SPECIJALNA TEORIJA RELATIVNOSTI
1.
0
U mirnom jezeru brzina plivača je c. Plivač brzinom c s obzirom obzirom na vodu prelazi prelazi udaljenost udaljenost L gibajući se po rijeci rijeci koja ima brzinu brzinu u kako je prikazano na crtežima I. i II. U slučaju I. plivač pliva uzvodno prelazeći udaljenost udaljenost L i zatim nizvodno prelazeći prelazeći jednaku udaljenost udaljenost L. U slučaju II. plivač pliva okomito na obalu prelazeći udaljenost L i vraća se natrag prelazeći jednaku udaljenost. r e j m s y
+
S
S
+ smjer
L
+ smjer
L
S′
S′ u
u
I.I.
II. II. + x smjer
a) Kolika Kolika je brzi brzina na pliva plivača ča s obzir obzirom om na osobu osobu S na obal obalii u x i y smjeru u oba slučaja v i v!" b) Koliko vremena treba plivaču u jednom i drugom slučaju da prije#e udaljenost $ L tako da se vrati u početan položaj s obzirom na obalu u I. i II. slučaju" slučaju" %ezultati& a) slučaj I. Kada plivač pliva uzvodno za promatrača S brzina plivača u slučaju I. je v ' u ( c a po iznosu v ' c − u . *a c ili nizvodno + c. promatrača S′ brzina plivača u slučaju I. v′ ' ( c Kada plivač pliva nizvodno za promatrača S brzina plivača u slučaju I. je v ' u + c *a promatrača S ′ brzina plivača u slučaju I. v′ ' + c. U y smjeru je u oba slučaja brzina ,. slučaj II& -rzina plivača je u S sustavu& v ' v$+v!$/01$ a u sustavu S ′ je v′ ' v′$+v′!$/01$ *a promatrača na splavi S ′ brzina plivača je& v′ ' − u i v′! ' c$ − u$ /01$. -rzina plivača v′ je& v′$+v′!$/01$ ' c *a promatrača S brzina plivača je v ' , i v! ' c$ − u$ /01$ pa je brzina plivača v ' c$ − u$ /01$ b) slučaj I. t =
L c
+
L u
+
c
−
u
=
$ L
0
c
0 − 2u 1 c )
$
$
slučaj II. t =
L
$⋅ c
$
−
u
$
=
$ L c
0 0 − 2u $ 1 c $ )
$
Specijalna teorija relativnosti
*vuk grmljavine čujete 3 sekundi nakon bljeska. Koliko je približno mjesto udara groma udaljeno od vas ako znate da je brzina svjetlosti oko milijun puta veća od brzine zvuka 2 vz'44,m1s)" %& d≈vz⋅t'053km 2.
Koliko bi najmanje vremena trebalo čekati odgovor na pitanje upućeno radio signalom astronautu na 6jesecu" Udaljenost *emlje i 6jeseca je d '47888,km. 2c ' 4⋅0,7 m1s) %& t'$d1c'$35s 3.
Pretpostavimo da se Sunce 9ugasi:. ;akon koliko vremena bi na *emlji nastupio mrak ako je udaljenost *emlja(Sunce jednaka 03$ ⋅0,5 km" %& t'd1c'788min .
!.
U prostoriji se nalaze dvije svijeće razmaknute za 4m. i - na slici vidjeti da su se svijeće upalile istodobno ili u različitim vremenima" -rzina svjetlosti je c ' 4⋅0,7 m1s.
>
-
4m %& ;eće jer svjetlost treba prijeći put od 4m za 0, −8 s pa će to biti ujedno vremensko zaka?njenje da bi osoba ugledala dalju svijeću. Koliki je put ?to ga svjetlost prevali u vremenskom periodu od jedne godine" Kako nazivamo taj put" %& @edna godina svjetlosti znak A!. s ' c t '0A!'B85⋅0,03 m ".
Cva zrcala udaljena su d '4m i smje?tena u raketi. Svjetlosni puls po?alje se od jednog prema drugom zrcalu gdje se reDlektira i vraća nazad 2slika). v a) Koliko vremena protekne od oda?iljanja pulsa do njegova ∆ t 7 povratka ako je brzina svjetlosti c '4⋅0, m1s za S promatrača S′" S′ 5 d b) >ko se raketa giba udesno brzinom v '4⋅0, m1s koliko vremena protekne od oda?iljanja pulsa do njegova ∆ t povratka do prvog zrcala za promatrača S" c) Kolika je razlika izme#u ta dva vremena" #.
