Application d'un plan d'expériences au contrôle de la rugosité Edité le 21/12/2009
Lionel GENDRE – Pierre MELLA
Cette Cette resso ressourc urce e a été créée créée dans dans le cadre cadre des proet proetss didact didacti!u i!ues es de pre"i# pre"i#re re année année du Départe"ent de Génie Mécani!ue de l$EN% de Cac&an '1() Elle illustre l$utilisation d$un plan d$e*périences dans le cadre d$un procédé de +a,rication - il s$a.it de déter"iner e*péri"entale"ent les conditions d$usina.e per"ettant de "ini"iser la ru.osité de pi#ces produites en série) l s$a.it d$une ressource applicatie ne co"portant !ue de ,re+s rappels sur la "ét&ode il est Les plan planss donc donc cons consei eill llé é de pren prendr dre e préa préala la,l ,le" e"en entt conn connai aiss ssan ance ce de la ress ressou ourc rce e 3 Les d'expériences 4)
1 - Quelques rappels 1.1 - La rugosité La ru.osité est une .randeur caractérisant un état de sur+ace) Plus particuli#re"ent il s$a.it d$une "esure des défauts de tailles caractéristiques inférieures à 0,5 mm tels !ue les stries ou les sillons dus au* passa.es de l$outil lors des di++érentes p&ases d$usina.e d$une pi#ce ou les arrac&e"ents arrac&e"ents de "ati#res localisés) Ces dé+auts sont "esurés 5 partir d$un profil de surface) La +i.ure 1 représente un e*e"ple de pro+il releé sur une sur+ace réputée plane)
Figure 1 : Profil de d e rugosité redressé
Pour accé accéde derr 5 la ru.o ru.osi sité té il +aut +aut sous soustr trai aire re les les ondu ondula lati tion onss 3 lent lentes es 4 de lon. lon.ue ueur ur caractéristi!ue supérieure 5 06 "" dues par e*e"ple au* i,rations de la "ac&ine d$usina.e oir +i.ure 2) l en résulte le pro+il de la +i.ure 7)
1
Figure 2 : ndulation du profil
Figure ! : Profil final
Ce pro+il ne contient plus !ue des ondulations 5 +ai,le lon.ueur de ariation) l dé+init donc la ru.osité de la pi#ce) Diers indicateurs peuent 8tre utilisés pour !uanti+ier cette ru.osité ici nous considérons la rugosité arithmétique dé+inie par la relation suiante -
∫
Ra = s (t ) dt
Le ca&ier des c&ar.es d$une pi#ce spéci+ie souent une aleur de la ru.osité arit&"éti!ue 5 ne pas dépasser en particulier pour les sur+aces en contact aec une autre pi#ce)
1.2 - Les plans d'expérience Nous rappelons seule"ent les principales dé+initions le lecteur se reportera 5 la ressource 3 Les plans d'expériences 4 pour un e*posé plus détaillé) •
•
•
•
•
"éponse : c$est la .randeur "esurée lors des essais ici la ru.osité arit&"éti!ue:) Facteurs : ce sont les para"#tres !ue l$on +ait arier au cours des essais a+in d$identi+ier leur in+luence sur la réponse) #i$eau : c$est la aleur prise par un +acteur au cours d$un essai) %od&le de comportement : il s$a.it de la relation "at&é"ati!ue per"ettant d$e*pri"er la réponse en +onction des nieau* des +acteurs) La dé"arc&e consiste &a,ituelle"ent 5 postuler un "od#le a++ine !uadrati!ue aec ou sans interactions))): puis 5 en identi+ier les ter"es et coe++icients 5 l$aide des essais) nteraction : c$est la dépendance de l$in+luence d$un +acteur en +onction du nieau des autres +acteurs) ;ne interaction peut 8tre dou,le l$in+luence de A sur la réponse dépend du nieau de <: ou d$ordre plus éleé l$in+luence de A dépend du nieau de < C D))) de
