ANALISIS ANALISIS PENYEBARAN P ENYEBARAN PENYAKIT DIARE SEBAGAI SALAH SALA H SATU PENYEBAB KEMATIAN BALITA MENGGUNAKAN MODEL MATEMATIKA
SI S Jurnal
Diajukan kepada Fakultas Matematika Matemat ika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Oleh Sri Rejeki Retno Yuliani 12305144014
PROGRAM STUDI MATEMATIKA MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA AGUSTUS 2016
ANALISIS PENYEBARAN PENYAKIT DIARE SEBAGAI SALAH SATU PENYEBAB KEMATIAN BALITA MENGGUNAKAN MODEL MATEMATIKA
SI S ANA LYZE THE SPRE AD OF TH E DI ARRHE A DI SE ASE AS ONE OF TH E CAUSE OF D E ATH AMONG CHI LDRE N UND E R F I VE Y E ARS OLD USI NG MA TH E MATI CA L MODE L SI S Oleh: Sri Rejeki Retno Yuliani, Nikenasih Binatari, FMIPA UNY,
[email protected]
Abstrak Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis penyebaran penyakit diare menggunakan model matematika SIS (Susceptible-Infected-Susceptible) dan menganalisis karakteristik penyebaran penyakit diare. Pada penelitian ini diasumsikan penyebaran penyakit diare hanya melalui kontak langsung dengan feces penderita diare, selain itu karena kematian individu dewasa akibat penyakit diare sangat kecil maka laju kematian bagi individu dewasa tidak diperhatikan. Berdasarkan titik kesetimbangan bebas penyakit yang diperoleh, selanjutnya dapat dianalisis kriteria kestabilan disekitar titik kesetimbangan bebas penyakit yang dilihat dari bilangan reproduksi dasarnya. Titik kesetimbangan bebas penyakit stabil asimtotik jika bilangan reproduksi dasarnya kurang dari satu dan tidak stabil jika bilangan reproduksi dasarnya lebih dari satu. Kata kunci: model SIS, titik kesetimbangan bebas penyakit, kestabilan.
Abstract The purpose of this paper is to analyze the spread of the diarrhea by establishing a mathematical model SIS (susceptible-Infected-susceptible) and analyze the characteristics of the spread of diarrheal diseases. The SIS model assumes transmission of diarrhea is caused only because of their direct contact with the feces of patients, also the mortality rate for adults are not considered due to the death rate cause by the diarrhea are very small. Based on the disease-free equilibrium point, the next can analyzed stability criteria of the disease-free equilibrium pointwhich can be seen from the basic reproduction number. Disease-free equilibrium point was stable asymptotical local if the basic reproduction number is less than one and the disease-free equilibrium point was unstable when the reproduction number was essentially more than one.
K eywords: SI S Model, Disease-free equilibri um point, Stable PENDAHULUAN
Diare adalah penyakit endemis yang terjadi
diare merupakan penyebab kematian nomor satu
sepanjang tahun dan puncak tertinggi pada
pada bayi dan balita (Profil Kesehatan Indonesia,
peralihan musim penghujan dan kemarau. Diare
2013:103).
menyerang semua kelompok umur terutama anak
Oleh karena itu, perlu adanya suatu
yang berusia dibawah lima tahun. Diare hingga
tindakan untuk menurunkan laju penyebaran
kini
penyakit
penyakit diare, salah satunya adalah dengan
penyumbang kematian tertinggi di negara miskin
mengetahui pola penyebaran penyakit diare.
dan berkembang. Menurut WHO penyakit diare
Ilmu matematika dapat dimanfaatkan untuk
menjadi penyebab kematian kedua pada anak di
mengetahui pola penyebarab penyakit diare yaitu
bawah lima tahun yang menyebabkan 760.000
dengan memanfaatkan model matematika SIS .
anak di bawah lima tahun di dunia meninggal
Penelitian mengenai model penyebaran penyakit
setiap tahunnya. Hasil Riset Kesehatan Dasar
menular telah banyak dilakukan. Salah satunya
(Riskesdas,
pemodelan penyebaran penyakit diare hasil
masih
Republik
menjadi
2007). Indonesia
salah
satu
Kementrian
Kesehatan
mengungkapkan
bahwa
penelitian Ojaswita Chaturvedi dan kawan-
kawan (2014). Penelitian tersebut membentuk
Padahal menurut data yang ada penyakit
model matematika SIR dengan studi kasus
diare merupakan salah satu penyebab kematian
penyebaran penyakit diare dengan satu populasi,
pada balita. Oleh karena itu, penelitian ini
karena hanya meneliti satu popuasi saja maka
membahas mengenai penyebaran penyakit diare
dalam model ini laju kematian penyakit diare
dengan dua populasi dan memperhatikan laju
tidak diperhatikan.
kematian akibat penyakit diare untuk populasi balita
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
A. Konstruksi Model Model
populasi
matematika
untuk
7. SIS
adalah
model
mendiskripsikan
suatu
Kemungkinan kematian akibat penyakit diare hanya terjadi pada balita.
