TRIGONOMETRÍA 5to AÑO DE SECUNDARIA
I. E. P.
Trigonometría
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
2
Voluntad - Disciplina - Tenacidad Un eulerino... un triunfador
5to de Secundaria
Ángulo trigonométrico y sistemas sistemas de medición angular Razones trigonométricas de ángulos agudos I Razones trigonométricas de ángulos agudos II Repaso Razones trigonométricas de ángulos agudos III Ángulos verticales y horizontales horizontales sistema cartesiano Repaso Bimestral R. T. de un Ángulo Reducción al Primer Cuadrante Reducción al Primer Cuadrante(II) circunferencia trigonométrica Circunferencia trigonométrica II Identidades Trigonométricas Trigonométricas I Identidades trigonométricas II Identidades Trigonométricas Trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos Identidades trigonometricas del ángulo doble Identidades trigonometricas de ángulo mitad Repaso identidades trigonométricas Transformaciones Trigonométricas I Transformaciones Trigonométricas II Miscelanea Funciones trigonometricas I Funcione trigonometricas II Repaso Funciones trigonométricas inversas Funciones Trigonométricas Inversas (II) Ecuaciones Trigonométricas Resolución de Triángulos Oblicuangulos Repaso
5 12 18 25 30 38 45 53 58 65 70 78 86 92 98 102 109 116 122 125 132 137 144 148 160 166 170 182 188 196 204
TRIGONOMETRÍA 5to AÑO DE SECUNDARIA
I. E. P.
Trigonometría
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
4
Voluntad - Disciplina - Tenacidad Un eulerino... un triunfador
5to de Secundaria
I. E. P.
Trigonometría
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
Ángulo Trigonométrico Trigonométrico y Sistemas de Medición Angular Las figuras así formadas, se asociarán a una determinada medida que convencionalmente se regirá así:
Objetivos
Diferenciar el ángulo trigonométrico del geomé trico, operándolos de forma correcta.
Reconocer los sistemas de medición angular, así como las equivalencias conve nientes para las posteriores conversiones de un sistema a otro.
sentido horario medida negativa sentido antihora antihorario rio medida positiva sin rotación medida nula Debemos mencionar también que la medida de un ángulo trigonométrico no tiene límites, ya que dependerá de la magnitud de la rotación en que se genere; esto es:
Ángulo Trigonométrico T rigonométrico Es aquel que se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial (lado inicial) hasta otra posición final (lado final) en un solo plano. De este modo se reconocen dos tipos de rotación anotadas en el gráfico adjunto, en el cual se tiene: O
: vértice
OP
: lado inicial
OQ y OS : lados finales Q
O
α β
1 vuelta
...
... Además, para poder operar ángulos trigonométricos trigonom étricos se sugiere que éstos se encuentren en un mismo sentido, de preferencia el sentido antihorario. Para ello se pueden cambiar los giros con el siguiente criterio:
Sentido antihora antihorario rio P Sentido horario
α
-α
A diferencia de la Aritmética, el Álgebra y la Geometría, que alcanzaron un gran desarrollo desde la época de los babilonios, los egipcios y los griegos, la trigonometría sólo logra su madurez en los últimos ú ltimos siglos. Esto obviamente es explicable, por que para desenvolverse plenamente necesita de una Geometría ya razonada, y sobre todo una Aritmética y Álgebra sin titubeos, para darle toda la flexibilidad y todo el vuelo de que la trigonometría es capaz. Desde el punto de vista etimológico, la Trigonometría Trigonometría trata de la medición de los triángulos, es decir, a partir de ciertos elementos convenientes y conocidos de un triángulo hallamos los restantes. Nadie pudo sospechar antiguament antiguamente, e, que tan modesto origen pudiese surgir, en el devenir, una ciencia de tanta importancia como la trigonometría, que en un comienzo fue sólo un simple capítulo de Astronomía, pero gracias a su aplicación a las distintas ramas de la Matemática y la Física, y, sobre todo, al empleo invalorable que de ella hacen la Astronomía y la Geodesia, es que su progreso fue rápido y pudo llegar tan lejos.
S
5to de Secundaria
Voluntad - Disciplina - Tenacidad
5
I. E. P.
Trigonometría
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
Conversión entre sistemas
3. SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (O INTERNACIONAL) Unidad: 1 radián = 1 rad Un radián es la medida de un ángulo central en una circunferencia, cuando el arco que subtiende mide igual que el radio de la circunferencia. En el gráfico; si: L = R θ = 1 radián
Factor de conversión
R
Son las diferent diferentes es formas en que se pueden medir los ángulos, destacan los siguientes:
θ
O
1 vuelta = 360° Además: 1° = 60’ ; 1’ = 60’’ ; 1° = 3600’’
Obs.:
α = x°y’z’’ α= x° + y’ + z’’
2. SISTEMA CENTESIMAL (O FRANCÉS) 1 vuelta Unidad: 1g = 400 1 vuelta = 400 g Además: 1g = 100m ; 1m = 100s; 1g = 10000s
Obs.:
β = xg y m zs β = xg + y m + zs
Por ejemplo, convierte:
L
R
1) 45° al sistema circular circular..
B
1 vuelta Unidad: 1° = 360
( ) unidad que se quiere ( ) unidad a cancelar
A
Sistemas de Medición Angular
1. SISTEMA SEXAGESIMAL (O INGLÉS)
Para convertir la medida de un ángulo de un sistema a otro, se multiplica a la medida original del ángulo por una fracción donde numeradorr y denominador deben ser numerado iguales, pero del tipo:
α = 45°.
Además, por regla de tres simple: Ángulo central
Longitud del arco
1 rad 1 vuelta
R 2πR
180°
Factor de conversión
α = π rad 4
2) 60g al sistema circular.
Luego:
β = 60g .
1 vuelta . R = 2 πR x 1 rad
πrad g
200
Factor de conversión
β = 3π rad 10
1 vuelta = 2π rad
Consideraciones
πrad
3) 120g al sistema sexagesimal. s exagesimal.
1) 360° = 400g = 2π rad
θ = 120g
180° = 200g = π rad
9°
g
10
θ = 108°
2) 180° = 200g 9° = 10g
3) 9° = 10g ⇒ 9(60’) = 10(100m) 27’ = 50m
4)
2π rad al sistema sexagesimal. 5 Factor de φ= 2π rad 180° conversión 5 πrad
4) 27’ = 50m ⇒ 27(60’’) = 50(100s) 81’’ = 250s
6
Factor de conversión
Voluntad - Disciplina - Tenacidad Un eulerino... un triunfador
5to de Secundaria
I. E. P.
Trigonometría
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
θ
90°-α
-β
Ejemplo 1: Señala la relación que verifican α y θ en el gráfico mostrado.
α
90° - α + (-β) = 180° 90° - α -β = 180° -α -β = 90°
∴ α + β = -90° α
θ
Ejemplo 3: Resolución:
C=
θ = 36° π rad
70g + 7° π rad 18
180°
∴ θ=
Resolución: α
-θ
Note que: α + 90° + (-θ) = 180° α + 90° - θ = 180°
∴ α - θ = 90° Ejemplo 2:
Para poder operar las medidas tenemos que pasar todas a un solo sistema. Pasando al sistema sexagesimal: * 70g .
Señala la relación correcta entre α y β, a partir del gráfico mostrado. mostrado.
9° 10g = 63°
* π rad . 180° = 10° 18 π rad Luego:
β
C=7
En un triángulo isósceles los ángulos congruentes miden (10x+2)° y (11x + 3)g. ¿Cuál es la medida circular del ángulo desigual?
Resolución: Homogenizamos el tipo de rotación a antihorario y tenemos.
5
Ejemplo 5: Sabiendo que: 2π rad = 3a ° 4b’ 3c ’’, 11 calcula: L = (a + b). c
Convirtiendo: 2π 180° θ = 11 rad π rad
Ejemplo 4: α
π rad
Resolución:
63° + 7° C= 10° 70° C = 10°
g g
Convirtiendo: 9° (10x + 2)° = (11x + 3)g . g 10 Operando: 100x + 20 = 99x + 27 ⇒ x = 7 lo cual significa que los ángulos congruentes miden 72° cada uno, luego: θ = 36° Convirtiendo a radianes:
Señala el valor de:
Colocamos los ángulos en un mismo sentido.
