Lb V: Gmí II Matma ta ta 2016
Índice de contenidos 1.
2.
3.
4.
......................................... ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ............... 1. Perímetros y áreas ........................... 1.1
........................................ ............................ ............................ ............................ ............................. ......................... .......... 1 Teorema de Pitágoras ..........................
1.2
........................................... ............................. ............................ ............................ ............................ ............... 3. Perímetro de un polígono ............................
1.3
3 Área de un polígono ............................ .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ........................... ............
1.4
3 Triángulos ............................ .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ .................. ....
1.5
Cuadriláteros .......................... ......................................... ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ........................... ............. 5
1.6
Circunferencia y círculo ............................ .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. .................... ..... 7
1.7
......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ........................... ............ 9 Figuras equivalentes ...........................
13 Geometría proporcional........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ................. ...13 2.1
Semejanza de triángulos ............................ .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ...............13
2.2
15 Teoremas de semejanza de triángulos ........................... ......................................... ............................ ............................. ...................15
2.3
Teorema de Thales ........................... ......................................... ............................ ............................. ............................. ............................ .......................... ............ 21
2.4
.......................................... ............................ ............................ ............................ ...............23 . Teorema de la bisectriz interior ............................
2.5
.......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ...................... ....... 25 Teorema de Euclides ............................
Proporcionalidad en la circunferencia ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ................. ...27 3.1
27 Teorema de las cuerdas ............................ .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ................. ..
3.2
Teorema de las secantes ............................ .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ...............27
3.3
Teorema de la tangente y la secante ........................... .......................................... ............................. ............................ ................... .....27 27
29 División de trazos ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............... . 4.1
29 División interna .......................... ........................................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ................... .....
4.2
29 División áurea o divina .......................... ........................................ ............................ ............................. ............................. ............................ ................... .....
i
Índice de contenidos 1.
2.
3.
4.
......................................... ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ............... 1. Perímetros y áreas ........................... 1.1
........................................ ............................ ............................ ............................ ............................. ......................... .......... 1 Teorema de Pitágoras ..........................
1.2
........................................... ............................. ............................ ............................ ............................ ............... 3. Perímetro de un polígono ............................
1.3
3 Área de un polígono ............................ .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ........................... ............
1.4
3 Triángulos ............................ .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ .................. ....
1.5
Cuadriláteros .......................... ......................................... ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ........................... ............. 5
1.6
Circunferencia y círculo ............................ .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. .................... ..... 7
1.7
......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ........................... ............ 9 Figuras equivalentes ...........................
13 Geometría proporcional........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ................. ...13 2.1
Semejanza de triángulos ............................ .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ...............13
2.2
15 Teoremas de semejanza de triángulos ........................... ......................................... ............................ ............................. ...................15
2.3
Teorema de Thales ........................... ......................................... ............................ ............................. ............................. ............................ .......................... ............ 21
2.4
.......................................... ............................ ............................ ............................ ...............23 . Teorema de la bisectriz interior ............................
2.5
.......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ...................... ....... 25 Teorema de Euclides ............................
Proporcionalidad en la circunferencia ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ................. ...27 3.1
27 Teorema de las cuerdas ............................ .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ................. ..
3.2
Teorema de las secantes ............................ .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ...............27
3.3
Teorema de la tangente y la secante ........................... .......................................... ............................. ............................ ................... .....27 27
29 División de trazos ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............... . 4.1
29 División interna .......................... ........................................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ................... .....
4.2
29 División áurea o divina .......................... ........................................ ............................ ............................. ............................. ............................ ................... .....
i
5.
6.
31 Isometrías ............................ .......................................... ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ .......................... ............31 5.1
Sistema cartesiano ortogonal............................ ........................................... ............................. ............................ ............................ ................... .....31
5.2
33 Isometría ............................ .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ................. ...
5.3
Traslaciones .......................... ........................................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ .......................... ............ 33
5.4
Rotaciones ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............... 35 .
5.5
.......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ................. ... 37 Simetrías ............................
5.6
........................................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ................... ..... 37 Simetría central ..........................
5.7
......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ........................ .......... 39 Simetría axial ...........................
5.8
41 Eje de simetría ............................ .......................................... ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ................... .....
5.9
41 Centro de simetría ............................ ........................................... ............................. ............................ ............................ ............................ .......................... ............
......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................. ............... 43 Homotecia ...........................
ii
ÁGINA 1 PÁGINA 1
1. 1.1
E
DE PITÁGORAS ITÁGORAS TEOREMA DE P
Pím y Á Tm Pág n todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. C a
2
2
+ b = c
Para reforzar estos contenidos accede a:
a
b
2
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Unidad 14 Módulo 2
c
A
B
Ejs 1.
¿Cuántos centímetros mide el segmento AB de la fi gura 1?
C
fig. 1 8 cm
6 cm
A 2.
B
La longitud del trazo AB de la figura 2 es
C fig. 2 1,5 cm
2 cm
A 3.
B
¿Cuánto mide el segmento AB de la l a figura 3?
C 8 cm
A
fig. 3 15 cm
B
TEOREMA DE PITÁGORAS
PÁGINA 2
¿Cuántos centímetros mide el trazo BC de la figura 4?
4.
C fig. 4
5
B
A
13
¿Cuántos centímetros mide el trazo BC de la figura 5?
5
B 2 cm.
C
A
3 cm.
Con respecto a los triángulos de la figura 6, ¿cuánto mide CD ?
6.
D
3k
C 8
fig. 6
4k
A
17
B
7.
¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de lado 5 cm?
8.
¿Cuánto mide la altura de un triángulo equilátero de l ado 10 cm?
Rp 3 5 . 8
. m c
. m c 2 5 . 7
9 . 6
1 . 5 2 1 . 4
. m c 7 1 . 3 . m c 5 , 2 . 2
. m c 0 1 . 1
PÁGINA 3 1.2
TEOREMA DE PITÁGORAS
Pím píg.
Para reforzar estos contenidos accede a:
Es la suma de las longitudes de todos sus lados. 1.3
www.preupdvonline.cl
Unidad 14 Módulo 1
Á píg.
