UNI VERS VERSII DAD MAY OR DE SAN SAN ANDRÉS FACULTAD FAC ULTAD DE D E I NGENI ERI ERIA A IN GENIERIA IN DU DUS STRIAL DEPA RTA RTAM M ENTO DE CURSO BÁSI BÁSI CO EL CÁLCULO CÁLCULO SUP SUP ERI OR EN EL ENTORNO ENTORNO M ATLAB
• APLICACIONES
AL
ALGEBRA
LINEAL
(CONTINUACION) ESPP ACIOS VECTORI ES VECTORI ALES P RODUC RODUCTO TO INTERIOR COMBI NACION LINEAL TRANSFORMA TRANSFO RMA CI ONES LIN EALES AUTOVA LORES Y AUTOVECTORES AUTOVECTORES o o o o o
Mg. Sc. I ng. Rafael Valencia Goyzueta
P ERIODO ACADEMI ACADEMI CO 2011 2011
TRANSFORMACIONES LINEALES Las transformaciones lineales son una clase especial de funciones entre espacios vectoriales, aquellas que preservan las operaciones del espacio vectorial.
Serán útiles los siguientes comandos: FUNCION Z=null(A,’r’) Z=null(A) Q=orth(A) [E,base]=RREF(A)
SIGNIFICADO Devuelve una base estándar para el espacio nulo obtenida a partir de la reducción de filas A*Z es un estimado de la nulidad de A Da una Base ortonormal del núcleo de A (Z’Z=I). El número de columnas de Z es la nulidad de A Da una base ortonormal para el rango de A (Q’Q=I). Las columnas de Q generan el mismo espacio que las columnas de A, y el número de columnas de Q es el rango de A Devuelve la forma escalonada de A y una posible base del espacio de columnas de A
⎡ x ⎤ ⎡ 4 1 − 2 − 3⎤ ⎢ ⎥ 4 3 ⎢ ⎥ y Sea T : IR → IR tal que T ( x, y, z, w) = 2 1 1 4 ⎢ ⎥ . Hallar una base para el núcleo de T y su − ⎢ ⎥ ⎢ z ⎥ ⎢⎣ 6 0 −9 9 ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎣ w⎦ r dimensión. Determinar la imagen del vector v = ( −1,2,4,3) . Hallar una base para la imagen de T y su dimensión. Definimos la matriz A
Hallamos la base del núcleo
Definimos la transpuesta del vector de origen
Hallamos la imagen del vector
v = ( −1,2,4,3 ) T = ⎡3 × 4 ⎤ ⎡ 4 × 1⎤ = [3 × 1] ⎣ ⎦⎣ ⎦ Para la base de la imagen. Escalonamos la transpuesta de la matriz A
>> A=[4 1 -2 -3;2 1 1 -4;6 0 -9 9] A= 4 1 -2 -3 2 1 1 -4 6 0 -9 9 >> B=null(A,'r') B= 1.5000 -4.0000 1.0000 0 >> v=[-1 2 4 3]' v= -1 2 4 3 >> imagen=A*v imagen = -19 -8 -15 >> rref(A') ans = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
⎧⎛ 3 ⎞⎫ B N = ⎨⎜ , −4,1⎟ ⎬ ⎠⎭ ⎩⎝ 2 Nulidad = 1
vimagen = ( −19, −8, −15 )
B IMG = {(1, 0, 0) , ( 0,1, 0) , ( 0, 0,1)} Rango = 3
TRABAJO PRÁCTICO TRANSFORMACIONES LINEALES CON MATLAB 1. Dado T : IR 5 → IR 6 una aplicación lineal tal que: T ( 0, 2,1, 0, 5) = (1, 2,1, 7,1, − 1) T (1, 2, 0,1,1) = ( 3, 5,1, 4, 2, 0) T ( 0, 0,1, 2, −2) = ( 3, 3,1,1, 2, 2) . T (1, −2,1, 2, 0) = ( 4,1,8,1, 5, 2) T (1,1,1,1,1) = (1, 3, 5, − 2, 4,1) r
a) Hallar
la
imagen
de
los
vectores:
v1 = ( 2, 2, 3, 5, 4)
r
∧ v 2 = ( 4, 2, 3, 5, 3)
tal
que
T ( x, y ) = ( x + y , x − y ) . b) Hallar una base para el núcleo y una base para la imagen de la transformación
2.n Dada la transformación lineal T : IR 5 → IR 4 definida por T ( x, y , z , w, u ) = ( x − y , y − z , z − w , w − u ) determinar la matriz asociada a T respecto de las bases.
