MATEMÁTICA Equivalente a 7.º
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Gerente editorial Daniel Arroyo
Coordinadora de Diseño Natalia Udrisard
Jefe del área de Matemática Gabriel H. Lagoa
Diseñadora de maqueta Patricia Cabezas
Autores Roxana Abálsamo Adriana Berio Cintia Kotowski Lourdes Liberto Silvana Mastucci Gabriela Prandini Nora Quirós Susana Vázquez Foto Activados: Laura Pezzatti
Diagramación Pablo Alarcón y Alberto Scotti para Cerúleo
Corrector de estilo Gabriel Valeiras
Ilustradores Wally Gómez Viñetas de humor: Claudio Kappel Fotografías Archivo de imágenes de Grupo Macmillan Latinstock Thinkstock Wikimedia commons Gerente de Preprensa y Producción Editorial Carlos Rodríguez
Matemática 1 : fotoactivados / Roxana Abálsamo ... [et.al.]. - 1a ed. 2a reimp. Boulogne: Puerto de Palos, 2013. 224 p.: il.; 28 x 20 cm - (Activados) ISBN 978-987-547-527-4 1. Matemática. 2. Enseñanza Secundaria. 3. Libros de Texto. I. Abálsamo, Roxana CDD 510.712
© Editorial Puerto de Palos S.A., 2012. Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan. Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina. Internet: www.puertodepalos.com.ar Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. ISBN 978-987-547-527-4 La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (INADI) con los editores de texto. No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor. Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446. Primera edición, segunda reimpresión. Esta obra se terminó de imprimir en enero de 2014, en los talleres de Impresiones Sud América, Andrés Ferreyra 3769, Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.
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matemática Es una nueva propuesta que facilita el aprendizaje de la matemática a través de 635 actividades que favorecen la comprensión de los distintos temas. En formato binarizado, la sección Foto Activados conecta la matemática con la vida cotidiana a través de la fotografía. Foco y Mira son los personajes de esta serie. Les gusta mucho sacar fotos, principalmente de todo aquello que los hace recordar algún tema de matemática. Así, le encuentran sentido a todas las cosas que aprenden día a día en la escuela.
Mira
Foco
LOS capítulos incluyen las siguientes secciones y plaquetas:
Apertura: cada capítulo comienza con una actividad ilustrada relacionada con la foto que aparece en la sección Foto Activados. En la situación inicial de aprendizaje se introduce el tema del capítulo a través de una estrategia de resolución de problemas.
InfoActiva: brinda definiciones, clasificaciones, procedimientos básicos y ejemplos de cada contenido que facilitan la comprensión.
En el cuadro de contenidos aparecen los temas numerados para su fácil identificación.
Conector: invita a repasar conceptos explicados en páginas anteriores.
Test de comprensión: incluye preguntas básicas que permiten evaluar la comprensión de la teoría y revisar errores comunes.
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Actividades: para cada tema se proponen distintas actividades que están organizadas de manera secuencial (las actividades de cada capítulo llevan una numeración independiente a la de los otros).
Integración: incluye más actividades para resolver en la carpeta.
menteACTIVA: propone situaciones problemáticas con un mayor nivel de complejidad.
Autoevaluación: propone más actividades para que cada alumno pueda evaluar los conocimientos adquiridos durante el capítulo.
Trabajos prácticos: incluyen más actividades para practicar los temas del capítulo.
foto Foto Activados: en esta sección, Laura Pezzatti, especialista en el área de la matemática, ofrece una serie de actividades que conectan la matemática con la vida cotidiana a través de la fotografía. Foco y Mira presentan las fotos que obtuvieron para que podamos advertir cuánta matemática hay a nuestro alrededor.
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Índice general Capítulo 1: Números naturales ............... 8 1. Sistema de numeración decimal. .......... 9 2. Multiplicación y división. Propiedad distributiva. ......................... 11 3. Potenciación y radicación. .................. 13 4. Operaciones combinadas. ................... 15 Integración ........................................... 19 5. Divisibilidad y factorización. ............... 21 6. Múltiplo común menor y divisor común mayor. ...................... 23 7. Lenguaje simbólico. Ecuaciones. ......... 25 Integración ........................................... 29 Autoevaluación ................................. 31 Capítulo 2: Fracciones expresiones decimales .......................... y 8. Orden y representación. ...................... 9. Fracciones equivalentes. ..................... 10. Operaciones con números racionales. ........................................... 11. Potenciación y radicación de fracciones. ...................................... 12. Operaciones combinadas con fracciones. .................................... Integración ........................................... 13. Fracciones y expresiones decimales. ..... 14. Operaciones con expresiones decimales. Porcentaje. ........................ 15. Operaciones combinadas. ................... Integración ........................................... Autoevaluación ................................. Capítulo 3: Funciones .............................. 16. Gráficos y tablas. ................................. 17. Funciones. ............................................ 18. Función de proporcionalidad directa. .... 19. Función de proporcionalidad inversa. .... Integración ........................................... Autoevaluación .................................
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Capítulo 4: Cuerpos .................................. 20. Clasificación de los cuerpos. ............... 21. Poliedros regulares. ............................ 22. Desarrollo plano de cuerpos. .............. 23. Punto, recta y plano. .......................... Integración ........................................... Autoevaluación .................................
74 75 77 79 83 85 87 88 89
32 33 35
Capítulo 5: Ángulos ................................. 24. Sistema sexagesimal. Operaciones. ....... 25. Ángulos complementarios y suplementarios. ................................ 26. Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice. ...................................... 27. Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo. .................... Integración ........................................... Autoevaluación .................................
37
Capítulo 6: Figuras planas ................... 100
41 43 47 49 51 55 57 59 60 61 65 67 69 71 73
91 93 95 97 99
28. Triángulos. Elementos y propiedades. ................................... 101 29. Construcción de triángulos. .............. 103 30. Cuadriláteros. Elementos y propiedades. .................................. 107 31. Construcción de cuadriláteros. .......... 109 Integración .......................................... 113 32. Círculo y circunferencia. Elementos y propiedades. ................................... 115 33. Construcción de circunferencias. ........ 117 34. Polígonos. ........................................... 119 35. Construcción de polígonos regulares. ............................................. 121 Integración ......................................... 125 Autoevaluación ............................... 127
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Capítulo 7: Perímetro, área y volumen ................................................. 36. Perímetro y área de figuras planas. ................................... 37. Área lateral y total de prismas, pirámides y cilindros. ........................ 38. Unidades de capacidad y unidades de volumen. ....................... 39. Volumen del prisma, de la pirámide, del cilindro y del cono. ..................... Integración ......................................... Autoevaluación ...............................
Trabajos prácticos ..................................... 180 128 129 133 137 139 143 145
Capítulo 8: Probabilidad y estadística ............................................. 146 40. Variables, población y muestra ........ 147 41. Recolección y organización de datos. Tablas. .............................. 149 42. Frecuencias absolutas y relativas. ........ 151 43. Gráficos. . ............................................. 153 Integración ......................................... 157 44. Promedio, mediana y moda. ............. 159 45. Experimentos aleatorios. Probabilidad simple. .......................... 161 46. Cálculo combinatorio. ........................ 163 Integración ......................................... 165 Autoevaluación ............................... 167
Trabajo Trabajo Trabajo Trabajo Trabajo Trabajo Trabajo Trabajo Trabajo
práctico práctico práctico práctico práctico práctico práctico práctico práctico
1 ............................... 181 2 ............................. 183 3 ............................. 185 4 ............................. 187 5 ............................. 189 6 .............................. 191 7 ............................. 193 8 ............................. 195 9 ............................. 197
Control de resultados ................................ 199
foto
Capítulo 9: Números enteros .............. 168 47. Números negativos. Orden y representación. .................... 169 48. Adición y sustracción. ........................ 171 49. Multiplicación y división. .................. 173 50. Operaciones combinadas. ................. 175 Integración ......................................... 177 Autoevaluación ............................... 179
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capítulo
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NÚMEROS NATURALES Contenidos 1. Sistema de numeración decimal. 2. Multiplicación y división. Propiedad distributiva. 3. Potenciación y radicación. 4. Operaciones combinadas. 5. Divisibilidad y factorización. 6. Múltiplo común menor y divisor común mayor. 7. Lenguaje simbólico. Ecuaciones.
Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la imagen y resuelvan. a. Si todos van a ir al Circo Mágico, ¿cuánto dinero deberán pagar en total de entradas? Escriban un cálculo para encontrar el resultado. b. Si solo van a ir algunas personas, inventen situaciones que se respondan con cada uno de los siguientes cálculos. Luego, respóndanlas. • 2 . 13 + 2 . 30 = • 3 . 13 + 2 . 30 + 4 . 20 = c. Comparen las situaciones que inventaron con las de sus compañeros. a. 3 . $13 + 2 . $30 + 4 . $20 = $179 Deberán pagar $179. b. Solución a cargo del alumno. 8
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Sistema de numeración decimal
infoactiva Nuestro sistema de numeración es: • decimal, porque utiliza diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. • posicional, porque el valor de cada cifra depende de la posición que ocupa en el número.
billón
mil de millón
millón
mil
unidad
decena
centena
unidad
decena
centena
unidad
decena
centena
unidad
decena
centena
unidad
1 000 000 000 000
Los números naturales se pueden descomponer de distintas formas. Por ejemplo:
35 042 = 30 000 + 5 000 + 40 + 2 35 042 = 3 . 10 000 + 5 . 1000 + 4 . 10 + 2 . 1 35 042 = 3 . 104 + 5 . 103 + 4 . 101 + 2 . 100 Se lee: treinta y cinco mil cuarenta y dos.
20 040 010 000 = 20 000 000 000 + 40 000 000 + 10 000 20 040 010 000 = 2 . 10 000 000 000 + 4 . 10 000 000 + 1 . 10 000 20 040 010 000 = 2 . 1010 + 4 . 107 + 1 . 104 Se lee: veinte mil cuarenta millones diez mil.
Todos los números se pueden escribir como una suma de productos en los cuales uno de los factores es una potencia de base 10. Las unidades de un número se pueden expresar como el producto entre este y una potencia de diez de exponente cero (tengan en cuenta que todo número elevado a la cero es igual a uno).
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cuál de las descomposiciones del número 3 085 es correcta? 3 . 102 + 8 . 101 + 5 . 100 3 . 103 + 0 . 102 + 8 . 101 + 5 . 100 b. En la descomposición del número 38 548 194, ¿el 5 se multiplica por 105 o por 106? c. ¿Es verdad que 1 000 000 000 es igual a 1 . 109? d. ¿Es cierto que 10 es uno de los símbolos del sistema de numeración decimal? a. La segunda. b. 105. c. Sí. d. No. 9 Nombre:
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ACTIVIDADES Sistema de numeración decimal
1. Unan con flechas cada número con su descomposición. a. 4 048 080 380
• 4 . 108 + 4 . 107 + 8 . 106 + 8 . 105 + 8 . 103 + 4 . 100
b. 4 480 080 840
• 4 . 108 + 8 . 107 + 3 . 105 + 8 . 104 + 8 . 103 + 8 . 102
c. 480 388 800
• 4 . 109 + 4 . 107 + 8 . 106 + 8 . 104 + 3 . 102 + 8 . 101
d. 448 808 004
• 4 . 109 + 4 . 108 + 8 . 107 + 8 . 104 + 8 . 102 + 4 . 101
2. Completen para que se verifique la igualdad. a. 6 . 107 +
5
. 10
4
+ 3 . 102 + 2 . 100 = 60 050 302
b. 1 . 109 + 1 . 106 + 5 . 105 + c. 9 . 1012 + 9 . 107 + d. 8 . 1014 +
9
. 10
1 8
. 10
1 4
. 10
3
+ 1 . 101 = 1 001 501 010
+ 9 . 103 = 9 000 090 019 000
+ 8 . 106 + 3 . 105 + 5 . 100 = 800 000 908 300 005
3. Escriban la descomposición en potencias de diez de los siguientes números. 6 4 2 0 a. 4 040 404 = 4 . 10 + 4 . 10 + 4 . 10 + 4 . 10
7 6 5 4 3 2 1 0 b. 78 615 615 = 7 . 10 + 8 . 10 + 6 . 10 + 1 . 10 + 5 . 10 + 6 . 10 + 1 . 10 + 5 . 10
8 7 6 5 3 1 0 c. 142 208 056 = 1 . 10 + 4 . 10 + 2 . 10 + 2 . 10 + 8 . 10 + 5 . 10 + 6 . 10
4. Marquen con una X las expresiones que correspondan al número 360 306. a. Trescientos seis mil trescientos seis. b. 300 000 + 6 000 + 300 + 6 c. 3 . 107 + 6 . 105 + 3 . 103 + 6 . 101 d. Trescientos sesenta mil trescientos seis.
X
e. Tres centenas de mil, seis decenas de mil, tres centenas y seis unidades.
X
f. 3 . 106 + 6 . 105 + 3 . 103 + 6 . 101 g. 3 . 105 + 6 . 104 + 3 . 102 + 6 . 100
X
h. Trescientos millones sesenta mil trescientos seis. i. 300 000 + 60 000 + 300 + 6
X
5. Rodeen con color el número que cumple con las condiciones dadas. Es mayor que doscientos mil y menor que doscientos diez mil. El valor de dos de sus cifras equivale a 5 . 103 y 3 . 102. La cifra de las unidades es el doble de tres. 205 356 215 356 206 536 205 303
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Multiplicación y división. Propiedad distributiva
infoactiva Los números que intervienen en una multiplicación y en una división tienen nombres especiales.
Multiplicación División
a . b = c producto factores
dividendo resto
D r /
d c
divisor cociente
D=d.c+r
Propiedades de la multiplicación Conmutativa: el orden de los factores no cambia el resultado.
Asociativa: si se cambia el orden de los paréntesis, el resultado no cambia.
(5 . 12) . 4 = 5 . (12 . 4)
6.8=8.6
Disociativa: un factor se puede descomponer en otros factores.
Elemento neutro: el número 1 como factor no cambia el resultado.
7 . 24 = 7 . (2 . 12)
15 . 1 = 1 . 15 = 15
Propiedad distributiva de la multiplicación
3 . (4 + 5) = 3 . 4 + 3 . 5 (9 – 3) . 2 = 9 . 2 – 3 . 2
Propiedad distributiva de la división
(12 + 4) : 2 = 12 : 2 + 4 : 2
(15 – 9) : 3 = 15 : 3 – 9 : 3
En la división, solo se puede distribuir el divisor.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si se multiplica un número por uno, ¿qué número se obtiene? b. ¿A qué es igual 532 . 70? ¿Cómo se puede resolver aplicando propiedades? c. Los cálculos (3 + 6) . 5 y 3 + 6 . 5, ¿dan el mismo resultado? d. ¿Cuál es el resultado de 0 : 5? ¿Y de 5 : 0? e. Los cálculos (15 + 20) : 5 y 5 : (15 + 20), ¿dan el mismo resultado? f. Para obtener el resultado de 120 : (10 + 2), ¿se puede aplicar la propiedad distributiva? a. El mismo número. b. 37 240. Disociativa y asociativa. c. No. d. 0. No se puede resolver. e. No. f. No. 11 Nombre:
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ACTIVIDADES Multiplicación y división. Propiedad distributiva
6. Expresen las siguientes sumas como multiplicación, si es posible, y resuelvan. a. 3 + 3 + 3 + 3 = 4 . 3 b. 2 + 2 + 2 = 3 . 2 c. 4 + 4 = 2 . 4
=
8
f. 9 + 9 + 9 = 3 . 9
7
=
e. 5 + 4 + 21 = No.
6
=
d. 3 + 4 = No.
12
=
= =
30 27
7. Escriban V (Verdadero) o F (Falso), según corresponda. a. 1 . 3 = 1
F
c. 0 . 0 = 0
b. 3 . 0 = 3
F
d. 10 : 10 = 0
V F
e. 0 : 10 = 0
V
f. 10 : 0 = 0
F
8. Resuelvan las siguientes divisiones. a. 45 : 3 = 15
d. 108 : 12 = 9
b. 78 : 6 = 13
e. 248 : 8 = 31
c. 140 : 10 = 14
f. 1 260 : 20 = 63
9. Completen con = o ≠, según corresponda. Expliquen la respuesta. a. 3 + (2 + 4 + 1) ≠ 3 . 2 + 3 . 4 + 1
d. (20 + 40) : 5 ≠
b. (20 + 40) . 5 = 20 . 5 + 40 . 5
e. 120 : (20 + 40) ≠
c. (6 + 12) : 6 = 6 : 6 + 12 : 6
f. (165 – 90) : 15 = 165 : 15 – 90 : 15
20 + 40 : 5 120 : 20 + 120 : 40
10. Resuelvan de dos maneras diferentes, cuando sea posible. Sin aplicar la propiedad distributiva
Aplicando la propiedad distributiva
(96 + 60 + 12) : 6
= 168 : 6 = 28
= 96 : 6 + 60 : 6 + 12 : 6 = 16 + 10 + 2 = 28
7 . (20 – 6)
= 7 . 14 = 98
= 7 . 20 – 7 . 6 = 140 – 42 = 98
= 150 : 30 =5
No se puede aplicar la propiedad distributiva.
(25 – 13 + 18) . 4
= 30 . 4 = 120
= 25 . 4 – 13 . 4 + 18 . 4 = 100 – 52 + 72 = 120
(25 + 15) : 5
= 40 : 5 =8
= 25 : 5 + 15 : 5 =5+3 =8
11 . (13 + 5)
= 11 . 18 = 198
= 11 . 13 + 11 . 5 = 143 + 55 = 198
150 : (20 + 10)
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Potenciación y radicación
infoactiva Potenciación La potenciación es una operación que permite escribir en forma abreviada una multiplicación de factores iguales.
42 = 4 . 4 = 16 “cuatro elevado al cuadrado”
43= 4 . 4 . 4 = 64
“cuatro elevado al cubo”
Propiedades de la potenciación
Ejemplo
3 .3 =3.3.3.3.3 = 35 = 32+3 2
• Para multiplicar dos potencias de igual base, se escribe la misma base y se suman los exponentes. • Para dividir dos potencias de igual base, se escribe la misma base y se restan los exponentes.
3
25 : 22 = (2 . 2 . 2 . 2 . 2) : (2 . 2) = 25–2 = 23 (52)3= (5 . 5)3 = (5 . 5) . (5 . 5) . (5 . 5) = 52 . 3 = 56 (4 . 3)2 = 42 . 32
• Para calcular la potencia de otra potencia, se escribe la misma base y se multiplican los exponentes. • La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división.
(12 : 4)2 = 122 : 42 Radicación La radicación es la operación inversa a la potenciación. ___
3
___
= 8, porque 82 = 64 √ 27 = 3, porque 33 = 27 √ 64
Se lee “la raíz cuadrada de 64 es 8”.
Se lee “la raíz cúbica de 27 es 3”.
Propiedades de la radicación
Ejemplo
______
____
__
√ 9 . 16 = √ 9 . √ 16
• La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división.
________
____
___
√ 64 : 16 = √ 64 : √16 __ _____ __ = √ 8 . 2 8 . √2 √
• Para multiplicar o dividir raíces de igual índice, se escribe una raíz con el mismo índice y con el radicando igual a la multiplicación o división de los radicandos dados, según corresponda.
3
_____
3
__
3
________
√ 243 : √ 9 = √ 243 : 9
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cuáles son los cuadrados de los primeros diez números? ¿Qué raíces pueden calcular conociéndolos? b. El procedimiento 30 . 3 . 32 = 33, ¿es correcto? ___ 4 c. Para resolver √ 16 , ¿se debe calcular 16 : 4? a. 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100. b. Sí. c. No.
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ACTIVIDADES Potenciación y radicación
11. Escriban el desarrollo de cada potencia y resuelvan. a. 72 = 7 . 7 = 49
e. 105 = 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 100 000
b. 35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243
f. 28 =
c. 14 = 1 . 1 . 1 . 1 = 1
g. 54 = 5 . 5 . 5 . 5 = 625
d. 41 = 4
h. 63 =
2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 256
6 . 6 . 6 = 216
12. Escriban cómo se lee cada potencia. a. 25: dos elevado a la quinta potencia. b. 32: tres elevado al cuadrado. c. 23: dos elevado al cubo.
13. Escriban como potencia los siguientes productos y resuelvan. a.
5
3
b.
2
6
c. 3
2
125
=5.5.5=
=2.2.2.2.2.2= =3.3=
9
64
d.
7
e.
6
3
4
343
=6.6.6.6=
3
f. 9
=7.7.7=
1 296
=9.9.9=
729
14. Completen con V (Verdadero) o F (Falso). a. (5 + 3)2 = 52 + 32 b. (5 . 3)2 = 52 . 32 c. (8 – 4)2 = 82 – 42
F
V F
V
d. (8 : 4)2 = 82 : 42 e. 23 = 32
f. ( 27 )2 = 27 . 22
F
15. Completen con los números que faltan. __
= a. √9 ___
= b. √25 3
__
c. √ 8 = 3
__
d. √ 1 = ____
2
3 , porque 3 = 9 2
5 , porque 5 = 25 3
2 , porque 2 = 8 3
1 , porque 1 = 1 2
e. √100 = 10 , porque 10 = 100
F
___________
√ g. √ h. √ i. √ j. √ f.
3
3
= 10, porque 10
1 000
=
___________
64 ___________
2
= 8, porque 8
4
16
___________
= 121 ___________
4
4
16. Resuelvan aplicando propiedades, cuando sea posible.
=
64
=
16
=
121
2
11, porque 11
= 5, porque 5
625
4
= 2, porque 2
______
___
______
___
1 000
625
=
3+3+1+0 = 27 = 128 a. 23 . 23 . 2 . 20 = 2
__ ___ = 6 2 . 18 = √36 . √18 f. √ 2 = √
12–10+1 = 103 = 1 000 b. 1012 : 1010 . 10 = 10
= 5 = √25 : 3 : √3 g. √ 75 = √75
43–10+25–57 = 81 = 8 c. 843 : 810 . 825 : 857 = 8
3 3 3 3 = 5 =√ 125 5 . 25 = √ h. √ 5 . √ 25
2.2 2 4+2 6 d. (32)2 . 32 = 3 . 3 = 3 = 3 = 729
. √16 : √4 = 18 . 16 : 4 i. √ 81 = √81
2 2 2 e. (10 . 2 : 5)2 = 10 . 2 : 5 = 16
3 3 . √ = 60 . √ 27 125 . 27 . 125 = √ 64 j. √ 64
___ __
__
___
_________
____________
______
___
___
3
____
___
3
__
___
____
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Operaciones combinadas
infoactiva Para resolver una operación combinando todas las operaciones, se pueden seguir estos pasos. ____
1. Se separa en términos.
2 . √ 36 + 12 : 2 + 52 . 3 – 615 . 68 : 621 = 2. Se resuelven las potencias y raíces 2 2 . 6 + 12 : 2 + 25 . 3 – 6 = (aplicando las propiedades cuando 2 . 6 + 12 : 2 + 25 . 3 – 36 = sea posible). 12 + 6 + 75 – 36 = 3. Se resuelven las multiplicaciones y 93 – 36 = divisiones. = 57 4. Se resuelven las sumas y restas. En la página 13 podrán repasar las propiedades de la potenciación y la radicación.
Si hay operaciones en el radicando o como base de una potenciación, se deben resolver antes de calcular la raíz o la potencia. ______________
52 + 12 . 3 + 3 – (15 : 3 – 3)2+ 144 : 12 = √
1. Se separan los términos.
8 – 4 + 12 = = 16
3. Se resuelven las potencias y raíces. 4. Se resuelven las sumas y restas.
_______________ √____________ 25 + 12 . 3 + 3 – ( 15 : 3 – 3)2+ 144 : 12 = 2. Se resuelven las operaciones que hay 2 ____ 25 + 36 + 3 – ( 5 – 3) + 144 : 12 = en el radicando y en la base de la √ √ 64 – 22 + 12 = potencia respetando la jerarquía.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En el cálculo 10 . (5 + 4) : 3, ¿se separó en términos correctamente? b. ¿En qué orden se deben resolver las operaciones que encierran los paréntesis? c. ¿Cómo se suprimen los paréntesis en el cálculo (3 + 8) . 2 + 6 . (5 + 4), sin resolver las operaciones que ellos encierran? _____________ d. ¿Es cierto que √ 2 . 12 + 3 . 22 = 36? a. No. b. Solución a cargo del alumno. c. Aplicando la propiedad distributiva. d. No. Es igual a 6. 15
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ACTIVIDADES Operaciones combinadas
17. Resuelvan. ___
____
a. 2 . √81 – 42 = 2
e. 25 . √100 + 3 . 42 = 298
__
___
. 9 – 33 = 24 2 + 50 : 16 + √25 f. √5
b. (50 . 2 – 62 : 12)0 = 1
__ 3
3
__
3
___
____
g. (0 . √ 1 + 3 . 5 . 14 – √ 27 ) : √144 = 1
c. ( √ 1 + 13)3 = 8
d.
____
___ : √100 + √25
___
__________
). √ 2 + 72 : 6 = 152 h. ( 25 + √36 2
(22 + 50) – 14 = 10
18. Escriban el cálculo y resuélvanlo. a. El doble de la raíz cuadrada de veinticinco. ___
= 10 2 . √25
b. La raíz cuadrada del doble de cincuenta. ______
. 50 = 10 √2
c. La raíz cúbica del triple de setenta y dos. 3
______
3 =6 . 72 √
d. El cuadrado del producto entre diez y el doble de cinco. (10 . 2 . 5)2 = 10 000
e. El cuadrado de la resta entre el cubo de cinco y cien. (53 – 100)2 = 625
f. El doble de la suma entre dieciocho y el cubo de tres, menos veintitrés. 2 . (18 + 33) – 23 = 67 16
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ACTIVIDADES Operaciones combinadas
19. Resuelvan aplicando las propiedades de la potenciación y la radicación, cuando sea posible. 4
___
a. 317 : 315 + √ 16 =
__________
h. 23 . 2 . 23 + 5 . √ (2 + 7) . 3 = 143 3
11
b. 52 . 5 . 5 +
__ __ = 627 √8 : √2
___
3
__
3
___
– √ i. 42 : 7 + (23)2 . (√121 6 . √ 36 ) = 326
c. 100 : (102 – 52 . 3) –
_________ 3 3 √ 1 000 : 10 = 3
3
__________
___
_____
j. √ 10 000 : 10 + √10 = 110 . √1 000
d. (47)12 . 43 : (442)2 – 32 : 16 = 62
k. (53)9 . (54)8 : 526 : (55)6 + 83 : 43 = 133
e. 29 . 27 . 2 : (28 . 28) – 0 :
_____ 3 √ 1 000 = 2
4
___________
l. √ 10 3 + 74 . 4 + 154 : (3 . 5)2 – 480 : 60 = 223
f.
___ ( √81 +
____
__
___
__
. ( 5 – √ m. √441 8 + 22 ) = 21 : √49
): 22 + 517 : 516 = 8 √9
3
g.
__
___ + √3 . √27
_______________
____
n. (39)2 : (315 . 3) + √ 10 . (2 + 3) – 30 = 16
(10 + 3)2 : √169 = 22
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ACTIVIDADES Operaciones combinadas
20. Completen con <, > o =, según corresponda. ___
______
4 . √36
a. √4 . 36 <
e. 112 + 122 – 63 ____
__
3 b. 26 . 16 = 82 . 15 . √ 1
=
c. [29 . (27)2] 6
___
. 27 d. √ 64
f. √ 100 . 102 + 1 ___
(220 . 23) 6
__
___
112 + 63 – 122
=
1 + 102 . √100
___
__
____
__
) ( √ 3 9 . √ 3
> g. √20 . √5
3 h. √ 82 + 22 + √16 >
. 72 64 √
>
__
<
3
2
4
___
40 + 0 : 52 + √ 81
21. Marquen con una X el cálculo que corresponde a cada situación y resuelvan. a. ¿Cuál es el resultado de la suma entre el cubo de la raíz cuadrada de veinticinco y la raíz cúbica del cuadrado de ocho? __
2 253 + √8
___
3
__
___
(√25 )3 + √ 82
X
3
_____
+ √ 3 . √25 2 . 8
b. ¿A qué es igual el doble de la diferencia entre el cuadrado de cinco y la raíz cuadrada del cubo de cuatro? __
4
2 . 52 – √4 3
__
2 . (5 . 2 – √ 4 3 )
X
__
2 . (52 – √4 3 )
22. Completen. ___________
√
___
a. √16 +
9 25 = 4 + 5 = _______________ ___________
√
√
1 50 – = b. __
___________
√
81 = ___________
+ c. √9
√
d.
49 = 9
3+
3
729
e.
4
f.
7 ________
3
_____
2
+ 120 :
√
=
144
= _______
: 16 – √64 =
=
= 74 + 20 = 69
49
___________
48
= 109
10
+ =
6
15
100
+ 64
+ √ 1 000 =
. 100 + g. √144
h.
= 12
9
+ 102 =
3
7
____
. 10 +
12
48
. √100 +
___
48
= 168
___________
√
15
: – √64
15
–
8
16
:
4
= 13
mente activa Para hacer un trabajo de educación artística, Luis y Juan deben cortar figuras de cartón. Luis necesita doce cuadrados de 25 cm de lado y Juan, diez rectángulos de 15 cm por 42 cm. a. ¿Cuánto mide la superficie de cada cuadrado? ¿Y la de cada rectángulo? b. ¿Quién usará más cartón para cortar todas las figuras? a. Luis: 625 cm2. Juan: 630 cm2. b. Luis.
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capítulo
Integración
Contenidos
1.2.3.4
23. Escriban los números que corresponden a las siguientes expresiones. Luego, ordénenlos de mayor a menor. a. 4 C de mil, 8 U de mil y 4 u 408 004 b. 4 . 106 + 8 . 103 + 4 4 008 004 c. 5 unidades de millón, 5 unidades. 5 000 005 d. 500 000 + 6 000 + 5 506 005 e. 4 . 104 + 8 . 103 + 5 . 100 48 005 f. 400 000 + 80 000 + 80 + 6 480 086
28. Completen las operaciones teniendo en cuenta el siguiente cálculo. 30 . 25 = 750
24. Escriban el mayor y el menor número posi-
29. Resuelvan las multiplicaciones y divisiones.
ble usando todas las cifras de cada uno de los siguientes números. Número
Mayor
Menor
28 719
98 721
12 789
162 357
765 321
123 567
84 165
86 541
14 568
98 716
98 761
16 789
25. Marquen con una X el número que corresponde a la siguiente expresión. 4 . 108 + 4 . 105 + 3 . 104 + 9 . 103 + 1 . 102 a. 400 439 100
X
1 500
a. 60 . 25 = 2
= 750
c. 3 . 25 =
75
b. 30 . 5
d. 30 . 250 =
7 500
a. 16 . 3 . 5 = 240 b. 47 . 2 . 100 = 9 400 c. 32 . 6 . 10 : 30 = 64 d. 15 . 4 : 6 . 5 = 50 e. 104 . 15 : 5 . 24 = 7 488 f. 450 : 90 . 20 . 13 = 1 300 g. 8 100 : 9 : 3 . 5 = 1 500 h. 12 . 21 : 14 . 8 : 24 = 6
30. Completen con = o ≠, según corresponda. Expliquen la respuesta. a. 3 . 4 =
4+4+4
b. (3 + 8) . 2 = 3 . 2 + 8 . 2
b. 404 309 100
c. 10 : (20 + 30) ≠ 20 : 10 + 30 : 10
c. 400 403 910
d. (2 + 8) . (8 + 3) ≠ 2 + 8 . 8 + 3
26. Descompongan cada número de tres formas diferentes. Solución a cargo del alumno. a. 500 641 d. 948 999 b. 1 206 181 e. 35 112 048 910 c. 400 004 f. 6 200 200 200 200
27. Respondan. a. En una división el cociente es 20, el divisor es el doble de 12 y el resto es la cuarta parte del cociente. ¿Cuál es el dividendo? 485 b. Al multiplicar dos números, se obtiene 9 526. Si uno de los factores es 11, ¿cuál es el otro factor? 866
e. (20 + 30) : 10 = 20 : 10 + 30 : 10 f. (3 + 8) . 2 ≠ 3 + 8 . 2
31. Resuelvan. a. 3 + 4 . 12 – 10 : 2 = 46 b. (3 + 4) . 12 – 10 : 2 = 79 c. 3 + 4 . (12 – 10) : 2 = 7 d. 3 + (4 . 12 – 10) : 2 = 22
32. Resuelvan aplicando la propiedad distributiva. a. (384 + 336) : 12 = 60 b. 35 . (42 – 18) = 840 c. 27 . (12 + 15 – 21) = 162 d. (105 – 40 + 75) : 5 = 28 e. (16 + 8 – 10) . 26 = 364
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33. Escriban un par de paréntesis para obtener el resultado indicado. a. ( 12 + 56 : 8 ) . 2 + 36 = 74 b. 100 : ( 50 – 5 . 5 ) + 8 . 6 = 52 c. 34 – ( 16 : 2 + 7 . 2 ) = 12 d. 15 + ( 3 . 18 – 50 ) : 2 + 26 = 43
34. Resuelvan. a. 340 . 2 + 120 . 3 – 110 . 2 = 820 b. 100 . 7 – 10 . 5 + 8 . 9 = 722 c. 16 . 4 + 8 : 2 – 4 . 2 = 60 d. 158 + (78 : 2 – 27) = 170 e. 372 + (28 + 36 : 4) – 119 = 290 f. 543 – (25 . 5 + 16 : 2) = 410
35. Escriban V (Verdadero) o F (Falso), según corresponda. Expliquen las respuestas. a. 34 = 12
c. 32 = 23
F
____
d. √100 = 50
5
V
F F
___
___ F + √16 f. √9 = √25 ___ __ __ = √16 g. √8 . √2 V ___ ______ __ 3 3 3 h. √ 16 : √ 2 = √ 16 : 2 V
36. Completen.
(
a. 6 –
)
5 . 8 = 48 – 40 = 8
b. (3 + 4) . 13 = 39 + 52 = 91
(
la igualdad en cada caso. a. 28 . 2 . 27 = 2 b.
(
)
+ 5 = 36 13 | 1 | 6
c. 3____ + 2
d.
√ 3
15 | 1 | 16
2
= 12 3 | 6 | 2 ____ 3
= 5 5 | 1 | 25 .√ 125
2 8 e. (3 ) : (3 . 3 __________
. 310) = 9 3 | 4 | 2
40. Escriban el cálculo y resuélvanlo.
e. (3 + 2 + 5)2 = 32 + 22 + 52 __
39. Rodeen con color el valor que hace cierta
f. 100 + = 11 121 | 1 | 21
b. (3 . 2) = 3 . 2 5
a. 2318 . (235)4 : (2330 . 237) . 23 = 232 = 529 b. 658 : (613)3 : 619 . (62)2 = 64 = 1 296 c. (1015)10 __ . 10124 __ : (1010__ )20 : 1070 = 104 = 10 000 __ 5 __ 5 4 5 3 5 3 __ . √ = √ 5 5 5 = 5 . √ d. √ ___ 5 5 5 5 __ : √ ___ 6 6 6 e. √ ___________ 16 . √ 8 : √ 2 = √ 6 64 = 2 ___ ____ ___ . 64 : 144 = √81 f. √ 81 : √144 . √64 = 6
√
F
5
38. Resuelvan aplicando las propiedades.
)
a. La resta entre el cubo del doble de diez y el triple del cuadrado de cuarenta. 3 200 b. La resta entre el cubo de seis y la mitad de la raíz cuadrada de cuatro. 215 c. El triple del producto entre el cuadrado de dieciséis y la raíz cuadrada de dieciséis. 3 072 d. La mitad de la mitad del triple del cuadrado de dieciséis. 192 e. La mitad de la raíz cúbica de la resta entre el cuadrado de diez y el cuadrado de seis. 2 f. La tercera parte de la diferencia entre ochenta y seis y cinco, aumentada en la raíz cuadrada de ciento sesenta y nueve. 40
c. 2 . 18 + 11 = 36 + 22 = 58
( e. ( 52
)
d. 27 + 45 : 9 =
3
+5=
8
)
+ 26 : 2 = 26 + 13 = 39
f. (84 – 28) : 14 =
6
–
2
=4
37. Escriban el cálculo y resuélvanlo. a. La tercera parte del cubo de seis. b. La raíz cuadrada de la suma entre ocho y cincuenta y seis. c. La raíz cuadrada de treinta y seis, más la quinta parte de doscientos cincuenta.
41. Resuelvan. ____
a. √100 . 4 + 53 – 3 . 17 = 114 __ ___ + √9 ) . 4 = 32 b. (√25 c. 102 . 3 + 92 . 5 = 705 d. 10 . (106 . 109 : 1012) – 103 = 9 000 ____________ 3 e. √ 100 : 10 + 17 + 82 = 67 7 f. 25___________________ : (29 : 2___ + 16) + 4 . 10 = 45 __ + 50) . 3 = 3 g. √_____ (2 . 8 : √64 3 7 h. √ ____ 4 – √4 : 64) = 6 + 4 + 3 . (2___ ____ 3 3 3 i. √ 343 + 512 . 5 – 49 = 1 000 √ √ _____ ____ _____ ) = 160 500 j. 8 . ( √900 + √1 600 – √2
a. 72. b. 8. c. 56. 20
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Divisibilidad y factorización
infoactiva Un número a es divisible por otro b, cuando a : b es exacta, es decir, tiene resto igual a 0. 15 es divisible por 3 15 es múltiplo de 3 3 es divisor de 15
Criterios de divisibilidad Un número es divisible por: • 2, cuando es par. • 3, cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. • 4, cuando sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 4. • 5, cuando termina en 0 o en 5. • 6, cuando es divisible por 2 y por 3 a la vez. • 9, cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de nueve. • 10, cuando termina en 0.
Ejemplo
76; 174 153; 6231 12; 300 80; 315 138; 942 198; 909 50; 230
Un número es primo cuando tiene dos divisores: el 1 y el mismo número. Por ejemplo, 5 es primo, ya que tiene como divisores el 1 y el 5. Un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores. Por ejemplo, 12 es compuesto, ya que tiene los siguientes divisores: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Un número compuesto se puede descomponer de manera única en factores primos. A la descomposición se la denomina factorización. Para factorear un número, se pueden utilizar los siguientes esquemas: 70 2 2 35 5 70 7 70 = 2 . 5 . 7 7 7 35 1 5 Para encontrar todos los divisores de un número, se puede realizar el siguiente procedimiento. 70 = 2 . 5 . 7 1. Se factoriza el número. 2. Se calculan todos los productos posibles 2 . 5 = 10 2 . 7 = 14 5 . 7 = 35 de sus factores primos. Divisores de 70: 1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70 3. Todo número es divisible por 1 y por sí mismo.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Para saber si un número es divisible por 6, ¿alcanza con saber que es divisible por 2? b. ¿Es correcto decir que 1 es un número primo? c. El número 95 356, ¿es múltiplo de 4? a. No. b. No. c. Sí. 21 Nombre:
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ACTIVIDADES Divisibilidad y factorización
42. Escriban los números que cumplen con la condición indicada. a. Los múltiplos de 3, mayores que 120 y menores que 141: 123, 126, 129, 132, 135, 138 b. Los múltiplos de 8, mayores que 200 y menores que 250: 208, 216, 224, 232, 240, 248 c. Los divisores de 6: 1, 2, 3, 6 d. Los divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 e. Los divisores primos de 60: 2, 3, 5
43. Escriban un número que cumpla con las condiciones dadas, usando las cifras 4, 5, 7 y 8. a. Múltiplo de 2, pero no múltiplo de 4: 4 578, 4 758, 5 478, 5 874, 7 458, 7 854, 8 574, 8 754 b. Múltiplo de 4 menor que 7 000: 5 784, 5 748, 7 548, 7 584 c. Múltiplo de 11 y par: 5 478, 5 874, 7 458, 7 854 d. Divisible por 4 y que la cifra de las unidades sea menor que 8: 5 784, 7 584 e. Divisible por 5 y mayor que 8 000: 8 745, 8 475
44. Marquen una X, según corresponda. Es divisible por...
1
2
20
X
X
264
X
X
415
X
550
X
1 125
X
6 500
X
9 801
X
48 000
X
3 X
4
5
X
X
X
6
8
X
X
9
10
25
100
X
X X
X X
X
X
X X
X
X
X
X
X X
X
X
X
X
X
X
X
X X
X
X
X
45. Factoreen los siguientes números y exprésenlos como una multiplicación. b. 600
a. 792
3 2 792 = 2 . 3 . 11
3 2 600 = 2 . 3 . 5
d. 4 410
c. 1 089
2 2 1 089 = 3 . 11
2 2 4 410 = 2 . 3 . 5 . 7
46. Completen con la factorización de los siguientes números. Tengan en cuenta el ejemplo. a. 280 =
2
3
.
7
1
.
5
1
b. 165 =
3
1
.
5
1
. 11
c. 720 =
2
4
.
3
2
.
5
d. 390 =
2
1
.
3
1
1
e. 297 =
3
3
. 11
1
1
f. 3 025 = 5
2
. 11
.
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1
. 13
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Múltiplo común menor y divisor común mayor
infoactiva El múltiplo común menor (mcm) entre dos números es el menor de los múltiplos que tienen en común esos números, sin tener en cuenta el 0.
Algunos múltiplos de 4 son: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24… Algunos múltiplos de 6 son: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36…
12 es el menor múltiplo que tienen en común. mcm (4;6) = 12
Para hallar el mcm (12;30) se factorean los números y se eligen los factores para obtener el múltiplo común menor.
30 2 12 3 4 2 15 3 30 12 = 3 . 2 . 2 5 5 2 2 12 . 30 = 3 . 2 . 2 . 2 . 3 . 5 1 1 30 = 2 . 3 . 5 12 mcm (12;30) = 22 . 3 . 5 = 60 Para calcular el mcm se multiplican los factores comunes y no
comunes con su mayor exponente.
El divisor común mayor (dcm) entre dos números es el mayor de los divisores que tienen en común esos números.
6 es el mayor de los divisores que tienen en común. dcm (18;24) = 6
Los divisores de 18 son: 1, 2, 3, 6, 9, 18 Los divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Para hallar el dcm (28;98) se factorean los números y se eligen los factores para obtener el divisor común mayor.
28 2 98 2 14 2 49 7 28 = 2 . 2 . 7 7 7 7 7 2 . 7 es divisor común mayor entre 28 y 98. 1 1 98 = 2 . 7 . 7 dcm (28;98) = 2 . 7 = 14 Para calcular el dcm se multiplican los factores comunes con su menor exponente.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Para calcular el mcm de dos o más números, ¿siempre hay que multiplicar los números? b. Dos números son coprimos si su dcm es 1. ¿Dos números consecutivos siempre son coprimos? c. ¿Cuáles son los factores primos comunes entre 10 y 15? ¿Y los no comunes? a. No. b. Sí. c. 1 y 5; 2 y 3. 23 Nombre:
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ACTIVIDADES Múltiplo común menor y divisor común mayor
47. Factoreen los siguientes números. Luego, hallen el mcm y el dcm en cada caso. a. 108 180 392
2 3 108 = 2 . 3
2 2 180 = 2 . 3 . 5
3 2 392 = 2 . 7 3 3 2 mcm (108;180;392) = 2 . 3 . 5 . 7 = 52 920
b.
22 = 4 dcm (108;180;392) =
20 200 2 000
4 3 mcm (20;200;2 000) = 2 . 5 = 2 000
c.
60
36
2 20 = 2 . 5 3 2 200 = 2 . 5 4 3 2 000 = 2 . 5
22 . 5 = 20 dcm (20;200;2 000) =
65
2 60 = 2 . 3 . 5
36 = 2 . 3
65 = 5 . 13
2 2 mcm (60;36;65) = 2 . 3 . 5 . 13 = 2 340
2
2
1 dcm (60;36;65) =
48. Planteen y resuelvan. a. En un local de iluminación decoraron la vidriera con tres tipos distintos de luces LED azules, blancas y lilas. Las luces azules se encienden cada 20 minutos; las blancas, cada 30 minutos y las lilas, cada 15 minutos. ¿Cada cuántos minutos se encienden simultáneamente los tres tipos de luz? Se encienden cada 60 minutos.
b. Un grupo de chicos recolectó 300 muñecas, 420 pistolas de agua, 480 pelotas y 600 rompecabezas para formar paquetes y regalar en el Día del Niño en un club del barrio. Si en cada paquete colocarán la misma cantidad de cada juguete, ¿cuál es la mayor cantidad de paquetes que podrán armar? ¿Cuántos juguetes de cada tipo tendrá cada paquete? Podrán armar 60 paquetes con 5 muñecas, 7 pistolas, 8 pelotas y 10 rompecabezas cada uno.
c. Juan va al club cada tres días, Santiago cada cuatro y Agustín cada seis días. Si fueron los tres juntos el 1 de junio, ¿cuándo volverán a encontrarse? ¿Se encontrarán el 23 de junio? ¿Y el 25? El 13 de junio. No. Sí.
d. Para festejar el Día del Amigo, Camila compró 12 esmaltes, 6 collares, 18 anillos y 36 caramelos. Si quiere armar bolsas de regalo con la misma cantidad de obsequios de cada tipo, ¿para cuántas amigas le alcanza? ¿Qué deberá colocar en cada bolsa? Para 6 amigas. Deberá colocar 2 esmaltes, 1 collar, 3 anillos y 6 caramelos.
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Lenguaje simbólico. Ecuaciones
infoactiva El lenguaje de las palabras, que puede ser oral o escrito, se denomina lenguaje coloquial. La matemática utiliza un lenguaje particular denominado lenguaje simbólico. Lenguaje coloquial
Lenguaje simbólico
El triple de un número. La cuarta parte de un número. El anterior de un número. El doble de un número, disminuido en cuatro.
3.x a:4 b–1 2.x–4
Si entre un número y la letra no se indica la operación, se entiende que hay un signo de multiplicar. 6 . x = 6x
Una ecuación es una igualdad en la que hay, por lo menos, un valor desconocido llamado incógnita.
x – 3 = 20
1.° miembro 2.° miembro
Resolver una ecuación significa encontrar el valor o los valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad. Cada valor de la incógnita es una solución de la ecuación. Para resolver una ecuación, se deben obtener ecuaciones equivalentes, es decir, con la misma solución, teniendo en cuenta las siguientes propiedades. • Se suma o resta un mismo número a ambos miembros de la igualdad. • Se multiplica o divide por un mismo número (distinto de cero) a ambos miembros de la igualdad. • Se aplica una potencia o raíz a ambos miembros de la igualdad.
x + 3 = 12 x + 3 – 3 = 12 – 3 x = 9
6 . x = 42 x4 = 81 __ ___ 4 4 4 x = √ 81 6 . x : 6 = 42 : 6 √ x = 7 x=3
x – 8 = 21 x – 8 + 8 = 21 + 8 x = 29
3 x = 5 x : 5 = 8 √ __ 3 3 x : 5 . 5 = 8 . 5 √ x = 53 x = 40 x = 125
__
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. El siguiente de un número, ¿cómo se expresa en lenguaje simbólico? b. ¿Cómo se traduce x2al lenguaje coloquial? c. La ecuación 5x + x + 2x = 56, ¿es equivalente a 7x = 56? a. x + 1. b. Un número elevado al cuadrado. c. No, a 8x = 56. 25 Nombre:
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ACTIVIDADES Lenguaje simbólico. Ecuaciones
49. Traduzcan al lenguaje simbólico. a. El doble de un número.
2a
b. El anterior del doble de un número.
2a – 1
c. El doble del anterior de un número. 2 . (a – 1) d. La mitad de un número.
a:2
e. La diferencia entre un número y su anterior. a – (a – 1) f. El producto entre el doble de un número y su consecutivo. 2a . (a + 1)
50. Unan con flechas cada enunciado con la expresión simbólica correspondiente. a. La tercera parte del cuadrado de un número.
• (x : 3)2
b. El cuadrado de la tercera parte de un número.
• x2 : 3
c. El producto entre un número y su cubo.
• x . x3
d. El cubo del producto entre un número y su cubo.
• [x + (x – 1)] : 2
e. La mitad de la suma entre un número y su anterior.
•√ x – (x – 1)
f. La raíz cúbica de la resta entre un número y su anterior.
• (x . x3)3
3
_________
51. Escriban un problema para cada una de las siguientes ecuaciones y resuélvanlas. a. 2 . (x – 5) = 36
b. x : 2 + 24 = 2 . 15
El doble de la diferencia entre un número y cinco es igual a treinta y seis.
La mitad de un número, aumentada en 24 es igual al doble de quince.
52. Encuentren el valor de cada incógnita y verifiquen. a. 8 + m = 52
d. 3 + a : 2 = 19
m = 17
a = 32
b. t – 8 = 23
e. y3 = 25 . 2
t = 16
y=4
__
c. 3 + x . 2 = 19
f. √ n = 32 + 50
x=8
n = 100
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ACTIVIDADES Lenguaje simbólico. Ecuaciones
53. Resuelvan_______ cada ecuación y verifiquen la solución. – 16 a. 3 + x = √25
h. 10x + 15 + 4 = 37 + 4x
x=0
x=3
b. 5x – 22=
___ √36
__
i. 42 + 9x + √4 = 16 . 5 + 2 + 7x
x=2
x = 32
c. x . (4 + 50) = 53
j. 6x – 6 + 3x = 3x + 6
x = 25
x=2
__
+ x : 3 = 32 d. √9
k. 3x + 5x – 49 = 2x + x + 11
x = 87
x = 12
e. 5 + x : 2 = 20 : 4
l. 9x + 45 – 5x = 16 + 5 . 6 + 3x
x=0
x=1
f. 6x + 3x + 7 . 3 = 5 + 35 . 2
m. 6x + 343 : 72 – x = (22 + 1) : 5 + 14 + 3x
x=6
x=4
__ 3
3
g. 3x + 50 + x = 25 + √ 1
__
____
n. 4x + 15 + 6x + √ 8 : 2 = √100 + 8x
x=8
x=4
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ACTIVIDADES Lenguaje simbólico. Ecuaciones
54. Resuelvan las siguientes ecuaciones aplicando la propiedad distributiva. a. 4 . (x + 2) = 28
e. 17x – 5 = 5 . (2x + 1) – 3
x=5
x=1
b. 36 + 59 = (20x + 10) : 2
f. 6 . (3x + 5) = 3 . (20 + x)
x=9
x=2
c. 3 . (4x + 6) = 198
g. 3 . (x + 2) = 2 . (x + 2) + 2
x = 15
x=0
d. (x + 6) . 9 + 19 = 181
h. 3 . (x – 6) = (2x + 1) . 5 – 8 . 9
x = 12
x=7
55. Resuelvan las siguientes ecuaciones con potenciación y radicación. Verifiquen los resultados. a. x3 + 3 . 14 = 52 . 10 + 8
c. (x – 2)3 + 18 = 530
x=6
x = 10
_________
__
d. √ 6 =2.6 . (x + 9)
b. 3 . 100 + 26 + √x = 12 . 28 x = 100
x = 15
mente activa El triple de la edad que Sebastián tendrá dentro de cinco años es igual al doble de la edad que tendrá dentro de 23 años. ¿Cuál es la edad actual de Sebastián? Sebastián tiene 31 años.
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capítulo
Integración 56. Escriban. a. Todos los divisores de 28. 1, 2, 4, 7, 14, 28 b. Todos los divisores de 45. 1, 3, 5, 9, 15, 45 c. Todos los múltiplos de 15 mayores que 16 y menores que 90. 30, 45, 60, 75.
57. Con las cifras 0, 2, 8 y 5 escriban un número que cumpla con las condiciones dadas. a. Un número de cuatro cifras distintas que sea múltiplo de 2 y de 5 a la vez. 2 850 b. Un número de cuatro cifras distintas que sea divisible por 2, pero que no sea divisible por 5. 5 028 c. Un número de cuatro cifras distintas que sea divisible por 3, pero que no sea divisible por 6. 8 025 58. Resuelvan. a. Marcos dividió un número por 15 y obtuvo resto 0. • ¿El número es múltiplo de 15? Sí. • ¿El número es múltiplo de 3? Sí. • ¿El número es múltiplo de 10? No se sabe. • ¿El número es múltiplo de 5? Sí. • ¿El número es múltiplo de 30? No se sabe. b. Florencia dividió un número por 8 y obtuvo resto 5. • Si quiere convertir el número para que sea divisible por 8, ¿cuánto deberá sumarle? 3 • Si quisiera que el nuevo número fuera múltiplo de 80, ¿por qué número debería multiplicarlo? Por 10.
