Mecánica Racional y Analítica (GAE) Tema 3: Oscilaciones
Una masa m=2 kg está sometida a la acción de un muelle de constante k =10 =10 kg/m y a un amortiguador de constante C . El sistema está situado sobre un bloque que se mueve hacia la derecha con una velocidad v=t =t 2 m/s. !abiendo que el sistema "arte del re"oso cuando el muelle tiene una elongación nula# calcular$ a% &alor &alor que tiene que tener la constante del amortiguador "ara que el movimiento sea cr'tico b% Ecuación di(erencial del movimiento y solución general del mismo. 3.1.
)ado el sistema de la (igura se sabe que al cabo de 10 s la am"litud se reduce a la mitad. *alcular la masa del bloque$ )atos$ C =0#+, =0#+, -s/m# k =100 =100 -/m 3.2. 3. 2.
Una masa de 00 kg se "uede desliar sin roamiento sobre una recta horiontal# está unida a un muelle de constante elástica igual a 100000 -/m y eiste un amortiguamiento viscoso del que se com"rueba que reduce la am"litud a su mitad cada 10 s. nicialmente está sin velocidad a una distancia de 0# m de la "osición de equilibrio. !e "ide$ a% &alor &alor del amortiguamiento b% Ecuación del movimiento y "osición al al cabo de 0 s c% recuencia de resonancia "ara una acción eterior armónica y (actor de am"li(icación. 3.3.
!obre una masa m act3a un amortiguador C =1#+0, =1#+0, -s/m y un muelle de constante k =100 =100 -/m. !abiendo que "arte del re"oso con una am"litud inicial de 4 m# se "ide calcular$ a% El valor de la masa si la am"litud am "litud al cabo de 10 s se ha reducido a la quinta "arte b% 5a solución del movimiento calculando todas todas las constantes 3.4.
6ara el muelle y el bloque que se muestran en la (igura# se sabe que un terremoto horiontal "roduce una aceleración de t t m/s2. !abien !abiendo do que m= 2 kg y que k =100 =100 -/m# se "ide calcular la solución de la ecuación di(erencial de movimiento. 3.5
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Una masa m=2 kg está sometida a la acción de un muelle de constante k =100 -/m. El sistema está situado sobre un bloque que se mueve hacia la derecha con una aceleración constante a. !abiendo que el sistema "arte del re"oso cuando el muelle tiene una elongación de 0#2 m y que al cabo de 0#222 s su velocidad es de 0#71 m/s# calcular a. 3.6.
8btener la ecuación de movimiento del bloque su"erior de kg de masa# sabiendo que el bloque in(erior de masa de 10 kg se mueve con una velocidad igual a t m/s. 5a constante del muelle es k =0 -/m. El sistema "arte del re"oso en el instante inicial. -o hay roamiento. 3.7.
3.8. 6lantear
la ecuación de un sistema amortiguado (orado sabiendo que la masa es de 2 kg# la constante del muelle de 4 -/m# el amortiguador de 20 -s/m y la (uera eterior es igual a sen 2t . 9ambi:n se sabe que "arte del re"oso en x=0. 6ara el muelle y el bloque que se muestran en la (igura# se sabe que un terremoto horiontal "roduce una aceleración de m/s2. !abiendo que m= 2 kg y que k =100 -/m# se "ide calcular la solución de la ecuación di(erencial de movimiento su"oniendo que el bloque está a"oyado sobre un suelo rugosos de coe(iciente =0#2. 3.9.
Una masa de 10 kg se mueve hacia la derecha sometida a la acción de un muelle de k= 0 kg. !e sabe que el suelo es rugoso de = 0# y que la masa "arte con velocidad de m/s cuando el muelle no tiene tensión. !e "ide$ a% Ecuación de movimiento b% !olución de la misma c% 9iem"o que tarda en "ararse "or "rimera ve. d% )istancia a la que se "roduce esta "arada. 3.10.
3.11. Una
"art'cula de masa m=1 kg está unida a un muelle de constante k =4 -/m y a un amortiguador de constante C = 40 -s/m. !obre ella act3a una (uera armónica F ;t%=2sen;t %. 5a "art'cula está a"oyada sobre un suelo rugoso de coe(iciente 0#. a% Escribir la ecuación di(erencial del movimiento. b% y su solución# sabiendo que en t =0# x=0 ;"arte del re"oso con velocidad nula%
< la "ared de un vagón de tren# está unido un muelle de constante k = 0 -/m y una masa de kg. El vagón tiene un movimiento horiontal dado "or la ley$ x + sen;4t % 2t 2 !i la masa "arte "egada a la "ared# sin velocidad# calcular a% 5a ecuación di(erencial de movimiento b% áima longitud alcanada "or el muelle 3.12.
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Una masa de 100 kg oscila en un "lano inclinado 40> debido a la acción de un muelle de constante 0 kg/m y un amortiguador de 0#? kg s/cm. !i "arte en t =0 de la "osición de equilibrio y sin velocidad# calcular la ecuación de movimiento as' como el valor de todas las constantes. @e"etir el "roblema "ara k=0#? kg s/m. 3.13.
