OTPORNOST MATERIJALA Geometrijske karakteristike ravnih površina
GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH POVRŠINA
POVRŠI ŠINA NA POPR POPRE EČNOG NOG PRES PRESEK EKA A • POVR NOG PRES PRESEK EKA A • STATIČKI MOMENT POPREČNOG MOMENT NTII INER INERCI CIJE JE POPR POPRE EČNOG NOG PRES PRESEK EKA A • MOME
GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH POVRŠINA Pri proučavanju raznih vrsta naprezanja štapa, odnosno pri određivanju unutrašnjih sila primenom metode preseka, napona, deformacija i dr. koriste se neke čisto isto geom geomet etri rijs jske ke kara karakt kter eris isti tike ke poprečnih preseka. To su: površina, statički momenti i momenti inercije.
Površina se, pored ostalog koristi pri proučavan avanju ju aks aksija ijalnog lnog napr naprez ezaanja nja, stat statiički momenti se koriste pri određivan vanju tež ežiišta površina i pri proučavanju savijanja, a momenti inercije – pri proučavan avanju ju savi savija jan nja, ja, uvij uvijan anja ja,, izvi izvija janj njaa i dr. dr.
POVRŠINA POPREČNOG PRESEKA
n
A = A1 + A 2 + ..... + A n =
∑A
i
i =1
Dimenzija L2
Jedinica [m2], [cm2], [mm2]
POVRŠINA POPREČNOG PRESEKA Ako presek ne može da se rastavi na konačan broj delića čija su težišta poznata, razdeli se na veliki broj malih površina, a zatim se prelazi na granični slučaj, kada sve površine teže nuli.
Površina elementarnog dela je
d A = dx d y
∫
A = dA A
STATIČKI MOMENT POVRŠINE POPREČNOG PRESEKA ZA OSU
∫
Sx = y dA A
∫
Sy = x dA A
x i y su rastojanja težišta elementarne površine dA do ose y, odnosno ose x Integra graljenje nje se vrši po celoj eloj povr ovršini A
Dimenzija [L3]
Jedinica [m3], [cm3], [mm3]
STATIČKI MOMENT POVRŠINE POPREČNOG PRESEKA ZA OSU Prema Varinjon arinjonovoj ovoj teoremi – Moment rezultante jednak je zbiru momenata komponenata:
∫
A x C = x dA A
A x C = Sy
∫
A yC = y dA A
A y C = Sx
Statički momenti, pored neposrednog neposrednog integraljenja mogu da se odrede i kao proizvodi površine i odgovaraju odgov arajuće koordinate njenog težišta
TEŽIŠTE POVRŠINE Koor Koordi dina nate te teži težišt štaa po povr vrši šine ne:: xC
∫ x dA S = = ∫ dA A
y
A
A
x
A
A
n
n
∑x A i
xC =
yC
∫ y dA S = = ∫ dA A
i =1 n
∑
i
= Ai
Sy A
∑y A i
yC =
i =1
i
i =1 n
∑
= Ai
i =1
Ako su statički momenti određeni neposrednim inte integr gral alje jenj njem em,, mo mogu gu se od odrredit editii ko koor ordi dina nate te tež težišta išta po povr vrši šine ne.. Dimenzija [L]
Jedinica [m], [cm], [mm]
Sx A
STATIČKI MOMENT POVRŠINE POPREČNOG PRESEKA ZA OSU Ako osa prolazi kroz težište površine, statički moment za tu osu jednak je nuli.
A x C = Sy
A yC = Sx
xC = 0
yC = 0
Sx = 0
Sy = 0
Su = 0
Sv = 0
Za osu simetrije statički moment površine je jednak nuli jer ova osa prolazi kroz težište.
STATIČKI MOMENT SLOŽENE POVRŠINE Statički momenti pros rostih povr ovršina izra izračunavaju se nepo neposre sredno dno inte integra gralj ljen enjem jem..
Statički moment složene površine, koja se sastoji od više prostih površina pravougaonika, kvadrata, trouglova, krugova itd. jednak je zbiru statičkih momenata
pojedinih prostih površina u odnosu na istu osu.
∫
∫ y dA + ∫ y dA + .... + ∫ y dA = y
A
A1
S x = y dA =
1
A2
∫ x dA + ∫ x dA + .... + ∫ x dA = x
A
A1
A1 ,A 2,.....A n
x1 ,x 2,.....x n y1 ,y 2,.....y n
A2
A1 + y2 A2 + y3 A3 + ...yn An =
∑y A i
i
i =1
An
∫
S y = x dA =
n
n
1
A1 + x 2 A 2 + x 3 A 3 + ...x n A n =
An
površine pojedinih delova složene površine, koordi koordina nate te teži težišt štaa pojed pojedin inih ih površ površina ina,, n broj broj pros prosti tih h povr površi šina na..
∑x A i
i =1
i
n
∑x A
Koordi Koordina nate te teži težišt štaa površ površin ine: e:
i
xC =
i =1 n
∑A
i
=
Sy A
=
x1 ⋅ A1 + x 2 ⋅ A2 + x3 ⋅ A3 + ... + xn ⋅ An A1 + A2 + A3 + ... + An
i
i =1
n
∑y A i
yC =
i =1 n
∑A
i
=
Sx A
=
y1 ⋅ A1 + y 2 ⋅ A2 + y3 ⋅ A 3 + ... + y n ⋅ A n A1 + A 2 + A3 + ... + A n
i
i =1
Ako površina površina ima osu simetrije simetrije težište se nalazi nalazi na toj osi, osi, slika a). Ako površina površina ima dve ose simetrije simetrije težište je u njihovom preseku, preseku, slika b). Ako površina ima centar simetrije, težište je u tom centru, slika c).
a)
b)
c)
Primer: Odre Odredit ditii stat statiički moment pravougaonika dimenzija b, h u odnosu na osu x, i u odnosu na osu x1.