Es la medida de la superficie del plano “ocupada” por el polígono.
1.4
Tág
Nombre
Figura
Perímetro
C
Triángulo
b ha
c
A
Triángulo Equilátero
hb
hc
a+b+c
a
Área
a ha b hb c hc = = 2 2 2
B
a
a
3a
a2 3 4
a+b+c
ab c · hc = 2 2
a
Triángulo Rectángulo
b hc
c a
Ejs 1
En el rectángulo SRTU de la figura 1, se tienen 3 triángulos con las dimensiones
indicadas. Entonces, la serie de razones entre las medidas de los perímetros de SQU, SRQ, RTQ (respectivamente) es U
Q
16
T fig. 1
12
S
25
R
TEOREMA DE PITÁGORAS
PÁGINA 4
2.
En un triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa b 2 , ¿cuál es su área y su
3.
Si el ABC
perímetro?
de la figura 2 es rectángulo en B, BE es transversal de gravedad y CB = 3 cm, entonces ¿cuál es el perímetro del ABE? C E
fig. 2 30º
A
B
4.
En un triángulo cuya área mide A. Si la base disminuye a su tercera parte y su
5.
Si en el triángulo isósceles de base AB de la figura 3, CA = 5 y AB = 18 cm, AB 6
altura se duplica, entonces su nueva área mide
entonces el perímetro y área del ABC son, respectivamente
,
C
fig. 3
A
B
Rp m c 8 0 1 y m c 8 4 . 5
2
3 4 A . 2
m c 3 3 6 . 3
2 b b 2 y
2 . . 2 b 2
4 : 5 : 3 . 1
PÁGINA 5 1.5
PERÍMETROS Y ÁREAS
Cá
Nombre
Figura
Perímetro
a a
Cuadrado
Área a2
d
a
4a
d2 2
2a + 2b
a b
a a
b
Rectángulo
b a a a
Rombo
d1
h
h·a a
4a
d1 d2 2
2a + 2b
a · h1 = b · h2
d2
a a b
Romboide
h2
h1
b
a c d
Trapecio
h
m a
b
a+b+c+d
a + c 2 h =m·h Donde m = a + c 2
Ejs 1.
Si el perímetro de un cuadrado es 4 10 cm, ¿cuál es el área de dicho cuadrado?
2.
Si el área del rectángulo ABCD de la figura 1, es 25a 2 – 16b2 y su ancho mide 5a – 4b, entonces la expresión que representa el perímetro del rectángulo es
D
C fig. 1
A
B
PERÍMETROS Y ÁREAS
PÁGINA 6
3.
Un rombo tiene diagonales que miden 12 cm y 16 cm, ¿cuál es su perímetro?
4.
En el trapecio de la figura 2, CB = 12 cm, sus bases AB y CD miden 30 cm y
8 cm, respectivamente. Entonces, su área es
D
C fig. 2 30
A
B
Una expresión que representa el área del polígono de la figura 3, es
5.
d
c
fig. 3
a b 6.
La diagonal de menor longitud de un rombo mide 4 cm y forma ángulos de 60°
con los lados adyacentes. Entonces, el área del rombo mide
Rp m c 3 8 . 6
2
) a – c ( d + b a . 5 . 2 m c 4 1 1 . 4
. m c 0 4 . 3
a 0 2 . 2
m c 0 1 . 1
2
PÁGINA 7 1.6
PERÍMETROS Y ÁREAS
C y í Nombre
Figura
Perímetro
D = 2r
r
Circunferencia y Círculo
O
O
Sector circular
A
D: Diámetro
AB + 2r
r B
AB =
Área r2
r2
2r
360º
360º
Ejs 1.
Las circunferencias de la figura 1, son concéntricas de radios 6 cm y 8 cm. ¿Cuál
es el perímetro de la región achurada?
fig. 1
O
2.
En el cuadrado ABCD de perímetro 32 cm de la figura 2, el área de la región
achurada es D
C fig. 2
A 3.
B
n unidades, entonces el área del nuevo círculo expresada en unidades cuadradas es Si el radio r de un círculo disminuye en
PERÍMETROS Y ÁREAS
4.
En la figura 3, donde AB es diámetro y r es radio de la circunferencia de centro O, el perímetro de la región achurada corresponde a
30°
A
5.
PÁGINA 8
O
fig. 3
B
En la figura 4, los tres círculos son concéntricos y el radio de el menor es 5 cm. Si el área de C1 : área de C2 : área de C3 = 1 : 2 : 4, entonces el radio mayor es
C3
C2
C1
fig. 4 O
6.
En la figura 5, ABCD es un cuadrado, E, F, G y H son puntos de tangencia entre
el cuadrado y la circunferencia de centro O. Entonces, de las siguientes afirmaciones, es (son) FALSA(S) D
G
C
O
H
A I)
F
E
fig. 5
B
El perímetro de la región sombreada es igual a la suma de los perímetros del cuadrado y de la circunferencia.
II) El área de la región sombreada es igual a la diferencia entre el área del cuadrado y el área del círculo. III) El área de la región achurada representa el 50% del área cuadrado.
Rp I I I y I I . 6
m c 0 1 . 5
6 r 2 . 4 r 5
. ) n – r ( 3
2
m c 2 3 . 2
2
m c ) 7 + 4 ( . 1
PÁGINA 9
PERÍMETROS Y ÁREAS
Fg qv
1.7
Para reforzar estos contenidos accede a:
Son aquellas figuras que tienen igual área.
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Unidad 14 Módulo 3
E ág:
Cada transversal de gravedad lo divide en dos triángulos equivalentes. C D es el punto medio de BC A1 = A2
D
A1 A2 A
B
Las tres transversales lo dividen en seis triángulos equivalentes. C A5 A4
F
G
A6 A1
A
A2
D, E, F puntos medios
E
A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = A6
A3
D
B
Todos los triángulos que tienen igual base y altura son equivalentes. (L1 // L2 )
L1 A1
A2
A3
A1
A2
A1 = A2 = A3
h
A3
L2 b
b
b
b
Al trazar las medianas se generan cuatro triángulos congruentes.
