3-vibrazioni libere

La risposta in vibrazioni libere di un sistema lineare viscoso a un grado di libertà

Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture

1

Richiami di algebra complessa

1/4

Nel seguito alcune variabili fisiche saranno indicate in notazione complessa. Si richiamano

qui alcuni concetti elementari.

Notazione algebrica

In notazione algebrica un numero complesso c si scrive come somma di una parte reale a e di

una parte immaginaria b, cioè c = a + ib in cui i = !1 è l’unità immaginaria.

Rappresentazione geometrica

Un numero complesso c può essere rappresentato graficamente in un piano cartesiano mediante

un punto C, di cui a rappresenta l’ascissa e b l’ordinata. Il piano cartesiano prende il nome di piano complesso o

piano di Argand. Le ascisse sono indicate con il simbolo

Re, mentre le ordinate con il simbolo Im. La parte reale e

quella immaginaria possono essere espresse con le notazioni

a = Re (c);

b = Im (c) !


2


2/4

Numeri complessi e coniugati

Due numeri complessi c e si dicono coniugati quando hanno la stessa parte reale e la parte

immaginaria di segno opposto, cioè c = a + ib c = a ! ib Notazione trigonometrica

Nel piano complesso, il numero complesso c può anche essere rappresentato mediante il vettore

orientato OC, avente modulo

! = a2 + b2 e angolo di fase (o argomento)

C

! = tan

!1

(b a)

positivo se antiorario. In notazione trigonometrica,

quindi, il numero complesso c si può scrivere

c = ! cos" + i! sin " = ! (cos" + isin ! )


!

3

Richiami di algebra complessa …

3/4

c = ! (cos" + isin ! )

Inoltre, poiché si può dimostrare che vale la relazione

ei! = cos! + isin ! detta formula di Eulero, si può anche scrivere

c = ! (cos" + isin " ) = ! ei" Il numero complesso e coniugato assume la forma

c = ! (cos" ! isin " ) = ! e!i" Inoltre, poiché risulta

cos2 ! + sin 2 ! = 1

si osserva che l’esponenziale con esponente immaginario

ei! = cos! + isin ! rappresenta un numero complesso di modulo unitario e argomento ! .


4


4/4

Prodotto tra due numeri complessi

In notazione trigonometrica il prodotto tra due numeri complessi

c = ! ei"

d = # e i$

è uguale a un numero complesso che ha per modulo il prodotto

dei moduli e per argomento la somma degli argomenti, cioè

cd = !" e (

i ! +" )

!

Ne segue che se d ha modulo unitario, cioè se

d = e i! il prodotto cd equivale a ruotare il vettore rappresentativo di

c in senso antiorario di un angolo β.

! Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture

5

Vibrazioni libere

Per vibrazioni libere si intendono quei moti che avvengono in assenza di forze applicate e che

sono dovuti a condizioni iniziali diverse dallo stato di quiete. Queste condizioni possono essere

espresse in termini dello spostamento e della velocità del sistema all’istante iniziale del moto.

In questo caso l’equazione che governa il moto è omogenea e si scrive

m!! u ( t ) + cu! ( t ) + ku ( t ) = 0 La risposta in vibrazioni libere può essere espressa nella forma

()

u t = Cest in cui C ed s sono costanti arbitrarie, in generale complesse, che dipendono dalle proprietà

dinamiche del sistema e dalle condizioni iniziali del moto.

Poiché risulta

u! ( t ) = sCe st e u!!( t ) = s 2Ce st sostituendo nell’equazione del moto si ha

( ms Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture

2

)

+ cs + k Ce st = 0 6

Equazione caratteristica …

1/2

( ms

2

)

+ cs + k Ce st = 0

Poiché la quantità Cest è diversa da zero, l’equazione precedente è soddisfatta se risulta

ms 2 + cs + k = 0 La relazione rappresenta l’equazione caratteristica dell’equazione differenziale del moto.