( 1 1 x + 3 )
° ) 2 + x 0 1 (
360° 11 En este caso se procede así:
θ=
360° 11 30 32 8°
x 60
480’ 11 40 43 7’
x 60
420’’ 11 90 38,1 20
Tomando los cocientes coci entes y redondeando:
θ = 32° 43’ 38’’ = 3a° 4b’ 3c’’ Resolución:
Comparando:
a=2 b=3 c=8
En el gráfico: (10x + 2)° = (11x + 3)g luego: L = (a + b)c = 5 . 8
∴ L = 40
5to de Secundaria
Voluntad - Disciplina - Tenacidad
7
I. E. P.
Trigonometría
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
Nivel I 1)
A partir del gráfico, señala lo correcto si OE es bisectriz bisectriz del ángulo COD.
4)
Señala la relación correcta respecto a los ángulos trigono métricos mostrados:
8)
E
D
C
β α β
2)
Señala la relación correcta.
5)
a) α + β = 90° b) α > β c) α - β = 90° d) β - α = 90° e) α - β = 180° 3)
6)
Señala la relación correcta a partir del gráfico:
β a) α + β = 180° b) β - α = 180° c) β - α = 270° d) α - β = 270° e) β - α = 360°
8
7)
α
60g + π rad 20
a) 3 d) 6
α
c) 36°
9)
2π Si un ángulo mide rad y 9 también (7x + 5)°, ¿cuál es el valor de x? a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
Calcula: C=
β
b) 24° e) 48°
B
a) α + β = 135° b) α - β = 135° c) α + β = 180° d) β - α = 45° e) β - α = 225°
a) α > β b) α + β = 90° c) α - β = 90° d) β - α = 90° e) α + β = -90°
a) 18° d) 40°
α O
A
Si uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo midee 3π , ¿cuál es la medida mid 10 sexagesimal del otro ángulo agudo?
b) 4 e) 7
60°
π rad 9
11)
C=
90g + 9° π rad 10
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
Si dos ángulos interior interiores es de un triángulo miden 60g y 2π rad, 10 ¿cuál es la medida sexagesimal del tercer ángulo? b) 36° e) 60°
c) 48°
Voluntad - Disciplina - Tenacidad Un eulerino... un triunfador
Si un ángulo mide 70g y también (8x -1)°, ¿cuál es el valor de x? a) 6 d) 9
c) 5
Calcula:
a) 27° d) 54°
10)
b) 7 e) 10
Si la diferenc diferencia ia de medidas medidas de dos ángulos complementarios es π rad, ¿cuál es la medida 10 sexagesimal del menor? a) 18° d) 40°
12)
c) 8
b) 27° e) 49°
c) 36°
Si la diferenc diferencia ia de medidas medidas de dos ángulos suplementarios es 40g, ¿cuál es el complemento del menor? a) 10° d) 18°
b) 12° e) 24°
c) 15°
5to de Secundaria
I. E. P.
Trigonometría
13)
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
Calcula: 3° 2’ 1° 4’ C= + 2’ 4’ a) 107 d) 110
17)
De acuerdo al gráfico, señala lo correcto.
21)
α
b) 108 e) 111
c) 109
β 14)
a) 13° d) 24°
( 1°3’3’ + 2°4’4’ ) . ( 1°3°5’)
a) 1,2 d) 3,2
b) 2,3 e) 4,6
c) 2,4
Sabiendo que: a° b b’c’’ c’’ = 1°32’4 1 °32’43’’ 3’’ + 4°39’ 4°39’26’’ 26’’, a+b expresa: θ= en radianes c a) π rad 36 b) π rad 90 c) π rad 45
d)
π 180
18)
c) 22°
Señala verdadero o falso según corresponda correspo nda en:
II.
23)
π rad > 16g
11
III. -1° > -1g
a) VVF b) VFF d) VVV e) FFV 19)
70g -
g C= 20π + 17° rad 36
De acuerdo al gráfico gráfico,, señala la relación que verifican “ α y θ”.
a) 7 d) 14
)(
b) 10 e) 16
20)
30°
α - 10° a) α - θ = 10° b) α + θ = 10° c) α - θ = 50° d) α + θ = 50° e) α + θ = 80°
π rad
60 30
)
5to de Secundaria
b) 44° e) 72°
c) 54°
Calcula:
a) 13 d) -11
b) -13 e) 14
c) 11
c) 12
Se tienen dos ángulos complementarios, tales que el doble del mayor excede al menor en 80g. ¿Cuál es la medida circular del mayor? a) 2π rad 5 b) 3π rad 20 c) 3π rad 10
En un triángulo isósceles, los ángulos congruentes miden (7x - 2)° y 3πx rad. ¿Cuál es la 20 medida sexagesimal del ángulo desigual?
C= 1° 2’ - 2° 3’ - 3° 4’ - 4° 5’ 2’ 3’ 4’ 5’
25) ° 0 2 θ
c) 7
c) FVF
Calcula:
(
b) 5 e) 4
a) 36° d) 64°
24)
Nivel II
Si un ángulo mide (7x +1)° +1)° y su g complemento 12x , ¿cuál es el valor de x? a) 3 d) 6
I. 72° > 78g
rad
e) π rad 360
22)
a) α - β = 270° b) α + β = 270° c) α - β = 450° d) α - β = 450° e) α - β = 180°
( )
16)
b) 17° e) 26°
Determina: C=
15)
Se tiene tres ángulos, tales que al sumarlos de a dos se obtiene los resultados : π rad, 70g y 16°. 20 ¿Cuál es la semisuma de los tres ángulos?
Calcula: x° (4x)’ (x - 1)’
a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
g
= 2 π rad 5
c) 5
d) π rad 3 e) 5π rad 12
Voluntad - Disciplina - Tenacidad
9
I. E. P.
Trigonometría
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
26)
Si 3π rad = 4a° 3b’ 1c’’, 13 c Calcula: L = +a b a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
Nivel III 31)
c) 3
34)
De acuerdo al gráfico, determina x (L 1 // L 2) si AP y BP son bisectrices. A
Si 5π rad = 8a° 4b’ c’’, 11 a+b Calcula: L = c
28)
b) 2 e) 5
35)
β
c) 3
L2
a) α - β -90° d) α + β +90° 2 2
b) α - β +90° e) α + β -180° 2 2 α + β -90° c) 2
Del gráfico, calcula S = x/y. A 32)
B
Del gráfico gráfico,, calcula: x C= y + 22
a) 0,027 b) -0,027 c) 0,009 d) -0,009 e) -0,036
29)
Del gráfico, calcula calcula:: S = a/b. A (a+b)g
(2b-a)’
a) 1/2 d) 3/2
O
B
33)
a) 53/56 b) -53/56 c) 56/53 d) -56/53 e) -57/53
30)
g
m
10
α + 250 38)
C
αg
Si la suma de medidas de dos ángulos es 10g50m y su diferencia es 3°13’, ¿cuál es la medida circular del mayor?
b) 0,6 e) 1,5
d) 17π rad 540 e) 17π rad 180
Calcula: 1g 1m 1g + + C= 1’ 1° 1’’
Sabiendo que a = 20’; b = 10’’ y c = 40m, calcula: L=
O a) 0,3 d) 1,2
c) 20
a) 1,234 b) 1,568 c) 1,764 d) 1,524 e) 2,134
β
β°
A d) 6° 41’ 50’’ e) 6° 41’ 50’’
37)
E
B
c) 9/19
c) 2/3
Si en el gráfico OE es bisectriz del BOC, calcula: C=
Expresa 7 25 en el sistema sexagesimal (aproximadamente). a) 6° 27’ 52’’ b) 6° 31’ 30’’ c) 7° 16’ 17’’
b) 2 e) 3/4
b) 10 e) 12
a) 17π rad 160 b) 19π rad 160 c) 19π rad 540
3x°-30g
5y g-18°
b) 8/19 e) 8/17
Siendo a + b + c + d = 63 y además ade más x°y’z’’ = a°b’c’’ c’’ + b°c’ b°c’d’’ d’’ + c°d’a’’ + d°a’b’’, calcular: L = x - y z a) 0 d) 4
36)
x° y m
O
a) 6/19 d) 6/17
P
x
B a) 1 d) 4
(a+b)° (a-2b)g
L1
α 27)
Del gráfico, calcula calcula:: a/b.