59. Factoreen los siguientes números y exprésenlos como multiplicación. a. 1 400 = 23 . 52 . 7 d. 2 835 = 34 . 5 . 7 5 b. 1 056 = 2 . 3 . 11 e. 2 548 = 22 . 72 . 13 c. 2 500 = 2 2 . 54 f. 7 007 = 72 . 11 . 13
60. Observen las siguientes potencias de diez y respondan. Expliquen sus respuestas. 1023 1012 1021 103 a. ¿Cuál expresa el dcm entre ellas? 103 b. ¿Cuál expresa el mcm entre ellas? 1023
Contenidos
5.6.7
61. Resuelvan. a. Si se divide un número por 3, por 5 y por 7, el resto es 0; pero si se lo divide por 6, sobra 3. ¿Cuál es el número? 105 b. Si al número de la actividad anterior se lo divide por 2, ¿qué resto se obtiene? ¿Por qué? 1 c. Si se divide un número por 5, por 9 y por 7, el resto es 0; pero si se lo divide por 2, sobra 1. Si se cuadruplica el número, ¿qué número se obtiene? 1 260 d. ¿Por qué número se debe dividir 1 548 para que el cociente sea 64? ¿Cuál será el resto? Por 24. El resto será 12.
62. Tengan en cuenta la descomposición de los siguientes números y escriban V (Verdadero) o F (Falso), según corresponda. Expliquen la respuesta. 2 100 = 22. 3 . 52. 7 2 200 = 23 . 52 . 11
441 = 32 . 72 440 = 23. 5 . 11 V
a. 8 es divisor de 2 200. b. 440 es divisible por 22. c. 49 es divisor de 441.
V
V
d. 25 es divisor de 2 100 y de 2 200. e. 2 200 es divisible por 55.
V
V
f. El dcm entre los cuatro números es 4.
F
g. El mcm entre los cuatro números es: 23 . 32 . 52 . 72 . 11
V
h. 440 y 441 son coprimos. i. 2 200 y 441 son coprimos.
V V
j. 1 es el dcm entre los cuatro números.
V
k. 2 100 es divisible por 7, pero no por 49. V l. El dcm de 2 100 y 2 200 es: 22 . 52.
V
63. Escriban. a. Tres números mayores que 4 y que tengan el 64 como mcm. 192; 128; 320 b. Tres números menores que 80 y que tengan el 20 como dcm. 20; 40; 60
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64. Hallar el mcm y el dcm entre los siguientes números. a. 60; 90; 150. mcm = 900; dcm = 30 b. 175; 200; 280. mcm = 1 400; dcm = 5 c. 48; 80; 120; 180. mcm = 720; dcm = 4 d. 17; 7; 11. mcm 1 309; dcm = 1 e. 84; 350; 450. mcm = 6 300; dcm = 2 f. 27; 243; 729. mcm = 729; dcm = 27
65. Resuelvan. a. Si el papá de Ema recibe una publicación deportiva trimestralmente, una revista de actualización médica bimestralmente y un suplemento deportivo europeo cada 5 meses, ¿cada cuántos meses recibe simultáneamente las tres publicaciones? Cada 30 meses. b. La mamá de Andrea tiene 300 cintas verdes y 450 blancas para armar moños de regalo. Si todos los moños deben tener la misma cantidad de cintas de cada color, ¿cuántos moños podrá hacer? ¿Qué cantidad de cintas verdes y blancas tendrá cada moño? 150 moños. 2 cintas verdes y 3 blancas.
66. Planteen la ecuación y resuelvan. Luego verifiquen. a. El doble de la edad de Mariana es igual a la mitad de cincuenta y seis. ¿Cuál es la edad de Mariana? 14 años. b. El precio de tres kilogramos de helado es igual a cuatro veces cuarenta y cinco. ¿Cuánto cuesta el kilo de helado? $60 c. El peso de Luca aumentado en seis es igual a la mitad de veinte kilogramos. ¿Cuántos kilogramos pesa Luca? 4 kg d. La cuarta parte de lo vendido en el puesto de panchos es igual al doble de ciento ocho. ¿Cuánto se vendió en total? 864
67. Resuelvan las ecuaciones y verifiquen. a. (x + 12) : 6 – 5 = 3 x = 36 b. (x – 3) : 3 + 20 = 42 + 8 x = 15 c. 5x – 100 = 69 – 8x x = 13 d. 6x – 18 + 2x = 3x + 17 . 6 x = 24 e. 3 . (x + 5) – 2x + 1 = 48 : 3 x = 0 f. (x – 2) . 4 + 36 = 45 . 2 + x + 4 x = 22
68. Resuelvan. a. Agustín y su hermana Belén completaron un álbum de 420 figuritas deportivas. Agustín consiguió 162 figuritas más que su hermana. Si x representa la cantidad de figuritas que consiguió Belén, ¿cuál de las siguientes expresiones permite calcular esas figuritas? ¿Cuántas figuritas obtuvo cada uno de ellos? 162 + x + x = 420; x = 129 x + 162 = 420 162 + x + x = 420 x + 162 + x – 162 = 420 b. Dos amigas, Sandra y Andrea, han tejido mantitas para vender. Andrea tejió 8 mantitas menos que Sandra y entre ambas se comprometieron a entregar 60 mantitas. Si x representa la cantidad de mantitas que tejió Sandra, ¿cuál de las siguientes expresiones permite calcular esa cantidad? ¿Cuántas mantitas tejió cada una? x – 8 + x = 60; x = 34 8 – x – 60 = x 8 – x + x = 60 x – 8 + x = 60
69. Escriban la ecuación y resuélvanla. a. La suma entre el triple de un número y el doble de su siguiente es igual a la mitad de 84. 3x + 2 . (x + 1) = 84 : 2; x = 8 b. El cociente entre 20 y 5 es igual al doble del anterior de un número, aumentado en 4. ¿Cuál es el número? 20 : 5 = 2 . (x – 1) + 4; x = 1
70. Resuelvan las ecuaciones e indiquen cuáles tienen la misma solución. ____ a. √144 6.2 x=8 + x : 23 = 70 + ___ x = 4 b. x + 3x – 812 : 811 = √64 c. (x + 2) . 32 = (37)3 : 318 x = 1 d. (54 – 53) . x – 25 . 10 = 250 x = 1
71. Resuelvan las siguientes ecuaciones con potenciación y radicación. Verifiquen los resultados. a. x2 – (36 + 2 . 5) = 2 . 32 x = 8 b. 25 + x3 = 36 + 82 + 2 . 25 x = 5 c. 45 : (7 + 23) = 3x2 x = 1 __ d. √ 3 x + 6 . 8 = 52 . 2 x = 8 __ e. (7 + 2)2 + √x = 9 . 10 x = 81 __ f. √ x + 6 . 5 = 22 . 32 x = 36
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1
capítulo
Autoevaluación 72. Descompongan de tres formas diferentes. 7 6 5 4 3 2 1 0 26 062 206 = 2 . 10 + 6 . 10 + 0 . 10 + 6 . 10 + 2 . 10 + 2 . 10 + 0 . 10 + 6 . 10
2 . 10 000 000 + 6 . 1 000 000 + 6 . 10 000 + 2 . 1 000 + 2 . 100 + 6 20 000 000 + 6 000 000 + 60 000 + 2 000 + 200 + 6
73. Resuelvan aplicando propiedades cuando sea posible. a. 4 . (5 . 7 + 10) + 270 : 30 – (18 – 4 . 2) = 179
___
__ = 23 b. 58 . 513 : 519 + (4 . 9 – 12)0 – √45 : √5
___________
3 3 c. √ 2 . 40 + 231 + 102 . 5 = 507
74. Resuelvan. El médico le recetó a Florencia tomar un antibiótico cada 8 horas y un analgésico cada 6 horas. a. ¿Cada cuántas horas debe tomar los dos medicamentos juntos? Cada 24 horas.
b. ¿Cuántas pastillas del antibiótico debe tomar por día? ¿Y del analgésico? 3 pastillas del antibiótico y 4 del analgésico.
75. Calculen el mcm y el dcm entre 675, 540 y 180. mcm (180;540;675) = 2 700; dcm (180;540;675) = 45
76. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. Verifiquen el resultado. El doble de la suma entre un número y veinticinco es igual a la mitad de ciento ochenta y cuatro, disminuido en cuatro. 2 . (x + 25) = 184 : 2 – 4; x = 19
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capítulo
2
Fracciones y expresiones decimales Contenidos 8. Orden y representación. 9. Fracciones equivalentes. 10. Operaciones con números racionales. 11. Potenciación y radicación de fracciones. 12. Operaciones combinadas con fracciones. 13. Fracciones y expresiones decimales. 14. Operaciones con expresiones decimales. Porcentaje. 15. Operaciones combinadas.
Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la imagen y resuelvan. a. Completen. En el grupo hay 9 chicos, donde 5 son varones y 4 son mujeres. b. Inventen preguntas cuyas respuestas sean cada una de las siguientes fracciones. 4 5 __ 3 __ 2 __ 9 ; __ 9 ; 5 ; 9 c. Comparen con sus compañeros las preguntas que realizaron. 32
b. ¿Qué fracción representa la cantidad de mujeres que hay? ¿Y la cantidad de varones? ¿Qué fracción representa a los varones de remera rayada? ¿Y a los chicos que usan anteojos?
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Orden y representación
infoactiva Números racionales Los números racionales son aquellos que se pueden escribir como fracción. Se denomina fracción al cociente entre dos números naturales a y b (con b distinto de 0). 5 — 8
5 de torta. Queda __ 8
numerador denominador
Toda fracción mayor que un entero se puede expresar como número mixto. __34 = 1 __31 un entero __31
Representación en la recta numérica Para representar fracciones en la recta numérica, se divide cada unidad en tantas partes iguales como indica el denominador y se toman tantas partes como indica el numerador. Para representar __23 :
0
3 2
1
Como el numerador es 3, se toman 3 de esas partes. 2
Como el denominador de la fracción es 2, se divide cada unidad en dos partes iguales.
Comparación de fracciones Para comparar dos fracciones, se pueden usar distintos procedimientos. • Para comparar __41 y __65 : se multiplican cruzados los numeradores y denominadores, comenzando por el numerador de la primera fracción. Se escriben los resultados obtenidos y se los compara. __41 y __65 1.6<4.5 6 < 20, entonces __41 < __65 . 31 y __71 : como los numeradores son iguales y en __31 se divide al entero en menos • Para comparar __ 1 __ partes que en 7 , entonces __31 > __71 .
• Para comparar __ 65 y __56 : como __65 es menor que un entero y __56 es mayor que 1, entonces __65 < __56 .
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Para representar __64 en la recta numérica, ¿en cuántas partes se puede dividir la unidad? 20 b. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor? __34 o ___ 15 3 3 7 8 __ __ __ __ c. ¿Cómo pueden comparar 8 con 5 ? ¿Y 8 con 7 ? 7 a. 6 o 3. b. Son iguales. c. Se analizan los denominadores. __ es menor que 1 y __ 8 es mayor. 7 8
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ACTIVIDADES Orden y representación
1. Representen en la recta numérica las siguientes fracciones. a.
__35 ;
__31 ;
__37
__33 ;
0
1
2
__35
__33
__31
__37
b. __31 ; __32 ; __43 ; __45 0
1
5 3 2 __ __ __ __31 3 4 4
c. __41 ; 3__6 ; 2__3 ; __65 0
1
5 2 3 __ __ __ 41 __ 3 6 6
2. Escriban la fracción que representan los puntos indicados con letras. 0
a
4
a=
9
b
1
b=
6 9
c
2
c=
12 9
d
d=
24 9
3
e
e=
29 9
3. Escriban como número mixto las fracciones de la actividad anterior, siempre que sea posible. a=
0
4 9
b=
0
6 9
c=
1
3 9
6
d= 2
9
e=
3
2 9
4. Ordenen de menor a mayor las fracciones que aparecen en el enunciado.
3 Elvira decidió hacer un pan dulce para compartir con sus nietos. Compró __ 4 kg de frutas abrillanta4 3 1 __ __ das, __ 2 kg de pasas de uva, 5 kg de almendras acarameladas y 5 de nueces.
4 3 3 __ __ ; __ ; 1 ; __ 2 5 4 5
5. Escriban la fracción que indica la parte pintada. Luego, ordénenlas de mayor a menor. 3
a.
5
b.
10 5
c.
7 5
7 3 ___ 10 ; __ ; __ 5 5 5
6. Ordenen de menor a mayor las siguientes fracciones y represéntenlas en una recta numérica. 4 5 __ 5 10 __ 7 4 __ 1 < __ < __ < 2 < __ < ___ < < __ 6 9 9 3 6 9 6 3
___ 10 - __ 7 - __ 5 - __ 4 - __ 4 - __ 2 - __ 1 - __ 5 9 6 6 9 3 3 6 9
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Fracciones equivalentes
infoactiva Dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo número racional. 3 — 5
0
3 — 5
1
6 — — 10
6 — — 10
Para obtener fracciones equivalentes a una dada, se pueden aplicar estos procedimientos. Procedimientos para obtener fracciones equivalentes Amplificación
Simplificación
Se multiplican el numerador y el denominador por un mismo número natural distinto de cero.
Se dividen el numerador y el denominador por un mismo número natural que sea divisor de los dos.
.2 2 — 7
.2
4 — — 14
:4 8 — — 20
:4
2 — es irreducible porque 5
2 — 5
no se puede simplificar.
Para verificar si dos fracciones son equivalentes, se puede aplicar la propiedad fundamental de las proporciones. Si al multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, se obtiene el mismo resultado que al multiplicar el denominador de la primera por el numerador de la segunda, las fracciones son equivalentes. ___ 15 es equivalente con ___ 20 , porque 15 . 16 = 12 . 20 = 240 12 16
Fracción irreducible Una fracción es irreducible cuando el numerador y el denominador son coprimos, es decir que solo tienen a 1 como divisor común. 4 es irreducible porque 4 y 7 son coprimos. __ 7
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cómo reconocen una fracción irreducible? 35 b. La fracción irreducible de ___ , ¿es __37 ? 15
48 36 ___ c. ¿Cómo se puede comprobar que ___ y 40 son equivalentes? 30 56 ___ d. ¿Cuál es la fracción irreducible de 36 ?
14 a. El numerador y el denominador son coprimos. b. Sí. c. 36 . 40 = 30 . 48. d. ___ . 9 35
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ACTIVIDADES Fracciones equivalentes
7. Escriban la fracción irreducible que representa cada color, en la siguiente figura. 1
a. Rojo:
2
4
24
1
b. Verde:
1
d. Amarillo:
1
e. Blanco:
8
1
c. Azul:
12
8. Tachen las fracciones que no son equivalentes a la fracción dada. a.
__72
12 ___ 17
6 ___ 21
20 ___ 70
10 ___ 42
32 ___ 112
c.
18 ___ 4
__29
b.
__54
44 ___ 55
16 ___ 25
36 ___ 45
68 ___ 85
56 ___ 75
d.
__36
120 ____ 60 2
45 ___ 10
90 ___ 20
27 ___ 6
108 ____ 57
216 ____ 52
30 ___ 15
__21
9. Escriban como fracción irreducible la parte sombreada de cada figura. 1
a.
3
1
d.
4
3
b.
8
1
e.
4
1
c.
2
3
f.
16
10. Simplifiquen las siguientes fracciones y exprésenlas como fracción irreducible. 7 84 = a. ___ 48 4
3
72 = b. ___ 96
4
62 248 c. ____ 52 = 13
36 d. ____ 108 =
1 3
630 e. ____ 180 =
7
150 = f. ____ 225
2
2
3
420 = g. ____ 840
25 825 = h. ____ 396
1
2
12
11. Completen con una fracción que se encuentre entre las fracciones dadas. a.
__83 <
5 8
<
__86
13 b. __64 < < __65 18
c.
__47 <
25 12
<
__37
20 < __29 d. __59 < 10
__ 32 <
5
f. __81 <
6
e.
6
40
<
__23
< __51
g.
__ 72 <
5 14
<
__21
19 < __83 h. __ 72 < 56
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Operaciones con números racionales
infoactiva Adición y sustracción Para sumar o restar dos fracciones de distinto denominador, se buscan fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador. Para encontrar un denominador común, se busca el múltiplo común menor entre los denominadores. __ 2 + __ 1 = ___ 8 + ___ 5 = ___ 13 5 4 20 20 20
__ – __ 7 5 = ___ 21 – ___ 10 = ___ 11 4 6 12 12 12
mcm (5;4) = 20
mcm (4;6) = 12
Los siguientes cálculos se pueden resolver mentalmente. 5 1 entero son __ 5
14 2 enteros son ___ 7
1 + __ 2 = __ 7 5 5
= ___ 2 – __ 3 11 7 7
Multiplicación y división Para multiplicar dos fracciones, se multiplican los numeradores y los denominadores entre sí. 1 1
2 3 _____ 3 __ 3 . __ 4 = 3 2 .. 4 = __ 12 1
Se simplificaron las fracciones que se quiere multiplicar.
2 — 3
3 — 4
2
1
__ = ____ 23 . __ 3 2 . 3 = ___ 6 = __ 1 4 3 . 4 12 2 2
Se simplificó la fracción resultado.
En los dos casos se llega al mismo resultado.
Para calcular una fracción de un entero, se debe multiplicar el número por el numerador de la fracción y dividirlo por el denominador. . 1000 3 de 1000 = __ ________ . 1000 = 3 __ 3 = 750 4 4 4
Toda fracción distinta de cero admite un inverso multiplicativo. Por ejemplo, el inverso multiplicativo de __ 32 es __ 23 , porque __ 32 . __ 23 = 1. Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda.
test de comprensión
__ 3 : ___ 1 = __ 3 . ___ 12 = 9 4 12 4 1
1. Respondan y expliquen las respuestas.
11 a. ¿Es cierto que __58 + __53 = ___ 10 ? b. Cuando se multiplican dos fracciones, ¿conviene simplificar antes de hacer el cálculo? 5 2 __ c. En el cálculo ___ 15 : 3 , ¿se pueden simplificar el 15 y el 5?
a. No, es __ 11 . b. Sí. c. No. 5
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ACTIVIDADES Operaciones con números racionales
12. Resuelvan mentalmente. a.
__71 +
__78 =
9
7 6
4 10 __ b. ___ 3 – 3 =
3
__51 =
6
d. __65 – __61 + __63 =
7
c.
__58 –
__53 +
5
6
__83 + 2 =
e.
f. 1 – __94 =
19 8 5 9
13. Marquen con una X el cálculo que representa la situación y resuélvanlo. Un micro de larga distancia salió de la estación de Retiro rumbo a la costa atlántica. En el cami3 no, realizó varias paradas en las que subieron o bajaron pasajeros. En Retiro subió __ 5 del pasaje, 1 ___ en San Clemente subió 10 1 del total, en Santa Teresita bajó __ 3 de los pasajeros y en San Bernardo 2 subió __ 5 . Si el recorrido finalizó en Mar de Ajó, ¿qué parte del pasaje llegó? 1 1 2 __ __ a. __ 53 + ___ 10 – 3 + 5 =
1 1 2 __ __ b. 1 – __53 + ___ 10 – 3 + 5 =
X
(
)
1 1 2 __ __ c. 1 – __ 53 + ___ 10 – 3 + 5 =
3 23 18 + ___ – ___ 10 + ___ 12 = ___ ___ 30 30 30 30 30 23 Llegó ___ del pasaje. 30
14. Resuelvan. a. __43 – __21 + __81 =
(
)
b. __43 – __ 21 + __81 = c. __52 + __21 – __31 = d. __52 – __21 + __31 = e. __49 – 2 + __71 =
(
)
f. __49 – 2 + __71 =
4 1 __ 6 – __ + __ 8 8 8
=
(
)
4 __ 5 6 – __ 6 – __ + 1 = __ __ 8 8 8 8 8
=
15 ___ 12 + ___ ___ – 10 30 30 30
=
15 10 – ___ 12 + ___ ___ 30 30 30
=
4 ___ 28
=
63 ___ – 28
56 ___ + 28
(
)
4 56 ___ 63 ___ 63 ___ – ___ + = ___ – 60 25 28 28 28 28
=
3 8 1 8 17 30 7 30 11 28 3 28
15. Completen los cálculos. 7 a. __31 + 3
= __38
b.
9 5
– __53 = __56
c.
7 4
+ __41 = 2
17 d. ___ 9 –
9 9
= __98
16. Escriban <, > o = según corresponda. a. 6 + __34 >
7
b. 5 – __52 >
3
c. __ 42 + __21 = 1
20 < d. 7 – ___ 6
4
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ACTIVIDADES Operaciones con números racionales
17. Simplifiquen y resuelvan. a.
12 . ___ 5
15 ___ 9 =
4 1
b.
14 ___ 28 =
21 . ___ 7
3 2
1 c. 6 . ___ 12 =
1 2
d.
__53 . 10 =
6 1
18. Completen las siguientes igualdades. a.
__21 .
10 1
=5
b.
18
. __7 = 3
49
__76
c.
19. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. 5 2 . __ = 5 2 4 __ . b. El triple de __44 : 3 4 = 3 1 = __ 1 4 . __ 8 2 c. El cuádruple de __81 :
a. El doble de __25 :
25 1
. __4 = 20 5
d. 11 .
5 4
=
___ 55 4
__ 1 . 93 = 31 3 1 . __ e. Un medio de 412: 2 412 = 206 3 __ . 56 = 42 f. Tres cuartos de 56: 4
d. Un tercio de 93:
20. Lean atentamente y resuelvan.
a. Florencia regaló __52 de las 45 figuritas que tenía repetidas. ¿Cuántas regaló en total? ¿Qué parte aún conserva? 2 . 45 = 18; 45 – 18 = 27 __ 5
Regaló 18 figuritas en total. Aún conserva 27.
b. Para llegar a Mar del Plata, Rubén consumió __43 del tanque de nafta de su auto. Si el tanque tiene una capacidad de 52 litros, ¿cuántos litros le quedan aún? 3 __ . 52 = 39; 52 – 39 = 13 4
Le quedan aún 13 litros.
c. Camila gasta __31 de su sueldo en impuestos y __41 , en el alquiler de su departamento. Si su sueldo es de $7 800, ¿cuánto dinero destina para alquiler e impuestos? ¿Qué parte de su sueldo le queda para otros gastos? 1 . 7 800 = 1 950; 7 800 – 2 600 – 1 950 = 3 250 1 . 7 800 = 2 600; __ __ 3 4
Para alquiler e impuestos gasta $4 550. Le quedan $3 250 para otros gastos.
21. Resuelvan. 13 14 13 ___ a. ___ 9 : 9 = 14
36 1 b. __49 : ___ 16 = 1
54 135 ____ 125 c. ____ 27 : 54 = 25
24 6 ___ = d. ___ 17 : 34
1 2
22. Completen con la fracción que verifica la igualdad. 10 1 a. __41 : = ___ 10 4
b. __73 :
1 21
=9
c.
5 4
: __21 = __25
d.
1
: __21 = __52
5
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ACTIVIDADES Operaciones con números racionales
23. Resuelvan y completen con <, > o =, según corresponda. a. __51 . __32 = __51 : __23 b. __72 . 7
>
14 ___ 14 ___ 5 : 5
c. 5 : __51 >
__51 . 5
d. __21 . __43 <
7 21 __ ___ 6 : 3
24. Escriban la letra del enunciado que corresponde a cada cálculo. Luego, resuélvanlo. a. Un poste se pintó la mitad de blanco y la tercera parte de azul. ¿Qué parte está pintada? b. La mitad de una herencia se reparte entre tres personas. ¿Qué parte le corresponde a cada una? c. Dos amigos recorren un camino en su auto; el primero maneja la mitad del recorrido y el segundo, una tercera parte. ¿Qué parte aún no recorrieron? d. Eduardo llenó el tanque de nafta de su auto para salir de viaje. Luego de consumir la mitad del combustible, cargó nuevamente un tercio de la capacidad del tanque. ¿Qué parte del tanque tiene nafta? c
(
)
1 – __ 21 + __ 31 =
1 6
a
__ 21 + __ 31 =
5 6
b
5 3 2 __ a. __ + __ = 6 6 6 5 __ 3 2 6 – __ c. 1 – __ + __ = __ = 1 6 6 6 6 6
(
)
__ 21 : 3 =
1 6
1 . __ 1 = b. __ 2 3 3 6 – __ d. __ + 6 6
d
1 – __ 21 + __ 31 =
5 6
1 __ 6 5 2 = __ __ 6 6
25. Resuelvan las siguientes situaciones problemáticas. a. La mamá de Josefina compró cuatro cajas de veinte bombones cada una. Entre Josefina y su hermana Micaela comieron una caja y __41 de otra. ¿Cuántos bombones quedan? Quedan 55 bombones.
b. En un micro escolar viajan 36 alumnos. Si __31 de los alumnos desciende en el barrio de Saavedra, __92 lo hace en Belgrano y __41 en Núñez, ¿cuántos alumnos continúan en el micro? 7 alumnos.
1 c. En una biblioteca hay 540 libros. Si se prestaron ___ 18 de sus libros el lunes, y el martes se devolvieron 15, ¿cuántos libros quedan aún en la biblioteca?
Quedaron 525 libros.
mente activa Don Prudencio desea plantar 5 variedades de flores, que en total son 240 plantines: 60 son jazmines, 18 son fresias, 78 son rosales, 30 son lirios y el resto son orquídeas. a. ¿Cuántos plantines de orquídeas tiene? Tiene 54 plantines de orquídeas. 9 3 13 1 ; O: ___ 1 ; F: ___ ; R: ___ ; L: __ b. ¿Qué fracción representa cada variedad? J: __ 8 4 40 40 40
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Potenciación y radicación de fracciones
infoactiva Potenciación La potenciación permite escribir en forma abreviada una multiplicación de factores iguales. . __ . __ ( __ 1 ) = __ 1 1 = ___ 1 ( __ 1 ) = __ 1 1 . __ 1 = ___ 1 ( __ 2 ) = __ 2 ( __ 52 ) = 1 4 4 4 16 4 4 4 4 64 5 5 2
3
1
0
1 — 3
El sector pintado ocupa la novena parte del cuadrado. 2 1 __ ( __ 1 ) = __ . 1 = __ 1 3 3 3 9
1 — 3
Para obtener la potencia de una fracción, se debe calcular la potencia del numerador y la del denominador.
( __ 4 ) = ___ 42 = ___ 16 3 3 9 2
2
Radicación La radicación es la operación inversa a la potenciación. Para obtener la raíz de una fracción, se debe calcular la raíz del numerador y la del denominador. ___
___
√
√— 64 __ 8 —— = ___ 64 = ——___ 25 5 25 √
___
√
( )
16 4 2 ___ __ ___ 16 = __ 4 9 porque 9 = 81 81
____
√ 27
( 3 )
3 ___ 1 = __ 1 porque __ 1 = ___ 1
3
27
La potenciación y la radicación de fracciones cumplen las mismas propiedades que para los números naturales.
En la página 13 pueden repasar las propiedades de la potenciación y la radicación.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Qué indica el exponente en la potenciación? ¿Y el índice en la radicación?
( )
73 b. ¿Es cierto que __ c. ¿Cómo se resuelve
2
6 = ___ 14 ? __
√
16 ? ___ 81 4
a. Solución a cargo del alumno. b. No. c. Se calcula la raíz del numerador y la del denominador. 41 Nombre:
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ACTIVIDADES Potenciación y radicación de fracciones
26. Resuelvan las siguientes potencias.
( )
2 a. __ 51 =
1 25
( )
1
4 b. __ 31 =
81
( )
4
2 c. __ 72 =
49
( )
3 27 d. __ 23 =
8
27. Resuelvan las siguientes raíces. ___
√
a. ___ 64 81 =
8 9
___
√
16 b. ___ 121 =
4 11
___
√
3 125 c. ____ 64 =
28. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.
____
√
3 125 5 = __ ____ 4 64
c. La raíz cúbica de ciento veinticinco sesentaicuatroavos.
( )
3
e. La raíz quinta de un treintaidosavos.
___
√
5 1 1 __ = ___ 2 32
f. El doble de la raíz cuarta de un medio de treinta y dos.
29. Completen los cálculos.
( )
a.
1
3
1 = ____ 343 7
√
( )
b.
5
3
√
16 ( __ 34 ) = ___ 9
125 5 __ = ____ 216 6
√
___
2
d. El cubo de cinco sextos.
4
____
2 5 32 d. ____ 243 =
49 7 = __ ___ 2 4
a. La raíz cuadrada de cuarenta y nueve cuartos. b. El cuadrado de cuatro tercios.
5
______ ___ 4 1 4 2 . __ . 32 = 2 . √ 16 = 2 . 2 = 4 2
√
_____
4
= ____ 625 81 3
c.
121 144
=
√
_____
11 ___ 12
5
d.
243 32
= __23
30. Calculen el área de las siguientes figuras. a.
1 __ 5 m
( )
2 1 m = ___ 1 m2 __ 5 25
b. 2 __ 3 m
( )
2 4 __ 2 m : 2 = __ m2 . __ 1 = __ 2 m2 2 9 3 9
mente activa 64 Si el área de un cuadrado es de ____ 225 m2, ¿cuál es la longitud de su lado?
La longitud del lado del cuadrado es igual a ___ 8 m. 15
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Operaciones combinadas con fracciones
infoactiva Para resolver una operación combinando las operaciones estudiadas, pueden seguir estos pasos. __
( ) √__ 14 . 2 + __75 : __ 35 =
1. Se separa en términos.
__ : __ 4 + __ 1 . 2 + __ 7 3 = 9 2 5 5
2. Se resuelven las potencias y raíces.
__ = 4 + 1 + __ 7 3 9
3. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.
= ___ 34 9
4. Se resuelven las sumas y restas.
2 __ 2 + 3
Existen calculadoras que no respetan la jerarquía de las operaciones, es decir, no realizan la separación en términos. Tengan en cuenta que en los cálculos donde aparecen paréntesis, primero se resuelven las operaciones que ellos encierran.
____
( ) ( √ : ___ ( __ 3 ) + ___ 13 25 = 5 6 6
)
2 9 . : ___ = __ 3 + ____ 11 – __ 5 25 121 5 6 6 2
1. Se separa en términos. 2. Se resuelven los cálculos que están dentro de los paréntesis.
___ : ___ 9 + ___ 13 25 = 25 6 6
3. Se resuelven las potencias y raíces.
___ 9 + ___ 13 = 25 25
4. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.
= ___ 22 25
5. Se resuelven las sumas y restas.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cuáles son los pasos para realizar un cálculo combinado?
(
)
b. ¿Es lo mismo __ 31 + __72 . __94 que __31 + __72 . __94 ? 14 21 . ___ c. En el cálculo __75 . ___ 25 3 , ¿se puede simplificar antes de resolver la operación? a. Solución a cargo del alumno. b. No. c. Sí.
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ACTIVIDADES Operaciones combinadas con fracciones
31. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.
(
a. __ 91 +
)
__31 . __52 –
2 ___ 15 =
___
√
2 45
25 . d. ___ 121
11 __ 4 –
( )
__ 32 = 2
29 36
(
b. __ 32 –
) (
12 . ___ – ___ __61 . 54 5 5
27 __49 =
)
10
(
. e. ___ 12 4
___
) √
5 2 + 3 ___ 27 = ___ 24 64
73 64
c. __25 +
10 ___ 6 :
15 – ___ 12
__31 =
_____
√
7 2
( __ 94 ) =
4 1 296 . f. __95 + _____ 256
2
23 27
32. Planteen y resuelvan.
a. Eduardo leyó un libro de 840 páginas en 3 días. El primer día, leyó __52 del libro. El segundo día, la tercera parte del resto. ¿Qué parte leyó el tercer día? ¿Cuántas páginas representa? 3 2 1 . __ = __ ; 840 . __ 2 = 336 1 – __ 2 – __ 5 3 5 5 5 2 __ El tercer día leyó las partes restantes, que representan 336 páginas. 5
b. Tres amigas repartieron una torta de chocolate. Noelia se quedó con la mitad de la torta y Belén, con la tercera parte del resto. ¿Qué parte le corresponde a Celeste?
(
)
1 . __ 1 = __ 1 ; Celeste: 1 – __ 1 + __ 1 = __ 1 Noelia: __ 1 ; Belén: __ 2 2 3 6 2 6 3 1 __ A Celeste le corresponde de la torta. 3
c. Un atleta participó en una competencia de ciclismo que se realizó en cuatro etapas. • Primera etapa: recorrió __81 del total. • Segunda etapa: recorrió __71 del resto. • Tercera etapa: recorrió las dos terceras partes de lo que llevaba recorrido. ¿Qué parte recorrió en la cuarta etapa? 1.° etapa: __ 1 del total. 8 1 __ = __ 2.° etapa: __ 1 del total. __ 1 . 7 7 8 8 8
2 = __ 1 3.° etapa: __ 1 del total. __ 2 . __ 3 8 6 6 7 7 4.° etapa: ___ del total. 1 – __ 1 + __ 1 + __ 1 = ___ 12 8 8 6 12
(
)
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ACTIVIDADES Operaciones combinadas con fracciones
33. Planteen y resuelvan las siguientes situaciones. a. En la siguiente figura, abc y noc son triángulos equiláteros. Escriban la expresión que permite calcular el perímetro del área sombreada. c
a
b
1 — m 4
n
mn – ac = am 3 __ m – __ 1 m = __ 1 m 2 4 4 3 1 1 __ __ 2 . m + m + __ m = 2 m 2 4 4
o
3 — m 4
b. En la siguiente figura, el lado del cuadrado efcg mide __31 m y el del cuadrado abcd, __32 m. Escriban la expresión que permite calcular el área sombreada.
( __ 32 m ) – ( __ 31 m ) = 2
g
d
c
2
4 __ m2 – __ 1 m2 = __ 1 m2 3 9 9
e
f
b
a
34. Completen con <, > o =, sin hacer los cálculos.
( ) ( )
2 2 a. __ 31 + __ 31
b.
__21 +
<
( )
>
__43 +
__31 . 3
2 c. __ 56
1
__21 = 1
d.
1 <
2
35. Resuelvan. __
___
√ √
4 5 . ___ 18 a. __ 41 . ___ 36 + ___ 12 5 =
___
√
5 3
1
9 6 6 ___ 12 ___ __ . ___ = c. ___ 25 9 25 + 10 – 5 : 10
9
( )
__
√
2 9 6 . ___ b. __ 23 – __ 35 . ___ 15 2 + 16 =
41 15 ___ 35 . ___ 27 ___ 10 d. ___ 2 : 4 – 5 24 = 60
1 2
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ACTIVIDADES Operaciones combinadas con fracciones
36. Resuelvan.
(
__
√
)
2 a. __ 21 + __41 : __ 41 – __ 49 + __51 =
19 ___ 20
___
√
7 16 d. ___ 25 + __ 2 :
___ 62 5
___
√
14 . 49 ___ ___ 4 13 – 52 =
______
√
b. __ 52 +
___
√
3 27 6 . __ 1 ___ 2 + ___ 8 – 25
3 ___ 10
2 3 = __ 5
______
√
_______
√
18 21 e. 2 . ___ + 1 + ____ – __53 = 25 100
17 ___ 10
(
)
_____
_____
√
√
__ 1 4
___
( )
2 4 f. 2 . __49 + √ 81 – __ 41 =
3 _____ 125 1 2 __ c. __ 21 + __41 + __31 . ___ = 13 + 3 – 1 000
3 __ 3
87 ___ 16
37. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. a. La suma entre un cuarto de diez y dos tercios de trece. 67 __ 1 . 10 + __ 2 . 13 = ___ 3 4 6
b. La diferencia entre las dos quintas partes de quince medios y la décima parte de doce. 9 15 __ – ___ 1 . 12 = __ 2 . ___ 5 2 10 5
mente activa Uno de los lados de una alfombra rectangular mide Indiquen cuál de las expresiones permite calcular. a. El perímetro de la alfombra. i. 2 . __ 53 + 2 . __32 + 2
(
)
ii. 2 . __ 53 + 2 . __ 32 + 2
__ 53 m y el otro, __ 32 m aumentado en 2 m.
iii. 2 . __53 + __32 + 2
b. El área de la alfombra. i. __32 + 2 . __53
(
)
ii. 2 + __ 32 . __53
(
)
iii. __ 32 + 2 . __53
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2 capítulo
Integración
Contenidos
8.9.10.11.12
38. Representen en la recta numérica. __43 ; __52 ;
a. __21 ; b. __61 ;
43. Completen cada figura para obtener el entero correspondiente a cada fracción. a. Un tercio. c. Un medio.
__65 __23
__32 ; __34 ;
Solución a cargo del alumno.
39. Indiquen la fracción irreducible que representan los puntos marcados con letras. 0
1 a
2
b
c
d
7 __ 5
__ 1 2
__ 1 5
3
b. Dos séptimos.
e
29 ___ 10
2
40. Tengan en cuenta el entero e indiquen la fracción que representa cada figura.
44. Simplifiquen las siguientes fracciones.
Entero: 4
3
2
b.
2
c.
1
3
16 64 d. ____ 124 =
43 86 b. ____ 108 =
4 200 = e. ____ 450
50 1 800 c. _____ = 108
336 = f. ____ 288
4
31
54
5
d.
5
150 = a. ____ 120
a.
d. Tres cuartos.
9
3
7 6
3
45. Resuelvan. Escriban el resultado como frac41. Completen para obtener fracciones equivalentes. a.
8 ___ 20 =
4 10
=
80
200
=
2
=
5
25 a. __72 + __95 – __31 – __91 = ___ 63 9 25 __ 7 67 ___ b. ___ 18 + ___ 4 – 6 = 12 147 __ 1 : ____ c. ___ 49 32 16 = 6
48
120
336 28 168 560 56 = b. ___ = = = 34 105 = c. ____ 315
17
102
340
204
7
21
1
35
21
=
63
=
3
=
105
ponde a la parte sombreada de cada figura.
c.
1 __ 3 b.
2 __ 3 1 8
__
d.
25 25 32 . ___ 20 . ___ ___ d. ___ 16 15 8 = 3 56 . ___ 15 __ 6 25 : = ___ e. ___
18 15 ___ f. 16 :
14 21 ___ 20 :
5 50 ___ 14 =
9 1 __ 4
46. Ordenen de menor a mayor los resultados
42. Escriban la fracción irreducible que corres-
a.
ción irreducible.
3 ___ 16
de la actividad anterior. 25 25 25 67 1 1 c. __ < f. __ < a. ___ < e. ___ < b. ___ < d. ___ 12 3 9 4 6 63 47. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. a. El triple de la raíz cuadrada de dieciséis novenos. 4 b. La raíz cúbica de la mitad de cincuenta y cuatro. 3 1 c. El producto entre un medio y dos quintos. __ 5 d. El cociente entre diez novenos y diez tercios. __1 3 e. La mitad de la suma entre dos tercios y 23 ___ cinco cuartos. 24 74 f. El cuadrado de siete quintos, más uno. ___ 25
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48. Lean atentamente y resuelvan.
51. Planteen y resuelvan las siguientes situa-
a. Anabella tiene 108 fotos que se tomó con sus amigas. La cuarta parte las tiene pegadas en un mural en su pared, la mitad las colocó en un álbum y el resto, las quiere guardar en una caja. ¿Qué parte de las fotos piensa guardar? ¿Cuántas fotos tiene pegadas en el 1 del total. 27 fotos. mural? __ 4 b. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado, si se 121 22 cm cm2? ___ sabe que su área es de ____ 100 5 c. Adriana tiene un sueldo de $6 360; destina __14 para el alquiler de su departamento, __15 para impuestos, la tercera parte para distintos gastos del mes y el resto lo ahorra. ¿Qué parte ahorra del sueldo? $1 378
49. Resuelvan. ___
√ [ ( )
]
2 3 27 = a. ___ 8 . __ 32 + __ 38 – ___ 10 3___ 2 b. 1 – __ 1 + __ 6 . __1 + ___ 36 =
( 2 )
√
8
3 9 5 7 16 8 ___ __ ___ ___ c. 2 . 5 : 3 + 10 . 14 – __21 . ______ 5 7 __ . __ d. ___ 13 35 + ___ 12 + 3 = 9 – 1
√
[
(
)
4 __ 3 3
(
)]
12 9 ___ __ 34 . ___ 8 =
19 ___ 6
ciones. a. El área y el perímetro del siguiente rectángulo. 1 — m 3 2 — m 5
2 m2; P = ___ 22 m a. Á. = ___ 15 15 b. El área sombreada sabiendo que abcd y efcg son cuadrados, ab = __56 m y cf = __21 . ab.
d
c
e
f
a b 27 2 b. AS = ___ m 25 c. El perímetro de la siguiente figura sabiendo que abce es un cuadrado, cde es un triángulo equilátero y ab = __41 m. d
10
50. Resuelvan. a. Al casamiento de Graciela asistieron 60 invitados, entre adultos, jóvenes y niños. Si hay __21 de adultos y 20 jóvenes, ¿cuántos niños hay en la reunión? 10 niños. b. Nicolás tenía ahorrados $432. Destinó la mitad para comprar una bici, la cuarta parte para comprar un videojuego para la computado1 ra, la sexta parte para un libro y ___ 12 para hacerle un regalo a su hermana menor. ¿Cuánto dinero gastó en cada compra? $216; $108; $72; $36 c. En el cumpleaños de Rodrigo, su mamá cortó la torta en 16 porciones. Si su amigo Juan come __81 de la torta, su hermana 1 1 Mariana ___ 16 y Rodrigo __ 4 , ¿cuántas porciones sobraron? Sobraron 9 porciones. d. La cuarta parte de un edificio está compuesta por departamentos de un ambiente, las dos terceras partes por departamentos de dos ambientes y el resto de tres ambientes. Si en total son 48 departamentos, ¿cuántos de cada tipo hay? 12 de un ambiente, 32 de
g
e
c
a b 5 c. P = __ m 4 d. El área sombreada, si abcd es un rectángulo, ab = __29 cm y bc = __43 cm. d
e
c
a
b
27 2 c. AS = ___ m 16
52. Escriban en lenguaje coloquial y resuelvan. ______
√
1 a. __83 . __61 = ___ 16
4 c. ___ 25 = __ 9 – 1 3
10 9 ___ b. __53 : ___ 3 = 50
5 __ d. __43 . ___ 25 9 = 4
___
√
dos ambientes y 4 de tres ambientes.
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Fracciones y expresiones decimales
infoactiva Una fracción representa una relación entre dos cantidades.
Agustina quiere pintar las paredes de su casa. Para lograr el color que le gusta, mezcló dos potes rojos con cinco amarillos. ¿Cuál es la fracción que representa la relación entre los potes rojos y amarillos? indica que cada dos potes rojos se deben utilizar cinco amarillos. La fracción __ 2 5 Si se efectúa la división entre el numerador y el denominador de una fracción, el cociente que se obtiene es la expresión decimal de la fracción, que está formada por una parte entera y una parte decimal. 5 5 5 = 0,5 “cinco décimos” ____ ___ = 0,05 “cinco centésimos” ______ = 0,005 “cinco milésimos” 100 1000 10
El denominador de una fracción decimal tiene tantos ceros como lugares decimales tiene la expresión decimal que le corresponde. Una fracción irreducible tiene una expresión decimal finita, cuando los factores primos del denominador son potencias de 2, de 5 o de ambos. 3 = ___ 8 = ____ 1 = ______ __ 15 = 1,5 ___ 32 = 0,32 __ 125 = 0,125 2 10 25 100 8 1000
Existen fracciones que no se pueden escribir como fracción decimal y por lo tanto, no tienen una expresión decimal finita. 2 no tiene una fracción decimal equivalente, porque uno de sus factores primos (el 3) no es __ 9 es una expresión decimal periódica. potencia de 2 ni de 5. Por lo tanto, __ 2 9
2 __ 9 = 2 : 9 = 0,222… =
0,2
Se puede seguir dividiendo infinitamente. La expresión tiene infinitas cifras decimales periódicas.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cómo se obtiene la expresión decimal de una fracción? b. La expresión 2,10, ¿se lee dos enteros diez décimos o dos enteros diez centésimos? c. ¿Qué estrategia pueden utilizar para decidir si la expresión decimal correspondiente a es finita o periódica (sin hacer la división)?
42 ___ 63
a. Dividiendo numerador por denominador. b. Dos enteros diez centésimos. c. Encontrar la fracción irreducible; si el denominador es 3 o múltiplo de 3, es periódica.
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ACTIVIDADES Fracciones y expresiones decimales
53. Escriban la expresión decimal que corresponde a cada fracción. a. __41 = 0,25 b.
__31 = 0,333…
8 0,8 c. ___ 10 =
d.
e. __21 = 0,5
5 0,5 ___ 10 =
__32 = 0,666…
f.
g. __94 = 0,444… h.
1 0,05 ___ 20 =
54. Escriban la fracción que corresponde a cada expresión decimal. 5
a. 0,5 =
b. 0,14 =
10
14 100
c. 2,5 =
25 100
d. 0,23 =
23 100
55. Completen con <, > o = según corresponda. a. 0,7
0,7
< <
b. 0,24 c. 0,6
d. 0,23
0,241
e. 2,777
__32 f. 1,03
=
0,2
<
2,7
> <
g. 1,03 h. 0,7
1,3
i.
> =
1 = ___ 25
1,03 __97 0,04
56. Marquen con una X las fracciones decimales. 1 a. ____ 100 X
5 c. ___ 12
7 X b. ___ 10
12 X d. ___ 20
7 e. ___ 18
4 X g. ____ 125
4 h. ___ 45
f. __83 X
57. Completen con una expresión decimal que se encuentre entre los números dados. a. 1,5
1,6
1,7
e. 1,12
1,123
1,12
b. 1,5
1,54
1,6
f. 0,83
0,832
0,83
c. 0,05
0,5
0,5
g. 0,83
0,834
0,83
d. 1,05
1,2
1,5
h. 0,68
0,685
0,68
58. Resuelvan. a. Escriban dos cuentas de dividir entre números naturales que den como resultado 0,2. 2 : 10; 1 : 5
b. Escriban dos cuentas de dividir entre números naturales que den como resultado 1,75. 175 : 100; 7 : 4
59. Completen la tabla. Fracción irreducible
Fracción equivalente
Fracción decimal
Expresión decimal
3 __ 5
___ 21 35
___ 6 10
0,6
5 __ 4
___ 10 8
125 ___ 100
1,25
34 ___ 25
___ 68 50
136 ____ 100
1,36
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Operaciones con expresiones decimales. Porcentaje
infoactiva El resultado de multiplicar dos expresiones decimales finitas tiene tantos lugares decimales como la suma de los lugares decimales de los factores. Cuando se multiplica una expresión decimal por 10, 100, 1 000, etc., se corre la coma a la derecha tantos lugares como ceros tenga el 10, 100, 1 000, etc.
. 10 = ____ 1,21 . 10 = ____ 121 121 = 12,1 100 10 Para realizar la división decimal, se debe multiplicar el dividendo y el divisor por 10, 100, 1 000, para que el divisor sea un número natural.
43,25 : 1,5 . 10 . 10 432,5 : 15
22,8 : 4,12 . 100 . 100 2280 : 412
Cuando se divide una expresión decimal por 10, 100, 1 000, etc., se corre la coma a la izquierda tantos lugares como ceros tenga 10, 100, 1 000, etc. En la página 41 pueden repasar cómo se resuelve la potenciación y la radicación de fracciones.
Para calcular la potencia o raíz de una expresión decimal, se puede escribir la forma fraccionaria de la expresión y luego, se resuelve la operación. _____
____
√
9 49 3 = 0,3 7 = ____ 0,72 = ( ___ 10 = 0,49 = ____ 100 = ___ 10 √0,09 ) 100 2
Porcentaje Un porcentaje indica la proporción de un entero. Para comprender cómo se obtiene un porcentaje se puede tener en cuenta el siguiente ejemplo: 28 . 300 28 . 300 = ________ 28% de 300 = ____ 100 = 84 100
Aproximación Para aproximar por redondeo a una cifra decimal determinada hay que observar la cifra decimal siguiente: • Si es menor que 5, la cifra considerada se • Si es mayor o igual que 5, se suma uno a la cifra deja igual y se eliminan el resto de las cifras. considerada y se eliminan el resto de las cifras.
0,27 aproximado a los décimos es 0,3
0,24 aproximado a los décimos es 0,2
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Qué estrategia se puede utilizar para multiplicar 5,24 . 0,3? b. En el cálculo 5 : 1,2, ¿conviene multiplicar ambos números por cien? c. El 13% de 1 690, ¿es lo mismo que 0,13 . 1 690? a. Se pueden aplicar propiedades de la multiplicación. b. No, conviene multiplicarlos por 10. c. Sí. 51 Nombre:
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ACTIVIDADES Operaciones con expresiones decimales. Porcentaje
60. Resuelvan los siguientes cálculos. a. 6,25 + 8,73 =
14,98 8,807
b. 5 + 3,807 =
54,47
c. 39,06 + 15,41 = d. 15,097 + 3,809 =
1,79
g. 20,08 – 19,19 =
0,89
h. 3,21 + 4 – 6,17 =
18,906
2,481
e. 7 – 4,519 =
f. 12,07 – 10,28 =
1,04
i. 8,12 + 3,15 – 7,01 =
4,25
j. 11,03 – 8,25 – 1,7 =
1,08
61. Planteen y resuelvan. a. Natalia compró una remera de $125,30 y unas botas de $339,80. ¿Cuánto gastó en total? 125,30 + 339,80 = 465,10 Gastó en total $465,10.
b. Pablo fue al supermercado con $879,50 y gastó $607,45 en sus compras del mes. ¿Cuánto le sobró? 879,50 – 607,45 = 272,05 Le sobró $272,05.
c. Marina tenía ahorrados $578,35, su madrina le regaló $137,20 y luego gastó $308,75 en un par de lentes. ¿Cuánto dinero tiene ahorrado aún? 578,35 + 137,20 – 308,75 = 406,80 Aún tiene ahorrados $406,80.
d. Ana Clara fue al shopping y gastó $139,99 en una remera, $150,50 en un short y $205,30 en una bikini. Si llevó $500,70, ¿cuánto dinero le sobró? 500,70 – 139,99 – 150,50 – 205,30 = 4,91 Le sobraron $4,91.
e. En una carnicería, el kilogramo de lomo cuesta $75,70. Si Claudio compró 2 kilogramos y medio, ¿cuánto dinero gastó? 75,70 . 2,5 = 189,25 Gastó $189,28.
