2 – 9 . 3 P(3) = 27 – 9 – 27 P(3) = –9

P(–3) = (–3)3 – (–3)2 – 9 . (–3) P(–3) = –27 – 9 + 27 P(–3) = –9

P(1) = 13 – 12 – 9 . 1 P(1) = 1 – 1 – 9 P(1) = –9

Por lo tanto: S = {–3;3;1}

Hallen x , tal que P(x) = 1.

Hallen x , tal que Q(x) = –1.

P(x) = x3 – x 2 + x

Q(x) = x3 – x – 1

x3 – x2 + x = 1 x3 – x2 + x – 1 = 0 (x3 – x2)+ (x – 1) = 0 x2 . (x – 1) + (x – 1) = 0 (x2 + 1) . (x – 1) = 0

x3 – x – 1 = –1 x3 – x – 1 + 1 = 0 x . (x2 – 1) = 0 x . (x – 1) . (x + 1) = 0

x2 + 1 = 0

x=0 x=0

∅

∨

x–1=0 x=1

Verificación: P(1) = 13 – 1 2 + 1 P(1) = 1 – 1 + 1 ⇒ P(1) = 1 La solución es S = {1}

148

∨ ∨

x–1=0 x=1

∨ ∨

Verificación: Q(0) = 03 – 0 – 1 Q(1) = 13 – 1 – 1 = –1 Q(–1) = (–1)3 – (–1) – 1 = –1 La solución es S = {–1;0;1}

x+1=0 x=–1

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Para resolver la ecuación (x – 1) + (x – 2) = 0, ¿se debe igualar cada paréntesis a 0? b. Si al resolver una ecuación se obtiene que x = a, para verificarlo, ¿se debe calcular P( a ) o P(x) = a? a. No, la ley de nulidad del producto no se cumple en la suma b. Se debe calcular P(a).

42

ACTIVIDADES Ecuaciones de grado mayor a dos

37. Indiquen cuáles son las raíces de los polinomios dados. a. P(x) = 2 . (x – 4) . (x + 1) S = {–1;4}

d. S(x) = x . (x – 3) S = {0;3}

b. Q(x) = –5 . (x – 5) . (x + 3) . (x – 2) S = {–3;2;5}

e. T(x) = (x – 3) 2 . (x + 1) S = {–1;3}

c. R(x) = x ( – __41 ) . (x – 2) 1 S = { __ 4 ;2 }

f. U(x) = (x – 2)3 . (x + 3)3 S = {–3;2}

38. Resuelvan las siguientes ecuaciones. a. x 3 + 4x2 – 3x = 18 S = {–3;2}

S = {–2;–1}

15 x2 + 10x = 4x 3 – x – ___ 15 b. 5x3 – ___ 2 2

S = – _21_ ;3;5

{

d. 5x2 + 6x + 2= – x 3 – 2x – 2

}

c. 13x2 – 50x = x3 – 3x – 35 S = {–5;1;7}

e. 5x4 – 2x3 – 3x2 = 5x4 – 3x3 + 4x2 – 15x + 9 S = {1;3}

1 f. x3 – _23_ x2 = ___ 12 . (x – 1) 1 1

{

S = – _3_;_2_

}

39. Resuelvan teniendo en cuenta los datos. a. Hallen el valor de x , tal que P(x) = 2 y P(x) = x 3 – 3x. S = {–1;2}

b. Si Q(x) = x3 – x 2 – 9x + 15, ¿cuál es el valor de x tal que Q(x) = 6? S = {–3; 1;3}

149

43

42

44

45

46

47

48

49

50

51

52

Estudio de funciones polinómicas INFOACTIVA Para realizar el gráfico aproximado de una función polinómica se debe:  Hallar la ordenada al origen, la que está determinada por el término independiente y es el punto (0;a0 ).  Factorizar el polinomio. .  Las raíces indican las intersecciones con el eje x  El orden de multiplicidad de las raíces indica que la gráfica - rebota, si es par o - atraviesa el eje x , si es impar .  Hallar los conjuntos de positividad y negatividad, para lo cual se buscan valores del dominio entre dos raíces consecutivas para determinar si la función es positiva o negativa en ese intervalo.

Realicen el gráfico aproximado de la función f(x) = _12_ x4 – 2x3 + x2 + 2x – _32_ y

Ordenada al origen: (0;– _32_) 

3

y = __21 x 4 – 2x 3 + x 2 + 2x – _32_

2

Factorización del polinomio: f(x) = _12_ . (x + 1) . (x – 1) 2 . (x – 3) 

Intersecciones con el eje x : x1 = –1 ∧ x2 = 1 ∧ x3 = 3

1

Raíz x 1 = –1 –3

–2



–1

0 –1 –2

Orden de multiplicidad: x1 = –1; raíz impar ⇒ La gráfica atraviesa el eje x . x2 = 1; raíz par ⇒ La gráfica rebota en el eje x . x3 = 3; raíz impar ⇒ La gráfica atraviesa el eje x . 

Raíz x 2 = 1 1

2

Raíz x 3 = 3 3

4 x

Ordenada al origen ( 0;– _23_ )

Conjunto de positividad y negatividad:



45 f(–2) = _12_ . (–2)4 – 2 . (–2) 3 + (–2)2 + 2 . (–2) – _32_ = ___ 2 ∀x : x ∈ (–∞;–1) ⇒ f(x) > 0

f(0) = – _32_

∀x : x ∈ (–1;1) ⇒ f(x) < 0

f(2) = _12_ . 24 – 2 . 2 3 + 2 2 + 2 . 2 – _32_ = – _32_ ∀x : x ∈ (1;3) ⇒ f(x) < 0 45 f(4) = _12_ . 44 – 2 . 4 3 + 4 2 + 2 . 4 – _32_ = ___ 2 ∀x : x ∈ (3;+∞) ⇒ f(x) > 0

150

C+ = (–∞;–1) ∪ (3;+∞) C– = (–1;1) ∪ (1;3)

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cuál es el valor de la imagen en P( a ) si a es raíz del polinomio? b. ¿El conjunto de negatividad está formado por los valores de y negativos? a. Es y = 0. b. No, el conjunto de negatividad está formado por los valores de x que tienen imagen negativa.

43

ACTIVIDADES Estudio de funciones polinómicas

40. Escriban la letra del gráfico que corresponde a cada función. a. 3 . (x – 2) . (x + 1) . (x – 1) B

c. (x + 2) . (x – 1) . (x + 3) D

b. –3 . (x – 2) . (x + 1) . (x – 1) C

d. (x – 2) . (x + 1) . (x – 1)

GRÁFICO A

GRÁFICO C

–3

–2

–1

y

y

7 6 5 4 3 2 1

2 1

–1 –2

–3

0

1

2

3

–2

–1

x

GRÁFICO B

–3

–2

–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7

A

0

1

2

3

x

0

1

2

3

x

GRÁFICO D

–1

y

y

7 6 5 4 3 2 1

2 1

–1 –2

–3

0

1

2

3

x

–2

–1

–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7

41. Realicen el gráfico aproximado de las siguientes funciones polinómicas. a. P(x) = x3 + x 2 – x – 1

b. Q(x) = x3 – 2x2 – x + 2 y

y

2

2

1

1

–4 –3 –2 –1 0 –1 –2

1

2

3

4

x

–4 –3 –2 –1 0 –1

1

2

3

4

x

–2

151

43


42. Realicen un gráfico aproximado de las siguientes funciones polinómicas a partir de sus elementos. a. y = x3 + 6x2 – x – 30 Ordenada al origen: Ordenada al origen (0;–30)

Raíces y orden de multiplicidad: Raíces = {–5;–3;2}; todas las raíces son simples.

Conjunto de positividad: C+ = (–5;–3) ∪ (2;+∞ )

Conjunto de negatividad: C – = (– ∞;–5) ∪ (–3;2)

b. y = x3 – x 2 – 8x + 12 Ordenada al origen: Ordenada al origen (0;12)

Raíces y orden de multiplicidad: Raíces = {–3;2}; x = –3, raíz simple y x = 2, raíz doble.

Conjunto de positividad: C+ = (–3;2) ∪ (2;+∞ )

Conjunto de negatividad: C – = (– ∞;–3)

c. y = x4 + 5x3 Ordenada al origen: Ordenada al origen (0;0)

Raíces y orden de multiplicidad: Raíces = {–5;0}; x = 0, raíz triple y x = –5, raíz simple.

Conjunto de positividad: C+ = (– ∞;–5) ∪ (0;+∞ )

Conjunto de negatividad: C – = (–5;0)

d. y = x3 + x 2 – 16x – 16 Ordenada al origen: Ordenada al origen (0;–16)

Raíces y orden de multiplicidad: Raíces = {–4;–1; 4}; todas las raíces son simples.

Conjunto de positividad: C+ = (–4;–1) ∪ (4;+∞ )

Conjunto de negatividad: C – = (– ∞;–4) ∪ (–1;4) 152


43


43. Escriban la función polinómica de grado tres que corresponde a cada gráfico. a.

c. y

y

8

6

4 –2

–3

–1

0

1

2

3

4

–2

–1

0

1

2

3

x

0

1

2

3

x

–6

x

–4

–12

–8

–18

y = (x – 4) . (x – 2) . (x + 1)

y = (x – 3) . (x + 2)2

b.

d. y

y

24 18 12 6 –3

–2

6 –3

–1 –6 0

1

2

3

–2

–1 –6

x

–12 –18 –24

–12 –18

y = 3 . (x – 2) . (x + 3) . (x + 1)

y = –2 . (x + 3) . (x – 1)2

44. Completen la tabla. Raíces

Conjunto de positividad

Conjunto de negatividad

x 1 = 0; x 2 = –2; x 3 = 5

(–2;0) ∪ (5; ∞ )

(–∞;–2) ∪ (0;5)

x 1 = 3; x 2 = –2

(3;∞ )

(–∞;–2) ∪ (–2;3)

–x 3 – 3x 2 + 6x + 8

x 1 = –4; x 2 = –1; x 3 = 2

(–∞;–4) ∪ (–1;2)

(–4;–1) ∪ (2; ∞ )

x 4 – 2x 3 – 3x 2

x 1 = –1; x 2 = 0; x 3 = 3

(–∞;–1) ∪ (3; ∞ )

(–1;0) ∪ (0;3)

x 4 – 8x 2 + 16

x 1 = 2; x 2 = –2

(–∞;–2) ∪ (–2;2) ∪ (2;∞ )

∅

Polinomio x 3 – 3x 2 – 10x x 3 + x 2 – 8x – 12

mente ACTIVA Escriban la fórmula de una función polinómica de grado cuatro, en la cual el conjunto de positividad sea vacío y represéntenla en un sistema de ejes cartesianos. y = –x4 153

21INTEGRACIÓN 45. Marquen las opciones correctas.

48. Calculen los valores de x teniendo en cuenta

¿Cuáles factorizaciones corresponden a cada polinomio? a. 2x3 – 12x2 + 18x

las condiciones pedidas en cada caso. a. P(x) = 5 y P(x) = x 3 + 3x2 – 13x – 10. b. Q(x) = –3 y Q(x) = x 3 + 3 x2 + x. c. R(x) = 5 y R(x) = x 3 – 2x2 + x + 3.

2x . (x + 3)2

X 2x . (x – 3)2 2

2x . (x – 9)

2x . (x – 3)

2

a. S = {–5; –1; 3} b. S = {–3} c. S = {2}


a. P(x) = 7 . (x – 3) . (x + 1) . (x + 2) 3

b. x 4 – x 3 + x 2 – x X (x3 + x) . (x – 1)

X x . (x 2 + 1) . (x – 1)

x . (x3 – x 2 – x)

x . (x + 1) . (x 2 – 1)

X x2 . (x – 1)3

(x – 1)3 . x (x – 1) . x3

X (x3 + 3) . (x – 2)

X Tiene dos raíces simples. X Tiene una raíz triple.

Tiene una raíz doble.

d. x 4 – 2x3 + 3x – 6 ( x3 – 3) . (x – 2)

Tiene una raíz en x = –3. Tiene una raíz en x = –7.

c. x5 – 3x4 + 3x3 – x 2 (x – 1)2 . x2

X Tiene una raíz en x = 3.

(x + 3) . (x – 2) (x + 3)2 . (x – 2)

X Es un polinomio de grado cinco.

b. Q(x) = x3 . (x + 1) . (x – 5) Tiene una raíz en x = 1.

46. Escriban las raíces de cada polinomio. a. P(x) = –3 . (x – 1) . (x + 3) b. Q(x) = – __21 . ( x – __21 ) . (x + 1)2 2 c. R(x) = x ( – __21 ) . x ( + __21 ) . (x + 1)

d. S(x) = __31 . (x – 3) . ( x + __51 ) . (x – 2) e. T(x) = 2 . (x + 3) 5 f. U(x) = x . (x + 6) . (x – 7) g. V(x) = 3 . ( x – __31 ) . (x – 1) . (x – 6) h. W(x) = 13 . (x – 8) . ( x2 – 4) Solución a cargo del alumno.

47. Expresen en forma factorizada los siguientes polinomios. a. P1(x) = x3 – 9x2 + 11x + 21 b. P2(x) = x4 + x 3 – 6x2 c. P3(x) = x3 – x 2 – 100x + 100 d. P4(x) = x4 + 4x3 + 4x2 e. P5(x) = 3x3 – 12x2 – 33x – 18 f. P6(x) = x4 + 2x3 – 11x2 – 12x + 36 g. P7(x) = – x5 + 8x4 – 16x3 h. P8(x) = 2x3 – 10x2 – 48x Solución a cargo del alumno.

154

X Tiene una raíz en x = –1. X Tiene una raíz en x = 0. X Tiene dos raíces simples. X Tiene una raíz triple.

Tiene una raíz doble. X Es un polinomio de grado cinco.

50. Resuelvan las siguientes ecuaciones polinómicas y verifiquen los resultados obtenidos. a. x 5 + x 3 + 2x2 – 3x – 9 = x 5 + 2x – 3 b. –2x4 – 2x3 – 29x2 – 40x + 32 = –3x4 + 2x + 32 c. –2x3 + 6x2 – 3x + 23 = –3x3 + 2x2 – 5 d. 4x3 – 7x2 + 9x – 2 = 3x 3 – x 2 – 2 e. –2x4 – 7x3 – 7x2 + 7x – 5 = –3x 4 – 2x2 + 5 Solución a cargo del alumno.

51. Escriban la función polinómica que cumple con las siguientes condiciones. +  C = (–4;–2) ∪ (1;3) – )  C = (–∞;–4) ∪ (–2;1) ∪ (3;+∞  P(2) = 10

5. . . . P(x) = – ___ 12 (x + 4) (x + 2) (x – 1) (x + 3)

capítulo

CONTENIDOS

41*42*43

6

52. Escriban la letra del gráfico que corresponde

53. Indiquen la ordenada al origen, las raíces, su

a cada función.

multiplicidad, una expresión factorizada del polinomio y los conjuntos de positividad y de negati vidad para cada una de las siguientes funciones. a.

a. (x – 3) . (x + 1)2 B b. (x – 3)2 . (x + 1) C

Ordenada al origen: 8 Raíces: x = –2 (impar); x = 2 (par).

c. 2x . (x – 4) . (x + 1) A d. –2x . (x – 4) . (x + 1) D GRÁFICO A

y

8

y

–3

0

–2

0

2

4

x

b.

–26,5

Ordenada al origen: –18

y

–4 –3

GRÁFICO B

x

P(x) = (x + 2) . (x – 2)2 C+ = (–2;2) ∪ (2;+∞ ) C – = (– ∞;–2)

–8 –4

2

01 2

x

Raíces: x = –3 (par); x = 1 (par).

y

4

–18

–4

–2

0

2

4

x

P(x) = (x + 3)2 . (x – 1)2; C+ = ; C – = (– ∞;–3) ∪ (–3;1) ∪ (1;+∞ )

–4

GRÁFICO C

54. Escriban la función polinómica que cumple

y

17,25

–4

–2

0

2

4

x

–17,25

GRÁFICO D

con las condiciones indicadas en cada caso. a. Raíz doble en x = –2 y triple en x = 0 y ordenada al origen (0;0). b. Raíces dobles en x = 5 y x = –3, raíz triple en x = 4 y ordenada al origen (0;20). c. Raíces dobles en x = 3 y x = 5, ordenada al origen (0;15). d. Raíces x = 1, x = –10, x = –2 y ordenada al origen (0;40). Solución a cargo del alumno.

55. Grafiquen aproximadamente las siguientes y

–4

–2 –26,5

0

2

4

x

funciones polinómicas. Indiquen en cada caso la ordenada al origen, las raíces, el orden de multiplicidad y los conjuntos de positividad y de negatividad. a. y = 2x3 – 2x2 – 50x + 50 b. y = x4 – 7x3 + 9x2 + 27x – 54 c. y = x4 – 2x3 d. y = x3 + 4x 2 – 3x – 18 Solución a cargo del alumno. 155

44

43

45

46

47

48

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50

51

52

53

Expresiones algebraicas fraccionarias INFOACTIVA Dados dos polinomios P(x) y Q(x), tal que Q(x) sea distinto de cero, se denomina expresión algeP(x)

. braica fraccionaria a toda expresión de la forma ____ Q(x) 5 _____

∀x : x ≠ 0 ∧ x ≠ 1

2x + 3 _________

2 3x – 5 _______ 2x + 1

_ ∀x : x ≠ –_1 2

1 _____

x2 – x

x2 – 6x + 9

∀x : x ≠ 3

x4 + 2

Una expresión algebraica es irreducible si no existen en ella factores comunes al numerador y al denominador. x ∀x : x ≠ 3 _____

Expresión irreducible

x–2

x . (x – 1)

x2 – x __________

x . (x – 1)

= ___________ = ______________ ∀x : x ≠ 0 ∧ x ≠ 1 ∧ x ≠ –2 x + x – 2x x . (x2 + x – 2) x . (x – 1) . (x + 2) 3

2

Expresión reducible

Factores comunes al numerador y al denominador.

Simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias Para simplificar una expresión algebraica fraccionaria, se debe factorizar el numerador y el denominador, y cancelar los factores comunes en ambos; se obtiene así una expresión irreducible equivalente a la original. 2 – 3) . (x + 2) x________ – x – 6 = (x ____________ 2 x . (x – 3) x – 3x

x2 – 3x + 2 _____________

x3 – x2 – 4x + 4

x+2 = _____ x

(x – 2) . (x – 1)

∀x : x ≠ 3 ∧ x ≠ 0

1 = __________________ = _____ (x + 2) . (x – 2) . (x – 1) x + 2

2 + 3) . (x – 3) x_____ – 9 = (x ____________ x–3 (x – 3)

=x+3

∀x : x ≠ ±2 ∧ x ≠ 1

Para repasar la factorización de polinomios pueden volver a las páginas 134, 136, 138 y 140.

∀x : x ≠ 3

Al simplificar, se deben identificar los valores de x que anulan el denominador.  Algunas fracciones algebraicas resultan equivalentes a expresiones algebraicas enteras.  El objeto de simplificar es reducir la expresión y poder efectuar operaciones en forma más sencilla. 

156

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Todas las expresiones algebraicas racionales se pueden simplificar? b. Los valores que no puede tomar x , ¿se calculan en la expresión simplificada?

a. No, no todas son reducibles. b. No, se deben averiguar en la expresión sin simplificar.

44

ACTIVIDADES Expresiones algebraicas fraccionarias

56. Marquen las opciones correctas. ¿Cuáles de las siguientes son expresiones algebraicas fraccionarias? X a. ( x3 – 2) : x3 –3 _____ X b. x x + 1

c. 2x3 – 4x + 895

e. 3x – 2

_5_ X d. x

+1 ______ f. 2x 2

57. Indiquen los valores que no puede tomar x en cada 3caso. – 3 c. x______ x

–3 _____ a. x x + 5

∀ x : x ≠ –5

x + 5 b. ___________ 2 x2 – 2x – 4

∀ x : x ≠ 0

x – x – 6 d. x_______________ 3 + x 2 – 17x + 15 2

∀ x : x ≠ –1 ∧ x ≠ 2

∀ x : x ≠ –5 ∧ x ≠ 1 ∧ x ≠ 3

58. Unan con una flecha las expresiones equivalentes. – 2x – 3x a. x x___________ 2 + 2x – 15

 x + 1

3x – 12 b. _______________ x3 – 5x2 + 8x – 4 4 – x 3 – 7x2 + x + 6 c. x__________________ x3 – 2x2 – 5x + 6

 _35_ x . (x + 1)  ________ x + 5 x3  _______________ 5 . (x – 3) . (x + 7) 3 . (x + 2)  _____________ (x – 2) . (x – 1)

3

2

2

3x2 – 9x d. ________ 5 x2 – 15x x4 – 7 x3 e. _____________________ 3 5 x – 15x2 – 245x + 735

59. Simplifiquen las siguientes fracciones algebraicas. 3 2 2x – 8x + 2x + 12 a. __________________ 3 x3 + 6x2 – 27x – 54

2 . (x + 1) . (x – 2) _______________

3 . (x + 3) . (x + 2)

3 + 2x2 – 4x + 1 _______________ b. x x3 – 4x2 + 2x + 1

2 x__________ + 3x – 1 2 x – 3x – 1

4 – 2x3 – 5x + 10 ________________ c. x x5 – 7x4 + 10x3

x3 – 5 _________

x3 . (x – 5)

x2 – 9 d. ________ 2x2 + 6x x_____ –3 2x

157

45

44

46

47

48

49

50

51

52

53

54

Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias INFOACTIVA Multiplicación El resultado de multiplicar dos expresiones algebraicas es otra expresión algebraica fraccionaria cuyo numerador y denominador son el producto de las expresiones dadas. P(x) ____

R(x) P(x) . R(x) . ____ = _________ Q(x) S(x) Q(x) . S(x)

x2 x + 2 . _____ ______

2

x x + 2 . ____________ x = _________ = _____________ 2x – x x2 – 4 x . (2x – 1) (x + 2) . (x – 2) (2x – 1) . (x – 2) 2

Se factorizan los numeradores y denominadores, se simplifica y luego se opera.

División El resultado de dividir dos expresiones algebraicas fraccionarias es otra expresión que se obtiene multiplicando la primera expresión por la recíproca de la segunda. P(x) ____ Q(x)

R(x) ____ P(x) S(x) : ____ = Q(x) . ____ S(x) R(x)

x + 3 : _____ x ______ x2 + 2x x + 2

x + 3 . _____ x+3 x + 2 = _____ = ________ x x . (x + 2) x2

Tanto en la multiplicación como en la división, se debe simplificar siempre que sea posible.

Adición y sustracción Si las expresiones tienen igual denominador , se suman o restan sus numeradores según corresponda. 2x _____

x+4

2 . (x + 3)

– (3x – 1) 3 3 – ______ 3x – 1 = 3 – 3x + 1 = –3x +4 _______ __________ _____ = _________

6 2x + 6 ________ ______ + _____ x+4 = x+4 = x+4

x–1

x–1

x–1

x–1

x–1

Para expresiones de distinto denominador , estas se deben transformar en otras, equivalentes a las dadas, que tengan el mismo denominador. Este denominador (denominador común) es el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores de las expresiones originales y se obtiene multiplicando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. x + 8 + _____ 2 _____ x2 – 4

x+2

2 . (x – 2)

3x + 4 x+8 2 = ____________ x+8 x + 8 + 2x – 4 = ____________ = ____________ + _____ + ____________ = ____________ (x – 2) . (x + 2) x + 2 (x – 2) . (x + 2) (x + 2) . (x – 2) (x + 2) . (x – 2) (x + 2) . (x – 2)

x+5 x + 4 = _______ x + 5 – ____________ x+4 ____________ – _______ x2 + 10x + 25

x2 – 16

(x + 5)2

(x + 4) . (x – 4)

1 – _____ 1 = ____________ x – 4 – x – 5 = – ____________ 9 = _____ x + 5 x – 4 (x + 5) . (x – 4) (x + 5) . (x – 4)

Para resolver las operaciones combinadas entre expresiones algebraicas fraccionarias se debe tener en cuenta la simplificación, multiplicación, división, suma y resta de expresiones algebraicas fraccionarias. Para resolver una operación combinada, se pueden seguir estos pasos. 2

x – x . (x – 1) – (2x + 3) ____________________ x + 3 : _____ 4 _______ (x + 1)2 x + 1

2

2

x – x + x – 2x – 3 = ________________ x + 3 x_____ +1 _______ (x + 1)

–x – 3 = ________ x+3 ________

. 2

4

1. Se separan los términos y se efectúan las operaciones indicadas en cada uno de ellos. 2. Se opera entre las expresiones semejantes.

4 . (x + 1) 4 . (x + 1)

158

= –(x + 3) . ________ = –4 . (x + 1) x+3

3. Se simplifica siempre que sea posible.

∀x : x ≠ –3 ∧ x ≠ –1

4. Se indican las condiciones de posibilidad.

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. 2

– 1 –1 ___ a. En la expresión x x______ 3 + x 2 = x3 , ¿se simplificó correctamente? 3 x + 3 x + _____ ________ b. ¿Es cierto que x_____ – 2 x – 2 = 2 . (x – 2) ?

a. No, no se puede simplificar si hay sumas o restas en el numerador o denominador. b. No; si las expresiones tienen igual denominador, se suman o se restan sus numeradores y el denominador no varía.

45

ACTIVIDADES Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias

60. Marquen las opciones correctas. ¿Cuál es el resultado de cada una de las siguientes operaciones? x . x – 1 ______ a. x_____ – 1 x3 – x 2 3

2

(x – 2)2

x_______ + 3x b. x_______ 2 + 3x . x2 – 4 3

2

2 x2 – 3x : x_______ + 2x c. ________ 3 3 x – 12x x – 2

. (x + 1) X x________ x – 1

x3

3 x – 1 _______ (x – 1)2

. (x – 2) X x_________ x + 2 2 x2 – ___ 9

x3

x

x – 3x – x ______ __________ d. x x3 – x 2 : x2 – 2x – 3 5

3

2

x3 . (x + 1)

61. Efectúen las siguientes multiplicaciones. 4 – 2 x3 x . (x + 2) . __________ a. x_______ x2 – 4 x2 + 4x + 4

x4 _____

x + 2

+ 32 . ____________________ x – 1 b. x_______ x – 1 x4 – 2 x3 + 4 x2 – 8x +16 5

2

(x + 2) . (x + 1)

62. Efectúen las siguientes divisiones. 3 2 3 2 + 3x – 9x – 27 x + x – 6x : x________________ a. x_____________ 6 x – 25 + 3x5 – 10x4 x – 25 _______________________

x3 . (x + 5) . (x + 3) . (x – 3)

3 3 + 2x2 – 13x + 10 – 6x2 + 11x – 6 : x ________________ _________________ b. x 2 x – x – 6 x3 + x 2 – 25x – 25

(x + 1) . (x – 5) _____________ x + 2

x – 3 X _________ 3x . (x + 2)

1 . x __ 3

X (x + 1)2

x3 . (2x – 3) 6 + 2x5 x3 + 2 x2 – 3x . x_______ c. x________________ 3 2 – 4x – 7x + 10 x3 + 3x2 x4 _____ x – 5

+ 5x + 5x – 2 2x – 2 . x ________________ d. ___________ 4x2 + 4x – 8 x5 – x 2 2 x + 3x – 1 __________ 2x2 . (x – 1) 3

3

2

x – 3x + 4 – 5x + 4x + 4 ________________ : x c. x___________________ 4 x3 – 3x + 2 + x 3 – 3x2 – 5x – 2 3 x – 3x + 2 __________________ (x + 1)2 . (x2 – 3x – 2) 3

2

3

2

x – x – 2x + 1 __________ : x d. ___________ x3 – x 2 – 6x x3 – 3x2 3 x . (x2 + x + 1) _____________ (x + 2) . (x – 1) 5

2

2

159

45


63. Resuelvan las siguientes operaciones con igual denominador. 3 x ______ a. ______ 3x + 9 + 3x + 9 =

15 6x ______ c. ______ 2x – 5 – 2x – 5 =

_1_

3

3

– 9 4x –3 ______ ______ b. x5x + 1 + x + 1 =

3x x ______ d. x______ 2 – 3 – x2 – 3 = 2

4

3_________ . (3x – 4) x + 1

x2

64. Completen las siguientes sumas y restas para obtener el resultado indicado. 3x –1 ______ a. x +2 +

2x + 1 _____________

x+2

5x = x_____ +2

5x _____________

b.

3x _____________

c.

2x + 1 5x = –3x +1 _____________ _______ – ___

x+1

2x

+

x+1

2x

8x = x_____ +1

2x

–3x x – 3

d.

x2 + 1 _____________

e.

3 x – 7x – _____________ _____________

–7x = x______ 2 – 3

f.

x4 – 3 x4 – 8 _____________ – _____________

5 = _______ 5 x3 – 3

x–3 2

x2 – 3

5x3 – 3

+

_____________

3x2

x2 – 3

5 x3 – 3

– 3x + 1 = x__________ x – 3 2

65. Resuelvan las siguientes operaciones. 2 4 5x +1 2x ______ _____ 2x – 5x – 15 ____________ a. ______ 3x + 3 + x + 1 – x2 – 1 = 3 . (x2 – 1)

3 x + 3 = 2x 2 – _______ + x2 – 49x – 38 _________________ d. 2x + 1 + x_____ 2 + 5 x – 25 x2 – 25

– 7x – 3x – 2 + 1 + _____ 2 = – x ________________ _3_ – x_____ b. – x 3 x + 2 x x3 . (x + 2)

9x – 50x – 17 3x + 1 – _____ 2x + ______ 2 = _______________ e. x_____ x – 5 + 2 3x + 6 3 . (x + 2) . (x – 5)

3x + x_____ – 1 – ______ 2x = ________ x + 6 c. x________ . (x + 1) x + 1 3x + 3 3 . (x + 1)

+1 2x – 5x – x2 + 16x – 9 ______ _____________ + 2 = f. x_____ – 3 x + 2 (x + 2) . (x – 3)

3

160

2

2

45


66. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas. + x – 6 3x – 1 . x __________ = a. x + ________ x –1 . 2 (x + 3) 2

e.

5___________ x2 – 9x + 2 2 . (x – 1)

2__________ x – x – 11 x2 – 2x + 4

x + x – 3 4 – x . 3x +6 ______ __________ = b. ______ 2x – 4 x – 2 + x – 3 2

(x + 2)2 _______ x + 3 _________ 2 2 3 x______ + 8 + ( x – 5) : ( x – 2x + 4) = x22 – 9

2

f.

– x3 – 5x2 + 14x + 48 ___________________ 2 . (x – 2) . (x – 3)

2___________ x2 – 4x – 6 x + 2 c. 1 – ____________ 2 x + 4x + 3 = ___________ 2

2

x – 3 x + 1 __________ g. x_______________ 3 + 5 x2 + 7x + 2 : x2 + 3x + 1 +

(x + 1) _________ 2 x – x – 6 __________ x_____ +1

=

x – 3

x + 3x – 2 _____________

x__________ + x + 18 x2 + 5x + 6

2

2

x –1 ______ 2x –4 ______ 2 x – 4 x _______ ________ d. x_____ + 1 + x – 2 = x + 2 3x – 4 ________ x . (x – 2)

3___________ x2 – 3x – 6 2 – 2x – 3 x2 – 9 3___________ x2 + 3x – 6 . x ____________ __________ + = 2 2 2___________ x + 8x + 6 x – 1 x – 9 2 x + 2x – 15 3___________________ x3 + 21 x2 + 42x – 12 (x + 3)2

(x + 2) . (x + 1)

h.

x – 1 __________ 2 x + 4x + 3 x_____ x2 + 5x + 6 – 3 : ____________ ___________ + x + 1 x2 + 7x + 10 = 1 _____ x + 2

2____________ x2 + 3x – 17 x2 + 4x + 3

161

46

45

47

48

49

50

51

52

53

54

55

Ecuaciones con expresiones algebraicas fraccionarias INFOACTIVA Dados dos polinomios P(x) y Q(x) tales que Q(x) no sea nulo, se denomina ecuación fraccionaria a P(x) toda expresión del tipo ____ = 0. Q(x) Resolver una ecuación fraccionaria es encontrar las raíces del numerador P(x) que no anulen al denominador Q(x). Si alguna de las raíces del numerador es igual a alguna de las raíces del denominador, esta debe ser descartada, ya que no es solución de la ecuación planteada. Luego, se deben verificar en la ecuación original los valores de x hallados. 2 _____ x–2

3 =1 – ______ 2 x – 2x

10 + 25 ___ + 1 = 0 – ___ 2 x

x

∀x : x ≠ 0 ∧ x ≠ 2

∀x : x ≠ 0

3 2 – ________ _____

=1 x – 2 x . (x – 2)

x =0 10x + ___ 25 + __ – ____ x2 x2 x2

2x ________

3 – ________ =1 x . (x – 2) x . (x – 2)

10x + 25 + x2 = 0 –______________

2x – 3 = x . (x – 2)

–10x + 25 + x 2 = 0

2x – 3 = x 2 – 2x

(x – 5)2 = 0

–x2 + 4x – 3 = 0

|x – 5| = 0

x1 = 1

∧

1 + _____ 2 _____ x–1 x+1

2

x2

x2 = 3

x=5

2

9 _____ x+1

x – 5 = _____ 2

x – 1

∀x : x ≠ 1 ∧ x ≠ –1

–4=0

∀x : x ≠ –1

2 . (x – 1)

9 _____

4 . (x + 1)

x – 5 = _____ (x – 1) . (x + 1) x2 – 1

9 _____

4x + 4 = 0 – ______ x+1

x + 1 + 2x – 2 = x2 – 5

9 – (4x + 4) __________ =0 x+1 9 – 4x – 4 = 0 _________ x+1

2

x – 5 + ____________ = _____ (x – 1) . (x + 1) (x – 1) . (x + 1) x2 – 1

x+1 ____________

x + 1 + 2x – 2 ____________

2

x+1

–x2 + 3x + 4 = 0 _____________

x=

________ x+1 – x+1 =0

–3 ±  32 – 4 . (–1) . 4 __________________ 2 . (–1)

5 – 4x = 0

______

–3 ±  9 + 16 = ______ –3 ± 5 x = ____________ –2

–2

–3 – 5 = 4 ∧ x2 = ______ –2

+5 ______ x1 = –3 –2 = –1

No es un valor posible. 162

–4x = –5 x = _54_


1 x _____ a. ¿Cuál es el valor de x en la expresión x_____ – 1 = x – 1 ? P(x) ? b. Si Q(a) = 0, ¿se puede asegurar que x = a es raíz de la expresión fraccionaria ____ Q(x)

a. No tiene solución. b. No, porque Q(x) no puede anularse.

46

ACTIVIDADES Ecuaciones con expresiones algebraicas fraccionarias

67. Marquen las opciones correctas. ¿Cuál es la solución de cada una de las siguientes ecuaciones? 5 2 1 _____ _____ a. x_____ – 3 + x + 3 – x – 3 = 0

x=9

x=3

X x=6

1 _2_ b. x__22 + ___ 3x = x

x = 0

X x = _6_ 5

x = 2

x +3 2 + ______ 2 ______ c. x_____ – 2 x2 – 4 = x2 – 4

x = 2

X x = –3

X x=1

x = –1

x = 0 d. x__2 – x_____ +1 2

2

x = –4 X x=0

68. Indiquen los valores que no puede tomar la variable y resuelvan las ecuaciones. x . (x – 3)

+3 _3_ a. x_____ x = 2

+ 2 _____ x ________ _____ e. x x – 3 + x + 3 = x2 – 9

∀ x : x ≠ 0; x = 6

–1 ______ b. 2x 2x = 0

∀ x : x ≠ 0; x = _1_

2

 x

≠ 3; x = –2

x – _____ x f. x_____ + 3 x – 2 = 0 ∀ x : x ≠ –3

 x

≠ 2; x = 0

+ 3 x_____ + 5 – x______ –2 g. x x_____ + 1 x2 – 1 = x2 – 1

+5 _2_ c. x_____ 3x = 5

2

∀ x : x ≠ 0; x = 25

– 5 _____ x _____ d. x x + 7 – x – 2 = 0 ∀ x : x ≠ –7

∀ x : x ≠ –3

 x

≠ 2; x = _57_

∀ x : x ≠ ±1; x = 2

x2 + 2 + 6 = __________ 1 + x_____ h. x_____ 2 + 1 x – 3 x – 2x – 3 ∀ x : x ≠ –1

 x

≠ 3; x = – _81_

163

46


69. Resuelvan las siguientes ecuaciones. + 1 x_____ –2 _____ a. x x + 2 – x – 3 = 0

1 x = __ 2

5 1 x _________ _____ b. x_____ – 1 – x2 + x + 1 = x3 – 1

x=2

–4 4x + 53 _______ _______ c. 14x 2x – 2 – 3 = x + 5

x=6

+ 2 ___ 2x – 1 3x 1 ______ ______ d. x – 2 + 6x + 4 : 2x = 0

x = ± 1

– 2x – x = ______ 2 ______ e. x x 3 x3 – 2 – 2 4



164

2 – 4x + 3 2x + 4 2x –1 ______ ___________ __________ f. x x2 + x – 2 + x2 + 5x + 6 = x + 2

x = –1

x2 + x – 2x –3 2x – 6 ______ ___________ g. x__________ 2 + 8x + 7 x + 7 = x2 + 4x – 21

x=1

x 7x 2 _____ _______ h. x______ 2 – 9 + x – 3 – 7x + 21 = 0 2

x = – _65_

. (1 – x) x2 – 5x 2_____________ x3 + 2 x2 – 12x = 2x _________ – i. x___________ 3 3 2 x – 7x + 6 x2 – 1 – 6 x + 5x

x = _31_

x – 3 3 5x + 1 _____ __________ j. x__________ 2 – 4x + 4 – x – 2 = x2 – 4x + 4

x = _27_

46


70. Observen las resoluciones de las siguientes ecuaciones y marquen los errores que encuentren. Luego, resuélvanlas correctamente. x + 3 + ___ 2x _______ 2 x a. x_______ 2 + 3x x2 = x2 + 3x 2

Falta multiplicar el denominador del segundo término por (x + 3).

