Statistika Non Parametrika
5.
UJI KORELASI RANK SPEARMAN Misalkan pasangan data hasil pengamatan ( X 1 , Y 1 ) , ( X 2 , Y 2 ) , ..., ( X N , Y N ) disusun menurut urutan besar nilainya dalam tiap variabel. Nilai X i diranking sendiri, kemudian nilai Y i juga diranking terhadap sesama Y. Nilai terbesar diberi ranking 1. Kemudian bentuk selisih atau beda ranking X i dan ranking Y i yang merupakan data berpasangan. Beri notasi bi untuk nilai beda. Koefisien korelasi Spearman dihitung dengan rumus:
r Spearman = 1 −
6∑ bi 2 n(n 2 − 1)
Nilai korelasi ini mempunyai range dari -1 sampai 1.
Contoh Soal 1: Berikut ini hasil penilaian dua orang juri terhadap delapan peserta perlombaan. Jika dilihat berdasarkan peringkat maka juri I memberi peringkat I untuk E, peringkat 2 untuk B dan seterusnya. Juri II memberi peringkat 1 untuk G, peringkat 2 untuk E dan seterusnya.
Peserta
Juri I
Juri II
A B C D E F G H Jumlah
70 85 65 50 90 80 75 60
80 75 55 60 85 70 90 65
Peringkat Juri I 5 2 6 8 1 3 4 7
Peringkat Juri II 3 4 8 7 2 5 1 6
Beda (bi)
bi
2 -2 -2 1 -1 -2 3 1
4 4 4 1 1 4 9 1 28
2
Dari rumus korelasi Spearman diperoleh
r Spearman = 1 −
6∑ bi 2
2
n(n − 1)
= 1−
6(28) 8(64 − 1)
= 0, 6667
Pengujian Signifikansi Korelasi Spearman Uji hipotesis: hipotesis: A. Ho : tidak terdapat terdapat korelasi korelasi antara dua peubah peubah H1: terdapat korelasi positif antara dua peubah B. Ho : tidak t idak terdapat korelasi antara dua peubah peubah H1: terdapat korelasi negatif antara dua peubah
Statistika
Industri
II
halaman
–
STTAL
9
Statistika Non Parametrika
Kaidah pengambilan keputusan: tolak Ho jika nilai absolut dari r hitung lebih besar atau sama dengan r tabel.
Apabila terjadi angka sama pada variabel yang sama, maka masing-masing mendapatkan rata-rata ranking dari angka-angka yang sama. Jika proporsi angka sama tidak besar, akibatnya terhadap nilai korelasi dapat diabaikan, tetapi jika proporsinya relatif besar maka diberikan faktor koreksi sebagai berikut
∑ x =
r Spearman
2
+ ∑ y −∑ bi
2
2
∑ x ∑ y 2
2
2
dimana
∑ x
2
∑ y
2
T =
=
N 3 − N
=
12 N 3 − N
t 3 − t 12
12
− ∑ T x − ∑ T y
, t = banyak observasi yang berangka sama pada suatu ranking tertentu
Contoh Soal 2: (Contoh dengan Angka Sama) Berikut ini hasil pengukuran skor perjuangan status sosial dan jumlah menyerah pada tekanan kelompok.