3
3 5c 5a 3 + 3b c
D c) 0,9
Voluntad - Disciplina - Tenacidad Un eulerino... un triunfador
a) 7 d) 13
b) 9 e) 15
c) 11
5to de Secundaria
I. E. P.
Trigonometría
39)
40)
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
Expresa 3° 15’ en el sistema 44) ¿Cuántos ángulos verifican que su medida sexagesimal se puede centesimal. expresar como a0b° y su medida centesimal se expresa como g m s g m s a(a + 1)0g? a) 3 61 11 d) 3 63 15 b) 3g 72m 12s e) 3g 62m 21s c) 3g 57m 74s a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
b) 40 e) 70
18°-160g
abiendo que: 41) Sabiendo ab° = (a+1)(b - 2)g expresa (a - b)° en el sistema circular. a) π rad 20
46)
ab° = c(c-3)g , a+b °. c
42) Sabiendo que
expresa a)
π rad
d)
30
π rad
90
π rad e)
b) π rad
20
45
c) π rad 60
d) 900
e) 180
π
36
c) π rad 24
b) 600
π
e) π rad
15
48)
x°
d) π rad 30
b) π rad
a) 3,2* d) 5,6*
z rad
a) 150
π
c) 300
π
π
Se crean dos nuevos sistemas de medición angular A y B, tales que sus unidades (1 A y 1B) equivalen a 1° 20’ y 1g 20 m, respectivamente. Determina la medida circular del tercer ángulo de un triángulo si dos de ellos miden 60A y 50B. 13π a) 90 rad 23π rad b) 90 17π c) 90 rad
b) 3 e) 7
49)
c) 4
Voluntad - Disciplina - Tenacidad
b) 3π* 3 e) 2π* 5
c) π* 6
d) π rad 18 e) π rad 20
Sabiendo que a, b ∈ R +; señala el valor mínimo de: a° 3bm S= + a’ 5bg a) 0,2 d) 0,8
5to de Secundaria
c) 4,8*
La medida sexagesimal de un ángulo es (x2+4x +4x+22)°; +22)°; x ∈ R Si dicha medida es mínima, ¿cuál es su medida circular? a) π rad 9 b) π rad 10 c) π rad 12
50)
b) 6,4* e) 7,2*
Se crea crea un un nuevo sistema de medición angular “J”, cuya unidad es 1*, que viene a ser la medida de un ángulo central en una circunferencia, cuando el arco que le corresponde resulta ser los 3/5 del radio de la circunferencia. ¿Cuál es la medida de un ángulo interior de un polígono regular de 20 lados en este sistema? a) 2π* 3 d) 5π* 6
29π d) 90 rad 31π e) 90 rad
Un ángulo se expresa como x°x’ y también como y g; donde x e y son enteross de dos cifras. Calcular entero y - x. a) 2 d) 6
140g - 12°
En un triángulo triángulo,, las medidas de sus ángulos están en la relación de 2; 5 y 8. ¿Cuál es la medida del menor en el sistema “moshe”?
c) 50
y g
Se crea un sistema de medición angular “moshe”, cuya unidad es 1*, verifica lo mostrado en el gráfico adjunto. 16*
Halla el menor valor entero de A si se cumple: gráfico,, calcula: 45) Del gráfico g A = 1° + 2° + 3° + 4° + ... 10x - 9y C= π + 2z a) 30 d) 60
43)
47)
b) 0,6 e) 1,2
c) 0,4
11
I. E. P.
Trigonometría
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
R azones Trigonométricas Trigonométricas de Ángulos Agudos I Objetivos
Reconocer y calcular las razones trigonométricas de un ángulo agudo a partir de un triángulo rectángulo y a partir de alguna razón trigonométrica trigonomé trica conocida. Interpretar enunciados que definen una situación geométrica determinada para su posterior resolución.
Definición de las Razones Trigonométricas T rigonométricas Son los resultados que se obtienen al dividir entre sí, los lados de un triángulo rectángulo. Cada uno de estos resultados asumirá un nombre que se definirá de la siguiente manera: C β
b
a
seno de α
=
cat. opuesto hipotenusa
coseno de α
=
cat. adyacente hipotenusa
tangente de α
=
cat. opuesto cat. adyacente
secante de α
c
hipotenusa cat. adyacente
=
cotangente de α = cat. adyacente cat. opuesto
Los historiadores concuerdan en que fueron los griegos anteriores a Sócrates los iniciadores de la trigonometría. A Tales de Mileto, uno de los siete sabios de Grecia, se le atribuye el descubrimiento de cinco teoremas geométricos y su participación en la determinación de las alturas de las pirámides de Egipto utilizando la relación entre los ángulos y lados de un triángulo triángulo..
Donde, para “α”: Cat. opuesto = a Cat. adyacente = c Hipotenusa = b Notaciones: sen α = a b cos α = c b tg α = a c
csc α = sec α = ctg α =
b a b c c a
Por ejemplo:
α A
hipotenusa cat. opuesto
cosecante de α =
Orígenes de la Trigonometría
29
B
α
H
O
20
Hiparco, notable geómetra y astrónomo griego, sistematizó estos conceptos en una tabla de cuerdas trigonométricas que hoy son la base de la trigonometría moderna. Por su trabajo se le considera el padre o fundador de la trigonometría. Fue el observador más grande de la antigüedad, tanto que su catálogo estelar, que contenía posiciones y brillos de unas 850 estrellas, fue superado en precisión solamente en el siglo XVI.
A
21
α + β = 90° o a2 + c2 = b2
12
π rad 2
O = H A = cos α = H O = tg α = A sen α =
20 29 21 29 20 21
Voluntad - Disciplina - Tenacidad Un eulerino... un triunfador
5to de Secundaria
I. E. P.
Trigonometría
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
Ejemplo 2: 8
L=
15
O
A
θ
H
17 O = sen θ= H A cos θ = = H O= tg θ = A
8 17 15 17 8 15
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el triple de uno de los catetos. Calcula la l a tangente del mayor ángulo agudo del triángulo.
Ejemplo 1: En un triángulo rectángulo los lados menores menor es miden 1 y 3 cm. Calcula el coseno del mayor de los ángulos agudos del triángulo.
β A 1
O
2
* x = 1 + 3
2 2 O tg θ = A = 1
10
El mayor ángulo agudo se opone al mayor cateto: β piden: cosβ =
A = H
Siempre que tengamos como dato una R.T. es preferible tenerla como fracción, luego: 105 tgθ = 1,05 = 100 tgθ =
21 O = 20 A
Ejemplo 3: En un triángulo rectángulo.
O
H
θ
A
20
A partir del triángulo; reemplazando en: C
1 10
29 Por Pitágoras
Resolución:
x2 = 10 x =
Resolución:
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); reduce: reduce: L = (senA tgA +senC)cosA
3
c cosθ b
C = 3senθ -
∴ tgθ = 2 2
2
∴ L=1
Siendo θ un ángulo agudo, tal que tgθ = 1,05; calcula:
El mayor ángulo agudo es θ y piden:
Resolución:
2
2 c L= b2 . b bc
1
* 32 = 12 + x2 9 - 1 = x2 x2 = 8 x= 2 2
α
luego:
Ejemplo 4:
θ
3
x=2 2
H
a2 + c2 = b2
Resolución:
α
10 = x
a2 + c2 (. c ; pero: ( bc b
b
a
Luego: C = 3sen θ - 1 cosθ 4 C = 3 . 21 - 1 . 20 29 4 29 Operando:
10 Racionalizando: cosβ = 10
5to de Secundaria
A
c
B
L = (senA tgA + senC) cosA a . a c (. c + b c b b
L=
(
L=
a2 + c ( bc b
(.
C = 63 - 5 = 58 29 29 29
∴C=2
c b
Voluntad - Disciplina - Tenacidad
13
21
I. E. P.
Trigonometría
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
Ejemplo 5 En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), se traza la mediana AM (M en BC), tal que MCA = α y MAB = θ. Calcula: L = tgα . tgθ
Nivel I
5)
Resolución: 1)
Graficando: C
A partir del gráfico, calcula: senθ. C
a) 1/ 3 d) 2/ 5
α n 2
M n
θ
A
m
5
A
B
a) 2/5 b) 2/ 29 c) 5/ 29
Sea: BM = MC = n AB = m m ABC: tgα = 2n n ABM: tgθ = m
6)
θ
2)
B d) 2/7 e) 2/29
7)
5
θ Luego:
L = tgα tgθ m n L = 2n . m
a) 3/5 b) 3/8 c) 5/8 d) 3/ 34 e) 5/ 34 3)
En un triángulo rectángulo, los lados menor menores es miden miden 2 y 5 cm. Calcula el seno del menor ángulo agudo del triángulo. a) 2/ 5 d) 2/7
4)
8)
c) 5/3
En un triángulo rectángulo, los lados menores menores miden 7 y 3 cm. Calcula el coseno del menor ángulo agudo del triángulo. a) 7/3 d) 3/4
14
b) 2/3 e) 2/ 7
b) 3/ 7 c) 7/4 e) 3/ 10
Voluntad - Disciplina - Tenacidad Un eulerino... un triunfador
c) 1/ 5
En un triángulo rectángulo la hipotenusa es el cuádruple de uno de los catetos. Calcula la tangente del mayor ángulo agudo del triángulo.
