2 Fraccion racci one es y de d eci cimale maless 1.
Indic a la interp retación de fracci ón que se util iza en cada caso. a) Un quinto del público del teatro es es de Toledo. Toledo. b) Setenta y cinco de cada 100 estudi antes practican algún deporte. c) Jacinto ha comido un cuarto cuarto de pizza. d) Tres Tres decimos de las rosas tienen pulgones. a) Fracción de una cantidad b) Cociente entre dos números c) Partes de una unidad d) Fracción de una cantidad
2.
3.
Completa los dibujos en tu cuaderno cuaderno e indica la fracción de la parte coloreada. a)
b)
a)
b) 1
10
16
48
5 24
Comprueba si estas fracci ones son equivalent es. a) b)
4 6
y
6
12
c)
9
16 20 y 2 5 30
25
d)
y
81 120
y
a) 4 · 9 = 6 · 6 = 36 ⇒
4 6 y son equivalentes. 6 9
b) 16 · 30 ≠ 25 · 20 ⇒
16
c) 12 · 75 ≠ 25 · 60 ⇒
25
y
20 30
75 54 80
. no son equivalentes.
81 120
e) 36 · 35 = 60 60 · 21 = 1260 ⇒
36
84 ·17 = 21 2 1· 68 = 14 1 428⇒
84
f)
60
12 60 y . no son equivalentes. 25 75
d) 81· 80 = 120 · 54 = 6480 ⇒
36
=
60
y
y
y
54 80
21 35
68
21 17
Unidad 2| Fracciones 2| Fracciones y decimales
son equivalentes.
son equivalentes.
son equivalentes.
e)
36
f)
84
60
21
y
y
21 35 68 17
4.
Completa en tu cuaderno los números que faltan. 15 20
3
1
60
24
36
5 15 3 6 1 9 = = = = = 20 60 12 24 4 36
5.
Escribe dos fracciones amplificadas de cada una. 2
a)
5 2
a)
6.
11 13
b) =
5
4
6
=
10
11
b)
15
13
=
22
=
26
33
9 5
c)
39
9
18 21
d) =
10
=
18
15
18
d)
27
21
=
36 42
=
54 63
Ordena las fracci ones de menor a mayor. 3
a) a) b) c)
7 3
5 11
7
y
5 135
=
7
2
,
315
9 2
,
5
=
1500
=
1505
43 60
3300
,
2100
,
5
b) =
126
y
315
17 17 25 56 75
= =
7
=
9
2244 3300
y
1568 2100
y
245 315
7 12 55 42
⇒
126 315
11 <
=
1925
=
2750
3300
2100
17 17
,
13 135 31 315
<
⇒
1505
3300
<
2100
Halla Halla tres fracciones comprendidas entre y
<
4
5
9
9
⇒
43 56 55 , y 60 75 42
c)
12
315
1500
8.
7
245
⇒
Acti vidad resuelta.
Una posibilidad es escribir
y
25 25
7.
2 5
1925 3300 1568 2100
3
<
7
<
7
9
2244
<
3300 2750
<
2100
⇒ ⇒
5
<
7
11
12
43
56
60
<
75
<
17
<
55
25
42
y escríbelas escríbelas en forma i rreducible.
4 16 5 20 = y = . 9 36 9 36
Las fracciones pedidas podrían ser
9.
5
c)
17 18 1 19 = y , . 36 36 2 36
Realiza Realiza las sig uientes operaciones y expresa el result ado en form a de fracci ón irredu cib le. a) b) a) b) c)
5
7
12
18
1
1
23
16
5 12 1 23
19 42
+ + −
7 18 1 16
11 28
c) d) = = =
15 36
+
14 36
16 + 23 368
38 − 33 84
=
29
=
39
=
36
368
5 84
19
11
42
28
11
6
12
25
e)
11 12
e)
10
f)
1
11
6
− −
−
6
=
25 4 7
8 3
+
+
3 5
1 20
275 − 72 300
= =
=
4
3
11
7
5
1 8 6 3
f) d)
10
203 300
350 − 22 2 20 + 231 385
10 − 160 + 3 60
1 20
=
=
361 385
− 14 7 60
=
− 49 20
Fracciones y decimales | Unidad | Unidad 2
37
10. Acti vidad resuelta. 11. Reduce a comú n denomi nador y calcul a el result ado. a)
3 4
1 2
a)
3
b)
5
c)
42
d)
−
1
+
5
4
3
18
13 3
2
9
5 8 + −
b)
5
=
8 5
27
+
35
−
13
8
=
−
13
7
=
42
=
20
3
+
7 4
5
3
9
27
42 18
c)
35 20
17 42
7 40
10 14 7
d)
13
13
13
3
6
20
8
=
55
17
=
27
17
5
7
45 + 15 − 5
=
−
20
6
6−4+5
5
−
27
42
196 + 147 − 34 84
260 − 130 − 39 60
=
=
309 84
=
103 28
91 60
12. Opera, simpli ficando todo lo posible los resultados. a) b) a) b)
3 9 7 5 10 13
3
17
15
5 12
c) 23
8
9
15
d) 10
20
24
11
50 6
3 9 5 36 − 420 − 54 + 25 − 413 −7− + = = 5 10 12 60 60 13 17
+
c) 23 + d) 10 −
3 15 7
−
40 15 24
8
−9+ 10 7
20
=
13 17
+
− 14 = 9 +
− 11 +
50 6
= − 1−
1 5
− 9+
7
−
40 5 8
+
10 7 25 3
2 5
= =
=
65 + 17 − 765 + 34
=
85
2520 + 49 − 400 280
−24 − 15 + 200 24
=
=
− 649 85
2169 280
161 24
13. Acti vidad resuelta. 14. Expresa cada fracción como suma de un número entero y una fracción. a)
38
18 7
b)
33
a)
18
b)
33
c)
5
7
5
= 2+ = 6+
4 7 3 5
Unidad 2| Fracciones y decimales
11 2
d)
43
c)
11
d)
e)
4
2 43 4
= 5+
1 2
= 10 +
3 4
33 10
f)
89 16
e)
33
f)
10
= 3+
3 10
89 9 = 5+ 16 16
15. Realiza estas multiplicaciones y expresa el resultado en forma de fracción irr educible. a)
1 4 · 5 7
c)
16 3 5 · · 5 9 11
e)
b)
12 25 · 15 36
d)
13 6 24 · · 42 5 10
f)
a)
1 4 4 · = 5 7 35
c)
16 3 5 16 · ⋅ = 5 9 11 33
e)
3 11 11 ⋅2 = · 4 18 12
b)
12 25 4 25 5 = · = · 15 36 5 36 9
d)
13 6 24 13 1 12 156 = = · ⋅ · ⋅ 42 5 10 7 5 5 175
f)
20
3 11 · ·2 4 18 20 9
9
· 5·
·5 ·
11 9
11 9
=
1100 81
16. Escrib e la fracci ón invers a. a) a)
5
b)
8
−8
b)
5
16
c)
5 5
c)
16
15
d) 35
23
−23
1 35
d)
15
17. Realiza estas divisiones y expresa el resultado como fracción irreducible. a)
2 4 : 3 9
c)
b)
1 6 : 5 10