8.
Individu yang terinfeksi dapat sembuh dari
penyakit dimana penderita yang terinfeksi tidak
penyakit d iare. Individu yang sembuh dari
memiliki
kembali
penyakit
terjangkit penyakit tersebut. Kermack W.O dan
kembali.
kekebalan
imun
untuk
Mc Kendrick (Brauer, 2008: 24) menyatakan secara umum model epidemik
akan
menjadi
rentan
Penelitian ini menganalisis mengenai
dibagi
penyakit diare dengan dua populasi. Populasi
menjadi dua kelas yaitu susceptible dan infected .
pertama adalah populasi balita, dalam populasi
Dalam membentuk model penyebaran penyakit
ini banyaknya balita rentan disimbolkan dengan
diare diperlukan beberapa asumsi.
, sedangkan menyatakan banyaknya balita
1.
2.
SIS
diare
Asumsi-Asumsi yang digunakan dalam
terinfeksi penyakit diare. Populasi yang kedua
model penyebaran penyakit diare yaitu:
yaitu populasi dewasa, banyaknya individu
Terdapat dua populasi yaitu balita dan
dewasa yang rentan disimbolkan dengan dan
orang dewasa.
Laju
kelahiran
dan
kematian
alami
dianggap sama. 3.
4.
5.
Populasi
banyaknya
individu
dewasa yang terinfeksi penyakit diare. Total populasi dinyatakan dalam N yang merupakan
penduduk
bersifat
homogen,
jumlah dari kedua populasi. Dalam penelitian ini
artinya setiap individu mempunyai peluang
dibutuhkan
yang sama terserang penyakit diare.
mempermudah
Penularan penyakit diare hanya melalui
matematika. Parameter yang digunakan yaitu
kontak langsung dengan feces penderita.
yang
Hanya
kelahiran
terdapat
satu
penyakit
dalam
populasi. 6.
merepresentasikan
Individu
beberapa dalam
merepresentasikan manusia
parameter
guna
penyelesaian
model
laju
secara
kematian alamiah,
dan
merepresentasikan laju kematian karena penyakit kelas susceptible
diare untuk populasi balita, sedangkan dan
dewasa dan infected dewasa akan menjadi
masing-masing merepresentasikan laju kontak,
individu yang rentan terhadap penyakit
laju kesembuhan, dan laju pertumbuhan dengan
diare.
lahir
dari
nilai semua parameter lebih dari nol dan kurang
menyebabkan berkurangnya jumlah pada kelas
dari satu.
balita rentan.
Berdasarkan
penjelasan
yang
telah
Jumlah
individu
pada
kelas
balita
dipaparkan, dapat dibentuk diagram transfer
terinfeksi akan bertambah seiring banyaknya
penyebaran penyakit diare sebagai berikut
individu balita yang terifeksi penyakit diare karena kontak langsung dengan feces penderita
penyakit
dan
berkurang
disebabkan
banyaknya individu balita yang sembuh dari
diare
penyakit diare dan balita yang meninggal baik secara alami maupun karena penyakit diare. Berdasarkan penjelasan di atas dapat dibentuk model matematis pada populasi balita sebagai
berikut
dS b dt dI b
dt
Gambar 1 Diagram Transfer Pemodelan Penyakit Diare
Sd I d I b
Sb I b Sb I d N
Sb I b Sb I d N
Sb
I b
(1) (2)
Selain balita, orang dewasa juga rentan terinfeksi
penyakit
diare.
Jumlah
individu
dewasa rentan bertambah akibat banyaknya Berdasarkan asumsi dan parameter yang telah
dijelaskan
dapat
dibentuk
model
matematika penyebaran penyakit diare. Balita merupakan kelompok umur yang paling rentan terinfeksi penyakit diare, dalam populasi balita terdapat dua kelas yaitu kelas balita rentan dan balita terifeksi.