I III
II
I, II, III y IV Triángulos Congruentes IV
PERÍMETROS Y ÁREAS
PÁGINA 10
Ejs 1.
En el ABC
de la figura 1, D y E son puntos medios, el área del cuadrilátero ADFE es 12 cm 2. Entonces, el área del ABC es C fig. 1 E
F
A 2.
B
D
El ABC
de la figura 2 es isósceles de base AB = 8 cm, D es punto medio de y FE = 4 cm. ¿Cuál es el área del ADC?
BC
C fig. 2 D F A 3.
E
B
En el triángulo ABC de la figura 3, MN es mediana. Entonces, ¿qué porcentaje
es el área del MNC del área del trapecio ABNM? C fig. 3 M
N
B
A
Rp 3 % 3 3 . 3 1
m c 4 2 . 2
2
m c 6 3 . 1
2
PÁGINA 11
PERÍMETROS Y ÁREAS
E pgm: Al trazar las diagonales se forman cuatro triángulos equivalentes. D
C I A2
A1
II A3
III A4
A1 = A2 = A3 = A4
B
A
Todo triángulo que tiene un lado común con un paralelogramo y su tercer vértice se encuentra en el lado opuesto a dicho lado común, tendrá la mitad del área de este paralelogramo. D
C
E I
II
A(ABE) = 1 A(#ABCD) 2
III
IV B
A
Ejs 1.
En la figura 1, el lado de cada cuadrado es
achurada es
2 cm. Entonces, el área de la región
fig. 1
2.
En la figura 2, L1 // L 2. Entonces, la razón entre el área del paralelogramo ABCD y
la suma de las áreas de los triángulos ABF y ABG es G
D
C
B
A fig. 2
F
L1 L2
PERÍMETROS Y ÁREAS 3.
PÁGINA 12
En la figura 3, ABCD es un paralelogramo donde P, Q y R son puntos medios de los lados respectivos. ¿Qué fracción es la región achurada de la no achurada?
D
C
P A 4.
fig. 3
R Q
B
En la figura 4, ABCD es un rectángulo y el área achurada es t 2. Si AB = 6t,
entonces el trazo BC mide D
C fig. 4
A
5.
B
P es un punto cualquiera del interior del rectángulo ABCD de la figura 5. ¿En que
razón está el área en blanco y el área achurada? D
C fig. 5 P
A
B
Rp 1 : 1 . 5
3
. 4
t 2
3
. 3
1
1 : 1 . 2
m c 4 . 1
2
PÁGINA 13
GEOMETRÍA PROPORCIONAL
Gmí pp
2.
Smj ág
2.1
D
os triángulos se dirán semejantes, cuando los ángulos de uno de ellos sean respectivamente congruentes con los ángulos del otro, y cuando además, tengan sus lados homólogos proporcionales. C R ABC A
PQR si y solo si P, AB PQ
B
BC QR
Q,
C
Ry
CA RP
A
B
P
Q
Obv:
Esta definición establece la idea de similitud de forma: es decir, dos triángulos son semejantes, si y sólo si tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño.
Dos polígonos de un mismo número de lados, se dirán semejantes, cuando los ángulos de uno de ellos sean respectivamente congruentes con los ángulos del otro y cuando además, tengan sus lados homólogos proporcionales.
La congruencia es un caso particular de semejanza. Para reforzar estos contenidos accede a: www.preupdvonline.cl
Unidad 15 Módulo 1
Ejs 1.
Si en la figura 1, ABC A’B’C’, entonces ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdaderas? I)
A’B’ = 6
C’
C
fig. 1
II) A’C’ = 12 4
III) ’ = 3
’
A
9
3
2
B
A’
B’
GEOMETRÍA PROPORCIONAL
PÁGINA 14
2.
Dos triángulos isósceles son semejantes. Si la base de uno de ellos mide 10 cm
3.
En la figura 2, si ABE BCD,
y un lado no basal mide 20 cm, ¿cuál es la medida del lado mayor del otro si su base mide 15 cm?
y los puntos A, B y C son colineales. Entonces,
AC mide
D
E 12
3
A 4.
fig. 2 B
2x + 1
C
9x + 2
¿Cuáles de los siguientes triángulos, son semejantes entre sí?
I)
II)
III)
100°
5.
40°
40°
140°
140°
60°
El triángulo ABC de la figura 3, es isósceles y rectángulo en C. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I)
II)
BCD
C
ACD ABC
fig. 3
~ BAC
III) ADC ACB A 6.
D
B
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
Dos rectángulos son semejantes.
II) Dos triángulos equiláteros son semejantes. III) Dos pentágonos regulares son semejantes.
Rp I I I y I I . 6
I I I y I I , I . 5
I I I y I . 4
5 2 . 3
m c 0 3 . 2
I I y I . 1
PÁGINA 15
GEOMETRÍA PROPORCIONAL
Tm mj ág
2.2
P una de las seis condiciones expuestas anteriormente, sino que la ocurrencia de
ara establecer la semejanza entre dos triángulos no es necesario verificar cada
algunas de ellas provocan la ocurrencia de las otras restantes.
Tm 1 (Tm m) (AA) Para que dos triángulos sean semejantes, dos ángulos de uno de ellos deben ser congruentes con dos ángulos del otro. C
R Si A Py B Q entonces ABC PQR
A
B
P
Q
C 1 Toda paralela a un lado de un triángulo, determina un triángulo semejante al primero. C D
Si
E B
A
DE // AB ,
entonces CDE CAB
C 2 Si se traza en el interior de un triángulo ABC un segmento ED, no paralelo al lado AB, de tal forma que EDC BAC, entonces EDC es semejante con ABC. C Si EDC CAB, entonces CDE CAB
D
E A
B
C 3 Si se prolongan dos lados de un triángulo y se traza una paralela al otro lado, se determina un nuevo triángulo semejante al primero. D
E Si
C A
DE // AB ,
entonces CDE CBA
B
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Unidad 15 Módulo 2
GEOMETRÍA PROPORCIONAL
PÁGINA 16
Ejs 1.