∫
Sx = y dA = A
h/2
∫
y b dy = b
−h/2
y2 2
Ih− /h2/ 2
b h
2 h = − − = 0 2 2 2 2
Statički moment površine u odnosu na težišnu osu je jednak nuli. h
∫
∫
A
0
Sx1 = y dA = y b dy = b
y2 2
h 0
I =
b
h ( 2
2
2
−0
)=
bh 2 2
Primer: Odre Odredi diti ti koor koordi dina nate te teži težišt štaa date date slož složen enee povr površi šine ne..
A1 = A2 =
ah 2 r 2π 2
6⋅2
=
2
=
22 π 2
= 6 cm 2 ,
x1 =
a 3
=
6 3
= 6, 28 cm 2 , x 2 = −
A 3 = a b = 6 ⋅ 2 = 12 cm 2 , x 3 =
a 2
=
= 2 cm, 4r 3π
6 2
y1 =
h 3
=
2 3
= 0, 67 cm
= −0, 85 cm, y 2 = 0
= 3 cm,
y3 = −
b 2
=−
2 2
A = A1 + A 2 + A 3 = 6 + 6, 6, 28 + 12 = 24, 28 cm 2
= −1cm
S1x = y1 A1 = 0, 67 ⋅ 6 = 4, 02 cm3
S1y = x1 A1 = 2 ⋅ 6 = 12 cm 3
S2 x = y2 A2 = 0 ⋅ 6, 28 = 0
S2 y = x 2 A 2 = ( −0, 85 ) ⋅ 6, 28 = −5, 34 cm 3
S3x = y3 A3 = ( −1) ⋅12 = −12 cm3
S3 y = x 3 A 3 = 2 ⋅12 = 36 cm 3
Sx = S1x + S2 x + S3x = 4, 02 + 0 − 12 = −7, 98 cm 3 Sy = S1y + S2 y + S3 y = 12 − 5, 34 + 36 = 42, 36 cm 3
Koordi Koordinat natee težišt težišta: a: xC = yC =
Sy 42,36 A Sx A
=
=
24, 28 28
−7, 98 24, 28 28
= 1, 75 m = −0, 32 m
KARAKTERISTIKE STATIČKIH MOME MOMENA NAT TA INERCIJE RAVNIH POVRŠINA Statički moment površine za neku osu u ravni te površine može biti pozitivan pozitivan,, negativan ili ili jednak jednak nuli u zavisnosti od uzajamnog položaja te površine i ose. Ako je statički moment za neku osu jednak nuli, to znači da je ta osa težišna težišna..
Sy = 0 ⇒ x C =
Sy A
=0
Sx = 0 ⇒
yC =
Sx A
=0
Za osu simetrije stati čki moment površine jednak površine jednak je nuli jer nuli jer ova osa prolazi prolazi kroz težište.
Ako površina ima dve ose simetrije ili više takvih osa, težište se nalazi u presečnoj tački tih osa. kvadrat, elipsa, elipsa, pravoug pravougaonik, aonik, prsten prsten itd. • krug, kvadrat,
Kososimetrična povr površin šinaa ima težišt težištee u tački kose simetrije.
MOMENATI INERCIJE RAVNIH POVRŠINA
AKSIJA JALN LNII MOME MOMENT NT INER INERCI CIJE JE • AKSI CENTRI RIFU FUGA GALN LNII MOME MOMENT NT INER INERCI CIJE JE • CENT POLARN RNII MOME MOMENT NT INER INERCI CIJE JE • POLA
AKSIJALNI MOMENAT INERCIJE
∫
I x = y 2 dA A
∫
2
I y = x dA A
Aksijalni moment inercije površine predstavlja zbir proizvoda svih elementarnih površina i kvadrata njihovih rastojanja od odgovarajuće ose u ravni te površine
CENTRIFUGALNI MOMENAT INERCIJE
∫
I xy = x y dA A
Centrifugalni moment inercije predstavlja zbir proizvoda svih elementarnih površina i oba njihova odstojanja od osa.
POLARNI MOMENA MOMENAT T INERCIJE
∫
2
IO = r dA A
Polarni moment inercije u odnosu na pol O u ravni te površine predstavlja zbir proizvoda svih elementarnih površina i kvadrata njihovih odstojanja od tog pola.
POLARNI MOMENT INERCIJE
r 2 = x 2 + y2
IO =
∫(x A
2
+ y 2 ) dA = ∫ x 2 dA + ∫ y 2 dA = I y + I x = I x + I y A
A
Polarni moment inercije jednak je zbiru aksijalnih momenata inercije za za bilo koje dve me đusobno upravne ose koje se seku u tom polu.
KARAKTERISTIKE MOMENATA INERCIJE RAVNIH POVRŠINA Dimenzija L4
Jedinica m4
cm4
Aksijalni i polarni moment inercije uvek su pozitivne veličine ine,, različite od nule Centrifugalni moment inercije može biti pozitivan pozitivan,, negativan ili jednak ili jednak nuli. nuli. Svaka površina, bila ona simetrična ili nesimetrična, ima bar jedan par međusobno upravnih osa za koje je centrifugalni moment inercije jednak nuli.
Ako površina ima jednu osu simetrije, tada je centrifugalni moment inercije za za tu osu i bilo koju drugu upravnu osu jednak nuli.
I xy = ∫ xydA = A
∫ xydA + ∫ (− x )ydA = 0 A′
A′′
PROMENA MOMENA PROMENA MOMENAT TA INERCIJE PRI TRANSLACI TRANSLACIJI JI KOORDINATNOG SISTEMA. ŠTAJNEROVA TEOREMA
Momenti iner nercije preseka eka za ose ξ i η
∫
Iξ = η2 dA A
∫
Iη = ξ2 dA A
∫
Iξη = ξ η dA A
Ako je koordinatni početak koordinatnog sistema ξO1η ujedno i težište površine O1=C, tada su ose ξ i η težišne, a Iξ , Iη, Iξη težišni li sopstveni momenti inercije .