2x . (x + 3) 2 x2 _________ ________ + = 2 x x . (x + 3) x . (x + 3) x + 3 + 2x2 + 3x = 2x2 x + 3 _________

4x + 3 = 0 x = – _34_ 3 + _____ 5 = _____ 2 b. x_____ 2 x – 1 x – 1 + 1 3 . (x – 1) + 5 . (x + 1) 2 ___________________ = x_____ –1 (x + 1) . (x – 1)

El común denominador es incorrecto.

3 . (x – 1) + 5 . (x + 1) = 2 . (x + 1) 3x – 3 + 5x + 5 = 2x + 2 8x – 2x =2 + 3 – 5 6x = 0 x = 0

71. Resuelvan.

5x + 3 _____ ax 13x – 3 _______ En la ecuación ______ x – 1 + x + 1 = x2 – 1 , ¿qué valores puede tomar a para que se cumplan las condiciones indicadas en cada caso? a. Que la solución de la ecuación sea –1.

No es posible, –1 no pertenece al dominio de la ecuación.

b. Que la solución de la ecuación sea –2. a = –6

c. Que la ecuación no tenga solución. a = –5

mente ACTIVA + 5x + 6 Si x = –2 anula el numerador de la ecuación x__________ = 0, ¿se puede decir que x = –2 x + 2 es una solución? 2

El valor x = –2 no es solución a la ecuación porque no pertenece al dominio. 165

INTEGRACIÓN 72. Marquen las opciones correctas.


¿Cuáles de las siguientes son expresiones algebraicas fraccionarias?

¿Cuál es la mínima expresión que corresponde a cada una de las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias?

a. ( x3 – 2) . x

2 x + 5x + 3 a. x_____________________ 4 + 4 x3 + 7 x2 + 6x + 2 2

X b. ( x5 – 3x) . (x – 1) –1 X c. 2x –2 . (x + 1)

2 . ( x + _23_ ) _________ x + 1

d. 5x – 3 . x 3

–1

2 . x – _32_ __________________

(

)

(x + 1) . ( x + 2x + 2) 2


73. Escriban los valores que puede tomar la variable en cada caso. –2 _____ a. x x + 3

x – 2x + 1 d. x__________________ 3 – 15 x2 + 64x – 49

–1 b. x x______ 2 – 9

x5 + 3 x2 + 2 e. 5____________ 4 x2 + 9

x – 3x c. x__________ 3 + x 2 – 6x

x___________ + 5x + 6 f. x 2 – 3x – 10

2

x – 1 X ________ 2 . (x + 1)

x – 1 _________ 2 . x + __1

(



76. Resuelvan las siguientes multiplicaciones. x – 1 x_____ x – 3x . _____ = x –+ 12 a. x_________ 2 – x – 6 x 2

74. Simplifiquen las siguientes expresiones algebraicas; indiquen los valores que no puede tomar la variable en cada caso.

3 x2 – 2x + 3 – 5 x2 + 9x – 9 . __________ _______________ x – 1 ________________ = b. x 2 x2 – 10x + 12 x2 + 4x – 5 2 . (x – 2) . (x + 5)

. (x – 5) . (x – 2) x3 – 3 x2 + 4 . 4x 2________________ – 20 _______ c. _____________ 2 x3 – 10 x2 + 12x x2 – 1 = x . (x – 3) . (x – 1)

. (x + 1) x2 – 4x – 6 = 2________ a. x2___________ 2 + 2x – 15 x + 5 3 ________

x . (x + 3) x4 – 8 x3 = 6__________ 3________________ x4 + 9 x3 – 3x – 9 . 4________ 3 2 x – 3 x – 1 2 x – 10x + 12 3

b. 2 x3 – 10 x2 – 2x + 10 = 2 . (x + 1)

d.

x3 + 14x – 12 –2 . (x – 1) ______________ c. –2 x2 + x – 6 =

– x – 3x + 3 . 3________ x – 9x x __ e. x______________ 2 3 x – 12x + 9 7 x2 – 21 = 7

3 x2 – 18x + 15 _________________

3

d.

. (x – 3) –5 x3 + 25 x2 – 35x + 15 –5 _________ _____________________ = 3 x +2 x – 3x + 2

e.

4 (x – 2) x – 3 x3 – 6 x2 + 28x – 24 ________ _______________________ = 3 2 x + 5 x + 6x x . (x + 2)

3

(x – 2) _______________ 2

x – 3 x + 4 f. x_______________ 4 + 3 x3 – x 2 – 3x = x . (x – 1) . (x + 3) 3

2

4 x_____ –5 – 5 x3 – 2x2 + 11x – 5 g. x x____________________ 4 + 3 x3 – 2 x2 – 5x + 3 = x + 3

h.

6 )

2

3

3 x_____ –3 x – 4 x2 – 3x + 18 ________________ 3 x + x 2 – 8x – 12 = x + 2

3 + 3 x2 – 10x x – 2 ________ ______________ i. x x 4 + 7 x3 + 10 x2 = x . (x + 2)

– 2) . (x + 1) j. x4 + 2 x3 – 3 x2 – 4x + 4 = (x_____________ (x + 2) . (x – 1) 2 +3 – 7x – 30 x_____ ____________ = k. x 3 2 x2 x – 10 x x4 – 5 x2 + 4 ____________________

166

6 x3 + 7 x2 – 11x – 2 = b. ___________________ 12 x3 + 38 x2 + 30x + 4

2

2

3 3 . (x + 5) 2 . x2 x3 + 24 x2 + 15x – 150 . x_______ + 3 x2 = _____________ f. 3____________________ 3 2 x – 5 x – x – 8x + 12 (x – 2) . (x – 5)

77. Resuelvan las siguientes divisiones. 9 . (x – 3) . (x – 1) x3 + 4 x2 x2 + 6x – 45 : ___________ _______________ a. 3____________ 2 x + 7x + 10 3 x2 + 3x – 6 = x2 . (x + 4) x + x – 6 : _____________ x + 3 x2 . (x – 1) b. x____________ 3 + 3 x2 – 10x x5 + 4 x4 – 5 x3 = 3

3 (x + 2) . (x + 6) – 4 x2 – 28x – 32 : __________ x + 2 __________________ _____________ = c. x 2 3 2 x x – 13 x + 40x x + x – 30 2 x2 + x – 6 x_________ –2 + x – 6 = x_____ d. x___________ : 2 x – 3 + 5x + 6 x2 – 4 3 – 125 5________________ x4 + 25 x3 + 125 x2 = 1 _______ : e. x x 2 – 25 5 x3 + 25 x2 2 3 + x 2 – 8x –12 x_________ + x – 6 x3 – x 2 – 6x ________________ : = f. x______________ 2 3 2 x + 3x – 10 x + 8 x + 5x – 50 x2 – 4

capítulo

CONTENIDOS

44*45*46

6

78. Resuelvan e indiquen los valores que no

81. Escriban una suma o una resta entre expre-

puede tomar la variable.

siones algebraicas racionales, cuya simplificación dé el resultado indicado en cada caso.

x_____ –1 + x – 6 . _________ x – 1 a. x x__________ 2 + 4x + 3 x2 – x – 2 = x + 1 2

2

– 5x + 6 + 2 x . x ___________ 1 b. x x_______ 3 – 4x x3 – 3 x2 = 4

3

2

4 5 + 2 x4 – 15 x________________ . (x – 5) . (x + 7) x3 _____________ x3 – 3 x2 : = c. x_____________ 2 5 4 3 x + 3 x – 8x + 15 x + 2 x – 35 x

x2 – 27x + 42 : ___________ 5x – 35 = 3x . (x – 3) d. 3_____________ 5 2 _ _ _ _ _8_ 2 3 2 x – 3 x – 3

x – 3 x – x

79. Resuelvan las siguientes sumas y restas con igual denominador. 5x + 3 5__________ x + x + 5 + 2 _______ _____ a. x x – 3 + x – 3 = x – 3 2

2

2 + 3x – 1 __________ b. x x + 5

e. x – 3

x4 + 2


82. Resuelvan los siguientes cálculos combinados. 3 x + 2 x2 – 14x – 3 . ________________ 2x + 2 2 ________________ a. x_____ +3 + x2 – x – 2 x3 + 8 x2 + 16x + 3 =

3 x2 – 2x – 5 . x_____ + 3 ______ 3 b. ____________ 6 x2 + 8x – 30 x – 1 – 2x – 6 =

d.

5x + 3 __________

x +2 + 3 x ______ +1 ______ ______ d. 2x 3x – 2 – 3x – 2 = 3x – 2

e.

–___________ x2 + 2x + 8 x2 – 5 2x + 3 _________ – = e. x_________ 2 x2 + x – 1 + x – 1 x2 + x – 1 3 x4 + 2 x3 – 6x – 2 – 6x – 2 _________ x4 – x 3 = –________________ __________ – f. x x 2 2 x2 + x – 6 + x – 6 x + x – 6

80. Resuelvan las siguientes sumas y restas con distinto denominador. x2 + 5x – 4 2 + _____ x = _____________ a. x_____ + 3 x – 2 (x + 3) . (x – 2)

(x + 2)2

2_______________ x3 + x 2 – 6x – 3 3 – 3 x2 + 3x – 1 3_________________ x + 8 x – 33 + 10 – x ________________ = 3 2 x + 3 x – 10x x2 – 3 __________ x2 – 2x + 1 x2 + 5x – 3 _________________ 3 + 5 x2 – 9x – 45 3 x2 + 5x – 2 + x _____________ ___________________ = 3 2 3 3 x – 10 x + 3x x + 4 x2 – 8x + 3 ________________ x3 + 6 x2 + 3x – 10 3

2

4 x + x 3 _______ 3 x – 3 x2 x – x + ________________ f. x__________ 3 2 3 – 3 x – 4 x_______________ + 5 x2 + 8x + 4 = x2 – 5x + 6 3 x – 5 x2 – 6x ____________ 5 3 2 x – 25 x x – 4x – 12 _____________ g. x_____________ 5 4 3 – 2 – 3 x – 10 x x – 8x + 15 = ___________ x2 – x – 6 2


83. Resuelvan las siguientes ecuaciones, indi-

–x + 3 3x + 1 2 – __________ __________ b. x_____ + 1 x2 + 3x + 2 = x2 + 3x + 2

quen los valores que no puede tomar la variable y verifiquen los resultados obtenidos.

x2 – 4x + 8 3 – x 2x + _____ + 1 = 2___________ ______ c. x_____ 2 + 3 x – 3 x – 9 x2 – 9

– 3 – x = –2 x2 – 5x + 4 x = –7, x = 1 ______ ____________ a. 2x x + 1 x + 1

5 x + 7x + 10 3x +5 2x _______________ ______ d. x__________ 2 + 4x + 4 + x2 – 4 = x3 + 2 x2 – 4x – 8 2

x – 2x x –_____________ x4 + 3 x3 – 2 x2 _______ e. x_________ 2 + x – 6 – x2 + 3x = x3 + x2 – 6x 3

3 x x ______ __________ f. x__________ 2 + 6x + 9 + x2 – 9 – x2 – 6x +4 9 = 3

– 2x + 1 f. x__________ x + 3 5

c. ______ x – 1

2

x3 + 5x + 3 ___________ c. x2 + 4x + 4 + x2 + 4x + 4 = 2 x 2 + 4x + 4

2

1 d. x_____ +6

x + 3x + 2 – __________ + 2x = c. x____________ 3 + 4 x2 + 3x x2 + 6x + 9

x 2 1 ______ _____ b. x______ 2 – 4 + x2 – 4 = x – 2 2 x3 __________

–1 _____ a. x x + 3

2

3 2 – _____ b. x_____ – 5 x + 5 = 0

x = 25

x2 + 10x – 5 2x + 1 + _1_ = 2____________ ______ c. x x –3 x2 – 9



+3 =2 x_____ – 2 + x_____ d. x – 3 x +2 – x – 5 x – 6 x – 27x + 27 _______________________ 2 4 2 3 x 2x + 1 x x – 18 x + 81 _______ ___________ 3_______ x3 + 7 + _____ x2 = x_____ +1 g. x_______ 2 e. + 5x – x3 + 2 x2 + x2 + 7x + 10 4 = 3 2 2 x – 9 x + 3 x – 3 2

3 x + 7 x – 2 x – 11x – 5 _____________________ 4 3 2 2 x – 1 x + 2 _______ ___________ = x + 7 x + 10 x x + 5 x_____ –3 h. 6 x2 + x + _______ f. x__________ 3 2 – 2 2 6 x + x 6 x + 7x + 1 –______________ x3 + x2 + 2x – 1 + 4x + 4 + x + 2 = 1 6 x4 + 7 x3 + x2

x = _21_ x = ±1 x = ±2

167

capítulo

6

AUTOEVALUACIÓN Marquen las opciones correctas 84. ¿Cuál es la expresión factorizada del siguiente polinomio? P(x) = x6 + 2x5 + x4 – 8x3 – 16x2 – 8x

a. x . (x – 8) . (x + 1) 2

X b. x . (x3 – 8) . (x + 1)2

c. x 3 . (x – 8) . (x + 1) 2

85. En la ecuación x 4 + 5x3 – 12x2 + 2 = 3x3 – x 4 + 2, ¿cuál es el conjunto solución? a. S = {–3;2}

b. S = {–2;3;0}

X c. S = {–3;0;2}

86. Dada la función polinómica P(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6,... a. ... ¿cuál es la ordenada al origen? X (0;6)

(6;0)

(0;–6)

b. ... ¿cuáles son las raíces? {–3;–2;1}

{–2;–1;3}

X {–2;3;1}

c. ... ¿cuál es el conjunto de positividad? C+ = (1;2) ∪ (3;+∞ )

+

C+ = (– ∞;1) ∪ (3;+∞ )

X C = (–2;1) ∪ (3;+∞ )

d. ... ¿cuál es el gráfico que le corresponde? X y

y

y

6

6 2

2 –4

–2 –2 0

–4 2

4

x

–2 –2 0

2

4

2

x

–4

–2 –2 0

2

4

x

87. ¿Cuál de las expresiones se obtiene al simplificar la siguiente expresión algebraica fraccionaria? 5 x__________________ – 4 x4 + 16 x2 – 16x x4 + 3 x3 – 10 x2

a.

(x – 2) . ( x2 – 4) ______________ x

b.

(x – 2)2 _______ x

(x – 2) . ( x2 – 4) X c. ______________ x . (x + 5)

3 2 _____ 88. ¿Cuál es la solución a la ecuación x_____ – 3 + x + 3 = 0?

a. x = _35_

168

X b. x = – _35_

c. x = – _53_

Sistemas de ecuaciones Contenidos 47. Sistemas de ecuaciones

7

lineales. Método gráfico. 48. Resolución de sistemas de ecuaciones I. 49. Resolución de sistemas de ecuaciones II. 50. Sistemas de ecuaciones mixtos.

La matemática de la antigua Grecia consistía, principalmente, en lo que hoy es apenas una de sus ramas: la geometría. Otras áreas fueron desarrolladas, pero siempre pensadas como auxiliares a aquella que constituía su verdadero interés. Mucho tiempo después de la conquista romana, vivió en Alejandría el célebre Diofanto, quien desarrolló la disciplina que más tarde perfeccionarían los árabes: el álgebra. Su obra ha perdurado durante siglos y contiene, entre otras cosas, los elementos básicos sobre sistemas de ecuaciones lineales. Pero lo más curioso es que muy poco se sabe de él, excepto la edad en que murió, expresada justamente como la solución de una ecuación lineal. Su niñez, dice el epitafio, ocupó la sexta parte de su vida; transcurrió una doceava parte más hasta que tuvo barba. Luego pasó una séptima parte hasta que se casó y cinco años más tarde tuvo un niño, que vivió en total la mitad de años que su padre. Diofanto le sobrevivió y lo lloró durante cuatro años.

1. Lean atentamente y respondan. a. ¿Qué edad tenía Diofanto cuando murió? ¿Cómo la calcularon? b. ¿Se les ocurre alguna situación parecida a la de Diofanto que se pueda resolver por medio de una ecuación o un sistema de ecuaciones lineales?

x ___ x __ + x __ __ ⇒ a. x 6 12 + 7 + 5 + 2 + 4 = x x = 84. Diofanto tenía 84 años. Se planteó la ecuación lineal a partir de los datos del problema. b. Respuesta abierta. Por ejemplo, un problema con las edades de padres e hijos: “Hace 4 años, la edad de Pedro era el triple que la de su hijo y dentro de 6 años será el doble. Calculen las edades de Pedro y su hijo.” Pedro, 34 años y su hijo, 14 años.

o l u t í p a c

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Sistemas de ecuaciones lineales. Método gráfico ¿Para qué sirve? PÁGINA 11

INFOACTIVA

Un sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas cada una representa dos rectas en el plano, y resolverlo es hallar la intersección de ambas (conjunto solución).

{dxax ++ eyby == f c Dos rectas en un plano pueden ser incidentes (tienen un punto en común) o paralelas (no tienen ningún punto en común o son coincidentes). Los sistemas se clasifican en compatibles e incompatibles, según tengan o no solución; los sistemas compatibles pueden ser determinados o indeterminados, según tenga una o infinitas soluciones. Rectas incidentes

Rectas paralelas

y

y

y

R1

R1

R1

R2

R2

x 1 0

0

x

0

x

x

y1

R1 ∩ R 2 = {( x1;y )} 2

R1 ∩ R 2 = R 1 = R 2

R1 ∩ R 2 = ∅

Determinado (solución única)

Indeterminado (infinitas soluciones)

Sistema incompatible (no tiene solución)

Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales Para resolver gráficamente un sistema de ecuaciones, se deben representar ambas rectas en un mismo sistemas de ejes y hallar la intersección de ambas.

{

{

{

y1 = –3x – 1 3x + y = –1 ⇒ x + 2y = 3 y2 = – _12_ x + _32_

x – _13_ y = 2 y1 = 3x – 6 ⇒ 3x – y = –1 y2 = 3x + 1

{

S=∅

S = {(–1;2)} y

y

3 (–1;2)

2

2 1 3 __ y = – __ 2 x + 2

1

–2

–1

0

y = 3x + 1 1

2

y = 3x – 6 3

–2 –2

–1

0

1

2

3

4

x

–4

–1 –2

y = –3x – 1

Sistema compatible determinado 170

–6

Sistema incompatible

4

x

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si dos rectas son coincidentes, ¿cuántos puntos tienen en común? b. Un sistema incompatible ¿tiene infinitas soluciones? a. Infinitos puntos. b. No, no tiene solución.

47

ACTIVIDADES Sistemas de ecuaciones lineales. Método gráfico


{2x + y = 6

Teniendo en cuenta el sistema y – 9 = ax , ¿cuál debe ser el valor de a para que el sistema sea incompatible?

a. 2

c. _21_

X b. –2

2. Resuelvan gráficamente y clasifiquen cada uno de los siguientes sistemas. a.

{

y=x+2 y – 1 = __21 x

c. y

2

S=

y

1

2 1 –2

x

y – _2_ x = 1

x

{2x – 3y = – 9

d. y + x = –2 y

y

y – _2_ x = 1

5

3

y = –x – 2

2

–2

0 –1 –2

∅

Sistema incompatible.

y = _32_ x + 3

3 2

2x – 5y = 10

1

S=

1

Sistema compatible indeterminado.

b. 2x –55y = 10

0

S = Infinitas soluciones

{(–2;0)}

Sistema compatible determinado.

{

y = _21_ x + 1

3

1 y –1 = x + __ 2

1 0

{

y=x+2

3

(–2;0) –2

– _21_ x + y = 1 x + 2 = 2y

1

5

(–3;1) x

1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2

S=

1

x

{(–3;1)} Sistema compatible determinado. 171

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Resolución de sistemas de ecuaciones I INFOACTIVA Para resolver analíticamente un sistema de ecuaciones, existen varios métodos. Todos ellos permiten obtener el mismo resultado, y la utilización de uno u otro dependerá de cómo está planteado el sistema original.

Método de sustitución Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones, y luego reemplazarla en la otra ecuación. 2x + 4y = 2 (a) ⇒ 1. Se despeja x en la ecuación (a). (a) x = 1 – 2y

{ 3x – 2y = 9 (b)

3 . (1 – 2y) – 2y = 9 _ 3 – 6y – 2y = 9 ⇒ 3 – 8y = 9 ⇒ –8y = 6 ⇒ y = – _3 4

2x + 4 . ( – _34_ ) = 2 ⇒ 2x – 3 = 2 ⇒ x =

_5_ 2

{

_ ; _3_ S = ( _5 2 –4 ) }

2. Se reemplaza la x por “1 – 2y” en la ecuación (b). 3. Se resuelve, obteniendo el valor de y . 4. Se reemplaza el valor de y , en cualquiera de las dos ecuaciones, y se calcula el de x . 5. Se escribe el conjunto solución.

Método de igualación Se debe despejar en ambas ecuaciones la misma incógnita y luego, igualar las ecuaciones obtenidas. 2x – 2y = _32_

{

(a)

3x + y = _54_

(b)

(a): –2y = _32_ – 2x ⇒ y = x – _34_

_ x – _34_ = _54_ – 3x ⇒ 4x = 2 ⇒ x = _1 2

(b) y = _54_ – 3x

2. Se igualan ambas ecuaciones y se calcula el valor de x . 3. Se reemplaza el valor de x obtenido, en cualquiera de las ecuaciones, y se calcula el de y . 4. Se escribe el conjunto solución.

_ 2 . _12_ – 2y = _32_ ⇒ –2y = _12_ ⇒ y = – _1 4

{

_ ; _1_ S = ( _1 2 – 4 )

1. Se despeja y de ambas ecuaciones.

}

Métodos de reducción por sumas y restas Se igualan los coeficientes de una de las incógnitas en ambas ecuaciones multiplicando los dos miembros convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones para eliminarla.

{5x2x –– 2y4y == 28 {

{(5x2x +– 4y2y)=. 28= 2. 2

10x – 4y = 4 + 2x + 4y = 8 12x = 12

1. Se igualan los coeficientes de y . 2. Se suman las ecuaciones, miembro a miembro.

12x = 12 ⇒ x = 1

3. Luego, se calcula el valor de x .

_ 2 . 1 + 4y = 8 ⇒ 4y = 6 ⇒ y = _3 2

4. Se reemplaza el valor de x obtenido, en cualquiera de las dos ecuaciones, y se calcula el de y .

S=

172

⇒

{ ( 1;_32_ ) }

5. Se escribe el conjunto solución.

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En el método de sustitución, ¿se reemplaza siempre la misma incógnita? b. Si un sistema tiene solución vacía, gráficamente ¿se obtienen rectas paralelas? a. No, se puede reemplazar cualquier incógnita. b. Sí.

48

ACTIVIDADES Resolución de sistemas de ecuaciones I

3. Resuelvan los siguientes sistemas por el método de igualación y escriban el conjunto solución. a.

2x – 9y = 11 4x + y = 3

{

c.

S = {(1;–1)}

b.

{

x – _31_ y = –0,2 y – 2 = 3x

d.

y_____ +3 2 –1 x_____ – 4 2y 1 –2 ______ __ 2 – 4 = –( 2 ) S = __1 ;5

{

2 . (x + 3) – 3 =

{ ( 2 ) }

3 . ( x + _23_ ) – 3 . ( y – __41 ) = – __41 1 2 . (x + y) – _4_ = _3_ y + ___

{

5

{

86 11 ;___ ___

S = ( 75 75 )

S=∅

2

}

15

4. Resuelvan los siguientes sistemas por el método de sustitución y escriban el conjunto solución. y – _43_ = 2x a. __1 3 x + y = –1 S = –1;– _23_

{

{ (

b.

c.

) }

–x + 5y = –6 2x + 10 + y = 0

{

S = {(–4;–2)}

d.

– _32_ . (x – 4y) = –4

{

6y + 5x _1_ _______ _2_ 10 – 3 = – 5 y 52 ;– __ 3 S = ___

{ ( 33 11 ) }

4x –3 ______ 4 – 2 =y 5______ – 3x 2 – y = –2

1 x __

{

45 S = ( –12;___ 2 )

{

}

173

48


5. Resuelvan los siguientes sistemas por el método de sumas y restas y escriban el conjunto solución. a.

3x – 2y = 4 4y – 5 = 3x

{

2 + 3x = _58_ y 7 16 ___ –4x + ___ 12 y + 3 = 0

{

c.

S = {(6;7)}

b.

S = {(6;32)}

_3_ x

{

= – __21 – _32_ y 1 + __41 x = – _61_ y

4

17 ;_5_ S = ( – ___ 3 2 )

{

d.

}

{

_5_ x

3 – 1 = 2y _3_ + 3y = _5_ x 2 2

Infinitas soluciones.

6. Resuelvan los siguientes sistemas por el método más conveniente y escriban el conjunto solución. a.

{

2 . (y – 3) + 5x = y + 1 4 . (y – 1) – 1 = 3y – 2x

S=

b.

{

x_____ + 2 + _7_ = y + 3 2 4 –3 _3_ x = 1 – y_____ 4 3

S=

174

{ ( _23_;__113 ) }

{ ( 2;_32_ ) }

{

c.

2x –1 _3_ ______ 2 = 4y – 2 x_____ +6 1. __ 5 (y + 3) = 10

S=

d.

{ ( 1;_21_ ) }

y + _21_ . (x – 2) – __41 . (3x + 1) = 0 _1_ x – 2 . y – _9_ = 4y + _3_ ( )

{

2

6

S=

{ ( 0;_54_ ) }

2

48


7. Resuelvan los siguientes problemas planteando previamente el sistema de ecuaciones correspondiente. a. Valentina pagó $58,10 por tres paquetes de pastillas y siete alfajores. Camila pagó $57,70 por seis paquetes de las mismas pastillas y cinco alfajores iguales. ¿Cuánto cuesta cada paquete de pastillas y cada alfajor?

{3p6p ++ 7a5a == 58,10 57,70

Cada alfajor cuesta $6,50 y cada paquete de pastillas, $4,20.

b. Laura tiene cuatro años menos que la mitad de la edad que tiene su papá. Hace siete años, el papá tenía el triple de la edad de Laura. ¿Cuántos años tiene cada uno en la actualidad? 1 l = __ 2 p – 4 3 . (l – 7) = p – 7

{

Laura tiene 22 años y su papá, 52 años.

c. Francisco y Pedro fueron a tomar un helado. Antes de salir de su casa, Francisco tenía $50 más que Pedro. Cada uno se compró un cucurucho que costó $20. Si después de pagar los helados, a Francisco le quedó el doble del dinero que tenía Pedro, ¿cuánto tenía cada uno antes de salir?

{ff =– 20p +=502 . (p – 20)

Francisco tenía $120 y Pedro, $70.

d. La diferencia entre el doble de un número y la tercera parte de otro es igual a 25. Además, la suma entre la tercera parte del anterior del primer número y el anterior del doble del segundo es 46. ¿Cuáles son los números? 1 2x – __ 3 y = 25 1. __ 3 (x – 1) + 2y – 1 = 46

{

Los números son 16 y 21.

8. Calculen el perímetro del paralelogramo abcd. ___

d

__ a

b

__

ab = 8,5 cm; bc = 12 cm.

c ___

bc ___ = _35_ . __ ab + 6,9 cm 3 . ab – bc = 13,50 cm

El perímetro es de 41 cm.

mente ACTIVA Un micro salió de Mar del Plata a 120 km/h. Tres horas antes, salió otro micro de la misma terminal y con el mismo destino que el anterior, a 90 km/h. Si ambos micros circulan a velocidad constante, ... {ee == 90120t. (t + 3) a. ... ¿cuánto tiempo tardarán en encontrarse? a. Se encontrarán a las 9 h. b. ... ¿a qué distancia de Mar del Plata se encontrarán?

b. Se encuentran a 1 080 km. 175

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Resolución de sistemas de ecuaciones II INFOACTIVA El valor del determinante de una matriz cuadrada de orden 2 es la diferencia entre el producto de los elementos de la diagonal marcada con verde y los elementos de la diagonal marcada con naranja.

(

a a

| a a |

)

A2x2 = a2111 a1222 ⇒ |A| = a1121 a1222 = a 11 . a 22 – a 21 . a 12 5 2 | = 5 . (–3) – (–7) . 2 = –15 + 14 = –1 |A| = | –7 –3

La regla de Cramer es un método para resolver, mediante el uso de determinantes, sistemas de ecuaciones cuadrados, es decir, que contengan el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. El procedimiento se explica para un sistema de 2 x 2 y de manera análoga se resuelve cualquier sistema cuadrado de n x n. a x+ b y= c Para resolver un sistema a1 x + b1 y = c1 se deben realizar dos procedimientos.

{

2

2

2

1. Se hallan los valores de los siguientes determinantes. a b Δ = a1 b1 2 2

|

c b Δ x = c1 b1 2 2

|

|

Determinante general Se forma con los coeficientes de las incógnitas.

a c Δy = a1 c1 2 2

|

|

Determinante en x Se reemplazan en Δ los coeficientes de x por los términos independientes.

|

Determinante en y Se reemplazan en Δ los coeficientes de y por los términos independientes.

2. Se calculan los valores de las incógnitas. x =

Δ x __ ∧ Δ

y=

Δ __y Δ

{

– 2y = 6 Resuelvan el sistema 4x –2x + 6y = 2 4 –2 | ⇒ Δ = 20 Δ = | –2 6 Δ

x 40 ⇒ x = 2 x = __ = ___ Δ 20

–2 ⇒ Δ = 40 Δx = | 6 x 2 6| Δ

y 20 ⇒ y = 1 y = __ = ___ Δ 20

4 6 | ⇒ Δ = 20 Δ y = | –2 y 2

S = {(2;1)}

La clasificación de un sistema se establece de acuerdo con los valores de los determinantes.

176

Sistema compatible determinado

Sistema compatible indeterminado

Sistema incompatible

Δ ≠ 0

Δ = 0 ∧ Δ x = Δy = 0

Δ = 0 ∧ ( Δ x ≠ 0 ∨ Δy ≠ 0)

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En un sistema de ecuaciones, ¿el determinante general puede ser 0? b. En un determinante, si un coeficiente es cero, ¿el determinante es cero? a. Sí, pero el sistema no será determinado. b. No necesariamente.

49

ACTIVIDADES Resolución de sistemas de ecuaciones II

9. Resuelvan los siguientes sistemas por la regla de Cramer y clasifíquenlos. 3x – 8y = 2

{

a. –2x + 4y = 1

{

_1_ x

– 4y = 12 y = _31_ . (1 + x)

2

S = –4;– _74_

S = {(–16;–5)}



{ (

b.

d.

{

) }

_2_ x

– 2 = –4y 10y + _21_ x = 5

e. 3x + y = 2

{ ( 0;_21_ ) }

S = ( – _31_;3 )

5

S=

{ 3 . (3x – 1) = –2y {


{

_7_ x

+ 2y = 6

3 c. 6y – 3 + 7x = 0

}


f.

{ 6y3x –+ 1 == 9x 2y 1 __ 3

S=∅

Infinitas soluciones.

Sistema incompatible.

Sistema compatible indeterminado.

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Sistemas de ecuaciones mixtos INFOACTIVA Resolver analíticamente un sistema de ecuaciones significa encontrar los valores de las incógnitas que verifican simultáneamente las ecuaciones del sistema. Resolver gráficamente un sistema de ecuaciones significa encontrar los puntos de intersección de ambas gráficas. En los casos en que el sistema esté formado al menos por una ecuación de segundo grado, se puede reconocer cuántas soluciones tiene el mismo analizando el discriminante de la ecuación cuadrática que surge al resolver el sistema por el método de igualación o sustitución. Δ > 0 Dos puntos de intersección.

Sistema formado por una recta y una parábola.

Δ = 0

Un punto de intersección.

y

{yy == mxa x ++ dbx + c

y

x

Δ < 0 Ningún punto de intersección. y

x

x

La recta es secante a la parábola.

La recta es tangente a la parábola.

La recta es exterior a la parábola.

y

y

y

2

Sistema formado por dos parábolas.

{yy == da xx + + bxex ++ f c 2

2

x x

x

Resuelvan los siguientes sistemas.

{

y = 4x + 2

178

{

y = 9x2 + 6x + 3

a. y = –2x2 – 2x + 10

b. y = 3x2 + 3x – 12

4x + 2 = –2x2 – 2x + 10 2x2 + 6x – 8 = 0 ⇒ x1 = –4 ∧ x2 = 1 La recta es secante a la parábola en los puntos (–4; –14) y (1; 6).

6x2 + 3x + 15 = 0 ⇒ No tiene raíces reales. Las parábolas no se cortan.

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Un sistema de ecuaciones mixto, ¿puede resolverse mediante la regla de Cramer? b. ¿Una parábola y una recta se pueden intersecar en más de dos puntos? a. No. b. No.

50

ACTIVIDADES Sistemas de ecuaciones mixtos

10. Marquen las opciones correctas. ¿Cuál es la solución al siguiente sistema?

{

y = _13_ x2 + x + 1 y = –x – 2

X b. (–3;1)

a. (–3;–2)

c. (3;–1)

d. (1;–3)

11. Completen con <, > o =, según corresponda. a.

c.

y

e.

y

x



<

x

0

b.



>

d.

y

=

x

0



=

0

f.

y

x



y

y

x

0



<

x

0



>

0

12. Marquen las opciones correctas. Si a < 0, b < 0 y c > 0, ¿cuál de los gráficos corresponde al sistema?

{

y = a x2 + c y = bx

a.

b. y

X c. y

x

d. y

x

y

x

x

179

50


13. Resuelvan los sistemas en forma gráfica y analítica e indiquen el conjunto solución. a.

{

y = x2 – 2x – 3 y – 1 = x

d.

S = {(–1;0), (4;5)}

y = – _21_ . (x – 3) . (x + 2) _3_ x + y = 5 4

{

y

5

y

(4;5)

4

S=∅

5 3

(–1;0) –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

6

x

–4 –3 –2 –1 0 —1 1 2

2

3

4

5

6

x

3

4

5

6

–2 –4

b.

{

y = (x + 1) . (x – 3) y+x=–1

e.

S = {(–1;0),(2;–3)}

y = _21_ . (x – 3)2 + 1 –4y = (x + 1) . (x + 5)

{

S=∅

y

y

6 11 — 5 2 1 –4 –3 –2 –1 0 (–1;0) –1

1

2

3

4

5

6

x

1 (2;–3)

–3

–4 –3 –2 –1 0

–4

1

–1

5 –— 4

–2

c.

{

1y __

= x . ( _21_ x – 1 ) y = 3 . (x – 2)

{y = x + 5x + 6 2

3

f. y = – x2 + 2x + 8

c. S = {(2;0)}

35 ,(–2;0) S = _21_;___ 4

{ ( )

9 1 35 — ( —;— 2 4 )

(2;0) 3 –— 2

}

y

y

–4 –3 –2 –1 0 –1

2

1

2

3

4

5

6

x

6

–3

–6 –4 –3 –2 –1 0 0,25

180

1

2

3

4

5

6

x

x

50


14. Resuelvan los siguientes problemas. a. La altura de un rectángulo mide el doble que su base. Si se aumenta 2 cm la base y se disminuye 3 cm la altura, su área es de 165 cm 2. ¿Cuáles son las nuevas dimensiones del rectángulo?