•
B1 = {(1, 2, 3, 4, 5 ) , ( 0,1, 2, 3, 4 ) , ( 0, 0,1, 2, 3 ) , ( 0, 0, 0,1, 2 ) , ( 0, 0, 0, 0,1)}
•
B2 = {(1,1,1,1) , (1, 2,1, 2 ) , ( 0, 0, 0,1) , (1, 3, −1, 3 )} .
⎡ 1 0 0 2⎤ 3.y Sea la matriz A = ⎢ 2 0 3 5⎥ y las bases de IR 3 ∧ IR 4 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 5 −2 1 1 ⎥⎦ • B1 = {(1,1,1,1) , (1,1,1,0 ) , (1,1,0,0 ) , (1,0,0,0 )} •
y las bases
B2 = {(1, 2, 4 ) , ( 0, 2,1) , ( 3, 2, 3)} .
→ IR3 T : IR 4 → IR3 , IR 4 considera B1 , IR 3
a) Determinar la transformación lineal T : IR b) Determinar la transformación line al
4
considera la base
canónica.
4.nDada la TL T : IR 5 → IR 5 definida por T ( x, y , z , w, u ) = ( 2 x − y , 3 y + 4w, z − y + u , x + u , 2u ) c) Hallar una base para el núcleo y una base para la imagen
• •
−
1 A respecto de las bases. B1 = {(1,1,1,1,1) , (1,1,1,1,0 ) , (1,1,1,0,0 ) , (1,1,0,0,0 ) , (1,0,0,0,0 )}
d) Determinar la transformación lineal G que tiene como matriz asociada
B2 = {( 2,1, 0,1, 0 ) , (1, 2, 0, 3, 0 ) , ( 0,1, 3,1, 0 ) , (1,1,1, 0, 0 ) , ( 0, 0, 0, 0,1)} .
2.n Dada la transformación lineal T : IR 4 → IR 3 definida por la multiplicación de la matriz A a) Determinar cual de los siguientes vectores están en el núcleo de T
⎛3⎞ ⎛0⎞ ⎜ −8 ⎟ ⎜1⎟ v1 = ⎜ ⎟ ∨ v2 = ⎜ ⎟ ∧ ⎜2⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎝ −8 ⎠
⎡ 4 1 −2 −3⎤ ⎢ ⎥ A = 2 1 1 −4 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 6 0 −9 9 ⎥⎦
b) Encontrar además una base para el núcleo y la imagen e indicar sus dimensiones.
MODIFICACION DE FIGURAS Y CUERPOS POR MEDIO DE TRANSFORMACIONES LINEALES Modificación de figuras en el plano Los vectores y matrice s se relacionan a través de la multipli cación matricia l. Si A es una matriz fija de m × n , a u r
cualquier vector de n ×1 le podemos asociar un vector y principal ejemplo de una transformación lineal.
r
= Ax
de m ×1 . Y esta corresponden cia es el
Las transformaciones lineales desempeñan un papel muy importante en muchas áreas de la c iencia e ingeniería y de la vida diaria, por ejemplo en el procesamiento de imágenes y gráficos en computadora. Supongamos que un dibujante emplea computadoras y álgebra lineal para transformar los dibuj os.
Supongamos que trata de dar la sensación de movimientos a la primera imag en estirándola horizontalmente para llegar a la segunda imagen. Si el estiramiento necesario a lo largo del eje x ’s es del 100%. ¿cómo puede modelarlo matemáticamente y hacer que la computadora trace la imagen deseada?. El método debería ser independiente de la imagen ¿verdad?….