2
"ani#re conu.uée: en prati!ue les "od#les de co"porte"ent e"plo=és se li"itent souent au* interactions dou,les) En ce !ui concerne l$e*ploitation des résultats des essais les !uantités suiantes sont utilisées •
%o(enne générale : elle correspond 5 la "o=enne de la réponse sur les m essais) m
∑ Y i
M =
i =1
m
E Ai j •
)ffet d'un facteur : l$e++et du +acteur A au nieau j correspond 5 la "o=enne des réponses lors!ue le +acteur A est au nieau j soustrait de la "o=enne M ) E Ai j
=(Moyenne des réponses lorsque A i est au niveau j) - M
"emarque : la so""e des e++ets d$un +acteur 5 tous ses nieau* est nulle) n Ai
∑ E
Ai j
j =1
=0
I Ai jAk l •
entre le +acteur Ai au nieau j et le )ffet d'une interaction : l$e++et de l$interaction +acteur Ak au nieau l est donné par la "o=enne des réponses lors!ue Ai est au nieau j et E Ai j
Ak est au nieau l 5 la!uelle on soustrait l$e++et I Ai jAk l
E Ak l
l$e++et Ak l
Ai j
= (Moyennes des réponses pour
et la "o=enne M )
et
)-
E Ai j E Ak l
-
-M
"emarque : la so""e des e++ets d$une interaction 5 tous les nieau* de l$un ou l$autre des +acteurs est nulle) n Ai
∑ I j =1
•
Ai jAk l
=0
*rap+e des effets des facteurs : il s$a.it d$une "ani#re co""ode de représenter l$éolution de la réponse en +onction des nieau* des di++érents +acteurs) l consiste 5 tracer pour c&a!ue +acteur la mo(enne des réponses otenues lors!u$il prend ses di++érents nieau*) L$e*e"ple de la +i.ure > correspond 5 un +acteur A1 5 trois nieau* un +acteur A 5 deu* nieau* et un +acteur A! 5 !uatre nieau*)
7
Figure - : )xemple de grap+e des effets des facteurs •
*rap+e des effets des interactions : il est construit sur le "8"e principe !ue le .rap&e des e++ets des +acteurs 5 ceci pr#s !ue l$on trace plusieurs cour,es par +acteur correspondant au* e++ets "o=ens calculés selon le ni$eau d'un autre facteur ) Des cour,es con+ondues traduisent une interaction nulle des cour,es tr#s di++érentes traduisent une interaction +orte) La +i.ure 6 donne des e*e"ples d$interactions entre deu* +acteurs 5 deu* nieau*)
Figure 5 : )xemple de grap+e des effets des interactions
2 - Mise en œuvre de la méthode Nous considérons "aintenant la "ise en ?ure de la "ét&ode des plans d$e*périence pour "ini"iser la ru.osité de pi#ces usinées) l s$a.it d$un cas t=pi!ue d$utilisation de cette "ét&ode c&a!ue essai est co@teu* puis!u$il de"ande la +a,rication d$une pi#ce et un contrle par "étrolo.ie) l est donc essentiel d$opti"iser le co@t et la +ia,ilité de l$étude e*péri"entale)
2.1 - Modélisation La pre"i#re étape est de "ettre en place un "od#le de co"porte"ent du 3 produit 4 c$estB5B dire ici du procédé d$usina.e) Pour cela il +aut tout d$a,ord c&oisir les +acteurs) De no",reu*
>
para"#tres peuent in+luer sur l$état de sur+ace de la pi#ce usinée on peut nota""ent citer les conditions de coupe •
la itesse de coupe
•
l$aance
•
la pro+ondeur de passe
•
la lu,ri+ication
))) "ais é.ale"ent les caractéristi!ues de la pla!uette •
le ra=on de ,ec
•