{h(b=+ 2b2) . (h – 3) = 165

Las nuevas dimensiones del rectángulo son 11 cm y 15 cm.

b. El producto de dos números es igual a 168. Si uno de ellos es 8 unidades mayor que la mitad del otro, ¿cuáles son esos números? x . y = 168 1 x = __ 2y + 8

{


15. Lean atentamente y resuelvan. Marcelo y Carlos tienen un puesto de panchos cada uno en distintos puntos de una ciudad. La ganancia de Marcelo en miles de pesos en un fin de semana está dada por la función M(x) = – x2 + 6x, y la de Carlos por la función C(x) = 2x, siendo x la cantidad en cientos de panchos vendidos. a. Grafiquen M(x) y C(x) en un mismo par de ejes cartesianos. b. ¿Cuáles son las restricciones que deben realizar para que el sistema tenga sentido? x ≥ 0 y x ∈

c. ¿Cuántos panchos tiene que vender cada uno para que las ganancias de ambos sean las mismas? ¿Cuáles son los montos? 400 panchos y $8 000 de ganancias.

$ e d s e l i m n e s a i c n a n a G

y

9 (4;8)

M(x)

d. ¿Cuántos panchos tiene que vender Marcelo para que sus ganancias sean mayores que las de Carlos?

0

1

Mayor que cero y menor o igual que 400 panchos.

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 x Panchos (cientos)

mente ACTIVA y1 = – _21_ x2 + 3x + _72_ Encuentren los valores de x para los cuales en el sistema se cumple que: y2 = _32_ x – _32_ a. y1(x) > y2(x) b. y1(x) < y2(x)

{

a. (–2;5) b. (–∞;–2) ∪ (5;+∞ )

181

INTEGRACIÓN 16. Resuelvan gráfica y analíticamente los siste-

20. Hallen el valor de a para que la solución del

mas y luego clasifíquenlos.

sistema sea (–1;–1).

a.

{

0,6 x – y = 1 _1_ x – 3 = y 5

b.

y + _34_ x = 1 x = –3 . (y – 2)

{

14 12 ;___ a. S = {(–5;–4)} S.C.D. b. S = – ( ___ 5 5 ) S.C.D.

{

}

17. Resuelvan los sistemas por el método que

1 x + ay = __ 2 4x + y = –5

{

21. Resuelvan los siguientes problemas. a. La diferencia entre un número y el doble del anterior de otro es igual a cuatro. Además, la diferencia entre el cuádruplo del segundo y el triple del primero es seis. ¿Cuáles son esos números? –10 y –6. b. Gastón juntó $64,50 en monedas de $2 y de $0,50. Si tiene cuatro monedas de $0,50 menos que el triple de monedas de $2, ¿cuántas monedas de cada valor tiene? c. Encuentren la ecuación general de la recta que pasa por los puntos ( – __21 ;– _52_ ) y ( _23_;– __61 ). d. Si al numerador de una fracción se le suma una unidad y al denominador se le restan tres unidades, se obtiene una fracción equivalente a 2. Además, se sabe que el numerador es 19 unidades menor que el triple del denominador. ¿Cuál es la fracción original? e. La razón entre el siguiente de un número y 7 el anterior de otro es ___ 10 . A su vez, la razón entre el doble del primer número y el siguiente del segundo es 1. ¿Cuáles son los números? f. Calculen las amplitudes de los ángulos interiores del trapecio isósceles abcd. ^ _3_ ^ d = 5 a + 68° d c

crean más conveniente y luego clasifíquenlos. a. b.

–y + _34_ x = 1 1 __ 3 y = –x + 1

{

{

2 –1 . x ( – __21 ) = y – 2 2x + 8 = 4y

{0,6x – y + 2 = 0

c. 3x – 10 = 5y – 20 d.

x + 2y _______ = 3 + 4y 2 x – y = – __31 . (–2 + y)

{

y_____ –2 x + 2 = –3

S=

{ ( ___1615;– __51 ) } S.C.D.

S = ∅ S.I. Infinitas soluciones. S.C.I. S = {(0;–1)} S.C.D.

34;___ 26 S.C.D. ___ S = – ( 15 ) 45 e. 1 x – 5 . (x – 0,3y) = __2 y + 1

f.

{ {

1______ – 3y _1_ . 2 + 2 (x – 2) = 12 +y 5x + 4 6_____ ______ 3 – 2 = 4

{

}

S = {(1;–8)} S.C.D.

18. Hallen el valor de k para que el sistema cumpla con las condiciones indicadas en cada caso.

{2xkx ++ 3y9y = 1 a. Compatible determinado. b. Compatible indeterminado. c. Incompatible.

a. k ≠ _23_ b. k = _23_ c. No existe k.

19. Escriban V (Verdadero) o F (Falso), teniendo en cuenta el siguiente sistema.

{ x –x+–yb==5y

a

b

b. 19 monedas de $2 y 53 de $0,50 c. y = 2x – _32_ 17 e. 6 y 11 f. ^ a =^ b = 70° y ^ d = ^c = 110° d. ___ 12 22. Hallen el valor de c de modo que el sistema

a. Si b = 1, el sistema no tiene solución. V

cumpla con las condiciones indicadas.

b. Si b = –5, el sistema no tiene solución. F

{

c. Si b = –5, el sistema tiene infinitas soluciones. V

d. Si b ≠ 5, el sistema tiene una única solución.

182

a = – _32_

F

3 x2 + 2x + c = y y = –4x – 1

c < 2 a. Tenga dos soluciones. b. Tenga una única solución. c = 2 c > 2 c. No tenga solución.

capítulo

CONTENIDOS

47*48*49*50

7

23. Resuelvan analítica y gráficamente los siste-

28. Hallen el valor de b y de c para que el sis-

mas y escriban el conjunto solución.

tema cumpla con las condiciones indicadas.

{y + 3 = x . (x – 2)

S = {(–2;5),(5;12)}

x = __1 y

{

S = {(0;0)}

y = (x – 3)2 y = _41_ x2

S = {(6;9),(2;1)}

a. x – y = –7

4 b. y = –2x . (x – 2)

{ y = – . ( x – 2x – 2) d. { y = –x + 3 c.

_3_

2

2

{

y = – x2 – 8x – 12

e. y = x2 – 6x + 5

{

_1_ x . (x

– 6) = y

f. 2y + 2x = 4

S = (0;3), _8_;_1_

{

( 3 3 ) }

2

a. Se intersecan en el punto (2;–5). b. ¿Existe otro punto de intersección? ¿Cuál? c. Grafiquen ambas funciones. a. b = –1 y c = 3 b. (–2;3)

29. Resuelvan.

S=∅

cuadrática que tiene a. Encuentren la función __ __ por raíces a x1 = –  5 y x2 =  5 y pasa por el punto (–3;4).

S = {(–2;8),(4;–4)}

b. Encuentren la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( – __31 ;–2 ) y (2;5).

24. Resuelvan teniendo en cuenta el siguiente sistema.

c. Hallen analítica y gráficamente los puntos de intersección de ambas funciones. a. y = x2 – 5 b. y = 3x – 1 c. S = {(–1;–4),(4;11)}

30. Resuelvan.

y = _23_ x + b y = a x2 + 2x + 1

{

a. Encuentren el valor de a y de b, sabiendo que el sistema se interseca en (–4;–3). b. ¿Hay otro punto de intersección? ¿Cuál?

a. a = __41 y b = 3 b. Sí, el (2;6). 25. Hallen el valor de b para que las parábolas

del siguiente sistema sean tangentes.

{yy == 2– x. +(x –6xb)– 9 2

2

b=3

26. Encuentren la intersección de la parábola de vértice (2;–8) y una de sus raíces es (–2;0) con la recta que pasa por los puntos (4;–6) y (8;–5). 55 y (4;–6). Los puntos son ( __21 ;– ___ 3 )

27. Marquen las opciones correctas. ¿Cuál es el intervalo que corresponde para que el sistema tenga dos soluciones? y = _41_ x2 – _21_ x + c y = _1_ . (3x – 4)

{

x – 2x + c {yy == ––2x +b

2

a.

c ∈ (–2;+∞ )

c. X c ∈ (–∞;2)

b.

c ∈ (2;+∞ )

d.

c ∈ (–∞;–2)

a. Desde un árbol se desprende una fruta con una trayectoria que se describe mediante la función y = – _53_ x2 + 15 metros, donde x está dada en segundos. En el mismo momento un ave comienza a volar hacia la fruta, con una trayectoria que se describe mediante la función y = 4,16 x. ¿En qué instante y a qué altura se encuentra el ave con la fruta? 2 segundos, 8,33 m b. Encuentren dos pares de números tales que la diferencia entre el primero y el segundo es –10, y además, el segundo número es igual al producto entre el primero y la diferencia entre el doble del primero y siete. c. Martín lanzó una pelota con una trayectoria que se describe mediante la función y = – _34_ x . (x – 8). Simultáneamente, su hermano lanza otra pelota cuya trayectoria se describe por la fórmula y = 0,75x + 4,5. Ambas trayectorias están dadas en metros y x en segundos.  Grafiquen en un mismo par de ejes ambas trayectorias.  ¿En qué instante y a qué altura se chocan las pelotas?

–10 b. xy –= yx=. (2x – 7) Los pares de números son 5, 15 y –1, 9. c. Se intersecan en el segundo 1, a 5,25 m y en el segundo 6, a 9 m.

{

183

capítulo

7

AUTOEVALUACIÓN Marquen las opciones correctas 31. En

4x + y = 3 _1_ y = ax + 1 , ¿cuál debe ser el valor de a para que el sistema sea incompatible? 2

{

a. X –2

b.

1 __

c.

2

d.

2


+ 3y _3_ . 32. ¿Cuál es la ecuación que completa el sistema con x______ 2 = 4 (x – 2) para que tenga infinitas

soluciones?

– __21 x + 3y = 3

c.

1 x __

b. X – __21 x + 3 . (y + 1) = 0

d.


a.

2

– 3 = –3y

33. ¿Cuál es la solución del siguiente sistema?

{

3x + 5 _1_ . ______ = (y

+ x) 2 4 y – 2 –x + 3 _____ _2_ ______ 2 – 3 = 3

a. X (1;3)

b.

(3;1)

c.

(–1;–3)

d.


34. Para el cumpleaños de 15 años de Paula, su papá alquiló remises y camionetas para trasladar a los invitados a la fiesta. Los remises podían transportar hasta 4 personas cada uno y las camionetas hasta 7 personas cada una. Fueron trasladadas 111 personas y alquiló 21 vehículos en total. Si todos ellos fueron completos, ¿cuántos vehículos de cada tipo alquiló? a.

9 remises y 12 camionetas.

c. X 12 remises y 9 camionetas.

b.

11 remises y 10 camionetas.

d.


35. ¿Cuál es el conjunto solución del siguiente sistema?

{3yy ==2 x. (x – –154) 2

a.

184

(–2;3)

b.

(3;2)

c.

(–3;2)

d. X (3;–2)

Semejanza y trigonometría Contenidos 51. Teorema de Thales.

8

52. Aplicaciones del teorema de

Thales. 53. Semejanza de triángulos. 54. Trigonometría. 55. Cálculo de razones trigonométricas. 56. Resolución de triángulos rectángulos. 57. Teoremas del seno y del coseno. 58. Resolución de triángulos oblicuángulos.

Imaginemos que viajamos a Egipto y, deslumbrados por las célebres pirámides, queremos conocer su altura. El folleto turístico no tiene ese dato y el camello que nos trajo tampoco parece muy dispuesto a ayudarnos. ¿Cómo hacemos? El problema se simplifica mucho si somos uno de los Siete Sabios de Grecia; precisamente aquel que es hoy considerado el padre de la geometría. Nos referimos a Thales de Mileto, quien logró su cometido valiéndose de una vara clavada en forma perpendicular en el suelo. En efecto, la razón entre las alturas de la vara y de la pirámide tiene que ser la misma que hay entre las longitudes de sus respectivas sombras. Cuenta la leyenda que el sabio resolvió el problema de este modo literalmente asombroso, haciendo uso del teorema que hoy lleva su nombre. Si bien no fue Thales el primero en descubrir estas relaciones fundamentales para la semejanza de triángulos, le cabe el mérito enorme de haberlas sistematizado y explicado de manera racional.

1. Lean atentamente y resuelvan. a. ¿Cómo se usa el teorema de Thales en el procedimiento descripto en la historia? b. Más allá de que no tenga pirámides... ¿se podrá usar este método para medir alturas en un planeta como el de El Principito? a. Al ser los rayos del sol paralelos entre sí, la altura a de la pirámide dividida por la longitud b de su sombra debe ser igual al cociente entre una vara de longitud c ubicada perpendicular al suelo y .c la longitud d de su sombra. El valor de a se obtiene calculando b____ d . b. No, no serviría medir la sombra proyectada sobre el suelo, porque al ser tan chico el planeta, su curvatura incide en los cálculos. En un planeta grande como la Tierra, la curvatura es despreciable si los objetos están relativamente cerca entre sí.

o l u t í p a c

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60

Teorema de Thales ¿Para qué sirve? PÁGINA 12

INFOACTIVA

Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales, la razón entre las medidas de los segmentos determinados en una de ellas es igual a la razón entre las medidas de los segmentos correspondientes determinados en la otra.

A

a

B

b

C

c

A // B // C D y E transversales.

d e

___ de ___ __

___

ab ___ __

=

f

bc

E

Al ab le corresponde el de en la otra transversal. Se dice entonces que son segmentos correspondientes .

ef

___

D

___

Como consecuencia del teorema de Thales , toda recta paralela al lado de un triángulo que interseque a los otros dos lados o a sus prolongaciones determina sobre ellos, segmentos proporcionales. R // S c

c

n

m

R c m

b n

R

a

S b

__

ac ___ ___

R

a S n m a

__

___ ma ___ __

bc ___ __

b __ ac ___ __

___

nb ___ __ ac = bc

mc = nc

__

bc ___ ___

cn = cm

__

Calculen la longitud __del ap. __ __ R // S, ac = 5 cm, bc = 5,5 cm, qc = 4,4 cm c

__

__

pc

qc

ac bc ___ __ = ___ __ 5,5 cm 5__ cm = ______ _____ pc

p q a b

ap = ac – pc __

4,4 cm

ap = 5 cm – 4 cm

__

__

R

5 cm . 4,4 cm = pc . 5,5 cm

S

22 cm2 = __ _______ pc 5,5 cm

__

4 cm = pc 186

__ __ __

ap = 1 cm

S

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cómo se expresa simbólicamente “6 es a 9 como 12 es a 18”? 5,5 cm 6,6___cm ___ ______ = , ¿ ab mide 12,1 cm? b. Si al aplicar el teorema de Thales se determina que ______ 3 cm ab

12 b. No, mide 3,6 cm. a. _69_ = ___ 18

51

ACTIVIDADES Teorema de Thales

1. Calculen el valor de las incógnitas y la longitud de cada segmento. a. A // B // C

c. A // B // C // D A a

a

B C

b d

b

c f

__

__

___

___

D

__

fg = ( _32_ x + 2 ) cm ___ gh = (2x – 0,5) cm

ab = 2,5 cm ___ bd = 12 cm __ ef = (5,5 – x) cm

__

__

x = 11 cm; de = 10 cm; ef = 14 cm

C h

___

de = (x – 1) cm __ ef = (x + 3) cm ___

g

d

___

ac = 12 cm ___ ab = 5 cm

B

f

c

e

A

e

___

x = 3 cm; ef = 2,5 cm; fg = 6,5 cm; gh = 5,5 cm

__

b. ad // be // cf

d. A // B a

A

b

d

a

c e

b

B c ___

f

__

ab __ = (6__ +  x ) cm bc =  x cm ___

___

de x cm __ =  df = 6 cm __

__

__

__

__

de = 3 .  2 cm; ef = (6 – 3 .  2 ) cm

__

__ __ ac = (x –  5 ) cm __

__

__

__

__

cd =  5 cm __ ce = x cm

bc = 2 cm

x = 18 cm; ab = (6 + 3 .  2 ) cm; bc = 3 .  2 cm; ___

e

d

__

__

x = (5 .  5 + 10) cm; ac = (4 .  5 + 10) cm; __

__

ce = (5 .  5 + 10) cm

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61

Aplicaciones del teorema de Thales INFOACTIVA A partir del teorema de Thales, se puede dividir un segmento ab (de cualquier medida), por ejemplo, en cuatro segmentos congruentes. o

o

R b

a

b

a

1. Se traza una semirrecta con origen en a. 2. Se marcan sobre la semirrecta cuatro segmentos congruentes (de cualquier medida).

3. Se traza la recta R determinada por o y b. por 4. Se trazan rectas paralelas a R que pasen ___ los otros puntos que se marcaron sobre ao. ›

También se puede dividir un segmento en dos partes conociendo la razón entre esas partes. Para dividir el segmento ab en dos partes cuya razón sea __31 , pueden seguir estos pasos. ___ ap ___ ___

o

o

pb

= __31

R b

a

a

1. Se traza una semirrecta con origen en a. 2. Se marcan sobre la semirrecta cuatro segmentos congruentes (de cualquier medida).

b

p

3. Se traza la recta R determinada por o y b. 4. Se traza la recta paralela___a R que pasa por el primer punto marcado sobre ao y se determina p ___ en ab. ›

___

En la siguiente proporción de es cuarto proporcional. Para construir el cuarto proporcional, conociendo las medidas de los otros tres segmentos, pueden seguir estos pasos. ___

ab ___ __ bc

e

___

ad ___ = ___

de d

a

b

a

c

1. Se trazan dos semirrectas con el origen en común. una 2. Se marcan sobre __ de las semirrectas dos ___ de los segmentos ( ab y bc ).

b

c

3. Sobre___la otra semirrecta se marca el tercer segmento ( ad ) a partir del origen. 4. Se traza la recta determinada por d y b y luego, la paralela que pasa por c .

___

En la siguiente proporción de es tercero proporcional. ___

___

ab ___ __ bc

188

=

ad ___ ___ , de

__

___

d

siendo bc = ad. a

e

b

c

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Se puede dividir cualquier segmento en segmentos congruentes? b. Para construir el tercero proporcional, ¿se deben conocer tres segmentos de distintas medidas? a. Sí. b. No, dos de ellos deben tener la misma medida.

52

ACTIVIDADES Aplicaciones del teorema de Thales

2. Dividan los siguientes segmentos, según lo indicado. a. En 3 segmentos congruentes.

a

c. En 4 segmentos congruentes.

b

e

b. En 5 segmentos congruentes.

c

f

d. En 7 segmentos congruentes.

d

g

h

3. Tracen un segmento de 11 cm y divídanlo en 3 partes, de modo tal que cada segmento sea el doble del anterior.

a

b

189

52


4. Resuelvan.

a. Tracen un segmento de 8 cm y divídanlo en dos, de modo tal que su razón sea _25_.

5 cm

2 cm a

b

b. Tracen un segmento de 9,5 cm y divídanlo en dos, de modo tal que su razón sea _34_.

a

b

c. Tracen un segmento de 6 cm y divídanlo en dos, de modo tal que su razón sea _52_.

a

b

d. Tracen un segmento de 9 cm y divídanlo en dos, de modo tal que la medida de uno de ellos sea el 20% de la medida del otro.

a 190

b

52


5. Tracen el segmento y luego calculen la longitud del mismo. __ cuarto proporcional ___ ___ ___ ___ ___ a. ab = 2,5 cm; bc = 4 cm; ad = 1,5 cm

c. mn = 2 cm; no = 3,5 cm; mp = 2,5 cm q 4,375 cm

2,4 cm

p

2,5 cm

1,5 cm a

2,5 cm

b

m 2 cm __

__

__

__

c

4 cm

b. rs = 2,5 cm; st = 3,5 cm; ru = 3 cm

n

3,5 cm

__

__

d. xy = 5 cm; yz = 2 cm; xv = 2,5 cm

4,2 cm

r

u v

u

3 cm

o

1 cm

2,5 cm s

2,5 cm

3,5 cm

t

x

y

5 cm

2 cm

z

6. Dibujen el segmento tercero proporcional y luego calculen la medida del mismo. __ ___ ___ __ a. ab = 1,5 cm; bc = 3 cm

2,25 cm d

c. de = 5 cm; ef = 2 cm

e

3 cm a

b

4 cm ___

3 cm

m

c

d

2 cm f

__

d. pq = 3 cm; qr = 2,5 cm

t

1,79 cm s

q

4,5 cm

e

5 cm ___

___

b. mn = 4,5 cm; no = 1,5 cm

0,5 cm 1,5 cm p

h

0,8 cm 2 cm g

2,5 cm n 1,5 cm o p

3,5 cm

q

2,5 cm r

191

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62

Semejanza de triángulos INFOACTIVA

Dos triángulos son semejantes cuando los lados correspondientes son proporcionales y los ángulos comprendidos, congruentes. o c

a

En los triángulos semejantes, los lados correspondientes se oponen a ángulos congruentes. ___ ___ ^c = ^ o , entonces ab se corresponde con mn. __ ___ ^ ^ a = m, bc se corresponde con no. ___ ^ ^ __ b = n , ca se corresponde con om.

m b

n

__ ___ __ ab bc ca ___ = ___ ___ ___ no = om mn

^ ^ ^ a = m; b =^ n; ^ c =^ o

abc ~ mno

La constante que se obtiene al dividir las medidas de los lados correspondientes se denomina razón de semejanza.

Criterios de semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes Dos triángulos son semejantes Dos triángulos son semejantes si si tienen sus tres lados si tienen dos ángulos tienen dos lados respectivamente respectivamente proporcionales respectivamente congruentes proporcionales y el ángulo (LLL). (AA). comprendido entre ellos congruente (LAL). N c c g M // N M A // B e

s a r ___

__

e b

a

__

c f a __ ec ___ __

^ ^c = ^ a =^ e g abc ∼ efg

abc ∼ ars

β α

b

ab bc ac ___ __ = ___ __ __ = ___ as ar rs

d

A

A // B

b B

__

^ ^ = ca α= β cb abc ∼ cde cd ___ __

Se llama base media al segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo. En todo triángulo, una base media es paralela al tercer lado y su longitud es la mitad de la longitud de dicho lado. ___

mn es base media del abc. ___ ___ mn // ab ∧ 2 . mn = ab

c m

abc ∼ cmn

n

__ ac ___

__

bc ___ __

___ ab ___ ___

mc = nc = mn

a

192

b

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Todos los triángulos rectángulos son semejantes? b. Los triángulos congruentes ¿son semejantes? a. No. b. Sí.

53

ACTIVIDADES Semejanza de triángulos

7. Unan con una flecha los triángulos semejantes. a.

e.

c

c

b 48°

87°

35°

a

b

a

b.

f.

c 8,6 cm

c 10,4 cm

7,5 cm

6 cm a

b

9 cm

b 15,4 cm

a

c.

g.

c

c

35° 66°

58°

a

a

b

d.

h.

c

7,7 cm

b c

5,2 cm

2 cm

a 4,3 cm b

a

2,5 cm 3 cm

b

caso de serlo, escriban el criterio utilizado. 8. Indiquen en cada caso si a bc y def son semejantes. En __ __ a = 36° 50’ a. ^ ^ b = 78° 20’

^ d = 64° 50’ ^ f = 36° 50’

Sí, por AA.

___

b. __ ab = 7,5 cm bc = 8 cm ^ b = 70° No.

c. __ ac = 3,5 cm bc = 6 cm ^c = 65°

df = 7 cm __ ef = 3 cm ^ f = 65°

No.

___

de = 14 cm __ ef = 16 cm ^ e = 70°

___

d. __ ab = 4,5 cm bc = 3 cm __ ac = 9 cm

___

de = 13,5 cm __ ef __ = 9 cm df = 27 cm

Sí, por LLL.

193

53


9. Indiquen en cada caso si los triángulos son semejantes. Luego, escriban los ángulos congruentes y los lados correspondientes. c abc y ced a. ___ __ ac // be

b

d. abc y dbc

b

d a a

e

Sí, por AA. __

___

bc y

^c y ^ ab c y

ed

___

___

ab y

be

a

ade y abc b. ___ de base media

__

ac y

c

e. acf y abe

e

c

b d

d a

b

Sí, por AA.

^ a y ^ b y

a^ de

^ c y

a^ ed

e

f

Sí por AA.

___

^ a

___

ab y

ad __ de __ ae

__

bc y __

ac y

c. abc y def

^ a y

^ d

^c y ^ af c y

^ e

__

ac y

a^ be

__

cf y __

___

af y

f.___abe y cde ^ bd es bisectriz de b

c d

6 cm

a

15 cm

a

b

8 cm

b

194

^ e

^c y

^ f

^ d

c

e

e

d

Sí, por LLL.

^ a y ^ by

ab

f

9 cm 10 cm

__

ae __ be

›

12 cm

__ dc __ bc

bc y

b^ dc __ db

ab y

db

__

^ c

___

___

ac y

c

Sí, por AA.

^ a y d^ be c^ba y dêb __

d

Sí por AA.

___

___

__

____ _

ab y bc y __

ac y

de

df __

ef

^ a y b^ ea y ^ ab e y

___

^ d

ab y d^ ec e^ cd

__

___

be y

cd __ ec

__

___

ae y

ed

53


10. Calculen el valor de x , sabiendo que los triángulos son semejantes. ___ __ e y ___ __ a. bd // ae

c

d.

cd // be

f c d

b

d

a

___

e

b

__

___

cd = (6x – 2,5) cm

cb = 9,25 cm

12 x + 2 cm ac = ( ___ ) 5 ___ ab = (3,6x + 1) cm

bd = (3x – 1,25) cm

bc = (4,5y – 8,4) cm

ab = 5 cm

__

__

be = (x + 6,5) cm

__

__

ae = (2y – 3,8) cm x = 3,5 cm; y = 4,4 cm

__

__

___

r

c

__

cm

rt =(3y – 3,4) cm __

5 vu = ( x +  ___ 2 ) cm

rv = (x

__ .  5

– 6) cm

__

x = 2 .  5 cm; y = 3,8 cm

___

___

ef = 15 cm

f

u

s

c. ab // de

__

v t

___

de = (5x – 3,5) cm

__

e. ac // df y cb // fe

rs = (4x –

___

__

b. vu base media

__

df = 12 cm

x = 2,5 cm; y = 3,2 cm

___

__ 3 __.  5 )

e __

a

___

a

d

e

ab = (7x – 3) cm

__

b

bc = (1,3 y + 2) cm

__

__

12 cm df = ( _75_ x + ___ 5 ) __ 5 _ _ ac = ( 3 x + 6 ) cm

fe = 10,8 cm

x = 3 cm; y = 12 cm

a

b

___

f. de base media

c d

e

c

___

d

ab = (4x + 1,6 ) cm

__ ac = (2x + 5,3 ) cm __

cd = (3y + 2,4) cm

10 cm; y = _2_ cm x = ___ 5 3

e

__

___

__

___

bc = 2,7x cm ce = 4,8 cm ___

a

de = (2x + 6,3 ) cm ab = (7x + 9,6 ) cm

___

b

11 cm ad = x ( + __ 3 )

__

ac = (y + 2,5) cm

de = 6 cm x = 1 cm; y = 6,83 cm

195

INTEGRACIÓN 11. Calculen el valor de las incógnitas y la medida 15. Obtengan en cada caso el tercero proporciode cada segmento. __ __ __ ___ a. ae // bf // cg // dh x = 2,2 cm y__= 9,5 cm ac ___ = 9 cm bd = 5 cm ___ eg ___ = 5,4 cm c gh = 1,3 cm

a

ab = 4 cm ___ cd = ( y – 4,5 ) cm __ ac = ( 2,5x + _72_ ) cm ___

f

a. 2,6 cm b. 2,25 cm c. 6,54 cm d. 3,57 cm

16. Obtengan en cada caso el cuarto proporcional,

g h

__

ef = 2,4 cm ___ eg = ( 3x – 1,2 ) cm ___ gh = (x – 0,8 ) cm

x = 4 cm y__= 6 cm ac ___ = 16 cm ab = 10 cm ___ pq = 4,8 cm d ___ ap = 8 cm b

ad = ( 3,5x – 4 ) cm ___ ab = 4x __ ae = 12 cm

analítica y gráficamente. __ ___ ___ a. ab = 4 cm; __bc = 3 cm; ad = 5,5 cm __ __ b. rs = 3 cm; st = 7 cm; ru = 4,5 cm ___ ___ ___ = 5,5 cm; no = 3,5 cm; mp = 4 cm c. mn ___ __ ___ d.___de = 8 cm; ef__= 4 cm; dg =___5 cm a. de ___ = 4,125 cm b. uz = 10,5 cm c. pq = 2,54 cm d. gh = 2,5 cm

___

b. bc // de

___

e

b

d

___

nal, analítica y gráficamente. __ ___ a. ab = 6 cm; bc = 4 cm ___ ___ b. mn = 9 cm; no = 4,5 cm ___ __ = 5,5 cm; qr = 6 cm c. pq __ ___ d. fg = 7 cm; gh = 5 cm

17. Resuelvan.

a

p

e q

c

__

ec = 7,2 cm ___ ap = ( 2y – x ) cm ___ pq = ( x + 0,8 ) cm

12. Tracen los segmentos indicados en la carpeta y divídanlos según corresponda. a. Un segmento de 5 cm dividido en seis segmentos congruentes. b. Un segmento de 6 cm dividido en cuatro segmentos congruentes. Solución a cargo del alumno.

13. Tracen en sus carpetas un segmento de 7 cm y divídanlo en tres partes, de modo que cada segmento consecutivo sea la mitad del anterior. Solución a cargo del alumno.

14. Tracen los segmentos indicados en la carpeta y ubiquen el punto p, según corresponda. ___ ___ ___ = 6,5 cm, donde ap es la mitad de ___ pb. a. ab __ __ cd = 5,5 cm, donde cp es el triple de pd. b. __ __ ___ c. ef = 7 cm, donde ep es las _35_ partes de pf. Solución a cargo del alumno.

a. En un determinado momento del día, una persona proyecta una sombra de 60 cm. En el mismo instante, una casa que mide 7,20 m de altura, proyecta una sombra de 2,70 m. ¿Cuál es la altura de la persona? b. Para colgar una piñata, se colocaron dos alambres de pared a pared, como lo indica la figura. La distancia entre c y d es 50 cm más que la distancia entre a y b. ¿Cuál es la longitud del alambre entre los puntos a y e? ab // cd a

b

e 4,5 m

4 . cd – 2,5 m

c

d

a. 1,60 m b. 3,83 m

18. Indiquen si las rectas A, B y C son paralelas, teniendo en cuenta los datos, la figura de análisis___y el teorema de Thales. ___ ab = 6,3 cm de = 7,2 cm __ __ bc = 4,8 cm ef = 9,45 cm A a B b

C

c

No son paralelas.

196

3m

d e

f

capítulo

8

CONTENIDOS

51*52*53

19. Calculen la medida de los lados que faltan

23. Calculen los lados desconocidos, sabiendo

para que los triángulos sean semejantes. a. r

que la razón de semejanza entre los triángulos abc y mnp es _43_. n

10 cm q

p

b

9 cm

15 cm

10 cm

s

a __

11,25 cm

o

b. 8,4 cm

p

___

4,5 cm

106° 43° 10,8__cm

31° f

__

___

24. Calculen el valor de las incógnitas y la medida

b

7 cm

43° ___

m

c

bc = 8,44 cm; mn = 13,3 cm; mp = 9 cm

e

d

___

a

c

a. pq = oq = 6 cm b. df = 16,8 cm; bc = 5,4 cm

de cada segmento sabiendo que los triángulos son semejantes. a. c

20. Demuestren que los tres triángulos son semejantes, sabiendo que la figura está formada por tres triángulos y un rectángulo.

d

b

q ___

a p

c

r


21. Demuestren que los triángulos edf y afc son

de = 4 cm__ __ ae = 3 .  5 cm

b.

b

semejantes. Escriban las razones de los lados. Expliquen las respuestas. ___ b ed base media

c a

d

e

___

ab = ___ ad =

f c

a


e

___ __ 2 y + 4 . 3 cm ed (  ) __ __ ( x +  2 ) cm ec

d

__ 6 .  2

= cm __ = ( __21 y +  3 ) cm


22. Determinen si los triángulos son semejantes. Expliquen las respuestas. d b

e

___

ab cm __ bc __ = x __ cd = 4 .  5 cm

b d

a

__ =  5

2x – 5 cm

x – 2 cm

x + 4 cm x cm 65° a c 3x cm

f

Perímetro__de abc = 24 cm __

___

3 df 2 de Por lo tanto son semejantes.

ef

e 65° x – 3 cm

ac = ___ ab bc 12 = 4; ___ __ = _8_ = 4; ___ ___ __ = _4_ = 4 x = 4 cm; ___ 1

25. Resuelvan. a. Un mástil de 6,5 m de altura proyecta una sombra de 5 m. Calculen la altura de otro mástil que en ese mismo momento proyecta una sombra de 3 m. b. Alan mide 1,65 m y su hermana mide 20 cm menos que él. A cierta hora del día, ambos están en el parque de espaldas al sol y Alan proyecta una sombra de 90 cm. ¿Cuánto mide la sombra que proyecta su hermana? a. El mástil mide 3,9 m. b. La sombra mide 0,79 m.

197

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62

Trigonometría ¿Para qué sirve? PÁGINA 13

INFOACTIVA

En un triángulo rectángulo, cada cateto recibe un nombre según el ángulo agudo que se considere. a

a α

cateto adyacente α a^

cateto opuesto

^

a β b

c

β

c

b

α cateto opuesto a ^

^

cateto adyacente a β

Si se consideran los triángulos rectángulos aor y abc, se pueden formar las siguientes razones T con las longitudes de los lados. c En aor En abc __

or = 0,8 __ ar

__

ao ___ __ = 0,6 ar __ or ___ __

ao

= 1,3

__ bc ___ __

ac

R

= 0,8

m c 0 2 r

__

ab = 0,6 ___ __ ac __ bc = 1,3 ___ __ ab

m c 0 1

a

16 cm 8 cm

α

b

6 cm o 12 cm

Las razones que se formaron con las medidas de los lados dependen únicamente del ángulo ^ α.

Razones trigonométricas Se llaman razones trigonométricas a las que relacionan las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo con los ángulos agudos del mismo. Las razones trigonométricas se definen de la siguiente manera:  Seno de un ángulo. Es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. ___ __ cateto opuesto ^ bc ab ___ ______________ __ ∧ sen β = __ α = hipotenusa ⇒ sen ^ α = ___ sen ^ ac ac

Coseno de un ángulo. Es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. ___ __ cateto adyacente ^ ___ ab _______________ ___ ^ ^ __ __ cos α = hipotenusa ⇒ cos α = ac ∧ cos β = bc ac 

Tangente de un ángulo. Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. ___ __ cateto opuesto ^ ab bc ___ _______________ ___ ^ ^ ___ tg α = cateto adyacente ⇒ tg α = ∧ tg β = __

c



ab

198

bc

hipotenusa a

β cateto

α

cateto adyacente

opuesto b

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. El valor del seno de un ángulo, ¿puede valer más de 1? sen ^ α ? α = ______ b. ¿Es cierto que tg ^ ^ cos α

a. No, porque la hipotenusa siempre es mayor que los catetos.

cat. opuesto ___________ ^ hipotenusa cat. opuesto sen α = _____________ _____________ α = = tg ^ b. Sí. _____ ^ cat. adyacente cat. adyacente _____________ cos α hipotenusa

54

ACTIVIDADES Trigonometría

26. Completen teniendo en cuenta el triángulo abc. a. 

A es el cateto adyacente al ángulo



A es el cateto opuesto al ángulo

b a



B es el cateto adyacente al ángulo



B es el cateto opuesto al ángulo

.

c

. a

b

A

B

. a

.

C

b

b. Escriban las razones trigonométricas. 

sen ^ a = A



cosec ^ a = C



^ sen b = B



^ cosec b = C



cos ^ a = B



sec ^ a = C



^ cos b = A



^ sec b = C



tg ^ a = A



cotg ^ a = B



^ tg b = B



^ cotg b = A

C C

B

A

B A

C

C

A

B

A B

27. Calculen las razones trigonométricas en los siguientes triángulos. a. c α

10 cm β

a

6 cm



sen ^ α=

0,6



cos ^ α=

0,8



α= tg ^



α= cotg ^

1,3



sec ^ α=

1,25



cosec ^ α=



sen ^ α=

0,848



α= cos ^

0,53



α= tg ^

1,6



cotg ^ α=



sec ^ α=



α= cosec ^

b

0,75

1,6

^ 0,8 sen β = ^ 0,6  cos β = ^ 1,3  tg β = ^ 0,75  cotg β = ^ 1,6  sec β = ^ 1,25  cosec β = 

b. 5 cm

c

b α

8 cm β

a

0,625 1,8868 1,17925

^ 0,53 sen β = ^ 0,848  cos β = ^ 0,625  tg β = ^ 1,6  cotg β = ^ 0,17925  sec β = ^ 1,8868  cosec β = 

199

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62

Cálculo de razones trigonométricas INFOACTIVA Cálculo de razones trigonométricas con calculadora Si se conoce el ángulo y se quiere hallar el valor de la razón trigonométrica, se deben seguir estos pasos.

sen 30° = 0,5 → sin

3

cos 52° 45’ ≅ 0,762 → cos

0

= 5

2

tg 110° 55’ 8’’ ≅ –1,415 → tan

1

°’’’ 1

4 0

5 °’’’

°’’’

=

5

5

°’’’

8

°’’’

=

Si se conoce la razón trigonométrica y se quiere saber a qué ángulo corresponde, se deben seguir estos pasos.

sen x = 0,41 ⇒ x ≅ 14° 28’ 39’’ →

SHIFT

cos x = –0,514 ⇒ x ≅ 118° 33’ 18’’ → tg x = 1,839 ⇒ x ≅ 55° 32’ 12’’ →

SHIFT

SHIFT

sin cos tan

0

. (–)

1

4 0

.