I valori di s che la soddisfano dipendono dalle proprietà dinamiche del sistema, cioè dalla

massa m, dallo smorzamento c e dalla rigidezza k. Dividendo tutti i termini per m e ponendo

!2 =

k m

l’equazione caratteristica assume la forma

s2 +


c s +!2 = 0 m

7

Equazione caratteristica

2/2

…

s2 +

c s +!2 = 0 m

Le radici dell’equazione caratteristica assumono la forma

s1,2

2 2 ) , c c " c % " c % 2 =! ! $ ! $ '& ! ( = ( + ! '& ! 1 . # # 2m 2m 2m( +* 2m( .-

in cui

!=

k m

prende il nome di frequenza naturale circolare non smorzata. Assumendo che m e k siano

assegnati, le radici dell’equazione caratteristica mostrano che la risposta in vibrazioni libere

dipende dalla quantità di smorzamento c presente nel sistema.


8

Vibrazioni libere non smorzate

1/8

Per un sistema non smorzato risulta c = 0 e l’equazione caratteristica ammette le radici seguenti

(

s1,2 = ! ! !1

)

= !i!

che risultano complesse e coniugate, puramente immaginarie, in cui i = !1 è l’unità

immaginaria. La risposta in vibrazioni libere, quindi, è data dalla somma di due termini, cioè

u (t ) = C1e s1t + C2 e s2t = C1e!i!t + C2 ei!t dove le costanti C1 e C2 rappresentano le ampiezze incognite delle vibrazioni corrispondenti.

Affinché la risposta in vibrazioni libere sia una funzione reale del tempo t, i due termini

complessi devono anche essere coniugati. Pertanto, poiché i due esponenziali sono coniugati,

anche le costanti complesse C1 e C2 devono essere coniugate, cioè

C2 = C1 La risposta si scrive quindi

u (t ) = C1e!i!t + C1ei!t


9

Vibrazioni libere non smorzate …

2/8

u (t ) = C1e!i!t + C1ei!t

I due termini a secondo membro della possono essere rappresentati graficamente come vettori

rotanti nel piano complesso. Si consideri inizialmente il primo termine

u1 (t ) = C1e!i!t e si ponga

C1 =

1 ( A + iB) 2

Al tempo t = 0 risulta

u1 ( 0) = C1 il cui vettore rappresentativo è indicato con OD in figura.

Per t > 0, poiché il termine e!i" t è un numero complesso di modulo

unitario, il vettore che corrisponde a u1(t), OD’, si ottiene ruotando

di ωt in verso orario il vettore OD, come è indicato sempre in figura.


!

10


3/8

Allo scorrere del tempo t, il vettore che rappresenta u1(t) ruota in verso orario con una velocità

angolare costante uguale ad ω. Per questa ragione ω, che si misura in radianti al secondo,

assume il significato di frequenza naturale circolare del sistema. Il tempo impiegato dal

vettore OD a compiere un intero giro, pari a 2π radianti, prende il nome di periodo naturale di

vibrazione e si indica con T. Si ha cioè

!T = 2" da cui si ottiene

2! " Considerando un giro completo del vettore OD come un

ciclo di vibrazione, si può introdurre la frequenza ciclica ! f= 2" che si misura in cicli al secondo, comunemente indicati Hertz (Hz).

Il periodo naturale di vibrazione è anche pari all’inverso della

frequenza ciclica, cioè

1 T= f T=

!

e rappresenta il tempo impiegato a compiere un ciclo completo di vibrazione.


11

Vibrazioni libere non smorzate Il secondo termine della risposta

4/8

u2 (t ) = C1ei!t

può essere rappresentato allo stesso modo. All’istante di tempo t = 0 il vettore rappresentativo

OE giace nel semipiano negativo, mentre l’angolo ωt varia in verso antiorario.

!


12


5/8

Dal confronto tra le figure precedenti, si può osservare che i vettori OD’ e OE’ sono simmetrici

rispetto all’asse reale per qualunque valore di t. Per questa ragione il vettore che rappresenta la

risposta complessiva, ottenuto dalla somma dei vettori OD’ e OE’ e indicato con OR’ in figura,

giace sempre sull’asse reale.

!

Di conseguenza, la risposta in termini di spostamento può essere calcolata attraverso la relazione

"1 % u (t ) = 2 Re C1e!i!t = 2 Re $ ( A + iB) (cos! t ! isin ! t )' = A cos! t + Bsin ! t #2 & mentre quella in termini di velocità assume la forma

(

)

u! (t ) = ! (!Asin ! t + B cos! t ) Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture

13


u (t ) = A cos! t + Bsin ! t

6/8

u! (t ) = ! (!Asin ! t + B cos! t )

Le costanti A e B possono essere determinate attraverso le condizioni iniziali del moto in termini

di spostamento e di velocità.