En un triángulo rectángulo la hipotenusa y un cateto están en la relación relación de 3 a 2. Calcula el producto del seno y la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo. a) 2/3 d) 5/6
Reduciendo: L = 1/2
b) 2/ 3 e) 1/2
a) 4 b) 15 c) 3 d) 1/ 15 e) 15/4
A partir del gráfico, calcula: cos θ. 3
En un triángu lo rectángu lo, un cateto es el doble del otro. Calcula el coseno del mayor ángulo agudo del triángulo.
c) 1/6
En un triángulo rectángulo los catetos están en la relación de 2 a 5. Calcula el producto producto del seno y coseno de uno de los ángulos agudos del triángulo. a) 2/29 d) 6/29
9)
b) 3/2 e) 7/6
b) 5/29 c) 10/29 e) 15/29
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), reduce: L = asenA secC a) 1 d) b
b) a e) a2
c) c
5to de Secundaria
I. E. P.
Trigonometría
10)
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); reduce: L = tgA tgC + 1 a) 1 d) 4
11)
b) 2 e) 6
b) b e) 1
17)
18)
15)
b) ac
b2 d) ac
e) 2
Siendo α un ángulo agudo, tal que cosα = 2/3; calcula el valor de C = tgα . cscα
23)
b) 2 e) 0,25
c) 1,5
19)
c) c
c)
5to de Secundaria
c) 4
Si φ es un ángulo agudo tal 1 que:cosφ = ; calcula: 6 C = 5csc2φ + tg2φ a) 7 d) 10
c) c
b) 3 e) 6
b) 8 e) 11
c) 9
b) 19 e) 29
25)
c) 21
Sabiendo que 3 tgφ = 94 donde “φ” es agudo, calcula: C = 3senφ secφ + 2
ac b2 a) 7 d) 18
b) 13 e) 20
c) 16
Voluntad - Disciplina - Tenacidad
d) 9 cm e) 8 cm
En un triángulo rectángulo, el coseno de uno de sus ángulos agudos es igual a 5/13. Si el perímetro del triángulo es igual a 90 cm, ¿cuál es su área? d) 270 cm2 e) 540 cm2
En un triángulo isósceles, el coseno de uno de sus ángulos congruentes congruen tes es igual igual a 0,8. Si el perímetro del triángulo es igual a 72 cm, ¿cuál es su área? a) 172 cm2 b) 192 cm2 c) 384 cm2
26) 21)
En un triángulo rectángulo, la tangente de uno de sus ángulos agudos es igual igual a 0,6. Si el área área del triángulo es igual a 27 cm 2, ¿cuánto mide el lado menor del triángulo?
a) 135 cm2 b) 90 cm2 c) 180 cm2
Sabiendo que 23+tgθ = 4 3; donde “θ” es un ángulo agudo, calcula C = 2sec2θ + 10sen2θ a) 17 d) 25
d) 54 cm e) 96 cm
a) 2 cm b) 3 cm c) 6 cm
Siendo θ es un ángulo agudo, tal que tgθ = 2; calcula: C = 3secθ + 3sen2θ a) 2 d) 5
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); reduce: 1 + senA - tgA cosA L= 1 - cosC a) 1
c) 1
24)
20)
b) b e) ac
a) 24 cm b) 27 cm c) 48 cm
b) 15 e) 1/4
c) 1
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); reduce: L = (a . tgA + c) senC a) a d) b2
a) 15 d) 4
a) 3 d) 0,5
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); reduce: L = (b - asenA) cscC a) a d) c2
14)
b) a2c2 e) 2b2
16)
22)
c) ac
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); reduce: L = 1 + sec 2C - ctg2A a) b2 d) 2
13)
b) b2 e) 2b2
Siendo β un ángulo agudo, tal que senβ = 1/4, calcula: C = tg β . cosβ
En un triángul o rectángulo, el seno de uno de sus ángulos agudos es igual a 0,6. Si el mayor lado del triángulo mide 20 cm, calcula el perímetro del triángulo.
Nivel II
c) 3
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); reduce: L = sen2A + sen2C a) 1 d) a2c2
12)
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
d) 86 cm2 e) 196 cm2
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), se sabe que: senA = 2senC, calcula: L = sec2A + 4sec2C a) 5 d) 9
b) 6 e) 10
c) 8
15
I. E. P.
Trigonometría
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
27)
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) se sabe que: cosA cosC = calcula: 2 3 L = 4sec2A + 3tgC a) 7 d) 13
28)
c) 11
b) 0,2 e) 0,2
c) 0,3
33)
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) se sabe que: tgA = 2tgC, calcula: L = sen2A + 7sen2C
30)
b) 2 e) 5
c) 3
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) se cumple que: senA tgA cosC tgC = 2 3 2 calcula: L = 5sen C + 3csc2A a) 5 d) 11
b) 7 e) 13
a) 2/7 d) 5/7
35)
16
c) 4/7
c) 9
b) 3 e) 5/2
39)
b) 1,2 e) 1,4
c) 1,6
Siendo “3θ” un ángulo agudo, tal que ctg3θ = 2,4; señala el valor de: cosθ C= 2cos2θ + 1 a) 0,6 d) 1,3
b) 3 e) 6
c) 4
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) se sabe que su perímetro es igual a 7 veces “c”. Calcula el valor de: L = cscA + ctgA a) 1,3 d) 1,5
b) 2,4 e) 2,6
c) 1,2
c) 4 40)
Sabiendo que senα = 0,3 y tgβ = cosα, donde “α” y “β” son ángulos agudos, calcula: 2 C = 2ctgα2 + 17sen2 β 8sec α + 9sec β a) 5/13 d) 5/26
b) 3/7 e) 6/7
38)
Siendo “α” un ángulo agudo, tal que: tgα = 2 2; calcula:
a) 2 d) 5
c) 9
En un triángulo isósceles se verific veri ficaa que uno de sus lad lados os congruentes y el desigual están en la relación de 7 a 6. Calcula el coseno de uno de los ángulos congruentes.
b) 8 e) 11
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) se sabe que: A 1 tg = tgC 2 2 Calcula: L = 5 tgA + cscC a) 2 d) 3/2
C = tgα tg α 2
Nivel III 31)
d) 13 - 2 3 e) 13 - 2 5
37)
Siendo “θ” un ángulo agudo, tal que cosθ = 2-3 , calcula: C = tg θ ctg θ 2 a) 7 d) 10
34)
a) 1 d) 4
En un triángulo isósceles se cumple que la tangente del ángulo desigual es igual a 1,5. Calcula la cotangente de uno de los ángulos congruentes de dicho triángulo. a) 5 - 2 3 b) 5 + 2 3 13 - 3 c) 2
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) se sabe que: tgA = 9tgC, calcula: L = senA senC a) 0,1 d) 0,3
29)
b) 9 e) 15
32)
b) 5/12 e) 6/13
c) 7/12
Siendo “α” y “β” ángulos agudos, tales que α+ β = 45°; calcula: C = tgα + tgβ + tgα tgβ a) 1 d) 2
41)
b) 2 c) 3 e) 2 + 1
Del gráfico gráfico,, calcula: C = ctgα ctgβ C
30)
En un triángulo ABC, se sabe que tgA = 1,875; senC = 0,6 y AC = 84 cm. Calcula el perímetro del triángulo.
D E
α A
a) 210 cm b) 155 cm c) 235 cm
d) 105 cm e) 315 cm
Voluntad - Disciplina - Tenacidad Un eulerino... un triunfador
β H
a) 2,5 d) 5,5
B
O
b) 3,5 e) 6,5
c) 4,5
5to de Secundaria
I. E. P.
Trigonometría
42)
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
Si ABC es un cuadrado, donde tgα= 0,5 y PQ = 5PS, calcula: tgθ.
46)
Si ABCD es un cuadrado, calcula: S= 2tgα + 3tgθ B
B
S
θ
C
P
M
α
50)
C
Q
P
Q
A
D
b) 3/4 e) 6/7
a) 1 d) 4
c) 4/5
44)
a) 2 d) 5
c) 4
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), se cumple que:
48)
De acuerdo al gráfico gráfico,, calcula el valor de: J = ctgα + ctgβ ctgβ C
S
α
S
2S
M
N
b) 2 e) 6
β
b) 4/3 e) 7/3
θ
B
D
E
b) 2 e) 3/2
c) 3
F
Los Egipcios pudieron haber tenido conocimiento de la Trigonometría Bien sabemos que una de las fuentes más importantes que nos habla de los egipcios la encontramos en su famoso papiro de Ahmes, donde se hallan cinco problemas referentes a las medidas de las pirámides, encontrándose en cuatro de ellos el término «segt. de un ángulo», es decir del ángulo que las caras laterales de la pirámide forman con la base. Aún cuando el significado del término segt es un poco impreciso, parece que se refiere al coseno o la cotagente de dichos ángulos diedros de la base. Aparte de esto, no existe escrito o grabado algo que nos de más luces sobre el alcance egipcio en la trigonometría, pero es posible que no fuesen mucho más alla de estos primeros esbozos.