62. Escriban como expresiones decimales y resuelvan. a. 10,2 + __53 = 17 b. 7,389 – ___ 4 = 26 c. ___ 8 – 0,75 =
10,8 3,139 2,5
d. __87 + 3,46 – __51 =
4,135
29 e. 22,7 – ___ 5 – 7 =
9,9
(
)
f. 6,23 – __ 21 + __46 =
4,23
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ACTIVIDADES Operaciones con expresiones decimales. Porcentaje
63. Rodeen con color la respuesta correcta, sin hacer la cuenta. a. 3,5 . 0,2 = b. 13 . 0,3 = c. 0,04 . 0,5 =
0,07 | 0,7 | 7 0,39 | 3,9 | 0,039 0,002 | 0,02 | 0,2
d. 1,2 : 0,3 = e. 0,6 : 1,5 = f. 9,6 : 3 =
0,04 | 0,4 | 4 0,4 | 4 | 0,04 0,32 | 3,2 | 0,032
64. Unan con una flecha cada cálculo con su resultado. a. 1,5 . 0,2 = b. 0,015 . 0,2 = • c. 1,5 . 2 = • d. 0,15 . 0,2 = • e. 0,15 . 0,02 = • f. 0,15 . 2 =
g. 4,8 : 2,4 = h. 0,48 : 2,4 = i. 0,048 : 24 = j. 0,48 : 0,24 = k. 0,048 : 0,24 = l. 0,048 : 2,4 =
3 0,3 0,03 0,003
• • • •
2 0,2 0,02 0,002
65. Completen las tablas. Número
: 10
: 100
Número
: 100
: 1 000
2
0,2
0,02
5
0,05
0,005
3,55
0,355
0,0355
300
3
0,3
384
38,4
3,84
45
0,45
0,045
87
8,7
0,87
2 000
20
2
3
0,3
0,03
70
0,7
0,07
66. Escriban cada número como fracción y resuelvan. 4 64 ) = _____ = 0,064 ( ___ 10 1 000 19 361 = ____ = 3,61 ( ___ 10 ) 100 1 ) = _______ 1 = 0,00001 ( ___ 10 100 000 11 ) = ____ 121 = 1,21 ( ___ 10 100 343 7 ) = _____ = 0,343 ( ___ 10 1 000 29 841 ( ___ ) = ____ = 8,41 10 100 3
a. 0,43 = b. 1,92 = c. 0,15 = d. 1,12 = e. 0,73 = f. 2,92 =
2
5
2
3
2
____
√ √ √ √ √ √
9 ____ 81 = ___ = 0,9 100 g. √ 0,81 = _____ 10 3 27 3 ______ _____ = ___ = 0,3 1 000 10 h. √ 3 0,027 = ____ 225 15 ____ ____ = ___ = 1,5 100 10 ____ i. √ 2,25 = 169 13 ____ ____ = ___ = 1,3 100______ 10 j. √ 1,69 = 4 ______ 2 = 0,2 ______ 16 = ___ 4 10 000 10 k. √ 0,0016 = _____ 3 343 7 ______ _____ = ___ = 0,7 3 1 000 10 l. √ 0,343 = ____
67. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. Expresen el resultado como fracción y como expresión decimal. a. La diferencia entre la cuarta parte de 128 y el cuadrado de 2,5. 103 128 . __ 1 – 2,52 = ____ = 25,75 4 4
b. La suma entre la tercera parte de 106,5 y la raíz cuadrada de 1,44. ____ 367 106,5 . __ 1 + √ 1,44 = ____ = 36,7 10 3
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ACTIVIDADES Operaciones con expresiones decimales. Porcentaje
68. Calculen mentalmente los siguientes porcentajes. 20
a. 20% de 100 = b. 50% de 70 =
35
c. 25% de 80 =
20
d. 10% de 200 =
20
e. 10% de 50 =
5
f. 30% de 100 =
30
300
g. 30% de 1 000 =
h. 5% de 120 = i. 3% de 100 =
6 3
69. Resuelvan los siguientes porcentajes. a. 4% de 120 =
4,8
e. 55% de 7 000 =
3 850
b. 10% de 580 =
58
f. 42% de 300 =
126
c. 26% de 2 000 =
520
g. 130% de 500 =
650
d. 70% de 130 =
91
h. 175% de 400 =
700
70. Resuelvan las siguientes situaciones y redondeen el resultado a los centésimos, si es necesario. a. Daniela compró una licuadora que costaba $355,5. Como abonó en efectivo, le hicieron un descuento del 20%. ¿Cuánto pagó por la licuadora? $284,4
b. Silvia compró la misma licuadora que Daniela, pero como abonó con tarjeta de crédito, le recargaron un 16%. ¿Cuánto pagó Silvia? $408,825
c. A una fiesta de egresados asistieron 160 personas. El 25% de los asistentes era de otras escuelas y de los restantes, el 15% eran los alumnos organizadores. ¿Cuántos chicos de otras escuelas asistieron a la fiesta? ¿Cuántos chicos la organizaron? Asistieron 40 chicos de otras escuelas. 15 chicos organizaron la fiesta.
mente activa Un librero aumentó un 25% el precio de una novela que costaba $110. Una semana después se la vende a un amigo al mismo precio que tenía antes del aumento; ¿debió descontar un 25% al nuevo precio para llegar al mismo costo que tenía el libro? No, debe descontarle el 20% al nuevo precio.
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Operaciones combinadas
infoactiva Para resolver una operación donde intervienen fracciones y expresiones decimales combinando las operaciones estudiadas, pueden seguir estos pasos: _____
3 – √ 4 + 0,42 : ___ 2,5 . __ 10 0,36 = 5
1. Se separa en términos.
36 3 – ____ 4 2 : ___ ___ 25 . __ 4 + ___ 10 10 100 = 10 5 ___ 25 . __ 4 + ____ 16 : ___ 3 – ___ 6 = 10 5 100 10 10 __ 2 + ___ 16 – ___ 6 = __ 3 3 30 10 5
2. Se pasan las expresiones decimales a fracción.
____
√
( )
3. Se resuelven las potencias y raíces. 4. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. Luego las
sumas y restas, y se simplifica. Si en el cálculo aparecen paréntesis, primero se resuelven las operaciones que ellos encierran. _____ __ – √ 3 . 1,2 + __ 3 1,21 = 2 5 ____ __ 3 . ___ 12 + __ 3 – ____ 121 = 100 2 10 5 ____ __ 3 . ___ 18 – ____ 121 = 100 2 10 __ 3 . ___ 18 – ___ 11 = 2 10 10 ___ 27 – ___ 11 = __ 8 10 10 5
( (
)
√
) √
1. Se separa en términos. 2. Se convierten las expresiones decimales a fracción. 3. Se resuelven los paréntesis. 4. Se resuelven las potencias y raíces.
5. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. Luego las sumas y restas, y se simplifica. En algunos casos, es posible aplicar la propiedad distributiva para suprimir los paréntesis. + 0,8 )– ( __ = 2,5 . ( __ 3 3 2 2) 2
(
1. Se separa en términos.
) ( ) ( )
__ = 5 . __ 3 + __ 4 – __ 3 2 2 5 2 2 __ = 5 . __ 3 + __ 5 . __ 4 – __ 3 2 2 2 5 2 5 . __ __ 3 + __ 5 . __ 4 – __ 9 = 2 2 2 5 4 ___ 15 + ___ 20 – __ 9 = __ 7 4 10 4 2 2
2. Se convierten las expresiones decimales a fracción. 3. Se aplica la propiedad distributiva. 4. Se resuelven las potencias y raíces.
5. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. Luego las sumas y restas, y se simplifica.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cómo se resuelve un________ cálculo combinado que incluye fracciones y expresiones decimales? 1 ___ b. ¿Cómo se resuelve 25 + 0,12 ?
√
a. Se expresan todos los números como fracción. b. Primero se resuelve el radicando y luego, la raíz. 55 Nombre:
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ACTIVIDADES Operaciones combinadas
71. Coloquen >, < o = según corresponda. ______
a. √ 3 0,008 +1 >
b. 1,22 – 1
<
____
______
> 3 0,027 + 1 c. 2 . √0,64 √
1,12 – 1
d. 0,043 + 0,1
______
2 . √ 0,064 3
<
________
______
= √ e. √ 0,00032 0,0016 5
0,42 + 0,1
f. (0,1 + 0,03)2
4
<
1,32
72. Resuelvan los siguientes cálculos.
(
______ 14 . __ 3 2 g. √ 4 0,0001 : ___ 20 + 1,2 – ___ 3 5 =
)
a. 0,62 – __51 = 441 _____ 2 500 2
_______
0
√
(
)
____
2 4 h. __ 31 + __51 : √2,25 + __ 95 – ___ 90 = 473 ____ 675
. 0,3 b. ___ 12 = 10 3 __ 5
____
√ ( )
___
____
i. __ 21 + 3,2 – ( 0,12 + √0,04 ) = 349 ____ 100 3
3
c. 1,32 – 1,12 = 12 ___ 25
___
( √
√
)
4 5 j. ___ 25 + 0,52 : 1,69 + ___ = 26 15 ___ 26
1 d. 0,23 + ___ 64 = 133 _____ 1 000
(
____
__
_____
√
____
____
)
3 1 2 k. √0,64 + __ 8 – __54 : 34 = 1 ____ 100
e. __31 + √0,25 – 0,52 = 1 __ 3
f.
____________ 9 3 0,05 + 0,075 . __56 + ___ √ 10 =
l. ( √0,01 + √0,25 )2 . 3 ___ 10
21 20
___
__21 + 0,12 =
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2 capítulo
Integración
Contenidos
13.14.15
73. Ubiquen los siguientes números en una
78. Escriban el número que verifica el cálculo.
recta numérica.
(
a. __51 ; 0,4; 1,2; __23 ; 2 b. __35 ; 3,3; 2,6; __62 ; 3
√
b.
74. Escriban cada fracción como expresión decimal. Luego, ordenen de mayor a menor las expresiones obtenidas. b. __ 95
7 c. ___ 10
d. 0,7 < c. 0,7 < b. 0,5 < a. 0,04
75. Marquen con una X las fracciones decimales. 3 a. ___ 16 X
17 X f. ___ 8
7 b. _____ X 1 000 5 c. ___ 27 2 d. ____ X 625 6 e. ___ 49
g. ___ 23 15 9 h. ___ 50 X 24 X i. ___ 25 3 j. ___ 81
76. Completen con >, < o = según corresponda. ____
< a. √0,64 ____
< b. √2,56 c.
_____ 3 0,001 > √ _____
√
<
__41
23 ___ 5
g. 7,7
( ) ( __ 71 )
h. __95 = 0,5
1 2 ___ 10
3 1 000 d. _____ > 343
e. 3,52
____
< f. √0,04
0,64
>
( ) 5 j. ( __ ) 4
3 2 i. ___ 10
2
25 ___ 2
2
< >
7,77
__ 93 ) (___ 2
√
___ 25 4
77. Resuelvan los siguientes cálculos combinados. ______ 9 a. 0,25 + 0,5 – √ 0,008 = ___ 80 ___ 1 3 1 17 __ b. ____ 125 – 0,25 : 2 + ___ 40 = 2 ___ 2 33 9 6 . ____ c. 0,32 + ___ 25 – ___ 15 1,5 = 100 __ 6 __ d. 0,2 + __ 91 + __32 = 5 ____________ 7 e. √ 3 0,015 + 0,012 . __65 + __23 = __ 4 ___ 3 27 1 f. ___ 8 + 0,52 : 1,5 – 1 = __ 6 2
√
3
2
√ √
(
( √ ____ ) ____
81
. 1,5 = 1 1 4
( ) 3 2
5 = ___ 16
2
11 + 0,5 = __ 4
79. Lean atentamente y resuelvan. a. En una heladería, un kilogramo de helado cuesta $58,40. Cliente 1: compró 5 kilos. Cliente 2: compró 2,5 kilos. Cliente 3: compró 7,5 kilos. ¿Cuánto pagó cada cliente por su compra? • Si al comprar más de 4 kilos se realizara un descuento del 10%, ¿cuánto debería pagar cada cliente? b. Un pastelero compró 121 kg de chocolate a $65,5 el kilo para elaborar bombones. • ¿Cuánto pagó por el chocolate que compró? • Si el kilo de bombones cuesta $82, ¿cuántos kilos de bombones necesita vender para recuperar el dinero invertido?
a. C1: $262,8; C2: $146; C3: $394,2 b. $792,55. Necesita vender 10 kg.
80. Calculen el perímetro de las siguientes figuras. a. ab = 3,85 cm bc = 5,25 cm P = 18,2 cm
)
(
16
c. 0,25 : 4 + d.
d. __97
4
3 = ___ 16
8
_____
Solución a cargo del alumno.
1 a. ___ 25
3
)
1 a. ___ 10 + 0,4 .
b. ab = 2,15 cm P = 8,6 cm
22 . __ 1 ____ 11 g. ( √0,64 + √0,09 )2 – 0,9 . ___ 3 6 = 100
)
c. ab = 4,08 cm ac = __21 . ab cm P = 10,2 cm
b
c
a
d
b
c
a
d b
a
c
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Curso:
Fecha:
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81. Respondan.
85. Lean atentamente y marquen con una X el
a. Sabrina multiplicó un número por 10, luego lo dividió por 13 y el resultado que obtuvo fue 9. ¿Cuál es el número? 11,7 b. A otro número lo dividió por 100, le sumó 50,5 y obtuvo 100. ¿De qué número se trata? 4 950
a. 600 . 1,15
82. Completen la tabla. Aproximación por redondeo... Expresión decimal
al entero
a los décimos
a los centésimos
3,49
3
3,5
3,49
8,89
9
8,9
8,89
0,78
1
0,8
0,78
0,008
0
0
0,1
0,0096
0
0
0,1
13,0746
13
13,1
13,07
83. Resuelvan. a. Antes de llegar a su destino, un avión realizó dos escalas. En la primera descendieron 35 personas, en la segunda 50 y 175 llegaron al destino final. ¿Qué porcentaje descendió en cada escala? ¿Y en el lugar de destino? b. En un curso de 36 alumnos, 3 no asistieron el lunes a la escuela, ¿qué porcentaje de asistencia hubo ese día? c. Si durante el mes de abril llovió 6 días, ¿cuál es el porcentaje de días de lluvia? d. Un equipo de música se vendió con un 12% de descuento a $1 337,60. ¿Cuál es el precio sin descuento? e. En un recital, se vendieron 624 entradas de un total de 780. ¿Qué porcentaje de entradas quedó sin vender? a. 1.° escala: 13,5%; 2.° escala: 19,2%; Destino: 67,3% b. 91,7%. c. 20%. d. 1 520. e. 20%
84. Calculen mentalmente. a. 10% de 140. b. 10% de 55. c. 20% de 90. d. 20% de 300. e. 25% de 1 000. f. 25% de 80.
g. 50% de 88. 44 5,5 h. 50% de 1 350. 675 18 i. 75% de 100. 75 60 j. 75% de 1 200. 900 250 k. 150% de 64. 96 20 l. 150% de 1 300. 1 950 14
cálculo que permite resolver el problema. En el año 2005, una escuela tenía 600 alumnos en su matrícula. Si en el 2013 la matrícula aumentó en un 15%, ¿cuántos alumnos tiene ese año? X
b. 600 + 600 . 15 : 100
X
c. 600 . 15 : 100 d. 600 . 0,85
86. Respondan. a. El 40% de una cantidad es 1 500. ¿Cuál es esa cantidad? 3 750 b. El 75% de cierta cantidad es 6 000. ¿De qué cantidad se trata? 8 000 c. Si el 125% de una cantidad es 120, ¿cuál es esa cantidad? ¿Y su 25%? 96; 24 d. El 20% de cierta cantidad aumentada en 15 es 29. ¿Cuál es esa cantidad? 70 e. El 30% de cierta cantidad, disminuido en 26 es igual a 22. ¿Cuál es esa cantidad? 160 f. El 50% de una cantidad, multiplicado por 3 es 141. ¿Cuál es esa cantidad? 94
87. Verifiquen que a todos los precios se les
haya realizado un 20% de descuento. Corrijan los precios incorrectos. Precio anterior
Precio con descuento
Camisa
$240,20
$192,16
Pantalón
$290,50
$246,93
Campera Zapatillas
$350 $315,70
$297,50 $252,56
Pantalón: $232,4; Campera: $280
88. Resuelvan los calculos combinados. a. 10% de $580 + 35% de $128 = $102,8 b. 112% de $53 – 50% de $47 = $35,86 c. 36% de $54 + 20% de $49 = $29,24 d. 75% de $81 + 90% de $142 = $188,55 e. 32% de $65 – 12% de $73 = $12,04
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2 capítulo
Autoevaluación 89. Representen en la recta numérica. 5 1 a. ___ 12 ; 0,5; 0,3; __ 6 ; 0,75
0 Solución a cargo del alumno.
90. Escriban la fracción irreducible y la expresión decimal que corresponde en cada caso. a.
3
=
b.
c.
2
0,6 = 4 3 91. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. 0,75
3
8
a. La suma entre la raíz cuadrada de 0,64 y el cuadrado de __ 21 .
=
0,375
( )
____ 2 √0,64 + __ 1 2 ___
1 y la raíz cúbica de ___ b. La diferencia entre la raíz cuadrada de ___ 49 64 . 64
=
√ √ (
=
____
) √
49 1 : ____ 49 0,5 + __ 5 c. El cociente entre la suma de 0,5 y __51 , y la raíz cuadrada de ____ 100 100 . 5 d. El producto entre la suma de __ 85 y ___ 10 , y la raíz cuadrada de 2,56.
21 20
___
49 3 ___ ___ – 1 64 64
(
____ 5 5 + ___ . √2,56 __ 8 10
)
= =
5 8 1 1 9 5
92. Lean atentamente y resuelvan. a. En la librería “Pitágoras” se vendieron 120 novelas románticas durante el mes de marzo. En abril, la venta de esas novelas disminuyó un 15% y en mayo, aumentó un 25% respecto de marzo. ¿Cuántas novelas se vendieron durante los meses de abril y mayo? 102; 150
b. En la misma librería hay un estante con libros de Matemática, Física y Biología. Los libros de Matemática son 32 y los de Física son 16; entre ambos representan el 60% del total de los libros del estante. ¿Cuántos libros hay en el estante? ¿Cuántos son de Biología? 80; 32
93. Resuelvan los cálculos combinados. _______
√
________ 2 17 3 27 125 a. ___ 64 . ____ + √1 – 0,75 – 1 – __21 = 8 8
(
)
___
√
____
( )
3 203 1 b. __32 . ____ 144 + √1,44 : 0,42 – __ 31 = 27
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capítulo
3
Funciones Contenidos 16. Gráficos y tablas. 17. Funciones. 18. Función de proporcionalidad directa. 19. Función de proporcionalidad inversa.
Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la escena y respondan. a. ¿De qué depende la cantidad de personas que podemos encontrar en cada puesto? b. Si una persona tiene $50 para comprar naranjas, ¿de qué depende la cantidad que puede comprar? c. Si solo se vende fruta por kilogramo y una señora gastó $36 en manzanas, ¿dónde compró? d. ¿Cuántos kilos de cada fruta compró una persona que gastó $38 en “Lo de Fermín”? Pueden ayudarse armando una tabla donde registren los precios de cada fruta según la cantidad. e. Modifiquen las situaciones anteriores para que tengan una única solución. Luego, respóndanlas. 60
a. De los precios, la calidad de la fruta, etc. b. Del precio del kg. c. “Sebastián” o “Don Juan”. d. Por ejemplo, 4 kg de manzanas y 6 kg de naranjas. e. Solución a cargo de los alumnos.
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Gráficos y tablas
infoactiva Un sistema de ejes cartesianos está formado por dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. La recta horizontal se denomina eje de abscisas (eje x) y la vertical, eje de ordenadas (eje y). Cada punto queda determinado por un par ordenado de valores, donde el primero representa la abscisa y el segundo, la ordenada. y 5 4 3 2 1
c
a o
b
0 1 2 3 4 5
x
Para representar estos puntos conviene tomar unidades distintas en cada eje.
q p
0 1 2 3 4 5
o = (0;0) es el origen de coordenadas a = (1;1) b = (2;0) c = (0;4)
temperatura (en °C)
y 250 200 150 100 50
x
p = (1;150) q = (5;200) Los gráficos permiten leer con mayor facilidad los datos de una situación. El siguiente gráfico muestra la variación de la temperatura a través de las horas. • En el eje x se representó el tiempo (expresado en horas) y en el eje y, la temperatura (en °C). • A las 13 horas se registró la mayor temperatura y a las 10 horas, la menor. • Entre las 10 horas y las 13 horas la temperatura aumentó y, luego, empezó a descender. • Entre las 16 horas y las 17 horas la temperatura se mantuvo constante.
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 // 0 10 11 12 13 14 15 16 17 tiempo (en horas)
Los datos del gráfico se pueden traducir a una tabla como la siguiente. Tiempo (en horas)
10
11
12
13
14
15
16
17
Temperatura (en °C)
14
16
19
20
18
17
16
16
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es posible representar un punto a sabiendo que su abscisa es x = 3? b. ¿Se pueden usar diferentes escalas para cada eje de coordenadas? c. El punto a = (2;3), ¿coincide con el punto b = (3;2)? a. No. b. Sí. c. No. 61 Nombre:
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ACTIVIDADES Gráficos y tablas
1. Representen los puntos en el sistema de ejes cartesianos. y
a = (3;1) b = (2;3) c = (6;7) d = (7;0) e = (0;9) f = (0;0) g = (9;5) h = (5;10) i = (1;6)
10 9
h e
8
c
7
i
6
g
5 4
b
3 2 1
a f
d
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
2. Escriban las coordenadas de cada uno de los puntos representados en el gráfico. y 8 7 6
d
( b = ( 4 ; c = ( 5 ; d = ( 0 ; e = ( 8 ;
c
4 3 2
e
a
1
) 0 ) 6 ) 6 ) 2 )
a = 2 ; 2
5
b
0 1 2 3 4 5 6 7 8 x
3. Representen los datos de la tabla en el sistema de ejes cartesianos. y
x
y
3
5
0
2
0
0
5
1
6
0
7
8
2
8
6
1
8 7 6 5 4 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 x
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ACTIVIDADES Gráficos y tablas
4. Completen con el par ordenado que cumple con lo indicado y luego, representen. a. La ordenada es 5 y la abscisa, 7.
(
y
)
a = 7 ; 5 b. La abscisa es 4 y su ordenada, el doble.
(
10 9
)
b = 4 ; 8 c. Un punto que se encuentre sobre el eje de ordenadas y otro, sobre el eje de abscisas.
(
(
)
7
)
5 4 3
)
e = 3 ; 6 e. El punto que cumple la condición anterior si y = 5.
(
e
6
c = 0 ; 3 d = 7 ; 0 d. La abscisa vale la mitad que la ordenada.
(
b
8
a
f c
2 1
d
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
)
x
f = 2,5 ; 5
5. Observen el gráfico y resuelvan. Hora
Temperatura (en °C)
1
14
6
16
7:30
20
11
24
temperatura (en °C)
a. Completen la tabla.
b. ¿A qué hora la temperatura fue de 12 °C? A la hora 0 y entre las 2 y las 4 h.
24 22 20 18 16 14 12
A las 11 h. Fue de 24 °C.
10 //
c. ¿A qué hora se registró la temperatura máxima? ¿Cuál fue dicha temperatura?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 tiempo (en horas)
Clara fue desde su casa al parque en bicicleta, tomó un refresco y regresó. El gráfico representa la distancia desde la casa de Clara al parque a medida que transcurrió el tiempo. a. ¿Cuántos minutos... • ... tardó en llegar al parque? • ... estuvo en el parque?
Tardó 30 minutos.
Estuvo 30 minutos. Tardó 20 minutos.
• ... tardó en regresar a su casa? b. ¿Tardó más para ir al parque o para volver? Expliquen la respuesta.
Tardó más para ir que para volver. En el
gráfico se ve que para ir tardó 30 min y para volver, 20 min.
distancia (en cuadras)
6. Observen el gráfico y respondan.
60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 tiempo (en minutos)
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ACTIVIDADES Gráficos y tablas
7. Lean atentamente y respondan.
0,5 kg
b. ¿Cuántos días tenía India cuando pesaba 3 kg? 150 días.
peso (en kg)
Para controlar el sano crecimiento de su perra India, Abigail decidió anotar su peso durante 360 días. a. ¿Cuánto pesaba India al nacer?
6 5 4
c. ¿Cuál era el peso de la perra a los cuatro meses?
3 2 1
2 kg
d. ¿En algún período la perra mantuvo un peso constante? En caso de ser afirmativo, indiquen en qué período.
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 edad (en días)
No, siempre aumentó de peso.
8. Observen y respondan. ingresos (en miles de $)
Una empresa registró mediante el siguiente gráfico sus ingresos de los últimos 18 meses.
30 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 meses
a. Transcriban en la siguiente tabla los ingresos de la empresa en los seis últimos meses. Mes
13
14
15
16
17
18
Ingreso (en $)
22 500
25 000
25 000
27 500
22 500
15 000
b. ¿En qué mes se registró el mayor ingreso? ¿Y el menor? En el mes 12. En el mes 18. c. ¿En qué momento del año los ingresos de la empresa descienden? A mitad de año. d. Completen la tabla, sabiendo que en los cuatro meses siguientes, las ganancias de la empresa aumentaron $2 500 por mes. Mes
19
20
21
22
Ingreso (en $)
17 500
20 000
22 500
25 000
e. Continúen el gráfico con los datos obtenidos en el punto anterior. f. Si en los meses 23 y 24 se registró un ingreso de $22 500 cada mes, ¿el ingreso aumentó o disminuyó con respecto al mes 22? Representen estos datos en la gráfica. El ingreso disminuyó.
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Funciones
infoactiva y
precio (en $)
precio (en $)
Cada una de las siguientes gráficas representa una relación entre dos variables.
30 24 18 12 6 x 0 1 2 3 4 5 paquetes de salchichas
En el gráfico se relaciona la cantidad de paquetes de salchichas con su precio. Los puntos aparecen aislados porque se usan cantidades enteras (no se fraccionan).
y 32 24 16 8 0 100 200 300 400 x cantidad de jamón (en g)
En el gráfico se relaciona la cantidad de jamón con su precio. El gráfico está formado por una línea recta porque el jamón se puede vender en distintas cantidades.
Los dos gráficos corresponden a relaciones que son funciones.
Una relación es función cuando para todo valor representado sobre el eje x le corresponde un único valor representado sobre el eje y.
Para una determinada cantidad (variable independiente) existe un único precio (variable dependiente). Se dice que el precio depende de la cantidad o que el precio está en función de la cantidad.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si un mismo valor de x tiene tres valores de y distintos, ¿se puede decir que es función? b. Si a cada valor de la variable independiente le corresponde por lo menos un valor de la variable dependiente, ¿es función? c. ¿El gráfico de una recta siempre es función? d. La variable independiente, ¿se representa en el eje horizontal? a. No. b. No. c. Sí, salvo que sea paralela al eje y. d. Sí. 65 Nombre:
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ACTIVIDADES Funciones
9. Escriban tres ejemplos de relaciones que sean función. El peso de la fruta en el comercio y el precio a pagar. El lado de un triángulo equilátero y su perímetro. La velocidad con la que circula un automóvil y el tiempo que tarda en recorrer cierta distancia.
10. Marquen una X en los gráficos que corresponden a funciones. Expliquen la respuesta. a. y
c. y
e. y
x
x
b. y
x
d. y
X
f. y
x
x
X
x
X
a., b. y c. no son funciones, porque para el mismo valor de x le corresponden dos o más valores de y.
11. Resuelvan. a. Completen la tabla teniendo en cuenta la medida del lado de un pentágono regular y su perímetro. Lado (en cm)
1
2
3
5
Perímetro (en cm)
5
10
15
25
perímetro (cm)
b. Representen la información de la tabla en un sistema de ejes cartesianos.
35 30 25 20 15 10 5
y=5.x
0 1 2 3 4 5
6
lado (cm)
c. ¿Es correcto unir los puntos del gráfico anterior? ¿Por qué? Sí, es correcto porque el lado de un pentágono regular puede ser un número decimal.
d. La relación entre los lados de un pentágono regular y su perímetro, ¿es función? ¿Por qué? Sí, es función porque a distintas medidas del lado le corresponden perímetros diferentes.
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Función de proporcionalidad directa
infoactiva Dos variables son directamente proporcionales cuando el cociente entre las cantidades es constante. El número que se obtiene al dividir las cantidades se denomina constante de proporcionalidad (k). El perímetro de un cuadrado es directamente proporcional a la medida del lado. x: lado del cuadrado (en cm)
y: perímetro (en cm)
1
4
4:1=4
2
8
8:2=4
k=4 (constante de proporcionalidad)
• Lenguaje coloquial: el cociente entre dos cantidades correspondientes es igual a 4. • Lenguaje simbólico: y : x = 4, entonces y = 4 . x
perímetro (en cm)
fórmula de la función y 8
4
0 1 2
y=4.x
La representación gráfica de cantidades directamente proporcionales da como resultado un conjunto de puntos alineados sobre una recta que pasa por el origen de coordenadas.
x lado (en cm)
test de comprensión 1. Respondan y expliquen sus respuestas. a. Si las dos variables aumentan o disminuyen, ¿se puede decir que son directamente proporcionales? b. En una relación de proporcionalidad directa, si una variable aumenta el doble, ¿cuánto debe aumentar la otra? c. Si se multiplica por __31 la variable independiente, ¿por cuánto se debe multiplicar la variable dependiente para que se mantenga una relación de proporcionalidad directa? d. A partir de los datos de una tabla, ¿cómo se puede identificar si se trata de una relación de proporcionalidad directa? 1
a. No. b. El doble. c. Por __ 3 . d. Si el cociente entre las dos variables es constante.
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ACTIVIDADES Función de proporcionalidad directa
12. Escriban tres ejemplos de que sean directamente proporcionales. El tiempo que tarda en subir un ascensor según la cantidad de pisos que tiene que subir.
La cantidad de km que se pueden recorrer según la cantidad de nafta que tiene un auto. La cantidad de litros de pintura que se necesitan para pintar una pared.
13. Marquen con una X las relaciones que son directamente proporcionales. a.
b.
X
c.
X
d.
x
y
x
y
x
y
x
y
2
5
3
12
10
5
5
2
4
7
7
28
30
15
10
4
6
9
10
40
40
20
16
6
14. Resuelvan. a. Completen la tabla para que las variables se relacionen en forma directamente proporcional. Luego, representen los puntos en un sistema de ejes cartesianos. x
y
y
7
49
56
2
14
49
4
28
42
5
35
35
6
42
28
9
63
21 14 7
b. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? La constante es 7.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x
80 70
Peso (en gramos)
Precio (en $)
250
10
1 000
40 60
40
70
20
Sí. La constante es 25.
30
2 000
1 750
1 500
1 250
0
1 000
10 750
b. Las variables, ¿se relacionan de forma directamente proporcional? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
50
500
1 500 1 750
60
250
El siguiente gráfico representa el precio de un postre helado según su peso. a. Completen la tabla.
precio (en $)
15. Observen el gráfico y respondan.
peso del postre (en g)
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18
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21
22
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24
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Función de proporcionalidad inversa
infoactiva Dos variables se relacionan de forma inversamente proporcional cuando el producto entre los valores que se corresponden es constante. A ese producto se lo denomina constante de proporcionalidad (k).
altura (en cm)
En la siguiente tabla se registraron algunos valores que corresponden a la base y la altura de rectángulos de 24 cm2 de área. Base (en cm)
Altura (en cm)
2
12
2 . 12 = 24
3
8
3 . 8 = 24
4
6
4 . 6 = 24
k = 24 (constante de proporcionalidad)
y
El producto entre dos cantidades correspondientes es igual a 24. 24 x . y = 24, entonces y = ___ x .
12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 x base (en cm)
Cuando los valores de una variable aumentan, los de la otra variable disminuyen en la misma proporción. La representación gráfica de variables inversamente proporcionales da como resultado una curva denominada hipérbola.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En una relación de proporcionalidad inversa, si una variable aumenta al doble, ¿qué sucede con la otra? b. En el gráfico de una función de proporcionalidad inversa, ¿los puntos están alineados? c. Si en una función, una variable aumenta y la otra disminuye, ¿se puede decir que las variables son inversamente proporcionales? d. Si el producto entre la variable dependiente y la independiente es cero, ¿se puede decir que se trata de una relación inversamente proporcional? a. Disminuye a la mitad. b. No. c. No. d. No.
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ACTIVIDADES Función de proporcionalidad inversa
16. Escriban tres relaciones que sean inversamente proporcionales. Cantidad de personas que pintan un edificio y el tiempo que tardan.
El tiempo que tarda un micro en recorrer una distancia y su velocidad. Cantidad de recipientes necesarios para colocar dulce de leche según su tamaño.
17. Marquen con una X las tablas que corresponden a funciones de proporcionalidad inversa y hallen la constante de proporcionalidad. Luego, representen los datos de esas tablas en un sistema de ejes cartesianos. a.
b.
X
X
c.
d.
x
y
x
y
x
y
x
y
1
3
2
15
2
63
4
6
3
1
3
10
3
42
7
4
15
5
5
6
9
14
10
2
b.
c.
y
y
18
63
16
56
14
49
12
42
10
35
8 6
28
k = 30
4
14
2
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k = 126
21
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
x
18. Lean atentamente y respondan. Laura está organizando un festival de danzas árabes. Para ello, alquiló una sala en el complejo cultural Plaza. Como los gastos a cubrir por el alquiler del lugar son de $8 000, deberá cobrar la entrada en función de la cantidad de butacas que pueda ubicar en la sala. a. Completen la tabla. Cantidad de butacas de la sala Valor de la entrada
125 64
200
320
40
25
b. Las variables, ¿se relacionan en forma inversamente proporcional? Si es así, escriban la constante de proporcionalidad. Sí, son variables inversamente proporcionales. k = 8 000. c. Representen en sus carpetas los valores de la tabla en un sistema de ejes cartesianos. Solución a cargo del alumno.
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3
capítulo
Integración
Contenidos
16.17.18.19
19. Representen los siguientes puntos en un sistema de ejes cartesianos. a = (2;6) c = (5;18) b = (6;0) d = (7;14)
e = (8;9) f = (12;5)
Solución a cargo del alumno.
20. Observen el gráfico y escriban las coorde-
22. Resuelvan. a. Indiquen cuál o cuáles de los siguientes puntos están bien representados en el sistema de ejes cartesianos. a = (2;1) c = (7;7) e = (7;3) b = (5;6) d = (7;2) f = (8;6)
nadas de cada punto. y 300 200
4
a
1
a x
21. Ubiquen el vértice que falta para que se forme la figura indicada en cada caso. a. Cuadrado.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x
Los puntos mal ubicados son b, c y e.
b. Representen correctamente los puntos mal ubicados.
23. Lean atentamente y respondan.
y
6
d
2
0 1 2 3 4 5 6 7
10
e
3
b
100
f
b
5 d
150
b c
6
c
c
e
7
e
250
50
y
Solución a cargo del alumno.
d
Una enfermera registró la temperatura de un paciente en el siguiente cuadro.
c
b
a
2 0 1 2 3 4 5 6 7 8
x
b. Romboide.
Hora
Temperatura (en °C)
7:00
38
8:00
37
9:00
37
10:00
38
11:00
39
12:00
38,5
13:00
39
y 7 5 3
a. Representen los valores de la tabla en los ejes cartesianos. Solución a cargo del alumno. b. ¿La relación es función? Expliquen la respuesta. Sí. c. ¿Se pueden unir los puntos del gráfico? ¿Por qué? Sí.
d c a
b
1 0 0,5 2 4
24. Escriban ejemplos según la condición. x
c. ¿Las soluciones son únicas? Si no lo son, indiquen otra posibilidad. En a. es única y en b., no. Otra posibilidad: (4;1).
a. Dos relaciones directamente proporcionales. b. Dos relaciones inversamente proporcionales. c. Dos relaciones no proporcionales. Solución a cargo del alumno. 71
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Curso:
Fecha:
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25. Resuelvan.
28. Resuelvan.
a. Completen la tabla para que sea una función de proporcionalidad directa. Indiquen la constante de proporcionalidad. Peso (en kg)
2
5
7
9
10
Precio (en $)
7
17,50
24,50
31,50
35
b. Representen los datos en un gráfico cartesiano. Solución a cargo del alumno.
26. Lean atentamente y resuelvan. Para el cumpleaños de Julia, su mamá está preparando un gran bizcochuelo y necesita tres sobres de preparación.
po r
cada sobre de prepar ación
3 cucharadas de leche tibia. 2 huevos. 5 cucharadas de agua. 200 g de manteca derretida.
a. ¿Qué cantidad de cada ingrediente necesita la mamá de Julia? Solución a cargo del alumno. b. Las variables ¿se relacionan en forma directamente proporcional? Si es así, indiquen cuál es su constante. Sí. k = 3
Héctor, el dueño de una estancia, se irá de vacaciones por 14 días y deja a Úrsula a cargo de sus cinco caballos. Respetando la dieta indicada por el veterinario, la cantidad de alimento que le deja alcanza para esas dos semanas. a. Si antes de irse, Héctor trae dos caballos más, pero no agrega comida, ¿para cuántos días alcanzará? 10 b. Si solo hubiera dos caballos para alimentar con la misma cantidad de comida, ¿para cuántos días alcanzará el alimento? 35 c. ¿La relación es una función de proporcionalidad directa o inversa? Inversa. d. Completen la siguiente tabla de acuerdo con la información anterior. Caballos
Días para alimentarlos
1
70
2
35
5
14
7
10
14
5
e. Representen la información de la tabla en un sistema de ejes cartesianos. Solución a cargo del alumno.
29. Indiquen si las siguientes relaciones son directamente proporcionales (DP), inversamente proporcionales (IP) o no proporcionales (NP). a. La cantidad de harina y de pizzas que se
27. Resuelvan. Gabriel compró las entradas para él y sus cinco amigos, para asistir a un recital. a. Si pagó $900 por las seis entradas, ¿cuánto dinero le tiene que dar cada amigo? $150 b. Completan la tabla. que se debe Cantidad de entradas Dinero abonar
pueden hacer con ella.
DP
b. La cantidad de agua para regar una planta y su crecimiento.
NP
c. La cantidad de agua que arroja una manguera por minuto y el tiempo que tarda en llenar una piscina.
DP
2
300
3
450
5
750
en el mapa y los kilómetros cuadrados que
6
900
abarca dicha provincia dentro del territorio
c. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? d. Representen la información en un gráfico.
d. La superficie representada de una provincia
nacional.
DP
c. k = 150. d. Solución a cargo del alumno. 72
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3 capítulo
Autoevaluación 30. Observen el gráfico y respondan.
distancia (en km)
Mariana realizó una excursión a las termas de Cacheuta. El siguiente gráfico representa la excursión desde que partió del hotel hasta su regreso, en función del tiempo.
180 160 140 120 100 80 60 40 20
a. ¿Cuántas horas estuvo fuera del hotel?
10 horas.
b. ¿Cuánto tiempo estuvo en las termas?
4 horas.
c. ¿A cuántos kilómetros del hotel se encontraban las terSe encontraban a 160 km del hotel.
mas de Cacheuta?
d. ¿Realizaron alguna parada en el camino? ¿A la ida o a la
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 tiempo (en h)
vuelta?
Sí, a la ida.
e. ¿Cuántas horas duró el viaje de regreso?
Duró 2 horas.
31. Resuelvan. Pablo tiene varias peceras con forma de prisma. Todas miden 40 cm de largo y 20 cm de ancho, pero distintas alturas. La primera mide 60 cm de altura; la segunda 50 cm y la tercera, 70 cm. a. ¿La altura de cada pecera y su volumen son variables directamente proporcionales? ¿Por qué? Sí. Porque las dos variables aumentan en proporciones iguales.
b. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la dependiente? k = 800. La variable independiente es la altura. La variable dependiente es el volumen.
c. Completen la siguiente tabla y luego representen la información en un sistema de ejes cartesianos. 40
50
60
70
32 000
40 000
48 000
56 000
Altura de la pecera (en cm) Volumen de la pecera (en cm ) 3
32. Piensen y resuelvan. En la reunión de consorcio del edificio de Ana, decidieron cambiar la decoración del frente. El costo de la reforma es de $2 100 y será dividido entre todos los propietarios. a. Si en total son 14 los propietarios, ¿cuánto dinero deberá abonar cada uno? ¿Y si fueran 30 propietarios? Cada uno deberá pagar $150. Si fueran 30, deberían pagar $70.
b. Las variables, ¿se relacionan en forma directa o inversamente proporcional? Indiquen la constante de proporcionalidad. Las variables se relacionan en forma inversamente proporcional. k = 2 100
c. Completen la tabla teniendo en cuenta la información de los ítems anteriores y representen los puntos en un sistema de ejes cartesianos. Cantidad de propietarios
14
21
28
30
Monto a pagar (en $)
150
100
75
70
73
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capítulo
4
Cuerpos Contenidos 20. Clasificación de los cuerpos. 21. Poliedros regulares. 22. Desarrollo plano de cuerpos. 23. Punto, recta y plano.
Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la imagen y resuelvan. a. El siguiente texto tiene datos incorrectos. Léanlo atentamente y escríbanlo como corresponde. La gaseosa tiene forma de rectángulo; el helado, de triángulo y la pelota, de círculo. Esta última es una figura que rueda, por lo tanto su superficie no es plana. b. ¿Qué errores encontraron? c. La cajita de jugo, ¿es una figura o un cuerpo? ¿Qué forma tiene? d. Comparen el texto que escribieron con el de sus compañeros. 74
a. La gaseosa tiene forma de cilindro; el helado, de cono y la pelota, de esfera. Esta última es un cuerpo que rueda, por lo tanto su superficie no es plana. b. Se nombra a los cuerpos con nombres de figuras. c. Es un cuerpo. Tiene forma de prisma de base rectangular.
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Clasificación de los cuerpos
infoactiva Los cuerpos se clasifican en: • Poliedros: tienen todas sus caras planas. Prisma: sus caras laterales son paralelogramos y sus bases son polígonos paralelos.
Pirámide: todas sus caras concurren en un vértice, excepto una que es la base.
vértice
bases
vértice
cara lateral
cara lateral
arista
base
arista
• Redondos: tienen al menos una cara no plana.
Cilindro Cono circunferencias máximas
vértice bases
altura
Esfera
radio
vértice generatriz
radio de la base
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Un cubo, ¿es un prisma? b. ¿Qué figuras geométricas son las caras laterales de las pirámides? c. ¿Qué cuerpos tienen una sola cara plana? d. Las caras laterales de todos los poliedros, ¿son paralelogramos? a. Sí. b. Triángulos. c. Los conos. d. No. 75 Nombre:
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ACTIVIDADES Clasificación de los cuerpos
1. Unan con flechas, cuando sea posible.
• Prisma
• Pirámide
• Cilindro
• Cono
• Esfera
2. Escriban los nombres de los cuerpos que forman los siguientes objetos. a. c. e.
Cubo, pirámide de base
cuadrada.
b.
Cono, cilindro.
Prisma de base triangular, pirámide de base triangular.
d. f.
Esfera, cilindro.
Prisma de base hexagonal, cilindro.
Prisma de base rectangular, prisma de base triangular.
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Poliedros regulares
infoactiva Se llaman poliedros regulares a aquellos en los que todas sus caras son polígonos regulares iguales. Existen solo cinco poliedros regulares.
Tetraedro
Cubo
Octaedro
Sus caras son cuatro triángulos equiláteros iguales.
Sus caras son seis cuadrados iguales.
Sus caras son ocho triángulos equiláteros iguales.
Dodecaedro
Icosaedro
Sus caras son doce pentágonos regulares iguales.
Sus caras son veinte triángulos equiláteros iguales.
En todo poliedro se verifica la relación de Euler. C + V = A + 2
C: cantidad de caras V: cantidad de vértices A: cantidad de aristas
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Un prisma de base cuadrada, ¿es un poliedro regular? b. ¿Todas las pirámides son poliedros regulares? c. Las caras de una pirámide regular, ¿pueden ser triángulos isósceles? d. La relación de Euler, ¿se puede aplicar a los poliedros no regulares? a. No siempre. b. No. c. No. d. Sí. 77 Nombre:
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ACTIVIDADES Poliedros regulares
3. Marquen con una X los poliedros regulares. a.
c.
d.
X
e.
X
f. X
• • • • • •
6 20 4 15 12 8
b.
X
4. Unan con flechas cada cuerpo con el número de vértices que tiene. a. Cubo b. Tetraedro c. Octaedro d. Dodecaedro e. Icosaedro 5. Completen la tabla y verifiquen la relación de Euler. Poliedro
Nombre
No de caras
No de vértices
No de aristas
Verificación
Cubo
6
8
12
6 + 8 = 12 + 2
Octaedro
8
6
12
8 + 6 = 12 + 2
Pirámide de base cuadrada
5
5
8
5+5=8+2
Tetraedro
4
4
6
4+4=6+2
Pirámide de base hexagonal
7
7
12
7 + 7 = 12 + 2
Dodecaedro
12
20
30
12 + 20 = 30 + 2
Icosaedro
20
12
30
20 + 12 = 30 + 2
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Desarrollo plano de cuerpos
infoactiva El desarrollo plano de un cuerpo es la forma del cuerpo cuando se lo desarma.
El desarrollo de un cuerpo permite conocer las figuras que lo forman y también, construirlo. Para ello, es necesario agregarle al desarrollo del cuerpo solapas en algunas de sus aristas para poder doblarlas y pegarlas uniendo las caras.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. El desarrollo de un cubo, ¿puede tener más de 6 cuadrados? b. El desarrollo de una pirámide de base triangular, ¿puede tener rectángulos? c. El desarrollo del cono, ¿es igual al del cilindro, pero con solo un círculo de base? a. No. b. No. c. No. 79 Nombre:
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ACTIVIDADES Desarrollo plano de cuerpos
6. Completen la tabla. Cuerpo
Nombre
Vista de frente
Vista de abajo
Prisma de base cuadrada
Cono
Pirámide de base hexagonal
Esfera
Cilindro
7. Indiquen el nombre del cuerpo al que pertenece cada desarrollo. a.
c. e.
Prisma de base rectangular
Pirámide de base cuadrangular Prisma de base pentagonal
b.
d. f.
Cono
Pirámide de base triangular o tetraedro
Pirámide de base hexagonal
8. Marquen con una X el desarrollo correspondiente al siguiente cuerpo.
a.
b.
X
c.
d.
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ACTIVIDADES Desarrollo plano de cuerpos
9. Marquen con una X el nombre de los siguientes cuerpos teniendo en cuenta su desarrollo. a.
X
b. c.
Prisma de base triangular.
Prisma de base triangular.
Prisma de base cuadrada.
Prisma de base cuadrada.
Prisma de base cuadrada.
Pirámide de base cuadrada.
Pirámide de base cuadrada.
X
Pirámide de base cuadrada.
X
Prisma de base triangular.
10. Respondan teniendo en cuenta que el cuerpo está formado por cubos iguales y se pintó de violeta toda la superficie. a. ¿Cuántos cubos forman el cuerpo? El cuerpo está formado por 11 cubos.
b. ¿Hay algún cubo que tenga todas las caras pintadas? No.
c. ¿Cuántos cubos tienen solo dos caras pintadas? Uno solo.
d. ¿Hay cubos que tengan la mitad de sus caras pintadas? ¿Cuántos? No.
e. ¿Cuántos cubos más debería tener el cuerpo para que queden cuatro cubos con solo dos caras pintadas? ¿Dónde los ubicarían? Habría que agregar seis cubos más. En el centro del cuerpo.
11. Marquen con una X los prismas que corresponden al siguiente desarrollo.
a.
b.
c.
X
d.
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ACTIVIDADES Desarrollo plano de cuerpos
12. Completen con las caras que faltan para obtener el desarrollo del cuerpo indicado. Luego, copien los desarrollos y armen los cuerpos. a. Cilindro. c. Prisma de base hexagonal.
b. Prisma recto de base triangular.
d. Cubo.
13. Construyan un octaedro regular y numeren sus caras como se muestra en la imagen. Luego, marquen con una X el desarrollo que corresponde al cuerpo que armaron.
a.
X
1 2
1
c. 4
1 2
3
3
4
2
3 4
b.
2 1
d. 4
3
1
2
3
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mente activa La caja en la que Martín guarda sus ahorros tiene forma de prisma rectangular. Si decide pintarla de modo que dos caras que tengan una arista en común no queden pintadas con el mismo color, ¿cuántos colores diferentes necesita como mínimo? Necesita, como mínimo, 3 colores diferentes.
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Punto, recta y plano
infoactiva En el siguiente prisma se pueden observar los tres elementos fundamentales de la geometría del espacio: plano (α), recta (A) y punto (b).
α
A
Cada cara del cubo representa una porción de un plano, las aristas son segmentos de rectas y los vértices son los puntos donde concurren tres o más aristas. b
En el siguiente cubo, las rectas A, B y D son coplanares porque están incluidas en un mismo plano. Las rectas coplanares pueden ser secantes (tienen un punto en común) o paralelas (no tienen puntos en común).
B y C son secantes. A y B son paralelas.
Las rectas secantes pueden ser perpendiculares (se intersecan formando cuatro ángulos rectos) u oblicuas.
E
B y C son perpendiculares. A y D son oblicuas.
B D
Si dos rectas no están incluidas en el mismo plano, se denominan alabeadas.
C
A
D y E son alabeadas.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cuántos puntos determinan una única recta? b. ¿Cuántas rectas pasan por un punto? c. Dos rectas paralelas, ¿pueden tener puntos en común? d. Dos rectas alabeadas, ¿son perpendiculares? a. Dos. b. Infinitas. c. No. d. No. 83 Nombre:
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ACTIVIDADES Punto, recta y plano
14. Marquen con una X las opciones correctas. a. Por un punto pasan... X
c. Dos rectas perpendiculares... X
infinitas rectas. una sola recta.
son secantes. no tienen puntos en común.
X
solo dos rectas. b. Dos rectas paralelas...
forman cuatro ángulos de 90°.
d. Dos rectas alabeadas...
son secantes.
son paralelas.
X
no tienen puntos en común.
X
pueden ser alabeadas.
X
no tienen puntos en común. son perpendiculares.
15. Nombren dos rectas que cumplan las condiciones indicadas en cada caso.
a. Dos rectas perpendiculares. A b. Dos rectas paralelas. B
y
c. Dos rectas secantes. C
y E
d. Dos rectas oblicuas. D
y E
e. Dos rectas alabeadas. A
y
D
B
C B A
y D C
E
16. Pinten con el color indicado. a. Azul: b. Rojo: c. Verde: dos planos paralelos. dos planos perpendiculares. dos planos oblicuos.
Solución a cargo del alumno.
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capítulo
Integración 17. Marquen una X donde corresponda. a.
Contenidos
20.21.22.23 18. Completen con V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. a. Las pirámides tienen un solo vértice. F
b. Todos los poliedros son prismas. El cuerpo está compuesto por: X
Un cubo. Un prisma de base rectangular.
X
Una pirámide de base cuadrada. Una pirámide de base triangular.
F
V
c. El cono tiene un solo vértice.
d. La base del cono es una circunferencia.
F
e. Un prisma de base pentagonal tiene cinco aristas.
F
19. Completen teniendo en cuenta la relación de Euler.
b.
a. Un poliedro regular que tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas es un b. Un
cubo
dodecaedro
.
tiene 12 caras,
20 vértices y 30 aristas.
El cuerpo está compuesto por: Un cubo. X
c. Un poliedro que tiene
8
y 12 aristas recibe el nombre de
Un prisma de base rectangular.
octaedro
.
Una esfera.
d. Si un poliedro tiene 4 caras,
X
Un cilindro.
6 aristas es un
X
Un cono.
c.
caras, 6 vértices
4
vértices y
tetraedro
.
20. Verifiquen si se cumple la relación de Euler en los siguientes cuerpos compuestos. a.
El cuerpo está compuesto por: X
Un prisma de base triangular.
a. Sí. 9 + 9 = 16 + 2
b.
Una pirámide de base rectangular. X
Un prisma de base rectangular. Un cilindro.
b. Sí. 7 + 10 = 15 + 2
Una esfera.
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21. Marquen con una X el desarrollo que
23. Completen con // (paralelas) o ⊥ (perpendi-
corresponde a un cubo.
culares). Pueden ayudarse realizando los gráficos.
a.
X
a. A // B; B // C, entonces A
//
C.
b. A // B; B ⊥ C, entonces A ⊥ C. c. A ⊥ B; B // C, entonces A ⊥
C.
d. A ⊥ B; B ⊥ C, entonces A
C.
//
e. A // B; B ⊥ C; D // C entonces A ⊥
D.
f. A ⊥ B; B ⊥ C; C ⊥ D, entonces A ⊥ D.
b.
24. Dibujen en sus carpetas dos rectas que cumplan con las condiciones indicadas en cada caso. a. Que dividan el plano en cuatro regiones. b. Que dividan el plano en tres regiones. c. Que dividan el plano en dos regiones. d. ¿Cómo son los pares de rectas trazados en cada uno de los casos anteriores? Solución a cargo del alumno.
c.
25. Realicen en sus carpetas un gráfico que cumpla con las siguientes condiciones. A // B; C ⊥ A; D ⊥ B y E // D Solución a cargo del alumno.
d.
26. Copien en sus carpetas los siguientes cuer-
X
pos y pinten en cada uno de ellos un par de planos que cumplan con las condiciones indicadas. a. α y β son perpendiculares.
22. Escriban rectas que cumplan con las condib. ε y δ son oblicuos.
ciones pedidas en cada caso. F
A
E
B
C
D
c. π y γ son paralelos.
a. Tres rectas paralelas. C, D y E. b. Un par de rectas paralelas. A y B. c. Un par de rectas perpendiculares. F y A. d. Dos pares de rectas oblicuas. A y E, E y F. Solución a cargo del alumno. 86
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4 capítulo
Autoevaluación 27. Completen. a. Una pirámide de 6 caras tiene
b. Un prisma de 8 caras tiene 18 aristas y su base es un 7
c. Un prisma de 10 vértices tiene
pentágono
vértices y su base es un
6
.
hexágono
caras y su base es un
.
pentágono
.
28. Completen la tabla. Cuerpo
No caras
No vértices
No aristas
Relación de Euler
6
6
10
6 + 6 = 10 + 2
29. Marquen con una X los desarrollos que corresponden a este cuerpo.
a.
b. X
X
c.
d.
X
30. Marquen con una X la opción que representa las siguientes relaciones entre rectas. A // B, A // C y D ⊥ C b.
a. B A
c.
A
C
C B
B C
D
A
D
D
X
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capítulo
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Ángulos Contenidos 24. Sistema sexagesimal. Operaciones. 25. Ángulos complementarios y suplementarios. 26. Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice. 27. Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo.
a.
c. b.
Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la imagen y resuelvan. a. ¿Dónde rebotará la bola violeta si se le pega con la blanca en el centro? Dibujen la trayectoria que hace la bola blanca hasta pegar en la violeta y la trayectoria de la violeta hasta tocar la banda. b. ¿Dónde ubicarían la bola blanca para que haga entrar a la violeta en un agujero? Dibujen las trayectorias como en el punto anterior. c. Comparen el ángulo que forman las dos trayectorias de la bola violeta con el que forman las trayectorias de la bola blanca. d. Comparen las respuestas con sus compañeros. a. y b. Solución gráfica. c. Son iguales. 88
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Sistema sexagesimal. Operaciones
infoactiva El sistema sexagesimal se utiliza para escribir medidas de ángulos. En este sistema, si se divide un giro completo en 360 partes iguales; cada una de esas partes se denomina grado. Para ángulos menores que un grado se utilizan el minuto (’) y el segundo (”). 1° = 60’ Un grado equivale a 60 minutos. 1’ = 60” Un minuto equivale a 60 segundos. • Adición de dos ángulos.
• Sustracción de dos ángulos.
107o 92’ 108o 32’ 51” 48o 19’ 42” + – 65o 35’ 53” 67o 41’ 47” 113o 54’ 95” 40o 51’ 4” + – 1’ 60” 113o 55’ 35”
• Multiplicación de un ángulo por un número natural.
17o 51’ 5” .3 51o 153’ 15” + o – 2 120’ 2 veces 60’ 53o 33’ 15”
• División de un ángulo por un número natural.
86o 17’ 12” 2 – – + 86o 16’ 60” 43o 8’ 36” 0o 1’ 72” / / + 72” 0”/
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Por qué se llama sexagesimal al sistema para la medición de ángulos? b. ¿Cuál es el procedimiento para encontrar el equivalente a 15° en minutos? c. ¿Cómo se pasan 72 000” a grados? d. La suma de dos ángulos, ¿es correcto escribirla como 12° 65’ 78”? a. Porque las unidades se agrupan de a 60. b. Se multiplica por 60. c. Se divide por 3 600. d. No. 89 Nombre:
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ACTIVIDADES Sistema sexagesimal. Operaciones
1. Expresen en segundos. 1 380”
a. 23’ = b. 2° =
7 200”
c. 10° 3’ =
36 180” 220”
d. 3’ 40” =
2. Expresen en minutos. a. 360” = b. 45° 120” =
6’
2 702’
c. 3° 2’ =
d. 15° =
182’ 900’
3. Unan con flechas las operaciones que dan el mismo resultado. a. 43° 15’ + 21° 35’ = 64° 50’ b. 79° 20’ – 14° 30’ = 64° 50’ c. 132° 40’ : 3 = 44° 13’ 20” d. 1 304° 10’ : 8 = 1 630° 1’ 15”
• • • •
32° 25’ . 2 = 64° 50’ 11° 3’ 20” . 4 = 44° 13’ 20” 78° 30” + 85° 45” = 1 630° 1’ 15” 87° 20’ 10” – 43° 6’ 50” = 44° 13’ 20’’
4. Escriban el cálculo y resuelvan. a. El doble de la suma entre 15° 35’ y 36° 42’. 2 . (15° 35’ + 36° 42’) = 104° 34’
b. La diferencia entre la tercera parte de 126° 45” y 32° 7’. 126° 45” : 3 – 32° 7’ = 9° 53’ 15” c. La suma entre la mitad de 47° 34’ y el doble de 26° 56”. 47° 34’ : 2 + 2 . 26° 56” = 75° 48’ 52” d. El cuádruple de 65° 23’ menos 23° 45”. 4 . 65° 23’ – 23° 45” = 238° 31’ 15”
5. Completen para que se verifique la igualdad. a.
37° 15’
+ 35° 50’ = 73° 5’
d.
172° 42’
: 4 = 43° 10’ 30”
b. 165° 40’ 30” – 15° 50’ 20” = 149° 50’ 10”
e. 3 . 87° 40’ 25” = 263° 1’ 15”
c. 27° 30” + 92° 10’ 30” = 119° 11’
f. 42° 20’ 30” . 4 = 169° 22’
6. Completen. a. 79° 14’ 50’’ + 41° 36’ 15” 120° 51’ 5”
c . 35° 45’ 30” . 2
b. 84° 40’ 30” – 3’ 1’’ 40°
d. 173° 44’ 4 + 1° 60’ 43° 26’ 108’ 0’ /
44° 37’ 29”
71° 31’
0’’
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Ángulos complementarios y suplementarios
infoactiva Para nombrar un ángulo, pueden utilizar una de las siguientes formas: ^ aob , se escribe el vértice en el medio; ^ o , se escribe solo el vértice; ∧ α , se escribe una letra griega.
b o
α a
Los ángulos se clasifican según su amplitud en: nulos (miden 0°), agudos (miden más de 0° y menos de 90°), rectos (miden 90°), obtusos (miden más de 90° y menos de 180°) y llanos (miden 180°).
• Dos ángulos son consecutivos cuando tienen el vértice y un lado en común.
α γ
• Dos ángulos son complementarios • Dos ángulos son suplementarios cuando suman 90°. cuando suman 180°. γ
δ
β α
∧ ∧ ∧ ∧ γ y α son complementarios β y δ son suplementarios ∧ ∧ ∧ ∧ porque γ + α = 90°. porque β + δ = 180°. ∧ ∧ ∧ ∧ γ es el complemento de α . β es el suplemento de δ . ∧ ∧ ∧ ∧ α es el complemento de γ . δ es el suplemento de β . ∧
∧
Si γ mide 75°, entonces α mide 15°, porque 90° – 75° = 15°.
∧
∧
Si β mide 75°, entonces δ mide 105°, porque 180° – 75° = 105°.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si dos ángulos suman 90° 1’, ¿son complementarios? ∧ ∧ ∧ ∧ b. Si α y β son suplementarios, ¿se puede asegurar que α = β ? c. ¿Se puede calcular el complemento de un ángulo obtuso? d. ¿Cuánto mide el suplemento de un ángulo recto? a. No. b. No. c. No. d. 90°. 91 Nombre:
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ACTIVIDADES Ángulos complementarios y suplementarios
7. Coloquen <, > o =, según corresponda. a. Suplemento de 130°.
<
Complemento de 1°.
b. Suplemento de 156°.
<
Suplemento de 145° 30’.
c. Complemento de 45°. = Suplemento de 135°. d. Suplemento de 166° 56’.
Complemento de 78° 45”.
>
8. Marquen con una X los ángulos consecutivos. a.
b.
X
c.
d.
X γ
β
α
θ
ε
γ δ
π
9. Planteen las ecuaciones, resuelvan e indiquen el valor de cada ángulo. a. Datos: c. Datos: ∧ ∧ α = 3x + 10° ε = 4x – 10° ∧ ∧ β = 2x + 35° δ = 5x + 100° ∧ ∧ ∧ ∧ α y β son complementarios. ε y δ son suplementarios. 3x + 10° + 2x + 35° = 90°
4x – 10° + 5x + 100° = 180°
x = 9°
x = 10°
∧
= α
37°
∧
β =
53°
∧
ε =
b. Datos:
∧
δ =
30°
150°
d. Datos:
∧
∧
η = 2x – 10° ∧ = 8x – 40° σ
γ = 4x ∧ π = 3x + 96°
η σ
2x – 10° + 8x – 40° = 90°
4x + 3x + 96° = 180°
x = 14°
x = 12°
γ π
∧
∧ σ =
∧
∧
18° 72° 48° 132° η = γ = π = 10. Planteen las ecuaciones y resuelvan. a. El complemento de un ángulo, disminuido en 30°, da por resultado 21°. ¿Cuánto mide el ángulo? 90° – x – 30° = 21°
90° – 30° – 21° = x
x = 99°
b. La suma entre el complemento de un ángulo y el suplemento es igual a su doble. ¿Cuánto mide el ángulo? (90° – x) + (180° – x) = 2x
270° = 4
67° 30’ = x
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Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice
infoactiva Ángulos adyacentes Dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y suplementarios.
∧
β
∧
α + β = 180°
α
Ángulos opuestos por el vértice Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando tienen el vértice en común y sus lados son semirrectas opuestas.
∧
π
α
∧
α y β son opuestos por el vértice. ∧ ∧ π y γ son opuestos por el vértice.
γ
β
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. ∧
π
α
∧
π + α = 180° ∧ ∧ γ + α = 180°
γ
deben ser iguales
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si dos ángulos tienen un lado en común, ¿son adyacentes? b. ¿Todos los ángulos adyacentes son suplementarios? c. Los ángulos opuestos por el vértice, ¿siempre son suplementarios? d. ¿Todos los ángulos suplementarios son adyacentes? e. Si dos ángulos miden lo mismo, ¿se puede asegurar que son opuestos por el vértice? a. No siempre. b. Sí. c. No. d. No. e. No. 93 Nombre:
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ACTIVIDADES Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice
11. Completen la tabla teniendo en cuenta el gráfico. R
∧
∧
α β α
T
π
γ
∧
β
∧
γ
π
35°
145°
145°
35°
132° 30’
47° 30’
47° 30’
132° 30’
81° 15’
98° 45’
98° 45’
81° 15’
115° 20’ 10”
64° 39’ 50”
64° 39’ 50”
115° 20’ 10”
12. Escriban las ecuaciones, resuelvan y calculen el valor de los ángulos dados. a. Datos: c. Datos: ∧ ∧ α = 2x – 18° π = 17x – 20° ∧ ∧ β = 5x – 5° ε = 2 . (7x + 5°) α
2x – 18° + 5x – 5° = 180°
17x – 20° = 2 . (7x + 5°)
7x = 203
17x – 20° = 14x + 10°
x = 29° ∧
= α
x = 10°
∧
β =
40°
π ε
β
140°
∧
π =
∧
ε =
150°
b. Datos: d. Datos: ∧ ∧ δ = 3x + 33° θ = 3x – 13° ω δ ∧ ∧ ω = 8x – 47° γ = (x + 15°) . 4
∧
γ θ
3x + 33° = 8x – 47°
(x + 15°) . 4 + 3x – 13° = 180°
33° + 47° = 8x – 3x
4x + 60° + 3x – 13° = 180°
x = 16°
δ =
x = 19°
∧
ω =
81°
81°
150°
∧
γ =
∧
θ =
136°
44°
13. Tracen un par de ángulos que cumplan con las condiciones indicadas en cada caso. a. Que tengan un lado en común y no sean adyacentes.
b. Que tengan el vértice en común y no sean opuestos por el vértice.
α
β β
α
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Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo
infoactiva Mediatriz de un segmento La mediatriz de un segmento (Mz) es la recta perpendicular que pasa por su punto medio. Los puntos de la mediatriz equidistan, es decir, están a la misma distancia de los extremos del segmento. Para trazar la mediatriz pueden seguir estos pasos: Mz
punto medio del ab. a
b
1. Se apoya el compás en uno de los extremos del segmento con una abertura mayor a la mitad del segmento y se traza una circunferencia. 2. Se repite el procedimiento apoyando en el otro extremo del segmento, con la misma abertura. 3. Se dibuja la recta que determinan los dos puntos de intersección de las circunferencias.
Bisectriz de un ángulo La bisectriz de un ángulo (Bz) es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo. Para trazar la bisectriz, pueden seguir estos pasos:
b
Bz p
o
a
1. Se clava el compás en el vértice o y se traza un arco que corte a los dos lados del ángulo. 2. Con la misma abertura se apoya en a y se traza un arco; luego, se apoya en b y se traza otro arco que corte el anterior, por ejemplo, en p. ___› 3. Se dibuja la semirrecta op , que es la bisectriz del ángulo.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cualquier recta perpendicular a un segmento es su mediatriz? b. La bisectriz de un ángulo, ¿lo divide en dos ángulos consecutivos? c. ¿Se puede trazar la mediatriz de una recta? d. ¿Se puede dividir un ángulo en cuatro ángulos iguales utilizando la bisectriz? e. ¿Se puede trazar la bisectriz de un segmento? a. No. b. Sí. c. No. d. Sí. e. No. 95 Nombre:
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ACTIVIDADES Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo
14. Tracen la bisectriz de cada uno de los siguientes ángulos. a.
b. c.
Solución gráfica a cargo del alumno.
15. Tracen la mediatriz de cada uno de los siguientes segmentos. a.
b.
Solución gráfica a cargo del alumno.
16. Resuelvan.
a t
a. Tracen la mediatriz del ab. Llamen o al punto medio del ab. b. Marquen el punto c sobre la mediatiz. ___› c. Tracen la om __ , bisectriz del c^ o b. › d. Tracen la ot , bisectriz del m^ o b. e. Completen con las medidas de los ángulos obtenidos.
a^ c = o
m^ a = o
90°
m'
c
c' o
Hay dos opciones posibles. ——— Opción 1. ——— Opción 2.
m^ o = t
135°
t'
m
22° 30’
c^ t = o
Mz
b
67° 30’
17. Completen el rt teniendo en cuenta las indicaciones en cada caso. a. La recta R es mediatriz del rt.
b. La recta M es la mediatriz del segmento que representa la mitad del rt.
R
r
M
t
r
t
mente activa ¿Cómo pueden dividir un segmento de 7,5 cm en cuatro segmentos iguales usando solo el compás y una regla no graduada? Se debe trazar la mediatriz del segmento y luego, las mediatrices de cada mitad del segmento original.
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5 capítulo
Integración
Contenidos
24.25.26.27
18. Resuelvan. a. Tracen un par de ángulos opuestos por el vértice y un par de ángulos adyacentes. b. Tracen las bisectrices de cada uno de los ángulos del ítem anterior. c. Completen las siguientes oraciones teniendo en cuenta los gráficos realizados. • Las bisectrices de los ángulos opuestos por llano
el vértice forman un ángulo
.
21. Tracen un par de ángulos que cumplan con
• Las bisectrices de los ángulos adyacentes están incluidas en rectas
perpendiculares
• Las bisectrices de los ángulos adyacentes forman un ángulo
recto
.
19. Calculen los ángulos indicados. a. Datos: ___› om bisectriz.
20. Elijan un par de los siguientes ángulos de modo que cumplan con la condición indicada en cada caso. ∧ ∧ α = 28° 30’ β = 71° 30’ ∧ ∧ δ = 151° 30’ ε = 18° 30’ ^ α + β = 100° a. La suma es un ángulo obtuso. ^ ^ α + δ = 180° b. Son ángulos suplementarios. ^ ^ c. Son ángulos complementarios. β + ^ε = 90°
.
las condiciones indicadas en cada caso. a. Un par de ángulos complementarios no consecutivos. b. Un par de ángulos suplementarios no consecutivos. c. Un par de ángulos opuestos por el vértice y complementarios. d. Un par de ángulos adyacentes e iguales. e. Un par de ángulos opuestos por el vértice y suplementarios. Solución gráfica a cargo del alumno.
m
γ
β
ángulos indicados. a. El suplemento de 130° 25’ – 12° 50’. b. El complemento de 35° 30” . 2. c. El ángulo adyacente al que mide 72° + 15° 15’. d. Cada uno de los ángulos que se obtienen al trazar la bisectriz del ángulo que mide 133° 40’. e. El ángulo opuesto por el vértice al que mide 145° 20’ – 37° 50’.
α
o 138o
∧
β =
42°
∧
138°
γ = ∧
= α
22. Escriban la medida de cada uno de los
21°
a. 62° 25’ b. 19° c. 92° 45’ d. 66° 50’ e. 107° 30’
b. Datos: R⊥S
23. En cada caso, tracen el ángulo a^ o b sabien___›
do que om es bisectriz del mismo. a. m
R
S
b
θ π
ε
a
20o
b.
δ
o m
∧
π = ∧
δ =
20° 160°
∧ θ =
90°
∧ ε =
70°
a
o b
Nombre:
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Curso:
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24. Planteen la ecuación e indiquen los valores
25. Marquen una X donde corresponda tenien-
de cada ángulo. a. Datos: ∧ ε = 3x – 3° ∧ _β _ = 5x + 2° › hj bisectriz.
do en cuenta el siguiente gráfico. Datos: R⊥S ___› ∧ om es bisectriz del α .
x = 8°; ^ ε = ^ α = 21°; ^ ^ β = 42°; γ = 138°
R
α ε
j
m
γ
h
β
γ
ε
β S
α
o
θ
π δ
^ x = 12° 30’; δ = ^ π = 75°; ^ ^ α = 105° β = 15°;
b ∧
π
T
c. Datos: ∧ α = 4x – 10° ∧ β = 5x + 28°
^ α = 62°; x = 18°; δ = ^ ^ ^ β = γ = 118°
γ
δ
X
∧ ∧ α y γ
X
∧ ∧ α y π ∧ ∧ ε y θ ∧ ∧ γ y δ ∧ ∧ α y δ ∧ ∧ π y γ
X
X
X X
X
X
X X
X X X
X
26. Resuelvan. Datos: __› ∧ ∧ α : 2 = 17° ot bisectriz de β . ___› ∧ m^ o t = 45° om bisectriz de α .
α
β
d. Datos: ∧ π = 3x – 16° ∧ ω = 5x + 40° _ __› om bisectriz
∧
α y β
Opuestos por el vértice
a
Adyacentes
α
Iguales
Consecutivos
δ β
Complementarios
Clasificación Suplementarios
b. Datos: ∧ δ = 6x ∧ π = 2x + 50° T mediatriz del ab.
t
x = 12° ^ r = ω ^ = 20° ^ ^ θ = ρ = 160°
π 0
α
β
m
o
θ
ρ
45o
ω
m
∧
∧
∧
∧
∧
a. α 34° c. α + β 90° b. β 56° d. β : 2 28°
∧
∧
∧
∧
e. β + α : 2 73° f. β – α 22°
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5 capítulo
Autoevaluación 27. Escriban el cálculo y resuelvan. a. El doble del complemento de 34° 25’ más la tercera parte de 158°.
b. La mitad de la diferencia entre el suplemento de 12° 10’ y 56° 34’.
1 . 158° = 2 . (90° – 34° 25’) + __ 3
[(180° – 12° 10’) – 56° 34’] : 2 =
= 68° 50’ + 52° 40’
= 111° 16’ : 2
= 163° 50’
= 55° 38’
28. Completen con “a veces”, “siempre” o “nunca”, según corresponda. a. Si dos ángulos son suplementarios, entonces son iguales.
a veces nunca
b. Si dos ángulos son adyacentes, entonces son obtusos. c. El complemento de un ángulo de 120° es el ángulo de 60°. d. Si dos ángulos son suplementarios, entonces son rectos. e. Dos ángulos adyacentes son suplementarios.
nunca a veces
siempre
29. Planteen la ecuación e indiquen la medida de los ángulos indicados.
α
t δ
Datos: __› tq bisectriz ∧ α = 3x – 10° ∧ β = x + 40°
q
β
3x – 10° = x + 40° 2x = 50°
α = 65°
β = 65°
δ = 50°
∧
x = 25°
∧
x = 25°
∧
30. Tracen la mediatriz correspondiente al ab y la bisectriz del ^ . d c
mediatriz d
bisectriz
a
b
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capítulo
6
Figuras planas Contenidos 28. Triángulos. Elementos y propiedades. 29. Construcción de triángulos. 30. Cuadriláteros. Elementos y propiedades. 31. Construcción de cuadriláteros. 32. Círculo y circunferencia. Elementos y propiedades. 33. Construcción de circunferencias. 34. Polígonos. 35. Construcción de polígonos regulares.
Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la imagen y resuelvan. a. ¿En qué objetos se pueden identificar figuras de tres lados? ¿Y de cuatro lados? b. ¿Hay algún objeto en el que se pueda identificar una figura que tenga todos sus lados iguales? c. Modifiquen las preguntas anteriores para que las respuestas sean únicas. Luego, respóndanlas. d. Comparen con sus compañeros las preguntas que realizaron. a. Servilletas, servilletero. Cuadro, sillas. b. En la guarda de la pared, la silla. c. Solución a cargo del alumno. 100
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Triángulos. Elementos y propiedades
infoactiva Los triángulos se clasifican según sus lados en: • Escalenos: todos sus lados miden distinto. • Isósceles: tienen al menos dos lados iguales. • Equiláteros: todos sus lados son iguales.
Los triángulos se clasifican según sus ángulos en: • Acutángulos: tienen tres ángulos agudos. • Rectángulos: tienen un ángulo recto. • Obtusángulos: tienen un ángulo obtuso.
En todo triángulo se cumplen las siguientes propiedades: c
γ
hc es la altura. α b a
h
β
• La medida de cada lado es menor que la suma de los otros dos. ab < bc + ca bc < ca + ab ca < ab + bc • La suma de los ángulos interiores es igual a 180°. ^ ^ a + b + ^ c = 180° • La suma de los ángulos exteriores es igual a 360°. ^ ^ γ + β + ^ α = 360° • Cada ángulo exterior es suplementario con el ángulo interior correspondiente. ^ ^ ^ a + ^ α = 180° b + β = 180° ^ c + ^ γ = 180° • Todo ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. ^ ^ ^ ^ α = b + ^ c β = ^ a + ^ c ^ γ = ^ a + b Dos triángulos son iguales cuando al superponerlos coinciden en todos sus puntos.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Un triángulo obtusángulo, ¿puede tener un ángulo menor que 90°? b. ¿Se puede construir un triángulo cuyos ángulos interiores midan 35°, 27° y 118°? c. Un ángulo exterior, ¿puede medir más de 180°? d. ¿Es posible construir un triángulo equilátero rectángulo? a. Sí, los ángulos que no son obtusos, son agudos. b. Sí, pues cumple la propiedad de los ángulos de los triángulos. c. No. d. No.
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ACTIVIDADES Triángulos. Elementos y propiedades
1. Calculen las medidas de los lados y de los ángulos que faltan. a. El abc es isósceles y rectángulo.
b. El def es obtusángulo e isósceles. f
c
11 cm
8,5 cm
78°
45°
__
a
6 cm
δ d
b
7 cm
__ ^ ^ df e = f = 39°; d = 102° = 7 cm; ^
= 6 cm; ^ ac c = 45°
e
2. Calculen la medida de los ángulos teniendo en cuenta las propiedades. a. Datos: c. Datos: ^ ^ c a = 7x + 3° α = 8x – 39° ^ ^ b = 95° – 2x β = 7x – 41° ^ ^ c = 4x + 37° ε = 26° + 3x b
i β
α
g a
^ a = 38°; b = 85°; ^ c = 57° x = 5°; ^
h
ε
^ x = 23°; ^ α = 145°; β = 120°; ^ ε = 95°
b. Datos: d. Datos: ^ f δ = 77° ^ α = 90° ^ ^ d = 4x – 8° j = 2x + 7° ^ ^ f = 6x – 35° k = 8° + 3x
α
l
δ
k
e
j
d
^ ^ x = 12°; d = 40°; ^ e = 103°; f = 37°
^ ^ ^ x = 15°; j = 37°; k = 53°; l = 90°
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Construcción de triángulos
infoactiva Construcción dados ___ de un triángulo __ sus tres lados __ Datos: ab = 4,5 cm; ac = 3 cm; bc = 4 cm
c
c
a
b
__ 1. Se traza el ab. Se apoya la punta del compás __ en a y con una abertura igual al ac , se traza un arco.
a
b
2. Se apoya la punta del compás __ en b se traza y con una abertura igual al bc un arco que corte al anterior en c.
a
b
3. Se trazan los lados del triángulo.
Construcción dados dos lados y el ángulo comprendido entre ellos ___ de un triángulo __ Datos: ab = 3,5 cm; ac = 2,5 cm; ^ a = 97°
c
a
b
1. Se traza el ^ a y con centro en __ a se traza un arco con radio igual al ab que interseque a uno de sus lados en b.
a
__b 2. Con una abertura igual al ac , se apoya la punta del compás en a y se traza un arco que interseque al otro lado del ángulo en c.
a
__ b 3. Se traza el segmento bc para formar el triángulo.
Construcción ___ de un triángulo dados dos ángulos y el lado común a ellos ^ Datos: ab = 3,5 cm; ^ a = 65°; b = 42°
c
a
b
1. Se traza el ^ a . Se traza un__arco con centro en a y radio igual al ab que interseque a uno de sus lados en b.
a
b
^ 2. Sobre b se traza el b y se prolongan los lados de ambos ángulos.
a
b
3. La intersección de las prolongaciones de los lados de los ángulos determina el punto c del triángulo.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cuántos datos se necesitan conocer como mínimo para construir un triángulo? b. Si se conocen las medidas de los tres lados, ¿cuántos triángulos distintos se pueden construir? c. ¿Es posible construir un triángulo conociendo la medida de los tres ángulos? a. Se deben conocer al menos tres datos. b. Se puede construir un único triángulo. c. Sí, se pueden construir infinitos triángulos porque no se conoce la medida de los lados.
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ACTIVIDADES Construcción de triángulos
3. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen las respuestas. a. Se puede construir un triángulo cuyos lados miden 5 cm, 9 cm y el ángulo comprendido entre ellos, de 40°.
V V
b. No se puede construir un triángulo cuyos lados midan 15 cm, 8 cm y 6 cm.
c. No se puede construir un triángulo cuyos ángulos interiores midan 77°, 24° y 90°.
V
d. Se puede construir un triángulo con un ángulo exterior de 103° y cuyos ángulos interiores no adyacentes a él midan 50° y 53°.
V F
e. No se puede construir un triángulo cuyos lados midan 8 cm, 6 cm y 12 cm.
4. Resuelvan. a. Completen la tabla con un gráfico de análisis de un triángulo que cumpla con las condiciones. Propongan las medidas de los lados y los ángulos. Según sus lados Equilátero
650 600
3 cm 60
Según sus ángulos
3 cm
5 cm 650
0
3 cm
850
2 cm
3 cm
620
500 5 cm
330 3,5 cm
4 cm
450
2,8 cm
Rectángulo
Escaleno
3 cm
600
Acutángulo
Isósceles
300
No se puede.
2 cm 45
0
3 cm
600
5 cm
2 cm
7,1 cm
Obtusángulo
No se puede.
250 5 cm
250 1300
5 cm
9 cm 350 1250 2,5 cm
200 4,5 cm
b. ¿Se pueden construir todos los triángulos? ¿Por qué? No. No se pueden construir triángulos equiláteros rectángulos ni obtusángulos porque en ambos casos la suma de los ángulos interiores excede los 180°.
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ACTIVIDADES Construcción de triángulos
5. Respondan y expliquen cómo lo pensaron. Luego, construyan los triángulos. ¿Es posible construir los siguientes triángulos utilizando solo el compás y una regla no graduada? a. Un triángulo equilátero. c. Un triángulo escaleno.
b. Un triángulo isósceles.
d. Un triángulo obtusángulo.
Solución a cargo del alumno.
6. Construyan los siguientes triángulos usando solo transportador y regla. a. Un triángulo isósceles def cuya base mida 5 cm y los ángulos adyacentes a la base midan 50°.
___ ___ b. Un triángulo obtusángulo mno de lados mn = 5 cm y no = 7 cm, y ángulo ^ n = 105°.
Solución a cargo del alumno. 105 Nombre:
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ACTIVIDADES Construcción de triángulos
7. Construyan los siguientes triángulos. a. abc ; ab = 3 cm; bc = 5 cm; ac = 6 cm.
c. ghi; gh = 4 cm; gi = 5,5 cm; ^ g = 105°.
^ b. def; de = 5,5 cm; d = 60°; ^ e = 55°.
^ d. jkl; jk = 4 cm; jl = 6 cm; k = 40°.
Solución a cargo del alumno.
mente activa Diego está realizando una tarea para la escuela. Debe dibujar un avión, pero está preocupado por el diseño de las alas. Sabe que deben tener forma triangular y que uno de sus ángulos debe medir 60°. ¿Qué tipo de triángulo puede usar para dibujar las alas? Equilátero, todos los ángulos deben medir 60°. Rectángulo, los otros ángulos deben medir 30° y 90°. Escaleno, sus otros ángulos podrían medir 50° y 70°. 106
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Cuadriláteros. Elementos y propiedades
infoactiva Un cuadrilátero es una figura que tiene cuatro lados, cuatro ángulos y cumple con las siguientes propiedades:
Trapezoides
Nombre
Figura
Trapezoide
Romboide
Trapecios
Trapecio rectángulo Trapecio isósceles Trapecio escaleno
Paralelogramos
Rombo
Paralelogramo
Rectángulo
Cuadrado
Lados Diagonales No tienen lados paralelos. El romboide tiene dos pares de lados La principal es mediatriz de la consecutivos otra. iguales. Tienen un solo par de lados opuestos paralelos. En el trapecio isósceles los lados no paralelos son iguales.
No se cortan en el punto medio. En el trapecio isósceles son iguales.
Ángulos
Tiene un par de ángulos opuestos iguales. Los ángulos no opuestos ni adyacentes a las bases son suplementarios. En el trapecio isósceles los ángulos adyacentes a las bases son iguales.
Tiene cuatro lados iguales. Los lados opuestos son paralelos.
Son perpendiculares y se cortan en su Los ángulos punto medio. opuestos son iguales. Se cortan mutuamente en su Tienen dos pares punto medio. de lados paralelos Son iguales y se y opuestos iguales. cortan en su punto medio. Tienen cuatro Son iguales, ángulos rectos. Tiene los cuatro perpendiculares y lados iguales y se cortan en su paralelos dos a dos. punto medio.
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Por qué el rombo, el paralelogramo, el rectángulo y el cuadrado son paralelogramos? b. ¿Se puede decir que el cuadrado es un rombo? c. ¿Por qué los trapecios no son paralelogramos? a. Porque poseen dos pares de lados paralelos. b. Sí. c. Porque poseen solo un par de lados paralelos. 107 Nombre:
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ACTIVIDADES Cuadriláteros. Elementos y propiedades
8. Observen los cuadriláteros y resuelvan. a. Completen la tabla teniendo en cuenta que puede ir más de un cuadrilátero por cada casilla y que cada cuadrilátero puede ir en más de una casilla. FIGURA A FIGURA C FIGURA E FIGURA G FIGURA I
FIGURA B
FIGURA D
FIGURA F
FIGURA H
FIGURA J
Cuadrilátero Paralelogramos
Trapecios
Trapezoides
Cuatro lados iguales.
B, F, J
No hay.
No hay.
Cuatro ángulos iguales.
B, F, I
No hay.
No hay.
Dos pares de lados iguales.
E, I
No hay.
G
Dos pares de ángulos iguales.
E, J
A
No hay.
Solo un par de lados iguales.
No hay.
A
No hay.
Solo un par de ángulos iguales.
No hay.
C
G
Ningún par de lados ni de ángulos iguales.
No hay.
H
D
b. ¿Pudieron ubicar todos los cuadriláteros? ¿Quedó alguna celda vacía? ¿Por qué? Sí, quedaron celdas vacías porque no hay cuadriláteros que cumplan con las condiciones pedidas para esas celdas.
9. Hallen la medida de los lados y los ángulos de los siguientes cuadriláteros. Expliquen la respuesta. a. Trapecio isósceles.
b. Romboide.
7 cm
d
l
c
3 cm
4 cm 1260
a
4 cm
i
2 cm
1300 b
x
k
j
^ ^ ^ j = 126°; k = 36°; i = 72°
^ ^ ^ a = b = 130°; ^ c = d = 50°; da = 2 cm ^ ^ d + a = 180°
2x
126° + 126° + x + 2x = 360° x = 36° jk = 4 cm, ij = 3 cm
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Construcción de cuadriláteros
infoactiva Para un paralelogramo, teniendo como datos los lados, pueden seguir estos pasos. ___ construir ___ = 4,5 cm; ad = 3 cm ab
d
a
b
a
1. Se trazan dos rectas paralelas y se determina sobre una de ellas el __ lado ab.
d
b
c
a
b
2. __Con centro en a y abertura igual al 3. Con la misma abertura y centro en b, ad , se traza un arco que corte a la recta se repite el procedimiento anterior paralela en d. para obtener__el punto __ c. Se trazan los segmentos ad y bc para determinar el paralelogramo.
Para construir ___un rombo conociendo la medida de sus dos diagonales, pueden seguir estos pasos. __ ac = 6 cm; bd = 3 cm d
a
c
d
c
a
a
b
1. Se traza una semirrecta,__sobre ella se determina la diagonal ac y se traza la mediatriz.
c b
2. Con centro en el punto medio de la diagonal se trazan __ dos arcos cuyo radio sea la mitad de bd y se determinan los puntos b y d.
3. Se trazan los segmentos para formar el rombo. En la página 95 pueden repasar los pasos para trazar la mediatriz de un segmento.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es posible construir un único rectángulo conociendo la medida de uno de sus lados? b. ¿Es posible construir un rombo conociendo la medida de sus diagonales? ¿Es único? c. ¿Es posible construir un cuadrilátero conociendo dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos? ¿Es único? a. No, no es posible. b. Sí y es único ya que sus diagonales se cortan en su punto medio. c. Sí, es posible, pero el cuadrilátero no es único. 109 Nombre:
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ACTIVIDADES Construcción de cuadriláteros
10. Construyan los siguientes cuadriláteros en sus carpetas, tracen las diagonales y respondan. • Cuadrado de 3 cm de lado. • Paralelogramo cuyos lados midan 3 cm y 4 cm.
• Rombo de 3 cm de lado. • Rectángulo de 4 cm por 3 cm.
a. ¿Cómo se clasifican los cuadriláteros que construyeron? ¿Cuántas diagonales tienen? Los cuadriláteros construidos son paralelogramos. Tienen dos diagonales.
b. En cada cuadrilátero, ¿las diagonales miden siempre lo mismo? ¿Se cortan en su punto medio? Depende del paralelogramo; por ejemplo, en el cuadrado y el rectángulo son iguales, en el rombo y el paralelogramo, no. Sí, las diagonales se cortan en su punto medio.
c. ¿En qué paralelogramos las diagonales forman un ángulo recto? Las diagonales forman un ángulo recto en los cuadrados y en los rombos.
11. Construyan los siguientes trapecios en sus carpetas, tracen sus diagonales y respondan. • Trapecio rectángulo cuyas bases miden 5 cm y 3 cm y el lado perpendicular a las bases mide 2 cm. • Trapecio isósceles cuyas bases miden 5 cm y 3 cm y su altura sea de 2 cm. • Trapecio escaleno cuyas bases miden 5 cm y 3 cm. Solución gráfica a cargo del alumno. Existen muchas posibilidades.
a. ¿Cuántas diagonales tienen los trapecios? Los trapecios tienen dos diagonales.
b. ¿Cómo son las diagonales? ¿Se cortan en su punto medio? En el trapecio isósceles las diagonales son iguales, pero no lo son en los trapecios rectángulo y escaleno. No, en ninguna de sus clases.
12. Completen teniendo en cuenta las actividades anteriores. a. Los
cuadriláteros
tienen dos diagonales.
b. Las diagonales de los paralelogramos se cortan en su punto medio y tienen igual medida en el y en el
cuadrado rombo
y en el
rectángulo
y diferente en el
paralelogramo
.
c. Las diagonales de los trapecios
isósceles
no se cortan en su punto medio y tie-
rectángulo
y
nen igual medida. d. Las diagonales de los trapecios
escaleno
no se cortan
en su punto medio y tienen diferente medida.
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ACTIVIDADES Construcción de cuadriláteros
13. Construyan los siguientes cuadriláteros usando regla y compás. Expliquen los pasos que realizaron para construirlos. __ a. Un cuadrado cuya diagonal es el pr .
c. Un romboide defg.
s
g
p
M
d
r
f
q
e
___ b. Un trapecio rectángulo de altura mo , cuya base menor sea igual a su altura. p
q
d. Un trapecio isósceles abcd.
o
d
c
a m
b
n
14. Resuelvan. Martín desea cubrir un rectángulo de telgopor con cuadriláteros de diversas formas, de modo tal que no quede espacio libre entre ellos. a. ¿Podrá usar solo rombos y trapecios? Realicen un diagrama. Sí, puede usar solo rombos y trapecios. Para que no queden espacios vacíos, la suma de los ángulos de las distintas figuras que queden consecutivos deben sumar 360° y 180°.
b. Si decidiera usar paralelogramos, ¿con qué otros cuadriláteros los podría combinar para que no queden espacios libres? Realicen un diagrama. Podría combinarlos con rombos y trapecios.
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ACTIVIDADES Construcción de cuadriláteros
15. Calculen los ángulos interiores de cada uno de los siguientes cuadriláteros. a. Datos: c. Datos: Paralelogramo efgh Trapecio isósceles abcd ^ ^ ε = 110° d = 2^ a h
c
d
g
ε e
f
a
^ ^ ^ e = 70°; f = 110°; ^ g = 70°; h =110°
b
^ ^ ^ a = b = 60°; ^ c = d = 120°
b. Datos: d. Datos: Romboide mnop Rombo ijkl ^ δ = 78° ^ r = 69° ^ p = 2^ n p δ
l
m
o
k
i
π j
Bz
n
^ ^ ^ ^ i = k = 42°; j = l = 138°
^ = 102°; ^ m o = 102°; ^ n = 52°; ^ p = 104°
mente activa Julián y su papá quieren hacer un barrilete con forma de rombo; para ello tienen un papel rectangular cuyos lados miden 60 cm y 90 cm. ¿Cómo debe ser el barrilete para que sobre la menor cantidad posible de papel? Pueden construir en sus carpetas un rectángulo de 6 cm por 9 cm para analizar los posibles casos. Para que sobre la menor cantidad posible de papel, se debe construir un rombo cuya diagonal mayor sea igual a la diagonal del rectángulo.
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6 capítulo
Integración 16. Resuelvan. a. ¿Con cuáles de los siguientes segmentos se puede ___ construir__el abc? Constrúyanlo. • ab bc = 6 cm; ca = 6 cm No. ___ = 12 cm;__ • ab = 9 cm; bc = 4 cm; ca = 3,5 cm No. ___ __ • ab = 7,5 cm; bc = 5,5 cm; ca = 4 cm Sí. b. Clasifiquen el abc que construyeron según sus lados y sus ángulos.
Contenidos
28.29.30.31
21. Lean atentamente, observen lo que hicieron los chicos y respondan. La profesora les pidió a Laura, a Mariano y a Georgina que resuelvan el siguiente problema: “Calculen la medida de los ángulos exteriores de un triángulo abc cuyos ángulos interiores ^ miden: ^ a = 65°; b = 35° y ^ c = 80°.”
Escaleno obstusángulo.
δ
17. Resuelvan y expliquen cómo lo pensaron. a. Con varillas de madera de 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm y 7 cm; ¿cuántos triángulos diferentes se pueden armar? b. Con varillas de 3 cm, 4 cm, 6 cm y 9 cm; ¿cuántos triángulos diferentes se pueden armar?
c
β a b
α
a. 7. b. 2.
Laura ^ α = 180° – 35° – 80° = 65° ^ β = 180° – 65° – 80° = 35° ^ δ = 180° – 65° – 35° = 80°
18. Construyan los triángulos cuando sea posible y___clasifíquenlos. __ __ a. de = 2 cm ; ef = 3 cm; fd ___ __ __ = 4 cm b. gh = 3 cm; hi = 2,5 cm; ig = 3 cm ___ ___ ___ c. mn = 8 cm; no = 4,5 cm; om = 4,5 cm __ __ __ d. xy = 2 cm; yz = 5 cm; zx = 3
Mariano ^ α = 80° + 35° = 115° ^ = 65° + 80° = 145° β ^ = 65° + 35° = 100° δ
Solución a cargo del alumno.
19. Resuelvan. Paula necesita recortar doce triángulos rectángulos cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 5 cm. a. Si tiene una hoja de cartulina de 10 cm por 30 cm, ¿podrá recortar los triángulos que necesita? ¿Le sobra cartulina? b. Si le sobra, ¿cuántos triángulos más podría recortar?
Georgina ^ α = 180° – 65° = 115° ^ β = 180° – 35° = 145° ^ δ = 180° – 80° = 100°
a. Sí. Sí. b. 36 triángulos más.
20. Resuelvan. a. Construyan en una hoja cinco triángulos isósceles cuya base mida 3 cm y los lados iguales midan 4 cm. b. Recorten los triángulos y armen un paralelogramo, un rectángulo, un cuadrado, un trapecio isósceles y un trapezoide. c. ¿Pudieron armar todas las figuras? ¿Por qué? ¿Cuánto miden los lados y los ángulos de cada uno de los cuadriláteros que armaron? ¿Cómo calcularon las medidas? a. y b. Solución a cargo del alumno. c. No son posibles las construcciones del rectángulo y del cuadrado, ya que no es posible formar un ángulo recto con los triángulos isósceles dados. Nombre:
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a. ¿Quiénes resolvieron correctamente el problema? b. ¿Qué propiedades usaron? c. ¿Qué propiedad pueden usar para verificar si las medidas que calcularon son correctas? a. Mariano y Georgina. b. Solución a cargo del alumno. c. Suma de ángulos exteriores.
22. Piensen y respondan.
a. ¿Todo cuadrado es rombo? ¿Todo cuadrado es rectángulo? ¿Por qué? b. ¿Todo paralelogramo es rectángulo? a. Sí. Sí. b. No. 113 Curso:
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23. Hallen la medida de los ángulos indicados.
dan. a. Un triángulo rectángulo en el que los lados que forman el ángulo recto midan 4 cm y 5 cm. b. Un triángulo isósceles, cuyo ángulo desigual mida 35° y sus lados midan 3 cm y 5 cm. c. Un cuadrado cuyo lado mida 3,5 cm. d. Un rombo que tenga un ángulo de 50° y una de sus diagonales mida 3 cm. e. Un trapecio isósceles, cuyas bases midan 3 cm y 6 cm y dos de sus ángulos midan 60°. f. Un paralelogramo que tenga un lado de 7 cm y los ángulos adyacentes a él midan 50° y 130°. g. Un rectángulo cuyas diagonales midan 8 cm y formen entre sí un ángulo de 45°. h. Las figuras que construyeron, ¿son únicas? ¿Por qué? a. Sí, b. Sí, c. Sí, d. No, e. Sí, f. No, g. No.
a. Datos: abcd cuadrado; abe equilátero d
c e
α
β
a
^ α =
30°
b
^ β =
30°
b. Datos: fghi trapecio rectángulo ^ g = x – 32° ^ h = 3x – 12° i
h
f
^ = g
25. Calculen los lados y los ángulos interiores de los siguientes cuadriláteros, sin medir. a. abcd paralelogramo
g
24°
^ = h
24. Construyan las siguientes figuras y respon-
156°
c. Datos: paralelogramo; jkn rectángulo _jklm _› ^ φ = 29° jn bisectriz del ^ j ^ ^ m = 122° μ = 61° m
n
4 cm l
a
b
c = 75°; ^ d = ^ b = 105° ad = 4 cm; ab = 6 cm; ^
^ φ =
29°
h
μ
φ
7,2 cm
k
^ μ =
d. Datos: opqr rombo ^ r = 80°
c
750
b. efgh rombo j
6 cm
d
61°
650
e
g
r
f
^ ^ g = 65°; f = h = 115° ef = fg = he = 7,2 cm; ^
26. Calculen el valor de x. θ
o
q
abcd trapezoide c d
π
3x 70
0
1300
p
^ π =
40°
^ θ =
50°
x = 32°
a
2x b
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Círculo y circunferencia. Elementos y propiedades
infoactiva Se denomina lugar geométrico al conjunto de puntos que cumplen con una condición. Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que se encuentran a igual distancia de otro llamado centro. Los siguientes son los elementos de la circunferencia. b o a rc El radio es la distancia de cualquier punto de la circuna cuerda ferencia al centro. c Una cuerda es un segmento que une dos puntos de una io rad circunferencia. α La cuerda de mayor longitud es la que pasa por el cen0 tro. Se llama diámetro y equivale a dos radios. di centro ám Un arco es la parte de la circunferencia determinada por et ro cu dos puntos de la misma. Por ejemplo abc es un arco de la er da circunferencia (el punto del medio se utiliza para identificar de qué lado de la circunferencia está el arco). Se denomina ángulo central al que tiene como vértice el centro de la circunferencia. círculo ^ es un ángulo central. α r
La circunferencia y todos los puntos del plano interiores a ella determinan el círculo.
circunferencia
Posiciones relativas de dos circunferencias
Dos circunferencias son tangentes, si tienen un único punto en común.
Dos circunferencias son secantes, si tienen dos puntos en común.
Dos circunferencias son concéntricas, si tienen el centro en común.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. El radio, ¿es una cuerda? b. ¿El diámetro es la cuerda más larga? c. La circunferencia, ¿forma parte del círculo? a. No, porque las cuerdas unen dos puntos de la circunferencia y el radio une el centro con un punto de la circunferencia. b. Sí. c. Sí. 115 Nombre:
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ACTIVIDADES Círculo y circunferencia. Elementos y propiedades
27. Realicen los pasos y respondan. Elementos: hoja, lápiz, gancho mariposa e hilo. Pasos: 1. Marquen un punto en el centro de la hoja. 2. Aten un extremo del hilo al gancho mariposa y claven el gancho en el punto que marcaron. 3. Aten el otro extremo del hilo al lápiz. 4. Extiendan el hilo y tracen la figura que se forma. a. ¿Qué figura geométrica se formó? ¿Qué representa el gancho mariposa en la figura? ¿Y el hilo? Una circunferencia. El centro. El radio.
b. Si se mantiene el centro, pero se modifica el largo del hilo, ¿cómo es la circunferencia que se obtiene? Se forma una circunferencia con el mismo centro, pero de radio distinto.
c. Si se mantiene el largo del hilo, pero se modifica el centro, ¿cómo es la circunferencia que se obtiene? Se forma una circunferencia del mismo radio, pero con el centro corrido.
d. ¿Cómo son las circunferencias del ítem b? ¿Y las del ítem c? ¿Por qué? Las del ítem b. son concéntricas, ya que comparten su centro. Las del ítem c. son iguales, pero no concéntricas.
28. Unan con flechas las respuestas correctas. a. La cuerda más larga de una circunferencia es... b. El arco es una parte de... c. Una cuerda divide al círculo en dos... d. La distancia del centro a la circunferencia es... e. El diámetro es el doble del... f. Los radios unen un punto de la circunferencia con... g. Si se unen dos semicircunferencias se forma... h. El interior de la circunferencia es...
… radio. … el diámetro. … el círculo. … la circunferencia. … el radio. … arcos. … el centro. … la circunferencia.
29. Marquen en la circunferencia los elementos que se indican. a. El radio y el diámetro. ¿Cuánto miden? b. Un ángulo central de 60°. c. Un ángulo central de 210°. d. Una cuerda de 2 cm y marquen con distinto color los arcos que corresponden a la cuerda. Solución a cargo del alumno.
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Construcción de circunferencias
infoactiva Se pueden construir circunferencias a partir de diferentes datos sin utilizar una regla graduada. • Dado el radio: se toma la medida del radio con el compás, se pincha en el centro y se traza la circunferencia. • Dado el diámetro: se encuentran el centro y el radio trazando la mediatriz del diámetro y luego se dibuja la circunferencia con el método anterior. Pueden repasar cómo se traza una mediatriz en la página 95.
• Dada una cuerda, se pueden seguir estos pasos. a
b
a
o
b radio
o
Mz (mediatriz de ab)
1. Se traza la mediatriz de la cuerda y sobre ella se marca un punto o cualquiera (excepto el que pertenece a la cuerda) porque todos los puntos de la mediatriz equidistan de sus extremos.
Mz (mediatriz de ab)
2. Se traza la circunferencia de centro o que pasa por los extremos de la cuerda. En este caso, se pueden trazar infinitas circunferencias según el centro elegido.
• Dado un arco de circunferencia, se pueden seguir estos pasos. b
b
c
a
o
o
1. Se marcan tres puntos sobre el arco y se trazan las dos cuerdas que los unen. Se traza la mediatriz de cada una. El punto de intersección de las mediatrices (o) es el centro de la circunferencia.
c
a
2. Se pincha el compás en o y se traza la circunferencia que pasa por los puntos marcados sobre el arco.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si se conoce el diámetro de una circunferencia, ¿se puede construir una única circunferencia? b. A partir de una cuerda, ¿se puede construir una única circunferencia? c. Si se conocen dos cuerdas consecutivas, ¿es posible construir la circunferencia? a. Sí. b. No, a partir de una cuerda se pueden construir infinitas circunferencias. c. Sí, porque conocer dos cuerdas consecutivas es lo mismo que conocer un arco de la circunferencia.
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ACTIVIDADES Construcción de circunferencias
30. Construyan en cada caso una circunferencia que __ cumpla con las condiciones dadas. ___ a. oa radio.
c. fg cuerda. Hay infinitas posibilidades.
g a radio f
o
o
Mz
(
___ b. mn diámetro.
d. rst arco
Mz
Mz
t
s m
radio
Mz r
n
31. Construyan una circunferencia que pase por los vértices de las siguientes figuras. Expliquen cómo lo pensaron. a.
b.
d
c
g
radio o o e a
f
b
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Polígonos
infoactiva Se llama polígono a toda figura que tiene tres o más lados. Clasificación según sus ángulos: Convexo: cuando todos sus ángulos interiores son menores que 180º. Cóncavo: cuando alguno de sus ángulos interiores es mayor que 180º. Elementos del polígono: • Diagonal: es el segmento que tiene por extremos un vértice a otro no adyacente a él. • Apotema (Ap): es el segmento perpendicular al lado del polígono cuyos extremos son el punto medio del lado y el centro del polígono. • Ángulo central: es el ángulo cuyo vértice es el centro del polígono.
Clasificación según sus lados: Regular: cuando todos sus lados y sus ángulos son iguales. Irregular: cuando uno de sus lados o de sus ángulos es distinto a los demás.
e
d
apotema diagonal f
c
α
a
ángulo central
b
La suma de los ángulos interiores de un polígono es: 180º . (n – 2), donde n es la cantidad de lados.
En un hexágono (n = 6) la suma de los ángulos interiores es 180º . (6 – 2) = 720º. Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es 540º, ¿cuántos lados tiene? 180º . (n – 2) = 540º n – 2 = 540º : 180º n=3+2 n = 5 Entonces, el polígono es un pentágono.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Un polígono irregular, ¿puede tener tres lados iguales? b. Un polígono convexo, ¿puede tener una diagonal que no pase por su interior? c. ¿Qué triángulo y qué cuadrilátero son polígonos regulares? d. El ángulo central de un polígono regular, ¿puede medir 80°? a. Sí. b. No. c. El triángulo equilátero y el cuadrado. d. No. 119 Nombre:
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ACTIVIDADES Polígonos
32. Midan los ángulos de los siguientes polígonos y respondan.
FIGURA A
FIGURA B
a. Clasifiquen los polígonos según sus lados y según sus ángulos. El “A” es convexo regular, el “B” es cóncavo irregular.
b. Calculen la suma de ángulos interiores de cada uno de los polígonos. ¿Cómo son los resultados? En ambos casos la suma es la misma, 900°.
c. Tracen las diagonales desde uno de los vértices en cada uno de los polígonos. ¿Cuántos triángulos se forman? ¿Se puede relacionar la cantidad de triángulos que quedan formados con la suma de los ángulos interiores? Se forman 5 triángulos. Sí, la suma de ángulos interiores de cada triángulo por la cantidad de triángulos es igual a la suma de ángulos interiores del polígono.
33. Calculen la amplitud de los siguientes ángulos. a. Datos: ^ a = 8x + ^ b = 7x + ^ c = 153° ^ d = 8x – ^ e = 6x – ^ f = 3x +
p
c. Datos: e ^ = 53° – x 12° m ^ d 35° n = 10x + 30° f ^ – x o = x + 4° 13° ^ p = 3x 1° a c 38°
^ ^ ^ ^ a + b + ^ c + d + ^ e + f = 720°
b
n
m
m n + ^ o + ^ p = 360° ^ + ^
^ ^ ^ a = 140°; b = 147°; ^ c = 137°; d = 112°; ^ ^ e = 95°; f = 86°
^ = 32°; ^ m n = 231°; ^ o = 25°; ^ p = 63°
b. Datos: d. Datos: ^r = 4x – 70° ^ g = 4x – 10° u j l ^ h = 5x – 64° ^ s = 2x + 15° ^i = 3x + 16° ^t = 90° k ^ j = 2x – 4° ^ u = 3x – 25° v i ^ ^ v = x + 20° k = 8x + 1° ^l = x – 1° g ^ ^ ^ ^ ^ ^ g + h + i + j + k + l = 720°
h
^ r + ^ s + ^t + ^ u + ^ v = 540°
^ ^ ^ ^ g = 126°; h = 106°; i = 118°; j = 64°; ^ ^ k = 273°; l = 33°
o
t
s
r
^ r = 134°; ^ s = 117°; ^ u = 128°; ^ v = 71°
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Construcción de polígonos regulares
infoactiva Para construir un pentágono regular con compás, regla y transportador, pueden seguir estos pasos. b c
720 720
720
a
720 720
1. Se dibuja una circunferencia y un radio. Se calcula el valor del ángulo central del polígono haciendo 360° : 5 = 72°.
d
2. A partir del radio de la circunferencia y tomando como vértice el centro, se dibujan cinco ángulos consecutivos de 72°.
e
3. Los puntos en donde se cortan los lados de los ángulos con la circunferencia son los vértices del pentágono.
Se puede construir un polígono regular a partir de un triángulo isósceles. Para ello, la medida del ángulo desigual del triángulo debe ser divisor de 360°. Por ejemplo, dado un triángulo isósceles con el ángulo desigual de 45°, se puede realizar la siguiente construcción.