′
%& a) ∆ t ′ '$ d 1 c '$⋅0,−7 sE b) ∆ t ' ∆ t ′ 10 − v $ 1c $ / F ' $,,,0⋅0,−7 sE c) ,,,,0s
$.
Koliki je Aorentzov Daktor
γ =
0 0−
v
$
c
$
ako se tijelo giba brzinom a) ,5 c b) ,7 c"
%&a) 0$3 b) 314 Kolikom se brzinom giba tijelo ako je Aorentzov Daktor& a) γ ' $E b) γ ' 4E c) γ '8" >ko je γ veći je li brzina gibanja veća ili manja" %& v ' c ⋅ 0−01γ $/01$ ⇒ a) ,755 c b) ,B84 c c) ,B57 c %.
1&.
U procesu aniGilacije elektrona i pozitrona nastanu dva Dotona koji se gibaju po istom pravcu u suprotnim smjerovima. Kolika je njiGova relativna brzina"
%& c Kolika pogre?ka nastaje ako se zbroj brzina v0'$c14 i v$'c14 razmatra klasično a ne relativistički" Klasično& vr ' v0 + v$ '$c14+c14'cE %elativistički& vr ' v0 + v$/10+v0v$1c$/'Bc100 Pogre?ka'vr.klasično− vr.relativistički/ 1 vr.klasično',07'07H 11.
$
SPECIJALNA TEORIJA RELATIVNOSTI
4
Svemirski brod se udaljuje od *emlje brzinom ,5 c i ispali raketu brzinom ,3 c obzirom na brod. Kolika je brzina rakete obzirom na *emlju ako je ona ispucana& a) prema *emlji b) u smjeru gibanja broda c) aj svemirski brod emitira umjesto rakete laserski puls. Koliku bi vrijednost brzine laserskog pulsa izmjerio promatrač na *emlji u oba slučaja" %& a) ,08cE b) ,73cE c) ± c 12.
ijelo duljine 0,,m giba se prema promatraču brzinom v. Kolika je brzina gibanja ako je kontrakcija duljine 0mm " %& ∆ L ' L, − L ⇒ v ' 048⋅0,5 m1s 13.
Kolikom brzinom bi se trebala gibati olovka duljine L 2slika) po pravcu svoje dulje osi da bi se njezina duljina smanjila na 4,H za promatrača u laboratorijskom sustavu 2*emlja)" %& L' L,1γ E L',4 L, ⇒ v ' ,B3 c 1.
*emljin satelit giba se brzinom v ' B 0,4 m1s.
Jovjek na *emlji izmjeri da raketa prolazi kraj njega 0, − s brzinom ,7 c. Kolika je duljina rakete za čovjeka na *emlji a kolika za osobu u raketi" %& *a onog na *emlji $8 m a za onog u raketi 8, m. 1".
>stronaut želi stići do zvijezde udaljene 3 svjetlosniG godina. Izračunajte koju bi brzinu trebala imati raketa u odnosu na *emlju da bi stigla do zvijezde za jednu godinu mjereno iz sustava rakete. %& ,B7c 1#.
v 2slika) miruje s obzirom na dvije točke 0 i $. . izmjeri osoba >" b) Koliko dugo traje putovanje rakete od točke 0 do točke $ za osobu > a koliko za osobu -" c) Koliko dugo svjetlost putuje izme#u tiG točaka za osobu > a koliko za osobu -" %& a) 55⋅0,B m b) *a > traje $7 s za - 05 s c) *a > $$$ s za - 80 s. -udući da se promatrač - giba treba upotrijebiti relaciju ∆ t ′' γ 2∆ t − v ∆ x 1c$) gdje je ∆ t '8⋅0,B m⋅γ 1c a ∆ x '8⋅0,B m⋅γ pri čemu je γ '01,5. Uvrstiv?i zadane vrijednosti dobivamo ∆ t ′ ' 80 s. 6ože se i na ovaj način& $ se giba prema - brzinom v pa udaljenost koju svjetlost pro#e prije nego dosegne tu točku iznosi 28 ⋅0,B−vt ) gdje je t vrijeme putovanja svjetlosti. Stoga je& ct ' 8⋅0,B−vt pa proizlazi ct +vt ' 8⋅0,B ⇒ t '80 s 1$.
U nepokretnom reDerentnom sustavu vremenski doga#aj traje ∆ t . Kolikom brzinom se treba gibati drugi sustav da bi taj isti doga#aj u njemu trajao dva puta kraće" %. v ' 2c1$)√4 1%.
*a koliko će biti kraći put zrakoplovom na udaljenosti 3,, km kad on leti brzinom 0,7, km1G ako se primjene relativistički eDekti. %& ∆ L' L, − L; Uvodimo aproksimaciju2 0 ± x ) n ≈ 0 ± n x E ⇒ ∆ L ≈ Lv$1$c$' $3⋅0,− m 2&.