φ
B E
A a) 3/4 d) 5/3
c) 3
Si ABCD es un cuadrado; calcula: J = 11tgβ - 7tgφ si ctgα = 3. C G B
α
θ
β
49)
d) 2(2n2 - 1) e) 2(2n2 + 1)
Calcula el mínimo valor de la suma de las tangentes de dos ángulos agudos complementarios. a) 1 d) 4
a) 1/ 13 b) -1/ 13 c) 2/ 5 d) 1/ 5 e) -1/ 5
A
c) 3
a) 2(n2 - 1) b) 2(n2 + 1) c) 2n2 - 1
senA+senC ctgA = senC+senA ctgC 2 3 calcula: J = senA - senC
45)
b) 2 e) 5
a) 1 d) 2/3
Si el área de un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) se expresa como a2tg A ; calcula: 2 L = 5tgA + cscC b) 3 e) 6
H
D
N
En un triángulo rectángulo la media aritmética de sus catetos es "n" veces su media geométrica. Determina la suma de las tangentes de los ángulos agudos del triángulo triángulo..
47) 43)
A
θ
a) 2/3 d) 5/6
β
α
α F
c) 3/5
5to de Secundaria
C
P
E
A
BH BP BQ Si en el gráfico: = = , 2 3 4 calcula: J = sec2β(cos2α + cos2θ)
a) 20 d) 23
b) 21 e) 24
D c) 22
Voluntad - Disciplina - Tenacidad
PAPIRO DE AHMES
17
I. E. P.
Trigonometría
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
R azones Trigonométricas Trigonométricas de Ángulos Agudos II Objetivos
4+2 2 1
Reconocer los triángulos rectángulos notables y calcular correctamente las razones trigonométricas de sus ángulos agudos. Reconocer las propiedades de las razones trigonom trigonométricas étricas de los ángulos agudos.
Triángulos Triángulos Rectángulos Notables Son aquellos triángulos rectángulos en los cuales, conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede precisar o aproximar la relación existente entre sus lados. Van Van a destacar los siguientes:
45°/2 2+1
10
1
37°/2 3 5
1
53°/2 2 5 2
82°
8°
1
7 45° 2
1
Según Theón, de Alejandría, entre los astrónomos griegos, es a Hiparco, especialmente, a quien puede considerarse como el verdadero creador de la Trigonometría, pues sobre los fundamentos debidos a éste, Ptolomeo publicó en el primer libro de su Almagesto, una tabla de valores de las razones trigonométricas, para ser usados en los cálculos astronómicos.
74°
25
45°
El padre de la Trigonometría
7
16°
1
24 60°
2
1
30° 3 53°
5
3
Hiparco
37° 4
18
Voluntad - Disciplina - Tenacidad Un eulerino... un triunfador
5to de Secundaria
I. E. P.
Trigonometría
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
Algunas Razones Ra zones Trigonométricas Trigonométricas
Por ejemplo:
(Completa)
sen40° = cos50° tg10° = ctg80 ° sec20° = csc70°
30°
60°
45°
37°
53°
16°
74°
8°
82°
sen3x = cos2x 3x + 2x = 90° 5x = 90° x = 18°
sen cos tg
tg4x=ctg(x+10°) 4x+x+10°= 90° 5x = 80° x = 16°
ctg sec csc
3) PROPIEDAD FUNDAMENTAL
Propiedades de las R.T.
Las razones trigonométricas de los ángulos agudos, dependen de la medida de los mismos y no de los lados del triángulo rectángulo en que se ubiquen:
1) R.T R.T.. RECÍPROCAS Para un mismo ángulo agudo “ θ”, se verifica que: senθ . cscθ = 1 Por ejemplo:
cosθ . secθ = 1
sen20 ° csc20° = 1 tg10° ctg10° = 1 cos4x sec20° = 1
tgθ . ctgθ = 1
E
F
B
4x = 20°
x = 5° A
θ
C
G
D
2) R.T. DE ÁNGULOS COMPLE COMPLEMENTARIOS MENTARIOS Notemos en el triángulo mostrado: C
θ b
a
α c
A Es decir:
senα = a/b cosα = c/b tgα = a/c ctgα = c/a secα = b/c cscα = b/a
senθ = c/b cosθ = a/b tgθ = c/a ctgθ = a/c secθ = b/a cscθ = b/c
BC senθ = AC
ADE :
ED senθ = AE
AFG :
FG senθ = AG
ED FG BC senθ = AC = AE = AG = ...
B senα = cosθ tgα = ctgθ secα = cscθ
ABC :
cumpliéndose: α + θ = 90°
Luego, podemos afirmar que: Si α + θ = 90°, se cumple:
senα = cosθ tgα = ctgθ secα = cscθ
Si: o
senα = cosθ tgα = ctgθ secα = cscθ
α+θ= 90°
α y θ: agudos
5to de Secundaria
Voluntad - Disciplina - Tenacidad
19
I. E. P.
Trigonometría
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
i) Trazamos BH AC ii) En AHB: BH = 6 y AH = 8 HC = 15 6 En BHC: tgθ = 15
Ejemplo 1: Siendo cosθ = sen 30°; donde “θ” es agudo, calcular
θ θ A
Sabiendo que sen4x csc(x+42°)=1, calcula:
( 12 2(
Del dato: cosθ =
C=
1 4
cosθ =
tg(4x+4°) cos(3x - 5°)
5
D
4
B
Resolución: A partir del gráfico:
Resolución:
luego:
θ/2 4
θ/2
θ
Del dato: 15 Luego:
1
C=
∴ C=
C = tg(x + 5 º)tg(4x + 10º)tg2x
10
θ 23
C
Resolución:
37°
8
B
θ 23
20
A
5
D
4
15
ii)
ABC :
tgθ =
m ...(1) 9
ABC :
tgθ =
4 ...(2) m
4 m = m 9
en(1): tgθ = m = 6 9 9
De la condición: sen5x = cosx 5x + x = 90º 6x = 90º x = 15º
C = tg20 º ctg20º tg30º C
1 C = tg30º
∴ C=
3/3
Voluntad - Disciplina - Tenacidad Un eulerino... un triunfador
B
i) Sea BC = m
luego en la expresión: C = tg20º tg70º tg30º
6 H
θ
∴ tgθ = 2/3
Resolución:
37°
m
igualando:
Sabiendo que sen5x = cosx, calcula:
Del gráfico, calcula “tg θ”. B
10
5 3 4
Ejemplo 4:
Ejemplo 2:
θ
tg(4x+4°) cos(3x - 5°)
tg60° 3 C = cos37° = 4 5
∴ C=3
En el gráfico:
C sen4x csc(x + 42°) = 1 4x = x + 42° 3x = 42° x = 14°
C = tgθ tg θ 2 C = 15 . 15 = 15 1 5 5
A
C
Ejemplo 3:
Resolución:
A
Calcula “tg θ ” a partir del gráfico mostrado.
2 ∴ tgθ = 5
2
C = tgθ tg θ 2
Ejemplo 5:
5to de Secundaria
m2 = 36 m =6
I. E. P.
Trigonometría
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
6) Del gráfico gráfico,, calcula tg φ.
Nivel I
calcula: C = tg6x sec(4x + 5 °)
B
1) Calcula:
b) 1 e) 12
a) 3 d) 6/2
5
2sen30° + sec245° C= tg230° a) 3 d) 9
9) Siendo sen3x csc(x + 20°)= 1,
A
C
6 a) 1 d) 3/2
2) Calcula:
10) Siendo tg4x ctg(x + 48°) = 1,
b) 2 e) 2/3
calcula: C = cscx + ctgx
c) 1/2
a) 1 d) 7
sec37° + tg37° sec16° + tg16°
C=
c) 6
φ
37°
c) 6
b) 3/2 e) 6/3
b) 3 e) 9
c) 5
7) Del gráfico, calcul calculaa “tgβ” si a) 1 d) 1/2
b) 2 e) 3/2
c) 3
AD = 3DC.