¿Se le ocurre como resolver el problema?….. Un hecho importante de las transformaciones lineales es que ellas están completamente determinadas por el efecto sobre los vectores de una base. Si se conoce el efecto de un a transformación lineal sobre los vectores de la base, entonces se conoce el efecto sobre cualquier otro vector. Sigamos con nuestra bicicleta. Supongamos que queremos pasar de la figura 1 a la figura 3. Podemos ver esta 2
2
relación de otra forma, d efiniendo una función de IR en IR que “transforma” el vector ( x, y ) en el vector
( 12 x, y ) , es decir: Sea T:IR
2
→ IR 2
una transformación lineal y supongamos que:
T (1, 0 ) = (1, 0 )
∧ T ( 0,1) = ( 12 ,1)
(1)
Queremos hallar T ( x, y ) para cualquier (x,y) ∈ℜ ( x, y ) ∈ IR . Como T es lineal tenemos 2
2
( x, y) = x(1, 0 ) + y( 0,1) Tomando transformaciones
T ( x, y) = T⎡⎣ x(1, 0 ) + y( 0,1) ⎤⎦ = xT(1, 0 ) + yT( 0,1 ) Por las condiciones dadas en (1)
T ( x, y ) = x T ( 1, 0 )
(1,0)
+ y T ( 0,1)
⎛1 ⎞ ⎜ ,1⎟ ⎝2 ⎠
= x (1, 0 ) + y ( 12 ,1)
De donde se tiene: 1 1 1 ⎛ ⎞ ⎡ x + 2 y ⎤ ⎡1 2 ⎤ ⎡ x ⎤ T ( x, y ) = ⎜ x + y , y ⎟ = ⎢ ⎥ = ⎢0 1⎥ ⎢ y ⎥ y 2 ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
Es una transformación lineal que satisface (1). Esta transformación se llama deslizamiento a lo largo del e je x ’s (cada punto se mueve a lo largo de la dirección x ’s una cantidad proporcional a la distancia del eje x ’s) Esta función preserva las operaciones del
(
r
r
)
(
r
r
)
r
( )
r
()
r
espacio vectorial r
() ()
T u + v = A u + v = A u + A v = T u +T v
(
r
y T k ⋅ u
propiedades caracterizarán a las transformaciones lineales.
( IR r
2
, +, ⋅
)
en el sentido de que r
r
) = A( k ⋅ u ) = k ( A ⋅ u ) = k ⋅ T ( u ) . Estas dos
Las siguientes son matric es asociadas a algunas transfor maciones respecto de la base canónica de IR
TRANSFORMACION
MATRIZ ESTANDAR
Sea la transformación lineal el cual representa un cuadrado unitario:
EFECTOS SOBRE EL CUADRADO UNITARIO
⎡1 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎣0 1 ⎦ ⎣ y ⎦
T ( x, y ) = ⎢
⎡1
0 ⎤ ⎡ x ⎤
⎣0
-1 ⎦ ⎣ y ⎦
T ( x, y ) = ⎢
Reflexión sobre el eje x .
⎥⎢ ⎥
y
y
⎡ −1 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎣ 0 1 ⎦ ⎣ y ⎦
Reflexión sobre el eje y .
T ( x, y ) = ⎢
1
1
1
Reflexión origen.
respecto
al
Contracción o compresión horizontal.
Expansión horizontal.
⎡ −1
T ( x, y ) = ⎢
⎣0
⎡K
T ( x, y ) = ⎢
x
-1
x
0 ⎤ ⎡ x ⎤
−1⎥⎦ ⎢⎣ y ⎥⎦
0⎤ ⎡ x ⎤
⎥⎢ ⎥ ⎣ 0 1 ⎦ ⎣ y ⎦ 0 < k < 1
⎡K
0⎤ ⎡ x ⎤
⎣0
1 ⎦ ⎣ y ⎦
T ( x, y ) = ⎢
⎥⎢ ⎥
y
y
1
1
k > 1 1 x
⎡1 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎣0 k ⎦ ⎣ y ⎦ 0 < k < 1
Contracción o compresión vertical.
T ( x, y ) = ⎢
Expansiónvertical.
T ( x, y ) = ⎢
⎡1 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎣0 k ⎦ ⎣ y ⎦ k > 1
2
k x
y Trasquilado horizontal o deslizamiento a lo largo del eje x .
⎡1 k ⎤ ⎡ x ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎣0 1 ⎦ ⎣ y ⎦ k < 0
T ( x, y ) = ⎢
y
1
1
Trasquilado horizontal o deslizamiento a lo largo del eje x .
x
⎡1 k ⎤ ⎡ x ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎣0 1 ⎦ ⎣ y ⎦ k > 0 y
⎡ 1 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎣k 1⎦ ⎣ y ⎦ k < 0
T ( x, y ) = ⎢
1
1
Proyección sobre el eje x .