d)
a) b)
2 3 1 5
:
:
4 9
=
6 10
18 12
=
=
10 30
=
3 2 1 3
12 5
:
4
e) 8 :
25
7 :2 2
c)
12
d)
7
5
2
:
16
f) 4 25
:2=
=
300 20
= 15
5
e) 8 :
7
16
f)
4
5
7 6 : 24 7 6
=
48 7
: 24 =
16 120
=
2 15
18. Completa los términ os que faltan. a)
5
7
a)
5 7 ⋅ =1 7 5
1
b)
b)
12 25 12 25
c)
1:
= 1:
25
c)
12
11 23
:
5
5
7
7
d)
7 11 5 5 5 77 = : = ⋅ 23 7 7 115 115 77
d)
21 33
:
168 198
21 6 168 : = 33 8 198
19. Encuentr a los términ os que faltan. 3
a)
1 216
3
1 1 a) = 216 6
b)
2
16
5
625 4
16 2 b) = 625 5
243
c)
1024 5
243 3 c) = 1024 4
Fracciones y decimales | Unidad 2
39
20. La mitad de los habitantes de Villaquebrado han nacido en el pueblo. Cuatro quinceavos de los habitantes vienen de Ciudad Racional, y el resto son de Cocientópolis. ¿Qué fracción de los habitantes vienen de esta última ciudad? Habitantes de Villaquebrado:
1 2
4 15 1 4 7 Habitantes de Cocientópolis: 1 − − = 2 15 30 Habitantes de Ciudad Racional:
21. Elvira estuvo vari os días de vacacion es. La tercera parte los pasó en Francia, la cuarta parte, en Suiza, y los 10 días restantes en Italia. ¿Cuánto duraron sus vacaciones? 1 1 7 + = de sus vacaciones. 3 4 12 7 5 = Por tanto, los 10 días en Italia representan 1 − . 12 12 5 = 24 días. Sus vacaciones duraron 10 : 12 Entre Francia y Suiza suman
22. Actividad interactiva 23. Realiza las sig uientes operacion es. 3 4
5 1 · 4 6
b)
2
5
9
6
a)
3
b)
2
a)
40
4
9
:
4 3
c)
7 20
d)
4 5 · 5 8
13 2 · 12 3
+
5 1 3 5 18 5 23 = + = · = + 4 6 4 24 24 24 24
−
5 4 2 5·3 2 5 16 − 45 − 29 = − = = : = − 6 3 9 6· 4 9 8 72 72
7 12
c)
7 13 2 7 13 63 + 130 193 + + = = · = 20 12 3 20 18 180 180
d)
4 5 7 1 7 6 + 7 13 = + = = · + 5 8 12 2 12 12 12
e)
13 5 19 26 19 104 − 95 9 3 = − = = = : − 6 2 24 30 24 120 120 40
f)
5 2 6 5 9 6 : · = · · =9 3 9 5 3 2 5
Unidad 2| Fracciones y decimales
e) f)
13 5 : 6 2 5 3
:
2 6 · 9 5
19 24
24. Resuelve las operacio nes sig uientes. a)
7
5
9
9
5 3 : 4 4
b) 11 c) a)
7
13
20
12
7 9
5
+
9
b) 11 − c) d)
d)
·8
3 4
: 2·
4 5
e) 11 4 · f)
·5
·8 =
7 9
40
+
9
=
17 24
1 3 · 9 5
9:
47 9
5 3 5 33 − 5 28 = : = 11 − = 4 4 3 3 3
7 13 7 65 21 325 346 173 + + = + = = ·5 = 20 12 20 12 60 60 60 30 3
4
: 2·
4
5
e) 11 − 4·
3 4 12 3 = · = 8 5 40 10
=
17
17
= 11−
24
66 − 17
=
6
6
1 3
3
243
9 5
5
5
f) 9 : · = 81· =
=
49 6
25. Efectúa las sig uientes operacion es comb inadas. a)
3
5
8
6
b)
5
c) d) a) b) c) d) e) f) g)
:
:3
3
2
4
2
3
9
e)
5
3:
f)
3
3 1 4 : · 5 2 3
5 11
3 1 · 4 5
12
g) 1
7
11
6
3
3 8
3 3 · ·3 4 2
9
3
12
2
23
40
28 3
36
h) 10 :
16
14
:4
15 4
:
·8
24 35
3 5 4 2 3 15 2 27 − 45 + 16 − 2 −1 − : + = − + = = = 8 6 3 9 8 24 9 72 72 36 5 3
: 3−3 :
2 5
+
11 12 7 6
3
=
5 9
−
9
=
5
25 − 81 45
=
−56 45
3 1 4 2 6 4 2 8 10 =2 : · = + · = + = 5 2 3 5 5 3 5 5 5 3 1 1 11 3 1 220 − 36 − 15 169 = − − = = · − 4 5 16 12 20 16 240 240
−
−
5
11 3
: 4+
14 9
=
7 6
−
11 12
+
14 9
=
42 − 33 + 56 36
=
65 36
3 3 3 3 27 30 15 + · ·3 = + = = 8 4 2 8 8 8 4 3 40
h) 10 :
−
12 2 23 3 36 23 189 − 1620 + 1610 179 = − + = = : + 28 3 36 40 56 36 2520 2520
15 4
·8 −
24 35
=
40 15
·8 −
24 35
=
320 15
−
24 35
=
2240 105
−
72 105
=
2168 105
Fracciones y decimales | Unidad 2
41
26. Calcula las siguient es operacio nes teniend o en cuenta la jerarquía de operacio nes. a)
2
1
5
5
b)
5
7
12
3
a) b) c)
2 5
−
5
7 8
−
3
1
5
5 4
:
c) d)
2
3
7 8
1 5 3 : · 6 3 4
7
1
8
6
:
5
·
3
e) 3
3
4
f)
9
13
11
20
16
12
1 3
1 1 5 · : 3 2 4
:
25 24
g)
2
h)
11
7
36
12
5 16
7 4 5 7 25 + 42 67 5 7 10 + : = + = = : + 2 = 3 3 60 60 12 3 3 12 10
1 5 3 7 1 5 7 4 105 − 16 89 = = : · = − : = − 6 3 4 8 6 4 8 30 120 120 3
837 7 1 5 3 7 1 27 35 − 4 27 31 27 = = = · · d) − : · = − · 40 64 40 64 2560 8 6 3 4 8 10 64
e)
− 5 25 9 39 − 44 25 9 9 1 11 13 11 25 − − = − = − = + = : : : 20 16 12 24 20 48 24 20 48 24 20 10 20
f)
8 1 1 1 5 1 1 25 1 16 16 = · = = − · : = − : 3 3 2 4 3 6 16 6 25 150 75
g)
7 1 5 11 7 2 11 35 + 24 11 59 55 − 177 − 122 − 61 − + : = − + = − = − = = = 36 12 2 4 36 12 5 36 60 36 60 180 180 90
h)
5 35 − 16 12
9
2
11
: 6−
32 5 35 − = 5 16 12
5 35 − 2 5 175 15+ 350 365 30 32 − − = + = = : = 5 16 12 5 16 24 48 48 5
:
27. Realiza las sig uientes operacion es comb inadas. a) b) a) b)
4 9 : 5 10 5 16
7 12
2
7 12
9 20
13 24
1 6 ·3: 8 5
7 13 40 17 13 8 17 13 64 − 102+ 39 1 4 9 = 5 : 10 − 2 − 12 + 24 = 45 − 12 + 24 = 9 − 12 + 24 = 72 72 5 16
=
−
6 5 7 9 3 6 5 7 9 5 5 7 36 − 25 9 1 − − ·3: = − − − : = − − − = − − = 12 20 8 5 16 12 20 8 5 16 12 20 16 16 12 80