! u 0 =u = A # ( ) 0 " #$ u! ( 0) = u!0 = ! B da cui si ottiene

! A=u 0 # " u!0 B = # ! $ La risposta in termini di spostamento di un sistema lineare non smorzato a un grado di libertà

in vibrazioni libere assume quindi la forma

u (t ) = u0 cos! t + Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture

u!0 sin ! t ! 14


u (t ) = u0 cos! t +

7/8

u!0 sin ! t !

Tale moto può essere interpretato nel piano complesso come la somma delle proiezioni sull’asse

reale di due vettori, di ampiezza u0 e u!0 !, che ruotano in senso antiorario con velocità angolare

ω.

La risposta può anche essere ottenuta come proiezione

sull’asse reale del vettore somma, cioè

u (t ) = ! cos (" t ! ! ) in cui

!=

2

(u0 ) + (u!0 ! )

2

è il modulo e

" u!0 % ! = tan $ ' ! u # 0& è l’angolo di fase.

!1


!

15


8/8

u (t ) = ! cos (" t ! ! )

L’andamento della risposta è riportato nella figura seguente.

T=

2! "


16


17

Vibrazioni libere smorzate

1/8

Se il sistema è smorzato risulta c ≠ 0 e le radici dell’equazione caratteristica assumono la forma 2 ( + " % c c s1,2 = ! *! ! $ ' !1# 2m! & *) 2m! -,

Introducendo il rapporto di smorzamento viscoso

!=

c 2m"

in cui la quantità 2mω = cc prende il nome di smorzamento critico, si ha

s1,2 = ! "#!" ! " 2 !1$% A questa relazione corrispondono tre tipi di moto, che dipendono dal segno della quantità

sotto radice.


18


1/11

Sistemi con smorzamento critico

Se c è uguale a cc, risulta ξ = 1 e lo smorzamento si dice critico. Di conseguenza le radici

dell’equazione caratteristica sono reali e coincidenti, cioè

s1,2 = !! In questo caso particolare la soluzione dell’equazione del moto in termini di spostamento

assume la forma

u (t ) = (C1 + C2 t ) e!!t in cui la costante C2 moltiplica il tempo t, dato che le due radici sono coincidenti. Derivando

rispetto al tempo t si ottiene la risposta in termini di velocità

u! (t ) = "#!!C1 + (1! ! t ) C2 $% e!!t


19

Vibrazioni libere smorzate …

u (t ) = (C1 + C2 t ) e!!t

2/11

u! (t ) = "#!!C1 + (1! ! t ) C2 $% e!!t

Poiché l’esponenziale è reale, anche le costanti C1 e C2 devono essere reali. Queste costanti si

determinano attraverso le condizioni iniziali del moto in termini di spostamento e di velocità,

cioè

" u 0 =u =C $ ( ) 0 1 # $% u! ( 0) = u!0 = !! u0 + C2 da cui si ottiene

!# C = u 1 0 " $# C2 = u!0 + ! u0 Sostituendo si ha infine

u (t ) = !"u0 + (u!0 + u0! ) t #$ e%!t = !"u0 (1+ ! t ) + u!0 t #$ e%!t


20


3/11

… u (t ) = !"u0 + (u!0 + u0! ) t #$ e%!t = !"u0 (1+ ! t ) + u!0 t #$ e%!t che è rappresentata graficamente in figura per valori positivi delle condizioni iniziali u

0 e u!0 .

!

Si nota che la risposta in vibrazioni libere di un sistema con smorzamento critico non presenta

oscillazioni attorno alla posizione di spostamento nullo. Lo smorzamento critico di un sistema

lineare si può definire come il più piccolo valore dello smorzamento per cui la risposta in

vibrazioni libere perde il carattere oscillatorio.