450
1. Se traza la circunferencia tomando como centro el vértice del ángulo desigual y como radio uno de los lados iguales.
450
450
2. Se toma con el compás la medida del lado desigual del triángulo y se marca sucesivamente en la circunferencia comenzando en uno de los vértices del triángulo que intersecan a la circunferencia.
3. Se determinan los segmentos que son lados del polígono regular. El polígono obtenido en este caso es un octógono.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es correcto decir que el ángulo central de un eneágono regular mide 40°? ¿Qué cálculo se debe realizar? b. Si se conoce el ángulo central de un polígono regular, ¿se puede averiguar la cantidad de lados que tiene? ¿Cómo? c. Si se unen el centro de un pentágono regular con cada uno de los vértices, ¿en cuántos triángulos isósceles se lo puede dividir? d. A partir de un triángulo escaleno, ¿se puede construir un polígono regular? a. Sí. 360° : 9. b. Sí. Se realiza la división entre un giro y la amplitud del ángulo. c. En 5 triángulos. d. No, solo se pueden construir polígonos regulares a partir de triángulos isósceles.
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ACTIVIDADES Construcción de polígonos regulares
34. Completen sabiendo que los polígonos son regulares. Polígono
Cantidad de lados
Suma de ángulos interiores
Ángulo interior
Ángulo central
Decágono
10
1 440
144
36
Octógono
8
1 080
135
45
Pentágono
5
540
108
72
Hexágono
6
720
120
60
Dodecágono
12
1 800
150
30
35. Construyan los siguientes polígonos regulares. a. Cuadrado.
c. Eneágono.
40o
b. Hexágono.
d. Decágono.
36o 60o
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ACTIVIDADES Construcción de polígonos regulares
36. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas. a. El ángulo central de un polígono regular de 20 lados mide 18°.
V
b. Para construir un triángulo equilátero se debe trazar un ángulo central que mida 60°. V
c. A partir de un triángulo equilátero se puede construir un polígono regular.
V
d. Para calcular el ángulo central de un polígono de 15 lados se resuelve 360° : 15. e. Los lados de un polígono regular son cuerdas de una circunferencia.
F
V
f. Para construir un polígono regular se debe conocer la medida de un ángulo interior.
F
37. Ubiquen el centro, el radio, la apotema y la circunferencia que pasa por los vértices de cada polígono. Expliquen cómo lo pensaron. a. b.
c. Ap
Ap 0
Radio
0
0
Ap
Radio Radio
38. Construyan un octógono y un dodecágono con regla y transportador. Expliquen cómo lo pensaron.
Solución a cargo del alumno.
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ACTIVIDADES Construcción de polígonos regulares
39. Construyan un polígono a partir de los siguientes triángulos, cuando sea posible. Luego escriban el nombre del polígono construido. a. Hexágono regular.
b.
Cuadrado.
c.
No se puede construir el polígono.
d.
Eneágono regular.
mente activa Mariano fue a una granja y vio cómo las abejas construían su panal. Se dio cuenta de que cada una de las celdas tenía forma de hexágono, y que cada celda compartía sus lados con la celda vecina, sin dejar espacios vacíos. a. ¿Es posible construir un panal con otras figuras geométricas que no sean hexágonos? Si fuera posible, ¿qué polígonos usarían? b. Diseñen en sus carpetas, dos posibles panales teniendo en cuenta las siguientes opciones: • Usando un polígono regular de más de seis lados. • Usando dos polígonos regulares distintos. a. Cuadrados y triángulos equiláteros. b. No se puede. Por ejemplo, hexágonos y triángulos equiláteros.
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6 capítulo
Integración 40. Resuelvan. Eugenia compró un nuevo compás y para probarlo realizó las siguientes figuras. FIGURA A
Contenidos
32.33.34.35
42. Copien las siguientes figuras en sus carpetas y luego, tracen la circunferencia que pasa por los vértices de cada una de ellas. Expliquen cómo lo pensaron. M a. d
c
P
N o a
FIGURA B
b M, N y P mediatrices
b. N f L
M
o
e L, M y N mediatrices
d
43. Resuelvan. a. Según su posición, ¿cómo se clasifican las circunferencias de cada figura? b. Copien las figuras en sus carpetas. Expliquen cómo lo realizaron. c. Los puntos de la figura B, ¿están alineados?
a. Solución a cargo del alumno. c. Alineados.
41. Construyan teniendo en cuenta las indicaciones dadas en cada caso. a. Una circunferencia cuyo radio mida 2 cm. b. Marquen los puntos b y c. Luego, tracen una circunferencia con centro en c de modo que b sea un punto interior. c. Marquen los puntos d y e. Luego, tracen una circunferencia con centro en e y que pase por d. d. Marquen los puntos f y g. Luego tracen una circunferencia que contenga a f y no a g. e. Tracen el hi y luego una circunferencia que tenga al segmento como cuerda. f. Tracen el jk y una circunferencia, de modo que el segmento sea su mayor cuerda. Solución a cargo del alumno.
a. ¿Qué elementos del cuadrado permiten trazar una circunferencia que pase por sus vértices? b. ¿Es posible trazar una circunferencia que pase por todos los vértices de un trapecio rectángulo? ¿Por qué? a. Mediatrices o diagonales. b. No.
44. Construyan los polígonos. a. Un pentágono regular cuyas diagonales midan 5 cm. b. Una circunferencia a partir de una cuerda de 3,5 cm. c. Un hexágono regular a partir de un triángulo equilátero de 3 cm. Solución a cargo del alumno.
45. Construyan los siguientes polígonos teniendo en cuenta los datos. a. Es regular, el ángulo central mide 60° y es convexo. b. Es regular, tiene en total cinco diagonales y la suma de sus ángulos interiores es de 540°. c. Comparen los gráficos con sus compañeros. ¿La solución es única? ¿Por qué? Solución a cargo del alumno. 125
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46. Construyan y luego, respondan.
48. Observen los polígonos y respondan.
• Triángulo equilátero. • Cuadrado. • Pentágono regular. • Hexágono regular. a. Tracen todas las diagonales que tienen cada uno de los polígonos construidos y completen la tabla. Polígono regular
0
Cuadrado
2
Pentágono
5
Hexágono
9
b. ¿Cuántas diagonales tiene un heptágono? ¿Y un octógono? Expliquen cómo lo pensaron. 14. 20
47. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen las respuestas. a. Una cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. V b. En un polígono regular, los lados y los ángulos son iguales. c. El ángulo central de un octógono regular V
mide 45°. V d. La suma de los ángulos interiores de un F
polígono es 412°. e. El círculo es el contorno de la circunferenF
f. El radio es el doble del diámetro.
F
g. Un rectángulo es un polígono regular. F h. El ángulo central de un triángulo equilátero mide 120°. V i. Un pentágono puede dividirse en cuatro triángulos al trazar las diagonales desde uno de sus vértices. F j. El decágono es un polígono que tiene doce lados. F k. Para calcular el ángulo interior de un polígono regular, se debe dividir 360° por la cantidad de lados.
F
D
B
E
C
F
Cantidad de diagonales
Triángulo
cia.
A
a. Clasifiquen los polígonos en cóncavos y convexos. b. ¿Cuántas diagonales tiene cada polígono? c. Si dos polígonos tienen la misma cantidad de lados, ¿tienen la misma cantidad de diagonales? a. y b. Solución a cargo del alumno. c. Sí.
49. Completen con “siempre”, “a veces” o “nunca”. siempre a. Un cuadrado es rectángulo. b. Los pentágonos, hexágonos y octógonos, a veces
c. Un rectángulo es un cuadrado.
son regulares. a veces
nunca d. es posible que un polígono regular sea cóncavo.
50. Lean atentamente y averigüen de qué polígono regular se trata en cada caso. Luego, calculen la medida del ángulo central. a. Desde uno de sus vértices se pueden trazar solo 12 diagonales. b. La suma de sus ángulos interiores es 900°. c. Es un polígono que no tiene diagonales. d. Es un polígono que tiene el doble de lados que el polígono que tiene un ángulo central de 72°. e. Su ángulo central mide el doble de 20°. a. Polígono de 15 lados. 24° b. Heptágono. 51,42° c. Triángulo. 120° d. Decágono. 36° e. Eneágono. 40°
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6 capítulo
Autoevaluación 51. Construyan las siguientes figuras.
a. Un triángulo isósceles cuyos lados iguales c. Un rombo cuya diagonal mayor mida 5 cm, midan 4,5 cm y el ángulo entre ellos mida 50°. su diagonal menor mida 3 cm y uno de sus lados mida 4 cm.
50o
b. Una circunferencia a partir de la cuerda mn. d. Un polígono regular a partir del siguiente triángulo isósceles.
Mz m
n
52. Calculen los ángulos interiores. a. Datos: b. Datos: c. Datos: ^ ^ ^ a = 12x – 14° m = 3x r = 8x + 2° ^ c = 9x + 15° ^ n = 5x – 16° ^ s = 6x ^ ^ ^ β = 7x + 99° o = x t = 22x – 14° ^ u = 3x – 6° p
v
c m β a
b
^ ^ a = 70°; b = 32°; ^ c = 78°
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u
o
t r
n
^ = 84°; ^ m n = 124°; ^ o = 28°; ^ p = 124°
s
^ r = 98°; ^ s = 72°; ^ t = 250°; ^ u = 30°
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capítulo
7
Perímetro, área y volumen Contenidos 36. Perímetro y área de figuras planas. 37. Área lateral y total de prismas, pirámides y cilindros. 38. Unidades de capacidad y unidades de volumen. 39. Volumen del prisma, de la pirámide, del cilindro y del cono.
Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la imagen y respondan. a. Las siguientes son algunas de las preguntas que realizó un interesado por uno de los departamentos con las respuestas que recibió. • Si quisiera colocar una guarda en las paredes, ¿cuántos metros necesitaré? 24 m • ¿El largo y el ancho coinciden? No. • Si quisiera ubicar un mueble de 5 m de largo, ¿puedo hacerlo sobre cualquiera de las paredes? No. ¿Sobre qué departamento realizó la consulta? ¿Cuáles son sus dimensiones? b. Si hubiese preguntado por el otro departamento, ¿cuáles serían las respuestas? 128
a. Sobre el monoambiente de 32 m2. Las dimensiones son: 8 m de largo y 4 m de ancho. b. Por ejemplo, si el monoambiente es de 6x6 las respuestas serán 24 m, Sí, No, Sí; si es de 4x9, serían 26 m, No, Sí, No.
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Perímetro y área de figuras planas
infoactiva Medir una longitud significa compararla con otra considerada como unidad de medida. : 10
km kilómetro
: 10
hm hectómetro . 10
: 10
dam decámetro
. 10
: 10
m metro
. 10
: 10
dm decímetro . 10
: 10
cm centímetro . 10
mm milímetro
. 10
Perímetro y área El perímetro de una figura es igual a la suma de las medidas de todos sus lados. Para calcular el perímetro, todos los lados deben estar expresados en la misma unidad de medida. Se llama área a la cantidad de veces que entra en una superficie la unidad de medida elegida.
Un cuadrado de 1 metro de lado tiene un área igual a 1 m2. Figura
Fórmula del perímetro
Fórmula del área
Triángulo
l1 + l2 + l 3
Trapecio
B + b + l1 + l2
Romboide
2 . l1+ 2 . l2
. d _____ D 2
Rombo
4.l
. d _____ D 2
Paralelogramo
2 . l1+ 2 . l2
b.h
Rectángulo
2 . l1+ 2 . l2
b.h
Cuadrado
4.l
l2
Polígono regular
n.l
Círculo
2.π.r
h _____ b . 2 (B + b) . h __________ 2
perímetro . apotema __________________ 2
π . r2
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cómo se calcula el perímetro de un triángulo equilátero con una multiplicación? b. Si se divide un rombo por sus dos diagonales, ¿se obtienen cuatro triángulos de igual área? ¿Y si es un romboide? c. ¿Se puede calcular el área de un cuadrado teniendo como dato el perímetro? d. ¿Qué figuras tienen la misma fórmula del perímetro? ¿Y el área? a. 3 . l. b. Sí. No. c. Sí, porque ambas fórmulas dependen de la medida del lado. d. Perímetro: cuadrado y rombo; rectángulo, paralelogramo y romboide. Área: paralelogramo y rectángulo, rombo y romboide.
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ACTIVIDADES Perímetro y área de figuras planas
1. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. En caso de que sea F, escriban la respuesta correcta. a. 45 hm = 45 000 m
F
d. 7,2 dam = 0,72 hm
4 500 m
V
b. 0,054 m = 5,4 cm
V
e. 0,721 hm = 7 210 cm V
c. 3,18 dm = 0,00318 km
F f. 32 cm = 0,0032 dam
0,000318 km
F
0,032 dam
2. Calculen y escriban el resultado en cm. a. El perímetro de un rombo de 30 mm de lado. 12 cm
b. El perímetro de un rectángulo si uno de sus lados mide 0,2 dm y el otro mide el doble. 12 cm
c. La longitud de cada lado de un triángulo equilátero, si su perímetro es 0,15 m. 5 cm
d. El perímetro de un cuadrado de 0,6 dm de lado. 24 cm
e. Los lados de un romboide sabiendo que su perímetro es de 32 cm y el lado mayor es el triple del menor. 4 cm y 12 cm
3. Calculen el perímetro de las siguientes figuras. Escriban el resultado en cm. a.
c. 12 cm
8 cm 20 mm 0,32 dm
0,5 dm
0,000021 km
15,3 cm
b.
42 cm
d.
0,15 m
80 mm 2 cm 40 mm 1,2 dm
22,28 cm
41,42 cm
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ACTIVIDADES Perímetro y área de figuras planas
4. Completen según corresponda. a. 3,2 m2 = b. 0,005 hm2 =
0,032
dam2
5 000
c. 3 cm2 =
dm2
0,03
dm2
d. 0,0042 hm2 + 0,5 dam2 =
92
m2
5. Indiquen cuántos cuadrados de área tienen las siguientes figuras. a. 11
b. 10
c. 23
6. Rodeen con color la respuesta correcta. a. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado de 9 cm2 de área? 1,2 dm
36 cm
12 cm2
b. Si en un rectángulo, la medida de la base y de la altura son números consecutivos y su perímetro es 18 cm, ¿cuál es su área? 81 cm2
20 cm2
90 cm2
c. ¿Cuál es el perímetro de un círculo cuya área es 7,065 dm2? 7,065 dm
9,42 dm
14,7 m
d. Si la base y la altura de un paralelogramo son iguales a las de un triángulo de área 15 cm2, ¿cuál es su área? 30 cm2
7,5 cm2
ninguna de las anteriores
7. Calculen. a. La base de un rectángulo de perímetro 30 cm y altura 6 cm. 9 cm
b. La base de un triángulo de área 12 cm2 y altura 3 cm. 8 cm
c. El radio de un círculo de perímetro 12,56 cm. 2 cm
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ACTIVIDADES Perímetro y área de figuras planas
8. Calculen el área y el perímetro de las siguientes figuras. a.
b. 8 cm 2,82 cm 4 cm
2 cm
6 dm
6 cm
Perímetro = Área =
21,64 cm
20 cm2
Perímetro =
Área =
27,42 dm
50,13 dm2
9. Calculen el área sombreada de las siguientes figuras. a.
c. 8 cm
6 cm
5 cm 1 cm
Área sombreada =
7,74 cm2
Área sombreada =
b.
d.
2 cm 5 cm
1,7 cm
37,5 cm2
4 cm 1 cm 5 cm
Área sombreada =
14,2 cm2
Área sombreada =
9 cm2
10. Lean atentamente y resuelvan. a. El área de un pentágono es de 7,5 dm2. Si la apotema mide 30 mm, ¿cuánto mide el lado? 10 dm
b. Si al área de un rectángulo de 15 cm de base, se le resta el área de un pentágono de 80 cm2 se obtiene 55 cm2. ¿Cuánto mide la altura del rectángulo? 9 cm
mente activa De una masa rectangular de 30 cm de largo y 20 cm de ancho se cortan círculos de 5 cm de radio para preparar empanadas, de modo que se aproveche la mayor cantidad de masa posible. a. ¿Cuántas tapas de empanadas saldrán? ¿Cuántos cm2 de masa sobran? b. ¿Se pueden cortar más tapas con la masa que sobra? ¿Cómo? a. 6 empanadas. Sobran 129 cm2. b. Sí, una más. Amasándola y estirándola de nuevo.
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Área lateral y total de prismas, pirámides y cilindros
infoactiva El área lateral de un poliedro es la suma de las áreas de todas las caras laterales. El área total de un poliedro es la suma de las áreas de todas sus caras.
h (altura)
Área del prisma Área lateral = perímetro de la base . altura Área total = área lateral + 2 . área de la base
perímetro de la base
perímetro de la base . altura de la cara lateral
h (altura)
Área de la pirámide ________________________________________ Área lateral = 2 Área total = área lateral + área de la base b
(base)
Área del cilindro Para calcular el área lateral de un cilindro, se debe calcular el área del rectángulo que forma su parte lateral. r La base del rectángulo coincide con la longitud de la circunferencia de la base del cilindro.
h (altura)
Área lateral = área del rectángulo = b . h = 2 . π . r . h Área total = área lateral + 2 . π . r2
r
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si un prisma de base triangular y un prisma de base cuadrada tienen la misma altura, ¿el área total es la misma? b. La diferencia entre el área total de una pirámide y su área lateral, ¿es el área de la base? c. Si se conoce el área total de un cilindro, ¿se puede calcular el área de la base? d. Para empapelar la columna de una habitación, ¿se debe calcular su área total? a. No, depende de las dimensiones de la base. b. Sí. c. No, se necesita la altura. d. No, se debe calcular el área lateral porque las bases no se podrían cubrir. 133 Nombre:
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ACTIVIDADES Área lateral y total de prismas, pirámides y cilindros
11. Unan con flechas los nombres de los cuerpos con sus correspondientes áreas laterales y totales. Cuerpo
Área lateral
Área total
Prisma de base triangular regular
• l2 . 4
• Área lateral + 2 . π . r2
Cilindro
• b . h . 3
.h . • Área lateral + b_____ 2 2
Cubo
.h . • b_____ 7 2
• Área lateral + l2 . 2
Pirámide de base rectangular
• 2 . π . r . h b1 . h1 b2 . h 2 • ______ . 2 + ______ . 2 2 2
• Área lateral + Per . Ap : 2
Pirámide de base heptagonal regular
• Área lateral + b . h . 2
12. Calculen el área lateral y el área total de los siguientes cuerpos. Pueden ayudarse realizando una figura de análisis de los desarrollos correspondientes. a. Prisma de base cuadrada.
c. Cilindro.
2 cm
5 cm
10 cm 4 cm
Área lateral: 80 cm2
Área lateral: 62,8 cm2
Área total: 88 cm
Área total: 87,92 cm2
2
b. Pirámide de base cuadrada.
d. Pirámide truncada de base cuadrada. 2 cm
3 cm
5 cm 4 cm
3 cm
Área lateral: 30 cm2
Área lateral: 36 cm2
Área total: 39 cm2
Área total: 56 cm2
13. Resuelvan. Sofía quiere cubrir cinco macetas con forma de prisma de base rectangular de 0,5 m de largo, 2 dm de ancho y 300 mm de alto, con venecitas cuadradas de 3 cm de lado. Si solo debe cubrir los laterales, ¿cuántas venecitas necesita? 50 cm . 30 cm . 2 + 20 cm . 30 cm . 2 = 4 200 cm2 4 200 cm2 : 9 cm2 = 466,7. Necesita 467 venecitas.
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ACTIVIDADES Área lateral y total de prismas, pirámides y cilindros
14. Calculen el área lateral y el área total. Escriban el nombre del cuerpo al que pertenece cada desarrollo. a.
c.
2 cm 8 cm 5 cm
4 cm 7 cm
Área lateral:
60 cm2
Área lateral:
112 cm2 161 cm2
Área total:
76 cm2
Área total:
Nombre:
Prisma de base rectangular.
Nombre:
b.
Pirámide de base cuadrada.
d. 3 cm 2 cm
10 cm
6 cm
3 cm
Área lateral:
188,4 cm2
2 Área lateral: 96 cm
Área total:
244,9 cm2
Área total:
144 cm2
Nombre:
Prisma de base octogonal.
Nombre:
Cilindro.
15. Lean atentamente y calculen. Escriban el resultado en dm2. a. El área lateral de un prisma de base rectangular, si las medidas de su base (en dm) son dos números impares y múltiplos de 3 comprendidos entre 8 y 18 y su altura es 10 cm. 4,8 dm2
b. El área total de un cilindro si el radio y la altura son dos números consecutivos, cuya suma es 15 cm. 6,59 dm2
c. El área lateral de una pirámide de base cuadrada si la altura de sus caras es la mitad de la medida del lado de la base, sabiendo que el área de la base es 16 cm2. 0,16 dm2
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ACTIVIDADES Área lateral y total de prismas, pirámides y cilindros
16. Calculen el valor de la incógnita. a. Datos: Área total = 62 cm2
b. Datos: Todas las aristas miden lo mismo. Área total = 2 200 mm2 x
x
3 cm 5 cm
62 cm2 = 2 . 5 cm . 3 cm + 2 . (3 cm . x + 5 cm . x)
2 200 mm2 = 22 . x2
2 cm
x=
x=
10 mm
17. Resuelvan. Una empresa fabrica dos tipos de carpas. ¿Cuántos m2 de lona se necesita para cada una de ellas? a. b. 5,2 m 1m 3m 10 m 10 m
3m
15 m
286 m2
15 m
464 m2
18. Respondan. Pedro quiere pintar el tanque de agua de su casa, de forma cilíndrica, de 2 m de diámetro y 3 m de alto. a. Si la pintura rinde 1 m2 por cada medio litro, ¿cuántos litros serán necesarios? 12,56 l
b. Si el balde de 5 l cuesta $80, ¿cuántos baldes deberá comprar? ¿Cuánto gastará en total? Deberá comprar 3 baldes. Gastará $240.
19. Resuelvan. a. Agustín quiere cubrir las paredes de su cochera de 3 m de largo, 2 m de ancho y 2,5 m de alto con listones de madera de 1 m por 5 cm. ¿Cuántos listones necesitará? 23 m + 2,5 m + 2,5 m . 2 m = 20 m2; 20 m : 0,05 m2 = 400 Necesitará 400 listones.
b. Cada cara de un cubo mágico se compone de 9 cuadrados de 20 mm de lado. Si se quieren construir sus caras en acrílico, ¿cuántos cm2 serán necesarios? 2 cm . 2 cm . 9 . 6 = 216 cm2
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Unidades de capacidad y unidades de volumen
infoactiva Se llama volumen al lugar que ocupa un cuerpo en el espacio y capacidad a aquello que puede contener.
Unidades de volumen Un metro cúbico es el volumen que ocupa un cubo de un metro de arista. Un decímetro cúbico es el volumen que ocupa un cubo de un decímetro de arista. Para armar 1 m3 son necesarios 1 000 dm3. Para pasar de una unidad de volumen a otra que sea su inmediata inferior, se debe multiplicar por 1 000 y para pasar a su inmediata superior, se debe dividir por 1 000. Se lee...
Se simboliza...
Equivale a...
Múltiplos
kilómetro cúbico hectómetro cúbico decámetro cúbico
km3 hm3 dam3
1 000 000 000 m3 1 000 000 m3 1 000 m3
Unidad
metro cúbico
m3
1 m3
Submúltiplos
decímetro cúbico centímetro cúbico milímetro cúbico
dm3 cm3 mm3
0,001 m3 0,000001 m3 0,000000001 m3
Unidades de capacidad La capacidad de un cuerpo se mide en litros. . 10
kl kilolitro
. 10
hl hectolitro : 10
. 10
dal decalitro : 10
. 10
l litro : 10
. 10
. 10
dl decilitro : 10
cl centilitro : 10
ml mililitro : 10
La siguiente tabla muestra las equivalencias entre las unidades de volumen y las de capacidad. Volumen
1 m3
1 dm3
1 cm3
Capacidad
1 kl
1l
1 ml
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Para pasar de cm3 a m3, ¿qué cálculo se debe realizar? ¿Y a mm3? b. ¿Es cierto que 1 kl equivale a 100 litros? c. Para llenar un tanque, ¿es lo mismo saber el volumen que la capacidad? a. Se debe dividir por 1 000 000. Para pasar a mm3 se debe multiplicar por 1 000. b. No, equivale a 1 000 litros. c. Sí, porque son equivalentes.
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ACTIVIDADES Unidades de capacidad y unidades de volumen
20. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. En caso de que sea F, corrijan el error. a. 2 m3 = 200 cm3
F
b. 0,000034 hm3 = 34 m
d. 0,540 dm3 – 40 cm3 = 0,5 dm3 V
c. 4 200 m2 . 0,5 hm = 2 100 dam3
e. 0,06 dam3 + 55 cm3 = 0,01 dam3 F
V F
f. 3 cm2 . 1,2 cm + 0,004 dm3 = 3,64 cm3
F
a. 2 000 000 cm3. c. 2 250 dam3. e. 60,55 m3. f. 7,6 cm3.
21. Completen las siguientes equivalencias. a. 250 cm3 =
250
b. 1 000 cm3 = c. 32 dl =
ml l
1
3 200
cm3
d. 0,00018 m3 = e. 280 dl = f. 135 kl =
cl
18
dm3
28 135 000
dm3
22. Resuelvan los siguientes problemas. a. Para su fiesta de cumpleaños Pablo compró botellas de gaseosa de 2,5 l. Si tiene 40 invitados y calculó 3 vasos de 300 cm3 por persona, ¿cuántas botellas de gaseosa compró? Compró 15 botellas de gaseosa.
b. En un supermercado ofrecen tres botellas de aceite de la misma calidad. La primera es de 750 cm3 y cuesta $15, la segunda es de 1 l y su costo es de $18 y la tercera es de 500 cm3 y cuesta $12. ¿Cuál conviene comprar? Conviene la de 1 litro.
c. Matías prepara un licuado con 500 cm3 de leche, pulpa de durazno. ¿Podrá colocar la preparación en
__41 litro de pulpa de frutillas y 200 ml de una jarra de un litro? ¿Por qué?
Sí, porque en total son 950 cm3 de preparación. 2 3 d. Ana prepara un perfume para sus dos mejores amigas mezclando ___ 25 l de alcohol, 120 cm de esencia de jazmines y 5 cl de agua. Si los frascos que consiguió tienen una capacidad de 80 ml, ¿cuántos frascos puede llenar? ¿Le sobra perfume?
Puede llenar tres frascos y le sobran 10 ml.
e. Para el mantenimiento de la piscina de un club, se le debe agregar cloro al agua semanalmente. Si la piscina tiene una capacidad de 138 kl y por cada 10 m3 de agua se debe agregar medio litro de cloro, ¿cuántos litros por semana son necesarios? Serán necesarios 6,9 l de cloro por semana.
mente activa Las equivalencias entre unidades de capacidad y de volumen pueden servir, por ejemplo, para averiguar el volumen de una piedra. Si se dispone de un vaso medidor lleno de agua, cuya capacidad es de 500 ml, y de una piedra que cabe dentro de ese vaso, ¿cómo pueden hacer para calcular el volumen de la piedra? Se puede llenar con agua el vaso, sumergir la piedra y luego, registrar la variación del volumen de agua.
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Volumen del prisma, de la pirámide, del cilindro y del cono
infoactiva Volumen del prisma y de la pirámide Volumen del prisma = área de la base . h
Volumen del cubo = a3
a: arista
altura (h)
a
a
a
base
El volumen de un prisma es tres veces mayor que el volumen de la pirámide que tiene igual base y altura. Volumen de la pirámide = __31 . área de la base . h
h
Volumen del cilindro y del cono
de la base . h _________________ Volumen del cono = área 3 . r2 . h π __________ Volumen del cono =
Volumen del cilindro = área de la base . h Volumen del cilindro = π . r2 . h
3
h
h
r
r
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. El volumen del cubo, ¿se puede calcular utilizando la fórmula del prisma de base cuadrada? b. Si un cono y un cilindro tienen la misma base y altura, ¿es cierto que el volumen del cilindro es el triple que el del cono? a. Sí, porque el cubo es un prisma cuya altura es igual a los lados de la base. b. Sí. 139 Nombre:
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ACTIVIDADES Volumen del prisma, de la pirámide, del cilindro y del cono
23. Calculen el volumen de cada cuerpo. Escriban el resultado en cm3. a.
d.
4 cm
0,15 dm
3 cm 50 mm
3 cm
18 cm . 3 cm . ____________ 4 cm = 108 cm3 2
b.
π . (5 cm)2 . 1,5 cm = 117,75 cm3
e. 0,05 m 7 cm
17 mm 0,6 cm
3 cm
__ 1 . π . (0,3 cm)2 . 7 cm = 0,6594 cm3
3
c.
15 cm . 1,7 cm . __ _____________ 1 . 5 cm = 21,25 cm3 2 3
f.
0,3 dm 6 cm 1 cm 12 mm
2 cm
14 cm . 1 cm . ___________ 6 cm = 42 cm3 2
__ 1 . π . (0,6 cm)2 . 3 cm = 1,13 cm3 3
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ACTIVIDADES Volumen del prisma, de la pirámide, del cilindro y del cono
24. Completen el siguiente cuadro correspondiente a prismas de base rectangular. Largo
Ancho
Altura
2 cm
3 cm
4 cm
5 dm
0,1 m
6 cm
5
4
m
10 mm
Volumen 24
mm
300
cm
Capacidad
cm3
15 dm3
12 mm
ml
24
l
15
36 cm3
ml
36
2m
5m
40
m3
40 kl
20 mm
30 mm
6
cm3
6
ml
25. Calculen la capacidad de los siguientes cuerpos. Expresen el resultado en litros. a.
b.
60 cm 700 mm
360 mm
4 dm
__ 1 . π . (2 dm)2 . 6 dm = 25,12 dm3 3
__ 1 . (3,6 dm)2 . 7 dm = 30,24 dm3 3
= 25,12 l
= 30,24 l
26. Resuelvan. a. Completen la siguiente tabla con el volumen correspondiente a cada cilindro. Radio
1 cm
2 cm
3 cm
1 cm
1 cm
2 cm
Altura
4 cm
4 cm
4 cm
8 cm
12 cm
3 cm
Volumen
12,56 cm3
50,24 cm3
113,04 cm3
25,12 cm3
37,68 cm3
37,68 cm3
b. Observen la tabla y completen. • Si el radio se duplica, el volumen es
4
veces mayor.
• Si el radio se triplica, el volumen es
9
veces mayor.
• Si la altura se duplica, el volumen es
2
veces mayor.
• Si la altura se triplica, el volumen es
3
veces mayor.
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ACTIVIDADES Volumen del prisma, de la pirámide, del cilindro y del cono
27. Calculen lo pedido en cada caso, teniendo en cuenta los siguientes datos. a. Prisma de base rectangular Largo = 4 cm Ancho = 3 cm La altura es igual a la mitad del largo. Volumen =
24 cm3
c. Cono Diámetro de la base = 6 cm Altura = 8,5 cm Volumen = 80,07 cm3
b. Cilindro Diámetro de la base = 6 cm Volumen = 141,3 cm3
d. Pirámide de base cuadrada Altura = 10 cm Volumen = 30 cm3
Altura =
Lado de la base =
5 cm
3 cm
28. Calculen el volumen de los siguientes cuerpos. a.
b.
2 cm
2 cm 9 cm
4 cm 5 cm 6 cm
1 = 56,52 cm3 π . (2 cm)2 . 9 . __ 2
5 cm . 4 cm . 2 cm + 2 cm . 6 cm . 5 cm = 100 cm3
29. Resuelvan las siguientes situaciones problemáticas. a. En una caja rectangular de 8 dm de largo, 60 cm de ancho y 1 m de alto se quieren colocar velas de 20 cm de diámetro y 50 cm de altura. ¿Cuántas velas se pueden colocar? ¿Qué volumen de la caja queda vacío? Se pueden colocar 30 velas y quedan 9 000 cm3 de la caja vacíos.
b. Como souvenir de su fiesta de 15 años Leila construye pirámides de vidrio que rellenará con arena de colores. Si quiere construir 90 pirámides de base cuadrada de 5 cm de lado y 4 cm de altura, ¿cuántos cm3 de arena necesitará? Necesitará 3 000 cm3 de arena.
mente activa Un cm3 de oro pesa 17,4 g, ¿cuántos kg pesa el lingote de oro? • l: 0,15 m • B: 8 cm • b: 0,65 dm • h: 400 mm 75,69 kg
b h l B
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capítulo
Integración
Contenidos
36.37.38.39
30. Calculen. a. El perímetro de un paralelogramo de área igual a 20 cm2, si la altura es 4 cm y sus otros lados miden __53 de la base. b. El perímetro de un trapecio isósceles, si el área es de 30 cm2, la altura es de 4 cm y cada uno de los lados iguales mide 6 cm. c. El área de un romboide cuyas diagonales son dos números primos que al sumarlos se obtiene 15. d. El área de un trapecio de base mayor igual 6 dm, base menor igual a __32 de la base mayor y altura igual a la diferencia entre la base mayor y menor. e. El área de un cuadrado de lado igual al diámetro de un círculo de área 3,14 m2.
32. Calculen el área lateral y total de cada uno de los siguientes cuerpos. a.
4 cm
3 cm
b.
4 dm
a. 16 cm. b. 27 cm. c. 13 cm2. d. 10 dm2. e. 4 m2.
31. Calculen el área sombreada en cada caso. a. 13,76 cm2
Área lateral: 24 cm2 Área total: 40 cm2
Área lateral: 125,6 dm2 Área total: 282,6 dm2
10 dm
c.
6 cm
2c m
8 cm
b. 14,72 cm2
4 cm
Área lateral: 90 cm2 Área total: 120 cm2
3 cm 3 cm
33. Resuelvan las siguientes situaciones pro10 cm
c. 18 cm2
12 cm 6 cm 2 cm
d. 79,25 cm2
8 cm 10 cm
blemáticas. a. Se desea colocar etiquetas alrededor de 20 frascos de mermelada de 6 cm de diámetro e igual altura. ¿Cuántos cm2 de papel serán necesarios? b. Se quieren construir cinco cubos de 50 cm de arista para un juego didáctico. ¿Cuántos m2 de cartón serán necesarios? c. Manuel quiere cambiar el piso y las paredes de su baño, de 1,5 m de ancho y 2 m de largo y 3 m de alto, colocando cerámicas cuadradas de 25 cm de lado. Si cada caja contiene 20 baldosas, ¿cuántas cajas deberá comprar? a. 2 260,8 cm2. b. 7,5 m2. c. 20 cajas. 143
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34. Respondan. Una jarra contiene 1 litro de agua y al colocar en ella un cubo de plástico se derramaron 64 ml. a. ¿Cuánto mide la arista del cubo? b. Si se colocan nueve cubos más en la misma jarra, ¿qué volumen de agua quedará? Escriban la respuesta en cm3. a. 4 cm. b. 360 cm3.
35. Resuelvan. Una nueva fragancia de perfume será envasada en frascos de forma piramidal con base cuadrada de 9 cm de lado y 12 cm de altura. a. Si se quieren envasar 32 litros de perfume, ¿cuántos frascos serán necesarios? b. Si se quiere colocar de a nueve frascos en cajas cuadradas sin apilar, ¿qué dimensiones debe tener cada caja?
38. Resuelvan. a. Si el volumen de un cubo es de 0,064 dm3, ¿cuánto mide la arista? b. Si la altura de un cilindro mide 6 cm y su radio es igual a __35 de su altura, ¿cuál es el volumen? c. El volumen de una pirámide cuya base es un hexágono regular es de 67 375 mm3. Si la altura mide 0,7 dm y el lado de la base mide 3,5 cm, ¿cuánto mide la apotema? d. Si el volumen de un cono es de 42,39 cm3 y el radio de la base mide 3 cm, ¿cuánto mide la altura? a. 0,4 dm. b. 1 884 cm3. c. 0,92 cm. d. 4,5 cm.
39. Calculen el volumen en cada caso. a.
a. 98. b. Largo: 27 cm. Ancho: 27 cm. Alto: 12 cm.
0,3 m
36. Piensen y resuelvan. a. Para festejar el Día del Estudiante, los chicos llevaron a la escuela gaseosas para compartir. En total había tres botellas de 2,25 litros, dos de 1 000 cm3 y cuatro botellitas de 600 cm3. Si cada alumno tomó dos vasos de __51 litro, ¿para cuántos alumnos alcanzó la bebida? b. Nicolás debe llenar frascos de forma cilíndrica de 6 cm de diámetro y altura igual a ___ 10 3 del radio de la base con dulce de leche. Si cada bolsa contiene 47,1 cm3 de dulce de leche, ¿cuántas bolsas serán necesarias para llenar 12 frascos? c. Se quieren fabricar conos de 50 cm de diámetro y 90 cm de altura para señalizar un camino. Con 2 m3 de plástico, ¿cuántos conos pueden fabricarse? d. Si el volumen de una pirámide de base cuadrada es 45 cm3 y su altura es 5 cm, ¿cuánto mide el lado de la base? a. 22 alumnos. b. 72 bolsas. c. 33 conos. d. 3 cm.
37. Resuelvan.
Los caramelos de dulce de leche vienen envasados en cajas de a 20, apilados en dos capas. Las dimensiones de cada caramelo son 2 cm de largo, 2 cm de ancho y 1 cm de espesor. a. ¿Qué dimensiones tiene la caja? b. Si se duplican las dimensiones de la caja, ¿cuántos caramelos podrá contener? 144
50 cm 4 dm
Volumen = b.
91,4
dm3
60 cm 4 dm
100 mm
Volumen =
24 000
cm3
40. Calculen en cada caso según corresponda.
a. Para llenar las __43 partes de un balde cilíndrico de 24 cm de diámetro y 50 cm de altura, ¿cuántos litros de agua se necesitan? b. Si el área de la base de un cilindro es de 12,56 cm2 y el volumen es de 125,6 cm3, ¿cuál es el área lateral? c. Si el área total de un prisma de base cuadrada es 38 cm2 y el área lateral es de 13 cm2, ¿cuánto mide el lado de la base? d. En una pirámide de base pentagonal regular, el lado de la base mide 4 cm y la apotema, 2,5 cm. Si el área total es 75 cm2, ¿cuál es el área de cada una de las caras? a. 17 litros. b. 62,8 cm2. c. 5 cm2. d. 5 cm2.
a. 20 cm de largo, 2 cm de ancho y 2 cm de altura. b. Podrá contener 160 caramelos.
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7 capítulo
Autoevaluación 41. Completen. suma
a. El perímetro de una figura es igual a la
de todos sus lados. igual
b. La fórmula del área de un paralelogramo es
a la fórmula del área de
un rectángulo. c. La fórmula para obtener el perímetro de cualquier figura regular de n lados de longitud l es
n.l
. π.d.h
d. El área lateral de un cilindro de diámetro d y altura h es e. El área total de un cubo es
l2 . 6
.
.
42. Respondan. Alrededor de una cancha de fútbol se colocan publicidades utilizando lonas de 80 cm de ancho. Si la cancha mide 100 m de largo y 80 m de ancho, ¿cuántos m2 de lona se necesitarán? 288 m2
43. Resuelvan.
44 cm
Agustín acomodó su cuarto como se ve en el siguiente plano. ¿Cuántos m2 le quedarán libres para circular?
90 cm 1,90 m 5 dm
4,99 m2
100 cm
tele
cama mesa de luz
2,5 m
escritorio
0,70 m 1 200 mm 3m
44. Resuelvan las siguientes situaciones problemáticas. a. Naty prepara conos rellenos de mousse de chocolate para una fiesta de 100 invitados. Si los conos tienen 6 cm de diámetro y 0,08 m de altura, ¿cuántos litros de crema necesita? Escriban la respuesta aproximada al litro. 75 litros.
b. Para preparar pan se necesitan 400 ml de agua tibia por cada 750 cm3 de harina leudante. Si se colocan esas cantidades en una máquina de amasar que tiene una capacidad de 1,75 dm3, ¿qué volumen de la máquina quedará libre? 600 cm3
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capítulo
8
Probabilidad y estadística Contenidos 40. Variables, población y muestra. 41. Recolección y organización de datos. Tablas. 42. Frecuencias absolutas y relativas. 43. Gráficos. 44. Promedio, mediana y moda. 45. Experimentos aleatorios. Probabilidad simple. 46. Cálculo combinatorio.
Votan 200 alumnos. Alumnos de secundaria básica Alumnos de secundaria superior
Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la imagen y resuelvan. a. Inventen un enunciado con preguntas cuyas respuestas sean: • 120 alumnos. • 80 alumnos. • 40 alumnos. b. Comparen los enunciados con los de sus compañeros. a. Solución a cargo del alumno. 146
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Variables, población y muestra
infoactiva Estadística La Estadística se ocupa de la recolección, organización y análisis de datos para obtener determinada información. Los datos se recolectan, en algunos casos, a través de encuestas y se los puede organizar a través de tablas y gráficos para poder entenderlos y utilizarlos mejor.
Población y muestra Se denomina población al conjunto de individuos (personas, animales, plantas, etc.) que se pretende estudiar estadísticamente. Cuando es difícil estudiar toda la población, se selecciona una parte de ella denominada muestra. La muestra debe ser representativa, es decir, debe elegirse de manera tal que del estudio estadístico se obtengan resultados muy próximos a los que se obtendrían con toda la población.
Variables estadísticas Cada uno de los temas que se estudia de una población o muestra se denomina variable estadística. Por ejemplo, si se hace una encuesta para averiguar las alturas de los alumnos de primer año, la variable es “altura de los alumnos de primer año”. Las variables se clasifican en: • Cualitativas: se miden a partir de datos no numéricos.
“Comida preferida de los alumnos de primer año”. • Cuantitativas: se miden a partir de datos numéricos.
“Edad de los jugadores de un equipo de fútbol”.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cuál es el primer paso del trabajo estadístico? b. La población, ¿es parte de la muestra? c. Si se quiere conocer el lugar preferido para el viaje de egresados de los 80 alumnos del último año (repartidos en 3 cursos), ¿cuál puede ser una muestra representativa? d. Una variable, ¿puede ser cualitativa y cuantitativa a la vez? a. Recolección de datos. b. No, la muestra es parte de la población. c. La muestra podría ser de 8 alumnos de cada curso, aunque también podría coincidir con el total de la población, ya que no son muchos. d. No, ya que la cuantitativa se expresa mediante una cantidad y la cualitativa mediante una característica. 147 Nombre:
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ACTIVIDADES Variables, población y muestra
1. Marquen con una X el tipo de variable en estudio. Variable
Cualitativa
Cuantitativa
La edad de los empleados de una empresa.
X
Cantidad de hijos de las familias de cierto barrio.
X
Buscador de Internet que utilizan los alumnos de una escuela.
X
Modelo de automóvil más vendido durante el último año.
X
Peso de cada uno de los jugadores de un equipo de fútbol. Película más vista durante el mes de febrero.
X X
2. Lean atentamente y respondan. Una empresa de programación de juegos para computadora quiere crear un nuevo producto. Para ello, realiza una encuesta entre los usuarios, de entre 12 y 20 años, registrados en su sitio web para saber qué tipo de juegos prefieren. Entre las opciones están los juegos de acción, de estrategia, de cartas, de búsqueda y de carreras. La encuesta fue respondida por 125 chicos de entre 12 y 14 años, 132 chicos de entre 15 y 17 años y 93 chicos de entre 18 y 20 años. a. ¿Cuál es la población a la que estará destinado el juego? ¿Cuál fue la muestra? La población a la que estará destinado el juego son los chicos de entre 12 y 20 años. La muestra está compuesta por 350 chicos.
b. ¿Cuál es la variable en estudio? Clasifíquenla. La variable es el tipo de videojuego. Es cualitativa.
3. Escriban un ejemplo de variable cualitativa y un ejemplo de variable cuantitativa que puedan ser analizados en las siguientes poblaciones. Luego, propongan una muestra para cada población. a. Un grupo de alumnos de 1.° año. Hay varias respuestas posibles. Por ejemplo, cuantitativa, las edades y cualitativa, el color de ojos. 5 alumnos de 1.°
b. El personal de una empresa. Hay varias respuestas posibles. Por ejemplo, cuantitativa, la antigüedad en el puesto y cualitativa, el cargo jerárquico. 10 empleados de cada categoría.
c. Golosinas vendidas en los 200 quioscos de un barrio, en el transcurso de una semana. Hay varias respuestas posibles. Por ejemplo, cuantitativa, los precios y cualitativa, las marcas o los tipos de productos. 40 quioscos.
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Recolección y organización de datos. Tablas
infoactiva Para realizar un estudio estadístico, es necesario usar una serie de herramientas y técnicas que permitan recolectar la información necesaria. Entre los principales instrumentos de recolección de datos se encuentran las encuestas, los cuestionarios, las entrevistas. También se puede recolectar información mediante la observación directa o experimentos. Luego, los datos obtenidos se pueden organizar en tablas. Las tablas se utilizan para mostrar información sobre la relación entre dos o más datos.
En la historia de los juegos olímpicos, la delegación argentina obtuvo un total de 70 medallas: 18 de oro, 24 de plata y 28 de bronce. El deporte que más medallas obtuvo es el boxeo, con 24. En la siguiente tabla se muestra la cantidad de medallas obtenidas según el deporte. Deporte
Medallas
Oro
Plata
Bronce
%
Boxeo Vela Atletismo Fútbol Remo Hockey Tenis Natación Polo Básquet Pesas Ciclismo Taekwondo Equitación Tiro Vóley Esgrima Yudo
24 9 5 4 4 4 4 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 70
7 0 2 2 1 0 0 1 2 1 0 1 1 0 0 0 0 0 18
7 4 3 2 1 2 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 24
10 5 0 0 2 2 3 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 28
34,3 12,9 7,1 5,7 5,7 5,7 5,7 4,3 2,9 2,9 2,9 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 100
Total
a. ¿Qué datos aparecen en la tabla? La cantidad de medallas, el detalle del tipo de medalla por deporte y el porcentaje de cada uno sobre el total de medallas. b. ¿Con qué criterio se ordenaron los deportes que obtuvieron la misma cantidad de medallas? Se tuvo en cuenta cuál deporte obtuvo más medallas de oro, luego más medallas de plata y finalmente, el que obtuvo más medallas de bronce. c. Si se suman los porcentajes de cada deporte, ¿coincide con el total? ¿Por qué ocurre esto? Si bien la suma de los porcentajes representa el total de los datos (100%), no coincide porque los porcentajes de cada deporte están aproximados a los décimos.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Para qué se escriben los datos en una tabla? ¿Qué información brinda? b. A través de una tabla, ¿se puede saber de qué tipo es la variable en estudio? c. En una tabla se sumaron los porcentajes y se obtuvo 99,6%, ¿por qué ocurre esto? a. Para poder organizar los datos que se obtienen a partir de la recolección. Se pueden obtener el número total de registros y los registros parciales. b. Sí, también se puede saber si la variable es cuantitativa o cualitativa. c. Porque los porcentajes están aproximados. 149 Nombre:
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ACTIVIDADES Recolección y organización de datos. Tablas
4. Resuelvan. Martín hizo una encuesta entre sus compañeros de colegio acerca de cuál es el club favorito de fútbol de cada uno de ellos y obtuvo los siguientes datos. River, River, River, Boca, Boca, Racing, Independiente, Racing, River, Boca, River, River, Boca, Boca, San Lorenzo, Huracán, Racing, Independiente, Boca, San Lorenzo, Racing, San Lorenzo, Gimnasia, Vélez, River, River, Boca, San Lorenzo. a. Completen la tabla. Equipos
River
Boca
Racing
San Lorenzo
Independiente
otros
Cantidad de compañeros
8
7
4
4
2
3
b. ¿Cuál es la variable en estudio? Clasifíquenla. La variable es el equipo de fútbol. Es cualitativa.
c. ¿Cuál es el club con mayor cantidad de simpatizantes? River.
d. ¿Cuántos clubes tienen al menos tres simpatizantes? ¿Cuáles? Cuatro clubes tienen al menos tres simpatizantes. San Lorenzo, Racing, Boca y River.
5. Completen la tabla y respondan. El profesor de matemática está preparando un informe sobre los alumnos de primer año para presentar junto con la planilla de notas. Las siguientes fueron las notas obtenidas por los alumnos al finalizar el año. 10; 9; 9; 8; 8; 8; 5; 5; 4; 4; 10; 8; 8; 6; 6; 6; 6; 8; 7; 7; 10; 9; 3; 6; 6; 6; 10; 5 a. Completen la tabla. Notas
10
9
8
7
6
5
4
3
Cantidad de alumnos
4
3
6
2
7
3
2
1
b. ¿Cuál es la variable en estudio? Clasifíquenla. La variable es la nota del trimestre. Es cuantitativa.
c. ¿Cuántos alumnos hay en el curso? 28 alumnos.
d. Si se aprueba con al menos 7 puntos, ¿cuántos alumnos aprobaron? ¿Cuántos desaprobaron? Aprobaron 15 alumnos y desaprobaron 13.
e. ¿Cuántos alumnos obtuvieron 8 puntos como mínimo? 13 alumnos.
f. Si la nota obtenida está entre 4 y 6, los alumnos deben rendir la materia en diciembre y si es menor que 4, deben rendir en marzo; ¿cuántos alumnos deben rendir en cada instancia? En diciembre deben rendir 12 alumnos y en marzo, 1 alumno.
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Frecuencias absolutas y relativas
infoactiva Se denomina frecuencia absoluta (se escribe f) al número de veces que se repite cada valor de la variable. La suma de las frecuencias absolutas es el total de encuestados. Se denomina frecuencia relativa (se escribe fr ) al cociente entre la frecuencia absoluta y el total de elementos que forman la muestra. La suma de las frecuencias relativas siempre es 1. Si a cada frecuencia relativa expresada en forma decimal se la multiplica por 100, se obtiene el porcentaje de la variable. fr = __nf
n es el número de elementos que forman la muestra.
Entre los alumnos de primer año de una escuela se tomó una muestra de diez alumnos para averiguar cuántas materias tenían con calificación debajo de seis. Los resultados fueron: 0; 0; 3; 4; 3; 5; 4; 3; 6; 5. Cantidad de materias
f
fr
Porcentaje
0
2
___ 2 = 0,2 10
20%
3
3
3 ___ 10 = 0,3
30%
4
2
___ 2 = 0,2 10
20%
5
2
___ 2 = 0,2 10
20%
6
1
1 ___ 10 = 0,1
10%
Total
10
10 ___ = 1 10
100%
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es posible que la suma total de las frecuencias relativas sea 1,4? b. ¿Qué significa que un valor de la variable en estudio tenga frecuencia absoluta igual a 3? c. Si en un caso el porcentaje de un valor de la variable es 27%, ¿significa que la frecuencia relativa correspondiente es 2,7? d. ¿Puede suceder que para un valor de la variable el porcentaje sea 125%? a. No, ya que las frecuencias relativas siempre suman 1. b. Que ese valor se registró 3 veces cuando se buscaron los datos. c. No, le correspondería una frecuencia relativa de 0,27. d. No, ya que la suma total del porcentaje es del 100%. 151 Nombre:
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ACTIVIDADES Frecuencias absolutas y relativas
6. Resuelvan. Los chicos de 1.° año tuvieron que elegir el nombre que los representará en una competencia intercolegial. Las opciones fueron nombres de pueblos originarios de la Argentina: toba (T), mapuche (M), wichí (W) y diaguitas (D). De la votación se obtuvieron las siguientes respuestas. M-M-M-W-W-W-M-D-D-T-M-T-D-M-M-M-D-M-M-W W-D-D-M-W-M-W-M-T-D-M-M-W-W-W-W-D-T-T-W a. Completen la tabla de frecuencias. Nombre
f
fr
%
Toba
5
0,125
12,5
Mapuche
15
0,375
37,5
Wichí
12
0,30
30
Diaguitas
8
0,20
20
Total
40
1
100
b. ¿Qué nombre resultó ganador? ¿Cómo se dieron cuenta? ¿Qué porcentaje obtuvo? Mapuche, porque es el que tiene mayor frecuencia. Obtuvo 37,5%.
c. ¿Qué pueblos obtuvieron como máximo diez votos? Los tobas y los diaguitas.
