4.Oscilatii intretinute. Rezonanta

Oscilatii intretinute.Rezonanta Oscilatiile intretinute apar sub actiunea a 3 forte: -forta elastica: Fe=-kx; -forta de rezistenta Fr=-rẋ -forta periodica exterioara F=F0cosωt care intretine oscilatiile Ecuatia de miscare mẍ=-kx-rẋ+ F0cosωt |:m ௥

௞

ி଴

ẍ+ ẋ+ x= ௠

௠

௥

௠

cosωt

Notam =2 δ, ௞

௡

δ=coeficient de amortizare

=ω02, pulsatia proprie- pulsatia pe care ar avea-o daca ar fi numai ௡ forta elastica F0/m- forta maxima pe unitatea de masa=f(N/Kg) ẍ+2 δẋ+ ω02x=f cosωt (1) In primele moment corpul nu poseda o amplitudine si o faza bine determinate. Acest regim tranzistoriu dureaza insa foarte putin si apoi miscarea se stabilizeaza. Se constata ca in regim stationar corpul executa oscilatii armonice avand pulsatia egala cu pulsatia fortei exterioare.Legea de oscilatie este: x= Acos(ωt+ φ) (2) Se pune problema de a determina amplitudinea miscarii si faza initiala in functie de caracteristicile miscarii δ, ω0, ω,f. Pentru aceasta se va inlocui relatia (2) in ecuatia (1). ẋ= - ω Asin(ωt+φ) ẍ= - ω2 Acos(ωt+ φ) - ω2 Acos(ωt+ φ) - 2 δ ω Asin(ωt+φ)+ ω02 Acos(ωt+ φ=f cosωt

௙

(ω02 - ω2) cos(ωt+ φ)- 2 δ ω sin(ωt+φ)= cosωt 2

஺

2

௙

Pentru t=0 => (ω0 - ω ) cos φ- 2 δ ω sinφ= (alfa1) ஺ t=T/4 => ωt= ωT/4 =2π/T * T/4=π/2 ௙ => (ω02 - ω2) cos(π/2+ φ)- 2δω sin(π/2+φ)= cosπ/2 ஺ 2 2 (ω0 - ω ) sin φ - 2 δ ω cos φ =0 (alfa2) tg φ=

ଶஔன

னమ ାன଴మ

(alfa1)2+(alfa2)2 => (ω02 - ω2)2+4 δ2 ω2 = => A=

௙

௙మ

஺మ

ට(னమబ ିனమ )మ ାସஔమ னమ

Se observa ca amplitudinea oscilatiilor intretinute depinde de pulsatia fortei exterioare si de pulsatia proprie (ω, ω0) ω0=ct => A=A(ω) Pt ω=0 => A0=f/ ω02 Cand ω-> infinit Ainfinit=0 => Exista o pulsatie pentru care A devine maxima. Aceasca pulsatie se numeste pulsatie de rezonanta si valoarea ei se obtine din conditia de maxim. ௗ஺ ௗ =0 -> [(ω02 - ω2)2+4 δ2 ω2]=0 ௗன

ௗன

(ω02 - ω2)(-2 ω)+ 8 δ2 ω=0 => ωrez=ඥω଴ ଶ − δଶ Amplitudinea de rezonanta: Arez=

௙

ଶஔඥனబ మ ିஔమ

Reprezentarea grafica a amplitudinii in raport cu ω are forma:

Pentru diferit valori ale coeficientului de amortizare δ se obtin diferite reprezentari grafice numite si curbe de rezonanta Pe masura ce frecarea creste, Arez are valori din ce in ce mai mici. Daca δ ≈ 0 , Arez ->infinit iar ωrez ≈ω0 In general de numeste rezonanta fenomenul de crestere a amplitudinii unei oscilatii intretinute sub actiunea altei forte periodice exterioare avand pulsatia apropiata de pulsatia proprie a sistemului. Fenomenul apare des in natura si explica dispersia undelor electromagnetice.