Problemas de programación lineal Problemas de formulación de modelos 1.
Enigma S.A. fabrica y vende dos productos. Dicha compañía obtiene una ganancia de S/. 12 por cada unidad que vende del producto 1 y de S/. 4 por cada unidad del producto 2. os requerimientos en t!rminos de horas de traba"o para la fabricaci#n de estos productos en los tres departamentos de producci#n se muestran de manera manera resumida en la siguiente tabla$
Departamento A B C
Producto 1 1 1 2
Producto 2 2 3 3
os supervisores de estos departamentos han estimado que tendr%n las siguientes disponibilidades de horas de traba"o durante el pr#&imo mes$ '(( horas en el depa depart rtam amen ento to )* +(( +(( hora horass en el depa depart rtam amen ento to , y 2 ((( ((( hora horass en el depar departam tament ento o -. )dem%s* dem%s* las las condic condicio iones nes partic particula ulares res del merca mercado do de los productos indican que todo los productos producto s que se fabrique ser%n vendidos. Si la compañía est% interesada en ma&imiar las ganancias y suponiendo que todo lo producido se vender%* desarrolle el modelo de programaci#n lineal correspondiente.
2.
a firma Análisis Financiero S.A. es una empresa de inversiones que mane"a las carteras de acciones para diversos clientes. n cliente nuevo acaba de solicitarle que mane"e una cartera de S0 '( (((. l cliente desea* como estrategia inicial de inversi#n* restringir la cartera a una combinaci#n de las tres acciones cuyas características principales se muestran en la siguiente tabla$
Acción Blue chip Best Regular
Precio por acción (US$) 50 30 35
Rendimiento anual estimado por acción (US$) 6 4 5
Inversión máxima posile 50 000 45 000 30 000
ormule un modelo de programaci#n lineal para el problema de inversi#n si el cliente desea ma&imiar el rendimiento anual total.
3.
a Cámara de Comercio patrocina peri#dicamente programas educativos. n estos momentos se est%n elaborando los planes promocionales para los programas del presente año. as alternativas de publicidad incluyen anuncios en televisi#n* radio y peri#dicos. ) continuaci#n se muestran las estimaciones de audiencia* los costos y las limitaciones sobre el uso m%&imo de los medios son$ !edio Televisión Radio Periódico Audiencia por anuncio 100 000 1 000 40 000 Costo por anuncio !en nuevos soles" 2 000 300 600 #so $%&i$o del $edio !n'$eros de avisos" 10 20 10
3
ara ara asegur asegurar ar una utili utiliaci aci#n #n equil equilibr ibrad adaa de los los medio medioss pub public licit itari arios* os* los los anuncios por radio no deben rebasar el 5(6 del n7mero total de anuncios que se autoricen. autoricen. )dem%s* )dem%s* se requiere que el n7mero de avisos en televisi#n constituya cuando menos el 1(6 del n7mero total de anuncios autoriados. Si el presupuesto disponible disponible para el año es de S/. 2( (((* presente un modelo de programaci#n lineal que ma&imice la audiencia obtenida por los avisos en los medios.
4.
Cannes S. A. proporciona alo"amiento por una noche para mascotas. na característica particular en calidad d del cuidado cuidado que recibe reciben n las mascot mascotas* as* incluy incluyend endo o una e&celent e&celentee Cann Cannes es S. A. es la calida alimentaci#n. a comida para perros de la perrera se elabora meclando dos alimentos de marca para perros a fin de obtener lo que la perrera identifica como una 8dieta para perros balanceada9$ os datos para las dos comidas para perros son las siguientes$
"omida para perros (uau *ni++
"osto por on#a 0 )0 6 0 )0 5
Protenas (%) 30 20
&rasa (%) 15 30
l gerente desea asegurarse de que los perros reciben por lo menos 5 onas de proteínas y como mínimo 3 onas de grasas cada día y quiere hacerlo al menor costo. De acuerdo a lo planteado formule el modelo de programaci#n lineal. 5.
fabrica raquetas raquetas desde tamaño tamaño normal normal y grande grande.. as raquetas raquetas de la empres empresaa son Sport Sport S.A. S.A. fabrica e&tremadamente ligeras debido al uso de una aleaci#n especial de magnesio y grafito.
-ada raqueta de tamaño normal utilia (*125 :g. de aleaci#n especial y cada raqueta grande utilia (*4 :g. de aleaci#n especial. ara ara el siguie siguiente nte perio periodo do de produc producci ci#n #n de dos seman semanas as s#lo s#lo hay disponible '( :g. de aleaci#n especial. -ada -ada raqu raquet etaa de tama tamaño ño norm normal al ocup ocupaa 1( minu minuto toss de tiem tiempo po de fabricaci#n y cada raqueta tamaño grande utilia 12 minutos. as contribuciones a la utilidad son de 01( por cada raqueta normal y 015 por cada raqueta grande y est%n disponibles 4( horas de tiempo de producci#n por semana. se mana. a admi admini nist stra raci ci#n #n ha espe especi cifi fica cado do que que por por lo meno menoss 2(6 2(6 de la producci#n total debe deb e ser de la raqueta de tamaño ta maño est%ndar.
Suponiendo que debido a la naturalea 7nica de los productos* la empresa vender% todas las raquetas que puede producir* se pide que desarrolle el modelo de programaci#n lineal que ma&imice la contribuci#n a la utilidad las dos siguientes semanas. 6. Aerolíneas S.A. est% considerando la posibilidad de adquirir aviones comerciales en el mercado mundial a S)* ;nglaterra o
os econ os econom omis ista tass de Aerolíneas S.A. han han calc calcul ulad ado o que que el avi# avi#n n de S) S) proporcionar% una utilidad neta de S0 42( ((( anuales* el avi#n de ;nglaterra proporcionar% una utilidad neta de S0 3(( ((( y el avi#n de
4
Si s#lo se adquiriesen los aviones de
7.
n gran"ero puede criar ove"as* cerdos y vacas. >iene espacio espacio para 3( ove"as # 5( cerdos # 2( vacas* aunque* siempre que el espacio lo permita* pueden estar en !l combinaciones de estos tres tipos de animales. as utilidades dadas por animal son 5((* 4(( y 1((( soles para ove"as* cerdos y vacas respectivamente. l gran"ero desea criar al menos tantos cerdos como ove"as y vacas "untas.
orm ormul ulee un mo mode delo lo de prog progra rama maci ci#n #n line lineal al que que le ayud ayudee al gran gran"e "ero ro a determinar el n7mero de ove"as* cerdos y vacas que debe criar.
8.
Walter Luna hered# recientemente una gran suma de dinero y desea utiliar una parte para establecer un fideicomiso para sus dos hi"os. l fideicomiso tiene dos opciones de inversi#n$ ?1@ un fondo de bonos y ?2@ un fondo de acciones. os requerimientos proyectados durante la vida de las inversiones son de +6 para el fondo de bonos y 1(6 para el fondo de acciones. ;ndependientemente de la porci#n de la herencia que finalmente decida comprometer al fideicomiso* desea invertir por lo menos 3(6 de dicha cantidad en el fondo de bonos. )dem%s desea seleccionar una combinaci#n que le permita obtener un rendimiento total de por lo menos =*56.
ormule un modelo de programaci#n lineal que pueda utiliarse para determinar el porcenta"e que deba asignarse a cada una de las posibles alternativas de inversi#n.
9.
-onsidere que la empresa Enigma Mutual Funds acaba de obtener fondos de un cliente por 0 1(( ((( y est% buscando oportunidade oportunidadess de inversi#n. inversi#n. -on base a las inversiones inversiones actuales actuales de Enigma* el analista financiero principal de la empresa recomienda que todas las nuevas inversiones se efect7en en empres empresas as del sector sector minero minero** empres empresas as del sector sector agroin agroindus dustri trial al o en bon bonos os del gob gobier ierno. no. specíficamente* el analista ha identificado las siguientes oportunidades de inversi#n$
Inversión ,inera Atacocha ,inera *an .icente Co$pa/a Agroindustrial a acienda Agrcola &apa$pa *AC Bonos del goierno
'asa de rendimiento proectado (%) -)3 10)3 6)4 -)5 4)5
a administraci#n de Enigma ha impuesto las siguientes guías de inversi#n$
Aing7n sector ?minero o agroindustrial@ ag roindustrial@ debe recibir r ecibir m%s de 05( (((. os bonos del gobierno deben ser por lo menos 256 de las inversiones en el sector agroindustrial. n las inversiones en la Binera San Cicente* dado que es de elevado rendimiento pero de alto riesgo* no pueden superar el +(6 del total de las inversiones en el sector minero.
5
Desa Desarro rroll llee el mo model delo o de progr program amaci aci#n #n linea lineall que permi permita ta ma&im ma&imia iarr el rendimiento proyectado definiendo las variables como el monto a destinar en cada tipo de inversi#n. Cuelva Cuelva a resolver el problema definiendo las variables como una fracci#n de los fond fondos os inve invert rtid idos os en cada cada uno uno de los los valo valore res. s. >amb mbi! i!n n mo modi difi fiqu quee las las restr restricc iccion iones es que limita limitan n las las inver inversio siones nes en las las indust industri rias as de la miner minería ía y agroindustria como sigue$ no m%s del 5(6 de los fondos totales invertidos en acciones puede ser invertido en la industria de la minería y no m%s del 5(6 de los fondos invertidos en acciones puede invertirse en la agroindustria.
10.
l gerente de programaci#n del -anal B desea determinar determinar la me"or forma de asignar asignar el tiempo para la difusi#n de las noticias en el horario de 11 h a 11$3( h. specíficamente le gustaría determinar el n7mero de minutos de tiempo de difusi#n dedicado a las noticias locales* noticias nacionales* el clima y los deportes.
) lo lo largo de los 3( minutos minutos de difusi#n* se reservan reservan 1( minutos minutos para publicidad. a política de difusi#n de la estaci#n indica que por lo menos 156 del tiempo disponible deber% dedicarse a cobertura de noticias locales. l tiempo dedicado a noticias locales y nacionales deber% ser por lo menos el 5(6 del tiempo total de difusi#n. l tiempo dedicado al segmento del clima deber% ser inferior o igual al tiempo dedicado a deportes. l tiempo dedicado al segmento de deportes no deber% ser superior al tiempo dedicado a noticias locales y nacionales. or lo menos 2(6 del tiempo disponible deber% dedicarse al segmento del clima.
Si los costos de producci#n por minuto son S/. 3(( para noticias locales* S/. 2(( para noticias nacionales* S/. 1(( para el clima y S/. 1(( para deportes* formule el modelo de programaci#n lineal que permita obtener una programaci#n usando usando de manera #ptima los recursos disponibles. disponibles.
11. 11.
-ierta persona requiere por raones de salud como mínimo una cantidad diaria de + ((( unidades de carbohidratos* 4 ((( unidades de proteínas y 3 5(( unidades de grasas. os carbohidratos* proteínas y grasas se encuentran principalmente en dos alimentos diferentes ) y ,. a cantidad de cada uno de estos estos nutrie nutriente ntess presen presentes tes en los dos alimen alimentos tos por cada cada 1(( gramos gramos de cada cada alimen alimento to y los requerimientos mínimos diarios se muestran en la siguiente tabla$
utriente Carohidratos Protenas (rasas
A 500 300 500
200 200 100
Re7ueri$iento diario $ni$o 6 000 4 000 3 500
Si se sabe que el costo de 1(( g. del alimento ) es S/. 1*5( y el costo de 1(( g. del alimento , es S/. (*+(. Desarrolle el modelo de programaci#n lineal que obtenga la mecla de ambos alimentos y pueda cumplir la dieta al menor costo.
12.
>)- S. ). produce dos líneas de equipo pesado. na de estas líneas de productos se destina esencialmente a aplicaciones de construcci#n ?@. a otra línea est% destinada a la industria maderera ?@. os equipos se producen en los mismos departamentos y con las mismas m%quinas y personal.