Pertambahan jumlah individu
pada kelas balita rentan disebabkan karena adanya individu yang lahir dari populasi dewasa yang kemudian menjadi balita rentan serta banyaknya balita terifeksi yang sembuh dari penyakit
diare.
Namun
berkurang
karena
banyaknya balita yang terinfeksi penyakit diare yang disebabkan karena adanya kontak langsung dengan feces penderita penyakit diare, serta banyaknya balita yang meninggal secara alami. Balita yang tumbuh menjadi dewasa juga
individu balita yang tumbuh menjadi individu dewasa serta karena banyaknya individu dewasa yang sembuh dari penyakit diare. Namun, akan berkurang karena banyaknya individu dewasa yang terinfeksi penyakit diare karena terjadi kontak langsung dengan feces penderita penyakit diare. Pengurangan juga terjadi karena adanya individu dewasa rentan yang meninggal secara alami. Individu pada kelas dewasa terinfeksi akan bertambah disebabkan karena banyaknya individu dewasa yang terinfeksi penyakit diare karena adanya kontak langsung dengan feces penderita penyakit diare, serta karena adanya kematian secara alami. Berdasarkan penjelasan di atas dapat dibentuk model matematis pada populasi dewasa sebagai berikut
dS d dt dI d dt
Sb Id S d
Sd Ib Sd Id N
Sd Ib Sd Id
B. Titik Kesetimbangan
(3)
N
Titik kesetimbangan adalah solusi konstan
I d
(4)
sebuah
sistem.
Titik
disebut
titik
Persamaan (1), (2), (3) da (4) akan diubah
kesetimbangan dari ̇ jika memenuhi
dalam bentuk proporsi antara jumlah individu
(Wiggins, 2003). Pada kasus ini
dalam subpopulasi dengan jumlah populasi total.
dibatasi
Transformasi ini dilakukan untuk memberi
penyakit yaitu titik kesetimbangan ketika ̂
kemudahan dalam menganalisis model yang
dan ̂ . Titik kesetimbangan bebas penyakit
akan digunakan.
pada model dipenuhi jika
Berdasarkan diketahui
model
bahwa
yang
populasi
untuk
titik
kesetimbangan
diperoleh
s d id sb ib sb id sb sb s 2 b 0
konstan.
sd sb sb s 2 b 0
tidak
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Kemudian akan dicari proporsi dari masingmasing
kelas
pada
populasi.
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
dan
Didefinisikan
sb id s d s d ib sd id 0 ˆ
ˆ
proporsi banyaknya individu dari masing-masing kelas yaitu: s b
bebas
ˆ
ˆ
sb s d sb s d 0 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
maka diperoleh
S b N
,
s d
S d N
,
ib
I b N
,
i d
I d N
sb ˆ
(2 ) 2 4 2
dan
sd ˆ
2 4 2
Proporsi balita rentan adalah rata-rata bayaknya individu balita yang rentan dalam populasi.
Jadi, titik kesetimbangan bebas penyakit ( s , i , s , i )
Proporsi balita rentan yaitu
(2 ) 2 4 2 4 , 0, ,0 2 2 adalah
dsb dt
ˆ
b
sd id ib sb ib sb id sb sb s2b ib sb ib sb
Proporsi balita terinfeksi merupakan rata-rata
dt
sbib sbid ib ib ib sb ib ib ib 2
ˆ
d
ˆ
d
reproduksi
dasar adalah
bilangan yang menyatakan banyaknya rata-rata
populasi. Proporsi balita terinfeksi yaitu yaitu dib
b
C. Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan
banyaknya individu balita yang terinfeksi dalam
ˆ
individu 2
infektif
sekunder
akibat
tertular
individu infektif primer yang berlangsung di
Proporsi dewasa rentan merupakan rata-rata
dalam populasi susceptible. Jika , maka
banyaknya individu dewasa yang rentan dalam
penyakit
populasi. Proporsi dewasa rentan yaitu
menghilang dari populasi. Namun, jika ,
dsd dt
sb id sd ib sd id sd sb sd ib sd ib sd
Proporsi dewasa terinfeksi merupakan rata-rata banyaknya individu dewasa yang terinfeksi dalam populasi. Proporsi dewasa terinfeksi yaitu did dt
akan
cenderung
berkurang
maka penyakit akan cenderung
atau
meningkat
dalam populasi. Bilangan reproduksi dasar diperoleh dengan menggunakan next generation matrix. Bilangan reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigen maksimum dari next generation
sd ib sd id id b id sbid ibi d i bi d
matrix.
