GUIA 3
PROBABILIDADES Y ESTADISTICA ESTADISTICA
VARIABLES ALEATORIAS
1.
Un grupo de ingenieros afirma que para evacuar los sectores bajos en una gran ciudad, en caso de emergencia, necesitan un tiempo X que fluctúa entre 10 y 15 horas, con la siguiente función de cuantía: X P(x)
a. b. c.
2.
c.
11
12
13
14
15
0.04 0.25 0.40 0.18 0.10 0.03 ¿Cuál es el tiempo medio de evacuación? ¿Cuál es la varianza del tiempo de evacuación? Si el tiempo de evacuación en una emergencia supera las 11 horas, ¿Cuál es la probabilidad de que no exceda las 14 horas? El número de días requeridos para terminar las auditorías, es una variable aleatoria X, con función de cuantía: X P(x)
a. b.
10
10
11
12
13
14
0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 Determine el número esperado de días, para terminar las auditorías. ¿Cuál es la variabilidad del número de días requeridos para terminar las auditorías? La utilidad obtenida por la empresa encargada de las auditorías está expresada por la siguiente relación: Y = $200000 ( 12 X ). ¿Cuál es la utilidad esperada por la Empresa Auditora? ¿Cuál es la probabilidad de que la Empresa Auditora obtenga pérdida? Determine la desviación estándar de la utilidad. –
c.1. c.2. c.3. 3.
a. b. c.
Un dispositivo está compuesto de tres elementos que trabajan independientemente. La probabilidad de falla de cada elemento en una prueba es igual a 0.1. A continuación se adjunta la función de cuantía de la variable aleatoria X que representa el número de elementos el ementos que fallan en una prueba: x 0 1 2 3 (0.9)3 3(0.1)(0.9)2 3(0.1)2(0.9) (0.1)3 P(X=x) ¿Cuál es la probabilidad de que que el dispositivo no presente presente elementos con fallas? ¿Cuál es la probabilidad de que el dispositivo tenga al menos dos elementos con fallas? Si el dispositivo a presentado al menos un elemento con falla, ¿Cuál es la probabilidad de que presente a lo más dos elementos con fallas?
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d. e.
Determine el número esperado de elementos que fallan en el dispositivo. Determine la desviación estándar de la cantidad de elementos que fallan en el dispositivo.
4.
La cantidad mensual de computadores que fallan y llegan a la unidad de mantención de computadores de una gran empresa de informática, está caracterizada por la siguiente distribución de probabilidad:
d 2 K p (d ) 16 0 a. b. c.
5.
a. b.
6.
si d 1, 2, 3, 4, 5 en otro caso
Determine la constante “ K”. Calcule la varianza de la cantidad mensual de computadores que fallan y llegan a la unidad de mantención. En los meses en que la cantidad de computadores que fallan es superior a dos, ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de computadores que fallan es a lo más 4? Un vendedor ha descubierto que la probabilidad de hacer varias ventas por día, si visita a 10 presuntos compradores se presenta en la siguiente tabla: X: número de Ventas 1 2 3 4 5 6 7 8 P(X=x) 0.04 0.15 0.20 0.25 0.19 0.10 0.05 0.02 Calcule la cantidad esperada y la varianza del número de ventas por día. Suponga que el vendedor obtiene una comisión de $ 1500 por venta, determine sus ganancias diarias esperadas por concepto de comisiones. El número de veces que falla el sistema computacional en el Hospital Regional, durante una semana, es una variable aleatoria X con la siguiente distribución de probabilidades: P(X = j) = A (20 j) si j = 0, 1, 2, 3,... ,20. La pérdida ocasionada por este concepto G se puede considerar como: –
G = 100 X - X2.
a. b. 7.
Si en una semana se encuentran menos de 5 fallas en el sistema computacional del Hospital Regional, ¿Cuál es la probabilidad de que sólo ocurra una falla? Determine la pérdida esperada semanal por este concepto. El número de buses urbanos contaminantes que diariamente detecta el Ministerio de Transporte en Santiago, es una variable aleatoria X con la siguiente distribución de probabilidades: P( X = i ) = A ( 10 i ) si i = 0, 1, 2, 3, ... , 10. ¿Cuál es el número esperado de buses urbanos contaminantes en Santiago? ¿Cuál es la probabilidad de que un día se encuentren menos de 3 buses urbanos contaminantes, sabiendo que el Ministerio de Transporte en Santiago diariamente encuentra a lo más 5 buses urbanos contaminantes? La pérdida en el rubro transporte es proporcional al cuadrado del número de buses urbanos contaminantes por día, donde la constante de proporcionalidad es 20. ¿Cuál es la pérdida esperada? –
a. b.
c.
8.
El tiempo de procesamiento de un software estadístico para una base de 10000 datos, es una variable aleatoria con la siguiente función de densidad (en segundos):
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si 10 X 30 ¿Qué proporción de los bases de 1000 datos, tienen un tiempo de procesamiento mayor que 20 segundos? En general, un software estadístico que tiene un tiempo de procesamiento mayor que 20 segundos, debe estar 10 segundos más en equipos con una memoria inferior a lo normal, lo que ocasiona una pérdida de $ 2000 por tiempo excedido. Determine la pérdida esperada, por este concepto, en 300 procesamientos de 1000 datos.
f(x) = A x
a. b.
9.
El porcentaje de alumnos de Ingeniería en Bioinformática que llegan atrasados a clases es una variable aleatoria continua, con la siguiente función de densidad: f(x) = A x ( 50 x ) si 0 X 50. Determine la constante A y el porcentaje esperado de alumnos de Ingeniería en Bioinformática que llegan atrasados a clases. En 100 alumnos de Ingeniería en Bioinformática que llegan a clases, ¿Cuántos alumnos espera Usted que puedan llegar atrasados? –
a. b.