la .éo"étrie de l$ar8te de coupe
•
la !ualité de la pla!uette
•
la nuance de la pla!uette
))) et les caractéristi!ues de la pi#ce •
le t=pe de "atériau
•
l$état de sur+ace aant usina.e
•
l$état de dé+or"ation de la pi#ce
Cette liste n$est pas e*&austie "ais décrit les principau* p&éno"#nes ouant sur l$état de sur+ace +inal) ci a+in !ue la co"ple*ité du "od#le reste raisonna,le nous ne considérons !ue 6 +acteurs par"i la liste ciBdessus et a++ectons 2 nieau* 5 c&acun d$entre eu*) Ces +acteurs et leurs nieau* sont dé+inis dans le ta,leau ciBdessous) Dési.nation
Rep#re
Nieau 1
Nieau 2
Ra=on de ,ec de l$outil
A
0> ""
0 ""
Aance de l$outil
<
01 ""/tr 0> ""/tr
itesse de coupe
C
120 "/"n
260 "/"n
Pro+ondeur de passe
D
06 ""
1 ""
Lu,ri+ication
E
%ans
Aec
La réponse est naturelle"ent la ru.osité arit&"éti!ue e*pri"ée en "icrons) En+in nous postulons !ue cette réponse dépend des di++érents +acteurs de "ani#re a++ine c&a!ue +acteur n$a=ant !ue deu* nieau* il est i"possi,le d$identi+ier une dépendance d$ordre supérieur: et !ue l$e++et des interactions d$ordre 7 ou plus est né.li.ea,le) Le "od#le de co"porte"ent retenu est donc le suiant y = # + ∑ e " " + ∑ i "Y "Y " ,Y
"
o " et Y dési.nent les +acteurs pouant correspondre 5 A < C D ou E) l = a donc un total de 1F coe++icients 5 identi+ier - le ter"e constant # les 6 ter"es 3 si"ples 4 e " et les 10 ter"es 3 dou,les 4 i "Y )
6
2.2 - Choix d'un plan d'expériences l +aut "aintenant c&oisir un plan d$e*périences c$estB5Bdire une liste ordonnée d$essais per"ettant d$identi+ier les coe++icients du "od#le ciBdessus) ;n plan +actoriel co"plet co"porterait 26 72 essais ce c&i++re n$est pas insur"onta,le "ais dans un souci de réduire les co@ts nous allons plutt e"plo=er un plan réduit) Nous c&oisissons ici la "ét&ode de Ha.uc&i pour sa si"plicité "ais d$autres "ét&odes co""e celle de
Di++iculté de "odi+ication
A
Hr#s di++icile
<
Di++icile
C
Jacile
D
Hr#s +acile
E
Hr#s +acile
La "ét&ode de Ha.uc&i consiste alors 5 c&oisir dans un recueil de ta,les le plan d$e*périences le plus adapté au "od#le e"plo=é) Ce "od#le co"porte 6 +acteurs et 10 interactions et c&a!ue +acteur poss#de deu* nieau* il se troue !ue cette con+i.uration correspond e*acte"ent 5 la ta,le dite L 1F216: !ue le lecteur pourra consulter 3 .nnexe : "ugosité /aguc+ixls 4) Cette ta,le est acco"pa.née des 7 .rap&es linéaires de la +i.ure F)
Figure : *rap+es associés à la tale L12153 de /aguc+i
Kn rappelle !ue plus le cercle est re"pli plus le +acteur est "odi+ié +ré!ue""ent au u de la répartition des di++icultés le pre"ier .rap&e se",le donc 8tre le "ieu* adapté 5 l$étude et une attri,ution possi,le des colonnes de la ta,le est la suiante Rep#re
A < C
D
E
Colonne
1 2 > 16
La ta,le de Ha.uc&i donne alors directe"ent la liste ordonnée des essais 5 réaliser)
F
2.3 - Identification des coefficients du modèle Nous ne présentons ici !ue les calculs stricte"ent nécessaires 5 la co"pré&ension de la dé"arc&e) L$e*ploitation co"pl#te des résultats est disponi,le 3 .nnexe : "ugosité /aguc+ixls 4) Le plan d$e*périences utilisé co"porte 1F essais dont les résultats sont donnés ciBdessous Essai