+
Eaciendo uso de las predicciones econ#micas para el pr#&imo mes* el gerente de mercadotecnia de >)- S. ). "uga que durante ese periodo ser% posible vender todos equipos y que la empresa pueda producir. a administraci#n debe ahora recomendar una meta de producci#n para el pr#&imo mes* es decir* Fcu%ntos equipos y deben producirse para ma&imiar la utilidadG
n la toma de decisiones* los principales factores a considerar son los siguientes$ >)- S. ). tendr% una utilidad de 05 ((( por cada equipo y 04 ((( por cada equipo . -ada producto para su fabricaci#n pasa tanto por el departamento ) como por el departamento ,. ara la producci#n del pr#&imo mes* estos departamentos tienen disponibles 15( y 1+( horas respectivamente. -ada consume 1( horas de operaci#n mec%nica en el departamento ) y 2( horas en el departamento ,* mientras que cada consume 15 horas en el departamento ) y 1( horas en el departamento ,. -on el ob"eto de cumplir un compromiso con el sindicato* el total de horas de traba"o que se dedicar%n a la verificaci#n de los productos terminados del pr#&imo mes no puede ser menor en 1(6 a una meta establecida de 15( horas. sta verificaci#n se realia en un tercer departamento que no tiene relaci#n con los departamentos ) y ,. -ada requiere 3( horas de comprobaci#n y cada requiere de 1( horas. -on el ob"eto de mantener su posici#n actual en el mercado* la alta gerencia ha definido que para la política de operaci#n es necesario construir al menos un F por cada 3 Es. n cliente importante ha ordenado un total de por lo menos cinco equipos ?en cualquier combinaci#n de E y F@ para el pr#&imo mes* así que por lo menos debe producirse dicha cantidad. ormule el modelo de programaci#n lineal del problema.
13.
na compañía puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y televisi#n locales. Su presupuesto limita los gastos en publicidad a 0 1( ((( por mes. -ada minuto de anuncio en la radio cuesta 0 1( y cada minuto de publicidad en televisi#n cuesta 0 2((. a compañía desearía utiliar la radio cuando menos dos veces m%s que la televisi#n. a e&periencia pasada muestra que cada minuto de publicidad por televisi#n generar% en t!rminos generales 25 veces m%s ventas que cada minuto de publicidad por la radio.
ormule el modelo de programaci#n para determinar el n7mero de anuncios por radio y televisi#n para ma&imiar las ventas.
14.
n nuevo producto puede ser obtenido meclando insumos de cuatro proveedores diferentes. os an%lisis han demostrado que para producir el nuevo producto con las cualidades adecuadas mínimas se debe contar con tres elementos b%sicos que para abreviar designaremos )* , y -. n particular* cada tonelada del producto debe contener por lo menos 5 :g. del el elemento )* por lo menos 1(( :g. del elemento , y al menos 3( :g. del elemento -. l insumo de cada uno de los cuatro proveedores contienen los tres elementos b%sicos* pero en diferentes proporciones. a composici#n* en Hilogramos* de cada elemento b%sico por tonelada de insumo es$
*lemento ásico A
1 10
Insumo del proveedor 2 + 3
, 2
=
B C
80 45
150 25
-5 20
1-5 3-
os costos en d#lares por tonelada de insumo de cada uno de los proveedores se muestran en la siguiente tabla$
"osto de una tonelada ($)
1 00
Insumo del proveedor 2 + 400 600
, 500
Se pide encontrar el modelo de programaci#n lineal de las proporciones ?o cantidades@ de insumo de cada proveedor que permita obtener una tonelada del nuevo producto que cumpla los requisitos antes mencionados al menor costo posible.
15.
a Unión de Crédito para Empleados en la Universidad Estatal est% planeando la asignaci#n de fondos para el pr#&imo año. a uni#n de cr!dito hace cuatro tipos de pr!stamos a sus miembrosI adem%s* invierte sus e&cedentes de efectivo en valores sin riesgo para estabiliar sus ingresos. as diversas inversiones posibles "unto con sus respectivas tasas de inter!s anuales son las siguientes$
'ipo de pr-stamo o inversión Pr9sta$os para co$pra de auto$óviles Pr9sta$os para $oiliario tros pr9sta$os garanti:ados Pr9sta$os 7uirogra+arios .alores lires de riesgos
'asa de inter-s anual (%) 10 11 12 8
a Unión de Crédito dispondr% de S/.2 ((( ((( para pr!stamos o inversiones durante el pr#&imo año. as leyes estatales y las políticas de la uni#n de cr!dito imponen las siguientes restricciones en la composici#n de los pr!stamos e inversiones.
os valores libres de riesgos no pueden e&ceder el 3(6 de los fondos totales disponibles para inversi#n. os pr!stamos quirografarios no pueden e&ceder el 1(6 de los fondos invertidos en todos los pr!stamos. os pr!stamos para mobiliario m%s otros pr!stamos garantiados no pueden e&ceder los pr!stamos para compra de autom#viles. tros pr!stamos garantiados m%s los pr!stamos quirografarios no pueden e&ceder los fondos invertidos en valores sin riesgos.
ormule un modelo matem%tico de programaci#n lineal con la finalidad de determinar Fc#mo se asignarían los S/.2 ((( ((( a cada una de las alternativas de pr!stamo o inversi#n para ma&imiar el rendimiento anual totalG
16.
Enigma ruc!s ha decidido entrar al mercado de vehículos recreativos con la "unamis* una especie de motocicleta con tres llantas e&traJgrandes. Dado que se trata de una nueva línea de productos se plantea una campaña de publicidad bastante intensa durante el mes de introducci#n a la cual se le asign# un presupuesto de 0 =2 ((( para e"ecutarla.
'
Enigma ruc!s decidi# usar la radio durante la mañana* la televisi#n en la tarde y los peri#dicos durante toda la campaña. a agencia de publicidad de Enigma proporciona los datos relativos al costo de los anuncios en cada uno de los medios y el n7mero de unidades de compra que ser%n logrados mediante dichos anuncios de acuerdo a la siguiente tabla$ !edio de pulicidad Radio en la $a/ana T. en la tarde Periódicos
./mero de unidades de compra alcan#ados por anuncio 30 000 60 000 45 000
"osto por anuncio ($) 1 -00 2 00 1 200
a efectividad de un anuncio se mide en unidades de e&posici#n en una escala de ( a 1(( para cada anuncio e&hibido. >ambi!n se sabe que la eficacia del anuncio disminuye con el n7mero de e&posiciones en un medio durante un tiempo específico. a siguiente tabla muestra el n7mero de e&posiciones por anuncio y su variaci#n de acuerdo al medio usado y a la cantidad de avisos utiliados en el mismo medio. !edio de pulicidad Radio en la $a/ana T. en la tarde Periódicos
Primeros 10 anuncios 60 0 -0
'odos los anuncios siuientes 40 55 35
)dem%s se quiere asegurar que la campaña de publicidad satisfar% ciertos criterios que se consideran importantes. n concreto$ no deber%n aparecer m%s de 25 anuncios en un solo medioI se deber% alcanar un total de por lo menos 1 '(( ((( unidades de compra a trav!s de todos los medios y al menos una cuarta parte de los anuncios aparecer%n en la >C en la tarde. btenga el modelo de programaci#n lineal que permita ma&imiar el total de unidades de e&posici#n.
17.
na compañía de inversiones tiene que elegir entre cuatro proyectos que compiten por un presupuesto de inversi#n m%&imo de 0 1 5(( (((. n la siguiente tabla se muestra la inversi#n neta y los rendimientos estimados de cada proyecto. ) cada proyecto se le puede asignar fondos a cualquier nivel fraccional menor o igual al 1((6. a compañía requiere una rendimiento mínimo del 256 y desea minimiar el riesgo. Suponga que el riesgo es aditivo* por e"emplo* el riesgo de asignar fondos para aceites al 2(6 y para oficinas al 5(6 ser% ?(*2@.?K@ L ?(*5@.?4@ M 3*'.
Proecto Centros co$erciales Aceite ;di+icios de o+icinas ;di+icios ,ivivienda
Inversión 550 000 400 000 450 000 500 000
Rendimiento neto 1-0 000 500 000 100 000 100 000
Rieso 6 8 4 2
labore el modelo de programaci#n lineal correspondiente.
18.
na planta puede manufacturar cinco productos diferentes en cualquier combinaci#n. -ada producto requiere de cada una de las tres m%quinas* tal como se muestra en la siguiente tabla$
K
Producto A B C < ;
1 12 10 -
!áuina 2 8 4 0 11
+ 5 10 3 2
>odos los datos de la tabla est%n en minutos por Hilogramo de producto. -ada m%quina est% disponible 12' horas por semana. os productos )* ,* -* D y son netamente competitivos y cualquier cantidad fabricada puede venderse a los precios respectivos de 05* 04* 05* 04 y 04 por Hilogramo de producto. os costos variables de traba"o son 04 por hora de las m%quinas 1 y 2* y 03 para la m%quina 3. os costos de material por cada Hilogramo de los productos ) y - son de 02 y para los productos ,* D y son de 01 por Hilogramo.
a empresa desea ma&imiar la utilidad generada por los productos* para lo cual se pide que elabore el modelo de programaci#n lineal correspondiente.
19.
a administraci#n de Alta ecnología S. A. ? ASA@ desea desarrollar un modelo que le ayude a asignar el tiempo de sus t!cnicos entre llamadas de servicio por contrato a clientes tanto normales como nuevos. n el periodo de planeaci#n de 2 semanas hay disponible un m%&imo de '( horas de tiempo de t!cnico. ) fin de satisfacer los requisitos de flu"o de ca"a* deben generarse por lo menos 0'(( de ingresos durante el periodo de 2 semanas. l tiempo de los t!cnicos para los clientes normales genera 025 la hora* pero para clientes nuevos s#lo genera 0' la hora* porque en muchos casos el contacto con un cliente nuevo no llega a generar servicios. ara asegurarse de que se mantienen contactos con los clientes nuevos debe ser por lo menos +(6 del tiempo utiliado en contactos con clientes normales. ara los requerimientos de ingresos y de políticas enunciadas* ASA desearía determinar c#mo asignar el tiempo de los t!cnicos entre clientes normales y nuevos* a fin de ma&imiar el n7mero total de clientes en contacto durante el periodo de 2 semanas. os t!cnicos requieren un promedio de 5( minutos por cada contacto de cliente normal y de una hora para cada contacto de cliente nuevo.
Desarrolle el modelo de programaci#n lineal que permita a ASA asignar el tiempo de los t!cnicos entre clientes normales y nuevos.
20.
Enigma Manu#acturing es un pequeño fabricante de productos de pl%stico que se utilian en las industrias automotrices y de computaci#n. >iene un contrato importante con una gran empresa de computadoras que implica la producci#n de ca"as de pl%stico para las impresoras port%tiles de dicha empresa. as ca"as de impresora se producen en dos m%quinas de moldeo por inyecci#n. a m%quina B1(( tiene una capacidad de producci#n de 2( ca"as de impresora por hora y la B2(( tiene una capacidad de producci#n de 4( ca"as por hora. )mbas m%quinas utilian la misma materia prima para producir las ca"as de la impresora$ la B1(( utilia 4( Hilogramos de materia prima por hora y la B2(( utilia 5( Hilogramos por hora. a empresa de computadoras le ha pedido a Enigma que produca tantas ca"as durante la semana siguiente como sea posible y le ha dicho que pagar% 1' d#lares por ca"a que pueda entregar. Sin embargo* la siguiente semana es un periodo normal de vacaciones programadas para la mayor parte de traba"adores de producci#n de Enigma. Durante ese tiempo* se efect7a el mantenimiento anual de todo el equipo de la planta. Debido al tiempo parado para mantenimiento* la B1(( estar% disponible a lo m%s 15 horas y la B2(( a lo m%s 1( horas. Sin embargo* en ra#n del elevado costo de preparaci#n involucrado con ambas m%quinas* la
1(
administraci#n requiere que* si se programa producci#n en cualquiera de estas m%quinas* la m%quina deber% operarse por lo menos durante 5 horas. l proveedor de la materia química utiliada en el proceso de producci#n le ha informado a Enigma que tendr% disponible un m%&imo de 1 ((( :g. de la materia prima para la producci#n de la siguiente semana. l costo de esta materia prima es de 0+ por Hilogramo* Enigma estima que los costos por hora de operaci#n de la B1(( y de la B2(( son de 05( y 0=5 respectivamente.
ormule el modelo de programaci#n lineal que permita encontrar el plan de producci#n #ptima que ma&imice la utilidad.