10.
El tiempo que emplea una funcionaria del Hospital Regional en ingresar los datos de un paciente de urgencia, es una variable aleatoria X con la siguiente función de densidad (en segundos):
f ( x ) a.
( x 120 ) ( 240 x ) 288 000
Si el salario de la funcionaria dependiera del tiempo que demora en ingresar la información de un paciente de urgencia, está dada por la siguiente relación: G =
b.
11.
120 X
b.
c.
9600
–
Determine cuánto espera ganar una funcionaria del Hospital Regional al ingresar los datos de 20 pacientes de urgencia. Para aceptar a una funcionaria del Hospital Regiional como eficiente, si el tiempo en ingresar los datos de un paciente de urgencia está entre 160 segundos y 200 segundos, se realizará un contrato indefinido a la funcionaria. Determine, ¿Cuál es la probabilidad de que una funcionaria del Hospital Regional sea considerada como eficiente? El tiempo de vida útil de cierto tipo de máquina electrónica, es una variable aleatoria cuya función de densidad está dada por:
K x ( 2 x ) f ( x ) 2K ( x 3 1 ) a.
si 120 X 240
si 0 X 2 si 2 X 4
(X: en años).
Determine la constante K y la probabilidad que una cierta máquina electrónica no sobrepase los 2 años de vida útil. Sabiendo que estas máquinas electrónicas podrían estar contabilizando Y exámenes médicos semanales, siendo: Y = 300X + 52. Determine la cantidad esperada de exámenes médicos que podrían estar contabilizando semanalmente cierta máquina electrónica. Cierta máquina electrónica se c lasifica en “buen estado” si sobrepasa lo s 2 años de vida útil. Indique, ¿Cuál es la probabilidad que en 2 máquinas electrónicas se tengan a lo más una en “buen estado”?
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12.
En el Hospital de Talca, se comprobó que el peso en kilos de los niños al nacer era una variable aleatoria continua con la función de densidad:
kx f (x ) 0
si 2 x 4 en otro caso
a. b. c.
Hallar k. Hallar la media y la desviación estándar de X. ¿Cuánto debe pesar un niño para tener inferior ó igual a su peso el 90% de los niños?
13.
La variable aleatoria X representa la concentración de una droga en un producto químico (en ppm) y que está dada por la siguiente función densidad:
x 2 si 0 x 2 K f (x ) 8 0 en otro caso a. b. c. d. 14.
Encuentre el valor de “ K”. Determine la probabilidad de que la concentración de este producto químico fluctúe entre 0.5 y 1.2 ppm. Determine la concentración esperada de este producto químico. Determine la varianza de la concentración de este producto químico.
El tiempo que emplea un alumno en resolver una p rueba de “Probabilidades y Estadística” es una variable aleatoria X, expresado en minutos, con la siguiente función de densidad:
1 f (x ) 10 0 a. b.
c.
si 90 x 100 en otro caso
Se sabe que un alumno emplea más de 92 minutos en resolver la prueba, ¿Cuál es la probabilidad de que demore más de 98 minutos? Suponiendo que el tiempo empleado en resolver una prueba en alumnos distintos es independiente, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de dos alumnos elegidos al azar, el tiempo empleado en resolver la prueba exceda al valor esperado? El puntaje de la prueba en términos del tiempo empleado en resolverla, se define por: P = 250 0.5 X. Determine el puntaje esperado y su varianza respectiva. Determine el intervalo que contiene el 25% del mayor tiempo empleado en resolver la prueba de “Probabilidades y Estadística” . –
d.
15.
El tiempo total medido en cientos de horas, que un alumno de Ingeniería en Bioinformática trabaja en su computador en un período de un mes, es una variable aleatoria X, con la siguiente función de densidad: si 0 x 1 x f (x )
a.
2 x 0
si 1 x 2 en otro caso
Calcule el tiempo medio que un alumno de Ingeniería en Bioinformática trabaja mensualmente en su computador.
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b. c.
De los alumnos que trabajan en su computador por más de 60 horas, ¿Qué porcentaje trabaja en su computador por menos de 150 horas? El Profesor interesado en el tiempo ( S) que estos alumnos trabajan en su computador durante la noche, tiene la siguiente variable aleatoria:
S
c.1. c.2.
16.
X
0.10 4 Calcule la probabilidad de que dos de estos alumnos, elegidos al azar, sólo uno trabaje en el computador por más de 40 horas en las noches. Calcule el porcentaje de variabilidad del tiempo que trabajan en el computador durante la noche los alumnos de Ingeniería en Bioinformática. Un proceso para refinar azúcar, con cierta máquina, produce diariamente hasta una tonelada diaria de azúcar, pero la producción real ( Y) es una variable aleatoria debido a averías en la máquina y otros retrasos, tal que:
2 y f (y ) 0 a.
b. c.
si 0 y 1 en otro caso
Se estudia la producción de tres días elegidos al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que sólo el segundo día elegido la producción sea igual ó inferior a 700 kilos? Calcule la desviación estándar de la producción diaria de azúcar refinada. La compañía recibe 300 dólares por cada tonelada de azúcar refinada, pero también tiene un gasto fijo diario de 100 dólares por máquina. Por lo tanto, la utilidad diaria expresada en cientos de dólares, para esta máquina, es: U = 3Y 1. ¿Qué porcentaje de los días la utilidad de la producción supera el valor esperado más una desviación estándar? ¿Cuál es la mediana de la producción de azúcar? ¿Cuál es la probabilidad que la utilidad diaria supere los 150 dólares? ¿Cuál es la utilidad diaria esperada, en esta máquina? –
c.1. c.2. c.3. c.4.
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