ŠTAJNEROVA TEOREMA x=ξ+ a
∫
∫ (η + b)
A
A
∫
2 2 2 ∫ ( ξ + a ) dA = ∫ ξ dA + 2a ∫ ξ dA + a ∫ dA = I η + 2 a Sη + a A
A
A
I x = y 2 dA = I y = x 2 dA =
I xy =
2
∫
∫
∫
A
A
A
y=η+b
dA = η2 dA + 2b η dA + b 2 dA = Iξ + 2b Sξ + b 2 A
2
A
A
A
∫ ( ξ + a ) ( η + b) dA = ∫ ξ η dA + a ∫ η dA + b∫ ξ dA + ab∫ dA = I A
A
A
A
A
ξµ
+ a Sx + b Sη + a bA
ŠTAJNEROVA TEOREMA
Ako je koordinatni početak koordinatnog sistema ξO1η ujedno i težište površine O1=C, tada su ose ξ i η težišne, a I ξ , Iη, Iξη težišni li sopstveni momenti inercije . Kako su statički momenti za te ose jednaki nuli (Sξ=0 , Sη=0), a b=yC i a=xC
2
I x = Iξ + y A
I x = Iξ + b A
I y = Iη + x C2 A
I y = Iη + a 2 A
I xy = I ξη + x C y C A
I xy = Iξη + a b A
2 C
ŠTAJNEROVA TEOREMA Momenti inercije za ose koje nisu težišne jednaki su zbiru sopstvenih momenata inercije za paralelne težišne ose i odgovarajućih položajnih momenata inercije Iξ , Iη, Iξη težišni li sopstveni s opstveni momenti inercije
Polo Položžajni ajni ak aksi sija jaln lnii mo mome ment ntii iner inerci cije je pred predst stav avlj ljaj ajuu pr proi oizv zvod odee kv kvad adra rata ta rasstoj ra ojan anjja od odgo gova varraj ajuućih paralelnih osa i površine (b2A, a2A), a položajni centrifugalni moment inercije jednak je proizvodu oba rastoja ras tojanja nja iz izme među paralelnih osa i površine ( a bA). Za x=a, y=b pol polož ožajn ajnii mom moment entii ine inerrcij cijee su
a2A,
b2A,
a
bA
ŠTAJNEROVA TEOREMA Momenti Momenti inercije inercije ravne ravne površine površine za ose paralelne težišnim osama jednaki su zbiru sopstvenih momenata inercije za težišne ose i odgovarajućih položajnih momenata inercije
I x = Iξ + b 2 A 2 = + a I y Iη A
I xy = I ξη + a bA Sopstv Sop stveni eni (teži (težišni šni,, centra centralni lni))
Položajni
ŠTAJNEROVA TEOREMA Momenti inercije za ose koje nisu težišne jednaki su zbiru sopstvenih momenata inercije za paralelne težišne ose i odgovarajućih položajnih momenata inercije
Ako su poznati momenti inercije nekog preseka za ose koje nisu težišne, na primer x i y, y, sopstveni (težišni) momenti inercije za odgovarajuće paralelne težiš težišne ne ose ose su:
Iξ = I x − y C2 A Iη = I y − x C2 A I ξη = I xy − x C yC A
KARAKTERISTIKE MOMENATA INERCIJE RAVNIH POVRŠINA Aksijalni moment inercije za osu koja nije težišna uvek je veći od momenta inercije za paralelnu težišnu osu, jer su položajni momenti inercije uvek pozit pozitiv ivne ne veli veličine (b2A>0, a2A>0).
Mom omen entt inercij ijee za te težžiš išnu nu os osuu (s (sop opsstve veni ni mom omeent inercij ijee) je naj ajm man anji ji od momenata inercije za sve međus usob obno no pa para rale leln lnee os ose. e. Pri paralelnom pomeranju samo jedne koordinatne ose centrifugalni moment ent inerc ercije se ne menja enja.. Ovo sledi iz I xy = Iξη + a b A ako je, na primer a=0, b≠0 (ili je a≠0, b=0) tada je Iξη=Ixy
MOMENTI INERCIJE ZA ZAOKRENUTI (ROTIRANI) KOORDINATNI SISTEM Poznati su sopstveni (težišni) momenti inercije Ix, Iy i Ixy. Za neki novi koordinatni koo rdinatni sistem ξOη koji je zaokrenut u odnosu na prethodni, treba odrediti momente inercije Iξ, Iη i Iξη. Ugao zaokretanja φ je proizvoljan i smatra se pozitivnim ako se rotacija osa vrši u pozitivnom matematičkom smeru (suprotno od smera kazaljke na satu)
MOMENTI INERCIJE ZA ZAOKRENUTI KOORDINATNI SISTEM ROTACIJA KOORDINATNOG ROTACIJA KOORDINATNOG SISTEMA. GLAVNE OSE INERCIJE I GLAVNI MOMENTI INERCIJE
ξ = MN + CM = PQ + CM = y sin ϕ + x co cos ϕ η = SQ − NQ = SQ − MP = y cos ϕ − x si sin ϕ
2
∫
cos 2 ϕ ∫ y 2 dA + sin 2 ϕ ∫ x 2 dA − 2 sin ϕ cos ϕ ∫ xy dA = ∫ ( y cos ϕ − x sin ϕ ) dA = co
A
A
Iξ = η2 dA =
A
A
A
= I x cos 2 ϕ + I y sin 2 ϕ − 2 sin ϕ co cos ϕ I xy
∫
Iη = ξ2 dA = A
2
2 2 2 2 ∫ ( y sin ϕ + x cos ϕ) dA = sisin ϕ∫ y dA + cos ϕ∫ x dA + 2 sin ϕcos ϕ∫ xy dA = A
2
A 2
cos ϕ I xy = I x sin ϕ + I y cos ϕ + 2 sin ϕ co