5 16
7
−
7 12
−
11 80
=
75 − 140 − 33 240
28. Acti vidad resuelta.
42
Unidad 2| Fracciones y decimales
=
−98 240
=
−49 120
1 5 : 2 4
35 32 : 6 12 5
1 3 1 2 1 2 2 2 10 2 8 = − = · − = − · = − 5 5 5 5 5 5 5 25 25 25 25
+
12
·
29. Calcula el resultado de las siguientes operaciones y exprésalo en forma de fracción irreducibl e. a) b)
4 16 : 9 3
5
49
20
100
a)
: 7·
11 42
c)
8
:2
7
12 ·
8
2
3
4 2 · 7 5
3
5
1 2·
1 3 · 6 2
5
d)
6
2
7 15
7 4 · 2 2· 5 9
4 :8 15
13
1
3
18
4
41
e)
3
2
18
2 3
·
·
8
7
15
10
16
9
5
30
3 3 5 : 2 2· · 5 4 6
f)
:
6
:
6
·
6
9 15 5 3
3 32
4:
1 1 · 2 3 2
9 5 : 2 3 2
4 16 8 3 5 12 8 36 10 1 4 9 5 − : 2 + 12· + 1 + 2· = − + + 1+ = − + + 1+ = : 9 3 5 8 6 144 10 8 6 12 5 2 3 5 − 48 + 270 + 60 + 100 387 129 = = 60 60 20
=
2
2
2
49 20 7 7 20 2 1 7 1 3 7 2 1 3 +3− − · + −3= − − + = − = : 7· · b) + 100 7 100 7 5 4 15 5 20 15 5 6 2 15 1 9 7 240 − 27 + 560 773 − + = = 5 400 15 1200 1200
=
= − · + = c) + · − · 2 − 2· + : 8 = · − · 2 − + 9 15 42 5 5 9 30 3 5 9 30 42 7 5 5 11
f)
7
4
4
35 2
7
8
1
1
7 10
1
7 6 6 6 2 13 1 − 1 6·15·6 2 13 1 13 1 8 − − · − − · + = − + + 2= · = − + : 3 18 4 15 10 9 15 5 3 18 4 6 9·6·5 3 18 24 2
2 55 48 − 55 + 144 137 − +2= = 3 72 72 72
=
e)
2
1 70 1 30 − 140 + 3 −107 − + = = 3 45 30 90 90
=
d)
4
3
−41
3
2 16 9 3 9 5 − 41 2 16 16 8 5 − 41 8 − 205− 48 − 253 + · − + · − − = = : −4: : = − : = 18 3 5 30 32 2 3 18 3 5 5 9 3 18 15 90 90
5 1 : 2 − 2· · − 5 4 6 3 3
3
2
2
2
3 3 5 1 −3 3 3 5 1 1 − · − · − · + = · − 2 = = 10 2 6 3 2 10 2 6 2 2
2
=
3 3 4 3 3·16 3 8 − 71 − · = − = − = 10 2 3 10 2·9 10 3 30
30. Actividad interactiva. 31. Clasifica los s iguientes números e identifica en los que sean periódicos la parte entera, el período y el anteperíodo. a) 48
d) 2,038 38 38…
g) 25,2525
b) 9,95
e) 1,010 201 02…
h) 25,2525…
c) 12,35
f) 31,0436
i) 91,75
a) Entero
e) Periódico puro, parte entera: 1, período: 0102
b) Decimal exacto
f) Decimal exacto
c) Decimal exacto
g) Decimal exacto
d) Periódico mixto, parte entera: 2,
h) Periódico puro, parte entera: 25, período: 25
anteperíodo: 0, período: 38
i) Decimal exacto
Fracciones y decimales | Unidad 2
43
32. Escribe el número a partir de los datos indicados en cada caso. a) Parte entera: 3, período: 5, anteperíodo: 8 b) Anteperíodo : 46, parte entera: 0, período: 1 c) Anteperíodo : 452, período: 301, parte entera: 56 a) 3,855 555…
b) 0,461 11…
c) 56,452 301 301 301…
33. Expresa en forma decimal las siguientes fracciones, indicando de qué tipo es el número obtenido. a)
18
b)
13
a)
18
b) c)
c)
5
d)
9
5
23
e)
15 35
5 7
441 63
f)
6
= 3,6 , decimal exacto
13 = 1, 4 , periódico puro 9 23 = 1,53 , periódico mixto 15
d)
35
e)
5
f)
441 = 7 , entero 63
6
7
= 5,83 , periódico mixto
, periódico puro = 0,714285
34. Indica de qué tipo es el resultado correspondiente en cada caso, sin hacer la división. a)
10 27
c)
b)
13
a)
10 , periódico puro 33
c)
b)
13 , periódico mixto 24·3
d)
48
d)
23 11
325 14 23 11
, decimal puro
325 2· 7
, periódico mixto
e)
28
f)
90
e)
28 1 = , decimal exacto 56 2
f)
90
56
54
54
=
5 3
, periódico puro
35. Halla la fracci ón generatriz de los sigui entes número s. a) 4,8
d) 25,4
g) 1,003
b)
e) 0,116
h) 2,09
f)
34,239
i)
0,019
1003 − 1 00 903 301 = = 900 900 300
3,12
c) 23,714 a)
48 24 = 10 5
d)
254 − 25 229 = 9 9
g)
b)
312 − 3 309 103 = = 99 99 33
e)
116 − 1 115 23 = = 990 990 198
h)
c)
23714 11857 = 1000 500
f)
34 2 39 − 34 34 2 05 = 999 999
i)
36. Acti vidad resuelta.
44
Unidad 2| Fracciones y decimales
209 − 2 99
19 999
=
207 99
=
23 11
37. Realiza estas operacion es pasando los decim ales a fracci ones. Expresa el resultado en forma decimal. a) a)
7 10
7 10
b) 4,5 3,21 0,17
2,15
215
+
100
=
70
+
100
215
=
100
285 100
45 321 17 450 321 17 788 + + = + + = = 7,88 10 100 100 100 100 100 100
c)
12 15
465 100
=
4 5
−
93 20
=
−77
12 15
4,65
= 2,85
b)
−
c)
= −3,85
20
38. Realiza las sig uientes operaciones y simp lif ica el result ado. a) 0,5 0,5 : 5 , b) a)
3
10
−
5 9
:5 =
1 2
−
1 9
4 5
1,05 1,02
d) 1,16 2 : 2,4
0,39 : 0,36
4 5
c) 0,05·
9
==
18
−
2 18
=
7 18
= − = = b) − : : : 4 100 99 100 100 99 100 99 100 3
c) d)
5
39
·
4
100 5 105 90
+
−2:
36
104 99 22 9
=
75
−
92
7
−
6
90
= 9
11
39
1 25
=
+
77 66
36
104 99
−
−
54 66
36
46 45
=
=
36
99
99 + 2600 − 2530 2475
=
169 2475
23 66
1
1
9
99
39. Los números decimales correspondientes a las fracciones ,
1
y son periódicos puros. Encuentra sus 7
períodos. ¿Hay alguna relación entre el número de cif ras del denominador y la longitud del período? 1 = 0,1 , período: 1 9
1 , período: 01 = 0,01 99
1 = 0,142857 , período: 142857 7
No hay relación entre el número de cifras del denominador y la longitud del período.
40. Trunca los siguientes números al orden indicado. a) 33,5024 a las décimas
c) 2,9995 a las milési mas
b) 688,159 a las centésim as
d) 48,09999 a las unidades
a) 33,5
c) 2,999
b) 688,15
d) 48
41. Redondea los siguientes números al orden indicado. a) 91,422 a las unid ades
c) 777,310099 a las mi lésim as
b) 0,3579 a las décim as
d) 9,999 a las centési ma
a) 91
c) 777,310
b) 0,4
d) 10
Fracciones y decimales | Unidad 2
45
42. Trunca y redondea a las centésimas e indica si se trata de una aproximación po r defecto o por exceso. a) b) c)
35
d)
6
23
e)
11 32
f)
15
a)
35
b)
23
c)
32
6 11 15
83
h)
99 65
i)
3
7
548 999 328 415
= 2,09 ; truncado: 2,09; redondeado: 2,09 (defecto)
= 2,13 ; truncado: 2,13; redondeado: 2,13 (defecto)
e)
83
f)
65
g)
5
h)
548
i)
328
125
7
125
5
128
3
g)
= 5,83 ; truncado: 5,83; redondeado: 5,83 (defecto)
d)
99
128
= 1,024 ; truncado: 1,02; redondeado: 1,02 (defecto)
= 0,83 ; truncado: 0,83; redondeado: 0,84 (exceso)
= 21,6 ; truncado: 21,66; redondeado: 21,67 (exceso)
; truncado: 0,71; redondeado: 0,71 (defecto) = 0,714285
999 415
; truncado: 0,54; redondeado: 0,55 (exceso) = 0,548
= 0,7903... ; truncado: 0,79; redondeado: 0,79 (defecto)
43. Calcula el error absoluto y el error relativo cometidos al tomar 2,3 como valor aproximado de 2,3 .
Error absoluto: 2,3 − 2,3 = Error relativo:
7 3
−
23 10
=
70 − 69 30
=
1 30
1 7 1 : = 30 3 70
44. Al medir u na cuerda de 15,680 m, se prod uce un error relati vo de 0,05. ¿Qué error abso luto s e ha cometido? El error absoluto será 0,05·15,680 = 0,784 m
45. En la tienda del barrio venden los huevos por doc enas. Una docena cuesta 2,80 €. a) Si se pudi era comp rar un huevo por separado , ¿cuál sería su precio? Redondea la canti dad a los céntimos. b) Multip lic a el precio qu e has obtenido al redondear por 12, para saber lo que costaría una docena a ese precio. ¿Qué ocurre? c) Hoy ha subido 3 CENT el precio de la docena de huevos. Responde a las dos cuestiones anteriores con el nuevo dato. ¿Qué observas?
a) 2,80:12= 0,23 ⇒ 0,23€ b) 12 ·0,23 = 2,76 €. La docena costaría 4 CENT más barata. c) 2,83 : 12 = 0, 23583 ⇒ 0, 24 € . Un huevo costaría 1 CENT más.