⎡ 1 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎣k 1⎦ ⎣ y ⎦ k > 0
⎡1 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎣0 0⎦ ⎣ y ⎦
T ( x, y ) = ⎢
y
y
1
1
⎡0 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎣0 1 ⎦ ⎣ y ⎦
T ( x, y ) = ⎢
⎡cos θ
T ( x , y ) = ⎢
⎣ senθ
− senθ ⎤ ⎡ x ⎤ ⎥⎢ ⎥ cos θ ⎦ ⎣ y ⎦
1 x
x
y
y
1
1
1 Rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj por un ángulo .
1
x
T ( x, y ) = ⎢
1
Proyección sobre el eje y .
x
k 1
Trasquilado vertical o deslizamiento a lo largo del eje y .
1 x
T ( x, y ) = ⎢
y Trasquilado vertical o deslizamiento a lo largo del eje y .
k
x
1
x
Modificación de figuras y cuerpos en el espacio Al igual que en el plano, se puede ver en el espacio tridimensional, los efectos que produce una determinada transformación lineal sobre una figura o un cuerpo. Para realizar la grafica d figuras o cuerpos se puede usar el comando plot3
COMANDO
ACLARACIÓN Dados los vectores y Z = [ z1
z2
z3
L
X = [ x1 zn ]
( x3 , y3 , z3 ) ,…, ( xn , yn , zn )
>> plot3(X,Y,Z)
x2 dibuja
x3
xn ] ,
L
los
puntos
Y = [ y1
y2
( x1 , y1 , z1 ) ,
y3
L
yn ]
( x2 , y2 , z2 ) ,
y los une con un segmento de recta. De esto se deduce
que el vector X esta formado por las primeras componentes de tales puntos y el vector Y por las segundas componentes y el vector Z por las terceras componentes. Las siguientes son matrices asociadas de algunas transformaciones lineales en el espacio respecto de la base canónica de IR
3
Rotación alrededor del eje x un ángulo θ
Rotación alrededor del eje y un ángulo θ
Rotación alrededor del eje z un ángulo θ
Expansión para un factor k > 1 Contracción para un factor 0 < k < 1
Proyección sobre el plano IP: XY
Proyección sobre el plano IP : YZ
Reflexión respecto del eje x
Reflexión respecto del plano IP: XZ
0 ⎡1 ⎢ T ( x, y, z ) = 0 cos θ ⎢ ⎢⎣0 senθ
⎤ ⎡ x ⎤ − senθ ⎥⎥ ⎢⎢ y ⎥⎥ cos θ ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎡cos θ 0 − senθ ⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ 0 ⎥ ⎢ y⎥ T ( x, y , z ) = 1 0 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ senθ 0 cos θ ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎡cos θ − senθ 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ T ( x, y, z ) = senθ cos θ 0 y ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎡k 0 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ T ( x, y , z ) = 0 k 0 y ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 k ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦
⎡1 ⎢ T ( x, y , z ) = 0 ⎢ ⎢⎣ 0 ⎡0 ⎢ T ( x, y , z ) = 0 ⎢ ⎢⎣ 0
0 1 0 0 1 0
⎡1 0 ⎢ T ( x, y , z ) = 0 − 1 ⎢ ⎢⎣0 0 ⎡1 0 ⎢ T ( x, y , z ) = 0 −1 ⎢ ⎢⎣ 0 0
0
0⎤ ⎡ x ⎤
⎥ ⎢ y⎥ ⎥⎢ ⎥ 0⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎥⎢ ⎥ 0 y ⎥⎢ ⎥ 1⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎥ ⎢ y⎥ 0 ⎥⎢ ⎥ −1⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎥⎢ ⎥ 0 y ⎥⎢ ⎥ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ 0
Ejemplos (transformación lineal en el plano y en el espacio): Para el triangulo de vértices P(0,0) Q(2,5) R(6,3) realizar una expansión a lo largo del eje x con un factor de escala k = 3 . Solución. Sea la transformación lineal T : IR 2 → IR 2 tal que T ( x, y ) = ( 3x , y ) . La matriz asociada a esta