Diperoleh bilangan reproduksi dasar yaitu:
R 0
ab
2( )
cb
2( )
1
ab
cb
menyebabkan
2 ( ) ( )
bebas
E. Simulasi Model Pada bagian ini akan disimulasikan secara
dengan a
kesetimbangan
penyakit akan stabil asimtotik .
2 2 (2 ) 2 4 ( 2 ) 4 2 2 2 4 ( )( )
2
titik
(2 ) 2 4 2
(2 ) 2 4 ,b 2
,
2 4 2
dan c
numerik model penyebaran penyakit diare bagi populasi dilakukan
D. Analisis Kestabilan Analisis
balita
dan
untuk
dewasa.
Simulasi
memberikan
ini
gambaran
geometris mengenai pola penyebaran penyakit
kestabilan
dilakukan
untuk
diare bagi balita dan dewasa sesuai dengan
mengetahui apakah suatu penyakit menyebar
kondisi bilangan reproduksi dasar. Bilangan
atau menghilang dari suatu populasi, sehingga
reproduksi
dapat dilakukan tindakan lebih lanjut. Bagian ini
mengetahui penyakit tersebut menghilang atau
akan menganalisis kestabilan model di sekitar
endemik dalam populasi.
dasar
dapat
digunakan
untuk
titik kesetimbangan bebas penyakit. Matriks
Saat artinya setiap individu yang
merupakan matriks Jacobian di titik
terinfeksi dapat menularkan penyakit diare
kesetimbangan bebas penyakit ( ). Matriks
kepada rata-rata kurang dari satu
Jacobian model penyebaran penyakit diare
rentan, sehingga dalam jangka waktu tertentu
adalah
penyakit
ib id 2 sb ib ib i i i b d b J ( E ) s d i d
s s s b
b
b
0
sd sd sd
ib ib sb ib ib
b
b
0
b
b
s i i d
d
b
s
b
i i
d
s d s s i i d b b b s
b
s s 2 i 2 i
d
dapat
menghilang
dari
individu
populasi.
Namun, untuk artinya setiap individu
terinfeksi dapat menularkan penyakit diare kepada rata-rata lebih dari satu individu rentan,
Matrik
mensubtitusikan
diperoleh
titik
sehingga dalam jangka waktu tertentu penyakit
dengan
kesetimbangan
menyebar dalam populasi.
bebas
Berdasarkan penjelasan mengenai makna
penyakit ( ) ke Matriks J ,maka diperoleh sb 2 sb sb sb sb 0 0 sb sb sb J ( E 0 ) sd sd sd sd sd sb 0 0 sd sd sb ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
parameter,
nilai
merepresentasikan
kematian
dan
kelahiran
alami,
laju
apabila
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
diasumsikan rata-rata usia orang Indonesia
ˆ
ˆ
ˆ
adalah 70 tahun atau 25550 hari, maka diperoleh nilai =0.000039. Nilai β merepr esentasikan laju
Nilai eigen dari matriks Jacobian diperoleh dengan menyelesaikan
J ( E0 ) I
0 . Titik
kesembuhan seseorang dari penyakit diare, diasumsikan β=0.2 ( diperoleh dari jurnal SIRS
endemik dipenuhi jika , sedangkan nilai
Model For The Dynamics Of Non-Typhoidal
eigen akan berupa bilangan real negatif
Salmonella Epidemics).
atau bilangan kompleks dengan bagian real
Nilai merepresentasikan laju pertumbuhan,
bernilai negatif untuk . Kondisi ini
apabila diasumsikan seseorang dianggap dewasa
ketika berusia diatas 5 tahun atau 1825 hari ,
yang mengalami dehidrasi terus-menerus maka
maka
Ketika
seseorang tersebut rata-rata hanya akan bertahan
seseorang
dalam kurun waktu 2 minggu atau 14 hari, maka
diperoleh
seseorang
nilai
teirnfeksi
=0.00055. diare
maka
tersebut akan mengalami dehidrasi. Seseorang
Gambar 2 Simulasi Sistem dengan nilai =0.195
diperoleh nilai =0.07.