¿En cuál(es) de las siguientes figuras los triángulos ABC y ADE son semejantes?
I)
II)
III)
C E
2.
B 50º
50º 50º
80º
100º
A
C
D
A
B
D
E
B
E A 50º
C
D
En la figura 1, PQ // MN . Si PM mide el triple de RP, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I)
PQR
II)
RQ
III)
3.
RN PQ
MN
R
~ MNR. 1
=
P
3 1
=
4
Si en la figura 2,
M
ABC
EDC
Q
fig. 1 N
, entonces la medida de
CB es
C fig. 2
3 5
E
D
4
A 4.
B
8
En la figura 3, PQ // MN , MN = 2 · PQ
,
PR = 6 y QR = 8. ¿Cuánto mide MR ?
Q
P
fig. 3
R M
N
Rp 6 1 . 4
0 1 . 3
I I I y I . 2
I I n e y I n e . 1
PÁGINA 17
GEOMETRÍA PROPORCIONAL
Tm 2 (LAL) Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan un ángulo congruente comprendido entre dos lados proporcionales. R C k·b
b
Si A
Py
AC PR
AB , entonces PQ
∆ABC ~ ∆PQR c
A
B P
Q
k·c
Tm 3 (LLL) Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan sus lados proporcionales. C R k·q
k·p
A
q
B
k·r
P
Si
p
AB BC CA , entonces PQ QR RP ∆ABC ~ ∆PQR
Q
r
Tm 4 (LLA>) Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan dos de sus lados respectivamente proporcionales, y los ángulos opuestos a los mayores de estos lados, congruentes. C R PQ > PR AB > AC AC AB = R y Si C , k·q PR PQ q A
B
k·r
r
P
Q
AB
AC , entonces ABC
Ejs 1.
Los triángulos de la figura 1, son semejantes según el teorema
U
R
fig. 1
6
4
P
12
8
Q
S
16
T
PQR
GEOMETRÍA PROPORCIONAL 2.
PÁGINA 18
¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre si?
I)
II)
III) 80°
6
12
20° 6
3.
80°
40° 12
Si en los triángulos de la figura 5,
RP PQ 3 = = , entonces los triángulos PQR y WZ ZY 2
ZYW son semejantes si Y I)
QR : WY = 3 : 2
II)
R
Z
P Z
Q W
III) R W
fig. 5
P
4.
¿Cuál(es) de los siguientes triángulos es (son) semejante(s) al triángulo
escaleno de la figura 6?
a
b
fig. 6
c I)
II)
1,3 a
1,3 b 1,3 c
III)
2a + 4
2b + 4
b 2
a 2 c 2
2c + 4
Rp I I I y I . 4
I I y I . 3
I I I y I . 2
. L . A . L . 1
PÁGINA 19
GEOMETRÍA PROPORCIONAL
Tm 5 En triángulos semejantes, dos lados homólogos están en la misma razón que dos trazos homólogos cualesquiera y también están en la misma razón que sus perímetros. C C’
b
a
tc
b’ tc’
ha’
ha
A
a’
c
B
A’
c’
b t h = c = a = Perímetro ABC = .... b' tc' ha' Perímetro A'B'C'
B’
Tm 6 Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al cuadrado de la razón en que se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera. 2
2 Área ΔABC = b = tc = ha h b' tc' Área ΔA'B'C' a'
2
= ....
Obv: Estos teoremas también son válidos en polígonos semejantes.
Ejs 1.
Los lados de dos hexágonos regulares están en la razón 1 : 3. Entonces, la razón
2.
Los lados de dos pentágonos regulares están en la razón 3 : 7. Entonces, la razón
de sus perímetros es
de sus áreas es
GEOMETRÍA PROPORCIONAL
PÁGINA 20
En la figura 3, el trazo DE // AC y el perímetro del DBE
3.
perímetro del ABC? C
fig. 3
E
D
A
es 12 cm. ¿Cuál es el
B
4 12
En la figura 4, ABC PQR, los perímetros AD = 12 cm. Entonces, PS mide
4.
respectivos están en la razón 3 : 1 y
C fig. 4
R D 40°
A
B
S 40°
P
Q
5.
Si las alturas homólogas de dos triángulos semejantes miden 4 2 y 10 2 ,
6.
En la figura 5, el área del ABC es 48 cm2. Si DE // BC , ¿cuál es el área del
entonces, la razón de sus perímetros, respectivamente, es
ADE?
E fig. 5 C
15 10
A
D
B
Rp m c 8 0 1 . 6
2
5 : 2 . 5
m c 4 . 4
m c 6 3 . 3
9 4 : 9 . 2
3 : 1 . 1
PÁGINA 21 2.3
GEOMETRÍA PROPORCIONAL
Tm Th
Si dos rectas se cortan por tres o más paralelas, los segmentos determinados en una de ellas son, respectivamente, proporcionales a los segmentos determinados en la otra. L1 y L2 son rectas y AD //
BE
//
CF
A
AB DE BC EF
Entonces:
B
D E F
C
L2
L1
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Unidad 15 Módulo 3
Ejs 1.
En la figura 1, L1 // L2 // L3. Entonces,
x mide
L1
fig. 1 9
12 20
L2 x
L3 2.
Si en la figura 2, L1 // L2 // L3, entonces x – y =
L1 12
6
4
y
x
L2 L3
12
fig. 2
GEOMETRÍA PROPORCIONAL
PÁGINA 22
¿En cuál(es) de las siguientes figuras se cumple que L 1 // L2?
3.
I)
II)
III)
6 4
6
6 12
18
L1
L2
L1
L2
L1
L2
L3
En el trapecio ABCD, de bases AB y DC , de la figura 3, ¿cuál es el valor de x?
4.
D
C x+6
x+2
fig. 3
9
12
A 5.