21.
$uesos Andinos S. A. produce dos quesos crema$ %ico y S&per * meclando el queso mantecoso suave con el queso mantecoso fuerte. os quesos crema se empacan en recipientes de (*4 :g que despu!s se venden a distribuidores en todo el país. l queso crema %ico contiene '(6 de queso mantecoso suave y 2(6 de queso mantecoso fuerte. a mecla S&per contiene +(6 de queso mantecoso suave y 4(6 de queso mantecoso fuerte. ste año* una cooperativa lechera local ha ofrecido entregar hasta ' 1(( :g. de queso mantecoso suave a S/. 12 por :g. y hasta 3 ((( :g. de queso mantecoso fuerte a S/. 14 por :g. l costo de meclar y empacar estos quesos crema* e&cluyendo el costo del queso mismo* es de S/. (*2( por recipiente. -ada recipiente de %ico se vende a S/. +*2( y cada recipiente S&per a S/. +*5(. Desarrolle el modelo de programaci#n lineal que permita estimar el n7mero de recipientes de cada tipo de queso que deber% producir $uesos Andinos S. A. para ma&imiar sus utilidades.
22.
Motores Andinos S.A. ? MASA@ ha desarrollado un nuevo vehículo deportivo. -omo parte de la campaña de Bercadotecnia* MASA ha desarrollado una presentaci#n de ventas en vídeo tanto a propietarios de vehículos de tracci#n en las cuatro ruedas MASA actuales* como a propietarios de vehículos deportivos de la competencia. MASA se refiere a estos dos mercados ob"etivo como mercado de clientes actual y mercado de clientes nuevo. as personas que reciban el vídeo promocional recibir%n un cup#n para un recorrido de prueba del nuevo modelo de MASA durante el fin de semana. n factor clave en el !&ito de esta nueva promoci#n es la tasa de respuesta* es decir* el porcenta"e de personas que reciban la nueva promoci#n y hagan el recorrido de prueba del modelo nuevo. MASA estima que la tasa de respuesta para el mercado de clientes actual es de 256 y para el mercado de clientes nuevo es de 2(6. a tasa de ventas es el porcenta"e de individuos que recibiendo la nueva promoci#n y haciendo el recorrido* efect7a la compra. os estudios de investigaci#n de mercado indican que la tasa de ventas es del 126 para el mercado de clientes actual y de 2(6 para el mercado de clientes nuevo. l costo de cada promoci#n* e&cluyendo el costo del recorrido de prueba* es de 05 por cada promoci#n enviada al mercado de clientes actual y de 04 por cada promoci#n enviada al mercado de clientes nuevo. a administraci#n tambi!n ha decidido que se deber% enviar la nueva promoci#n a un mínimo de 3( ((( clientes actuales y a un mínimo de 1( ((( nuevos clientes. )dem%s* el n7mero de clientes actuales que haga el recorrido de prueba del nuevo vehículo debe ser por lo menos el doble del n7mero de clientes nuevos que hagan el recorrido de la prueba del nuevo vehículo. Si el presupuesto de mercadotecnia para las promociones* e&cluyendo el costo de del recorrido* es de 0 1 2(( (((* determine el modelo de programaci#n lineal que permita determinar el n7mero de promociones que deber%n ser enviadas a cada grupo de clientes para ma&imiar las ventas totales.
23.
E'tremus S.A. fabrica y vende ropa especial para e&cursionismo. a administraci#n de la empresa ha decidido iniciar la producci#n de dos nuevas casacas diseñadas para climas e&tremadamente fríos. os nombres seleccionados para los dos modelos son )lpamayo y Euascar%n. a planta de fabricaci#n tiene disponibles 12( horas de tiempo de corte. ara costura tiene una cantidad de horas tal que si produ"era s#lo casacas )lpamayo haría 3+( unidades y si s#lo produ"era casacas Euascar%n haría 4'( unidades. -ada )lpamayo requiere de 3( minutos de corte y cada Euascar%n requiere de 2( minutos de corte. l costo de mano de obra y materia prima es de 015( para cada )lpamayo y de 05( para cada Euascar%n . os precios al menudeo a trav!s del cat%logo por correo de la empresa son de 025( para cada )lpamayo y de 02(( para cada Euascar%n. Dado que la administraci#n cree que la casaca )lpamayo me"orar% la imagen de la empresa* ha decidido que por lo menos el 2(6 del total de la producci#n debe corresponder a este modelo. a administraci#n tambi!n ha considerado
11
que para lograr un buen posicionamiento de los productos* debe fabricar al menos una casaca Euascar%n por cada tres casacas )lpamayo.
-onsiderando que la empresa vender% todas las casacas que produca* formule el modelo de programaci#n lineal que ma&imice las utilidades logradas por las ventas de las casacas.
24.
na empresa produce y comercialia 2 productos llamados ) y ,. a empresa los puede fabricar o los puede comprar* siendo los costos por Hilo* los que se detalla a continuaci#n$
A
Produce 1 1)-
"ompra 1)2 1)5
a tasa de producci#n del producto ) es de 4 Hilos por hora y la de , es de 5 Hilos por hora. or otro lado e&isten ciertas restricciones que se deben cumplir* las cuales son$
a demanda mínima a satisfacer es de 1(( Hilos del producto ) y de 2(( Hilos del producto ,. l tiempo disponible de producci#n es de 4( horas. a planta tiene una capacidad m%&ima de producci#n del producto ) de =( :g. y del producto , de 12( Hilos. a política de la empresa no permite comprar m%s de 13( Hilos del producto ,.
F-u%l debe ser el plan de producci#n y compra de estos productos que permita cumplir todas estas restricciones minimiando los costos totales de la operaci#n* sabiendo así mismo que la empresa establece una penalidad de 2.5 soles por hora no utiliadaG
25.
Mar!eting Surve( )MS*+ se especialia en evaluar la reacci#n del consumidor a productos* servicios y campañas publicitarias nuevos. n cliente solicit# la asistencia del MS* para determinar la reacci#n del consumidor a un producto dom!stico reci!n comercialiado. Durante las reuniones con los clientes* MS* acord# efectuar entrevistas personales de puerta en puerta para obtener respuestas en hogares con niños y hogares sin niños. )dem%s* MS* acept# hacer entrevistas por la mañana y por la tarde. specíficamente* el contrato del cliente e&igía que MS* realiara mil entrevistas ba"o los siguientes lineamientos$
ntrevistar al menos 4(( hogares con niños. ntrevistar al menos 4(( hogares sin niños. a cantidad total de hogares entrevistados durante la tarde debe ser al menos igual a la cantidad de hogares entrevistados durante la mañana. )l menos el 4(6 de las entrevistas para los hogares con niños deben realiarse durante la tarde. )l menos el +(6 de las entrevistas para hogares sin niños deben realiarse durante la tarde.
12
Debido a que la entrevista para hogares con niños requiere tiempo adicional del entrevistador y a que los entrevistadores vespertinos se les paga m%s que a los matutinos* el costo varía con el tipo de entrevista. -on base de estudios previos* las estimaciones de los costos de las entrevistas son las siguientes$ 3oar
"osto de la entrevista !a4ana =20 =1
Con ni/os *in ni/os
'arde =25 =20
ormule el modelo que permita determinar el plan de entrevistas por tipo de hogar y hora del día y que satisfaga los requerimientos del contrato con un costo de total de entrevista mínimoG
26.
Enigma Manu#acturing S.A . compra dos componentes ?-1 y -2@ de tres proveedores distintos ?1* 2 y 3@. os proveedores tienen capacidad limitada* y ninguno de ellos puede cumplir con la totalidad de las necesidades de nigma* adem%s de que cobran precios distintos por los componentes. os precios de los componentes ?por unidad@ son los siguientes$
"omponente P1
C1 C2
= 12 = 10
Proveedor P2 = 13 = 11
P+ = 14 = 10
-ada proveedor tiene capacidad limitada respecto al total de componentes que puede suministrar. Sin embargo* siempre que Enigma emita pedidos con suficiente adelanto* cada proveedor puede dedicar su capacidad al componente 1* al 2 # a cualquier combinaci#n de ambos* siempre y cuando el total de unidades pedidas quede dentro de su capacidad. a capacidad de los proveedores es$ Proveedor "apacidad
P1 600 u
P2 1 000 u
P3 00 u
Si el plan de producci#n de Enigma para el siguiente periodo incluye 1 ((( unidades del componente 1 y '(( unidades del componente 2* desarrolle el modelo de programaci#n lineal que determine pedido #ptimo de compra de componentes que haría Enigma a sus proveedores. 27.
Enigma Lácteos S.A. produce queso edam y queso fresco. ara producir estos dos tipos de queso se meclan leche y crema. a leche utiliada en la elaboraci#n de ambos quesos se obtiene de la mecla de leche con mucha grasa y leche con poca grasa. a leche con mucha grasa contiene un +(6 de grasa y la leche con poca grasa tiene s#lo el 3(6. a leche que se usa para producir el queso edam debe tener un contenido de por lo menos 5(6 de grasa y la que se usa para producir el queso fresco debe tener por lo menos 356 de grasa. or lo menos el 4(6 de los ingredientes del queso edam debe ser crema. or lo menos el 2(6 de los ingredientes del queso fresco debe ser crema. ara la producci#n de los dos tipos de queso se utilia la misma m%quina. -uesta S/. (*+( procesar un Hilogramo de ingredientes y convertirlos en un Hilogramo de queso. a crema se obtiene al evaporar leche. -uesta S/. (*4( la evaporaci#n de un Hilo de leche. -ada Hilo de leche con mucha grasa que se evapora produce (*+ Hilogramos de crema. -ada Hilogramo de leche con poca grasa que se evapora produce (*3 Hilogramos de crema. Diariamente se puede procesar hasta 3 ((( Hilogramos de
13
ingredientes para la producci#n de quesos. -ada día hay que producir por lo menos 1 ((( Hilogramos de queso edam y por lo menos 1 ((( Hilogramos de queso fresco. Diariamente se puede vender hasta 1 5(( Hilogramos de queso edam y hasta 2 ((( Hilogramos de queso fresco. l queso fresco se vende a S/. 5*2( el Hilogramo y el queso edam a S/. 5*5 el Hilogramo. a leche con mucha grasa se compra a S/. 2*'( el Hilogramo y la leche con poca grasa a S/. 2*4( el Hilogramo. l evaporador puede procesar diariamente a lo m%s 2 ((( Hilogramos de leche. Suponiendo que la política de nigma acteos S.). es vender todo lo que se produca* se pide que formule el modelo de programaci#n lineal que ma&imice las ganancias diarias.
14
Problemas con solución por método gráfico 28.
)l resolver el problema 1* se obtuvo el siguiente modelo de programaci#n lineal$
>1? n'$ero de productos 1 a +aricar el pró&i$o $es >2? n'$ero de productos 2 a +aricar el pró&i$o $es ,a& 12 >1 @ sueto a ? >1 >1 2 >1
4 >2 @ 2 >2 ≤ 00 @ 3 >2 ≤ 600 @ 3 >2 ≤ 2 000 >1 ) >2 ≥ 0
!horas disponiles del departa$ento A" !horas disponiles del departa$ento B" !horas disponiles del departa$ento C" !condición de no negatividad"
Se pide obtenga la soluci#n #ptima aplicando el m!todo gr%fico.
29.
-on el modelo obtenido en el problema 4* Fcu%l es la mecla de costo mínimo de los alimentos para perros y cu%l es el costo de la meclaG
>1? Cantidad diaria del ali$ento (uau !en on:as" >2? Cantidad diaria del ali$ento *ni++ !en on:as" ,in 0)06 >1 @ 0)05 >2 sueto a ? 0)30 >1 @ 0)20 >2 ≥ 5 0)15 >1 @ 0)30 >2 ≥ 3 >1 ) >2 ≥ 0
30.