⎡ 3 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎣ 0 1 ⎦ ⎣ y ⎦
transformación respecto de la base canónica de IR es: T ( x, y ) = ⎢ 2
>> P=[0 0]'; >> Q=[2 5]'; >> R=[6 3]'; Se construye la matriz T cuyas columnas son >> T=[P Q R P] los vectores P, Q, R Esta matriz tiene como T = primera fila a las absisas de los vértices y como 0 2 6 0 segunda fila a las ordenadas 0 5 3 0 Se forman los vectores x y y de las abscisas y >> x=T(1,:); ordenadas de los vértices y se realiza la grafica >> y=T(2,:); >> plot(x,y) del triangulo >> A=[3 0;0 1] A= Se realiza el producto A por T para obtener las 3 0 imágenes 0 1 >> Im=A*T; Se construyen los vectores x y y de las >> hold on 1 1 >> x1=Im(1,:); abscisas y las ordenadas de las imágenes y se >> y1=Im(2,:); realiza la grafica en una misma figura >> plot(x1,y1,'g') Se introducen los vectores P, Q, R expresados como vectores columna
5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0
0
1
2
3
4
5
6
5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Para el mismo triangulo realizar una expansión a lo largo del eje y con un factor de escala k = 2 . Solución. La matriz asociada a la >> P=[0 0]'; transformación es: >> Q=[2 5]'; >> R=[6 3]'; >> T=[P Q R P]; ⎡1 0 ⎤ ⎡ x ⎤ >> x=T(1,:); T ( x, y ) = ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ 0 2 >> y=T(2,:); ⎣ ⎦⎣ ⎦ >> plot(x,y) ; >> A=[1 0;0 2]; >> Im=A*T; >> hold on; >> x1=Im(1,:); >> y1=Im(2,:); >> plot(x1,y1,'r') >> grid
18
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0
1
2
3
4
5
6
Realizar el trasquilado horizontal o deslizamiento a lo largo del eje x con un factor de escala k = −5 Solución. La matriz asociada a la >> P=[0 0]'; transformación es: >> Q=[2 5]'; >> R=[6 3]'; >> T=[P Q R P]; ⎡1 −5⎤ ⎡ x ⎤ >> x=T(1,:); T ( x, y ) = ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ 0 1 >> y=T(2,:); ⎣ ⎦⎣ ⎦ >> plot(x,y) ; k < 0 >> A=[1 -5;0 1]; >> Im=A*T; k = −5 >> hold on; >> x1=Im(1,:); >> y1=Im(2,:); >> plot(x1,y1,'r') >> grid 5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0 -25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
Realizar una rotación de 45ª a la porción de la parábola y = x2 + 2 en el intervalo [ −2, 2 ] . ⎡ cos θ Solución. La matriz asociada a la TL es: T ( x, y ) = ⎢ ⎣ − senθ Dibujamos la parábola original La matriz asociada Forma la matriz cuya primera fila esta compuesta por las abscisas y la segunda fila por las ordenadas de los puntos de la parábola
Calcula la imagen de los puntos
⎡ cos π 4 ⇒ T ( x, y ) = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − sen π cos θ ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣⎢ 4
π sen ⎤ ⎡ x ⎤ 4⎥
senθ ⎤ ⎡ x ⎤
⎥⎢ ⎥
cos ⎥ ⎣ y ⎦ 4⎦ π
>> x=-2:.1:2; >> y=4*x.^2+2; >> plot(x,y); >> A=[cos(pi/4) sin(pi/4) ;-sin(pi/4) cos(pi/4)]; 18
>> puntos=[x;y];
16 14 12
>> puntosIm=A*puntos; >> hold on;
Forma el vector de abscisas y coordenadas de los puntos de la imagen
>> x1=puntosIm(1,:); >> y1=puntosIm(2,:);