12
4
12
L3
8
4
18
B
En la figura 4, FG // DE // AB y FD : FA = 3 : 5. Entonces, GE : EB =
C G
F D
E
A 6.
fig. 4
B
En el PQR ST mide
de la figura 5,
ST // PQ . Si RT : TQ = 3 : 5 y PQ = 12 cm, entonces
R fig. 5 S P
T Q
Rp m c 5 , 4 . 6
2 : 3 . 5
0 1 . 4
I I y I . 3
0 1 . 2
6 . 1
PÁGINA 23 2.4
GEOMETRÍA PROPORCIONAL
Tm b
En todo triángulo la bisectriz de un ángulo interior corta al lado opuesto en la misma razón que los lados adyacentes C
AD AC DB CB CD es bisectriz
D
A
B
Ejs 1.
En el triángulo ABC de la figura 1, AD es bisectriz. Si AC : AB = 3 : 4, entonces
BD : DC =
C D
A 2.
fig. 1
B
En el triángulo ABC de la figura 2, CD es bisectriz del ángulo ACB, AC = 2,
AD = 4 y CB = 6. ¿Cuál es la medida de DB ?
C fig. 2
A
D
B
GEOMETRÍA PROPORCIONAL 3.
PÁGINA 24
En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 3, los catetos a y b miden 21 y 28, respectivamente. Si CD es bisectriz del ángulo recto, entonces las medidas de m y n son
C b
m
A
4.
fig. 3
a n
D
B
En el triángulo ABC de la figura 4, el trazo BD es bisectriz del ángulo ABC.
¿Cuánto mide el segmento CD? B
6
C
D
A 8
5.
En el triángulo ABC, el segmento AD es bisectriz. ¿En qué razón están los
segmentos BD y DC, respectivamente?
A 6 3
B
D
C
Rp 1 : 2 . 5
3 . 4
5 1 y 0 2 . 3
2 1 . 2
3 : 4 . 1
PÁGINA 25 2.5
GEOMETRÍA PROPORCIONAL
Tm
El triángulo ABC es rectángulo en C y CD es altura. C
a y b catetos, c es hipotenusa
A qD
p y q: proyecciones de los catetos a y b, respectivamente. Los triángulos ABC, ACD y CBD son semejantes.
a
b h p
B
c
Teorema referente a la altura: En todo triángulo rectángulo, la altura h al cuadrado es igual al producto entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. h2 = p · q
Teorema referente a los catetos: En todo triángulo rectángulo cada cateto al cuadrado es igual al producto entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa. b2 = q · c
a2 = p · c
Obv h=
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b c
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Unidad 15 Módulo 4
Ejs 1.
En el triángulo ABC de la figura 1, CD AB y AC CB . ¿Cuál es la medida del
segmento CD?
C fig. 1
A
8
D
18
B
GEOMETRÍA PROPORCIONAL 2.
PÁGINA 26
Si el triángulo ABC de la figura 2 es rectángulo en C, entonces la medida de BD
es
C
fig. 2
4
A
3.
D
2
B
Sea el triángulo ABD de la figura 3 rectángulo en A. Si AC es altura, entonces
BD = D
C
4
B fig. 3
6
A 4.
En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 4, CD es altura. ¿Cuál(es) de los siguientes pares de datos es (son) posibles valores para AD y DB ,
respectivamente? I)
25 y 4
II)
5 y 20
III)
B D 10
10 y 10 10
C 5.
fig. 4
A
En el triángulo rectángulo en C de la figura 5, si CD es altura, entonces CD
mide
C fig. 5 3
4
A
D
B
Rp 5
. 5
2 1
I I I y I I , I . 4
9 . 3
8 . 2
2 1 . 1
PÁGINA 27
3. 3.1
GEOMETRÍA PROPORCIONAL
Pp Tm
Si dos cuerdas de una circunferencia se intersectan en el interior de ella, el producto de los segmentos determinados en una de ellas es igual al producto de segmentos determinados en la otra. B D
C P
AP PB = CP PD ·
·
A 3.2
Tm
Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de una de ellas por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior. B D P
PA PC = PB PD ·
·
C A 3.3
Tm g y
Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una tangente y una secante, la tangente al cuadrado es igual al producto entre la secante y su segmento exterior. T PT2 = PA PB
P
·
A
B
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Unidad 15 Módulo 6
GEOMETRÍA PROPORCIONAL
PÁGINA 28
Ejs 1.
En la circunferencia de centro O de la figura 1, DB CA . Si BE = 10 cm y CE = 5 cm, entonces ¿cuánto mide el diámetro CA ?
D E
C
fig. 1
O A 2.
B
En la circunferencia de la figura 3, PC y PB son secantes. Si PC = 10 cm, DC = 2 cm y PA = 4 cm, entonces PB mide
C D P
3.
fig. 3 B
A
Sea la circunferencia de centro O de la figura 4. Si PT es tangente en T y PB es
secante, entonces el radio de la circunferencia es T 4 cm
P
4.
O 2 cm
B
A
fig. 4
En la circunferencia de centro O de la figura 5, PT es tangente en T y PC es
secante. Si PC = 2 CA y PT = 12 cm, entonces PC mide ·
T
P
fig. 5
A
O
C
Rp m c 2 2 1 . 4
m c 3 . 3
m c 0 2 . 2
m c 5 2 . 1
PÁGINA 29
GEOMETRÍA PROPORCIONAL
Dv
4.
Dv
4.1
Un punto P perteneciente a un trazo AB lo divide en la razón m:n, si AP:PB = m:n. AP m = PB n
A
B
P
Dv á v
4.2
Dividir un trazo en sección áurea o divina, consiste en dividirlo en dos segmentos, de modo que la razón entre el trazo entero y el segmento mayor sea igual a la razón entre el segmento mayor y el menor.
A
AB AP = AP PB
AP > PB
B
P
Obv:
AB se denomina razón áurea, y su AP
La razón
valor es el número áureo ( ). = AB = AP
5 + 1 1,618034 2
Ejs 1.
¿Cuál(es) de los siguientes trazos se ha(n) dividido en la razón 3 : 2?