21


4/11

Sistemi con smorzamento superiore a quello critico

È molto raro che nei sistemi strutturali lo smorzamento sia superiore al valore critico, anche se

talvolta ciò può accadere come, ad esempio, per alcuni tipi di sistemi meccanici. In questo caso

si ha ξ > 1 e la quantità sotto radice della relazione

s1,2 = ! "#!" ! " 2 !1$% risulta positiva. Le soluzioni dell’equazione caratteristica sono quindi reali e distinte, cioè

s1,2 = !!" ! " ! 2 !1 = !!" ! "ˆ Sostituendo, dopo alcuni passaggi si ottiene

u (t ) = (C1 cosh !ˆ t + C2 sinh !ˆ t ) e!!"t in cui le costanti C1 e C2, anche questa volta reali, possono essere determinate attraverso le

condizioni iniziali del moto. Si può facilmente mostrare che la risposta di un sistema con

smorzamento superiore a quello critico è qualitativamente simile a quella di un sistema con

smorzamento critico. Tuttavia il ritorno verso la posizione di spostamento nullo è più lento e

dipende dalla quantità di smorzamento presente nel sistema.


22


5/11

Sistemi con smorzamento inferiore a quello critico

Se lo smorzamento è inferiore al valore critico, cioè se risulta 0 < ξ < 1, la quantità sotto radice

nella relazione

s1,2 = ! "#!" ! " 2 !1$% è negativa e si ha

s1,2 = !!" ! " ! 2 !1 = !!" ! i" 1! ! 2 Introducendo la frequenza naturale smorzata

! D = ! 1! " 2 si può scrivere

s1,2 = !!" ! i! D La relazione mostra che, così come per i sistemi non smorzati, anche per i sistemi con

smorzamento inferiore a quello critico le radici dell’equazione caratteristica sono complesse e

coniugate. La risposta in vibrazioni libere si scrive pertanto

(

)

u (t ) = C1e s1t + C2 e s2t = C1e!i! Dt + C2 ei! Dt e!!"t Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture

23

Vibrazioni libere smorzate …

6/11

(

)

u (t ) = C1e s1t + C2 e s2t = C1e!i! Dt + C2 ei! Dt e!!"t

in cui le costanti C1 e C2 devono essere complesse e coniugate affinché u(t) sia reale. Come nel

caso dei sistemi non smorzati, anche i due termini della relazione precedente possono essere

rappresentati come vettori rotanti nel piano complesso, con le uniche differenze che la frequenza

circolare è ora ωD e che l’ampiezza dei vettori si riduce nel tempo per effetto dell’esponenziale.

Utilizzando lo stesso procedimento, la risposta può essere espressa nella forma trigonometrica

equivalente

u (t ) = ( A cos! D t + Bsin ! D t ) e!!"t da cui, derivando rispetto al tempo, si ha

u! (t ) = !"#(!" cos" D t + " D sin " D t ) A + (!" sin " D t ! " D cos" D t ) B$% e!!"t Analogamente ai casi precedenti, le costanti A e B si ricavano imponendo le condizioni iniziali

del moto. Si ha

! A=u " u 0 =u = A 0 # $ ( ) 0 # " u!0 + !" u0 B = $% u! ( 0) = u!0 = !!" A + " D B # "D $ Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture

24


7/11

Sostituendo si ha

! $ '!"t u!0 + !" u0 u (t ) = # u0 cos! D t + sin " D t & e "D " % Il moto rappresentato dalla relazione precedente può essere interpretato nel piano complesso

!!" t come la somma delle proiezioni sull’asse reale di due vettori di modulo u0e e

% "! t !"(u!0 + !" u0 ) ! D #$ e che ruotano in senso antiorario con velocità angolare ωD, come è

indicato nella figura seguente.

!


25


8/11

La risposta può anche essere ottenuta come la proiezione sull’asse reale del vettore somma, cioè

u (t ) = ! cos (" D t ! # ) e!!"t in cui

!=

(u0 )

2

! u!0 + !" u0 $ +# & " " % D

2

è il modulo e

!

" u!0 + !" u0 % ! = tan $ ' " u # & D 0 !1

l’angolo di fase.

!


