Regla de Rufni-Mate https://www.matesfacil.com https://www .matesfacil.com/ESO/runi/ejerc /ESO/runi/ejercicios-resueltos-ru icios-resueltos-runi.html ni.html
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Breve biografía de Paolo Ruffini y sus aportaciones
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La Regla de Ruffini
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Ejemplos de Aplicación de la Regla de Ruffini
Paolo Ruffini Paolo Ruffini, nacido en 1!" en #alentano, $stados Papales %a&ora 'talia(, fue un )ate)ático, )*dico y filósofo+ Profesor de )ate)áticas en la niversidad de -ódena desde 1.., fue despedido por negarse al /ura)ento de lealtad a 0apoleón Bonaparte+ -ás tarde, en 1, fue read)itido+ $n 1.2! recibió la cátedra de -ate)ática Aplicada en la escuela )ilitar de -ódena, en 1.13 fue no)brado director de la niversidad de -ódena y en 1.1!, presidente de la 4ociedad 'taliana Dei 'taliana Dei Quaranta+ Quaranta+ 4u aportación )ás conocida en las )ate)áticas es la Regla de Ruffini %51.2(, 6ue per)ite obtener los coeficientes del cociente de un polino)io por el bino)io x bino)io x - n, n , siendo n una de las raíces %enteras( del polino)io+ Ade)ás, este )*todo facilita, co)o vere)os a continuación, la obtención de las raíces del polino)io+ 0o obstante, siglos antes ya e7istían reglas si)ilares a la de Ruffini en otros lugares del )undo: 8))ar 9ayya) %Persia, s+ '( y ;&u 4&i/ie %C&ina, s+ '''(+
-ariano >ia6uinta, >iuseppe -odica? Mathematical -odica? Mathematical Analysis: Analysis: Appoximation and Discrete Processes Processes %=21=(+
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@eanPierre
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-ario Livio? The !uation that "ouldn’t "ouldn’t #e $ol%ed: &o' Mathematical Genius Disco%ered the (anguage of $immetry %=22"(+
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Bela Ba/no? An Ba/no? An )n%itation to Abstract Mathematics Mathematics %=21(+
La regla de Ruffini $s un método %algorit)o( 6ue nos per)ite obtener las raíces de un polino)io+ $s de gran utilidad ya 6ue para grado )ayor 6ue = no dispone)os de fór)ulas, al )enos fáciles, para poder obtenerlas+ Cada veD 6ue &ace)os una tabla a partir de los coeficientes del polino)io, obtene)os una raíD y los coeficientes de un polino)io de un grado )enor %un polino)io 6ue divide al propio polino)io(+ Ee este )odo, pode)os ir reduciendo el grado del polino)io &asta llegar a uno de segundo grado cuyas raíces sabe)os calcular rápida)ente+ $n realidad, el )*todo consiste escoger una posible raíD y desarrollar una tabla+ 4i el Flti)o resultado de la tabla es 2, el procedi)iento &abrá finaliDado correcta)ente+ 4i no es así, tendre)os 6ue probar con otra posible raíD+ 4abe)os 6ue toda raíD &a de ser un divisor del t*r)ino independiente %el t*r)ino del polino)io 6ue no tiene parte literal, es decir, 6ue no tiene x x(( y, por tanto, los divisores de *ste son l os candidatos+ $n esta sección va)os a e7plicar el )*todo a trav*s de 3 e/e)plos+ Calculare)os las raíces de polino)ios de tercer y 6uinto grado de for)a )inuciosa y factoriDare)os los polino)ios+ Nota: los polino)ios no están igualados a cero %no son ecuaciones(, pero los tratare)os co)o si lo fueran+
Ejemplos de Aplicación Ejemplo 1
Ver olución
$l polino)io es de grado + $scribi)os en la pri)era fila los coeficientes de cada )ono)io en orden decreciente de grado+ 4i &ay algFn coeficiente 6ue sea 2 %en nuestro caso es el coeficiente de x * (, ta)bi*n &ay 6ue escribirlo+
A&ora busca)os un nF)ero 6ue sea divisor del t*r)ino independiente, es decir, del t*r)ino 6ue no tiene parte literal %ninguna x(, y lo escribi)os en la colu)na de la iD6uierda+ $n nuestro polino)io el independiente es =+ Pode)os escoger 1, 1, = ó =+ $scoge)os, por e/e)plo, =, 6ue es divisor de = y tiene el signo contrario+ 4i no funciona, tendre)os 6ue probar con otro &asta dar con el bueno+
$l pri)er coeficiente pasa a la parte inferior de la línea, sin realiDar ninguna operación+
A&ora )ultiplica)os el coeficiente 6ue &e)os ba/ado por el nF)ero de la colu)na iD6uierda y el resultado lo escribi)os deba/o del siguiente coeficiente, pero arriba de la línea+
4u)a)os el nF)ero 6ue &e)os escrito con el coeficiente 6ue tiene arriba y el resultado lo escribi)os deba/o de la línea:
A&ora repeti)os el proceso: -ultiplica)os el nF)ero obtenido por el de la colu)na iD6uierda y lo situa)os deba/o del siguiente coeficiente:
4u)a)os el nF)ero 6ue &e)os escrito con el coeficiente 6ue tiene arriba y el resultado lo escribi)os deba/o de la línea:
-ultiplica)os el nF)ero obtenido por el de la colu)na iD6uierda y lo situa)os deba/o del siguiente coeficiente:
4u)a)os el nF)ero 6ue &e)os escrito con el coeficiente 6ue tiene arriba y el resultado lo escribi)os deba/o de la línea:
$s i)portante 6ue el Flti)o nF)ero del proceso sea 2+ 4i no es así, significa 6ue el nF)ero de la colu)na iD6uierda no nos sirve y debe)os escoger otro+ La raíD 6ue del polino)io 6ue &e)os calculado está en la colu)na iD6uierda+
Los nF)eros de deba/o de la línea son los coeficientes de un polino)io de un grado )enos %en nuestro caso, de grado =(+
$l polino)io de un grado )enor es
Por tanto, la pri)era factoriDación es
G la raíD x + *+ 4i 6uere)os calcular las otras raíces, aplica)os de nuevo el )*todo al polino)io de un grado )enos+ $n nuestro caso, co)o es de grado =, usa)os la fór)ula para las ecuaciones cuadráticas:
$s una raíD doble+ La factoriDación 6ueda
Ejemplo !