C
a) 2 d) 1/3
1 ctg53° 3
b) 1 e) 2/3
c) 1/2
A
B
a) 3/2 d) 3/5
B
a) 2/3 d) 4
a) 1/2 d) 3/2
β
2
a)
θ
5to de Secundaria
c) 2
13) Si sen5x = cos4x, determina:
C
3 3
d) 3 4
b) 1/4 e) 3/4
c) 1/8
C
A
b) 1/3 e) 1/6
b) 3/2 e) 4/3
C = sen3x cos6x
B
a) 1/2 d) 1/5
(3tg10° - ctg80°)ctg10° C = (5cos40° - 2sen50°)sec40°
c) 3/4
D
5
c) 6
12) Calcula:
8) Si el triángulo ABC es equilátero, calcula “tgβ” si BD = 4DC.
5) Del gráfico, calcula: tg θ.
A
b) 3/3 e) 3/6
d) 18/17 e) 3
45°
b) 4 e) 8
30°
que: tgα=(sec37°-tg37°)Sen245° calcula: 1 C = 9sen2α + cos2α 2 a) 1 b) 2 c) 16/17
a) 2 d) 3
β
4) Si “α” es un ángulo agudo, tal
C = (sen20° + 3cos70°)sec70°
D
3) Siendo sen θ = 2tg16°; “θ” es agudo, calcula: C = tgθ cosθ =
11) Calcula:
b)
3 6
c) 2 3 3
e) 3 3 4
c) 1/4
Voluntad - Disciplina - Tenacidad
14) Si tg2x = ctg(3x - 10°),
calcula: C = sen3x sen(2x + 5°) a) 3/4 d) 6/2
b) 3/2 e) 6/4
c) 6/6
21
I. E. P.
Trigonometría
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
15) De acuerdo al gráfico, calcula “tgα”.
20) Si φ es un ángulo agudo, tal que: sec260° - tg245° tgφ= - ctg230° sen37° calcula: π π J = sec2(φtg )+ tg2(φtg tg π ) 6 3 4
B
α A 4 H
9
a) 4/9 d) 3/2
b) 9/4 e) 1/3
C
a) 7 d) 10
c) 2/3
b) 8 e) 11
24) De acuerdo a lo indicado indicado en el gráfico,, calcula tg α. gráfico B
C
α
F
37°
M N
c) 9
E
A a) 0,15 d) 0,85
21) De acuerdo al gráfico, gráfico, calcula tg θ.
D b) 0,35 e) 0,95
c) 0,65
C
25) Sabiendo que:
Nivel II 4
16) Señala el valor de: C=
(sen30°+3tg37°)(sec260°-tg45°) sen60° tg30° a) 2 d) 8
b) 4 e) 10
c) 6
A
a) 3 d) 6
120° B
θ 3 a) 0,2 3 d) 0,5 3
2sen(2x+10°) tg40° ctg40°=1, calcula: C = tg26x + sec2(4x + 5°)
b) 0,3 3 e) 0,6 3
c) 0,4 3
22) De acuerdo al gráfico, gráfico, calcula tg α.
sen50° sec40° 3tg10° tg80° + 2ctg20° ctg70°
calcula: C = tgθ tg
2
L = (sec 45° + 3 tg60°) (csc37° + ctg37°) cos60° a) 5 d) 7
b) 3 e) 7,5
agudo, calcula: C = tgθ ctg a) 4 d) 9
a) 2 d) 5
A
127° B 10 a) 7/9 b) 9/8 d) 16/9 e) 4/9
C c) 8/9
2 mostrado en el gráfico, gráfico, 23) Según lo mostrado calcula: tgβ. B
19) Siendo: cos θ = cos6 π y θ es agudo, calcula: C = tgθ tg θ 2 a) 7 d) 10
22
b) 8 e) 11
b) 3 e) 6
4
C
b) 11 e) 14
c) 12
28) Si sen(4x - 10°) csc(x + 20°)=1 tg4x = ctg2y, donde “x” e “y” toman sus menores valores positivos, calcula:
37°
C = sec2(2y - x ) + tg26x 2
M β
c) 9
c) 4
que: 3cosα-1= tg1° tg tg22° tg tg33° ...tg89°, 2 calcula: C = 4tg α + 5csc2α a) 10 d) 13
θ c) 7
2
27) Siendo α un ángulo agudo, tal
3
b) 5 e) 10
θ
α
c) 3,5
18) Siendo cos θ = tg 4 30 ° y θ es
c) 5
26) Sabiendo que: cosθ =
17) Determina el valor valor de:
b) 4 e) 7
A a) 3/17 b) 12/37 c) 12/41
E
D d) 13/41 e) 14/39
Voluntad - Disciplina - Tenacidad Un eulerino... un triunfador
a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
5to de Secundaria
c) 5
I. E. P.
Trigonometría
29) Sabiendo que: π
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
36) En el cubo mostrado, mostrado, calcula: C = senθ tgθ
33) Del gráfico, calcula: tg θ. C
π
sen( 4 tgx) = cos( ctgx) 4
B’
señala el valor de: C = tg5x + ctg5x a) 2 d) 25
B
b) 4 e) 56
C
c) 33
A
30) En un triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hipotenu hipotenusa sa y la mediana relativa a uno de los catetos se cortan perpendi cularmente.. Calcula la tangente cularmente tangente del menor ángulo agudo del triángulo.
θ
θ
45° N
M
a) 2/7 d) 3/11
B
b) 3/7 e) 4/11
b) 2/2 e) 2/6
A
c) 2/11
senθ senα
34) Del gráfico gráfico,, calcula: J = a) 2 d) 2/4
C’
c) 2/3
si el triángulo ABC es regular.
D’
D
a) 2 3 d) 3/2
b) 3 e) 4/ 3
c) 2/ 3
37) Si ABCD es un cuadrado, calcula: C = 13tgθ + 3ctgθ B
F
C
G
θ
B
Nivel III
θ N
31) Del gráfico, calcula sen θ.
α
B
θ
37°
D
A a) 0,24 d) 0,36
A 1 M
b) 0,12 e) 0,96
C
1 5
a) 0,07 d) 0,36
37° C
b) 0,14 e) 0,35
c) 0,21
A
D
a) 16 d) 12
b) 24 e) 3 6
c) 32
38) Si el triángulo ABC es equilátero, equilátero,
c) 0,48
determina: senθ - senα C=
35) Del gráfico gráfico,, calcula tg θ. 32) Del gráfico gráfico,, calcula tg θ.
3 senθ
B
T C O
M α 37°
N
θ
37° M
A a) 3 d) 10/3
b) 5 e) 13/3
5to de Secundaria
A
37°
B c) 7
a) 1/3 d) 1/8
B
C b) 1/4 e) 1/16
θ
45°
c) 1/6
Voluntad - Disciplina - Tenacidad
A 1 a) 3 tg 1 b) 5 tg 1 tg c) 3
D θ
C
π 12
π
12 5π
1 5π d) 5 tg 12 1 tg π e) 6 12
12
23
I. E. P.
Trigonometría
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
39) Calcula tgθ del gráfico.
47) Siendo:
42) Calcula tgφ del gráfico:
C
C
D
θ
A
a) 3/11 d) 9/13
M
A
B b) 6/13 e) 9/11
c) 6/11
a) 1 d) 2,5
B
C
E
b) 1,5 e) 3
M
C
b) 1/2 e) 4/5
44) Calcula:
a) 720 d) 810
41) Del gráfico, calcula ctg θ.