26


9/11

L’andamento della risposta è riportato nella seguente figura

u (t ) = ! cos (" D t ! # ) e!!"t

! Anche in questo caso la risposta è oscillatoria attorno alla posizione di spostamento nullo, ma

per la presenza dello smorzamento l’ampiezza del moto si riduce progressivamente nel tempo,

fino ad annullarsi per t che tende a infinito. Questa volta la frequenza del moto è pari a ωD

e il tempo impiegato a compiere un’oscillazione completa, che prende il nome di periodo di

vibrazione smorzato, risulta

2! TD = "D Poiché ωD < ω, risulta TD > T.


27


10/11

La relazione tra il rapporto ωD /ω e il rapporto di smorzamento ξ

! D = ! 1! " 2 può essere rappresentata graficamente con un cerchio di raggio unitario. Si ha infatti

2

#" & ! +% D( =1 $ " ' 2

Si osserva che, per valori del rapporto di smorzamento ξ < 0,1 (10%), tipici della maggior parte delle strutture, la frequenza ωD è molto prossima a ω e così anche TD a T.


28


11/11

Nella figura seguente sono mostrate, a confronto tra di loro, le risposte di un sistema lineare

viscoso ad un grado di libertà nei tre casi di smorzamento critico ξ = 1, di smorzamento

superiore al valore critico, ξ = 2, e di smorzamento inferiore al valore critico, ξ = 0,1.


29


30

Vibrazioni libere smorzate: il decremento logaritmico

1/3

Si consideri un sistema lineare viscoso a un grado di libertà in vibrazioni libere dovute a

condizioni iniziali di velocità nulla e di spostamento diverso da zero. La risposta assume la forma

u0

u (t ) = ! cos (" D t ! # ) e!!"t

un

!e-"#t

u(t)

un+m

0

2

⎛ u0 + ξω u0 ⎞ 2 ρ = ( u0 ) + ⎜ ⎟⎠ = ⎝ ω D

u0 1− ξ 2

⎛ ξ ⎞ ⎛ u0 + ξω u0 ⎞ −1 θ = tan ⎜ = tan ⎜ ⎟ ⎟ 2 ⎝ ω D u0 ⎠ 1− ξ ⎝ ⎠ −1

-!e-"#t -u0 tn

t

tn+m

Si indichino con un e un+m le ampiezze di due picchi e siano tn = nTD e tn+m = (n+m)TD gli istanti

di tempo corrispondenti. Poiché per tn e tn+m risulta

cos (! D t " # ) $ 1 Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture

31

Vibrazioni libere smorzate: il decremento logaritmico …

dalla relazione

si ottiene

2/3

cos (! D t " # ) $ 1 u (t ) = ! cos (" D t ! # ) e!!"t un = !e" #$ tn

un+m = !e" #$ tn+ m

Dividendo la prima per la seconda, si ha

un e! "# tn e"# (n+m )TD e"# nTD e"# mTD = ! "# tn+ m = "# nTD = = e"# mTD "# nTD un+m e e e Calcolando il logaritmo naturale di ambo i membri si ottiene

! m = ln

un = "# mTD un+m

in cui δm prende il nome di decremento logaritmico.


32

Vibrazioni libere smorzate: il decremento logaritmico …

! m = ln

Poiché risulta

3/3

un = "# mTD un+m

! TD = 2"

! 2" = !D 1# $ 2

il decremento logaritmico assume la forma

! m = ln

un # = 2m" un+m 1$ # 2

che, se ξ è piccolo rispetto a uno, si scrive

! m = 2m"#


33

Determinazione sperimentale del rapporto di smorzamento

Le espressioni

! m = 2m"

# 1$ #

2

! m ! 2m"#

consentono di esprimere il rapporto di smorzamento viscoso in funzione del decremento

logaritmico mediante le relazioni "m "m != ! ! 2 " m2 + ( 2m# ) 2m# rappresentate graficamente nella seguente figura. Si nota che la

! m ! 2m"# è abbastanza precisa per ξ < 20%, circostanza che

riguarda la maggior parte dei casi di interesse.

Le relazioni precedenti possono essere utilizzate per stimare il

rapporto di smorzamento ξ, dopo aver valutato il decremento

logaritmico δm attraverso una prova sperimentale in vibrazioni

libere. Per sistemi debolmente smorzati, la velocità di riduzione

dell’ampiezza è piccola. In questo caso è consigliabile che il

decremento logaritmico sia calcolato attraverso la misura di

due picchi di spostamento separati da numerosi cicli di

vibrazione, in modo da ridurre l’effetto degli inevitabili errori

di lettura.


