PROBLEMAS RESUELTOS PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO VECTORIAL 1. Dado los vectores A= 2i + a j y B = 6i, el valor de a para que la magnitud de B sea igual a tres veces la magnitud de AxB es: es: a) b) c) d) e)
3 1/3 6 1/6 no puede determinarse
Solución: La magnitud del vector B es 6. determinemos la magnitud del vector A xB i j k A xB = 2 α 0 = i( 0 ) – j( 0 ) + k(-6 α ) = -6 αk 6 0 0 La magnitud del vector AxB es 6 α . Por tanto, el valor de α para que la magnitud de B sea igual a tres veces la magnitud de A xB , es 6 = 3(6 α ) α = 1/3 2. Para que los vectores a = 6 i – 3 j + 6 k y b = debe tomar el valor de a) b) c) d) e)
α
i – 2 j + 3 k sean ortogonales, α
–4 4 –6 6 –8
Solución: De acuerdo a la definición de prod ucto escalar, si dos vectores son ortogonales ortogonales su producto escalar es cero. Como los vectores vienen dados en función de sus componentes ortogonales, es más práctico utilizar la operación:
a • b = ax bx + ayby + az bz ax = 6; ay = -3; a z = 6 bx = α ; by = -2; bz = 3
a • b = 6α + 6 +18 = 0 α
= -4
Florencio Pinela C.
3. Sean lo vectores a = 5i - 2 j + 3 k y b = 2i + 5 j + 6 k. La proyección del vector a sobre el vector b es: a) b) c) d) e)
4.6 3.2 2.8 2.2 1.2
Solución: Por definición, geométricamente, el producto escalar representa el área de un rectángulo que tiene por uno de sus lados la magnitud de uno de los vectores, y el otro lado la proyección del segundo vector sobre el primero.
a
b ab
ab = proyección del vector a sobre el vector b a • b = ab cos θ = a b b = ax bx + a y by + a z bz ab = ab =
axbx
+ ayby + az
bz
b (5)( 2) + ( −2 )(5 ) + (3)( 6) 4 + 25 + 36
ab =
18
8,06 ab = 2,2
4. Conociendo que |A| = 10 u ; |B | = 15 u, el ángulo formado entre los vectores A y B es a) b) c) d) e)
90º 86,4º 80,4 76,4º 70,4º
B
5 A
Florencio Pinela C. Solución:
En este problema podemos hacer uso de la definición de producto escalar. Conocemos el módulo de los vectores y sus componentes las podemos obtener del gráfico.
A B = AB cosθ = A xB x + A yB y + A zB z • •
De acuerdo al gráfico, A y = 0 , Bz = 0 Por lo tanto AB cosθ = A xB x
Donde Ax= 5 y Bx= 5 Cos θ = θ
(5)(5) (10)(15)
= cos-1 (0,16666) θ = 80,4°
5. Los vectores A, B y C se dirigen desde el origen de un sistema de coordenadas rectangulares a los puntos (2,3,5) , (4,-5,-6) y (-2,6,-3) respectivamente. El resultado de la operación (A - B) · C es: a) 4i + 48 j - 33k
b) 19
c) 10
d) 9
e) 5
Solución: Con las coordenadas del punto del extremo de cada vector, los vectores A , B y C los expresamos como:
A = 2i + 3 j +5k B = 4i – 5 j –6k C = -2i +6 j –3k Realizamos la operación (A – B ):
A – B = - 2i + 8 j +11 k
Luego multiplicamos escalarmente este resultado con el vector C. (A - B) · C = (- 2i + 8 j +11 k)• (-2 i + 6 j – 3k) (A - B) · C = 4 + 48 – 33 (A - B) · C = 19 Florencio Pinela C.
