∫ ∫ 2.3.2 Homojen Diferansiyel Denklemler
şekline getirilebilen diferansiyel denklemlerdir. , , Bu hale getirebilmesi için denklemde, konulduğunda diferansiyel denklem değişmiyorsa “Homojen Diferansiyel Denklemdir”. şekline gelir ve çözüm için,
Diferansiyel denklem homojen ise (
şeklinde yeni bağımlı değişken olmak üzere), değişken dönüşümü yapılır. olur.
Diferansiyel denklemde ((I)’de) yerine ((I)’de) yerine konulur.
(II) çözülerek değişkenlerine değişkenlerine ayrılabilen bir denklem elde edilir.
Buradan Genel Çözüm;
(I)’in Genel Çözümü elde edilir .
Örnek:
(I) denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözüm: (I) denkleminde,
,
,
konulduğunda
Şeklinde diferansiyel denklem aynı kaldığın dan homojendir. şekline gelmesi için denklem
bölünür.
denkleminde yerine yazılır.
değişkenlerine ayrılabilen dif.denklem haline gelmiştir. doğrudan integrali alınabilir.
⁄ √
(keyfi sabit olarak sol tarafa lnC ilave edildi.)
(sol taraf ln(xC) yapılarak ln ler kaldırıldı.)
Düzeltme işlemleri yapıldığında;
Ve böylece
-x2 ile çarparsak
…..daha kısa bir sonuç elde ederiz.
Genel çözümü elde edilir.
Ödev: aynı dif. denklemi x yerine y, y yerine x koyarak elde ettiğiniz şekliyle çözünüz. 2.3.3 Homojen Hale Gelebilen Diferansiyel Denklemler
sabit değerler nedeniyle denklem homojen değildir. Fakat homojen hale gelebilir. Çünkü “Lineer”dir.
sabitlerini yok etmek için aşağıdaki değişken dönüşümü yapılır.
Bu dönüşümün geçerli olabilmesi için
(I)’de değişken dönüşümü uygulanırsa,
şartı sağlanmalıdır.
0
homojen olması için =0 olmalı
, denklemlerinden h ve k sabitleri bulunur. Bu durumda denklem homojen diferansiyel denklem haline gelir.
homogen dif.denklemi çözüm için
,
dönüşümü yapılır.
Burada
ifadeleri son denklemde yerine konulur.
Denklem değişkenlerine ayrılabilir diferansiyel denklem haline gelmiştir. Buna göre Genel Çözüm,
(III)
olarak bulunur.
ifadeleri (III)’te yerine konulursa,
, diferansiyel denklemin genel çözümüdür.
Örnek:
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözüm: Diferansiyel denklem düzenlendiğinde
Homojen hale gelebilen tip olduğu görülür.
Bu diferansiyel denklemde
Dönüşümü yapıldığında
+ 1 = 0 bu iki eşitliğin ortak çözümünden;
bulunur. Buradan geriye kalan ifade
Homogen dif.denklem olacağından, terimler
Haline gelir ve
Dönüşümü ile
∫ ∫ ∫ ∫ =>
değ.ayrılabilen olur.
=>
=>
√ =>
u ya bağlı genel çözümü bulunur. Bu genel çözümde
konularak
Elde edilen u ve
(III) te konularak
diferensiyel denklemin Genel Çözümü elde edilir. (bu ifadede parantezler açılarak da x ve y li terimler açıkça görülebilir)
Ödev: aynı dif. denklemi x yerine y, y yerine x koyarak elde ettiğiniz şekliyle çözünüz. 2.3.4 Homojen Hale Gelebilen Olup Değişkenlerine Ayrılabilir Hale Gelebilen Diferansiyel Denklemler
şartı sağlanıyorsa
(I) denklemi,
Gelebilen denklemdir.
Eğer
dönüşümü ile Homojen Hale
ise homojen hale gelemez. Çünkü h ve k bulunamaz. Bu durumda,
ifadeleri aşağıdaki denklemde konulursa
u, dersek
[ ]⁄ u
(II) denkleminde yerine konulursa,
Bu denklem çözüldüğünde,
⁄ ∫ ∫ Örnek:
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözüm:
Homogen hale gelebilen tip olarak gözükmektedir. Ancak
Şeklinde bir ortak orana sahip olduklarından h ve k bulunamayacağı ndan, oranlarına göre değişkenlerine ayrılabilen dif.denkleme dönüşür..
dönüşümü yapılırsa ve buradan elde edilen
=>
(II) denkleminde yerine konulursa
Değişkenlerine ayrılabilen dif.denklemi ortaya çıkar. Doğrudan integrali alınabilir, =>
ifadeleri
( ) ( ) Alıştırma soruları: Soru 1. Soru 2. Soru 3.
ü elde edilir.
denkleminin genel çözümünü bulunuz. denkleminin genel çözümünü bulunuz. denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Ödev: 2 ve 3 nolu sorular ya da 1 ve 2 nolu soruları çözünüz.