34

L’energia di un sistema in vibrazioni libere

L’energia di un sistema in vibrazioni libere è pari alla somma di una parte elastica e di una

cinetica, cioè

1 1 2 2 ! ] E(t) = k [ u(t)] + m [ u(t) 2 2 Nel caso di smorzamento nullo, si ha

E(t) = da cui si ottiene

1 2 1 k ! cos 2 (" t # $ ) + m" 2 ! 2 sin 2 (" t # $ ) 2 2

1 2 1 2 1 % 2 u!02 ' 1 2 1 2 2 E(t) = k ! %& cos (" t # $ ) + sin (" t # $ ) '( = k ! = k )u0 + 2 * = ku0 + mu!02 = E(0) 2 2 2 & " ( 2 2 In un sistema non smorzato in vibrazioni libere, l’energia è indipendente dal tempo ed è pari a

quella che il sistema possiede all’istante iniziale del moto, t = 0.

In un sistema viscoso in vibrazioni libere, l’energia diminuisce nel tempo per effetto dell’energia

dissipata, pari al lavoro compiuto dalla forza dissipativa. Si ha

E D (t) =

!

t 0

t

t

0

0

2

! ! ] dt fD (t)du = ! cu(t)du = ! c [ u(t)

Per t ! " tutta l’energia che il sistema ha all’istante iniziale del moto sarà dissipata e il

sistema tornerà nella condizione di quiete. Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture

35

Esercizio

1/4

Il portale a un piano indicato in figura è costituito da una trave infinitamente rigida sostenuta

da due pilastri privi di massa.

Si vogliono valutare le proprietà dinamiche del sistema, cioè la rigidezza k, la massa m e la

costante di smorzamento c. Per questo scopo è stata eseguita una prova sperimentale in vibrazioni

libere, spostando lateralmente la trave e rilasciandola improvvisamente. Durante le operazioni di

spinta, si è osservato che alla forza massima F = 1.0·105 N è corrisposto uno spostamento

u0 = 0.50 cm. In seguito al rilascio istantaneo, sono stati misurati il tempo impiegato a compiere

il primo ciclo di vibrazione, TD = 1.40 s, che coincide con il periodo di vibrazione smorzato, e lo

spostamento massimo relativo, u1 = 0.35 cm.


36

Esercizio

2/4

La rigidezza k si ottiene dalla relazione

F 1.0 !10 5 N N k= = = 2.0 !10 5 = 2.0 !10 7 u0 0.50 cm m La frequenza naturale di vibrazione smorzata vale

!D =

2" 2" = = 4.488 s #1 TD 1.40

Il rapporto di smorzamento viscoso ξ si può stimare mediante il metodo del decremento

logaritmico, che risulta

"u % " 0.50 % ! = ln $ 0 ' = ln $ = 0.357 # 0.35 '& # u1 & da cui

ξ=

δ δ + ( 2π ) 2

2

=


0, 357 0, 357 + ( 2π ) 2

2

= 0.0567 = 5.67%

37

Esercizio

3/4

Noto ξ, si possono calcolare la frequenza e il periodo di vibrazione

non smorzati

!D 4.488 "1 != = = 4.495 s 1" # 2 1" 0.0567 2

T=

2! = 1.398 s "

La massa della trave si ottiene dalla relazione

!= da cui

k m

2 k 2.0 "10 7 5 Ns m= 2 = = 9.899 "10 = 9.899 "10 5 kg 2 ! 4.495 m

Avendo determinato la massa m, si può calcolare il coefficiente di smorzamento

c = ! " cc = ! " 2m# = 0.0567 " 2 " 9.899 "10 5 " 4.495 = 5.046 "10 5 Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture

Ns m 38

Esercizio

4/4

Si possono anche calcolare, infine, il peso P della trave e la

frequenza ciclica smorzata e non smorzata, f e fD. Si ha:

P = 9.899 !10 5 kg f P = mg = 9.899 !10 5 !9.81 = 9.711!10 6 N

f=

1 1 = = 0.715 Hz T 1.398

fD =

1 1 = = 0.714 Hz TD 1.40


39

3-vibrazioni libere

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