1

=

.

5

8

4

3

9

°’’’

SHIFT

1 =

= SHIFT

SHIFT

°’’’

°’’’

Cálculo de razones trigonométricas para ángulos particulares sen 0° = 0



cos 0° = 1

_1_  sen 30° =



cos 30° =



2__  _2_  sen 45° = 2 __  _3_  sen 60° = 2 

sen 90° = 1

__  _3_ 2 __  _2_

cos 45° = 2 _1_  cos 60° = 2 



cos 90° = 0



tg 0° = 0

__  _3_

tg 30° = 3  tg 45° = 1 

__



tg 60° =  3



tg 90° = No existe

Relación entre la tangente trigonométrica y la pendiente de una recta La inclinación de una recta es el ángulo que forma el eje x con dicha recta, y su pendiente es la tangente trigonométrica de su inclinación.

La recta que pasa por los puntos (0;1) y (5;4) está representada en el siguiente gráfico. α. Para averiguar la pendiente, se debe calcular la tg ^ 3 ^ ^ ^ _ _ Como α = a , se puede calcular tg a = = 0,6 5 α, se puede utilizar la calculadora. Para calcular ^ ^ α ≅ 30° 57’ 50’’ tg α = 0,6 ⇒ ^ La inclinación de esta recta es 30° 57’ 50’’ y su pendiente es 0,6.

200

y

b

4 3

4–1=3 2 1

a

α

–2

–1

0 –1

1

5–0=5 2 3

4

5 x

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Las razones trigonométricas, ¿se pueden aplicar a cualquier triángulo? b. ¿Es cierto que en cualquier triángulo rectángulo se cumple que la tg 45° = 1? a. No, tienen que ser triángulos rectángulos. b. Sí, porque el sen 45° = cos 45° por ser triángulo isósceles.

55

ACTIVIDADES Cálculo de razones trigonométricas

28. Calculen las siguientes razones trigonométricas. ^ α

α sen ^

α cos ^

α tg ^

α cosec ^

α sec ^

α cotg ^

65° 83° 40’ 36” 16° 2”

0,9063

0,42262

2,1445

1,10338

2,3662

0,46630

0,99392

0,11014

9,02419

1,00612

9,07943

0,11081

0,27565

0,96126

0,28676

3,62783

1,0403

3,48729

α tg ^ 2,34678 5,67128 6,72345

^ α

29. Calculen el valor del ángulo α utilizando la calculadora. a.

c. α sen ^ 0,82904 0,96771 0,72901

^ α

e. α cos ^ 0,34202 0,93287 0,52467

56° 75° 24’ 46° 48’ 12”

b.

^ α 70° 21° 6’ 47” 58° 21’ 14”

d. α cosec ^ 1,49448 1,00474 3,87562

^ α 84° 25’ 56” 14° 57’ 10”

79° 59’ 81° 32’ 25”

f. α sec ^ 4,69321 1,17918 2,39651

42°

66° 55’ 13”

^ α 77° 41’ 51” 32° 65° 20’ 15”

α cotg ^ 0,67451 0,26048 2,06553

^ α 56° 75° 24’ 25° 50’

30. Resuelvan teniendo en cuenta los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos particulares. a. sen 30° – cos 60° + 2 . tg 45° = 2

2 . sen 45° + (1 – cos 45°) 2 = c. ________________________ sen 30°

3

sen 60° + _2_ . tg 60° = – cos2 30° + 3 . _______ d. 1 + tg2 30° cos 60° 5 __ 7 17

b. sen__60° – sen 90° + tg 30° = _5_ .  3 – 1

___ + ___ .  3

12

6

5

31. Encuentren los ángulos de inclinación de cada recta. a.

b.

y

5 4 3 2 1 –2 –1 –1 0 1 2 3 4 5 x

^ α = 26° 33’ 54”

y

4 3 2 1 –2 –1 –1 0 1 2 3 4 5 x –2

^ α = 38° 39’ 35” 201

56

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61

62

Resolución de triángulos rectángulos INFOACTIVA Resolver un triángulo rectángulo significa hallar las medidas de los tres lados y de los ángulos agudos a partir de ciertos datos, usando las razones trigonométricas, el teorema de Pitágoras y la suma de ángulos interiores de un triángulo. Para resolver un triángulo rectángulo, como el ángulo recto ya está determinado, se debe conocer al menos el valor de uno de sus ángulos agudos y un lado, o el valor de dos de sus lados.  Dados un ángulo agudo y uno de sus lados.

ángulo agudo y cateto

Para repasar el cálculo de razones trigonométricas con calculadora pueden volver a la página 200.

ángulo agudo e hipotenusa

Para calcular el ángulo ^ b , debe aplicarse la propiedad de los ángulos agudos. c

^ c +^ b = 90°  ^ b = 90° – ^ c ^ b = 90° – 34°  ^ b = 56°

Para calcular el lado ac, se debe recurrir a una razón trigonométrica que relacione__los dos datos con el lado. __ __ __ __ ac ___ ^ __ cos c =  ac = bc . cos ^ c  ac = 3,5 cm . cos 34°  ac ≅ 3,5 cm . 0,83

__

34°

3,5 cm

bc

__

 ac ≅ 2,902 cm

b

a

__ Para calcular ab, se razona__de la misma manera. __ el__lado__ ab

__

__

__  ab = bc . sen ^ sen ^ c = ___ c  ab = 3,5 cm . sen 34°  ab ≅ 3,5 cm . 0,56 ⇒ ab ≅ 1,96 cm

bc



Dados dos de sus lados.

dos catetos

cateto e hipotenusa

Para calcular el teorema de Pitágoras. _______ __ __ aplicarse __df, debe __ __el lado __ f ef2 = de2 +__df2  df =  ef2 – de2 _________________ df (30 cm)2 – (18 cm)2 __ =  _________________ 30 cm  900 cm2 – 324 cm2 df = __ df = 24 cm d

18 cm

e

Para calcular el ángulo ^f , se debe recurrir a una razón trigonométrica que relacione los dos datos con el ángulo. __

^ 18 cm  sen ^f = 0,6  ^f ≅ 36° 52’ 12’’ de __  sen f = ______ sen ^f = ___ ef

30 cm

Para calcular el ángulo ^ e , debe razonarse de la misma manera. __ 18 cm  cos ^ de __  cos ^ cos ^ e = ___ e = ______ e = 0,6  ^ e ≅ 53° 7’ 48’’ 30 cm ef

Se puede verificar que: ^ e + ^f = 53° 7’ 48’’ + 36° 52’ 12’’ = 90° 202

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si solo se conoce un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, ¿se puede calcular la medida del cateto opuesto a este ángulo? b. Si se conocen los catetos de un triángulo rectángulo y un ángulo agudo, ¿qué razón trigonométrica se puede aplicar? a. No, se debe conocer también la medida de otro lado. b. La tangente.

56

ACTIVIDADES Resolución de triángulos rectángulos

32. Calculen y completen. a.

d.

b 6 cm

x 36° 48° d 10 cm c

40° c

a

^ a = __

ac =

___

ab = 5,03 cm

50°

b

y

a

x = 6,69 cm

y = 4,37 cm

7,83 cm b

b.

b

e. y

__

2 .  3 cm 30° a

^ b =

__

bc = 6,93 cm

60°

__

6 cm

50° x

d

z = 7,45 cm

f.

a

8,15 cm

b b

12 cm

7 cm c

^ a = 35° 41’ 7”

x = 11,28 cm

c

y = 17,56 cm

ac = 6 cm

c.

a

c

118°

__

z = bc

___

ab = 9,75 cm

^c = 54° 18’ 53”

2 cm x 30° a

3 cm f

x = 5,2 cm

c 55° y

d z a

z = 2,86 cm

y = 0,64 cm

33. Resuelvan. a. Calculen la altura de un triángulo isósceles cuya base mide 12 cm y el ángulo opuesto a la misma mide 50°. 12,87 cm.

b. Manuel observa una paloma situada en la punta de un poste con un ángulo de elevación de 35° desde el suelo. Si Manuel está ubicado a 15 m del poste, ¿cuál es la altura del mismo? La altura del poste es de 10,50 m. 203

57

56

58

59

60

61

62

Teoremas del seno y del coseno INFOACTIVA Teorema del seno En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. c ___

ab ______

__ ac ______

__ bc ______

= ^ = sen ^ sen ^c a sen b

b

a

__ __

Para calcular los lados ab y bc , se aplica el teorema del seno. __ ab 42 cm = ______ ________

sen 135º

sen 8º

⇒ ab ≅ 8,27 cm

__ bc 42 cm ________ = _______

sen 135º

c

__

sen 37º

8°

__

42 cm

⇒ bc ≅ 35,75 cm a

135°

37°

b

Teorema del coseno El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de dichos lados por el coseno del ángulo que forman. __ __ __2 ab = bc + ac – 2 . b___c . ac . co coss __ ___ __2 __ 2 2 bc = __ ab + ___ ac – 2 . ab ac . co coss __ . ___ __ ___

__

c

^c ^ a ^ ac2 = bc2 + ab2 – 2 . bc . ab . co coss b 2

2

b

a __

Para calcular ef,, se ef el teorema del coseno. __ __ __el lado __ __aplica ^ 2 2 2 ef __ = df + de – 2 . df . de . cos d 2 2 2 ef __ ≅ 36 cm + 196 cm __ – 2 . 6 cm . 14 cm . 0,695 ef2 ≅ 115,24 cm 2 ⇒ ef ≅ 10,73 cm

f 6 cm 46° d 14 cm

e

El de Pitágoras es un caso particular del teorema del coseno. __ teorema ___ ___ __ __ 2 2 + ac2 – 2 . ab . ac . co c bc coss ^ a __ = ab ___ ___ __ __ 2 2 bc + ac2 – 2 . ab . ac . cos 90° __ = ab ___ __ bc2 = ab2 + ac2

a

204

b

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Los teoremas del seno y del coseno, ¿se pueden aplicar en un triángulo rectángulo? b. Si se conoce un ángulo y dos lados cualquiera de un triángulo, ¿se puede aplicar el teorema del seno? a. Sí. b. No siempre, uno de los lados tiene que ser el lado opuesto al ángulo.

57

ACTIVIDADES Teoremas del seno y del coseno

34. Calculen y completen. a.

d.

a

35°

130°

12 cm b

c

15 cm

__

^ a = 27° 57’ 57”

a

24,50 cm

ac =

^c = 22° 2’ 3”

b.

c

28°

a

__

10,90 cm

bc =

___

___

ab = 15,11 cm

ab =

f.

c 5 cm

^ a = 27° 7’ 36” ^c = 130° 32’ 30”

^ a =

c

__

bc =

6,89 cm

4,59 cm a 22° 135° b 14 cm

b

^ b = 22° 19’ 54”

27°

9,5 cm

43°

6 cm 10 cm

22,05 cm

b

a

b

109°

a

ac =

110° 43°

c.

__

^ a = 22° 28’ 53” ^ b = 122° 31’ 7”

7,5 cm

^c =

b

15 cm

e.

c

10 cm

^c = ___

ab =

23°

__

ac =

c

26,43 cm

14,60 cm 205

58

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61

62

Resolución de triángulos oblicuángulos INFOACTIVA Un triángulo es oblicuángulo cuando ninguno de sus ángulos interiores es recto, y resolverlo es hallar el valor de sus tres ángulos y sus tres lados. Para ello hay que aplicar los teoremas del seno, del coseno y la propiedad de la suma de los ángulos interiores, que es igual a 180°. Siempre que sea posible, se deben utilizar los datos y no los resultados obtenidos. Se pueden presentar distintos casos.

Dos lados y el ángulo comprendido

Un lado y dos ángulos

Los tres lados

Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos

Para resolver un triángulo oblicuángulo dados dos lados y el ángulo comprendido, se pueden seguir estos pasos. i

1. Se aplica el teorema del coseno para calcular el lado gh. __ 2 2 2 gh __ = (28 cm) + (22 cm) – 2 . 28 cm . 22 cm . cos 85° 2 2 2 2 gh __ ≅ 784 cm + 484 cm – 107,376 cm gh ≅ 34,07 cm

85° 28 cm

g

gy^ h. 2. Se aplica el teorema del seno para averiguar los ángulos ^ 37,08 cm ⇒ 22 cm = _________ ______ sen ^ g

cm . sen 85° ⇒ ^ _____________ ≅ 22 g ≅ 40° 2’ 34,07 cm

^ 37,08 cm 28 cm = _________ ______ ⇒ sen h

cm . sen 85° ⇒ h ≅ 54° 52’ _____________ ≅ 28 34,07 cm

sen ^ g sen ^ h

sen 85° sen 85°

22 cm

h

^

Para verificar los los resultados obtenidos, se puede utilizar la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo.

206

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Para poder averiguar los ángulos interiores de un triángulo obtusángulo, ¿qué datos se deben conocer? b. Si se conocen los ángulos interiores de un triángulo obtusángulo, ¿se pueden averiguar sus lados?

a. Los tres lados. b. No, porque el triángulo no es único.

58

ACTIVIDADES Resolución de triángulos oblicuángulos

35. Calculen la longitud de las diagonales del paralelogramo. ___

___

mp = 19,78 cm; nq = 11,35 cm n

p

35° m

8 cm

14 cm

q

36. Calculen la longitud de los lados iguales del trapecio isósceles, de la base menor y la amplitud del p^ s q.

p^ sq = 39° 49’ 17” q

___

__

1 5 5 c m m

qr = 7,04 cm

65° 16 cm

p

__

pq = rs = 10,60 cm;

r

s

37. Calculen las medidas de x e e y . x = 6 cm __ 10 .  3

cm 120°

30° __ 6 .  3 cm

y = 7,86 cm

y x

38. Calculen los ángulos interiores del romboide, sabiendo que el perímetro mide 22 cm. Luego, calculen la medida de los lados desconocidos. ^ b=^ d = 106° 36’ 6” d

a

9 cm

^ c = 50° 25’ 3” c

^ a = 96° 22’ 46” __

__

bc = cd = 7 cm

4 cm b

207

58


39. Resuelvan. Laura y Pablo fueron a conocer el obelisco. Laura se paró a la derecha y observa el extremo superior con un ángulo de elevación desde el piso de 55°. Pablo lo observa desde la izquierda con un ángulo de elevación desde el piso de 65°. La distancia entre Laura y Pablo es de 20,8 metros. a. ¿Cuál es la altura del obelisco? La altura del obelisco es de 17,82 m.

b. ¿A qué distancia del obelisco se encuentra Pablo? ¿Y Laura? Pablo se encuentra a 8,32 m del obelisco y Laura a 12,48 m.

40. Lean atentamente y respondan. a. Santiago está construyendo una casita de juegos para sus hijos. Para hacer el techo, corta una madera de 2,50 m de largo en tres partes y forma un triángulo. Uno de los lados mide 0,70 m y el otro, 1,20 m. ¿Cuál es la medida de los ángulos del triángulo? Los ángulos miden 134° 37’ 6’’; 20° 50’ 56’’ y 24° 31’ 58’’.

b. Para colgar unos adornos, Julieta quiere colocar tres clavos en una pared como lo indica la figura. ¿Cuál es la medida del ^c ? b 6 cm a

10 cm 15 cm

c

^ c = 15° 33’ 49”

41. Respondan. El campanario de la plaza tiene dos niveles desde los que se puede tener la vista panorámica. Desde el primer nivel, se observa el pie del tobogán con un ángulo de depresión de 20° y desde el segundo nivel, con un ángulo de depresión de 35°. La distancia que hay entre el pie del tobogán y el primer nivel es de 26,90 m. a. ¿Cuál es la distancia entre los dos niveles? La distancia entre los dos niveles es de 8,5 m.

b. ¿A qué distancia del pie del campanario se encuentra el tobogán? La distancia entre el campanario y el tobogán es de 25,28 m.

208

58


42. Calculen la altura de la pared sabiendo que el hombre mide 1,70 m y está ubicado a 6 m de la pared. La altura de la pared es de 7,70 m.

pared

65° 70°

43. Resuelvan. a. Catalina observa la terraza de su edificio con un ángulo de elevación desde el piso de 55°. Si luego de recorrer una distancia de 19,45 m, acercándose al edificio, la observa con un ángulo de elevación desde el piso de 75°, ¿cuál es la distancia que hay desde los pies de Catalina a la terraza de su edificio? La distancia entre los pies de Catalina y la terraza del edificio es de 46,58 m.

b. Desde un globo aerostático que se encuentra a 6 km de altura se observan dos puestos de peajes cuyos ángulos de depresión son de 50° y 20°, respectivamente. ¿A qué distancia se encuentran entre sí los puestos de peajes? Se encuentran a 11,45 km.

44. Calculen el perímetro del triángulo inscripto en el hexágono regular cuyo lado mide 5 cm. El perímetro mide 25,98 cm.

mente ACTIVA n

Calculen la medida de los ángulos del triángulo mnt.

4 cm

^ ^ = 67° 57’ 5” n = 76° 50’ 53”; ^t = 35° 12’ 2”; m t m

9 cm

5 cm

209

INTEGRACIÓN 45. Resuelvan. a. Construyan tres triángulos rectángulos como el que se muestra a continuación, de modo α mida 20°, 40° y 60° en cada caso. que ^

α

b. Midan en cada triángulo la longitud de los lados y completen la tabla. ^ α

α sen ^

α cos ^

α tg ^

20° 40° 60°

0,34202

0,93969

0,36397

0,64278

0,76604

0,83910

0,86603

0,5

1,73205

Expliquen las respuestas. a. sen 35° = 0° 34’ 25” F b. cos 76° = 0,24192 V α = 0,5 ⇒ ^ α = 30° V c. sen ^ α = 58 ⇒ ^ α = 1° 36’ 1” F d. tg ^

23° 5 cm c c

b.

d. a 35°

16 cm

8 cm


d

a

b. g α

β

f

x

15 cm 10 cm

h

5,5 cm α


210

^ β

β sen ^

β cos ^

β tg ^

85°

0,99619

0,08716

11,43001

68° 19’ 25”

0,92929

0,36936

2,51591

14° 43’4”

0,25406

0,96719

0,26268

55°

0,81915

0,57358

1,422815

71° 35’ 25”

0,94882

0,31581

3,00441

a. cos 30° . cos 45° – tg 45° . sen 60° . cos 30° =

48. Calculen el valor de ^α y ^β en cada caso. a.

α = 0,36397 j. cotg ^ α = 0,97927 k. cotg ^ α = 3,73205 l. cotg ^ α = 1,78830 m. sec ^ ^ n. sec α = 9,56678 α = 1,90755 ñ. sec ^ α = 2,55930 o. cosec ^ α = 1,14335 p. cosec ^ α = 1,67459 q. cosec ^

las funciones trigonométricas de los ángulos particulares.

28°

c

50. Calculen el valor de ^α usando la calculadora.

52. Resuelvan teniendo en cuenta los valores de

c

b

b


51. Completen la tabla.

dos usando las razones trigonométricas. a b a a. c.

b

j. cotg 46° = k. cotg 82° 27’ = l. cotg 63° 45” = m. sec 23° = n. sec 45° 30’ = ñ. sec 78° 15” = o. cosec 72° = p. cosec 29° 36’ = q. cosec 16° 3” =


47. Calculen la longitud de los lados desconoci-

46°

a. sen 46° = b. sen 103° 25’ = c. sen 37° 17’ 35” = d. cos 73° = e. cos 58° 10’ = f. cos 29° 45’ 21” = g. tg 68° = h. tg 75° 23’ = i. tg 46° 40’ 15” = α=1 a. sen ^ α=0 b. sen ^ α = 0,82904 c. sen ^ α=1 d. cos ^ ^ e. cos α = 0,29237 α = 0,29237 f. cos ^ ^ g. tg α = 0 α = 2,14451 h. tg ^ α = 0,70235 i. tg ^

46. Escriban V (Verdadero) o F (Falso).

6,5 cm

49. Calculen usando la calculadora.

z

7,5 cm β

y

60° + cos 30° ________________ b. sen cos 30° + tg 60° = cos 0° . cos 30° + sen 90° . sen 60° = c. _______________________________ tg 30°

d. sen 30° . tg 60° – tg 45° . (sen 60° . cos 60°) –1 = 2 45° . cos2 45° + 5 . sen2 60° – 3 . sen 0° = e. sen __

6 – _3_ b. _2_ c. 3 d. – _5_ .  __ ___ a.  4 4 3 6 3 e. 4

capítulo

8

CONTENIDOS

54*55*56*57*58 53. Resuelvan.

56. Teniendo en cuenta la figura, calculen los

Encuentren el ángulo de inclinación de una recta que pasa por los puntos (–2;–3) y (3;4).

lados y los ángulos que faltan. a

^ α = 54° 27’ 44”

α

54. Calculen los lados y ángulos que faltan. a.

c.

__

b

b

__

__

2 .  3 cm

6 .  2 cm __

a 3 .  3 cm

b. a

β

c

a

c

18 cm

d. 35° 7,5 cm

b

b 58°

c

a

8 cm

c

^

γ

b

c

= 34cm; β__= 75° 30’; ^γ = 56° 25’ a. ac ___ ab = 10 cm;__bc = 7 cm; ^ a = 56° 25’ b. ___ __ c. ab = 9 cm; bc__= 11,4 cm; ac = 15 cm __ d. ac = 25 cm; bc__= 14 cm; ^γ = 62° 35’ __ ac = 15,5__cm; bc__= 18,5 __ cm; ^ a = 77° 30’ e. ___ ^ f. ab = 5 .  2 cm; bc = 9 .  2 cm; β = 110° Solución a cargo del alumno.

57. abcd es un trapecio rectángulo. Calculen. b 6,5 cm


c

70°

55. Resuelvan. a. Calculen el área de un triángulo__equilátero sabiendo que cada lado mide 6 .  2 . __ b. La base de un rectángulo mide 3 .  5 cm y el área es de 30 cm 2. Calculen el ángulo que forma la diagonal con la base. c. Uno de__los catetos de un triángulo rectángulo mide  3 cm__ y la razón entre este y el otro cateto es 2 .  3 – 3. Calculen la medida del otro cateto y los ángulos del triángulo. d. En un rectángulo, la base duplica a la altura y la diagonal mide 15 cm. Calculen el valor del ángulo que forma la diagonal con la base. e. Marcelo remonta un barrilete con un hilo de 12 m de longitud y al atarlo al piso queda a 8 metros de altura. ¿Qué ángulo forma el hilo con el suelo? f. Micaela está a la derecha del pie de una montaña de 3 000 m de altura y observa la cima bajo un ángulo de elevación de 50° desde el suelo. Javier está a la izquierda del pie de la montaña bajo un ángulo de elevación de 60° también desde el suelo. ¿A qué distancia se encuentra Micaela de Javier? __ __

a. 18 .  3 b. 33° 41’ 25” c. (2 +  3 ) cm. Los ángulos miden 65° 6’ 14” y 24° 53’ 46” d. 26° 33’ 54” e. 41° 48’ 37” f. Se encuentra a 4 249,35 km.

a

d

a. La medida de la diagonal. b. El perímetro del trapecio. c. El área del trapecio. d. La medida de los ángulos

14,4 cm 33,54 cm 49,27 cm2

interiores.

90°, 90°, 35° 1’ 1’’ y 144° 58’ 59’’

58. Resuelvan. a. Camila está parada a una cierta distancia del mástil de la bandera del colegio y observa el extremo del mismo con un ángulo de elevación de 75°. La altura del mástil es de 15 m. Si se aleja el doble de distancia, ¿con qué ángulo de elevación lo observa? b. Un velero sale del punto a recorriendo 150 km en dirección NE 55° 20’ y llega al punto b. Al regresar toma dirección SO 30° hasta llegar al punto c . Calculen la distancia de a hasta c . c. Julieta quiere colocar tres clavos en una pared para colgar unos adornos como lo indica la figura. ¿Cuál es la medida del ángulo c ? 1,5 m

a 0,6 m

c 1m

b

a. El ángulo es de 61° 48’ 48” c = 15° 33’ 49” b. 75,25 km. c. ^

211

capítulo

8

AUTOEVALUACIÓN Marquen las opciones correctas ___ __ __ 59. Sabiendo que ab // gc // fd, ¿cuál es el valor de x ? a _1_ x cm

2

b

g

x – cm

c f

a. 0,97 cm

5x – 3 cm

b. 14,5 cm

d

4,5 cm

X c. 3,5 cm


5,8 cm e

__

___

___

60. Teniendo en cuenta los segmentos ab = 5 cm; bc = 6 cm y ad = 3 cm, ¿cuál es el valor del segmento cuarto proporcional? a. 2,5 cm

b. 10 cm

X c. 3,6 cm

d. Ninguna de las anteriores. __

61. Se sabe que los abe y bcd son semejantes. ¿Cuál es la longitud del lado ae? 6 cm

b

c

10 cm

4 cm d

a

X a. 15 cm

c. 2,4 cm

b. 6, cm


e

62. ¿Cuál es el resultado del siguiente cálculo? 3 4 . sen 60° . tg 30° + _______________ cos 30° . sen 45° = __ __ a. _73_ .  6 b. 2 + 6 .  2

__

X c. 2 + 2 .  6


63. ¿Cuánto mide cada una de las diagonales del siguiente trapecio isósceles? b

6 cm c

a. 11,489 cm

120° a

__ 4 .  3

b. 16,613 cm cm

X c. 12,165 cm


d

64. Sobre la terraza de un edificio se colocó un tanque de agua. Gastón está situado a 40 m del edificio y observa la base del tanque con un ángulo de elevación de 46° desde el piso, y el techo del mismo con un ángulo de elevación de 50°. ¿Cuál es la altura del tanque? a. 7,9 m El tanque mide 6,25 m.

212

b. 49,11 m

c. 63,34 m

X d. Ninguna de las anteriores.

Combinatoria y probabilidad Contenidos 59. Combinatoria.

9

60. Binomio de Newton.

Triángulo de Pascal. 61. Probabilidad. 62. Probabilidad condicional.

En 1654, un personaje irrumpió en la casa del matemático francés Blas Pascal con un problema: ¿cómo deben repartirse las apuestas de un juego que se interrumpe por algún motivo? Se trataba de Antoine Gombaud, caballero de Méré, conocido en el ambiente parisino por su afición al juego. La pregunta era bien concreta: dos jugadores juegan partidas consecutivas en las que tienen iguales chances de ganar; el ganador final del juego es el primero en ganar cuatro partidas. Si el juego se interrumpe cuando van 2 a 1, ¿cómo se reparte el premio? Pascal discutió el problema en una serie de cartas con otro gran matemático llamado Pierre de Fermat; cada cual por su lado, mediante desarrollos bastante extensos, llegó a la misma solución. El caballero no quedó satisfecho con la respuesta y escribió un artículo sobre la “inutilidad de todas las ciencias”; sin embargo, eso no impidió que la anécdota se convirtiera, según los historiadores, en el origen de una importante disciplina: la teoría de probabilidades.

1. Lean atentamente y respondan. a. ¿Por qué se habrá enojado Gombaud al recibir la respuesta? b. Si tienen $80 de apuestas para repartirse, ¿cuánto le darían a cada uno? a. Respuesta abierta. Por ejemplo, se puede pensar que él era uno de los jugadores involucrados y, por lo tanto, le afectaba la respuesta. b. Las respuestas pueden ser variadas y más de una será válida según el criterio utilizado.Detallando los diferentes resultados posibles, si se continuara el juego, se ve que las apuestas deben repartirse en proporciones 11 a 5, es decir: 55 para el que va ganando y 25 para el otro.

o l u t í p a c

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Combinatoria ¿Para qué sirve? PÁGINA 14

INFOACTIVA

Una permutación sin repetición es cada una de las formas posibles de ordenar n elementos distintos. Pn = n!

¿De cuántas maneras se pueden ordenar 6 libros en un estante? P6 = 6! = 720 → Se pueden ordenar de 720 maneras distintas. Cantidad de veces que se repite cada elemento

Permutación con elementos repetidos:

n! P αn ,β,δ, ... γ = __________ α! β! δ! ... γ !

¿Cuántos números distintos de 6 cifras se pueden formar con las cifras 2, 2, 4, 5, 5, 5? 2,3 6! = 3! 4 . 5 . 6 = 60 → Se pueden formar 60 números distintos. _________ P 6 = _____ 2! . 3! 2 . 3!

Variaciones Variaciones sin repetición de elementos son las distintas formas que existen para agrupar m elementos distintos en grupos distintos de n elementos. m! V mn = _______ (m – n)! Los grupos son distintos cuando tienen los mismos elementos, pero en distinto orden o por lo menos un elemento distinto. Por lo tanto, en la variación importa el orden que tengan los elementos en el grupo.

¿Cuántos números distintos de 3 cifras distintas se pueden formar con los números 3, 4, 5, 6 y 7? 5 5! = __ 5! = 5 . 4 . 3 . 2! = 60 → Se pueden formar 60 números distintos. ________ V 3 = _______ 2! (5 – 3)! 2! Variaciones con elementos repetidos: V’ mn = m n ¿Cuántos números distintos de 3 cifras se pueden formar con los números 1, 2, 3, 5 y 7? 5 V’ 3 = 53 = 125 → Se pueden formar 125 números distintos.

Combinaciones Combinaciones sin repetición son las distintas formas que existen para agrupar m elementos diferentes en grupos distintos de n elementos, de manera tal que los grupos difieran en por lo menos un elemento. m! _________ C mn = ( m n ) = n! (m – n)!

De un grupo de 9 personas, ¿cuántos equipos distintos de básquet se pueden armar? 9 9! = 5! 6 . 7. 8 . 9 = 126 → Se pueden armar 126 equipos distintos de básquet. ___________ C 5 = ( 95 ) = ____ 5! 4! 5! 4 . 3 . 2 Combinaciones con repetición: C’ mn = ( m + nn – 1 )

Al arrojar tres dados simultáneamente, ¿cuántos son los resultados posibles? 6 6 . 7. 8 = 56 → Existen 56 posibles resultados. 8! = 5! ________ C’ 3 = ( 6 + 33 + 1 ) = ( 83 ) = ____ 3! 5! 2 . 3 . 5!

Propiedades de los números combinatorios n n n  ( ) = 1  ( ) = n  ( n ) = 1 1 0 214



( nk ) = ( n n– k )



( k n– 1 ) + ( nk ) = ( n k+ 1 )

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿En qué se diferencian una V mn y una C mn ? b. ¿Existenm C 63 posibles para formar números de tres cifras distintas con el número 123 456?

a. En una V n importa el orden que tiene cada grupo, mientras que en una combinación, no. b. No, son V 63.

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ACTIVIDADES Combinatoria

1. Calculen operando con factoriales. a. 4! 3! = 144

8! = c. __ 5!

b. 7 . 6! = 5 040

104! 10 712 d. ____ 102! =

2. Hallen el valor de x . 5! 121! 10! _____ a. x + ______ 3! 120! = 7! 3!

336

9! 1! . _____ b. _______ 0! 4! 5! x = 10! 3! 2!

x = –2 300

x = 2 400

3. Simplifiquen a la mínima expresión. 5! n! = 20n a. _______________ (n – 1)! . (7 – 4)!

b.

(2 + n)! . _____ 5! 8! . _____ 1 _______ (160n + 320) . n! 7! 3! n + 1 =

4. Lean atentamente y resuelvan utilizando permutaciones. a. ¿De cuántas formas distintas pueden quedar clasificados 11 equipos de una liga de fútbol? 11! = 39 916 800

b. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse 6 personas en una hilera? ¿Y en una mesa circular? 6! = 720 formas en una hilera y en una mesa circular (6 – 1)! = 5! = 120 formas en una mesa circular. (En un círculo no hay primer elemento).

c. ¿Cuántos números de 4 cifras distintas pueden formarse con los dígitos 2, 4, 5 y 6? 4! = 24 números. 

¿Cuántos de ellos son impares? ¿Y menores que 5 000? 3! = 9 números. 2 . 3! = 2 . 6 = 12 números.

d. ¿Cuántos anagramas pueden formarse con la palabras VOSOTROS? ¿Y con la palabra GEOMETRIA? 3 360 anagramas y con la palabra GEOMETRÍA, 181 440 anagramas.

e. ¿Cuántos números pueden formarse permutando las cifras de los siguientes números?  2 214 445  992 011 420 números

150 números, tener en cuenta que el cero a la izquierda carece de validez.

215

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5. Resuelvan utilizando variaciones. a. Con las letras del nombre LUCAS, ¿cuántos anagramas se pueden formar tomándolas de a 3? 60 anagramas.

b. En una carrera con 14 participantes, ¿de cuántas maneras se pueden distribuir los tres primeros puestos? De 2 184 maneras distintas.

c. ¿Cuántos números de 4 cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7? 840 números distintos.

6. Calculen el valor de n. a. V n2 = 5n n=6

b. V n2 = 2 n=2

7. Resuelvan los siguientes problemas. a. Se van a sortear 3 premios de $10 000, $5 000 y $2 500 entre 20 personas de una empresa, mediante un sorteo con bolillas numeradas del 1 al 20. El primer premio será para la primera extracción y así sucesivamente.  Si las bolillas que van saliendo no se devuelven al bolillero, ¿cuántas distribuciones de premios distintas son posibles? 6 840 

¿Y si se devuelven al bolillero? 203 = 8 000

b. En un certamen de belleza se presentan 17 mujeres adolescentes. Si se van a otorgar distinciones a la reina, a la primera princesa, a la segunda princesa y a la reina de la simpatía, ¿de cuántas maneras pueden distribuirse las premiadas? V 174 = 57 120 maneras.

8. Lean atentamente y respondan. a. ¿Cuántos números de tres cifras distintas pueden formarse con los números 1, 2, 4, 7, 8 y 9? 120 números.

b. Con los números impares del 1 al 9, ¿cuántos múltiplos de 5 de 4 cifras distintas se pueden formar? 120

c. ¿Cuántos anagramas de 6 letras se pueden formar con las letras de la palabra MURCIELAGO? V 106 = 151 200

d. Con los números 7, 5, 3, 2 y 1, ¿cuántos números de cifras distintas menores que 8 000 se pueden formar? 205 números. 216

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9. Resuelvan estos problemas con combinaciones. a. Quieren pintar 9 bancos de una plaza, 4 de verde y 5 de marrón. ¿De cuántas formas se puede combinar esta tarea?

( 94 ) = 126. El orden no importa, basta elegir 4 bancos para pintarlos de verde y el resto de marrón. b. Se han seleccionado 14 ciclistas para elegir entre ellos a los 8 integrantes del equipo nacional que participará en el campeonato mundial. ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse?

( 148 ) = 3 003 c. Un hospital cuenta con 21 cirujanos con los cuales se deben formar ternas para que en cada guardia haya 3 médicos. ¿Cuántas ternas se podrán formar?

( 213 ) = 1 330 d. ¿De cuántas maneras se pueden repartir 8 regalos distintos entre Jimena, Pablo y Fernando, de modo que a Jimena le correspondan 3, a Pablo 3 y a Fernando 2?

( 83 ) ( 53 ) ( 22 ) = 560 e. Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen. ¿De cuántas maneras puede elegirlas? ¿Y si las 4 primeras son obligatorias?  ( 10 7 ) = 120

 ( 63 ) = 20

10. Calculen. 12 a. C 125 = ( 5 ) = 792

8 c. C 83 . P3 = ( 3 ) . 3! = 336

5

9 6 b. C + C = ( 4 ) + ( 2 ) = 141 9 4

6 2

d.