6. Se tienen los puntos A, B y C de coordenadas (5,6,3)m, (2,1,8)m y (3,2,1)m. respectivamente. El área del triángulo formado por estos puntos es a) b) c) d) e)
2
17,03 m 2 34,06 m 2 45,34 m 2 52,60 m 2 62,50 m
Solución: Utilicemos el hecho que la magnitud del producto cruz de dos vectores representa el área del paralelogramo formado por dichos vectores.
Observe que el área del triángulo representa la mitad del área del paralelogramo. Triángulo que puede ser formado con cualquier par de
AB
BC
vectores.
A partir de las coordenadas de los puntos A, B y C determinemos los vectores AB y BC .
AB = (2-5)i + (1-6) j + (8-3)k BC = (3-2)i + (2-1) j + (1-8)k AB = - 3i -5 j + 5k BC = i + j -7k Hallemos el área del paralelogramo formado por estos dos vectores, i j ABxBC = -3 -5 1 1
k 5 -7
= (35-5)i – (21-5) j + (-3+5)k
ABxBC = 30i – 16 j + 2 k La magnitud de este vector es ABxBC =
30
2
2
+ 16 +
2
Por lo tanto el área del triángulo sería 17,03 m2
Florencio Pinela C.
2
2 = 34,05 m
7. El trabajo se define como el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento. Determine el trabajo que realiza una fuerza F = 10i + 20 j + 30k (N) al actuar sobre un cuerpo haciendo que éste se mueva desde un punto de coordenadas (2,10,-5) m hasta el punto (-2,5,8) m. a) b) c) d) e)
250 N.m 330 N.m 450 N.m 500 N.m 550 N.m
Solución: El cuerpo se mueve desde el punto A(2, 10, -5 ), hasta el punto B(_-2,5,8) . Representemos cada uno de estos puntos por los vectores:
A = 2i + 10 j –5k B= -2i + 5 j + 8k Al ir del punto A al punto B habrá experimentado un desplazamiento AB = B – A, esto es: AB = (-2i + 5 j + 8k) – (2i + 10 j – 5k)
AB = -4i – 5 j + 13k En consecuencia el trabajo debe ser:
F• AB = (10 i + 20 j +30k)• (-4i – 5 j + 13k) Trabajo = -40 - 100 + 390 Trabajo = 250 N
Florencio Pinela C.
8. Para el gráfico mostrado, evalúe el producto vectorial entre el vector F de 50 unidades de magnitud y el vector posición r. m
a) -125 2 i b) 150 2 i + 125 2 j c) 275 2 k
y
6 F
d) 125 2 k
r
e) 150 2 i
2
1
-5
5
m
Solución: Podríamos pensar en utilizar |Fxr| = F r sen θ, pero recordemos que esta expresión es para el módulo del vector |Fxr|. Expresemos los vectores F y r en función de sus coordenadas rectangulares. Observe que el plano en el que están graficados los vectores, los ejes representan unidades de longitud, el vector r se representa en su real magnitud, mientras que para el vector F las coordenadas sirven para su dirección.
F = Fcos θ i + Fsenθ j ; θ representa la dirección del vector F r = rx i + ry j F = 50 cos45° i + 50 sen45° j = 25 2 i + 25 2 j r = -5i + 6 j i Fxr =
25 2
j
k
25 2
0
6
0
-5
= [6(25 2 ) + 5(25 2 )]k
Fxr = 275 2 k
Florencio Pinela C.
9. Sean los vectores a = ( 6i + 8 k ) y b = ( 2 j - 5/8 k ), el resultado de la operación: 2 ( a · b ) a, es a) b) c) d) e)
0 -100 20 –60 i –80 k No se puede realizar la operación.
Solución: ( a · b ) es un número, que al multiplicarlo por a debe dar un vector, de las alternativas, sólo una da la posibilidad a que el resultado sea un vector. De todas maneras resolvamos el problema. ( a · b ) = 6(0) + 0(2) + 8(-5/8) = -5 2( a · b )a = 2(-5)( 6i + 8 k) 2( a · b )a = - 60 i–80 k
Florencio Pinela C.