I)
II) 9
A
III) 10
6
B
8
5
C
A
B
C
A
16
B
C
GEOMETRÍA PROPORCIONAL
PÁGINA 30
2.
Un trazo de 24 cm ha sido dividido en dos partes en la razón 3 : 5. Entonces, el
3.
Sea AB un trazo de 50 cm que se ha dividido interiormente por un punto P, en dos
4.
trazo menor mide
segmentos que están en la razón 3 : 7. ¿Cuánto mide el segmento mayor?
¿Cuál(es) de los siguientes trazos está(n) dividido(s) en razón áurea?
I)
II)
A
2( 5 - 1)
2( 5 + 1)
3
III)
B
C
A
4( 5 + 1)
8
B
A
C
B
C
8 5.
6.
Un punto C divide en sección áurea a un trazo AB, con AC > CB. Si AB = 8 cm y
CB = x, entonces la ecuación para determinar x es
El trazo AJ se ha dividido en 9 partes congruentes, tal como se muestra en la
figura 2. Es correcto afirmar entonces que
A
B I)
C
D
E
F
G
H
I
J
fig. 2
AD = CI BJ BF
II) D divide a AJ en razón áurea. III) AI = BJ AD
BD
Es (son) verdadera(s)
Rp I . 6
0 = 4 6 + x 4 2 – 2 x . 5
I I I . 4
. m c 5 3 . 3
m c 9 . 2
I . 1
PÁGINA 31
5. 5.1
ISOMETRÍAS
Imí Sm g
P
ara determinar la posición de los puntos de un plano usando coordenadas cartesianas rectangulares, se emplean dos rectas perpendiculares (ortogonales) y el punto de intersección se considera como origen. Eje de las Ordenadas
II Cuadrante
I Cuadrante
Eje de las Abscisas
III Cuadrante
IV Cuadrante
Obv:
Los puntos destacados en la figura son; A = (4,4), B = (0,0) y C = (-5,-3)
Los puntos que están en el eje x, tienen ordenada igual a cero. Su forma es (x,0)
Los puntos que están en el eje y, tienen abscisa igual a cero. Su forma es (0,y)
Ejs 1.
¿En qué cuadrante del plano cartesiano está ubicado el punto ( -1,1)?
ISOMETRÍAS
PÁGINA 32
2.
¿En qué cuadrante del plano cartesiano está ubicado el punto (0,2)?
3.
Sean
4.
Al unir los puntos del plano (0,0), (2,2), (6,2) y (4,0) el cuadrilátero que se
5.
Si los puntos (3,0), (0,4) y (- 3,0) son vértices de un romboide, entonces el
6.
a y b números enteros, de modo que a < b. Entonces, el punto cuyas coordenadas son (a – b, b – a) se ubica en el cuadrante
forma es un
vértice que falta (ubicado en el segundo cuadrante) es
En el cuadrado cuyos vértices son los puntos (0,0), (4,4), (0,4) y (a,b), la suma
de a y b es
Rp 4 . 6
) 4 , 6 ( . 5 e d i o b m o r . 4
I I . 3
o n u g n i N . 2
I I . 1
PÁGINA 33 5.2
S
ISOMETRÍAS
Imí
e llaman transformaciones isométricas en el plano o isometrías en el plano, a aquellas funciones que se aplican a todos los puntos del plano, y que una vez
aplicadas a los puntos de una figura F, la figura imagen F’ conserva todas las
dimensiones, tanto lineales como angulares, de la figura primitiva F. Las isometrías más importantes son: Las traslaciones, las rotaciones y las simetrías. 5.3
T C
L
as traslaciones, son aquellas isometrías que permiten desplazar en línea recta todos los puntos del plano. Este desplazamiento se realiza siguiendo una determinada dirección, sentido y distancia, por lo que toda traslación queda definida por lo que se llama su “vector de traslación”. Al ABC se le aplicó el vector traslación t obteniéndose el A’B’C’.
t B
C’
t
B’
t
A
A’
Obv:
Una figura jamás rota; es decir, el ángulo que forma con la horizontal no varía. No importa el número de traslaciones que se realicen, siempre es posible resumirlas en una única. Para reforzar estos contenidos accede a: www.preupdvonline.cl
Unidad 16 Módulo 1
Ejs 1.
¿Cuál(es) de los siguientes casos representa(n) una traslación?
I)
2.
II)
III)
En la figura 1, cada cuadradito representa una unidad cuadrada. Si el punto P’
se ha obtenido por traslación del punto P, ¿cuáles serán las nuevas coordenadas del punto A(-1, 1) si aplicamos la misma traslación? P’
P
fig. 1
ISOMETRÍAS 3.
PÁGINA 34
En la figura 2, ¿cuál es el vector de traslación que se aplicó al triángulo A para
obtener el triángulo B? y 5
fig. 2
4
A
3
B
2 1 0
-1 4.
0 1
2
3
4
5
6
7
8
x
9 10 11
Al aplicar el vector traslación T(2, -2) al triángulo ABC de la figura 3, resulta un
triángulo de vértices A 1, B1, C1, cuyas coordenadas respectivas son y C
7
fig. 3
6 5 4 3 2
A
1 0 0 1
5.
2
B 3
4
5
6
7
8
x
A y B de la figura 5, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es (son) FALSA(S)? I) Para obtener A a partir de B se aplica el vector de traslación T(-7,3). II) Las figuras A y B tienen áreas distintas. III) Al aplicar a la figura A el vector de traslación T 1(-1,-6) y a continuación aplicar el vector de traslación T2(-6,9), se obtiene la figura B. y Dados los dibujos
10 9 8 7
B
6
fig. 5
5 4
A
3 2 1 0
1
2
3 4 5
6
7 8 9 10 11 12 13
x
Rp I I y I . 5
) 5 , 4 ( , ) 1 - , 9 ( , ) 1 - , 4 ( . 4
) 1 - , 5 ( . 3
) 5 , 2 ( . 2
I I y I . 1
PÁGINA 35 5.4
ISOMETRÍAS
R
L
B as rotaciones, son aquellas isometrías que permiten girar todos los A’ puntos del plano. Cada punto gira siguiendo un arco que tiene un centro y un ángulo bien determinados, por lo que toda rotación queda O definida por su centro de rotación y por su ángulo de giro. Si la B’ rotación se efectúa en sentido contrario a como giran las manecillas del reloj, se dice que la rotación es positiva o antihoraria; en caso A contrario, se dice que la rotación es negativa u horaria.