Grafica la parábola rotada
>> plot(x1,y1,'r') >> grid
10 8 6 4 2 0
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Dado el tetraedro de vértices P (-1,6,0), Q (0,2,0),R (2,4,0), y S (0,4,5). Aplicar la TL T : IR 3 → IR 3 tal que T ( x, y, z ) = (5 x, 5 y,5 z) (La transformación T produce una expansión a lo largo del eje y ) =
=
=
=
EXPANSION POR UN FACTOR
>> T=[-1 0 2 -1 0 2 0 0 -1 ;6 2 4 6 4 4 2 4 6 ;0 0 0 0 5 0 0 5 0]; >> x=T(1,:);y=T(2,:);z=T(3,:); >> plot3(x,y,z,'b') >> title('EXPANSION POR UN FACTOR'); >> A=[2 0 0;0 2 0;0 0 2]; >> pt=A*T; >> hold on >> xt=pt(1,:);yt=pt(2,:);zt=pt(3,:); >> plot3(xt,yt,zt) >> grid
10 8 6 4 2 0 15 4
10 2 5
0 0
-2
Dado el triangulo de vértices P(2,3,-1) Q(5,0,-2) R(4,-2,0) aplique las siguientes transformaciones: Simetría respecto del plano XY definida por T : IR 3 → IR 3 tal que T ( x, y , z ) = ( x , y , − z ) . Solución. La matriz asociada a >> P=[2 3 -1]'; la transformación es:
⎡1 0 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ y⎥ T ( x, y , z ) = 0 1 0 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 −1⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦
>> Q=[5 0 -2]'; >> R=[4 -2 0]'; >> T=[P Q R P]; >> x=T(1,:); >> y=T(2,:); >> z=T(3,:); >> plot3(x,y,z); >> A=[1 0 0;0 1 0;0 0 -1]; >> Im=A*T; >> hold on; >> x1=Im(1,:); >> y1=Im(2,:); >> z1=Im(3,:); >> plot3(x1,y1,z1,'r') >> xlabel('eje x '); >> ylabel('eje y '); >> zlabel('eje z '); >> grid
2
1
z e j e
0
-1
-2 4 5
2 4 0 eje y
3 -2
2
eje x
Simetría respecto del origen definida por T : IR 3 → IR 3 tal que T ( x, y , z ) = ( − x , − y , −z ) . Solución. La matriz asociada a >> P=[2 3 -1]'; la transformación es: >> Q=[5 0 -2]'; >> R=[4 -2 0]'; ⎡ −1 0 0 ⎤ ⎡ x ⎤ >> T=[P Q R P]; ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ >> x=T(1,:); T ( x, y , z ) = 0 − 1 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ >> y=T(2,:); ⎢⎣ 0 0 −1⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ >> z=T(3,:); >> plot3(x,y,z); >> A=[-1 0 0;0 -1 0;0 0 -1]; >> Im=A*T; >> hold on; >> x1=Im(1,:); >> y1=Im(2,:); >> z1=Im(3,:); >> plot3(x1,y1,z1,'r') >> xlabel('eje x '); >> ylabel('eje y '); >> zlabel('eje z '); >> grid
2 1 z e j e
0 -1 -2 4
5 2 0
0 -2 -4
eje y
-5
eje x
Simetría respecto del eje Z definida por T : IR 3 → IR 3 tal que T ( x, y , z ) = ( − x , − y , z ) . Solución. La matriz asociada a >> P=[2 3 -1]'; la transformación es: >> Q=[5 0 -2]'; >> R=[4 -2 0]'; >> T=[P Q R P]; ⎡ −1 0 0⎤ ⎡ x ⎤ >> x=T(1,:); ⎢ ⎥⎢ ⎥ T ( x , y , z ) = 0 −1 0 y >> y=T(2,:); ⎢ ⎥⎢ ⎥ >> z=T(3,:); ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ >> plot3(x,y,z); >> A=[-1 0 0;0 -1 0;0 0 1]; >> Im=A*T; >> hold on; >> x1=Im(1,:); >> y1=Im(2,:); >> z1=Im(3,:); >> plot3(x1,y1,z1,'r') >> xlabel('eje x '); >> ylabel('eje y '); >> zlabel('eje z '); >> grid
0
-0.5
z e j e
-1
-1.5
-2 4 2
5 0
0
-2 eje y
-4
-5
eje x
10. Para la figura mostrada en el plano (para esto considere usted las dimensiones mas adecuadas). Realizar un programa en Matlab el cual permita aplicarle cualquier transformación lineal ingresando desde el teclado la matriz asociada.