C2 ___ V

7 5

1 ____

= 252

11. Marquen las opciones correctas. a. ¿Cuál es la solución de la ecuación 2 + V x 2 = 8? x=2

X x=3

11 12 b. ¿Cuál es la solución de la ecuación ( 11 3 ) + ( x ) = ( 3 )? X x=2 x=3

Ninguna de las opciones anteriores.


c. ¿Cuántos números distintos se pueden formar con los dígitos 5, 2, 2, 4, 8, 5 y 1? 5 040 números

X 1 260 números


mente ACTIVA Hay que colocar 7 caballos y 7 vacas en 14 corrales, de forma que los caballos ocupen los corrales impares. ¿De cuántas formas se puede hacer? Para situar a los caballos tenemos 7! opciones y otras 7! para las vacas, por lo tanto 7! 7! = 25 401 600 217

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Binomio de Newton. Triángulo de Pascal INFOACTIVA El binomio de Newton es una fórmula que se utiliza para obtener el desarrollo de un binomio elevado a un exponente natural cualquiera. (a + b)n, n ∈ Las expresiones a y b pueden ser números, letras o expresiones algebraicas. Si a = 3x y b = 4, el binomio queda expresado como (3x + 4) n. Si se desarrollan algunas potencias de a + b, se obtiene lo siguiente. 

(a + b)0 = 1



(a + b)1 = 1a + 1b



(a + b)2 = (a + b) . (a + b) = 1a2 + 2ab + 1b2



(a + b)3 = (a + b)2 . (a + b) = 1a3 + 3a2 b + 3ab2 + 1b3



(a + b)4 = (a + b)3 . (a + b) = 1a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + 1b4

Coeficientes de los polinomios resultantes 1 1 1 1 1

1 2

3 4

1 3

6

1 4

1

Triángulo de Pascal

Si a = 2x y b = 5, el desarrollo de (a + b) es: (2x + 5)4 = (2x)4 + 4(2x)3 5 + 6(2x)2 52 + 4(2x) 53 + 54 = 16x4 + 160x3 + 600x2 + 1 000x + 625 4

Para hallar (a + b) 5 a partir de la secuencia del triángulo de Pascal, se debe tener en cuenta que:  la siguiente fila del triángulo es 1, 5, 10, 10, 5, 1;  los factores siguen la siguiente secuencia a 5b0 a 4b1 a 3b2 a 2b3 a 1b4 a 0b5. Es decir que (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b 5 Se llama fórmula de Newton al desarrollo de un binomio cuyo exponente es un número natural cualquiera, teniendo en cuenta lo visto anteriormente y la noción de número combinatorio. (a + b)n = ( n0 ) an + ( n1 ) an–1 b + ( n2 ) an–2 b2 + … + ( n n– 2 ) a2 bn–2 + ( n n– 1 ) abn–1 + ( nn ) bn En la fórmula anterior, el número de abajo del número combinatorio de cada término y el número al que está elevado b, es una unidad inferior a la posición que ocupa ese término.

Dado el binomio (a + b)24, ¿cuál es el término que ocupa la posición 17 en el desarrollo? 8 16 Se plantea la expresión ( 24 16 ) a b El término que ocupa el lugar k (T ) del desarrollo de (a + b) n puede obtenerse mediante la fórmula k Tk = ( k n– 1 ) an–(k–1) bk–1 218

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. 6a4 . b2 ¿es un término del desarrollo del binomio (a + b) 6? 2 9? b. 84 x6 ¿es el sexto término del binomio (–1 + x )

2 3 a. No, ( 62 ) a6 – 2 . b2 = 15a4 . b2. b. No, 84 x6 no es el 6.° término; ocupa el 4.° lugar, pues se calcula ( 4 9– 1 ) . (–1)6 . ( x )

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ACTIVIDADES Binomio de Newton. Triángulo de Pascal

12. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas. b. ( 00 ) = 0 F

a. ( n0 ) = 1 V

c. ( nn ) = 0 F

d. ( n2 ) = ( n n– 2 ) V

13. Desarrollen mediante el binomio de Newton. a. (x + 3)4 =

c. (x + 2y)5 =

x4 + 12 x3 + 54 x2 + 108x + 81

x5 + 10 x4 . y + 40 x3 . y2 + 80xy4 + 32y5

b. (x – 2)5 =

d. (x2 – 0,5)6 =

15 x8 – _5_ x6 + ___ 15 x4 – ___ 3 2 ___ 1 x12 – 3 x10 + ___ 2 4 16 16 x + 64

x5 – 10 x4 + 40 x3 – 80 x2 + 8x – 32

14. Calculen. a. El noveno término de (v2 – w)13. 1 287 v10 w8 2 9. b. El término de grado 6 en y del desarrollo del binomio (2 + y )

5 376 y6

15. Marquen las opciones correctas. a. ¿Cuál es el sexto término del binomio ( x3 – 2)10? X –8 064 x15

30 240 x15


4 6? b. ¿Cuál es el término de orden 4 en z del desarrollo del binomio (3 + z )

X 1 458 z4

–1 458 z4


16. Desarrollen utilizando el triángulo de Tartaglia. a. (a + b)5 =

a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b 5

3 5 = x10 – 15 x8 y3 + 90 x6 y6 – 270 x4 y9 + 405 x2 y12 – 243y15 b. ( x2 – 3y )

17. Resuelvan. a. Escriban la décima fila del triángulo de Tartaglia e indiquen a qué potencia del desarrollo del binomio corresponde. 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1 y corresponde a la novena potencia del desarrollo del binomio de Newton.

b. Desarrollen (a – 1)9. a9 – 9a8 + 36a7 – 84a6 + 126a5 – 126a4 + 84a3 – 36a2 + 9a – 1 219

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Probabilidad ¿Para qué sirve? PÁGINA 15

INFOACTIVA

Un experimento o suceso S es aleatorio cuando es producto del azar, por ejemplo, arrojar un dado, sacar una carta de un mazo o una bolilla de un bolillero, etc. El espacio muestral E es el conjunto de todos los resultados posibles de un suceso aleatorio; por ejemplo, al arrojar un dado, el espacio muestral es: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. de casos favorables = ___ #S ∧ 0 ≤ P(S) ≤ 1. _________________________ La probabilidad de que un suceso ocurra es P(S) = Número #E Número total de casos

En una bolsa hay 10 fichas iguales con los siguientes colores: 1 verde, 3 azules, 4 blancas y 2 rojas. La probabilidad de sacar una ficha de un color determinado es: 1 3 4 2  P(verde) = ___;  P(azul) = ___;  P(blanco) = ___;  P(rojo) = __. 10 10 10 5 Se consideran ahora dos sucesos A y B en un espacio muestral E.

En una bolsa hay 10 bolillas iguales numeradas del 1 al 10. → E = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10} ∧ #E=10 Suceso A: sacar una bolilla con un número par. → A = {2; 4; 6; 8; 10} ∧ #A = 5 Suceso B: sacar una bolilla con un número mayor que 6. → B = {7; 8; 9; 10} ∧ #B = 4 ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolilla par y mayor que 6?

#(A ∩ B)

2 ___

P(A y B) = 10

#E

¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolilla par o mayor que 6?

#(A ∪ B)

7 P(A o B) = ___ 10

#E

La probabilidad de que A y B ocurran se llama probabilidad compuesta : P(A y B) = La probabilidad de que A o B ocurra se llama probabilidad total: P(A o B) =

∩ B) #(A ________ #E

#(A ∪ B) ________ #E

En algunos casos, los sucesos sobre un mismo espacio muestral pueden relacionarse entre sí. En una bolsa hay 3 bolillas negras y 3 blancas. En una primera extracción: P(negra) = _36_ = _12_ ∧ P(blanca) = _36_ = _12_, es igualmente probable sacar una bolilla blanca o negra. Si se saca una bolilla y no se reintegra a la bolsa, la probabilidad de sacar blanca o negra en la segunda extracción cambia, ya que cambian #N o #B y #E = 5. Se dice entonces que los sucesos son dependientes. Si se saca una bolilla y se reintegra a la bolsa, la probabilidad de sacar blanca o negra en la segunda extracción es igual que en la primera. Se dice entonces que los sucesos son independientes. 220

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. La probabilidad de sacar un cartón par o un cartón múltiplo de 3 ¿es la suma de las probabilidades? b. En el experimento “tirar dos dados y obtener un 6 en cada tiro”, ¿los sucesos son dependientes o independientes? a. No. b. Son independientes.

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ACTIVIDADES Probabilidad

18. Respondan. Si se arroja un dado equilibrado, ¿cuál es la probabilidad de... a. ... obtener un 3? d. ... obtener un número impar? _1_

_1_

2

6

b. ... de obtener un número mayor que 3? _1_ 2

e. ... obtener un número primo? _1_

2

c. ... de no obtener un 4? _5_

f. ... de obtener un número mayor que 6? 0

6

19. Resuelvan. En un cajón de la cocina hay 12 tenedores, 12 cuchillos, 12 cucharas, 12 cucharitas de té y 6 de café. Se extrae un cubierto al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea... a. ... cucharita de té o café? c. ... sea tenedor o cuchillo? _4_

_1_

3

9

b. ... tenedor y cuchara? 0

d. ... sea cuchara, cuchillo o cucharita de café? _5_

9

20. Respondan. Se arroja un dado equilibrado y se observa el número que sale en la cara superior. El suceso A es obtener un número menor o igual que 5 y el suceso B es obtener un número menor o igual que 3. ¿Cuál es la probabilidad de que suceda A o B? ¿Y de que suceda A y B? P(A) = _56_ P(B) = _21_

21. Piensen y resuelvan. Una caja contiene 20 bolitas amarillas y 8 rojas; se extraen 2 bolitas al azar. a. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean amarillas? 20

C2 ___

95 = ____ 189 C 28 2

b. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas? ¿Y de distinto color? 8

C2 ___ C 28 2

20

8

C 1 C 1 ____ 14 ; ______ = ____ = 80 28 189

C2

189

221

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Probabilidad condicional INFOACTIVA Un suceso A está condicionado a otro B cuando la probabilidad de que suceda A se ve modificada a raíz del suceso B. La probabilidad de que ocurra el suceso A, si se sabe que ha ocurrido el suceso B, se denomina probabilidad condicionada.

P(A|B) = _________ P(B) P(A ∩ B)

En una ciudad, el 40% de la población tiene pelo castaño, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene pelo y ojos castaños. Pelo Ojos

Castaños No castaños Total

Castaño 15% 25% 40%

No castaño 10% 50% 60%

Total

25% 75% 100%

Si al escoger una persona al azar, se sabe que tiene pelo castaño, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños? 

P(A ∩ B)

P(A|B) = ________ P(B) A = {ojos castaños} → P(A) = 0,25

B = {pelo castaño} → P(B) = 0,40

A ∩ B = {pelo castaño y ojos castaños} = 0,15 P(ojos castaños ∩ pelo castaño)

0,15 P(ojos castaños|pelo castaño) = ___________________________ = _____ 0,40 = 0,375 P(pelo castaño)

Si al escoger una persona al azar, se sabe que tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga pelo castaño? 

P(A ∩ B)

P(A|B) = ________ P(B) A = {pelo no castaño} → P(A) = 0,60

B = {ojos castaños} → P(B) = 0,25

A ∩ B = {pelo no castaño y ojos castaños} = 0,10 P(pelo no castaño|ojos castaños) =

222

P(pelo no castaño ∩ ojos castaños) _____ 0,10 _____________________________ = = 0,40 0,25 P(ojos castaños)

Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. La probabilidad de arrojar un dado y obtener el número 4 sabiendo que salió par ¿es condicional? b. De un total de 24 exámenes, se sabe que las tres cuartas partes son de mujeres y que la mitad de ellas aprobaron. ¿Se puede averiguar la cantidad de hombres que desaprobaron?

a. Sí b. No, pues no se brinda información que permita averiguarlo.

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ACTIVIDADES Probabilidad condicional

22. Completen la tabla y respondan. Una cadena de comida rápida le encargó a una consultora una encuesta para saber si a los habitantes mayores de 18 años de una determinada ciudad les gustaría que se abriera un local allí. En total se encuestó a 300 personas. La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos en porcentajes.

18 a 30 años

31 a 43 años

44 o más

Total

23%

24%

5%

52%

6%

20%

17%

43%

3%

2%

0%

5%

32%

46%

22%

100%

Sí No No sabe/No contesta Total

a. Se elige al azar una persona que dijo que sí; ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor de 44 años? 5 ___ 52

b. Si se escoge una persona al azar que tiene entre 18 y 30 años, ¿cuál es la probabilidad de que no quiera que se abra el restaurante? 3 ___ 16

c. Si se escoge al azar una persona que no contestó a la encuesta, ¿cuál es la probabilidad de que tenga entre 31 y 43 años? _2_

5

23. Completen la tabla y resuelvan. Una agencia de venta de motocicletas realizó un estudio sobre accidentes de tránsito en los que se vieron involucradas las marcas A, B y C de motos. Durante un año, recabó la siguiente información sobre una base de 100 000 motos, en una determinada región del país. La tabla muestra la cantidad y tipos de accidentes por marca.

Marca A

Marca B

Marca C

Total

Accidente grave (ag)

650

200

150

1 000

Accidente no grave (ang) Total

49 350

19 800

99 000

50 000

20 000

29 850 30 000

100 000

a. Calculen P(ag), P(ag|A), P(ag|B) y P(ag|C). ¿Cuál de las tres marcas resulta más segura? P(ag) = 0,01, P(ag|A) = 0,013, P(ag|B) = 0,01 y P (ag|C) = 0,005. La más segura es la marca C.

b. Si se elige una moto que no tuvo accidentes graves, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la marca C? P(ang|C) = 0,30 223

INTEGRACIÓN 24. Simplifiquen a la mínima expresión y calculen el valor de A cuando n = 3. a. A =

4! 7! (n + 3)! (n + 2!) n! ______________________

. (n + 2!) 3n 45 __________ ___ n+4 yA= 7

8! (n – 1)! (n + 4)! 4! _______ 12 b. A = Pn – 1 ( n2 ) __ Pn (n – 2) y A = 12

25. Resuelvan los siguientes problemas. a. Un cantante debe realizar una gira por 8 países americanos para dar un recital. ¿De cuántas formas distintas puede organizar su recorrido sin repetir países? 40 320 b. En un club social deben elegirse 5 vocales de entre un grupo de 11 personas. ¿De cuántas formas distintas pueden ser elegidas? 462 c. Dados 14 puntos del plano, ¿cuántos segmentos pueden formarse? 91 d. Para jugar un partido de fútbol cinco, 10 amigos se tienen que dividir en dos grupos de 5 integrantes. ¿De cuántas formas distintas pueden hacerlo? ¿En cuántas de ellas, Pablo y Lucas formarán parte del mismo equipo? 126; 56 e. Dados 12 puntos de una circunferencia, ¿cuántos triángulos con vértices en esos puntos se pueden construir? 220 f. Con los dígitos 1, 2, 3, 5 y 6, ¿cuántos números de 5 cifras distintas pueden formarse tales que sean múltiplos de 5? ¿Y que comiencen 24; 6 con 35? g. Si de un mazo de 40 naipes se extraen simultáneamente 6, ¿cuántas extracciones distintas se pueden hacer? 3 838 380 h. ¿Cuántos anagramas de 9 letras se pueden formar con las letras de la palabra MANANTIAL? 30 240

26. Calculen el valor de la incógnita aplicando las definiciones de factorial, permutación, variación y combinación. 5 7 25! 4! a. 0! 2! x + _________ 23! 2! 300 – V 3 = C 4 8 8 3 3 _____

C V

b. ( z + P5 ) : V 62 = 5! c. y . C y5 . ( C y6 ) –1 = 6 . V y2

71 b. z = 4 584 c. No tiene solución, ya que a. x = ___ 2 y = 0 y debe ser un número natural.

224

27. Marquen las opciones correctas. a. En un baile, 8 parejas danzan formando un círculo. Si cada hombre permanece siempre a la izquierda de la misma mujer, ¿de cuántas formas distintas pueden acomodarse? 14 formas distintas. X 5 040 formas distintas.


b. Cuatro personas suben a un colectivo en el cual hay 7 asientos libres. ¿De cuántas maneras pueden ocuparlos? X 840 maneras de ocuparlos.

35 maneras de ocuparlos. Ninguna de las opciones anteriores.

c. Con los dígitos del 1 al 9, ¿cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar, si la suma de sus cifras es un número par? 260 números. X 364 números.


28. Lean atentamente y resuelvan. Un grupo de 13 alumnos de 4.° año desean tomarse una fotografía grupal, sentados en fila, como recuerdo de su paso por la escuela. Si se sabe que 7 son chicas y que no quieren aparecer ni dos chicos ni dos chicas juntos, ¿de cuántas formas distintas pueden colocarse?

Formas de colocar a las chicas: 5 040; formas de colocar a los chicos: 720; el producto es 3 628 800 colocaciones.

29. Respondan.

5 a. ¿Cuál es el desarrollo de ( _z1_ – z2 ) ? b. ¿Cuál es el desarrollo de (x + 2) 7? 2 9 ? c. ¿Cuál es el desarrollo de (2 x3 – x )

5 + 10z – 10z4 + 5z7 – z 10 1 – __ a. __ z5 z2 b. x7 + 14 x6 + 84 x5 + 280 x4 + 560 x3 + 672 x2 + 448x + 128 c. Solución a cargo del alumno.

capítulo

CONTENIDOS

59*60*61*62 34. Lean atentamente y resuelvan.

30. Respondan. a. ¿Cuál es el primer y último término del desa2 8? rrollo de (a – b ) a8; b16 b. ¿Cuál es el término de grado 17 del desarro5 5? llo de (y + y ) 10y17

Un administrador de consorcios supervisa el pago de expensas de los edificios A, B y C, que cuentan con un total de 125 pisos. En el año 2012, la relación de pisos con la contribución pagada y no pagada fue la siguiente.

31. Escriban los coeficientes de los términos del desarrollo del binomio (x + 1) 10. ¿Qué coeficiente corresponde al término de orden 4? 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1; coef. 210

32. Marquen las opciones correctas. a. ¿Cuál es el quinto término de (x – 0,5) 9 considerando las potencias decrecientes? 8 x5 ___

63 63 x5 X ___ 8


b. ¿Cuál es el término de orden 7 en el desa1 10? rrollo de x – __ 3 40 x5 ___ 9

( )

9 x5 ___ 40

X Ninguna de las opciones anteriores.

33. Resuelvan los siguientes problemas. a. Se arrojan 3 monedas equilibradas. Calculen la probabilidad de que salgan...  ... 3 caras.  ... 2 caras y una ceca.  ... al menos 2 caras. b. Un coro está formado por 6 niñas. Si para cantar se ubican en hilera, ¿cuál es la probabilidad de que estén de menor a mayor? c. Fernando tiene una caja con 16 chupetines de frutilla y 5 de ananá. Quiere extraer dos al azar para regalarle a Daniela.  ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean de frutilla?  ¿Cuál es la probabilidad de que sean de distinto sabor? 3

1 __   __ 8;  8



9

Edificio Expensas

A

B

C

Pagadas (P)

20

30

35

No pagadas

10

18

12

a. ¿Cuál es la probabilidad de que un piso elegido al azar haya pagado las expensas si es del edificio B? b. ¿Cuál es la probabilidad de que un piso elegido al azar no haya pagado las expensas si es del edificio A? ¿Y si fuese del edificio C?

12 a. 0,625; b. Si es del A, es __31 y si es del C, ___ 47 .


Se realiza una encuesta a 112 personas sobre el color de ojos, obteniendo el siguiente resultado. Hay 20 hombres con ojos azules y 30 con ojos marrones. Hay 22 mujeres con ojos azules y 40 con ojos marrones. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el encuestado sea un hombre? _3_

5

_2_

5


b. Si se elige una persona con ojos azules, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer? 22 X ___ 42

22 ___ 62


c. Si se elige un hombre, ¿cuál es la probabilidad de que tenga ojos marrones? _3_

7

X _35_


d. Si se elige una persona con ojos marrones, ¿cuál es la probabilidad de que no sea una mujer? 3 ___ 112

X _37_


4 1 1 ___ ____ __ _4_ 2 b. 6! = 720 ; c  7 ;  21

1; __

225

capítulo

9

AUTOEVALUACIÓN Marquen las opciones correctas + 23)! ________ 36. ¿Cuál es el valor de n ∈ si (n (22 + n)! – a. n = 18

37. Dada X a.

b. n = 1 10

P8 – 8 . V 4 ___________

28 z = ___ 3

P5

(n + 22)! ____________

(5 + n + 16)! = 18n? X c. Ninguna de las anteriores.

8! 5! – V 7, ¿Cuál es el valor de z ∈ ? + 3z . C 53 = ____ 4 3! 6! 3 b. z = ___ 28

c. No existe el valor de z.

38. ¿Cuántos anagramas que empiezan con T se pueden escribir con la palabra AMISTAD? a. 720 anagramas.

b. 250 anagramas.

X c. Ninguna de las anteriores. 6! = 360 anagramas. La respuesta correcta sería __ 2!

39. Un promotor de una empresa de cosmética quiere obsequiar 48 muestras de crema a 15 personas, con la condición de que todas reciban al menos 3 muestras. ¿De cuántas formas puede hacerlo? X a. 680

b. 455

c. Ninguna de las anteriores.

40. ¿Cuál es la probabilidad de que en un mazo de 48 cartas españolas al extraerse una carta salga un tres o un bastos? 4 a. ___ 48

15 X b. ___ 48


41. ¿Cuál es la probabilidad de extraer al azar una rosa o una flor blanca en un ramo donde hay 4 crisantemos amarillos y 2 blancos, 2 rosas amarillas y 2 blancas? X a. _3_ 5

b. _25_


42. En una ferretería se separaron tuercas, arandelas y tornillos en defectuosos y no defectuosos, y se confeccionó la siguiente tabla. Defectuosos No defectuosos Totales

TUERCAS 70 80 150

TORNILLOS 115 110 225

ARANDELAS 170 180 350

Totales 355 370 725

a. Si se extrae una tuerca al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa? 70 a. ____ 150

70 X b. ____ 355


b. Si se extrae un tornillo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea no defectuoso? 110 X a. ____ 225

115 b. ____ 225


c. Si se extrae un elemento defectuoso al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea una arandela? 170 X a. ____ 355

170 b. ____ 350


d. Si se extrae un elemento al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea una tuerca? 70 a. ____ 150

226

150 X b. ____ 725


CONTROL DE RESULTADOS capítulo

1

14. a. Es incorrecto. b. Es correcto. 15. 9 343 20 ____ ___ a. ___ 10 b. 3 c. 6 d. 90

1. Números reales

1.

2. 3.

Por ejemplo, fila 1: va X en Enteros; Racionales; Reales. Solución gráfica.

a. [–3;+∞ ) b. [–1;7) e. (–1,2;1,2]

4.

a. x ∈ b. x ∈ c. x ∈ x  2 = d. x ∈

c. (–∞;3) ∪ (3;+∞ ) d. (–3,5;0) f. (–∞;–2] ∪ (1;+∞ )

∧ –3  x < 2 = [–3;2) ∧ x  –5 = [–5;+∞ ) ∧ x < –3 ∨ (–∞;–3) ∪ [2;+∞ ) ∧ –2 < x  –1 = (–2;–1]

2. Números racionales

5. 6. 7. 8.

Por ejemplo, a. 6; b. 12; c. 3; d. 5. 233 y 2,33. Por ejemplo, a. ____ 100 16 . Por ejemplo, a. ___ 5

a. Por ejemplo, fila 1: 23,1; 23,1. b. Por ejemplo, fila 1: 2,8; 2,8.

9.

a. 0,003 b. 0,1333 10. a. No, le corresponden $1 000 a cada uno. 3. Operaciones con números

racionales 11. 29 a. ___ 3 b. _85_

38 e. – ___ 5 97 ___ f. – 90

37 i. ___ 18

113 j. – ___ 10

16 1 c. – ___ g. ___ 50 9 93 1 ___ ___ d. – 50 h. 28 12. 9 4 1 ___ ____ _5_ a. ___ 81 c. 100 e. 3 g. 10 27 125 ____ _2_ _2_ b. ____ 343 d. 27 f. 3 h. 5 13. a. 20 . __51 : 2 = 2 –1 b. ( __1 . 3 ) = 1 3

c. 3 . 0, 2 + 0, 1 = _79_ 31 d. 2 . 0,07 – _1_ = – ___ 2

90

16. 32 . Por ejemplo, a. Va X en ___ 35 17. 14 c. – ____ 173 218 e. ____ _7_ a. – ___ 5 288 g. 2 3 40 b. ___ 3

9 ___ 10 f. 80

113 d. – ___

77 _____

h. 1 800

INTEGRACIÓN 1.2.3

18. a. V b. F c. F d. V e. F ___ 19. a. x =  74 cm, y . b. x = 5 cm, , , y . 79 , , . c. P: ___ 15 __ d. Á: 5 .  2 , y . 20. a. F c. F e. F b. V d. V f. V 21. Solución a cargo del alumno. 22. a. 5 números naturales. 6 números enteros. b. Hay infinitos números reales. 23. ___ 3 34 ] e. [ – _75_;0 ] a. [5;+∞ ) c. (–∞;  b. (3;8] d. ( – __21 ;3 ) f. (0;+∞ ) 24. a. x ∈ ∧ –2  x < 3 b. x ∈ ∧ x  –5 ∨ x > 7 c. x ∈ ∧ x  –2 d. x ∈ ∧ x  –1 ∨ x  2 25. a. (–∞;3) ∪ [5;+∞ ) b. (–3;5) c. (1;+∞ ) d. [–2;3) e. (–∞;–4] ∪ [2;+∞ ) f. (–8;–1] 26. a. 1,5 E.D.F. e. 0, 1 E.D.P. b. 0,25 E.D.F. f. 0,5 E.D.P. c. 0,06, E.D.P. g. 2,4 E.D.F. d. 0,1875, E.D.F. h. 1,6 E.D.P. 27. Por ej., fila 1: 1,3; 2,4; 0,6; 1,9. 28. Por ej., fila 1: 2,3; 2,6; 0,2; 1,4.

29. a. 0,03538 c. 0,1606 b. 0,1758 d. 0,6 30. 1,786 a. 0,0003 b. 0,000168 31. 23 a. ___ c. 3 2 131 b. – ___ 9

32. 49 a. – ___ 5

8 d. ___ 45

e. 0,2979 f. 0,25 c. 0,0168 17 e. – ___ 6

f. –1

e. _43_

29 i. – ___ 12

30 b. – ___ 7

f. 9

27 j. – ___ 11

c. _25_

11 g. – ___ 18

17 d. ___ 9

k. _41_

h. 0,8

l. –5

4. Módulo de un número real

33. a. 3 e. 2 i. 23 b. 20 f. 12 c. a, si a > 0 g. 6 d. a, si a > 0 h. 2 34. a. = b. < c. < d. < e. > f. = 35. a. S: {–3;3} d. (–∞;–3] ∪ [3;+∞ ) b. Absurdo. e. – ( ∞;– _73_ ) ∪ ( _73_;+∞ ) c. [–2;2] f. ( – __91 ;__91 ) 36. 13 c. 0 d. 4 a. _92_ b. – ___ 10

37. Solución a cargo del alumno. 5. Ecuaciones

38. a. 7a + 2a = 9a b. b . _21_ = b + 0,6 c. x – 0,2 = x + __51 39. 18 a. x = ___ d. x = __31 25 944 b. x = – ____ 15

1 e. x = – ___ 30

10 c. x = – _75_ f. x = ___ 3 40. a. x = –2,5; x = –7,5 c. x = _25_

5 b. x = _79_; x = _29_ d. x = ___ 12 41. 21 a. 5 . | __31 x + 1 | = 2; x = – _95_; x = – ___ 5

b. __41 . (x + x – 1) = 3x + 1; x = – __21

227

6. Inecuaciones

42. Por ejemplo, a. (–∞;–25]. 43. a. S: [ – _41_;+∞ ) c. S: (–∞;–1) 29 ;+∞ b. S: – ___

(

30

)

15 d. S: ___ 52 ;+∞

[

)

e. S: [–4;0) 26 ∪ (1;+∞ ) f. S: ( –∞;___ 53 ) 44. a. S: [ _67_;+∞ )

b. S: ( –∞;__21 ] ∪ [ _52_;+∞ ) c. S: (–∞;–1) ∪ (7;+∞ ) 3 _3_ d. S: –∞;___ 22 ∪ 2 ;+∞

(

) (

)

45. a. |3x – 1| < |–5|; S: ( – _43_;2 ) b. __31 . (x + 1)  x + 2x; S: ( –∞;__81 ) INTEGRACIÓN 4.5.6

46. a. 15 c. 45 e. 60 g. 14 b. 29 d. 6 f. 5 h. 1 47. –5 y 5 48. a. S: {–23; 23} c. S: {0} b. Absurdo. d. S: {–7; 7} 49. Solución a cargo del alumno. 50. 13 1 a. x = ___ d. x = – ___ 70 16 b. x = _25_

e. x = – _41_

3 c. x = ___ 17 51. Solución a cargo del alumno. 52. a. S: {–7;7} e. S: {–6;–2} b. S: {–8;8} f. S: {–7;5} c. S: {–6;6} g. S: {1;5} d. S: { – __51 ;_51_ } h. S: {–5;7} 53. a. |x| = 3 b. |x|  5 c. |x| > 1 54. a. –2;12 c. –4;2 b. –10;2 d. –10;–4 55. a. S: {–1;1} d. S: – _89_;– _89_ 15;___ 15 b. S: { – ___ 2 2 } e. S: {–7;–1}

c. S: ∅

228

{

}

f. S: – _76_;– _56_

}

{

56. Por ejemplo, a. con {2;6}. 57. Solución a cargo del alumno. 58. a. F b. V c. F d. F e. F 59. a. |x| > 3 b. |x| < _31_ ∧ x  0 c. |x| = 2 ∧ x > 4 d. |x|  a 60. a. __51 . (x – 1)  2x; S: ( –∞;– _91_ ]

7 b. 3x + 1 < x + 0,2; S: ( –∞;– ___ 18 ) c. 2 . | _31_ x – 9 | < 7; S: (16,5;37,5)

61. Por ejemplo, a. con x < 3. 62. a. 2 . |x + 1| < 3x b. | __21 x – 1 |  2x 63. 11 a. S: ( –∞;__ 7]

b. S: ( –28;_45_ ) c. S: (–∞;8) d. S: e. S: ( –∞;_87_ )

f. S: ∅ g. S: [– _97_;+∞ ) h. S: (–2,6;–0,5) i. S: (–∞;–2] j. S: [–3;+∞ )

64. 14 2 ___ a. ( –∞;___ 15 ) ∪ ( 15 ;+∞ ) 25 ;+∞ b. [ ___ ) 4 AUTOEVALUACIÓN 65. a. (–2;2) b. (–∞;–3) ∪ (5;+∞ ) c. Ninguna de las anteriores. 66. a. 0,000429 67. 2 a. – ___ b. {–1;1} c. {–6;4} 21 68. a. __21 . (x + 1) = 2x + __31 . 30 ____ b. _1_ . x – 1 =  16 x2 3

69. c. [ –0, 6;2 ]

2

capítulo

7. Propiedades de la potencia-

ción y la radicación 1.

2. 3. 4. 5.

Por ejemplo, a. a –6 b – 7.

a. V b. F

c. F e. V g. F i. F d. F f. V h. V

Por ejemplo, a. 20. 9 –3 = 2 –27 (2 )

__

__

a.  35 __ 8 __ b.  41 6 __

c.

2  3_____ 5 10 __ 4

12 3 d.  3 . 23

8. Números irracionales

6. 7. 8.

__

Por ejemplo, a. –  3 ; π. Solución a cargo del alumno. Solución a cargo del alumno.

9. Radicales. Adición

y sustracción 9.

__

Por ejemplo, a. 4 .  2 . 10. Solución a cargo del alumno. 11. __ __ a. –8 .  __ __5 d. –4 .  __a b. 6 .  2__ e. 5 .  a – 7 .  b c. –5 .  3 __ 12. __ __ 15 ___ . a.  5 – 2 .  2 d. – 4  __21 __ __ b. 0 __ e. 2 .  6 + 2 .  3 __ __ c. – _59_ .  _31_ f. –3 .  5 + 6 .  2 10. Multiplicación y división

de radicales 13. ___ a. 3 .  15 b. –8

___

d. –22 __ __ 7 _ _ . _2_ e.  3 + 2  3

__

c. 10 – 2 .  21 f. ( a2 – b ) .  b 14. __ 4 __ 4 Por ejemplo, a.  36 y  3. 15. ____ 6 Por ejemplo, a. x .  25 x .

11. Operaciones combinadas

16. ___ a. 56 +___ 5 .  35 b. 4 .  ___ 33 – 9 ___ 3 3 77 49 c. 3 .  ___ + 2 .  ___ 4 4 d. 2 .  __12 – 3 .__  18 e. 3 .  _25_ + 4 .  _35_ f. –28 __ __ 3 _7_ 3 __ 11 . . g. 5  2 – 2  2 __

4 h. –226._____  2 i. 28 .  33 .__74 + 456 __ j. 2 + 5__.  7 + 3 .  25 k. 8 .  2 – __15 l. _92_ – _74_ .  _53_ ___ m. 6 .  15 – __1 n. 44 – 8__ .  6 6 ____ ñ. –3 .  __ 5 + 5 .  392 o. –2 .  7 17. ___ __ 4 a. 15 + 10 .__  18 + 5 .  2 3 .  2 b. 2 –3 ___ c. 4 .  25 – 9 __ d. 84 + 42__ .  3 e. –48 .  6 18. __ __ __ a. P: 4 . (  2 +  __3 ); Á: 5 + 4 .  3 45 b. P: 15 + 3 .  5 ; Á: ___ 2 19. __ 4 __ __ 4 2 a. –  2 + 2__.  23 –  __ 6 b. 9 – ___ 4 .  7 + 49 .  7 c. 2 .  21__ – 3 d. –6 .  3 25 – __1 . __ e. ___ 6 __3  3 __ f. –3 .  2 – __31 .  5 __ g. _51_ – 9 .  2 ___ __ h. 2 .  5 +  10 – 9 20. ____ Por ejemplo, a. con a + 2 .  a – 1 .

MENTEACTIVA Solución a cargo del alumno. 12. Racionalización de denomi-

nadores

21. Solución a cargo del alumno. 22. __ 3 Por ejemplo, a. _34_ .  2. __ 23.  __ Por ejemplo, a. 77 . __ 24.  ___ Por ejemplo, a. 5__ .  5 25. __ Por ejemplo, a. 3 .  5 – 5.

26. __ a. 3 –  2 35 – ___ 7 . __ b. – ___ 22 22  __3 5 . 2 2 – ___ c. – ___ 

23 ___23 __ d. – _57_ .  10 – _57_ .  3 11 – _3_ .  __ e. __ 4 __ 4 5 __ f. – _34_ .  11 – _34_ .  7 3 . __ g. __51 – ___ 10  6 __ 48 + ___ 40 . h. – ___ 13 13  6

27. __ a. _32_ .  3 + _52_ __ __ __ b. 2 .  2 + _47_ .  6 + _27_ .  3 + 1 __ c. _35_ .  6 – _25_ __ d. – _9_ – _4_ .  2 7 7__ __ __ 18 –  2 – 6 .  3 +  6 _______________ e. ____ 106 22 +  143 f. __________ __ 31  ___ g. 25 + __21 ___ __ –2 . 5 – 2 . 2y   h. ______________ 5 – 2y __________ __ 3 49 .  8 + 49  ____________ i. 7__ __ 6   ___ ___ j. 2 + 22 ___ ___ 10 +  _________  35 k. 5 ______ (a – 1) .  a3 + a l. ______________ a3 + a

m. –1______

a + 2 + 5 ___________ n.  a2 – 23 2

INTEGRACIÓN 7.8.9.10.11.12

28. Por ejemplo, a. 5 –1. 29. Solución a cargo del alumno. 30. a. F c. V e. V b. F d. F f. F 31. Solución a cargo del alumno. 32. __ ___ ___ ___ ; 1 y  10 ;  37 , 1 y 6;  56 , 1  11___ y  55 . 33. __ Por ejemplo, a. 24 .  2 . 34. __ __ a. 2 .  5__ + 2 __.  2 b. 6 .  3 +  6

35. __ a. –8 .  5__ b. –3 .  __3 c. –4 .  6 __ d. 2 .  11 – 13

__

__

3 f. –2__ .  7 –  7 3 g.  11__+ 2 __ h. 7 .  2 – 6 .  7 __ 3 2 i. _23_ + _92_ .  __ ___ __ e. 17 .  2 – 4 .  13 j. – _72_ .  6 36. __ __ a. 3 .  3 + 4 d. –7 .  __3 + 20 b. 11__ e. –6 .  3 – 19 __ c.  3 – 6 f. –13 + 4 .  3 37. __ __ 6 +  3 a.  _______ b. 3 2 38. Solución a cargo del alumno. 39. Solución a cargo del alumno. 40. Solución a cargo del alumno. 41. ____ ___ 4 2 3 3 a. ab .  2b e. a3b4c2 .  bc __ ___ 4 b. a3b2 .  ac f. ab2c4 .  b _______ __ 12 10 2 –3 3 3 –1 c. ab c .  c______ g. c .  a b c 20 8 6 17 3 2 d. ab c .  a b c ___ 42. 4 __ 7 .  8 x2 ______ a. –2 .  7 j. 2x

________ __ ___ . 4 32 . 5 x 3 3y b. _59_ .  2 k. x  15_______ __

c.  2

8

l.