A
A
∫
∫ ( y sin ϕ + x cos ϕ) ( y cos ϕ − x sin ϕ) dA =
A
A
I ξη = ξ η dA =
∫
∫
∫
= sin ϕ cos ϕ y 2dA − x 2dA + ( cos 2 ϕ − sin 2 ϕ ) xy dA =
A A = ( I x − I y ) sin ϕ cos ϕ + I xy ( cos 2 ϕ − sin 2 ϕ)
A
Kako je: cos 2 ϕ =
1 2
sin 2 ϕ =
(1 + cos 2ϕ )
Iξ = Iη =
2 1
Iξη =
(I
(I
2 1
+ Iy ) +
x
x
I ( 2
x
+ Iy ) −
1 2 1 2
2
(1 − cos 2ϕ )
2
cos ϕ − sin 2 ϕ = cos 2ϕ
2 sin ϕ cos ϕ = sin 2ϕ
1
1
(I
x
− I y ) cos 2ϕ − I xy sin 2ϕ
(I
x
− I y ) cos 2ϕ + I xy sin 2ϕ
− I y ) sin 2ϕ + I xy cos 2ϕ
Momenti inercije za bilo koji novi, no vi, zaokrenuti koordinatni sistem
GLAVNE OSE INERCIJE I GLAVNI MOMENTI INERCIJE Drugi obrazac dobija se iz prvog zamenom ugla φ sa φ+900. Zbog toga je dovoljno dovo ljno ispitati prvi i treći od ovih obrazaca. Iξ =
1
(I 2
Iη = Iξη =
1
x
(I
2 1
2
+ Iy ) + + Iy ) −
x
(I
x
1 2 1 2
(I
x
(I
x
− I y ) cos 2ϕ − I xy sin 2ϕ − I y ) cos 2ϕ + I xy sin 2ϕ
− I y ) sin 2ϕ + I xy cos 2ϕ
Momenti inercije za zaokrenuti koordinatni sistem su neprekidne funkcije ugla rotacije φ, pa se mogu odrediti njihove ekstremne vrednosti: dI ξ dϕ
= −(I x − I y )sin 2ϕ − 2I xy cos 2ϕ = 0
Argument φ koji koji zado zadovo volj ljav avaa posl posled ednj nju u jedn jednaačinu označimo sa α , pa se dobija:
tg2 tg 2α =
−2 I xy Ix − Iy
GLAVNE OSE INERCIJE I GLAVNI MOMENTI INERCIJE tg2 tg 2α =
−2 I xy Ix − I y
dobijeno iz uslova
dI ξ dϕ
=0
Ovo se isto dobija i iz uslova
za α = φ
dIη
nπ , n = 1, 2,3,. ,3,.... Jednačina ima bezbroj rešenja α n = α + 2 Sva ova rešenja (uglovi) određuju dva uzajamno upravna pravca. Zato je dovoljno odrediti samo jedno, najmanje rešenje za α. Kako je:
dϕ
=0
tg 2α ≤ +∞ −∞ ≤ tg2
to mora biti
−900 ≤ 2α ≤ +90 0
tj. apsolutna vrednost ugla
odnosno
-450 ≤ α ≤ +450 α ≤ 450
Ugao α određuje položaj takozvanih glavnih težišnih osa inerci inercije je.
GLAVNE OSE INERCIJE I GLAVNI MOMENTI INERCIJE cos2α =
sin2α =
1 2
1 + tg 2α tg2 tg 2α 1 + tg 2 2α
Ix − I y
= ±
2
( I x − I y ) + 4 I2xy −2I xy
= ±
(I
2
2 x − I y ) + 4 I xy
Sa ovim, iz prva dva obrasca, zamenom φ sa α, dobijaju se ekstremne vrednosti aksijalnih momenata inercije – glavni težišni momenti inercije:
I max = I1 = I min = I 2 =
1
I ( 2
x
1
I ( 2
x
+ Iy ) + + Iy ) −
1 2 1 2
A iz trećeg obra obrasc scaa sled sledi: i:
=I ( Iξη )ϕ=α ϕ= α
12
=0
(I (I
2
x
− I y ) + 4 I 2xy 2
x
− I y ) + 4 I 2xy
GLAVNE OSE INERCIJE I GLAVNI MOMENTI INERCIJE Osa (1) je osa u odnosu na koju je aksijalni moment inercije maksimalan I1, i ona zaklapa ugao α1 sa pozitivnim delom ose Ox Osa (2) je osa u odnosu na koju je aksijalni moment inercije minimalan i ona zaklapa ugao sa pozitivnim delom ose Ox α2 = α1 + 900
I2,
tg2 tg 2α =
Ugao α se nanosi u pozitivnom matematičkom smeru.
−2 I xy Ix − Iy
GLAVNE OSE INERCIJE I GLAVNI MOMENTI INERCIJE Centrifug Centri fugaln alnii mom momen entt ine inerrcij cijee za glavne ose inercije je jednak nuli: I12 = 0
glavn avnii ce cent ntra raln lnii mo mome ment ntii in iner erci cije je,, Ako su x i y težišne ose tada su I1 i I2 – gl A ose (1) i (2) su glavne centralne ose inerc inercije ije: I max = I1 = I min = I 2 =
1 2 1 2
( Ix + I y ) + (Ix + Iy ) −
1 2 1 2
2
( I x − I y ) + 4 I 2xy 2
( I x − I y ) + 4 I 2xy
GLAVNE OSE INERCIJE I GLAVNI MOMENTI INERCIJE
Za os osee za ko koje je ak akssij ijal alni ni mom omen enti ti in iner erci cije je im imaj ajuu ek ekst strrem emnne vr vred edno nost sti, i, cent ce ntri rifu fuga galn lnii mo mome ment nt in iner erci cije je je je jedn dnak ak nu nuli li.. usob obno no up upra ravn vnih ih os osaa ce cent ntri rifu fuga galn lnii mo mome ment nt in iner erci cijj Važi i obr obrnut nut zaklj ključak: ako je za par međus jednak nuli, te su ose glavne ose inercije (aksijalni momenti inercije za te ose imaju im aju ek ekst stre remn mnee vr vred edno nost sti). i). Pri svemu ovome, u opštem slučaju, ni jedna od osa ne mora biti osa simetrije površine.