12 · 0,24 = 2,88 €. La docena costaría 8 CENT más cara.
46
Unidad 2| Fracciones y decimales
46. Escribe la fracción correspondi ente a cada enunciado. a) He recorri do 20 km de 54 km. b) El bizcocho tarda en hacerse una hora y media. c) En el depósito quedan seis décimas partes de aceite. d) Existe una probabi lid ad de 1 entre 100 de que me toqu e el premio. a)
20 54
=
10
b) 1 +
27
1 2
3
=
c)
2
6
=
10
3
1 100
d)
5
47. Representa en tu cuaderno las siguientes figuras geométricas y colorea la fracción indicada. a)
4 9
de un cuadrado
b)
a)
3 8
de un círculo
c)
b)
12 16
de un octógono
c)
48. Calcula la fracci ón de cantid ad en cada caso. a)
3 4
de 56
a)
3 · 56
b)
7·80
4
10
b)
7 de 80 10
c)
= 3 · 14 = 42
= 7 · 8 = 56
11 de 18 9
c)
11· 18
d)
8·39
9
3
d)
8 3
de 39
= 11 · 2 = 22
= 8·13 = 104
49. Representa las siguientes fracciones e indica si son equivalentes a partir de su gráfica. a)
9 6 y 12 8
b)
a) Son equivalentes.
Por simplificación:
,
7
9 18
y
9 27
b) No son equivalentes.
50. Escrib e tres fracci ones equivalent es a Por amplificación:
3
6 18
por amplificación y tres por simplificación.
6 12 18 24 = = = 18 36 54 72 6 18
=
3 9
=
2 6
=
1 3
Fracciones y decimales | Unidad 2
47
51. Comprueba si los siguientes pares de fracciones son equivalentes. a) a)
10 15 y 16 24 10
=
16
5 8
=
b) 15 24
15 28
y
30
c)
46
42 78
14
y
26
⇒ Son equivalentes.
b) 15·46 = 690 ≠ 28·30 = 840 ⇒ No son equivalentes. c) 42·26 = 14·78 = 1092 ⇒ Son equivalentes. 52. Acti vidad resuelta. 53. Copia y comp leta en tu cuaderno las sig uientes igualdades para que las fracci ones sean equivalent es. a)
x
95
8
20
a)
x =
b)
x =
95·8 20
b)
x
63 14
c)
= 38
36·14 63
36
=8
200
x
150
81
c)
x =
d)
x =
d)
200·81 150 114·5 19
19
114
5
x
= 108
= 30
54. Simplifica hasta obtener la fracción irreducible. a) b) a) b)
48
c)
84
32
d)
128 48 84
=
4
c)
7
32 1 = 128 4
d)
121
e)
55 42
f)
77
121 55
42 77
=
=
11
e)
5
6
f)
11
32000 1800 34 51
32000 1800
=
160 9
34 2 = 51 3
55. Comprueba si las siguientes fracciones son equivalentes comparando las fracciones irreducibles correspondientes. a)
80
a)
80
b)
72
c)
68 17 104 13 y = = ⇒ No son equivalentes. 80 20 120 15
48
48
32
y
45
b)
27
=
5
=
9
3
4
y
y
45 27 45 20
=
5
=
9
3
4
72 32
y
45 20
c)
68
c)
33 17 51 , y 20 40 50
80
y
104 120
⇒ Son equivalentes. ⇒ Son equivalentes.
56. Reduce las fracciones a mínimo común denominador.
48
a)
15
a)
15 75 19 76 = = y 16 80 20 80
16
y
19 20
Unidad 2| Fracciones y decimales
b) b)
7 24 7 24
y
=
25 36 21 72
y
25 36
=
50 72
c)
33 330 17 85 51 204 = = = , y 20 200 40 200 50 200
57. Compara las parejas de fracciones util izando <, > o =. a)
5
b)
13
a)
5 50 6 54 = < = 9 90 10 90
c)
b)
13
d)
9
6
y
20
10 9
y
10
<
20
9 10
=
18 20
c)
17
d)
3
8
y
17
e)
15
21
y
15 22
f)
14
17 17 > 8 15
e)
12 264 15 315 = < = 21 462 22 462
3 45 2 56 = < = 28 420 15 420
f)
14 10 > 25 36
e)
35
12
9
7
f)
25
5
46
23
28
y
2
12
15
25
y
10 36
58. Ordena de menor a mayor las sig uientes fraccion es. a)
7 1 5 11 3 , , , , 8 3 6 12 4
a)
7 8
=
8 24
b)
21
1
24
3
<
18 24
<
20 24
21
<
24
b) Menores que 1: Entre 1 y 2:
=
1 3
8
5
24
6
<
22 24
=
⇒
1 3
3 4
6
2
18
9
6 72 = 5 60
Mayor que 2:
<
=
20
11
24
12
<
5
=
4
5
18
6
6
<
7
=
8
<
1 2 6 13 5 100 , , , , , 3 9 5 12 6 27
22
3
24
4
=
18 24
11 12
=
15 18
13 65 = 12 60
100 27
4 6 15 65 72 100 2 1 5 13 6 100 < < < < < ⇒ < < < < < 18 18 18 60 60 27 9 3 6 12 5 27
59. Escribe tres fracciones comprendidas entre las siguientes. a)
13 14 25
y
b)
25
5 17 6
y
20
Respuesta modelo: 13 52 53 54 55 56 14 a) = < < < < = 25 100 100 100 100 100 25
b)
5 500 501 502 503 510 17 = < < < < = 6 600 600 600 600 600 20
60. Calcula y simplifica las siguientes sumas y restas. a) b)
11
17
24
36
1
1
12
27
c) d)
8
8
15
35
81
42
100
75
a)
11 17 33 34 77 + = + = 24 36 72 72 72
d)
81 42 243 168 75 1 − = − = = 100 75 300 300 300 4
b)
1
e)
35
f)
25 5 25 10 15 − = − = 46 23 46 46 46
c)
12
+
1 27
=
9 108
+
4 108
=
13 108
8 8 56 24 80 16 + = + = = 15 35 105 105 105 21
9
−
12 7
=
245 63
−
108 63
=
137 63
Fracciones y decimales | Unidad 2
49
61. Resuelve y sim pli fica. a)
9
1
11
16
4
8
b)
1
11
17
6
9
18
c)
42
35
17
18
20
42
d)
65
25
35
24
36
48
a)
9 1 11 9 4 22 27 − + = − + = 16 4 8 16 16 16 16
c)
42 35 17 2940 2205 510 4635 103 + − = + − = = 18 20 42 1260 1260 1260 1260 28
b)
1 11 17 3 22 17 8 4 + − = + − = = 6 9 18 18 18 18 18 9
d)
65 25 35 390 100 105 385 + − = + − = 24 36 48 144 144 144 144
62. Efectúa las multiplicaciones y simplifica el resultado. a)
3 4 6 · · 5 3 7 6
b) 4 a)
9
15 12
12
d)
8 17 1 · · 6 21 5
40
· 5·
35 14
3 4 6 24 · · = 5 3 7 35
b) 4· c)
·
c)
6 9 2 3 6 = 4· · = · 15 12 5 4 5
12 40
·5·
35 14
=
3 10
·5·
5 2
=
15 4
e)
40 10 2 · · 5 11 9
f)
20 ·
d)
8 17 1 4 17 1 68 · · = · · = 6 21 5 3 21 5 315
e)
40 10 2 10·2 160 = · · = 8· 5 11 9 11·9 99
f)
20 ·
7 9
7 9
·72
· 72 = 20 ·7 ·8 = 1120
63. Calcula y sim pli fica el result ado. a) b)
8 12 7 10
4
:
c)
24 21
:
d)
10
21 10 15 20
:
:
7 10 75 16
a)
8 4 8 24 : = · = 2·2 = 4 12 24 4 12
d)
b)
7 21 7 1 = = : 10 10 21 3
e)
c)
21 7 21 : = =3 10 10 7
f) 15 :
e)
5
f)
15 :
6
: 15 5 6
15 75 3 16 4 = · = : 20 16 4 75 25
5 6
: 15 =
5 6·15
=
1 6·3
=
1 18
5 15· 6 = = 3·6 = 18 6 5
64. Realiza las sig uientes operacion es comb inadas. 1
12
5
3 4
a)
3 5 2 3 5 9 + 10 19 + · = + = = 4 4 3 4 6 12 12
b) c)
5 2 · 4 3
23
a)
23 12 5 6
−
+
b)
:
4 5
2
c)
5
2
6
6
·
9
1
4
2
1 4 23 1 14 23 1 161+ 6 167 + : = + = = : + 2 = 5 5 12 14 84 84 12 5 5
2 9 1 5 1 7 5 7 10 − 7 3 1 = = = · − = − · = − 6 4 2 6 3 4 6 12 12 12 4