Creamos el programa transformacion con extensión m. que permite aplicar diversas transformaciones ingresando la matriz asociada desde el teclado
function M=transformacion(A) % linea que define la funcion %________________________________________________________ % Archivo de funcion que permite aplicar diversas transformaciones % lineales a % una figura dada, ingresando la matriz asociada desde el teclado %________________________________________________________ disp(' ______________________________________________________') disp('| Archivo de funcion que permite aplicar diversas transformaciones |') disp('| lineales a una figura dada, ingresando la matriz asociada |') disp('| desde el teclado |') disp(' _____________________________________________________') A=input('Ingrese la matriz asociada entre corchetes a la TL lineal de R2 en R2: ')
t=-3:.01:3;x=cos(t)+1;y=sin(t)+1; plot(x,y,'r') grid axis equal hold on x1=[4 1 0 1 1 1 -1 1 3 4];y1=[-2 0 -2 -3 0 -4 -8 -4 -5 -8]; plot(x1,y1,'r') % forma la matriz de puntos Pcara=[x;y];Pcuerpo=[x1;y1];
dibuja la cara
dibuja el cuerpo
aplica una transformacion lineal de R2 en R2 cuya matriz asociada es la ingresada A Llamamos al programa e introducimos la matriz de transformación y se de despliega la figura según su matriz asociada.
⎡0.5
0 ⎤ ⎡ x ⎤
⎣0
0.5⎦ ⎣ y ⎦
⎡ −1
0 ⎤ ⎡ x ⎤
T ( x, y ) = ⎢
⎥⎢ ⎥
T ( x, y ) = ⎢
−1⎥⎦ ⎢⎣ y ⎥⎦
⎣0
⎡1 T ( x, y ) = ⎢ ⎣5
0 ⎤ ⎡ x ⎤
⎥⎢ ⎥
1 ⎦ ⎣ y ⎦
Imcara=A*Pcara; Imcuerpo=A*Pcuerpo; xim=Imcara(1,:);yim=Imcara(2,:);x1im=Imcuerpo(1,:);y1im=Imcuerpo(2,:); plot(xim,yim,x1im,y1im,'b') hold off
>> transformación Ingrese la matriz asociada entre corchetes a la TL de R2 en R2: Ingrese la matriz asociada entre corchetes a la TL de R2 en R2 : [0.5 0;0 0.5]
Ingrese la matriz asociada entre corchetes a la TL de R2 en R2:
[-1 0;0 -1]
Ingrese la matriz asociada entre corchetes a la TL de R2 en R2:
[1 0;2 1]
Figura 2
Figura1 1
Figura 3
8
6
6
4
4
2
0 -1 -2 -3 -4
2
0
0
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-5 -6 -7 -8
-4
-2
0
2
4
-8 -10
6
-10 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
f ( t) = ( sen( t) , cos ( t) , t) aplique la siguiente transformación dilatación T : IR → IR
u r
Dada la helice
10
3
tal que T ( x, y , z ) = ( 2 x , 2 y , 2 z ) .
⎡2 Solución. La matriz asociada a la transformación es: T ( x , y, z ) = ⎢ 0 ⎢⎣ 0 Grafica la helice
Aplicamos la transformación que la expande un factor K=2 en todas las direcciones
>> t = 0:pi/50:10*pi; >> x=sin(t);y=cos(t);z=t; >> plot3(x,y,z,'m'); >> title('HELICE') >> grid >> hold on >> puntos=[x;y;z]; >> M=[2 0 0;0 2 0;0 0 2]; >> Im=M*puntos; >> xim=Im(1,:);yim=Im(2,:);zim=Im(3,:); >> plot3(xim,yim,zim,'r')
0 2 0
⎤ ⎡ x ⎤ 0 ⎥ ⎢ y ⎥ 2⎥ ⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ 0
HELICE
80
60
40
20
0 2 1
2 1
0
0
-1
-1 -2
-2
3
TRABAJO PRÁCTICO MODIFICACION DE FIGURAS Y CUERPOS POR MEDIO DE TL CON MATLAB 1. Dibuje el cuadrilátero de vértices (0.1), (2,4) (4,4), (6,1) y luego aplique a este las siguientes transformaciones lineales. a) Expansión a lo largo del eje Y con un factor k = 5 b) Contracción en ambas direcciones con un factor de k =
1 2
c) Reflexión respecto al eje x
2. Dibuje la figura de vértices (2,-2), (2,7), (4,5), (2,3) y aplique a estas las siguientes transformaciones lineales a) Expansión en ambas direcciones para un factor de k = 4 b) Reflexión respecto al eje y c) Rotación en sentido positivo con centro en el origen y un ángulo de 60 d) Reflexión respecto del origen y luego una expansión a lo largo del eje x con un factor k = 3 o
3. Dibuje la figura rellena de vértices (2,3), (3,1), (6,1), (7,3), (6,6), (4,3), (3,6) y aplique a esta las siguientes transformaciones lineales:
a)
T : IR 2 → IR 2 tal que T ( x, y ) = ( x + y , x − y ) .