Za površinu koja ima jednu osu simetrije, ta osa je jedna glavna težišna osa, dok je druga glavna osa upravna na nju i prolazi kroz težište. Za ove ose centrifu fuga gallni moment inercij ijee je jednak nuli li.. Ako površina ima dve ose simetrije, te ose su glavne težišne ose inercije, jer je i za njih centrifugalni moment inercije jednak nuli (pravougaonik, I profil itd.). Ako površina ima tri ili više osa simetrije, bilo koja osa je glavna osa, jer su momenti inercije za sve težišne ose, u tom slučaju međus usob obno no je jedn dnak aki.i. Tak akve ve po povr vrši šine ne su kv kvad adra ratn tna, a, kr kruž užna na,, pr prst sten enas asta ta it itd. d.
GLAVNE OSE INERCIJ GLAVNE INERCIJE E I GLAVNI MOMENTI INERCIJE
Kako je moment inercije za težišnu osu manji od momenta inercije za osu koja nije težišna a paralelna je težišnoj, od svih težišnih osa najman anjji je moment inercije za drugu glav avnnu osu (2). Zaključuje se da je I2 na najm jman anji ji mo mogu gući ak aksi sija jaln lnii mo mome ment nt in iner erci cije je po povr vrši šine ne.. Od svih težišnih osa najveći je momenata inercije za osu (1), ali post stoj ojii bezbroj netežišnih os osaa za koj ojee su momenti inercije veći o d I1. Detaljn aljniijom anali alizom zom prva dva dva obrasc asca dola olazi se do veo veoma kor korisnog zakl aključka:
uvek osa većeg poz ozna nato togg mo mome ment ntaa in ineercij ijee, zao aokr kreeta tannje jem m za uga gaoo α prelazi u osu najvećeg mom omeent ntaa in iner erccij ijee (1 (1), ), a osa man anjjeg poz oznnatog momenta inercije u os osuu naj ajm man anjjeg momenta inercije (2) 2).. Pri rešav avaanju zadataka, korisno je imati u vidu čin inje jeni nicu cu da osaa na os najm jman anjjeg mom omen enta ta in ineerci cijje (2 (2)) uve vekk „p „prrat ati“ i“ izduž užen enje je pov ovrrši šine ne,, a osa najvećeg težišnog mom omeenta inercije (1) ima pop oprrečan položaj u odnosu na taj pravac.
GLAVNE OSE INERCIJE I GLAVNI MOMENTI INERCIJE Gla lavn vnee te težžiš išne ne os osee in ineercij ijee na nazziv ivaj ajuu se i gl glav avni nim m cent ntrral alni nim m os osam ama, a, dokk se gl do glav avnni te težžiš išni ni mom omen enti ti in ineercij ijee naz aziv ivaj ajuu i gl glav avnni cent ntrral alni ni mo mom men enti ti ine nerrcij ijee. Ove ve velličine imaju ogr grom omaan značaj u analizi nap apon onaa i deformac aciije gr greednih nos osaača. Glav Gl avni ni te teži žišn šnii mo mome ment ntii in iner erci cije je po popr preečno nogg pr pres esek ekaa ne neko kogg št štap apaa pr pred edst stav avlj ljaj ajuu merru ot me otpo pora ra pri nje jego govo vom m sa savi vija jannju ju.. Na pr prim imer er,, gr gred eduu pr prav avou ouga gaon onog og po popr preečnog preseka lakše je saviti oko vertikalne ose (2), nego oko horizontalne ose (1), jer je b
MOMENTI INERCIJE ZA OSE ZAOKRENUTE U ODNOSU NA GLAVNE OSE INERCIJE. INVARIJANTE MOMENATA INERCIJE Ako se glavne ose inercije za koje je centrifugalni moment inercije jednak nuli (I 12=0) usvo usvojje kao koordi rdinatne tne ose ose, momenti inerci rcije za zaokr okrenute ute ose u odnos nosu na njih jih, za proi proizv zvol olja jan n ugao ugao su: su:
Iξ = I1 cos 2 ϕ + I2 sin 2 ϕ = 2
2
Iη = I1 sin ϕ + I2 cos ϕ = Iξη = ( I1 − I2 ) sin ϕ cos ϕ =
1 2 1
1
( I1 + I2 ) + ( I1 − I2 ) cos 2ϕ
2 1
2 1
( I1 + I2 ) − ( I1 − I2 ) cos 2ϕ
2
2
( I1 − I2 ) sin 2ϕ
Iξ + I η = I x + I y = I1 + I 2 Iξ ⋅ I η − I ξ2η = I x ⋅ I y − I 2xy = I1 ⋅ I 2 koje se pri rotac aciiji koor oordinat natnog sistema ne menja enjaju ju.. To su inv invari arijan jante te mom momena enata ta ine inerc rcije ije.
+
INVARIJANTE MOMENATA INERCIJE I ξ + I η = I x + I y = I1 + I 2
PRVA PRV A INV INVARI ARIJAN JANT TA
Zbir ak aksi sija jallnih mo mome mena nata ta iner inerci cije je se ne menja enja pri pri rotac otacij ijii pravo ravouuglo glog koordin koordinatn atnog og sistem sistema. a. Taj zbir mo morra biti biti kon onst stan anttan jer jer pre predsta dstavl vljja po pola larn rnii mo mome ment nt ine inercije ije preseka seka za koord oordin inat atni ni početak kao pol. 2 = I x ⋅ I y − I 2xy = I1 ⋅ I 2 DRUGA INV I ξ ⋅ I η − I ξη INVARIJANT ARIJANTA A
Nepromenljivost Nepromenljivost razlike proizvoda aksijalnih momenata inercije inercije i kvadrata centrifugalnog momenta inercije inercije (za glavne ose je centrifugalni moment inercije inercije jednak nuli I12=0).