5 5 21+ 20 20 + 123 143 7 1 3 5 7 − + : = − + − = = = 36 16 4 5 36 16 12 36 48 144 144 5
50
Unidad 2| Fracciones y decimales
d)
5
7
36
16
1 3 : 4 5
65. Realiza las sig uientes operacion es comb inadas. a) b)
11
4
30
5
2 3
·
12
11
21
5
19
6
18
5
3
1
3
5
4
4
·5
c) 2
2
·
·
· 4 3·
4
4
9
5
8
7
3
15
10
4
5 2
2:
:6
:
4 12 · 5 25
3
1
4
6
2
2
2
2
4 4 4 4 7 4 11 8 2 11 4 12 11 35 4 11 = · − = · + a) + · − · 4 − 3· + : 6 = · − · 4 − + 9 5 3 30 6 7 5 3 15 30 5 21 5 30 7 5 7 88 2 35 − 264 + 6 −223 − + = = 9 15 15 45 45
=
b)
2 3
=
6 8 7 3 4 12 10 19 6 16 − 21 3·5·12 10 19 6 −5 3·3 − · − + : · = − − · = − − · + = + 18 5 15 10 4 5 25 3 18 5 30 4· 4·25 3 18 5 30 4·5
19
· 5−
10 95 + 18 9 600 − 226 + 81 455 91 19 1 9 − + + = − + = = = 3 18 5 20 3 90 20 180 180 36
10
2
2
3 1 3 5 122 3 1 15 3 1 9− 2 24 10 75 = − + + + = 2 2· c) 2 − + − · − + 2 : − = 2 − + + + 2 : 40 40 40 72 4 6 12 5 4 8 5 4 4 2 109 288 3920 − 5341 + 11520 10099 = 2− + = = 40
49
1960
1960
66. Acti vidad resuelta. 67. Realiza las operacio nes y simp lif ica. 7
3 4
1 · 4 3 8
5 6 1: 3 5 4 7 3 12
a)
5 4 · 8 8 3 4 16 1 : 9 27 8
a)
7 5 4 7 5 7 5 21− 20 1 − · − − 8 1 8 8 3 = 8 6 = 8 6 = 24 = 24 = = 4 16 1 4·27 1 3 1 6−1 5 5 ·24 15 : − − − 9 27 8 9·16 8 4 8 8 8
b)
3 1 5 6 3 1 5 5 23 + · − 1: + · − 3 + 1 · 5 3 + 5 23 4 4 3 5 4 4 3 6 = = 4 4 6 = 4 24 = 24 = 3 4 7 9 + 32 − 14 27 27 27 27 + − 8 3 12 24 24 24 24
b)
Fracciones y decimales | Unidad 2
51
68. Resuelve los siguientes castillo s de fracciones.
a)
a)
3 7 12 : 5 9 15 1 10 1 1 3 13 8 4
6 2
b)
2
12
7 3 8
11 3
5
2
2:
1
2
5
4 15
3 7 ·15 3 7 12 3 35 108 + 175 283 + + : + 283·624 176592 14716 5 9 ·12 5 9 15 5 36 180 = = = = 180 = = = 2 10 1 1 160 − 78 + 39 121 121 180 ·121 21780 1815 1 10 1 1 − + ⋅ − + 39 8 16 624 624 624 3 13 8 4 2
2
2
2
1 4 12 4 12 − 110 4 −98 12 484 + 67228 4 9604 + −2: + − 10 + + + 7 3 11 5 7 11 7 11 7 11 = = = 7 121 = 847 = = 8 3 4 48 − 45 + 8 11 11 11 11 − + 6 2
⋅
b)
5
2
15
30
30
30
30
30
67712 67712·30 2031360 = 847 = = 11 847 ·11 9317 30
69. Escribe los siguientes números en forma decimal y clasifícalos. 45
48
a)
26 9
c)
b)
88 25
d)
a)
26 = 2,8 , periódico puro 9
d)
44 11 = = 3,6 , periódico puro 12 3
b)
88 = 3,52 , decimal exacto 25
e)
48 = 4 , entero 12
c)
45
f)
108 = 1,5 , decimal exacto 72
12
=
15 4
e)
12 44
f)
12
= 3,75 , decimal exacto
12 108 72
70. Sin hacer la división , indica de qué tipo es el decimal obtenido. a)
49 81
c)
b)
55 36
d)
a)
49 , periódico puro 34
b)
55 2
2 ·3
2
, periódico mixto
925
e)
60 120
47 30
f)
333 128
c)
925 , periódico puro 7
e)
60 1 = , decimal exacto 120 2
d)
47 , periódico mixto 2·3·5
f)
333 , decimal exacto 27
7
71. Calcula la fracci ón generatriz. a) 3,08 a) 3,08 =
b) 0,005 308 100
b) 0,005 =
52
=
77 25
5 1 = 1000 200
Unidad 2| Fracciones y decimales
c) 1, 45
d) 0,016 144
c) 1, 45 =
99
= d) 0,016
=
16 990
16 11
=
8 495
72. Escribe el número a partir de los datos indicados y calcula su fracción generatriz. a) Periódic o puro, parte entera 3 y período 25. b) Decim al exacto, con parte decimal 25 y parte entera 3. c) Decim al periód ico mixt o, período 2, anteperíodo 00 y parte entera 1. a)
3 25 − 3 322 3,25 = = 99 99
b)
3,25 =
c)
1,002 =
325 100
=
13 4
1002 − 100 902 451 = = 900 900 450
73. Realiza las operaciones expresando todos los n úmeros en forma de fracción. a) 4,72 · 0,22
b) 2,15 2,1
a) 4,72 · 0,22 =
b) 2,15 − 2,1 =
472 − 4 99
·
22 − 2 90
=
468 ·20 99·90
=
104 99
c) 0,75 0,25·1,6
= 1,05
215 − 21 21 − 2 194 − 190 4 2 − = = = = 0,04 90 9 90 90 45
c) 0,75 + 0,25·1,6 =
3 4
+
25 5 3 125 891 + 500 1391 = = · = + 99 3 4 297 1188 1188
74. Trunca los siguientes números al orden indicado. a) 98,5072 a las centésim as
b) 0,4982 a las uni dades
c) 0,9998 a las centésim as
a) 98,50
b) 0
c) 0,99
75. Escrib e una aprox imació n por defecto y otra por exceso de 2,5564: a) A las décimas
b) A las centésim as
c) A las mil ésimas
b) 2,5 y 2,6
b) 2,55 y 2,56
c) 2,556 y 2,557
76. Redondea a las centésimas los siguientes números e indica en cada caso si la aproximación es por defecto o por exceso. a) 0,095
b) 48,5572
c) 3,14159
d) 2,016
a) 0,10, exceso
b) 48,56, exceso
c) 3,14, defecto
d) 2,02, exceso
77. Aproxima la fracción hasta las centésimas, primero por truncamiento y después por redondeo. 83
a)
35 9
a)
35 = 3,8 ; truncado: 3,88; redondeado: 3,89 9
b) c) d)
83 12 7 15 30 7
b)
12
c)
7 15
d)
30 7
= 6,916 ; truncado: 6,91; redondeado: 6,92
= 0,46 ; truncado: 0,46; redondeado: 0,47 = 4,285714 ; truncado: 4,28; redondeado: 4,29
Fracciones y decimales | Unidad 2
53
78. Halla el error absoluto co metido en cada aproximación. a) Valor real: b) Valor real:
22 7 22 7
5
, valor aproximado: 3,1
c) Valor real:
, valor aproximado: 3,14
d) Valor real:
5
a) Error absoluto:
22 31 220 − 217 3 − = = 7 10 70 70
b) Error absoluto:
22 314 2200 − 2198 2 1 − = = = 7 100 700 700 350
c) Error absoluto:
5
d) Error absoluto:
5
6
6
− −
8 10
84 100
25 − 24
=
30
=
=
6
, valor aproxim ado: 0,8 , valor aprox imado: 0,84
1 30
250 − 252 300
6
=
2 300
=
1 150
79. Apro xim a el número 3,68 a las décimas por defecto y por exceso. ¿En cuál de las dos aproximaci ones es menor el error absoluto? ¿Cuál es la que corresponde al redondeo? Aproximación por defecto: 3,6
⇒
Error absoluto: 3,68 − 3,6 = 0,08
Aproximación por exceso: 3,7
⇒
Error absoluto: 3,7 − 3,68 = 0,02
Se comete el menor error absoluto con la aproximación por exceso, que es la que corresponde al redondeo.