 36a7b3c6 _________

3abc ___ m. 3 + _56_ .  10 __ __ a + 6a e. – _79_ .  3 n.  _______ 1 – ___ 36a __ 3 . 3  35 – 5 ___ __________ f. 16 .  6 o. __ 58 __ __ 3  __ ________ g.  9 p. 5 –  __6  6 –________  5 __ __ __ 5 7 _ _ h. 2 .  8 q. –2 .   7 –  5 __ 6 2 ___ __ 5 . x 4 __  ______ x ) . (  x + 2x) i. – x r. (  2x –  __ d.  5 6

10 ___

43. 19 – _4_ . __ Por ejemplo, a. con ___ 7 7  2 . 44. Solución a cargo del alumno. ____ ____ __ 45. 3 160 –  3  250  ___________ _______ ___ __ a. c.  13

b.

__ + 3 22  ____ ___ 4

 63

 5

__

___

d. (3 .  7 +  54 ) –1

13. Sucesiones

46. Por ejemplo, a. 5; 8; 11; 14; 17. 47. Por ejemplo, a. 13; 15; 17.

229

48. Por ejemplo, a. 2n – 3. 49. Por ej., a. Aritmética. Razón 2. 50. Solución a cargo del alumno. 14. Sucesiones aritméticas

51. Por ejemplo, a. 4, 7, 10. 52. Solución a cargo del alumno. 53. a. a1 = –1 b. No es posible. 54. a. 20 b. 12 55. a. 420 b. 1 375 56. 30, 60 y 90 15. Sucesiones geométricas

57. Por ejemplo, a. –2; –10; –50. 58. a. a1 = 5 c. No existe. b. 6 d. Razón 2. 59. Solución a cargo del alumno. 60. a. 15 609 b. 242 61. $1 395 INTEGRACIÓN 13.14.15

62. Solución a cargo del alumno. 63. Por ejemplo, a. 5; 8; 11; 14. 64. Solución a cargo del alumno. 65. b. an = 2n – 1 a. an = 2n c. No existe. 66. Solución a cargo del alumno. 67. a. n = 25 b. a8 = 65 68. a. 73 b. 240 69. a. No es posible. b. 30 70. a. a4 = 26 c. a9 = 33 b. a1 = 25 d. a2 = 2 268

230

71. a. No es posible. c. 8 b. 13 d. 5 72. Hay que sumar 10 términos. 73. a. 1 650 b. –105 74. a. Por ej., 20 cm; 33 cm y 46 cm. b. Solución a cargo del alumno. 75. a. 5; 10; 20; 40 b. 5 . 2n – 1 76. 624. a. a1 = 20 y S4 = ____ 25 25 y S = ____ 375. b. a4 = ___ 5 4 4 77. a. __51 b. 3 c. 3

78. 4 095 b. 1 280 c. ___ 31 a. _____ 10 1 024 79. a. 2 b. 420 c. No es posible. 80. a. 15 b. 210 c. Aritmética. 81. a. 128 b. 5 82. Solución a cargo del alumno. AUTOEVALUACIÓN Va X en: 83. d. 86. c. 89. a. 84. c. 87. d. 90. b. 85. c. 88. a. 91. c.

capítulo

3

16. Funciones

1.

2. 3.

La opción b. Solución a cargo del alumno.

a. Biyectiva. b. No inyectiva. No sobreyectiva. c. No inyectiva. Sobreyectiva.

17. Análisis de funciones I

4. 5.

1 1 __ Por ej., fila 1: __ 3 ; 2 y –2; 6 ; 3.

Por ejemplo, a. [–3;3].

6.

Por ejemplo, a. Ord. = (0;0). Raíces en –3; 0; 3. C + (–3;0) ∪ (0;3). C – (–∞;–3) ∪ (3;+∞ ).

18. Análisis de funciones II

7.

8.

a. Par. b. Impar. c. Impar.

d. Par. e. Par. f. Ni par, ni impar.

Por ejemplo, a. No es posible.

9.

a. Impar. c. Par. b. Impar. d. Par. 10. Por ejemplo, a. Decrec. = (0;2); crec. = (–∞;0) ∪ (2;+∞ ); máx. = (0;4); mín. = (2;0). 11. a. F b. V c. V d. V e. F 12. a. No se puede asegurar. b. Sí. 13. Solución a cargo del alumno. INTEGRACIÓN 16.17.18 14. a. y = 2x c. y = 3 x2 b. y = 3x – 1 15. a. Df = ; Im = b. Df = ; Im = (– ∞;1] c. D f = ; Im = [–3;+∞ ) d. D f = ; Im = [–2;2] 16. Solución a cargo del alumno. 17. Solución a cargo del alumno. 18. Solución a cargo del alumno. 19. a. C+ = (–∞;–5) ∪ (1;+∞ ), C – = (–5;1) b. C+ = (–∞;–3) ∪ (–3;2) ∪ (4; +∞ ), C – = (2;4) c. C+ = (2;+∞ ), C – = (–∞;–3) ∪ (–3;2) 20. Solución a cargo del alumno. 21. Solución a cargo del alumno. 22. Por ejemplo, a. (–∞;–2) ∪ (0;2). 19. Función lineal

23. Solución a cargo del alumno.

24. Por ej., a. Puede ser: y = 3x – 2. 25. a. 1 b. – _73_ c. – _52_ d. _32_ 20. Distancia entre dos puntos

26. __ a. 3 .  2 ___ b.  34

c. 5 __

___ e. _23_ .  85

____

269  _____

f. 5 __ .  5 g. 2 _____

1 009 d. 5 .  2 h.  _____ 4 27. ___ a.  13 b. q = (–4;2); r = (–2;5) c. Por ejemplo, (2;–1). d. No. ___ 28. __ 8 .  13 ______ a. 13 d. _45_ .  5 ___ b. _3_ .  10 e. 5 2

___

_2_ .  10

c. 2 f. 5 29. ___ ___ __ a. 2 . (  10 +  2 ) b. 8 + 2 .  10 30. __ 7 . ___ a. ___ c.  10  5 10 __ 2  ___

b. 2

___ d. _65_ .  10

MENTEACTIVA Solución a cargo del alumno. 21. Ecuación de la recta 31. y __ + __ a. x 2 4 = 1; y = 4 – 2x x + __y = 1; y = 1 + __1 x ___ b. –3 1 3 y x __ ___ c. 4 + –4 = 1; y = –4 + x y x _1_ ___ + __ d. –3 –1 = 1; y = – 3 x – 1 32. Por ejemplo, f(x): y = 3x. No tiene ecuación segmentaria. 33. Por ejemplo, a. –2. 34. a. a > 0; b < 0 c. a < 0; b < 0 b. a < 0; b > 0 35. a. y = x – 3 c. y = x + 3 b. y = 2x + 4 d. y = _32_ x – _72_ 36. a. ⊥ c. // e. // g. ⊥ b. ⊥ d. ⊥ f. // h. ⊥ 37. y x x __ + y = 1 ___ + ___ a. –1 c. –3 –3 = 1 y x ___ + __ b. –4 4=1

38. Por ejemplo, fila 1: y = 3x – 11; 1 _7_ y = – __ 3 x + 3 . MENTEACTIVA Solución a cargo del alumno. 22. Función módulo

39. Solución a cargo del alumno. 40. Solución a cargo del alumno. 41. a. y = |x + 4| – 2 b. y = –2 . |x| + 1 INTEGRACIÓN 19.20.21.22 42. __ a. y = 2x + 3;  5__ 5 b. y = –2x + 1;  ___ c. y = –3x – 1;  10 ___ 43. __  ___ . a. 4 .  5 c. 0 e. 5 10 3 __ 5  ___

50. a. y = |x + 2|; crec: (–2;+ ∞ ), decrec: (–∞;–2); C –: no tiene; C+: (–∞;–2) ∪ (–2;+∞ ). b. y = –|x| + 3; decrec: = (0;+∞ ); crec: (–∞;0); C+ = (–3,3); C –: (– ∞;–3) ∪ (3;+∞ ). c. y = |x – 1| + 1, crec: (1;+ ∞ ); decrec: (–∞;1); C –: no tiene, C+: . AUTOEVALUACIÓN Va X en: 51. c. 54. d. 57. a. 52. c. 55. b. 58. c. 53. b. 56. d.

capítulo

23. Función cuadrática

1.

__ 5  ___

b. 6 d. 5 f. 2 44. a. y = _43_ x – __31 b. y = _32_ x + 3 45. ___ 13 + 5 ; Á: ___ 1 P:  _______ 12 6 46. a. y = – _21_ x + __21 d. y = __21 x + 1 b. y = 3x – 2

e. y = _43_ x + 2

a. a < 0; b = 0; c = 0 b. a > 0; b = 0; c = 0 c. a > 0; b = 0; c < 0 d. a < 0; b = 0; c > 0 e. a > 0; b > 0; c = 0 f. a < 0; b > 0; c = 0

24. Raíces de una función cua-

drática. Discriminante 2. 3.

c. y = _32_ x + __21 47. y x + ___ a. y = ___ 33 –11 = 1 ___

7 17 b. y = – _37_ x + ___ ___ 7 58 c. y = 16 .  ___ 29 ___ ___

4

Por ej., fila 1: > 0; Reales distintas.

a. x1; x 2 =__ __21 __ __ __ b. x1 =  5 +  6 ; x2 =  5 –  6 c. No tiene raíces reales. d. x1; x 2 = 3 raíces reales.__ e. No tiene __ f. x1 = 1 +  3 ; x2 = 1 –  3

25. Distintas expresiones de la ___ +  26

d. y = 2 .  10 +  58 e. y = 16 u2 f. y = 3 48. a. Raíces: –4 y 1; ord. al origen: 2. b. Crec: (–∞;–1,5); decrec: (1,5;+∞ ) c. C+: (–4;1); C –: (–∞;–4) ∪ (1;+∞ ) d. Máx: (–1,5;5) e. (–∞;5] f. [–1,5;+∞ ) → (–∞;5] 49. a. f(x) = |x – c| c. f(x) = |x – k| – f b. f(x) = |x| + d d. f(x) = |x| – h

función cuadrática 4.

5.

6. 7. 8. 9.

a. y = – (x – 3)2 – 2 b. y = – __81 . (x + 3)2 – 1 a. y = –2 . (x + 3) . (x – 1) b. y = __61 . (x – 2) . (x – 3) Por ejemplo, fila 1: y = – x2 + 4; y = – x2 + 4. Por ejemplo, a. (–3;–4).

a. B b. C c. A d. A e. B f. C a. V

b. F

c. V

d. F

231

10. a. y = x2 + 5x + 6 c. y = 2 x2 – 2 b. y = x2 – 4x d. y = –5 x2 + 5 11. a. x2 + x – 6 = 0 c. x2 + x = 0 b. x2 – x – 2 = 0 d. x2 – 7x + 10 = 0 12. Por ejemplo, a. y = (x + 3)2 – 2; y = x2 + 6x + 7. MENTEACTIVA Solución a cargo del alumno. 26. Gráfico de una función cua-

drática

13. Por ej., a. Raíces: (–2;0) y (2;0); vért.: (0;4); eje de sim.: x = 0; orden. al origen: (0;4); crec.: (–∞;0); decrec.: (0;+∞ ). 14. Por ej., a. Raíces: (–3;0) y (1;0); vért.: (–1;–4); eje de sim.: x = –1; orden.: (0;–3); pto. sim.: (–2;–3); crec.: (–1;–∞ ); decrec.: (–∞;–1). 15. a. A b. B c. A d. B 16. Por ejemplo, a. Raíces no reales y crec. (2;+∞ ). MENTEACTIVA Solución a cargo del alumno. INTEGRACIÓN 23.24.25.26 17. a. x = 3 c. x = _32_ e. Sí. b. (3;3) d. (3;+∞ ) 18. Va X en a., b. y d. 19. a. 4 c. 8 y –8 b. 6 y –6 d. 1 y –1 20. a. k = 3 b. k < – __31 c. k = 1 d. k ∈ (–∞;4] ∪ [4;+∞ ) 21. Solución a cargo del alumno. 22. Solución a cargo del alumno. 23. a. y = _49_ x2 – _49_ x – _89_ 16 b. y = – _89_ x2 – _89_ x + ___ 9 c. y = x2 + 4x + 4 24. Por ej., a. y = – (x – 2) . (x + 3). 25. Solución a cargo del alumno.

232

26. a. Solución a cargo del alumno. b. Infinitas. c. Mínimo. 27. a. x2 – 2x – 8 = 0 b. x2 – 2 = 0 c. x2 – 2x – 2 = 0 d. 2 x2 + x = 0 e. x2 – 10x + 24 = 0 f. 2 x2 – 9x + 9 = 0 g. x2 + 4x + 1 = 0 h. 4 x2 + 3x = 0 28. a. y = 3 x2 – 36x + 96 b. y = 3 . (x – 4) . (x – 8) 29. Por ejemplo, a. x = 3. 27. Ecuaciones de segundo grado

30. a. x1 = 5; x2 = –5 b. La solución no es real. c. La solución no es real. d. x1 = 0; x2 = – _23_

e. x1 = 0; x2 = – _21_ f. x1 = 0; x2 = –4 g. x1 = 0; x2 = __21 h. x1 = 3; x2 = –3 i. x1 = 1; x2 = –1 j. x1 = 4; x2 = –4 k. x1 = 0; x2 = – _41_ l. x1 = 0; x2 = 8 31. a. 0 y 2 c. 34 y 32 b. 17 y 18 d. 2 y –2 e. D: 10,24 cm; Á: 52,46 cm2 f. Á: 145,71 cm2 32. a. 18 cm c. 20,85__cm ___ b. 4 .  14 cm d. 20 .  2 cm ___ 33. 7 +  21 ________ a. 2 y –3 f. 2 b. 3 y –1 g. 3 y –6 c. Sin sol. real. h. –3 __ y 1 __ 2  ___ d. Sin sol. real. i. 22 y –  ___ 2 e. –1 y –2 j. Sin sol. real. 34. a. 2 b. 5 MENTEACTIVA Solución a cargo del alumno. 28. La parábola como lugar

geométrico

35. Solución a cargo del alumno.

29. Ecuación de la parábola

36. a. D: x = –2; y2 = 8x b. D: y = 5; x2 = –20y c. D: y = –4; x 2 = 16y d. D: x = 4; y2 = –16x 37. a. p = _34_; f = ( 0;_34_ ); D: y = – _34_ b. p = __81 ; f = ( _81_;0 ); D: x = – __81

c. p = – _74_; f = ( 0;– _74_ ); D: y = – _74_ d. p = – _38_; f = ( – _38_;0 ); D: x = _38_

38. 1 _1_ Por ej., fila 1: ( 0;__ 2 ); y = – 2 ; hacia arriba. INTEGRACIÓN 27.28.29

39. Solución a cargo del alumno. 40. Solución a cargo del alumno. 41. Va X en b. y c.. 42. a. 5__y – 2 __ b. –5 y 8 c.  6 – 4 y –  6 – 4 d. 4 y 1 j. Sin sol. real. __ __

3 14 ___ _2_ e. –  3 y –  ___ 2 k. 3 y – 3 f. Sin sol. real. l. 4 y –2 ____

385 23 ±  _____ g. 4 y 2 m. ___ 2 2 h. 0 n. 4 i. __21 y –1 43. Solución a cargo del alumno. 44. Solución a cargo del alumno. 45. a. 8x = y2 e. –8y = x2 2 b. –2x = y f. –12x = y2 2 c. 16y = x g. 8x = 3y2 d. 4y = –3 x2 h. 3y = x2 46. Por ejemplo, a. ( _34_;–3 ). 47. a. 2y = 2 x2 e. 2x = y2 b. –12y = x2 f. 4y = x2 2 c. –3x = y g. –16x = y2 2 d. 24x = y h. –3y = x2 48. a. y = 4x2 c. x = – _21_ y2 b. y = –3 x2 d. x = 5y2

AUTOEVALUACIÓN Va X en: 49. b. 52. c. 55. c. 50. d. 53. a. 56. d. 51. c. 54. a.

capítulo

5

30. Polinomios. Características

1.

2.

3.

4.

__

a.  5 . x3 + 5 –1 c. –1 b. –5 – 2 x5 d. 3 x2 + x 3 La primera fila se completa con: Trinomio; –3 x3 + 8 x2 – 6x + 0; 3; –3; 0.

a. Por ejemplo, 2 x3 + 3 x2 – 4. b. Por ejemplo, x4 + 3. c. Por ejemplo, –3 x2 + 2x – 8. a. – _35_ x2 + x3 – 2 : 5 b. –1 . (x4 – 3 x2 + 7x) c. –6 . (–4 + x2 – 6x)

31. Suma y resta de polinomios

5.

a. 4 x4 __

b. –  3 x2 6.

7.

c. – _76_ x3

7 d. – ___ 30 x

a. 2 x4 – 4 x2 + x – 1 b. 2 x3 – 5 x2 – 2 c. 2 x4 – 2 x3 + x2 d. –2 x4 – 6 x2 + x – 5 e. 2 x4 + 6 x2 – x + 5 f. –2 x4 + 2 x3 – x 2 – x – 1 a. –5 x4 – 2 x3 – x 2 + 3x – 4 b. 5 x4 – 4 x3 – 9 x2 + 3x c. 3 x3 + 8 x2 – 10x – 3 d. –5 x4 – 2 x3 – 4 x2 + 10x + 1 e. –5 x4 – 4 x3 + 2 x2 – 4x – 7 f. 5 x4 – 6 x3 – 6 x2 – 4x –3

32. Multiplicación de polinomios

8. 9.

Por ejemplo, a. 27 x5.

c. x3 – 25x – 5 x2 + 125 a. x5 16 b. 256 x d. x3 – 4x c. 28 x15 e. x3 – 2 x2 + x

10. a. –35 x3 – 21 x2 + 28x b. __21 x4 – _23_ x2 + 4x c. 3 x4 – __31 x5 + _91_ x3 d. 10 x3 – 3 x5 + 2 x4 11. a. 16 x6 – 4 b. 4 x4 + 20 x2 + 25 c. __41 x2 – 9

21. a. – x5 + 5 x4 – 3 x3 + 2 x2 + x + 0 b. Está completo y ordenado. c. –3 x3 + 4 x2 – 2x + 4 d. 3 x3 + 2 x2 – 6x + 0 22. Solución a cargo del alumno. 23. a. – x4 + 4 x3 – 2 x2 + x – 7 b. –2 x3 – x 2 – x + 2 c. 4 x3 – x 2 + x – 4 1 ___ d. 16 x4 – x2 + 4 d. x4 + 4 x3 – 2 x2 – x + 1 e. 2 x4 – 2 x3 + 6 12. f. 2 x4 – 2 x3 + 6 5 4 3 2 a. 2 x + x – 7 x – x + 5x g. 6 x3 – x 2 – x – 2 b. –2 x6 + 3 x5 + 15 x4 – 9 x2 – 11x h. –6 x3 + x2 + x + 2 – 20 24. c. –4 x5 – 4 x4 + 7 x3 + 20 x2 + 13x Por ejemplo, a. a8 – 2a4b2 + b4. – 40 d. –2 x6 – x5 + x 4 + 9 x3 + x2 – 8x 25. a. a = 3 b. a = 9 c. a = –5 e. – x7 + 2 x6 + 5 x5 + x 4 – 3 x2 – 4x 7 6 5 4 3 f. 2 x – 3 x – 9 x – 20 x + x + 26. 25 x2 + 20x + 32 a. 10 x2 + 2x – 6 c. 11 x2 + 4x b. 10 x2 + 4x – 4 13. a. a4 + 6a2 + 9 27. 4 b. 25 – 10b3 + b 6 a. – x – 3 x3 + 19 x2 – 36 c. c2 + 4c + 4 b. – x4 + x3 + x2 + 2x + 6 3 2 d. a + 9a + 27a + 27 c. – x3 + 5 x2 – 2x + 10 e. 64 – 48b + 12b2 – b3 d. – x3 + x2 + 32x – 60 6 4 2 f. 8c + 48c + 96c + 64 e. – x3 + 6 x2 – 8x – 15 f. x 2 – 10x + 25 14. g. – x4 – 8 x3 + 8 x2 + 96x – 144 Por ejemplo, a. con a2 + 2ab + b2. h. x4 + 4 x3 – 10 x2 + 8x – 24 15. i. x5 – 6 x4 + 4 x3 + 3 x2 + 4x + 30 a. V c. F e. V j. x6 – 10 x5 + 29 x4 – 40 x3 + 104 x2 – b. F d. F f. F 40x + 100 16. 28. a. P: 8x + 4; Á: 4 x2 +__ 4x a. Área: 6 x2 – x – 2 __ 3  ___ b. P: 2 .  3 . x2; Á: 3 x4 b. Área: 7,5 x2 + 3,5x –1 4 2 c. Área: 10 x3 + 6 x2 + 2x c. P: 12 x2 – ___20; Á: 9 x – 30 x + 25 d. Área: 2 x2 + 3,5x – 1 d. P: 4 .  13 x; Á: 12 x2 29. MENTEACTIVA a. 8x – 2 b. –21x – 5 Solución a cargo del alumno. c. 6 x4 + 9 x2 – x 3 + 7 d. –5 x5 + 5 x4 + x 2 INTEGRACIÓN 30.31.32 e. 8 x4 + x2 – 1 17. f. 6 x4 Por ejemplo, a. x2 + x5; 3x + x2. g. 32 x2 + 8 18. h. x6 – 3 x4 + x3 + 6 x2 – 3x – 2 a. gr. 3; coef. 1 c. gr. 5; coef. –3 b. gr. 2; coef. 1 d. gr. 1; coef. 8 33. División de polinomios 30. __1 2 19. 17 ___ a. – 2 x c. – __81 x2 2 3 d. 8 x a. 3 x __ 25 x8 b. 6 x5 d. – _34_ x b. – ___ e. –6 .  2 x4 4 __ 31. c. – _59_ x f.  6 x5 a. 3 x5 + 4 x3 – 2 b. 6 x4 – 12 x2 + _45_ x 20. a. 3 x2 – 4 x3 + x d. – x2 + 2x + 7 12 x2 c. –2 x6 + 2 x4 – ___ 5 b. 7 x2 – 7x + 9 e. –6 x3 + x2 d. – _32_ x4 + x 3 – 2x + __81 c. 3 x4 + x3

233

32. 17 . _9_ x + __ _7_; r: – ___ a. c: x2 – __ 2 4 4 b. c: 3 x2 – 3x + 15; r: –24x – 3. c. c: –5x + 3; r: 9x – 5. d. c: 12 x4 – 12 x3 + 2 x2 + 6x – 6; r: 2 x2. 33. 1 2 Por ejemplo, a. __ 3 x . 34. La regla de Ruffini. Teorema

del resto

34. Por ejemplo, a. 9. 35. a. c: 5 x2 – 7x; r: –11. b. c: x4 + x3 – x2 + 2x + 1; r: 3. c: x x2 – 12; r: 0. c. c: d. c: 2 x3 + 4 x2 + 4x + 9; r: 10. e. c: c: x x5 + 3 x4 – 3 x3 – 4 x2 + 4x – 4; r: 1. c: –2 –2 x4 + 4 x3 – 12 x2 + 23x – – 46; f. c: r: 12. 36. a. –305 b. 1 c. 64 d. 3 35. Raíces de un polinomio

37. Por ejemplo, a. opción 2. 38. a. Raíces: –4, –2, 0, 1, 3. Multip. impar: –4, –2, 0; par: 1, 3. b. Raíces: –5, –3, 3, 4. Multip. impar: –3, 3; par: –5, 4. c. Raíces: –3, –2, 0, 3. Multip. impar: –2, 0, 3; par: –3. d. Raíces: –3, –2, 0, 3. Multip. impar: –2, 0, 3; par: –3. 36. Operaciones combinadas

39. 6 4 a. – x – x + 8 x2 b. –3 x7 – 3 x10 – 2 x2 c. –17 x4 + 6 x3 d. 7 x5 – 4 x4 + 4 x3 – 3 x2 e. – x4 + 2 x3 + 4 x2 – 6x – 20 f. –12 x7 + 10 x5 – 6 x2 – 2 x4 g. 4 x2 – 7 x3 h. 2 x5 – 10 x2 – 12 x3 i. 5 x4 – x 3 – 4 49 x j. 5 x3 – 2 x2 + ___ 5 40. Por ejemplo, a. x2 – 5x + 16. 41. a. x6 + 2 x5 + x4 – x 2 – x – 1 b. –2 x2 + 15x – 4 c. 4 x4 – 4 x3 + 7 x2 – 3x d. x3 – 3 x2 + 12x – 24 _3_ x e. __21 x2 – __ 2 1 __ 3 f. x + 2 x2 13 _9_ x2 + ___ g. __ 4 36 h. 5 x4 + 14 x2 + 6x + 6

234

42. a = –6; b = –2; c = 7 43. a. – x4 + 3 x2 – 3x + 1 b. x4 – 3 x3 – 4 x2 + 17x + 18 c. 2 x3 + x 2 + 2 d. – x4 – x 3 – 3 x2 – 7x – 8 44. a. –2 x2 – 4x – 5 b. 27 x3 – 23 x2 + 25x + 15 c. –25 x4 + 20 x3 – 3 x2 – 3x + 1 d. x4 – 9 x3 + 4 x2 + 4 29 1 x3 – ____ _7_ x6 + __ e. – __ 4 4 192 f. x2 + x – 20 g. 80 x8 + 21 x x6 + 6 x5 + 12 x4 + 8 x3 2 h. –2 x + x + 8 45. a. 2 x2 + x + 3 1 2 __ _4_ x4 + x 3 – __ _3_ _3_ __ b. – __ 5 5 x + 5 x – 5 c. 6 x5 + 12 x3 – 5 x2 – 13 13 d. x7 – x6 – 2 x4 + 3 x3 + x2 + x – 3 MENTEACTIVA Solución a cargo del alumno.

AUTOEVALUACIÓN Va X en: en: 56. d. 59. a. 62. c. 57. d. 60. c. 58. d. 61. b.

capítulo

37. Factor común y factor

común por grupos 1.

2.

3.

INTEGRACIÓN 33.34.35.36

46. a. 5 x3

49 144 x e. ___ 4 6 ___ c. ____ 15 x g. 2 x 25

49 x5 d. __ 11 _3_ x2 f. __ b. ___ 81 4 4

_5_ x3 __

4.

h. 6

47. Solución a cargo del alumno. 48. Solución a cargo del alumno. 49. P: 16x + 16; Á: 8 x2 + 16x + 8 50. a. F b. F c. V d. V e. V f. F g. V 51. a. –2 c. 0 e. –14 g. 2 i. 4 _7_ f. –1 h. –6 j. –729 b. –7 d. – __ 8 52. a. Par: 0, 2; impar: –2. b. Par: 2; impar: –3, –2, 0. c. Impar: –1, 1, 3. d. Par: –1, 1. e. Par: –1, 1, 4; impar: 3. f. Par: –1, 1; impar: 0. 53. 21 a. –44 b. –79 c. ___ 64 d. 50 54. a. –26 c. –136 ___ b. –1 d. 5; ±  10 55. Solución a cargo del alumno.

6

Por ejemplo, a. x2 . (x6 – 1). _1_ a. 6x3 . ( x2 – x + __ 3 ) 9 4 10 __ x5 . x4 + __ __ x3 – ___ b. __ 3 3 ) 4 ( 3 2 ___ _ __ _ 2 c. – 9 . ( x + 10 x + 3 ) 21 x – __ _2_ x3 . x4 + ___ _3_ d. – __ 10 2 ) 9 ( e. 3 . x ( 5 – ___51_ x + 2 ) 25 21 . x6 + ___ f. – ___ 10 ( 9 )

(x3 + 2) a. (x – 1) . x x2 – 3) . x (x3 – 2) b. ( x 2 x – 1) . (x – 2) c. ( x Por ejemplo, a. (3x – 9) . (x + 4) y 3 . (x – 3) . (x + 4).

38. Trinomio cuadrado perfecto

y cuatrinomio cubo perfecto 5. 6.

Por ejemplo, a. 6.

a. 4x2 – 16x + 16 _1_ x2 – 5x + 25 b. __ 4 c. x 6 – 4x3 + 4 d. x 3 + 18x2 + 108x + 216 27 x3 – ___ 27 x2 + 18x – 8 e. ___ 8 2 15 11 f. x – 6x + 12x7 – 8x3

7.

8.

9.

b. (3x – 2)2

_1_ x5 + __ _1_ 2 c. ( __ 2 ) 3 3 x + 2x)2 d. ( x

a. (x – 3)3 b. (2x + 3)3

_1_ x2 + 1 c. ( __ 2 2 ) 3 d. (3x – 3x)

a. (x – 2)2

Á: (x + 1)2

3

39. suma y resta de potencias

de igual exponente

10. a. (x – – 2) . x (x4 + 2x3 + 4x2 + 8x 8x ++ 16) b. No tiene raíces reales. (x2 + 9) c. (x – 3) . (x + 3) . x d. (x + 3) . x (x6 – 3x5 + 9x4 – 27x3 2 + 81x – 243x + 729) (x ++ 1) . x (x2 – – x x ++ 1) . x (x6 – – x x3 + 1) e. (x f. No tiene raíces reales. g. (x – 4) . x (x2 + 4x + 16) h. (x – – 2) .(x + .(x + 2) .( x x2 + 4) . x (x4 + 16) 11. a. (x – 3) . (x + 3) (10x2 +__ 16) b. (10 x2 – __16) . (10x c. (3x –  5 ) . (3x +  5 ) d. (2x – 5) . (2x + 5) 1 _1_ . x3 + __ e. ( x3 – __ 6 ) ( 6 ) f. No es diferencia de cuadrados. 12. Una arista mide (x – 2) cm y la otra, (x + 2) cm. 40. Teorema de Gauss

13. a. ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±8; ±12; ±24 _1_; ± __ _5_ _7_ __ b. ±1; ± __ 3 3 ; ± 3 ; ±3; ±5; ±7; 35 ± ___ ; ±15; ±21; ±35; ±105 3 _1_; ± __ _1_ c. ± __ 4 2 ; ±1 _1_; ±1; ± __ _7_; ±5; ±7; ±35 d. ± __ 5 5 14. a. ±1; ±2; raíces: x = –2; x = 1 b. ±6; ±3; 2; 1; raíces: x = –3; x = 2; x = 1 _1_; ± __ _2_ c. ±1; ± __ 3 3 ; ±2; ±3; ±6. Raíces: x = 1 (doble) y x = 2 _1_; ± __ _3_; ±2; ±3; ± __ _9_; ±6; d. ±1; ± __ 2 2 2 ±9; ±18; Raíces: x = –1; x = –3 (doble) 15. a. (x – 2) . (x + 3) . (x + 1) b. (x – 3)2 . (x + 2) c. (x – 1) . (x + 2)3 d. 3 . (x – 2) . (x – 4) . (x + 3) e. 5 . (x – 5) . (5 + x)2 f. –2 . (x + 1)3 . (x + 2) INTEGRACIÓN 37.38.39.40

16. a. F b. F

c. V d. F

e. V f. F

17. a. 3x 2 . x (x3 – 2x +1) 1 _3_ x3 . x __ 2 b. __ 2 (x – 5 x + 3) (x3 – x + 2) c. –2x . x 1 4 _1_ x2 . – x5 + __ 3 d. – __ 3 ( 3 x + 5x – 2 ) _3_ . ( x 3 e. __ 2 x – 2x + 7) _3_ x3 . __ _1_ 4 _1_ __ 3 f. – __ 5 ( 2 x – 2x – 3 ) _3_ . __ _1_ __ _7_ 2 3 g. __ 2 ( 2 + 5 x – x ) ) 1 2 __ _2_ x2 . – __ _3_ h. __ 5 ( 3 x + 7 x + 1 ) 18. a. (x – 2) . (2 x3 + 3) _3_ x5 – 2 b. (x – 2) . ( __ ) 2 4 2 x – 2x ) . (x – 2) c. ( x (x2 – 3) d. (3x – 2) . x 2 e. (6x + 5) . (8 + x ) f. (2 x3 – 1) . x (x2 + 2) 5 (x2 – 3) g. (4 x + 3) . x 19. Solución a cargo del alumno. 20. Por ejemplo, a. ≠. 21. a. (–3x + 1)2 g. (x – 5)3 _1_ x – 2 2 b. ( __ h. (–2x + 3)3 ) 3 _1_ x2 – 2 3 c. (3 x2 + 2)2 i. ( – __ ) 2 2 3 1 1 _ __ _ _ __ _ 2 2 d. ( – 3 x – 2 ) j. ( 3 x – x ) _1_ x3 – 2 2 e. ( __ k. (–2 x3 + 1)3 ) 2 1 x3 2 _1_ x – x2 3 __ f. ( –3x + __ l. ( ) ) 7 3 22. Por ejemplo, a. 3x 2. 23. a. V: 5 . (x – 3)2 (x3 – 27) b. V: 3 . x 24. Solución a cargo del alumno. 25. Solución a cargo del alumno. 26. Solución a cargo del alumno. 27. Solución a cargo del alumno. 28. Solución a cargo del alumno. 29. Solución a cargo del alumno. 30. Va X en a. y en d.