Mahasiswa
Jumlah Menyerah
Perjuangan Status Sosial
A B C D E F G H I J K L
0 0 1 1 3 4 5 6 7 8 8 12
42 46 39 37 65 88 86 56 62 92 54 81
Rank Perjuangan Jumlah Status Menyerah Sosial 1.5 3 1.5 4 3.5 2 3.5 1 5 8 6 11 7 10 8 6 9 7 10.5 12 10.5 5 12 9
bi
bi 2
-1.5 -2.5 1.5 2.5 -3 -5 -3 2 2 -1.5 -5.5 3
2,25 6,25 2,25 6,25 9 25 9 4 4 2,25 30,25 9 109,5
Terdapat tiga himpunan observasi berangka sama pada variabel X, dimana t = 2 untuk setiap himpunan, maka
Statistika
Industri
II
halaman
–
STTAL
10
Statistika Non Parametrika
∑ x
2
=
N 3 − N 12 =
− ∑ T x
(12) 2 − 12 12
−
(
23 − 2 12
+
23
−
12
2
+
23
−
12
2
) = 143 – 1,5 = 141,5
Sedang untuk Y, karena tidak ada angka sama, maka
∑ y
2
=
N 3 − N 12 =
− ∑ T y
123 − 12 12
−
0 = 143
Sehingga
r Spearman
∑ x =
2
+ ∑ y −∑ bi
2
2
∑ x ∑ y 2
2
2
=
141.5 + 143 −109.5 2(141.5)(143)
= 0.616
Latihan Soal:
1. Hitung korelasi spearman antara dua peubah berikut kemudian uji apakah nilai korelasi tersebut signifikan atau tidak! Xi 96 82 63 57 82 90 90 74 87 90
Yi 150 95 75 75 110 100 140 83 100 92
2. Sepuluh pasang suami istri telah menilai perlombaan memasak. Dalam bentuk peringkat, hasilnya adalah sebagai berikut. Apakah nampak ‘ketidakterkaitan’ penilaian antara suami dan istri? Penilaian suami 5 8 10 6 9 3 4 7 2 1
Statistika
Penilaian istri 8 5 10 1 7 4 6 9 2 3
Industri
II
halaman
–
STTAL
11
Statistika Non Parametrika
6.
UJI KORELASI RANK KENDALL
Hipotesis-hipotesis: A. Dua sisi: Ho : X dan Y saling bebas H1 :
τ
≠0
B. Satu sisi Ho : X dan Y saling bebas H1 :
τ >
0
C. Satu sisi Ho : X dan Y saling bebas H1 :
τ
<0
Langkah-langkah menghitung Statistik Uji:
1. Susun pasangan-pasangan ( X i , Y i ) dalam sebuah kolom menurut besarnya nilainilai Xi dari nilai X yang paling kecil. Disini kita mengatakan bahwa nilai-nilai X berada dalam urutan yang wajar. 2. Bandingkan setiap nilai Y satu demi satu, dengan setiap nilai Y yang ada di sebelah bawahnya. Suatu pasangan nilai-nilai Y (yang dibandingkan dan yang di bawahnya) berada dalam urutan wajar bila Y yang di bawah lebih besar dari Y yang di atasnya. Sedangkan untuk hal yang sebaliknya, suatu pasangan nilai-nilai Y dikatakan dalam urutan terbalik. 3. Tetapkan P sebagai banyaknya pasangan berurutan wajar dan Q banyaknya pasangan berurutan terbalik. 4. Tentukan S = P-Q. 5. Hitung nilai korelasi rank Kendall sebagai berikut τ
S
= 1 2
N ( N − 1)
Kaidah pengambilan keputusan: Lihat Tabel A.20.
A. Tolak Ho pada taraf signifikansi dengan nilai tabel untuk N dan
α
B. Tolak Ho pada taraf signifikansi nilai tabel untuk N dan
Statistika
α
α
jika abs( τ hitung) lebih besar atau sama
/2 yang bersesuaian. α
jika
τ
hitung lebih besar atau sama dengan
yang bersesuaian.
Industri
II
halaman
–
STTAL
12
Statistika Non Parametrika
C. Tolak Ho pada taraf signifikansi tabel untuk N dan
α
α
jika
τ
hitung lebih kecil daripada negatif nilai
yang bersesuaian.