7. Lean atentamente y resuelvan. El siguiente cartel muestra los horarios de las clases que se dictan en un gimnasio. 18 - 19
AEROBOX
SPINNING
PILATES
AEROBOX
AEROBOX
PILATES
19 - 20
SPINNING
PILATES
ELONGACIÓN
PILATES
SPINNING
RITMOS
20 - 21
RITMOS
ELONGACIÓN
RITMOS
SPINNING
RITMOS
RITMOS
a. Completen la tabla de frecuencias. Clases
f
fr
%
Aerobox
3
0,17
16,67
Elongación
2
0,11
11,11
Pilates
4
0,22
22,22
Ritmos
5
0,28
27,78
Spinning
4
0,22
22, 22
Total
18
1
100
b. ¿De qué clase hay más horarios disponibles? Ritmos.
c. ¿Qué clase tiene el menor porcentaje? ¿Por qué? Elongación, porque solo tiene 2 horarios disponibles.
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Gráficos
infoactiva En muchas situaciones, los datos se pueden leer con mayor facilidad a través de gráficos. El tipo de gráfico puede variar según la información que se quiere brindar.
Gráfico circular Los gráficos circulares o de secciones sirven para mostrar la distribución de respuestas en relación con el total de resultados obtenidos.
Se realizó una encuesta para conocer la opinión de 20 personas sobre un nuevo chocolate. excelente 10% bueno 50%
regular 20%
Es un círculo dividido en sectores. Cada sector representa una parte del total de los datos. El ángulo central de cada sector se puede obtener, por ejemplo, usando una regla de tres:
100% 10%
malo 20%
360° 10% . 360° x = __________ = 36° Corresponde a excelente. 100%
Gráfico de barras
cantidad de personas
Los gráficos de barras sirven para comparar la cantidad de datos que corresponden a cada valor de la variable. Para confeccionar un gráfico de barras, en el eje horizontal se representan los distintos valores de la variable y en el vertical, las frecuencias absolutas. Luego, se construyen rectángulos del mismo ancho cuya altura coincide con la frecuencia absoluta del valor de la variable.
Por ejemplo, diez personas opinan que es bueno.
12 10 8 6 4 2 0
excelente
bueno
regular
malo opinión
Pictogramas Los pictogramas son gráficos donde se representan cantidades a través de dibujos. Cada dibujo representa una determinada cantidad.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Qué diferencias hay entre un gráfico circular y uno de barras? ¿Cómo muestra la información cada uno? b. En un gráfico circular, ¿qué ángulo central debe tener un sector que representa el 25% del total? a. Solución a cargo del alumno. b. 90°. 153 Nombre:
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ACTIVIDADES Gráficos
8. Completen las oraciones teniendo en cuenta la relación entre los porcentajes, la fracción del total y el ángulo central del gráfico de torta. a. El 50 % se representa con la mitad de un círculo y su ángulo central es de 180 °. b. El 25 % se representa con la cuarta parte de un círculo y su ángulo central es de 90 °. c. El 12,5 % se representa con la octava parte de un círculo y su ángulo central es de 45 °. d. El 10 % se representa con la décima parte de un círculo y su ángulo central es de 36 °.
9. Pinten según corresponda. Luego, escriban el porcentaje. a.
__41
b.
25 %
__51
c.
__43
d.
20 %
__53
75 %
60 %
10. Representen en un gráfico circular. Pinten del mismo color cada sector y su referencia. Mariana distribuye las actividades del día viernes de la siguiente manera. 8 horas para dormir. comida 6 horas pasa en la escuela. 2 horas para realizar la tarea. internet 2 horas para jugar con sus amigas. dentista 1 hora y media para viajar. 1 hora y media para navegar por internet. El resto lo utiliza en las distintas comidas. amigas
descanso
escuela
tarea
11. Resuelvan. Luego del estreno de una película se realizó una encuesta para conocer la opinión de los espectadores. Las respuestas fueron las siguientes. Opinión
Excelente
Muy buena
Buena
Regular
Mala
Cantidad de personas
20
15
10
15
5
a. ¿De qué tipo de variable se trata? ¿A cuántas personas se encuestó? Cualitativa. A 65 personas.
b. Realicen el gráfico circular con los datos de la tabla.
muy buena
excelente mala
buena regular
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ACTIVIDADES Gráficos
12. Observen los gráficos y respondan.
14 10
m
v
cantidad de alumnos
cantidad de alumnos
cantidad de alumnos
Los gráficos muestran la cantidad de alumnos distribuidos por sexo en cada curso que hay en el último año. CURSO A CURSO B CURSO C
14 12
m
sexo
v
15 12
m
sexo
v
sexo
a. ¿Cuántas mujeres hay en cada curso? Hay 10 en el A, 12 en el B y 15 en el C.
b. ¿En qué curso hay menor diferencia entre la cantidad de varones y de mujeres? En el B es donde hay menos diferencia entre la cantidad de varones y mujeres.
c. Entre los tres cursos, ¿cuántos varones hay? ¿Y en total cuántos alumnos hay? Hay 38 varones. Hay 75 alumnos en total.
13. Completen la tabla con los datos de sus compañeros de aula y realicen el gráfico de barras correspondiente. Sexo
Cantidad de alumnos
Mujeres Varones
Solución a cargo del alumno.
14. Resuelvan.
Mascota preferida
Cantidad de personas
Perro
30
Gato
24
Peces
8
Aves
10
cantidad de personas
a. Realicen el gráfico de barras de acuerdo con la información de la tabla.
30 24 10 8 perro
gato
peces
aves
mascota
b. ¿A cuántas personas se encuestó para obtener la información anterior? Se encuestó a 72 personas.
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Curso:
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ACTIVIDADES Gráficos
15. Observen los siguientes pictogramas y respondan. cantidad de libros
El pictograma muestra la cantidad de libros que hay en cada una de las salas de una biblioteca. a. ¿En qué sala hay mayor cantidad de libros? ¿Cuántos hay? En la sala B hay 6 000 libros.
b. ¿Cuántos libros hay en total entre todas las bibliotecas? En total hay 18 000 libros.
A
B
C
D
sala
Representa 1 000 libros.
La siguiente tabla muestra el total de habitantes de la Argentina registrados en los últimos cinco censos de problación. Año Habitantes (en millones)
1970 1980 1991 2001 2010 23
28
33
37
años
16. Completen el gráfico y respondan. 2010 2001
41
a. ¿Cuántos millones de habitantes creció la población entre 1980 y 2010?
1991 1980 1970
13 millones de habitantes. 0
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 Habitantes (en millones) Representa 4 millones.
Fuente: INDEC, Censo de Población y Vivienda.
17. Observen los siguientes pictogramas y respondan. En el pictograma se observa la cantidad de días que permanecen en el país los turistas que visitan la Argentina, según su lugar de procedencia. a. A partir del pictograma, ¿se puede saber desde dónde provienen los turistas que se quedan la mayor cantidad de días? Europa.
b. ¿Se puede saber la cantidad de gente encuestada? No, ya que no se tiene ninguna referencia numérica.
Cantidad de días que permanecen en la Argentina Brasil Chile Estados Unidos y Canada Resto de América Europa Resto del mundo Representa 5 días. Fuente: INDEC, encuesta de turismo internacional 2010.
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8 capítulo
Integración
Contenidos
40.41.42.43
18. Resuelvan. En una editorial se realiza un control de calidad analizando uno de cada 100 libros impresos. Se los revisa y se decide si la impresión final es correcta o incorrecta. a. El conjunto de libros utilizados para el control de calidad, ¿representa la muestra o la población? b. La variable estudiada ¿es cualitativa o cuantitativa?
21. Observen y respondan. Las tablas muestran el deporte preferido en dos cursos distintos. Curso A Deporte preferido
f
Básquet
10
Fútbol
15
Vóley
8
Natación
12
a. Representa la muestra. b. Es cualitativa.
19. Lean los siguientes datos y resuelvan. En 30 comercios minoristas se averiguó el total de paquetes vendidos de una marca de galletitas. Los datos obtenidos fueron los siguientes. 6; 6; 4; 5; 9; 7; 6; 8; 3; 4; 5; 5; 7; 4; 9; 8; 8; 5; 6; 9; 8; 9; 8; 7; 6; 6; 6; 7; 5; 3 a. ¿Cuál es la variable? Clasifíquenla. b. Realicen la tabla de frecuencias. c. Representen en un gráfico la información obtenida. a. Cantidad de paquetes vendidos. Cuantitativa. b. y c. solución a cargo del alumno.
20. Resuelvan.
La siguiente tabla muestra el estado civil de los empleados de una empresa. Estado civil
Mujer
Varón
Total
Casados
4
8
12
Divorciados
2
3
5
Solteros
4
6
10
Viudos
2
1
3
Total
12
18
30
a. ¿Qué variables están en estudio? Clasifíquenlas. b. Realicen un gráfico circular donde figuren los porcentajes según el sexo de los empleados de la empresa. c. Realicen un diagrama de barras que muestre el estado civil de los empleados. d. ¿Qué porcentaje de las mujeres son casadas? a. El sexo y el estado civil. Las dos son cualitativas. b. y c. Solución a cargo del alumno. d. 33,33%
Curso B Deporte preferido
f
Básquet
8
Fútbol
10
Vóley
10
Natación
12
a. ¿Cuál es la variable? ¿De qué tipo es? b. ¿En qué curso es menor el porcentaje que prefiere natación? ¿Y básquet?
a. Deporte preferido. Cualitativa. b. Natación, en el curso A, es del 26,67%. Básquet, en el B, 20%.
22. Resuelvan.
Se analizó la frecuencia con la que los usuarios de 50 automóviles cargan combustible durante un mes. a. Completen la tabla con los datos faltantes. Cantidad de cargas
f
fr
%
2
3
0,06
6
3
4
0,08
8
4
10
0,2
20
5
12
0,24
24
6
7
0,14
14
7
8
0,16
16
8
6
0,12
12
b. ¿Cuál es la variable? Clasifíquenlas. c. ¿Cuántos autos cargan al menos cinco veces al mes? d. ¿Qué porcentaje carga como mínimo ocho veces al mes? b. Cantidad de cargas al mes. Cuantitativa. c. 33 d. 12% 157
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Curso:
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cantidad de departamentos
El siguiente gráfico muestra la cantidad de publicaciones de viviendas (en venta) según la cantidad de ambientes, de una página de anuncios clasificados.
25. Observen el pictograma y resuelvan. cantidad de pájaros
23. Observen el gráfico y resuelvan.
12 10
7 Juan 4 3 2 1 2
3
4 5 6 cantidad de ambientes
a. Realicen una tabla de frecuencias a partir de la información del gráfico. b. ¿Cuántos departamentos se publicaron en total? c. ¿Qué porcentaje de los departamentos es de tres ambientes? d. ¿Qué porcentaje de los departamentos tiene como mínimo tres ambientes? e. ¿Cuántos departamentos tienen como mínimo cuatro ambientes? f. ¿Cuántos departamentos tienen como máximo dos ambientes? b. 29. c. 13,8%. d. 34,5% e. 6. f. 19.
Luis
Nombre
Juan
Ana
Pedro
Luis
%
31,25
12,5
37,5
18,75
c. Representen la situación en un gráfico circular, indicando el porcentaje que le corresponde a cada uno. d. Si cada pájaro del pictograma representa a tres, ¿cuántos pájaros tiene Juan? e. Si entre todos tienen 72 pájaros, ¿cuánto representa un pájaro dibujado?
a. Cantidad de pájaros que tiene cada uno, es cuantitativa. d. 15 pájaros. e. 4,5 pájaros.
26. Tengan en cuenta la información y resuelvan. En la siguiente tabla se registró por edad un grupo de personas de un club. 1 - 10
11 - 20
21 - 30
Esteban
Matías
Juan
Carlos
Julieta
María
Ana
Graciela
Belén
Rocío
Rodrigo
Roberto
Mía
Micaela
José
Anabella
Daniel
Hernán
Silvana
Javier
Carolina
Cantidad de personas
Pamela
Germán
Ajedrez
6
Valeria
24. Lean atentamente y resuelvan. A un grupo de 24 personas se les preguntó qué juego de mesa preferían. La mitad contestó las cartas; la cuarta parte, el ajedrez; dos, el ludo y el resto, las damas. a. Completen la tabla. Juego Cartas
12
Damas
4
Ludo
2
b. ¿Cuál es el porcentaje de los que prefieren jugar al ajedrez? ¿Y a las damas? 25%; 16,67%
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Pedro
a. ¿Cuál es la variable? ¿De qué tipo es? b. Completen la siguiente tabla. 1
158
Ana
31 - 40
a. Realicen una tabla de frecuencias para hombres y otra para mujeres. b. La suma total de los porcentajes en las tablas anteriores ¿es igual al 100%? Expliquen la respuesta. c. Realicen un gráfico circular para cada tabla. b. En el primero, sí. En el segundo, no, ya que se van aproximando los resultados; es 99%. c. Solución a cargo del alumno.
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Promedio, mediana y moda
infoactiva Promedio El promedio, también llamado media aritmética (se escribe x ), es el resultado de dividir la suma de todos los valores de la variable por la cantidad de valores que forman la muestra.
Se registraron las ventas diarias de gaseosas de 600 ml en determinado quiosco, durante una semana y se obtuvieron los siguientes datos: 20, 16, 17, 23, 20, 26, 25. + 17 + 20 + 20 + 23 + 25 + 26 = 16 + 17 + 2 . 20 + 23 + 25 + 26 = 21 ______________________________ ____________________________ x = 16 7 7
Moda La moda (se escribe mo ) es el valor de la variable que aparece más veces, es decir, la que tiene mayor frecuencia.
En el ejemplo anterior, mo = 20. Mediana La mediana (se escribe me ) es el valor de la variable que está ubicado en el lugar central luego de ordenar todos los datos de menor a mayor. La mediana divide la muestra de tal forma que deja igual cantidad de datos a su izquierda que a su derecha. Cuando la cantidad de datos es un número par, la mediana es igual al promedio de los dos valores centrales.
Si se ordenan las cantidades de gaseosas vendidas, se obtiene lo siguiente. 16; 17; 20; 20; 23; 25; 26 mediana
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si la variable es cualitativa, ¿se pueden calcular las tres medidas anteriores? b. La moda, ¿es el mayor valor que alcanza la variable? c. ¿Cuál es la medida que divide los datos obtenidos en dos grupos? d. El promedio, ¿siempre es representativo de los datos?
a. Solo la moda, ya que no se puede calcular el promedio y tampoco se pueden ordenar de menor a mayor para calcular la mediana. b. No es el valor que mayor frecuencia tiene, o sea, la que más se repite. c. La mediana. d. No siempre, puede haber un valor muy diferente al resto que haga variar el promedio.
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Curso:
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ACTIVIDADES Promedio, mediana y moda
27. Calculen el promedio, la mediana y la moda para cada uno de los siguientes grupos de datos. a. 36; 38; 40; 40; 38; 38; 38; 42; 38; 36; 42; 36; 36; 38. x=
38,29
me =
38
mo =
38
b. 28; 30; 28; 28; 28; 28; 29; 35; 29; 30. x=
29,3
me =
28,5
mo =
28
me =
34
mo =
34
c. 32; 29; 42; 34; 34; 40; 28. x=
34,14
d. 25; 40; 56; 14; 74; 12; 120; 12; 22; 44; 77; 100; 16; 80; 11; 32; 17; 5. x=
42,1
30
me =
12
mo =
28. Calculen el promedio, la mediana y la moda. Al lanzar un dado 30 veces los resultados que se obtuvieron fueron los siguientes.
x=
3,27
Número
1
2
3
4
5
6
f
8
4
3
5
7
3
me =
3,5
mo =
1
29. Completen los datos para que se verifiquen los resultados. a. 15; 16; 17; 16; 16 ; 16
c. 15; 16; 17; 16; 17 ; 17
me = 16
me = 16,5
mo = 16
mo = 17
b. 15; 16; 17; 16; 18 ; 19
d. 15; 16; 17; 16; 16 ; 13
me = 16,5
me = 15,5
mo = 16
En a. y b. las soluciones no son únicas.
mo = 16
30. Resuelvan. Juliana, Pablo y Ana han recibido las notas de sus dos primeras evaluaciones. Juliana obtuvo 7 y 6, Pablo 8 y 5 y Ana, 9 y 6. a. Si Juliana quiere tener un promedio de 8 y todavía debe rendir dos evaluaciones más, ¿qué notas tendría que obtener para alcanzar el promedio deseado? Tiene que sumar entre las dos pruebas que faltan 19 puntos.
b. A Pablo le falta rendir una sola evaluación, ¿puede alcanzar un promedio de 9 con las notas que ya tiene? No, porque para alcanzar un promedio de 9 debería obtener 14 puntos en la evaluación que le falta.
c. Si Ana rinde dos evaluaciones más y obtiene un promedio de 7, ¿cuáles son las notas que obtuvo? Hay varias posibilidades: 10 y 5; 9 y 6; 8 y 7.
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Experimentos aleatorios. Probabilidad simple
infoactiva Experimentos aleatorios Existen situaciones en donde no se puede anticipar cuál será el resultado. A este tipo de situaciones, que dependen del azar, se las llama experimentos aleatorios. Se denomina espacio muestral al conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento. Cada uno de los resultados que forman el espacio muestral se denomina suceso.
Experimento: tirar un dado y observar el resultado. Espacio muestral: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Para determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio, se pueden usar, por ejemplo, diagramas de árbol y tablas.
En una bolsa se colocaron fichas con números de tres cifras distintas formados por los dígitos 1, 2, 3. ¿Cuál es el espacio muestral? 1
2
3
2
3
3
1
2
1
3
2
1
3
1
2
El espacio muestral está formado por los números: 123, 132, 231, 213, 321, 312.
Probabilidad simple En matemática se asigna un número a la probabilidad de que ocurra un suceso. Ese número puede ser 0, 1 o cualquier número comprendido entre el 0 y el 1. de casos favorables _________________________ Probabilidad de un suceso (P) = número número de casos posibles
Se tira un dado: • Todas las caras de un dado tienen la misma probabilidad de salir. • Es más probable que salga un número par que un divisor de 3. • Es seguro que salga un número natural menor que 7. • Es imposible, por ejemplo, que salga el número 10.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Elegir qué remera usar, ¿es un experimento aleatorio? b. ¿Puede el resultado de una probabilidad ser 3? c. ¿En qué caso la probabilidad es igual a 0? a. No, porque no depende del azar. b. No, el valor máximo de la probabilidad es 1, nunca puede haber más casos favorables que casos totales. c. Cuando no hay posibilidad que el suceso ocurra. 161 Nombre:
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ACTIVIDADES Experimentos aleatorios. Probabilidad simple
31. Marquen con una X los sucesos que son aleatorios. a. El número que saldrá al tirar un dado. b. Próximo partido de un campeonato.
X
c. Que llueva dentro de dos días. d. Ganar la lotería.
X
X
32. Escriban el espacio muestral en cada caso. a. Se tira un dado. 1; 2; 3; 4; 5; 6.
b. Se tiran dos dados y se suman los puntos. 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8, 9; 10; 11; 12.
c. Se lanzan dos monedas. cara-cara; cara-ceca; ceca-ceca.
d. Se lanza una moneda dos veces. cara-cara; cara-ceca; ceca-cara; ceca-ceca.
33. Lean atentamente y calculen la probabilidad en cada caso. En la ruleta, los números van del 0 al 36 inclusive (el cero está pintado de color verde y del resto de los números, la mitad son rojos y la mitad, negros). Calculen la probabilidad de que al arrojar una bola resulte alguno de los siguientes casos. a. Un número par.
19 37
d. Un múltiplo de 5.
b. Un número de color rojo. c. Un número menor que 22.
18 37
37
e. Un número mayor que 40.
22 37
8
0 37
f. Un número menor o igual que 36.
37 37
34. Respondan. En la escuela están organizando un festival para recaudar fondos para una excursión. Los chicos prepararon un puesto de tiro al blanco con dos discos y los siguientes premios. Azul
Oso peluche
Rojo
Pelota
Verde
Globo
DISCO A
DISCO B
a. ¿Con cuál de los dos discos se tiene más posibilidades de ganar un oso de peluche? 1 Con el disco B, la probabilidad de azul es __ 2 .
b. En el disco A, ¿cuál es la probabilidad de acertar en el color rojo? __ 1 3
c. ¿En cuál de los dos discos es mayor la probabilidad de acertar en el color verde? En el A.
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Cálculo combinatorio
infoactiva El cálculo combinatorio permite conocer la cantidad de grupos que se pueden formar con determinados elementos, de acuerdo con una serie de condiciones, sin necesidad de enumerarlos uno por uno.
Pablo, Guillermo, Verónica y Lidia compraron entradas para ir al teatro y deben decidir cómo ubicarse. ¿De cuántas maneras pueden hacerlo? La primera ubicación tiene 4 posibilidades; la segunda posición, 3; la tercera, 2, y la cuarta, 1. 4 . 3 . 2 . 1 = 24. Tienen 24 maneras distintas de ubicarse en los asientos. Si se quieren formar grupos con determinadas condiciones a partir de otro con mayor cantidad de elementos, también se puede utilizar el cálculo combinatorio.
En el ejemplo anterior, si pierden dos entradas y deben decidir quiénes van al teatro y cómo se ubican, ¿de cuántas maneras distintas pueden hacerlo? En este caso, la primera ubicación sigue teniendo 4 posibilidades y la segunda, 3. Y no quedan más lugares. Por lo tanto, 4 . 3 = 12. Tienen 12 maneras distintas de decidir quiénes van y en qué asientos se ubican. Hay casos donde se deben combinar elementos de distintos grupos.
Marcos va a ir al cine y debe elegir qué ropa ponerse. No se decide si llevar remera roja, blanca o negra; si ponerse jeans negros o azules y si llevar sus zapatillas preferidas o los zapatos nuevos. ¿Cuántas posibilidades tiene para vestirse? Tiene 3 posibles remeras, 2 jeans y 2 pares de zapatillas. Por lo tanto, 3 . 2 . 2 = 12. Tiene 12 posibilidades distintas para vestirse.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Qué ventaja tiene el cálculo combinatorio respecto de los diagramas de árbol? b. Si además de saber cuántos números se pueden formar con distintas cifras, se quiere saber cuáles son los números, ¿qué estrategia de resolución se debe utilizar? c. ¿Cuántos números de dos cifras distintas se pueden formar con los dígitos del 1 al 9? a. Si los datos del problema generan demasiadas soluciones, es más rápido realizar el cálculo. b. Para saber cuáles son los números, se puede realizar un diagrama de árbol. c. 9 . 8 = 72. Se pueden formar 72 números diferentes. 163 Nombre:
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ACTIVIDADES Cálculo combinatorio
35. Lean y resuelvan. Laura está organizando sus vacaciones y tiene que elegir entre el campo, el mar o la montaña como destino. Para viajar tiene que elegir entre auto, micro o tren y para alojarse, entre el hotel o la casa de una amiga. a. ¿De cuántas maneras distintas puede combinar las opciones para poder organizar sus vacaciones? 3 . 3 . 2 = 18 maneras.
b. Si decide viajar en auto, ¿cuántas opciones tiene para elegir? 3 . 1 . 2 = 6 maneras.
c. Si su amiga no puede prestarle la casa, ¿cuántas opciones tiene? 3 . 3 . 1 = 9 maneras.
36. Respondan. Con los dígitos 2, 3, 5, 6 y 7 se desean formar números de tres cifras distintas. a. ¿Cuántos números se pueden formar? ¿Cuántos de ellos son pares? Se pueden formar 5 . 4 . 3 = 60 números. Números pares hay 3 . 4 . 2 = 24.
b. ¿Cuántos son múltiplos de 5 y cuántos son mayores que 500? 3 . 4 . 1 = 12 números y 3 . 4 . 3 = 36 números.
37. Resuelvan. Se está realizando una selección para poner en escena la obra “Romeo y Julieta”. Se presentaron 7 actores y 4 actrices. ¿De cuántas maneras pueden elegirse a los integrantes de la pareja protagónica? De 28 maneras distintas.
38. Respondan. El papá de Matías, Daniela y Marilina quiere regalarles a sus hijos un libro a cada uno. Tiene para elegir entre 3 libros de poesías, 4 novelas y 5 cuentos. a. Si a cada uno le puede tocar un libro cualquiera, ¿de cuántas maneras puede realizar la compra? 12 . 11 . 10 = 1 320 maneras distintas.
b. Si a Matías solo le gustan los libros de novelas, ¿de cuántas maneras puede comprar? 4 . 11 . 10 = 440 maneras distintas.
c. Si quiere comprar un libro de cada clase, ¿de cuántas maneras puede realizar la compra? 3 . 4 . 5 = 60 maneras distintas.
mente activa Para confeccionar un examen se dispone de 4 problemas de geometría, 3 de aritmética y 2 de ingenio. Si los ejercicios que corresponden a un mismo tema deben aparecer en forma consecutiva, ¿de cuántas maneras pueden ordenarse los problemas? De 6 maneras distintas combinando los temas. De 24 formas distintas de organizar los de geometría. De 6 formas distintas de organizar los de aritmética. De 2 maneras de colocar los de ingenio. Total: 6 . 24 . 6 . 2 = 1 728 exámenes distintos. 164
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8 capítulo
Integración
Contenidos
44.45.46
39. Respondan. En la siguiente lista se muestra el peso de un grupo de 12 amigos. 45 kg; 50 kg; 51 kg; 47 kg; 55 kg; 60 kg; 55 kg; 53 kg; 48 kg; 50 kg; 46 kg; 50 kg a. ¿Cuál es la variable? ¿De qué tipo es? b. Calculen el promedio, la mediana y la moda.
a. Es el peso de cada uno y es una variable cuantitativa. b. x = 50,83 kg; me = 50 kg; mo = 50 kg.
40. Resuelvan.
La siguiente tabla muestra la edad de un grupo de chicos que integran el equipo de fútbol. a. Completen la tabla.
43. Marquen con una X la opción correcta. Se lanzó un dado 50 veces, con los siguientes resultados. número
1
2
3
4
5
6
f
8
7
12
10
8
5
a. ¿Cuál es la frecuencia absoluta correspondiente a la cara 4? 1,6%
f
fr
%
12
9
0,375
37,5
13
6
0,25
25
14
9
0,375
37,5
b. ¿Cuántos chicos conforman el equipo de fútbol? c. Calculen el promedio, la mediana y la moda de las edades del equipo. d. Realicen un pictograma que muestre la situación presentada.
0,24 X
a. x = 5,8; me = 5; mo = 4. b. x = 7,5 ; me = 7; mo = 5. c. x = 7; me = 7,5 ; mo = 10
42. Resuelvan.
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2,4
24%
La siguiente tabla muestra la cantidad de amonestados que hubo en la última fecha del campeonato de fútbol. a. Completen la tabla.
moda en cada caso. a. 3; 4; 9; 12; 4; 7; 8; 6; 1; 4. b. 8; 15; 7; 9; 10; 6; 5; 5; 3. c. 2; 7; 8; 10; 10; 12; 4; 3.
Nombre:
16%
44. Respondan.
41. Calculen el promedio, la mediana y la
a. x = 8,23; me = 8; mo = 8. b. La moda se mantiene, la mediana también, pero el promedio queda 36,30. c. No, se debe analizar la situación para determinar cuál de los parámetros es más representativo.
1,6% X
c. ¿Cuál es la probabilidad de que salga el 3?
b. 24. c. x = 13 años. Es bimodal = 12 años y 14 años. me = 13 años. d. Solución a cargo del alumno.
Dado el siguiente conjunto de datos. 4; 5; 6; 7; 8; 9; 8; 8; 9; 10; 12; 11; 10; 10; 11; 8; 7; 5; 9; 8; 8; 8 a. Calculen el promedio, la moda y la mediana. b. Si a los datos anteriores se agrega el 654, ¿qué ocurre con las medidas? ¿Cambian? Expliquen sus respuestas. c. En determinadas situaciones, ¿son representativas todas las medidas estadísticas? ¿Por qué?
10%
b. ¿Cuál es el porcentaje correspondiente a la cara 1? 0,16%
Edad
10 X
Equipos
f
fr
%
Racing
6
0,21
21
Independiente
4
0,14
14
Boca
6
0,21
21
River
0
0
0
San Lorenzo
7
0,25
25
Vélez
2
0,07
7
Rosario Central
3
0,10
10
Total
28
0,98
98
b. ¿Cuál fue el porcentaje de amonestados que tuvo Boca? c. ¿Cuál es la frecuencia relativa de amonestados que tuvo San Lorenzo? d. ¿Cuántos amonestados tuvo Independiente? e. Realicen un gráfico de barras con las frecuencias absolutas. b. 21%. c. 0,25. d. 4. e. Solución a cargo del alumno.
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Fecha:
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45. Resuelvan.
50. Respondan.
Los siguientes valores corresponden a las precipitaciones registradas (en mm) mensualmente en una ciudad del interior del país. 40 36 24 43 56 78 78 78 44 78 40 40 a. Calculen el promedio, la mediana y la moda. b. Realicen un pictograma que muestre los registros. _
Con los dígitos 3, 4 y 2 se forman todos los números de tres cifras posibles para realizar un sorteo. a. ¿Cuántos números conforman el espacio muestral? b. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un múltiplo de 4? c. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número impar?
46. Escriban tres experimentos aleatorios y
51. Resuelvan los siguientes problemas.
a. x = 52,92 mm; me = 43,5 mm; mo = 78 mm. b. Solución a cargo del alumno.
determinen sus espacios muestrales. Solución a cargo del alumno.
47. Resuelvan. Se tiene un mazo de cartas españolas (50 cartas) y se toma una. Calculen la probabilidad en cada uno de los siguientes casos. a. Sea de oros. b. No sea de espadas. c. Sea impar. d. Sea un comodín. e. Sea un número menor que siete. f. Sea un múltiplo de tres. 24 24 38 a. ___ 12 2 . e. ___ 16 . . b. ___ . c. ___ . d. ___ . f. ___ 50 50 50 50 50 50
48. Resuelvan.
Una urna contiene siete bolillas rojas, cuatro blancas y nueve negras. Calculen las siguientes probabilidades al extraer una bolilla al azar. a. Que sea roja. b. Que sea blanca o negra. c. Que no sea negra. d. Que sea de cualquier color. 7 13 b. ___ . c. ___ 11 . d. ___ 20 . a. ___ 20 . 20 20 20
49. Calculen la probabilidad en cada caso. Antonella y sus dos hermanas compraron una docena de facturas: tres medialunas de grasa, tres churros, cuatro medialunas de manteca y dos vigilantes. a. Si Antonella decide comer tres facturas, ¿cuántas posibilidades tiene para combinar las facturas? b. Si eligen al azar una factura, ¿cuál es la probabilidad de comer un vigilante? ¿Y de comer una medialuna de manteca? ¿Y una de grasa? 4 ___ 3 2 a. 12 . 11 . 10 = 1 320. b. ___ ; ___ ; . 12 12 12
1 . c. __ 1 . a. 27. b. __ 3 3
a. Con las cifras 5, 6, 7 y 8, ¿cuántos números de dos cifras distintas se pueden formar? ¿Y de cuatro? b. En una camioneta entran ocho personas. Si todos saben manejar, ¿de cuántas formas se pueden ubicar? c. Una persona tiene cuatro remeras, tres pantalones, dos camperas y tres pares de zapatos. Si quiere vestirse con una prenda de cada tipo, ¿cuántas combinaciones distintas puede realizar? a. 12 y 24. b. 40 320. c. 72.
52. Resuelvan. a. Para crear la bandera que represente al colegio de Ana se deben utilizar los colores rojo, verde, azul y amarillo. Si la bandera tiene que ser con rayas horizontales, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden ubicar los colores? b. Eliana posee cuatro collares, cinco pulseras y cuatro anillos. Si desea ponerse un accesorio de cada tipo, ¿cuántas combinaciones distintas puede realizar? c. Nicolás tiene que rendir un examen oral en el que debe explicar tres de los siete temas que se vieron durante el año. ¿De cuántas maneras puede organizar su exposición? d. En un restaurante el plato del día se puede armar combinando cada una de las siguientes opciones: una porción de carne o una de pollo; como acompañamiento, se puede elegir entre papas fritas, puré o ensalada y como postre, helado, flan o ensalada de frutas. ¿De cuántas maneras se puede armar el plato del día? a. 24. b. 80. c. 210. d. 12.
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8 capítulo
Autoevaluación 53. Resuelvan.
En la siguiente tabla se observa la cantidad de materias que deben recuperar los alumnos de una escuela en el mes de diciembre. a. Completen la tabla. Cantidad de materias
0
1
2
3
4
5
6
7
Total
Cantidad de alumnos
170
30
45
35
10
15
10
5
320
fr
0,53
0,09
0,14
0,11
0,03
0,05
0,03
0,02
1
%
53
9
14
11
3
5
3
2
100
b. ¿Cuál es la variable? ¿Es cualitativa o cuantitativa? La cantidad de materias; es cuantitativa.
c. Los datos obtenidos, ¿corresponden a la población o a una muestra? ¿Por qué? Los datos corresponden a la población porque se tienen en cuenta todos los alumnos de la escuela.
d. Realicen en una hoja el gráfico de barras que muestra la situación. Solución a cargo del alumno. e. Calculen el promedio, la mediana y la moda. x = 1,36; me = 0; mo = 0
f. ¿Cuál es el porcentaje de alumnos que tiene que recuperar entre una y tres materias inclusive? 34%
54. Resuelvan. Se tira dos veces un dado. a. Escriban todos los pares que se pueden obtener. (1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6), (2;1), (2;2), (2;3), (2;4), (2;5), (2;6), (3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (3;5), (3;6), (4;1), (4;2), (4;3), (4;4), (4;5), (4;6), (5;1), (5;2), (5;3), (5;4), (5;5), (5;6), (6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5), (6;6).
b. Calculen la probabilidad de que la suma sea 7. 1 P = __ 6
55. Respondan. En una escuela se deben cubrir los puestos de rector, director y vicedirector. Si hay diez candidatos, ¿de cuántas formas se pueden cubrir los cargos? 720
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capítulo
9
Números enteros Contenidos 47. Números negativos. Orden y representación. 48. Adición y sustracción. 49. Multiplicación y división. 50. Operaciones combinadas.
Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la imagen y resuelvan. a. Inventen un enunciado con los datos que se necesitan para responder a las siguientes preguntas. Luego respóndanlas. • Si se utilizaron 20 metros de soga, ¿a qué profundidad se encuentra el gancho? • ¿Cuántos metros de soga son necesarios para alcanzar el cofre desde el barco? • ¿Cuántos metros debe descender aún el buzo para enganchar el cofre? b. Comparen el enunciado que inventaron con el de sus compañeros. ¿Son iguales? ¿Tienen las mismas respuestas? 168
a. Por ejemplo, “Se quiere sacar un cofre que está en el fondo del mar desde un barco. El barco lanza una soga desde 4 metros de altura y el cofre está a una profundidad de 36 metros. El buzo está a 10 metros de profundidad y debe ayudar a enganchar el cofre”. Respuestas: Se encuentra a 16 metros de profundidad. Son necesarios 40 metros de soga. El buzo debe descender 26 metros.
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Números negativos. Orden y representación
infoactiva Números negativos Los números naturales también se denominan enteros positivos. Los números negativos son aquellos que tienen adelante un signo menos. Estos números suelen utilizarse, por ejemplo, para escribir las temperaturas bajo cero, indicar los subsuelos de un edificio, las pérdidas de dinero, las fechas ocurridas antes del nacimiento de Cristo, etc.
+3 = 3
–3
Es un entero positivo.
Es un entero negativo.
Los enteros negativos, el cero y los enteros positivos forman el conjunto de los números enteros.
...–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3... Los puntos suspensivos indican que existen infinitos negativos y positivos. Orden y representación Para representar números enteros en la recta numérica, pueden seguir estos pasos: 1. Se ubica el cero y se determina una distancia entre dos enteros consecutivos. 2. Se representan los negativos a la izquierda –4 –3 –2 –1 0 1 2 del cero y los positivos a la derecha.
3
4
A partir de la representación en la recta, se puede decir que un número es mayor que otro que se encuentra a su izquierda.
–5 es mayor que –6. Módulo o valor absoluto Se llama módulo o valor absoluto de un número entero a la distancia que existe entre ese número y el cero.
|–2| = 2 Se lee “valor absoluto de –2 es igual a 2”. |2| = 2 Se lee “valor absoluto de 2 es igual a 2”.
–3
–2
–1
0
1
2
3
Dos números son opuestos cuando tienen el mismo valor absoluto y distinto signo.
2 y –2 son opuestos.
–(–2) = 2 Se lee “el opuesto de –2 es igual a 2”.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. El cero ¿es positivo? ¿Y negativo? b. ¿Es cierto que el valor absoluto de un número entero siempre es positivo? c. Dos números distintos ¿pueden tener el mismo módulo? a. El cero no es un número positivo ni negativo. b. No. |0| = 0. c. Sí, dos números opuestos tienen el mismo módulo.
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ACTIVIDADES Números negativos. Orden y representación
1. Indiquen el número entero que corresponde a cada situación. a. Se realiza un descuento de $20 en la primera compra con tarjeta de crédito.
–20
15
b. Se acreditan $15 al saldo telefónico por una promoción.
c. La playa de estacionamiento se encuentra en el tercer subsuelo.
–3
–300
d. María Angélica tiene una deuda de $300.
e. En el nordeste de Francia la temperatura llegó a los 15 grados bajo cero.
–15
f. La empresa disminuyó las ventas en un promedio de 5 000 unidades por mes.
–5 000
2. Escriban una situación que represente el número entero indicado. Número entero
Situación
–5
5 años antes de Cristo.
12
El edificio tiene 12 pisos.
–3
3 grados bajo cero de temperatura.
–9
9 m bajo nivel del mar.
5
Abigail tiene 5 años.
8
Juan se compró 8 caramelos.
3. Completen con <, > o =. a. –3
<
4
c. –5
b. –9
<
|–9|
d. –34
<
–2 >
<
e. |–4|
–1 952
>
f. –2
|–5| –4
g. |+3|
=
|–3|
h. |37|
>
–37
4. Representen en la recta numérica cada número y su opuesto con un mismo color. –5; 4; –9; 6; –2; 8 –8
–6
–4
–2
0
1
2
5
9
5. Observen y resuelvan teniendo en cuenta que a, b y c representan números enteros. b
0
a
c
a. Indiquen el signo de cada uno de los números que representan las letras y expliquen por qué. b representa un número negativo porque está a la izquierda del cero. a y c representan números positivos porque están a la derecha del cero.
b. Teniendo en cuenta el ítem anterior, ¿qué signos tendrán –a, –b y –c? Como representan sus opuestos, b es positivo y a y c son negativos.
c. ¿Cuál es el opuesto de b? –b
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Adición y sustracción
infoactiva Para resolver sumas y restas de números enteros, se deben tener en cuenta estos casos. • Si los números enteros tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y el resultado lleva el mismo signo que los sumandos.
En una ciudad, a las 7 de la mañana se registraron 3 grados bajo cero. Una hora después, la temperatura bajó un grado. ¿Cuál fue la temperatura registrada a las 8 de la mañana? –3 – 1 = –4 La temperatura fue de –4 ºC. • Si los números enteros tienen signos distintos, se restan sus valores absolutos y el resultado lleva el signo del sumando que tiene el mayor valor absoluto.
Si dos horas después, la temperatura subió 5 grados, ¿a cuánto aumentó la temperatura? –4 + 5 = 1 La temperatura aumentó a 1 ºC. Si en el cálculo aparecen paréntesis, se los debe eliminar aplicando estas reglas. • Si el signo que lo precede es “+”, el signo del número encerrado entre los paréntesis no cambia.
–15 + (+12) = –15 + 12 = –3 – 9 + (–4) = –9 – 4 = –13 • Si el signo que lo precede es “–”, el signo del número encerrado entre los paréntesis cambia.
3 – (–20) = 3 + 20 = 23 5 – (+16) = 5 – 16 = –11
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. La suma de dos números negativos, ¿da como resultado un número negativo? b. La suma de dos números enteros, uno positivo y el otro negativo, ¿da como resultado un número negativo? c. ¿Cómo se puede escribir una resta de números negativos como una suma? d. ¿Es cierto que la suma de dos números opuestos es 1? a. Sí. b. No siempre, porque depende del signo que tenga el sumando de mayor valor absoluto. c. Restar dos números enteros es equivalente a sumarle al primero el opuesto del segundo. d. No, no es cierto, es 0.
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ACTIVIDADES Adición y sustracción
6. Resuelvan las siguientes sumas. a. 3 + (–4) =
= –1 f. 3 – (+5) =
= –2
b. –2 + (–3) =
= –5 g. –2 – (–2) =
=
0
c. –5 + (+3) =
= –2 h. –3 – (–5) =
=
2
d. –2 + (+9) =
=
7
i. –4 – (+3) =
= –7
e. 3 + (–3) =
=
0
j. –9 – (–3) =
= –6
7. Completen con el número que verifica la igualdad. a. 3
+ (–2) = 1
( )
c. –2 + (+5) = 3
e. 4 + –10 = –6
d. –3 + –6 = –9
f. –12 + (+12) = 0
( )
b. –5 + (–3) = –8
8. Lean atentamente y respondan. Jazmín tiene una deuda bancaria de $300. Si quiere saldar la deuda, ¿cuánto dinero tiene que depositar? ¿Cuál es la operación que representa esta situación? Tiene que depositar $300. –300 + 300
9. Escriban en lenguaje simbólico y calculen cuál es el número. a. La diferencia entre un número y –5 es igual a 2. x – (–5) = 2; x = –3
b. La diferencia entre un número y –9 es igual a 10. x – (–9) = 10; x = 1
c. La diferencia entre un número y 3 es igual a 0. x – 3 = 0; x = 3
10. Completen la tabla. a
b
a+b
b–a
b – (–b + a)
a + (a – b)
–b – a
–3
–2
–5
1
–1
–4
5
–1
4
3
5
9
–6
–3
–5
0
–5
5
5
–10
5
3
–2
1
–5
–7
8
–1
mente activa En la calculadora de Malena no funciona el signo “+” y necesita verificar si resolvió correctamente la suma 340 + 520. a. ¿Qué operación pueden hacer? b. ¿Cuál es el resultado? a. 340 – (–520). b. 860
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Multiplicación y división
infoactiva Para multiplicar o dividir números enteros, se deben tener en cuenta estos casos. • El producto entre dos números de igual signo es un número positivo.
• El producto entre dos números de distinto signo es un número negativo.
4.2=2+2+2+2=8 –(–3) = (–1) . (–3) = 3
4 . (–2) = –2 – 2 – 2 – 2 = –8 (–4) . 2 = –4 – 4 = –8
• Si se dividen dos números de igual signo, el resultado es positivo.
• Si se dividen dos números de distinto signo, el resultado es negativo.
10 : 5 = 2 porque 2 . 5 = 10 (–10) : (–5) = 2 porque 2 . (–5) = –10
10 : (–5) = –2 porque (–2) . (–5) = 10 (–10) : 5 = –2 porque (–2) . 5 = –10
Para saber el signo de una división o multiplicación de números enteros, se puede utilizar la regla de los signos. • Si los signos de los dos números son iguales, el resultado es positivo. + . + = + – . – = + + : + = + –: –= + • Si los signos de los dos números son distintos, el resultado es negativo. + . – = – – . + = – + : – = – –: + = –
El resultado de 864 . (–216) y de (–864) : 216 es negativo. El resultado de 864 . 216 y de (–864) : (–216) es positivo.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es cierto que (–3) . (–3) es igual a 6? b. El producto de un número positivo por un número negativo ¿es un número positivo? c. El cociente de dos números negativos ¿es un número positivo? d. ¿La regla de los signos para el producto es la misma que para el cociente? e. ¿A qué es igual el cociente entre un número y su opuesto? a. No es cierto, porque primero se multiplica el valor absoluto de los números y luego se aplica la regla de los signos. b. No, es negativo. c. Sí. d. Sí. e. –1.
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ACTIVIDADES Multiplicación y división
11. Resuelvan las siguientes multiplicaciones. a. 3 . (–2) = –6 b. 7 . 0 =
d. –2 . 3 = –6
0
e. 125 . (–2) . 0 =
c. (–12) . (–2) = 24
g. –2 . 3 . (–2) = 12 0
h. –3 . (–2) . (–1) = –6
f. –2 . (–5) . (–4) = –40
i. –2 . (–4) . 10 = 80
12. Completen la tabla. a
b
–a
–b
a.b
a . (–b)
–a . (–b)
–2
3
2
–3
–6
6
–6
3
5
–3
–5
15
–15
15
7
0
–7
0
0
0
0
1
4
–1
–4
4
–4
4
–2
–2
2
2
4
–4
4
13. Resuelvan las siguientes divisiones. a. 12 : (–2) = –6 b. –18 : (–3) = 6
c. –34 : (–2) = 17 d. –125 : 25 = –5
e. –60 : 12 = –5 f. –100 : (–2) = 50
14. Completen con el número entero que falta para que se cumplan las siguientes igualdades. a. 3 . b.
(–2)
. (–5) = 100
–20
c. –7 .
= –6
30
= –210
d. e. 15 . f.
. (–3) = 42
–14
–43
(–3)
g. –125 :
= –45 h.
: (–43) = 1
5
: (–6) = 0
0
i. –15 :
= –25
(–5)
=3
15. Lean atentamente y respondan. Romina le pidió a su papá $600 prestados. a. ¿Cuál es el número entero que representa la deuda que tiene Romina con su padre? –600
b. Si en el mes de septiembre le devuelve un tercio del dinero, ¿cuál es la operación que debe realizar para calcular cuánto le tiene que dar a su papá? –600 : 3
c. ¿Cuál es el número que representa la cantidad que aún le falta pagar? –400
mente activa ¿Qué signo tiene el resultado de cada cálculo? a. (–5) . (–15) . (–25) . (–45) : (–5) : (–15) . (–115) . (–115) : (–5) b. (–8) . (–8) . (–64) : (–8) . (–4) . (–128) : (–16) : (–1) c. (–240) . (–344) . 0 . (–441) : (–3) . 504 : (–4) . (–115) : (–80) a. Negativo. b. Positivo. c. El resultado es 0, por lo tanto, no es negativo ni positivo.
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Operaciones combinadas
infoactiva Para resolver un cálculo combinando las cuatro operaciones con números enteros, se deben seguir los mismos pasos que con los números naturales.
–42 . 6 : 4 + 4 + 5 . (–3) – (–16)= 1. Se separa en términos. –252 : 4 + 4 + (–15) – (–16) = 2. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones, –63 + 4 + (–15) – (–16) = aplicando la regla de los signos. –63 + 4 – 15 + 16 = 3. Se suprimen los paréntesis. En la página 173, (4 + 16) – (63 + 15) = 4. Se resuelven las sumas y restas. pueden repasar la regla de los 20 – 78 = –58 signos.
Para resolver un cálculo combinado donde hay paréntesis, primero se separa en términos. Luego se resuelven las operaciones que ellos encierran.
(–17 – 41) . (–2) + 96 : (–32) – 100 = 1. Se separa en términos y se resuelven las (–58) . (–2) + 96 : (–32) – 100 = operaciones que se encuentran entre paréntesis. 116 + (–3) – 100 = 2. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. 116 – 3 – 100 = 3. Se suprimen los paréntesis. 116 – (3 + 100) = 4. Se resuelven las sumas y restas. 116 – 103 = 13
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es cierto que –1 + 1 . 2 = 0? b. En un cálculo combinado, ¿se pueden resolver primero las sumas y las restas y luego las multiplicaciones y divisiones? c. ¿Qué significa el signo menos delante de un paréntesis? a. No, es igual a 1. b. No, hay que separar en términos y resolver cada uno de ellos. c. El signo menos delante del paréntesis representa el número opuesto al que está entre paréntesis. 175 Nombre:
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ACTIVIDADES Operaciones combinadas
16. Unan con una flecha cada cálculo con su resultado. a. 3 – 5 . (–2) + 8 = b. –23 . (–2) + 23 – 12 : (–6) = c. 45 – 45 : (–9) + 8 – 7 . (–3) = d. 19 : (–19) + 15 . 0 – 18 . 3 = e. 15 + 16 : (–4) + 12 . (–3) =
• • • • •
–25 71 –55 21 79
17. Observen cómo resolvieron Martín y Laura los cálculos y respondan. Martín 2 – 5 . ( –2) + 4 = –3 . ( – 2) + 4 6 + 4 = 10
Laura 2 – 5 . ( –2) + 4 = 2 – 10 + 4 –8 + 4 = 4
¿Resolvieron correctamente los cálculos? ¿Por qué? La resolución de Martín es incorrecta porque no aplicó la separación en términos. El procedimiento que realizó Laura también es incorrecto porque no aplicó correctamente la regla de los signos.
18. Resuelvan los siguientes cálculos combinados. a. –1 . (–3) + 6 : (2 – 15 : 3) + 4 =
c. 24 – 672 : (–36 – 5 . 12) – 15 =
3 + 6 : (–3) + 4 =
24 – 672 : (–96) – 15 =
3–2+4=5
24 + 7 –15 = 16
b. 18 : (12 – 3 . 2) + 2 . (26 – 12 . 3) =
d. (17 + 16) . (–1) – (23 – 6) . 3 =
18 : 6 + 2 . (–10) =
33 . (–1) – 17 . 3 =
3 –20 = –17
–33 –51 = –84
19. Coloquen los paréntesis donde corresponda para que se verifiquen los resultados. a. ( 12 – 3 ) . 4 – 5 . 2 = 26 b. ( 12 – 3 . 4 – 5 ) . 2 = –10 c. ( 12 – 3 . 4 – 5 ) . 2 = –2
d. ( 12 – 3 ) . ( 4 – 5 . 2 ) = –54 e. ( 12 – 3 . 4 – 5 . 2 ) = 10 f. ( 12 – 3 ) . ( 4 – 5 ) . 2 = –18
20. Rodeen el resultado correcto en cada caso. a. El triple de la diferencia entre cinco y doce. –21
21
3
–14
2
b. El doble del opuesto de tres más cuatro. 1
c. La tercera parte de la suma del opuesto de ocho y el módulo de 5. 1
–3
–1
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9 capítulo
Integración
Contenidos
47.48.49.50
21. Ubiquen en una recta numérica los siguientes números. a. –5; –1; 2; –2; –6; 8 b. –1; –3; 0; –10; 12; –12 Solución a cargo del alumno.
22. Escriban un número que represente cada situación. a. La temperatura fue de 3 grados bajo cero. b. La deuda bancaria es de $500. c. Una fosa marina es de 8 800 m. d. Tengo $200. e. Debo $200. f. Un bebé bajó 300 g en su último control. a. –3. b. –500. c. –8 800 m. d. 200. e. –200. f. –300.
23. Lean atentamente y respondan.
a. ¿Qué número es mayor: –3 o el opuesto de 8? b. ¿Qué número es mayor: el módulo de –5 o 5? c. ¿Qué número es menor: –4 o el opuesto de 5? d. ¿Qué número es menor: el opuesto de 3 o el opuesto del módulo de –3? a. –3. b. Son iguales. c. El opuesto de 5. d. Son iguales.
24. Completen con el anterior y el posterior de cada número. a.
–4
< –3 <
–2
b.
–5
< –4 <
–3
c.
–501
< –500 <
–499
d.
2
< |–3| <
4
e.
30
< –(–31) <
32
a. No existe ningún número natural entre estos valores. b. Se encuentran dos números enteros.
26. Completen con <; > o =. b. 0
>
–1 –2
>
e. –12 f. –4
a. –137; –120; –36; 0; 7; 34. b. –40; –4; –3; 7; 52; 123. c. –15; –12; –2; 0; 3; 33; 44; 140.
28. Resuelvan las siguientes sumas y restas. a. –3 + (–5) = b. –4 + (+8) = c. –9 – (–3) = d. 0 – (+3) =
–8 4 –6 –3
e. –12 – (+2) = f. –19 – (+19) = g. –19 – (–19) = h. 20 – (+24) =
–14 –38 0 –4
29. Lean atentamente y respondan. a. Si a pertenece a los números enteros, ¿qué número hay que sumarle para que dé como resultado cero? b. Si b pertenece a los números enteros, ¿qué número hay que restarle para que dé como resultado cero? c. Si c es un número entero negativo, ¿su opuesto es un número negativo?
a. Hay que sumar –a. b. Hay que restar b. c. No, es positivo.
30. Lean atentamente y resuelvan.
a. Vivió 62 años. b. Vivió 77 años. c. Vivió 58 años.
a. ¿Cuántos números naturales se encuentran entre –6 y –3? b. ¿Cuántos números enteros se encuentran entre –6 y –3?