41.. Casos combinados de factoreo 41

31. a. Factor común. Trinomio cuadrado perfecto. b. Factor común por grupos. Factor común. Diferencia de cuadrados. c. Factor común por grupos. Factor común. d. Factor común. Cuatrinomio cubo perfecto. 32. a. Correcto. (x2 + 9) b. Incorrecto. La expresión x no es diferencia de cuadrados. c. Correcto. d. Incorrecto. No se puede aplicar factor común por grupos. e. Incorrecto. En el resultado, el binomio del cubo tiene que ser de la diferencia. f. Correcto. 33. a. A(x) = (x – 1) . x ( 2 + ___32_ ) b. B(x) = 2x . (x – 5) . (x + 5) c. C(x) = 2 x2 . x ( – – __31 ) . x( 2 + ___31_ x x ++ ___91_ ) d. D(x) = 3 . (x – 2) . (x – 1)2 e. E(x) = 3 . (x – 2) . (x + 3)2 (x3 – 2x + 1) . (x – 3) f. F(x) = x – 2) . x (x2 + 2x 2x ++ 4) g. G(x) = 2 x3 . (x – 5 __ x . (x – – 2) . (x (x ++ 3) . (x (x ++ 1) h. H(x) = __ 3 i. I(x) = x (x2 + 4) . (x + 3) (x2 + + x x ++ 1) . (x + (x + 2)2 j. J(x) = (x – 1) . x 34. a. P(x) = x . (x – 3) . (x – 1)2 3}; x x = 0 y x = 3, b. Raíces = {0; 1; 3}; raíces simples; x = 1, raíz doble. 35. Por ejemplo, a. ( x x2 – 4) Factor común; (x – 2) . (x + 2). Diferencia de cuadrados. 36. Por ej., Por ej., a. va X en en x x2 . (x – 3) . (x + (x + 3) 3).. 42. Ecuaciones de grado mayor

a dos

37. a. S = {–1; 4} b. S = {–3; 2; 5} 1 c. S = __ 4; 2 38. a. S = {–3;2} _1_; 3; 5 b. S = – – __ 2 c. S = {–5;1;7}

d. S = {0; 3} e. S = {–1; 3} f. S = {–3; 2}

{ } {

39. a. S = {–1;2}

}

d. S = {–2;–1} e. S = {1;3} _1_; __ _1_ – __ f. S = – 3 2

{

}

b. S = {–3; 1;3}

235

43. Estudio de funciones poli-

nómicas

40. a. B b. C c. D d. A 41. Solución a cargo del alumno. 42. a. Ord. al origen: (0;–30); Raíces: {–5; –3; 2}, todas las raíces son simples; C+ = (–5;–3) ∪ (2;+∞ ); C – = (–∞;–5) ∪ (–3;2) b. Ord. al origen: (0;12); Raíces: x = –3, raíz simple y x = {–3; 2}, x = 2, raíz doble; C+ = (–3;2) ∪ (2;+∞ ); C – = (–∞;–3) c. Ord. al origen: (0;0); Raíces: {–5; 0}, x = = 0, raiz triple y x = = –5 + ∞ ∪ raíz simple; C = (– ;–5) (0;+∞ ); C – = (–5;0) d. Ord. al origen: (0;–16); Raíces: {–4; –1; 4}, todas las raíces son simples; C+ = (–4;–1) ∪ (4;+∞ ); C – = (–∞;–4) ∪ (–1;4) 43. a. y = (x – 4) . (x – 2) . (x + 1) b. y = (x – 4) . (x – 2) . (x + 1) c. y = (x – 3) . (x + 2)2 d. y = –2 . (x + 3) . (x – 1)2 44. Por ej., fila 1: x1 = 0, x2 = –2, x3 = 5; (–2;0) ∪ (5;+∞ ); (–∞;–2) ∪ (0;5) MENTEACTIVA Por ejemplo, y = –x 4 INTEGRACIÓN 41.42.43 45. Por ej., a. va X en 2x . (x – 3)2 46. Solución a cargo del alumno. 47. Solución a cargo del alumno. 48. a. S = {–5; –1; 3} c. S = {2} b. S = {–3} 49. Por ejemplo, a. va X en: en: Tiene una raíz en x = = 3; Tiene dos raíces simples; Tiene una raíz triple; Es un polinomio de grado cinco. 50. Solución a cargo del alumno. 51. 5 . (x + 4) . (x P(x) = – ___ (x ++ 2) . (x – 1) . 12 (x + (x ++ 3) (x 52. a. B b. C c. A d. D

236

53. a. Ord. al origen: 8; raíces: x = –2 (simple); x = 2 (doble); P(x) = (x (x ++ 2) . (x – 2)2; + C = (–2;2) ∪ (2;+∞ ); C – = (–∞;–2) origen: –18 –18;; raíces: raíces: x x = = –3 b. Ord. al origen: (doble); x (doble); x = 1 (doble); P(x) = (x + 3 )2 . (x – 1 ) )2; C+ = ∅; – C = (–∞;–3) ∪ (–3;1) ∪ (1;+∞ ) 54. Solución a cargo del alumno. 55. Solución a cargo del alumno. 44. Expresiones algebraicas

fraccionarias

56. Por ejemplo, va X en a., b. y d. 57. a. ∀ x : x ≠ –5 b. ∀ x : x ≠ –1 ∧ x ≠ 2 c. ∀ x : x ≠ 0 d. ∀ x : x ≠ –5 ∧ x ≠ 1 ∧ x ≠ 3 58. x . (x + 1) a. con ________ x + 5 3 . (x + 2) _____________ b. con (x – 2) . (x – 1) c. con x + 1 _3_ d. con __ 5 x3 _______________ e. con 5 . (x – 3) . (x + 7) 59. 2 . (x + 1) . (x – 2) a. _______________ 3 . (x + 3) . (x + 2) 2 + 3x – 1 x b. x__________ 2 – 3x – 1 x – 5 c. ________ 3 x . (x – 5) –3 d. x_____ 2x 3

45. Operaciones con expresio-

nes algebraicas fraccionarias 60. x . (x + 1) 1) Por ej., a. va X en ________ x –1 . 61. _____ 4 a. x x+ 2 b. (x + 2) . (x + 1) x4 c. x_____ –5 2 + 3x – 1 x __________ d. 2 2 x . (x – 1) 62. x – 25 a. ______________________ 3 x . (x + 5) . (x + 3) . (x – 3) (x + 1) . (x – 5) b. _____________ x + 2 x3 – 3x + 2 c. _________________ (x + 1)2 . x (x2 – 3x – 2) x3 . x (x2 + x + 1) d. _____________ (x + 2) . (x – 1)

63. _1_ a. __ c. 3 3 3 . (3x – 4) b. _________ d. x2 x + 1 64. a. x + 2 d. x – 3; –3x b. x + 1; x + 1 e. x2 – 3; 3 x2 c. 2x f. 5 x3 – 3; 5 x3 – 3 65. x2 – 5x – 15 a. 2____________ 3 . x (x2 – 1) 3 x – 7 x2 – 3x – 2 b. –________________ x3 . (x + 2) x + 6 c. ________ 3 . (x + 1) x3 + x2 – 49x – 38 d. 2_________________ x2 – 25 9 x2 – 50x – 17 e. _______________ 3 . (x + 2) . (x – 5) – x2 + 16x – 9 f. _____________ (x + 2) . (x – 3) 66. x2 – 9x + 2 a. 5___________ 2 . (x – 1) x3 – 5 x2 + 14x + 48 b. –__________________ 2 . (x – 2) . (x – 3) 2 + x + 18 __________ c. x x2 + 5x + 6 3x – 4 d. ________ x . (x – 2) 2__________ x2 – x – 11 e. x 2 – 2x + 4 x3 + 21 x x2 + 42x – 12 f. 3___________________ (x + 3)2 x2 + 3x – 2 g. _____________ (x + 2) . (x + 1) x2 + 3x – 17 h. 2____________ x2 + 4x + 3 46. Ecuaciones con expresiones

algebraicas fraccionarias

67. Por ejemplo, a. va X en x = 6. 68. a. ∀ x : x ≠ 0; x = 6 1 b. ∀ x : x ≠ 0; x = __ 2 c. ∀ x : x ≠ 0; x = 25 _5_ d. ∀ x : x ≠ –7 ∧ x ≠ 2; x = __ 7 e. ∀ x : x ≠ –3 ∧ x ≠ 3; x = –2 f. ∀ x : x ≠ –3 ∧ x ≠ 2; x = 0 g. ∀ x : x ≠ ±1; x = 2 _1_ h. ∀ x : x ≠ –1 ∧ x ≠ 3; x = – __ 8 69. _1_ a. x = __ f. x = –1 2 b. x = 2 g. x = 1 _6_ c. x = 6 h. x = – __ 5 _1_ d. x = ±1 i. x = __ 3 _ __ e. ∅ j. x = 27_

70. a. Falta multiplicar multiplicar el el denominador del segundo término por (x por (x ++ 3). b. El común denominador es incorrecto. 71. a. No es posible, –1 no pertenece al dominio de la ecuación. b. a = –6 c. a = –5 MENTEACTIVA Solución a cargo del alumno. INTEGRACIÓN 44.45.46 72. Va X en b. y c. 73. Solución a cargo del alumno. 74. 2 . (x + 1) –5 _____ a. ________ g. x x + 5 x + 3 3 –3 _____ b. ________ h. x x +2 2 . (x + 1) x – 2 c. –2 . (x – 1) i. ________ x . (x + 2) –5 . (x – 3) (x – 2) . (x + 1) _____________ d. _________ j. x + 2 (x + 2) . (x – 1) 3 (x – 2) +3 e. ________ k. x_____ x2 x . (x + 2) (x – 2)2 f. _______________ x . (x – 1) 1 ) . (x + 3) 75. Por ejemplo, a. Ninguna de las anteriores. 76. –1 _____ a. x x + 2 x2 – 2x + 3 b. _______________ 2 . (x – 2) . (x + 5) 2_______________ . (x – 5) . (x – 2) c. x . (x – 3) . (x – 1) 6 x3 . (x + 3) d. __________ x – 3 x __ e. 7 3 . (x + 5)2 . x2 f. _____________ (x – 2) . (x – 5) 77. 9 . (x – 3) . (x – 1) a. _______________ x2 . (x + 4) 2 b. x . (x – 1) (x + 2) . (x + 6) c. _____________ x x – 2 _____ d. x – 3 e. 1 2 + x – 6 f. x_________ x2 – 4 78. 4 . (x – 5) . (x + 7) – 1 c. x _____ — ——————————— a. x x + 1 x + 3 b. 1 d. 3x . (x – 3)

79. x2 + x + 5 a. 5__________ x – 3 1 b. x_____ –2 x3 + 5x + 3 ___________ c. 2 x 2 + 4x + 4 +2 ______ d. x 3x – 2 x2 + 2x + 8 e. –___________ x2 + x – 1 4 + 2 x3 – 6x – 2 ________________ f. – x x2 + x – 6 80. x2 + 5x – 4 a. _____________ (x + 3) . (x – 2) +3 __________ b. x2 –x + 3x + 2 x2 – 4x + 8 c. 2___________ x2 – 9 5 x2 + 7x + 10 d. x_______________ 3 + 2 x2 – 4x – 8 4 x + 3 x3 – 2 x2 e. –_____________ x3 + x2 – 6x 4 – 5 x3 – 6 x2 – 27x + 27 _______________________ f. – x x4 – 18 x2 + 81 4 + 7 x3 – 2 x2 – 11x – 5 _____________________ g. 3 x x4 + 7 x3 + 10 x2 3 + x2 + 2x – 1 ______________ h. – x 6 x4 + 7 x3 + x 2 81. Solución a cargo del alumno. 82. Solución a cargo del alumno. 83. _1_ a. x = –7, x = 1 d. x = __ 2 b. x = 25 e. x = ±1 c. ∅ f. x = ±2

2.

48. Resolución de sistemas de

ecuaciones I 3.

1_ a. S = {(1;–1)} c. S = ( ___ 2 ;5 ) 86 11 ___ b. S = ∅; S.I. d. S = ( ___ 75 ; 75 ) 4. 52 ;– __ 3 a. S = –1;– ( ___23_ ) c. S = ( ___ 33 11 ) 45 b. S = {(–4;–2)} d. S = –12; ( ___ 2 ) 5. a. S = {(6;7)} 17 ;__ _5_ b. S = – ( ___ 3 2 ) c. S = {(6;32)} d. S = Infinitas soluciones. 6. 11 _2_;__ _1_ a. S = ( __ c. S = ( 1; 1;__ 2 ) 3 3 ) _3_ _5_ 2;__ 0;__ b. S = ( 2; d. S = ( 0; 2 ) 4 )

{

{ {

7.

capítulo

7

47. Sistemas de ecuaciones

lineales. Método gráfico 1.

Va X en en b.

{ { { {

}

{

}

} } }

}

} }

{ {

} }

+ 7a = 58,10 a. 3p 6p + 5a = 57,70 Alfajor: $6,50; pastillas, $4,20.

{

{

1 l = __ 2p – 4 3 . (l – 7) = p – 7

b. Laura tiene 22 años y su papá, 52 años.

{

p + 50 c. ff =– 20 = 2 . (p – 20) Francisco tenía $120 y Pedro, $70.

AUTOEVALUACIÓN

84. Va X en en b. 85. Va X en en c. 86. a. Va X en en (0;6). en {–2;3;1}. b. Va X en en C+ = (–2;1) ∪ (3;+∞ ). c. Va X en en el tercer gráfico. d. Va X en 87. Va X en en c. 88. Va X en en b.

Soluciones gráficas a cargo del alumno. a. S = {(–2;0)}; S.C.D. b. S = ∅; S.I. c. S = Infinitas soluciones; S.C.I. d. S = {(–3;1)}; S.C.D.

d.

1 2x – __ 3 y = 25 1 __ 3 . (x – 1) + 2y – 1 = 46

{


8.

ab = 8,5 cm; bc = 12 cm. P: 41 cm MENTEACTIVA Solución a cargo del alumno.

49. Resolución de sistemas de

ecuaciones II 9.

a. S = –4;– ( ___74_ ) S.C.D. 1 0;__ b. S = ( 0; 2 ) S.C.D.

{ {

}

}

c. S = ∅; S.I. d. S = {(–16;–5)} S.C.D. e. S = – ( ___31_;3 ) S.C.D. f. S = Infinitas soluciones. S.C.I.

{

}

237

50. Sistemas de ecuaciones

mixtos

10. Va X en en b. 11. a. <; >; = b. =; <; > 12. Va X en en c. 13. Soluciones gráficas a cargo del alumno. a. S = {(–1;0), (4;5)} b. S = {(–1;0),(2;–3)} c. S = {(2;0)} d. S = ∅ e. S = ∅ 35 _1_;___ f. S = ( __ 2 4 ),(–2;0) 14. a. h(b=+ 2b 2) . (h – 3) = 165 Las nuevas dimensiones del rectángulo son 11 cm y 15 cm.

{

}

{

b. x . y =__1 168

{

x = 2 y + 8

Los números son 12 y 14. 13. a. Solución gráfica a cargo del alumno. b. x ≥ 0 y x ∈ c. 400 panchos y $8 000 de ganancia. d. Mayor que cero y menor o igual que 400 panchos.

MENTEACTIVA Solución a cargo del alumno. INTEGRACIÓN 47.48.49.50

16. a. S = {(–5;–4)} S.C.D. 14 12 ;___ b. S = ( – ___ 5 5 ) S.C.D. 17. 16 ;– __1 S.C.D. a. S = ( ___ 15 5 ) b. S = ∅; S.I.

{

{

}

d. S = {(0;–1)} S.C.D. 34 ;___ 26 e. S = ( – ___ 45 15 ) S.C.D. f. S = {(1;–8)} S.C.D. 18. _2_ b. k = __ _2_ c. No existe k. a. k ≠ __ 3 3 19. a. V b. F c. V d. F 20. _3_ a = – __ 2 238

{

}

}

–10 b. xy –=yx =. (2x – 7) 5, 15 y –1, 9. c. Se intersecan en el segundo 1, a 5,25 m y en el segundo 6, a 9 m. AUTOEVALUACIÓN Va X en: en: 31. a. 33. a. 35. d. 32. b. 34. c.

{

}

c. S = Infinitas soluciones. S.C.I.

{

21. a. –10 y –6 b. 19 de $2 y 53 de $0,50 17 e. 6 y 11 _3_ d. ___ c. y = 2x – __ 2 12 f. ^ a =^ b = 70° y ^ d = ^c = 110° 22. a. c < 2 b. c = 2 c. c > 2 23. a. S = {(–2;5),(5;12)} b. S = {(0;0)} c. S = {(6;9),(2;1)} _8_;__ _1_ d. S = (0;3),( __ 3 3 ) e. S = ∅ f. S = {(–2;8),(4;–4)} 24. _1_ y b = 3 b. Sí, el (2;6). a. a = __ 4 25. b=3 26. 55 1 ___ Los puntos son ( __ 2 ;– 3 ) y (4;–6) 27. Va X en en c. 28. a. b = –1 y c = 3 b. (–2;3) 29. a. y = x2 – 5 c. S = {(–1;–4),(4;11)} b. y = 3x – 1 30. a. 2 segundos, 8,33 m

capítulo

8

51. Teorema de Thales

1.

___

x = 11 cm; de = 10 cm; a. __ ef = 14 cm ___ __ cm; ab ___ = (6 + 3 .  2 ) cm; b. __ x = 18 __ __ bc = 3 .  2 cm; de = 3 .  2 cm; __ __ ef = (6 – 3 .  __2 ) cm c. ___ = 2,5 cm; __ x = 3 cm; ef fg = 6,5 cm;__ gh = 5,5 cm 5 + 10) cm; d. x = (5 .  __ __ ac = (4 .  __ 5 + 10) cm; __ ce = (5 .  5 + 10) cm

52. Aplicaciones del teorema

de Thales 2. 3. 4. 5.

6.

Solución a cargo del alumno. Solución a cargo del alumno. Solución a cargo del alumno. Solución gráfica a cargo del alumno. a. 2,4 cm c. 4,375 cm b. 4,2 cm d. 0,5 cm Solución gráfica a cargo del alumno. a. 6 cm c. 0,5 cm b. 0,5 cm d. 1,79 cm

53. Semejanza de triángulos

7. 8. 9.

a. con g. b. con h.

c. con e. d. con f.

a. Sí, por AA. b. No.

c. No. d. Sí, por LLL.

___ ___ ___ db; ; ed ed; ; be a. Sí, AA. d^be; dêb; db ___ ___ __ ^ ^ ^ ad; ad ; de; de ; ae b. Sí, AA. a; ade; aed; ___ _ _ _ _ ^ ^ ^ de; df; c. Sí, LLL. e; d; f; _de _ ; _df _ ; _ef _ ^ ^ db;; dc dc;;_bc d. Sí, AA. c; b dc; db __ _ ___ d; ^ e; a ^ be; ae ae; be;; ab e. Sí, AA. ^ _;_ be __ ___ ^ ^ ^ cd;; ec ec;; ed f. Sí, AA. d; d ec; e cd; cd 10. y = 4,4 cm a. x = 3,5 cm; __ b. x = 2 .  5 cm; y = 3,8 cm 10 cm; y = __ _2_ cm c. x = ___ 5 3 d. x = 2,5 cm; y = 3,2 cm e. x = 3 cm; y = 12 cm f. x = 1 cm; y = 6,83 cm INTEGRACIÓN 51.52.53 11. a. x = 2,2 cm; ___ y = 9,5 cm; __ ac = 9 cm; bd___= 5 cm; ___ eg = 5,4 cm; gh = 1,3 cm __ b. = 6 cm; ac = 16 cm; ___ x = 4 cm; y___ ab = 10 cm; pq = 4,8 cm; ___ ap = 8 cm 12. Solución a cargo del alumno. 13. Solución a cargo del alumno. 14. Solución a cargo del alumno.

15. a. 2,6 cm c. 6,54 cm b. 2,25 cm d. 3,57 cm 16. a. 4,125 cm c. 2,54 cm b. 10,5 cm d. 2,5 cm 17. a. 1,60 m b. 3,83 m 18. No son paralelas. 19. ___ ___ a. pq __ = oq = 6 cm __ b. df = 16,8 cm; bc = 5,4 cm 20. Solución a cargo del alumno. 21. Solución a cargo del alumno. __ 22. ___ __ = _8_ = 4; x = 4 cm; bc df ___2 __ ac ab 12 ___ ___ = ___ = 4; ___ __ = _4_ = 4 1 3 ef de Por lo tanto son semejantes. 23.__ ___ bc ___= 8,44 cm; mn = 13,3 cm; mp = 9 cm 24. Solución a cargo del alumno. 25. a. El mástil mide 3,9 m. b. La sombra mide 0,79 m. 54. Trigonometría

26. a. b; a; a; b b. Solución a cargo del alumno. 27. α = 0,6 β = 0,8 a. sen ^ sen ^ ^ α = 0,8 cos ^ cos β = 0,6 α = 0,75 β = 1,3 tg ^ tg ^ ^ β = 0,75 cotg α = 1,3 cotg ^ ^ α = 1,25 sec ^ sec β = 1,6 α = 1,6 β = 1,25 cosec ^ cosec ^ ^ ^ b. sen α = 0,848 sen β = 0,53 cos ^ cos ^ α = 0,53 β = 0,848 ^ ^ tg α = 1,6 tg β = 0,625 ^ cotg ^ α = 0,625 cotg β = 1,6 α = 1,887 β = 1,179 sec ^ sec ^ ^ β = 1,887 cosec α = 1,179 cosec ^ 55. Cálculo de razones

trigonométricas

28. a. Por ejemplo, fila 1: 0,9063; 0,42262; 2,1445; 1,10338; 2,3662; 0,46630.

29. Por ejemplo, fila 1: a. 56° d. 77° 41’ 51” b. 42° e. 66° 55’ 13” c. 70° f. 56° 30. a. 2 c. 3 __ 5 7 + ___ 17 . __ _ _ b. 6 .  3 – 1 d. ___ 12 5  3 31. a. 26° 33’ 54” b. 38° 39’ 35” 56. Resolución de triángulos

rectángulos

32. __ a. â = 50°; ac = 7,83 cm; __ ab = 5,03 cm__ ^ b. __ b = 60°; ac = 6 cm; bc = 6,93 cm ^ ^ c. ___ a = 35° 41’ 7”; c = 54° 18’ 53”; ab = 9,75 d. x = 6,69 cm; y = 4,37 cm e. x = 11,28 cm; y = 0,64 cm; z = 7,45 cm f. x = 5,2 cm; y = 0,64 cm; z = 2,86 cm 33. a. 12,87 cm b. 10,50 m 57. Teoremas del seno y del

coseno

34. a. â = 27° 57’ 57”; ^ c = 22° 2’ 3”; __ ac = 24,50 cm___ ^ b. __ c = 109°; ab = 15,11 cm; bc = 10,90 cm c. ^ a = 27° 7’ 36”; ^ b = 22° 19’ 54”; ^c = 130° 32’ 30” d. ^ a = 22° 28’ 53”; ^ b = 122° 31’ 7”; __ ac = 22,05 cm ___ ^ e. a = 43°; ab = 4,59 cm; __ bc = 6,89 cm ___ f. ^c = 23°; ab = 14,60 cm; __ ac = 26,43 cm 58. Resolución de triángulos

oblicuángulos

35.___ ___ mp = 19,78 cm; nq = 11,35 cm 36. ^ p___ sq =__39° 49’ 17”; __ pq = rs = 10,60 cm; qr = 7,04 cm 37. x = 6 cm; y = 7,86 cm 38. ^ c = 50° 25’ 3”; ^ a = 96° 22’ 46”; ^ ^ b = d__= 106° 36’ 6”; __ bc = cd = 7 cm

39. a. 17,82 m b. Pablo, 8,32 m y Lura, 12,48 m. 40. a. Los ángulos miden 134° 37’ 6”; 20° 50’ 56” y 24° 31’ 58”. b. ^c = 15° 33’ 49” 41. a. 8,5 m b. 25,28 m 42. La pared mide 7,70 m de alto. 43. a. 46,58 m b. 11,45 km 44. P: 25,98 cm MENTEACTIVA Solución a cargo del alumno. INTEGRACIÓN 54.55.56.57.58 45. a. Solución a cargo del alumno. b. Por ejemplo, fila 1: 0,34202; 0,93969; 0,36397 46. a. F b. V c. V d. F 47. Solución a cargo del alumno. 48. Solución a cargo del alumno. 49. Solución a cargo del alumno. 50. Solución a cargo del alumno. 51. Por ejemplo, fila 1: 0,99619; 0,08716; 11,43001 52. __ 6 – _3_ c. 3 a.  __ e. 4 4 4 __ b. _32_ d. – _65_ .  3 53. ^ α = 54° 27’ 44” 54. Solución a cargo del alumno. 55. __ a. 18 .  3__ b. 33° 41’ 25” c. (2 +  3 ) cm. Los ángulos miden 65° 6’ 14” y 24° 53’ 46”. d. 26° 33’ 54” e. 41° 48’ 37” f. Se encuentran a 4 249,35 km. 56. Solución a cargo del alumno. 57. a. 14,4 cm b. 33,54 cm c. 49,27 cm d. 90°, 90°, 35° 1’ 1” y 144° 58’ 59”

239

58. a. 61 48’ 48” b. 75,25 km

c. ^c = 15° 33’ 49”

AUTOEVALUACIÓN Va X en: 59. a. 61. a. 63. c. 60. c. 62. c. 64. d.

capítulo

9

59. Combinatoria

1.

2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

a. 144 c. 336 b. 5 040 d. 10 712 a. x = –2 300 a. 20n

b. x = 2 400 b. (160n + 320) . n!

a. 11! = 39 916 800 formas. b. 6! = 720; 5! = 120 c. 4! = 24; 3! = 9; 2 . 3! = 12 d. 3 360; 181 440. e. 420 números. 150 números. a. 60 a. n = 6

b. 2 184

c. 840

b. n = 2

a. 6 840; 203 = 8 000 b. V 174 = 57 120 a. 120 b. 120

c. V 106 = 151 200 d. 205

9.

a. 126 c. 1 330 e. 120; 20 b. 3 003 d. 560 10. 1 a. 792 b. 141 c. 336 d. ____ 252 11. Va X en: a. x = 3 b. x = 2 c. 1 260 MENTEACTIVA Solución a cargo del alumno. 60. Binomio de Newton.

Triángulo de Pascal

12. a. V b. F c. F d. V 13. a. x4 + 12x3 + 54x2 + 108x + 81 b. x5 – 10x4 + 40x3 – 80x2 + 8x – 32 c. x5 + 10x 4y + 40x3y2 + 80xy4 + 32y5 15 x8 – _5_ x6 + ___ 15 x4 – d. x12 – 3x10 + ___ 2 4 16 3 x2 + ___ 1 ___ 16 64

240

14. a. 1 287 v10 w8 b. 5 376 y6 15. a. Va X en –8 064 x15 b. Va X en 1 458 z4 16. a. a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5 b. x10 – 15x8 y3 + 90x6 y6 – 270x4 y9 + 405x2 y12 – 243y15 17. a. 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1; 9.° potencia del Bin. de Newton. b. a9 – 9a8 + 36a7 – 84a6 + 126a5 – 126a4 + 84a3 – 36a2 + 9a – 1 61. Probabilidad

18. 1 b. _1_ c. _5_ d. _1_ e. _1_ f. 0 a. __ 2 2 2 6 6 19. 1 a. __ c. _49_ d. _59_ 3 b. 0 20. P(A) = _56_; P(B) = _21_ 21. 95 14 ____ 80 a. ____ b. ____ 189 189 ; 189 62. Probabilidad condicional

22. Por ejemplo, fila 1: 52%. 5 3 a. ___ b. ___ c. _25_ 52 16 23. Por ejemplo, fila 1: 150. a. P(ag) = 0,01; P(ag|A) = 0,013; P(ag|B) = 0,01 y P(ag|C) = 0,005. La más segura es la marca C. b. P(ang|C) = 0,30 INTEGRACIÓN 59.60.61.62 24. 3n . (n + 2!) 45 ___ a. __________ n+4 ;A= 7 12 b. _____ n – 2 ; A = 12 25. a. 40 320 e. 220 b. 462 f. 24; 6 c. 91 g. 3 838 380 d. 126; 56 h. 30 240 26. 71 a. x = ___ b. z = 4 584 2 c. No tiene solución, pues y = 0. 27. Va X en: a. 5 040 formas distintas. b. 840 maneras de ocuparlos. c. 364 números. 28. 3 628 800 formas de colocarse.

29. 5 + 10z – 10z4 + 5z7 – z10 1 – __ a. __ z57 z2 6 b. x + 14x 84x5 + 280x4 + 560x3 + 672x2 + 448x + 128. c. Solución a cargo del alumno. 30. a. a8; b16 b. 10y17 31. 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1; 4.° término, 210. 32. Va X en: 8 5 a. ___ 63 x b. Ninguna de las anteriores. 33. 4 1 _4_ ___ a. _81_; _38_; _21_ b. ____ 720 c. 7 ; 21 34. 12 a. 0,625 b. A: _31_; C: ___ 47 35. Va X en: a. Ninguna de las anteriores. 22 b. ___ c. _35_ d. _37_ 42 AUTOEVALUACIÓN Va X en: 36. c. 38. c. 40. b. 37. a. 39. a. 41. a. 42. 70 170 150 110 ____ ____ ____ a. ____ 355 b. 225 c. 355 d. 725

¿PARA QUÉ

SIRVE?

Índice LOS NÚMEROS REALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 LA APROXIMACIÓN Y EL ERROR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 LAS SUCESIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 LAS FUNCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 FUNCIÓN LINEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 DISTANCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 FUNCIÓN CUADRÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 POLINOMIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS . . . . . . . . . . . . . . . . 10 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES . . . . . . . . . . . . . 11 TEOREMA DE THALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 TRIGONOMETRÍA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 COMBINATORIA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 PROBABILIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

.. irvvee.? ¿¿PPaarraaqquuééssir capítulo 1 contenido

1

Los números reales

Los diferentes conjuntos de números fueron surgiendo en la historia de acuerdo a la necesidad de contar y medir, pero ¿acaso hay algo cuya medida no sea un número racional? Hace más de 2000 años, los pitagóricos creían que todas las medidas podían expresarse de la forma _ba_ con a y b enteros, con b ≠ 0. Sin embargo, esta idea tambaleó cuando quisieron expresar la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1. De todos modos, como esto contradecía parte de sus creencias, ya que no representaba un número conocido para ellos, decidieron no revelar este “secreto”. Hoy sabemos, utilizando el teorema de Pitágoras, que la diagonal de un cuadra__ do de lado 1 mide  2 y este número no es racional, es decir, no puede escribirse como _ba_ con a y b enteros. Con el mismo criterio, por ejemplo, en un triángulo rec__ tángulo de catetos 1 y 2, aparece  5 como medida de la hipotenusa, que tampoco es un número racional. Si bien en esa época se descubrió la existencia de números no racionales, a los que llamaron “inconmensurables”, su notación actual surgió recién en el siglo XVII, es decir, unos 2000 años después de su descubrimiento. Ahora... ¿con los números reales alcanza para medir todo lo que nos rodea? La respuesta es sí, porque agregando los números irracionales la recta real está completa. Es decir, no tiene “agujeritos”, cosa que sí pasa cuando marcamos en ella solo los números racionales. Por ejemplo, si se pudiera caminar por la recta que no incluye a los números irracionales, correríamos el __ riesgo de caernos en el “agujero” que se encuentra a distancia  2 del origen. Si bien en términos prácticos usamos para medir los números raciona__ les —no hay una diferencia significativa en decir que algo mide  2 o 1,41 y si se necesita más precisión, se puede decir que mide 1,414213 y así sucesivamente cada vez que se requiera más exactitud—, contar con los números reales hizo posible el surgimiento de una rama de la matemática: el análisis. Muchas nociones, como las ideas de velocidad y de aceleración, pueden definirse gracias a que contamos con los números reales. ¡Y así casi todo lo que se irá viendo a lo largo de este libro descansa en el hecho de que se puede caminar tranquilo por la recta real sin riesgo de caerse!

Actividades ___ ___ ___ 1. Encuentren triángulos rectángulos cuya hipotenusa mida 13 , 17 y 29 . √ √ √ ___ ___ ___ 2. Verifiquen que √13 , √17 y √29 son números irracionales.

1. 2 y 3; 1 y 4; 2 y 5 __ 2. Se prueba del mismo modo que se prueba que  2 es irracional, utilizando el hecho de que 13, 17 y 29 también son números primos. 2

capítulo 1 contenido

2

La aproximación y el error

En nuestra vida cotidiana nos la pasamos “aproximando”, porque decir todo con una precisión del 100% no solo sería muy costoso, sino que en ocasiones nos resultaría imposible y, en la mayoría de los casos, no es necesario. Así, por ejemplo, cuando decimos: “En el recital había unas 1 000 personas”, estamos haciendo una estimación de acuerdo con lo que vimos; cuando decimos: “Son las 3 y media” y en verdad el reloj marca las 3:31 horas con 34 segundos, también estamos aproximando. En matemática y en las ciencias en general pasa lo mismo: no siempre es necesario tener una precisión absoluta para poder concluir algo útil e interesante. Muchas veces no necesitamos tanto grado de precisión y más aún, en la mayoría de los casos, ¡es imposible poder hacerlo! Por ejemplo, podemos considerar que la Tierra es una esfera, cosa que no es cierta, pero sin dudas esta afirmación nos permitirá hacer algunas cuentas para aproximar 58 es igual a 0,58 cuando su volumen. También podemos considerar que el número ___ 99 en verdad es 0,58 o podemos decir que π es 3,14, cosa que tampoco es cierta, pero para hacer cuentas es útil y nos brinda resultados aproximados. Así, en el primer caso es muy costoso decir con precisión cuál es la forma de la Tierra; en el segundo, no necesitamos tanta precisión para nuestras cuentas y son más cortas al considerar el número truncado y, en la tercera, por más que quisiéramos, dado que el desarrollo decimal de π es infinito, sería imposible escribirlo completamente. Ahora, ¿qué tan buenas son estas aproximaciones? ¡Depende! Si quisiéramos conocer la cantidad de personas que hubo en el recital para saber si el lugar estaba lleno o no, entonces la aproximación sirve, pero si le quisiéramos regalar una gaseosa a cada persona que asistió, necesitaríamos una mayor precisión porque no querríamos que nadie se quedara sin su bebida. Pasa lo mismo en matemática, la precisión de una aproximación va a depender del contexto y de para qué se quiera usar la información. Vale recalcar que, así como en la vida no podríamos ni hablar si esperamos que nuestros dichos tengan un 100% de precisión, en matemática y en ciertas ciencias, no podríamos tener el enorme caudal de conocimiento si no nos permitimos aproximar, aunque no debemos ignorar que cuando lo hacemos el conocimiento es aproximado.

Actividades 1. Supongamos que nuestra calculadora trabaja con dos dígitos después de la coma. Si 1 ingresamos _____ 1 000 , ¿qué número es para la calculadora? 1 2. Si en la misma calculadora realizamos la siguiente cuenta: 1000 . _____ 1 000 , ¿cuál es el error cometido por la calculadora? ¿Les parece una buena aproximación? 1. 0 2. El error es 1, pues la cuenta da 1 y la calculadora hace 1 000 . 0 = 0. Por lo tanto, no parece una buena aproximación. 3


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Las sucesiones

En enero de 2013, Martín decide empezar a anotar el dinero que tiene ahorrado mes por mes. Al comenzar el año tiene $3000; al finalizar el primer mes tiene $5000; el segundo, $7000; el tercero, $9000; el cuarto, $11000 y el quinto y último mes que tiene anotado, tiene $13000. ¿Podemos saber cuánto dinero tendrá el mes que viene? ¿Y en 2 años? Como podemos observar, a partir del segundo mes sus ahorros aumentan $2000 por mes, así el mes que viene tendrá $15000 y en 2 años, tendrá $61000; a los $13000 que tiene se le suman los $48000 (24 meses a $2000 por mes). Si quisiéramos precisar una manera de sintetizar cuánto dinero tiene Martín ahorrado en el mes n (a partir de enero de 2013) escribiríamos: “Ahorros de Martín en el mes n = $3000 + $2000 . n”. En este ejemplo, intentamos buscar alguna regularidad que nos permita ajustar el comportamiento de los ahorros de Martín a cierta fórmula para intentar predecir el futuro de sus ahorros. Si bien esto no es totalmente exacto porque estamos haciendo algunos supuestos como que no cambia el trabajo, el monto de sus ahorros, ni su estilo de vida, etc., nos permite obtener algunas conjeturas. Por ejemplo, “no es probable que Martín pueda comprarse una mansión de millones de pesos en 2 años” o “es muy probable que pueda comprarse un auto de alrededor de $60000 en 2 años”. Lo que hemos generado es un modelo matemático del comportamiento de los ahorros de Martín, representado con una sucesión y, a partir de este modelo, podremos responder algunas preguntas. Un ejemplo muy conocido, que también se modeliza con una sucesión, es la propuesta de Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci. Allá por el siglo XIII, se encontraba estudiando cómo evolucionaba la población de conejos. Partió de los siguientes supuestos: los conejos alcanzan la madurez sexual a la edad de un mes, momento en el que se aparean y la hembra siempre resulta preñada; el período de gestación es de un mes y la hembra siempre da a luz una pareja de conejos de sexos opuestos. El primer mes tenía una pareja de conejos; el segundo mes también tendría la misma pareja pues recién a partir de aquí están aptos para reproducirse y hay que esperar el mes de gestación. El tercer mes tendría dos parejas, pues nacieron los que estaban gestándose; el cuarto mes tendría tres parejas, pues la pareja que ya podía reproducirse tiene una pareja al mes, pero la otra aún debe esperar el mes de gestación. El quinto mes tendría cinco parejas; el sexto mes, ocho... De esta manera pudo observar que la cantidad de parejas de conejos en el mes n es la suma de las cantidades de los dos meses anteriores. Entonces, si Fn es la cantidad de parejas de conejos en el mes n, Fn = Fn–1 + Fn–2 ( n ≥ 3) y así también, obtuvo un modelo matemático que le permitió predecir qué pasaría con esa población de conejos.

Actividades 1. ¿Por qué creen que funciona la fórmula que descubrió Fibonacci para estudiar la cantidad de conejos? 2. ¿Qué otros supuestos ha hecho Fibonacci para que sea verdadera la fórmula descubierta? 1. Se desprende de lo escrito anteriormente, la idea es que lo miren con cuidado. 2. Por ejemplo, que los conejos no mueren. 4


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Las funciones

Supongamos que queremos publicar algo en Facebook y que lo vea la mayor cantidad posible de gente. ¿En qué momento del día nos convendría publicarlo? ¿Será lo mismo hacerlo a cualquier hora? Una opción para responder a estas preguntas sería analizar la cantidad de amigos que tenemos conectados en las diferentes horas del día. ¿Tengo la misma cantidad a las 8 de la mañana que a las 10 de la noche? ¿A qué hora tendré más amigos conectados? ¿Dependerá también del día de la semana? Para casos así, nos sería de gran utilidad tratar de encontrar una función que modelice la cantidad de amigos conectados que tenemos en Facebook en relación con la hora del día, y tal vez también con el día de la semana. Lo que nos interesa es encontrar el máximo de esta función, y así saber a qué hora tenemos más amigos conectados. Si suponemos que a la hora en la que hay más amigos conectados, más gente verá mi publicación, entonces tendríamos la respuesta a nuestra pregunta. Si miramos a nuestro alrededor, vemos que muchas cosas que nos rodean están relacionadas con otras. Por ejemplo, el clima y nuestro estado de ánimo, el precio de un producto y la cantidad de unidades que compramos, la simpatía de las personas y qué tan bien nos caen, los alimentos y su cantidad de kilocalorías, los programas de televisión y su rating, la hora y el lugar donde estamos, el precio de Internet y la cantidad de usuarios que tienen dicho servicio, la cantidad de metros cuadrados de un terreno y la cantidad de pisos que puedo construir, y así podríamos nombrar muchísimas relaciones más. Muchas de estas situaciones se pueden modelizar usando funciones. Justamente, estudiar estas funciones nos permitirá responder preguntas sobre el fenómeno en cuestión, describirlo e incluso poder anticiparnos y hacer predicciones. Así, por ejemplo, los economistas se dedican a modelizar y estudiar funciones que les permitan a sus empresas maximizar sus ganancias; los meteorólogos, a modelizar y estudiar funciones que les permitan predecir el clima; los ingenieros civiles, funciones que les permitan concluir qué cantidad de materiales necesitan para construir cierto puente; los médicos, a modelar y predecir el comportamiento de epidemias. Como ven, en cada área hay funciones que nos permiten conocer, entender y predecir mejor el mundo que nos rodea.