45) Calcula: C
b) 710 e) 410
c) 820
30° 2
A
a) 3 + 1 3+1 b) 2 3 + 3 c) 3
24
B 3+ 3 d) 2 3+ 3 e) 4
c) 9
49) Del gráfico, gráfico, calcula: tg π π 3 si S = sec6 4 tgθ AB=AD
89
60°
k=1 89
2
k=1
a) 1 d) 4
b) 2 e) 1/4
θ
A
D 2
b) 8 e) 16
B
∑cos k °
2 2
θ
a) 2 d) 12
∑sen2k °
J=
B
O
c) 2/3
C=1se 1sen1° n1° sec89° se c89°+ + 2sen2° sec88° +3sen3° sec87° + ...40 términos
d) 77/85 e) 37/56
θ 37°
B
O a) 1/3 d) 3/4
a) 11/17 b) 17/55 c) 77/86
C
D
θ
θ
D
d) mn = 2 e) m + n = 2
gráfico, calcula: 48) Del gráfico, E = 25tg2θ + 24tgθ A
F
A
a) m = n b) m + n = 1 c) mn = 1
c) 2
A H
37°
7 3secβ + 4cscα
B
43) Del gráfico gráfico,, calcula tg θ. 40) Si ABCD es un cuadrado, calcula senθ.
n=
donde α + β = 90º se cumple:
45°
37°
2senα + cosβ 3
N
φ
D
8º
m=
c) 1/2
46) Si tgx tgy = 1, donde x e y son
a) 7 d) 11
b) 6 e) 13
c) 2 2
gráfico, calcula: 50) Del gráfico, S = 9tgα - tgβ
agudos, calcula:
C M
C = ctg x+y ctg x+y ctg x+y 3 2 4 a) 6 + 2 b) 6 + 3 c) 3 + 2
C
D
d) 6 - 2 e) 6 - 3
Voluntad - Disciplina - Tenacidad Un eulerino... un triunfador
- α
O
7 ° 3
α
β
a) -1/3 d) 7/3
b) 1/3 e) 0
5to de Secundaria
c) -7/3
I. E. P.
Trigonometría
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
Repaso 3) Calcula: C =
Nivel I 1) De acuerdo al gráfico gráfico,, señala lo correcto.
a) 6 d) 16
b) 12 e) 20
c) 14 a) 2 d) 6
3
β
a) 1 d) 4
a) α - β = 90° d) α + β =180° b) α + β = 90° e) α - β =270° c) α - β = 180°
b) 2 e) 5
c) 3
5) Si π rad = (7x+4)°; expresa xg
b) c)
π 10
π 20
π
50
π
rad
d) 100 rad
rad
e) 200 rad
π
θ - α = 90° θ - 2α = 90° θ - α = 180° θ - 2α = 180° θ + 2α = 180°
5to de Secundaria
b) 5/7 e) 3/7
c) 6/7
lados menores miden 2 y 3 cm. Si el menor de los ángulos agudos mide “θ”, calcula: cos2θ - sen2θ C = senθ cosθ a) 5/12 d) 7/6
b) 5/6 e) 7/24
c) 7/12
6) Si 3π rad = (7x + 2)g; expresa 20
x°(5x)’ en radianes. B
a) 5/6 d) 1/7
rad
C
O
8) Si φ es un ángulo agudo, tal que tgφ = 6 ; calcula: L = sen2φ - cos2φ
9) En un triángulo rectángulo los
correcto si OE es bisectriz del COD.
α θ
c) 5
en radianes.
2) De acuerdo al gráfico, señala lo
E
b) 3 e) 7
10
a)
a) b) c) d) e)
7) Si θ es un ángulo agudo, tal que senθ = 0,75; calcula: C = 7 ctgθ + 2cscθ
4) Calcula: L = 140g - 6° π rad
α
A
80g + 8° π rad 36
11π rad 180 b) 11π rad 540 13 c) π rad 90 a)
13π rad 180 e) 13π rad 540 d)
Voluntad - Disciplina - Tenacidad
10) En un triángulo rectángulo los lados menores miden 3 y 7 cm. Si el mayor de los ángulos agudos mide “α”, calcula: C = 2sen2α + cos2α a) 1,3125 b) 2,1225 c) 1,5625
d) 2,3125 e) 3,1275
25
I. E. P.
Trigonometría
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
15) De acuerdo al gráfico, gráfico, determina
11) Del gráfico, calcula: tg θ. C
37°
M
A
θ
"x" en función de los datos indicados. D x B
45°
D
B L
a) 6/7 d) 5/7
b) 3/4 e) 7/8
c) 5/6
ABCD es un cuadrado. B
E
C
α
37°
a) b) c) d) e)
O
A
Ltgθ(secθ - 1) Lsenθ (secθ - 1) L(tgθ secθ - 1) L(tgθ - 1) Lctgθ(cscθ - 1)
M D b) 7/19 e) 10/19
c) 8/19
Nivel II
b) 2 e) 2/3
c) 3
17) Si 2π rad = 7
5a° 2b’ 4c’’,
c) 1/2 a) 7 d) 15
14) Sabiendo que tg4x = ctgy y senx csc2y = 1, calcula:
b) 8 e) 16
c) 13
5y g
c) 3
3x° a) b) c) d) e)
26
a) 1 d) 4
b) 2 e) 6
c) 3
los ángulos congruentes miden θ cada uno; se cumple que su perímetro es igual al cuádruple del lado lado desigual. desigual. Calcula: C = senθtgθ a) 8/9 d) 3/8
b) 8/3 e) 9/8
c) 2/3
23) En un triángulo isósceles se sabe
C = sen(x + y) + 2sen 3x b) 2 e) 1/2
(B = 90°); se sabe que: atgA = 2c Calcula: Q = 5sen2A - sen2C
18) Del gráfico, se cumple:
2
a) 1 d) 3/2
c) 9
22) En un triángulo isósceles, donde donde
calcula bc + a. b) 2 e) 3/2
b) 6 e) 2 3
21) En un triángulo rectángulo ABC
3π rad = 4a° 3b’ 1c’’, 13 calcula: c . ab
C = sen2(y - 10°)+sen4(2x+5°) a) 1 d) 2/3
3y - 10x = 15 3y - 10x = 150 3y - 10x = 300 3y - 10x = 50 3y - 5x = 15
(B = 90°); se sabe que: 3c senA = b Calcula: Q = tgA + tgC
13) Siendo: tg3x ctg(y - 10°) = 1 y seny = cosx, calcula:
a) b) c) d) e)
a) 3 d) 6
a) 1 d) 1/2
2y g
6x°
20) En un triángulo rectángulo ABC
16) Sabiendo que:
A a) 6/19 d) 9/19
θ C
12) Del gráfico, calcula “tg α ” si
19) Del gráfico, gráfico, lo correcto correcto es:
3x - 2y = 90° 2x - 3y = 90° 2x - 3y = 60° 3x - 2y = 60° 2x - 3y = 30°
Voluntad - Disciplina - Tenacidad Un eulerino... un triunfador
que su área es igual a los 3/2 del cuadrado de su lado desigual. Calcula el seno de uno de sus ángulos congruentes. a) 0,1 10 b) 0,2 10 c) 0,3 10
d) 0,1 5 e) 0,2 5
5to de Secundaria
I. E. P.
Trigonometría
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
24) En un triángulo isósceles, el coseno de uno de los ángulos congruentes congruen tes es igual a 0,2. Si el perímetro del triángulo es igual a 36 cm, ¿cuál es su área? a) 9 6 cm2 b) 12 6 cm2 c) 18 6 cm2
27) Siendo “α” un ángulo agudo, tal
Nivel III
que: 1 1 1 1 1 tgα= + + + + ... n sumandos 3 6 12 20 30 2
gráfico OD y OE trisecan 31) Si en el gráfico el BOC; señala el valor de: J=
2
halla: C=n csc α - 2(n+1)tgα
d) 24 6 cm2 e) 36 6 cm2
a) n2 + 1 d) 2n2 - 1
θ α + 200 D
b) 2n2+1 c) n2 -1 e) 3n2 + 1
E
B
θ
αg 28) En un triángulo rectángulo rectángulo ABC ABC (B=90º) se ubican “D” y “E” sobre AC, tal que: 5AD = 2DE = 10 EC Si ABD = α y EBC = β, calcula: Q = ctgα ctgβ. a) 9 d) 21
25) Si tgα = 0,5 y tg θ = 0,2; además
(AB = BC), B C), el ángulo formando por la altura BH y la mediana AH es θ (tg θ = 5). Calcula la tangente de uno de los ángulos congruentes de dicho triángulo.
B
a) 0,2 d) 0,6
θ
A
c) 12
29) En un triángulo isósceles ABC
AC = 14 cm, ¿cuál es el área del triángulo?