<
a. –120; 34; –36; |–7|; –137; 0 b. –40; –|–4|; 52; –3; 4; 123; 7 c. –15; 44; 0; –2; 33; 140; –12; 3
a. Un famoso matemático nació en el año 384 antes de Cristo y murió en el año 322 antes de Cristo. ¿Cuántos años vivió? b. Algunos documentos afirman que Thales de Mileto nació en el año 624 a. C. y falleció en el año 547 a. C. ¿Cuántos años vivió? c. Si una persona nació en el año 15 a. C. y murió en el año 43 d. C., ¿cuántos años vivió?
25. Lean atentamente y respondan.
a. –3
27. Ordenen de menor a mayor.
<
–15 –2
c. –8
<
|–8|
g. –|17| = –17
d. 10
>
–20
h. 4
>
|–2|
31. Resuelvan los siguientes problemas. a. En una montaña donde se practica esquí, la temperatura más alta fue de –3 °C, y la más baja, de –25 °C. ¿Cuál fue la diferencia de temperatura? b. Un avión vuela a 9 000 m y un submarino está a –850 m. ¿Cuál es la distancia entre ambos? c. Cecilia tiene $250 en el banco y debe pagar $150 de Internet y $180 de expensas. ¿Le alcanza el dinero? ¿Cuánto le falta, si además quiere pagar $120 de la cuota del gimnasio? a. 22°. b. 9 850 m. c. No. $200.
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32. Resuelvan.
38. Observen atentamente y respondan.
Hernán se retrasó varios meses con el pago del servicio de televisión por cable y financió su deuda de $780 en 6 pagos. a. Si abonó $520, ¿cuántas cuotas pagó? ¿Cuál es el valor de cada cuota? b. ¿Cuánto dinero le falta pagar? ¿Qué operación debe realizar para averiguarlo?
Julia introdujo el siguiente cálculo en la calculadora: 3 – 5 . 2 + 4 y obtuvo 0 como resultado. ¿Es correcto? ¿Por qué?
a. Pagó 4 cuotas de $130. b. 780 – 520 = 260
33. Respondan. a. ¿Cuál es el triple de –3? b. ¿Cuál es el número que al dividirlo por –2 dé como resultado 5? c. ¿Hay algún número que al dividirlo por –7 dé como resultado cero?
a. 3 . ( –3) = – 9. b. El número es –10, porque –10 : ( –2) = 5. c. Si el 0, porque 0: (–7)= 0.
34. Completen y respondan.
a. ¿Cuáles pueden ser los factores para que se verifique el siguiente producto? 4
. (–3) = –12 b. ¿Existe una única posibilidad? En caso de existir otra, indiquen cuál. c. ¿Pueden ser los dos factores positivos? ¿Por qué?
b. No, también puede ser. 2. (– 6) c. No, porque en ese caso el resultado sería positivo.
35. Resuelvan las siguientes divisiones. a. –15 : (–3) = 5 b. 10 : (–2) = –5 c. –18 : (–3) = 6
d. 14 : (–7) = –2 e. 24 : (–1) = –24 f. 16 : 0 =
No es posible realizar esta operación.
36. Completen con <, > o = sin hacer la cuenta. Expliquen cómo lo pensaron. a. 2 . ( –3)
<
6
b. – 4 . ( –3) = 12 c. – 4 : ( – 2) d. 18 : ( –9)
–2
> <
2
37. Resuelvan los siguientes cálculos combinados. a. 2 . (–3) + 5 – 15 : (–3) = 4 b. 12 + 3 : (–3) – 16 – 4 : (–2) = –3 c. –3 . 6 . (–7) – 60 + 12 : (–6) = 64 d. 34 . (–6) + 12 : (–3) – 4 . (–3) = –196 e. 23 – 25 . (–5) + 125 – 12 = 261
No, no es correcto porque la calculadora no realizó la separación de términos.
39. Resuelvan.
a. 2 – (12 – 45) + 3 – 12 . (–3) = 74 b. –(23 – 36) . (–3) – 34 : (–2) = –22 c. 48 – 3 . 29 – (3 – 23 . 4) – 24 : (–24) = 51 d. –53 – (4 . 2 + 18) – 20 = –99 e. –30 – 12 . 2 – (16 – 4 . 2) = –62 f. 25 – (–3 . 4 + 5 . 8) – 3 . (–7) = 18
40. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. a. El doble del módulo de –8 disminuido en 4 unidades, ¿a qué es igual? b. La mitad de la suma entre el opuesto de 8 y 20, ¿a qué es igual? c. El producto entre el opuesto de 4 y un número es igual a –12. ¿Cuál es ese número? d. El cociente entre un número y el módulo de –5 es igual a –6. ¿Cuál es ese número? e. La diferencia entre el siguiente de –3 y el opuesto de un número da por resultado –5. ¿Cuál es ese número? f. La suma entre el opuesto de 4 y un número es igual a 14. ¿Cuál es ese número? a. 12. b. 6. c. 3. d. –30. e. –3. f. 18.
41. Resuelvan los siguientes cálculos combinados. a. –22 : (–11) – (–18 + 14 : 2) + (–7) = b. 7 + 8 : (–4) – [4 + (–12) : 4] = c. (–24) : (–6) – [8 : (–4) – (–2 – 3)] . 2 + 1 = d. (–3) + 3. (–4 + 5) – 5 . [–2 + 7 . (–1) + 9] = e. (–1 – 8) : (–3) + ( 9 – 2 . 5) . (–2) . (–2) = f. –(–4 + 5) + 3 – 21 : (–7) : 3 . (–19 + 22) = a. 6. b. 4. c. –1. d. 0. e. –1. f. 5.
42. Respondan. a. ¿El triple del opuesto de qué número sumado cinco da como resultado 14? b. ¿El doble del siguiente de qué número da como resultado –10? c. ¿La tercera parte de qué número es –30? d. ¿La suma entre qué dos números enteros es –15? e. ¿La diferencia entre qué dos números enteros es –10? a. 3. b. –6. c. –90. d. –8 y –7. e. 5 y 15.
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9 capítulo
Autoevaluación 43. Escriban un número que represente cada situación. a. Segundo subsuelo.
b. Debo $300.
–2
c. Quinto piso.
–300
5
44. Ordenen de menor a mayor y representen en la recta numérica. –18; |–21|; 6; –15; 9 –18; –15; 6; 9; 21
–18
0
–15
6
9
|–21|
45. Completen la tabla. a
Anterior
Siguiente
Valor absoluto
Opuesto
–3
–4
–2
3
3
5
4
6
5
–5
–8
–9
–7
8
8
–10
–11
–9
10
10
46. Resuelvan las siguientes operaciones. a. 15 + (–3) = 12 b. –12 + (+8) = –4
c. –9 – (+12) = –21 d. 16 . (–2) = –32
e. 18 : (–9) = –2 f. –15 : (–5) =
3
47. Unan cada cálculo con su resultado. • –17 a. 3 . (–2) + 5 . 4 = • 14 b. –2 + 3 . (–4) + 7 = • 19 c. 12 : (–2) + 4 . (–8) + 6 = • –22 d. –4 – 16 : (–4) – 12 + 5 . (–2) = • –32 e. 12 + (–2) . 4 – 10 . (–2) = • 24 f. 15 – (–16) : (–8) + 3 . 2 = • –4 • –7 48. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas. a. 3 . (–2 + 5) – (4 – 5 . 2) = c. –12 – (3 . 2 – 8) + 12 : (–6) =
3 . 3 – (–6) =
–12 – (–2) – 2 =
9 + 6 = 15
–12 + 2 – 2 = –12
b. 7 – (2 – 4) + 6 =
d. –(–3 + 4 . 2) . 5 – (5 . 2 + 3) =
7 – (–2) + 6 =
–5 . 5 – 13 =
7 + 2 + 6 = 15
–25 – 13= –38
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Tp
Trabajos prácticos fecha de entrega
calificación
capítulo 1 Números naturales
capítulo 2 Fracciones y expresiones decimales
capítulo 3 Funciones
capítulo 4 Cuerpos
capítulo 5 Ángulos
capítulo 6 Figuras planas
capítulo 7 Perímetro, área y volumen
capítulo 8 Probabilidad y estadística
capítulo 9 Números enteros
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capítulo
1
Trabajo práctico Números naturales
1. Resuelvan. En un juego de mesa, hay cartas con descomposiciones de distintos números. Cada jugador recibe una tarjeta con un número y debe levantar cartas del mazo hasta juntar las tres descomposiciones que corresponden a su número. Gana el que logra juntar primero las tres descomposiciones. Lola jugó con Flor y con Marcos. Estos son los números que les tocaron a los chicos. marcos Lola
40 048
404 008
44 008
flor
a. Flor dice que ganó. Estas son las cartas que juntó. ¿Tiene razón? ¿Por qué?
400 000 + 4 000 + 8
+8 4 . 100 000 + 4 . 1000
4 . 105 + 4 . 103 + 8 . 100
Sí, porque las tres descomposiciones corresponden a su número.
b. ¿Qué cartas debía juntar Lola para ganar? ¿Y Marcos? Lola: 40 000 + 40 + 8; 4 . 10 000 + 4 . 10 + 4 . 1; 4 . 104 + 4 . 101 + 4 . 100 Marcos: 40 000 + 4 000 + 8; 4 . 10 000 + 4 . 1 000 + 8 . 1; 4 . 104 + 4 . 103 + 8 . 100
2. Descompongan los siguientes números en potencias de diez y respondan. 45 650 =
4 . 104 + 5 . 103 + 6 . 102 + 5 . 101 + 0 . 100
54 506 =
5 . 104 + 4 . 103 + 5 . 102 + 0 . 101 + 6 . 100
a. Si las cifras de los números anteriores son las mismas, ¿por qué los números no lo son? Porque el sistema de numeración decimal es posicional.
b. ¿Qué posición ocupa la cifra 6 en cada número? ¿Representan el mismo valor? ¿Por qué? En el a. ocupa el lugar de las decenas y en el b., el de las unidades. No, porque las posiciones son distintas.
3. Rodeen con color el número que cumple con las condiciones indicadas. Es mayor que 372 y menor que 123. Todas sus cifras son diferentes. La cifra de las unidades es la mitad de la de las centenas. La diferencia entre las centenas y las decenas es 100.
1 412
1 540
1 545
1 653
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Curso
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/
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1
capítulo
Trabajo práctico Números naturales 4. Resuelvan e indiquen las operaciones que tienen el mismo resultado. ____ _____ 3
____
___
√ c. (56 . 5 . 58) : ( 57 )2 + √ 25 . 169 =
: 3 = a. √ 1 000 . 23 – √900 10 . 8 – 30 : 3 =
515 : 514 + 5 . 13 =
80 – 10 = 70
5 + 65 = 70
b. ( 103 )2 : (103 . 103) +
___ 3 = 64 √
_____
___
__
– ( 3 . 2 )0 = d. √16 + √16 – √9 +9 ___
106 : 106 + 4 =
25 + 4 – 3 – 1 = √
1+4=5
5+4–3–1=5
Tienen el mismo resultado a y c, b y d.
5. Escriban lo pedido en cada caso. a. Todos los divisores de 36:
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
b. Los primeros seis múltiplos de 13:
13, 26, 39, 52, 65, 78
c. El mcm (18;24;30):
18 = 2 . 32; 24 = 23 . 3; 30 = 2 . 3 . 5; mcm (18;24;30) = 23 . 32 . 5 = 360
d. El dcm (18;24;30):
18 = 2 . 32; 24 = 23 . 3; 30 = 2 . 3 . 5; dcm (18;24;30) = 22 = 4
e. El mcm (48;56;84):
48 = 24 . 3; 56 = 23 . 7; 84 = 22 . 3 . 7; mcm (48;56;84) = 24 . 3 . 7 = 336
f. El dcm (48;56;84):
48 = 24 . 3; 56 = 23 . 7; 84 = 22 . 3 . 7; dcm (48;56;84) = 2 . 3 = 6
6. Unan con flechas la expresión simbólica que corresponda con cada enunciado. a. El doble del triple del anterior de un número. b. El doble del anterior del triple de un número. c. El siguiente del doble de un número aumentado en 10. d. La suma entre 10 y el doble del siguiente de un número.
7. Resuelvan las siguientes ecuaciones. ___
____
6 + 8x = 2x + 9 . 4
3x2 + 3 + 13 = 5 . 2 + 18
8x – 2x = 36 – 6
x2 = 12 : 3
x=5
x=2 __
b. 3x + 16 + 5x – (2 . 5 + 1) = 6x + (72 – 8)
3
2 . (a + 1) + 10 2 . 3 . (a – 1) 2 . (3a – 1) (2a + 10) + 1
____
. 2 + 6 . 3 c. 3 . (x2 + 50) + √169 125 = √
a. 2 . (3 + 4x) = 2x + √81 . 22
• • • •
____
d. √ x – √100 : 2 = 42 – 4 . 2 __
3x + 16 + 5x – 11 = 6x + 41
√x – 5 = 8
3x + 5x – 6x = 41 + 11 – 16
√x = 13
x = 18
x = 169
__
182
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capítulo
2
Trabajo práctico Fracciones y expresiones decimales
1. Marquen con una X las figuras en donde se pintó __83 . a. X
b.
X
c.
d.
2. Indiquen la fracción que representa cada letra. Luego, escriban la expresión decimal que corresponde en cada caso. 0
a
2
a= b=
b
5 9 10
=
0,4
=
0,9
1
c
3
c=
d=
2
2
=
1,5
=
2.1
21 10
d
e
e=
f=
13 5 16 5
3
=
2,6
=
3,2
f
3. Expresen como fracción irreducible. 16 32 = a. ___ 30
27 27 = b. ___ 28
15
28
25 = c. ___ 55
5
11
65 d. ___ 13 =
5
12 d. ___ 35
1
8
48 = e. ___ 30
5
4. Marquen con una X las fracciones decimales. 8 b. ___ 17
a. __81 X
5. Ordenen de menor a mayor.
c.
99 _____ X 1 000
e.
9 X ___ 30
31 2 ____ 100 ; __ 5 ; 0,2; __ 93 ; 0,301; 0,3; __ 41 ; 0,2
31 __ 3 2 1 ; 0,3; 0,301; ____ ; ; __ 0,2; 0,2 ; __ 100 9 5 4
6. Escriban la expresión decimal que corresponde a cada fracción. 13 = a. ___ 10
1,3
b. __37 =
2,3
c. __98 =
0,8
9 e. ___ 10 =
d. __ 54 =
0,8
f. __68 =
0,9 1,3
7. Completen con <, > o =, según corresponda. a. __51 < b. 3,3
0,21 >
3,3
16 c. ___ 25 >
0,604
e. 0,57
d. __35 = 1,6
f. 1,2 =
<
0,571 24 ___ 20
183 Nombre:
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Curso
Fecha
/
/
10/31/12 5:47 PM
2 capítulo
Trabajo práctico Fracciones y expresiones decimales
8. Escriban como fracción irreducible. 99
a. 0,99 =
b. 0,9 =
100
9 10
c. 0,09 =
9
21
d. 0,21 =
100
e. 0,12 =
10
6 5
9. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.
27 ___ a. La ___diferencia entre la raíz cúbica de 8 y el cuadrado de 1,2. 3
– 1,2 8 √ ___ 27
2
3 = __ – 1,44 = 0,06 2
16 ___ b. El cociente . ___de 0,2 y la raíz cuadrada de la diferencia entre 1 y 25 ______entre el cubo
√
√
9 3 16 __ 0,23 : 1 – ___ = 0,008 : = 0,13 = 0,008 : ___ 5 25 25
c. La suma entre el cuadrado de la mitad de __51 y 0,39. 2 39
(
)
2 1 + ____ = __ __ 1 : 2 + 0,39 = ____ 5 100 100 5
1 1 ___ d. El entre la raíz cuarta de ___ ___producto ___ 81 y la raíz quinta de 32 . 4 5
__ __ __ . ___ = . = 81 √ 32 3 2 6 √ ___
1
1
1
1
1
10. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas. _______
√
19 ___ – 12 19 ___ – 12
___ 11 : ___ 11 = 12 13 13 __ ___ = 1 12 2
( ) ( )
3 2 4 . b. __ 32 – __ 31 + ___ 15
95 10 = ___ 1 + ___ ___ 8 – __ 27 9 27 3
___
√
19 7 11 + ___ – ___ a. ___ 25 : ___ 12 13 = 48 36
3 ___ 50 8 c. 0,22 . ___ – 0,6 = 3 + 27
50 __ 3 1 . ___ 11 ___ + 2 – __ = ___ 25 3 3 5 15
__
25 ___ 2 =
√
4 16 d. 0,5 : __45 + 2,5 – ___ 81 =
2
4 5 2 __ 1 . __ + __ – __ = 4 5 2 3 5 2 ___ __ 1 + __ – __ = 61 5 2 3 30
11. Resuelvan las siguientes situaciones problemáticas. a. De un rollo de cinta de 25 m, se deben cortar 1,2 m para la confección de moños. ¿Cuántos moños se pueden obtener? ¿Qué porcentaje de la cinta sobra? Se pueden obtener 20 moños. Sobra el 4% de la cinta.
b. En un libro de Matemática se destina el 65% de las páginas para ejercicios, el 25% del total para la teoría y el resto para los trabajos prácticos. Si tiene 24 páginas de trabajos prácticos, ¿cuántas páginas tiene el libro? ¿Y las demás secciones? El libro tiene 240 páginas. Tiene 156 páginas de ejercicios y 60 de teoría.
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capítulo
3
Trabajo práctico Funciones
1. Resuelvan. a. Escriban las coordenadas de cada punto.
( ) b = ( 5 ; 25 ) c = ( 6 ; 5 ) d = ( 0 ; 30 ) e = ( 9 ; 15 ) f = ( 11 ; 30 )
a = 2 ; 10
y f
d b e
15 a c
0 3 x
b. Representen los siguientes puntos en un sistema de ejes cartesianos. a = (200;4) b = (400;6) c = (50;2) d = (0;8) e = (250;10) f = (450;12)
y f
12 e
10 d
8
b
6 a
4 c
2
100 200 300 400 500
x
marzo?
150
cantidad de casas
2. Resuelvan. El siguiente gráfico muestra la cantidad de casas vendidas durante un año. a. ¿Cuántas casas se vendieron en el mes de 230
b. ¿En qué meses se vendieron más casas? En agosto y septiembre.
c. ¿En qué mes se vendieron 180 casas? ¿Y menos de 170?
En junio. En enero y marzo.
220 210
200 190 180 170
d. ¿En algún mes no se vendieron casas? No.
e. ¿Cuántas casas se vendieron entre abril y julio inclusive?
160 150 0 E F M A M J J A S O N D meses del año
Se vendieron 720 casas.
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Curso
Fecha
/
/
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3
capítulo
Trabajo práctico Funciones
3. Completen las tablas para que se cumpla lo indicado en cada caso. Escriban la constante de proporcionalidad. a. Variables directamente proporcionales.
b. Variables inversamente proporcionales.
x
y
x
y
5
15
5
42
7
21
14
15
10
30
6
35
k=
3
k=
210
4. Escriban un ejemplo de proporcionalidad directa, uno de relación de proporcionalidad inversa y otro de relación no proporcional. PD: La cantidad de minutos que se pueden hablar con el crédito del celular, si no se tiene promoción. PI: La cantidad de páginas de cierto tamaño que se necesitan para escribir un texto, según el tamaño de la letra. NP: La hora del día y la temperatura.
5. Resuelvan. Malena quiere ampliar una foto de su perra para colocarla en un portarretrato, sin que se deforme. Las medidas reales de la imagen son de 10 cm de ancho por 15 cm de alto. a. Si el ancho de la foto debe ser de 30 cm, ¿cuánto debe medir el alto? Debe medir 45 cm de alto.
b. Si el alto de la foto pasa a ser de 30 cm, ¿cuánto debe medir de ancho? Debe medir 20 cm de ancho.
c. La relación entre el ancho y el alto de la foto, ¿es directa o inversamente proporcional? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? La relación entre los lados es directamente proporcional. k = 1,5
6. Lean atentamente y respondan. Guadalupe recorrió, con su bicicleta, cierta distancia en 2 horas con una velocidad de 20 km/h. a. Si quiere reducir la velocidad a la mitad, ¿cuánto tiempo tardará? Tardará 4 horas.
b. Si quiere recorrer la misma distancia en una hora, ¿a qué velocidad debe ir? Debe ir a 40 km/h.
c. ¿Las variables son directa o inversamente proporcionales? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? Las variables son inversamente proporcionales. k = 40.
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capítulo
4
Trabajo práctico Cuerpos
1. Completen con el cuerpo que corresponde a cada objeto. a. Rollo de servilletas.
Prisma
b. Caja de zapatos. c. Dado.
Cubo Cono
d. Bonete.
Cilindro
e. Pelota de tenis.
Esfera
f. Tanque de agua.
Cilindro
g. Ladrillo.
Prisma Cilindro
h. Lata de pintura.
2. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen las respuestas. V
a. En cualquier pirámide, la cantidad de caras coincide con la cantidad de vértices. b. Un prisma de diez caras tiene diez vértices. c. Un cilindro no tiene caras.
F
F
d. La cantidad de aristas de la base de cualquier pirámide es igual a la cantidad de vértices menos 1.
V
3. Marquen con una X cuál de los desarrollos corresponde a un prisma de base hexagonal. a.
b.
c.
X
4. Copien el siguiente desarrollo y construyan el cuerpo. Luego, rodeen con color el cuerpo que corresponde al desarrollo.
a.
b.
c.
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Curso
Fecha
/
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4
capítulo
Trabajo práctico Cuerpos
5. Unan con flechas la cantidad de caras con el nombre del poliedro regular correspondiente. a. 12 • Cubo b. 8 • Octaedro c. 4 • Icosaedro d. 15 • Tetraedro e. 20 • Dodecaedro f. 6
6. Representen la siguiente situación y luego, completen con // (paralelas) o ⊥ (perpendiculares). A
B; C
AyB
D
A
C
B D
B ⊥ C
C ⊥ D
A
//
D
7. Completen con // (paralelas), ⊥ (perpendiculares), _⁄ (oblicuas) o AL (alabeadas). A
B
C D
A A
B
C
D
⊥
_⁄
//
AL
AL
B
⊥
C
_⁄
AL
D
//
AL
AL AL
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capítulo
5
Trabajo práctico Ángulos
1. Calculen lo pedido en cada caso teniendo en cuenta los ángulos dados. ^ ^ α = 30° 45’; β = 72° 27’; ^ γ = 110° 8’ 30” ^ c. ^ γ – (^ α + β ) =
^ a. (^ α + β ) : 3 =
(30° 45’ + 72° 27’) : 3 =
110° 8’ 30" – (30° 45’ + 72° 27’) =
103° 12’ : 3 = 34° 24’
110° 8’ 30" – 103° 12’ = 6° 56’ 30"
^ d. β : 9 + ^ γ =
b. ^ γ : 2 – ^ α =
110° 8’ 30" : 2 – 30° 45’ =
72° 27’ : 9 + 110° 8’ 30" =
55° 4’ 15" – 30° 45’ = 29° 19’ 15"
8° 3’ + 110° 8’ 30" = 118° 11’ 30"
^ 2. Coloquen una X para indicar la relación que existe entre ^ α y β . ^ α
^ β
Complementarios
15° 20’
37° 20’ . 2
X
45° 30’ – 27°
161° 30’
80°
90° – ^ α
Suplementarios
X X
3. Escriban las ecuaciones y resuelvan. a. El triple de un ángulo es 165° 30’. ¿Cuánto mide el ángulo? 3 . x = 165° 30’; x = 55° 10’
b. La tercera parte de un ángulo es de 15° 20’. ¿Cuánto mide el ángulo? x : 3 = 15° 20’; x = 46°
c. La suma entre el doble de un ángulo y su suplemento es 200°. ¿Cuánto mide el ángulo? 2 . x + (180° – x) = 200°; x = 20°
4. Calculen el valor de los ángulos desconocidos y resuelvan. Datos: P ⊥ Q
^ β =
67° 25’
^ α = 22° 35’
^ δ =
112° 35’
^ ε =
67° 25’
a. ^ ε – ^ α = ^ b. δ + ^ α =
44° 50’ 135° 10’
^ c. δ + ^ α + ^ ε =
P α β
Q
ε
δ
202° 35’
R
^ ^ d. β + δ – ^ α =
157° 25’
^ ^ e. (δ – β ) . 2 =
90° 20’
f. ^ α : 2 + ^ ε = 78° 42’ 30"
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Curso
Fecha
/
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5 capítulo
Trabajo práctico Ángulos
5. Resuelvan. a. Dibujen un ángulo obtuso y divídanlo en cuatro ángulos iguales. Solución a cargo del alumno.
b. Dibujen un ángulo cóncavo y tracen su bisectriz. Solución a cargo del alumno.
6. Tracen lo pedido en cada___caso y completen.
a. Tracen la mediatriz de mq ___ y llamen __ t al punto medio. b. Tracen las mediatrices del mt y del tq . Llamen r al ___ __ punto medio de mt y z al punto medio de tq . c. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. m
__
___
• mr mide lo mismo que tz . V • •
q
Solución a cargo del alumno.
__ mr mide lo mismo que tq . F __ t es punto medio del rz . V ___
7. Planteen la ecuación y calculen el valor de cada uno de los ángulos de las figuras. a. Datos: M ⊥ T ^ α = 7x ^ β = 4x + 18° ^ ε = 5x + 8°
7x + 4x + 18° + 5x + 8° = 90°
M
β α
T
ε
16x = 64°
x = 64° : 16
x = 4°
^ ^ ^ α = 28° β = 34° ε = 28° b. Datos: ^ π = 4x + 12° ^ α = 6x – 24° ^ β = 2x – 10°
4x +12° = 6x – 24° α π
ε β
36° = 2x
18° = x
^ α = 84°
^ β = 26°
^ π = 84°
^ ε = 70°
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capítulo
6
Trabajo práctico Figuras planas
1. Lean atentamente y resuelvan. Una artesana quiere armar portarretratos de forma triangular. Para ello, cuenta con dos maderas de 8 cm, dos de 5 cm, cuatro de 9 cm, dos de 12 cm, dos de 15 cm y tres de 3 cm. a. Completen la tabla con algunas de las posibles combinaciones que puede armar según la longitud de las maderas. Tengan en cuenta la cantidad que tiene de cada una. Longitud madera 1
Longitud madera 2
Longitud madera 3
8 cm
5 cm
9 cm
3 cm
12 cm
12 cm
15 cm
9 cm
8 cm
3 cm
9 cm
9 cm
b. ¿Puede armar portarretratos con todas las maderas? ¿Por qué? Depende de las combinaciones utilizadas en la tabla.
c. Clasifiquen los triángulos que forman los portarretratos según sus lados y sus ángulos. Solución a cargo del alumno.
2. Resuelvan. a. Calculen la medida del lado desconocido sabiendo que el perímetro total de cada polígono es 35 cm.
FIGURA A
FIGURA B
8,6 cm
FIGURA C
7 cm 7 cm
x
y 9,8 cm
2,5 cm
8,7 cm 9 cm
1 cm
6,4 cm
z
1,5 cm
3 cm 4 cm
x=
10 cm
y=
10 cm
z=
16,5 cm
b. Calculen la suma de los ángulos interiores (SAI) de cada uno de los siguientes polígonos. SAI A = 540°
SAI B = 900°
SAI C = 180°
3. Calculen la medida de los ángulos desconocidos. ^ a. En el trapecio isósceles defg, el ^ g mide el cuádruple del d y el ^ e mide 36°. ^ ^ ^ d = e = 36° y f = ^ g = 72°
b. En el pentágono irregular stuvw, el ^t mide la mitad del ^ s . El ^ u mide 37° más que el ^t . El ^ v mide 47° más que el ^ s . El w ^ mide 1° más que el ^t y ^ s mide 130°. ^ s = 130°; ^t = 65°; ^ u = 102°; ^ v = 177°; w ^ = 66°
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Curso
Fecha
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6 capítulo
Trabajo práctico Figuras planas
4. Tracen en las ___ siguientes circunferencias lo pedido en cada caso. ___ a. Una cuerda ab de menos de 3 cm y otra cuerda cd de 3 cm.
__
c. Un diámetro pq y una cuerda rs perpendicular a pq, de menos de 2,5 cm de longitud.
b. Una cuerda st de más de 1,5 cm y uno de d. Un sector circular con un ángulo de 80°. los arcos que quedan determinados.
5. Completen la tabla. Polígono
¿Regular o irregular?
Cantidad de lados
Ángulo central
Suma de ángulos interiores
Triángulo escaleno
Irregular
3
––––––
180°
Cuadrado
Regular
4
90°
360°
Trapecio isósceles
Irregular
4
––––––
360°
Paralelogramo
Irregular
4
––––––
360°
Hexágono regular
Regular
6
60°
720°
Octógono regular
Regular
8
45°
1 080°
Eneágono regular
Regular
9
40°
1 260°
6. Construyan en sus carpetas las siguientes figuras. a. Un triángulo isósceles cuyos lados iguales midan 5 cm y el lado desigual mida 3,5 cm. b. Un paralelogramo cuyos lados midan 2,5 cm y 4,7 cm y uno de sus ángulos mida 45°. c. Un pentágono regular de 4 cm de lado. Solución a cargo del alumno.
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capítulo
7
Trabajo práctico Perímetro, área y volumen
1. Ordenen de mayor a menor. a. 7 500 dm; 48 m; 5 600 mm; 0,5 km; 50,4 dam 7 500 dm; 50,4 dam; 0,5 km; 48 m; 5 600 mm
b. 3,2 dam2; 500 000 mm2; 0,052 hm2; 800 dm2 0,052 hm2; 3,2 dam2; 800 dm2; 500 000 mm2
c. 0,65 m3; 0,0012 dam3; 420 000 cm3; 3 000 dm3 3 000 dm3; 0,0012 dam3; 0,65 m3; 420 000 cm3
d. 3 500 l; 4 kl; 9 800 dl; 12 hl 4 kl; 3 500 l; 12 hl; 9 800 dl
2. Calculen el área lateral, el área total y el volumen de los siguientes cuerpos. a. Cilindro.
b. Pirámide de base cuadrada. 6,5 cm
12 cm
8 cm
Área lateral: 301,44 cm2
Área lateral:
6 cm Área total: 401,92 cm2
Área total:
Volumen: 602,88 cm3
65 cm2 90 cm2
Volumen:
50 cm3
5 cm
3. Completen la tabla sabiendo que se trata de prismas de base regular. Base del prisma
Apotema
Lado de la base
Altura
Área lateral
Área total
Volumen
Capacidad
Cuadrada
1 cm
2 cm
6 cm
48 cm2
56 cm2
24 cm3
24 ml
Pentagonal
2 dm
1 dm
3 dm
15 dm2
25 dm2
15 dm3
15 l
Hexagonal
3m
3m
1m
18 m
72 m
27 m
Octogonal
3 mm
4 mm
10 mm
320 mm
2
2
2
416 mm
2
3
480 mm
27 kl
0,48 ml
3
4. Resuelvan. Se volcaron en tres momentos diferentes 500 l, 25 000 cl y 82 dal de agua en un tanque cilíndrico de 1 m de diámetro. Si el tanque se llenó, ¿cuál es su altura? La altura del tanque es de 2 m.
5. Ordenen de mayor a menor. Escriban previamente todas las expresiones en litros. 2,5 l - 420 cm3 - 0,075 kl - 3 dm3 - 3,2 dal - 0,008 hl 75 l; 32 l; 3 l; 2,5 l; 0,8 l; 0,42 l
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Curso
Fecha
/
/
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7
capítulo
Trabajo práctico Perímetro, área y volumen
6. Resuelvan. a. Un prisma tiene una base de forma octogonal. El perímetro de la base es de 40 cm y su apotema mide 3 cm. Si el volumen es de 600 cm3, ¿cuánto mide la altura? La altura mide 10 cm.
b. El perímetro de la base de un cono es de 314 cm. Si la altura es igual al diámetro de la base, ¿cuál es el volumen del cono? Expresen el resultado en dm3. El volumen del cono es de 785 dm3.
c. El área lateral de un cubo es de 64 mm2. ¿Cuál es su volumen? El volumen del cubo es 64 mm3.
d. El volumen de una pirámide de base pentagonal es de 25,5 cm3. Si la altura mide 6 cm, ¿cuánto mide el área de la base? El área de la base es 12,75 cm2.
7. Piensen y resuelvan. Pilar quiere pintar un vitraux utilizando acrílicos de diferentes colores como indica el dibujo.
a. ¿Cuál es el área que ocupa cada color? Rojo: 2,14 m2; azul: 1 m2; verde: 0,86 m2.
b. Si cada frasco de acrílico rinde 500 cm2, ¿cuántos frascos de cada color necesita? 2m
Rojo: 43 frascos; azul: 2 frascos; verde: 18 frascos.
8. Respondan. a. Andrés llena una bañera con forma de prisma rectangular de 1 m de largo, 60 cm de ancho y 40 cm de alto para bañar a su perro. ¿Cuántos litros de agua necesitará para llenarla? Necesitará 240 l de agua.
b. Francisco construye cajas de aluminio de 50 cm de ancho, 70 cm de largo y 30 cm de altura, sin tapa. Si desea construir 20 cajas, ¿cuántos m2 de aluminio necesitará? Necesitará 21,4 m2 de aluminio.
c. Martín debe colocar dados de 2 cm de arista en una caja de 1,5 dm de ancho por 100 mm de largo y 8 cm de alto. ¿Cuántos dados entrarán en la caja? Entrarán 150 dados.
d. El termotanque de la casa de Pedro tiene forma cilíndrica de 1,52 m de alto y 45 cm de diámetro. Si al bañarse consume 100 l, ¿cuántos litros de agua quedarán en el termotanque? Quedarán 141,623 l en el termotanque.
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capítulo
8
Trabajo práctico Probabilidad y estadística
1. Escriban tres ejemplos de variables cualitativas. El sabor favorito de helado de los alumnos de 1.° año. El estado civil de los docentes de cierta escuela. El lugar de residencia de un grupo de personas.
2. Escriban tres ejemplos de variables cuantitativas. La cantidad de CD que tiene cada persona. La cantidad de alumnos que hay en cada curso de la escuela. La cantidad de jugadores que forman un equipo según el deporte.
3. Resuelvan. Se encuestó a 25 personas al azar, para saber cuántas veces por día ingieren alguna fruta. Los datos obtenidos fueron los siguientes. 2; 0; 1; 1; 5; 3; 2; 4; 5; 1; 3; 3; 1; 1; 4; 2; 0; 3; 2; 2; 1; 1; 2; 0; 1 a. Completen la tabla de frecuencias. Cantidad de frutas
0
1
2
3
4
5
Total
f
3
8
6
4
2
2
25
fr
0,12
0,32
0,24
0,16
0,08
0,08
1
%
12
32
24
16
8
8
100
b. ¿Cuál es la cantidad promedio de frutas que ingieren por día? En promedio ingieren 1,8 frutas por día.
c. Calculen la mediana y la moda. me = 2; mo = 2
4. Respondan. Juan y Santiago están jugando a los dardos. En la siguiente tabla se observan los puntajes que obtuvieron.
40 60 80
100
2°
3°
4°
5°
Juan
60
60
40
100
100
Santiago
80
40
60
80
100
a. ¿Cuál es el promedio de Juan?
80 60 40
El promedio de Juan es 72 puntos.
1°
b. ¿Qué puntaje debe obtener Santiago para igualar el promedio de Juan?
Santiago debe obtener 100 puntos. 195
Nombre:
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Curso
Fecha
/
/
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8 capítulo
Trabajo práctico Probabilidad y estadística
5. Observen y luego, respondan. La tabla muestra el registro de temperaturas mínimas del mes de junio. a. Completen la tabla de frecuencias y realicen un gráfico de barras. Temperaturas (en °C) 4 5 6 7 8 9 11 12 13 Total
f
fr
%
5 3 6 2 4 2 4 2 2
0,16
16
30
0,10
10
0,20
20
0,06
6
0,13
13
0,06
6
0,13
13
0,06
6
0,06
6
0,96
96
Solución a cargo del alumno.
b. ¿Cuál es el promedio, la mediana y la moda? x = 7,63; me = 6,5; mo = 6
6. Calculen las siguientes probabilidades. Se extrae una carta al azar de un mazo de 40 cartas españolas. 1 __
a. ¿Cuál es la probabilidad que sea oros? 4
b. ¿Cuál es la probabilidad que no sea un as? c. ¿Cuál es la probabilidad que sea un rey?
5 __ 6 1 ___ 12
7. Resuelvan. a. Tres corredores participan en una competencia. • ¿De cuántas maneras distintas podrán llegar a la meta? ¿Cuáles? Podrán llegar a la meta de 6 maneras distintas. ABC; ACB; BAC; BCA; CAB; CBA.
• Si en la misma carrera se inscriben cinco personas más, ¿de cuántas formas distintas pueden llegar a la meta? Podrán llegar de 40 320 formas.
b. En un torneo de fútbol participan 12 equipos. • Si un mismo equipo juega una vez por fecha, ¿cuántas fechas deberá jugar cada uno? Cada equipo deberá jugar 11 partidos.
• Al finalizar el torneo, ¿de cuántas formas distintas pueden ubicarse los tres primeros puestos? Pueden ubicarse los tres primeros puestos de 1 320 formas distintas.
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capítulo
9
Trabajo práctico Números enteros
1. Escriban el número entero que corresponda a cada situación. a. Carla gastó $500 de sus ahorros.
–500 39
b. La temperatura máxima en el mes de enero fue de 39 °C. c. Un pez se encuentra a 4 m de profundidad.
–4
–300
d. Euclides nació en el año 300 a. C.
e. Mariano dejó el auto en el segundo subsuelo del estacionamiento. f. Daniela tiene cinco mascotas.
–2
5
2. Ubiquen en la recta numérica los siguientes números enteros. Marquen con color el opuesto de cada uno de los números marcados. –30; |–6|; 18; –42; –42
–30
–18
6
0
–6
18
30
42
3. Indiquen el número que representa la letra a en cada caso. Expliquen cómo lo pensaron. a. b.
–12
–40
4
a
a = –4
–5
a
a = –30
4. Completen con <, > o =. a. –5 b. 9 =
>
–8
c. –32
|–9|
>
–35
d. –5 = –|5|
e. –16
>
–26
g. –567
<
–420
f. |–8|
>
–9
h. –234
<
–100
5. Resuelvan. 2
a. –3 + (+5) = b. 8 – (+9) =
–1
c. –7 – (+12) = d. –16 + (+25) = e. –15 + (+7) =
–9
f. –12 – (–3) =
–1
g. –(–3) + (–4) =
–19
h. 12 – (+20) =
–8
9
i. –18 – (–18) =
0
–8
j. –8 + (+9) =
1
197 Nombre:
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Curso
Fecha
/
/
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9 capítulo
Trabajo práctico Números enteros
6. Resuelvan. a. 3 . (–2) =
–6 28
b. –7 . (–4) = c. –16 . 2 =
d. –25 . (–5) =
f. –140 : 20 =
–7
g. 57 : (–19) =
3
e. –36 : (–12) =
–32
125
h. –168 : (–7) =
i. 418 : (–19) =
–3 24 –22
7. Completen la tabla. a
b
|a|
|b|
a+b
–a – b
–a . b
–|a . b|
|a| . |b|
|a| . b
–3
5
3
5
2
–2
15
–15
15
15
–2
3
2
3
–5
5
–6
–6
6
6
–4
0
4
0
–4
4
0
0
0
0
–7
–2
7
2
9
5
14
–14
14
–14
–1
–2
1
2
–3
3
–2
–2
2
–2
8. Resuelvan los siguientes cálculos. a. 16 – 3 . 2 + 15 : (–5) =
16 – 6 – 3 = 7
e. –19 – 57 : (–3) + 18 . (–2) =
–19 + 19 – 36 = –36
b. –10 : (–2) + 4 . 3 – 30 =
5 + 12 – 30 = –13
f. 4 : (–2) + 12 . (–3) + 10 =
–2 – 36 + 10 = –28
c. 12 – (15 – 3 . 2) – 14 =
g. (5 – 3 . 4) . (–1) – 3 . (2 – 5) =
12 – (15 – 6) – 14 =
(5 – 12) . (–1) – 3 . (–3) =
12 – 9 – 14 = –11
7 + 9 = 16
d. 16 – 3 . 2 + (12 – 9 . 3) : (–3) =
h. 2 . (12 – 14 : 7) – 3 . 5 + 2 =
16 – 6 + (12 – 27) : (–3) =
2 . (12 – 2) – 15 + 2 =
16 – 6 + 5 = 15
2 . 10 – 15 + 2 = 7
9. Escriban el cálculo correspondiente y resuelvan. a. La suma entre el opuesto de –20 y el doble del opuesto de 5.
b. La diferencia entre –15 y el módulo del opuesto de 6.
–(–20) + 2 . (–5) =
–15 – |–6| =
20 – 10 = 10
–15 – 6 = –21
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Control de resultados capitulo
1
1. Sistema de numeración decimal 1.
2.
3. 4. 5.
Por ejemplo, a. con 3.° opción. a. 5; 4 b. 1; 3
c. 1; 4 d. 9; 8
7. 8.
9.
c. 6 e. 625 d. 10 000 f. 67
19. a. 11 b. 627 c. 3 d. 62 e. 2
f. 8 g. 22 h. 143 i. 326 j. 110
k. 133 l. 223 m. 21 n. 16
20. Por ejemplo, a. <.
Solución a cargo del alumno.
21. Solución a cargo del alumno.
Va X en d., e., g., i.
22. Por ejemplo, a. 25; 9
205 356
menteACTIVA Solución a cargo del alumno. Integración 1.2.3.4 23. a. 408 004 d. 506 005 b. 4 008 004 e. 48 005 c. 5 000 005 f. 480 086 c. > b. > d. > f. > a. > e.
2. Multiplicación y división. Propiedad distributiva 6.
18. a. 10 b. 10
d. No se puede, 7. e. No se puede, 30. f. 27
a. 12 b. 6 c. 8
Por ejemplo, a. F. a. 15 b. 13
c. 14 d. 9
24. Por ejemplo, fila 1: 98 721; 12 789. e. 31 f. 63
25. a. Va X en a. 26. Solución a cargo del alumno.
Por ejemplo, a. ≠.
10. Por ejemplo, fila 1: 168 : 6 = 28; 96 : 6 + 60 : 6 + 12 : 6 = 28.
3. Potenciación y radicación 11. Por ejemplo, a. 49.
39. Por ejemplo, a. 16. 40. a. 3 200 b. 215
c. 3 072 d. 192
e. 2 f. 40
41. a. 114 b. 32 c. 705 d. 9 000
e. 67 f. 45 g. 3 h. 6
i. 1 000 j. 160
5. Divisibilidad y factorización
42. a. 123, 126, 129, 132, 135, 138 b. 208, 216, 224, 232, 240, 248 c. 1, 2, 3, 6 d. 1, 2, 4, 5, 10, 20 e. 2, 3, 5 43. Por ejemplo, a. puede ser 5 874. 44. Por ejemplo, en la fila 1 va X en: 1, 2, 4, 5, 10. 45. a. 23 . 32 . 11 c. 32 . 112 b. 23 . 3 . 52 d. 2 . 32 . 5 . 72
c. 75 d. 7 500
6. Múltiplo común menor y divisor común mayor
14. Por ejemplo, a. F.
31. a. 46 b. 79 c. 7
15. Por ejemplo, a. 3; 3 y f. 1 000; 3; 1 000.
32. a. 60 b. 840
16. a. 128 b. 1 000 c. 8 d. 729
33. Solución a cargo del alumno.
c. 8 e. 298 g. 1 d. 10 f. 24 h. 152
e. 2 f. 6
28. a. 1 500 b. 2
30. Por ejemplo, a. =.
17. a. 2 b. 1
c. 10 000 d. 5
46. Solución a cargo del alumno.
13. Por ejemplo, a. 5; 3; 125.
4. Operaciones combinadas
c. 56
b. 866
12. Por ejemplo, a. Dos elevado a la quinta potencia.
i. 18 j. 60
b. 8
38. a. 529 b. 1 296
27. a. 485
29. a. 240 b. 9 400 c. 64
e. 16 f. 6 g. 5 h. 5
37. a. 72
34. a. 820 b. 722
d. 50 e. 7 488 f. 1 300
c. 162 d. 28
c. 60 d. 170
35. Por ejemplo, a. F.
g. 1 500 h. 6
d. 22 e. 364
e. 290 f. 410
47. a. mcm = 52 920, dcm = 4 b. mcm = 2 000, dcm = 20 c. mcm = 2 340, dcm = 1 48. a. Cada 60 minutos. b. 60 paquetes. c. El 13 de junio. No. Sí. d. Para 6 amigas.
7. Lenguaje simbólico. Ecuaciones 49. Por ejemplo, a. 2a.
50. Por ejemplo, a. con 2.° opción. 51. Por ejemplo, a. El doble de la diferencia entre un número y cinco es igual a 35. x = 13
36. Por ejemplo, a. 5, 48. 199
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52. a. m = 17 b. t = 16 c. x = 8
d. a = 32 e. y = 4 f. n = 100
53. a. x = 0 b. x = 2 c. x = 25 d. x = 87 e. x = 0 f. x = 6 g. x = 8
h. x = 3 i. x = 32 j. x = 2 k. x = 12 l. x = 1 m. x = 4 n. x = 4
54. a. x = 5 b. x = 9 c. x = 15 d. x = 12
e. x = 1 f. x = 2 g. x = 0 h. x = 7
55. a. x = 6 b. x = 100
c. x = 10 d. x = 15
menteACTIVA Solución a cargo del alumno. Integración 5.6.7 56. a. 1, 2, 4, 7, 14, 28 b. 1, 3, 5, 9, 15, 45 c. 30, 45, 60, 75 57. a. 2 850
b. 5 028
c. 8 025
58. a. Sí. Sí. No se sabe. Sí. No se sabe. b. 3. Por 10. 59. a. 23 . 52 . 7 b. 25 . 3 . 11 c. 22 . 54
d. 3 . 5 . 7 e. 22 . 72 . 13 f. 72 . 11 . 13
60. a. 103
b. 10
61. a. 105 b. 1
4
c. 4 kg d. 864 panchos.
67. a. x = 36 b. x = 15 c. x = 13
d. x = 24 e. x = 0 f. x = 22
68. a. x = 129
b. x = 34
69. a. x = 8
b. x = 1
70. a. x = 8 b. x = 4
c. x = 1 d. x = 1
71. a. x = 8 b. x = 5 c. x = 1
d. x = 8 e. x = 81 f. x = 36
73. a. 179
62. Por ejemplo, a. V.
c. 507
75. mcm = 2 700; dcm = 45 76. 2 . (x + 25) = 184 : 2 – 4; x = 19
capitulo
2
8. Orden y representación 2.
b. 20, 40, 60
64. a. mcm = 900, dcm = 30 b. mcm = 1 400, dcm = 5 c. mcm = 720, dcm = 4 d. mcm = 1 309, dcm = 1 e. mcm = 6 300, dcm = 2 f. mcm = 729, dcm = 27
b. 23
74. a. Cada 24 horas. b. 3 pastillas de antibiótico y 4 del analgésico.
1.
3. 4. 5.
65. a. Cada 30 meses. b. 150 moños. 6.
Solución a cargo del alumno. 4 a. __ 9 6 b. __ 9
9. Fracciones equivalentes 7.
8.
Autoevaluación 72. 2 . 107 + 6 . 106 + 6 . 104 + 2 . 103 + 2 . 102 + 6 100; 2 . 10 000 000 + 6 . 1 000 000 + 6 . 10 000 + 2 . 1 000 + 2 . 100 + 6; 20 000 000 + 6 000 000 + 60 000 + 2 000 + 200 + 6
23
c. 1 260 d. Por 24. Resto 12.
63. a. 192, 128, 320
66. a. 14 años. b. $60
12 c. ___ 9 24 d. ___ 9
29 e. ___ 9
4 Por ejemplo, a. 0 __ . 9 3 __ 3 4 1 ; __ __ ; ; __ 2 5 4 5 3 10 a. __ b. ___ 5 5 3 7 __ 10 ___ __ > > 5 5 5
7 c. __ 5
4 5 2 __ 5 10 __ 7 4 __ 1 < __ < __ < __ < < ___ < < __ 6 9 9 3 6 9 6 3
9.
Por ejemplo, a. __ 1 . 2 Por ejemplo, a. ___ 12 , ___ 10 . 17 42
Por ejemplo, a. __ 1 . 3 10. 7 Por ejemplo, a. __ . 4 11. 5 Por ejemplo, g. ___ . 14
10. Operaciones con números racionales
12. 9 19 6 a. __ c. __ e. ___ 5 7 8 5 7 6 d. __ f. __ b. __ 3 9 6 13. 23 Va X en a. Llegó ___ del pasaje. 30 14. 17 3 11 c. ___ e. ___ a. __ 8 28 30 7 3 1 d. ___ b. __ f. ___ 8 28 30 15. 7 Por ejemplo, a. __ . 3 16. a. > b. > c. = d. < 17. 4 3 a. __ b. __ c. 1 2 18. 18 a. ___ 10 b. ___ c. 1 49 19. 1 c. __ a. 5 2 d. 31 b. 3
__ 1 2
6 d. __ 1
25 5 ___ d. __ 1 4 e. 206 f. 42
20. a. Regaló 18. Aún conserva 27. b. Le quedan aún 13 litros. c. Alquiler e impuestos $4 550. Otros gastos $3 250. 21. 54 36 13 b. ___ c. ___ d. __ 1 a. ___ 1 25 2 14 22. 5 10 b. ___ 1 a. ___ 1 c. __ d. __ 5 21 4 4 23. a. = b. > c. > d. < 24. 5 1 = __ 1 + __ . Por ejemplo, a. con __ 2 3 6 25. a. Quedan 55 bombones. b. Continúan 7 alumnos. c. Quedan 525 libros. menteACTIVA Solución a cargo del alumno.