80. Acti vidad resuelta. 5
81. Comprueba que se cumple la propiedad conmutativa en el producto ·
7
4 10
Por un lado,
5 7 35 7 5 35 y, por otro, , de manera que sí se cumple la propiedad conmutativa. = · · = 4 10 40 10 4 40
82. El inverso de un número natural a es co n
1 a
.
1 a
. Comprueba que la fracción inversa de
a también coincide b
.
b
1
Calculamos
a
= 1:
a b
=
b a
, que es el inverso de
a b
.
b
83. Comprueba si se cumple la propiedad distributi va en las siguientes operaciones. a)
3 1 · 2 4 3
a)
3 1 3 6 1 3 5 5 3 3 1 3 1 6 1 5 · 2 − = · − = · = y · 2 − · = − = − = . Sí se cumple. 4 3 4 3 3 4 3 4 4 4 3 2 4 4 4 4
b)
1
5
8
6
·
2 3
+ = b) + · = + · = · = y · + · = 8 6 3 24 24 3 24 3 36 8 3 6 3 12 9 1
54
5
2
3
20
2
Unidad 2| Fracciones y decimales
23 2
23
1 2
5 2
1
5
3 + 20 36
=
23 36
Sí se cumple.
2
84. Escribe dos fracciones equivalentes a . Ahora, escribe otra fracción cuyo nu merador sea la suma de los 3
numeradores y cuyo denominador sea la suma de los denominadores, y simplifícala hasta llegar a la fracción irreducible. ¿Qué observas? 2 4 6 4 + 6 10 2 = = ⇒ = = 3 6 9 6 + 9 15 3
Se obtiene una nueva fracción equivalente a
2 3
.
85. ¿Puede haber una fracci ón irredu cibl e en la que el num erador y el denomin ador sean impares? ¿Y en la que sean pares? 3 7 El numerador y el denominador pueden ser impares , ,... , pero no pares, ya que e ntonces se podría dividir 5 9 el numerador y el denominador entre 2, y la fracción no sería irreducible. 3
86. Una fracción impropi a se descompone como suma de un número entero y de la fracción . ¿Es posible 5
que el denominador de la fracción fuera 10? ¿Y 2? Razona tu respuesta y pon un ejemplo cuando sea posible. Es posible que el denominador fuera 10., por ejemplo:
26 6 3 = 2+ = 2+ . 10 10 5
En cambio, no podría ser 2, ya que entonces el denominador de la fracción sobrante también debería ser 2.
87. Las calculado ras tienen un número máximo de decimales, y al llegar a él redondean el resultado . Si una calculadora solo puede mostrar 8 decimales, ¿cómo aparecerá en pantalla el número 0,63 ? 0,63 aparecerá como 0,63636364.
88. Al aproxi mar un número decim al a las centésimas se ha obtenido 2,24. Si se sabe que el error abso lut o es de menos de una centésima, ¿cuáles de los sig uientes podrían ser valores del número inicial? a) 2,23557
b) 2,2525
c) 2,185
d) 2,24
a) Error absoluto: 2,23557 − 2,24 = 0,00443 < 0,01 . Sí es posible. b) Error absoluto: 2,2525 − 2,24 = 0,0125 > 0,01 . No es posible. c) Error absoluto: 2,185 − 2,24 =
2185 − 21 990
−
224 100
=
2164
=
222
990
−
224
=
100
21640 − 22176 9900
=
536 9900
> 0,01. No es = 0,0541
posible.
d) Error absoluto: 2,24 − 2,24 =
224 − 2 99
−
224 100
99
−
224 100
=
22 200 9900
−
22176 9900
=
24 9900
= 0,0024< 0,01. Sí es
posible.
89. Coloca los paréntesis necesarios para que el resul tado sea corr ecto. a) a) b)
3 4
·2
4
3
1
7
3
4
· 2+
1
b) 3 7
1
5
3
6
2
·
1 4
0
7
= · = 3 4 3 4
1 5 1 2 16 1 · − + · = − 3 6 2 4 3 6 4 2
2
2 16 2 2 = − =0 = − 3 24 3 3
Fracciones y decimales | Unidad 2
55
90. Calcula el valor del prod ucto
1 2 3 99 · · ·...· 2 3 4 100
.
1 2 3 99 1 . = · · ·...· 2 3 4 100 100
El denominador de la primera fracción se simplifica c on el numerador de la segunda, el denominador de la segunda con el numerador de la tercera, y así hasta llegar al denominador de la penúltima (99), que se simplifica con el numerador de la última.
91. Expresa en form a de fracci ón 1,9 y simpli fica la fracción. ¿Qué ocurre? Comprueba si ocurr e lo mismo con 3,9 y con 2,49 .
1,9 =
19 − 1 18 = =2 9 9
3,9 =
39 − 3 9
=
36 9
=4
2, 49 =
249 − 24 90
=
225 90
= 2,5
En todos los casos, el número se redondea a la cifra anterior al 9 periódico.
92. La fracci ón generatriz de 1,3 es
4 3
. Sin hacer operaciones, ¿cuál será la fracción generatriz de 0,0013 ? ¿Y
la de 133,3 ?
Como 0,0013 = 1,3 : 1000 , su fracción generatriz será
4 1 . = 300 0 750
Del mismo modo, la fracción generatriz de 133,3 = 100 · 1,3 será
400 . 3
93. Pilar tiene un huerto en el que ha sembrado varios cultivos. • • • •
Dedica 5
1 a su pl antación de tomates. 12
del huerto están sembrados de patatas.
24 3 se dedican a lechugas. 16 1 se dedican a remolachas. 6
¿A qué cultivo dedica más y menos sup erficie del terreno? Se reducen todas las fracciones a común denominador. 1 4 5 10 Tomates: Patatas: = = 12 48 24 48 3 9 1 8 Lechugas Remolachas: = = 16 48 6 48 Dedica la más superficie a las patatas, y menos a los tomates.
94. Roque calcul a que su gato pasa durm iendo, aproximadamente, 10 horas diarias. a) ¿Qué fracción del día pasa durmiendo? b) En un año compl eto, ¿a cuántos días equivale el tiempo que pasa durmiendo? a) Duerme
10 24
b) Equivale a
56
=
5 12
del día.
5 1825 = 152,083 , unos 152 días. · 365 = 12 12
Unidad 2| Fracciones y decimales
95. Acti vidad resuelta. 96. Eduardo ha anotado el precio de un litro de gasol ina durante una semana. Lunes Martes Miércoles Juev es Viernes Sábado Doming o
1,127 € 1,124 € 1,125 € 1,126 € 1,128 € 1,123 € 1,126 €
a) Escribe los precios redondeados a las centésimas. b) Eduardo echa todos lo s días 50 L de gasolina. Calcula lo que gastaría a la semana, redondeando y sin redondear. ¿Qué observas? a) Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Doming o
1,127 € 1,124 € 1,125 € 1,126 € 1,128 € 1,123 € 1,126 €
1,13 € 1,12 € 1,13 € 1,13 € 1,13 € 1,12 € 1,13 €
b) Sin redondeo, gastaría 50·(1,127 + 1,124 + 1,125+ 1,126+ 1,128+ 1,123+ 1,126) = 50·7,879= 393,95 €. Redondeando, gastaría 50·(1,13 + 1,12 + 1,13 + 1,13+ 1,13+ 1,12+ 1,13) = 50·7,89= 394,50 €. Si redondea pagará 0,55 € más.