INVARIJANTE MOMENATA INERCIJE Korišćenjem drug ruge invar varijante nte može se za neku površi ršinu izračunati unati centrif centrifuga ugalni lni mome oment inerc nerciije za par uprav ravnih osa ako su poz poznati aksijalni momenti inerci rcije za te ose i glavni momenti inercije. Na prime imer za stan tandardni dni raznokr okraki uga ugaonik na sledećoj slici u tablicama su date vrednosti Ix, Iy, I1 i I2 pa iz druge ivarijante se sračuna una cent centri rifu fuga galn lnii mome moment nt iner inerci cije je za koj koji nema vred rednosti osti u tabli blicama: 2 2
I ξ ⋅ I η − I ξη = I x ⋅ I y − I xy = I1 ⋅ I 2
I xy = ± I x ⋅ I y − I1 ⋅ I 2
Znak minus ili plus se uzima zavisno od položaja ugaonika u odnosu na usvojene koor oordina inatne ose xCy xCy. U sličaju datom na slici, treba uzeti znak minus, jer je veći deo površine ugaonika u II i IV kvadrantu.
POLUPREČNICI INERCIJE. ELIPSA INERCIJE Promena aksi Pro ksijal jalnih mome omenat nata iner nercije od pravc avca ose može se geome ometrijsk jski predst predstavi aviti ti pomo pomoću el elip ipse se in iner erci cije je pr pres esek ekaa. Neka su za površinu poznate glavne težišne ose (1) i (2) i glavni težišni momenti inercije I1 i I2. Moment ine inercije u odno dnosu na pro proizv izvoljnu težišnu osu ξ dobi dobija ja se prim primen enom om prvo prvog g izra izraza za::
Iξ = I1 cos 2 ϕ + I2 sin 2 ϕ 2
iξ
i1
:A
= i12 cos 2 ϕ + i22 sin 2 ϕ I1
=
i2
A
=
I2 A
poluprečnici inercije za glavne ose – glavni poluprečni nici ci in iner erci cije je iξ
=
Iξ A
poluprečnik inercije za osu ξ
ELIPSA INERCIJE Iz praktičnih razloga označimo osu (1) sa x a osu (2) sa y. Uočimo na osi ξ neku tačku N (x,y) na rastojanju r od koordinatnog početka (težišta C površine). Očigledno je da postoje sledeće zavisnosti:
cos ϕ = 2
iξ
2
iξ
2 x
iξ
y r
2 y
2
y2
2
i1
x2
2
i2
y2
r2
= i1 + i2 = 2 + 2 / ⋅ 2 2 i1 ⋅ i 2 r r r r 2
r=
r
2
i2
i1 ⋅ i2
sin ϕ =
= i12 cos 2 ϕ + i22 sin 2 ϕ
x2
Ako se rastojanje r odabere tako da bude
x
+
x2 2 i2
2
i1
+
=
y2 2 i1
iξ
2
⋅ r2
2
⋅ i22
i1
=1
ELIPSA INERCIJE
x2 2 i2
+
y2 2 i1
=1
Ovo Ovo preds predstav tavlj ljaa eli lippsu in ineercij ijee po povr vrši šine ne za te težžiš ište te C (tež (težiš išna na elip elipsa sa iner inerci cije je). Polu Poluos osee elip elipse se iner inerci cije je su glav glavni ni tež ežiš išni ni polu polupr preečnici nici iner inerci cije je i1 i i2. Pri kons Pri konsttruis ruisan anjju eli elipse pse inerc nercij ijee veći polu polupr preečnik i1 nanosi se na na osu (2), a manji anji polu olupre prečnik nik iner inerci cije je i2 nanosi se na na osu (1).
Poluprečnik inercije nanosi se upravno na osu za koju je određen.
Zbog bog toga je elipsa inercij cije uvek vek izduže užena u pra pravcu izduž zdužeenja nja pov površine.
ELIPSA INERCIJE Ako su glavn avni težišni mome omenti nti iner nercije međusobno obno jedna ednak ki I1=I2, tada su jednaki i poluprečnici nici inerc ercije (i1=i2), pa se elipsa inercije svodi na krug. To je slučaj kod kod kvad kvadra rata ta,, krug kruga, a, prst prsten ena, a, prav pravil ilno nog g šest šestou ouga gaon onik ikaa i dr, dr, tj. kod svih površina kod kojih se momenti inercije ne menjaju pri rotaciji koordin koordinatn atnog og sistem sistema. a. Eli Elipsa psa iner inerci cije je ima ima svoj svojaa geom geomet etri rijs jska ka zna značenja. Dva Dva najv najvaž ažn nija ija su: su: 1. Rastojanje proizvoljne težišne ose, na primer ξ, i njoj paralelne tangente t na elipsu, jednako je poluprečniku inercije za tu osu (d= iξ). 2. Ako je tangenta t elipse inercije paralelna sa jednom težišnom osom, tada se centrifugalni momen omentt iner inerci cije je povr površi šin ne može ože dobi dobitti kao kao proi proizv zvod od koor koordi dina nata ta dodi dodirn rnee tačke D i površine, tj. Iξη=ξD η ηD A.