200
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11. Potenciación y radicación de capitulo fracciones
2
26. Solución a cargo del alumno.
25. Opuestos de un número y 27. valor absoluto. Solución a cargo del alumno.
28. 1. 5 7 1 __ c. __ e. __ a. 3 2 701 2 4 b. 45 125 16 861: d. ____ f. 4 b. ___ c. 270 9 216 29. 243 5 1 b. __ 121 2. a. __ c. ____ d. ____ 7 3 32 144 a. 9 30.b. 45 1 m2 2 m2 a. ___ b. __ 25 9 3. a. 3 701 menteACTIVA Solución b. 45 861:a cargo del alumno. c. 270
12. Operaciones combinadas con 4. fracciones
31.a. 9 73 7 2 ___ a. e. ___ c. __ b. 45 2 45 64 29 27 23 ___ d. ___ f. ___ 5. b. 10 27 36 a. 3 701 32. 2 , 336 b. 45 861:páginas. a. __ 5 c. 270 7 1 c. ___ b. __ 12 6. 3 33.a. 9 3 1 m + __ 2 . __ a. 1 m + __ m = 2 m b. 45 2 4 4 4 2 __ 1 1 __ __ 2 2 7. b. 9 m – 9 m = 3 m 34.a. 3 701 b. 45 a. < 861: b. = c. > d. < c. 270 35. 41 5 1 1 d. ___ c. __ a. __ b. __ 8. 3 2 9 60 a. 9 36. 19 17 1 a. ___ c. __ e. ___ 10 4 9. 20 3 87 62 d. ___ b. 3 ___ 701 f. ___ a. 5 10 16 b. 45 861: 37. 67 1 . 10 + __ 2 . 13 = ___ a. __ 3 4 6 9 15 1 . 12 = __ 10.b. __ 2 . ___ – ___ 5 10 a. 95 2 b. 45 menteACTIVA Solución a cargo del alumno. 11. 8.9.10.11.12 a. 3Integración 701 38.b. 45 861: Solución c. 270 a cargo del alumno. 39. 29 7 1 12.a. __ e. ___ c. __ 5 5 10 a. 9 1 __ b. 45 b. d. 2 2 40. 13. __ 4 5 2 2 __ __ __ a. a. 3 701 b. 1 c. 3 d. 3 b. 45 861: c. 270
41. 14.a. 4; 200; 5; 120 b. 17; 102; 340; 336 a. 9 c. 7; 63; 1; 105 b. 45 42. 26.Solución Orden ay cargo representación del alumno.
numérica
43. 1. Solución a cargo del alumno. 44.a. 9 b. 45 Solución a cargo del alumno. 45. 2. ___ 25 25 1 c. __ e. ___ a. a. 363701 9 6 b. 45 25 67 861: 1 ___ ___ __ b. d. f. c. 270 12 3 4 46. 3. c. < f. < a. < e. < b. < d. a. 9 47.b. 45 23 1 e. ___ a. 4 c. __ 5 24 4. 74 f. ___ b. 3 d. __ 1 25 3 a. 3 701 48.b. 45 861: 1 del total. 27 fotos. a. __ c. 270 4 22 ___ c. $1 378 5. b. 5 cm a. 9 49. 9 19 4 b. 45 b. 3 c. ___ a. __ d. ___ 10 3 6 50. 6. a. niños. a. 10 3 701 b. $216; $108; $72; $36 b. 45 861: c. Sobraron 9 porciones. c. 270 d. 12 de un ambiente, 32 de dos 7. ambientes y 4 de tres ambientes. 51.a. 9 2 m2; P = ___ 22 m b. 45 a. Á. = ___ 15 15 27 2 8. b. AS = ___ m 25 a. 3 7015 c. P =861: __ m b. 45 4 27 2 ___ 9. d. AS = 16 m 52.a. 9 9 4 5 1 b. ___ b. 45 a. ___ c. __ d. __ 50 3 4 16
13. Fracciones y expresiones capitulo decimales
5
53. Por ejemplo, a. 0,25 y b. 0,33...
30. Opuestos de un número y
54. valor absoluto. Solución a cargo del alumno. 1. 55. a. 9 ejemplo, a. <. Por b. 45 56. 2. Va X en a., b., d., f., g. 57.a. 9 3. Hay infinitas posibilidades. Por a. 3 701 a. 1,6. ejemplo, b. 45 861:
58.c. 270 a. 2 : 10; 1 : 5. 4. b. 175 : 100; 7 : 4. 59.a. 9 21 b. 45ejemplo, fila 1: ___ ; 0,6. ; ___ 6 Por 35 10 5. Operaciones con expresio14. a. decimales. 3 701 nes Porcentaje 60.b. 45 861: c. 270 f. 1,79 a. 14,98 g. 0,89 b. 8,807 6. c. 54,47 h. 1,04 a. 9 d. 18,906 i. 4,25 b. 45 e. 2,481 j. 1,08 61. 7. a. $4,91 a. $465,10 d. 3 701 b. $272,05 e. $189,28 b. 45 861: c. $406,80 c. 270 62. 8. a. 10,8 b. 3,139 a. 9
c. 2,5 d. 4,135
e. 9,9 f. 4,23
63. 9. a. 0,7 c. 0,2 e. 0,4 a. 30,39 701 d. 4 b. f. 3,2 b. 45 861: 64. Por ejemplo, a. con 0,3. y 10.g. con 2. 65.a. 9 b. 45ejemplo, tabla 1, fila 1: 0,2; Por 0,02. 11. 66.a. 3 701 a. 0,064 g. 0,9 861: b. 45 h. 0,3 b. 3,61 c. 270 c. 0,00001 i. 1,5 j. 1,3 12.d. 1,21 e. 0,343 k. 0,2 a. 9 f. 8,41 l. 0,7 b. 45 67. b. 36,7 13.a. 25,75 a. 3 701 68. b. 45 a. 20 861: d. 20 g. 300 c. 270 b. 35 e. 5 h. 6 c. 20 f. 30 i. 3 14. 69.a. 9 a. 4,8 d. 91 g. 650 b. 45 b. 58 e. 3 850 h. 700 f. 126 14.c. 520 a. 9 70. b. 45 a. $284,4 b. $408,825 13.c. 40 chicos de otras escuelas. a. 3chicos 701 organizaron la fiesta. 15 b. 45 861: c. 270 menteACTIVA Solución a cargo del alumno.
15. Operaciones combinadas 71. Por ejemplo, a. <.
201
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72. 441 a. _____ 2 500 3 b. __ 5 12 c. ___ 25 133 d. _____ 1 000
349 i. ____ 100 15 ___ j. 26 1 g. 0 k. ____ 100 473 3 h. ____ l. ___ 10 675
1 e. __ 3 21 f. ___ 20
Integración 13.14.15 73. Solución a cargo del alumno. 74. 0,7 < 0,7 < 0,5 < 0,04
90. 3 3 c. __ = 0,375 a. __ = 0,75 8 4 2 = 0,6 b. __ 3 91. 5 21 a. ___ b. __ c. 1 d. 8 20 92. a. 102; 150 b. 80; 32 93.
capitulo
76. Por ejemplo, a. <.
2.
3. 4.
80. a. 18,2 cm b. 8,6 cm c. 10,2 cm b. 4 950
82. Por ejemplo, fila 1: 3; 3,5; 3,49. 83. a. 1.° escala: 13,5%; 2.° escala: 19,2%; destino: 67,3%. b. 91,7% d. 1 520 c. 20% e. 20% 84. a. 14 b. 5,5 c. 18 d. 60
e. 250 f. 20 g. 44 h. 675
i. 75 j. 900 k. 96 l. 1 950
85. Va X en a. y b. 86. a. 3 750 b. 8 000
5.
6.
7.
8.
c. 96; 24 e. 160 d. 70 f. 94
87. Pantalón: $232,4; Campera: $280. 88. a. 102,8 b. 35,86 c. 29,24
9 __ 5
3
16. Gráficos y tablas 11 g. ____ 100 1. Solución a cargo del alumno.
78. 3 3 16 a. __ b. ___ d. __ c. __ 1 8 2 81 4 79. a. Cliente 1: $262,8; cliente 2: $146; cliente 3: $394,2 b. $792,55. Necesita vender 10 kg.
81. a. 11,7
18. Función de proporcionalidad directa
203 b. ____ 27
17 a. ___ 8
75. Va X en a., b., d., f., h. e i.
77. 33 9 c. ____ __ e. 7 a. ___ 80 100 4 6 1 d. __ 1 b. __ f. __ 5 2 6
11. a. Fila 1: 1, 2. Fila 2: 15, 25. b. Solución a cargo del alumno. c. Sí, es correcto. d. Sí.
Autoevaluación 89. Solución a cargo del alumno.
d. 188,55 e. 12,04
a = (2;2), b = (4;0), c = (5;6), d = (0;6), e = (8;2) Solución a cargo del alumno. a. a = (7;5) b. b = (4;8) c. c = (0;3) y d = (7;0) d. e = (3;6) e. f = (2,5;5) a. Por ejemplo, fila 1: 14. b. 0 horas; entre las 2 h y las 4 h. c. A las 11 horas. Fue de 24 °C. a. Tardó 30 min. Estuvo 30 min. Tardó 20 min. b. Tardó más para ir. a. 0,5 kg b. 150 días. c. 2 kg
d. No, siempre aumentó de peso.
a. Solución a cargo del alumno. b. En el mes 12. En el mes 18. c. A mitad de año. d. Solución a cargo del alumno. e. Solución a cargo del alumno. f. El ingreso disminuyó.
17. Funciones 9.
Solución a cargo del alumno.
10. Va X en d., e. y f.
12. Solución a cargo del alumno. 13. Va X en b. y c. 14. a. Por ejemplo, fila 1: 7. Solución gráfica. b. k = 7 15. a. Por ejemplo, fila 1: 250. b. Sí. k = 25
19. Función de proporcionalidad inversa 16. Solución a cargo del alumno.
17. Va X en b. y c. Solución gráfica. 18. a. Fila 1: 200. Fila 2: 64, 25. b. Sí, son variables inversamente proporcionales. k = 8 000 c. Solución gráfica. Integración 16.17.18.19 19. Solución a cargo del alumno. 20. Solución a cargo del alumno. 21. a. y b. solución a cargo del alumno. c. En a. es único y en b., no. (4;1) 22. a. Puntos mal ubicados: b, c y e. b. Solución a cargo del alumno. 23. a. Solución a cargo del alumno. c. Sí. b. Sí. 24. Solución a cargo del alumno. 25. a. Fila 1: 7. Fila 2: 17,50; 31,50; 35. b. Solución a cargo del alumno. 26. a. Solución a cargo del alumno. b. Sí. k = 3 27. a. $150 b. Por ejemplo, fila 1: 300. c. k = 150 d. Solución a cargo del alumno.
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28. a. 10 b. 35 c. Inversa. d. Por ejemplo, fila 1: 70. e. Solución a cargo del alumno. 29. a. DP
b. NP
c. DP
d. DP
Autoevaluación
30. a. 10 horas. b. 4 horas. c. Estaban a 160 km del hotel. d. Sí, a la ida. e. Duró 2 horas. 31. a. Sí. b. k = 800. La variable independiente es la altura. La variable dependiente es el volumen. c. Fila 1: 50, 60. Fila 2: 32 000, 56 000. 32. a. Cada uno deberá pagar $150. Si fueran 30, debería pagar $70. b. Son variables inversamente proporcionales. k = 2 100 c. Fila 1: 21; 28. Fila 2: 150; 70.
capitulo
4
20. Clasificación de los cuerpos 1.
2.
Solución a cargo del alumno. a. Cubo, pirámide de base cuadrada. b. Esfera, cilindro. c. Cono, cilindro. d. Prisma de base hexagonal, cilindro. e. Prisma de base triangular, pirámide de base triangular. f. Prisma de base rectangular, prisma de base triangular.
21. Poliedros regulares 3. 4.
5.
Va X en b., c., e., y f. a. con 8. c. con 6. e. con 12. b. con 4. d. con 20. Por ejemplo, fila 1: solución gráfica; 6; 8; 12; 6 + 8 = 12 + 2.
22. Desarrollo plano de cuerpos 6.
Solución a cargo del alumno.
7.
8. 9.
a. Prisma de base rectangular. b. Pirámide de base triangular. c. Pirámide de base cuadrangular. d. Cono. e. Prisma de base pentagonal. f. Pirámide de base hexagonal. Va X en b. Va X en: a. Prisma de base triangular. b. Pirámide de base cuadrada. c. Prisma de base triangular.
10. a. El cuerpo está formado por 11 cubos. b. No. c. Uno solo. d. No. e. Habría que agregar 6 cubos más. En el centro del cuerpo. 11. Va X en a. 12. Solución a cargo del alumno. 13. Va X en a. menteACTIVA Solución a cargo del alumno.
23. Punto, recta y plano
14. Por ejemplo, en a. va X en infinitas rectas. 15. a. A y B b. B y C
22. a. C, D y E. b. A y B. c. F y A. d. A y E; E y F. 23. a. // b. ⊥
25. Solución a cargo del alumno. 26. Solución a cargo del alumno. Autoevaluación 27. a. 6; pentágono. b. 18; hexágono. c. 7; pentágono. 28. 6; 6; 10; 6 + 6 = 10 + 2 29. Va X en a., b. y d. 30. Va X en b.
capitulo
1.
3. 4.
5.
18. Por ejemplo, en a. F. 19. a. 12; cubo. b. Dodecaedro; 20. c. 8; octaedro. d. 4; tetraedro.
6.
20. a. Sí. 9 + 9 = 16 + 2 b. Sí. 7 + 10 = 15 + 2
7.
21. Va X en a. y d.
5
24. Sistema sexagesimal. Operaciones
e. A y D
16. Solución a cargo del alumno. Integración 20.21.22.23 17. Por ejemplo en b. va X en un cilindro, un cono y un prisma de base rectangular.
e. ⊥ f. ⊥
24. Solución a cargo del alumno.
2. c. C y E d. D y E
c. ⊥ d. //
a. 1 380’’ b. 7 200’’
c. 36 180’’ d. 220’’
a. 6’ b. 2 702’
c. 182’ d. 900’
Por ejemplo, a. y b. con 32° 25’ . 2 a. 104° 34’ b. 9° 53’ 15’’
c. 75° 48’ 52’’ d. 238° 31’ 15’’
a. 37° 15’ d. 172° 42’ b. 15° 50’ 20’ e. 87° 40’ 25’’ c. 92° 10’ 30’’ f. 42° 20’ 30’’ a. 14’; 50’’; 41° c. 45’; 71°; 0’’ b. 3’; 1’’; 44° d. 44’; 1°; 43°
25. Ángulos complementarios y suplementarios 8.
a. <
b. <
c. =
d. >
Va X en b. y d.
203
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9.
^ a. ^ α = 37°; β = 53° b. ^ η = 18°; ^ σ = 72° ^ ^ c. ε = 30°; δ = 150° d. ^ γ = 48°; ^ π = 132°
10. a. x = 39°
b. x = 67° 30’
26. Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice
11. Por ejemplo, fila 1: 145°; 145°; 35. 12. ^ a. ^ α = 40°; β = 140° ^ ^ = 81° b. δ = 81°; ω c. ^ π = 150°; ^ ε = 150°
^ d. ^ γ = 136°; θ = 44° 13. Solución a cargo del alumno.
27. Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo 14. Solución a cargo del alumno. 15. Solución a cargo del alumno. 16. a., b., c. y d. Solución gráfica. ^ = 90°; m^ o a = 135°; e. aoc ^ = 67° 30’ ^ mo t = 22° 30’; cot 17. Solución a cargo del alumno. menteACTIVA Solución a cargo del alumno. Integración 24.25.26.27 18. a. y b. Solución a cargo del alumno. c. Llano; perpendiculares; recto. 19. ^ a. β = 42°; b. ^ π = 20°; ^ ε = 70° 20. α + a. ^ b. ^ α +
5.
24. ^ a. ^ ε = ^ α = 21°; β = 42°; ^ γ = 138° ^ ^ b. δ = ^ π = 75°; β = 15°; ^ α = 105° ^ ^ c. δ = ^ α = 62°; β = ^ γ = 118° ^ ^ ^ ^ d. π = ω = 20°; θ = ρ = 160° 25. Por ejemplo, en fila 1 va X en: consecutivos, suplementarios y adyacentes.
6.
26. a. 34° b. 56°
21. Solución a cargo del alumno. d. 66° 50’ e. 107° 30’
c. 90° d. 28°
e. 73° f. 22°
Autoevaluación 27. a. 163° 50’ b. 55° 38’ 28. a. A veces. b. Nunca. c. Nunca.
d. A veces. e. Siempre.
29. ^ α = 65°; x = 25°; β = 65°; ^ ^ δ = 50° 30. Solución a cargo del alumno.
capitulo
6
28. Triángulos. Elementos y propiedades 1.
2.
α = 21° ^ γ = 138°; ^ ^ ^ δ = 160°; θ = 90°;
^ ^ β = 100° c. β + ^ ε = 90° ^ δ = 180°
22. a. 62° 25’ b. 19° c. 92° 45’
23. Solución a cargo del alumno.
__
a. ac = 6 cm; ^ c = 45° __ ^ ^ b. df = 7 cm; e = f = 39°; ^ d = 102° ^ a. x = 5°; ^ a = 38°; b = 85°; ^ c = 57° ^ b. x = 12°; d = 40°; ^ e = 103°; ^ f = 37° ^ c. x = 23°; ^ α = 145°; β = 120°; ^ ε = 95° ^ ^ d. x = 15°; j = 37°; k = 53°; ^ l = 90°
29. Construcción de triángulos 3. 4.
Por ejemplo, a. V. a. Solución gráfica. b. No. No se pueden construir triángulos equiláteros rectángulos ni obtusángulos.
7.
Solución a cargo del alumno. Solución a cargo del alumno. Solución a cargo del alumno. menteACTIVA Solución a cargo del alumno.
30. Cuadriláteros. Elementos y propiedades 8.
9.
a. Por ejemplo, en fila 1: B, F, J; No hay; No hay. b. Sí. Sí. ^
^
a. a = b = ___ da = 2 cm ^
^ 130°; ^ c = d = 50°; ^
b. j = 126°;_k = 36°; __ jk = 4 cm; ij = 3 cm
^ i = 72°;
31. Construcción de cuadriláteros 10. a. Paralelogramos. Tienen dos diagonales. b. Depende del paralelogramo. Sí. c. En cuadrados y en rombos.
11. Solución gráfica. Existen muchas posibilidades. a. Dos diagonales. b. En el trapecio isósceles las diagonales son iguales, en los trapecios rectángulos y escalenos, no. No, en ningún caso. 12. a. Cuadriláteros. b. Cuadrado; rectángulo; paralelogramo; rombo. c. Isósceles. d. Rectángulo; escaleno. 13. Solución gráfica. 14. a. Sí. Los ángulos de las distintas figuras que queden consecutivos deben sumar 360° o 180°. b. Con rombos y trapecios. 15. ^ ^ g = 70°; f = h = 110° a. ^ e = ^ b. m ^ = ^ o = 102°; ^ n = 52°; ^ p = 104° ^ ^ c = d = 120° c. ^ a = b = 60°; ^ ^ ^ ^ ^ d. i = k = 42°; j = l = 138° menteACTIVA Solución a cargo del alumno.
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Integración 28.29.30.31 16. a. No; No; Sí. b. Escaleno obtusángulo. 17. a. 7
b. 2
18. Solución a cargo del alumno. 19. a. Sí. Sí. b. 36 triángulos más. 20. a. y b. Solución a cargo del alumno. c. No son posibles las construcciones del rectángulo y del cuadrado. 21. a. Mariano y Georgina. b. Solución a cargo del alumno. c. Suma de ángulos exteriores. 22. a. Sí. Sí.
b. No.
23. a. 30°; 30° b. 24°; 156°
c. 29°; 61° d. 40°; 50°
24. a. Sí. c. Sí. e. Sí. g. No. b. Sí. d. No. f. No. 25. ___ ___ a. ad = 4 cm; ab = 6 cm; ^ ^ ^ c = 75°;__d =___b = 105° __ = fg = he = 7,2 cm; b. ef ^ ^ ^ g = 65°; f = h = 115° 26. x = 32°
32. Círculo y circunferencia. Elementos y propiedades
27. a. Una circunferencia. El centro. El radio. b. Tiene el mismo centro, pero distinto radio. c. Se forma una circunferencia del mismo radio, pero con el centro corrido. d. En b., son concéntricas. En c., son iguales, pero no concéntricas. 28. Por ejemplo, a. con el diámetro. 29. Solución a cargo del alumno.
33. Construcción de circunferencias 30. Solución a cargo del alumno.
31. Solución a cargo del alumno.
34. Polígonos
32. a. El “A” es convexa regular, el “B” es cóncava irregular. b. En ambos casos es 900°. c. Se forman 5 triángulos. Sí. 33. ^ c = 137°; a. ^ a = 140°; b = 147°; ^ ^ ^ d = 112°; ^ e = 95°; f = 86° ^ ^ b. ^ g = 126°; h = 106°; i = 118°; ^ ^ ^ j = 64°; k = 273°; l = 33° c. m ^ = 32°; ^ n = 231°; ^ o = 25°; ^ p = 63° d. ^ r = 134°; ^ s = 117°; ^ u = 128°; ^ v = 71°
35. Construcción de polígonos regulares
34. Por ejemplo, fila 1: 1 440; 144; 36.
48. a. y b. Solución a cargo del alumno. c. Sí. 49. a. siempre b. a veces
50. a. Polígono de 15 lados. 24° b. Heptágono. 51,42° c. Triángulo. 120° d. Decágono. 36° e. Eneágono. 40° Autoevaluación 51. Solución a cargo del alumno. 52. ^ a. ^ a = 70°; b = 32°; ^ c = 78° ^ = 84°; ^ n = 124°; ^ o = 28°; b. m ^ p = 124° s = 72°; ^t = 250; c. ^r = 98°; ^ ^ u = 30°
35. Solución a cargo del alumno. 36. Por ejemplo, a. V. 37. Solución a cargo del alumno. 38. Solución a cargo del alumno. 39. Solución a cargo del alumno. menteACTIVA Solución a cargo del alumno. Integración 32.33.34.35 40. a. y b. solución a cargo del alumno. c. Alineados. 41. Solución a cargo del alumno.
capitulo
1.
2.
3.
4.
5. 6.
7. 8.
44. Solución a cargo del alumno. 45. Solución a cargo del alumno. 46. a. 0; 2; 5; 9
b. 14. 20
47. Por ejemplo, a. V.
7
36. Perímetro y área de figuras planas
42. Solución a cargo del alumno. 43. a. Mediatrices o diagonales. b. No.
c. a veces d. nunca
9.
Por ejemplo, a. F. a. 12 cm c. 5 cm e. 4 cm y 12 cm b. 12 cm d. 24 cm a. 15,3 cm b. 22,28 cm
c. 42 cm d. 41,42 cm
a. 0,032 b. 5 000
c. 0,03 d. 92
a. 11
b. 10
a. 1,2 dm b. 20 cm2 a. 9 cm
c. 23
c. 9,42 dm d. 30 cm2 b. 8 cm
c. 2 cm
a. P = 21,64 cm; Á. = 20 cm2 b. P = 27,42 dm; Á. = 50,13 dm2 a. 7,74 cm2 b. 14,2 cm2
10. a. 10 dm
c. 37,5 cm2 d. 9 cm2 b. 9 cm
menteACTIVA Solución a cargo del alumno.
205
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10/31/12 5:48 PM
37. Área lateral de prismas, pirámides y cilindros
24. Por ejemplo, fila 1: 24; 24.
11. Por ejemplo, prisma de base triangular regular se une con b . h . 3 . h _____ y con Área lateral + b . 2. 2 12. a. AL: 80 cm2; AT: 88 cm2 b. AL: 30 cm2; AT: 39 cm2 c. AL: 62,8 cm2; AT: 87,92 cm2 d. AL: 36 cm2; AT: 56 cm2
25. a. 25,12 l
27. a. 24 cm3 b. 5 cm
c. 80,07 cm3 d. 3 cm
13. Necesita 467 venecitas.
28. a. 56,52 cm3
b. 100 cm3
14. a. AL: 60 cm2; AT: 76 cm2; Prisma de base rectangular. b. AL: 188,4 cm2; AT: 244,9 cm2; Cilindro. c. AL: 112 cm2; AT: 161 cm2; Pirámide de base cuadrada. d. AL: 96 cm2; AT: 144 cm2; Prisma de base octagonal.
29. a. 30 velas. 9 000 cm3 b. Necesitará 3 000 cm3 de arena.
15. a. 4,8 dm2 b. 6,59 dm2
c. 0,16 dm2
16. a. x = 2 cm
b. x = 10 mm
17. a. 286 m2
b. 464 m2
18. a. 12,56 l b. 3 baldes. Gastará $240. 19. a. 400 listones. b. 216 cm2
38. Unidades de capacidad y unidades de volumen 20. Por ejemplo, a. F. 21. a. 250 b. 1
c. 3 200 d. 18
e. 28 f. 135 000
22. a. Compró 15 botellas de gaseosa. b. Conviene la de 1 litro. c. Sí. d. Tres frascos. Sobran 10 ml. e. 6,9 l de cloro por semana. menteACTIVA Solución a cargo del alumno.
39. Volumen del prisma, de la pirámide, del cilindro y del cono 23. a. 108 cm3 d. 117,75 cm3 b. 0,6594 cm3 e. 21,25 cm3 c. 42 cm3 f. 1,13 cm3
b. 30,24 l
26. a. 50,24 cm3; 113,04 cm3; 25,12 cm3; 37,68 cm3; 37,68 cm3. b. 4; 9; 2; 3
menteACTIVA Solución a cargo del alumno. Integración 36.37.38.39 30. d. 10 dm2 a. 16 cm b. 27 cm e. 4 m2 c. 13 cm2 31. a. 13,76 cm2 b. 14,72 cm2
c. 18 cm2 d. 79,25 cm2
32. a. AL: 24 cm2; AT: 40 cm2 b. AL: 125,6 dm2; AT: 282,6 dm2 c. AL: 90 cm2; AT: 120 cm2 33. a. 2 260,8 cm2 b. 7,5 m2 34. a. 4 cm
Autoevaluación 41. d. π . d . h a. Suma. b. Igual. e. l2 . 6 c. n . l 42. 288 m2 43. 4,99 m2 44. a. 75 litros.
capitulo
35. a. 98 b. Largo: 27 cm. Ancho: 27 cm. Alto: 12 cm.
1.
2.
3.
38. a. 0,04 dm b. 1 884 cm3
c. 0,92 cm d. 4,5 cm
39. a. 91,4
b. 24 000
40. a. 17 litros. b. 62,8 cm2
c. 5 cm2 d. 5 cm2
Por ejemplo, fila 1: Cuantitativa. a. Población: chicos de entre 12 y 20 años. Muestra: 350 chicos. b. Tipo de videojuego. Cualitativa. Solución a cargo del alumno.
41. Recolección y organización de datos. Tablas 4.
5.
36. a. 22 alumnos. c. 33 conos. b. 72 bolsas. d. 3 cm 37. a. Largo: 20 cm, ancho: 2 cm y alto: 2 cm. b. Podrá contener 160 caramelos.
8
40. Variables, población y muestra
c. 20 cajas.
b. 360 cm3
b. 600 cm3
a. River: 8; Boca: 7; Racing: 4; San Lorenzo: 4; Independiente: 2; Otros: 3. b. Equipo de fútbol. Cualitativa. c. River. d. Cuatro clubes. San Lorenzo, Racing, Boca y River. a. 4; 3; 6; 2; 7; 3; 2; 1 b. Nota del trimestre. Cuantitativa. c. 28 alumnos. d. Aprobaron 15 alumnos y desaprobaron 13. e. 13 alumnos. f. En diciembre deben rendir 12 alumnos y en marzo 1.
42. Frecuencias absolutas y relativas 6.
7.
a. Por ejemplo, fila 1: 5; 0,125; 12,5. b. Mapuche, porque es el que tiene mayor frecuencia. 37,5% c. Los tobas y los diaguitas. a. Por ejemplo, fila 1: 3; 0,17; 16,67. b. En ritmos. c. Elongación.
206
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43. Gráficos 8. 9.
Por ejemplo, a. 50; 180. a. 25 b. 20
c. 75
d. 60
10. Solución a cargo del alumno. 11. a. Cualitativa. A 65 personas. b. Solución a cargo del alumno. 12. a. 10 en el A, 12 en el B y 15 el C. b. En el B. c. 38 varones. 75 alumnos. 13. Solución a cargo del alumno. 14. a. Solución a cargo del alumno. b. Se encuestó a 72 personas. 15. a. En la sala B, hay 6 000 libros. b. En total hay 18 000 libros. 16. a. 13 millones de habitantes. 17. a. Europa. b. No. Integración 40.41.42.43
18. a. Representa la muestra. b. Cualitativa.
19. a. Cantidad de paquetes vendidos. Cualitativa. b. y c. solución a cargo del alumno. 20. a. Sexo y estado civil. Cualitativas. b. y c. solución a cargo del alumno. d. 33,33% 21. a. Deporte preferido. Cualitativa. b. Natación, en el grupo A y Básquet, en el grupo B. 22. a. Por ejemplo, fila 1: 3; 0,06. b. Cantidad de cargas por mes. Cuantitativa. c. 33 d. 12% 23. a. Solución a cargo del alumno. b. 29 d. 34,5% f. 19 c. 13,8% e. 6 24. a. Solución a cargo del alumno. b. 25% ajedrez y 16,67% damas.
25. a. Cantidad de pájaros. Cuantitativa. b. 31,25; 12,5; 37,5; 18,75 c. Solución a cargo del alumno. d. 15 pájaros. e. 4,5 pájaros. 26. a. Solución a cargo del alumno. b. En la de hombres, sí. En la de mujeres, no. c. Solución a cargo del alumno.
38. a. 1 320 maneras distintas. b. 440 maneras distintas. c. 60 maneras distintas. menteACTIVA Solución a cargo del alumno. Integración 44.45.46 39. a. Peso. Cuantitativa. _ b. x = 50,83 kg; me = 50 kg; mo = 50 kg
44. Promedio, mediana y moda
40. a. Por ejemplo, fila 1: 0,375; 37,5. b. _24 c. x = 13 años; bimodal, 12 años y 14 años; me = 13 años. d. Solución gráfica.
28._ x = 3,27 me = 3,5 mo = 1
41. _ a. x _ = 5,8; me = 5; mo = 4 b. _x = 7,5 ; me = 7; mo = 5 c. x = 7; me = 7,5; mo = 10
27. _ a. x _ = 38,29; me = 38; mo = 38 b. _x = 29,3; me = 28,5; mo = 28 c. x _ = 34,14; me = 34; mo = 34 d. x = 42,1; me = 30; mo = 12
29. c. 17; 17 a. 16; 16 d. 16; 13 b. 18; 19 En a. y b. las soluciones no son únicas. 30. a. 19 puntos entre las dos pruebas. b. No. c. Hay varias posibilidades: 10 y 5; 9 y 6; 8 y 7.
42. _ a. x = 8,23; me = 8; mo = 8 b. La moda _y la mediana se mantienen. x = 36,30. c. No. 43. Va X en: a. 10
b. 1,6%
c. 0,24
45. Experimentos aleatorios. Probabilidad simple
44. a. Por ejemplo, fila 1: 0,21; 21. b. 21% d. 4 c. 0,25 e. Solución gráfica.
32. a. 1; 2; 3; 4; 5; 6. b. 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12. c. cara-cara; cara-ceca; ceca-ceca. d. cara-cara; cara-ceca; cecacara; ceca-ceca.
45. _ a. x = 52,92 mm; me = 43,5 mm; mo= 78 mm b. Solución a cargo del alumno.
31. Va X en a., c. y d.
33. 19 0 22 c. ___ e. ___ a. ___ 37 37 37 37 18 8 b. ___ d. ___ f. ___ 37 37 37 34. 1 . a. Con el disco B, P(azul) = __ 2 1 b. __ c. En el A. 3
46. Cálculo combinatorio 35. a. 18
b. 6
c. 9
36. a. 60 números. 24 son pares. b. 12 números son múltiplos de 5 y 36 son mayores que 500. 37. De 28 maneras distintas.
46. Solución a cargo del alumno. 47. . Por ejemplo, a. ___ 12 50 48. 13 7 c. ___ 11 d. ___ 20 a. ___ b. ___ 20 20 20 20 49. a. 12 . 11 . 10 = 1 320 4 3 2 , ___ y ___ b. ___ 12 12 12 50. 1 c. __ a. 27 b. __ 1 3 3 51. a. 12 y 24 b. 40 320 c. 72 52. a. 24 b. 80
c. 210 d. 12
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Autoevaluación 53. a. Solución a cargo del alumno. b. Cantidad de materias. Cuantitativa. c. Población. d. _Solución a cargo del alumno. e. x = 1,36; me = 0; mo = 0 f. 34% 54. a. Solución a cargo del alumno. 1 b. P(suma = 7) = __ 6 55. 720
capitulo
9
2. 3. 4. 5.
7.
8. 9.
13. a. –6 b. 6
c. 17 d. –5
e. –5 f. 50
31. a. 22° c. No. Le faltan $200. b. 9 850 m
14. a. (–2) b. –20 c. 30
d. –14 e. (–3) f. –43
g. 5 h. 0 i. (–5)
15. a. –600 b. –600 : 3 c. –400 menteACTIVA Solución a cargo del alumno. 16. Por ejemplo, a. con 21.
17. Las dos son incorrectas.
Por ejemplo, a. –20.
18. a. 5
Por ejemplo, fila 1: 5 años a. C.
19. Por ejemplo, a. (12 – 3) . 4 – 5 . 2
Por ejemplo, a. <.
20. a. –21
Solución a cargo del alumno. a. b, negativo; a y c, positivos. b. b, positivo; a y c, negativos. c. –b
48. Adición y sustracción 6.
30. a. 62 años. b. 77 años.
50. Operaciones combinadas
47. Números negativos. Orden y representación 1.
12. Por ejemplo, fila 1: 2; –3; –6; 6; –6.
a. –1 d. 7 b. –5 e. 0 c. –2 f. –2 a. 3 b. –8
g. 0 h. 2 i. –7
c. –2 d. –6
j. –6
e. –10 f. –12
Debe depositar $300. –300 + 300 a. x = –3 b. x = 1
c. x = 3
10. Por ejemplo, fila 1: –5; 1; –1; –4; 5. menteACTIVA Solución a cargo del alumno.
49. Multiplicación y división 11. a. –6 b. 0 c. 24
d. –6 e. 0 f. –40
g. 12 h. –6 i. 80
b. –17 c. 16 d. –84
b. –14
c. –1 . . Integración 47 48 49.50
21. Solución a cargo del alumno. 22. c. –8 800 m e. –200 a. –3 f. –300 b. –500 d. 200 23. c. –5. a. –3 b. Son iguales. d. Son iguales. 24. a. –4; –2 b. –5; –3 c. –501; –499 25. a. Ninguno.
d. 2; 4 e. 30; 32
b. Dos.
26. Por ejemplo, a. <.
c. 58 años.
32. a. 4 cuotas de $130 cada una. b. 780 – 520 = 260. 33. a. 3 . (–3) = –9 b. El número es –10. c. Sí, el 0. 34. a. 4 . (–3) = –12 b. No. Puede ser 2 . (–6). c. No. El resultado sería positivo. 35. a. 5 b. –5 c. 6
d. –2 e. –24 f. No es posible.
36. a. <
b. =
37. a. 4 b. –3
c. >
d. <
c. 64 d. –196
e. 261
39. a. 74 b. –22
c. 51 d. –99
e. –62 f. 18
40. a. 12 b. 6
c. 3 d. –30
e. –3 f. 18
41. a. 6 b. 4
c. –1 d. 0
e. –1 f. 5
42. a. 3 b. –6
c. –90 d. –8 y –7
e. 5 y 15
38. No.
43. a. –2
Autoevaluación b. –300
c. 5
44. –24; –15; 6; 9; 21 Solución a cargo del alumno.
27. a. –137; –120; –36; 0; 7; 34 b. –40; –4; –3; 7; 52; 123 c. –15; –12; –2; 0; 3; 33; 44; 140
45. Por ejemplo, fila 1: –4; –2; 3; 3.
28. a. –8 c. –6 e. –14 g. 0 b. 4 d. –3 f. –38 h. –4
46. a. 12 b. –4
29. a. Hay que sumar –a. b. Hay que restar b. c. No, es positivo.
47. Por ejemplo, a. con 14. 48. a. 15
c. –21 d. –32
b. 15
e. –2 f. 3
c. –12 d. –38
208
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foto capítulo
Números página 2
capítulo
2
Fracciones página 4
capítulo
Funciones página 6
capítulo
4
Cuerpos página 8
capítulo
Ángulos página 9
capítulo
Figuras planas página 11
capítulo
Perímetro, página 12
capítulo
Probabilidad página 13
capítulo
Números enteros página 15
1
3
5 6 7
8
9
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naturales
y expresiones decimales
Números
enteros y números naturales
área y volumen
y estadística
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foto
capítulo
1
Mira le sacó una foto a Martín con toda su familia y observó que hay algo de matemática en ella.
Respondan. 1. ¿Qué observan en la foto? Solución a cargo del alumno.
2. ¿Cómo les parece que podemos relacionar esta foto con la matemática? Solución a cargo del alumno.
3. ¿Quiénes pertenecen a la misma generación? ¿Cuántas generaciones hay representadas en la foto? Los padres pertenecen a una misma generación y los abuelos a otra. En la foto hay representadas
tres generaciones.
2
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10/31/12 5:49 PM
4. ¿Cuántas personas hay de cada generación distinta a la de Martín? ¿Hay alguna relación entre estas cantidades? La generación de los padres tiene 2 y la de los abuelos, 4. De generación en generación se duplica la
cantidad.
5. El grupo formado por los bisabuelos de Martín, ¿cuántas personas lo integran? 8 personas.
6. Resuelvan. a. Si pudiéramos reunir en una foto a los padres de Martín, a todos sus abuelos, sus bisabuelos y sus tatarabuelos, ¿cuántas personas habría en ella? Habría 30 personas 2 + 4 + 8 + 16 o 21 + 22 + 23 + 24.
b. Escriban un cálculo que les permita encontrar la cantidad de integrantes de cada nueva generación. 2n siendo “n” un número natural que representa el número de generación buscada tomando a la genera- ción de los padres de Martín como la generación 1.
7. Lean atentamente y respondan. Juan le contó un secreto a su mejor amigo y él pensó lo siguiente: “Como no voy a aguantar más de 30 minutos sin contárselo a nadie, voy a elegir a dos compañeros para contarles este secreto”. a. Si a su vez, cada uno de estos compañeros le contó el secreto a otros dos a los 30 minutos y en el curso hay 25 alumnos, ¿en cuánto tiempo se enteraron todos del secreto de Juan? Empiezan sabiendo 2 y cada media hora aumenta el doble. Si en el curso son 25 alumnos, tardarán
2 horas en enterarse.
b. Si la misma situación les sucediera a ustedes, ¿en cuánto tiempo se enteraría todo el curso? Solución a cargo del alumno.
c. ¿Qué suposiciones están haciendo para responder estas preguntas? Se supone que cada uno les cuenta el secreto a dos personas que no lo saben.
3
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foto
capítulo
2
En una reunión Foco fotografió a una de sus mejores amigas mientras tocaba la guitarra.
Respondan. 1. ¿Qué observan en la foto? Solución a cargo del alumno.
2. ¿Cómo les parece que podemos relacionar esta foto con la matemática? Solución a cargo del alumno.
3. Las barritas verticales de metal que tiene el diapasón (mango de la guitarra), ¿son paralelas entre sí? ¿Aparecen a la misma distancia una de la otra? ¿Por qué piensan que es así? Sí. No aparecen a la misma distancia. La idea es que al presionar en cada casillero, la cuerda se “acorta” y suena distinto. La última pregunta no se espera que la puedan responder, se tratará luego (las notas se obtienen por proporcionalidad y es lógico que los casilleros se hagan cada vez más chiquitos porque estamos tomando partes proporcionales de cuerdas más cortas). 4
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4. Tengan en cuenta la foto de la guitarra y resuelvan. mástil - diapasón puente
cejuela traste 4 casillero 2
a. Midan con una regla la longitud de una cuerda entre el puente y la cejuela y marquen en la foto los puntos que se piden a continuación (tomen la cejuela como 0 y el puente como 1): • La mitad de su longitud. • La tercera parte de su longitud. • La cuarta parte de su longitud. b. Numeren los casilleros y los trastes comenzando por el más cercano a la cejuela. ¿Con qué número de trastes coinciden los puntos que marcaron en el ítem anterior? Con el traste 12, el 7 y el 5, respectivamente.
c. A cada traste le corresponde un casillero que lleva el mismo número. ¿Qué parte de la cuerda puede vibrar cuando se presiona en los casilleros correspondientes a los trastes marcados? 1 2 __ 3 __ 2 , __ y . 3 4
5. Lean atentamente y respondan. En la escala musical hay un total de 12 sonidos (contando las notas y sus sostenidos que se escriben con #): DO, DO#, RE, RE#, MI, FA, FA#, SOL, SOL#, LA, LA#, SI. Después del SI viene otra vez DO, y todo recomienza. Cada cuerda corresponde a una nota diferente. Cuando se apoya el dedo sobre un casillero, se obtiene otra nota y se avanza en la escala según se presionen distintos casilleros. a. La cuerda de arriba es MI; si ponemos el dedo en el primer casillero obtenemos FA, en el segundo FA#, etc. ¿Qué nota corresponde al casillero 12? ¿Y al 7? ¿Y al 5? MI, SI, LA b. La siguiente cuerda es LA. ¿Qué nota corresponde al casillero 12? ¿Y al 7? ¿Y al 5? LA, MI, RE
6. Tengan en cuenta las actividades anteriores y respondan. La siguiente cuerda produce el sonido DO, pero no tiene los trastes marcados. puente
cejuela do
sol
do
a. ¿En dónde ubicarían el traste para obtener el siguiente DO? ¿Y para obtener el siguiente SOL? 1 de la cuerda. Se debe tomar __ 2 de la cuerda. Se debe tomar __ 2 3 Márquenlos en la cuerda. b. La parte de la cuerda que vibra para obtener DO, ¿qué fracción es respecto de la que vibra __ 3
para obtener SOL? 4 3 2 __ c. ¿ Existe alguna relación entre las respuestas anteriores y el hecho de que __ . __ = 1 ? Expliquen 3 4 22 1 Para ir de DO a DO se toma __ de la cuerda. Para ir de DO a SOL se toman __ de la cuerda, 2 3 la respuesta. __ (o sea, 3 __ de y luego, de esta cuerda “acortada” se toman 3 4 4
que justamente corresponde de vuelta a DO.
2 __ . __ , que es lo mismo que 3 4 3
2 __ ) y queda __ 1 , 2 3
5
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foto
capítulo
3
Mira visitó el mercado y obtuvo la siguiente fotografía.
Respondan. 1. ¿Qué observan en la foto? Solución a cargo del alumno.
2. ¿Cómo les parece que podemos relacionar esta foto con la matemática? Solución a cargo del alumno.
3. A través de la imagen se pueden descubrir distintas relaciones. Por ejemplo, en algunos puestos hay más compradores que en otros. ¿A qué se puede deber esta diferencia? Por ejemplo, por el tipo de mercadería que se vende, por las diferencias de precios, etc.
6
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4. Por ejemplo, si se tiene en cuenta la relación que existe entre el precio de las berenjenas y la cantidad que se vende por día, ¿en qué momento se venderá más: cuando sube o cuando baja el precio del kilogramo de berenjena? Se supone que se venderá más cuando baja el precio.
5. Lean atentamente y resuelvan. En el barrio donde se tomó la fotografía viven Estela, Lucio, Héctor y Marisa. Cada uno dijo lo siguiente sobre el precio de la berenjena: • Estela: “Siempre compro 5 kilos de berenjenas, pero si el kilo cuesta $10 o más, no compro nada”. • Lucio: “Si la berenjena cuesta menos de $5 el kilo, compro 3 kilos; si cuesta entre $5 y $8 (ambos incluidos) compro 1 kilo y si no, no compro”. • Héctor: “Siempre compro la cantidad de kilos que me alcance con $10”. • Marisa: “Si el precio de la berenjena es $4 o menos, compro 5 kilos; si es mayor que $4 y menor que $8 compro 4 kilos y si es $8 o más, compro 3 kilos y obviamente no pago más de $12 el kilo”. a. Completen la tabla con las cantidades de berenjenas (en kg), según lo que dijo cada uno. Precio de la berenjena por kg
$1
$2
$3
$4
$5
$6
$7
$8
$9
$10
$11
$12
Estela
5
5
5
5
5
5
5
5
5
0
0
0
Lucio
3
3
3
3
1
1
1
1
0
0
0
0
Héctor
10
5
3
2
2
1
1
1
1
1
0
0
Marisa
5
5
5
5
4
4
4
3
3
3
3
3
b. Cierto día el precio de la berenjena era de $4 el kg y Estela, Lucio, Héctor y Marisa compraron según lo que comentaron. Si el verdulero pagó el kilogramo a $3, ¿cuánto dinero ganó? Ganó $15.
c. Otro día ofreció las berenjenas a $5 el kg y volvieron a comprar las cuatro personas según lo que comentaron. Si el verdulero pagó el kilogramo a $3, ¿cuánto dinero ganó? Ganó $24.
d. ¿A qué precio le conviene vender el kilogramo de berenjenas para obtener la mayor ganancia posible si paga el kilogramo a $3? Le conviene vender las berenjenas a $9 el kilogramo.
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Foco fue al parque con sus amigos y les tomó una fotografía mientras jugaban al fútbol.
Respondan. 1. ¿Qué observan en la foto? ¿Cómo les parece que podemos relacionarla con la matemática? Solución a cargo del alumno.
2. ¿Qué figuras forman la superficie de la pelota? ¿Por qué piensan que se usa este poliedro para construir la pelota y no uno regular? Pentágonos y hexágonos. Se emplea este poliedro porque su volumen se aproxima mucho más al de la esfera que el de un poliedro regular.
3. ¿Cuántas figuras de cada tipo llegan a ver en la foto? ¿De cuáles les parece que hay más? Se ven (parcialmente) 4 pentágonos y 8 hexágonos. Hay más hexágonos.
4. Calculen la cantidad de hexágonos, la cantidad de aristas y de vértices, si se sabe que la pelota tiene en total 12 pentágonos. Hay 20 hexágonos. Para contarlos, hay que observar que cada pentágono está rodeado de 5 hexágonos y restar los elementos repetidos. Mediante un procedimiento similar, se determina que hay 90 aristas y 60 vértices. 8
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Mira fue a jugar al pool y sacó esta foto porque encontró algo de matemática en este juego.
Respondan. 1. ¿Qué observan en la foto? ¿Cómo les parece que podemos relacionarla con la matemática? Solución a cargo del alumno.
2. ¿A qué bola les parece que le va a pegar la chica que está jugando? ¿En qué dirección saldrá la bola si la bola blanca pega en el centro de aquella? Le pegará a la bola violeta. Como estamos suponiendo que se trata de un golpe sin efecto y que la bola blanca golpeó a la bola violeta en el centro, entonces la bola violeta saldrá en la dirección del taco.
3. Lean atentamente y respondan. Cuando se juega sin efecto y se pega a una bola, el ángulo que forma la trayectoria de entrada de la bola con la banda es igual al ángulo de la trayectoria de rebote con la banda. En el tiro anterior, la bola violeta ¿entrará en algún agujero? Saldrá en dirección al agujero del medio y podría entrar en él.
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4. ¿En qué dirección debería poner el taco la chica que está jugando, si quiere pegarle a la bola azul? Debería poner el taco en la dirección de la recta que une la bola blanca con la bola azul.
5. Si la chica que está jugando quiere pegarle a la bola 15 haciendo una banda, ¿cómo puede hacer? ¿Entrará en algún lado? Puede hacer banda con el borde opuesto al que está. Para pegarle a la bola 15 tendría que analizar los
ángulos de entrada y de salida. Aparentemente, la bola no entraría en ningún agujero.
6. En el tiro anterior, ¿de qué lado habría que pegarle a la bola 15 para que haya más chances de que entre en el hoyo del fondo a la derecha? Habría que pegarle a la bola 15 un poco más a la izquierda con la bola blanca (en lugar de en el centro como estábamos haciendo hasta ahora) y así la bola 15 saldría un poco más a la derecha teniendo mayor chance de entrar en el hoyo deseado.
7. Lean atentamente y respondan. Las marquitas que están en el borde de la mesa dividen el ancho de esta en 4 partes iguales y el largo, en 8. Sirven para poder medir los ángulos de entrada y salida de las bolas al hacer banda. En la imagen se ven las líneas imaginarias que pueden servir de guía para calcular las trayectorias y un ejemplo en el que la bola 1 entra en el agujero de coordenadas (8;0) si hace banda en (6;4).
a. ¿Dónde tendría que hacer banda la bola 2 para que entre en el agujero de coordenadas (0;0)? En (8;2).
b. ¿Dónde tendría que hacer banda la bola 3 para que entre en el agujero de coordenadas (4;4)? En (2;0).
c. ¿Dónde tendría que hacer banda la bola 4 para que entre en el agujero de coordenadas (4;4)? En (2,5;0).
8. Trabajen con un compañero. Dibujen en una hoja cuadriculada un rectángulo como el del ejercicio anterior con algunas bolas. Propongan distintas jugadas para que las bolas entren en los agujeros. Recuerden escribir las coordenadas.
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Foco sacó una foto del restaurante al que irá con sus amigos a comer.
Respondan. 1. ¿Qué observan en la foto? ¿Cómo les parece que podemos relacionarla con la matemática? Solución a cargo del alumno.
2. Las mesas ¿son todas iguales? ¿Cómo se podrían clasificar según su forma? ¿Qué otros tipos de mesas conocen? No. Hay mesas cuadradas y circulares. Por ejemplo, rectangulares.
3. Foco, Fran, Santi, Seba, Lucas y Pablo quieren cenar en este restaurante. a. ¿Qué tipo de mesa les puede ofrecer el mozo para sentarse? ¿Qué opción les conviene elegir? Les puede ofrecer una mesa circular o dos cuadradas. Les conviene la mesa circular.
b. Si eligen la mesa circular y piden una porción de papas fritas de entrada, ¿dónde tienen que ubicar el plato para que esté al alcance de todos? En el centro. c. Si el mozo les prepara dos mesas cuadradas juntas, ¿dónde debería ubicar el plato de papas fritas? No hay un lugar justo para todos. Los perjudicados son los que están en los extremos y los demás son los beneficiados.
4. ¿Qué otra forma podría tener una mesa para 6 personas que permita ubicar el plato de papas fritas para que esté al alcance de todos? Una mesa de forma hexagonal.
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Mira sacó una foto al estacionamiento que se puede ver desde la ventana de su cuarto.
Respondan. 1. ¿Qué observan en la foto? ¿Cómo les parece que podemos relacionarla con la matemática? Solución a cargo del alumno.
2. Resuelvan. Observen el sector del estacionamiento que se encuentra al lado del edificio de techos negros. a. Si un auto mide en promedio entre 4 y 5 metros de largo, y entre 1,6 y 2 metros de ancho, ¿cuál es el perímetro de ese sector? ¿Y su área?
El rectángulo mide aproximadamente 41,6 m de largo y
16 m de ancho, de modo que el perímetro y el área aproximados son de 115,2 m y 665,6 m2, respectivamente.
b. Si una persona quiere dar una vuelta completa al edificio de techos negros (caminando cerca de la pared), ¿cuántos metros recorrerá aproximadamente? En base a las medidas aproximadas antes obtenidas y estimando los valores restantes a partir de la
medición en la foto, se obtiene un perímetro aproximado de entre 120 y 140 m.
c. ¿Qué área ocupa aproximadamente ese edificio? Ocupa aproximadamente 492,8 m2.
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En la escuela de Foco están realizando una votación para elegir al presidente del centro de estudiantes.
ELECCIONES
TE PRESIDENT IL ESTUDIAN
Respondan. 1. ¿Que observan en la foto? Solución a cargo del alumno.
2. ¿Cómo les parece que se puede relacionar esta foto con la matemática? Solución a cargo del alumno.
3. ¿Cómo se puede hacer el recuento de votos para que sea lo más rápido posible? Solución a cargo del alumno.
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4. Antes de la votación, se encuestó a 30 de los 500 alumnos que concurren a la escuela para saber a quién iban a votar como presidente. ¿Es representativa la información que se pudo haber conseguido? No, ya que el voto de 30 alumnos no establece tendencia.
5. ¿Y si se tuviera los datos de un curso de 40 alumnos? ¿Será lo mismo si se elige a 40 alumnos de distintos cursos? Tener los datos de un curso entero, aunque en principio contemos con más datos, tampoco generaría
una tendencia debido a que al ser del mismo curso podría estar sesgado por algún pensamiento común. Elegir 40 personas de cursos diferentes sí podría marcar una tendencia.
6. Reúnanse en grupos y realicen una encuesta en el curso para obtener los siguientes datos: sexo, altura, talle de calzado, color de pelo. Luego, resuelvan. a. Representen en el pizarrón los datos que obtuvieron usando algún recurso que sirva para analizarlos. Solución a cargo del alumno.
b. ¿Cuál es la altura que más veces se repite? Solución a cargo del alumno.
c. ¿Cuál es el talle de calzado que más veces se repite? Solución a cargo del alumno.
d. ¿Cuál es el color de pelo que más veces se repite? Solución a cargo del alumno.
e. ¿Hay alguna relación entre el sexo y la altura? ¿Y entre la altura y el color de pelo? ¿Y entre la altura y el talle de calzado? Expliquen las respuestas. Se espera que los alumnos detecten que hay relación entre sexo y altura. No se espera que altura y color de pelo estén relacionados. Sí se espera que la altura esté relacionada con el talle de calzado; en general la gente más alta tiene pies más grandes. De estos datos particulares se podrían ver algunas otras relaciones. Es importante en esta actividad considerar las distintas respuestas.
7. A partir de los datos que obtuvieron en la encuesta sobre la altura que más veces se repite, ¿se puede asegurar que es la misma en todo el país? No se puede concluir que pasa lo mismo en todo el país, ya que se trabajó con una muestra que no es representativa.
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9
Mira fue a bucear y sacó esta foto en la profundidad del mar.
Respondan. 1. ¿Qué observan en la foto? ¿Cómo les parece que podemos relacionarla con la matemática? Solución a cargo del alumno.
2. Si el buzo que se encuentra más cerca de la superficie está situado 20 metros bajo el nivel del mar, ¿a qué profundidad se encuentran sus compañeros? ¿Qué cosas tuvieron en cuenta para responder? Se puede estimar que están a unos 21 o 22 metros.
3. ¿Qué pasaría si todos ascienden 5 metros? ¿Qué cálculo hicieron? Depende de la respuesta anterior. En este caso, sería entre 15 y 17 metros.
4. Dos metros más abajo del buzo que se encuentra a mayor profundidad comienza la formación de coral, que tiene 12 metros de altura desde el fondo del mar. ¿Qué profundidad tiene el mar en esa zona? Aproximadamente 36 metros.
5. Si a 20 m sobre la superficie del mar pasa un helicóptero que envía una señal sonora para calcular la profundidad del mar, ¿cuántos metros recorre la onda sonora hasta chocar con el fondo? Recorre 20 – (–36) metros, es decir: 20 + 36 = 56 metros.
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