!re7ueri$iento diario $ni$o de protenas en on:as" !!re7ueri$iento diario $ni$o de protenas en on:as" !condición de no negatividad"
)l resolver el problema 5 se obtuvo el siguiente modelo de programaci#n lineal$
>1? cantidad de ra7uetas nor$al a + aricar las pró&i$as dos se$anas >2? cantidad de ra7uetas grande a +aricar las pró&i$as dos se$anas ,a& 10 >1 @ 15 >2 sueto a ? 0) >1 @ 0)2 >2 ≤ 0)125 >1 @ 0)4 >2 ≤ 10 >1 @ 12 >2 ≤ >1 ) >2 ≥
0 0 4 00 0
!$e:cla de producción" !aleación disponile" !tie$po disponile" !condición de no negatividad"
F-u%ntas raquetas de cada tipo deber% fabricar la empresa en las dos siguientes semanas a fin de ma&imiar la contribuci#n total a la utilidadG. F-u%nto sería dicha contribuci#nG tilice el m!todo gr%fico para responder las preguntas.
31.
ara el modelo obtenido en el problema '* determine gr%ficamente la soluci#n #ptima. >1? proporción del +ideico$iso invertido en onos >2? proporción del +ideico$iso invertido en acciones
,a& 0)06 >1 @ 0)10 >2 sueto a ?
15
>1 ≥ 0)30 0)06 >1 @ 0)10 >2 ≥ 0)0-5 >1 @ >2 1 >1) >2 ≥ 0
32.
!$ni$a proporción invertida en onos" !rendi$iento total $ni$o" !la su$a de las proporciones da la unidad" !condición de no negatividad"
l modelo obtenido en el problema 11 fue el siguiente$
>1? '$ero de unidades diarias de 100 gra$os del ali$ento A >2? '$ero de unidades diarias de 100 gra$os del ali$ento B ,in sueto a? 500 >1 @ 300 >1 @ 500 >1 @
1)5 >1 @ 0)6 >2 200 >2 ≥ 6 000 200 >2 ≥ 4 000 100 >2 ≥ 3 500 >1) >2 ≥ 0
!re7ueri$iento diario $ni$o de u de carohidratos" !re7ueri$iento diario $ni$o de u de protenas" !re7ueri$iento diario $ni$o de u de grasas" !condición de no negatividad"
Determine gr%ficamente la soluci#n #ptima del problema.
33.
)l resolver el problema 12 se obtuvo el siguiente modelo de programaci#n lineal.
>e? n'$ero de e7uipos ; a +aricar el pró&i$o $es >+ ? n'$ero de e7uipos D a +aricar el pró&i$o $es ,a& 5000 >e @ 4000 >+ sueto a? 10 >e @ 15 >+ ≤ 150 20 >e @ 10 >+ ≤ 160 30 >e @ 10 >+ ≥ 135 >e 3 >+ ≤ 0 >e @ >+ ≥ 5 >e) >+ ≥ 0
a b c d
34.
!horas disponiles
Determine gr%ficamente el plan #ptimo de producci#n y el valor #ptimo. Determine e interprete las holguras y e&cedentes de las restricciones. -alcule e interprete los precios duales. Determine e interprete los rangos de optimalidad.
De acuerdo a la soluci#n del problema 13* determine la soluci#n #ptima$
>1? n'$ero de avisos en radio >2 ? n'$ero de avisos en televisión
35.
,a& >1 @ 26 > 2 sueto a? 10 >1 @ 200 > 2 ≤ 10 000 !presupuesto" >1 E 3 >2 ≥ 0 !poltica de la co$pa/a" >1) >2 ≥ 0 !condición de no negatividad" l modelo obtenido en la soluci#n del problema 1K es$ >1? n'$ero de clientes nor$ales contactados las pró&i$as dos se$anas
1+
>2? n'$ero de clientes nuevos contactados las pró&i$as dos se$anas ,a& >1 @ >2 sueto a ? 5 6
>1 @
>2
≤
0
!tie$po disponile"
125 6
>1 @ >2 ≥ 00 0)5 >1 @ >2 ≥ 0 >1 ) >2 ≥ 0
!ingreso re7uerido" !contacto con los clientes" !condición de no negatividad"
a. btenga la gr%fica de la regi#n factible. b.
36.
l modelo del problema 2( puede ser planteado de manera distinta dependiendo c#mo se hayan definido las variables. ara ambas alternativas y utiliando el procedimiento gr%fico obtenga la soluci#n #ptima y el valor #ptimo de dicho modelo y compruebe si ambas soluciones son equivalentes.
Bodelo 1$ >1? n'$ero de caas producidas en la $%7uina ,100 la siguiente se$ana >2? n'$ero de caas producidas en la $%7uina ,200 la siguiente se$ana ,a& 3)5 >1 @ )625 >2 sueto a? 2 >1 @ 1)25 >2 ≤ 1000 ≤ 15 0)05 >1 0)05 >1 ≥ 5 0)025 > 2 ≤ 10 0)025 > 2 ≥ 5 > 1) >2 ≥ 0
!$ateria pri$a disponile" !tie$po disponile de ,100" !tie$po de +unciona$iento de ,100" !tie$po disponile de ,200" !tie$po de +unciona$iento de ,200" !condición de no negatividad"
Bodelo 2$ >1? tie$po asignado a la $%7uina ,100 la siguiente se$ana !h" >2? tie$po asignado a la $%7uina ,200 la siguiente se$ana !h" ,a& -0 >1 @ 345 >2 sueto a? 40 >1 @ 50 >2 ≤ 1000 ≤ 15 >1 >1 ≥ 5 >2 ≤ 10 >2 ≥ 5 >1) >2 ≥ 0
37.
!$ateria pri$a disponile" !tie$po disponile de ,100" !tie$po de +unciona$iento de ,100" !tie$po disponile de ,200" !tie$po de +unciona$iento de ,200" !condición de no negatividad"
ara el problema 21 se desarroll# el siguiente modelo de programaci#n lineal$
1=
,a& 1)04 >1 @ 1)1 >2 sueto a? 032 >1 @ 024 >2 ≤ 100 00 >1 @ 016 >2 ≤ 3000 > 1) >2 ≥ 0
Se pide que encuentre e interprete la soluci#n #ptima y el valor #ptimo del modelo.
38.
ara el problema 22 se desarroll# el siguiente modelo de programaci#n lineal
,a& 0)03 >1 @ 0)04 >2 sueto a? 5 >1 @ 4 >2 ≤ 1 200 000 >1 ≥ 30 000 >2 ≥ 10 000 0)25 >1 E 0)40 > 2 ≥ 0 >1 ) >2 ≥ 0
Se pide encuentre la soluci#n #ptima
39.
ara el problema 23 se desarroll# el siguiente modelo de programaci#n lineal
,a& 100 >1 @ 150 > 2 sueto a ? 30 >1 @ 20 >2 ≤ - 200 45 >1 @ 15 >2 ≤ - 200 0) >1 E 0)2 > 2 ≥ 0 >1 E 3 >2 ≤ 0 >1 ) >2 ≥ 0
Se pide encuentre la soluci#n #ptima
40.
-onsidere el siguiente problema de programaci#n lineal.
,a& >1 @ 2 >2 sueto a ? >1 @ 4 >2 ≤ 21 2 >1 @ >2 ≥ 3 >1 @ 1)5 >2 ≤ 21 2 >1 @ 6 >2 ≥ 0 >1 ) >2 ≥ 0
a. ncuentre la soluci#n #ptima y el valor #ptimo. b. Determine las holguras o e&cedentes de cada una de las restricciones. c. Suponga que la funci#n ob"etivo se modifica a ,a& 5>1 @ 2>2* encuentre la nueva soluci#n #ptima y el nuevo valor #ptimo. 41.
-onsidere el siguiente programa lineal.
1'
,a& 5> 1 @ - >2 sueto a ? 2 >1 @ >2 ≥ >1 2 >1 3 > 2 ≤ 3 >1 @ 2 >2 ≤
3 @ 5 >2 6 35
≥
4
3 =
>1 @ >2 ≤ 10 >1) >2 ≥ 0
a. Determine la soluci#n #ptima. b. 1 en la funci#n ob"etivo. c. Suponga que el coeficiente de >1 en la funci#n ob"etivo se reduce a 2. F-u%l ser% la nueva soluci#n #ptimaG d. -alcule los precios duales de la segunda y cuarta restricci#n.
42.
-onsidere el programa lineal$
,in >1 @ >2 sueto a ? >1 @ 2 >2 ≥ 6 3 >1 @ >2 ≥ 6 >1 12 >2 ≤ 0 >1 @ >2 ≤ 10 >1 @ 6 >2 ≥ 12 >1 ) >2 ≥ 0
a. b. c. d. e.
43.
Determine la regi#n factible. ncuentre la soluci#n #ptima y el valor #ptimo. Determine las holguras o e&cedentes de cada una de las restricciones. -alcule el rango de optimalidad para el coeficiente de >2. Suponga que el coeficiente de la variable >2 en la funci#n ob"etivo se reduce a 1/3. ncuentre la nueva soluci#n #ptima.
-onsidere el siguiente problema de programaci#n lineal.
,in 5 >1 @ 2 >2 sueto a ? 3 >1 @ 6 >2 ≥ 1 5 >1 @ 4 >2 ≥ 20 >1 @ 2 >2 ≥ 16 - >1 @ 6 >2 ≤ 42 >1 ) >2 ≥ 0
a. sando el m!todo gr%fico encuentre la soluci#n #ptima y el valor #ptimo. b. F-u%les son los valores de holgura o e&cedente asociados a cada restricci#nG c. F-u%l es el rango de variaci#n del coeficiente de >2 en la funci#n ob"etivo de manera que la soluci#n #ptima no cambieG
1K
d. Si simult%neamente los coeficientes de >1 y >2 cambian a 2*5 y 1 respectivamente* Fcu%l es la nueva soluci#n #ptimaG e. Si el coeficiente de >1 se reduce a 2* Fcu%l es la nueva soluci#n #ptimaG
44.
-onsidere el siguiente problema de programaci#n lineal.
,a& 30 >1 @ 10 >2 sueto a ? 2 >1 @ >2 ≤ 4 2 >1 @ 2 >2 ≤ 6 >1) >2 ≥ 0
a. sando el m!todo gr%fico encuentre la soluci#n #ptima y el valor #ptimo. b. ;ndique los valores de holgura y/o e&cedentes de las restricciones. c. Banteniendo todos los dem%s datos como est%n* Fcu%l debe ser la utilidad por unidad del producto cuyo valor #ptimo actual es cero* para que el producto se encuentre en la soluci#n #ptima en un nivel positivoG d. F-u%ntos v!rtices #ptimos e&isten luego del cambio descrito en ?c@G. F-u%les son estosG e. n el problema original* Fen cu%nto puede cambiar ?aumentar y/o disminuir@ el lado derecho de la segunda restricci#n para que cambie la soluci#n #ptimaG f. -onteste la parte ?e@ para el lado derecho de la primera restricci#n. g. F-#mo e&plica la diferencia entre las partes ?e@ y ?f@G h. F-u%l ser% el efecto de agregar la restricci#n 4N1 L N2 M 4 al modelo originalG i. F-u%l ser% el efecto ?sobre la soluci#n #ptima@ de agregar la restricci#n 3 N1 L 3 N2 ≤ 15 al modelo originalG
2(
Problemas con solución por computadora 45.
Desarrollado el modelo del problema 12* mediante la computadora se obtuvo el siguiente reporte$
Max 5000 xe + 4000 xf subject to 10 xe + 15 xf <= 150 20 xe + 10 xf <= 160 30 xe + 10 xf >= 135 xe - 3 xf <= 0 xe + xf >= 5 end OBJE!"#E $%&!"O& #'(%E 1)
50500*00
#'"'B(E .E .$
#'(%E 4*500000 /*000000
E,%E, O! 0*000000 0*000000
O (' O %(% ,%'( "E 2) 0*000000 150*000000 3) 0*000000 1/5*000000 4) /0*000000 0*000000 5) 16*500000 0*000000 6) 6*500000 0*000000 '&E "& " !E B'" " %&'&E, OBJ OE$$""E&! '&E #'"'B(E %E&! '((O'B(E '((O'B(E OE$ "&E'E ,EE'E .E 5000*000000 3000*000000 2333*333252 .$ 4000*000000 3500*000000 1500*000000 "!'&, ",E '&E O %E&! '((O'B(E '((O'B(E "&E'E ,EE'E 2 150*000000 0*000000 4/*14275/ 3 160*000000 /3*333336 40*000000 4 135*000000 /0*000000 "&$"&"!8 5 0*000000 "&$"&"!8 16*500000 6 5*000000 6*500000 "&$"&"!8 a. ;dentifique la soluci#n #ptima y el valor #ptimo del modelo y comp%relos con los obtenidos gr%ficamente ?problema 33@. b. ;nterprete las holguras y los e&cedentes de las restricciones. c. ;nterprete los precios duales de las restricciones. d. Determine los rangos de optimalidad de las utilidades unitarias de los productos.