α
b) 8 e) 32
b) 0,4 e) 0,8
c) 0,5
C a) 14 cm2 b) 28 cm2 c) 49 cm2
d) 56 cm2 e) 35 cm2
30) Si tg3x ctg(x + 40º) = 1 y
26) Si “θ” es un ángulo agudo, tal que: 1 1 1 senθ= (1 - 2 ) (1 - 3 ) (1- 4 )... n factores reduce: C = a) n d) n - 2
sen(2x + 12º) = cos2y, calcula: P = 4tg(x + y - 2º)+ 2sen23x+ 3tg(3y - 4º) a) 7,5 d) 10,5
b) 8,5 e) 12,5
c) 9,5
n+2 ctgθ cscθ - 1 b) n+2 e) n + 1
5to de Secundaria
c) n
Voluntad - Disciplina - Tenacidad
A a) 2 d) 2,6
O b) 1,6 e) 2,8
C c) 1,8
32) Señala el valor mínimo mínimo de: 6ag bº K = b’ + 10am ; a, b ∈ R + a) 10 d) 40
b) 20 e) 60
c) 30
33) Sabiendo que un ángulo “α” se expresa como x ºy’ y también como zg; x, y, z ∈ Z+, calcula el menor valor de “ α” en radianes, de modo que x, y, z sean números de 2 cifras. a) 2π rad 25 4π b) rad 25 c) 3π rad 25
d) 3π rad 50 7π rad e) 25
34) En un triángulo, dos de sus ángulos se expresan como (5x 2 + 8x + 5) º y 20xg. Si la relación entre ellos es mínima (1. º a 2.º ángulo), ¿cuál es la medida del tercer ángulo? a) 2π rad d) 3π rad 5 4 3 2 π rad b) e) π rad 5 3 c) 4π rad 5
27
I. E. P.
Trigonometría
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
35) Se tienen tres ángulos cuya suma de medidas es 90º. Si uno de ellos mide (x2 + 6x + 19) º y es mínimo; mientras que otro mide (x2-4x- 1)g, ¿cuál es la medida circular del tercer ángulo? a) 17π rad 90 31π rad b) 90 c) 7π rad 30
H=
J=
C
B
Q θ
α
θ
c) 1/4
b) 2 e) 1/3
A = 2cosθ - senθ c) 1
c) 1/2
b) 1/5 e) 5/2
θ E 45º D
A
41) Si ABCD es un cuadrado, calcular: J =13tgβ - 16tgα E
α
C
β F
b) 2 e) 5
D
b) 2,5 e) 4
b) 6 e) 6,5
c) 3
que tgx + tgy = ctgx + ctgy, calcula: x+y ) sen( x+y ) sec( x+y ) C = sec( 2 3 6 a) 3 d) 6 - 1
b) 3 + 1 c) 3-1 e) 6 + 1
c) 3
46) Si en el gráfico AB = BC y MNPQ es un cuadrado, calcula “tg φ”.
diagonal forma con las aristas que concurren en uno de sus extremos, ángulos agudos que miden 60º, 53º y θ; calcula el valor de: 1 C= 71 senθ - sen30º 5 a) 5 d) 3,5
B
45) Siendo x e y ángulos agudos, tales
37º
A a) 1 d) 4
a) 2 d) 3,5
42) Si en un paralelepípedo, su
28
C
M
AC = 345cm, ¿cuál es su área? a) 52 720 cm d) 34 250 cm b) 43 470 cm2 e) 28 235 cm2 c) 16 540 cm2
c) 4
(AD = 2DB)
c) 5
G
2
b) 3 e) 6
θ θ C = ctg 2 + ctg(45º - 2 )
38) Si en un triángulo triángulo ABC
2
a) 2 d) 5
N β B
O
hipotenusa es igual al quíntuple del inradio. Si el menor ángulo agudo mide “θ”, calcula:
B
tgA = 1,05 y tgC = 2,4; además
M
44) Del gráfico, calcula “tgθ”.
40) En un triángulo rectángulo, la
a) 1 d) 2/5
37) Si θ es un ángulo agudo, tal que 1 θ tgθ . tg = ; calcula: 2 4
A
θ C
a) 1 d) 3
b) 1/3 e) 2/3
α
30º
A
b) 1/3 e) 1/6
7tgα + 13tgβ ctgθ+ ctgφ
P φ
ABC (B = 90º), se sabe que su perímetro es igual a 4a. Calcula tg A . 2
a) 1/2 d) 2
ctgα + ctgθ cscα
d) π rad 5 π rad e) 3
36) En un triángulo rectángulo
a) 1/2 d) 1/5
43) Del gráfico, gráfico, calcula:
gráfico, calcula: 39) Del gráfico,
c) 7
Voluntad - Disciplina - Tenacidad Un eulerino... un triunfador
32º
N
S
P
φ A
M
a) 0,29 d) 0,58
Q b) 0,38 e) 0,76
5to de Secundaria
C c) 0,19
I. E. P.
Trigonometría
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
47) Un árbol es cortado a “h”m “h”m del
gráfico, halla: 50) Del gráfico,
suelo y al caer, forma con el suelo un ángulo agudo “ β”; pero si se cortase 1m más abajo, formaría un ángulo agudo “ θ” con el suelo. Halla “h”.
B
a) cscθ + 1 d) cscβ + 1 cscθ + cscβ cscθ - cscβ cscβ + 1 b) cscθ - cscβ e) cscθ+ cscβ cscθ - 1 c)
cscθ + 1 cscθ + cscβ
48) En el cuadrado ABCD, calcula: J = senα senβ B
C
α
β E
A
F
D
2 a) 5 1,3
2 d) 5 2,6
4 1,3 b) 5
4 2,6 e) 5
3 c) 5 1,3
49) Si en el gráfico PQ // AC, halla: senx J = seny ; (AB=AE y CB = CD)
S1 + S3 + S5
J=
S1 A
S2
S2 + S4 + S6 P
R
T S4 S S3 S 6 5 H Q S
a) sen2θ b) sen4θ c) sec4θ
El teodolito θ C
d) csc4θ e) sec2θ
El origen del seno Los intelectuales latinos del siglo XII devoraron la trigonometría árabe tal como aparecía en las obras astronómicas. Precisamente fue de la traducción de Roberto de Chester, del árabe, de donde salió nuestra palabra seno; los hindúes habían utilizado el nombre jiva para designar la semi cuerda que aparece en trigonometría, y los árabes habían adoptado este nombre bajo la forma jiba. Ahora bien, en árabe árabe existe también la palabra jaib que significa bahía o ensenada, y cuando Roberto de Chester se encontró con el término técnico jiba, al hacer su traducción debio confundirlo, al parecer, con la palabra usual jaib (quizá debido a la omisión de las vocales en árabe), y lo tradujo por la palabra sinus, que es el nombre latino para bahía o ensenada.
El teodolito es un instrumento para medir ángulos. En este aparato se combinan una brújula, un telescopio central, un circulo graduado en posición horizontal y vertical. Con estos elementos y su estructura mecánica se pueden obtener rumbos, ángulos horizontales y vertical vert icales. es. Asimi Asimismo smo medi mediante ante cálculos y el apoyo de elementos auxiliares pueden determinarse distancias horizontales, verticales e inclinadas. El teodolito tiene tres movimientos independientes, dotados cada uno de ellos con su correspondiente tornillo de maniobra, dos alrededor de ejes verticales que son el movimient movimientoo general y el particular de la alidada acimutal, y uno al rededor del eje horizontal o movimiento del eclímetro.
B P
y x
Q
θ A
D a) tgθ b) ctgθ c) tg2θ
E
C
d) ctg2θ e) secθcscθ
5to de Secundaria
Voluntad - Disciplina - Tenacidad
29
I. E. P.
Trigonometría
MARISCAL CÁCERES SCHOOL
R azones Trigonométricas Trigonométricas de Ángulos Agudos III Objetivos
2)
Determinar los lados desconocidos de un triángulo rectángulo en función de un lado y ángulo agudo conocido.
x x = ctgα L x= Lctgα y = cscα L y= Lcscα
Cálculo de Lados
lado desconocido = R.T. ( conocido) lado conocido
CASOS: 1)
L
α
Determinar el área de un triángulo cualquiera.
Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados desconocidos de un triángulo rectángulo, en función de un lado y de un ángulo agudo conocidos. Para dicho fin, usaremos el siguiente criterio:
y
3)
L
Viéte Francois 1540 -1603
y
α x x = cosα L x= Lcosα
x45 - 45x43 + 945x41 - ... - 3795x3+ 45x =k
y = senα L y= Lsenα
x
y
α L
RESUMIENDO:
y = tgα L x = secα L x= Lsecα
30
Lsecα
Viéte encontró en 1593 una oportunidad inesperada de aplicar sus fórmulas de los ángulos múltiples. Un matemático belga, Adriaen Van Roomen o Romanus (1561- 1615), había lanzado un desafío público a cualquiera que se sintiera con fuerzas para resolver la ecuación de grado 45:
Ltgα
α L
Voluntad - Disciplina - Tenacidad Un eulerino... un triunfador
El embajador de los Países Bajos en la corte de Enrique IV se jactaba de que no había en Francia ningún matemático capaz de resolver el problema propuesto por su compatriota. Viéte, llamado en esta ocasión a defender el honor de sus paisanos, observó que la ecuación propuesta era exactamente la que resulta al expresar k=sen45q en términos de x=2senq, y así pudo calcular rápidamente las raíces positivas. El éxito de Viéte impresionó tanto a Van Roomen que le hizo una visita especial con esta ocasión.
5to de Secundaria