Actividades 1. ¿Qué otras variables pueden influir en la cantidad de amigos que vean mi publicación en Facebook? 2. Casi todas las empresas quieren maximizar sus ganancias y para eso deben analizar a qué precio les conviene vender su producto. ¿Es cierto que mientras mayor sea el precio, más ganancias tendrán? ¿De qué más depende? ¿Cómo podría ser la función de ganancia en relación al precio? 1. La cantidad de gente que hace publicaciones a cada hora; por ejemplo, si mucha gente publica, entonces el Inicio se llena y la gente presta menos atención a cada publicación en particular. 2. No es cierto que mientras mayor sea el precio mayor será la ganancia, pues dependerá de la cantidad de productos que se vendan. 5


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Función lineal

Las funciones sirven para modelizar múltiples situaciones de la vida cotidiana. Particularmente, las funciones lineales son muy utilizadas por su simpleza para ser analizadas matemáticamente. De ellas conocemos todo: podemos resolver fácilmente las ecuaciones asociadas, determinar si son crecientes o decrecientes, la tasa de crecimiento o decrecimiento y cuál es la imagen en cada punto. Es decir, lo mejor que nos puede pasar es poder modelizar lo que queremos estudiar mediante una función lineal. De hecho, muchas veces hay fenómenos que no son lineales, pero se comportan de esta manera en ciertos períodos o son bastante parecidos a una función lineal y entonces se prefiere considerar estos modelos lineales en vez de otros más complejos que serán más difíciles de estudiar matemáticamente. Algo que ha mantenido, y mantiene, a muchos científicos investigando es el tema de “la memoria”. Algunas cosas se saben y muchas otras aún no, pero vamos a focalizarnos en un experimento del psicólogo Stenberg, que trataba de investigar cómo se produce el almacenamiento y la recuperación de la información. Para esto, básicamente Stenberg le mostraba a los sujetos un conjunto de dígitos durante un cierto tiempo y luego les pedía que indicaran si algún dígito en particular estaba o no en el conjunto inicial. Después de repetir este proceso y estudiar sus resultados, conjeturó que el tiempo de reacción R —lo que tarda la persona en responder por sí o por no— es una función lineal, dependiendo del tamaño del conjunto inicial N, representada por R = 38N + 397, medido en milisegundos. Entre otras cosas, a partir de este experimento, Stenberg observó que el tiempo de reacción R no depende de si el dígito está o no en el conjunto inicial. En el ámbito de la medicina, el crecimiento de un feto a partir de la semana 12 de embarazo se puede aproximar por la función L = 1,5t – 6,7 donde L es la longitud en centímetros y t es la edad del feto medida en semanas. Así, por ejemplo, en la semana 18 la medida del feto es de aproximadamente 20,3 cm. PESO POR EDAD EN MUJERES (desde el nacimiento hasta 5 años)

El peso de un niño, a partir de los 8 o 10 meses, también se puede considerar que es lineal en función de la edad, como puede observarse en los gráficos de la Organización Mundial de la Salud (OMS). Otro dato interesante, extraído también de estudios de la OMS, es que podemos estimar nuestra altura midiendo solamente la distancia del suelo a nuestra rodilla. Para varones de 6 a 18 años, la fórmula es A = 2,22R + 40,54 y para mujeres de 6 a 18 años, la función está descripta por A = 2,15R + 43,21, donde A es la altura de la persona y R la distancia entre el suelo y la rodilla. Obviamente, estas mediciones no son exactas, el error es de ±8,42 cm en los varones y de ±7,79 cm en las mujeres en el 95% de los casos. Sin embargo, a pesar de no ser exacta, es una buena aproximación lineal de nuestra altura.

Actividades 1. Confeccionen una tabla con la altura de sus compañeros y la distancia del suelo a la rodilla. Luego apliquen la fórmula mencionada y calculen el error que se comete al aplicar la aproximación en cada caso. 2. ¿Qué otros ejemplos de la vida cotidiana se modelizan a través de funciones lineales? 6


) g k ( o s e P

meses nacimiento

1 año

2 años 3 años EDAD (MESES Y AÑOS

4 años

5 años

PESO POR EDAD EN VARONES (desde el nacimiento hasta 5 años)

) g k ( o s e P

meses nacimiento

1 año

2 años 3 años EDAD (MESES Y AÑOS

4 años

5 años


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Distancia

Seguramente, lo primero que se nos viene a la mente, cuando hablamos de distancia, es aquella que hay entre dos lugares o dos ciudades, pero el concepto de distancia puede ser utilizado en muchos otros contextos. Para esto es necesario preguntarse cuáles son las características que hacen a este concepto.

1. La distancia siempre es un número mayor o igual a cero. De hecho, si observamos en un mapa, nos damos cuenta de que las medidas nunca son negativas. 2. La distancia es igual a cero solo en el caso de que el lugar de partida y el de destino sea exactamente el mismo. 3. La distancia de c a d es igual a la distancia de d a c , pues medir de un lado a otro o al revés es lo mismo. 4. La distancia entre dos lugares siempre es menor o igual que si se pasa por un tercer lugar. Por ejemplo, para ir de Rosario a Buenos Aires cualquier camino que pase por otro lugar será más largo o igual que ir directamente. Esto es lo que se conoce como “desigualdad triangular”. Un desafío es encontrar una fórmula que nos permita calcular la distancia entre dos palabras. ¡Sí, entre dos palabras! Para poder hacer esto tenemos que tener en cuenta que por ejemplo, si dos palabras son iguales, la distancia tiene que ser cero. Además, si dos palabras son “parecidas” entonces la distancia entre ellas debería ser pequeña y así, mientras más parecidas sean, menor debería ser su distancia. En principio, tendríamos que preguntarnos qué queremos medir: si dos palabras son parecidas en significado o si se escriben parecido. En esta ocasión, estudiaremos la segunda opción. Entonces, queremos que dos palabras “estén cerca si se escriben parecido”. Una opción es comparar caracter a caracter y sumar 1 si son diferentes y 0 si no. En el caso de palabras de distinta longitud sumamos 1 por cada caracter de diferencia. Supongamos que uno está tipeando rápido y pone “leta” en vez de “letra”; con la definición anterior estas dos palabras estarían a distancia 2. Sin embargo, pareciera estar más cerca “leta” que “lerda”, que también está a distancia 2 de “letra”. Teniendo en cuenta lo anterior, podemos mejorar nuestra noción de distancia entre dos palabras diciendo que es la menor cantidad de pasos que se necesitan para que una palabra se convierta en la otra, donde las operaciones permitidas para llevar a cabo esta conversión son la inserción o la eliminación de una letra y la sustitución de una letra por otra. De este modo, para pasar de “leta” a “letra” solo necesito insertar una “r”, con lo cual la distancia entre ambas palabras es 1. Esta distancia se conoce como Distancia de Levenshtein . Esta es una de las distancias más usadas en los correctores ortográficos; si una palabra no está dentro del diccionario del corrector, este propone posibles cambios. Estos posibles cambios son las palabras del diccionario que están “más cerca” de la que hemos escrito, según esta noción de distancia.

Actividades 1. ¿Por qué te parece que se llama así la “desigualdad triangular”? 2. Si consideramos la distancia de Levenshtein, las palabras “parto”, “pardo” y “caro”, ¿qué distancia tienen con la palabra “cardo”? ¿Cuál está más cerca? 3. ¿A qué distancia están las palabras matemática y maravillosa? (distancia de Levenshtein) 1. Se llama desigualdad triangular pues con los tres puntos se determina un triángulo y en este, la medida de un lado es siempre menor o igual que la suma de las medidas de los otros dos. 2. Parto, distancia 2; pardo, distancia 1; caro, distancia 1. Las palabras pardo y caro están más cerca.

Respuesta: Están a distancia 8.

7


23

Función cuadrática

Las funciones describen relaciones y nos ayudan a analizar comportamientos como el valor de una acción en la bolsa, la ganancia de un negocio o la cantidad de una sustancia en nuestro cuerpo. Algunos de estos comportamientos están descriptos por funciones cuadráticas. Un ejemplo intramatemático es la relación entre el lado de un cuadrado y su área: si el lado del cuadrado mide 1, su área será 1. Si el lado del cuadrado mide 2, entonces su área será 4. Si el lado del cuadrado mide 3, su área será 9... En general, obtenemos que si el lado del cuadrado es x entonces su área es x 2, es decir, el área está descripta por una función cuadrática muy particular. Lo mismo sucede en los deportes que involucren una pelota, sea del tamaño que fuere, como el golf, el béisbol, el voley, el fútbol y el básquet. ¿Alguna vez observaron la forma que describe la pelota? Si pateamos una pelota, esta se eleva, recorre una cierta distancia elevándose cada vez más, hasta que llega a un punto donde empieza a bajar, recorriendo “el mismo camino”, pero al revés que en la primera parte. Podemos decir que la trayectoria de la pelota describe una parábola. ¿Para qué nos sirve esto? Los modelos matemáticos permiten entender mejor el comportamiento de lo que se está estudiando y además nos sirve para predecir, con cierto grado de precisión, lo que ocurrirá. Por ejemplo, una vez que la pelota ha alcanzado el punto máximo sabemos que la trayectoria será “la misma, pero al revés” de lo que ya recorrió y esto, por ejemplo en béisbol, nos servirá para anticipar adónde ir a buscar la pelota. Otro ejemplo interesante que puede estar descripto por una función cuadrática es la ganancia que se obtiene en función del precio al cual se vende cierto producto. Si llogramos descubrir qué función se ajusta a modelizar este hecho, entonces podremos predecir cuántos productos venderemos a cada precio y así, por ejemplo, también podremos saber a qué precio venderlos para obtener la ganancia máxima.

Actividades

1. En el béisbol, mientras más lejos tiremos la pelota, más tiempo tendremos para recorrer las distintas bases. a. ¿Qué características tendrá que tener la fórmula de la función cuadrática que corresponde al tiro para que esta distancia sea lo más grande posible? b. ¿Cómo se traduce eso al tiro? 2. Se sabe que si cada ejemplar de una novela se vende a $150, entonces la ganancia es de $5000. Si, en cambio, se vende cada libro a $180 o a $220, se obtiene la misma ganancia y esta es de $9200. a. Si suponemos que la función que modeliza la ganancia en relación al precio de venta es una función cuadrática, ¿cuál es su fórmula? b. ¿A qué precio se obtendrá la mayor ganancia? c. ¿Cómo pueden explicar que vendiendo a $180 y $220 se gane lo mismo?

1. a. El valor de a debe ser chico en valor absoluto. b. Es un tiro largo y bajo. 2. a. g(p) = –2p2 + 800p – 70 000. b. La ganancia máxima es $10 000, vendiendo a $200. c. Obtenemos la misma ganancia con $180 y $220, por ejemplo porque vendemos menos libros a $220. 8


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Polinomios

Supongamos que Andrés piensa un número del 1 al 100 y Vicky lo tiene que adivinar. Cada vez que Vicky dice un número, Andrés le indica si el número que pensó es mayor o menor. En este juego, a Vicky le conviene ir partiendo el conjunto de números a la mitad para acotar la cantidad de posibilidades; por ejemplo, si dice 50, estaría descartando al menos 51 números, salvo que el número pensado por Andrés sea 50, por lo que Vicky habría adivinado directamente. Si Andrés dice que es menor, el número a adivinar estaría entre 1 y 49, y si dice que es mayor estaría entre 51 y 100. Con cualquier otro número, por ejemplo 20, podría tener mucha suerte y entonces quedarse con el conjunto del 1 al 19, pero ro también podría tener mala suerte y quedarse con el conjunto del 21 al 100 que es mucho más grande que los conjuntos anteriores, por lo que es más conveniente “partir a la mitad”. ”. Esta misma idea puede aplicarse a encontrar soluciones de ecuaciones. Si bien es cierto que hemos aprendido a resolver ecuaciones como a x2 + bx + c = 0 y de hecho, tenemos una fórmula que nos indica cuáles son sus soluciones, no es fácil resolver, por ejemplo, x8 + x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – 2x – 2 = 0. No porque nosotros no sepamos, sino porque encontrar las soluciones de una ecuación no siempre es posible como en el caso de la ecuación cuadrática. Por suerte, no siempre queremos calcular la solución exacta y es ahí donde aparece Bolzano, quien nos brinda un método para encontrar una solución tan buena como uno quiera. ¿Cómo es esto? Supongamos que queremos hallar una solución de P(x) = x5 – x4 + 1 = 0. Como P(0) = 1 y P(–1) = –1, sabemos por el teorema de Bolzano que hay un x que pertenece al intervalo [–1,0] tal que P(x) = 0. 1 1 __ Entonces, si partimos el intervalo en dos, obteniendo los intervalos [ –1;– __ 2 ] y [ – 2 ;0 ], sabemos que en alguno de ellos está ese x que buscamos. Teniendo en cuenta el teorema de Bolzano nuevamente, como P( – _21_ ) > 0 y P(–1) < 0, el x que buscamos está incluido en [ –1;– __21 ] y si volvemos a partir el _3_ > 0, entonces intervalo en dos y repetimos el procedimiento, obtenemos [ –1;– _34_ ] y [ – _43_;– _21_ ], P – ( 4 ) nos quedamos con [ –1;– _43_ ]. Repitiendo este proceso, vamos obteniendo intervalos cada vez más chicos que contienen el x que buscamos:

[ –1;– _78_ ] y [ – _78_;– _34_ ], P( – _78_ ) < 0 ∧ P –( _34_ ) > 0 entonces nos quedamos con [ – _78_;– _34_ ]; 13 13 _3_ 13 > 0 ∧ P – _7_ < 0 entonces nos quedamos con – _7_;– ___ ___ _7_ ___  [ – ;– ( 8 ) [ 8 13 ( ___ 8 16 ] y [ – 16 ;– 4 ], P – 16 ) 16 ]; 27 27 ___ 13 27 > 0 ∧ P – _7_ < 0 entonces nos quedamos con – _7_;– ___ _7_ ___ ___  [ – ;– [ 8 27 ( 8 ) ( ___ 8 32 ] y [ – 32 ;– 16 ], P – 32 ) 32 ]; 55 55 ___ 55 < 0 ∧ P – ___ 55 ___ 27 27 _7_ ___ ___ ___  [ – ;– ( 27 ( ___ 8 64 ] y [ – 64 ;– 32 ], P – 32 ) > 0 entonces nos quedamos con [ – 64;– 32 ]; 64 ) 109 109 ___ 109 > 0 ∧ P – ___ 109 55 ;– ____ 27 55 ____ ___ ___ ____  [ – ( ____ ( 55 128 ) 64 128 ] y [ – 128 ;– 32 ], P – 64 ) < 0 entonces nos quedamos con [ – 64;– 128 ]. 

De este modo —utilizando repetidamente el truco de partir el intervalo al medio y luego el teorema 109 55 ;– ____ de Bolzano—, podemos decir que hay una raíz de P en el intervalo [ – ___ 64 128 ] y todos los números incluidos en este intervalo son de la forma –0,85. Ahora, si nos basta con dos dígitos después de la coma, podríamos decir que una “solución” es –0,85, pero si necesitáramos una mayor precisión, tendríamos que seguir con este proceso. Este método se conoce como el Método de Bisección.

Actividades 1. ¿Cuánto da P evaluado en la “raíz” que encontramos? 2. ¿Cuán lejos está la verdadera raíz de P de –0,85? 1. 0,034288438 2. Sabemos que la raíz será de la forma –0,85 pues así son todos los números donde está el x 1 que buscamos, con lo cual el error será menor que ____ 100 (también se puede ver porque la longi1 ____ tud del intervalo considerado es 128 ). La raíz con más grado de precisión es –0,856675 que evaluada en P da –0,000000605.

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Factorización de polinomios

Hay diferentes maneras de expresar lo mismo y, en general, se utiliza una escritura u otra dependiendo de lo que se quiera enfatizar o de la finalidad que se le quiera dar. Así, por ejemplo, podemos referirnos a las medias diciendo que tenemos 12 pares de medias si queremos dar cuenta de la cantidad o podemos decir que tenemos 3 pares de medias rojas, 2 verdes, 5 negras y 2 blancas , si queremos hacer énfasis en una cuestión de combinación de colores, o bien que tenemos 4 pares de soquetes, 6 pares de medias cortas y 2 pares de medias largas , si queremos hacer referencia a las diferentes cantidades según el tipo de media. Cada una de estas escrituras describe lo mismo, los pares de medias. Sin embargo, cada escritura tiene una cierta utilidad dependiendo de lo que quiera mostrar. Lo mismo ocurre con las expresiones algebraicas: hay diferentes escrituras de una misma expresión y cada una de esas escrituras permite mostrar, como en el ejemplo de las medias, algo en particular. Así, por ejemplo, en la expresión x2 – x – 2 se puede ver fácilmente que la parábola que la describe corta al eje y en –2, pero no se puede ver en dónde esa parábola corta al eje x . Sin embargo, esta expresión es equivalente a (x + 1) . (x – 2), que es otra escritura de la misma función y permite ver fácilmente que la parábola corta al eje x en –1 y 2, pero dejamos de ver en dónde cortará al eje y . Esto significa que cada “escritura” tiene sus ventajas y sus desventajas. Una de las principales ventajas de tener la forma factorizada de la expresión —en el ejemplo (x + 1) . (x – 2)— es que podemos ver a simple vista cuáles son sus raíces. Cuando se tiene la expresión factorizada igualada a cero, averiguar los valores de x que verifican la igualdad, se reduce a encontrar los valores donde cada factor vale cero. En el ejemplo, la expresión es igual a 0 si y solo si x + 1 = 0 o x – 2 = 0, es decir, cuando x = –1 o x = 2 y así, el tener la fórmula factorizada nos permite reducir el problema en 2 problemas más pequeños. Identificar las raíces inmediatamente permitirá, entre otras cosas, resolver ecuaciones, realizar un gráfico aproximado de la función o resolver problemas como, por ejemplo, averiguar cuánto tiempo después de que un tenista golpea la pelota esta cae a la cancha, sabiendo que la trayectoria está dada por la expresión f(t) = 8t – t2, con t medido en segundos. En este caso, la pelota tocará el piso cuando su altura sea cero, f(t) = 0. Por lo tanto, si factorizamos la expresión, inmediatamente identificaremos el tiempo que estamos buscando.

Actividades 1. Teniendo en cuenta el ejemplo del tenista, ¿en qué momento la pelota tocará el piso? 2. ¿Existe algún x entero tal que la expresión x 2 + 3x + 2 sea impar? 3. ¿Pueden encontrar con los métodos aprendidos las raíces de x3 + x 2 + x + 1? ¿Y de x 4 + x 3 + x 2 + x + 1?

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1. t . (8 – t) = 0 ⇒ t = 0 ∨ t = 8. Tocará el piso 8 segundos después. 2. No. x2 + 3x + 2 = (x + 1) . (x + 2), es el producto de dos números consecutivos, con lo cual uno de los dos siempre es par y al multiplicarlo por cualquier número el resultado siempre es par. 3. Se espera que en el primer caso i La idea es hacer hincapié en que —incluso puedan encontrar que –1 es raíz (también lo son i y – ). con polinomios muy simples y de grados bajos— no es fácil encontrar las raíces. Podrían intentar utilizar el método de bisección visto en el texto ¿Para qué sirve? Teorema de Bolzano.


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Sistemas de ecuaciones lineales

Son muchas las situaciones que se modelizan utilizando ecuaciones lineales: desde ejemplos matemáticos hasta ejemplos de economía, astronomía, ingeniería, biología, meteorología o física, incluso hay ejemplos que datan de hace alrededor de 4 000 años. Uno de ellos, formulado en el antiguo imperio babilónico (1900-1600 a.C), dice así: “Un trapecio de 320 unidades cuadradas es quitado de un triángulo rectángulo con una línea paralela a uno de sus lados. El otro lado tiene 50 unidades de longitud, y la altura del trapecio es de 20 unidades. ¿Cuáles son las medidas de las bases del trapecio?” .

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Otros ejemplos tienen que ver con averiguar el equilibrio en una distribución de temperaturas, en cifrar y descifrar mensajes, en encontrar las resistencias, corrientes y potencial eléctrico de un circuito e incluso en la mecánica detrás del funcionamiento de un tomógrafo. También en astronomía se usan los sistemas de ecuaciones para encontrar las ecuaciones de las órbitas de planetas y asteroides.

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área = 320 u2

Otro problema muy interesante proviene de la economía y es conocido como el modelo de Leontief. Este modelo tiene el objetivo fundamental de estudiar la interrelación de industrias en una economía y llevó a Wassily Leontief a ganar el Premio Nobel en 1973. Veamos un ejemplo concreto que se puede luego generalizar a otros contextos: “En una ciudad hay tres industrias: una de acero, una de transporte y una planta de energía eléctrica. Para producir una unidad de acero ($1), la industria gasta $0,25 de acero, $0,1 de ferrocarril y $0,35 de energía eléctrica. Para producir una unidad ($1) de transporte se gasta $0,15 de acero, $0,2 de transporte y $0,1 de energía eléctrica. Para producir una unidad ($1) de energía eléctrica se gasta $0,15 de acero, $0,25 de transporte y $0,35 de energía eléctrica. Si hay una demanda externa de $6000 000 de acero, $600 000 de transporte y $1 100 000 de energía eléctrica, ¿cuánto debe producir cada industria para satisfacer la demanda total?”. Si se supone que la producción de cada industria es igual a su demanda, no habría sobreproducción, y la demanda total es igual a la suma de las demandas internas y externas. El problema se resuelve, entonces, mediante un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas; por ejemplo, si tomamos el caso de la industria de acero, la ecuación quedaría planteada del siguiente modo: 0,25a + 0,1t + 0,35e + 600 000 = a. Como se puede ver, la aplicación de este tema se encuentra en todas las áreas y es por eso que es tan importante su estudio. Podríamos enumerar muchos otros contextos en donde se utilizan, pero como diría el famoso matemático Fermat, “... una página de este libro es muy pequeña para poder hacerlo”.

Actividades

1. Resuelvan el problema de los babilónicos. Pueden ayudarse con el gráfico. 2. Planteen las ecuaciones que faltan del problema del modelo de Leontief y resuélvanlo. (x + y) . 20 x . 50 ⇒ 320 = 10x + 10y; segunda ecuación: 320 = _____ 1. Primera ecuación: 320 = _________ 2 2 y . 15 ⇒ 320 = 25x – 15y; solución, 12 y 20. – _____ 2 2. 0,15a + 0,2t + 0,1e + 600 000 = t; 0,15a + 0,25t + 0,35e + 1 100 000 = e. La industria de acero debe producir $2 320 623,206; la de transporte, $1 537 515 y la de energía, $2 819 188,192.

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Teorema de Thales

¿Alguna vez quisieron medir algo muy alto? ¿Un edificio? ¿Una montaña? ¿El obelisco? ¿Acaso se imaginan cuánto pueden medir las pirámides de Egipto? Hoy en día se cuenta con diversos elementos de medición que permiten conocer estos datos con bastante precisión. Pero... ¿qué sucede si en este momento quisiéramos averiguar la altura de un edificio? ¿Qué instrumentos tenemos a nuestro alcance? Probablemente, contemos con los mismos instrumentos que tenía Thales hace más de 2 500 años, ¿no es cierto? En aquella época, fue Thales quien con una vara y algún instrumento de medición, como el que hoy conocemos como cinta métrica, pudo calcular la altura de una de las pirámides de Egipto: la pirámide de Keops. Seguramente, todos observaron que en un día soleado todos los objetos, personas, edificios, etc., tienen su propia sombra, pero ¿notaron que todas estas sombras son paralelas entre sí? Ahora bien, ¿existe alguna relación entre la altura del objeto o persona y su sombra? Sí; justamente, la sombra que generan los objetos y las personas son proporcionales a su altura. Así, por ejemplo, si Eugenia es más alta que Celeste, entonces su sombra será más larga que la sombra de Celeste. Y sí... Thales usó las sombras y esta proporcionalidad para calcular la altura de las pirámides. Los rayos del sol —generadores de sombras— son paralelos entre sí, el piso es plano y los objetos están todos ubicados perpendiculares al piso. Estas afirmaciones no son exactas, pero son buenas suposiciones cuando se está en un lugar fijo. Por lo tanto, todos los triángulos formados por un rayo de sol, un objeto ubicado sobre la tierra y su sombra serán todos semejantes. Precisamente, esto es lo que dice el famoso teorema de Thales. ¿Y para qué sirve esto? Cuando sabemos que dos triángulos son semejantes, sabemos también que las medidas de sus lados son proporcionales y, por ende, el largo de la sombra es proporcional a la altura de los objetos en sí: largo de la sombra del objeto A ____________________________ altura del objeto A

largo de la sombra del objeto B = ____________________________ altura del objeto B

Entonces, si conocemos la altura de algún objeto chico —que podemos ubicar junto al árbol, al edificio u objeto que queramos medir— y podemos medir las sombras de ambos objetos, reemplazando y despejando en la igualdad anterior, podremos averiguar la altura del edificio, árbol, etc., sin más instrumentos que ¡una cinta métrica!

Actividades 1. ¿En algún momento del día el largo de la sombra es igual a la altura del objeto? 2. Sabemos que este tipo de resultados no son 100% exactos. ¿Se les ocurre en dónde podemos cometer errores? ¿Cometeremos un error mayor cuando la sombra del objeto sea más corta o más larga? 1. Para que el largo de la sombra y la altura del objeto sean iguales, el triángulo rectángulo que se forma debe ser isósceles. Entonces, sus ángulos agudos miden 45°. Por lo tanto, el largo de la sombra será igual en el momento en que los rayos del sol toquen el suelo con un ángulo de inclinación de 45°. 2. Por ejemplo, cuando medimos la sombra. El error será mayor cuando la sombra es más corta. No es lo mismo una diferencia de 0,1 cm en algo que mide 0,5 cm que en algo que mide un 12 metro (error relativo).


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Trigonometría

Está claro que no podemos medir la altura de una montaña con una cinta métrica. Menos aún, podemos utilizarla para medir la distancia que hay desde la Tierra hasta la Luna y muchísimo menos, para medir la distancia entre dos astros. Uno de los principales usos de la trigonometría es la medición de grandes distancias o a puntos inaccesibles, ya que si conocemos dos ángulos y un lado de un triángulo, o dos lados y un ángulo podemos encontrar el resto de las medidas. Lo que se hace en estos casos entonces es triangular los objetos cuya distancia queremos medir, de modo que, a través de algunos pasos, podamos despejar la medida que queremos averiguar. Veamos un ejemplo, supongamos que queremos calcular la distancia entre dos estrellas o entre los picos de dos montañas, llamémoslos a y b. Tendríamos entonces un esquema como el siguiente en el cual c y d son dos puntos cuya distancia conocemos o podemos calcular. Nuestro objetivo será calcular, entonces, la distancia entre a y b. a

d

c

d

Con algún instrumento —como por ejemplo, un teodolito— medimos los ángulos acb, bcd, bdc y adc. Ahora, si observamos el triángulo acd, del cual conocemos dos ángulos y un lado —distancia conocida entre c y d —, podemos hallar la __ medida de ac __ y del mismo modo, observando el triángulo bcd podemos hallar la medida de bc. Finalmente, en el triángulo abc conocemos las medidas de dos de sus___lados y de un ángulo, lo que nos permite calcular la medida del tercer lado (ab ), que es precisamente la distancia que queríamos averiguar. Este método se usa en una amplia variedad de situaciones. Eventualmente, si quisiéramos calcular la distancia de la Tierra a la Luna o a algún otro astro, o la altura de una montaña tendríamos como dato solamente a, pero se procede con argumentos similares, siempre intentando triangular la figura de modo tal de poder ir despejando la medida que queremos averiguar. Y así, mediante las herramientas matemáticas y el ingenio de numerosos astrónomos, se ha podido resolver el problema de calcular distancias que no podemos ir a medir.

Actividades 1. Marquen en una hoja los puntos a, b, c y d ubicados aleatoriamente. Luego, midan la distancia entre los puntos c y d . Finalmente, apliquen el método mencionado anteriormente para conocer la distancia entre a y b. 2. La distancia en línea recta entre Paraná y Posadas es de 660,89 km y entre Paraná y Resistencia, de 499,81 km. El ángulo que tiene como vértice a Paraná, cuyos lados pasan por las otras dos ciudades mide 26°. ¿Cuál es la distancia en línea recta entre Posadas y Resistencia? ¿Cómo hicieron para calcularla? 1. Solución a cargo del alumno. 2. Respuesta abierta. Por ejemplo, se puede utilizar el teorema del coseno. La distancia es aproximadamente 304,64 km.

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Combinatoria

A grandes rasgos podríamos decir que la combinatoria estudia cuántas configuraciones con ciertas condiciones hay, cómo se construyen y qué propiedades tienen. En muchas ocasiones, las distintas ramas de la Matemática, recurren a la combinatoria para obtener respuestas a distintas situaciones. Si en nuestra aula hay 30 bancos y en el curso somos 31 alumnos, sí o sí, al menos dos de nosotros nos sentaremos en el mismo banco. Este resultado, que parece obvio, se conoce como principio del palomar y sostiene que si hay n nidos y n + 1 palomas, entonces en un nido duermen al menos dos palomas. Un ejemplo un poco menos obvio es el siguiente: si tiramos dos dados 12 veces en, al menos, dos de esas tiradas, la suma de ambos dados es la misma. Las posibles sumas de dos dados son 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12, es decir, tenemos 11 posibles sumas —que equivaldrían a los nidos— y tiramos 12 veces el dado —las tiradas equivaldrían a las palomas—, entonces, sí o sí hay al menos una suma que se repite. Veamos otro ejemplo conocido: el teorema de la amistad. Para esto asumimos que dos personas pueden ser amigas o no amigas. El teorema garantiza que en cualquier grupo de 6 personas existen 3 de ellas que son todas amigas entre sí, o bien ninguna es amiga de otra. ¿Por qué es válido el teorema de la amistad? Observemos el gráfico y pensemos a cada persona como uno de los vértices. Si dos personas son amigas unimos esos dos vértices con color azul; si no, con color rojo. Elegimos uno de los vértices y lo llamamos p; de este punto salen cinco aristas, cada una de color rojo o azul. Según el principio del palomar, al menos tres de estas aristas deben ser del mismo color, por ejemplo, azul. Luego, llamamos a, b y c a cada uno de los extremos opuestos de estas tres aristas. Entonces, si alguna de las aristas ab, bc o ca es azul, se formará un triángulo azul junto con las dos aristas correspondientes: esto significa que las tres personas que forman este grupo son amigas entre sí. Si ninguna de las aristas ab, bc, ca es azul, entonces estas tres aristas son de color rojo y por lo tanto, el triángulo con vértices en a, b y c es rojo, y estas tres personas forman un grupo de tres donde ninguna es amiga de otra, pues todas las aristas son rojas.

Actividades 1. Si tenemos un conjunto con 21 objetos y pintamos cada objeto de uno de dos colores, entonces sí o sí tendremos al menos 11 objetos pintadas del mismo color. En el teorema de la amistad se realiza este mismo planteo, pero con cinco elementos, entonces tendríamos al menos tres de ellos pintados del mismo color. ¿Cómo pueden generalizar este resultado? 2. ¿Es cierto que si tienen un conjunto con 8 números enteros, entonces pueden encontrar dos que al restarlos, el resultado sea múltiplo de 7? ¿Por qué? 1. Si hay k cosas y 2 colores entonces: Si k es par, al menos _2k_ están pintadas del mismo color y + 1 están pintadas del mismo color. 2. Los posibles restos en la divisi k es impar, al menos k_____ 2 sión por 7 son 7 (del 0 al 6) y se tienen 8 restos con lo cual, por el principio del palomar, al menos 2 de ellos se repiten. Restando esos, porque tienen el mismo resto, se obtiene un múlti14 plo de 7.

c p b a


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Probabilidad

La probabilidad tiene múltiples aplicaciones; se utiliza en áreas que van desde la estadística a la filosofía, pasando por la sociología, la física y la psicología, ya que en todas ellas suele ser útil saber qué tan probable es que ocurra un cierto suceso. Sin embargo, la teoría de probabilidades tiene su origen en los juegos de azar. Uno de los primeros problemas de probabilidad, introducido en la Edad Media, fue el de averiguar la cantidad de resultados posibles cuando se lanza varias veces un dado. Así, alrededor del año 1200, Richard de Fournival afirmó —y estaba en lo cierto— que si se lanzan 3 dados— hay 216 combinaciones posibles. Ese cálculo, hasta entonces, ningún matemático lo había podido resolver correctamente. Ahora bien, supongamos que estamos jugando al truco, somos mano y tenemos 32 de envido. Seguramente cantaremos real o falta envido porque sabemos que hay muy pocas chances de perder, pues la probabilidad de que un oponente tenga 33 es muy baja. En cambio, si nuestro oponente tiene en mesa un seis, es un poco más probable que tenga 33. Otro de los juegos en el que los jugadores manejan conocimientos de probabilidad es el póquer. Se han escrito gran cantidad de libros que enseñan cómo aplicar probabilidades para ganar torneos de este juego. Si bien hay muchas variantes del póquer, la más habitual hoy en día es la holdem. En esta versión, todos los jugadores reciben dos cartas y se abre el juego: los que apuestan siguen en juego y los que no, se retiran. Luego de esta primera ronda, se ponen en la mesa 3 cartas que serán para todos y se abre una nueva ronda de apuestas. Nuevamente, el que paga sigue y el que no, se retira. A continuación, se pone una cuarta carta en la mesa y se abre otra ronda de apuestas. Finalmente, se pone una quinta carta en la mesa y se abre la última ronda de apuestas. Gana el jugador que forme el mejor juego de 5 cartas combinando las que tiene en la mano con las que más le convengan de la mesa. Por ejemplo, si en la mesa hay un as de corazones, un 8 de picas, un 2 de diamante, un 3 de corazones y una J de diamantes, y un jugador tiene un 4 de diamantes y un 5 de picas, entonces su mejor juego es una escalera (1, 2, 3, 4 y 5). Si tuviese dos ases, su mejor juego sería una pierna de ases (tres cartas con el mismo número y otras dos, distintas). No es lo mismo arrancar una partida con un par de ases que con un 4 y un 5 de diferente palo. Por eso nos conviene apostar en esta primera mano, pues si en la mesa sale lo del ejemplo anterior, por más valioso que parezca nuestro par de ases, habremos perdido frente a un 4 y un 5 de distinto palo. De todos modos, es bueno recordar que estas son probabilidades y que siempre puede llover un día con poca probabilidad de lluvia o no llover un día en el que la probabilidad de lluvia sea alta.

Actividades 1. Richard de Fournival afirmó que hay 216 posibles combinaciones al lanzar 3 dados, ¿cómo habrá hecho para contarlas? 2. Si tiramos 3 dados, ¿cuántas combinaciones posibles hay si no tenemos en cuenta los casos repetidos? Por ejemplo, 6-6-1; 6-1-6; 1-6-6 se cuentan como una misma combinación. 3. Si tiramos 3 dados y queremos apostar a cuánto dará la suma de esos tres dados, ¿a qué número nos conviene apostar? 1. Cada dado tiene 6 opciones, entonces las posibles combinaciones son 6 . 6 . 6 = 216. 2. Si solo consideramos las diferentes hay 6 con los tres números iguales, 30 con dos números iguales y otro distinto, y 120 con los tres números distintos, haciendo un total de 156. 3. No todas las sumas tienen la misma probabilidad. Es muy interesante calcular la probabilidad de cada suma. Conviene apostar a que la suma será 10 u 11, que tie27 nen una probabilidad mayor de ocurrir ( ____ 216 )

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Activados Matemática 4

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