Al segmento AB, se le aplicó una rotación de centro O y ángulo de giro de 180º.
Obv:
Una rotación con centro P y ángulo de giro , se representa por R(P, ). Si la rotación es negativa, se representa por R(P, - ).
El centro de rotación se mantiene invariante ante una rotación.
Si rotamos el punto (x, y) con respecto al origen O(0, 0) en un ángulo de giro de 90º, 180º, 270º ó 360º, las coordenadas de los puntos obtenidos están dados en la siguiente tabla.
Punto Inicial
R(0, 90º)
R(0, 180º)
(x, y)
(-y, x)
(-x, -y)
R(0, 270º) R(0, 360º) (y, -x)
(x, y)
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Unidad 16 Módulo 1
Ejs 1.
¿En cuál(es) de los siguientes casos la figura sombreada se puede obtener por
rotación de la figura no sombreada? I)
2.
II)
III)
Al aplicar una rotación de centro en el origen y ángulo de giro de 270º, en sentido antihorario, al punto A(3,1), se obtiene el punto A’ cuyas coordenadas
son
ISOMETRÍAS
PÁGINA 36
3.
Al segmento AB, de coordenadas A(1,2) y B(5,2) se aplica una rotación de 180° respecto del punto (3,2), obteniendo el segmento A’B’, de coordenadas
4.
En el plano cartesiano de la figura 1, al rotar el triángulo de vértices A, B y C en 180º con centro en (0,0), se obtiene otro triángulo de vértices
y B
4
fig. 1
3 2
A
1 0
-2
-1
C 5.
1
2
3
x
-1
Al rotar el trapecio ABCD de la figura 2, con centro en el origen O y un ángulo de 90º, se obtendrá un trapecio A’B’C’D’ cuyos vértices son
y D
4 3
C
fig. 2
2
A
1
B
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 -2
6.
x
Si al triángulo de vértices A(1,1), B(1,4) y C( -3,1), se aplica una rotación con respecto al origen R(0, 90º) se transforma en el triángulo A’B’C’ y a éste se aplica la traslación T(2,1), se obtiene el triángulo A’’B’’C’’, cuyos vértices
respectivos son
Rp ) 2 - , 1 ( y ) 2 , 2 ( , ) 2 , 1 ( . 6 ) 1 , 2 ( ’ C , ) 4 ( ’ B , ) 1 ( ’ A . 4 - , 1 - , 3 -
( ’ D , ) 0 , 4 ( ’ C , ) 2 , 1 ( ’ B , ) 4 ( ’ A . 5 ) 2 - , 4 - , 1 ) 2 , 1 ( ’ B y ) 2 , 5 ( ’ A . 3
) 3 - , 1 ( . 2
I I y I . 1
PÁGINA 37 5.5
ISOMETRÍAS
Smí
L
as simetrías o reflexiones, son aquellas transformaciones isométricas que invierten los puntos y figuras del plano. Esta reflexión puede ser respecto de un punto (simetría central) o respecto de una recta ( simetría axial). 5.6
Smí
Dado un punto fijo O del plano, se llama simetría (reflexión) con respecto a O a aquella isometría que lleva cada punto P del plano a una posición P’ de modo que P’ está en la recta OP, a distinto lado con respecto a O, y OP = OP’. El punto O se llama centro de la simetría y P, P’ puntos correspondientes u homólogos de la
simetría.
La figura muestra un triángulo simétrico con respecto a O. Q P’
O
R’
OP = OP’ OQ = OQ’ OR = OR’
R
P
Q’
Obv:
Una simetría (reflexión) respecto de un punto O equivale a una rotación en 180º de centro O. Los trazos de la figura original son paralelos con los trazos homólogos de la figura transformada. El sentido de la figura no cambia respecto al giro de las manecillas del reloj. Todo punto del plano cartesiano A(x,y) tiene su simétrico A’(-x,-y) con respecto al origen O(0,0). Para reforzar estos contenidos accede a: www.preupdvonline.cl
Unidad 16 Módulo 2
Ejs 1.
¿En cuál(es) de los siguientes casos la figura sombreada corresponde a una
reflexión central de la otra figura? I)
II)
III)
ISOMETRÍAS 2.
PÁGINA 38
Al triángulo de la figura 1 se aplica una reflexión central con respecto al origen.
¿Cuáles son las nuevas coordenadas del vértice C? y
C
5
fig. 1 1
A
B
1
3
6
x
3.
P de coordenadas (3,2) se aplica una reflexión central con respecto al punto A de coordenadas (1,3). ¿Cuáles son las nuevas coordenadas del punto P?
4.
En el plano cartesiano (figura 3), el segmento A’B’ de coordenadas (5, -2) y
Al punto
(3,0) se obtiene a partir del segmento AB de coordenadas A(3,4) y B(5,2) al cual
se le aplica una simetría central con respecto al punto de coordenadas y A
4 3
B
2 1
-1-1 -2 5.
fig. 3
B’ 1 2 3 4 5 6
x
A’
Al paralelogramo ABCD de la figura 4, se aplica una simetría central respecto del
origen. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I)
La abscisa de B se transforma en -1
II) El origen refleja a A en A’(3, 2).
y
III) A'C' B'D'
3
C
D2 1 0
-3 -2 -1
A
-1 -2
1
2
3
fig. 4 x
B
Rp I I y I . 5
) 1 , 4 ( . 4
) 4 , 1 ( . 3
) 5 - , 3 ( . 2
I I y I . 1
PÁGINA 39 5.7
ISOMETRÍAS
Smí x
Dada una recta fija L del plano, se llama simetría axial con respecto a L o reflexión con respecto a L, a aquella isometría tal que, si P y P’ son puntos homólogos con respecto a la recta L, PP' L y además, el punto medio de PP´ está en L. L
Q
Q’
P
R
P’ R’
Obv:
En una simetría axial, las figuras cambian de sentido respecto del giro de las manecillas del reloj. No es posible superponer, mediante traslaciones y/o rotaciones, los triángulos congruentes PQR y P’Q’R’.