21
46.
Desarrollado el modelo del problema 14 se obtuvo el siguiente reporte de computadora$
M9n 700 x1 +400 x2 + 600 x3 + 500 x4 subject to 10 x1 + 3 x2 + 7 x3 + 2 x4 >= 5 0 x1 + 150 x2 + /5 x3 + 1/5 x4 >= 100 45 x1 + 25 x2 + 20 x3 + 3/ x4 >= 30 x1 + x2 + x3 + x4 = 1 end OBJE!"#E $%&!"O& #'(%E 511*1111
1)
#'"'B(E .1 .2 .3 .4
#'(%E 0*2525 0*/03/04 0*03/03/ 0*000000
O
(' O %(% 0*000000 31*666666 0*000000 0*000000
2) 3) 4) 5)
&O* "!E'!"O&=
E,%E, O! 0*000000 0*000000 0*000000 1*111115 ,%'( "E -44*444443 0*000000 -4*444445 -155*55555/
1
'&E "& " !E B'" " %&'&E, #'"'B(E .1 .2 .3 .4
O 2 3 4 5
OBJ OE$$""E&! '&E %E&! '((O'B(E OE$ "&E'E 700*00000 223*63633/ 0 66*74/724 400*00000 75*/1424 0 "&$"&"!8 600*00000 0 500*00000 0 "!'&, ",E '&E %E&! '((O'B(E "&E'E 5*000000 2*3/5000 100*00000 31*666666 0 0*/14276 30*000000 0*250000 1*000000
'((O'B(E ,EE'E 120*000007 300*000031 117*26241 1*11110/
'((O'B(E ,EE'E 0*250000 "&$"&"!8 /*000000 0*0434/7
Se pide$ a. ncuentre la soluci#n #ptima del modelo. b. ncuentre el valor #ptimo del modelo. c. Si el requisito del elemento , es 1((* Fpor qu! se debe usar m%s de 1(( si esto eleva el costoG
22
d. FOu! acciones debería tomarse para reducir el costo mínimo a 05(( d#lares o menos por tonelada de meclaG e. FOu! sucede si el precio de mineral de la mina 2 aumenta m%s a 05((G f. F-u%nto tendría que disminuir el costo del mineral de la mina 4 para decidir comprarloG 47.
n un problema de mecla de fabricaci#n de productos* &1* &2* &3 y &4 son unidades de los productos 1* 2* 3 y 4 respectivamente y el modelo de programa de programaci#n lineal que ma&imia la utilidad en unidades monetarias para la pr#&ima temporada es$
Max 4 x1 + 6 x2 + 3 x3 + x4 subject to x1 + 2 x2 + 4 x3 + 3 x4 ≤ 550 :;oas de a ?@u9na ') 4 x1 + x2 + 2 x3 + x4 ≤ /00 :;oas de a ?@u9na B) 2 x1 + 3 x2 + x3 + 2 x4 ≤ 200 :;oas de a ?@u9na ) end OBJE!"#E $%&!"O& #'(%E 527*5/14
1)
#'"'B(E .1 .2 .3 .4
#'(%E 35*/1427/ 0*000000 127*5/142 6 0*000000
E,%E, O! 0*000000 0*14275/ 0*000000 3*5/142
O
(' O %(% 0*000000 300*00000 0 0*000000
,%'( "E
2) 3) 4)
&O* "!E'!"O&=
0*275/14 0*000000 1*75/143
1
'&E "& " !E B'" " %&'&E, #'"'B(E .1 .2 .3 .4
O 2 3 4
OBJ OE$$""E&! '&E %E&! '((O'B(E OE$ "&E'E 4*000000 2*000000 6*000000 0*142000 3*000000 12* 1*000000 3*5/1000 "!'&, ",E '&E %E&! '((O'B(E "&E'E 550*00000 250*000000 0 "&$"&"!8 /00*00000 150*000000 0 200*00000 0
'((O'B(E ,EE'E 0*100000 "&$"&"!8 0* "&$"&"!8
'((O'B(E ,EE'E 44* 300*000000 62*500000
23
a. F-u%l es la soluci#n #ptima y cu%l es el valor #ptimoG b. FOu! restricciones tienen restricciones limitantesG ;dentifique e interprete el rango de optimalidad de la contribuci#n de cada producto. c. ;nterprete los precios duales de las restricciones. d. ;nterprete el siguiente resultado$ RIGHTHAND SIDE RANGES ROW
CURRENT
ALLOWABLE
ALLOWABLE
RHS
INCREASE
DECREASE
"&$"&"!8
300*000000
3
/00*00000 0 e. ;nterprete los costos reducidos reportados. 48.
Mercurio Sport S.A. tiene que determinar cu%l es la cantidad id#nea de balones de f7tbol Ases ?&1@* ,ólidos ?&2@ y Crac! ?&3@ a producir a fin de ma&imiar las utilidades. as restricciones incluyen limitaciones en la capacidad de producci#n ?tiempo disponible en minutos@ en cada uno de los departamentos ?corte y teñido* costura e inspecci#n y empaque@* así como la restricci#n que requiere la producci#n de por lo menos 1((( balones de f7tbol Ases. ) continuaci#n se presenta el modelo de programaci#n lineal y el reporte de computadora de la soluci#n del modelo$
Max 3 x1 + 5 x2 + 4 x3 subject to 12 x1 + 10 x2 + 7 x3 <= 17000 ote A te9do 15 x1 + 15 x2 + 12 x3 <= 17000 ostua 3 x1 + 4 x2 + 2 x3 <= 000 "nsCecc9Dn A eCa@ue x1 >= 1000 Modeo 'ses end OBJE!"#E $%&!"O& #'(%E 1) 4000*000 #'"'B(E .1 .2 .3
#'(%E 1000*00000 0 0*000000 250*000000
E,%E, O! 0*000000 0*000000 0*000000
O
(' O %(% 4000*00000 0 0*000000 5500*00000 0 0*000000
,%'( "E
2) 3) 4) 5)
0*000000 0*333333 0*000000 -2*000000
'&E "& " !E B'" " %&'&E, #'"'B(E .1 .2 .3 O
OBJ OE$$""E&! '&E %E&! '((O'B(E OE$ "&E'E 3*000000 2*000000 5*000000 0*000000 4*000000 "&$"&"!8 "!'&, ",E '&E %E&! '((O'B(E "&E'E
'((O'B(E ,EE'E "&$"&"!8 "&$"&"!8 0*000000 '((O'B(E ,EE'E
24
2 3 4 5
17000*00000 0 17000*00000 0 000*000000 1000*000000
"&$"&"!8 6000*000000 "&$"&"!8 200*000000
4000*000000 3000*000000 5500*000000 1000*000000
a. F-u%l es el plan de producci#n #ptimo y la contribuci#n #ptimaG a soluci#n es 1((( balones ases * ( y b#lidos y 25( cracH b. FOu! departamentos tienen recursos limitantesG -ostura porque se agotan todos los recursos de costura. c. l pago de traba"o e&tra en el departamento de -ostura es 012 por hora F
49.
Don rancisco quiere me"orar el negocio familiar de elaboraci#n de productos a partir de la papa. Su negocio es la venta de cuatro productos derivados de la papa$ papas troadas para ensalada* pur! de papas* papas fritas a la inglesa y papas congeladas para freír. ) su negocio* don rancisco y doña
l tiempo en horas necesario para fabricar un Hilo de cada producto es el siguiente$ papas troadas para ensalada 3 h* pur! de papas 5 h* papas fritas a la inglesa 1( h* papas congeladas 15 h. -omo su almac!n es pequeño no pueden tener almacenados semanalmente m%s de 15 Hilos de productos terminados. Su presupuesto semanal alcana para la compra de 12( Hilos en sacos de papas. or cada Hilo de producto terminado necesita una cantidad mayor de producto bruto* de acuerdo a las siguientes relaciones$
ara hacer un Hilo de papas para ensalada se necesita = Hilos de papas. ara hacer un Hilo de pur! de papas se necesita 5 Hilos de papas. ara hacer un Hilo de papas a la inglesa se necesita 3 Hilos de papas. ara hacer un Hilo de papas congeladas se necesita 2 Hilos de papas.
a ganancia por Hilo de producto tambi!n difiere en cada tipo$ 4 0/:g. papas para ensalada* 5 0/:g. pur! de papas* K 0/:g. papas fritas a la inglesa y 11 0/:g. papas congeladas para freír. Don rancisco desea establecer el plan de producci#n para la pr#&ima temporada de ventas y estima que es posible vender todo lo que produca. Don rancisco ha 25
formulado un modelo de programaci#n lineal con el fin de optimiar el plan de producci#n* el cual se muestra a continuaci#n.
Max 4 .1 + 5 .2 + .3 + 11 .4 subject to 3 .1 + 5 .2 + 10 .3 + 15 .4 <= 100 .1 + .2 + .3 + .4 <= 15 / .1 + 5 .2 + 3 .3 + 2 .4 <= 120 end OBJE!"#E $%&!"O& #'(%E 1) *275/1 #'"'B(E #'(%E E,%E, O! .1 /*14275/ 0*000000 .2 0*000000 0*4275/1 .3 /*75/143 0*000000 .4 0*000000 1*5/142 O (' O ,%'( "E %(% 2) 0*000000 0*/14276 3) 0*000000 1*75/143 4) 46*4275/0 0*000000 '&E "& " !E B'" " %&'&E, OBJ OE$$""E&! '&E #'"'B(E %E&! '((O'B(E '((O'B(E OE$ "&E'E ,EE'E .1 4*000000 2*200000 0*600000 .2 5*000000 0*4275/1 "&$"&"!8 .3 *000000 4*333333 0*1666/ .4 11*000000 1*5/142 "&$"&"!8 O 2 3 4
"!'&, ",E '&E %E&! '((O'B(E "&E'E 100*00000 4*6 0 5*32/767 15*000000 "&$"&"!8 120*00000 0
'((O'B(E ,EE'E 54*6 5*000000 46*4275/0
a. F-u%l es el programa #ptimoG FOu! beneficio total se obtieneG b. Si aumentamos en 5( horas la disponibilidad actual de las horas semanales Faumenta en apro&imadamente 0 35.= el valor de la funci#n ob"etivoG c. ara aumentar la capacidad de almacenamiento de productos terminados en 5 :g. se necesita alquilar un pequeño local contiguo* cuyo propietario solicita 0 ' por semana Fsería conveniente el alquilerG &plique. d. ) don rancisco y doña
50.