Kako teče *emaljsko vrijeme u reDerentnom sustavu vezanom za Doton" %& v ' c E ∆ t ' ∆ t , 1, →∞ Lubi se pojam vremena. 21.
8
Specijalna teorija relativnosti
U gornjim slojevima atmosDere stvaraju se čestice tzv. µMmezoni koji se vrlo brzo raspadaju pretvarajući se u druge čestice pa imaju odre#eno vrijeme života.
23.
Ni sjedite u mirujućem automobilu 2terensko vozilo) i pokraj vas projuri osoba u kabrioletu budućnosti brzinom ,4 c.
%& kabriolet 33 m a va? automobil 557 m. 6ože li čovjek u načelu putovati do sredi?ta na?e galaktike koje je od *emlje udaljeno oko $4,,,A!" >ko da kojom brzinom bi trebao putovati da do#e do sredi?ta galaktike za 4, godina" %& Ca zbog dilatacije vremena ili kontrakcije duljine. v',BBBBB03c. 2.
Pretpostavite da želite otputovati do zvijezde koja je od *emlje udaljena B, svjetlosniG godina. Koliku brzinu bi trebao imati va? svemirski brod da vam udljenost do zvijezde gledano iz broda iznosi $3 svjetlosniG godina. %& ,B5c 2!.
Pretpostavite da se svemirski brod upravo vratio s putovanja nako 3 godina. -rzina broda iznosila je tijekom putovanja ,7B c. a) >ko je osobama na *emlji proteklo 3 godina koliko je godina proteklo osobama u svemirskom brodu" b) >ko je osobama u svemirskom brodu proteklo 3 godina koliko je godina proteklo osobama na *emlji" %& a)$$7 godina b) 0,B godna 2".
@edan od blizanaca ostane na *emlji dok drugi otputuje brzinom ,BB3 c do daleke zvijezde i vrati se na *emlju 03 godina mla#i nego ?to je njegov brat koji je ostao na *emlji. *amemari li se vrijeme akceleracije svemirskog broda odredite koliko je udaljena zvijezda od *emlje iskazano u godinama svjetlosti. %& T ( T, ' 03 godina s'vT E T ,'T 1γ E L's1$ ⇒ L ' 7$B l! 2#.
@edan od blizanaca za svoj $,Mti ro#endan otputuje svemirskim brodom brzinom ,5 c. a) Koliko je vremena njemu proteklo kad njegov brat na *emlji slavi 3,Mti ro#endan" b) Koji ro#endan slavi blizanac 9putnik:" c) Kojom brzinom bi se trebao gibati svemirski brod da putnik slavi dvadesetprvi ro#endan dok njegov brat na *emlji slavi pedeseti ro#endan" %& a) ∆t,'∆t 0−v$1c$/F ' $8 godine. b) 88Mti ro#endan. c) v',BBBB8c 2$.
Superman juri brzinom ,5 c pored kuće te mjereći njenu duljinu dobije iznos od 5m. -atman jureći pokraj iste kuće vidi da je ona duga 53m. a) Kolika je duljina kuće u sustavu vezanom za *emlju" b) Kolika je brzina -atmana u odnosu na *emlju" c) Kolika je brzina Supermana u odnosu na -atmana" %& a) 3 mE b) v≈,3 c c) ,73 c i ,08 c 2%.
Nlastito vrijeme života neke čestice je $ µs.
8
SPECIJALNA TEORIJA RELATIVNOSTI
31.
3
Na? prijatelj prolazi pokraj vas u 9superautomobilu: brzinom ,37 c. Ni izmjerite da je duljina njegovog automobila 37m a visina 0$m.
a) Kolika je duljina i visina automobila kad on miruje u odnosu na vas" b) >ko na va?em satu pro#e vremenski intervl od $,s koliko će proći vremena na satu va?eg prijatelja" %. a) 0$m i 0$m b) 054s Kada jedan od dvojice blizanaca napuni 4, godina krene svemirskim brodom prema zvijezdi udaljenoj $, l! 2godina svjetlosti) gibajući se stalnom brzinom ,B7 c. Koliko će godina imati svaki od blizanaca nakon povratka blizanca putnika" %&
Svemirski putnik točno u podne odlazi sa *emlje brzinom $ ⋅0,5 m1s i vrati se natrag nakon ?to je na *emlji protekla jedna godina. Kolika je razlika u vremenu koju pokazuju satovi putnika i osobe na *emlji ako su prije polaska bili sinkronizirani" >ko satovi putnika i osobe na *emlji imaju i pokazivač datuma Goće li satovi pokazivati isti datum" Koliko sati pokazuje sat putnika a koliko osobe na *emlji" %& Catum je isti. %azlika u vremenu je 0057 minuta. Sat osobe na *emlji pokazuje točno podne a putnika 0057 minuta manje jer je ∆' *− putnika ' *−*⋅γ ' ,,,,,$ god ' 0057 min. 33.