MOMENT MOM ENTII INE INERCI RCIJE JE PRA PRAV VOUG OUGAON AONIKA IKA A = b ⋅ h, x C = h
2
h
2
2
I x1 = ∫ y dA = ∫ y bdy = b ∫ y dy = A
0
b
2
b
2
I y1 = ∫ x dA = ∫ x hdx = b ∫ x dx = A
0
I x1y1 = ∫ xydA = A
h
0
h
b
b
∫ 2 ydA = ∫ 2 ybdy =
0
2
3
2
I x = I x1 −
bh 3 h = − bh = 3 12 2
I y = I y1 −
x C2 A
3 hb b = − bh = 3 12 2
h3
I xy = I x1y1 − x C y C A =
b2h 2 4
−
bh 22
2
dA = bdy
3
hb3 3
dA = hdx dA = bdy b2h 2
2
0
4
bh = 0
h
3
h
Za težišne ose bh 3
, yC =
b2
0
y C2 A
2
bh
0
2
b
∫ ydA =
MOMENTII INERCI MOMENT INERCIJE JE I ELIPS ELIPSA A INERCI INERCIJE JE PRA PRAVO VOUGAONI UGAONIKA KA Za težišne ose x i z momenti inercije su:
Ix =
bh 3
Iy =
12
hb 3
I xy = 0
12
Poluprečnici inercije su: bh 3 ix
= i1 =
Ix A
=
12 = bh
h2 12
=
3 6
h = 0,29h
hb 3 iy
= i2 =
Iy A
=
12 = bh
b2 12
=
3 6
b = 0,29b
Rastojanje između tačke dodira tangente koja je paralelna sa odabranom o dabranom osom i težišta C je
I D = A i D2
iD.
MOM OMEN ENTI TI IN INER ERCI CIJE JE KRU RUGA GA 2
D π
A=
4
4
4
D π
Ix = Iy =
= r2π
r π
=
64
4
≈ 0,0491 D 4 = 0,785 r 4
I xy = 0 ix
D
= iy =
4
=
r 2
MOME MO MENT NTII IN INER ERCI CIJE JE PO POLO LOVI VINE NE KR KRUG UGA A A= yC =
D2π 8
=
r2π 2
4r
≈ 0,2122 D, r − y c ≈ 0,2878 D 3π π 8 4 4 4 Ix = − r ≈ 0,1098 r ≈ 0,0069 D 8 9π Iy = I x1 =
r 4π 8 r 4π 8
= =
D4π 128 D4π 128
≈ 0,392 r 4 ≈ 0,0025 D 4 ≈ 0,392 r 4 ≈ 0,0025 D 4
POSTUPAK POSTUP AK ODRE ODREĐIV IVANJA ANJA MOMENAT MOMENATA INERCI INERCIJE JE SLOŽENE POVRŠINE 1. Izab abrrati koord ordinatni siste stem xOy i od odrrediti polo oložaj težišta 2. Odred dredit itii sop sopstve stvenne mom omeente nte iner nercije ije svak svakee po povr vrši šinne 3. Primenom Štajnerove teoreme odrediti momente inercije slož složeene po povr vrši šinne za tež težišn išne ose ose 4. Odrediti položa ožaj (ugao) gao) glavn avnih centralnih osa inercije 5. Odrediti gla glavne centraln alne mom omeente inercije 6. Odrediti poluprečnike ike eli elipse pse ine inercije ije i na naccrtat rtatii elip elipsu su iner inerccije ije
PRIMER IZRAČUN UNA AVANJ ANJA A MOM MOMENA ENAT TA INE INERCI RCIJE JE SLOŽENE POVRŠINE Odabrati ose x i y i odrediti težište: 2 A1 = 12 ⋅1 = 12 cm ,
x1 = 0,
y1 = 0
C1 ( 0; 0; 0 )
2 A 2 = 8 ⋅1 = 8 cm , x 2 = −3, 5 cm, y 2 = 6, 5 cm
C2 ( −3, 5; 6, 5 )
A3 = 8 ⋅1 = 8 cm 2 , x 3 = 3, 5 cm, y3 = −6, 5 cm
C3 ( 3, 5; −6, 5 )
S1x = y1 A1 = 0
S1y = x1 A1 = 0
S2 x = y2 A2 = −28 = cm3
S2 y = x 2 A 2 = 52 cm 3
S3x = y3 A3 = 28 cm3
S3 y = x 3 A 3 = −52 cm 3
Sx = S1x + S2 x + S3 x = 0 − 28 + 28 = 0 Sy = S1y + S2 y + S3 y = 0 + 52 − 52 = 0
xT =
Sy A
=
0 28
=0
yT =
Sx A
=
0 28
=0
PRIMER IZRAČUN UNA AVANJ ANJA A MOM MOMENA ENAT TA INE INERCI RCIJE JE SLOŽENE POVRŠINE Odrediti momente inercije za ose x i y
I x = I x1 + y C2 1 ⋅ A1 + I x 2 + y C2 2 ⋅ A 2 + I x 3 + y C2 3 ⋅ A 3 I y = I y1 + x C2 1 ⋅ A1 + I y 2 + x C2 2 ⋅ A 2 + I y3 + x C2 3 ⋅ A 3 I xy = I x1y1 + x C y C ⋅ A1 + I x 2 y 2 + x C y C ⋅ A 2 + I x 3 y3 + x C y C ⋅ A 3 1
1
2
2
3
3
Odrediti sopstvene momente inercije
I x1 = I y1 = I x1y1
b h3 12 h b3
12 =0
= =
1 ⋅ 12 3 12 12 ⋅ 13 12
= 144 cm 4 = 1cm 4
I x2 = I y2 = I x 2 y2
I x3 = I y3 = I x 3y3
b h3 12 h b3 12 =0 b h3 12 h b3 12 =0
= =
= =
8 ⋅ 13 12 1 ⋅ 83 12
8 ⋅ 13 12 1 ⋅ 83 12
= 0,66 cm 4 = 42,66 cm 4
= 0,66 cm 4 = 42,66 cm 4
Odrediti momente inercije za ose x i y