De acuerdo al problema 1' se elabor# un modelo de programaci#n lineal que se resolvi# por computadora y cuyo reporte se muestra a continuaci#n$
Max 1416 .' + 1433 .B + 175 . + 2173 ., + 1/ .E subject to 12 .' + / .B + 7 . + 10 ., + / .E <= /670 7 .' + .B + 4 . + 11 .E <= /670 5 .' + 10 .B + / . + 3 ., + 2 .E <= /670 end OBJE!"#E $%&!"O& #'(%E 1) 171/*5 #'"'B(E .' .B . ., .E
#'(%E 0*000000 0*000000 512*000000 0*000000 512*000000
E,%E, O! 1*370000 0*240000 0*000000 0*/50000 0*000000
O
(' O %(% 0*000000 0*000000 30/2*00000 0
,%'( "E
2) 3) 4)
0*222222 0*010000 0*000000
'&E "& " !E B'" " %&'&E, #'"'B(E .' .B . ., .E
O 2 3 4
OBJ OE$$""E&! '&E %E&! '((O'B(E OE$ "&E'E 1*146000 1*370000 1*433000 0*240000 1*750000 0*00000 2*173000 0*0/0000 1*/00000 0*111111
'((O'B(E ,EE'E "&$"&"!8 "&$"&"!8 0*0400000 "&$"&"!8 0*0700000
"!'&, ",E '&E %E&! '((O'B(E '((O'B(E "&E'E ,EE'E /670*000000 26/1*300000 2/2*/20000 /670*000000 4377*5/0000 3740*000000 /670*000000 "&$"&"!8 30/2*000000
De acuerdo a dicho desarrollo se pide$ a. ;ndique con precisi#n las variables utiliadas en el modelo. b. &plique la funci#n ob"etivo del modelo. c. F-u%l es el plan #ptimo de producci#n y qu! utilidad se obtendríaG d. F-u%ntas horas se utilian en cada una de las tres m%quinasG e. ;nterprete los valores de los precios duales de las restricciones que controlan la capacidad de las m%quinasG
2=
f. Si e&istiera la posibilidad de aumentar una hora adicional de disponibilidad a la semana en cada una de las m%quinas* Fa qu! m%quinas se les agregaría dicha capacidad adicional y cu%nto debería pagarse como m%&imo por la obtenci#n de dicha hora adicionalG g. F-u%nto puede variar el precio de venta del producto ) sin que cambie el plan #ptimo de producci#nG
51.
n una imprenta comercial se desea determinar la me"or programaci#n de los traba"os para el pr#&imo período. a disponibilidad de tiempo* en sus 4 departamentos* de tipografía* fotografía* prensa y empaste* es limitada.
os traba"os han sido clasificados en 3 clases* 1* 2 y 3* de acuerdo al tiempo que necesitan en cada departamento. os requerimientos en horas* por departamento y por cada unidad de traba"o producida* se han estimado como$ Departamento Tipogra+a Dotogra+a Prensa ;$paste
'raa5o 1 0 3 3 4
'raa5o 2 2 1 5 4
'raa5o + 3 4 2 0
Si los traba"os se e"ecutan en tiempo normal* el beneficio unitario neto es de 025(* 03(( y 015( para traba"os tipo 1* 2 y 3* respectivamente. -ompromisos adquiridos requieren que la producci#n de traba"os tipo 1* 2 y 3 sea por lo menos de 1(* = y 1( unidades* respectivamente. as disponibilidades m%&imas de tiempo* para el período analiado son$ Departamento Tipogra+a Dotogra+a Prensa ;$paste
'iempo normal (6oras) 45 80 210 1-0
Max 250 .1 + 300 .2 + 150 .3 subject to 2 .2 + 3 .3 <= 45 3 .1 + .2 + 4 .3 <= 0 3 .1 + 5 .2 + 2 .3 <= 210 4 .1 + 4 .2 <= 1/0 .1 >= 10 .2 >= / .3 >= 10 end OBJE!"#E $%&!"O& #'(%E 1) /21*66/ #'"'B(E .1 .2 .3
#'(%E 14*16666/ /*500000 10*000000
E,%E, O! 0*000000 0*000000 0*000000
2'
O 2) 3) 4) 5) 6) /) 7)
(' O %(% 0*000000 0*000000 110*00000 0 73*333336 4*16666/ 0*500000 0*000000
,%'( "E 107*333336 73*333336 0*000000 0*000000 0*000000 0*000000 -507*333344
'&E "& " !E B'" " %&'&E, #'"'B(E .1 .2 .3
O 2 3 4 5 6 / 7
OBJ OE$$""E&! '&E %E&! '((O'B(E OE$ "&E'E 250*00000 650*000000 0 "&$"&"!8 300*00000 507*333344 0 150*00000 0 "!'&, ",E '&E %E&! '((O'B(E "&E'E 45*000000 24*7 0*000000 62*500000 210*00000 "&$"&"!8 0 "&$"&"!8 1/0*00000 4*16666/ 0 0*500000 10*000000 0*000000 /*500000 10*000000
'((O'B(E ,EE'E 250*000000 216*6666/2 "&$"&"!8
'((O'B(E ,EE'E 0*000000 12*4 110*000000 73*333336 "&$"&"!8 "&$"&"!8 7*275/2
a. &plique el modelo que se ha formulado ?identificaci#n de las variables* funci#n ob"etivo y restricciones@. b. F-u%l es el programa de producci#n #ptimoG c. F&iste capacidad ociosaG F-u%nto y en qu! departamentosG d. s posible operar el departamento de fotografía en tiempo e&tra. FEasta cu%nto debería estar dispuesto a pagar por una hora adicionalG e. Si las horas disponibles en el departamento fotogr%fico se reducen a =' horas* Fcambia el programa de producci#n #ptimoG F-ambia la ganancia #ptimaG f. FOu! significa un precio dual de Q5('.33 en la 7ltima restricci#nG 52.
,us Electronics S.A. fabrica tres componentes que se usan para fabricar tel!fonos celulares. ste mes la demanda de los componentes puede e&ceder la capacidad de fabricaci#n de ,us. Si fuera así* ,us tendría que satisfacer la demanda comprando los componentes a otro fabricante con el aumento del costo por componente. l costo de fabricaci#n y el costo de compra por unidad para los tres componentes son los siguientes$
2K
7uente ,anu+actura Co$pra
"omponente 1 = 4)50 = 6)50
"omponente 2 = 5)00 = )0
"omponente + = 2)-5 = -)00
os tiempos de manufactura en minutos por unidad para los tres departamentos de ,us son los siguientes$ Departamento Producción ;nsa$lado Pruea F e$pa7ue
"omponente 1 2 1 1)5
"omponente 2 3 1)5 2
"omponente + 4 3 5
,us tiene capacidades de 3+( horas en el departamento de producci#n* 25( horas en el departamento de ensamblado y 3(( horas en el departamento de prueba y empaque. as demandas a satisfacer son +((( unidades del componente 1* 4((( unidades del componente 2 y 35(( unidades del componente 3.
l modelo de programaci#n lineal que determina cu%ntas unidades de cada componente fabricar y cu%ntas unidades de cada componente comprar al menor costo es el siguiente$
M9n
4*5 M1 + 5 M2 + 2*/5 M3 + 6*5 1 + 7*7 2 + / 3
subject to 2 M1 + 3 M2 + 4 M3 <= 21 600 M1 + 1*5 M2 + 3 M3 <= 15 000 1*5 M1 + 2 M2 + 5 M3 <= 17 000 M1 + 1 = 6 000 M2 + 2 = 4 000 M3 + 3 = 3 500 end OBJE!"#E $%&!"O& #'(%E 1) /3550*00 #'"'B(E M1 M2 M3 1 2 3
#'(%E E,%E, O! 2000*000000 0*000000 4000*000000 0*000000 1400*000000 0*000000 4000*000000 0*000000 0*000000 0*731250 2100*000000 0*000000
O (' O %(% 2) 0*000000 3) 2700*000000 4) 0*000000 5) 0*000000 6) 0*000000 /) 0*000000
,%'( "E 0*06250 0*000000 0*125000 -6*500000 -/*67/50 -/*000000
'&E "& " !E B'" " %&'&E, #'"'B(E
OBJ OE$$""E&! '&E %E&! '((O'B(E
'((O'B(E 3(
M1 M2 M3 1 2 3
OE$ "&E'E 4*500000 0*/25000 5*000000 0*731250 2*/50000 0*250000 6*500000 0*125000 7*700000 "&$"&"!8 /*000000 2*41666/
,EE'E 0*125000 "&$"&"!8 2*41666/ 0*/25000 0*731250 0*250000
"!'&, ",E '&E %E&! '((O'B(E '((O'B(E "&E'E ,EE'E 2 21600*000000 3200*000000 1600*000000 3 15000*000000 "&$"&"!8 2700*000000 4 17000*000000 2000*000000 2700*000000 5 6000*000000 "&$"&"!8 4000*000000 6 4000*000000 1142*75/1/7 2275*/14355 / 3500*000000 "&$"&"!8 2100*000000
O
a. b. c. d. 53.
FOu! departamentos limitan la capacidad de manufactura de ,usG Determine el valor de una hora e&tra en cada uno de los departamentos. FOu! pasa si ,us debe obtener una unidad adicional del componente 2G ;nterprete el valor del costo reducido de la variable 2.
Mar!eting Surve( )MS*+ se especialia en evaluar la reacci#n del consumidor a productos* servicios y campañas publicitarias nuevas. n cliente solicit# la asistencia del BS; para determinar la reacci#n del consumidor a un producto dom!stico reci!n comercialiado. Durante las reuniones con los clientes* MS* acord# efectuar entrevistas personales de puerta en puerta para obtener respuestas en hogares con niños y hogares sin niños. )dem%s* MS* acept# hacer entrevistas por la mañana y por la tarde. specíficamente* el contrato del cliente e&igía que BS; realiara mil entrevistas ba"o los siguientes lineamientos$
ntrevistar al menos a 4(( hogares con niños. ntrevistar al menos a 4(( hogares sin niños. a cantidad total de hogares entrevistados durante la tarde debe ser al menos igual a la cantidad de hogares entrevistados durante la mañana. )l menos el 4(6 de las entrevistas para los hogares con niños deben realiarse durante la tarde. )l menos el +(6 de las entrevistas para hogares sin niños deben realiarse durante la tarde.
Debido a que la entrevista para hogares con niños requiere tiempo adicional del entrevistador y a que los entrevistadores vespertinos se les paga m%s que a los matutinos* el costo varía con el tipo de entrevista. -on base de estudios previos* las estimaciones de los costos de las entrevistas son las siguientes$ 3oar Con ni/os *in ni/os
"osto de la entrevista !a4ana =20 =1
'arde =25 =20
-on el ob"eto de determinar el plan de entrevistas que satisfaga los requerimientos del contrato a un costo mínimo* se presenta a continuaci#n el
31
modelo matem%tico lineal correspondiente* su soluci#n #ptima* así como el an%lisis de sensibilidad utiliando el programa ;AD.
M *** cant9dad de enteF9stas O& &"GO Co a M'G'&' ! *** cant9dad de enteF9stas O& &"GO Co a !',E M *** cant9dad de enteF9stas "& &"GO Co a M'G'&' ! *** cant9dad de enteF9stas "& &"GO Co a !',E M"&
20 M + 25 ! + 17 M + 20 !
%BJE! !O 2) M + ! + M + ! = 1000 3) M + ! >= 400 4) M + ! >= 400 5) - M + ! - M + ! >= 0 6) -0*4 M + 0*6 ! >= 0 /) - 0*6 M + 0*4 ! >= 0 OBJE!"#E $%&!"O& #'(%E 1) 20320*00 #'"'B(E #'(%E M 240*000000 ! 160*000000 M 240*000000 ! 360*000000
E,%E, O! 0*000000 0*000000 0*000000 0*000000
O (' O %(% ,%'( "E 2) 0*000000 -1*200000 3) 0*000000 -2*700000 4) 200*000000 0*000000 5) 40*000000 0*000000 6) 0*000000 -5*000000 /) 0*000000 -2*000000 '&E "& " !E B'" " %&'&E, #'"'B(E M ! M !
OBJ OE$$""E&! '&E %E&! '((O'B(E '((O'B(E OE$ "&E'E ,EE'E 20*000000 5*000000 4*66666/ 25*000000 "&$"&"!8 5*000000 17*000000 2*000000 "&$"&"!8 20*000000 4*66666/ 2*000000
"!'&, ",E '&E O %E&! '((O'B(E '((O'B(E "&E'E ,EE'E 2) 1000*000000 "&$"&"!8 200*000000 3) 400*000000 100*000000 400*000000 4) 400*000000 200*000000 "&$"&"!8 5) 0*000000 40*000000 "&$"&"!8 6) 0*000000 240*000000 20*000000 /) 0*000000 240*000000 20*000000
32
b. FOu! porcenta"e del costo total est% destinado a cubrir los honorarios de los entrevistadores matutinosG c. ;nterprete administrativamente el valor de 2(( que figura en la columna S)-: < S<S. d. FOu! pasa si la e&igencia del cliente fuese realiar 15(( entrevistasG e. FOu! pasa si se produce un incremento del 1(6 en el costo de cada entrevista en hogares con niños por la tardeG f. FOu! pasa si el cliente e&igiese que la cantidad de entrevistas por la tarde fuese mayor que la cantidad de entrevistas por la mañana en por lo menos 3( unidadesG g. FOu! pasa si el cliente solicita disminuir las entrevistas en hogares con niños en 5(G h. FOu! pasa si se agrega la restricci#n$ 8la cantidad de entrevistas durante la tarde a hogares sin niños debe ser mayor a la cantidad de entrevistas durante la mañana a hogares con niños9G i. FOu! pasa si el costo de la entrevista a hogares con niños en la mañana fuera de S/.23 para las primeras 2(( entrevistas y S/.1+ para las entrevistas adicionales a las primeras 2((G Nota$
as respuestas a las preguntas FOu! pasa si ...G deber%n indicar si habría o no un cambio en el lan ptimo de ntrevistas y en el -osto >otal asociado a ella. n el caso que haya un cambio en el -osto >otal se deber% calcular su nueo alor .