Contoh Soal: Hitung koefisien korelasi Kendall untuk skor benchmark achievement dan management rating berikut. Kawasan penjualan
Benchmark Achievement (X)
Management rating (Y)
Peringkatperingkat (X,Y)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
2 9 7 23 5 17 16 25 4 10 20 15 8 11 1 21 14 3 13 18 22 19 24 6 12
4 2 20 17 5 7 6 24 3 21 18 9 8 10 1 14 15 11 13 19 25 16 23 22 12
(1,1) (2,4) (3,11) (4,3) (5,5) (6,22) (7,20) (8,8) (9,2) (10,21) (11,10) (12,12) (13,13) (14,15) (15,9) (16,6) (17,7) (18,19) (19,16) (20,18) (21,14) (22,25) (23,17) (24,23) (25,24)
Pasangapasangan Y dalam urutan maju 24 21 14 20 19 3 4 14 16 3 11 10 9 7 8 9 8 3 5 3 4 0 2 1 0 P = 218
Pasangapasangan Y dalam urutan mundur 0 2 8 1 1 16 14 3 0 12 3 3 3 4 2 0 0 4 1 2 0 3 0 0 0 Q = 82
Dari tabel, diperoleh S = P – Q = 218 – 82 = 136 sehingga diperoleh τ
=
136 ( 1 2 )25(25 − 1)
= 0.45
Kaidah pengambilan keputusan: Karena nilai hitung > nilai tabel (0.367) maka tolah Ho untuk N = 25 dan alpha 0.005.
Statistika
Industri
II
halaman
–
STTAL
13
Statistika Non Parametrika
Jika terdapat nilai sama maka ikuti prosedur berikut: 1. Susunlah hasil-hasil pengamatan dalam urutan yang wajar (meningkat) menurut besarnya nilai-nilai X. 2. Untuk pasangan-pasangan dengan harga X yang sama, nilai-nilai Y disusun secara meningkat. 3. Hitung banyaknya pasangan Y yang berurutan wajar dan banyaknya pasangan Y yang berurutan terbalik seperti yang dijelaskan sebelumnya, tetapi jangan membandingkan nilai-nilai Y yang pasangan nilai X-nya sama.
Dan jika angka sama sangat banyak, gunakan faktor koreksi untuk menghitung koefisien korelasi rank Kendall sebagai berikut: τ
S
= 1 2
N ( N − 1) − T x
1 2
N ( N − 1) − T y
dimana
T x = T y =
1 2 1 2
∑t
x
∑t
y
(t x − 1) (t y − 1)
tx = banyaknya nilai X yang sama untuk suatu peringkat ty = banyaknya nilai Y yang sama untuk suatu peringkat
Contoh Soal untuk kasus terdapat angka sama: Uji apakah peningkatan kemampuan membaca dan IQ saling bebas! Klien
Peningkatan (X)
IQ (Y)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0.6 0.2 1.6 0.5 0.9 0.5 0.8 0.8 0.8 0.4 1.8 0.1 0.9 0.2 1.6 1.6 0 1.6 0.2 0.3
86 107 102 104 104 89 109 109 101 96 113 85 100 94 104 104 98 115 109 94
Statistika
X terurut
Industri
II
halaman
Pasanganpasangan Y dalam urutan maju
Y
–
Pasanganpasangan Y dalam urutan mundur
STTAL
14
Statistika Non Parametrika
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
0 1 1.3 0.6 0.6 0.5 1.7 1.6 2.2 1.5
112 96 113 110 97 107 113 109 98 106 P = 250
Q = 144
Statistik uji:
T x =
2(1) + 3(2) + 3(2) + 3(2) + 3(2) + 2(1) + 5(4) 2
= 24
dan
T y =
2(1) + 2(1) + 2(1) + 4(3) + 2(1) + 4(3) + 3(2) 2
= 19
sehingga diperoleh τ
=
250 − 144 [ 2 (30)(29)] − 24 [ 2 (30)(29)] − 19 1
1
= 0.26
Kaidah pengambilan keputusan: Karena nilai tau-kendall hitung lebih besar dari nilai tabel (0.218) untuk n = 30 maka Ho ditolak pada alpha 0.1 (uji dua sisi).
Statistika
Industri
II
halaman
–
STTAL
15