b) T : IR 2 → IR2 tal que T ( x, y ) = ( 2 x − 3 y , 5 y ) . 4. Al triangulo de vértices (2,3,-1), (5,0,-2), (4,-2,0) y aplique las siguientes transformaciones lineales: a) Simetría respecto al plano IP: XY definida por T : IR 3 → IR 3 tal que T ( x, y , z ) = ( x , y , − z ) . b) Simetría respecto del origen, definidas por T : IR 3 → IR 3 tal que T ( x, y , z ) = ( −3x , −3 y , − z ) . 1 ⎞ ⎛ c) Simetría respecto del eje Z definida por T : IR 3 → IR 3 tal que T ( x, y, z ) = ⎜ − x, − y, z ⎟ . 2 ⎠ ⎝
5. Dada la figura de vértices (2,0,0), (1,5,3), (0,-3,4), (-6,5,3) Hallar su imagen respecto de la transformación 3 3 lineal T : IR → IR tal que T ( x, y , z ) = ( 2 x , 2 y , 2 z ) y a la figura resultante aplicar la transformación lineal T : IR 3 → IR 3 tal que T ( x, y , z ) = ( x + y , y , x + y + z ) ..
6. Dibujar el tetraedro de vértices (2,4,0), (-1,6,0), (0,2,0), (0,4,5) y aplicar las siguientes transformaciones lineales: a) Rotación alrededor del eje z con un ángulo de 60
o
b) Rotación alrededor del eje x un ángulo 30
o
c) Rotación alrededor del eje y un ángulo de 45
o
7. Dibujar el triangulo de vértices (3,0,2), (1,-2,1), (0,1,3) y obtener su proyección
a) Sobre el plano XY b) Sobre el plano XZ c) Sobre el plano YZ Rellenar cada una de las figuras proyectadas con un distinto color como se muestra en la figura de ejemplo.
;
8. Dibujar la carita de la figura (para esto considere usted las dimensiones mas adecuadas). y a esta aplicarle las siguientes transformaciones lineales:
a) Simetría respec to al eje y b) Simetría respec tó al eje x c) Trasquilado respecto al eje x para un factor k = 5 9. Dibujar la casita de la figura y a esta aplicarle las siguientes transformaciones lineales:
a) b) c) d) e)
Rotar la figura en sentido positivo un ángulo de 30
o
Rotar la figura en sentido negativo un ángulo de 90 Simetría respecto al eje x Simetría respecto al eje y Simetría respecto al origen 10. Para las figuras mostrada en el plano (para esto consi dere usted las dimensiones mas adecuadas). Realizar un programa en Matlab el cual permita aplicarle cualquier transformación lineal ingresando desde el teclado la matriz asociada. o
11. Para la curva en el espacio
f = ( cos ,t sent, 3 2t )
( t )
∧
t∈ [0,10π ] . Aplicar una transformación lineal que
le permita:
a) Expandirse en todas las direcciones con un factor k = 7 b) Contracción en todas las direcciones con un factor k =
1
3 12. Dibujar el cuadrado unitario definido por: D = [ 0,1] × [01] y luego aplicarle la transformación lineal, explicando claramente el resultado obtenido:
a)
T : IR 2 → IR 2 tal que T ( x , y ) = ( 2 + x − 2 y ,1 + x + y ) . Y graficar.
⎛ x− y x+ y ⎞ , b) T : IR 2 → IR 2 tal que T ( x, y ) = ⎜ ⎟ . Y graficar. 2 ⎠ ⎝ 2 13. Realizar una rotación de 90ª, una reflexión respecto del origen, un desplazamiento a lo largo del eje x con un factor de escala k=10 a las siguientes curvas
a)
x y = 9( x + y 2
2
2
2
)
b) r = 7 ( 3 + cos t ) c)
f( )t = ( 2 − cos ,5 t + se nt)
14. Realizar una rotación de 45ª, una expansión en todas sus direcciones con un factor de escala de k=7, una contracción en todas sus direcciones con un factor de escala k=-5 a las siguientes ecuaciones
a) 8 x2 + 15 y2 + 5 z2 = 102 b)
f = ( t − t + 1, t, t ) 4
2
2