Ver olución
$l polino)io es de grado + $scribi)os en la pri)era fila los coeficientes de cada )ono)io en orden decreciente de grado+ 4i &ay algFn coeficiente 6ue sea 2 %en nuestro caso no lo &ay(, ta)bi*n &ay 6ue escribirlo+
A&ora busca)os un nF)ero 6ue sea divisor del t*r)ino independiente, es decir, del t*r)ino 6ue no tiene parte literal %ninguna x(, y lo escribi)os en la colu)na de la iD6uierda+ $n nuestro polino)io el independiente es 3"+ Pode)os escoger 1, 1, , , ", ", , ++++ $scoge)os, por e/e)plo, ", 6ue es divisor de 3"+ 4i no funciona, tendre)os 6ue probar con otro &asta dar con el bueno+
$l pri)er coeficiente pasa a la parte inferior de la línea, sin realiDar ninguna operación+
A&ora )ultiplica)os el coeficiente 6ue &e)os ba/ado por el nF)ero de la colu)na iD6uierda y el resultado lo escribi)os deba/o del siguiente coeficiente, pero arriba de la línea+
4u)a)os el nF)ero 6ue &e)os escrito con el coeficiente 6ue tiene arriba y el resultado lo escribi)os deba/o de la línea:
A&ora repeti)os el proceso: -ultiplica)os el nF)ero obtenido por el de la colu)na iD6uierda y lo situa)os deba/o del siguiente coeficiente:
4u)a)os el nF)ero 6ue &e)os escrito con el coeficiente 6ue tiene arriba y el resultado lo escribi)os deba/o de la línea:
-ultiplica)os el nF)ero obtenido por el de la colu)na iD6uierda y lo situa)os deba/o del siguiente coeficiente:
4u)a)os el nF)ero 6ue &e)os escrito con el coeficiente 6ue tiene arriba y el resultado lo escribi)os deba/o de la línea:
$s i)portante 6ue el Flti)o nF)ero del proceso sea 2+ 4i no es así, significa 6ue el nF)ero de la colu)na iD6uierda no nos sirve y debe)os escoger otro+ La raíD 6ue del polino)io 6ue &e)os calculado está en la colu)na iD6uierda+
$l polino)io de un grado )enor es
Por tanto, la pri)era factoriDación es
G la raíD x + ,+ 4i 6uere)os calcular las otras raíces, aplica)os de nuevo el )*todo al polino)io de un grado )enos+ $n nuestro caso, co)o es de grado = e inco)pleta, pode)os obtener las raíces in)ediata)ente:
Ejemplo "
Ver olución
$l polino)io es de grado + $scribi)os en la pri)era fila los coeficientes de cada )ono)io en orden decreciente de grado+ 4i &ay algFn coeficiente 6ue sea 2 %en nuestro caso no lo &ay(, ta)bi*n &ay 6ue escribirlo+
A&ora busca)os un nF)ero 6ue sea divisor del t*r)ino independiente, es decir, del t*r)ino 6ue no tiene parte literal %ninguna x(, y lo escribi)os en la colu)na de la iD6uierda+ $n nuestro polino)io el independiente es =3+ Pode)os escoger 1, 1, =, =, 3, 3+++ $scoge)os, por e/e)plo, 3, 6ue es divisor de =3+ 4i no funciona, tendre)os 6ue probar con otro &asta dar con el bueno+
$l pri)er coeficiente pasa a la parte inferior de la línea, sin realiDar ninguna operación+
A&ora )ultiplica)os el coeficiente 6ue &e)os ba/ado por el nF)ero de la colu)na iD6uierda y el resultado lo escribi)os deba/o del siguiente coeficiente, pero arriba de la línea+
4u)a)os el nF)ero 6ue &e)os escrito con el coeficiente 6ue tiene arriba y el resultado lo escribi)os deba/o de la línea:
A&ora repeti)os el proceso: -ultiplica)os el nF)ero obtenido por el de la colu)na iD6uierda y lo situa)os deba/o del siguiente coeficiente:
4u)a)os el nF)ero 6ue &e)os escrito con el coeficiente 6ue tiene arriba y el resultado lo escribi)os deba/o de la línea:
-ultiplica)os el nF)ero obtenido por el de la colu)na iD6uierda y lo situa)os deba/o del siguiente coeficiente:
4u)a)os el nF)ero 6ue &e)os escrito con el coeficiente 6ue tiene arriba y el resultado lo escribi)os deba/o de la línea:
$s i)portante 6ue el Flti)o nF)ero del proceso sea 2+ 4i no es así, significa 6ue el nF)ero de la colu)na iD6uierda no nos sirve y debe)os escoger otro+ La raíD 6ue del polino)io 6ue &e)os calculado está en la colu)na iD6uierda+
$l polino)io de un grado )enor es
Por tanto, la pri)era factoriDación es
G la raíD x + .+ 4i 6uere)os calcular las otras raíces, aplica)os de nuevo el )*todo al polino)io de un grado )enos+ $n nuestro caso, co)o es de grado =, usa)os la fór)ula para las ecuaciones cuadráticas:
#mportante: 0o olvide)os 6ue al factoriDar usando las raíces tene)os 6ue )ultiplicar el producto de *stas por el coeficiente director del polino)io 6ue en nuestro caso es 1+
Ejemplo $
Ver olución
$l polino)io es de grado "+ $scribi)os en la pri)era fila los coeficientes de cada )ono)io en orden decreciente de grado+ 4i &ay algFn coeficiente 6ue sea 2 %en nuestro caso es el coeficiente de x. y el de x(, ta)bi*n &ay 6ue escribirlo+
A&ora busca)os un nF)ero 6ue sea divisor del t*r)ino independiente, es decir, del t*r)ino 6ue no tiene parte literal %ninguna x(, y lo escribi)os en la colu)na de la iD6uierda+ $n nuestro polino)io el independiente es =.+ Pode)os escoger 1, 1, =, =, 3, 3+++ $scoge)os, por e/e)plo, =, 6ue es divisor de =.+ 4i no funciona, tendre)os 6ue probar con otro &asta dar con el bueno+
$l pri)er coeficiente pasa a la parte inferior de la línea, sin realiDar ninguna operación+
A&ora )ultiplica)os el coeficiente 6ue &e)os ba/ado por el nF)ero de la colu)na iD6uierda y el resultado lo escribi)os deba/o del siguiente coeficiente, pero arriba de la línea+
4u)a)os el nF)ero 6ue &e)os escrito con el coeficiente 6ue tiene arriba y el resultado lo escribi)os deba/o de la línea:
A&ora repeti)os el proceso: -ultiplica)os el nF)ero obtenido por el de la colu)na iD6uierda y lo situa)os deba/o del siguiente coeficiente:
4u)a)os el nF)ero 6ue &e)os escrito con el coeficiente 6ue tiene arriba y el resultado lo escribi)os deba/o de la línea:
-ultiplica)os el nF)ero obtenido por el de la colu)na iD6uierda y lo situa)os deba/o del siguiente coeficiente:
4u)a)os el nF)ero 6ue &e)os escrito con el coeficiente 6ue tiene arriba y el resultado lo escribi)os deba/o de la línea:
-ultiplica)os el nF)ero obtenido por el de la colu)na iD6uierda y lo situa)os deba/o del siguiente coeficiente:
4u)a)os el nF)ero 6ue &e)os escrito con el coeficiente 6ue tiene arriba y el resultado lo escribi)os deba/o de la línea:
-ultiplica)os el nF)ero obtenido por el de la colu)na iD6uierda y lo situa)os deba/o del siguiente coeficiente:
4u)a)os el nF)ero 6ue &e)os escrito con el coeficiente 6ue tiene arriba y el resultado lo escribi)os deba/o de la línea:
$s i)portante 6ue el Flti)o nF)ero del proceso sea 2+ 4i no es así, significa 6ue el nF)ero de la colu)na iD6uierda no nos sirve y debe)os escoger otro+
La raíD 6ue del polino)io 6ue &e)os calculado está en la colu)na iD6uierda+
$ste polino)io es
Por tanto, la pri)era factoriDación 6ue obtene)os es
4i 6uere)os calcular las otras raíces, aplica)os de nuevo el )*todo al polino)io de un grado )enor+
Por lo 6ue tene)os la raíD x + -* y el polino)io de tercer grado:
La segunda factoriDación es
#olve)os a aplicar Ruffini:
La tercera factoriDación es
Para obtener las raíces del polino)io de segundo grado usa)os la fór)ula cuadrática:
0o &ay raíces reales+ 0o pode)os factoriDar )ás la e7presión+