54.
A,C S.A . fabrica y vende muebles y tiene* entre otras* una línea de "ardín. )ctualmente se producen en esta línea sillas* bancos y mesas. os productos se fabrican en un proceso de dos etapas* en el departamento de doblado de tubos y el de armado. a siguiente tabla muestra el tiempo requerido ?en horas@ para la fabricaci#n de cada producto por departamento y la disponibilidad de tiempo de cada departamento ?en horas@$
Proceso Dolado de tuos Armado
Silla 1)2 0)
Dolado de tuos anco 1)0)0
!esa 1)2 2)3
"apacidad actual 1 000 1 200
l beneficio asociado a la fabricaci#n y ventas de una unidad de cada ítem es 0 3(( por silla* 0 3(( por banco y 0 5(( por mesa. a empresa desea establecer el plan de producci#n para la pr#&ima temporada de ventas. Se estima que es posible vender todo lo que produca* sin embargo* la producci#n est% restringida por la materia prima disponible. a empresa dispone s#lo de 2((( :g. de tubos para muebles y los productos requieren las siguientes cantidades de este material de 2 :g. por silla* 3 :g. por banco y 4.5 :g. por mesa. l administrador de la empresa ha formulado el siguiente problema de programaci#n lineal con el fin de optimiar el plan de producci#n.
Max
300 .1 + 300 .2 + 500 .3 33
subject to 1*2 .1 + 1*/ .2 + 1*2 .3 <= 1000 0*7 .1 + 2*3 .3 <= 1200 2*0 .1 + 3*0 .2 + 4*5 .3 <= 2000 end OBJE!"#E $%&!"O& #'(%E 1) 2/6666*/00 #'"'B(E .1 .2 .3
#'(%E /00*00000 0 0*000000 133*33333 3
E,%E, O! 0*000000 137*333333 0*000000
O
(' O %(% 0*000000 333*33333 3 0*000000
,%'( "E
2) 3) 4)
116*666666 0*000000 70*000000
'&E "& " !E B'" " %&'&E, #'"'B(E .1 .2 .3
a. b. c.
d.
OBJ OE$$""E&! '&E %E&! '((O'B(E OE$ "&E'E 300*00000 200*000000 0 137*333333 300*00000 1/5*000000 0 500*00000 0
'((O'B(E ,EE'E //*////// "&$"&"!8 200*000000
"!'&, ",E '&E O %E&! '((O'B(E '((O'B(E "&E'E ,EE'E 2 1000*00000 200*000000 466*666666 3 0 "&$"&"!8 333*333333 4 1200*00000 555*555555 333*333333 0 2000*00000 0 F-u%l es el programa #ptimo de producci#nG FOu! beneficio total se obtieneG FOu! valor tendría como m%&imo la programaci#n de 1(( horas e&tras en el departamento de dobladoG FOu! valor tendrían como m%&imo la programaci#n de 2( horas e&tras en el departamento de armadoG FR 1( Hilogramos m%s de materia primaG n distribuidor local ofrece materia prima a 0 +( por :g. Fs conveniente comprarG Si fuera conveniente* Fen cu%nto aumentaría el beneficio al comprar 5(( Hilogramos y usarlas en forma #ptimaG
34
e. s posible arrendar el departamento de doblado a 0 15( la hora. Si la empresa arrienda 2(( horas a este precio. Fn cu%nto se modifica el beneficio totalG f. Si fuera posible aumentar m%s la disponibilidad de uno de los recursos* Fcu%l escogería y en qu! cantidadG &plique. g. studios de mercado sugieren la fabricaci#n de un nuevo tipo de silla ?aparte de los productos que se producen@ que requeriría* 1.' horas de doblado* (.5 horas de armado y 1.3 :g. de materia prima. &plique c#mo reformularía el modelo y c#mo hallaría el beneficio unitario que debería tener este producto de modo de hacer conveniente su fabricaci#n en esta temporada. h. Si el beneficio unitario de cada silla fuera 0 4(( si ( ≤ N1 ≤ 5(( ?por las primeras quinientas@ 0 25( si N1 5(( ?por las unidades adicionales a 5((@ FOu! puede decir de la soluci#n #ptimaG
55.
l departamento de mercadeo de -ME S.A. est% enfrentado el problema de c#mo promover efectivamente sus "uguetes en la pr#&ima campaña navideña. Eay tres medios de comunicaci#n b%sicos a trav!s de los cuales la firma puede promover sus "uguetes$ prensa* radio y televisi#n. l costo por anuncio en cada medio publicitario y el tamaño promedio de audiencia son los siguientes$
!edio Pulicitario Prensa Radio Televisión
"osto por Anuncio ($) 4 000 3 000 000
Audiencia por anuncio 'otal .i4os 20 000 1 000 14 000 1 000 36 000 3 000
l gerente del departamento de mercadeo* ha decidido que la funci#n ob"etivo de la firma debería ser Tma&imiar la audiencia de las personas e&puestas a la publicidadT* y que la audiencia de niños sea por lo menos de +*(((. a firma -ME S.A. ha dispuesto un presupuesto de 0 2(*((( para la publicidad de los "uguetes. )dem%s considera que las utilidades en d#lares est%n perfectamente correlacionados con el nivel de audiencia total que alcanceI es decir* si por e"emplo alcanara una audiencia total de 5( ((( personas* espera obtener utilidades totales por valor de 0 5( (((.
Max 20000 + 14000 + 36000 ! subject to 4000 + 3000 + 7000 ! <= 20000 1000 + 1000 + 3000 ! >= 6000 end OBJE!"#E $%&!"O& #'(%E 1) 6000*00 #'"'B(E !
#'(%E 3*000000 0*000000 1*000000
E,%E, O! 0*000000 0*000000 0*000000
O
(' O %(% 0*000000
,%'( "E
2)
6*000000 35
3)
0*000000
-4*000000
'&E "& " !E B'" " %&'&E, #'"'B(E H
O 2 3
OBJ OE$$""E&! '&E %E&! '((O'B(E OE$ "&E'E 20000*00000 "&$"&"!8 0 0*00000 14000*00000 3* 0 36000*00000 0 "!'&, ",E '&E %E&! '((O'B(E "&E'E 20000*00000 3* 0 14* 6000*000000
'((O'B(E ,EE'E 0*000000 "&$"&"!8 0*000000
'((O'B(E ,EE'E 4000*000000 *
De acuerdo a los resultados reportados se pide$ a. &plicite la soluci#n completa y las holguras interpretando las magnitudes. b. Si e&iste otra mecla #ptima de publicidad M 2 y < M 4* Fe&iste alguna ra#n para preferir algunaG &plique. c. Ealle el rango de variaci#n del presupuesto de publicidad y de la audiencia de niños* en forma independiente* para que la soluci#n hallada en ?a@ no varíe. d. Si la audiencia total de los medios publicitarios es apro&imada. Eallar el rango de variaci#n de la audiencia total de cada medio publicitario* en forma independiente* para que la soluci#n hallada en ?a@ no varíe. e. ;nterprete los valores de los precios duales. f. Si se dispusiera de 0 4((( de presupuesto adicional con un pr!stamo bancario* Fcu%nto estaría dispuesto a pagar en total en d#lares de interesesG
56.
$uesos Andinos S. A. produce dos quesos crema$ %ico y S&per * meclando el queso mantecoso suave con el queso mantecoso fuerte. os quesos crema se empacan en recipientes de (*4 :g que despu!s se venden a distribuidores en todo el país. l queso crema %ico contiene '(6 de queso mantecoso suave y 2(6 de queso mantecoso fuerte. a mecla S&per contiene +(6 de queso mantecoso suave y 4(6 de queso mantecoso fuerte. ste año* una cooperativa lechera local ha ofrecido entregar hasta ' 1(( :g. de queso mantecoso suave a S/. 12 por :g. y hasta 3 ((( :g. de queso mantecoso fuerte a S/. 14 por :g. l costo de meclar y empacar estos quesos crema* e&cluyendo el costo del queso mismo* es de S/. (*2( por recipiente. -ada recipiente de %ico se vende a S/. +*2( y cada recipiente S&per a S/. +*5(. ) continuaci#n se presenta el modelo de programaci#n lineal desarrollado que permite estimar el n7mero de recipientes de cada tipo de queso el presente año que deber% producir la $uesos Andinos S.A . para ma&imiar sus utilidades* así como el reporte del modelo obtenido en ;AD
Max 1*04 .1 + 1*17 .2 t 0*32 .1 + 0*24 .2 <= 7100 0*07 .1 + 0*16 .2 <= 3000 end
3+
OBJE!"#E $%&!"O& #'(%E 1) 30225*00 #'"'B(E .1 .2
#'(%E 17000*00 /50*00
E,%E, O! 0*000000 0*000000
O
(' O %(% 0*00 0*00
,%'( "E
2) 3)
2*25 4*00
'&E "& " !E B'" " %&'&E, #'"'B(E .1 .2 O 2 3
OBJ OE$$""E&! '&E %E&! '((O'B(E OE$ "&E'E 1*040 0*533 1*170 0*00
'((O'B(E ,EE'E 0*45 0*40
"!'&, ",E '&E %E&! '((O'B(E "&E'E 7100*00 300*00 3000*00 2400*00
'((O'B(E ,EE'E 3600*00 /5*00
Dado que los miembros del directorio de la $uesos Andinos S.A. no est%n familiariados con la t!rminos utiliados en un reporte generado por el ;AD* le han pedido a usted que* a manera de un breve informe* absuelva de la manera m%s precisa las siguientes interrogantes$ a. F-u%l es el plan de producci#n #ptimo sugerido y cu%l sería la utilidad que obtendríamos si ponemos dicho plan en pr%cticaG b. F-u%l?es@ es?son@ el?los@ recurso?s@ limitante?s@G Sustente. c. Si pudiera aumentar la disponibilidad de un recurso limitante* Fcu%l sería el m%s adecuado de aumentarG d. na empresa lechera ha ofrecido vender queso mantecoso suave* Fqu! cantidad se debería comprar para aumentar la producci#nG Sustente. e. l ingreso de un nuevo competidor nos ha obligado a reba"ar el precio de queso crema S&per en un 1(6* Fqu! consecuencias se deben esperarG f. FOu! significado tiene los costos reducidos iguales a ceroG 57.
Man/al! S.A fabrica intercomunicadores port%tiles. l nuevo producto de la empresa tiene largo alcance ?5( Hil#metros@ y es adecuado para una diversidad de usos comerciales y personales. os canales de distribuci#n utiliados por la empresa son$
Distribuidores de equipos marinos. Distribuidores de equipos de oficina. >iendas nacionales de menudeo. edidos por correo.