3.
-ježeći sa sata Dizike učenik se giba obzirom na zgradu ?kole brzinom ,7 c. *a njim se u potjeru uputila vje?tica brzinom ,5 c obzirom na ?kolsku zgradu 2slika)"
a) b) c) d)
Kolika je relativna brizna vje?tice s obzirom na učenika" >ko je na satu u ?kolskoj zgradi proteklo 0, minuta koliko vremena protekne za svakog sudionika utrke" >ko je duljina ?kolske zgrade 0,, m koju duljinu zgrade vidi učenik a koliku vje?tica" >ko je vlastita duljina metle na kojoj juri vje?tica 03m koliku duljinu metle vidi učenik koji bježi a koliku duljinu vidi učenik koji stoji pred ?kolskom zgradom" e) >ko je na satu učenika koji bježi pro?lo 0, minuta koliki je taj vremenski interval za vje?ticu ako su njiGovi satovi bili sinkronizirani na početku utrke" %& a) ,47c b)za vje?ticu. 7 minuta za učenika 5 minuta c) 5,mE 7, m d) onaj koji stoji 0$m a onaj koji bježi 047m. e)0,74 min. Kapetan svemirskog broda >lDa opaža da se prema njemu giba svemirski brod -eta brzinom ,7 c. Koliko iznose brzine jednog i drugog broda za opažača na *emlji ako on vidi da se brodovi gibaju jedan drugom ususret i imaju jednake brzine po iznosu" %& ,7c'2v+v)10+2v⋅v1c$)/ ⇒ v$ − $3 vc + c', ⇒ v'c1$ 3!.
Nrlo brzi svemirski brod putuje izme#u točaka > i - koje su udaljene toliko da svetlost taj razmak prije#e za $,s. Promatrač iz mirujućeg sustava stoji izme#u točaka > i - na sredini i vidi da svemirski brod točku > nadlijeće u 0$&,,&,, sati a točku - u 0$&,,&$3 sati dakle $3s kasnije. a) Kolika je brzina svemirskog broda" b) Sa stajali?ta pilota svemirskog broda koliko traje putovanje izme#u točaka > i - i koliko su one razmaknute" %& a) v'$,c1$3',7c b) 03sE 45 ⋅0,B m 3".
5
Specijalna teorija relativnosti
Cva svemirska proda putuju jedan nasuprot drugom. Svaki brod je dugačak $,, m u vlastitom sustavu. S obzirom na promatrača u brodu relativna brzina drugog broda je ,37 c. a) koliko dugo prolazi drugi brod pored promatrača u prvom brodu b) kolika je duljina svakog broda za promatrača u sustavu gdje brodovi imaju jednaku duljinu" %& a) t'2A,1γ )1,37c',B45µs b) ,37c'2v+v)120+v$1c$) ⇒ v',4$c ⇒ A'A,1γ 0'07B3m 3#.
%adioaktivna jezgra ubrzavajući se u akcelatoru čestica izlazeći iz njega ima brzinu v ',3 c. ada emitira elektron tzv. βMčesticu u smjeru svojeg gibanja brzinom u′ ',3 c s obzirom na jezgru. Kolikom brzinom se βM čestica udaljava od akceleratora" %& u'2u′+v)120+v⋅u′1c$)',B0c 3$.
Pri kojoj brzini rakete vremenski interval za mirnog motritelja na *emlji postaje dva puta veći od vlastitog vremenskog intervala putnika u raketi" %& ,755c 3%.
&.
miruje i opaža da se osoba - giba udesno brzinom ,B c a osoba u O brzinom ,B3 c ulijevo 2slika). Svi motritelji > - i O u svojim sustavima miruju i u rukama drže potpuno jednake metarske ?tapove 2vlastite duljine 0 m). O
a) b) c) %&
-
A
Kolika je duljina pojediniG ?tapova za osobu > u svim sustavima" Kolika je duljina pojediniG ?tapova za osobu - u svim sustavima" Kolika je duljina pojediniG ?tapova za osobu O u svim sustavima" *a motritelja > O
Culjina u > 0m ,845 m ,40$ m
Culjina u ,845 m 0m ,,4 m
Culjina u O ,40$ m ,,4 m 0m
5