3.14. Una
masa m=1 kg se halla suAeta a un resorte lineal de constante k =100 -/m# con un amortiguamiento viscoso de constante C. El valor de C es tal que# sometido a vibraciones libres# la am"litud del movimiento se reduce a l a mitad al cabo de un tiem"o T =20ln2 ;s%. El sistema se halla sometido a una (uera senoidal de intensidad máima q. !e "ide calcular el (actor de am"li(icación dinámico de resonancia. NOTA: Se denomina factor de amplificación dinámico al cociente entre la amplitud máxima deida a la car!a senoidal " la amplitud estática para una car!a q constante Una masa m se encuentra oscila en una cuBa sobre un "lano inclinado 40> debido a la acción de un muelle de constante k . 5a cuBa baAa "or el "lano con una aceleración a=10 m/s2. Escribir la ecuación di(erencial de movimiento y su solución. -o hay roamiento. 3.15.
k
m
Un muelle de constante k = 0 kg/m se encuentra unido a un bloque de masa m = 2 kg que a su ve está en una cuBa que deslia sin roamiento sobre un "lano inclinado +0>. !abiendo que la "art'cula "arte del re"oso se "ide las ecuaciones di(erenciales del movimiento y la solución de la ecuación di(erencial del movimiento. 3.16.
+0>
Un cubo de arista a y densidad la mitad de la del agua está (lotando con la cara su"erior horiontal. !e em"uAa un "oco hacia abaAo# sin hundirlo del todo# y se suelta sin girarlo# de modo que se mueve siem"re con la misma orientación. *alcular la (recuencia de las oscilaciones. 3.17.
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3.18. Un
bloque de kg de masa se mueve entre gu'as verticales sus"endido "or dos muelles iguales de constante recu"eradora elástica k 1 = k 2 = 0 -/m# como se indica en la (igura. *alcular$ a% Ecuación de las "equeBas oscilaciones del sistema. b% 6eriodo y (recuencia del movimiento resultante. c% &elocidad y aceleración máima del bloque si la am"litud del movimiento es <=+0 mm. d% )eterminar la masa que deber'a tener el bloque "ara que su "eriodo de oscilación sea 1 s.
3.19.
k 1
k 2
En la (igura mostrada calcular el "eriodo de oscilación del bloque de masa m
k k
2k
k
m k
3.20. El
sistema de la (igura consta de una masa# dos muelles y un amortiguador de caracter'sticas$ m #20 k ! C k# 0 - /mC k# 70 - /mC C# ?0 - s /m )eterminar$ a% Ecuación di(erencial del movimiento y su solución general b% *oe(iciente de amortiguamiento cr'tico# indicando el ti"o de amortiguamiento del sistema c% recuencia de la vibración libre y (recuencia de la vibración libre amortiguada d% &alor del "seudo"eriodo Austi(icando su eistencia e% !i inicialmente# la masa se des"laa de su "osición de equilibrio estable A = cm # calcular la energ'a mecánica comunicada inicialmente al sistema indicando si se conserva en el transcurso del movimiento o no
k k k
m
$
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k 1
k 2
m C
Disponemos de tres muelles idénticos. a) Los unimos en serie, uno a continuación de otro (ver figura), y fijamos uno de los etremos li!res al tec"o, en tanto #ue del otro etremo suspendemos un !lo#ue de masa m. $uando duplicamos la masa suspendida, el etremo inferior del conjunto serie desciende una distancia adicional h. %$u&nto vale la constante el&stica de cada muelle' b) $on los tres muelles disponemos a"ora un montaje paralelo (cada muelle tiene un etremo unido al tec"o) y suspendemos una masa 3 m. %$u&l ser& la frecuencia de las oscilaciones de este sistema' (figura no incluida).
5a torre de la (igura está sustentada "or un "ilar em"otrado en una cimentación que se mueve debido a un terremoto con una aceleración horiontal constante de m/s 2. 5a masa es de 100 kg y el "ilar equivale a la acción de un muelle de 1000 -/m. !i el sistema "arte del re"oso estando el "ilar en "osición vertical# se "ide calcular el des"laamiento de la masa res"ecto del terreno al cabo de un tiem"o de / ;s%. 3.22.
3.23. Un
+ k-/m 4 k-/m 2 k-/m
bloque de 2 kg se sostiene mediante la dis"osición de que se muestra. !i el bloque se des"laa verticalmente de su "osición de equilibrio hacia abaAo# determ'nense$ a% el "eriodo y (recuencia del movimiento resultante y b% la velocidad y aceleración máimas del bloque si la am"litud del movimiento es 40 mm
2 kg
3.24. Un
equi"o tiene un bastidor r'gido de masa % sobre una (undación elástica que "uede idealiarse como un resorte de constante k que "ermite 3nicamente el movimiento vertical# con un amortiguamiento del D del cr'tico. )entro del bastidor hay un motor cuyo e(ecto dinámico equivale a una masa m con ecentricidad e girando a una velocidad angular constante . !e "ide$ 1% Ecuación di(erencial del movimiento 2% !olución general de la ecuación anterior# tanto "ara el r:gimen transitorio como "ara el "ermanente ;"asado su(iciente tiem"o%. !e considerará que en el instante inicial la masa ec:ntrica está en la "osición in(erior con el bastidor en re"oso 4% 8btener el valor de que "roduce resonancia "ara la am"litud del movimiento y calcular dicha am"litud resonante
Un detector de vibraciones sim"li(icadas en un sistema masaresorte# como se indica en la (igura# se usa "ara medir la aceleración vertical de 3.25.
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k
x
2
un tren con movimiento senoidal que tiene una (recuencia vertical de valor 0 rad/s. 5a masa m# y la constante del resorte k# as' como la am"litud del movimiento relativo medida en el instrumento# Ar # son datos. Encu:ntrese la aceleración vertical máima del tren. F*uál es la am"litud del movimiento senoidal del trenG