97. En una comunidad de vecinos se da una curiosa coinci dencia: muchos de los vecinos pro ceden de la 5 de los que quedan, de Santander, y el resto, de 8
misma ciud ad. Así, la quinta parte son de Córdoba, los Murcia. a) ¿Qué fracción representa la gente de Murcia? b) ¿Es posible que sean 60 vecinos?
c) Si hay 32 personas de Santander, ¿cuántos vecinos t iene la comuni dad? a) Hay
1 de Córdoba. 5
Hay 1 − Hay 1 −
1 5 4 5 1 · = · = de Santander. 5 8 5 8 2
1 1 10 − 2 − 5 3 de Murcia − = = 5 2 10 10
b) Sí, ya que el mínimo común denominador es 10, que es divisor de 60. c) Si 32 son
1 del total, habrá 32 ·2 = 64 vecinos. 2
98. Acti vidad resuelta.
Fracciones y decimales | Unidad 2
57
99. Mario paga una compra a plazos, pero el vendedor le ha puesto unas curi osas cond icio nes. Esta semana pagará la mitad de su deuda; la próxi ma, la mitad de la mitad; la si guiente, la mitad de la mitad de la mi tad, y la últi ma, los 20 € que faltan. Calcula cuánto tendrá que pagar cada semana. La fracción correspondiente a la última cuota de 20 € es 1 −
1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 − 4 − 2 −1 1 − · − · · = 1− − − = = . 2 2 2 2 2 2 2 4 8 8 8
Por lo que la deuda es de 20·8 = 160 €. La primera semana paga 160·
1 2
= 80 €.
1 1 1 La segunda semana paga 160 · · = 160· = 40 €. 2 2 4 1 1 1 1 La tercera semana paga 160 · · · = 160· = 20 €. 2 2 2 8 La cuarta semana paga 20 €.
100. Un camión ci sterna transp ort a agua a zonas de Áfric a con sequía. En la última entrega no observaron que había un agujero por el que se perdió una doceava parte de la capacidad. De lo que quedó, dejaron
3 2 en la primera aldea, y en la segunda de lo que quedaba. En las 4 5
dos ú ltimas se repartió lo que quedaba a partes iguales. ¿Qué fracción d e la capacidad total d ejaron en las dos úl timas aldeas? Descontando las pérdidas por el agujero, quedan 1−
Después de la primera aldea, quedaron 1−
Después de la segunda, quedaron 1−
1 11 de la capacidad. = 12 12
2 11 3 11 11 = · = · 5 12 5 12 20
3 11 1 11 11 = · = . · 4 20 4 20 80
En cada una de las dos últimas aldeas, dejaron la mitad de lo que quedaba, es decir,
1 11 11 . = · 2 80 160
101. Se qui ere comparar la precisió n de dos balanzas.
a) Calcula el error absoluto y el error relativo cometido s en ambas mediciones. b) Con los datos anteriores, ¿cuál de las dos balanzas es más precisa? a) En la medida de 12 g ⇒ Error absoluto: 12 − 11,98 = 0,02 . Error relativo: En la medida de 25 g ⇒ Error absoluto: 25 − 25,05 = 0,05 . Error relativo:
b) Es más precisa la que mide 12 g, ya que el error relativo es menor.
58
Unidad 2| Fracciones y decimales
0,02 2 1 = = 12 1200 600 0,05 5 1 = = 25 2500 500
102. Tres qui ntos de lo s asistentes a una fiesta son niño s, y el resto, adultos. Más adelante solo siguen ll egando n iños, hasta que finalmente el número de niños es el doble que el que había al pr incipio . Si al princip io había 15 niños, a) ¿Qué fracción de las personas que hay al final de la fiesta serán niños? b) ¿Y si al princi pio había 18 niños? ¿Y si eran 30 niños? a) Al principio, había 15 niños, que eran
5 3 del total ⇒ Había 15· = 25 personas ⇒ Había 25 − 15 = 10 adultos. 5 3
Al final, había 15·2 = 30 niños y 10 adultos, luego el número de niños representa
b) Si al principio había 18 niños
⇒
Había 18·
Al final, el número de niños representa
Si al principio había 30 niños
⇒
3
= 30 personas ⇒ Había 30 − 18 = 12 adultos.
18·2 18·2 + 12
Había 30·
Al final, el número de niños representa
5
5 3
30 3 = del total. 40 4
=
36 48
=
3 4
del total.
= 50 personas ⇒ Había 50 − 30 = 20 adultos.
30·2 30·2 + 20
=
60 80
=
3 4
del total.
103. Se ha pavimentado una superficie rectangular con triángulos, cuadrados y rectángulos. ¿Qué fracción de la superficie falta por cu brir para que esté pavimentada la mitad de la figura?
A.
5
B.
16
15
C.
40
Uniendo las partes sombreadas, se completa
6 18
D.
1 16
7 de la superficie, por tanto, para completar la mitad de la figura falta 16
1 7 8 7 1 − = − = 2 16 16 16 16
La respuesta correcta es D.
1 16
104. L as siguientes fracciones tienen la particularidad de que utilizan todos l os dígitos del 1 al 9 sin repetir. Una de ellas no es A.
1 . ¿Cuál es? 4
3942 15768
15768: 3942 = 4
B.
5796 23184
23184: 5796 = 4
La respuesta correcta es D.
C.
4392 17568
17568: 4392 = 4
D.
6957 31248
31248:6957 ≠ 4
6957 31248
Fracciones y decimales | Unidad 2
59
105. Si
x
111110 111111
222221
, y
222223
A. x < y < z
333331
, z
333334
, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
B. x < z < y
C. y < z < x
D. z < x < y
Para comparar las fracciones, se calcula lo que le falta a cada una para llegar a la unidad: x =
111110 1 = 1− 111111 111111
Como Como Como
y =
222221 2 = 1− 222223 222223
z =
333331 3 = 1− 333334 333334
1 2 2 = > ⇒x
= =
3 333333
3
>
6 666669
333334
<
⇒x
6 666668
=
3 333334
⇒y>z
Por tanto, x < z < y, la afirmación correcta es B. Las afirmaciones falsas son A., C. y D.
106. ¿Qué fracci ón del rectáng ulo ABCD está sombreada?
A.
16
B.
4 9
81
C.
2 9
D.
1 8
Llamamos x a la altura del rectángulo inferior derecho sombreado. Por tanto, el área de dicho rectángulo es 8·x . El área del rectángulo izquierdo sombreado es 1·( AD − x ) = AD − x . El área del rectángulo ABCD es (1 + 8) · AD = 9· AD . La fracción sombreada de la figura es
Como todos los triángulos rectángulos ABD y BCD son semejantes, se cumple que Por tanto, la fracción sombreada del rectángulo ABCD es La respuesta correcta es A.
8 · x + 9· x − x 9·9· x
=
16· x 81· x
=
AD
16 81
9
=
8 · x + AD − x . 9· AD x
1
→ AD = 9 x .
.
16 . 81
2 de los alumno s han susp endido el úl timo examen de matemáticas. En cambio, 5 3 en clase de Raquel han sus pendido de los alumnos. 8
107. En la clase de Leonardo
Leonardo piensa: “Si en mi clase suspendieron 2 de cada 5 y en la de Raquel 3 de cada 8, en total sus pendiero n 2 + 3 = 5 de cada 5 + 8 = 13 alumno s. La fracción tot al de alum nos s uspens os es
5 13
.”
¿Es cierto? Compruébalo suponiendo que en clase de Leonardo hay 25 alumnos y en clase de Raquel, 32 alumnos. En clase de Leonardo hay
En total, representan
2 3 · 25 = 10 suspensos, y en clase de Raquel, · 32 = 12 suspensos. 5 8
5 10 + 12 22 , que no es equivalente a . = 25 + 32 57 13
Por tanto, el razonamiento de Leonardo no es cierto.