Los puntos de la recta L permanecen invariantes ante esta reflexión. Todo punto del plano cartesiano A(x,y) tiene un simétrico A’(x,-y) con respecto al eje de las abscisas y un simétrico A”(-x ,y) con respecto al eje de las ordenadas. Para reforzar estos contenidos accede a: www.preupdvonline.cl
Unidad 16 Módulo 2
Ejs 1.
¿En cuál de los siguientes casos se verifica una simetría axial con respecto a L?
I)
2.
L
II)
L
III)
L
Si al punto P(-2,3) se aplica una reflexión con respecto al eje de las abscisas.
¿Cuáles son las coordenadas del punto homólogo de P?
ISOMETRÍAS 3.
PÁGINA 40
Al triángulo ABC de la figura 2, se aplica una simetría (reflexión) respecto a la
recta L (L // Eje y). Entonces, las coordenadas del vértice B se transforman en y 5 4
L B
3
fig. 2
2 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 -2 -3 -4 A -5 4.
1
2
3
4
x
5
C
En la figura 3, PQRS es un cuadrilátero simétrico al cuadrilátero P’Q’R’S con respecto al eje y. ¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero P’Q’R’S?
y R’
R
4 2
Q’
S
fig. 3 Q
1
P’
5.
2
P
5 6
x
simetría axial con respecto al eje y al trazo AB de la figura 4, el punto A se trasforma en el punto A’ de Abscisa a, y si luego aplicamos una simetría central con respecto al origen de coordenadas al trazo transformado A 'B' , obtenemos el trazo A ''B'' cuyo punto B’’ tiene ordenada b. Luego a + b = Si aplicamos una
y B A x
fig. 4
Rp 1 . 5
) 2 , 4 ( . 4
) 3 , 1 ( . 3
) 3 - , 2 ( . 2
I . 1
PÁGINA 41 5.8
ISOMETRÍAS
Ej mí
Es aquella recta que atraviesa una figura dividiéndola en dos partes simétricas con respecto a la recta.
Eje de Simetría
Obv:
5.9
Existen figuras que no tienen eje de simetría
Existen figuras que tienen sólo un eje de simetría.
Existen figuras que tienen más de un eje de simetría.
La circunferencia tiene infinitos ejes de simetría.
C mí
Sea P el centro de simetría de una figura entonces cada punto de la figura tiene su respectivo simétrico con respecto a P en ella misma. A
B
C’
P
C
B’
A’
Obv:
El centro de simetría es único.
La distancia desde un punto de la figura al centro de simetría es la misma distancia desde el centro de simetría a su punto homólogo.
Para cada punto de la figura existe su punto homólogo en la misma figura.
No todas las figuras tienen centro de simetría.
En una circunferencia el centro de simetría es el centro de la circunferencia.
ISOMETRÍAS
PÁGINA 42
Ejs 1.
¿Cuál es el número ejes de simetría que tiene un cuadrado?
2.
¿Cuál(es) de las siguientes letras tiene(n) eje(s) de simetría?
I)
Z
II) W III) N 3.
¿Cuántos centros de simetría tiene un pentágono regular?
4.
¿Cuál(es) de las siguientes letras tiene(n) centro de simetría?
I)
Z
II) X III) N 5.
Un cuadrilátero tiene centro de simetría, entonces el cuadrilátero puede ser
I)
Rombo.
II) Romboide. III) Deltoide. 6.
Conteste verdadero (V) ó falso (F)
a. ____ El punto medio de un segmento es centro de simetría de él. b. ____ El triángulo isósceles no equilátero tiene tres ejes de simetría. c. ____ Un cuadrado tiene cuatro centros de simetría. d. ____ Un triángulo equilátero tiene centro de simetría. e. ____ El deltoide tiene eje de simetría. f. ____ Un diámetro de una circunferencia es eje de simetría de ella. g._____ El punto de intersección de las diagonales de un rombo es su centro de simetría. h. ____ Las diagonales de un trapecio isósceles son ejes de simetría de él.
Rp F = h ; V = g ; V = f I I y I . 5
; V = e ; F = d ; F = c
I I I y I I , I . 4
0 . 3
; F = b ; V = a . 6 I I . 2
4 . 1
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6.
ISOMETRÍAS
Hm
Es una transformación que a partir de un punto fijo (centro de homotecia) multiplica todas las distancias por un mismo factor (razón de homotecia). Es decir, al aplicar una homotecia de centro O y razón k a un punto P cualquiera, se obtiene otro punto P’, tal que P, O y P’ son colineales y OP’ = k · OP C’
OA' OB' OC' = = =k OA OB OC
C B
O
B’
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Unidad 15 Módulo 5
A A’
Si O es centro de homotecia y k es la razón de homotecia, entonces ABC ~ A’B’C’
Obv:
La homotecia permite ampliar o reducir figuras, manteniendo la forma. Al aplicar una homotecia se obtiene una figura semejante a la original, por lo tanto, se cumplen todas las propiedades de las figuras semejantes. Si k > 1 implica una ampliación de la figura, si k < 1 implica una reducción de la figura. Al aplicar una homotecia de razón negativa se obtiene una imagen invertida de la figura original.
Ejs 1.
Si a un hexágono de perímetro 36 cm se aplica una homotecia de razón k = 2 : 1, entonces el perímetro del nuevo hexágono es
2.
A un pentágono de área 108 cm 2 se aplica una homotecia de razón k = 1 : 3,
obteniéndose un pentágono de área