1
19
2
1F1
7
161
>
10
6
76
F
>1
66>
6>
9
726
10
>1
11
1F6
12
11
17
>>
1>
2F0
16
660
1F
6>
La "o=enne .énérale des 1F essais est M 3!"3) Les e++ets des di++érents +acteurs sont représentés .rap&i!ue"ent sur la +i.ure )
Figure 4 : *rap+e des effets des facteurs sur la rugosité
En+in les e++ets des interactions sont représentés sur les +i.ures et 9)
Figure : *rap+e des effets des interactions sur la rugosité
Figure 6 : *rap+e des effets des interactions sur la rugosité suite3
Le "od#le utilisé est a++ine aec deu* nieau* par +acteur) Les coe++icients du "od#le sont donc directe"ent donnés par les aleurs des e++ets) De plus le "od#le co"porte 1F ter"es et le plan d$e*périences utilisé co"porte 1F essais) Kn o,tient donc un "od#le passant e*acte"ent par les résultats des essais l$aanta.e est !ue l$on a utilisé le no",re "ini"al d$essais possi,le l$inconénient est !u$il n$est pas possi,le de tester la alidité du "od#le sans +aire d$essais supplé"entaires t=pi!ue"ent si une ou plusieurs interactions d$ordre éleé ouent un rle si.ni+icati+ nous le pourrons pas le oir aec ce plan d$e*périences - c$est le p&éno"#ne d$alias:)
2." - Minimisation de la rugosité Nous pouons "aintenant utiliser le "od#le pour répondre 5 la !uestion posée au dé,ut de l$étude c$estB5Bdire sélectionner les conditions d$usina.e per"ettant de "ini"iser la ru.osité) l s$a.it d$un pro,l#"e classi!ue d$opti"isation ici co"pte tenu du +ai,le no",re de +acteurs et des ordres de .randeurs des di++érents e++ets une résolution .rap&i!ue c$estB5Bdire sans écrire d$é!uations est possi,le)
L$e*a"en de l$e++et de < +i.ure : ainsi !ue des interactions A< +i.ure :
L$e++et total de C1 est positi+) Co""e l$e++et total de C 2 est son opposé il aut "ieu* fixer le facteur 9 au ni$eau 2 pour !ue son e++et di"inue la ru.osité) L$3 .nnexe : )xploitation des résultats des différents essais 4 décrit le déroule"ent de l$e*ploitation des résultats) Au +inal les para"#tres retenus pour aoir une ru.osité "ini"ale sont donc les suiants Jacteur
Nieau
aleur
Ra=on de ,ec de l$outil
1
0> ""
Aance de l$outil
1
01 ""/tr
itesse de coupe
2
260 "/"n
Pro+ondeur de passe
2
1 ""
Lu,ri+ication
2
Aec
La ru.osité arit&"éti!ue prédite par le "od#le est alors R = #!$% !ui est ,ien in+érieure 5 l$ense",le des résultats des essais) Co""e le no",re d$essais e++ectué n$a pas per"is de tester la alidité du "od#le il coniendrait de éri+ier e*péri"entale"ent cette aleur lors de la "ise en place dé+initie du procédé d$usina.e) A
9
3 - onclusion Le plan d$e*périences "is en place ici a per"is d$identi+ier les conditions d$usina.e conduisant 5 une ru.osité "ini"ale) Cet e*e"ple "ontre !ue l$application de la "ét&ode ici 5 l$aide d$une ta,le de Ha.uc&i: ne représente aucune di++iculté particuli#re et "ontre !ue dans les cas les plus si"ples les aleurs sou&aitées peuent 8tre trouées 3 5 la "ain 4 sans +aire appel 5 des tec&ni!ues "at&é"ati!ues co"ple*es)
!é"érences # '1(- &ttp-//OOO)d.")ensBcac&an)+r/
Ressource pu,liée sur ED;%CKLB%H - &ttp-//eduscol)education)+r/sti/siBensBcac&an/
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