60
Unidad 2| Fracciones y decimales
PONTE A PRUEBA El tesoro pi rata Acti vidad res uel ta Elecciones en el pueblo Con motivo de las elecciones, el Ayuntamiento de Cuentecillas está realizando un censo d e sus ciu dadanos. 1.
¿Cuánto s niño s de menos de 10 años hay en el pueblo ?
2.
¿Cuánto s menores de edad hay en el pueblo ?
3.
¿Qué fracción de la población puede votar, por tener al menos 18 años? Calcúlalo de dos formas disti ntas.
4.
¿Cuánta gente votará, com o máximo , el día de las eleccion es?
1.
Hay 480 ·
2.
Los jóvenes entre 11 y 17 años son
3.
Pueden votar 480 − 160 = 320 .
1 6
= 80 niños.
1 1 · ( 480 − 80 ) = · 400 = 80 Por 5 5 tanto, hay 80 + 80 = 160 menores de edad.
También se puede calcular 1 −
INFORME CENSAL Número de habit antes: 480 personas. Niños m enores de 10 años: Sexta parte de la población. Jóvenes entr e 11 y 17 años: Qui nta parte de la población que queda al qui tar a los menores de 10 años. Habitantes fuera del pueblo: Dos novenas partes de los demás habitantes.
1 1 1 1 1 5 1 1 2 1 2 2 − · 1− = 1− − · = 1− − = 1− = 1− = ⇒ · 480 = 320 6 5 6 6 5 6 6 6 6 3 3 3 2 1 − 9
7 · 360 = ·360 = 280 , que será el número máximo de 9
Preparando la paella Paco quiere preparar un a Paella para 12 person as
PAELLA PARA 4 PERSONAS
1.
Si Paco tiene kil o y cuarto de arroz, ¿tiene arroz sufi cient e para preparar la paella?
- 450 g de arroz
Si el kil o de chi rlas está a 6,20 €, ¿cuánto pagará Paco por las chirlas que necesita para su paella si el precio final está redondeado a las centésimas?
- Medio k ilo de mejillo nes
3.
Si por las gambas ha pagado 11,40 €, ¿cuál es el precio del kilo de gambas?
- 800 ml de caldo de pescado
4.
Paco uti liza un bote de tomate tritur ado de un kilo. ¿Qué fracción de tomate le quedará en el bote tras utilizar el que necesita para su paella?
4.
2.
1.
2 están fuera del pueblo, quedan 9 votantes. Como
Como la receta es para 4 personas, para 12 se emplea el triple de cada ingrediente, por tanto, necesita 450· 3 = 1350 g. Como kilo y cuarto son solo 1250 g, le faltan 1350 − 1250 = 100 g.
2.
1 1 1 2 +1 3 Cuarto y mitad son + · = = de kilo. Para 12 personas 4 2 4 8 8 3 9 necesita 3· = . 8 8 Paga
- Cuarto kilo de gambas - Cuarto kilo de calamar - 200 g de tomate tritu rado - Cuarto y mitad de chirl as - 2 ajos - Sal - Medio pi miento rojo - Aceite de oliva - 1 ceboll a
9 ·6,20 = 6,975 ⇒ 6,98 €. 8
1 3 3 = de kilo, por tanto, el kilo cuesta 11,40 : = 15,2 €. 4 4 4
3.
Necesita 3·
4.
Necesitaba 3 · 200 = 600 g, le sobran
400 1000
=
2 5
del bote.
Fracciones y decimales | Unidad 2
61
AUTOEVAL UACIÓN 1. Simplifica las siguientes fracciones hasta obtener la fracción irreducible. 48
a)
2.
3.
64
c)
120 3600
e)
d)
63
f)
483 46 266
b)
36
a)
48 3 = 64 4
c)
120 1 = 3600 30
e)
483 21 = 46 2
c)
36
d)
63 9 = 91 13
f)
266 7 = 114 3
c)
36
99
99
=
4 11
91
114
Comprueba si las siguientes fracciones son equivalentes. a)
16
a)
16
b)
15 1 12 1 = y = ⇒ No son equivalentes. 75 5 72 6
c)
36 9 45 9 = = ⇒ Son equivalentes. y 92 23 115 23
54
54
24
y
b)
81
8
=
27
y
24 81
=
8 27
15
y
75
12 72
92
y
45 115
⇒ Son equivalentes.
Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones. 5 8
5 8
=
375
12
600
25
=
288
7
600
10
,
=
12 25
,
7 5 , 10 12
420
5
600
12
=
250 600
250 288 375 420 5 12 5 7 < < < ⇒ < < < 600 600 600 600 12 25 8 10
4.
Opera y simplif ica todo lo posible. a)
5
8
6
·
12 25
b)
19 5 : 36 4
11 20
c)
a)
3 5 12 3 2 15 + 16 31 + · = + = = 8 6 25 8 5 40 40
b)
19 5 11 19· 4 11 19 11 76 − 99 − 23 = − = − = = : − 36 4 20 36·5 20 45 20 180 180
c)
2 3 + 5 5
d)
62
3
4 9
7 1 8 2 3 − · = + 9 6 3 5 5
·
Unidad 2| Fracciones y decimales
3 7 · 5 9
7 4 2 3 1 2 1 3 − = + · = + = 9 9 5 5 3 5 5 5
·
5 3 4 3 3 4 1 11 − 1 : = + : = + = 8 4 3 8 4 3 2 6
·3 −
2 5
1 8 · 6 3
d)
4 ·3 9
5 3 1 : 8 4
5.
Opera y simp lif ica. a)
3 5 : 1 2 2 3
3 5 5 : · 2 4 6
b) 2 :
15 11 4 3 · · 2 8 6 3 2
= 1+ 1 = 2 a) : − 1 + : · = : + 2 2 2 4 6 2 2 2·5·6
b) 2 :
6.
5
3 5 5
3 3
3· 4·5
11 4 3 16 11 4 −1 16 11 4 16 15 16 8 = = · − · − 2 = · − · · + = · = 8 6 3 2 6 3 15 6 3 2 15 6 6 15 6
15
Calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales. a) 9,25
b) 12,36 925
a) 9,25 =
100
c) 1,194 =
7.
8.
37 4
1 236 − 1 2
b) 12,36 =
=
99
=
1224 99
=
136 11
1194 − 1 19 1075 43 = = 900 900 36
Redondea a las centésimas los siguientes números e indica en cada caso si has aproximado por defecto o por exceso. a) 3,55877
c) 2,0624
e) 19,195
b) 0,35621
d) 11,0230
f) 21,2121
a) 3,56 (exceso)
c) 2,06 (defecto)
e) 19,20 (exceso)
b) 0,36 (exceso)
d) 11,02 (defecto)
f) 21,21 (defecto)
Calcula el error abso luto y el error relativo cometido s al redond ear 2,25 a las décim as. Error absoluto: 2,3 − 2,25 = 0,05 . Error relativo:
9.
c) 1,194
0,05 2, 25
=
5 225
=
1 45
3 de la cantidad total de agua; el 8
El agua de una prov inc ia proc ede de tres embalses. El pri mero aporta segundo,
7 18
, y el último, el resto. Ordena los embalses según la cantidad de agua que aportan, de mayor a
menor . 7 28 3 27 27 28 72 − 27 − 28 17 y el segundo, El último aporta 1− . = = − = = 18 72 8 72 72 72 72 72 El segundo aporta la mayor cantidad, seguido del primero y del tercero.
El primer embalse aporta
10. De los músi cos de una banda,
1 tocan instrumentos de percusión. De los que quedan, la mitad tocan 5
instrumentos d e cuerda y los 8 músicos r estantes tocan instrumentos d e viento. ¿Cuántos mús icos tiene la orquesta? 1 1 1 4 2 1 que tocan instrumentos de percusión y · 1 − = · = que tocan instrumentos de cuerda. 2 5 2 5 5 5 1 2 5 −1− 2 2 Los 8 que tocan instrumentos de viento representan 1 − − = = del total. 5 5 5 5 2 La orquesta tiene 8 : = 20 músicos. 5 Hay
Fracciones y decimales | Unidad 2
63