3=
Debido a los diferentes costos de distribuci#n y promocionales* la rentabilidad del producto variar% seg7n el canal de distribuci#n. )dem%s el costo de publicidad y el esfuero de ventas personales requerido variar%n de acuerdo con los canales de distribuci#n* tal como se muestra$ "anal de distriución
Utilidad por "osto de pulicidad *s8uer#o de personal unidad vendida por unidad vendida por unidad vendida (dólares) (dólares) (6oras) 80 10 2 4 3 -0 8 3 60 15 inguna
a empresa ha asignado un presupuesto de publicidad de 05 ((( y est% disponible de 1 '(( horas como m%&imo para el esfuero de ventas. a administraci#n tambi!n ha decidido asignar +(( unidades durante el periodo de producci#n actual. inalmente un contrato vigente con las tiendas nacionales de menudeo requiere que por lo menos se distribuyan 15( unidades a trav!s de este tipo de canal de distribuci#n.
ara establecer una estrategia de distribuci#n de los intercomunicadores que ma&imice la rentabilidad de la producci#n* se ha propuesto un modelo de programaci#n lineal que ha sido resuelto en ;AD$
M'. 0 .1 + 74 .2 + /0 .3 + 60 .4 %BJE! !O 2) 10 .1 + 7 .2 + .3 + 15 .4 <= 5000 3) 2 .1 + 3 .2 + x3 <= 1700 4) .1 + .2 + .3 + .4 = 600 5) .3 >= 150 E&, OBJE!"#E $%&!"O& #'(%E 1)
47450*00
#'"'B(E #'(%E .1 25*000000 .2 425*000000 .3 150*000000 .4 0*000000
E,%E, O! 0*000000 0*000000 0*000000 45*000000
O (' O %(% ,%'( "E 2) 0*000000 3*000000 3) 325*000000 0*000000 4) 0*000000 60*000000 5) 0*000000 -1/*000000
'&E "& " !E B'" " %&'&E, OBJ OE$$""E&! '&E #'"'B(E %E&! '((O'B(E '((O'B(E OE$ "&E'E ,EE'E .1 0*000000 15*000000 6*000000
3'
.2 .3 .4
74*000000 /0*000000 60*000000
6*000000 1/*000000 45*000000
12*000000 "&$"&"!8 "&$"&"!8
"!'&, ",E '&E O %E&! '((O'B(E '((O'B(E "&E'E ,EE'E 2 5000*000000 750*000000 50*000000 3 1700*000000 "&$"&"!8 325*000000 4 600*000000 6*250000 75*000000 5 150*000000 50*000000 150*000000 De acuerdo a la situaci#n planteada se pide$ a. ;dentifique en el modelo desarrollado las variables* la funci#n ob"etivo y las restricciones. b. ;dentifique en el modelo desarrollado las variables* la funci#n ob"etivo y las restricciones. c. F-u%l es la estrategia de distribuci#n propuesta por el modeloG d. F-u%l el presupuesto de publicidad asignado a cada canal de distribuci#nG e. ;nterprete el significado de las holguras o e&cedentes de las restricciones. f.
3K
Problemas de aplicaciones especiales 58.
Enigma S.A fabrica unidades de procesamiento central - para computadoras personales. a - se fabrican en tres plantas ?1* 2 y 3@ y se almacenan en 5 almacenes ?)1* )2* )3* )4 y )5@ para su distribuci#n posterior. a siguiente tabla muestra el n7mero de -s disponibles en cada planta* el n7mero de -s requeridos por cada almac!n y los costos de embarque ?soles por unidad@
Planta P1 P2 P3 "PU reueridos
A1 10 2 1 3 000
A2 20 10 20 5 000
Almac-n A3 5 4 000
A4 8 30 10 6 000
A5 10 6 4 3 000
"PU disponiles 8 000 4 000 000 21 000
a. labore el diagrama de red. b. Desarrolle el modelo que permita determinar la cantidad a transportar desde cada una de las plantas a cada uno de los almacenes para minimiar el costo de embarque. c. ncuentre la soluci#n mediante el programa ;AD. d. labore el diagrama de red con la soluci#n obtenida
59.
*ndustria $uímica S.A. ? *$SA@ produce un material especial con base en petr#leo* que actualmente es muy escaso. -uatro de los clientes de ;OS) ya han colocado pedidos* que en con"unto e&ceden la capacidad combinada de las dos plantas de *$SA. a administraci#n de *$SA se enfrenta al problema de decidir cu%ntas unidades deber% suministrar a cada uno de los clientes. Dado que los cuatro clientes son de distintas ramas industriales* es posible cargar un precio diferente debido a las diferentes estructuras de precios en las industrias. Despu!s de considerar el precio* los costos de producci#n y los de transporte* *$SA ha definido la siguiente utilidad por unidad para cada alternativa plantaJcliente$
Planta
"liente <1 32 34
Callao .itarte
<2 34 30
<3 32 2
<4 40 3
a capacidad de producci#n de la planta de Callao es de 5 ((( unidades y la de 0itarte es de 3 ((( unidades. os pedidos de los clientes es$ "liente Pedido
a. b. c. d. 60.
<1 2 000
<2 5 000
<3 3 000
<4 2 000
labore el diagrama de red de la situaci#n planteada. Desarrolle el modelo de programaci#n lineal para el problema planteado. sando el programa ;AD obtenga la soluci#n del problema. labore el diagrama de red indicando en !l la soluci#n obtenida.
n producto es manufacturado en tres plantas y embarcado a tres almacenes. os costos de transporte en d#lares por unidad se muestran en la siguiente tabla.
Planta A1
Almac-n A2
A3
"apacidad de la planta
4(
P1 P2 P3 Demanda de cada almac-n
20 10 12 200 u
16 10 1 400 u
24 10 300 u
300 u 500 u 100 u 800 u
a. Desarrolle el modelo de programaci#n lineal para minimiar el costo de trasporte. tilice adecuadamente la anotaci#n de las variables y la presentaci#n del modelo. b. Si la ruta de la planta 3 al almac!n )1 tiene una capacidad de 5( unidades debido a disponibilidad limitada de espacio en el modo de transporte usado* Fc#mo cambiaría la formulaci#n del problema en comparaci#n con el inciso ?a@G c. Si la ruta de la planta 2 al almac!n )2 no puede utiliarse por raones de seguridad* Fc#mo cambiaría la formulaci#n del problema en comparaci#n con el inciso ?a@G d. Si los valores mostrados en la tabla representan utilidad por unidad producida en una planta y vendida a un almac!n* Fc#mo cambiaría la formulaci#n del problema en comparaci#n con el inciso ?a@G e. Si la capacidad de la planta 1 es en realidad 5(( unidades* Fqu! consecuencias habría en la formulaci#n y la soluci#n del problema ?a@G f. Si la demanda del almac!n )3 es en realidad 5(( unidades* Fqu! consecuencias habría en la formulaci#n y la soluci#n del problema ?a@G
61.
Enigma Consulting 1roup S.A. tiene dos asesores* )belardo y ,elisario* que pueden programarse para traba"ar con clientes hasta un m%&imo de 1+( horas durante las cuatro siguientes semanas. n tercer asesor* -asimiro* tiene ya planeadas algunas asignaciones administrativas y est% disponible para los clientes un m%&imo de 14( horas durante las cuatro semanas siguientes. a empresa tiene cuatro clientes con proyectos en proceso. as necesidades horarias estimadas de cada uno de los clientes durante el periodo de cuatro semanas son$
Cliente oras
A 10
B -5
C 100
< 5
as tarifas horarias para la combinaci#n asesorJcliente varían y se basan en varios factores* incluyendo el tipo de proyecto y la e&periencia del asesor. as tasas ?d#lares por hora@ de cada combinaci#n asesorJcliente son$ Asesor Aelardo Belisario Casi$iro
"liente A 100 120 155
"liente 125 135 150
"liente " 115 115 140
"liente D 100 120 130
a. labore el diagrama de red de la situaci#n planteada. b. Si Enigma Consultin 1roup S.A. quiere ma&imiar sus ingresos* desarrolle el modelo de programaci#n lineal de la situaci#n planteada. c. Aueva informaci#n indica que )belardo no tiene e&periencia necesaria para que lo programen con los clientes , y -. Si no se permite que )belardo asesore al cliente , y que no asesore m%s de 1( horas al cliente -* indique las modificaciones que se tendr% que hacer al modelo de programaci#n lineal desarrollado anteriormente para incorporarle la nueva informaci#nG
41
62.
Se debe decidir cu%l de cuatro e"ecutivos debe asignarse a cada uno de cuatro clientes mayores. n la siguiente tabla se presentan los costos estimados de las asignaciones de cada e"ecutivo$
*5ecutivo A B C <
"liente 1 15 14 11 21
2 18 15 15 24
3 20 115 26
4 1 14 14 24
or raones de rotaci#n de personal no es posible asignar al e"ecutivo ) al cliente 1 y al e"ecutivo , al cliente 3. Determine el modelo de programaci#n lineal para el modelo planteado.
63.
a gerencia de Enigma S.A. quiere asignar a cuatro e"ecutivos para que visiten e inspeccionen las cuatro plantas ubicadas en provincias. os costos de asignaci#n de cada e"ecutivo para la visita a determinada planta se muestran en el siguiente cuadro$
*5ecutivo Dinan:as ,ercadotecnia peraciones Personal
Planta Tacna 24 14 15 11
u%nuco 10 22 118
Cusco 21 10 20 14
ChiclaFo 11 15 18 13
a. Desarrolle el diagrama de red de la situaci#n. b. ncuentre la soluci#n #ptima de asignaci#n de los e"ecutivos a cada planta de Enigma S.A. de tal manera que se minimice el costo.
64.
na empresa de investigaci#n de mercados tiene tres clientes* cada uno de los cuales ha solicitado que la empresa lleve a cabo una encuesta de muestreo. ) estos tres proyectos se pueden asignar cuatro especialistas. Sin embargo* los especialistas 1* 2 y 3 est%n muy ocupados y cada uno de ellos puede mane"ar s#lo un clienteI en cambio el profesional 4 podría mane"ar hasta dos clientes. or política de la empresa* el profesional 2 no puede ser asignado al cliente -. os datos que siguen muestran el n7mero de horas requerido por cada profesional para terminar cada una de las tareasI las diferencias de tiempo representan la e&periencia y capacidad de cada uno de los profesionales. *specialista "liente A " 1 150 210 2-0 2 1-0 230 220 3 10 230 225 4 160 240 230
ormule el modelo de programaci#n lineal para la situaci#n planteada.
65.
Uavier* -arlos y Cíctor est%n disponibles para efectuar ciertos traba"os. -ada persona debe efectuar s#lo un traba"o en el tiempo asignado. Eay cuatro traba"os por hacer. a matri de pagos de cada hombre asignado a cada traba"o es como sigue$
42
9avier "arlos :ctor
Soldar 4 1 3
*nmarcar 2 3 3
'ra#ar 5 4 1
Alamrar 3 2 5
a. FOu! hombre debe asignarse a qu! traba"oG b. Suponga ahora que cada hombre puede efectuar hasta dos traba"os* Fqu! deben hacer cada uno de ellosG
66.
n bufete de abogados ha aceptado tres nuevos casos* cada uno de los cuales puede ser llevado adecuadamente por cualquiera de los cuatro asociados m%s recientes. Debido a la diferencia en e&periencia y pr%ctica* los abogados emplear%n distintos tiempos en los casos. no de los asociados m%s e&perimentados ha estimado las necesidades de tiempo ?en horas@ como sigue$
"aso 1 145 0 121 11
Aoado 1 Aoado 2 Aoado + Aoado ,
"aso 2 122 63 103
"aso + 130 5 83 116
Se desarroll# el modelo de programaci#n lineal de la situaci#n planteada y mediante el ;AD se obtuvieron los resultados que se muestran a continuaci#n$
M9n
145 a1c1 + 122 a1c2 + 130 a1c3 + 70 a2c1 + 63 a2c2 + 75 a2c3 + 121 a3c1 + 10/ a3c2 + 3 a3c3 + 117 a4c1 + 73 a4c2 + 116 a4c3
subject to a1c1 + a1c2 + a1c3 <= 1 a2c1 + a2c2 + a2c3 <= 1 a3c1 + a3c2 + a3c3 <= 1 a4c1 + a4c2 + a4c3 <= 1 a1c1 + a2c1 + a3c1 + a4c1 = 1 a1c2 + a2c2 + a3c2 + a4c2 = 1 a1c3 + a2c3 + a3c3 + a4c3 = 1 end
1)
OBJE!"#E $%&!"O& #'(%E 256*0000
#'"'B(E '11 '12 '13 '21 '22 '23 '31 '32 '33 '41 '42 '43
#'(%E 0*000000 0*000000 0*000000 1*000000 0*000000 0*000000 0*000000 0*000000 1*000000 0*000000 1*000000 0*000000
E,%E, O! 145*000000 122*000000 130*000000 70*000000 63*000000 75*000000 121*000000 10/*000000 3*000000 117*000000 73*000000 116*000000
43