Gambar 3 Simulasi Sistem dengan nilai =0.35
Jika nilai-nilai parameter disubtitusikan ke
Jika nilai-nilai parameter disubtitusikan ke
bilangan reproduksi dasar, maka diperoleh nilai
bilangan reproduksi dasar, maka diperoleh nilai
. Berdasarkan Gambar 2,
. Berdasarkan Gambar 3,
terlihat proporsi balita rentan ( susceptible balita)
terlihat proporsi balita rentan ( susceptible balita)
yang diwakili oleh kurva berwarna biru mula-
mengalami penurunan. Hal ini dapat disebabkan
mula meningkat kemudian dalam jangka waktu
karena banyaknya individu balita rentan yang
tertentu mengalami penurunan. Hal ini dapat
terinfeksi penyakit diare akibat adanya kontak
disebabkan karena perpindahan individu dari
langsung dengan feces penderita penyakit diare.
kelas balita rentan ke kelas dewasa rentan seiring
Kenaikan
pertumbuhan balita. Sementara untuk individu
disebabkan karena masuknya individu dari kelas
dewasa
kurva
balita rentan yang tumbuh menjadi indivisu
berwarna merah mengalami peningkatan menuju
dewasa maupun balita rentan yang ketika
1. Untuk proporsi balita terinfeksi (infected
sembuh sudah tergolong kelas dewasa rentan.
balita) yang d iwakili kurva berwarna kuning dan
Untuk proporsi balita terinfeksi (infected balita)
proporsi dewasa terinfeksi yang diwakili oleh
mengalami penurunan, hal ini dapat disebabkan
kurva berwarna hijau (infected dewasa) semakin
karena semakin berkurangnya individu pada
lama semakin menurun. Hal ini menunjukkan
kelas balita rentan. Sebaliknya, proporsi dewasa
untuk nilai , maka penyakit diare semakin
terinfeksi
lama akan menghilang dari populasi.
semakin meningkat, ini dapat disebabkan karena
rentan
yang
diwakili
oleh
proporsi
(infected
dewasa
dewasa)
rentan
semakin
dapat
lama
individu pada kelas dewasa rentan semakin
meningkat pula. Hal ini menunjukkan untuk nilai
bebas
penyakit
balita
, maka penyakit diare semakin lama akan
dewasa, titik kesetimbangan untuk kasus
semakin menyebar dalam populasi dewasa.
bebas penyakit
dewasa
tetapi
tetapi
endemik
endemik
balita, dan titik kesetimbangan untuk kasus endemik di kedua populasi.
KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan 1. Model matematika SIS merupakan salah satu
model
yang
digunakan
untuk
menganalisis perilaku sistem di sekitar titik kesetimbangan. Berdasarkan model yang telah
diperoleh,
didapatkan
titik
kesetimbangan bebas penyakit yaitu (2 ) 2 4 2 4 ,0, ,0 E 0 sb , ib , sd , id 2 2 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2. Titik stabil
kesetimbangan asimtotik
bebas
penyakit
jika
bilangan
lokal
reproduksi dasar kurang dari satu. Hal ini dapat
terjadi
kesembuhan
saat
lebih
parameter
kecil
laju
dibandingkan
parameter laju kontak jika nilai parameter yang lain dianggap fix. Artinya, untuk jangka waktu tertentu penyakit diare akan menghilang dari populasi. Sementara itu, titik kesetimbangan bebas penyakit tidak stabil saat bilangan reproduksi dasarnya lebih dari satu. Hal ini dapat terjadi saat parameter laju kesembuhan lebih besar dibandingkan parameter laju kontak jika nilai parameter yang lain dianggap fix, sehingga
untuk
jangka
waktu
tertentu
penyebaran penyakit diare akan meningkat pada populasi. B. Saran Untuk pembahasan selanjutnya dapat dibahas mengenai
titik kesetimbangan
DAFTAR PUSTAKA
[1] WHO. 2013. Diarrhoeal Disease. Diakses dari http:// www. Who .int /mediacentre / factsheeet/en/. Pada tanggal 20 Februari 2016. [2] Departemen Kesehatan Republik Indonesia. 2014. Profil Kesehatan Indonesia 2013. Jakarta: Kementrian Kesehatan Republik Indonesia. [3] Chaturvedi, Ojaswita, dkk. 2013. SIRS Model For The Dynamics Of Non-Typhoidal Salmonella Epidemics. International Journal of Computational Research. Vol.03.Issue.10. [4] Braueer, Fred, dkk. 2008. Mathematical Epidemiology: Subseries.
Mathematical
Berlin:
Biosciences
Springer-Verlag
Berlin
Heidelberg. [5] Wiggins, Stephen. 2003. Introduction to Applied
Nonlinear
Dynamical
System
and
Chaos: Second Edition. New York: SpringerVerlag.