I x = I x1 + y C2 1 ⋅ A 1 + I x 2 + y C2 2 ⋅ A 2 + I x 3 + y C2 3 ⋅ A 3 =
= 144 + 0,66 + 6,5 2 ⋅ 8 + 0,66 + 6,5 2 ⋅ 8
I x = 822 cm 4 I y = I y1 + x C2 1 ⋅ A1 + I y 2 + x C2 2 ⋅ A 2 + I y3 + x C2 3 ⋅ A 3 =
= 1 + 42,66 + 3,5 2 ⋅ 8 + 42,66 + 3,5 2 ⋅ 8
I y = 282 cm 4 I xy = I x1y1 + x C y C ⋅ A1 + I x 2 y 2 + x C y C ⋅ A 2 + I x 3 y3 + x C y C ⋅ A 3 = 1
1
2
2
= 0 + 0 + (− 3,5)2 ⋅ 6,5 ⋅ 8 + 3,5 ⋅ (− 6,5) ⋅ 8
I xy = −364 cm 4
3
3
PRIMER IZRAČUN UNA AVANJ ANJA A MOM MOMENA ENAT TA INE INERCI RCIJE JE SLOŽENE POVRŠINE Odrediti položaj glavnih osa i glavne momente inercije
tg2 tg 2α =
tg 2α =
−2 I xy Ix − Iy
− 2(− 364 ) = 1,3481 821,33 − 282
2α = arctg1,3481 = 53,4330 ⇒ α = 26,72 0 2 1 1 I max = I1 = ( I x + I y ) + I x − I y ) + 4 I x2y ( 2 2 2 1 1 I min = I 2 = ( I x + I y ) − I x − I y ) + 4 I x2y ( 2 2
=I ( Iξη )ϕ=α ϕ= α
12
I max = I1 = 1006 cm 4 I min = I 2 = 99 cm I12 = 0
4
I1 = I2 =
1 2 1 2
=0
(822 + 282 ) + (822 + 282) −
1 2 1 2
(822 − 282 )2 + 4 ⋅ (− 364)2 (822 − 282 )2 + 4 ⋅ (− 364)2
PRIMER IZRAČUN UNA AVANJ ANJA A MOM MOMENA ENAT TA INE INERCI RCIJE JE SLOŽENE POVRŠINE Odrediti poluprečnike inercije
i1
i2
=
=
I1 A
1006
=
I2 A
28
=
99 28
= 5,66 cm
= 1,88 cm
POSTUPAK ODRE POSTUPAK ODREĐIVANJA GEOMETRIJSKIH KARAKTERISTIKA SLOŽENE SLOŽENE POVRŠINE NAPO NA POME MENE NE – O ČEMU TREBA VODITI RAČUNA Treba koristiti simetriju jer je težište površ vršine uvek na osi simetrije Osa simetrije je ujedno i glavna osa inercije, a druga glavna osa prolazi kroz težište i upravna je na prvu. Ako površina ima više osa simetrije težište je njihovom preseku, a one su ujedno i glav glavnne ose inercije Za gla glavne ose inercije centrifugaln alni moment inercije je uvek vek jednak nuli
Primer: Odre Odredi diti ti mome moment ntee iner inerci cije je date date slož složen enee povr površi šine ne..
A 1 = 6 cm 2
C1 (2; 0,67 )
A 2 = 6,28 cm
2
A 3 = 12 cm 2
C 2 (− 0,85; 0 )
C 3 (3; − 1)
xC = yC =
Sy 42,36
=
A 24, 28 28 Sx −7,98 A
=
24, 28 28
= 1, 75 m = −0, 32 m
Sops Sopstve tveni ni mome moment ntii inerc inercij ijee troug trougla la – površ površin inaa A1
C1 (0,25;1)
A 1 = 6 cm 2 Ix = 1
I y1 =
b h3
=
36 h b3 36
I x1y1 = −
=
6 ⋅ 23 36 2 ⋅ 63 36
b2h 2 72
=−
= 1,33 cm 4 = 12 cm 4 62 ⋅ 22 72
= −2 cm 4
Sopstve Sopstveni ni moment momentii inercij inercijee polukru polukružne žne površin površinee A2 C 2 (− 2,60; 0,32 )
A 2 = 6,28 cm 2
Ix2 = I y2 = I x 2y2
r 4π 8 r4 72π =0
=
24 π 8
= 6,28 cm 4
(9π2 − 64) = 1,76 cm 4
Sopstv Sopstveni eni moment momentii inerci inercije je pravouga pravougaonik onikaa – površin površinaa A3
C 3 (1,25; − 0,68)
A 3 = 12 cm 2 b h3
I x3 = I y3 = I x 3 y3
12 h b3 12 =0
= =
6 ⋅ 23 12 2 ⋅ 63 12
= 4 cm 4 = 36 cm 4
Momente Momente inercije inercije date složene složene površine površine I x T = I x1 + y C2 1 ⋅ A1 + I x 2 + y C2 2 ⋅ A 2 + I x 3 + y C2 3 ⋅ A 3 =
I x T = 25,802 cm 4
2
= 1,33 + 12 ⋅ 6 + 6,28 + 0,32 2 ⋅ 6,28 + 4 + (− 0,68) ⋅12 I y T = I y1 +
x C2 1
⋅ A1 + I y + 2
x C2 2
⋅ A2 + Iy + 3
x C2 3
I yT = 111,338 cm 4
⋅ A3 =
2
= 12 + 0,252 ⋅ 6 + 1,76 + (− 2,6 ) ⋅ 6,28 + 36 + 1,252 ⋅12
I x T y T = − 15,925 cm 4
I x T y T = I x1y1 + x C y C ⋅ A1 + I x 2 y 2 + x C y C ⋅ A 2 + I x 3 y3 + x C y C ⋅ A 3 = 1
1
2
2
3
3
= −2 + 0,25 ⋅1 ⋅ 6 + 0 + (− 2,6 ) ⋅ 0,32 ⋅ 6,28 + 0 + 1,25 ⋅ (− 0,68) ⋅12